Univerza v LjubljaniFakulteta za matematiko in fiziko

SEMINAR

ANALIZA KAKOVOSTI SMUČARSKEGA ZAVOJA

Gregor Seljak

22. december 2009

Mentor: dr. Matej Supej

Povzetek

Namen seminarja je predstaviti metodo, s katero lahko ocenimo, kako kvalitetno je bil izpel-jan smučarski zavoj. Smučar za pospeševanje in vzdrževanje hitrosti izrablja potencialnoenergijo. Parameter, ki meri kako dobro smučar potencialno energijo pretvarja v kinetično,nam tako pove, kako kvalitetno je smučar smučal v danem trenutku. V seminarju si bomonajprej ogledali sile, ki delujejo na smučarja, saj le te vplivajo na količino izgubljene energije.Kasneje je predstavljena definicija za začetek in konec zavoja, ki je potrebna, da lahko medsabo primerjamo več zavojev. Na koncu bomo primerjali zavoje različnih tekmovalcev in siogledali, kje nastanejo razlike.

Kazalo1 Uvod 2

2 Sile pri smučanju 22.1 Spust naravnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Gibanje prečno na teren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Zavoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Definicija začetka zavoja 9

4 Parameter za kakovost zavoja 114.1 Specifična mehanska energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Uporaba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Primerjava med tekmovalci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Zaključek 19

1

1 UvodČe je bila pred 60 leti razlika med prvim in petnajsto uvrščenim tekmovalcem na tekmitudi več kot 10 sekund, dandanes temu več ni tako [1]. To je predvsem posledica tehničneganapredka v tem športu. Tekmovalci so profesionalci, ki si s tekmovanji služijo kruh in ničesarne prepuščajo naključju. Veliko časa posvetijo testiranju opreme, kondicijski pripravljenostiin tehnični podkovanosti. Predvsem tehnika smučanja je bila v zadnjem desetletju pod-vržena velikim spremembam, kar je posledica novih smuči s poudarjenim stranskim lokom,ki omogočajo drugačno izpeljavo zavoja kot klasične smuči, z manj oddrsavanja in manjšimtrenjem [2].

Pri izboljševanju, oziroma analizi tehnike smučanja imajo največjo vlogo trenerji. Ven-dar le ti ne morejo opaziti vseh podrobnosti, ki odločajo o izgubljenih stotinkah. Zato je vzadnjem desetletju velik poudarek na meritvah, ki omogočajo analizo smučanja in primer-javo med tekmovalci. Meritve dajo mnogo podatkov, potrebno pa je ugotoviti, kateri nampovedo, kako kvalitetno je smučar izpeljal zavoj.

Smučar za pridobivanje in ohranjanje hitrosti izkorišča potencialno energijo. Na voljoima le končno zalogo potencialne energije, zato jo mora čimveč pretvoriti v kinetično. Tuveliko vlogo igrajo sile ki delujejo na smučarja, saj zaradi sile trenja in upora smučar izgubljaenergijo. Tako lahko kot merilo za kvaliteto zavoja vzamemo količino potencalne energije,ki jo je smučar pretvoril v kinetično. Da bi lahko primerjali več zavojev med sabo, polegparametra za kvaliteto, potrebujemo tudi dobro definicijo za začetek zavoja, saj tekmovalcizavoj začnejo in končajo na razičnih mestih.

Najprej si bomo ogledali katere sile deujejo na smučarja. Nato bomo spoznali, kakodoločiti začetek in konec zavoja in uvedli parameter, ki preko izgube energije meri kakovostzavoja. Na koncu bomo med sabo primerjali zavoje različnih tekmovalcev in poiskusili ugo-toviti, kje so nastale razlike med tekmovalci ter kateri elementi smučarske tehnike vplivajona kakovost zavoja.

2 Sile pri smučanjuKo smučar stoji v štartni hišici, ima na voljo končno zalogo potencialne energije. V kinetičnojo želi pretvoriti s čim manjšimi izgubami, saj bo le tako lahko razvil in ohranjal visokohitrost. Izgube energije so tesno povezane s silami ki delujejo na smučarja, saj je izgubaenergije enaka delu, ki ga sile opravijo na določeni poti. Zato si najprej oglejmo, katere siledelujejo na smučarja [3].

2.1 Spust naravnostSlika 1 prikazuje sile, ki delujejo na smučarja z maso m ob spustu po klancu z naklonomα. Koordinatni sistem postavimo tako, da je os x vzporedna s podlago in kaže v smerismučanja, os z pa je pravokotna na podlago. Sila teže

Fg = mg , (1)

ki kaže proti središču Zemlje, se razdeli na dinamično komponento

Fd = mg (sinα, 0, 0) , (2)

vzporedno osi x in statično komponento

Fs = −mg (0, 0, cosα) (3)

2

Slika 1: Sile, ki delujejo na smučarja pri spustu naravnost. Sila teže Fg se razdeli nadinamično Fd in statično Fs komponento, katere posledica je normalna komponentaFn. Smučarja zavirata sila trenja Ftr in sila upora Fu. Pogoj za ravnotežno položajje, da smer sile reakcije podlage Frp prebada težišče. α je naklonina oziroma strminaterena. Koordinatni sistem orientiramo tako, da je os x vzporedna podlagi in os zpravokotna nanjo.

vzporedno osi z. Statična komponenta je enaka sili obremenitve smuči, s katero smučardeluje na podlago. V skladu s tretjim Newtonovim zakonom, podlaga deluje z enako, anasprotno usmerjeno silo, silo normale

Fn = mg (0, 0, cosα) , (4)

ki vpliva na silo trenja med drsno ploskvijo smuči in snežno podlago ter kaže v nasprotnismeri smučanja. Sila reakcije podlage Frp je vsota normalne komponente sile teže in siletrenja. Da je smučar ustrezno uravnotežen, mora prebadati težišče.

