社団法人 電子情報通信学会THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報TECHNICAL REPORT OF IEICE.

位相反転波動もしくは位相波が伝搬している時のポアンカレ断面上での各発振器の電圧の挙動の解析

平野 里佳† 山内 将行† 西尾 芳文††

† 広島工業大学 工学部 電子情報工学科 〒731–5193 広島県広島市佐伯区三宅 2–1–1

†† 徳島大学 工学部 電気電子工学科 〒770–8506 徳島市南常三島町 2–1

E-mail: †ma19017@cc.it-hiroshima.ac.jp

あらまし 我々は梯子状や環状に結合された発振器の上で観測される波のような現象の解析を行ってきた。伝搬し続

ける波動現象の一つに位相反転波動がある。この位相反転波動は，過渡状態でのみ見られる位相波と，短時間で判別

することが難しい。また，伝搬している位相差が小さい位相波が入り乱れて存在している状態を観測することは，従

来の方式では難しいと言える。本研究では，発振器を梯子状や環状に結合した系において，各発振器の電流が 0であ

るポアンカレ断面の各発振器の電圧値の変化率として考えられる瞬時拡大率を定義し，さらに，疑似リアプノフ指数

を定義する。また，瞬時拡大率と疑似リアプノフ指数を用いて，位相反転波動と位相波の観測と調査を行う。

キーワード 梯子状結合発振器, 環状結合発振器, 位相反転波動, 瞬時拡大率, 疑似リアプノフ指数

Analysis of Behavior of Voltage in Each Oscillator on Poincare Section in

Propagating Phase-Inversion Waves or Phase-Waves

Rika HIRANO†, Masayuki YAMAUCHI†, and Yoshifumi NISHIO††

† Dept. of Elec. and Comp. Eng., Hiroshima Institute of Technology, 2–1–1 Miyake, Saeki–ku, Hiroshima

731–5193, JAPAN

†† Dept. of Elec. and Elec. Eng., Tokushima University, 2–1 MinamiJyosanjima-cho, Tokushima 770-8506,

Japan

E-mail: †ma19017@cc.it-hiroshima.ac.jp

Abstract We have been analyzing phenomena like waves on the oscillators coupled by inductors as ladders, rings,

and so on. Phase-inversion waves are one of wave-motion phenomena which are continuously propagating. In short

time, the phase-inversion waves are hard to be distinguished from phase-waves which can be observed in transient

stat. It is hard to be observed by our previous method that the many phase-waves, which are propagating a little

phase differences, welter. In this study, an instantaneous expanding rate is defined as a change rate of value of

voltage on Poincare section at each oscillator of when a current is zero in the each oscillator. Furthermore, we define

a quasi Lyapunov exponent. The phase-inversion waves and the phase-waves are observed and investigeted by using

the instantaneous expanding rates and the quasi Lyapunov exponents.

Key words ladder shape coupled oscillators, ring shape coupled oscillators, wave-motion, instantaneous expanding

rate, quasi Lyapunov exponent

1. 序 論

自然界において，同期や共振現象はよくみられ，数多くの物

質や生物等で実際に観測されている。例えば，東南アジアで見

られる木にとまった蛍の一斉点滅 [1]や，鰯の大群が泳ぐ様，神

経細胞の同期 [2] などがあり，実体のないものでは，噂や流行

などが考えられる。これらの同期現象は，自然現象を利用して

いる電子回路上でも観測される物であるため，電子回路上で観

測される同期現象を解析することで自然界の理解が進むと考え

られる。さらに工学的な利用を考えた時，その特性を深く理解

していることは同期現象を利用する上で非常に重要であると言

える。ゆえに，様々な分野において同期現象の研究は盛んに行

— 1 —- 139 -

一般社団法人　電子情報通信学会THE INSTITUTE OF ELECTRONICS, INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報

This article is a technical report without peer review, and its polished and/or extended version may be published elsewhere. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Copyright ©2019 by IEICE

IEICE Technical Report NLP2019-62(2019-09)

CL

vk

f(vk)

ikOSC

Lc Lc Lc

ik

vkLC

f(vk)

Lc Lc

ik

vkLC

f(vk)

ik

vkLC

f(vk)

ik

vkLC

f(vk)

OSC

OSC

OSC

OSC

OSC

OSC

OSC

OSCk OSCN

OSC0

OSC1

OSC2OSC3

OSC4

OSC0 OSCk OSCNOSC1

Lc

Lc

LcLc

LcLc

Lc

図 1 回路モデル.

