analytical methods in limit analysis

7/28/2019 Analytical Methods in Limit Analysis

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Ingenienr-Archiv59 (1989)138--147 I n g e n i e u r - A r c h i v9 Spr inger-Ver lag 1989

A n aly t i c a l m e t h od s in l im i t an a lys i s*A . D r e s c h e r , M i n n e a p o l i s

S u mmary : Th e p ap er p r esen t s so me an a l y t i ca l k in emat i c so lu t i o n s o f l imi t an a ly s i s p ro b l ems i n g eo t ech n i csan d r e l a t ed f ie ld s t h a t h av e b e en r ecen t l y o b t a in ed a t t h e Un iv er s i t y o f M in n eso t a . Emp h as i s i s p l aced o ns t ead y an d p seu d o - s t ead y f l o w p ro b l ems t h a t may mo d e l ce r t a i n p ro cesses , an d o n t h e imp l i ca t i o n s o fy i e ld co n d i t i o n n o n l i n ea r i t y . T h e ex amp l es p e r t a in t o p l an e- s t r a in , ax i sy mmet r i e an d g en era l t h r ee -d imen -s io n al p ro b l ems . Al so , t h e p o ss ib l e ex t en s io n o f t h e k in em at i c m eth o d o f l imi t an a ly s i s o n h a rd en in g i n -co mp ress i b l e an d co n t r ac t i n g / d i l a t i n g mate r i a l s i s d i scu ssed . F in a l l y , a s imp le p e r i o d i c sh ea r b an d fo rma-t i o n p ro cess i s an a ly zed .Analytische M ethoden bei Traglastveffahrent~bersieht: Der Be i t r ag s t e l l t e i n i g e an a l y t i sch e k in emat i sch e L6 su n g en y o n T rag l as tp ro b l emen i n d e r Geo -t ech n ik an d v e rwan d t en Geb i e t en v o r , d i e j f i n g s t an d e r Un iv er s i t~ t y o n M in n eso t a e r a rb e i t e t wu rd en . DerAk zen t l i eg t b e i P ro b l emen mi t s t e t i g em u n d p seu d o - s t e t i g em p l as t i sch em F l i eBen u n d d en F o lg en e i n e rNie h t l inear i t~ t der Fl iel~bedingung. Die Beispiele be t ref fen ebene For m~ nde rung sowie ax ials ym m etr isch eu n d a l l g emei n d re id imen s i o n a l e Au fg ab en s t e l l u n g en . Dar i i b e r h in au s wi rd d i e m6 g l i ch e E rwei t e ru n g d e rk in emat i sch en M eth o d e d e r T rag l as tv e r f ah ren au f v e r f es t i g en d e Werk s to f f e mi t o d er o h n e Vo lu men ~n d e-ru n g e r6 r t e r t . Zu m Ab sch lu ~ wi rd e in e e in fach e p e r i o d i sch e B i ld u n g y o n S ch erb ~n d ern u n t e r su ch t .

1 IntroductionP l a s t i c l i m i t a n a l y s i s i s a w e l l - e s ta b l is h e d m e t h o d f o r e v a l u a t i n g l i m i t l o a d s o n e n g i n e e r i n gs t r u c t u r e s . T h e r e i s p l e n t i f u l li t e r a t u r e d e s c r i b i n g i t s f u n d a m e n t a l s a n d a p p l i c a t i o n s i n ci v ila n d g e o e n g i n e e r i n g . F u l l- s c a l e a n d m o d e l t e s ts h a v e b e e n c o n d u c t e d t o c o m p a r e s o l u t io n s w i t ht h e r e s p o n s e o f re a l s t r u c t u r e s a n d t h e r e s u l t s a r e i n c o r p o r a t e d i n d e s i g n c od e s . Y e t , r e s e a r c hi n t e r e s t i n l i m i t a n a l y s i s s o l u t i o n s s e e m s c o n t i n u i n g , p a r t i c u l a r l y a s a r e fe r e n c e f o r n u m e r i c a ls o l u ti o n s . A l s o , a r e l a t i v e e a s e i n s o lv i n g g e o m e t r i c a l l y c o m p l e x m u l t i - d i m e n s i o n a l p r o b l e m sr e n d e r s l i m i t a n a l y s i s a t t r a c t i v e a s a n a l t e r n a t i v e t o n u m e r i c a l c o d e s . I n t h i s p a p e r , s o m ea n a l y t i c a l k i n e m a t i c s o l u t i o n s o f l i m i t a n a l y s i s p r o b l e m s i n g e o t e c h n i c s t h a t h a v e b e e n r e c e n t l yo b t a i n e d a t t h e U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a a r e p re s e n t e d .

T h e k i n e m a t i c m e t h o d o f l i m i t a n a l y s is h i n g e s o n c o n s t r u c t i n g a v e l o c i t y f ie l d t h a t i s a d m i s -s i bl e f o r a r i g i d - p e r f e c t l y p l a s t ic m a t e r i a l o b e y i n g t h e a s s o c i a t i v e f lo w r ul e . B y e q u a t i n g t h er a t e o f e n e r g y d i s s ip a t e d i n t h e v e l o c i t y f ie l d a n d t h e r a t e o f e x t e r n a l w o r k , a n u p p e r b o u n d t ot h e t r u e l o a d i n d u c i n g c o l la p s e o r a lo w e r b o u n d t o t h e t r u e l o a d r e s i s ti n g c o l l a p s e is o b t a in e d .