Trenje pri smučanju je kompleksen pojav, ki je odvisno od mnogih dejavnikov. Vsplošnem lahko celotno silo trenja zapišemo kot vsoto sile drsnega in viskoznega trenja

Ftr = Fdtr + Fvtr . (5)

S prvim imamo opraviti, ko dve telesi drsita drugo ob drugem. V primeru smučarja je sila

Fdtr = ||Fn|| ktr = −ktrmg (cosα, 0, 0) , (6)

odvisna od velikosti sile Fn med smučmi in podlago ter koeficienta trenja ktr. Kadar stagibajoči telesi ločeni s plastjo tekočine, deluje med njima sila viskoznega trenja

Fvtr = −ηAvd

(1, 0, 0) , (7)

ki je odvisna od debeline plasti d, velikosti relativne hitrosti med telesoma v, stične površineA in viskoznosti tekočine η.

Slika 2 prikazuje odvisnost koeficienta trenja od temperature snega, za nekaj različnihobremenitev smuči. Koeficient trenja pada z naraščujočo temperaturo, pri približno -3◦Cdoseže najnižjo vrednost, nato pa začne zopet rasti. Opazimo tudi odvisnost koeficienta

3

Slika 2: Slika prikazuje silo trenja, v odvisnosti od temperature snežne podlage, zarazlične obremenitve smuči. Sila trenja pada z naraščujočo temperaturo in je manjšaza večje obremenitve. To lahko raložimo z nastankom vodne plasti, ki nastane medsmučjo in podlago in zmanjša trenje. Pri zadostni količini vode se poveča stičnapovršina, zato začne sila trenja rasti (slika vzeta iz [4]).

treja od obremenitve. Ta je najbolj opazna pri nizkih temperaturah, z naraščujočo temper-aturo se razlika manjša, ko pa enkrat koeficient trenja doseže najnižjo vrednost, odvisnostod obremenitve izgine. Taka odvisnost je posledica tanke vodne plasti, ki nastane medsmučmi in snežno podlago. Zaradi trenja se del energije pretvori v toploto, ki narašča znaraščujočo silo trenja in hitrostjo ter stali del snega. Pri nizkih temperaturah prevladujedrsno trenje. Ko temperatura snega raste, se lahko pri enaki količini sproščene toplotestali več snega, tako da debelina vodne plasti med smučmi in podlago narašča. Vse večjovlogo ima viskozno trenje, ki je tem manjše, tem debeljša je vodna plast. Pri določenitemperaturi doseže najnižjo vrednost, nad njo pa začne naraščati. Pri višjih temperaturahse namreč poveča stična površina A, ki lahko pri temperaturah blizu tališča doseže skoraj100 % celotne površine smuči [5].

Poleg trenja smučarja zavira tudi sila upora. Poznamo linearni in kvadratni zakonupora. Pri prvem je tok sredstva okrog telesa laminaren in sila narašča linearno s hitrostjo,pri drugem pa je tok turbulenten in sila narašča s kvadratom hitrosti. V katerem režimuse nahajamo, nam pove Reynoldsovo število

Re = ρvl

η. (8)

Odvisno je od gostote ρ, viskoznosti sredstva η, relativne hitrosti telesa glede na sredstvov in karakteristične dolžine telesa l. Pri vrednostih Re < 1 velja linearni zakon, pri Re >1000 kvadratni, med tema vrednostima pa smo v vmesnem režimu, kjer sta mogoča takolaminaren kot turbulenten tok. Tipične vrednosti za primer smučarja so ρ=1 kg/m3, η =1.7 · 10−5 kg/m s, v=10 m/s in l = 1 m. To nam da Re reda velikosti 105, tako da lahko

4

privzmamemo kvadratni zakon upora

Fu = −12CAρv2(1, 0, 0) . (9)

Tu je sila odvsina od koeficienta upora C, ki ga določa drža oziroma oblika smučarja,čelnega preseka A, gostote zraka ρ in kvadrata relativne hitrosti med smučarjem in zrakomv. Na sliki 3 je prikazana odvisnost sile upora od hitrosti za dve različni drži tekača nasmučeh. Strmeje naraščujoča krivulja ustreza pokončni drži, položnejša pa sključenemupoložaju, kot ga smučarski tekači uporabljajo pri spustih. Sila upora ne narašča linerno,tako da smo upravičeno privzeli kvadratni zakon.

Slika 3: Sila upora v odvisnosti od hitrosti, za dve različni drži. Zgornja krivuljapripada pokončni drži , spodnja pa sključenemu položaju, kot ga smučarski tekačiuporabljajo pri spustih (slika vzeta iz [6]).

2.2 Gibanje prečno na terenPri smučanju se veliko bolj kot naravnost, vozimo prečno na teren. Smuči niso več postavl-jene plosko na podlago, temveč z njo oklepajo določen kot. Predstavljajmo si smučarja, kismuča po terenu z naklonom α, pod kotom β glede na vodoravnico (slika 4(a)). Sila težeFg se razdeli na statično komponento Fs pravokotno na podlago in dinamično komponentovzdolž pobočja Fd. Slednja ima komponento vzporedno smeri smučanja

Fd|| = mg(sinα sin2 β, sinα sin β cosβ, 0) (10)

in komponento pravokotno na smer smučanja

Fd⊥ = Fd − Fd|| = mg(sinα cos2 β,− sinα sin β cosβ, 0) . (11)

Sila Fos, s katero so obremenjene smuči, je enaka vsoti Fs in Fd⊥Fos = Fd⊥ + Fs = mg (− sinα cos2 β, sinα sin β cosβ, cosα)

||Fos|| = mg (sin2 α cos2 β + cos2 α)1/2 . (12)

5

Fos je pravokotna na smuči. Kot φ, kolikor so smuči nagnjne na teren je tako enak kotumed Fos in Fs (slika 4(b)). Vektorji Fos, Fs in Fd⊥ tvorijo pravokotni trikotnik, tako davelja

tanφ = ||Fd⊥ ||||Fs||

= tanα cosβ . (13)

Pri vožnji v smeri vpadnice (β = π/2) dobimo φ = 0. Smuči so postavljene plosko napodlago, kot v poglavju 2.1. Bolj prečno na vpadnico se vozimo, večji je kot med smučmiin podlago. V smeri pravokotno na vpadnico, je enak nagibu terena.

