analiza 2 sve - aleksandar torgasev
TRANSCRIPT
AHAJII13A II 3A I1H<POPMATI1'-IAPE 1
IIorJiaBJLe 1
HEOliPE'BEHl1 VIHTErP AJI
1. llpHMHTHBHa lf>yH.KII;,Hja lfJYH.KII:.Hje. Heo,Iqlel)eHH HHTerpaJI
HeKa je f(x) peaJma cpynKr.rvrja ,IJ;ecpnmrcaHa Ha HHTepBaJiy (A, B). Ta.n:a
Ce CBaKa cpyHKUHja F(x) ,n;HcpepeHUHja6HJIHa Ha IIOCMaTpaHOM HHT8pBaJiy ll
TaKBa ,IJ;a je F'(x) = f(x) 3a CBaKo x E (A, B) Ha3HBa npu.Mumeno.M rjjynx:v,ujo.M
rjjynx:v,uje f(x).
TaKo je HarrpHMep cpyHKUHja F(x) = x 2 IIJlliMHTHBHa cpyHKUHja cpyHKUHje
f(x) = 2x Ha cKyrry R jep je (x2)' = 2x 3a cBaKo x E R.
Ot.mrJie,n;Ho je CBaKa rrpmvmTHBHa cpyHKUHja F(x), aKo TaKBa cpyHKUHja
rrocTojn, HerrpeKH,IJ;Ha Ha ueJioM rrocMaTpanoM HHTepBaJiy D. Ocn:M Tora,
aKo je cpyHKUHja F(x) rrpHMHTHBHa cpyHKUHja cpyHKUHje f(x) na HHTepBaJiy
D = (A, B), Ta.l(a j e oRa FheHa rrpHMHTHBHa cpyHKUHj a n Ha cBaKoM ,n;pyroM
HHTepBaJiy (a, b), rrpH ~eMy j e A ~ a < b ~ B. CTora aKo cpyHKUHj a f ( x) rroce
,IJ;yje rrpHMHTHBHY cpyHKUHjy na neKOM HHTepBaJiy D = (A, B), ona rroce,IJ;yje
IIpi1MI1TI1BHy cpyHKUHjy ll Ha CBaKOM IIO,Il;I1HT8pBaJiy (a, b J TOr HHTepBaJia.
CTAB 1. Ax:o )e rfiynx:v,uja F(x) jeona npuMumuena rfiynx:v,uja rfiynx;v,uje
f(x) y unmepeaAy D = (A, B), maoa cy cee ?bene npUJvtumuene rjjynx;v,uje dame
ca F(x) + C, npu "ie.My je C npou3BOJbna 'KO'Hcmanma.
lloKa3. KaKo j e F ( x) Ha ocnoBy rrpeTrrocTaBKe rrpH~mTHBHa cpyHKUH.i a
'
2 AHAJI113A II 3A HH<I:JOPMATHLIAPE
cpym<:o;:vrje f(x), 3a cBaKo xED :vrcrryEheHo je F'(x) = f(x). O.n;aB.n;e je:
(F(x) +C)'= F'(x) + C' = F'(x) = f(x),
rra cy cBe cpyHK:o;:vrje o6JIHKa F(x) + C rrpHMlfTHBHe cpym<:o;:vrje cpyHKu;:vrje f(x).
HeKa je .n;aJbe G(x) 6:vrno Koja rrpHMHTHBHa cpyHKIJ;Hja cpyHKu;:vrje f(x) Ha
VIHTepBany D. Ta.n;a 3a cBaKo x E D BaJKM:
F'(x) = G'(x) = f(x),
o.n;aKJie Ha ocHOBY je.n;Hor paH:vrje .n;oKa3aHor CTaBa cne.n;vr .n;a je G(x)- F(x)
KOHCTaHTHa cpyHKu;:vrja Ha HHTepBany D. CTora rrocToj:vr HeKa KOHCTaHTa C E
R TaKBa .n;a je G(x)- F(x) = C, Tj. G(x) = F(x) +C.
TvrMe je TBpl}eEbe .n;oKa3aHo. 0
I1oce6HO Ba.JKHO IIHTafbe jeCT8 KOje cpyHKI:(VIje .n;ecpVIHHCaHe Ha VIHT8pBaJiy
D = (A, B) vrMajy rrpvrMHTHBHe cpyHK:o;:vrje. HanemneMo ca~w ocHOBHVI cTaB
KOjVI Ce O)l;HOCVI Ha H8IIp8KH)l;H8 cpyHKI:(VIje.
TEOPEMA 1. Ceax:a Henpex:uorw rjjyHx:v,uja Ha uHmepeaAy D = (A, B)
noceayje 'Ha moM U'HmepeaAy 6ap jeO'Hy npuMUffiUB'HY rjjy'HX:V,Ujy.
Ona TeopeMa je o.n; vr3y3eTHe Ba.JKHOCTVI jep cy cne eneMeHTapHe cpyHK:O:H
je H81Ip8KH)l;H8 Ha CBaKOM HHT8pBaJiy KOjH je ca.n;p>KaH y fbHXOBOj 06JiaCTVI
.n;ecp:vrH:vrcaHocTvr, a o6wmo ce :vr :o;eo I:hHXOB .n;oMeH cacToj:vr o.n; vr3necHe yH:vrje
)l;HCjyHKTHHX HHT8pBaJia ( 0)1; KOjHX Ce H8KH 8B8HTyaJIHO CBO)l;e H Ha TaqKy).
ilpHTOM cy 8JI8M8HTapHe cpyHKI.J;llje yrrpaBO ¢JYHKIJ;llje KOje HajqeJii:fi-e cpeneMO
y rrpaKCH.
flaJbe DeMO HaBeCTVI 6ap je.n;aH IIpVIMep cpyHKI:(Hje KOja He IIOCe.n;yJe
rrpH:MllTHDHY cpyHK:o;njy. OH je llHTcpccaHTaH ll no TOMe mTo je o.n;ronapajyna
cPYHKUHja IIp8Kll)l;Ha y CaMO je.n;HOj je.n;H:HOj TaqKH llHT8pBaJia, .n;aKJI8 BpJIO
Mano ce pa3JIHKyje o.n; HerrpeKH.n;HllX cpyHKUHja. HcTo TaKo HanemneMo ll
je.n;aH rrpH:Mep cpyHKUH:je Koja TaKoi)e H:Ma caMD je.n;Hy TaqKy rrpeK:vr.n;a Ha o.n;ro
BapajyneM HHTepBaJiy, aJIH IIOce.n;yje IIpVIMllTllBHY cpyHKUHjy Ha TOM HHTep
BaJiy.
IlpHMep.
1. <l:JyHKUHja j(x) = sgnx IIOCe.n;yje IIpHlviHTBHY cpyHKUHjy Ha CBaKOM
HHTepBany (A, B) 3a Koj:vr je A ~ 0 HJIH B ::; 0, a He rroce.n;yje rrpHMHTHBHY
cpyHKIJ;:vrjy HHHaje.n;HoM HHTepnany o6JIHKa (A, B) 3a Koj:vr je A< 0 :vr B > 0.
AHAJII13A II 3A I1H<DOPMATI1LIAPE 3
3arrcTa, aKo yo"t.IMMO 611JIO KOjM MHTepBaJI D = (A, B) 3a Koj11 je A ~ 0,
Ta,n:a je 3a 611JIO Koje x E D MCIIYH>eHo sgnx = 1, rra je ¢YHKUlija F(x) = X j e,n:Ha IIpi1MliTliBHa <f>yHKUlij a <f>yHKUlij 8 j (X) = sgn X, a CBe IIpliMliTliBH8
¢YHKUlije oBe ¢YHKUMje )laTe cy ca x + C (C E R).
CJili'IHO, aKo yo"t.IMMO 611JIO KOjli liHTepBaJI D = (A, B) TaKaB ,l(a je B :::; 0,
Ta,n:a je 3a 6liJIO Koje x E D licrryiheHo f(x) = sgnx = -1, rra je je,n:Ha
IIpliMliTliBHa <f>yHKUlija OBe <f>YHKUlije Ha IIOCMaTpaHOM liHT8pBaJiy ,l(aTa ca
F(x) = -x, a cBe IheHe rrpMMH:THBHe ¢YHKD;lije ,n:aTe cy ca -x + C (C E R).
liaJLe yo"t.IliMO 6mw Koj:vr HHTepBaJI D = (A, B) 3a Kojli je A < 0 li
B > 0. AKo rrpeTrrocTaB:vrMo ,n:a ¢YHKUlija j(x) liMa rrpliMliTliBHY ¢YHKUlijy
F(x) Ha H:HTepBaJiy D, Ta,l(a je F(x) rrpliMHTMBHa ¢YHKUlija ¢YHKUMje f(x)
H: Ha H:HT8pBaJiy (0, B), o,n:aKJie je F(x) = X+ cl 3a CBaKO X > 0 li HeKy
KOHCTaHTY cl. CJIH:"t.IHO, Ta,n:a je F(x) H: rrpmvmTliBHa ¢YHKU:vrja ¢YHKUI1je J(x)
Ha HHT8pBaJiy (A, 0), O,l(aKJie je F(x) = -X+ 0 2 3a CBaKO X < 0 li li3B8CHY
KOHCTaHTY c2 E R. CTora 3a ¢YHKUlijy F(x) 3aKJLy-qyjeMO ,l(a liMa o5mm
F(x) = { X+ cl, 0 <X< B -x + C2, A < x < 0
KaKo j e ¢YHKUlij a F( x) Ha OCHOBY rrpeTrrocTaBKe ,l(li¢epeHurrj a6MJIHa
Ha liHTepBaJiy D, oHa je :vr HerrpeKliJJ:Ha Ha TOM H:HTepBaJiy, rra je rroce6Ho
H8IIp8KI1)l;Ha y TaqKli 0. O,n:aB,n:e Herrocpe,l(HO CJI8)l;H ,n:a je F( +0) = cl = F( -0) = c2' rra je cl = 02 = c, H: F(O) =c. Ha OCHOBY TOra 3aKJLy-qyjeMO
,n:a ¢YHKIJ;lija F(x) HMa o5JIHK
F(x) = lxl + C (A< X< B).
Ho KaKo ¢YHKu:vrja lxl + C HeMa H3Bo,n: y Ta"t.IKli 0, ,n:o6rrjaMo KOHTpa,n::vrK-
UliJY·
CTora <f>yHI<UMja f(x) = sgn x HeMa rrpliMHTliBHY ¢YHKUlijy HliHaje,n:HoM
HHTepBaJiy o5JmKa (A, B), rrp:vr 'IeMy je A< 0 liB> 0.