S i m p l e t ra n s l a t i o n a l a n d r o t a t i o n a l v e l o c i t y f ie l ds t h a t a p p r o x i m a t e f a i l u re m e c h a n i s m so b s e r v e d i n t e s t s o f t e n y i e l d s a t i s f a c t o r y r e s u l t s ; i n t h e s e f i e ld s t h e e n e r g y i s d i ss i p a t e d e x c l u -s i v e l y a l o n g v e l o c i t y d i s c o n t in u i t ie s . T h e r a t e o f e n e r g y d i s s ip a t i o n p e r u n i t a r e a o f d i s c o n ti -n u i t y i s ( F i g . l a )

b = ~ [ v , ] - ~ [ w ] . ( 1 )* P resen t ed a t t h e wo rk sh o p o n L i mi t An a. ly si s an d B i fu rca t i o n Th eo ry , h e ld a t t h e Un iv e r s i t y o f Kar l s ru h e( F R G ) , F e b r u a r y 2 2 - - 2 5 , 1 9 8 8


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A. Dreseher: Analyt ical methods in l imit analysis 139

v

i v t s - , , / ~ v ga b c " t L .~-Fig. 1 . a Stress vec tor and veloci ty jum p; b velo ci ty discontinui ty as th in material layer;c veloc i ty discontinui ty as shock

F o r t h e l i n e a r M o h r - C o u l o m b y i e l d c o n d i t io n t h e v e l o c i t y ju m p i s i n c l i ne d a t t h e a n g l e o f i n t e r n a lf r i c t io n , qb, an d (1) red uce s to2 ) = c[ v ~ ] ( 2 )

w h e r e c is t h e c o h e s i o n ; eq . ( 2) is i n d e p e n d e n t o f t h e m a g n i t u d e o f t h e s t re s s v e c t o r a n d i m p l i e ss h e a r - t y p e o f v e l o c i t y d i s c o n t i n u i ty .

2 S t e a d y a n d p s e u d o - s t e a d y f l o w p ro b l e m sL i m i t a n a l y s i s i n g e o t e c h n i c s h a s b e e n a p p l i e d p r e d o m i n a n t l y t o i n c i p i e n t f lo w p r o b le m s , e . g .,s t a b i l i t y o f s l o p e s , b e a r i n g c a p a c i t y o f f o u n d a t i o n s . M a n y e n g i n e e r i n g p r o b l e m s a r e p r o c e s s e s ,h o w e v e r , a n d a n a d v a n c e d r a t h e r t h a n i n i t ia l s t a te o f d e f o r m a t i o n m a y b e c o m e i m p o r t a n t . I ns o m e c a s e s , a s t a t e c a n b e i d e n t i f i e d w h e r e n e i t h e r t h e e x t e r n a l l o a d n o r t h e f a i l u r e m e c h a n i s mu n d e r g o e s c h a n g e s w i t h t i m e a n d t h e p r o c e s s c a n b e r e g a r d e d a s s t e a d y , e . g. , ti l li n g o p e r a t i o n s ,d i s c h a r g e o f b u l k m a t e r i a l s f r o m b i n s, a n d s n o w p l ow i n g .

I n s o l v in g s t e a d y f l o w p r o b l e m s f o r f r i c t i o n a l /c o h e s i v e so l id s , r ig i d - m o t i o n m e c h a n i s m s c a nb e s u c c e s s f u l ly ap p l i ed . H o w e v e r , t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e s t r o n g v e l o c i t y d i s c o n t i n u i t y a s at h i n m a t e r i a l l a y e r u n d e rg o i n g s h e a r / d i l a t i o n (F i g . l b ) , a n d t h a t i s v a l i d fo r i n c i p i e n t f l o w , isn o l o n g e r c o r r e c t . I n s t e a d y f l o w , t h e p a r t i c l e s t r a v e l a c r o s s s t a t i o n a r y d i s c o n t i n u i t y w h i c h c a nb e r e g a r d e d a s a s h o c k ( F i g . 1 c ). T h i s a l s o a p p l ie s t o p s e u d o - s t e a d y f l o w p r o b l e m s w h e r e t h ef a i l u r e m e c h a n i s m i s g e o m e t r i c a l l y se l f- s im i l ar . F r o m t h e p r i n c i p le o f m a s s c o n s e r v a t i o n t h er e l a t i o n b e t w e e n t h e d e n s i ti e s , ~1 a n d ~ , a n d t h e v e l o c i t y n o r m a l c o m p o n e n t s , V ~ a n d V~, o nb o t h s i d e s o f t h e s h o c k i s ( c f . [1 2] )

o , ( v ~ - v ~ ) = ~ , , ( v ~ - v , ) ( ~ )w h e r e V ~ i s t h e s p e e d o f p r o p a g a t i o n o f t h e v e l o c i t y d i s c o n t i n u i t y . T h e c o n s e q u e n c e o f (3 ) ist h e d i f f e r e n t d e n s i t y i n t h e v a r i o u s r ig i d - m o t i o n r e g io n s s e p a r a t e d b y v e l o c i t y d i s c o n ti n u i ti e s .T h i s a f f e c t s t h e m a g n i t u d e o f e x t e r n a l w o r k d u e t o g r a v i t a t i o n a l f o r c e s ( y ~ c o n s t. ) a n d , t h u s ,t h e m a g n i t u d e o f t h e l i m i t lo a d .

F u r t h e r m o r e , i n c o n t r a s t t o i n c i p i e n t f lo w , t h e g e o m e t r y o f a s t e a d y o r p s e u d o - s t e a d y f l o wp r o b l e m m a y n o t b e u n i q u e l y d e f i n e d a n d b e p a r t o f t h e s o lu t i on . T h i s c a n b e i l l u s tr a t e d i n p s e u d o -s t e a d y w e d g e i n d e n t a t i o n i n t o a w e i g h tl e s s f r i c t io n a l / c o h e s i v e s ol id w i t h tr a n s l a t i o n a ] f a il u r e

P [ k N ]= 3 0 ~

~ = ~ 5 ~ c = 1 2 k N / m 22 0 0

~d S h i e ld ( 1 9 5 5 ) /

a r e _ ti I d [ m ]b 0 2

l~ig. 2a and b . Wedge inde ntat ion; a fai lure mechanism, b force of indentat ion vs de pth ofindentat ion


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140 Ingenieur-Arehiv 59 (1989)m e c h a n i s m c o n s i s t in g o f t w o b l o c k s, s e e F i g . 2 a a n d [ 12 ]. T h e i n c l i n a t i o n a n d t h e l e n g t h o f t h el i p s a r e u n k n o w n , a n d m u s t b e s o s e l e c t e d t h a t t h e m a s s d i s p l a c e d b y t h e w e d g e e q u a l s t h e m a s so f t h e d e f o r m e d r e g io n . T h e d e n s i t i e s in t h e d e f o r m e d r e g i o n c a n b e d e t e r m i n e d f r o m ( 3) w i t h V pr e s u l t i n g f r o m t r a n s l a t i o n o f t h e v e l o c i t y d is c o n t i n u i ti e s .