Sila trenja je sedaj večja kot pri spustu naravnost saj sila Fos med smučmi in podlago niveč odvisna le od statične komponente sile teže, ampak k njej prispeva tudi del dinamičnekomponente. Smuči niso več postavljene plosko na podlago, ampak z robnikom zarežejo vsneg. Zato mora smučar premagovati dodatne sile zaradi rezanja in stiskanja snega, kar sepozna pri povišanem koeficientu trenja [7].

(a) (b)

Slika 4: Smučar smuča pod kotom β glede na vodoravnico, po pobočju z naklonomα. Sila teže se razdeli na statično komponento Fs, dinamično komponento v smerismučanja Fd|| in pravokotno na smer smučanja Fd⊥ . Sila obremenitve smuči Fos jepravokotna na ravnino smuči in s statično komponento sile teže Fs oklepa kot φ, zakolikor so smuči nagnjene na teren.

2.3 ZavojNa sliki 5 so prikazane sile, ki delujejo na smučarja med zavojem. Med zavijanjem se smerhitrosti v spreminja, za kar je potrebna centripetalna sila

Fc = ±mv2

R

Fd⊥||Fd⊥||

= ±mv2

R(− sin β, cosβ, 0) . (14)

Je vzporedna sili Fd⊥ in usmerjena proti središču krožnice z radijemR, ki jo oriše smučarjevatrajektorija. Pri zavoju proti vpadnici, je središče kroženja nižje od smučarjevega težišča(slika 6(a) levo). Fc kaže v isto smer kot Fd⊥ zato v enačbi 14 velja predznak +. Poprečenju vpadnice, ko je središče višje od težišča (slika 6(a) desno), Fc in Fd⊥ kažeta vnasprotnih smereh. V nadaljevanju se bomo držali dogovora, da zgornji predznak ustreza

6

zavoju proti vpadnici (zavoj od brega) in spodnji zavoju stran od vpadnice (zavoj k bregu).

Slika 5: Da smučar zavija, mora biti vsota sil pravokotno na smer trenutne hitrostienaka centripetlani sili Fc, ki je usmerjena prosti središču krožnice z radijem R, skateri lahko v danem trenutku aproksimiramo smučarjevo trejektorijo.

V prečni smeri poleg sile Fd⊥ deluje tudi prečna komponenta sile reakcije podlage Frp⊥ ,ki je posledica sile obremenitve smuči1 (slika 6(a)). Da smučar zavija, mora biti njuna vsotaenaka centripetalni

Fd⊥ + Frp⊥ = Fc . (15)Prečna komponenta sile podlage je vedno usmerjena v isto smer kot centripetalna sila, sajje smučar nagnjen proti središču zavoja. Njena velikost je

||Frp⊥ || = ||Fc|| ∓ ||Fd⊥ || =mv2

R∓mg sinα| cosβ|. (16)

Pri zavoju k bregu mora biti velikost Frp⊥ večja, kot pri zavoju od brega, saj kaže vnasprotno smer kot Fd⊥ . Vsota sil v smeri osi z mora biti enaka 0, zato za komponento silereakcije podlage v tej smeri velja

||Frpz || = ||Fs|| (17)Velikost sile reakcije podlage v smeri pravokotno na smuči je po velikosti enaka sili obre-menitve smuči. Dobimo jo kot vsoto Frpz in Frp⊥

||Frp|| = ||Fos|| =√F2rp⊥

+ F2rpz =

√(mv

2

R∓mg sinα| cosβ|)2 + (mg cosα)2) , (18)

Nagib smuči glede na teren, je enak kotu med Frp in Fs. Vektorji Frp, Fs, Fd⊥ in Fcsestavljajo pravokotni trikotnik, tako da lahko kot φ izrazimo kot

tanφ = Fc + Fd⊥Fs

= v2

gR cosα∓ tanα| cosβ| . (19)

1Tukaj s simbolom Frp označujemo komponento sile reakcije podlage v ravnini prečno na smer smučanja.Frp ima tudi komponento v smeri smučanja, ki je posledica trenja, vendar jo tu ne upoštevamo, saj nevpliva na prečni ravnotežni položaj.

7

Pri enaki centripetalni sili (enako razmerje v2/R) sta nagib težišča in sila obremenitve smučipri zavoju k bregu večja kot pri zavoju od brega. Večji nagib pomeni večji kot med smučmiin podlago ter s tem krajši zavoj, zato lahko smučar v tem delu izpelje zavoj s krajšimradijem pri nižji hitrosti.

(a) (b)

Slika 6: Sile v prečni smeri, ki delujejo na smučarja med zavojem. V prvem deluzavoja, ko smučar zavija proti vpadnici, centripetalna sila Fc in prečna komponentasile teže Fd⊥ kažeta v nasprotno smer, pri zavoju stran od vpadnice pa v isto. Sspreminjanjem bočnega preloma v kolenih (δ) in bokih (ε), lahko spreminja nagibsmuči glede na nagib težišča. To mu omogoča izpeljavo zavojev z enakim radijem prirazličnih hitrostih

Iz enačbe (19) bi lahko sklepali, da je pri določeni hitrosti in smeri vožnje mogoče izpel-jati zavoj le z enim radijem ter da smučar ne more vzdrževati enakega radija skozi ves zavoj.To velja za primer, ko sta nagib smuči in težišča enaka. Vendar smučar lahko spreminjastranski prelom v kolenskem in kolčnem sklepu (slika 6(b)). Tako lahko pri enakem nag-ibu smuči spreminja položaj in nagib težišča in tako ohranja ravnotežni položaj. Zato jezmožen izpeljati zavoje z enakim radijem pri različnih hitrostih in smereh smučanja. Pregib

(a) (b)

Slika 7: Sile reakcije podlage v odvisnosti od radija zavoja R in smeri smučanja βglede na vodoravnico, za teren z naklonom α = 20◦. Prikazana sta primera za hitrost10 m/s (levo) in 20 m/s (desno), kar sta približni hitrosti za slalom in veleslalom.

