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ANALYTISCHE GEOMETRIE
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Analytische Geometrie
Inhalt
Inhaltsverzeichnis Kapitel Inhalt Seite 1 Geraden im Raum 1 1.1 Vektorielle Parameterform 1 1.2 Punkt auf Gerade 2 1.3 Der allgemeine Geradenpunkt 2 1.4 Punkteschar 2 1.5 Lage im Koordinatensystem 4 2 Ebenen im Raum 6 2.1 Aufstellen von Ebenengleichungen in Parameterform 6 2.2 Ebene in Normalenform und Koordinatenform 9 2.3 Ümwandlung der verschiedenen Darstellungsformen 10 2.4 Die Koordinatenebenen 12 2.5 Die Achsenabschnittsform mit Spurgeraden und Spurdreieck 13 3 Inzidenzen: Lage von Geraden und Ebenen zueinander 15 3.1 Zwei Geraden 15 3.1.1 Identische Geraden 15 3.1.2 Parallele Geraden 15 3.1.3 Sich schneidende Geraden mit Schnittwinkel 16 3.1.4 Windschiefe Geraden 17 3.2 Gerade und Ebene 18 3.2.1 Die Gerade liegt in der Ebene 18 3.2.2 Die Gerade liegt parallel zur Ebene 18 3.2.3 Die Gerade schneidet die Ebene mit Schnittwinkel 19 3.3 Zwei Ebenen 24 3.3.1 Identische Ebenen 24 3.3.2 Parallele Ebenen 24 3.3.3 Sich schneidende Ebenen mit Schnittwinkel 24 3.4 Drei Ebenen 27 4 Abstandsberechnungen 31 4.1 Abstand Punkt – Punkt 31 4.2 Abstand Punkt – Ebene 31 4.3 Abstand Punkt – Gerade 32 5 Besonderheiten 35 5.1 Die Projektionsgerade 35 5.2 Winkel halbieren, geometrischer Ort 36 5.2.1 Winkelhalbierende Vektoren 36 5.2.2 Winkelhalbierende Geraden 36 5.2.3 Winkelhalbierende Ebenen 38 5.3 Spiegelungen 40 5.3.1 Spiegelpunkt an einer Geraden im IR2 40 5.3.2 Spiegelpunkt an einer Geraden im IR3 41 5.3.2 Spiegelpunkt an einer Ebene im IR3 42
Graphiken erstellt mit Powerpoint
© April 2014
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Geraden im Raum
1
1 Geraden im Raum 1.1 Die vektorielle Parameterform Bestimmungsstücke: (1) Aufpunkt 1 2 3A(a / a / a ) und ein
Richtungsvektor 1
2
3
uu u
u
.
1 1
g 2 2
3 3
a ug: x OA u a u
a u
Beispiel
a) 2
A( 3 / 5) ; u ;1
g
3 2g: x
5 1
b) 1
A(5 /1/ 0) ; u 1 ;3
g
5 1g: x 1 1
0 3
Bemerkung
Die Parameterdarstellung von Geraden ist nicht eindeutig, da man als Aufpunkt jeden belie-
bigen Geradenpunkt und als Richtungsvektor auch jeden beliebigen zu u
parallelen Vektor verwenden kann. Bestimmungsstücke: (2) Zwei Punkte 1 2 3A(a / a / a ) und 1 2 3B(b / b / b )
1 1 1
g 2 2 2
3 3 3
a b ag: x OA AB a b a
a b a
u
A
A
AB
B
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Geraden im Raum
2
Beispiele
a) A(0,5 /1) ; B(4 / 2) ; g
3 2g: x
5 1
b) A( 2 /1/ 3) ; B(0 /1/ 5) ; g
2 0 ( 2) 2 2g: x 1 1 1 1 0
3 5 3 3 2
1.2 Punkt auf Gerade Beispiel
Liegen die Punkte P( 6 / 5 / 5) und Q(14 / 0 / 7) auf der Geraden g
2 4g : x 3 1
1 2
?
Lösung
6 2 4 6 2 4 25 3 1 5 3 2
5 1 2 5 1 2 2
also gilt: P g .
14 2 4 14 2 4 30 3 1 0 3 37 1 2 7 1 2 3
also gilt: Q g .
1.3 Der allgemeine Geradenpunkt
1 1 1 1
g 2 2 2 2
3 3 3 3
a u a ug : x a u a u
a u a u
g 1 1 2 2 3 3X a u / a u / a u
Beispiel
Gesucht ist ein Punkt P g mit 2 2
g : x 3 11 1
, welcher 5 LE über der x1x2-Ebene liegt.
3x 5 1 5 4 2 2 10
OP 3 4 1 1 P 10 /1/ 51 1 5
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Geraden im Raum
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1.4 Punkteschar Beispiel Liegen die Punkte aP (3 a / 2a / 3 a) auf einer Geraden? Lösung:
a
3 a 3 1OP 2a 0 a 2
3 a 3 1
; Das ist die Gleichung einer Geraden.
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Geraden im Raum
4
1.5 Lage im Koordinatensystem
Gegeben ist eine Gerade 1 1 1
2 2 2
3 3 3
x a ug: x OA u g: x a u
x a u
Für das Zeichnen von Geraden im Koordinatensystem ist es gut zu wissen, wo die Gerade die Koordinatenebenen schneidet: Spurpunkte Si
Gerade 2 3g x x Ebene : S1
Gerade 1 3g x x Ebene : S2
Gerade 1 2g x x Ebene : S3
Lösung Man setzt die i-te Koordinate im allgemeinen Geradenpunkt gleich Null und berechnet dar-aus den zugehörigen Parameterwert, der dann in den allgemeinen Geradenpunkt eingesetzt wird.
31 21 1 1 1 1 1 2 1 3 1
1 1 1
ua ux 0 a u 0 S 0 / a a / a au u u
32 12 2 2 2 2 2 1 2 3 2
2 2 2
ua ux 0 a u 0 S a a / 0 / a au u u
3 1 23 3 3 3 3 3 1 3 3 3
3 3 3
a u ux 0 a u 0 S a a / a a / 0u u u
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Geraden im Raum
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Beispiel
Bestimmung der Spurpunkte von
1 1g : x 4 2
4 1
.