T h e s o li d li n e i n F i g . 2 b s h o w s t h e d e p e n d e n c e o f t h e l i m i t f o r c e o n t h e d e p t h o f i n d e n t a t i o no b t a i n e d b y o p t i m i z i n g th e g e o m e t r y o f t h e a b o v e f a i l u re m e c h a n i s m t o a r r i ve a t m i n i m u m l o ad .T h e r e s u l t s r e p r e s e n t e d b y t h e d a s h e d l i n e p e r t a i n t o t h e s o l u t i o n o b t a i n e d i n [ 2 4 ] w h e r e t h em e t h o d o f c h a r a c t e r i s t i c s w a s u s e d . C l e a r l y , t h e ri g i d - m o t i o n m e c h a n i s m , h o w e v e r s i m p le , y i e l d sl o w e r l i m i t lo a d . T h i s i s n o t s u r p r i s in g a s t h e i n c l i n a t i o n o f t h e l i p s d i f fe r s in b o t h s o l u t i o n s ;t w o d i f f e r e n t b o u n d a r y - v a l u e p r o b l e m s w e r e a c t u a l l y s o l ve d .

Pc d w

s o

6 OI 1i

4 o

2O

a b

c _ /9 = 6 0 "/ Il / / 45 ~] / / o

r / / / # " / / # . 1

9 / i. , ~ " " inc ip ient

,s

dI I I W

4 8 12Fig, 8a and b . Wedge c ut t ing; a fai lure mechanism, b cut t ing force vs depth of wedge

F i g u r e 3 a s h o w s a n e x a m p l e o f t r a n s l a t i o n a l s t e a d y f a i l u r e m e c h a n i s m a r o u n d a w e d g e p r i smc u t t i n g a n i n i t i a l l y f l a t l a y e r o f a n i n c o m p r e s s i b le m a t e r i a l . I f b e h i n d t h e p r i s m a n o p e n g r o v ei s p o s t u l a t e d , t h e m a t e r i a l m u s t u n d e r g o u p l i f t t o p r e s e r v e m a s s c o n s e r v a t i o n ( t h r e e - d i m e n s i o n a lm e c h a n i s m ) . T h i s a l s o a p p l i e s t o d i l a t i n g m a t e r i a l . F i g u r e 3 b g i v e s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h el e a s t c u t t i n g f o r c e a n d d e p t h o f t h e w e d g e f o r v a r i o u s w e d g e a ng l e s.

T h e f a i l u r e m e c h a n i s m s a d m i s s ib l e f o r s t e a d y o r p s e u d o - s t e a d y f l o w a r e a l so a d m i s s ib l e f o ri n c i p i e n t f l o w w h e r e a s t h e o p p o s i t e d o e s n o t n e c e s s a r i l y h o l d . T h i s m a y l e a d , s o m e t i m e s , t ou n d e r e s t i m a t i n g o f t h e l i m i t l o a d i f t h e p r o b l e m i s r e g a r d e d a s i n c i p i e n t . F o r i n s t a n c e , c o n -s i d e r in g t h e w e d g e c u t t i n g p r o c e s s a s in c i p i e n t , w i t h f l a t u p p e r s u r f a c e o f t h e l a y e r a n d v e l o-c i ti e s c o r r e s p o n d i n g t o s t e a d y f l o w , l o w e r li m i t l o a d i s o b t a i n e d d u e t o a r e a r e d u c t i o n o f d i ss i-p a t i n g e n e r g y s u r f a c e s . T h i s i s s h o w n i n F i g . 3 b b y d a s h e d l i n e s.

3 No n l i n e a r y i e l d c o n d i t i o nM o t i v a t e d b y s o i l s b e h a v i o r a t m o d e r a t e c o m p r e s s i v e n o r m a l s t r e s s e s , l i n e a r M o h r - C o u l o m by i e l d c o n d i t io n h a s b e e n u t i l i z e d o v e r w h e l m i n g l y i n t h e l i m i t a n a l y s i s c a l c u l at i o n s. H o w e v e r ,t h e e x t r a p o l a t i o n o f t h i s y i e l d c o n d i ti o n i n t o t h e r a n g e o f t e n s i le s t re s s e s g r e a t l y o v e r e s t i m a t e st h e f a i l u r e o f f r i c t i o n a l/ c o h e s i v e m a t e r i a ls . T h i s i s o f t e n c o r r e c t e d b y p o s t u l a t i n g a t e n s i o nc u t - o f f w h i c h , fo r p l a n e - s t r a i n p r o b l e m s , l e a d s t o n o n l i n e a r p o r t i o n o f t h e y i e l d c o n d i t i o n(F i g . 4 a ) . F o r h i g h n o rm a l s t r e s s e s , wh e re g r a i n c ru s h i n g b e c o m e s s i g n i f ic a n t , a l i n e a r y i e l dc o n d i t i o n n o l o n g e r a d e q u a t e l y d e s c r i b e s t h e m a t e r i a l b e h a v i o r . T h e r e i s s o m e e v i d e n c e i n t h ec a s e o f f r o z e n s o il s a n d p o w d e r - l i k e m a t e r i a l s t h a t t h e i r y i e l d c o n d i t i o n is n o n l i n e a r e v e n a tl o w n o rm a l s t r e s s e s (F i g . 4 b ) .