8

v kolenskem sklepu ni velik in ga smučar uporablja predvsem v začetku zavoja, ko so obre-menitve manjše. Pri večjih obremenitvah zato smučar za vzdrževanje ravnotežja uporabljaprelom v bokih. Radij zavoja in ravnotežni položaj lahko nadzira tudi z oddrsavanjem.Posledica oddrsavanja je sila trenja v prečni smeri, ki se prišteje prečni komponenti silereakcije podlage in omogoči zavoj s krajšim radijem pri istem nagibu težišča. Se pa zaraditega poveča celotna sila trenja, ki upočasnjuje smučarja, zato tekmovalci stremijo k zavojems čim manj oddrsavanja.

Na sliki 7 vidimo odvisnost sile rekacije podlage od radija zavoja R in smeri smučanjaglede na vodoravnico β. Prikazana sta primera za hitrosti 12 m/s in 20 m/s, kar sta tipičnivrednosti za slalom in veleslalom. Sila podlage je tem manjša, tem večji je radij zavojain manjši je kot β. Če hoče smučar izgubiti čim manj energije zaradi trenja, se mu boljsplača močneje zavijati pred prečenjem vpadnice, saj je tam sila podlage pri isti hitrosti inradiju zavoja manjša, kot po prečenju. Zaradi večje sile med podlago in smučmi, se smučitudi bolj ugreznejo v sneg, zaradi česar morajo premagovati višje sile pri rezanju snega,kar se pozna pri povišanem koeficientu trenja [7, 8]. Je pa izpeljava zavoja pred prečenjemvpadnice tehnično bolj zahtevna, saj je nagib težišča manjši. Smučar mora zato uporabitivečje stranske prelome, da smuči dovolj nagne na teren in hkrati ohranja ravnotežni položaj.

Če pogledamo sliko 3 vidimo, da sila upora v tehničnih disciplinah redko preseže 100 N,med tem ko lahko sila trenja v slalomu doseže tudi 500 N. Sprememinjanje sile upora skozizavoj je manjše kot sprememinjanje trenja, ki močneje vpliva na izgube energije [9].

3 Definicija začetka zavojaV kolikor želimo analizirati posamezen smučarski zavoj, potrebujemo točno definicijo za-četka in konca zavoja. Skozi zgodovino se je pojavilo več različnih definicij, npr. vbod paliceali razbremenitev smuči. Vsaka je sicer dobra za določeno tehniko, ni pa dovolj univerzalna,da bi bila uporabna pri analizi različnih tehnik [10]. Da bi lahko primerjali različne tehnikein tekmovalce ter da bi bila primerjava možna v različnih disciplinah, je pomembno najtimetodo s katero bi lahko natančno določili začetek zavoja za vsako tehniko.

(a) (b)

Slika 8: (a) izmerjene trajektorije smuči in težišča telesa. Trajektoriji aritmetičnesredine smuči in težišča telesa se sekata v dveh točkah (označeni s puščico), ki pred-stavljata začetek in konec zavoja [10]. (b) na drugi sličici vidimo tekmovalko vzačetku zavoja, ko je težišče telesa nad središčem smuči (slika vzeta iz [11]).

Za analizo zavojev se uporabljajo kinematične meritve, kjer lahko s pomočjo parovprekrivajočih posnetkov iz več kamer dobimo 3D podatke o smučarju [12]. Pri analizi naszanimajo trajektorija leve in desne smuči, aritmetične sredine smuči ter težišča smučarjevega

9

telesa. Opišemo jih s tridimenzionalnim vektorjem v kartezičnem koordinatnem sistemu

ti = (xi, yi, zi), i = 1, 2, 3, 4 , (20)

kjer indeks i označuje posamezno trajektorijo. Iz tridimenzionalnega prostora lahko prei-demo v dvodimenzionalnega s pravokotno projekcijo vseh točk na ravnino xy, tako datrajektorije opišemo z vektorjem

ti = (xi, yi), i = 1, 2, 3, 4 , (21)

kjer lahko koordinato y podamo kot funkcijo koordinate x: yi = yi(xi). V takem koordinat-nem sistemu, lahko začetek in konec zavoja podamo kot presečišče trajektorij aritmetičnesredine smuči in težišča telesa [10].

Trajektorije so prikazane na sliki 8. Vidimo, da se trajektorije sekajo v dveh točkah. Vtrenutku presečišč trajektorij aritmetične sredine smuči in težišča telesa, je težišče usmerjenopravokotno na ravnino terena. Smuči so postavljene plosko na podlago. V takem položajuje radij zavoja neskončen, kar je tudi logična defnicija prehoda iz enega v drug zavoj.

Gledano z matematičnega vidika, lahko kot začetek oziroma konec zavoja definiramotočko, v kateri je drugi odvod koordinate y = f(x) enak nič. V tej točki namreč ukrivljenostkrivulje spremeni predznak, oziroma preide iz konkavne v konveksno obliko in obratno.Vprašanje je, odvod katere trajektorije vzeti. Najbolj intuitivna izbira bi bila aritmetičnasredina smuči, ki pa jo je potrebno izračunati, saj imamo izmerjeni le trajetktoriji za levoin desno smučo. Poleg tega je treba vedeti, da so meritve obteženo z napako, ki se obračunanju odvoda drugega reda drastično poveča. Dodatna težava je, da smučarji včasih zeno smučo še končujejo zavoj, medtem ko ga z drugo že začenjajo, zato za določitev začetkazavoja raje uporabimo presečišče trajektorij [12].

Slika 9 prikazuje točke presečišč za začetke zavojev pri različnih tekmovalcih. Vidimoda je z metodo presečišč mogoče natančno določiti točko začetka zavoja, omogoča pa tudiopazovanje razlik med tekmovalci. Razlika je večja v smeri vpadnice, kot prečno nanjo. Toje posledica večje hitrosti in večje poti, ki jo smučar opravi v tej smeri [12].

Slika 9: Točke prikazujejo začetek zavoja pri različnih tekmovalcih v slalomu. Za-četek lahko natančno določimo in primerjamo tekmovalce med sabo [10].