Fig. 1 Circuit model.

われつつある。

我々は，以前の研究で梯子状や環状に発振器を結合した電子

回路上において，同期現象を観測し，新たな現象の発見を行い，

それらの現象の解析を行ってきた。その 1つとして，隣接した

発振器間の位相状態を同相同期から逆相同期，もしくは逆相同

期から同相同期へ切り替える現象であり，言い換えれば，概ね

180◦ の位相差を伝搬する現象とも言える波動現象がある。この

波動現象は，個々の発振器の発振波形が，概ね正弦波のような

綺麗な波形である場合においても観測することができ，また，

カオス発振回路を結合した系においても，観測することができ

る。この現象を位相反転波と名づけ，解析を行ってきた。これ

ら位相反転波が組み合わさった現象が一般的にみられ，これら

について位相反転波動 [3] と呼んでいる。また，過渡状態での

み観測ができ，位相反転波動に成長するか，結果消えてしまう

ような位相差が伝搬する現象を梯子状の系において発見し，位

相波 [4] と呼んでいる。従来の解析手法を用いて，位相反転波

動と位相波の現象の違いについて解析してきた。しかし，位相

反転波動と位相波の短時間での判別は難しい。また非常に小さ

い位相差を伝搬する位相波が複雑に組み合わさって見られる現

象は観測することそのものが難しいと言える。

本研究では，各発振器の電流が 0の時のポアンカレ断面上の

電圧の変化率が拡大するか収束するかを表せる瞬時拡大率を定

義し，また，シミュレーションを基本とした解析を行うため，

数値計算の結果から一部の状態の変動の安定性を考えられると

思われる擬似リアプノフ指数を提案する。これらの手法を用い

て，位相反転波動と位相波について調査解析を行い，また，位

相反転波の本数と疑似リアプノフ指数の関係についても調査を

行う。

2. 回路モデル

本研究では，N 個の van der Pol発振器をインダクタで梯子

状，又は環状に結合し，系を構築する。これらの回路モデルを，

図 1 に示す。それぞれの発振器を OSCk(0 ≦ k ≦ N の整数)

とし，各発振器内のインダクタンスを L，キャパシタンスを C

とする。また，各発振器を結合しているインダクタンスを Lc

とし，それぞれの発振器の電圧を vk，各インダクタ Lに流れ

る電流を ik とする。非線形負性抵抗は式 (1)のように表す。

f(vk) = −g1vk + g3v3k (g1, g3 > 0). (1)

式 (2)を用いて正規化された回路方程式を式 (3)–(5) のよう

に示す。αは結合の強度，及び εは非線形の強度を表す。これ

らの正規化された回路方程式を，4次のルンゲ・クッタ法を用

いて解析を行う。ルンゲ・クッタ法で計算を行う際のステップ

幅は 0.001 とする。

ik =

√Cg13Lg3

xk, vk =

√g13g3

yk, t =√LCτ,

α =L

Lc, ε = g1

√L

C, δ =

g213g3

.

(2)

<Left edge oscillator of the ladder (k=1)>

xk = yk

yk = −xk + α(xk+1 − xk) + ε(yk − 1

3y3k)

(3)

<Middle oscillators (1 < k < N − 1) of the ladder and oscil-

lators of the ring>

xk = yk

yk = −xk + α(xk+1 − 2xk + xk−1) + ε(yk − 1

3y3k)

(4)

<Right edge oscillator of the Ladder (k=N)>

xk = yk

yk = −xk + α(xk−1 − xk) + ε(yk − 1

3y3k)

(5)

3. 位相反転波動と位相波

各発振器で個別にポアンカレ断面を設定し，位相反転波動が

存在している状態，及び位相波が存在している状態において，

ポアンカレ断面上での解の挙動について，瞬時拡大率と擬似リ

アプノフ指数を定義し調査を行う。

3. 1 ポアンカレ断面

各発振器で xk = 0 の時のポアンカレ断面を設定し，ポアン

カレ断面上の yk を求める。ポアンカレ断面を l 回目に交差す

る計算結果を ypk(l) とし，その時間を τpk(l) とする。また，

(l + 1) 回目のシミュレーション結果を ypk(l + 1) と表し，時

間を τp(l + 1)とする。しかし，数値シミュレーションである

ため，xk = 0になることはほぼないと言える。実際，計算のス

テップ幅を hとすると，xk(τ ) > 0であるなら，xk(τ + h) < 0

となると考えられる。そこで，より正確性を増すために線形近

似を行い，ポアンカレ断面上の点 ypk(l) を式 (6)を用いて求め

る。xk(τ ) > 0とし，xk(τ + h) < 0と仮定する。また，ypk(l)