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A. Dresche r : Ana lyt ical me thods in l imi t analysis 141

E

b

c ~

Fig. 4a a nd b . M ohr-Coulomb yield condi t ion; a l inear wi th a tension cut -off , b nonl inearN o n l i n e a r i t y o f t h e y i e l d c o n d i t i o n a f f e c t s t h e a d m i s s i b l e s h a p e o f v e l o c i t y d i s c o n t i n u i ti e s

s e p a r a t i n g r i g i d - m o t i o n b l o c k s ; f o r p l a n e - s t r a i n p r o b l e m s a n d l i n e a r c o n d i t io n e i t h e r a s t r M g h t -l i n e o r l o g - s p i r a l a r e a d m i s s i b l e . F o r a n o n l i n e a r c o n d i t i o n a n y c u r v i l i n e a r s h a p e i s a d m i s s i b l ea s lo n g a s t h e l o c a l in c l i n a t i o n o f th e v e l o c i t y d i s c o n t i n u i t y t o t h e v e l o c i t y j u m p d o e s n o t f a l lo u t s i d e t h e r a n g e o f a n g l e s ~ ' d e f i n i n g l o c a l s l o p e (F i g . 4 b ) . C o n s e q u e n t l y , t h e s h a p e a l o n e o fv e l o c i t y d i s c o n t i n u i ti e s d e f i n e s n e i t h e r t h e t y p e o f r i g i d - m o t i o n m e c h a n i s m n o r t h e d i r e c t i o n o fv e l o c i ti e s i n e a c h r i g id - m o t i o n re g i o n . F o r e x a m p l e , s t r a i g h t v e l o c i t y d i s c o n t i n u i t y m a y a p p l ye q u a l l y to t r a n s l a t i o n a l a n d r o t a t i o n a l m e c h a n i s m s .

F o r n o n l i n e a r y i e ld c o n d i t i o n t h e r a t e o f e n e r g y d i s s i p a t io n b e c o m e s d e p e n d e n t o n t h e m a g n i -t u d e o f t h e s t r e s s v e c t o r a c t i n g a t t h e v e l o c i t y d i s c o n t i n u i t y . T h i s is b e c a u s e o n l y o n e c o m p o n e n to f t h e s t r e s s v e c t o r c a n b e e l i m i n a t e d f r o m ( 1) . T o r e m o v e t h i s in d e t e r m i n a n c y , t h e i n c l i n a t i o no f t h e v e l o c i ty ju m p s a l o n g d i s c o n t in u i t y m u s t b e k n o w n w h ic h , in t u r n , d e p e n d s o n t h e s h a p eo f t h e d i s c o n t i n u i t y a n d t h e m e c h a n i s m s e l e c t e d . T h i s g r e a t l y c o m p l i c a t e s t h e c a l c u l a t i o n o ft h e b e s t l i m i t l o a d a n d , e x c e p t s l o p e s t a b i l i t y p r o b l e m s , l i t t l e h a s b e e n d o n e t o a r r i v e a t o p t i -m i z a t i o n s c h e m e s . I n [ 3] , n o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h r o u g h v a r i a t i o n a l c M c u le s f o r m u -l a t i o n , g o v e r n i n g t h e b e a r i n g c a p a c i t y o f a s t r i p f o o t i n g o n a s l o p e a n d a r o t a t i o n a l f a i l u r em e c h a n i s m w e r e d e r i v e d . A n e f f e c t i v e n u m e r i c a l a l g o r i t h m f o r s o l v in g th e s e e q u a t i o n s w a s r e -c e n t l y p r e s e n t e d i n [ 26 ].

T h e d i f fi c u l ti e s a s s o c i a t e d w i t h s o l v i n g n o n l i n e a r e q u a t i o n s c a n b e a v o i d e d if t h e n o n l i n e a rc o n d i t i o n is p r o p e r l y a p p r o x i m a t e d b y a li n e a r o n e [1 6]. A ri g o r o u s u p p e r b o u n d a p p r o x i m a t i o nf o r l o a d s i n d u c i n g c o l la p s e i s o b t a i n e d i f t h e l i n e a r c o n d i t i o n l ie s o u t s id e t h e n o n l i n e a r c o n d i t io n .I f t h e s l o p e o f a n o n l i n e a r y i e l d e n v e l o p e is a m o n o t o n e d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f t h e n o r m a l s t r es s ,a n y l i n e a r c o n d i t i o n r e p r e s e n t e d b y a s t r a i g h t l in e t a n g e n t t o t h e e n v e l o p e l ie s e n t i r e l y o u t s i d e( F i g . 4 b ) . K n o w n s o l u t i o n s f o r t h e l i n e a r y i e l d c o n d i ti o n c a n b e t h e n u t i l iz e d , a n d t h e o p t i m i -z a t i o n p r o c e d u r e r e d u c e s t o f i n d i n g t h e b e s t l i n e a r y i e l d c o n d i ti o n , i .e . , t h e l o c a t i o n o f th e t a n -g e n c y p o i n t . F o r t h e p r o b l e m o f s t a b i l i t y o f a fr e e - o f - s u r c h a r g e s l o p e, n o n l i n e a r s t a b i l i t y f a c t o rN n c a n b e e x p r e s s e d a s

N n = 7 H / c = N ~ c ' I c ( 4 )w h e r e N l i s t h e s t a b i l i t y f a c t o r f o r t h e l i n e a r y i e l d c o n d i t i o n w i t h a n g l e ~ b '. N u m e r i c a l r e s u l t sf o r a h o r i z o n t a l s l o p e i n c l i n e d a t a n g l e f l , r o t a t i o n a l f a i l u r e m e c h a n i s m ( l o g - s p i r a l ) a n d n o n -l i n e a r y i e l d c o n d i t i o n c o n s i d e r e d i n [ 2 6 ] , a r e s h o w n i n T a b l e 1 . U p p e r v a l u e s i n e a c h r o w w e r eo b t a i n e d i n [ 2 6 ], l o w e r o n e s w e r e c a l c u l a t e d f r o m ( 4) in [ 16 ] u s i n g i V f a c t o r s g i v e n in [ 7 ]. T h ed i f f e r e n c e i n b o t h s o l u t io n s i s l e ss t h a n 1 % .