10

4 Parameter za kakovost zavojaSedaj ko poznamo metodo za določitev začetka in konca zavoja, potrebujemo še metodo,s katero bomo ocenili njegovo kvaliteto. Prva ideja je, da bi izmerili čas, ki ga tekmovalecpotrebuje da opravi zavoj. Vendar imajo tekmovalci vhod in izhod iz zavoja na različnihmestih in so zato njihovi zavoji različno dolgi. Tudi vstopna hitrost je različna, zato hitrejeizpeljan zavoj ni nujno kvalitetnejši. Pomemben parameter je tudi hitrost težišča, vendarje odvisna od višinske razlike, ki jo tekmovalec premaga med zavojem, tako da sama hitrostni zadosten parameter. Od parametra moramo zahtevati tudi to, da nam ne pove le, alije bil zavoj kot celota izpeljan kvalitetno ali ne, temveč nam mora povedati tudi kateri delzavoja je bil izpeljan dobro ali slabo in zakaj.

4.1 Specifična mehanska energijaPogosto ko govorimo o učinkovitosti strojev ali fizikalnih procesov, kot njihovo učinkovitostpodamo izkoristek, oziroma razliko med vloženo in dobljeno energijo. Enako lahko naredimopri smučanju, tako da kot parameter za kakovost izpeljanega zavoja, vzamemo količinoizgubljene energije med zavojem [13]. Na vrhu hriba ima smučar na voljo potencialnoenergijo

Ep = mgh , (22)

kjer jemmasa smučarja, g težnostni pospešek in h nadmorska višina. Med spustom navzdolsmučar pridobiva na hitrosti v in potencialna se pretvarja v kinetično energijo

Ek = mv2

2. (23)

Smučarja zavirata sila upora Fu in sila trenja Ftr. Delo Ai, ki ga opravita na določeni poti,je enako energijskim izgubam Ei:

Ai = Ei =∫

(Fu + Ftr)ds . (24)

Iz zakona o ohranitvi energije sledi, da je sprememba potencialne energije enaka spremembikinetične energije in energijskim izgubam

∆Ep = ∆Ek + Ei (25)

Sedaj kot vsoto potencialne in kinetične energije vpeljemo mehansko energijo

Emeh = Ek + Ep , (26)

Ker so mase smučarjev različne, za boljšo primerjavo med njimi vpeljemo specifično mehan-sko energijo, to je mehansko energijo na enoto mase

εmeh = Emehm

= v2

2+ gz . (27)

Z odvajanjem po koordinati z (višini), se znebimo podatka o točni poziciji smučarja naterenu in smeri njegovega smučanja. Tako dobimo diferencial specifične mehanske energije

δεmeh = ∂ εmeh∂z

= ∂

∂z

(v2

2

)+ g . (28)

11

Zavedati se moramo, da imamo v praksi opravka z diskretnimi meritvami. Zato je potrebnoodvode v zgornji enačbi nadomestiti z diferenciali. Poleg tega desno stran enačbe množimoz -1. Ker se višina navadno zmanjšuje, s tem dosežemo, da v primeru večjih izgub energijedobimo nižje (bolj negativne) vrednosti. Tako je dobro smučanje ovrednoteno z višjimivrednostmi od slabega. Končno imamo

δεmeh = ∆εmeh−∆z

= −12

(∆v2

∆z

)− g . (29)

Obnašanje mehanske energije prikazuje slika 10. V primeru brez izgub, se potencialna

Slika 10: Skica poteka mehanske energije Emeh kot vsote potencialne in kinetičneenergije. V primeru brez izgub je mehanska energija konstantna(črtkana črta). Kadarsmučar energijo izgublja, mehanska energija pada (polna črta). Strmeje ko pada,večje so izgube [13].

energija pretvori direktno v kinetično, njuna vsota je konstantna in diferencial mehanskeenergije po višini je enak 0. Kadar imamo zaradi zračnega upora in trenja energijskeizgube, se mehanska energija zmanjšuje. Minimizacija teh izgub je pomembna za kvalitetosmučanja. Izgube so manjše, kadar smučar s primerno držo čim bolj zmanjša svoj upor inodpelje zavoj čim robnikih, brez oddrsavanja.

Med zavojem del celotne kinetične energije smučarja, predstavlja tudi rotacijska kinetičnaenergija. Smučar se giblje po krožnici z radijem R tako da se vrti okoli osi, ki se nahaja vsredišču krožnice in je pravokotna na ravnino terena. V tem primeru je kinetična energijaenaka

Ek = Iω2

2= (mR2 + Ios)ω

2= mv2

2+ Iosv

2

2R2 (30)

Celotni vztrajnostni moment I, smo po Steinerjevem izreku izrazili z vztrajnostnim mo-mentom Ios smučarja okrog osi, ki je pravokotna na ravnino terena in usmerjena skozismučarjevo težišče. Za grobo oceno lahko smučarja obravnavamo kot valj s polmerom a invišino h, ki je glede na os okrog katere se vrti, nagnjen za kot φ. V tem primeru je njegovvztrajnostni moment

Ios = 112m[3a2(1 + cos2 φ) + h2 sin2 φ

]. (31)

Če vstavimo m=80 kg, h=1,8 m, a=0,25 m in φ=60◦, dobimo Ios=17,7 kg m2, kar se dokajdobro ujema z izračuni za človeško telo [14]. Pri zavoju z radijem R=10m je razmerje med

12

celotnim vztrajnostnim momentom I in vztrajnostnim momentom zaradi vrtenja okrog osiskozi težišče Ios

IosI≈ 2, 5 · 10−3 . (32)

Vidimo, da ima spremeba drže telesa smučarja na celoten vztrajnostni moment in kinetičnoenergijo zelo majhen vpliv.

