analytical propagation of uncertainties through fault trees

3
Short Communication Analytical propagation of uncertainties through fault trees Ulrich Hauptmanns * Department of Plant Design and Safety, Otto-von-Guericke-Universita Èt Magdeburg, Postfach 4120, 39016 Magdeburg, Germany Received 23 November 2001; accepted 17 January 2002 Abstract A method is presented which enables one to propagate uncertainties described by uniform probability density functions through fault trees. The approach is analytical. It is based on calculating the expected value and the variance of the top event probability. These two parameters are then equated with the corresponding ones of a beta-distribution. An example calculation comparing the analytically calculated beta-pdf probability density function) with the top event pdf obtained using the Monte-Carlo method shows excellent agreement at a much lower expense of computing time. q 2002 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. Keywords: Fault trees; Analytical uncertainty propagation; Monte-Carlo 1. Problem statement Uncertainties affecting the input data of a fault tree analy- sis are often propagated through the tree by applying the Monte-Carlo method [1,2]. This may become a computer time-consuming task if a large number of minimal cut sets is involved. Therefore an analytical procedure may be of use. Such a procedure was developed by Apostolakis and Lee [3] for fault trees with component unavailabilities as basic events and log-normally distributed failure rates. These are, as a rule, numerically small quantities and therefore justify the use of the `rare event approximation' [4]. If larger probabilities are involved such as used, for example, to describe some types of human error, this approximation is no longer warranted. Such a situation is addressed in the present paper, where probabilities represented by uniform probability density functions pdfs) [5] f X x 1 b 2 a for b $ x $ a 0 otherwise 8 > < > : 1 are used. The work was motivated by a fault tree application to the analysis of occupational hazards where the analyst is asked to characterize basic events in natural language. Five linguistic characterizations called natural language quali®ers were chosen. To each of them a probability or a probability range is assigned as shown in Table 1. They represent an aggregation of values found in the literature and only serve to establish the relative importance of the minimal cut sets. Hence, their absolute values are not so relevant. 2. Problem solution 2.1. Estimation of the expected value and the variance of minimal cut set and top event probabilities From Table 1 it is evident that some of the probabilities involved are so large that the habitual rare event approxima- tion [4] may not be used. Therefore the top event probability is evaluated as follows. The probability of occurrence for minimal cut set n composed of I n elements is given by: u min;n Y I n i1 u i;n 2 If a total of N minimal cut sets represents the fault tree the following recurrence relation gives a tight upper bound to the solution for the top event probability, with the equal sign applying if all minimal cut sets are disjunct [9] c n u min;n 1 c n21 1 2 u min;n n 1; ¼; N; c 0 0 3 The top event probability is then given by: u s # c N 4 Reliability Engineering and System Safety 76 2002) 327±329 0951-8320/02/$ - see front matter q 2002 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII: S0951-832002)00016-9 www.elsevier.com/locate/ress * Fax: 149-391-671-1128. E-mail address: [email protected] U. Hauptmanns).

Upload: ulrich-hauptmanns

Post on 05-Jul-2016

215 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Analytical propagation of uncertainties through fault trees

����� ���������

������� ��������� �� ��������� ������� ����� �����

����� ���������

���������� ����� �� ��� ��� ������ ���������������������� ����� ���������� � ���� !"#� $%#!& ���������� �������

������� �� �������� ��� ! �������� " #����� ����

��������

������ � �������� $��� ������ �� �� ��������� ��������� �������� �� ����� ��������� ����� ������ ������� ����� �����%

&�� �������� � ��������% '� � ����� � ��������� ��� �(������ ����� �� ��� ������ �� ��� ��� ���� ���������% &���� �$� ����������

��� ��� �)����� $�� ��� ���������� ��� �� � ����*��������% �(����� ��������� ������� ��� ���������� ���������� ����*���

+��������� ����� �����, $�� ��� ��� ���� ��� ������ ��� ��� -���*����� ������ ���$� �(������ �������� �� � ���� ��$��

�(���� �� ������� ���% � ���� .������ ����� /��% �� ����� ��������%

'��(�� 0 1���� �����! ������� �������� ���������! -���*�����

� ���� � ���� � ��

��������� ������� ��� ��� ���� �� � ����� ���� ����*

�� ��� ���� ���������� ������� ��� ���� �� ������ ���

-���*����� ������ 2 3�4% &�� ��� ������ � ��������

���*������ ���5 � � ����� ����� �� ���� ��� ���� �

������% &�������� � �������� ��������� ��� �� �� ���%

���� � ��������� $�� ��������� �� �������5� �� /�� 2�4

��� ����� ����� $�� ������� ����������� �� ����

����� �� ���*������� ��������� ������ �����% &����

���3 �� � ����3 ��������� ����� )������ �� ���������

6����� ��� ��� �� ��� 7���� ���� �����(����8 294% '� ������

���������� ��� ������ ���� �� ����3 ��� �(�����3 ��

������� ���� ����� �� ���� �����3 ��� �����(���� �

� ����� $�������% ���� � ������ � ��������� ���

������ �����3 $���� ���������� ���������� �� �����

��������� ����� ������ +����, 2:4

)�*� �

�� ���� � � * � �

� �����$��

����� � �

��� ����%

&�� $��5 $�� �������� �� � ����� ���� �������� �� ���

������ �� ���������� ��;���� $���� ��� ������ � ��5��

�� ���������;� ���� ����� ������ �������% 1��

������ ���������;���� ������ ������ �������

)���<��� $��� �����% &� ���� �� ���� � ��������� �� �

��������� ���� � ������ �� ���$ &���� % &���

�������� � ��������� �� ������ ���� ��� ���������

�� ��� ����� �� �������� ��� ������� �������� �� ���

���� ��� ����% ����3 ���� �������� ������ ��� �� ��

�������%

� ���� � ��������

"+!+ , ������� ��� �*������ ����� ��� ��� ��������

������� ��� �� ��� �� ����� �����������

1��� &���� � � ����� ���� ���� �� ��� ����������

������ ��� �� ����� ���� ��� ������� ���� ���� �����(��*

�� 294 ��� �� �� ����% &�������� ��� ��� ���� ���������

� ��������� �� �����$�%

&�� ��������� �� ��������� ��� ���� ��� ��� �

�������� �� -� ������� � ��� ��0

���� ��-���

���� ���

'� � ����� �� . ���� ��� ���� ��������� ��� ����� ���� ���

�����$� ��������� ������ ���� � ���� ����� ���� ��

��� ������ ��� ��� ��� ���� ���������3 $�� ��� �)��� ��

������ � ��� ���� ��� ���� ��� ��6��� 2=4

�� � ���� � ��� � � ����� �� � �/�.�� �� � �

���&�� ��� ���� ��������� � ��� ��� ��0

� � �. �9�

�������� .����� �� ������ ������ "> +����, ��"?��=

�=: *@���A��AB * ��� ���� ������ � ���� .������ ����� /��% �� ����� ��������%

C''0 ��=: *@���+��,��� >*=

$$$%�������%���A������A����

� 1�(0 �9=*�= *>" * �@%

,����� ����� 0 �����%��������D���%�*���������%��

+�% ��������,%

Page 2: Analytical propagation of uncertainties through fault trees

&�� ��������� �$ ������ ����� ��� �(������ �����

�� .)% +9, �� ��� ���������� ������% &�� � ��� ��

<��� ��������� ��� �(������ ����� �� ��� ��� ���� .)% + ,

,) � �� � ��

���� �� �:�

�� �� ����� �����

,)� � �� � ��

���� �� �>�

'������� .)�% +:, �� +>, �� .)% +�, $� ���� ���

�(������ �����

,���� ��-���

��� � ������� � ��� �"�

�� ��� ������

E�� ���� ��-���

��� � ������� � ��� �

�-���

��� � ������� � ���

� ��

�@�

�� ���� ��� ��� �3 ������� �������� �� ��� ����

����� � �������3 �� � ������� ����� ���� ������ 2 �4%

��� .)�% +", �� +@, ��� �(������ ����� �� ������ ��

.)% +�, ��� ������% F� ��� ����

,1� � ,���� � ,1�� � ,1�� ,����

�� � �/�.�� ,1� � ��=�

�� �(������ ����� ��

E�� 1� � E�� ���� � E�� 1�� � E���1�� ������ �����������1�� �� ����1�� �1�� ������

�� � �/�.�� E�� 1� � �

� ���� �� ������3 $���� E���1�� ����� � ���������� ��0

E���1�� ����� � ,1��� ,�

���� � ,�1�� ,

�����

� �E�� 1�� � ,�1�� ��E�� ���� � ,������

� ,�1�� ,����� � �

��� .)�% +=,?+ , $� ����� �� ��� ������� ��� ���

�(������ �����

,� � ,1. � ���� ��� ������

E�� � � E�� 1. � ���� ��� ��� ���� ���������%

"+"+ 2���*������ �� � ������� ��������

��� $� ��� ����� $�� ���������� ��� ����*������*

�� � ���������� ��� ��������� ��� ��� ���� ���������

�������� ���������;�� �� .)�% + �, �� + �,% '�� ��� � 2:4

�*� � ���� ���������� *

�� � � *��� � � * � � 9�

1�� ��� ���������� �(������ ����� $� ����

,G.& ) � �

�� �� :�

�� ��� �� ������

E��G.& ) � ��

��� � � ���� ��� � >�

G� �)���� .)% + :, $�� .)% + �, �� .)% + >, $�� .)%

+ �, ��� �������� ����<���� � �� �3 �;

� � ,1.� � ,1.� E�� 1.