Tab le 1. Stabi l i ty fa ctors N n (yield condi t ion~t = c(1 + A~n)~/~; c = 90, A = 0.004)m Slope angle fl

90 ~ 75 ~ 60 ~ 45 ~1.2 5.13 6.77 8.95 12.555.15 6.79 8.99 12.601.6 4.73 6.04 7.61 9.704.76 6.07 7.65 9.852.0 4.52 5.66 6.97 8.784.55 5.70 7.02 8.82


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142 Ingenieur-Archiv 59 (1989)4 T h r e e - d i m e n s i o n a l a n d a x is y m m e t r i e f a i l u r e m e c h a n i s m sT h e r i g i d - m o t i o n f a i l u r e m e c h a n i s m s h a v e f o u n d a p p l i c a t i o n t o p r o b l e m s g e o m e t r i c a l l y o t h e rt h a n p l a n e , i . e ., w h e r e t h e e x t e n t o f t h e m e c h a n i s m i s f i n i t e i n a l l d i r e c ti o n s [ 23 ]. M o r e r e c e n te x a m p l e s a r e : t h e s t a b i l i t y o f f r i c t i o n l e s s s l o p e s [2 , 1 7] , t h e i n c i p i e n t f l o w o f ru b b l e i c e a ro u n do f f - s h o r e s t r u c t u r e s [ 18 ], a n d t h e s t e a d y f l o w m e c h a n i s m s h o w n i n F i g . 3 a .

F i g u r e 5 a s h o w s a s y m m e t r i c a l h a l f o f a t h r e e - d i m e n s i o n a l t r a n s l a t i o n a l f a i l u r e m e c h a n i s mi n a f r i c t i o n a l / c o h e s i v e sl o p e lo a d e d o v e r a f i n i t e a r e a [ 22 ]. I n F i g . 5 b t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h e l i m i t l o a d a n d t h e l o a d e d a r e a i s d e p i c t e d ; t h e l i m i t l o a d d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g l e n g t ho f th e l o a d e d a r e a , a s y m p t o t i e M l y a p p r o a c h i n g t h e l i m i t l o a d f o r s lo p e o f i n f i n i te l e n g t h . I no t h e r w o r d s , l o c a l f a i l u r e m e c h a n i s m s y i e l d a l w a y s g r e a t e r s t a b i l i t y t h a n t h e p l a n e o n e s . A n o t h e rt h r e e - d i m e n s i o n a l f a i l u r e m e c h a n i s m i n p s e u d o - s t e a d y p y r a m i d a l r o c k - s p l i t t in g w a s c o n s i d e r e din [19 ] .

T h e t r a n s l a t i o n a l f a i l u r e m e c h a n i s m s m a y a l s o f i n d a p p l i c a t i o n i n s t a b i l i t y a n a l y s e s o fs h a l lo w c y l i n d r i c a l o r p r i s m a t i c e x c a v a t i o n s , w e l ls a n d b o r e h o le s . A l t h o u g h t h e g e o m e t r y o f ac y l i n d r i c a l w e l l su g g e s t s a x i s y m m e t r i c f a i l u re , l o c a l i m p e r f e c t i o n s m a y t r i g g e r f a i lu r e t h a t i sl i m i t e d t o a p o r t i o n o f t h e w a l l. F i g u r e 6 a s h o w s a p p l i c a t i o n o f a t r a n s l a t i o n a l f a i l u r e m e c h a n i s mf o r a n a l y z i n g f o r m a t i o n o f a n e m p t y c y l i n d r i c a l c h a n n e l i n a f r i c t i o n a l / c o h e s i v e m a t e r i a l d i s-c h a r g e d f r o m a b i n [ 1 3 ] . T h e s i n g l e - b l o c k m e c h a n i s m i s b o u n d e d b y t h r e e f l a t s h e a r v e l o c i t yd i s c o n t i n u i t y s u r f a c e s a n d c y ] i n d r i c a l d i s c o n t i n u i t y s u r f a c e c o in c i d in g w i t h t h e b i n w a l l w h e r es h e a r / s e p a r a t i o n i s a s s u m e d , i . e ., a t e n s i o n c u t - o f f o f t h e b o n d i n g y i e l d c o n d i t i o n w i t h f r i c t i o nqbw = 4) a n d c o h e s i o n cw =< c . S t a b i l i t y g r a p h s u s e fu l i n b i n d e s i g n c a n b e t h e n c o n s t r u c t e d , a ne x a m p l e o f w h i c h i s g i v e n i n F i g . 6 b .

I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e n u m b e r o f l i k e b l o c k s i n F i g. 6 a i s n o t u n l i m i t e d i f ~ > 0 .T h i s i s b e c a u s e a l l f l a t s u r f a c e s m u s t b e i n c l i n e d a t a n g l e 4 t o t h e v e l o c i t y o f t h e b l o c k , w h i c hc a u s e s i t s v e r t i c a l s id e s t o d i v e r g e t o w a r d s t h e w e ll . I n o t h e r w o r d s , a n i n c r e a s e o f th e n u m b e ro f b l o c k s d o e s n o t l e a d to a x i s y m m e t r i c m e c h a n i s m .

A x i s y m m e t r i c f a i l u r e m e c h a n i s m s t o w a r d a c y l i n d r i c a l w e l l i n d u c e c i r c u m f e r e n t i a l s t r a i n -r a t e s g0 = ~ > 0 ( c o m p re s s i v e ) , a n d r i g i d -m o t i o n m e c h a n i s m s w i t h ~ 0 = 0 a r e i n a d m i s s i b l e .

o b

a

Fig. 5a and b . Frict ional /cohesive s lope; a fai lure mechanism, b surface l imit load vs load area

q oq ~- 4= 20 , ) ,'b/c=1.25[ \ \ / 3 " 4 5 ~

- f f/ ~ b 0 4 8

.@ j f r o ,,o nH0.4uns~ble

_ _ ~ R 2 /H = 0 .4

// s-table/ / " Ib 0 0 .05

l~ig. 6a an d b. Cylindrical slope; a l oca l failure mechanism, b s~ability chart;


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A. Drescher: An alytical me thods in limit analysis 143

A

H~ ,

o- 2

a b

Zh R ~

Iiii r

Vz

Fig. 7. a Octahedral cross-section of the Mohr-Coulomb yield condition, b velo city characte-ristics in cylindrical slope c def orm ed velocity characteristics

T h e c o n s t r u c t i o n o f v e l o c i t y f i e l d s a p p l i c a b l e t o a x i s y m m e t r i e p r o b l e m s r e q u i r e s a d e t a i l e di n s p e c t i o n o f t h e v a r i o u s p o s s ib l e r e la t i o n s b e t w e e n t h e t h r e e p r i n c i p a l s t r a in - r a t e s , a n d t h a tr e s u l t f r o m t h e f l o w r u l e a s s o c ia t i v e w i t h t h e l i n e a r M o h r - C o u l o m b y i e l d c o n d i t i o n [ 9] .