4.2 UporabaOglejmo si uporabo principa v praksi. Na sliki 11 sta prikazana potek specifične mehanskeenergije med smučanjem in trajektorija težišča telesa. Med smučanjem smučar vednoizgublja energijo, zato specifična mehanska energija ves čas pada. Vendar je padanje nanekaterih delih strmejše kot na drugih. To so deli, kjer je izguba energije večja. Ob primer-javi zgornjega grafa s spodnjim, ki prikazuje trajektorije težišča ugotovimo, da je to nadelih, kjer smučar ostreje zavija, to je navadno okoli vratic. Nasprotno so izgube manjšena delih (označeni s puščico), kjer smučar ne zavija ostro, saj je tam obremenitev smučimanjša, posledično pa sta manjša tudi koeficient in sila trenja.

Slika 11: Spreminjanje specifične mehanske energije med smučanjem (zgoraj) intrajektorije gibanja težišča telesa in smuči (spodaj). S puščicami so označena mestamajhnih izgub, ki ustrezajo delom, kjer smučar ne zavija tako ostro in posledičnoizgublja manj energije zaradi manjšega trenja [12].

13

4.3 Primerjava med tekmovalciKako lahko princip izkoristimo za primerjavo med smučarji, je prikazano na sliki 12, kjersta predstavljena primera specifične mehanske energije in njenega diferenciala po višini,za dobro (zgoraj) in slabo (spodaj) izpeljan zavoj. V primeru slabo izpeljanega zavoja, vprvem delu grafa ne opazimo položnejših delov, kjer je bila izguba energije manjša. Smučarje tako slabo pretvarjal potencialno energijo v kinetično skozi vse faze zavoja. Največjarazlika je nastala na delu, kjer smučar malo zavija. V delu zavoja okoli vratic, sta bila obasmučarja enakovredna.

Slika 12: Primer specifične in diferencialne specifične energije za dobro (zgoraj) inslabo (spodaj) izpeljan zavoj. S Puščicami so označeni deli z majhnimi energijskimiizgubami [12].

Še pomembnejši parameter je diferencial specifične mehanske energije. Ta natančnejepokaže kako hitro pada ali raste specifična mehanska energija. Z diferencialom po višiniupoštevamo gibanje smučarja po terenu, saj ta lahko smuča bolj v smeri vpadnice ali paprečno nanjo ter tako izrablja različno količino potencialne energije.

Kadar nimamo izgub je mehanska energija konstantna, njen diferencial po višini paje enak 0. Zato območja v okolici ničle predstavljajo dele dobro izpeljanega zavoja, kjersmučar izgublja malo energije. Diferencial je lahko tudi pozitiven, saj ima smučar zalogoenergije v mišicah, ki jo izrabi za zvišanje težišča in s tem povečanjem potencialne energije,brez izgube kinetične. Ko smučar ohranja hitrost, je prvi člen na desni strani enačbe 29enak 0, vrednost δεmeh pa je enaka −g. Na območjih pod to vrednostjo hitrost pada, nadnjo pa raste. Med zavijanjem smučar energijo vedno izgublja, saj mora nadzorovati hitrost.Je pa pomembno, koliko časa je imel diferencial okoli ničle in koliko časa negativnega. Potekδεmeh dobro in slabo izpeljanega zavoja prikazujeta desna grafa na sliki 12. Diferencial vprvem delu, slabo izpeljanega zavoja (zgoraj) nikoli ne dosže vrednosti okoli 0, za razlikood dobro izpeljanega zavoja.

Še boljšo informacijo o količini izgubljene energije dobimo s histogramom, ki prikazujeporazdelitev vrednosti δεmeh. Na sliki 13 sta histograma za primer dobro (levo) in slabo(desno) izpeljanega zavoja. Tekmovalec ki je dobro izpeljal zavoj, ima večjo zastopanostδεmeh nad ničlo (približno dvakrat večjo). Tudi v intervalu med -5 in 0 J/kg m , kjer

14

tekmovalec še vedno pridobiva na hitrosti, je imel hitrejši tekmovalec večjo zastopanost. Jepa bila porazdelitev v intervalu med -10 in -5 J/kg m pri počasnejšem tekmovalcu skorajdvakrat večja. Pri vrednostih pod -10 J/ kg m, pa so razlike dokaj majhne. To območjepripada delu zavoja okoli vratic, kjer sta bila tekmovalca enakovredna. Razlika je nastalav fazi prenosa teže in začetka zavoja, kjer smučar ne zavija tako ostro [12].

Slika 13: Porazdelitev diferenciala specifične mehanske energije za tekmovalca kije dobro (levo) in slabo (desno) izpeljal opazovani odsek. Višina stolpca predstavljarelativno časovno zastopansot [12].

Slika 14: Hitrost smuči in težišča telesa. Tekmovalca sta imela podobno vstopnohitrost, vendar ta pri tekmovalcu, ki je bolje izpeljal zavoj(zgoraj) na začetku hitrejenarašča, kar se kaže v višji povprečni hitrosti, in približno 0,4 s hitrejšemu času naopazovanem odseku [12].

Energijska analiza zavoja pove, kako kakovostno je bilo vodenje smuči, kar se morapoznati na hitrosti in končnem času. Na sliki 14 sta predstavljena diagrama projekcijehitrosti smuči in težišča telesa na ravnino terena. Oba tekmovalca sta imela dokaj podobnovstopno hitrost, vendar se hitrosti močno razlikujeta že po nekaj desetinkah. Tekmovalcu

15

ki je kvalitetneje izpeljal opazovani odsek hitrost hitreje narašča in doseže višjo vrednost.Kljub temu, da mu hitrost kasneje tudi pada, je njegova povprečna hitrost na opazovanemodseku bistveno višja kot pri slabšem tekmovalcu. Ker tekmovalec izgubljeno hitrost težkonadoknadi ima slabši tekmovalec tudi v nadaljevanju nižjo hitrost. Posledica tega je prib-ližno 4 desetinke slabši končni čas na nekaj več kot 3 sekunde dolgem opazovanem odseku.