2. fla.JLC D8MO H3.DCCTli IIpH:MCp <f>yHKUHjC KOja. liMa ca.MO jc,n:Hy TaqKy
rrpeKli,n:a Ha cKyrry R, aJili rroce,zzyje rrpMMH:TH:BHY ¢YHKUMjy Ha R. Yoq111-10
<f>yHKUlijy
{2 . 1 1 '0 f ( ) X Slll - - COS - , X r
X = X J;
0, X= 0
KOja je IIp8Kli)l;Ha CaMO y Ta"t.IKH 0, a liMa IIpli::Y!H:TliBHY <f>YHKIJ;lijy Ha H:HT8pBaJiy
( -oo, +oo) = R. KaKo ce JiaKo MOJKe BliJJ:8Tli ,n::vr¢epeHUliparueM Hajrrpe y 6:vrJio
4 AHAJ1M3A II 3A MH<POPMATMLIAPE
KOJOJ Ta'IKH X =/=- 0, a 3aTHM y Ta'IKH 0, fueHa je,n;Ha IIpHMHTHBHa cpyHKIJ;Hja
,n;aTa Je ca
F ( x) = { x2 sin ~ , x =/=- 0 . 0
0, X= 0
CTora HeKe rrpeKH,LJ;He cpym<r:~;nje rroce,n;yjy a HeKe He rroce,n;yjy rrpnMH-
THBHe cpyHKUHj e.
AKo cpyHKUHja f(x) nMa 6ap je,n;Hy rrpHMHTHBHY cpyHKUHjy F(x) Ha HH
TepBaJiy D = (A,B), Ta.n:a ce cKyrr cpyHKUHja {F(x) + C:C E R} Ha3HBa
neoapeijenu.Jvt unmezpaJLo.Jvt rftyn'K:~uje f(x), 11 rrnmeMo:
(1) J f(x) dx = F(x) +C.
IlpHTOM ce H3pa3 f(x) dx Ha3HBa noaunmezpaJL'HUM u3pa3oM, a caMa
cpyHKUHja f(x) noaunmezpaJL'HOM ¢yn'K:V,UJOM. KoHCTaHTa c y cpopMyJIH (1)
Ha3HBa ce unmezpa~uonoM 'K:OncmanmoM.
IIocTyrraK KOjHM ce o.n: .n:aTe cpyHKUHje f(x) Ha qmKcnpaHOM HHTepBaJiy
D = (A, B) .uo6Hja HeKa ILeHa rrpaMH:THBHa ~YHK~Hja, aKa TaKBa ¢yHKUHja
rrocTojH, Ha3HBa ce unmezpav,ujo.Jvt ¢yn'K:~uje f(x).
Ha ocHoBy ,n;ecpHHHUHje Herrocpe.lU{o HMaMo .n:a je 3a cBaKy )l:llcpepeHUH
ja6HJIHY cpyHKUHjy F(x) Ha HHTepBaJiy (A, B) HcrryH>eHo
j F'(x) dx = F(x) +C.
lipHMepH.
(1) J sin x dx = - cos x + C; ( 2) J cos x dx = sin x + C;
(3) J xP+l
xP dx = p + 1
+ C (p =/=- -1) ; ( 4) J ~ dx = ln I xI + C.
Ko.n: rrpHMepa (4) Tpe6a HarJiaCHTH na cpyHKUHja J(x) = 1/x HMa rrpmvr
HTHBHY cpJHKUHjy Ha CBaKOM O,llllHTepBaJia ( -CXJ, 0), (0, +oo), KaO H Ha rrpOH3-
BOJLHOM OTBOpeHOM llHTepBaJiy je,llHOr O,ll THX HHTepBaJia, ll IIpHTOM llHTerpa
UllOHa KOHCTaHTa HMa je.UHY Bp8)1:HOCT C1 Ha llHT8pBaJiya ( -CXJ, 0), a .n:pyry
Bp8,llHOCT C2 Ha HHT8pBaJiy (0, +oo).
Ha HHTepBaJIH~Ia o6JIHKa (A, B) 3a Koje je A < 0 H B > 0, cpyHKUHja
1/x H8Ma IIpHMHTllBHy cpyHKUHjy, Ma KaKO )]:a )1:0)1:8cpi1HHill8:MO Bp8.UHOCT T8
AHAJU13A II 3A MH<I>OPMATI-FIAPE 5
<jlyHKUH:je y Ta'IKH: 0. .lloKa3 OBOr TBpl)eH:.a MOJKe ce H:3B8CTH: CJIH:'IHO Bell
HaBe.n;eHOM rrpaMepy <jlyHK:rzyrj e sgn x.
Cne.n;ena cTaB o.n;Hocu ce Ha oco6uHy JIHHeapHOCTH Heo.n;pel)eHor H:HTe
rpaJra.
CTAB 2. A-x;o rfty'H'X:V,uje f(x) u g(x) uMajy npuMumue'/ie rftY'H'X:V,Uje 'lia
U'/imepBa.!Ly D = (A, B), maoa 3a npOU3BOJb'lie '1\:0'/iCma'lime a:, f3 E R u rfty'H'X:V,Uja
o:f(x) + j3g(x) uMa npuMumue'Jiy rfty'H-x;v,ujy 'lia moM u'Hmepea.tLy, u ea-:J~Cu jeo-
'/ia-x;ocm
(2) j[o:f(x) + j3g(x)] dx =a: j f(x) dx + j3 j g(x) dx +C.
HanoMeHHMO jom .n;a 3a pa3JIHKY o.n; .D;H<jlepeHr.:r;upaH>a eneMeHTapHHX
<jlyHKJlHja, HHTerpaJI 8JI8MeHTapHe <jlyHKUHje MOJKe aJIH H: He MOpa .n;a 6y.n;e
rroHOBO eneMeHTapHa <jlyHKuuja. Kao rrpvnvrepe HHTerpana Koju 'lie npeocmae.tL-
JaJy eneMeHTapHe <jlyHKUHje HaBO.D;HMO HHTerpane j e-x2
dx, j sinx2 dx,
J sinx -X- dx HT.IJ;.
AKo H:HTerpaJI HeKe eneMeHTapHe <PYHKUH:je npe.n;cTaBJba noHOBO eJieMeH
TapHy <jlyHKUMjy, OH.D;a ce KaJK8 .n;a ce Taj HHTerpan MOJK8 HallY! y "3aTBOpeHOM
06JIMKy". 36or TOra je O.D; HHTepeca HallY! illTO illMpe KJiace eJieMeHTapHHX
<jlyHKUHja KOje Ce MOry H:HTerpHCaTH y 3aTBOp8HOM 06JIH:Ky. 0BOMe je IIOCBe
ll8H BeJIH:KH 6poj KH>Mra, T3B. Ta6naua HHTerpana.
Y TC16eJIM 1 ( CTp. . .. ) HaBe,Ll;eHH cy Heo.n;pe l)eHH: H:HTerpaJIM H8KH:X OC
HOBHH:X eJI8M8HTapHMX <jlyHKUMj a, T3B. Ta6JIH:'IHM H:HTerpaJIH:.
2. MeTo,n.:e HHTerpan;Hje
Q .D; BH:ille pa3JIM'IH:TH:X M8TO.D;a KOj e Ce MOry KOpH:CTHTI1 KO.D; HaJiaJKeiLa
Heo.n;pel)eHH:X H:HTerpana, H3JIOJKH:neMo carvro .D;Be: MeTo.n;y rrapuajaJIHe HHTe
rpar.:r;Mje M MeTO.D;y CM8H8 rrpoMeHJLHBI1X.
2 .1. IIapn;HjaJIHa HHTerpan;Hja
CTAB 3. IIpemnocmaBUMO aa cy u(x) u v(x) ou¢epe'Hv,uja6UJl/He ¢Y'Ii'X:V,Uje
'/ia U'limepea.tLy D = (A, B), u nocmoju npuMumue1-w if;ymcv,uja if;y'H-x;v,uje
6 AHAJIH3A II 3A HH<I>OPMA TH'-IAPE
u'(x)v(x). Taaa nocmoju u npu.Mumue'Ha rfiy'H?Ctt,uja rfiy'H?Ctt,uje v'(x)u(x) u eaJJCu
jed'Ha?Cocm:
(1) J u(x)v'(x) dx = u(x)v(x)- J v(x)u'(x) dx,
Tj.
(2) j u dv = uv - j v du.
lloKa3. KaKo je
(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) (xED),
,n;o6vrja ce ..ua je
u(x)v'(x) = (u(x)v(x))'- u'(x)v(x),
o,n;aKJieje
j uv' dx = j(uv)' dx- j u'vdx = uv- j vu' dx. D
IlpHMep. 1. Yo~vrMo VIHTerpaJI J
rrapu;vrj aJIHe VIHTerpau;n:j e
J xex dx. Ta..ua je rrpn:MeHOM
J = j x dex = xex - (x)' dex = xex -ex+ C = (x- l)ex +C.
2. 3a HHTerpaJI J = j x 2 cos x dx, rrpvrMeHoM rrapu;vrjaJIHe vrHTerpau;vrje
vrManeMo ,n;a je
J = J x 2 d sin x = x 2 sin x - J 2x sin x dx = x 2 sin x + 2 j x d cos x =
= x2 sin x + 2x cos x - 2 j cos x dx = x2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + C =
= (x2 - 2) sin x + 2x cos x +C. D
2.2. CMeHa rrpoMeHJLHBHX
ITpeTrrocTaBHMO .n;a cpyHKu;vrja f(x) mvra rrpmvmTVIBHY cpyHKUvrjy F(x) =
j f(x) dx Ha VIHTepBaJry D =(A, B), vr x = x(t) je HerrpeKvr.n;Ho ,n;vr¢epeHu;vrja-
6vrJma ¢yHKIJ;VIj a HOBe H83aBVICHe IIpOM8HJ1HBe t Ha HHT8pBaJiy ( t 1: tz).
AHAJI113A II 3A HH<I:>OPMATlfY:APE 7
YO'IllMO CJIO/K8HY ¢YHKUHjy F(x(t)) rrpoMeHJbllBe t. meH ll3BO,Il; no t
je,n;HaK je
(F(x(t))' = F'(x(t)) x'(t) = f(x(t)) x'(t),
o,n;aKJie cJie,n;rr ,n;a je F(x(t)) rrprrMHTHBHa ¢YHKIU1ja ¢YHKUrrje f(x(t)) x'(t) (t1 < t < t2). O,n;aB,n;e ,n;o6rrjaMo peJiaqrrjy:
(1) F(x(t)) = j f(x(t)) x' (t) dt,
O,n;HOCHO
(2) J f(x) dxl = j f(x(t)) x' (t) dt x=x(t)
KOja ce Ha3HBa cfJopMyJIOM 3a CMeHy IIpOM8HJLllBllX y Heo,n;pel)eHOM llHTerpaJiy
¢YHKIU1je f(x). <l:>OpMyJie (1) llJill (2) ce y rrpaKCll KOpllCT8 TaKO illTO ce yMeCTO IIpllMll
Tl1BH8 ¢YHKUMj e F ( x) rroro,n;HOM CMeHOM x = x ( t) Hal)e rrprrMHTHBHa ¢YHKUrrj a
cflyHKIJ;Mje G(t) = F(x(t)), a 3aTrrM rro,n; rrpeTrrocTaBKOM ,n;a rrocTojM MHB8p3Ha
¢YHKUHja t = r 1 (x) 3aM8HOM y ¢YHKIJ;Hjy G(t) Haj3a,n; ,n;o6H:jaMO ¢YHKL{Hjy
F(x) = G(t-1(x)).