R e f e r r i n g t o F i g . 7 a , w h i c h s h o w s a c r o s s- s e c ti o n o f t h e M o h r - C o u l o m b p y r a m i d b y a n o c t a -h e d r a l p l a n e , t h r e e s t r a i n - r a t e r e g i m e s a r e p o s si b le f o r m o t i o n t o w a r d t h e a x i s o f s y m m e t r y :a . c o r n e r A ( t h e H a a r - v o n K a r m a n r e g im e ) , b . c o r n e r B , a n d e . s id e AB. T h e p r i n c i p a l s t r a i n -r a t e s s a t i s f y t h e n t h e e x p r e s s i o n s

~ 1 - ~ h 2 ~ - 8 3 - - ( h 2 - - ~ 1 - - ~ a ) s in 4 = 0 ,( h I ~- h2) ( 1 - - s in 4 ) @ 4( 1 + s in 4 ) = 0 ,hi(1 -- s in 4) @ ha( 1 + s in 4) = 0 ,

~ 1 > 0 , 4 < 0 , h a > 0 a t A ;~1 < 0, h2 < 0 , h ] > 0 a t B ;h ~ < 0 , 4 : 0 , h a > 0 o n A B .

( 5 )

F o r f r i c t i o n l e s s m a t e r i a l s , ( 5 ) r e d u c e s t o t h e i n c o m p re s s i b i l i t y c o n d i t i o n~v~ ~v~ v~~r + - ~ - z + - = ~ (6)

w h i c h g r e a t l y s i m p l i f i e s c o n s t ru c t i o n o f a d m i s s i b l e v e l o c i t y f i e ld s . I t s u f f ic e s , i n d e e d , t o p o s t u -l a t e t h e d i s t r i b u t i o n o f o n e o f t h e v e l o c i t y c o m p o n e n t s , s a y V r, a n d t h e c o m p o n e n t Vz c a n b et h e n o b t a i n e d b y i n t e g r a t i o n o f ( 6) . E x a m p l e s o f i n c o m p r e s s ib l e v e l o c i t y f i e ld s a r e g i v e n i n[5, 6, 11].

H o w e v e r , i f 4 > 0 a n d r e g i m e s A a n d AB a re c o n s i d e re d , t h i s p ro c e d u re f a i l s b e c a u s e (5 )e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e v e l o c i t y c o m p o n e n t s b e c o m e n o w n o n l i n e a r a n d c o n t a i n m o r e t h a nt w o p a r t i a l d e r i v a t i v e s . A s e m i - i n v e r se a p p r o a c h f o r r e g i m e A w a s s u g g e s te d i n [ 1 4] . T h e p a t t e r no f t h e p r i n c i p a l s t r a i n - r a t e t r a j e c t o r i e s i s p o s t u l a t e d f i r s t , i .e . , t h e o r i e n t a t i o n ~ = ~ ( r, z ) o fp r i n c i p a l s t r a i n - r a t e h i w i t h r e s p e c t t o t h e r - a x is , w h i c h is r e l a t e d t o t h e v e l o c i t y c o m p o n e n t s b y( v ra- i - + ~ + \ ~ ~ - / t a n ( 2 ~ ) = 0 . ( 7 )T h e n ( 5 )1 c a n b e w r i t t e n a s

-k 1 q- c~ s i~-) [ -1- (1 ~- s in 4) = 0 . (8)Eq u a t i o n s (7 ) a n d (8) a r e h y p e rb o l i c w i t h t h e c h a ra c t e r i s t i c s i n c l in e d a t = [= =/4 - - 4 / 2 w i t h r e s p e c tt o ~:, [ 9 ]. G i v e n p ro p e r b o u n d a ry c o n d i t i o n s , e q u a t i o n s a l o n g t h e c h a ra c t e r i s t i c s c a n b e n u m e r i -c a l l y i n t e g ra t e d , a n d t h e V e l o ci t ie s d e t e rm i n e d w i t h i n t h e f a i l in g r e g i o n .

In F i g . 7 b a s i m p l e c h a ra c t e r i s t i c s m e s h (2 ----- c o n s t . ) f o r a c y l i n d r i c a l w e l l i s s h o w n , w h e re a sF i g . 7 c i l l u s t r a t e s i n i ti a l d e f o r m a t i o n w i t h l i n e a r l y d i s t r ib u t e d v e l o c i t y V z a t t h e b o u n d a r y ;v e l o c i t y V r r e s u l t s f r o m t h e s o l u t i o n . Th e s o l u t i o n i s a d m i s s i b l e , f o r i n e q u a l i t i e s ( 5 )1 a r e s a t i s f i e de v e r y w h e r e . H o w e v e r , f o r v e r y s m a l l r a t i o s R1/H, a n y l i n e a r d i s t r i b u t io n of Vz a t t h e b o u n d a r yl e a d s t o ~a a n d ~2 b o t h b e i n g n e g a t i v e i n t h e r e g i o n c l o s e t o t h e w e l l ; t h i s a l s o h o l d s i f a c ro s s t h e


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144 lngenieur-Archiv 59 (1989)c h a r a c t e r i s t i c b o u n d i n g f i e l d t h e v e l o c i t y u n d e r g o e s a j u m p . T h u s , t h e e q u a t i o n g o v e r n i n g t h es t r a i n - r a t e s i s n o l o n g e r (5 )~ b u t ( 5 )2 ( r e g i m e B ) .