S primerjavo grafov na slikah 12 in 14 ugotovimo, da nima velikega pomena samo vodenjesmuči okrog količka, kot bi si intuitivno predstavljali, temveč tudi na delih, kjer smučar manjzavija. Le na tak način lahko smučar ohrani visoko povprečno hitrost. Razlika med hitrimiin počasnejšimi tekmovalci je predvsem v času trajanje izgub. Pri boljših tekmovalcihvisoke izgube trajajo krajši čas, poleg tega pa ohranjajo majhne izgube, t.j. δεmeh ≈ 0,skozi daljši časovni interval. Da lahko ohranja visoko povprečno hitrost, mora tekmovalecv fazi prenosa teže čim bolj izkoristiti potencialno energijo, saj se mu hitrost kasneje območnejšem zavijanju zopet zmanjša [12].

Še ena primerjava med tekmovalci je prikazana na slikah 15 in 16, ki prikazujeta potekspecifične mehanske energije in njenega diferenciala ter trajektorije smuči. Analiza je bilanapravljena na vzorcu 16 tekmovalcev, iz katerga je izračunano povprečje in standardnadeviacija vsakega parametra [13]. Slika 15 prikazuje dva tekmovalca s slabšo kvaliteto

Slika 15: Potek specifične mehanske energije (a), diferencialne specifične mehanskeenergije (b) in trajektorije smuči (c). Sivo območje prikazuje interval standardnedeviacije, dobljen na vzorcu 16 smučarjev. Polna in prekinjena črta prikazujetapotek parametrov pri smučarjih, ki sta opazovani odsek izpeljala najslabše izmedvseh. Navpični črtkani črti označujeta območje prenosa teže - začetka oz. koncazavoja, s polno navpično črto pa je prikazan položaj vratic [13].

16

Slika 16: Potek specifične mehanske energije (a), diferencialne specifične mehanskeenergije (b) in trajektorije smuči. Sivo območje prikazuje interval standardne de-viacije, dobljen na vzorcu 16 smučarjev. Polna in prekinjena črta prikazujeta potekparametrov pri smučarjih, ki sta opazovani odsek izpeljala najbolje izmed vseh.Navpični črtkani črti označujeta območje prenosa teže - začetka oz. konca zavoja, spolno navpično črto pa je prikazan položaj vratic [13].

smučanja (J.K. in F.C.) in slika 16 dva tekmovalca (C.M. in U.P) z boljšo. Vidimo, da sokrivulje specifične mehanske energije pri vseh tekmovalcih bolj ali manj vzporedne, vendarlahko kljub temu med njimi opazimo razlike. Četudi so krivulje vzporedne, tekmovalci nisoenako hitri. Krivulja tekmovalca J.K. (slika 15) je bolj ali manj vzporedna s povprečnokrivuljo, vendar ves čas leži na spodnjem delu intervala standardne deviacije. To je posledicatega, da je tekmovalec prispel v začetek zavoja z nizko mehansko energijo, ki je nato nimogel povečati. Nasprotno je tekmovalec F.C. prispel v opazovani odsek z visoko mehanskoenergijo, končal pa z zelo nizko. Energijo je pričel izgublati takoj po prenosu teže in takovse do vratic, kjer je nato pri izhodu iz zavoja nekaj energije pridobil, a jo je ob vstopuv naslednji zavoj pričel ponovno izgublati. Ob primerjavi specifične mehanske energije stekmovalcem J. K. vidimo, da je večino časa energijo izgubljal in smučal slabše, kljub temupa je imel na tem odseku boljši končni čas (tabela 1), kar je posledica višje mehanske energijena začetku odseka. Tako vidimo, da v tem primeru čas nikakor ni dober parameter zaocenitev kvalitete smučanja. Primerjava njegove trajektorije s sliko 17, ki prikazuje radijezavoja, pokaže, da je je imel direktno linijo proti vratom. Intenzivno je pričel zavijati (radijzavoja pod 16 m) pozneje kot tekmovalca C.M in U.P. ter napravil ostrejši zavoj od njiju,nato pa zopet nadaljeval z direktno linijo proti naslednjim vratom. Zaradi bolj direktnelinije je v delu prenosa teže pridobil nekaj energije v primerjavi z ostalimi tekmovalci, a jo

17

Slika 17: Radij zavoja glede na polžaj po vpadnici. Prikazano je območja medprenosoma teže. Tekmovalca, ki sta kakovostneje odpeljala opazovani odsek, stazavoj pričela bistveno prej [13].

Tekmovalec začetek zavoja [m] konec zavoja [m] čas [s]U. P. 9.22 35.45 3.14C. M. 10.9 34.38 3.03F. C. 10.3 36.16 3.08J. K. 13.4 36.43 3.30

Tabela 1: Tabela prikazuje čase, ki so jih tekmovalci dosegli na opazovanem odsekuin položaj začetka ter konca zavoja [13].

je nato zaradi zelo ostrega zavoja izgubil daleč največ od vseh.Tekmovalec C.M (slika 16) je smučal drugače. Njegova mehanska energija je bila vs-

eskozi na zgornji meji povprečnega intervala ali celo nad njim. V prvih 10 m je smučalpovprečno, zelo dobro pa je odpeljal začetek zavoja, od prenosa teže do vratic. To jepredvsem posledica zgodnjšega začetka intenzivnejšega zavijanja, pri približno 15 m, inbolj okrogle linije smučanja. Vendar se je zaradi bolj okrogle linije njegov zavoj podaljšal,tako da je pod linijo vratic nekaj energije izgubil. S ponovnim zgodnejšim vhodom v za-voj in okroglejšo linijo, je spet pridobil nekaj energije in končal opazovani odsek z najvišjovrednostjo mehanske energije.

Tekmovalec U.P je odsek začel z najnižjo vrednostjo mehanske energije, vrednost nakoncu intervala pa je bila med najvišjimi, nad povprečnim intervalom. Prvi zavoj je pričelše bolj zgodaj kot C.M. , kar mu je omogočilo vstop v drugi zavoj z manj oddrsavanja, kjerje smučal najučinkoviteje od vseh (slika 16, 40m do 47m po vpadnici).

