analysis of probabilistic combinatorial optimization problems in euclidean spaces

7/28/2019 Analysis of Probabilistic Combinatorial Optimization Problems in Euclidean Spaces

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A n a l y s i s o f P r o b a b i l i s t i c C o m b i n a t o r i a l

O p t i m i z a t i o n P r o b l e m s i n E u c l i d e a n S p a c e s

P a t r i c k J a i l l e t

L a b o r a t o i r e d e M a t h e m a t i q u e s e t M o d e l i s a t i o n

E c o l e N a t i o n a l e d e s P o n t s e t C h a u s s e e s

9 3 1 6 7 N o i s y - l e - G r a n d , F r a n c e ,

a n d

M S I S D e p a r t m e n t , C B A 5 . 2 0 2

T h e U n i v e r s i t y o f T e x a s a t A u s t i n

A u s t i n , T e x a s 7 8 7 1 2 , U S A

A b s t r a c t

P r o b a b i l i s t i c c o m b i n a t o r i a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s a r e g e n e r a l i z e d v e r s i o n s

o f d e t e r m i n i s t i c c o m b i n a t o r i a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s w i t h e x p l i c i t i n c l u s i o n o f

p r o b a b i l i s t i c e l e m e n t s i n t h e p r o b l e m d e n i t i o n s . B a s e d o n t h e p r o b a b i l i s t i c

t r a v e l i n g s a l e s m a n p r o b l e m ( P T S P ) a n d o n t h e p r o b a b i l i s t i c m i n i m u m s p a n -

n i n g t r e e p r o b l e m ( P M S T P ) , t h e o b j e c t i v e o f t h i s p a p e r i s t o g i v e a r i g o r o u s

t r e a t m e n t o f t h e p r o b a b i l i s t i c a n a l y s i s o f t h e s e p r o b l e m s i n t h e p l a n e . M o r e

s p e c i c a l l y w e p r e s e n t g e n e r a l n i t e - s i z e b o u n d s a n d l i m i t t h e o r e m s f o r t h e

o b j e c t i v e f u n c t i o n s o f t h e P T S P a n d P M S T P . W e a l s o d i s c u s s t h e p r a c t i c a l

i m p l i c a t i o n s o f t h e s e r e s u l t s a n d i n d i c a t e s o m e o p e n p r o b l e m s .

A p p e a r e d i n M A T H E M A T I C S O F O P E R A T I O N S R E S E A R C H , 1 8 , 5 1 { 7 1 ( 1 9 9 3 )

1


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1 I n t r o d u c t i o n

D u r i n g t h e l a s t d e c a d e c o m b i n a t o r i a l o p t i m i z a t i o n h a s u n d o u b t e d l y b e e n o n e o f

t h e f a s t e s t g r o w i n g a n d m o s t e x c i t i n g a r e a s i n t h e e l d o f d i s c r e t e m a t h e m a t i c s .

N e e d l e s s t o s a y , t h e r e l a t e d s c i e n t i c l i t e r a t u r e h a s b e e n e x p a n d i n g a t a v e r y r a p i d

p a c e . A n e x a m p l e o f p a r t i c u l a r r e l e v a n c e t o t h i s p a p e r i s t h e e x c e l l e n t r e v i e w v o l u m e

o n t h e t r a v e l i n g s a l e s m a n p r o b l e m ( T S P ) 1 0 ] .

T h i s p a p e r i s c o n c e r n e d w i t h a s p e c i c f a m i l y o f c o m b i n a t o r i a l o p t i m i z a t i o n

p r o b l e m s w h o s e c o m m o n c h a r a c t e r i s t i c i s t h e e x p l i c i t i n c l u s i o n o f p r o b a b i l i s t i c e l e -

m e n t s i n t h e p r o b l e m d e n i t i o n s , a s w i l l b e e x p l a i n e d i n S e c t i o n 2 . F o r t h i s r e a s o n w e

s h a l l r e f e r t o t h e m a s p r o b a b i l i s t i c c o m b i n a t o r i a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s ( P C O P s ) .

T h e a n a l y s i s o f t h e s e p r o b l e m s w a s i n i t i a t e d i n 5 ] w i t h t h e t r a v e l i n g s a l e s m a n p r o b -

l e m ( s e e a l s o 7 ] ) a n d s i n c e t h e n h a s b e e n e x t e n d e d t o t h e v e h i c l e r o u t i n g p r o b l e m

i n 8 ] , t h e s h o r t e s t p a t h p r o b l e m i n 6 ] , t h e s p a n n i n g t r e e p r o b l e m a n d t h e t r a v e l i n g

s a l e s m a n f a c i l i t y l o c a t i o n p r o b l e m i n 2 ] . T h e r e a r e s e v e r a l m o t i v a t i o n s f o r i n v e s t i -

g a t i n g t h e e e c t o f i n c l u d i n g p r o b a b i l i s t i c e l e m e n t s i n c o m b i n a t o r i a l o p t i m i z a t i o n

p r o b l e m s : a m o n g t h e m t w o a r e p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t . T h e r s t o n e i s t h e d e s i r e t o

f o r m u l a t e a n d a n a l y z e m o d e l s w h i c h a r e m o r e a p p r o p r i a t e f o r r e a l - w o r l d p r o b l e m s

w h e r e r a n d o m n e s s i s p r e s e n t . T h e r e a r e m a n y i m p o r t a n t a n d i n t e r e s t i n g a p p l i -

c a t i o n s o f P C O P s , e s p e c i a l l y i n t h e c o n t e x t o f s t r a t e g i c p l a n n i n g , c o m m u n i c a t i o n

s y s t e m s , j o b s c h e d u l i n g , e t c . F o r a d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f s u c h p r o b l e m s t h e r e a d e r

i s r e f e r e d t o 2 , 5 , 7 , 8 ] . T h e s e c o n d m o t i v a t i o n i s a n a t t e m p t t o a n a l y z e t h e r o b u s t -

n e s s ( w i t h r e s p e c t t o o p t i m a l i t y ) o f o p t i m a l s o l u t i o n s f o r d e t e r m i n i s t i c p r o b l e m s ,

w h e n t h e i n s t a n c e s f o r w h i c h t h e s e p r o b l e m s h a v e b e e n s o l v e d , a r e m o d i e d .

O n e c a n a l s o i n t r o d u c e t h e s t u d y o f P C O P s i n t h e g e n e r a l f r a m e w o r k o f a p r i o r i

o p t i m i z a t i o n v e r s u s r e - o p t i m i z a t i o n s t r a t e g y ( s e e 3 ] ) . I n m a n y a p p l i c a t i o n s , o n e

n d s t h a t , a f t e r s o l v i n g a g i v e n i n s t a n c e o f a c o m b i n a t o r i a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m ,

i t b e c o m e s n e c e s s a r y t o s o l v e r e p e a t e d l y m a n y o t h e r i n s t a n c e s o f t h e s a m e p r o b l e m .

T h e s e o t h e r i n s t a n c e s a r e u s u a l l y j u s t v a r i a t i o n s o f t h e i n s t a n c e s o l v e d o r i g i n a l l y .

T h e m o s t o b v i o u s a p p r o a c h i n d e a l i n g w i t h s u c h c a s e s i s t o a t t e m p t t o s o l v e o p t i -

m a l l y e v e r y p o t e n t i a l i n s t a n c e o f t h e o r i g i n a l p r o b l e m . T h r o u g h o u t t h e p a p e r , w e

c a l l t h i s a p p r o a c h t h e r e - o p t i m i z a t i o n s t r a t e g y . R a t h e r t h a n r e - o p t i m i z i n g e v e r y

p o t e n t i a l i n s t a n c e , a d i e r e n t s t r a t e g y w o u l d b e t o n d a n a p r i o r i s o l u t i o n t o t h e

o r i g i n a l p r o b l e m a n d t h e n u p d a t e t h i s a p r i o r i s o l u t i o n t o a n s w e r e a c h p a r t i c u l a r

i n s t a n c e / v a r i a t i o n . T h e P C O P s c o r r e s p o n d t o s u c h a n a l t e r n a t i v e s t r a t e g y .

B a s e d o n t h e p r o b a b i l i s t i c t r a v e l i n g s a l e s m a n p r o b l e m ( P T S P ) a n d o n t h e p r o b -

a b i l i s t i c m i n i m u m s p a n n i n g t r e e p r o b l e m ( P M S T P ) , t h e o b j e c t i v e o f t h i s p a p e r i s t o

g i v e a r i g o r o u s t r e a t m e n t o f t h e p r o b a b i l i s t i c a n a l y s i s o f t h e s e p r o b l e m s i n t h e p l a n e .

M o r e s p e c i c a l l y w e p r e s e n t g e n e r a l n i t e - s i z e b o u n d s a n d l i m i t t h e o r e m s f o r t h e

o b j e c t i v e f u n c t i o n s o f t h e P T S P a n d P M S T P . I n a d d i t i o n t o t h e i r o w n t h e o r e t i c a l

i n t e r e s t s , t h e i m p o r t a n c e o f t h e s e r e s u l t s c o m e s f r o m t h e i r a l g o r i t h m i c a p p l i c a t i o n s .

I n o r d e r t o j u s t i f y t h i s a r m a t i o n , l e t u s r e v i e w t h e c a s e o f t h e t r a v e l i n g s a l e s m a n

p r o b l e m . I n 1 ] i t h a s b e e n s h o w n t h a t , f o r a n y i n n i t e s e q u e n c e o f b o u n d e d i n d e -

2


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p e n d e n t a n d i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d r a n d o m v a r i a b l e s ( X

i

)

i

w i t h v a l u e s i n R

2

, t h e

l e n g t h o f t h e s h o r t e s t t o u r t h r o u g h ( X

1

; : : : ; X

n

) i s a s y m p t o t i c t o

t s p

p

n w i t h p r o b -

a b i l i t y o n e . T h i s t h e o r e t i c a l r e s u l t h a s b e c o m e w i d e l y r e c o g n i z e d t o b e a t t h e h e a r t

o f t h e p r o b a b i l i s t i c e v a l u a t i o n o f t h e p e r f o r m a n c e o f h e u r i s t i c a l g o r i t h m s f o r v e h i c l e

r o u t i n g p r o b l e m s . I n f a c t i t w a s u s e d a s t h e m a i n a r g u m e n t i n t h e p r o b a b i l i s t i c

a n a l y s i s o f p a r t i t i o n n i n g a l g o r i t h m s f o r t h e T S P i n 9 ] . I n 1 6 ] i t w a s m e n t i o n e d

t h a t , i n o r d e r t o r i g o r i z e t h e r e s u l t c o n t a i n e d i n 9 ] , c o m p l e t e c o n v e r g e n c e w a s n e c -

e s s a r y i n s t e a d o f t h e a l m o s t s u r e c o n v e r g e n c e o f 1 ] ; t h e c o m p l e t e c o n v e r g e n c e f o r

t h e T S P f u n c t i o n a l w a s t h e n p r o v e d i n 1 4 ] .