になる時間を τp(l)を式 (7)で求める。

ypk(l) = yk(l) + sign · xk(l) · |yk(l + 1) − yk(l)|xk(l)− xk(l + 1)

. (6)

{If yk(l + 1) ≥ yk(l), sign = 1. If yk(l + 1) < yk(l),

sign = −1.}

— 2 —- 140 -

τpk(l) = τk(l) +xk(l) · (τk(l + 1)− τk(l))

xk(l)− xk(l + 1). (7)

3. 2 瞬時拡大率

位相反転波動，位相波が存在する時，ypk(l)と ypk(l+ 1)の

距離がどのように変動するか観測を行い，諸現象の違いを調査

する。そのため，ypk(l)と ypk(l+ 1)の間の距離の変動から瞬

時拡大率 (Instantaneous-expanding rate: IER)を式 (8) のよ

うに定義する。

IER(l) =ypk(l + 1) − ypk(l)

ypk(l). (8)

よって，完全に同相同期，もしくは逆相同期であるとき，IER

は 0となる。

3. 3 疑似リアプノフ指数

次に解の挙動より，解自体が収束に向かっているか，発散方

向に向かっているか，また，どの程度収束に向かうかなど，式

(9)のように擬似リアプノフ指数 (Quasi Lyapunov exponent:

QLE)を定義し，考察を行う。

QLE =1

m

m∑l=1

ln

∣∣∣∣ ypk(l + 1)− ypk(l)

τpk(l + 1)− τpk(l)

∣∣∣∣ . (9)

ゆえに，完全に同相同期，もしくは逆相同期であるときQLE

は-∞となる。3. 4 位相反転波動と位相波の瞬時拡大率

梯子状の回路において，位相反転波動，及び位相波が存在し

ている時の，瞬時拡大率について調査解析を行う。位相反転波

動と位相波の観測条件を，以下のように設定する。

（ 1） 発振器数を 200 とし，梯子状に結合する。

（ 2） 非線形の強さ εを 0.3とし，発振器間の結合の強さ α

を 0.05 と設定する。

（ 3） 全ての発振器の初期値を同じ値とした後，位相反転波

動は 180度，位相波は 40度の位相差を 1つ目の発振器 (OSC1)