Ilp:aMepH. 1. AKo y HHTerpaJiy J = j cos nx dx yBe,n;eMo cMeHy nx = t
,n;o611jaMo ,n;a je x = x(t) = tjn 11 dx = x' (t)dt = dt/n, o,n;aKJie je
1 J d sin t sin nx C J = - cost t = -- = -- + . n n n
2. AKo ,n;aJLe y HHTerpaJiy
J- -I sinxdx J -dcosx - . 1 + cos2 x - 1 + cos2 x
yBe,n;eMo cMeHy cosx = t, Tj. x = arccost, ,n;o611jaMo ,n;a je
j. -dt J = --2 = -arctgt + C = -arctg (cosx) +C.
1 + t
Ca,n;a neMO KOpHmne&eM CMeHe rrpOM8HJLllBHX ll3pa'IyHaTH jom H8KO
JillKO Ta6JIH'!HllX llHTerpa.na.
3. Yo'IHMO Hajrrpe HHTerpaJI J )x2 + 1 dx.
8 AHAJIH3A II 3A HH<I>OPMATl1"4APE
KaKo je no,n;ImTerpaJIHa cpyHKUMja f(x) = ,fx2 + 1 .necpMHMcaHa 3a cse
peaJIHe Bpe.mwcTM x, ysemneMo cMeHy x = sh t (t E R). TaKo ,no6MjaMo .na
J8
J x 2 + 1 dx = )sh2 t + 1 (ch t) dt = ~(ch t) dt = (ch t)(ch t) dt =
= ch2 t dt = ch (2t) + 1 dt. 2
O,nas.ne je:
J J 2 d j ch (2t) + 1 d sh (2t) t C X +1 X= t= +-+ .
2 4 2
KaKo je ,naJLe sh(2t) = 2(sht)(cht), .no6MjaMo .na je
J J 2 d ( sh t) ( ch t) t C x J 2 ar sh x C X +1 X= +-+ =- X +1+ + =
2 2 2 2
- xvx2 + 1 ln (x + vx2 + 1) c - 2 + 2 + .
4. YoqMMo ,naJLe MHTerpaJI j -vh- x 2 dx.
KaKo je rro,nMHTerpaJIHa cpyHKUMja f(x) = v'1- x 2 .neqmHMCaHa caMo 3a
I xi :S 1, ,naKJie Ha MHTepsaJiy [ -1, 1], MOJKeMo .na yse,neMo cMeHy x = cost
(0:::; t:::; 1r). O.uas.ne je:
rra je
)1- x 2 dx = V1- cos2 t(- sin t) dt = (sin t)(- sin t) dt =- sin2 t dt =
cos 2t- 1 d 2 t,
J J 2 - r cos 2t d J dt - sin 2t t c -1-x dx- -- t- ------+ -J 2 2 4 2
= :_ )1- x 2 - ~arc cos x +C. 2 2
5. flaJLe YO'-IMMO VIHTerp aJI J V X2 - 1 dx.
KaKo je no,nMHTerpaJIHa cpyRKuMja v1x2 - 1 .necpMHMCaHa caMo 3a jxj 2: 1,
y CJIY'!ajy .ua je x 2: 1 ysemne1v1o CMeHy x = ch t (t 2 0), a y cJiy-qajy .na je
x :S -1 c:r·.,reHy x = -ch t (t 2 0). O.nas.ue 3a x 2 1 .no6MjaMo .ua je:
I Jx2 -ldx= I )ch2t-l(sbt)dt=fsh2tdt= lch2:-ldt=
= - ch 2t dt - - 1 dt = - - - + C. 1 j 1 j sh 2t t 2 2 4 2
AHAJU13A II 3A I1H<POPMATI1"Y:APE 9
KaKo j e ,n:aJI>e
sh (2t) = 2(sh t)(ch t) = 2ch t)ch2t- 1,
,n:o6RjaMo ,n:a je
cht J t I = - ch2t - 1 - - + C = 2 2
= :_ J x 2 _ 1 _ ar ch x + C = 2 2
= :_ J x2 - 1 - ~ ln ( x + J x 2 - 1) + C = 2 2 xJx2 - 1 1 1 = - - ln ( x + y x 2 - 1) + C.
2
AKo j e x :S -1, MO>KeMo ,n:a yBe,n:eMo cMeHy x = -y (y 2:: 1), rra j e:
j J x 2 - 1 dx = j J y2 - 1 ( -dy) = - j J y2 - 1 dy =
[(-x)v'x2 -1 1 J = -
2 - 21n ( -x + J x 2 - 1) + C =
xv'x2 - 1 1 1 = --~ +C= 2 2 -x+Jx2-1
xv'x2 - 1 1 1 = - -ln ( -x- y x 2 - 1) +C. 2 2
CTora je I1 y je,n:HOM I1 y ,n:pyroM cJiy-crajy:
I= xJx2
-1
_ ~ ln (lxl + (sgnx))x2 -1) +C.
6. liaJI>e yo-cri1MO I1HTerpaJI -- . J dx
Jx2 + 1 Y OBOM CJiy-crajy IIpHMCHHDCMO HCTY CMCHY KaO H- y CJiyqajy 3: X = Sh t
(t E R). TaKa HaJia3HMO ,n:a je
O,I(aKJie je 3aM8HOM:
--:=d:;=x= = ( ch t) dt = dt Jx2 + 1 cht '
J dx = j dt = t + C = ar sh x + C = ln ( x + J x2 + 1) + C. v'x 2 + 1
7. Ca,n:a yo-crHMO HHTerpaJI . J dx
v1- x 2
10 AHAJII13A II 3A l1H<POPT'viATI1'-IAPE
Y OBOM CJiyc:rajy YB8illD8MO CMeHy X = sin t ( -7T /2 < X < 7T /2), o_n:aKJI8
_n:o6Hj aMo .n;a j e
dx (cos t) dt = (cos t) dt = dt. V1- sin2 t cost \11- x 2
CTora je:
J dx = t + C = arc sin x + C. )1- x 2
J dx 8. Haj3a_n: yoc:rHMO HHTerpaJI -- .
)x2 -1 Hajrrpe D8MO IIOCMaTpaTH Bpe,n;HOCTH X > 1 M YB8CTH CMeHy X = ch t
(t > 0). TaKo _n:o6:v1:jaMo _n:a je
dx ( sh t) dt = ( sh t) dt = ( sh t) dt = dt )ch2t- 1 v'SJ12t sh t ' )x2 -1
o,n:aKJie je:
J dx = t + C = ar ch x + C = ln ( x + .J x 2 - 1) + C. )x2 -1
3a Bpe,n:HOCTH X < -1 MOIK8MO _n:a yae,n:eMO CM8HY X = -y (y > 1),
o,n:aKJieje
J dx J -dy J dy V x 2 - 1 = .J y2 - 1 = - .J y2 - 1 =
= -ln (y + .J y2 - 1) + C = -ln ( -x + .J x 2 - 1) + C = 1
=ln +C= -x+vx2 -1
=ln(-x-~1)+C.