A f t e r g i v i n g t h e n e c e s s a r y d e n i t i o n s a n d n o t a t i o n s i n S e c t i o n 2 , w e b r i e y s u m -

m a r i z e t h e P T S P r e s u l t s o f 5 ] i n S e c t i o n 3 . T h e m a i n i n t e r e s t o f t h e s e c t i o n i s t o

g i v e i n d e t a i l s t h e ( u n p u b l i s h e d ) p r o o f o f t h e a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c e f o r t h e P T S P ,

u s i n g a g e n e r a l r e s u l t o f 1 3 ] a b o u t s u b a d d i t i v e f u n c t i o n a l s . S e c t i o n 4 i s t h e p r i n -

c i p a l s e c t i o n o f t h e p a p e r a n d c o n t a i n s a f u l l d i s c u s s i o n o f t h e P M S T P r e s u l t s . I n

S u b s e c t i o n 4 . 1 , w e r s t c o m p a r e t h e P M S T P w i t h i t s d e t e r m i n i s t i c s p e c i a l c a s e , t h e

M S T P . W e t h e n e v a l u a t e , i n S u b s e c t i o n 4 . 2 , t h e v a r i a t i o n s o f t h e P M S T P f u n c t i o n a l

d u e t o t w o p e r t u r b a t i o n s : r s t , a c h a n g e i n t h e p r o b a b i l i t y o f p r e s e n c e o f a p o i n t ,

a n d s e c o n d , a d e l e t i o n o f a p o i n t . B a s e d o n t h e s e t w o p r e l i m i n a r y s u b s e c t i o n s , w e

d e r i v e , i n S u b s e c t i o n 4 . 3 , u p p e r a n d l o w e r b o u n d s f o r n i t e s i z e P M S T P i n t h e

s q u a r e 0 ; 1

2

. W e t h e n p r e s e n t , i n S u b s e c t i o n 4 . 4 t h e a n a l y s i s o f t h e a s y m p t o t i c

b e h a v i o r o f t h e P M S T P u n d e r t h e a s s u m p t i o n o f i n d e p e n d e n t a n d u n i f o r m l y d i s -

t r i b u t e d p o i n t s i n t h e s q u a r e 0 ; 1

2

. T h e f a c t t h a t t h e P M S T P f u n c t i o n a l i s n o t

m o n o t o n e m a k e s i t n e c e s s a r y t o d e v e l o p s p e c i c t e c h n i q u e s i n o r d e r t o o b t a i n s u c h

a r e s u l t . F i n a l l y , i n S e c t i o n 5 , w e d e r i v e , f o r c o m p a r i s o n w i t h t h e P T S P a n d t h e

P M S T P , t h e a s y m p t o t i c b e h a v i o r o f t h e a l t e r n a t i v e s t r a t e g y o f r e - o p t i m i z i n g t h e

p r o b l e m s . T h i s s e c t i o n r i g o r i z e s a r e s u l t a b o u t t h e P T S P c o n t a i n e d i n 5 ] a n d s h o w s

t h a t c o m p l e t e c o n v e r g e n c e o f t h e T S P a n d M S T P f u n c t i o n a l s a r e n e c e s s a r y i n o r d e r

t o d e r i v e t h e a s y m p t o t i c a n a l y s i s o f t h e r e - o p t i m i z a t i o n s t r a t e g y . I n t h e l a s t s e c t i o n ,

w e s t u d y g e n e r a l i z a t i o n s a n d w e l i s t s o m e i m p o r t a n t o p e n p r o b l e m s .

2 D e n i t i o n s a n d N o t a t i o n s

W e c o n s i d e r s e t s o f p o i n t s i n E u c l i d e a n s p a c e R

2

, a s s u m i n g d i s t a n c e s b e t w e e n p o i n t s

t o b e t h e o r d i n a r y E u c l i d e a n d i s t a n c e , h e r e a f t e r w r i t t e n d . F o r a g i v e n n i t e s e t o f

p o i n t s , t h e t r a v e l i n g s a l e s m a n p r o b l e m ( T S P ) c o n s i s t s o f n d i n g a t o u r t h r o u g h t h e

p o i n t s o f m i n i m u m t o t a l l e n g t h a n d t h e m i n i m u m s p a n n i n g t r e e p r o b l e m ( M S T P )

c o n s i s t s o f n d i n g a s p a n n i n g t r e e o f m i n i m u m t o t a l l e n g t h . W e d e n e t h e f o l l o w i n g

g e n e r a l p r o b a b i l i s t i c v e r s i o n o f t h e s e t w o p r o b l e m s :

T h e P r o b a b i l i s t i c T r a v e l i n g S a l e s m a n P r o b l e m ( P T S P ) :

C o n s i d e r a p r o b l e m o f r o u t i n g t h r o u g h a s e t V o f n p o i n t s . O n a n y g i v e n i n s t a n c e

o f t h e p r o b l e m , o n l y a r a n d o m s u b s e t o f p o i n t s ( c h o s e n a c c o r d i n g t o a p r o b a b i l i t y

l a w d e n e d o n t h e p o w e r s e t 2

V

o f V ) h a s t o b e v i s i t e d . W e w i s h t o n d a p r i o r i a

3


4/23

t o u r t h r o u g h a l l n p o i n t s . O n a n y g i v e n i n s t a n c e , t h e s u b s e t o f p o i n t s p r e s e n t w i l l

t h e n b e v i s i t e d i n t h e s a m e o r d e r a s t h e y a p p e a r i n t h e a p r i o r i t o u r . T h e p r o b l e m

o f n d i n g s u c h a t o u r o f m i n i m u m e x p e c t e d l e n g t h u n d e r t h i s s k i p p i n g s t r a t e g y i s

d e n e d a s a P r o b a b i l i s t i c T r a v e l i n g S a l e s m a n P r o b l e m .

T h e P r o b a b i l i s t i c M i n i m u m S p a n n i n g T r e e P r o b l e m ( P M S T P ) :

G i v e n a s e t V o f n p o i n t s , o n l y a r a n d o m s u b s e t o f p o i n t s ( c h o s e n a c c o r d i n g t o

a p r o b a b i l i t y l a w d e n e d o n t h e p o w e r s e t 2

V

o f V ) i s p r e s e n t o n a n y p a r t i c u l a r

i n s t a n c e o f t h e p r o b l e m . W e w i s h t o n d a p r i o r i a s p a n n i n g t r e e t h r o u g h a l l t h e

p o i n t s s o t h a t , f o r a n y s u b s e q u e n t r a n d o m s u b s e t o f p o i n t s , t h e t r e e i s r e t r a c e d

d e l e t i n g t h e p o i n t s t h a t a r e n o t p r e s e n t ( w i t h t h e i r a d j a c e n t e d g e s ) , p r o v i d e d t h e

d e l e t i o n d o e s n o t d i s c o n n e c t t h e t r e e ( n o t e t h a t , w i t h t h i s s t r a t e g y , t h e r e c a n b e

p o i n t s w h i c h w i l l n o t b e p r e s e n t b u t s t i l l k e p t i n t h e t r e e ; t h e \ d i s c o n n e c t i n g " q u a l i t y

o f a p o i n t i s a g l o b a l p r o p e r t y a n d d e p e n d s u p o n t h e p r e s e n c e o r n o n - p r e s e n c e o f

o t h e r p o i n t s . T h i s i s i n c o n t r a s t w i t h t h e P T S P i n w h i c h t h e \ d i s c o n n e c t i n g " q u a l i t y

o f a p o i n t i s a l o c a l p r o p e r t y ) . T h e p r o b l e m o f n d i n g a n a p r i o r i s p a n n i n g t r e e o f

m i n i m u m e x p e c t e d l e n g t h i s t h e P r o b a b i l i s t i c M i n i m u m S p a n n i n g T r e e P r o b l e m .

I n t h i s p a p e r , w e w i l l c o n c e n t r a t e o n t h e s p e c i a l c a s e f o r w h i c h e a c h p o i n t h a s a

p r o b a b i l i t y p o f b e i n g p r e s e n t , i n d e p e n d e n t l y o f t h e o t h e r s . T h e d e t a i l e d n o t a t i o n s

a n d a s s u m p t i o n s a r e t h e f o l l o w i n g : ( x

i

)

i

= ( x

1

; x

2

; : : : ) r e p r e s e n t s a n a r b i t r a r y

i n n i t e s e q u e n c e o f p o i n t s i n R

2

; x

( n )

= ( x

1

; x

2

; : : : ; x

n

) a r e t h e r s t n p o i n t s o f

( x

i

)

i

. I f t h e p o s i t i o n s o f t h e p o i n t s a r e r a n d o m , t h e s e q u e n c e w i l l b e d e n o t e d b y

u p p e r - c a s e l e t t e r s , i . e . , ( X

i

)

i

= ( X

1

; X

2

; : : : ) . A s s o c i a t e d w i t h ( x

i

)

i

i s a n i n n i t e

s e q u e n c e ( Y

i

)

i

o f i . i . d . B e r n o u i l l i r a n d o m v a r i a b l e s w i t h p a r a m e t e r p s u c h t h a t

p o i n t x

j

i s p r e s e n t i f a n d o n l y i f Y

j

= 1 . T h e d i e r e n t f u n c t i o n a l s o f i n t e r e s t a r e :

L

t s p

( x

( n )

) : t h e l e n g t h o f a n o p t i m a l T S P t o u r t h r o u g h x

( n )

,

L

m s t p

( x

( n )

) : t h e l e n g t h o f a n o p t i m a l M S T P t r e e t h r o u g h x

( n )

,

E l

p t s p

p

( x

( n )

) : t h e e x p e c t e d l e n g t h , i n t h e P T S P s e n s e , o f a n o p t i m a l

P T S P t o u r t h r o u g h x

( n )

,

E l

p m s t p

p

( x

( n )

) : t h e e x p e c t e d l e n g t h , i n t h e P M S T P s e n s e , o f a n o p t i m a l

P M S T P t r e e t h r o u g h x

( n )

,

O

p t s p

p

( x

( n )

) : t h e e x p e c t e d l e n g t h c o m p u t e d u n d e r t h e s t r a t e g y o f r e - o p t i -

m i z i n g t h e t o u r f o r e a c h i n s t a n c e o f t h e p r o b l e m t h r o u g h x

( n )

,

O

p m s t p

p

( x

( n )

) : t h e e x p e c t e d l e n g t h c o m p u t e d u n d e r t h e s t r a t e g y o f r e -

o p t i m i z i n g t h e t r e e f o r e a c h i n s t a n c e o f t h e p r o b l e m t h r o u g h x

( n )

W h e n t h e p o s i t i o n s o f t h e p o i n t s a r e r a n d o m t h e p r e v i o u s q u a n t i t i e s a r e a l l r a n d o m

v a r i a b l e s a n d t h e i r e x p e c t a t i o n s ( w i t h r e s p e c t t o t h e p o s i t i o n o f t h e p o i n t s ) a r e

n o t e d E

4


5/23

3 P r o b a b i l i s t i c T r a v e l i n g S a l e s m a n P r o b l e m s

3 . 1 B a c k g r o u n d

T h e f o l l o w i n g r e s u l t ( g i v e n h e r e f o r c o m p a r i s o n w i t h t h e T S P ) g i v e s t h e o b j e c t i v e

f u n c t i o n o f t h e P T S P a n d c a n b e f o u n d i n 5 , 7 ] :

F a c t 3 . 1 T h e e x p e c t e d l e n g t h o f a n y t o u r t = ( x

( 1 )

; x

( 2 )

; : : : ; x

( n )

; x

( 1 )

) t h r o u g h

x

( n )

i s g i v e n b y p

2

P

n ? 2

r = 0

P

n

i = 1

( 1 ? p )

r

d ( x

( i )

; x

( ( i + r m o d n ) + 1 )

)

I n t h e n e x t r e s u l t , w e c o n s i d e r a s e q u e n c e o f p o i n t s i n 0 ; t

2

a n d g i v e u p p e r a n d

l o w e r b o u n d s o n t h e e x p e c t e d l e n g t h o f a n o p t i m a l P T S P t o u r t h r o u g h t h e r s t n

p o i n t s o f t h e s e q u e n c e . T h e p r o o f s o f t h e s e b o u n d s c a n b e f o u n d i n 5 ] a n d a r e n o t

r e p r o d u c e d h e r e ( t h e u p p e r b o u n d s a r e o b t a i n e d v i a s p e c i a l t o u r - c o n s t r u c t i o n s , t h e

a r g u m e n t s b e i n g v e r y m u c h s i m i l a r t o t h e o n e s d e v e l o p e d i n d e t a i l s f o r t h e P M S T P

i n S e c t i o n 4 . 3 ) . T h e b o u n d s w i l l b e u s e f u l i n t h e a s y m p t o t i c a n a l y s i s o f S e c t i o n 3 . 2 .