1 1 1x 0 1 0 1
1 1
1 1 0OS 4 ( 1) 2 6 S 0 / 6 / 5
4 1 5
2 2 2x 0 4 2 0 2
2 2
1 1 3OS 4 2 2 0 S 3 / 0 / 2
4 1 2
3 3 3x 0 4 0 4
2 3
1 1 5OS 4 4 2 4 S 5 / 4 / 0
4 1 0
Spezialfälle
Kommt im Richtungsvektor u
eine Null vor, so ist die Gerade parallel zu einer Koordinaten-ebene. Nur 1u 0 : Gerade ist parallel zur x2x3-Ebene. Nur 2u 0 : Gerade ist parallel zur x1x3-Ebene. Nur 3u 0 : Gerade ist parallel zur x1x2-Ebene.
1 2u 0 u 0 : Gerade ist parallel zur x3-Achse, Gerade ist parallel zur x2x3-Ebene und zur x1x3-Ebene.
2 3u 0 u 0 : Gerade ist parallel zur x1-Achse, Gerade ist parallel zur x1x3-Ebene und zur x1x2-Ebene.
1 3u 0 u 0 : Gerade ist parallel zur x2-Achse, Gerade ist parallel zur x1x2-Ebene und zur x2x3-Ebene.
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Ebenen im Raum
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2 Ebenen im Raum
2.1 Aufstellen von Ebenengleichungen in Parameterform Beispiel 1
Geg.: Punkt 1 2 3A(a / a / a ) und zwei linear unab-
hängigen Richtungsvektoren u
und v
. Lösung: Wahl eines Punktes als Aufpunkt. Wahl zweier linear unabhängiger Verbindungsvek-toren als Richtungsvektoren.
E : x a u v
Beispiel 2
Geg.: Drei Punkte 1 2 3A(a / a / a ) , 1 2 3B(b / b / b ) und
1 2 3C(c / c / c ) , die nicht auf einer Geraden liegen. Lösung: Wahl eines Punktes als Aufpunkt. Wahl zweier linear unabhängiger Verbindungsvek-toren als Richtungsvektoren.
E : x a AB AC
Beispiel 3
Geg.: Gerade g : x OA u
und ein Punkt
1 2 3P(p / p / p ) mit P g . Lösung: Aufpunkt und Richtungsvektor der Geraden g, Verbindungsvektor AP
als zweiter Richtungsvek-
tor.
E : x OA u AP
Beispiel 4
Geg.: Zwei parallele Geraden g und h: g : x OA u
, h : x OB v
mit v u
. Lösung: Aufpunkt und Richtungsvektor der Geraden g, Verbindungsvektor AB
als zweiter Richtungsvek-
tor.
E : x OA u AB
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Ebenen im Raum
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Bemerkung
Die Parameterdarstellung einer Ebene ist nicht eindeutig, die Richtungsvektoren der ver-schiedenen Darstellungen müssen jedoch komplanar sein.
Das sieht man normalerweise nicht auf den ersten Blick wie bei den Geraden, sondern man muss nachrechnen: Beispiele
a) Gesucht: Gleichung der Ebene E1 durch die Punkte A(2 / 3 / 4) , B(7 / 5 / 2) , C( 2 / 0 /1) .
b) Gesucht: Gleichung der Ebene E2 durch den Punkt D(3 / 0 / 1) und die Richtungen
2
u 11
und
2v 3
2
.
c) Liegt der Punkt P(5 / 7 / 2) in der Ebene E1 bzw. E2?
d) Gegeben ist die Ebene
3 3
3
u v
5 4 0E : x 7 2 4
2 3 1
. Welche Lage hat E3 bzgl. E2?
Lösung von a)
1
2 5 4E : x 3 2 3
4 6 3
Lösung von b)
2 2
2
u v
3 2 2E : x 0 1 3
1 1 2
Lösung von c)
5 2 5 47 3 2 32 4 6 3
5 (II) 2 (I)5 (III) 6 (I) 7 (III) 39 (II)
5 4 3 5 4 3 5 4 32 3 4 0 7 14 0 7 146 3 2 0 39 8 0 0 492
also gilt: 1P E
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Ebenen im Raum
8
5 3 2 27 0 1 32 1 1 2
2 (II) (I)2 (III) (I) 4 (III) (II)
2 2 2 1 1 1 1 1 11 3 7 0 8 16 0 8 16
1 2 3 0 2 4 0 0 0
also gilt: 2P E
Lösung von d)
Es wird geprüft, ob die Richtungsvektoren der Ebene E3 linear abhängig sind von den Rich-tungsvektoren der Ebene E2.
1 2 2 2 3u v u ;
1 2 2 2 3u v v ;
2 (II) (I)2 (III) (I) 4 (III) (II)
2 2 4 0 2 2 4 0 1 1 2 01 3 2 4 0 8 8 8 0 1 1 1
1 2 3 1 0 2 2 2 0 0 0 0
2 1 2 11; 1; 1; 1; die Vektoren sind linear abhängig, also E2 parallel E3.
Da 2P E der Aufpunkt von E3 ist, sind E2 und E3 identisch.
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Ebenen im Raum
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2.2 Ebene in Normalenform und Koordinatenform
Gegeben ist die Parameterform der Ebene: E : x OA u v
Die Ebene soll in eine parameterfreie Form umgewandelt werden.
Skalar-Multiplikation mit dem Normalenvektor n u v
.
Er steht senkrecht auf der von u
und v
aufgespannten Ebene E.
n x n OA n u n x
Vereinfachung liefert die Normalenform E: n (x OA) 0
Mit der Normierung des Normalenvektors 0 nnn
folgt die
Hesse’sche Normalenform (HNF): 0n (x OA) 0
Aber nun zur Normalenform in Komponenten: 1 1 1
2 2 2
3 3 3
n x an x a 0n x a
.
Konkrete Berechnung des Skalarprodukts: 1 1 1 2 2 2 3 3 3n (x a ) n (x a ) n (x a ) 0
Umformung: 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3n x n x n x ( n a n a n a ) 0
Vereinfachung liefert die Koordinatenform 1 1 2 2 3 3 0E: n x n x n x n 0
Beispiel
Gegeben ist die Ebene E: 1 5 7
x 2 4 23 0 1
Bestimmen Sie die Normalenform und die Koordinatenform.