CTora je y orrmTeM cJiyc:rajy, aKo je fxl > 1:
I= ln (fxl + (sgnx)Vx2 - 1) +C. D
3. HHTerpan;Hja pa.IJ;HOHaJTIIHX cpym<n;Hja
Pa:o;HoHaJIHe ¢YHK:o;Hj e rrpe,n:cTaBJLaj y H3.)'"38THO B<lli<HY KJiacy eJieMeH
TapHHX ¢YHKIJ;Hja 'IHjH Ce Heo,n:pel)eHH HHTerpaJI yBeK MO/Ke HatiH y 3aTBOpe
HOM o6JIHKY, Tj. rrpe_n;cTaB.rr,a IIOHOBO 8JI8M8HTapHy ¢yHKIJ;Hjy. ilpHTOM, CBaKa
AHAJI113A II 3A 11H<I>OPMAT:VP-IAPE 11
TaKBa cpyHKUHja rrpe,IlCTaBJba HerrpeKH.IlHY cpyHKUHjy H3Mel)y CBOjH:X cyce,n:
HHX CH:HryJiapHHX Ta"t.IaKa, H Ih8H H:HTerpaJI yBeK HaJia3I1MO Ha ,Ili1CjyHKTHHM
aTBapem'!M H:HTepBaJiaMa -.:.rHje cy KpajH>e Ta-.:.rKe cyce,IlHe caHryJiapHe Ta-.:.rKe
aBe cpyHKUH:jeo .IIaKJie rrpaJIHKOM H:HTerpauaje yBeK "rrpecKa-.:.reMo" CI1Hry
JiapHe Ta"t.IK8 TaKB8 cpyHKUHjeo
Ca,n;a neMO yKpaTKO I13JIOliiliTH ITOCTyrraK H:HTerpauaje rrpOI13BOJbH8 pa
UHOHaJIHe cpyHKUH:jeo 113 OBOr ITOCTYITKa H8ITOCpe,n;HO ne CJI8,Ili1TI1 3aKJby-.:.raK 0
MOrynHOCTH: H:HTerpauaje CBaKe TaKBe cpyHKUH:je y 3aTBOp8HOM a6JII1KYo
(1)
Y 0'-IHMO rrpOH3BOJbHY paUH:OHaJIHY cpyHKUH:j y
Pm(x) f(x) = Qn(x)
rrpH qeMy cy Pm(x) a Qn(x) ITOJIH:HOMH: CTeneHa man pecneKTH:BHO (n;:: 1)0
I-beH ,n;oMeH, Tj 0 cKyn CBH:X HecaHryJiapHax Ta-.:.raKa x 03Ha-.:.raneMo ca D 0
PauaoHaJIHa cpyHKUH:ja (1) Ha3aBa ce npaeoM aKo je m < no AKo je
m ;:: n, Tj o OHa HH:j e npaBa, y T80pH:ji1 ITOJIH:HOMa ,ll;OKa3yje Ce ,n;a ITOCTOjH
nOJIH:HOM R( x) cTeneHa m - n H noJIH:HOM r( x) cTerreHa MaH>er o,n; n TaKa ,n;a
3a cBaKo x E D Ba,)KH:
(2) f(x) = R(x) + ~(~), 0
iloJIH:HOM R(x) Ha3H:Ba ce 'ICOJ!,U"i'HU'IWM rrpa ,n;eJhelhy noJIH:HaMa Pm(x)
ITOJIH:HOMOM Qn(x), a IIOJIH:HOM r(x) OCmamXOM npH OBOM ,ll;CJLei:Lyo ilpHTOM
npeTrracTaBJLaMo ,n;a j e qaTaouy jom I13 cpe,n;H>e mKoJie IT03HaT rrocTyrraK ,n;eJI
j ei:La HeKor IIOJIH:HOMa p m (X) Ca ITOJIH:HOMOM Q n (X) HHJKer I1JII1 H:CTOr CTeiieHao
x 2 + 1 HanpaMep, aKa je f(x) = 2 4
, Ta,n;a je m = n = 2, a ,n;eThei:LeM oBa X -
,ll;Ba IIOJIHHOMa ,uo6aj aMO ,n;a j 8
,n;aKJie R(x) = 1 H r(x) =50
5 f(x) = 1 + -')- , ,
Ha OCHOBY cpop:rvryJie (2) ce H:HTerpauaja pauHoHaJIHe cpyHKUH:je y CJiy-.:.ra
jy .ua je rn ;:: n CBo,n;a Ha H:HTerpauajy rraJIHHOMa R(x), Koja cc JiaKo MaJKc
H3BpmH:TI1, H HHTerpauHj:y- npaBe pauHaHaJIHe cpyHKUHje r(x)/Qn(x). CTora
DeMO ce Ha,n;aJLe 3a,n;p:>KaTH: Ha H:HTerpaUMjH npaee patJ,UO'HaJ!,'He ¢Y'HX'4UJe KO)l
Koje je ,n;aKJie m <no
12 AHAJII13A II 3A HH<I>OPMATI1'-IAPE
AKa je ,naJbe Qn(x) nporr3BaJbaH peanaH nanrrHOM cTeneHa n 2: 1, Ta,na
ce y Anre6prr noKa3yje ,na rrocTaje Heo6aBe3HO pa3Jirr•mTrr 6pajeBrr z1, ... , Zn
E C TaKBrr ,na 3a CBaKa x E R BaJKH
Qn(x) = ao(x- z1) · · · (x- Zn)·
BpojeBrr z1 , ... ,Zn npe,ncTaBJbajy Hyne nanrrHaMa Qn(x). HeKe a,n IhiiX
cy peanHe a ocTane cy rrMariiHapHe, Tj. neiKe I-BBaH ace Ox. AKo cy z1, ... , z5
cBe Me1}yca6Ha pa3nii-mTe Hyne nanrrHaMa Qn(x) nprr 'IeMy ce z1 najaBJbyje
y HII3Y { Z1 1 ••• , Z5 } Ta'-IHO ffi1 rryTa, IIT,n, Z 5 Ta'-IHa ffi 5 rryTa, Ta,na H:,ll8HTM:'-IK11
BaiKH
Qn(x) = ao(X- Z1)m1 • • • (x- Z5 )ms,
II m1 + · ·+m5 = n. Ilpiipo,naH 6paj mv Ha3rrBa ce aAze6apc'K:o.M euwecmpy'K:oW
ny HyJie Zv (v = 1, ... ,s) . .liaJLe C8 ,naKa3yje ,na BaiKII CJie,nenii CTaB.
CTAB 4. A'K:o je 'K:O.MnAe'K:Ca"H 6poj Zv U.Mazu"Hap"Ha "HyAa noAu"Ho.Ma Qn(x)
(ca peaA'HU.M 'K:Oerjuv,uje"Hmu.Ma) euwecmpy'K:ocmu mz;, maaa je Zv ma'K:o1je "HyAa
ucmoz noAu"Ho.Ma ucme euwecmpy'K:ocmu mv.
Ha acHoBy oBar BaiKHar CTaBa CBe Hyne rranvrHaMa Qn(x) MOiKeMa ,na
rra,nenrrMa Ha peaA"He, Kaje neMa a3Ha'-IHTH Ca a1, ... , Clr Ca a,nraBapajyniiM
Bllill8CTpyKOCTM:Ma m1, ... , ffir), 11 rrapoBe HMarrrHapHIIX /31, (31, ... , f3k, {Jk ca
BHID8CTpyKOCTM:Ma n 1, n1, ... , nk, nk. <I>opMyna (2) Ta,na ,na6IIja 06JIIIK:
r k
Qn(x) = ao IT (x- a:v)m" ·IT [(x- /3q)(x- {Jq)rq. v=1 q=l
KaKa j c .n:a.JLc
- 2 2 2 (x- /3q)(x- /3q) = x - (2Re,Bq)x + I,Gql = x + Bqx + Cq,
rrpii '-IeMy cy Bq, Cq peanHH 6pojeBII II KBa.n:paTHH rr3pa3 x 2 + Bqx + Cq IIMa
IIMarrrHapHe Hyne, cne.n:II .n:a je
r k
(3) Qn(x) = ao IT (x- av)m1, IT (x2 + Bqx + Cq)nq, v=l q=l
rrpvr "Y:eMy j e
m1 + · · · + mr + 2(nl + · · · nk) = n.
AHAJU13A II 3A MH<I>OPMATM'-IAPE 13
KopumneH:.eM rrpeTxo~or pa3JiaraH>a, ,n:oKa3yje ce ,n:a BCL.~KH cJie,n:enH
CTaB KOjH HaBO,n;HMO 6e3 .UOKa3a.
CTAB 5. Ceax:a npaea pav,uona.!Lna rfiynx:v,uja f(x) = Pm(x)/Qn(x) cape-
a.!L'H.U.M cunzy.!Lapnu.M ma"ix:a.Ma a1, ... , ar u u.Mazunapnu.M cunzy.!LapnU.M ma"ix:a
.Ma /31 , ... , !3k (Re /31 > 0, ... , Re !3k > 0) .MO:JICe ce 'Hanucamu y o6.!Lux:y 36upa
e.!Le.MeHmapHux pa3.!LO.Max:a, mj. y o6.!Lux:y 36upa pav,uonMnux rjyHx:v,uja o6.!Lux:a
(4) Aij
(j = 1, ... , mi; i = 1, ... , r) , (x - ai)j
u pav,uona.!LHUX rfiynx:v,uja o6.!Lux:a
BijX + Cij
(x2 + bix + Ci)j (j = 1, ... , ni ; i = 1, ... , k). (5)
flpyrHM pe'IHMa 3a CBaKO peaJIHO X ~ a 1, ... , ctr BaJKH ll,Il;8HTH'IKH:
r m; A k n; B + C ij '""" '""" ij X ij
f(x) = L L (x- a·)j + ~ ~ (x2 + bix + ci)j · i=l j=l t t=l J=l
CBH KoecpHUHjeHTH Aij (i = 1, ... , r;j = 1, ... , mi), Bij, Cij (j = 1, ... , ni;
2 = 1, ... , k) Ce IIpHTOM O,UpeJ;)yjy M8TO,UOM H80,UpeJ;)eHHX K08cpHUHjeHaTa.
0Baj M8TO.U je y OIIIIIT8M CJIY'Iajy B80Ma 3aMeTaH, !!I 3aXT8Ba B8JIHKY IIa.iKH.>Y
Y pa.uy.
Ha ocHOBY rrpeTxo,n:Hor cTaBa ce HHTerpauHja rrpoH3BOJLHe pauHoHaJIHe
cpyHKUHje CBO,Ull Ha. H8.Jia.JK8fL8 36Hpa HHTerpa.Jia cflyHK[(Hja 06JIHK8. (4) ll (5).
I1HTerpaJIH 06JIHKa ( 4) C8 JiaKO HaJia3e CM8HOM X- ai = t, 'IHM8 C8 CBO,Ue Ha
HHTerpaJie o6Jl:HKa
J dt
tJ (j = 1, 2, ... ).
I1HTerpaJIH 06JIHKa ( 5) C8 H3pa'I:yHaBajy H8IIITO T8JK8, rra neMO KpaTKO
o6j acHHTH rrocTyrraK. Yo'!HMO 6HJIO Koju HHTerpaJI o6JIHKa
J Bx+C d ( x 2 + bx + x )j x
(j EN),
IIpH 'i8MY TpHHOM x 2 + bx + C HMa HMarHHapHe HyJie, Tj. Ba.lfi.H b2 - 4c < 0.
KaKo je
4c- b2
x2 + bx + c = (x + b/2) 2 + c- b2 /4 = (x + b/2) 2 +
4
14 AHAJII13A II 3A I1H<POPJviATM"YAPE
MO/K8MO Hajrrpe ,n;a YB8,ll;8MO CM8HY X+ b/2 = t, qllM8 Ce OBaj llHTerpaJI CBO,ll;ll
Ha 36Mp llHTerpaJia
J Btdt (t2 +6.)i +(C-bB/2) J {,') ~t"'"'
rrpll qeMy je 6. = ( 4c- b2)/ 4 > 0. llpsll o.n; OBMX MHTerpaJia JiaKo ce M3paqy
Hasa CM8HOM t 2 = u. Ko.n; .n;pyror llHTerpaJia Hajrrpe Tpe6a yseCTll eMeRy
t = .;K.u, rra ce osaj llHTerpaJI cso.n;M Ha llHTerpaJI o6JI:m<a
J du Jn= (u2+1)n (n EN).
Ca.n;a neMO ycrrocTaBllTll peKypeHTHY Be3y II3Mei)y llHTerpaJia Jn ll Jn+l
(n EN). TiapunjaJIHOM llHTerpaunjoM .n;o6MjaMo .n;a 3a cBaKO n EN sa/Kll:
Jn = J(u2 + 1)-ndu =
= (u2 + 1)-nu- j[(u2 + 1)-n]'u du =
u J u2
= (u2 + 1)n + 2n (u2 + l)n+l du =
= u + 2n J ( u2 + 1) - 1 du = (u2 + l)n (u2 + 1)n+l
u = + 2n{Jn- Jn+d·
O.n;aB,lle Herrocpe,llHO HaJia3llMO ,lla 3a csaKo n E N Ba~KM:
(6) Jn-'-1 = _2:__ U + 2n- 1 ' 2n(u2 +l)n ,... ln.
Y cpop:NI}'Jill (6) je nHaqe 3aHeMapeHa llHTerpaunoHa KOHCTaHTa, Kojy
Tpe6a y3eTn rroce6Ho 3a csaKn o.n; llHTerpaJia Jn (n EN).