L e m m a 3 . 1 ( i ) L e t ( x

i

)

i

b e a n a r b i t r a r y s e q u e n c e o f p o i n t s i n 0 ; t

2

a n d p b e t h e

p r o b a b i l i t y o f e x i s t e n c e o f e a c h p o i n t , t h e n :

E l

p t s p

p

( x

( n )

)

(

(

p

2 ( n p ? 2 ) + 1 3 = 4 ) t i f n p 2 5 ,

( n p = 2 + 3 ) t o t h e r w i s e .

( 3 . 1 )

( i i ) L e t ( X

i

)

i

b e a s e q u e n c e o f p o i n t s i n d e p e n d e n t l y a n d u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d o v e r

0 ; t

2

a n d p b e t h e p r o b a b i l i t y o f e x i s t e n c e o f e a c h p o i n t , t h e n :

E E l

p t s p

p

( X

( n )

)

(

(

p

( 4 = 3 ) ( n p ? 3 ) + 1 1 = 1 2 +

p

2 ) t i f n p 3 7 5 ,

( n p = 3 + 2 = 3 +

p

2 ) t o t h e r w i s e .

( 3 . 2 )

U n d e r t h e s a m e c o n d i t i o n s w e h a v e :

E E l

p t s p

p

( X

( n )

) ( ( 5 = 8 ) p

p

n ( 1 ?

p

n ( 1 ? p )

n ? 1

) ) t ( 3 . 3 )

3 . 2 A s y m p t o t i c A n a l y s i s

T h e o b j e c t i v e o f t h i s a s y m p t o t i c a n a l y s i s i s t o o b t a i n a s t r o n g l i m i t l a w f o r t h e

P T S P .

T h e o r e m 3 . 1 L e t ( X

i

)

i

b e a n i n n i t e s e q u e n c e o f p o i n t s i n d e p e n d e n t l y a n d u n i -

f o r m l y d i s t r i b u t e d o v e r 0 ; 1

2

a n d p b e t h e p r o b a b i l i t y o f e x i s t e n c e o f e a c h p o i n t .

T h e n t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e c o n s t a n t c ( p ) s u c h t h a t :

l i m

n ! 1

E l

p t s p

p

( X

( n )

)

p

n

= c ( p ) ( a . s . ) ( 3 . 4 )

5


6/23

P r o o f :

W e w i l l u s e a g e n e r a l r e s u l t a b o u t s u b a d d i t i v e f u n c t i o n a l s o b t a i n e d i n 1 3 ] . B e f o r e

s t a t i n g t h i s r e s u l t , l e t u s g i v e s o m e d e n i t i o n s . B y a f u n c t i o n a l w e m e a n a r e a l -

v a l u e d f u n c t i o n o f t h e n i t e s u b s e t s o f R

2

. W e s a y t h a t ( a ) i s e u c l i d e a n i f i t

i s l i n e a r a n d i n v a r i a n t u n d e r t r a n s l a t i o n ; ( b ) i s m o n o t o n e i f ( y A ) ( A )

f o r a n y y i n R

2

a n d n i t e s u b s e t s A o f R

2

; ( c ) i s b o u n d e d i f v a r ( X

( n )

)


7/23

i m p l i e s t h a t :

E l

p t s p

p

( x

( n )

)

m

2

X

i = 1

p t s p

p

( x

( n )

\ Q

i

) + b t m : ( 3 . 6 )

N o w , f o r a l l 1 i m

2

, w e h a v e :

p t s p

p

( x

( n )

\ Q

i

) E l

p t s p

p

( x

( n )

\ Q

i

) + 2 (

p

2 t = m ) ( 1 ? p ) ; ( 3 . 7 )

s i n c e t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e t w o t y p e s o f e x p e c t e d l e n g t h a r i s e s o n l y w h e n t h e

p o i n t p l a y i n g t h e r e p r e s e n t a t i v e i s n o t p r e s e n t ( w i t h p r o b a b i l i t y 1 ? p ) , t h i s d i e r e n c e

b e i n g t h e n n o m o r e t h a n t w i c e t h e d i a g o n a l o f t h e s m a l l s q u a r e . F i n a l l y f r o m ( 3 . 6 )

a n d ( 3 . 7 ) w e g e t :

E l

p t s p

p

( x

( n )

)

m

2

X

i = 1

E l

p t s p

p

( x

( n )

\ Q

i

) + ( 2

p

2 ( 1 ? p ) + b ) t m ; ( 3 . 8 )

w h i c h s h o w s t h a t t h e P T S P f u n c t i o n a l i s s u b a d d i t i v e .

F r o m ( 3 . 1 ) , w e k n o w t h a t E l

p t s p

p

( X

( n )

) =

p

n i s u n i f o r m l y b o u n d e d b y a c o n s t a n t ( d e -

p e n d i n g o n l y o n p ) , s o T h e o r e m 3 . 1 a n d L e b e s g u e ' s d o m i n a t e d c o n v e r g e n c e t h e o r e m

i m p l y t h e f o l l o w i n g r e s u l t .

C o r o l l a r y 3 . 1 U n d e r t h e c o n d i t i o n s o f T h e o r e m 3 . 1 w e h a v e :

l i m

n ! 1

E E l

p t s p

p

( X

( n )

)

p

n

= c ( p ) ( 3 . 9 )

R e m a r k :

T h e o r e m 3 . 1 p r o v e s t h e e x i s t e n c e o f a c o n s t a n t w i t h o u t g i v i n g d e t a i l s o n i t s v a l u e ; i n

f a c t , f o r a l l s i m i l a r a s y m p t o t i c r e s u l t s , t h e r e s p e c t i v e l i m i t i n g c o n s t a n t s a r e u n k n o w n

a n d o n l y b o u n d s h a v e b e e n e s t a b l i s h e d . O u r p r o b l e m i s n o e x c e p t i o n a n d o n e c a n

u s e ( 3 . 2 ) a n d ( 3 . 3 ) t o g e t :

5 p = 8 c ( p )

q

4 p = 3 ( 3 . 1 0 )

4 P r o b a b i l i s t i c M i n i m u m S p a n n i n g T r e e P r o b l e m s

4 . 1 R e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e P M S T P a n d t h e M S T P

T h e o b j e c t i v e f u n c t i o n o f a f e a s i b l e s o l u t i o n t o t h e P M S T P i s g i v e n b y t h e f o l l o w i n g

r e s u l t .

P r o p e r t y 4 . 1 L e t ( x

i

)

i

b e a n a r b i t r a r y s e q u e n c e o f p o i n t s a n d p b e t h e p r o b a b i l i t y

o f e x i s t e n c e o f e a c h p o i n t . T h e e x p e c t e d l e n g t h ( i n t h e P M S T P s e n s e ) o f a n y t r e e

T t h r o u g h x

( n )

, d e n e d b y t h e s e t o f i t s e d g e s A

T

, i s g i v e n b y

E l

T

=

X

e 2 A

T

T

( e ) d ( e ) ; ( 4 . 1 )

7


8/23

w h e r e

T

( e ) =

X

e 2 A

T

( 1 ? ( 1 ? p )

V

T

( e )

) ( 1 ? ( 1 ? p )

n ? V

T

( e )

) d ( e ) ;

w i t h d ( e ) t h e l e n g t h o f e d g e e , a n d V

T

( e ) t h e s u b s e t o f p o i n t s c o n t a i n e d i n o n e o f

t h e t w o s u b t r e e s o b t a i n e d f r o m T b y r e m o v i n g t h e e d g e e

P r o o f :

L e t e b e a n e d g e o f T . F o r a n y i n s t a n c e o f t h e p r o b l e m , e w i l l b e p r e s e n t i f a n d

o n l y i f t h e r e i s a t l e a s t o n e p o i n t p r e s e n t i n V

T

( e ) a n d i f t h e r e i s a t l e a s t o n e p o i n t

p r e s e n t i n x

( n )

n V

T

( e )

T h e n e x t r e s u l t g i v e s b o u n d s o n t h e w e i g h t

T

( e ) o f a n y e d g e e o f a t r e e T

P r o p e r t y 4 . 2 L e t ( x

i

)

i

b e a n a r b i t r a r y s e q u e n c e o f p o i n t s a n d p b e t h e p r o b a b i l i t y

o f e x i s t e n c e o f e a c h p o i n t . F o r a n y e d g e e o f a t r e e T t h r o u g h x

( n )

w e h a v e

p ( 1 ? ( 1 ? p )

n ? 1

)

T

( e ) ( 1 ? ( 1 ? p )

d n = 2 e

)

2

( 4 . 2 )

P r o o f :

T h i s f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t f o r p 2 0 ; 1 t h e f u n c t i o n f ( x ) = ( 1 ? ( 1 ? p )

x

) ( 1 ?

( 1 ? p )

n ? x

) i s m o n o t o n e i n c r e a s i n g o n 0 ; n = 2 ] ( n o t e a l s o t h a t

T

( e ) = 0 i f p = 0 ,

a n d

T

( e ) = 1 i f p = 1 ) .

T h e p r i n c i p a l r e s u l t o f t h i s s e c t i o n g i v e s t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e

o b j e c t i v e f u n c t i o n s o f t h e P M S T P a n d M S T P .

L e m m a 4 . 1 L e t ( x

i

)

i

b e a n a r b i t r a r y s e q u e n c e o f p o i n t s a n d p b e t h e p r o b a b i l i t y o f

e x i s t e n c e o f e a c h p o i n t , t h e n

p ( 1 ? ( 1 ? p )

n ? 1

) L

m s t p

( x

( n )

) E l

p m s t p

p

( x

( n )

) ( 1 ? ( 1 ? p )

d n = 2 e

)

2

L

m s t p

( x

( n )

) ( 4 . 3 )

P r o o f :

L e t L

T

b e t h e l e n g t h o f a n y t r e e t h r o u g h x

( n )

. F r o m P r o p e r t y 4 . 1 a n d P r o p e r t y 4 . 2

w e h a v e

p ( 1 ? ( 1 ? p )

n ? 1

) L

T

E l

T

( 1 ? ( 1 ? p )

d n = 2 e

)

2

L

T

( 4 . 4 )

L e t T

b e a n o p t i m a l P M S T P t r e e . F r o m ( 4 . 4 ) w e h a v e

E l

p m s t p

p

( x

( n )

) = E l

T

p ( 1 ? ( 1 ? p )

n ? 1

) L

T

;

a n d s i n c e , b y d e n i t i o n , L

m s t p

( x

( n )

) L

T

, w e o b t a i n t h e l o w e r b o u n d o f ( 4 . 3 ) .

L e t T

b e a n o p t i m a l M S T P t r e e . F r o m ( 4 . 4 ) w e h a v e

E l

T

( 1 ? ( 1 ? p )

d n = 2 e

)

2

L

T

= ( 1 ? ( 1 ? p )

d n = 2 e

)

2

L

m s t p

( x

( n )

) ;

a n d s i n c e , b y d e n i t i o n , E l

p m s t p

p

( x

( n )

) E l

T

, w e o b t a i n t h e u p p e r b o u n d ( 4 . 3 ) .