Lösung:
E
5 7 4n 4 2 5
0 1 38
; Normalenform:
1
2
3
4 x 1E: 5 x 2 0
38 x 3
Koordinatenform: 1 2 3E: 4 x 1 5 x 2 38 x 3 0
Vereinfachen: 1 2 3E: 4 x 5 x 38 x 100 0
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Ebenen im Raum
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2.3 Überführung der verschiedenen Darstellungsformen ineinander 2.3.1 Koordinatenform in Normalenform
Gegeben Koordinatenform: 1 1 2 2 3 3 0E: n x n x n x n 0
Ablesen des Normalenvektors: 1
2
3
nn n
n
. Der Ortsvektor
1
2
3
aOA a
a
zum Punkt A wird be-
rechnet, indem man zwei Werte für die Unbekannten xi und xj vorgibt und dann die 3. be-rechnet:
Z. B.: 1 1a x 0 ; 2 2a x 0 03 3
3
na xn
0
3
0OA 0
nn
Beispiel
Gegeben ist die Ebene in Koordinatenform: 1 2 3E : 4 x 5 x 38 x 100 0 Bestimmen Sie die Normalenform. Lösung:
Aufpunkt: A 0 / 20 / 0 ; Normalenvektor: 4
n 538
Normalenform: E : n x OA 0 ; Konkret:
1
2
3
4 x 0E: 5 x 20 0
38 x 0
2.3.2 Normalenform in Parameterform Gegeben Normalenform: E: n (x a) 0
Gesucht ist die Parameterform, das heißt, gesucht sind zwei Richtungsvektoren u
und v
von E. Man weiß jedoch, dass u n
und v n
.
Bestimmung zweier Vektoren, die zum Normalenvektor senkrecht sind: (1) Tauschen zweier Zeilenwerte von n
.
(2) Wechseln eines der Vorzeichen
(3) Die 3. Koordinate gleich Null setzen.
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Beispiel
Gegeben ist die Ebene in Normalenform: 4 1
E : 5 x 2 038 3
Bestimmen Sie die Parameterform von E. Lösung:
Richtungsvektoren: 5 38
u 4 ; v 00 4
; Konkrete Ebene:
1 5 38E: x 2 4 0
3 0 4
;
2.3.3 Koordinatenform in Parameterform
Gegeben Koordinatenform: 1 1 2 2 3 3 0E: n x n x n x n 0
Gesucht ist die Parameterform.
Wahl dreier Punkte, z. B. 0
3
nA 0 / 0 /
n
, 0
2
nB 0 / / 0
n
und 0
1
nB / 0 / 0
n
Bestimmung der Richtungsvektoren jeweils als Verbindungsvektor zweier Punkte.
E : x OB AB AC
Beispiel
Gegeben ist die Ebene in Koordinatenform: 1 2 3E : 4 x 5 x 38 x 100 0 Bestimmen Sie die Parameterform. Lösung:
1. Punkt: 100A 0 / 0 /38
; 2. Punkt: B 0 / 20 / 0 ; 3. Punkt: C 25 / 0 / 0 ;
0 0 25E : x 20 20 0
0 100 10038 38
0 0 19E : x 20 38 0
0 5 2
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2.4 Die Koordinatenebenen 2.4.1 Parameterform
x1x2-Ebene: 12
0 1 0E : x 0 0 1
0 0 0
x1x3-Ebene: 13
0 1 0E : x 0 0 0
0 0 1
x2x3-Ebene: 23
0 0 0E : x 0 1 0
0 0 1
2.4.2 Koordinatenform x1x2-Ebene: 12 3E : x 0
x1x3-Ebene: 13 2E : x 0
x2x3-Ebene: 23 1E : x 0
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13
2.5 Die Achsenabschnittsform mit Spurgeraden und Spurdreieck Bezeichnung
Die Schnittpunkte der Ebene mit einer der Koordinatenachsen heißen Achsenpunkte (Ach-senabschnitte) einer Ebene.
1 2 3E: a x b x c x d 0
Schnitt mit der x1-Achse: 2 3x 0 x 0
1 1da x d 0 x sa
Schnitt mit der x2-Achse:
1 3x 0 x 0
2 2db x d 0 x tb
Schnitt mit der x3-Achse:
1 2x 0 x 0
3 3dc x d 0 x uc
Spurpunkte auf den Achsen:
S(s / 0 / 0)
T(0 / t / 0)
U(0 / 0 / u)
Achsenabschnittsform: 31 2 xx xE: 1
s t u vgl. Merkhilfe
Bezeichnung
Die Schnittgeraden der Ebene und der Koordinatenachsen heißen Spurgeraden der Ebene. Spurgerade von E in der x2x3-Ebene: Gerade g1 durch die Punkte T und U. Spurgerade von E in der x1x3-Ebene : Gerade g2 durch die Punkte S und U. Spurgerade von E in der x1x2-Ebene: Gerade g3 durch die Punkte S und T. Die Spurgeraden bilden das Spurdreieck STU.
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Beispiel
Gegeben ist die Ebene 1 2 3E: 10 x 5 x 4 x 20 0 .
a) Bestimmen Sie die Achsenabschnittsform.
b) Bestimmen Sie die Spurpunkte und die Spurgeraden. Lösung von a) Koordinatengleichung: 1 2 3E: 10 x 5 x 4 x 20 : 20
Umformung: 31 2 4 x10 x 5 xE: 120 20 20
Achsenabschnittsform: 31 2 xx xE: 12 4 5
Lösung von b) Schnitt mit der x1-Achse: 2 3x 0 x 0 1 110 x 20 x 2 s Schnitt mit der x2-Achse: 1 3x 0 x 0 2 25 x 20 x 4 t Schnitt mit der x3-Achse: 1 2x 0 x 0 3 34 x 20 x 5 u Spurpunkte: S(2 / 0 / 0) ; T(0 / 4 / 0) ; U(0 / 0 / 5)
Spurgerade in der x2x3-Ebene: 1
0 0g : x 4 4
0 5
Spurgerade in der x1x3-Ebene: 2
2 2g : x 0 0
0 5
Spurgerade in der x1x2-Ebene: 3
2 2g : x 0 4
0 0
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3 Inzidenzen: Lage von Geraden und Ebenen zueinander 3.1 Zwei Geraden
Gegeben sind die Geraden 1g : x OA u
und 2g : x OB v
. 3.1.1 Identische Geraden
Kennzeichen:
1 2g g u v AB
kein Schnittwinkel kein Abstand unendlich viele Schnittpunkte
Beispiel 1
1
3 2g : x 8 2
7 3
und 2
5 4g : x 6 4
4 6
Richtungsvektoren sind parallel: 4 2
4 2 26 3
Verbindungsvektor: !