KaKo je rroce6Ho (3aHeMapyjynn IIHTerpauMoHy KOHCTaHTy):
J du J1 = u 2 + 1 = arctgu,
M3 cpopMyJie (6) CJie.n;n .n;a je HarrpnMep
u 1 u arctgu h=2(u2+1)+2J1 =2(u2 +1)+ 2 '
AHAJU13A II 3A HH<POPMATH'-IAPE 15
HT,II,. 3a rrpoH3BOJ.baH rrpnpo,n;aH 6poj n, n-TOCTpyKOM rrpnMeHOM cjlopMyJie (6)
,n;o6njaMo owoBapajyny Bpe,II,HOCT HHTerpaJia Jn, Ha Kojy jom caMo Tpe6a
,II,O,II,aTH HHTerpaUHOHY KOHCTaHTY C.
0B,II,8 Tpe6a HaiiOM8HYTH ,II,a je cjlyHKUHja ( 21
) H8IIp8KH,II,Ha Ha U8JIOj u + 1
peaJIHOj rrpaBOj, rra je O,II,rOBapajyfia HHTerpaD;HOHa KOHCTaHTa HCTa Ha U8JIOj
rrpaBoj R.
Ko,n; HHTerpau;nje paunoHaJIHHx cjlyHKUnja je CBaKaKo Hajje,II,HOCTaBHHjH
CJiyqaj Ka,II,a cy CB8 CHHI'yJiapH8 Ta'-!K8 peaJIH8, a IIpHHUHIIHj8JIHO HajrrpOCTHjH
MorynH CJiyqaj Ka,II,a cy OH8 YCTO H IIpOCTe, Tj. O,II,I'OBapajyfie BHill8CTpyKOC
TH cy j e,II,HaKe 1.
J x+1 llpHMep. 1. H3pa'-!yHaneMo HHTerpaJI J = ( )( ) dx.
x-2 x+3 KaKo j e rro,II,HHTerpaJIHa cjlyHKUHj a
x+1 f(x) = (x _ 2)(x + 3)
rrpaBa paD;HOHaJIHa cjlyHKUHja Ca je,II,HHHM CHHI'yJiapHHM Ta'IKaMa x 1 = -3 H
x 2 = 2, Ha OCHOBY OIIillT8I' CTaBa 3HaMO ,II,a 3a Bp8,II,HOCTH X =/= Xl, X2 Ba:tKH
pa3Jiara&e
f(x) = x + 1 = _a_+ _b_ (x-2)(x+3) x-2 x+3"
MHOIKCELCM ca (x- 2)(x + 3) =/= 0 HaJia3HMO ,II,a je
x + 1 = a(x + 3) + b(x- 2) =(a+ b)x + 3a- 2b.
O,n;aB,n;e je H3je,n:HaqaBa&eM Koe¢nuHjeHaTa
a+ b = 1, 3a- 2b = 1,
o,n;aKJie HaJia3HMO ,n:a je a= 3/5 H b = 2/5. CTora Ba:tKH pa3JiaraiLe
3 1 2 _1_ f(x) = 5 X- 2 + 5 X+ 3.
O,n;aB,n;e HHTerpauHjoM HaJia3HMO ,n:a je
J 3 2 I f(x) dx = 51n /x- 2/ + 51n !x + 3 +C.
lOp!La je,II,HaKOCT BaiKH 3a CBaKO X =/= -3; 2, a HHTerpaUHOHa KOHCTaHTa
n::vra 3ace6He Bpe,II,HOCTH C1,C2,C3 Ha HHTepBaJIHMa (-oo,-3), (-3,2) H
(2,+oo).
16 AHAJIM3A II 3A MH<I>OPMA TMLIAPE
J x+3 2. fla.rr,e neMO I13paqyHaTH HHTerpaJI J = 2 dx.
x +x+ 1
Hajrrpe rrpHMeTHMO ,n;a je rro,n;HHTerpaJIHa cpyHKD;Hja TaKo!je rrpaBa pan;n
oHaJIHa cpyHKD;Hja Koja HMa caMo ,n;Be rrpocTe HMarnHapHe cnHryJiapHe Ta'IKe.
KaKo j e ,n;a.rr, e
x 2 + x + 1 = (x + 1/2) 2 + 3/4,
yBemneMO CMeHy X+ 1/2 = .;3tj2, "CII1M8 ,n;06HjaMO ,n;a je
-Jt+5/.J3dt-j~ ~J~-J - t 2 + 1 - t2 + 1 + .)3 t2 + 1 -
1 5 = -ln (t2 + 1) + ;;:;arctgt + cl = 2 v3 1 5 2x + 1
= -ln (x2 + x + 1) + ;;:;arctg v'3 +C. 0 2 v3 3
ropa,a ¢opMyJia BaJKll 3a CBaKo X E R.
4. Pa.n;_RoHaJIHe ¢YIIRII;Rje BHme rrpoMeHJLRBHX
Y OBOj Ta"CIKll yBemneMO yKpaTKO IIOj aM IIOJIHHOMa ll paD;llOHaJIHe cpyHK
D;Hje BHill8 peaJIHllX IIpOM8HJbllBI1X X1, ... , Xk.
IIo,n; nD.II,U'IiOMOM P(x 1 , ... , xk) rrpoMeHJLHBHX x 1, ... , xk rro.n;pa3yMeBaMo
6HJIO Kojy KOHa-crHy JIHHeapHy KOM6HHao;njy cpyHKD;Hja 06JI:H:Ka
(1) X Pl XP2 XPk 1 2 . . . k )
rrpn -creMy nH.n;eKcn p1 , ... ,pk E .l'lo. IIoJIHHOM P(x 1 , ... ,xk) je cTerreHa n
(n E No) a.Ko jc :=m 6HJIO Kojn ca.6HpaK (1) ncrry:a:,eHo Pl + · · · +Pk ~ n, H 6a.p
3a j e.n;aH o,n; Tnx ca.6npaKa BamH Pl + · · · + Pk = n.
TaKo je HarrpHMep
Pr (xr, x2) = 2- 3xr + 4x2
IIOJillHOM CT8II8Ha 1,
P3 (xr, x2) = xr + 5xrx2 - 3x~
IIOJIHHOM CTeiieHa 3.
AHAJU13A II 3A I1H<I>OPMATI1"Y:APE 17
Ha ocHosy rrpeTxo,n:He .n:e¢:vm:vrn;:vrje, csaK:vr IIOJIMHOM CTerreHa n MoJKe ce
Harmcan-r y o6JI:vrKy
(2) Pn(Xl, · · ·, Xk) = L a Pl Pk Pl···Pkxl · · · xk , P1 + .. ·+PkSn
rrp:vr qeMy je 6ap je,n:aH o.n: Koe¢:vrn;:vrjeHaTa ap1 ... pk (p1 +· · ·+Pk = n) pa3JI:vrq:vrT
o.n: HyJie.
Tpe6a HarroMeHyTM .n:a je 3a k ~ 2 Teop:vrja HyJia rroJI:HHOMa Pn(x1, ... ,
Xk) B80Ma KOMIIJIMKOBaHa, ITa H8ll8MO ,.U8TamH:Hje pa3pa1):vrBaTM OBY Teop:vrjy.
AKo ca N(Pn) 03Ha'!mv10 CKyrr CB:HX HyJia IIOJI:HHOMa Pn, Tj. CKyrr { (x1, ... , Xk):
Pn(x1 , ... , xk) = 0}, Ta.n:a je TO H3Becan rro,n:cKyrr y rrpocTopy Rk, rrp:vr '!eMy
TaKaB cKyrr MOJKe 6:vrT:vr :vr: rrpa3aH. HarroMeH:vr:Mo caMo jorn .n:a je cKyrr N(Pn) s;;;
Rk yseK 3aTsopeH y Rk.
llo.n: pau,uona.JLHO.M ifiynx;u,ujo.M rrpoMeH.rr,:vrs:vrx x 1, ... , Xk rro,n:pa3yMeBa:tv10
6MJIO KOjy cflYHKIJ;Hjy 06JIMKa
(3) p (xl, ... ,xk)
) m ' R(x1, ... ,xk = Qn(x1, ... ,Xk)
IIpH 'IeMy je Pm IIOJIMHOM CT8II8Ha m ~ 0 M Qn IIOJIMHOM CT8II8Ha n ~ 1.
Pam1oHaJIHa cfJYHKIJ;:vrja o6JI:vrKa (3) .n:e¢:vrH:vrcaHa je y Ta'!KaMa (x 1 , ... ,
xk) E Rk 3a Koje je Qn(x1 , ... , Xk) =/:. 0, Tj. y TaqKaMa OTBOpeHor cKyrra Rk ......_
N( Qn). Ta'!Ke cKyrra N( Qn), ,n:aKJie TaqKe y KOjM:Ma oHa HM:je .n:e¢M:H:vr:caHa,
Ha3HBajy Ce H>8HMM CMHryJiapHYIM TR4KaMa.
IlpHMep. <l>yHKIJ;M:ja
2 + X1 R(xl,x2) = Xl- xlx2- 5x~
rrpe,.UCTaBJLa paUMOHaJIHY cfJYHKI(Mjy IIpOM8HJLMBMX Xl, X2, a cfJYHKIJ;Mj a
3 X1X2 + X3 ) = 4 5 R(x1 , x2, X3 x~ + 5x1x
3- X1
rrpe,n:cTaBJLa paiJ;MOHaJIHY cfJYHKIJ;M:jy IIpOM8HJLMBMX Xl, X2, X3. 0
5. lifHTerpa.u_Hja HeKllX Rpa.IJ;_ROHaJIHHX <flyHKUUja.
18 AHAJU13A II 3A I1H<POPMATI1'-IAPE
llo,n: upaV,UO'HaA'HOM ¢Y'H'I\,V,UJOM IIO,n;pa3yMeBaneMO 6RJIO KOjy 4JYHKIJ;Rjy
KOja HRje IIOJII.1HOM HRTH HeKa paiJ;HOHaJIHa 4JyHKIJ;Rja. Y OBOj Tat..rKH IIOCMa
TpaneMO HeKe RpaiJ;ROHaJIHe cpyHKIJ;Rje t..rRj a Ce RHTerpaiJ;Rja CBO,n;H Ha RHTe
rpaiJ;Rjy paiJ;ROHaJIHRX cpyHKIJ;Rja.
1. ITpeTrrocTaBRMO ,n:aJLe ,n:a je R(u, v) paiJ;ROHaJIHa cpyHKIJ;Rja rrpoMeH
JLHBRX u, v E R R yot..rRMO RHTerpan:
J = j R(sinx, cosx) dx.