8


9/23

4 . 2 A n a l y s i s o f T w o P e r t u r b a t i o n s o n T r e e s

I n t h e f o l l o w i n g r e s u l t , w e b o u n d t h e v a r i a t i o n o c c u r i n g i n t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n o f

a t r e e w h e n o n e o f t h e l e a v e s i s c h o s e n t o b e a l w a y s p r e s e n t .

L e m m a 4 . 2 L e t ( x

i

)

i

b e a n a r b i t r a r y s e q u e n c e o f p o i n t s i n a b o u n d e d s e t A , a n d

p b e t h e p r o b a b i l i t y o f e x i s t e n c e o f e a c h p o i n t . F o r a n y t r e e T t h r o u g h x

( n )

, c h o o s e

f r o m x

( n )

a l e a f , s a y x

i

, a n d c o n s i d e r i t a s a l w a y s p r e s e n t , a n d l e t E

i

l

T

b e t h e n e w

e x p e c t e d l e n g t h . T h e n w e h a v e

E l

T

E

i

l

T

E l

T

+ ( A ) ( 1 ? ( 1 ? p )

n ? 1

)

2

( 1 ? p ) = p ; ( 4 . 5 )

w h e r e ( A ) d e n o t e s t h e d i a m e t e r o f t h e s e t A

P r o o f :

W i t h o u t l o s t o f g e n e r a l i t y , s u p p o s e t h a t f o r a n y e d g e e o f t h e t r e e T , V

T

( e ) ( s e e

P r o p e r t y 4 . 1 ) i s c h o s e n t o b e t h e s u b s e t o f p o i n t s t h a t d o e s n o t c o n t a i n x

i

. W e t h e n

h a v e

E

i

l

T

=

X

e 2 A

T

( 1 ? ( 1 ? p )

V

T

( e )

) d ( e ) ( 4 . 6 )

F r o m ( 4 . 1 ) a n d ( 4 . 6 ) w e t h e n h a v e

E

i

l

T

? E l

T

=

X

e 2 A

T

( 1 ? ( 1 ? p )

V

T

( e )

) ( 1 ? p )

n ? V

T

( e )

d ( e )

( 1 ? ( 1 ? p )

n ? 1

)

X

e 2 A

T

( 1 ? p )

n ? V

T

( e )

d ( e )

( A ) ( 1 ? ( 1 ? p )

n ? 1

)

X

e 2 A

T

( 1 ? p )

n ? V

T

( e )

( 4 . 7 )

L e t u s n o w p r o v e t h a t , f o r a n y t r e e T w i t h a l e a f t h a t i s a l w a y s p r e s e n t , w e h a v e

X

e 2 A

T

( 1 ? p )

n ? V

T

( e )

( 1 ? ( 1 ? p )

n ? 1

) ( 1 ? p ) = p ; ( 4 . 8 )

w h e r e , a s b e f o r e , V

T

( e ) i s c h o s e n t o b e t h e s u b s e t o f p o i n t s t h a t d o e s n o t c o n t a i n

t h e l e a f . L e t u s p r o v e i t b y i n d u c t i o n . F o r n = 2 , ( 4 . 8 ) i s t r u e . L e t s u p p o s e i t t o b e

t r u e u p t o n = k ? 1 , a n d c o n s i d e r a t r e e T t h r o u g h x

( k )

, a n d s u p p o s e x

i

( 1 i k )

i s a l e a f t h a t i s a l w a y s p r e s e n t . S u p p o s e x

j

i s a n o t h e r l e a f o f T a n d l e t T

0

b e t h e

t r e e o b t a i n e d f r o m T b y r e m o v i n g x

j

a n d i t s a d j a c e n t e d g e , s a y e

j

. N o w , f o r a n y

e d g e e o f T

0

, i f x

j

2 V

T

( e ) t h e n V

T

( e ) = V

T

( e ) ? 1 , e l s e V

T

( e ) = V

T

( e ) . T h i s

i m p l i e s t h a t

X

e 2 A

T

( 1 ? p )

k ? V

T

( e )

= ( 1 ? p )

k ? V

T

( e

j

)

+

X

e 2 A

T

( 1 ? p )

k ? V

T

( e )

= ( 1 ? p )

k ? 1

+

X

e 2 A

T

( 1 ? p )

k ? V

T

( e )

9


10/23

( 1 ? p )

k ? 1

+

X

e 2 A

T

( 1 ? p )

k ? 1 ? V

T

( e )

( 1 ? p )

k ? 1

+ ( 1 ? ( 1 ? p )

k ? 2

) ( 1 ? p ) = p

= ( 1 ? ( 1 ? p )

k ? 1

) ( 1 ? p ) = p

O n e t h e n c o n c l u d e s f r o m ( 4 . 7 ) a n d ( 4 . 8 ) .

I n t h e s e c o n d r e s u l t o f t h i s s e c t i o n , w e b o u n d t h e c h a n g e o f t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n

o f a n o p t i m a l P M S T o c c u r i n g w h e n o n e p o i n t i s d r o p p e d f r o m x

( n )

L e m m a 4 . 3 L e t ( x

i

)

i

b e a n a r b i t r a r y s e q u e n c e o f p o i n t s i n R

2

a n d p b e t h e p r o b -

a b i l i t y o f e x i s t e n c e o f e a c h p o i n t ; l e t x

( n )

i

= ( x

1

; : : : ; x

i ? 1

; x

i + 1

; : : : ; x

n

) , t h e n w e

h a v e

E l

p m s t p

p

( x

( n )

i

) E l

p m s t p

p

( x

( n )

) +

X

x

j

2 N

T

( i )

T

( x

i

; x

j

) d ( x

i

; x

j

) ; ( 4 . 9 )

w h e r e N

T

( i ) i s t h e s e t o f n e i g h b o r s o f x

i

i n a n o p t i m a l P M S T P t r e e T

t h r o u g h

x

( n )

P r o o f :

L e t T

b e a n o p t i m a l P M S T P t r e e t h r o u g h x

( n )

a n d l e t y b e a n e l e m e n t o f N

T

( i )

s u c h t h a t d ( x

i

; y ) i s m i n i m a l . L e t N

0

T

( i ) d e n o t e N

T

( i ) n f y g . W e g e t a c o n n e c t e d

g r a p h s p a n n i n g x

( n )

i

b y t a k i n g t h e e d g e s o f T

, d e l e t i n g a l l t h e e d g e s i n c i d e n t t o

x

i

, a n d a d d i n g t h e e d g e s w h i c h j o i n y t o t h e o t h e r n e i g h b o r s o f x

i

. L e t T

i

b e t h i s

c o n n e c t e d g r a p h . I t h a s a n e x p e c t e d l e n g t h E l

T

s u c h t h a t

E l

p m s t p

p

( x

( n )

i

) E l

T

=

X

e 2 A

T

T

( e ) d ( e ) ( 4 . 1 0 )

L e t u s c o m p a r e E l

T

w i t h E l

p m s t p

p

( x

( n )

) =

P

e 2 A

T

T

( e ) d ( e ) . W e h a v e

E l

T

=

X

e 2 A

T

\ A

T

T

( e ) d ( e ) +

X

e 2 A

T

n ( A

T

\ A

T

)

T

( e ) d ( e ) ; ( 4 . 1 1 )

a n d

E l

p m s t p

p

( x

( n )

) =

X

e 2 A

T

\ A

T

T

( e ) d ( e ) +

X

e 2 A

T

n ( A

T

\ A

T

)

T

( e ) d ( e ) ( 4 . 1 2 )

N o w f o r a l l e 2 A

T

\ A

T

, c h o o s e V

T

( e ) a n d V

T

( e ) t o b e t h e s u b s e t s t h a t c o n t a i n

y , s o t h a t V

T

( e ) = V

T

( e ) ? 1 . W e t h e n h a v e

T

( e ) = ( 1 ? ( 1 ? p )

V

T

( e )

) ( 1 ? ( 1 ? p )

n ? 1 ? V

T

( e )

)

= ( 1 ? ( 1 ? p )

V

T

( e ) ? 1

) ( 1 ? ( 1 ? p )

n ? 1 ? V

T

( e ) + 1

)

( 1 ? ( 1 ? p )

V

T

( e )

) ( 1 ? ( 1 ? p )

n ? V

T

( e )

)

=

T

( e ) ; ( 4 . 1 3 )

1 0


11/23

w h i c h , t o g e t h e r w i t h ( 4 . 1 0 ) , ( 4 . 1 1 ) a n d ( 4 . 1 2 ) , i m p l i e s t h a t

E l

p m s t p

p

( x

( n )

i

) E l

p m s t p

p

( x

( n )

) +

X

x

j

2 N

T

( i )

T

( y ; x

j

) d ( y ; x

j

)

?

X

x

j

2 N

T

( i )

T

( x

i

; x

j

) d ( x

i

; x

j

) ?

T

( x

i

; y ) d ( x

i

; y ) ( 4 . 1 4 )

B y t r i a n g l e i n e q u a l i t y w e h a v e d ( y ; x

j

) d ( y ; x

i

) + d ( x

i

; x

j

) a n d b y d e n i t i o n o f y

w e h a v e , f o r a l l x

j

2 N

T

( i ) , d ( y ; x

i

) d ( x

i

; x

j

) . W e t h e n h a v e f o r a l l x

j

2 N

T

( i )

d ( y ; x

j

) 2 d ( x

i

; x

j

) ( 4 . 1 5 )

A l s o f o r a l l x

j

2 N

0

T

( i ) , c h o o s e V

T

( x

i

; x

j

) a n d V

T

( y ; x

j

) t o b e t h e s u b s e t s t h a t

c o n t a i n y , s o t h a t V

T

( y ; x

j

) = V

T

( x

i

; x

j

) ? 1 . W e t h e n h a v e

T

( y ; x

j

) = ( 1 ? ( 1 ? p )

V

T

( y x

j

)

) ( 1 ? ( 1 ? p )

n ? 1 ? V

T

( y x

j

)

)

= ( 1 ? ( 1 ? p )

V

T

( x x

j

) ? 1

) ( 1 ? ( 1 ? p )

n ? 1 ? V

T

( x x

j

) + 1

)

( 1 ? ( 1 ? p )

V

T

( x x

j

)

) ( 1 ? ( 1 ? p )

n ? V

T

( x x

j

)

)

=

T

( x

i

; x

j

) ( 4 . 1 6 )

F r o m ( 4 . 1 4 ) , ( 4 . 1 5 ) , a n d ( 4 . 1 6 ) w e n a l l y g e t

E l

p m s t p

p

( x

( n )

i

) E l

p m s t p

p

( x

( n )

) +

X

x

j

2 N

T

( i )

T

( x

i

; x

j

) d ( x

i

; x

j

) ; ( 4 . 1 7 )

w h i c h i m p l i e s ( 4 . 9 ) .

4 . 3 B o u n d s F o r F i n i t e S i z e P r o b l e m s

I n t h i s s e c t i o n w e c o n s i d e r s e q u e n c e s o f p o i n t s i n 0 ; 1

2

a n d d e r i v e u p p e r a n d l o w e r

b o u n d s o n t h e e x p e c t e d l e n g t h o f a n o p t i m a l P M S T P t r e e t h r o u g h t h e r s t n p o i n t s

o f t h e s e q u e n c e .

L e m m a 4 . 4 L e t ( x

i

)

i

b e a n a r b i t r a r y s e q u e n c e o f p o i n t s i n 0 ; 1

2

a n d p b e t h e

p r o b a b i l i t y o f e x i s t e n c e o f e a c h p o i n t , t h e n :

E l

p m s t p

p

( x

( n )

)

(

( 1 ? ( 1 ? p )

d n = 2 e

)

2

(

p

n ? 2 + 7 = 4 ) i f n 3 ,

( 1 ? ( 1 ? p )

d n = 2 e

)

2

( n = 4 + 2 ) o t h e r w i s e .