5 3 2AB 6 8 2 u
4 7 3
1 2AB u g g
3.1.2 Parallele Geraden
Kennzeichen:
1 2g g u v AB
kein Schnittwinkel Abstand d keine Schnittpunkte
d
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16
Beispiel 2
1
5 10g : x 7 4
2 0
und 2
0 5g : x 5 2
3 0
Richtungsvektoren sind parallel: 10 5
4 2 20 0
Verbindungsvektor: 0 5 5
AB 5 7 23 2 1
1 2AB u g g
3.1.3 Sich schneidende Geraden
Kennzeichen:
1 2 1 2 3g g S(s / s / s )
u v u v AB 0
Schnittwinkel kein Abstand ein Schnittpunkt S
Schnittwinkel (spitzer Winkel): u v
arccosu v
Beispiel 3
1
9 7g : x 1 5
1 4
und 2
2 3g : x 4 4
3 5
Richtungsvektoren sind nicht parallel, d. h. die Geraden schneiden sich oder sind windschief.
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17
1 2g g 9 7 2 31 5 4 41 4 3 5
Gaußmatrix für die Komponentengleichungen:
7 II 5 I7 III 4 I 43 III 23 II
7 3 7 7 3 7 7 3 75 4 5 0 43 0 0 1 04 5 4 0 23 0 0 0 0
Lösung: 1; 0;
Schnittpunkt: in g2 einsetzen: 2 3 2
OS 4 0 4 43 5 3
S 2 / 4 / 3
Schnittwinkel:
7 35 44 5 21 20 20 7 5arccos arccos arccos 71,8
5049 25 16 9 16 25 90 50
3.1.4 Windschiefe Geraden
Kennzeichen:
u v u v AB 0
kein Schnittwinkel kein Schnittpunkt
Beispiel 4
1
4 3g : x 1 1
7 4
und 2
4 8g : x 1 6
0 4
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18
3 8u 1 ; v 6 ; u v
4 4
, d. h. die Richtungsvektoren sind nicht parallel,
Verbindungsvektor: 4 4 8
AB 1 1 00 7 7
3 8 8 28 81 6 0 44 0 224 70 154
4 4 7 10 7
,
ungleich Null g1 und g2 sind windschief
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3.2 Gerade und Ebene Es gibt 3 Möglichkeiten der gegenseitigen Lage einer Geraden und einer Ebene. Die Gerade ist in der Ebene enthalten, parallel zur Ebene oder schneidet die Ebene. g E , g E , 1 2 3g E S(s / s / s ) Die Gerade muss in Parameterform angegeben werden, für die Ebene gibt es die Parame-terform, die Normalenform und die Koordinatenform.
Gerade: g : x OA u
und Ebene E : x OB v w
bzw. EE : n x OB 0
bzw. 1 2 3E : a x b x c x d 0 3.2.1 Die Gerade liegt in der Ebene
E in der Parameterform:
g E v w u 0 A E
E in Normalenform oder Koordinatenform:
Eg E n u A E
unendlich viele Schnittpunkte keinen Schnittwinkel kein Abstand
3.2.1 Die Gerade liegt parallel zur Ebene
Ebene E in Koordinatenform
Eg E u n A E
kein Schnittpunkt kein Schnittwinkel konstanter Abstand d
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20
3.2.3 Die Gerade schneidet die Ebene
E in Parameterform:
1 2 3
g E E
g E S(s / s / s )
det u ; v ; w 0
E in Koordinatenform:
1 2 3
g E
g E S(s / s / s )
u n 0
kein Abstand Schnittpunkt S Schnittwinkel
Schnittwinkel: g E
g E
u narcsin
u n
Beispiel 1
Zeigen Sie, dass die Gerade g in Ebene E bzw. Ebene F liegt.
a) Gerade 3 1
g : x 2 13 2
; Ebene 1 0 2
E : x 0 2 02 1 3
.
b) Gerade 3 1
g : x 2 13 2
; Ebene 3 2
F : 1 x 1 02 3
?
Lösung von a)
1u 1
2
; 0 2
v 2 ; w 0 ;1 3
0 2 1 6 12 0 1 2 1 6 2 8 01 3 2 4 2
u, v , w
sind linear abhängig.
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A in Ebenengleichung E einsetzen: 3 1 0 22 0 2 0
3 2 1 3
Gleichungssystem der Koordinatengleichungen lösen:
(1) 3 1 2 2(2) 2 2 1(3) 3 2 1 6 (Pr obe)
A E Lösung von b)
1 31 1 3 1 4 02 2
Eu n
A in Ebenengleichung F einsetzen:
3 3 21 2 1 3 ( 3 2) 1 ( 2 1) 2 (3 3) 3 3 0 0
2 3 3
A F Beispiel 2
Zeigen Sie, dass die Gerade g parallel zur Ebene E bzw. F liegt.
a) Gerade 3 6
g : x 1 75 2
; Ebene 1 1 0
E : x 2 1 13 0 2
.
b) Gerade 3 6
g : x 1 75 2
; Ebene 1 2 3F : 2 x 2 x x 5 0 .
Lösung von a)
E
1 0 2n 1 1 2
0 2 1
; 6
u 72
; E
2 6n u 2 7 12 14 2 0
1 2
Aufpunkt von g in E einsetzen: 3 1 1 01 2 1 1
5 3 0 2
Gleichungssystem der Koordinatengleichungen lösen:
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Analytische Geometrie
Lage von Geraden und Ebenen zueinander
22
(1) 3 1 2(2) 1 2 5(3) 5 3 2 1 (Widerspruch)
A E g E
Lösung von b)
Richtungsvektor Gerade: 6
u 72
; Normalenvektor Ebene F: F
2n 2
1
F
6 2u n 7 2 12 14 2 0
2 1
g F
Aufpunkt von g in F einsetzen: 2 3 2 1 5 5 8 0 A E g F
Beispiel 3
Zeigen Sie, dass die Gerade g die Ebene E bzw. F schneidet und bestimmen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel.
a) Gerade 5 1
g : x 7 33 0
; Ebene 2 0 3
E : x 0 0 10 1 0
.