X . Ta,n:a ce yso!je!heM cMeHe t = tg 2 osaJ RHTerpaJI CBO,n;H Ha RHTerpan
paiJ;ROHaJIHe cpyHKIJ;Rje ITO t. 3aRCTa, KaKO je
2tg ~ sin x = 1 + tg2 ~ '
2x 1- tg 2 2X' COS X= 1 + tg 2
cne,n:H ,n;a j e 2t
sin x = 1 + t 2 : 1- t2
cosx = 1 + t2:
R OCHM TOra:
x = 2arctgt,
CTora 3aMeHoM .n:o6HjaMo ..ua je
2 dt dx = 1 + t2 ·
( 2t 1 - t2 ) 2 dt
R(sinx.cosx) = R --2,--2 --2,
' 1+t 1+t 1+t
O):(aKJie ce JiaKO IIOKa3yj e .n:a IIO):(HHTerpaJIHa 4JyHKIJ;Rj a
1 R ( 2t 1- t2
)
1 + t 2 1 + t 2 ' 1 + t 2
IIpe..UCTaBJLa paUHOHaiiHY cpyHKUHjy llpOMeHJLRBe t.
lloTrryHo CJIW-IaH MCTo,n; MOIKC cc KopHCTHTH H aKo jc R( u, v) pau;HoHaJI
Ha cpyHKUHja CaMO je,n;He O,ll; IIpOMeHJLHBRX U, V.
IlpHMep. KopRmnerLeM cMeHe tg~ = t, Tj. t = 2arctgx: .n:o6rrjaMo .n:a
Je
!~-J 1 .2!!!:_ = !~ = J (-1- + _1_) dt = COS X - 1 - t2 1 + t2 1 - t2 1 - t 1 + t
1 + t 2
I 1- t I = ln 11 - tl + ln 11 + tl + C = ln /-- + C = 1+t
1
1 - ta- :E./ = ln . b; +C. D 1 + tg 2
AHAJII13A II 3A I1H1>0PMATI1"Y:APE 19
2. ITpeTirocTaBHMo ,n,:aJhe ,n,:a je R(u) 6.vrJio Koja pau.vroHaJIHa ¢YHKUHja
IIpOMeHJhlfBe u, H yO"tiRMO IfHTerpaJI
J = j R(ex) dx.
Ta,lla Ce CMeHOM ex = t, Tj. X = ln t OBaj RHTerpaJI CBO,n,:R Ha HHTerpaJI
HeKe ,llpyre paUHOHaJIHe <fJYHKIIRje IIO t. 3aHCTa, KaKO je dx = dtjt, 3aMeHOM
,ll06Rj aMo ,lla j e
J = j R( t) ~t = j R~ t) dt.
J e2x- 2 IJpHMep. JiiHTerpaJI J = dx CMeHOM ex= t IIOCTaje
ex+ 1
KaKo je
t2 - 2
t(t + 1)
J t2 - 2 dt ;· t 2 - 2
J = t + 1 t = t(t + 1) dt.
t2 + t - t - 2 t + 2 2 1 t(t + 1) = 1 - t(t + 1) = 1 - t + t + 1'
HHTerpaulfjoM ,llo6.vrjaMo ,lla je
J = t- 2ln ltl + ln It+ 11 + C = 1- 2x + ln (ex+ 1) +C. D
20 AHAJIM3A II 3A MH<I>OPMATMLIAPE
IIorJiaBJLe 2
OJIPE'BEHH MHTErP AJI
1. Jielf>l1H~l1ja 11 OCHOBHe OC0611H8
Yo-rnMo rrpoH3BOJhaH ilHTepaaJI [a, b] (a < b) KOHaqHe .rr;yamHe, peaJIHe
rrpaae R. Ta.rr;a ce rrpoH3BOJhaH cKyrr Ta-raKa P = {xo,x1, ... ,xn} TaKas .rr;a je
a = xo < X1 < · · · < Xn = b (n EN)
Ha3HBa noOe.;WM HHTepaaJia [a, b]. CKyrr P = P[a, b] calix rro.rr;eJia HHTepaaJia [a, b] rrocTaje je.rr;aH rrapr.ur
j aJIHo ype t)eHa cKyrr ca o6H'IHOM cKyrroBHOM HHKJIY3I-Ij OM ~. AKo rro.rr;eJie
P1, P2 E P H BaJKH P2 ~ P1, Ta.rr;a ce rro.rr;eJia P2 Ha3HBa rfimmjoM o.rr; rro.rr;eJie
P1.
3a IIpOH3BOJLHY IIO)J;8JIY p = {xo,X1, ... 1 Xn} CTaBHD8MO 6.xi =Xi- Xi-1
(i = 1, ... , n) a p(P) = max{6.xi: i = 1, ... ,-n}. Tio3HTHBaH 6poj p(P) Ha3HBa
ce 1wpan,oM noOe.Ae P. AKo je P2 ~ P1, Ta.rr;a ce JiaKo .rr;oKa3yje .rr;a je p(P2) ~ p(Pl).
HeKa je .rr;aJLe f(x) rrpoHJBOJLHa peaJIHa cpyHKUnja Ha HHTepaaJiy [a, b], p IIpOH3BOJLH3. IIO)lCJia TOr llHTCpBaJia T3.'IKaMa Q._ = Xo < Xl < · · · < Xn = b ll
3a caaKo i = 1, 2, ... , n, ~i rrpOH3BOJLHa Ta-rKa HHTepaaJia [xi-l, Xi]· Ta_ua ce
36Hp n
dJ, P) = L f(~i)6.xi i=l
Ha3aaa U'Hmezpa.A'HU.ivt 36upoM cpyHKUHje f(x) rrpa rrocMaTpaHoj no_uemr. KaKo
oaa no_ueJia 3aancH H o.rr; H36opa Ta-rKe ~i E [ai-l: xi], OHa ce jorn 03Ha-raaa H
AHAJIM3A II 3A MH<I>OPMATMLIAPE 21
ca ( P, () H Ha3HBa rro,n:enoM ca HCTaKHYTHM Tat-maMa, a ropa,H HHTerpaJIHH
36Hp ce jorn 03HaG:aBa H ca O""(f, P, ~)-
AKo IIOCTOjH peaJiaH 6poj I TaKaB ,n:a 3a CBaKO E > 0 IIOCTOjH 0 > 0 TaKO
,n:a 3a CBaKy rro,n:eny (P, ~) TaKBY ,n:a je p(P) ~ 0 BruKM
10""(!, P, ~)-II ~ E,
Ta,n:a ce 6poj I Ha3HBa zpa'HU"i'HOM epea'l-lowny cpyHK:o;:aje f(x) Ka,n:a p(P) -----> 0
H rrHrne ce
I= lim O""(f, P, ~). p(P)--+0
AKo TaKaB peanaH 6poj I rrocTojH, Ta,n:a ce Ka>Ke ,n:a je cpyHK:o;Hja f(x)
U'l-lmezpa6UJ£'1-la y Pu.M.a'/-loeoM CMUC.!I,Y HJIH KPA-TKO U'l-lmezpa6u./1,'1-la Ha HHTepBany
[a: b]. Bpoj I Ha3HBa ce PU.M.a'/-lOBUM U'l-lmezpa.!I,OM HJIH oapefje'HUM U'/-lmezpa.ILOM
cpyHKII;Hje f(x) Ha MHTepBany [a, b], :a rr:arne ce
I= 1b f(x) dx
Bpoj a Ha3MBa ce ,n:oH>oM rpamr:o;oM MHTerpana, 6poj b ropiLOM rpaHM
II;OM HHTerpana: cpyHKII;Mja j(x) IIO,UHHTerpaJIHOM cpyHKII;HjOM, a H3pa3 j(x) dx
IIO,UHHTerpaJIHHM H3pa30M.
CKyn CBHX HHTerpa6HJIHHX cpyHKII;Hja Ha HHT8pBaJiy [a, bj 03HaG:aBa Ce
ca R[a, b].
Ilpill\.1ep. AKo j e f ( x) = c (a ~ x ~ b), Ta,n:a j e rrpH rrpoH3BOJbHOj rro,n:enH
(P, ~) HCIIyfueHO j(~i) = c, rra je
n n
O""(f: P, ~) = ~ f(~i)(xi- Xi-d = ~ c(xi- Xi-1) = c(b- a), i=l i=l
o,n:aKne cne,n::a .ua J e
1b cdx = c(b- a).
b
I1oce6Ho je 3a c = 1, 11 dx = b- a. D
HarroMeHHMO ,n:a ce rrojaM o,n:pel)eHor HHTerpana MO>Ke ,n:eqmHHCaTH rrpH
rrpoH3BOJLHOM noJioiKajy Ta.G:aKa a H b Ha pea.nHoj rrpa.Boj .. TaKa 3a rrpoH3BOJL
HY TaG:KY a E R H ¢YHK:o;Hjy f(x) ,n:ecp:aHHCaHy 6ap y TaG:KH a no ,n:eqmHHUHjH
CTa.BJL3JvfO ,Ua. j 8
1a f(x) = 0.
22 AHAJU13A II 3A HH<I>OPMATH"Y:APE
AKo j e ,naJLe f ( x) rrpmBBOJLHa HHTerpa6viJIHa cpyHKD;I1j a Ha HHTepBaJiy
[a, b] (a< b), Ta.n;a rro .necp:vm:m::~;rrjrr CTaBJLaMo .na je
[ f(x) dx =- [ f(x) dx.
Ha Taj HaqrrH je o.npel)eHH HHTerpaJI 1b f(x) dx .n;ecprrHrrcaH rrpH rrporr3-
BOJI>HOM rroJio:>Kajy TaqaKa a, b E R. HrraK, KO.U rrocMaTpaina o.npel)eHor HHTe-
rpaJia 1b f(x) dx o6rrqHo rrpeTrrocTaBJI>aMo .na je a< b, a aKo TO Hrrje cJiyqaj,
OH)J;a TO 06HqHo HarJiaCHMO y KOHT8KCTy.
llaJLe ce rroKa3yje .na je oco6rrHa HHTerpa6HJIHOCTH cpyHKUHje f(x) Ha
HHT8pBaJiy [a, b] y Hajy:>Koj B83H Ca CTpyKTypoM CKyrra Ih8HHX Tat.IaKa rrpeKH
,na. Y B83H TOra YBO)J;HMO rrojaM cr,;yna Mepe 'HY.!W Ha peaJIHOj rrpaBOj.
ITo.nceTHMO Hajrrpe .na ce 3a rrpoH3BOJLaH orpaHrrqeH HHTepBaJI I= [c, d] (c <d) peaJIHe rrpaBe ,ny:tKHHa Tor HHTepnaJia .necpHHHme ca m(I) = d- c.
llaJLe ce 3a cKyrr E ~ R Ka:>Ke .na HMa Mepy ny.JLa, HJIH .na rrpe.n;cTaBJI>a
3a'HeMap.!bUB C'Kyn, aKO ce 3a IIpOH3BOJbHO E > 0 OH M0%8 rrpeKpHTH H3B8CHOM
HajBH%8 IIpe6pojHBOM YHHjOM HHTepBaJia u~=l h KOHat.IHe )J;yi'KHHe TaKO ,n;a
3a CBaKO n E N Bai'KH: n
Lm(h) ~ t. k=l
AKo je E cKyrr Mepe 0, oH.na TO 03Hat.IaBaMo ca m(E) = 0. ITo .noroBopy
y3rrMaMo .na je rrpa3aH cKyrr 0 TaKol)e Mepe HyJia. OH je Hajje.n;HOCTaBHHjH
CKYII Mepe 0.