( 4 . 1 8 )

P r o o f :

F r o m L e m m a 4 . 1 w e h a v e

E l

p m s t p

p

( x

( n )

) ( 1 ? ( 1 ? p )

d n = 2 e

)

2

L

m s t p

( x

( n )

) ( 4 . 1 9 )

1 1


12/23

L e t L

( 1 )

m s t p

( x

( n )

) b e t h e l e n g t h o f a n o p t i m a l M S T P t r e e t h r o u g h x

( n )

w h e n t h e

d i s t a n c e b e t w e e n p o i n t s i s t h e l

1

m e t r i c ( i . e . , r e c t a n g u l a r m e t r i c ) . W e o b v i o u s l y

h a v e

L

m s t p

( x

( n )

) L

( 1 )

m s t p

( x

( n )

) ( 4 . 2 0 )

N o w t h e i m p o r t a n t f a c t i s t h a t L

( 1 )

m s t p

i s a m o n o t o n e f u n c t i o n a l . S u p p o s e t h e s q u a r e

0 ; 1

2

i s d e s c r i b e d b y 0 h 1 ( h o r i z o n t a l a x i s ) a n d 0 v 1 ( v e r t i c a l a x i s ) . L e t

t h e n p o i n t s o f x

( n )

h a v e c o - o r d i n a t e s ( h

1

; v

1

) ; : : : ; ( h

n

; v

n

) . D i v i d e t h e s q u a r e i n t o

2 q r o w s o f e q u a l w i d t h ( q b e i n g a p o s i t i v e i n t e g e r t o b e c h o s e n l a t e r ) ; t h e s q u a r e

i s t h e n c o m p o s e d o f 2 q + 1 h o r i z o n t a l l i n e s a n d 2 v e r t i c a l l i n e s . T h e i n t e r s e c t i o n s

o f t h e h o r i z o n t a l l i n e s w i t h t h e v e r t i c a l l i n e s g i v e 4 q + 2 p o i n t s t h a t w e a d d t o t h e

s e t x

( n )

. W e c o n s t r u c t a t r e e s p a n n i n g x

( n )

a n d 3 q + 2 o f t h e s e i n t e r s e c t i o n p o i n t s

c o n s i s t i n g o f ( i ) t h e q + 1 h o r i z o n t a l l i n e s 0 h 1 ; v = 0 ; 1 = q ; 2 = q ; : : : ; 1 ; ( i i ) t h e

n v e r t i c a l l i n k s c o n n e c t i n g e a c h p o i n t o f x

( n )

t o t h e n e a r e s t s u c h l i n e , a n d ( i i i ) t h e

v e r t i c a l l i n e h = 0 ; 0 v 1 . T h e l e n g t h o f t h i s t r e e i s

l

1

= q + 1 +

n

X

i = 1

d

i

+ 1 ; ( 4 . 2 1 )

w h e r e d

i

i s t h e l e n g t h o f t h e v e r t i c a l l i n k f r o m x

i

t o i t s n e a r e s t h o r i z o n t a l l i n e .

W e c o n s t r u c t a s i m i l a r s p a n n i n g t r e e t h r o u g h x

( n )

a n d 3 q ? 1 i n t e r s e c t i o n p o i n t s . I t

c o n s i s t s o f ( i ) t h e q h o r i z o n t a l l i n e s 0 h 1 ; v = 1 = 2 q ; 3 = 2 q ; : : : ; ( 2 q ? 1 ) = 2 q ; ( i i )

t h e n v e r t i c a l l i n k s c o n n e c t i n g e a c h p o i n t o f x

( n )

t o t h e n e a r e s t s u c h l i n e , a n d ( i i i )

t h e v e r t i c a l l i n e h = 0 ; 1 = 2 q v ( 2 q ? 1 ) = 2 q . T h e l e n g t h o f t h i s t r e e i s

l

2

= q +

n

X

i = 1

d

0

i

+ 1 ? 1 = q ; ( 4 . 2 2 )

w h e r e d

0

i

i s t h e l e n g t h o f t h e v e r t i c a l l i n k f r o m x

i

t o i t s n e a r e s t h o r i z o n t a l l i n e .

F r o m t h e d e n i t i o n o f L

( 1 )

m s t p

, a n d f r o m i t s m o n o t o n y , w e h a v e L

( 1 )

m s t p

( x

( n )

) l

1

; a n d

L

( 1 )

m s t p

( x

( n )

) l

2

H e n c e w e h a v e

L

( 1 )

m s t p

( x

( n )

) ( l

1

+ l

2

) = 2 ( 4 . 2 3 )

S i n c e d

i

+ d

0

i

= 1 = 2 q f o r a l l i 2 1 n ] , w e g e t f r o m ( 4 . 2 0 ) , ( 4 . 2 1 ) , ( 4 . 2 2 ) , a n d ( 4 . 2 3 )

L

m s t p

( x

( n )

) ( 2 q + 1 + n = 2 q + 2 ? 1 = q ) = 2 = ( 2 q + ( n ? 2 ) = 2 q + 3 ) = 2 ( 4 . 2 4 )

F i n a l l y , b y c h o s i n g t h e b e s t i n t e g e r q i n ( 4 . 2 4 ) , w e g e t , t o g e t h e r w i t h ( 4 . 1 9 ) , t h e

b o u n d s o f L e m m a 4 . 4 .

I f w e m a k e a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n s o n t h e p o s i t i o n o f t h e p o i n t s w e c a n a l s o d e r i v e

l o w e r b o u n d a s s h o w n i n t h e n e x t l e m m a .

1 2


13/23

L e m m a 4 . 5 L e t ( X

i

)

i

b e a s e q u e n c e o f p o i n t s i n d e p e n d e n t l y a n d u n i f o r m l y d i s -

t r i b u t e d o v e r 0 ; 1

2

a n d p b e t h e p r o b a b i l i t y o f e x i s t e n c e o f e a c h p o i n t , t h e n :

E E l

p m s t p

p

( X

( n )

)

p

p

n

2

( 1 ? 1 = n ) ( 1 ? ( 1 ? p )

n ? 1

) ( 4 . 2 5 )

P r o o f :

F r o m L e m m a 4 . 1 w e h a v e

E E l

p m s t p

p

( X

( n )

) p ( 1 ? ( 1 ? p )

n ? 1

) E L

m s t p

( X

( n )

) ( 4 . 2 6 )

N o w l e t u s s h o w t h a t

E L

m s t p

( X

( n )

) ( n ? 1 ) = ( 2

p

n ) ( 4 . 2 7 )

L e t D

i

d e n o t e t h e d i s t a n c e o f X

i

f r o m t h e n e a r e s t o f X

1

; : : : ; X

i ? 1

; X

i + 1

; : : : ; X

n

I t

i s t h e n o b v i o u s t h a t

L

m s t p

( X

( n )

)

n ? 1

X

i = 1

D

i

;

w h i c h i m p l i e s t h a t

E L

m s t p

( X

( n )

)

n ? 1

X

i = 1

E

i

E

c

i

D

i

; ( 4 . 2 8 )

w h e r e E

i

i s t h e e x p e c t a t i o n o v e r X

i

, a n d E

c

i

i s t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o v e r

f X

1

; : : : ; X

n

g g i v e n X

i

L e t C

r

d e n o t e a c i r c l e o f r a d i u s r c e n t e r e d a t X

i

a n d V

r

b e t h e s u r f a c e o f C

r

\

0 ; 1

2

. W e t h e n h a v e

E

c

i

D

i

=

Z

1

0

P ( D

i

> r X

i

) d r ;

=

Z

1

0

( 1 ? V

r

)

n ? 1

d r ( 4 . 2 9 )

S i n c e ( 1 ? z )

n ? 1

i s a n o n - i n c r e a s i n g n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n o f z f o r 0 z 1 , a n d

s i n c e V

r

m i n f r

2

; 1 g , e q u a t i o n ( 4 . 2 9 ) l e a d s t o :

E

c

i

D

i

Z

1 =

p

0

( 1 ? y

2

)

n ? 1

d y =

1

2

p

Z

1

0

x

? 1 = 2

( 1 ? x )

n ? 1

d x

=

1

2

p

B ( 1 = 2 ; n ) = ? ( n ) = 2 ? ( n + 1 = 2 ) ( 4 . 3 0 )

L e t a

n

= ? ( n ) n

1 = 2

= ? ( n + 1 = 2 ) . F r o m S t i r l i n g f o r m u l a w e h a v e l i m

n ! 1

a

n

= 1 , a n d ,

s i n c e a

n

= a

n + 1

= ( 1 + 1 = 2 n ) ( 1 + 1 = n )

? 1 = 2

1 , w e h a v e f r o m ( 4 . 3 0 )

E

c

i

D

i

n

? 1 = 2

= 2 ( 4 . 3 1 )

T o g e t h e r w i t h ( 4 . 2 8 ) , t h i s s h o w s t h e v a l i d i t y o f ( 4 . 2 7 ) . T h e n a l r e s u l t t h e n f o l l o w s

f r o m ( 4 . 2 6 ) a n d ( 4 . 2 7 ) .

1 3


14/23

4 . 4 A s y m p t o t i c A n a l y s i s

T h e o b j e c t i v e o f t h i s a n a l y s i s i s t o o b t a i n t h e l i m i t i n g b e h a v i o r o f E E l

p m s t p

p

( X

( n )

)

T h e o r e m 4 . 1 L e t ( X

i

)

i



2


T h e n t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e c o n s t a n t d ( p ) s u c h t h a t :

l i m

n ! 1

E E l

p m s t p

p

( X

( n )

)

p

n

= d ( p ) ( 4 . 3 2 )

N o t e :

T h e p r o o f o f t h i s r e s u l t c a n n o t b e b a s e d o n t h e a s y m p t o t i c s o f s u b a d d i t i v e f u n c -

t i o n a l s a s d e r i v e d i n 1 3 ] , b e c a u s e t h e P M S T P f u n c t i o n a l i s n o t m o n o t o n e . A l s o

i t c a n n o t b e b a s e d d i r e c t l y o n t h e m e t h o d d e v e l o p e d b y 1 ] f o r t h e T S P , s i n c e t h e

P M S T P f u n c t i o n a l , i n a d d i t i o n t o b e i n g n o t m o n o t o n e , d o e s n o t s e e m t o v e r i f y s e v -

e r a l p r o p e r t i e s o n w h i c h t h e m e t h o d o f 1 ] i s d i r e c t l y b a s e d . F o r e x a m p l e i t w o u l d

r e q u i r e t h a t , f o r a n y n i t e c o l l e c t i o n o f s q u a r e s Q

j

, 1 j s , w e h a v e

s

X

j = 1

E l

p m s t p

p

( x

( n )

\ Q

j

) E l

p m s t p

p

( x

( n )

\ (

s

j = 1

Q

j

) ) + O ( 1 ) ; ( 4 . 3 3 )

a n d w e h a v e n o t b e e n a b l e t o s h o w i t f o r t h e P M S T P . N e v e r t h e l e s s , h a v i n g b e e n

i n s p i r e d b y i d e a s c o n t a i n e d i n 1 ] a n d 1 5 ] , w e w i l l p r o v e t h i s t h e o r e m w i t h t h e

h e l p o f t h e f o l l o w i n g t w o l e m m a s , c o n s e q u e n c e s o f r e s u l t s s t a t e d i n o u r p r e v i o u s

s u b s e c t i o n s .