に与え，波を発生させる。

3. 4. 1 位相反転波動

<従来の方式における全体像 >

図 2(a)に 0τ から 16100τ までの従来の表示方式による全体

像を表示する。図は，横に細長い箱を縦に 199個重ねて表示し

ており，それぞれの箱の縦軸は隣接した発振器の電圧の合計値

を示し，横軸は時間を示す。一番上の箱から，OSC0 と OSC1

の電圧の合計値を示し，続いて，OSC1 と OSC2 の電圧の合計

値を示し，一番下の箱がOSC198 と OSC199 の電圧の合計値を

示す。すなわち，各箱はそれぞれ隣接した発振器間の位相状態

を示しており，黒くなるほど同相同期状態に近い状態を示し，

白くなるほど逆相同期状態に近い状態を示す。

図 2(a)から，位相反転波動が上端から発生し，一定の速度で

下端まで伝搬した後反射し，また上端まで同じ速度で伝搬して

いる様子が見られる。

<瞬時拡大率 >

図 2(b)-(c)に瞬時拡大率の結果を示す。縦軸は瞬時拡大率を示

し，横軸は時間を示す。図 2(b)は上端から順に IER0 ∼ IER199

を表し，16100τ までの瞬時拡大率を示す。図 2(c)に，IER50

について，0τ から 4000τ までの瞬時拡大率を示す。瞬時拡大

率の変動は，この場合，概ね ±0.02 程度変動することが解る。

また，瞬時拡大率は正に 3度のピークが明確に現れ，負に 2度

ピークが現れることが解る。

<擬似リアプノフ指数 >

図 2(d)に，OSC50の擬似リアプノフ指数QLE50を示す。最

終的に約-12.71に収束することが解る。

3. 4. 2 位 相 波

<従来の方式における全体像 >

図 3(a) に 0τ から 161000τ までの全体像を表示する。図が

圧縮されている為でもあるが，位相波が上から 1本発生させら

れ伝搬しているが，それをこの図から観測することは困難であ

ると言える。

<瞬時拡大率 >

図 3(b)-(c) に図 2(b)-(c) と同様に，瞬時拡大率の結果を示

す。図 3(b)において，図 3(a)では観測が非常に困難な小さな

波が多数発生し，伝搬してきた位相波に影響を与えていること

が明らかに解る。また，伝搬速度自体も，他の位相波からの影

響で変動することが解る。さらに，位相波が発生と消滅を繰り

返している様子が見られる。図 3(c) より，瞬時拡大率の変動

は，この場合，概ね ±0.0001程度変動することが解る。すなわ

ち，位相反転波動の場合より非常に小さいことが解る。また，

正に 3度のピークが見られるが，非常に変動が小さく，実質 1

つのピークのみが大きいことが解る。

<擬似リアプノフ指数 >

図 3(d)に，OSC50の擬似リアプノフ指数QLE50を示す。最

終的に約-13.23に収束することが解る。

3. 4. 3 位相反転波の本数と疑似リアプノフ指数の関係

位相反転波動が通過するたびに，瞬時拡大率は大きくなり，

再び小さくなる。すなわち，位相反転波動が，一定時間内に何

本存在しているかによって，本研究で定義した擬似リアプノフ

指数は変動すると考えられる。そこで，200 個の発振器を環状

に結合した回路において，存在する位相反転波動の数を変えて

擬似リアプノフ指数がどのように変動するか確認する。観測条

件として，以下のように設定する。

（ 1） 発振器数を 200個とし，環状に結合する。

（ 2） 非線形の強さ εを 0.3 とし，発振器間の結合の強さ α

を 0.05 とする。

（ 3） 2 本の位相反転波を 1 組として，1，2，3，4，5，6，

7，8，9，10，20，30，40組の位相反転波動が存在する場合の

擬似リアプノフ指数を求める。

（ 4） 805000τ まで計算を行い，805000τ の時の擬似リアプ

ノフ指数を，その位相反転波の本数における擬似リアプノフ指

数とする。

<1組の位相反転波動が伝搬する場合 >

図 2(a)(b)，(d)と同様の図を，図4(a)-(c)に示す。図 4(a)-(b)

では，1組の位相反転波動が環状の系の上を伝搬しているため，

下まで伝搬した位相反転波動が上から現れ，常に一方向に伝搬

していることが解る。

— 3 —- 141 -

0τ 16100τ

(a)

y198

+y199

y0+y1

0τ 16100τ

0τ 483000τTime

(d)

Quas

i-Lya

puno

v Exp

onen

t

-19-18

-13-12

IER0

IER199

(b)

Insta

ntane

ous E

xpan

ding R

ate

-0.03

0

0.03

0τ 4000τ

(c)

Insta

ntane

ous E

xpan

ding R

ate

図 2 位相反転波動 (a) 全体の位相状態 (0τ to 16100τ), (b) 瞬時拡

大率 (0τ to 16100τ), (c) OSC50 の瞬時拡大率 (0τ to 4000τ ,

(d) QLE50 の疑似リアプノフ指数 (0τ to 483000τ).

Fig. 2 Phase-inversion waves. (a) phase states (0τ to 16100τ), (b)

whole of IERs(0τ to 16100τ), (c) behavior of IER50(0τ

to 4000τ , (d) QLE50(0τ to 483000τ).

図 4(c) に疑似リアプノフ指数 QLE50 の変動を示す。図の

縦軸に疑似リヤプノフ指数を示し，横軸は時間を示す。位相反

転波動が通るたび，疑似リアプノフ指数が揺れるが，最終的に

約-13.32 辺りに漸近する様子が見られる。

<40組の位相反転波動が伝搬する場合 >

図 4と同様の図を，図 5に示す。図 5(a)-(b)共に，解り辛い

が，40組の位相反転波動が環状の系の上を伝搬している様を表

している。

図 5(c)に図 4(c) と同様の疑似リアプノフ指数 QLE50 の変

0τ 161000τ

(a)

y0+y1

y198

+y199

0τ 161000τ

Time 483000τ

(d)

Quas

i Lya

puno

v Exp

onen

t

-19-18

-13-12

0τ

IER0

IER199

(b)

Insta

ntan

eous

Exp

andi

ng R

ate

-1.5E-4

1.5E-4

0

0τ 40000τ

(c)

Insta

ntan

eous

Exp

andi

ng R

ate

図 3 位相波 (a) 全体の位相状態 (0τ to 161000τ), (b) 瞬時拡大率

(0τ to 161000τ), (c) OSC50 の瞬時拡大率 (0τ to 40000τ , (d)

QLE50 の疑似リアプノフ指数 (0τ to 483000τ).