Mo:>Ke ce JiaKo ,noKa3aTH .n;a CBaKH KOHat.IaH rr cBaKH rrpe6pojHBH cKyrr
rrpe,ncTaBJLa CKYII MCpC HyJia, a. HCTO TaKO H ,na IIOCTOj C HCIIpe6pojHBH CKYIIO
BH Mepe 0.
HajBai'KHHje oco6HHe cKyrrosa Mepe HyJia ca.n;pi'Ka.He cy y cJie.n;eheM
CTaBy.
CTAB 1. A'Ko je A~ R c'Kyn .M.epe 0, maiJa je u npou3BO.!baH. cnyn B ~A
ma'Kotje Mepe 0.
A1Co cy A u B C'Kyrweu Mepe 0, maoa cy 11 C'Kynoeu An B, A" B, Au B
ma'Kotje Mepe ny.1w.
OcHM Tora, Ta.Kol)e HHje TemKo .n;oKa.3aTH .n;a aKo cy cKyrroBH A1, A2, ...
AHAJU13A II 3A I1H<POPMAT11"Y:APE 23
Mepe HyJia, Ta,n:a je H IMIXOBa YHHja u:=l An TaKol)e CKYII Mepe HyJia. IIoce6-
HO Ce MOIK8 ,UOKa3aTH H ,n:a HHje,n:aH HHT8pBaJI [a, b] (a< b) HHje Mepe HyJia.
Cne,n:ena T3B. Jie6eroaa TeopeMa ,n:aje rroTpe6aH n ,n:oao.rr,aH ycnoa HH
Terpa6HJIHOCTH ¢yHKunje f(x) Ha orpaHn"t.IeHoM HHTepaaJiy [a, b]. Oaa Teo
peMa je aepoaaTHO Hajaa.JKHnja TeopeMa Koja ce o,n:Hocn Ha HHTerpa6HJIHe
¢ ymm;nj e.
TEOPEMA 1 (Jie6eroaa TeopeMa). lf>ynKv,uja f(x) je unmezpa6u.rma
na unmepeaJty [a, b] (a< b) aKa u caMo aKa je ozpa'H.u"ie'Ha 'H.a moM unmepeMy,
u 1be'H. cKyn ma"iaKa npeKuaa E(J) je Mepe 'H.yJta.
Kao Herrocpe,UIIY rrocne,n:nuy oae TeopeMe ,n:o6njaMo cJie,n:ene cTaBoae.
IIOCJIElUIUA 1. CeaKa 'H.enpeKUO'H.a rfiy'HKV,uja f(x) 'H.a u'H.mepeaJty
[a, b] je u'H.mezpa6uJtna.
l.lo:Ka3. KaKo je caaKa HerrpeKn,n;Ha ¢YHKUHja J(x) Ha HHTepaany [a, b] orpaHH"t.IeHa Ha TOM HHTepaany, n ILeH cKyrr Ta"t.IaKa rrpeKn,n:a je rrpa3aH cKyrr,
,n:aKJie Mepe 0, Ha ocHoay Jie6eroae TeopeMe, Herrocpe,n:Ho ,n:o6njaMo Tap,n;
JeiLe. 0
lb OB8 IIOCJI8,UHU8 H8IIOCp8,UHO CJI8,Il;H ,n;a je CBaKa 8JI8M8HTapHa 4JyHKUH
ja HHTerpa6HJIHa Ha IIpOH3BOJLHOM HHT8pBaJiy [a, b] KOjH je ca,n:ptKaH y fu8HOM
IIpHpO,UHOM ,UOMeHy, jep je OHa H8IIp8KH,LI;Ha Ha CBaKOM TaKBOM HHTepaaJiy.
Oao je o,n: H3y3eTHOr 3Ha"t.Iaja jep cy cpyHKUHje Koje HajaHme cpeneMo Ko,n;
rrpoueca HHTerpaunje yrrpaao eneMeHTapHe ¢YHKUHje.
IIOCJIElUIUA 2. Ceax;a ozpa'H.U"ie'H.a rfiy'Hx.v,uja J(x) aerjjU'HUCa'H.a 'Ha
U'HmepeaJty [a, b] (a< b) "iuju je cx;yn ma"iax.a npex;uoa x;o'H.a"ia'H uJtu npe6pojue,
je unmezpa6uJt'H.a na moM u'H.mepeaJty .
.lloKa3 rroHoao Herrocpe,n;Ho cJre,n:H H3 Jle6eroae TeopeMe c o63HpOM ,n:a
je CBaKH KOHa"tiaH HJIH rrpe6pojHB CKYII :r-,repe HyJia.
Cne,n;ena oco6nHa Ha3HBa ce oco6nHOM JIHHe<lpHOCTH o,n;pel)eHor HHTe
rpana.
CTAB 2. Ax;o cy rfiynx;1)uje f(x) u g(x) u'H.mezpa6UJt'He na U'Hmepea.rLy [a, b], maoa je 3(1, npOU380.Jb'He peaJL'He 6pojeee a, (3 rjjy'HX.V,Uja a.f(x) + /3g(x) max;o!je
24 AHAJIM3A II 3A MH<POPMATHLIAPE
uHmezpa6uJt'Ha Ha oeoM uHmepeaJty u npumo.M eaJICu jeaHax:ocm
b 1b b 1 [a: f ( x) + f3 g ( x)] dx = a: a f ( x) dx + {3 1 g ( x) dx.
l13 rrpeTxo.ruror cTaBa Herrocpe.ruro .n;o6Hj aMo .n;a 3a rrpoH3BOJbHe ¢YHKU:H
je f(x), g(x) E R[a, b] BaJKH
b 1b 1 (-f(x)) dx =- a f(x) dx,
b 1b Jb 1 [f(x) + g(x)] dx = a f(x) dx + a g(x) dx,
b Jb b 1 [f(x)- g(x)] dx = a f(x) dx-1 g(x) dx,
CTAB 3. Ax:o cy rjjyHx:tt,uje f(x) u g(x) uHmezpa6uJt'He Ha uHmepeaJty [a, b], maaa cy 'U rjjy'HX:tt,Uje
lf(x)l, 1
lf(x)l' f(x)g(x)
ffi(L'}\',Q fje U'Hmezpa6UJt'He 'H,Q, ucmo.Jvt U'Hmepe aJty. if>y'Hx:tt, uja 1 If (X) npu aooamHoj
npemnocmaev,u aa je IJ(x) I 2:: m > 0 3a ceax:o X E [a, b].
CTAB 4. Ax:o je rjjy'Hx:tt,uja f(x) U'Hmezpa6UJt'Ha 'H,Q, U'HmepeaJty [a, b], maaa
je O'Ha 1mmezpa6u.1t'Ha na cea'X',O.M noouHmepeaJty [a, {3] ~ [a, b].
CTAB 5. A 1\',0 je rjjyH'X',V,Uja f (x) unmezpa6uJtna Ha unmepeaJty [a, b] (a < b), mao a je 3a CBa'l'Gy ma"-t'X',Y C E (a, b) O'Ha U'Hmezpa6umw 'H. a CBa'i'GOM o() U'Hmep
eaJta [a, c], [c, b], u eaJ~Cu jeanax:ocm
t f(x) dx = 1' f(x) dx + lb f(x) dx.
CTAB 6. A'i'Go je rjjyn'l'Gtt,uja f(x) uHmezpa6UJt'Ha Ha UHmepeaJty [a, b],
1H = sup{f(x): a::; x::; b}, m = inf{.f(.r): a::; x::; b},
U rpy'H'l'GV, uja g( X) je Henp e'l'GUO'Ha 'H. a 1mmepe a.Jty [m, j\fj, TTWOa je C.fl.O JICe'HCL rfiY'H'i'GV, U
ja h(x) = g(f(x)) ma'l'Gofje uHmezpa6u.;r,Ha Ha U'Hmepea.;r,y [a., b].
AHAJU13A II 3A 11H<I>OP~v1AT11LIAPE 25
113 IIp8TXO,IUIOr CTaBa IIOC86HO CJI8,llH ,lla aKO je cf>yHKI.J;Hja j(x) HHTerpa-
6HJIHa Ha HHTepBany [a, b], Ta.ua cy H ¢YHKUHje f(x)n (n EN), ef(x), sin f(x)
HT,ll. TaKol)e HHTerpa6HJIH8 Ha IIOCMaTpaHOM HHTepBaJiy.
CTAB 7. AKa je rfiy'HKV,uja f(x) ~ 0 u U'Hmezpa6u.;ma 'Ha u'Hmepea.JI,y [a, b]
(a< b), maoa je 1b f(x) dx ~ 0.
CTAB 8. AKa cy rfiy'HKV,uje f(x) u g(x) U'Hmezpa6UJ7,'He 'Ha u'HmepeMy [a, b] (a< b) U j(x)::; g(x) 3a CBG.Ka X E [a, b], maoa ea::xcu
1b f(x) dx::; 1b g(x) dx.
CTAB 9. AKa je rfiy'HKV,uja f(x) U'Hmezpa6U.J1,'Ha 'Ha u'Hmepea.JI,y [a, b] (a< b)
U ea::xcu lf(x)l ::; Jvf 3a ceaKa X E [a, b], maoa ea:JICU 'HejeO'HaKOCm
b 1b 11 f ( x) dx I ::; a If ( x) I dx ::; A1 ( b - a) .
Cne.uena TeopeMa Ha3HBa ce TeapeMaM a cped7baj epeo'Hacmu aiJpelje'Haz
U'Hmezpa.JI,a.
TEOPEMA 2. llpemnacmaeuMa oa je rfiy'HKV,Uja f(x) U'Hmezpa6U.J1,'HG. 'Ha
U'Hmepea.JI,y [a, b] u 'HeKa je
A1 = sup{f(x): x E [a, b]}, m = inf{j(x): x E [a, b]}.
Taoa nacmaju 'He?Ca 1-L E [m, A1] TTW'K:O oa. eaxu jeo'Ha?Cacm
b 1 f ( x) dx = t-t ( b - a) .
AKa je, noce6'Ho, rjJy'H?CV,Uja f(x) 'Henpe?CUO'Ha 'Ha U'Hmepea.JI,y [a, b], maoa
nacmaju 'He?Ca ~ E (a, b) ma?Ca oa ea:J~Cu jeO'Ha?Cacm
1b f(x) dx = f(O(b- a).