L e m m a 4 . 6 L e t ( x

i

)

i

b e a n a r b i t r a r y s e q u e n c e o f p o i n t s i n R

2

a n d p b e t h e p r o b a -

b i l i t y o f e x i s t e n c e o f e a c h p o i n t ; l e t ( A

i

)

1 i s

b e a p a r t i t i o n o f a g i v e n b o u n d e d s e t

A , t h e n w e h a v e :

E l

p m s t p

p

( x

( n )

\ A )

s

X

i = 1

E l

p m s t p

p

( x

( n )

\ A

i

) +

s ? 1

X

i = 1

( A

i

A

i + 1

)

+ ( ( 1 ? p ) = p )

s

X

i = 1

( A

i

) ; ( 4 . 3 4 )

w h e r e ( S ) d e n o t e s t h e d i a m e t e r o f a s e t S

P r o o f :

T h e p r o o f i s s i m i l a r t o t h e d e m o n s t r a t i o n o f t h e s u b a d d i t i v i t y p r o p e r t y o f t h e P T S P

f u n c t i o n a l d e v e l o p e d i n S e c t i o n 3 . 2 . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g t r e e t h r o u g h t h e s e -

q u e n c e x

( n )

\ A : r s t c o n s t r u c t t h e o p t i m a l P M S T P t r e e t h r o u g h x

( n )

\ A

i

f o r

1 i s . T h e n , i n e a c h s u b s e t A

i

w h e r e x

( n )

\ A

i

i s n o t e m p t y , c h o o s e o n e l e a f a s

a r e p r e s e n t a t i v e , s a y y

i

, a n d c o n s i d e r i t a s a l w a y s p r e s e n t ; n a l l y c o n s t r u c t a t r e e

t h r o u g h t h e s e t S o f a l l r e p r e s e n t a t i v e s ( a t m o s t s p o i n t s ) b y s i m p l y c o n n e c t i n g y

i

1 4


15/23

t o y

i + 1

f o r 1 i s ? 1 . T h e c o m b i n a t i o n o f t h e s m a l l P M S T P s u b t r e e s t o g e t h e r

w i t h t h e t r e e c o n n e c t i n g t h e r e p r e s e n t a t i v e s g i v e s a s p a n n i n g t r e e t h r o u g h x

( n )

\ A

B y t h e f a c t t h a t t h e r e p r e s e n t a t i v e s a r e a l w a y s p r e s e n t t h i s s p a n n i n g t r e e h a s

a n e x p e c t e d l e n g t h ( i n t h e P M S T P s e n s e ) b o u n d e d f r o m a b o v e b y :

s

X

i = 1

p m s t p

p

( x

( n )

\ A

i

) +

s ? 1

X

i = 1

( A

i

A

i + 1

) ; ( 4 . 3 5 )

w h e r e

p m s t p

p

( x

( n )

\ A

i

) d e n o t e s t h e n e w e x p e c t e d l e n g t h o f t h e P M S T P t r e e ( i n i t i a l l y

c o n s t r u c t e d i n A

i

)

T h e e x p e c t e d l e n g t h o f t h i s t r e e d e c r e a s e s i f o n e t u r n s b a c k e a c h r e p r e s e n t a t i v e

i n t o a n o r m a l p o i n t ; t h u s w e o b t a i n a t r e e t h r o u g h x

( n )

\ A o f e x p e c t e d l e n g t h

b o u n d e d f r o m a b o v e b y ( 4 . 3 5 ) a n d f r o m b e l o w b y E l

p m s t p

p

( x

( n )

\ A ) . H e n c e w e

h a v e :

E l

p m s t p

p

( x

( n )

\ A )

s

X

i = 1

p m s t p

p

( x

( n )

\ A

i

) +

s ? 1

X

i = 1

( A

i

A

i + 1

) ( 4 . 3 6 )

N o w , f r o m L e m m a 4 . 2 o n e c a n d e d u c e t h a t , f o r a l l 1 i s , w e h a v e :

p m s t p

p

( x

( n )

\ A

i

) E l

p t s p

p

( x

( n )

\ A

i

) + ( ( 1 ? p ) = p ) ( A

i

) ( 4 . 3 7 )

F i n a l l y f r o m ( 4 . 3 6 ) a n d ( 4 . 3 7 ) w e g e t t h e d e s i r e d r e s u l t .

R e m a r k :

W h e n A i s t h e s e t 0 ; t

2

, a n d w h e n ( A

i

)

1 i m

2 i s a p a r t i t i o n o f t h e s q u a r e 0 ; t

2

i n t o s q u a r e s w i t h e d g e s p a r a l l e l t o t h e a x l e a n d o f l e n g t h t = m ( l a b e l e d f r o m t o p l e f t

t o b o t t o m i n a s e r p e n t i n e w a y ) , w e h a v e

m

2

? 1

X

i = 1

( A

i

A

i + 1

) + ( ( 1 ? p ) = p )

m

2

X

i = 1

( A

i

) m

2

(

p

5 t = m + ( ( 1 ? p ) = p )

p

2 t = m ) ;

w h i c h i m p l i e s t h a t t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e c o n s t a n t B ( p ) =

p

5 + ( ( 1 ? p ) = p )

p

2 s u c h

t h a t

E l

p m s t p

p

( x

( n )

\ 0 ; t

2

)

m

2

X

i = 1

E l

p m s t p

p

( x

( n )

\ A

i

) + B ( p ) t m ( 4 . 3 8 )

E q u a t i o n ( 4 . 3 8 ) s i m p l y s a y s t h a t t h e P M S T P f u n c t i o n a l i s s u b a d d i t i v e i n t h e s e n s e

o f 1 3 ] ( s e e a l s o t h e p r o o f o f T h e o r e m 3 . 1 ) .

L e m m a 4 . 7 L e t ( X

i

)

i

b e a s e q u e n c e o f p o i n t s i n d e p e n d e n t l y a n d u n i f o r m l y d i s -

t r i b u t e d o v e r 0 ; 1

2

a n d p b e t h e p r o b a b i l i t y o f e x i s t e n c e o f e a c h p o i n t , t h e n , f o r

n 1 ,

( n ? 1 )

2

E E l

p m s t p

p

( X

( n ? 1 )

) n

2

E E l

p m s t p

p

( X

( n )

) ( 4 . 3 9 )

1 5


16/23

P r o o f :

B y s u m m i n g i n e q u a l i t y ( 4 . 9 ) o v e r 1 i n w e g e t

n

X

i = 1

E l

p m s t p

p

( x

( n )

i

) n E l

p m s t p

p

( x

( n )

) +

n

X

i = 1

X

x

j

2 N

T

( i )

T

( x

i

; x

j

) d ( x

i

; x

j

) ;

w h i c h i m p l i e s t h a t

n E E l

p m s t p

p

( X

( n ? 1 )

) ( n + 2 ) E E l

p m s t p

p

( X

( n )

) ( 4 . 4 0 )

M u l t i p l y i n g b o t h s i d e s o f ( 4 . 4 0 ) b y ( n ? 2 + 1 = n ) , w e o b t a i n t h e d e s i r e d r e s u l t .

P r o o f o f T h e o r e m 4 . 1 : T h e a s y m p t o t i c s o f E E l

p m s t p

p

( X

( n )

) ] c a n n o w b e o b t a i n e d

b y a t e c h n i q u e o f P o i s s o n s m o o t h i n g f o l l o w e d b y a T a u b e r i a n a r g u m e n t .

P o i s s o n s m o o t h i n g :

L e t b e a P o i s s o n p o i n t p r o c e s s o n R

2

w i t h c o n s t a n t i n t e n s i t y e q u a l t o 1 . F o r a n y

b o u n d e d B o r e l s e t A , E l

p m s t p

p

( ( A ) ) w i l l d e n o t e t h e e x p e c t e d l e n g t h i n t h e P M S T P

s e n s e o f a n o p t i m a l P M S T P t r e e t h r o u g h t h e n i t e s e t o f p o i n t s ( A ) . N o w l e t

( t ) = E E l

p m s t p

p

( ( 0 ; t

2

) ) ] . B y t a k i n g e x p e c t a t i o n i n ( 4 . 3 8 ) w e c a n d e d u c e t h a t i f

( A

i

)

1 i m

2 i s a p a r t i t i o n o f t h e s q u a r e 0 ; t

2

i n t o s q u a r e s w i t h e d g e s p a r a l l e l t o t h e

a x l e a n d o f l e n g t h t = m , t h e n t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e c o n s t a n t B ( p ) s u c h t h a t

( t ) m

2

( t = m ) + B ( p ) t m ( 4 . 4 1 )

F r o m ( 4 . 4 1 ) a n d t h e c o n t i n u i t y o f , l e t u s s h o w t h a t t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t d ( p ) 0

s u c h t h a t

( t ) d ( p ) t

2

a s t ! 1 ( 4 . 4 2 )

S e t t i n g t = m u a n d d i v i d i n g b y ( m u )

2

i n ( 4 . 4 1 ) y i e l d s

( m u ) = ( m u )

2

( u ) = u

2

+ B ( p ) = u ( 4 . 4 3 )

N o w l e t d ( p ) = l i m i n f

u ! 1

( u ) = u

2

0 . F r o m t h e c o n t i n u i t y o f a n d t h e d e n i t i o n

o f a l i m i n f , o n e c a n n d , f o r a n y " > 0 , a n i n t e r v a l u

0

; u

1

] s u c h t h a t

( u ) = u

2

+ B ( p ) = u d ( p ) + "

f o r a l l u 2 u

0

; u

1

] . F r o m ( 4 . 4 3 ) t h i s i m p l i e s t h a t , f o r a l l i n t e g e r m , w e h a v e f o r

u 2 u

0

; u

1

( m u ) = ( m u )

2

d ( p ) + " ( 4 . 4 4 )

I f w e l e t B = f t 2 R : ( t ) = t

2

d ( p ) + " g , t h e n f r o m ( 4 . 4 4 ) w e h a v e

1

m = 1

m u

0

; m u

1

B ( 4 . 4 5 )

M o r e o v e r , b y c h o o s i n g m

0

= u

0

= ( u

1

? u

0

) , t h e i n t e r v a l s m u

0

; m u

1

] a r e o v e r l a p p i n g

f o r m m

0

, a n d s o ( 4 . 4 5 ) i m p l i e s t h a t

m

0

u

0

; 1 B ; ( 4 . 4 6 )

1 6


17/23

w h i c h i m p l i e s t h a t l i m s u p

u ! 1

( u ) = u

2

d ( p ) + " , a n d t h i s t e r m i n a t e s t h e p r o o f o f

( 4 . 4 2 ) .

T a u b e r i a n a r g u m e n t :

B y t h e d e n i t i o n o f ( t ) a n d b y s c a l i n g p r o p e r t y w e h a v e

( t ) = t

1

X

n = 0

'

n

e

? t

2

t

2 n

n !

; ( 4 . 4 7 )

w h e r e '

n

= E E l

p m s t p

p

( X

( n )

) ] . S e t t i n g t =

p

u i n ( 4 . 4 7 ) a n d u s i n g ( 4 . 4 2 ) , w e h a v e

l i m

u ! 1

(

p

u )

u

= l i m

u ! 1

u

? 1 = 2

1

X

n = 0

'

n

e

? u

u

n

n !

= d ( p ) ( 4 . 4 8 )

W e a r e n o w g o i n g t o u s e a c l a s s i c a l T a u b e r i a n t h e o r e m d u e t o S c h m i d t 1 2 ] ( s e e

4 ] ) :

T h e o r e m ( S c h m i d t ) : I f w e h a v e

l i m

x ! 1

1

X

n = 0

a

n

e

? x

x

n

n !

= s ; ( 4 . 4 9 )

t h e n

l i m

n ! 1

a

n

= s

i f a n d o n l y i f

l i m

" ! 0

+

l i m i n f

n ! 1

m i n

n m n + "

p

n

f a

m

? a

n

g 0 ( 4 . 5 0 )

I n o r d e r t o u s e t h i s t h e o r e m , r s t l e t u s s h o w t h a t

l i m

u ! 1

1

X

n = 0

'

n

p

n

e

? u

u

n

n !