b) Gerade 5 1
g : x 7 33 0
; Ebene F: 1 2 32 x x 3 x 5 0
Lösung zu a)
5 1 2 0 3g E: 7 3 0 0 1
3 0 0 1 0
Gaußmatrix für die Komponentengleichungen:
II 3 I
1 0 3 7 1 0 3 73 0 1 7 0 0 10 28
0 1 0 3 0 1 0 3
3.Zeile: 3 ; 2.Zeile: 145
; 1. Zeile: 14 77 3 7 35 5
in Geradengleichung einsetzen:
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Analytische Geometrie
Lage von Geraden und Ebenen zueinander
23
3255 1
7 14OS 7 35 5
3 0 3
Schnittpunkt 32 14S / / 3
5 5
Normalenvektor von E: E
0 3 1n 0 1 3
1 0 0
Schnittwinkel:
2 2
1 13 3
0 0 1 9 10arc sin arcsin arcsin arcsin(1) 901010 101 ( 3) ( 1) 9
Lösung von b)
Allgemeinen Geradenpunkt in F einsetzen und nach auflösen:
12 5 7 3 3 3 5 0 5 1 05
Einsetzen in Geradengleichung:
655 1
1 32OS 7 35 5
3 0 3
Schnittpunkt 26 32S / / 3
5 5
Schnittwinkel:
2 2 2 2
1 23 1
0 3 2 3 5arc sin arcsin arcsin 2510 14 1401 ( 3) 2 ( 1) ( 3)
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Analytische Geometrie
Lage von Geraden und Ebenen zueinander
24
3.3 Zwei Ebenen Die Lage von zwei Ebenen zueinander wird wegen der Eindeutigkeit der Darstellung meis-tens über die Koordinatenform untersucht. Gegeben sind zwei Ebenen E und F in Koordinatenform und jeweils ein Punkt der Ebene:
E 1 E 2 E 3 EE : a x b x c x d 0 und Punkt A E bzw.
F 1 F 2 F 3 FF : a x b x c x d 0 und Punkt B F .
Normalenvektor von E: E
E E
E
an b
c
; Normalenvektor von F: F
F F
F
an b
c
3.3.1 Identische Ebenen
E FE F n n A F
oder
E FE F n n B E
kein Schnittwinkel, kein Abstand, unendlich viele Schnittpunkte
3.3.2 Parallele Ebenen
E FE F n n A F
oder
E FE F n n B E
kein Schnittwinkel, keine Schnittpunkte, konstanter Abstand d
3.3.3 Sich schneidende Ebenen
EE F n
Fn
keinen Abstand, Schnittgerade gs
Schnittwinkel E F
E F
n narccos
n n
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Analytische Geometrie
Lage von Geraden und Ebenen zueinander
25
Beispiel 1
4 4 0E : x 5 2 2
3 1 4
und 8 4 0
F: x 4 1,5 24 0 4
Lösung
E
4 0 6n 2 2 16
1 4 8
; F
4 0 6n 1,5 2 16
0 4 8
; E Fn n
Aufpunkt von E in F einsetzen: 4 8 4 05 4 1,5 23 4 0 4
Koordinatengleichungen:
(1) 4 8 4 1(2) 5 4 1,5 2
1(3) 3 4 44
Probe: 1(2) 5 4 1,5 1 2 4 1,5 0,5 54
E F
Beispiel 2
1 2 3E: x x 2 x 3 0 und 1 2 3F: x x 2 x 1 0 Lösung
E
1n 1
2
; F
1n 1
2
; E Fn n
Wahl von 1 1 1A(x / 0 / 0) E: x 3 0 x 3
A in F einsetzen: F: 3 1 2 0 A F E F Oder:
(II) (I)
1 1 2 3 1 1 2 31 1 2 1 0 0 0 2
Rangbetrachtung: erwRg(A) 2; Rg(A ) 3
keine Lösung
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Analytische Geometrie
Lage von Geraden und Ebenen zueinander
26
Beispiel 3
1 2 3E: 4 x 5 x 7 x 112 0 und 1 2 3F: x 2 x x 21 0
E
4n 5
7
; F
1n 2
1
; E Fn n
Ebenen E und F eintragen in eine Gauß-Matrix und diagonalisieren:
4 (II) (I)
4 5 7 112 4 5 7 1121 2 1 21 0 3 3 24
Rangbetrachtung: erwRg(A) Rg(A ) 2
unendlich viele Lösungen mit einem freien Parameter
Wähle: 3x ;
2. Zeile: 21x 24 3 83
;
1. Zeile: 11 1x 112 5 8 7 152 12 38 34 4
Lösung ist eine Schnittgerade: s
38 3 38 3g : x 8 8 1
0 1
Schnittwinkel:
E
1n 1
2
; F
1n 1
2
; E Fn n
E
4n 5
7
; F
1n 2
1
;
4 15 27 1 4 10 7arccos arccos arccos 0,904 25,35
16 25 49 1 4 1 90 6
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Lage von Geraden und Ebenen zueinander
27
3.4 Drei Ebenen
Gegeben sind drei Ebenen in Koordinatenform:
E 1 E 2 E 3 EE: a x b x c x d 0 ;
F 1 F 2 F 3 FF: a x b x c x d 0
H 1 H 2 H 3 HH: a x b x c x d 0
Gleichungssystem als Systemmatrix schreiben: E E E E
F F F F
H H H H
a b c dM a b c d
a b c d
Mittels Gauß-Algorithmus in Diagonalform bringen liefert:
Systemmatrix 11 12 13 1
erw 22 23 2
33 3
a a a bA 0 a a b
0 0 a b
und Koeffizientenmatrix11 12 13
22 23
33
a a aA 0 a a
0 0 a
.