Rezultati kažejo, da bolj direktna linija ni nujno hitrejša, kot bi sprva pomislili. Vedetije treba da način izpeljave in zaključek zavoja vplivata na izpeljavo naslednjega [16]. Zavojje potebno zaključiti tako, da nam omogoči dober vstop v naslednji zavoj, saj ga le tako

18

lahko izpeljemo kvalitetno. Tekmovalec F.C je zaradi bolj direktne linije zavil ostreje, zaradičesar je izgubil več energije, in pozneje, kar mu ni omogočalo dobrega vstopa v naslednjizavoj, kjer je zopet izgubil največ energije (40m do 50m po vpadnici). Smer smučanja U.P.je bila zaradi zgodnejšega začetka zavoja hitreje usmerjena v smeri vpadnice, zato je nadelu od začetka zavoja, do vratic (13m do 25m po vpadnici) ogromno pridobil na energiji vprimerjavi z ostalimi tekmovalci. V odseku od vratic do prenosa teže je bil nekoliko slabšiod ostalih tekmovalcev, a je nato zopet veliko pridobil ob vstopu v naslednji zavoj.

Tekmovalec težko izbere linijo, ki bi bila najučinkovitejša v vseh delih zavoja. Linijamora biti taka, da so deli, kjer je izguba energije povišana, krajši in da lahko na ta računpridobimo na ostalih odsekih, kot je bilo to v primeru C.M in U.P. Tekmovalec F.C je zaradidirektne linije sicer smučal učinkoviteje na izhodu iz zavoja, a je zato na vseh ostalih delihizgubil več, kot je prej pridobil.

Omenimo še vpliv odriva iz zavoja na smučarjevo hitrost. Smučar se lahko odrine le vsmeri pravokotno na smuči, saj je trenje v smeri smučanja premajhno. S tem se velikosthitrosti v smeri smučanja ne poveča. Poveča se le hitrost težišča v smeri pravokotno nasmuči, ki je reda 1m/s, hitrost smučarja pa je med 10 m/s in 20 m/s. Prispevek k absolutnihitrosti je tako manjši kot 1%. Med odrivom se povečajo sile med smučmi in podlago in stem sila trenja, zaradi česar se lahko celotna smučarjeva hitrost celo zmanjša [15]. Prav takoima zelo majhen vpliv na hitrost sprememba vztrajnostnega momenta zaradi spremenjenedrže, kot smo videli v poglavju 4.1.

5 ZaključekV seminarju smo spoznali metodo za anlizo smučanja z energijskega vidika in metodo zadoločitev začetka in konca zavoja, prek presečišča trajektorij aritmetične sredine smučiin težišča telesa. Uporabni sta na različnih področjih, za primerjavo med tekmovalci kottudi za analizo smučarske tehnike. Diferencial specifične mehanske energije naredi analizoobjektivno, saj izniči vpliv smeri smučanja in smučarjeve mase ter omogoča oceno kakovostiv vsaki točki meritve. Pokaže tudi, da časovna analiza ni vedno dober pokazatelj kvalitetesmučanja, saj lahko tekmovalci na določenem odseku izkoristijo različno količino potencialneenergije in kljub boljšemu času v resnici smučajo manj kvalitetno. Pomembno je, da smučardovolj zgodaj prične zavoj in je ob vratcih že usmerjen v smeri vpadnice, ali celo protinaslednjim vratom. Tako mu na delu med vrati ni potrebno močneje zavijati in lahkopotencialno energijo učinkovito pretvori v kinetično. Pri tem mora paziti, da izbere takolinijo, ki mu bo omogočila dobro izpeljavo naslednjega zavoja, saj bo le tako lahko uspešnopresmučal celotno progo.

Največjo oviro pri analizi smučanja predstavljajo meritve. Če hočemo pri 3D meritvi skamerami pokriti večji prostor, potrebujemo večje število kamer. Te morajo dobro postavl-jene in med sabo sinhronizirane za kar je potrebno kar nekaj priprav. Veliko količino delapredstavlja tudi analiza posnetkov, saj je potrebno za točno določitev delov telesa obdelativeliko število točk. Vse to naredi meritve zahtevne in zamudne [12].

19

Literatura[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Alpine_skiing_at_the_1948_Winter_Olympics

(11.6.2009)

[2] T. Sashashi in S. Ichino, Sports Engineering 4, 135 (2001)

[3] D. Lind in S. P. Sanders, Science of skiing, 2nd edition (Springer-Verlag, New York,2004)

[4] D. Buhl, M. Fauve in H. Rhyner, Cold Regions Science and Technology, 33, 133, (2001)

[5] L. Baurle et al, Cold Regions Science and Technology, 47, 276, (2007)

[6] G. A. Smith, Biomechanics of cross country skiing, objavljeno v H. Rusko Handbookof Sports Medicine and Science: Cross Country Skiing (Blackwell Publishing, Oxford,2002)

[7] P. Kaps, W. Nachbauer in M. Mössner, Determination of kinetic friction and dragarea in alpine skiing, v C.D. Mote, Skiing Trauma and Safety: 10th Volume (AmericanSociety For Testing and Materials, Conshohacken, 1996)

[8] D. Heinrich et al, Calculation of pressure distribution between ski and snow, v E.Müller, S. Lindinger in T. Stöggl, Science and skiing IV (Meyer & Meyer Sport,Maidenhead, 2009)

[9] M. Gilgien, R. Reid, P. Haugen, G. Smith, The external forces acting in the directionof travel and their relation to mechanical energy dissipation in slalom (abstract), 14thAnnual Congress of the European College of Sport Sciences, Oslo, 2009

[10] M. Supej O. Kugovnik in B. Nemec, Kinesiologia Slovenica 9, 5 (2003)

[11] htttp://www.ronlemaster.com

[12] M. Supej, O. Kugovnik in B. Nemec, Biomehanika alpskega smučanja (Fakulteta zašport, Ljubljana, 2003).

[13] M. Supej, J. Appl. Biomech. 24, 121 (2008)

[14] M. Davadandi et. al, Estimation of whole body moment of inertia using self-imposedoscillations, plakat predstavljen na Ninth Symposium On 3D Movement Of HumanMovement, Valenciennes, 2006

[15] M. Supej, The myth of acceleration and push-off in racing alpine skiing, neobjavljeno

[16] B. Lesnik in M. Žvan, Kinesiology 39, 40 (2007)

20