= d ( p ) ( 4 . 5 1 )

L e t ' ( u ) =

P

1

n = 0

( '

n

=

p

n ) e

? u

u

n

= n ! . F r o m L e m m a 4 . 4 w e k n o w t h a t t h e r e e x i s t s a

c o n s t a n t , s a y C , s u c h t h a t

'

n

C

p

n ( 4 . 5 2 )

H e n c e , w e h a v e f o r 0 < "


18/23

A l s o w e h a v e

' ( u )

b u ( 1 + " ) c

X

n = 0

'

n

p

n

e

? u

u

n

n !

( b u ( 1 + " ) c )

? 1 = 2

b u ( 1 + " ) c

X

n = 0

'

n

e

? u

u

n

n !

= ( b u ( 1 + " ) c )

? 1 = 2

2

4

1

X

n = 0

'

n

e

? u

u

n

n !

?

1

X

n = b u ( 1 + " ) c + 1

'

n

e

? u

u

n

n !

3

5

( b u ( 1 + " ) c )

? 1 = 2

2

4

1

X

n = 0

'

n

e

? u

u

n

n !

? C u

1

X

n = b u ( 1 + " ) c

e

? u

u

n

n !

3

5

; ( 4 . 5 5 )

w h e r e w e h a v e u s e d i n t h e l a s t i n e q u a l i t y t h e f a c t t h a t '

n

C

p

n C n . H e r e

a g a i n , f r o m t h e b e h a v i o r o f t h e p r o b a b i l i t y i n t h e t a i l o f a P o i s s o n d i s t r i b u t i o n t h e

s e c o n d t e r m i n ( 4 . 5 5 ) g o e s t o z e r o w h e n u g o e s t o i n n i t y , s o t h a t ( 4 . 4 8 ) a n d ( 4 . 5 5 )

g i v e

l i m i n f

u ! 1

' ( u ) ( 1 + " )

? 1 = 2

d ( p ) ( 4 . 5 6 )

E q u a t i o n s ( 4 . 5 4 ) a n d ( 4 . 5 6 ) n a l l y p r o v e ( 4 . 5 1 ) .

I n o r d e r t o c o n c l u d e i t r e m a i n s t o p r o v e t h a t '

n

=

p

n v e r i e s t h e c o n d i t i o n ( 4 . 5 0 ) .

F r o m L e m m a 4 . 7 w e h a v e m

2

'

m

n

2

'

n

f o r a l l m n . H e n c e w e h a v e

'

m

=

p

m ? '

n

=

p

n '

n

=

p

n ( ( n = m )

5 = 2

? 1 ) ( 4 . 5 7 )

A l s o f r o m L e m m a 4 . 5 w e k n o w t h a t t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e c o n s t a n t C

0

s u c h t h a t

'

n

=

p

n C

0

. S o n a l l y w e h a v e f o r n m n + "

p

n

'

m

=

p

m ? '

n

=

p

n C

0

( ( 1 + " =

p

n )

? 5 = 2

? 1 ) ; ( 4 . 5 8 )

w h i c h s h o w s t h e v a l i d i t y o f ( 4 . 5 0 ) f o r '

n

=

p

n

T h e c o n s t a n t d ( p ) i s u n k n o w n a n d t h e o n l y b o u n d s a v a i l a b l e a r e g i v e n b y t h e

f o l l o w i n g l e m m a :

L e m m a 4 . 8 W e h a v e f o r a l l p i n 0 ; 1 :

p = 2 d ( p )

m s t p

; ( 4 . 5 9 )

w h e r e

m s t p

i s t h e \ M S T P - c o n s t a n t " .

P r o o f :

T h e l o w e r b o u n d f o l l o w s f r o m L e m m a 4 . 5 a n d t h e u p p e r b o u n d f r o m L e m m a 4 . 1 a n d

t h e f a c t t h a t E L

m s t p

( X

( n )

) =

p

n g o e s t o a c o n s t a n t

m s t p

w h e n n g o e s t o i n n i t y

( s e e f o r e x a m p l e 1 5 ] ) .

1 8


19/23

5 A n a l y s i s o f t h e R e - O p t i m i z a t i o n S t r a t e g i e s

W e a r e i n t e r e s t e d , i n t h i s s e c t i o n , i n t h e b e h a v i o r s o f O

p t s p

p

( X

( n )

) a n d O

p m s t p

p

( X

( n )

)

w h e n n g o e s t o i n n i t y . W e h a v e t h e f o l l o w i n g t h e o r e m :

T h e o r e m 5 . 1 L e t ( X

i

)

i



2


T h e n w e h a v e :

l i m

n ! 1

O

p t s p

p

( X

( n )

)

p

n

=

t s p

p

p ( a . s . ) ; ( 5 . 6 0 )

a n d

l i m

n ! 1

O

p m s t p

p

( X

( n )

)

p

n

=

m s t p

p

p ( a . s . ) ; ( 5 . 6 1 )

w h e r e

t s p

a n d

m s t p

a r e r e s p e c t i v e l y t h e \ T S P - c o n s t a n t " a n d t h e \ M S T P - c o n s t a n t " .

P r o o f :

L e t u s r s t p r o v e ( 5 . 6 0 ) . W e w i l l s u p p o s e t h a t t h e s e q u e n c e s ( X

i

)

i

a n d ( Y

i

)

i

( s e e

S e c t i o n 2 ) a r e d e n e d o n t h e i r c a n o n i c a l p r o b a b i l i t y s p a c e , h e r e d e n o t e d r e s p e c t i v e l y

(

1

; A

1

; P

1

) a n d (

2

; A

2

; P

2

) . I f L

t s p

( A ) d e n o t e s t h e l e n g t h o f a n o p t i m a l T S P

t o u r t h r o u g h t h e n i t e s e t o f p o i n t s A , l e t ( L

n

)

n

b e a s e q u e n c e o f r a n d o m v a r i a b l e s

d e n e d o n (

1

; A

1

; P

1

) b y :

8 n 2 N ; L

n

= L

t s p

( X

j

; 1 j n )

L e t ( I

n

)

n

a n d ( M

n

)

n

b e s e q u e n c e s o f r a n d o m v a r i a b l e s d e n e d o n (

2

; A

2

; P

2

) b y :

8 n 2 N ;

(

I

n

= f j : 1 j n a n d Y

j

= 1 g ;

M

n

=

P

n

j = 1

1

f Y

j

= 1 g

B y d e n i t i o n , t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n o f t h e r e - o p t i m i z a t i o n s t r a t e g y i s

O

p t s p

p

( X

( n )

) =

Z

2

L

t s p

( X

j

; j 2 I

n

) d P

2

( 5 . 6 2 )

F r o m 1 4 ] w e k n o w t h a t t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e c o n s t a n t

t s p

s u c h t h a t

8 " > 0 ;

X

n

P

1

( L

n

=

p

n ?

t s p

> " )


20/23

F i n a l l y , f r o m L e m m a 3 . 1 a p p l i e d w i t h p = 1 , w e k n o w t h a t L

t s p

( X

j

; j 2 I

n

) =

p

n

i s u n i f o r m l y b o u n d e d b y a c o n s t a n t . I t i s t h e n e a s y t o c o n c l u d e f r o m ( 5 . 6 5 ) a n d

L e b e s g u e ' s d o m i n a t e d c o n v e r g e n c e t h e o r e m .

I n o r d e r t o p r o v e ( 5 . 6 1 ) , t h e a r g u m e n t i s i d e n t i c a l i f o n e s h o w s t h a t t h e r e i s c o m p l e t e

c o n v e r g e n c e f o r t h e M S T P f u n c t i o n a l ( i . e . , i f o n e c a n g e t a r e s u l t s i m i l a r t o ( 5 . 6 3 ) ) .

I n o r d e r t o d o t h a t w e w i l l u s e t h e f o l l o w i n g r e s u l t , p r o v e d i n 1 5 ] ,

l i m

n ! 1

E L

m s t p

( X

( n )

)

p

n

=

m s t p

p

p ; ( 5 . 6 6 )

a n d a m a r t i n g a l e i n e q u a l i t y a r g u m e n t d u e t o 1 1 ] . L e t

i

b e t h e - a l g e b r a g e n e r a t e d

b y ( X

k

)

k i

a n d l e t h

i

= L

m s t p

( X

( n )

) ? L

m s t p

( X

( n )

i

) , w h e r e X

( n )

i

= ( X

1

; : : : ; X

i ? 1

;

X

i + 1

; : : : ; X

n

) . T h e n

d

i

d e f

= E L

m s t p

( X

( n )

)

i

? E L

m s t p

( X

( n )

)

i ? 1

= E h

i

i

? E h

i

i ? 1

( 5 . 6 7 )

M o r e o v e r w e h a v e L

m s t p

( X

( n )

) ? E L

m s t p

( X

( n )

) =

P

n

i = 1

d

i

. N o w , s i n c e ( d

i

)

i n

i s a

m a r t i n g a l e d i e r e n c e s e q u e n c e , w e c a n u s e t h e f o l l o w i n g m a r t i n g a l e i n e q u a l i t y ( d u e

t o A z u m a , s e e 1 1 ] )

P (

n

X

i = 1

d

i

> t ) 2 e x p ( ? t

2

= ( 2

n

X

i = 1

k d

i

k

2

1

) ) ; ( 5 . 6 8 )

i n o r d e r t o g e t b o u n d s o n

P ( L

m s t p

( X

( n )

) ? E L

m s t p

( X

( n )

) > t )

I t r e m a i n s t o c o n t r o l t h e n u m b e r s k d

i

k

1

. I n o r d e r t o d o t h a t , l e t u s p r o v e t h e

f o l l o w i n g l e m m a :

L e m m a 5 . 1 T h e r e e x i s t s a n u m e r i c a l c o n s t a n t K s u c h t h a t o n e h a s :

h

i

K f o r i n ; a n d ( 5 . 6 9 )

E h

i

i

K =

p

n ? i f o r i n ? 1 ( 5 . 7 0 )

P r o o f o f L e m m a 5 . 1 :

I n o r d e r t o c o n s t r u c t a t r e e t h r o u g h X

( n )

, o n e c a n c o m p l e t e a t r e e t h r o u g h X

( n )

i

b y

a d d i n g a n e d g e f r o m X

i

t o o n e o f t h e p o i n t o f X

( n )

i

. W e t h e n h a v e L

m s t p

( X

( n )

)

L

m s t p

( X

( n )

i

) +

p

2 a n d t h i s t a k e s c a r e o f t h e r s t i n e q u a l i t i e s ( t a k e K

p

2 ) . N o w

l e t l

i

d e n o t e t h e d i s t a n c e o f X

i

f r o m t h e n e a r e s t o f X

i + 1

; : : : ; X

n

. W e t h e n h a v e

L

m s t p

( X

( n )

) L

m s t p

( X

( n )

i

) + l

i

( 5 . 7 1 )

A l s o w e h a v e

E l

i

i

= E

c

i

l

i

; ( 5 . 7 2 )

2 0


21/23

w h e r e E

c

i

i s t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n g i v e n X

i

L e t C

r

d e n o t e a d i s c o f r a d i u s r c e n t e r e d a t X

i

a n d V

r

b e t h e v o l u m e o f C

r

\ 0 ; 1

2

W e t h e n h a v e

E

c

i

l

i

=

Z

1

0

P ( l

i

> r X

i

) d r ;

=

Z

1

0

( 1 ? V

r

)

n ? i

d r ( 5 . 7 3 )