- Rangbetrachtung über die Lösbarkeit des Gleichungssystems - Auflösen aus der Dreiecksform
Beispiele
a) 1 2 3E: 3 x 8 x 4 x 40 0 ; 1 2 3F: x 6 x 3 x 20 0 ; 1 2 3H: x 2 x x 4 0 ; b) 1 2 3E: 3 x x x 13 0 ; 1 2 3F: 9 x 10 x 3 x 26 0 ; 1 2 3H: 6 x 5 x 2 x 19 0 ; c) 1 2 3E: 2 x 3 x x 2 0 ; 1 2 3F: 4 x 6 x 2 x 4 0 ; 1 2 3H: 8 x 12 x 4 x 8 0 ; d) 1 2 3E: 3 x 22 x 2 x 65 0 ; 1 2 3F: 3 x 11x x 10 0 1 2 3H: 3 x 22 x 2 x 13 0 ; ; e) 1 2 3E: x x x 4 0 ; 1 2 3F: x x x 3 0 ; 1 2 3H: x 5 x 5 x 0 ;
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Lage von Geraden und Ebenen zueinander
28
Lösung zu Beispiel a)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(I) 3 x 8 x 4 x 40(II) x 6 x 3 x 20(III) x 2 x x 4
3 (II) (I) 10 (III) 14 (II)3 (III) (I)
3 8 4 40 3 8 4 40 3 8 4 401 6 3 20 0 10 13 20 0 10 13 201 2 1 4 0 14 1 28 0 0 192 0
erwRg(A) 3; Rg(A ) 3; genau eine Lösung
3. Zeile: 3 3192 x 0 x 0 ; 2. Zeile: 2 210 x 13 0 20 x 2 ; 1. Zeile: 1 13 x 8 2 4 0 40 x 8 ;
Lösung: 8
x 20
Punkt: P 8 / 2 / 0
Lösung zu Beispiel b)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(I) 3 x x x 13(II) 9 x 10 x 3 x 26(III) 6 x 5 x 2 x 19
(II) 3 (I) 13 (III) 7 (II)(III) 2 (I)
3 1 1 13 3 1 1 13 3 1 1 139 10 3 26 0 13 0 13 0 13 0 13
6 5 2 19 0 7 0 7 0 0 0 0
erwRg(A) 2; Rg(A ) 2; unendlich viele Lösungen mit einem freien Parameter
2. Zeile: 2 213 x 13 x 1 ; 1. Zeile: Wähle 3x λ
1. Zeile: 1 113 x 1 λ 13 x 4 λ3
;
Lösung:
14 λ3
x 1λ
Schnittgerade: g
4 1x 1 λ 0
0 3
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Lage von Geraden und Ebenen zueinander
29
Lösung zu Beispiel c)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(I) 2 x 3 x x 2(II) 4 x 6 x 2 x 4(III) 8 x 12 x 4 x 8
(II) 2 (I)(III) 4 (I)
2 3 1 2 2 3 1 24 6 2 4 0 0 0 0
8 12 4 8 0 0 0 0
erwRg(A) 1; Rg(A ) 1; unendlich viele Lösungen mit zwei freien Parametern 1. Zeile: Wähle 3 2x λ ; x μ;
1. Zeile: 1 11 32 x 3μ λ 2 x 1 λ μ2 2
;
Lösung:
1 31 λ μ2 2
x μλ
Schnittebene: E
1 1 3x 0 λ 0 μ 2
0 2 0
Lösung zu Beispiel d)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(I) 3 x 22 x 2 x 65(II) 3 x 11x x 10(III) 3 x 22 x 2 x 13
(II) (I)(III) (I)
3 22 2 65 3 22 2 653 11 1 10 0 33 1 553 22 2 13 0 0 0 78
erwRg(A) 2; Rg(A ) 3; keine Lösung Lösung zu Beispiel e)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(I) x x x 4(II) x x x 3(III) x 5 x 5 x 0
(II) (I)(III) (I) (III) 3 (II)
1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 41 1 1 3 0 2 2 7 0 2 2 71 5 5 0 0 6 6 4 0 0 0 18
erwRg(A) 2; Rg(A ) 3; keine Lösung
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Analytische Geometrie
Lage von Geraden und Ebenen zueinander
30
Zusammenfassung
Systemmatrix Rg(A) Rg(B) Lösung geometrische Interpretation
11 12 13 1
22 23 2
33 3
a a a b0 a a b0 0 a b
33a 0
3 3 Genau eine
Punkt
11 12 13 1
22 23 2
3
a a a b0 a a b0 0 0 b
3b 0
2 3 Keine
Zwei parallele Schnittgeraden
11 12 13 1
22 23 2
3
a a a b0 a a b0 0 0 b
3b 0
2 3 keine
Drei parallele Schnittgeraden
11 12 13 1
22 23 2
a a a b0 a a b0 0 0 0
nicht alle 2ka 0
2 2 Einfach unendli-che Men-ge von Lösungen
Genau eine Schnittgerade
11 12 13 1
22 23 2
a a a b0 a a b0 0 0 0
nicht alle 2ka 0
2 2 Einfach unendli-che Men-ge von Lösungen
Genau eine Schnittgerade
11 12 13 1
2
a a a b0 0 0 b0 0 0 0
2b 0
1 2 keine Drei parallele Ebenen
11 12 13 1
2
a a a b0 0 0 b0 0 0 0
2b 0
1 2 keine Zwei identische Ebenen und eine parallele Ebene
11 12 13 1a a a b0 0 0 00 0 0 0
nicht alle ika 0
1 1 Zweifach unendli-che Men-ge von Lösungen
Eine ganze Ebene
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Analytische Geometrie
Abstandsberechnungen
31
4 Abstandsberechnungen 4.1 Abstand Punkt – Punkt
Gegeben: 1 2 3A a / a / a ; 1 2 3B b / b / b Gesucht: Abstand der Punkte A und B. Lösung: Betrag des Verbindungsvektors AB
:
2 2 21 1 2 2 3 3
d AB OB OA
(b a ) (b a ) (b a )
4.2 Abstand Punkt – Ebene
Gegeben: Punkt 1 2 3P p / p / p und Ebene 1 2 3E : a x b x c x d 0 . Gesucht: Abstand Punkt P zur Ebene E. Lösung: Aufstellen der Lotgeraden h senkrecht zu E.
durch P: Eh : x OP n
Bestimmung des Lotfußpunktes F als Schnitt-punkt: 1 2 2h E F f / f / f
Betrag des Verbindungsvektors PF
: d PF
Beispiel Berechnen Sie den Abstand von P(0 / 7 / 3) zur Ebene 1 2 3E : 6 x 2 x 3 x 2 0 . Lösung:
Normalenvektor von E: E
6n 2
3
; Lotgerade h durch P: 0 6
x 7 23 3
;
1 13E h : 6 6 2 7 2 3 3 3 2 0 49 21 07
Lotfußpunkt: 1 1
0 6 183 1 18 43 15OF 7 2 43 F / /7 7 7 7 7
3 3 15
Verbindungsvektor: 2 2 21 1
18 0 181 1 1PF 43 7 6 PF 18 6 7 2,897 7 7
15 3 7
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Analytische Geometrie
Abstandsberechnungen
32
4.3 Abstand Punkt – Gerade
4.3.1 Methode Dreiecksfläche
Gegeben:
Punkt 1 2 3P p / p / p , Gerade gg: x OA u
. Gesucht: Abstand Punkt P zur Geraden g Lösung: (1) Wähle zwei beliebige Punkte A, B g . (2) Berechne die Fläche ABP auf zwei verschiedene Arten:
1A AB d2 1 1AB d PA PB
2 21A PA PB2
PA PB
dAB
Beispiel
Abstand des Punktes P(1/ 4 / 5) von der Geraden 3 1
g : x 1 12 0
.