,1.

� � ,1.��

� � "�

��

� � � � ,1.� E�� 1.

,1.

� � ,1.��

� � @�

��� ������%

������ ������� ���������;��� � ��� ������ ��

��� ������� �������� �� ������ ��� )���<�� $����

���� ��� ��� ������� ������� $�� ��� ������� ����*

��������%

�+ 3�������� 4 5���������� ,���������� ��� �� ��� ����� 6& 7"##"8 $"69$"%��@

&����

������� ������� )���<��� �� ���������� ��������� �����3 ����� �

����% 2>?@4

������� �������

)���<��

C��������A���������

����

'���<����

����� +��% &���� �,

� �

�����A���������

'��������A���� � � �

C�������A���)����� �%> �

C������A���������� �% �%> 9

'���������A������ � �% :

1�% % C�������� ����� ����� ��� ��� ��� ���� ��������� +-���*

����� $�� :��3��� �����, �� �������� ������ ������� �� .)�% + 9,?

+ @,%

Page 3: Analytical propagation of uncertainties through fault trees

� ������ ����������� ��� ���������� ���� �� ���� ������ � ����

&�� ���� ��� ���� ������ &���� � ��� ������� ��

�� ��� ������ �� � ����� ���� ������% &��� ���� ����� ���

���������� �� ��� ���������� ���� �������� *�� &��

������� ����� � ������ �� ��� ���<���� ������

������� �� &���� % G��� ����� $����� � ���� �� ��

����� �� ��� ���������� ���� ��� ���%

1�% ������� ��� ���������� ������� ������� ���

������� �� ��� -���*����� ��������� $�� ��� ��������

������ ������� �� ��� ������� �)�����%

'� � ����� ���� ��� �������� � �(������3 � ���� $���

� ��H����� �� $��� �� ��� �(������ ������ �� �������

�������� &���� �%

&�� ����� ������ $���� ���� �� ��� �������� 7��������A

���)�����8%

� � � �� �

2 4 ��5�� #F3 �� ��% C� ���������� ����% ���� �� ��� ������*

���� �� ���������� ��5 ���������� ��� ������ ��$�� �����%

�� 0 ������ ���������� ������� ���.IA��*����3 =@�%

2�4 ����� GJ% ��������� �������% �� 0 F���3 =@"%

2�4 �������5� I3 /�� K&% -������ ��� ��� ������� �� ��<����

����� ��� ��� ���*���� ���������� �� ����� �����% ���� .��

J�� =""!9 09 ?=%

294 E����� F.3 I������� 113 ������� ��3 ����� J1% 1���� ���� ���*

���5% ���.I*�9=�% �� 0 �� ������� ���������� �������3

=@ %

2:4 #���� �/3 L��; �3 G���5���� �% ������� ������� ������*

���3 ���% �% �� 0 F���3 ==:%

2>4 L����� F% C��M����;* �� .���������������% I�����0 -���3

=>@%

2"4 G����*-���� �% ��$ �������� � ��������N ������� ��������

�� ������ ��������� �(�������% # 1������� =@�!'0�:"?>=%

2@4 F������ &�3 G������ JE3 ��������� 3 O$�5 �3 1������ G%

-������ ��� ����� ����� �� ��������� �����% # .(� C������0

I����� =@>! :+9,0�9@?>:%

2=4 �������� �% �P��� �� �P������ �� ������% ���0 G���������3 =@>%

2 �4 I���5� G% &�� ������ �� ���������% ����0 -�3 ="@%

�+ 3�������� 4 5���������� ,���������� ��� �� ��� ����� 6& 7"##"8 $"69$"% ��=

&���� �

.(������ ������ �� ������� ��� ��� �(����� ������� ������� ���

-���*����� ��������� +:��3��� �����, $�� ��� �������� ���������

-���*����� �������

.(������ ����� �%" �:"� �%" ����

E����� @�>�@�>� � ��� @�>�"=�9 � ���

&���� �

-��� ��� ���� �� ���� ���� )���<��� ��� ��� �(����� �������

+G��� ���� �,:��� ��� ����� � � 9 : > "

*

*� � �

*� 9

*9 :

*: �

*> � �

*" :

*@ 9

*= 9 9

* � �

* :

* � 9

* � :

* 9 9

* : �

* >

* " �

* @ �

* = �

*�� 9