F o r r e g i m e B , ( 5 )2 b e c o m e s~Vr ~V~ Vr (1 + sin 4))a-~- + ~ 4- = 0 (9)r (1 -- sin ~b)

a n d c o m b i n e d w i t h ( 7) y i e ld s a s e t o f h y p e r b o l i c e q u a t i o n s w i t h t h e c h a r a c t e r i s t i c s i n c l in e d t oa t a n g l e ( o r t h o g o n a l) . F u r t h e r m o r e , a s o p p o s e d t o r e g i m e A , s tr o n g v e l o c i t y d i s c o n t i n u it i e sc o r r e s p o n d i n g t o r e g i m e B a r e n o t a d m i s si b le . E f f e c t i v e sc h e m e s f o r s o lv i n g d i f f e r e n t c h a r a c -t e r i s t i c s i n u n k n o w n b e f o r e h a n d r e g i o n s h a v e n o t b e e n d e m o n s t r a t e d .

~ " ~ I I I

a

d

Fig. 8a and b . Cube indenta t ion; a fai lure mechanism, b motion of an eleme ntal t r iangleE v e n l e s s e x p l o r e d t h a n a x i s y m m e t r i c , a r e t h r e e - d i m e n s i o n a l f a i l u r e s w h e r e n e i t h e r t r a n s -

l a t io n a l n o r r o t a t i o n a l m e c h a n is m s a r e e m p l o y e d . E x p e r i m e n t a l o b s e r v a t io n o f t h e f a i l u re m o d es e e m s i n d i s p e n s a b le h e r e . T h e p r o b l e m o f c u b e i n d e n t a t i o n i n t o a n i n c o m p r e s s i b l e f r i c ti o n l e ssm a t e r i a l m a y s e r v e a s a n e x a m p l e [ 2 5 ] . E x p e r i m e n t s p e r f o r m e d o n m o d e l m a t e r i a l ( p a r a f f i n )r e v e a l e d t h a t b e n e a t h t h e c u b e a r i d g e f o r m s , w i t h i t s s in :f a ce s s y m m e t r i c a l w i t h r e s p e c t t o av e r t i c a l p l a n e p a s s i n g t h r o u g h o n e o f t h e c u b e b a s e d i a g o n a l ; t w o - f o l d s y m m e t r y ( F i g . 8 a ) .F o u r a d j a c e n t r e g i o n s a r e b o u n d e d b y s u r f a c e s w h i c h g i v e c u r v i li n e a r i n t e r s e c t i o n w i t h t h eh o r i z o n t a l s u r f a c e . T h e s h a p e o f t h e r i d g e , m o v i n g d o w n w a r d a s b lo c k , c a n b e a p p r o x i m a t e d b ya h y p e r b o l i c p a r a b o l o i d w i t h s t r a i g h t l i n e i n t e r s e c t i o n s b y p l a n e s p a r a l l e l t o t h e c u b e ' s s id e s.T h u s , e a c h o f t h e a d j a c e n t b l o c k s c a n b e c o n c e i v e d a s c o m p o s e d o f e l e m e n t a l t h i c k n e s s t r ia n g l e s ,w i t h t h e i r o u t e r s i d e s m a t c h i n g t h e c u r v i l i n e a r o u t e r s u r f a c e ( F i g . 8 b ) . E a c h t r i a n g l e t r a n s l a t e sw i t h d i f f e r e n t v e l o c i t y y i e l d i n g a n o n - t r a n s l a t i o n a l v e l o c i t y f i e ld w i t h i n t h e b l o c k s.

5 S t r a i n - h a r d e n i n g / s o ft e n i n g m a t e r i a l sA l t h o u g h l i m i t a n a l y s is o n l y a p p l ie s t o p e r f e c t l y p l a s t i c so li d s, a t t e m p t s t o e x t e n d t h e k i n e m a t i ca p p r o a c h f o r e v a l u a t i n g l o a d s o n m a t e r i a l s h i b i t i n g e x h a r d e n i n g b e h a v i o r h a v e b e e n p r e s e n t e di n t h e l i t e r a t u r e [ 1 ]. I n s t e a d y a n d p s e u d o - s t e a d y f l o w p r o b l e m s , t h e s t r a i n s i n d e f o r m i n g r e g io na r e k n o w n i f t h e m e c h a n i s m o f f a i l u r e i s p r e s c r i b e d . G i v e n t h e s t r e s s - s tr a i n c u r v e , t h e l o c a lS t re s se s c a n b e e v a l u a t e d , a n d t h e t o t a l r a t e o f e n e r g y d i s s ip a t i o n e q u a t e d t o t h e r a t e o f e x t e r n a lw o r k . H o w e v e r , t h e l o a d s so o b t a i n e d d o n o t n e c e s s a r i l y r e p r e s e n t u p p e r b o u n d s t o t h e t r u el o a d s, e v e n i f t h e g e o m e t r y o f th e p r o b l e m i s u n i q u e l y d e f i n e d . I n f a c t , t h e s e l e c ti o n o f t h e k i n e -m a t i c f i e ld in a h a r d e n i n g m a t e r i a l i s e q u i v a l e n t t o t h e s e l e c t io n o f s p a c i a l d i s t r i b u t i o n o f p e r-f e c t l y p l a s t ic m a t e r i a l s w i t h d i f f e r e n t y i e l d c o n d i t io n s . F o r i n h o m o g e n e o u s s o li d s l i m i t a n a l y s i sd o e s a p p l y p r o v i d i n g t h e d i s t r i b u t i o n o f i n h o m o g e n e i t i e s is t r u e . S i n c e t h e d i s t r i b u t i o n o f i n -h o m o g e n e i t i e s r e s u l t i n g f r o m t h e k i n e m a t i c a l s o l u t i o n m a y d i f f e r f r o m t h e t r u e o n e , n o b o u n dt o t h e t r u e l o a d c a n b e e s t a b li s h e d ; T h u s , l o a d e v a l u a t i o n f o r h a r d e n i n g m a t e r i a l s t h a t i s b a s e do n t h e k i n e m a t i c a p p r o a c h m a y b e o n l y r e g a r d e d a s a p p r o x i m a t e , e n g i n e e r in g a p p r o ac h . N o n e -t h e le s s , it s s i m p l i c i ty i n s ol v i n g g e o m e t r i c a l l y c o m p l e x p r o b l e m m a y w a r r a n t a t t e n t i o n .