Wahl der Punkte auf der Geraden: 3
OA 12
;
3 1 4OB 1 1 2
2 0 2
Verbindungsvektoren: 3 1 2
PA 1 4 32 5 3
;
4 1 3PB 2 4 2
2 5 3
;
4 3 1AB 2 1 1
2 2 0
;
2 3 33 2 33 3 5 9 9 25 43d 4,6421 1 2 2
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Abstandsberechnungen
33
4.3.2 Methode Lotgerade
Gegeben:
Punkt 1 2 3P p / p / p , Gerade gg: x OA u
. Gesucht: Abstand Punkt P zur Geraden g Lösung: (1) Fußpunkt F liegt auf der Geraden g:
1 2 3F f / f / f g : f gOF OA u
(2) Verbindungsvektor PF
Richtungsvektor gu
g gPF u OF OP u 0
(1) in (2): f g gOA u OP u 0
f berechnen und einsetzen in (1)
OF
berechnen 1 2 3F f / f / f
Abstand d PF
Beispiel
Abstand des Punktes P(1/ 4 / 5) von der Geraden 3 1
g : x 1 12 0
.
(1) F g : 3
OF 12
; Verbindungsvektor:
3 1 2PF 1 4 3
2 5 3
(2) Skalarprodukt: 2 1
13 1 0 2 3 0 2 12
3 0
(2) in (1): 3 0,5 1 2,5
PF 1 0,5 4 2,52 5 3
; 2 2 43d PF 2,5 2,5 9 4,64
2
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Abstandsberechnungen
34
4.3.3 Methode zweifaches Vektorprodukt
Gegeben: Punkt 1 2 3P p / p / p , Gerade
gg: x OA u
. Gesucht: Abstand Punkt P zur Geraden g Lösung: (1) Erstellen einer Hilfsgeraden h durch P, wobei Gerade h senkrecht Gerade g:
hh : x OP v
mit
h g gv AP u u
(2) Berechnung des Fußpunktes F als Schnittpunkt von g und h und Länge des Verbindungsvektors d PF
Beispiel
Abstand des Punktes P(1/ 4 / 5) von der Geraden 3 1
g : x 1 12 0
.
(1) Verbindungsvektor:
1 3 2
AP 4 1 35 2 3
Richtungsvektor:
h
1 1 3 1 5v 1 1 3 1 5
0 0 5 0 6
233
Hilfsgerade: 1 5
h : x 4 55 6
(2) Berechnung des Schnittpunktes g h : 1 54 55
1
6
31 12 0
Gaußmatrix: (II) (I)10 (III) 6 (II)
1 5 2 1 5 2 1 5 211 5 3 0 10 5 0 2 12
0 6 3 0 6 3 0 0 0
1 5 7
1 1OF 4 5 32 2
5 6 4
;
3,5 1 2,5PF 1,5 4 2,5
2 5 3
;
2 2 43d PF 2,5 2,5 9 4,642
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Besonderheiten
35
5 Besonderheiten 5.1 Die Projektionsgerade Gegeben sind die Ebene E und die Gerade g.
1 2 3E : x x x 2 0
4 1g : x 5 5 IR
1 2
Bestimmen Sie die Gleichung der Projektionsgeraden gp (d. h. die senkrechte Projektion der Geraden g in die Ebene E).
Lösung Bestimmung des Schnittpunktes der Geraden g und Ebene E: g E S
g in E : 4 5 1 2 2 0 2 0 0 S 4 / 5 /1
Wahl eines beliebigen Punktes P auf g und Bestimmung des zugehörigen Lotfußpunktes: Sei k=1: P 5 / 10 / 1
Lotgerade h durch P senkrecht zu E:
E
5 1h : x OP n h : x 10 1
1 1
Bestimmung des Schnittpunktes der Geraden h und mit der Ebene E: 1 2 3h E F f / f / f
2h in E : 5 10 1 2 0 2 3 03
5 12 17 28 5OF 10 1 F / /3 3 3 3
1 1
17328353
Gerade durch die Punkte S und F:
pg : x OS ' SF
5313
p 383
4 4 51g : x 5 ' 5 ' 133
1 1 8
p
4 5g : x 5 13
1 8
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Besonderheiten
36
5.2 Winkel halbieren, geometrischer Ort 5.2.1 Winkelhalbierende Vektoren
Methode Raute
(Die Raute ist ein Viereck, dessen gegenü-berliegende Seiten parallel und gleich lang sind. Die Diagonale ist Symmetrieachse, d. h. sie halbiert den Winkel.)
Über die geschlossene Vektorkette:
1w b a
und 2w b a
Wenn die beiden Vektoren nicht gleich lang sind, wird über die Einheitsvektoren (Vek-tor, dessen Länge 1 beträgt) gearbeitet:
1
2
w b a
w b a
Bemerkung: Winkelhalbierende Vektoren stehen senk-recht aufeinander.
5.2.2 Winkelhalbierende Geraden
Gegeben sind die Geraden g: x OA u
und h: x OB v
.
Gesucht sind die Winkelhalbierenden Geraden. Lösung:
a) Bestimmen der Winkelhalbierenden Vektoren der beiden Richtungsvektoren nach der Methode Raute:
1/ 2u uw u vu u
b) Bestimmen des Schnittpunkts S der Geraden g und h. c) Die Winkelhalbierenden Geraden haben die Gleichungen
W1 1g : x OS w
und.
W 2 2g : x OS w
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Analytische Geometrie
Besonderheiten
37
Beispiel
Gegeben sind die Geraden g und h mit 1 1
g : x 9 116 1
und 1 1
h : x 7 12 5
, , IR .
Bestimmen Sie die Menge aller Punkte, die von beiden Geraden denselben Abstand haben. Lösung:
Die Menge aller Punkte mit gleichem Ab-stand von g und h sind die Winkelhalbieren-den Geraden.
Bestimmung des Schnittpunktes:
1 1 1 1g h: 9 1 7 1
16 1 2 5
Lösung über den Gauß-Algorithmus:
(II) (I)(III) (I)
1 1 2 1 1 2 11 1 2 0 0 01 5 14 0 4 12 3
Schnittpunkt:
1 1 2OS 7 3 1 10
2 5 17
10OS 1 S 10 /1/1
1
Winkelhalbierende Vektoren:
1
1 1 2 11 1 1 2w 1 1 2 13 27 27 271 5 2 1
;
2
1 1 4 11 1 1 4w 1 1 4 13 27 27 271 5 8 2
Winkelhalbierende Geraden:
W1
10 1g : x 1 1
1 1
und W2
10 1g : x 1 1
1 2
.
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Besonderheiten
38
5.2.2 Winkelhalbierende Ebenen
Gegeben sind die Ebenen E und H mit E 1 E 2 E 3 EE : a x b x c x d 0 und H 1 H 2 H 3 HH : a x b x c x d 0 .