Fig. 3 Phase waves. (a) phase states (0τ to 161000τ), (b) whole of

IERs(0τ to 161000τ), (c) behavior of IER50(0τ to 40000τ ,

(d) QLE50(0τ to 483000τ).

動を示す。位相反転波動が通るたび，疑似リアプノフ指数が揺

れるが，最終的に約-6.57辺りに漸近する様子が見られ，1組の

位相反転波動が伝搬する場合よりも，大きい値になることが解

る。また，収束時間も非常に早いことが解る。

<位相反転波動の組数と疑似リアプノフ指数の関係 >

図 6に位相反転波動の本数と疑似リアプノフ指数の変動につ

いてまとめたものを示す。縦軸は OSC50 疑似リアプノフ指数

を示し，横軸は位相反転波動の組数を示している。約-13.32か

ら，約-6に増加していく様子が見られる。

— 4 —- 142 -

0τ 16100τ

-18-16-14-12

0

Time 805000τ0τ

0τ 16100τ

y0+y1

y198

+y199

IER0

IER199

(a)

(c)

Qua

si Ly

apun

ov E

xpon

ent

(b)

Insta

ntan

eous

Exp

andi

ng R

ate

図 4 1 組の位相反転波動 (a) 全体の位相状態 (0τ to 16100τ), (b)

瞬時拡大率 (0τ to 16100τ), (c) QLE50 の疑似リアプノフ指数

(0τ to 805000τ).

Fig. 4 A coupled of phase-inversion waves. (a) phase states (0τ to

16100τ), (b) whole of IERs(0τ to 16100τ), (c) QLE50(0τ

to 805000τ).

4. 結 論

本研究では，瞬時拡大率と疑似リアプノフ指数を定義し，位

相反転波動と位相波動の現象の違いについて調査解析を行った。

新たな解析手法である，瞬時拡大率を用いることで，位相反転

波動と位相なみの現象の違いの確認ができた。また、今までに

観測が難しかった小さな位相波の観測も可能となり，位相波同

士の衝突による振るまいの観測が可能となったと言える。さら

に，疑似リアプノフ指数と位相反転波動の組数の関係について

も調査を行い，位相反転波動の組が増えるごとに約-6辺りまで

上がることが明らかになった。文 献

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tional Neuroscience 1, pp. 11–38, 1994.

[3] M. Yamauchi, M. Wada, Y. Nishio and A. Ushida, “Wave

Propagation Phenomena of Phase States in Oscillators Cou-

0τ 16100τ

-18

-8-6

0

Time 805000τ0τ

0τ 16100τIER0

IER199

y0+y1

y198

+y199

(a)

(c)

Qua

si Ly

apun

ov E

xpon

ent

(b)

Insta

ntan

eous

Exp

andi

ng R

ate

図 5 40 組の位相反転波動 (a) 全体の位相状態 (0τ to 16100τ), (b)

瞬時拡大率 (0τ to 16100τ), (c) QLE50 の疑似リアプノフ指数

(0τ to 805000τ).

Fig. 5 Forty coupled of phase-inversion waves. (a) phase states

(0τ to 16100τ), (b) whole of IERs(0τ to 16100τ), (c)

QLE50(0τ to 805000τ).

-15-14

-13-12-11-10

-9-8-7-6

-50 5 10 15 20 25 30 35 40

Number of coupled of PIWs

Qua

si L

yapu

nov

Expo

nent

図 6 PIW の組数と QLE50 の関係

Fig. 6 QLE50 vs number of coupled of PIWs.

pled by Inductors as a Ladder,” IEICE Trans. Fundamen-

tals, vol.E82-A, no.11, pp.2592-2598, Nov. 1999.

[4] M. Yamauchi, Y. Nishio and A. Ushida, “Phase-Waves

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vol.E86-A, no.4, pp.891-899, Apr. 2003.

— 5 —- 143 -