F i g u r e 9 a S ho w s a p o r t i o n o f t h e m e c h a n i s m f o r p s e u d o - s t e a d y p y r a m i d a l i n d e n t a t i o n i n t oa n i n c o m p r e s s i b l e m a t e r i a l w i t h ' a n e x p o n e n t i a l s t r e s s - s t r a i n c u r v e a s i n F i g . 9 b , s e e [2 0 ]. T h ee n e r g y d i s s i p a t i o n a c r o s s v e l o c i t y d i s c o n t i n u i t y s u r f a c e s i s c a l c u l a te d b y i n t e g r a t i o n o f s p e ci f ic


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A. Drescher: Analyt ical methods in l imit analysis 145e n e r g y d i s s i p a ti o n g i v e n b y

I n t h e s e l e c t i o n o f t h e g e o m e t r y o f t h e m e c h a n i s m , t h e h y p o t h e s i s o f m i n i m u m a p p l i e d e f f o r tw a s u s e d . T h e r e s u l t s o f c a l c u l a t io n c o m p a r e f a v o r a b l y w i t h e x p e r i m e n t s o n m e t a l s ( F i g. 9 c ) .T h e a p p r o a c h w a s e x t e n t e d i n [ 15 ] o n s t e a d y p l a n e - s t r a in p e n e t r a t i o n p r o c e s se s i n c o n t r a c t i n g /d i l a t i n g h a rd e n i n g s o i l s (F i g . 1 0 ) .

( k o + b ) h 2

P

a h l b - e~

2 0 0

0C

a l u m i n u m

. . / 7 ;60 "

Fig . 9a -- c. Pyram idal indentat ion; a fai lure mechanism, b s tress-strain curve, c indentat ionforce vs included semi-angle of the pyramid

i jI

ii P o

iI I l ] l l l l i l l h ~ ,l l l i l l l ] i l l l ] l p o

a

i i v

I I l l I I l l I I I iI I I I I I I I I i Ib

p *

P0

P0

l~ig. 10. a Failure m echanism arou nd wedge; b failure mechanism aro und w all tipA t t e m p t s w e r e a ls o u n d e r t a k e n t o m o d e l e x p e r i m e n t a l l y o b s e r v e d f o r m a t i o n o f s h e a r- b a n d s

d u r i n g d i s c h a r g e o f g r a n u l a r m a t e r i a l f r o m h o p p e r s [ 2 1] . I n p l a n e - s t r a i n e x p e r i m e n t s , c o n s t a n tr a t e o f d i s c h a r g e w a s o b s e r v e d t h a t m i g h t s u g g e s t m o d e l i n g t h e p r o c e ss a s s t e a d y . H o w e v e r ,X - r a y o b s e r v a t i o n s r e v e a l e d f o r m a t i o n o f n o n - s t a t i o n a r y s h e a r - b a n d s ; w i t h p r o g r e s si n g f l ow ,s h e a r - b a n d s p e r i o d i c a l l y a p p e a r a t s o m e l o c a t io n , m o v e d o w n w a r d a n d b e c o m e i n a c t i v e ( F i g .l l a ) . P e r i o d i c f o r m a t i o n o f s h e a r - b a n d s w a s a l so o b s e r v e d i n p l a n e - s t r a i n w e d g e i n d e n t a t i o ni n t o a s a n d [4 ] .

I n t h e k i n e m a t i c m o d e l i n g , s t r a i g h t - l i n e d i s c o n t i n u i t y w a s a l l o w e d t o r o t a t e a r o u n d t h e e n dp o i n t ( F i g . l l b ) . W i t h p r o g r e s s i n g r o t a t i o n t h e s t r a i n s i n t h e b a n d i n c r e a se , a n d d u e t o h a r d e n i n go r s o f t e n i n g th e r a t e o f e n e r g y d i s s ip a t i o n v a r i es . I f m a t e r i a l s o f t e n i n g is a s s u m e d , t h e r a t e o fe n e r g y d i ss i p a t io n i n i t i a l l y d e c r e a se s , r e a c h e s a m i n i m u m , a n d t h e n i n c r e a s es ( d u e t o g e o m e t r i c a le f f e c t s ) , e v e n t u a l l y s u rp a s s i n g t h e d i s s i p a t i o n a t i n i t i a l l o c a t i o n o f t h e b a n d (F i g . 1 1 c ) . As s u m i n gt h a t m i n i m u m i n t e r n a l e f fo r t g o v e r ns b a n d f o r m a t i o n , a t t h e i n s t a n t w h e n d i ss i pa t io n inr o t a t i n g b a n d e q u a l s d is s i p a t io n a t i n i t i a l lo c a t i o n a n e w s h e a r - b a n d f o r m s a n d t h e p r o c e s sb e c o m e s p e r io d i c . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e m a g n i t u d e o f t h e r a t e o f e n e r g y d is s i p a t io n i nu n s t e a d y f l o w d e p e n d s o n t h e t h i c k n e s s d o f t h e s h e a r - b a n d ; t h e t h i n n e r i s t h e b a n d t h e g r e a t e ri s t h e r a t e w i t h w h i c h t h e r a t e o f e n e r g y d i ss i p a t io n d e c r e a s e s.


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1 4 6 In g e n ie u r -A re h iv 5 9 (19 8 9)

I

a b V 3 ~

/ _1_

~ - 82


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Received June 14, 1988A. DreseherDepart ment of Civil and Mineral EngineeringUniversi ty of MinnesotaMinneapolis, MN 55455USA

analytical methods in limit analysis

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