Gesucht sind die Winkelhalbierenden Ebenen. Lösung:
Bestimmen der Normalenvektoren 1n
und 2n
der Winkelhalbierenden Ebenen, das sind die
Winkelhalbierenden Vektoren der Normalenvektoren En
und Hn
(Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen, sind gleich groß). Bestimmen der Schnittgeraden gs der Ebenen E und H.
Wahl eines Punktes 1 2 3 sP p / p / p g als Aufpunkt der Winkelhalbierenden Ebenen. Winkelhalbierende Ebenen in Normalenform angeben:
1 1
w1 1 2 2
3 3
x pE : n x p 0
x p
und 1 1
w2 2 2 2
3 3
x pE : n x p 0
x p
Beispiel Bestimmen Sie die Winkelhalbierenden Ebenen zu:
1 2 3E : 2 x x 2 x 3 0 und 1 2 3H : 2 x 2 x x 8 0 Lösung
Normalenvektoren:
E
2n 1
2
; H
2n 2
1
;
Winkelhalbierende Vektoren:
1
2 2 41 1 1w 1 2 13 3 3
2 1 3
; 2
2 2 01 1 1w 1 2 33 3 3
2 1 1
;
Ebenenschnitt E H :
(II) (I)
2 1 2 3 2 1 2 32 2 1 8 0 3 1 5
Wähle: 3x ;
21 5 1x 53 3 3
;
11 5 1 7 5x 3 22 3 3 3 6
;
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39
Schnittgerade:
7 5 73 6 3 55 1 5g: x g: x 23 3 3
60
;
Wahl eines Aufpunkts P g :
735OP3
0
1
w1 2
3
734 x5E : 1 x 03
3 x 0
w1 1 2 3E : 4 x x 3 x 11 0
1
w2 2
3
730 x5E : 3 x 03
1 x 0
w2 2 3E : 3 x x 5 0
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40
5.3 Spiegelungen 5.3.1 Spiegelpunkt an einer Geraden im IR2
Gegeben sind die Gerade g in Koordinatenform:
1 1 2 2 0g : n x n x n 0 und der Punkt 1 2P(p / p ) g . Gesucht: Spiegelpunkt P Lösung: a) Senkrechte Gerade h zu g durch P. b) Bestimmung des Lotfußpunktes F durch Geradenschnitt g mit h c) Geschlossene Vektorkette:
OP 2 PF OP' 0 OP' OP 2 PF
Beispiel
a) Bestimmen Sie den Spiegelpunkt von P( 2 / 4) bzgl. der Geraden 1 2g : x x 2 0 durch Konstruktion. b) Bestimmen Sie den Spiegelpunkt durch Rechnung.
Lösung
Normalenvektor der Geraden g: g
1n
1
Hilfsgerade h senkrecht zu g durch P: g
2 1 2h : x OP n
4 1 4
Bestimmung des Lotfußpunktes F: 1 2g h F(f / f )
Allgemeinen Geradenpunkt X(x1 / x2 / x3) von h in Koordinatenform von g (gibt es nur im IR2) einsetzen und nach auflösen: F( 2 ) (4 ) 2 0 2 8 4
F 4 in h einsetzen: 2 1 2
OF 44 1 0
Berechnung des Spiegelpunktes P ' über die geschlossene Vektorkette:
2 2 ( 2) 6OP' OP 2 PF OP 2 OF OP 2 OF OP P (6 / 4)
0 4 4
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41
5.3.2 Spiegelpunkt an einer Geraden im IR3
Gegeben sind die Gerade g in Parameterform: 1 1
2 2
3 3
a ug : x a u
a u
und der Punkt 1 2 3P(p / p / p ) g .
Gesucht: Spiegelpunkt P ' Lösung: a) Senkrechte Gerade h zu g durch P. b) Bestimmung des Lotfußpunktes F durch Geradenschnitt g mit h c) Geschlossene Vektorkette:
OP 2 PF OP' 0 OP' OP 2 PF
Beispiel
Bestimmen Sie den Spiegelpunkt von P(2 / 4 / 6) bezüglich der Geraden 1 1
g : x 1 22 1
.
Lösung:
a) Bestimmung der Hilfsgeraden:
g
1 2 1OX OP u 0 1 2 4 2 0 ( 1 ) ( 3 2 ) 2 ( 4 ) 0
2 6 1
116 11 06
Bestimmung des Lotfußpunktes F:
1 1 17
2311 1 17 14OF 1 2 28 F / /6 6 6 3 62 1 23
Verbindungsvektor: 17 2 5
1 1PF 28 4 46 623 6 13
Berechnung des Spiegelpunktes OP' OP 2 PF
über die geschlossene Vektorkette:
2 21 8 5OP' OP 2 PF 4 4 P' / /3
5 5 12 1 14 4 86 3 3
133
36 6 53
1
Spiegelunkt: 1 8 5P' / /3 3 3
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5.3.3 Spiegelpunkt an einer Ebene im IR3
Gegeben sind die Ebene E in Koordinatenform 1 2 3E : a x b x c x d 0 : und der Punkt
1 2 3P(p / p / p ) E . Gesucht: Spiegelpunkt P ' Lösung: a) Senkrechte Gerade h zu E durch P. b) Bestimmung des Lotfußpunktes F durch Schnitt Gerade h mit Ebene E. c) Geschlossene Vektorkette:
OP 2 PF OP' 0 OP' OP 2 PF
Beispiel: Berechne den Spiegelpunkt von P( 2 / 7 / 5) bzgl. der Ebene 1 3E : 3 x 4 x 24 0 Ergebnis: P (0,4 / 7 / 8,2) Lösung:
Normalenvektor der Ebene E: E
3n 0
4
Hilfsgerade h senkrecht zu E durch P: E
2 3 2 3h : x OP n 7 0 7
5 4 5 4
Bestimmung des Lotfußpunktes F: 1 2 3g E F(f / f / f )
Allgemeinen Geradenpunkt in die Ebenengleichung einsetzen und nach dem Parameter auf-lösen.
F23 2 3 4 ( 5 4 ) 24 05
F25
in h einsetzen: 2 3 4
2 1 4 33OF 7 0 7 F / 7 /5 5 5 5
5 4 33
Berechnung des Spiegelpunktes P ' über die geschlossene Vektorkette:
4 2 22 1 2 41OP' OP 2 PF 2 OF OP 7 7 21 P' / 7 /5 5 5 5
33 5 31
Ergebnis: P '(0,4 / 7 / 8,2)