S i n c e ( 1 ? z )

n ? i

i s a n o n - i n c r e a s i n g n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n o f z f o r 0 z 1 , a n d

s i n c e V

r

m i n f r

2

= 2 ; 1 g , ( 5 . 7 3 ) l e a d s t o :

E

c

i

l

i

Z

p

2

0

( 1 ? r

2

= 2 )

n ? i

d r

= ? ( 1 = 2 ) ? ( n ? i + 1 ) =

p

2 ? ( n ? i + 3 = 2 )

=

q

= 2 ? ( n ? i + 1 ) = ? ( n ? i + 3 = 2 ) ( 5 . 7 4 )

L e t a

n

= ? ( n ? i + 1 ) ( n ? i )

1 = 2

= ? ( n ? i + 3 = 2 ) . F r o m S t i r l i n g f o r m u l a w e h a v e

l i m

n ! 1

a

n

= 1 , a n d , s i n c e a

n

= a

n + 1

= ( 1 + 1 = 2 ( n ? i + 1 ) ) ( 1 ? 1 = ( n ? i + 1 ) )

1 = 2

1 ,

w e h a v e f r o m ( 5 . 7 4 )

E

c

i

l

i

q

= 2 = ( n ? i )

1 = 2

p

2 = ( n ? i )

1 = 2

( 5 . 7 5 )

L e m m a 5 . 1 i s t h u s v a l i d w i t h K =

p

2

E n d o f p r o o f o f ( 5 . 6 1 ) :

F r o m ( 5 . 6 7 ) w e h a v e

k d

i

k

1

k E h

i

i

k

1

+ k E h

i

i ? 1

k

1

2 k E h

i

i

k

1

( 5 . 7 6 )

E q u a t i o n ( 5 . 7 6 ) t o g e t h e r w i t h L e m m a 5 . 1 i m p l i e s t h a t k d

i

k

1

2 K =

p

n ? i f o r

i n ? 1 a n d k d

n

k

1

2 K . R e p l a c i n g t h e s e b o u n d s i n t o e q u a t i o n ( 5 . 6 8 ) w e n a l l y

g e t

P ( L

m s t p

( X

( n )

) ? E L

m s t p

( X

( n )

) > "

p

n ) 2 e x p ( ? "

2

n = ( K

l n n ) ) ; ( 5 . 7 7 )

w h e r e K

i s a c o n s t a n t . F i n a l l y t h e c o m p l e t e c o n v e r g e n c e o f t h e M S T P f o l l o w s

f r o m ( 5 . 7 7 ) , ( 5 . 6 6 ) a n d a \ 2 " " a r g u m e n t .

6 C o n c l u d i n g r e m a r k s

I n a d d i t i o n t o t h e i m p o r t a n c e o f t h e a s y m p t o t i c r e s u l t s a s d e s c r i b e d i n t h e i n t r o -

d u c t i o n , l e t u s m e n t i o n t h a t T h e o r e m s 3 . 1 a n d 5 . 1 p r o v i d e i n t e r e s t i n g p r a c t i c a l

2 1


22/23

b y - p r o d u c t s : ( c ( p ) ?

t s p

p

p )

p

n ( r e s p e c t i v e l y ( d ( p ) ?

m s t p

p

p )

p

n ) r e p r e s e n t s a n

a p p r o x i m a t i o n o f t h e p e n a l t y o n e h a s t o p a y w h e n n p o t e n t i a l c u s t o m e r s h a v e t o b e

s e r v e d a n d w h e n t h e r o u t e ( r e s p e c t i v e l y t r e e ) i s n o t r e - o p t i m i z e d f o r e a c h i n s t a n c e o f

t h e p r o b l e m . T h i s e s t i m a t e o f t h e p e n a l t y i s a s y m p t o t i c a l l y e x a c t w i t h p r o b a b i l i t y

o n e f o r t h e P T S P , a n d i n e x p e c t a t i o n f o r t h e P M S T P .

T h e r e s u l t s p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r c a n b e g e n e r a l i z e d i n s e v e r a l d i r e c t i o n s .

F i r s t , a l l o u r a s y m p t o t i c r e s u l t s r e m a i n v a l i d i f t h e p o i n t s a r e i n d e p e n d e n t l y a n d

u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d o v e r 0 ; t

2

, t h e c o n s t a n t s b e i n g s i m p l y m u l t i p l i e d b y t . T h i s

r e m a i n s t r u e , f o r T h e o r e m 5 . 1 , i f t h e p o i n t s a r e d i s t r i b u t e d i n a b o u n d e d s u p p o r t o f

L e b e s g u e m e a s u r e t

2

. A l s o T h e o r e m 5 . 1 r e m a i n s t r u e f o r a n o n - u n i f o r m d i s t r i b u t i o n

o f p o i n t s , a n d c a n b e s t r e n g t h e n e d t o c o m p l e t e c o n v e r g e n c e .

H o w e v e r , s o m e g e n e r a l i z a t i o n s d o n o t s e e m t o b e e a s y , a n d h e r e i s a l i s t o f t h e

m o s t i m p o r t a n t o p e n p r o b l e m s r e l a t e d t o t h e P T S P a n d t h e P M S T P :

1 . t h e a l m o s t s u r e c o n v e r g e n c e o f t h e P M S T P , a n d i t s c o m p l e t e c o n v e r g e n c e ,

2 . t h e c o m p l e t e c o n v e r g e n c e o f t h e P T S P ,

3 . t h e n o n u n i f o r m e x t e n s i o n f o r t h e P T S P a n d t h e P M S T P .

F i n a l l y l e t u s a l s o m e n t i o n t h e p r o b l e m o f r a t e s o f c o n v e r g e n c e f o r t h e p r e v i o u s l i m i t

t h e o r e m s . S o m e p r e l i m i n a r y r e s u l t s h a v e b e e n o b t a i n e d f o r t h e t r a v e l i n g s a l e s m a n

p r o b l e m , t h e m i n i m u m s p a n n i n g t r e e p r o b l e m , a n d t h e m i n i m u m m a t c h i n g p r o b l e m

a n d w i l l b e r e p o r t i n a s u b s e q u e n t p a p e r . F o r t h e p r o b a b i l i s t i c v e r s i o n o f t h e s e

p r o b l e m s t h e a n a l y s i s s e e m s m u c h m o r e d i c u l t .

R e f e r e n c e s

1 ] J . B e a r d w o o d , J . H a l t o n a n d J . H a m m e r s l e y . 1 9 5 9 . T h e S h o r t e s t P a t h T h r o u g h

M a n y P o i n t s . P r o c . C a m b . P h i l . S o c . , 5 5 , 2 9 9 { 3 2 7 .

2 ] D . B e r t s i m a s . 1 9 8 8 . P r o b a b i l i s t i c C o m b i n a t o r i a l O p t i m i z a t i o n P r o b l e m s . P h D

T h e s i s . O p e r a t i o n R e s e a r c h C e n t e r . M I T . C a m b r i d g e . M a s s .

3 ] D . B e r t s i m a s , P . J a i l l e t a n d A . O d o n i . 1 9 8 9 . A P r i o r i O p t i m i z a t i o n . T o a p p e a r

i n O p n s . R e s .

4 ] G . H a r d y . 1 9 4 9 . D i v e r g e n t S e r i e s . C l a r e n d o n P r e s s .

5 ] P . J a i l l e t . 1 9 8 5 . T h e P r o b a b i l i s t i c T r a v e l i n g S a l e s m a n P r o b l e m s . T e c h n i c a l R e -

p o r t 1 8 5 . O p e r a t i o n s R e s e a r c h C e n t e r . M I T . C a m b r i d g e . M a s s .

6 ] P . J a i l l e t . 1 9 8 7 . O n S o m e P r o b a b i l i s t i c C o m b i n a t o r i a l O p t i m i z a t i o n P r o b l e m s

D e n e d o n G r a p h s . I n F l o w C o n t r o l o f C o n g e s t e d N e t w o r k . A . O d o n i , L . B i a n c o

a n d G . S z e g o e d s . N A T O A S I S e r i e s F . 3 8 . S p r i n g e r V e r l a g . B e r l i n .

2 2


23/23

7 ] P . J a i l l e t . 1 9 8 8 . A P r i o r i S o l u t i o n o f a T r a v e l i n g S a l e s m a n P r o b l e m i n W h i c h

a R a n d o m S u b s e t o f t h e C u s t o m e r s A r e V i s i t e d . O p n s . R e s . , 3 6 ( 6 ) , 9 2 9 { 9 3 6 .

8 ] P . J a i l l e t a n d A . O d o n i . 1 9 8 8 . P r o b a b i l i s t i c V e h i c l e R o u t i n g P r o b l e m s . I n V e -

h i c l e R o u t i n g : M e t h o d s a n d S t u d i e s . B . G o l d e n a n d A . A s s a d e d s . S t u d i e s i n

M a n a g e m e n t S c i e n c e a n d S y s t e m s . 1 6 . N o r t h H o l l a n d . A m s t e r d a m .

9 ] R . K a r p . 1 9 7 7 . P r o b a b i l i s t i c A n a l y s i s o f P a r t i t i o n i n g A l g o r i t h m s f o r t h e T r a v -

e l i n g S a l e s m a n P r o b l e m i n t h e P l a n e . M a t h . O p e r . R e s . , 2 , 2 0 9 { 2 2 4 .

1 0 ] E . L a w l e r , J . L e n s t r a , A . R i n n o o y K a n , a n d D . S h m o y s ( e d s ) . 1 9 8 5 . T h e T r a v e l -

i n g S a l e s m a n P r o b l e m : A G u i d e d T o u r o f C o m b i n a t o r i a l O p t i m i z a t i o n . W i l e y .

C h i c h e s t e r .

1 1 ] W . R h e e a n d M . T a l a g r a n d . 1 9 8 7 . M a r t i n g a l e I n e q u a l i t i e s a n d N P - c o m p l e t e

P r o b l e m s . M a t h . O p e r . R e s . , 1 2 , 1 7 7 { 1 8 1 .

1 2 ] R . S c h m i d t . 1 9 2 5 . U b e r d a s B o r e l s c h e S u m m i e r u n g s v e r f a h r e n . S c h r i f t e n d .

K o n i g s b e r g e r g e l . G e s e l l s c h a f t , 1 , 2 0 5 { 2 5 6 .

1 3 ] J . S t e e l e . 1 9 8 1 a . S u b a d d i t i v e E u c l i d e a n F u n c t i o n a l s a n d N o n l i n e a r G r o w t h i n

G e o m e t r i c P r o b a b i l i t y . A n n . P r o b a . , 9 , 3 6 5 { 3 7 6 .

1 4 ] J . S t e e l e . 1 9 8 1 b . C o m p l e t e C o n v e r g e n c e o f S h o r t P a t h s a n d K a r p ' s A l g o r i t h m

f o r t h e T S P . M a t h . O p e r . R e s . , 6 , 3 7 4 { 3 7 8 .

1 5 ] J . S t e e l e . 1 9 8 8 . G r o w t h R a t e s o f E u c l i d e a n M i n i m a l S p a n n i n g T r e e s w i t h P o w e r

W e i g h t e d E d g e s . A n n . P r o b a . , 1 6 , 1 7 6 7 { 1 7 8 7 .

1 6 ] B . W e i d e . 1 9 7 8 . S t a t i s t i c a l M e t h o d s i n A l g o r i t h m D e s i g n a n d A n a l y s i s . P h . D .

D i s s e r t a t i o n . C o m p u t e r S c i e n c e D e p a r t m e n t . C a r n e g i e - M e l l o n U n i v e r s i t y .

analysis of probabilistic combinatorial optimization problems in euclidean spaces

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