2. O,.npel)em-r IIHTerpaJI II II3BO..U.
26 AHAJI113A II 3A 11H<I>OPMAT11LIAPE
II peTrrocTaBHMO .n:a j e f ( x) rrpoH3BOJbHa HHTerpa6vrnaa cpyaKrrvrj a a a IDI
TepBany [a, b] (a < b). Ta.n:a je 3a cBaKo x E [a, b] cpyaK:o;vrja f(x) HHTerpa-
6HJIHa Ha HHTepBaJiy [a, x] 1 ITa MO/K8MO .n;a llOCMaTpaMO llHTerpaJI
F(x) = 1x j(t) dt (a~ x ~ b).
<l>yHKrrHj a F( x) Ha3HBa ce unmezpaJLoM ca np oMe'H.JbUBOM zop1boM zpanu-
ttOM.
CTAB 10.
maoa je ¢Y'H'K:V,uja
A 'K:O je ¢yn'K:ttuJa f(x) unmezpa6uJLna na unmepeaJLy [a, b],
F(x) = 1x j(t) dt
nenpe'K:uona na unmepeaJLy [a, b]. A'K:o je npumoM ¢yn'K:v,uja f(x) nenpe'K:UO'Ha y 'H.e'Koj ma"t'X:U Xo E [a, b], maoa
je ¢Y'H'K:V,Uja F(x) ou¢epenttuJa6UJL'Ha y ma"t'K:U Xo u BO.Jt.CU jeonax:ocm F'(xo) =
f(xo).
l13 CTaBa 10 Herrocpe.n;Ho .n:o611j aMo cne.n:eny TeopeMy.
TEOPEMA 3. A'K:o je f(x) npou3BOJb'H.a nenpe'K:uona ¢yn'KtJ,uja na un
mepeaAy [a, b], maoa je
F(x) = 1x j(t) dt (a~ x ~b)
jeona npuMumuena ¢yn'K:v,uja ¢yn'K:v,uje f(x).
,lloKa3. Ha ocHOBy IIocne.z:rn:o;e 1 cpyHK:o;nja f(x) je HHTerpa6HJIHa Ha
HHT8pBaJiy [a, b], rra Ha OCHOBY rrpeTXO,UHOr CTaBa y CBaKOj Ta'!KH X HHTep
BaJia [a,b] BaJKH F'(x) = f(x). CTora je F(x) je.n;Ha rrpHMHTHBHa cpyHK:o;Hja
cpyHKUHje j(x). 0
Ha OCHOBy OB8 T80p8l\•18 CBaKa H8IIp8Kll,llHa cpyHKUHj a Ha HHTepBaJiy [a, b] HMa O.IJ:rOBapajyny lipHMHTHBHY cpyHKIJ;Hjy.
TEOPEMA 4 (ffiyTH-J1aj6mrrroBa cpopMyna). A'K:o je f(x) nenpex:uona.
rjyH'K:v,uja. na UHmepea.JLy [a, b] u q>(x) 6uJLo 'K:oja ?bC'Ha np·uMumuena rjyH'K:'U,uja,
maoa. BO.Jt.CU jeOHO.'K:OCm:
(1) [ f(x) dx = <P(b)- <P(a).
AHAJU13A II 3A l1H<POPMATI1LIAPE 27
MmKe ce JiaKo BH,n;enr ,n;a cpopMyJia ( 1) BaJKH H 3a a 2: b, ,n:aKJie rrpH
rrpOH3BOJbHOM IIOJIO}f{ajy Ta'IaKa a H b. 3aHCTa, aKO je a = b, Ta,n:a je
Herrocpe,n;Ho
1b f(t) dt = 1a f(t) dt = 0 = cP(a)- t:P(a),
ITa Ba./fill j e,n;HaKOCT ( 1).
AKa je a> b, Ta.n;a je b <a rra Ha ocHoay je.n;HaKOCTH (1) HMa~w ,n:a je
1a f(t) dt = cP(a)- t:P(b).
0 .n;aa.n;e j e Herrocpe,n:Ho
l f(t) dt = - [ j(t) dt = -[P(a)- P(b)] = P(b)- P(a).
5. MeTo,n;e :H:3paqyaaBCliba O,LqJet)eaor :H:HTerpaJia
IloHoBo neMo ce 3a.n;p}f{aTH caMo Ha ,n;aervra MeTo.n;aMa H3pa'IyHaBaiLa
o.n;pei)eHOr HHTerpaJia, Ha rrapUHjaJIHOj HHTerpaUHjl1 H CM8HH IIpOM8HJbHBHX.
1. Yo'!HMO Hajrrpe .n;ae rrpon3BOJLHe .n;HcflepeHuHja6HJIHe cflyHKUHje f(x)
11 g(x) Ha HHTepaaJiy [a, b]. KaKo je 3a caaKo x E [a, b] Hcrry&eHo
(f(x)g(x))' = J'(x)g(x) + f(x)g'(x),
Ha OCHOBY fbyTH-J1aj6HHUOBe cfloptvfyJie .n;o6HjaMO .n;a je
1b 1b b a [f'(x)g(x) + f(x)g'(x)] dx = a [f(x)g(x)]' dx = [f(x)g(x)Jia-=
= f(b)g(b)- f(a)g(a).
O.n;aa.n;e .n;o6HjaMo je.n;HaKOCT:
1b J'(x)g(x) dx + 1b f(x)g'(x) dx = f(b)g(b)- f(a)g(a.),
O)l;HOCHO:
(2) f b b fb a f(x) dg(x) = f(x)g(x)Ja- a g(x) df(x).
28 AHAJIH3A II 3A HH<l>OPMATH"LIAPE
ropa.e cflopMyJie rrpe,n:cTaBJba cflopMyJie 3a rrapn;:aj aJIHY ffHTerpan;:ajy KO,ll
:a3pacryHaBaa.a o,n:pel)eH:ax I-IHTerpana.
2. ITpeTrrocTaB:aMo ,n:a je cflYHKn;:aja f(x) HHTerpa6HJIHa Ha HHTepBany
[a, b], a ,n:a je cflYHKL(Hja X= x(t) CTpOrO MOHOTOHa I1 H8IIp8KI1,Ll;HO ,n::acflepeH:o;H
ja611JIHa Ha HHTepBany [o:, ,8], rrp11 creMy je x(o:) = a, x(,B) = b. Ta,n:a BaJKH
je,n:HaKOCT
(3) 1b f(x) dx = 1: f(x(t))x'(t) dt.
<J?opMyJia (3) Ha31.1Ba Ce cflopMyJIOM 3a CMeHy IIpOM8HJbl1B8 KO,[( 1.13pacry
HaBaiha o,n:pel)eHor I-IHTerpana.
AHAJIM3A II 3A MH<POPMATllY:APE 29
IIorJiaBJLe 3
HECBOJCTBEHM MHTErP AJI
1. OcHOBHe ,n;ecf>IDIHIJ..Hje
Y IIp8TXO,Il;HHM Tat.IKaMa IIOCl\iaTpaJIM: CMO IIOjaM o,n;pe1jeHOr HHTerpaJia
3a cflYHKI.J;Hje KOje cy ,n;eq:mHHCaHe Ha KOHaqHM:M 3aTBOp8HHM HHT8pBam·nvra
o6JIM:Ka [a,b] (a< b). Ca,n;a neMO IIOCMaTpaTM: OBaj rrojaM 3a cpyHKI.J;M:je f(x)
Koje cy ,n;ecprrHrrcaHe Ha HHTepBaJmMa o6JirrKa [a, +oo) , rrpu t..IeMy je a cprrK
cupamr peaJIHH 6poj. 0BaKaB HHTerpaJI neMO Ha3M:BaTM: 'HeCBOjCmBe'HUM, M
l+oo
03Haqanahc:Mo ra ca a f(x) dx.
HarroMeHHMO ,n;a ce Mory ,.aecprrHrrcaTM u cJirrqHrr HHTerpaJIH 3a HHTep
BaJie o6JirrKa (a,b], (a,b), (a,+oo), (-oo,b], (-oo,b) u (-oo,+oo) = R, rrpM
t..f8MY cy a M b cflHKCM:paHM: peaJIHH 6pojeBM:.
Yot..IHMO 6uJio Koju 3aTBopeHrr HHTepBaJI o6JirrKa [a, +oo), rrpu qeMy
a E R. rr peTIIOCTaBH:VIO ,n;a j e cpyHKI.J;Hj a f (X) ,n;ecpHHM:CaHa Ha MHTepBaJiy
[a, +oo) M ,n;a je MHTerpa6HJIHa Ha CBaKOM HHT8pBaJiy [a, b] (a< b). Ha OCHOB,Y
Jie6eroBe TeopeMe Mome ce JiaKo Brr,n;eTM ,n;a je qBaj ycJioB je eKBHBaJieHTaH
Ca IIp8TIIOCTaBKOM ,n;a je cpyHKI.J;Hja j(x) orpamrqeHa Ha CBaKOM HHT8pBaJiy
[a,b] (a< b) u ,n;a je ILeH cKyrr Tat..IaKa rrpeKrr,n;a Ha HHTepBaJiy [a,b] Mepe
HyJia.
l+x
Ta,n:a ce HGCBOj CTB8HH MHTerpaJI a j (X) dx ,n;eqmHM:III8 ca
(1) 100
f ( x) dx = lim ;· M f ( x) dx, a Jvf_,b a.
30 AHAJH13A II 3A HH<I>OPMATM'-IAPE
aKO rpaHH"'t{Ha Bp8,UHOCT ( 1) IIOCTOjH ll IIp8,LI;CTaBJba KOHa-qaH 6poj.
Ta,n;a KaJKeMo ,n;a HecBoj CTB8HH HHTerpan ( 1) ?W'He epzupa. TaKo l)e KaJKe-
1+oo
MO ,n;a HecBojcTBeHH HHTerpan a f(x)dx ,n;HBeprnpa aKo o,n;roBapajyna
rpaHH"'t{Ha Bp8,n;HOCT He IIOCTOjH, HJIH je je,n;HaKa 00.
AKo je rroce6Ho cpyHKrrnja f(x) ,n;ecpnHncaHa Ha HHTepBany [a, +oo) n
HMa IIpHMHTHBHY cpyHKUHjy F(x) Ha HHT8pBaJiy [a, +oo), Ta,n;a H8II0Cp8,n;HO
,n;o 6nj aMo ,n;a j e
(2) 100
f(x) dx = lim (F(x)-F(a)) = lim F(M)-F(a) = F(+oo)-F(a). a x-++oo M -++oo
CTora oBaj HecBojcTBeHHHHTerpaJI KOHBeprnpa aKo n caMo aKo rpaHH"'t{
Ha Bp8,n;HOCT F( +oo) IIOCTOjH l1 rrpe,n;cTaB.TLa KOHa-qaH 6poj.
HarroMeHHMO ,n;aJOe ,n;a ce rrOTrryHo CJIH'IHO ,n;ecpHHM:rrre 11 HecBojcTBeHH
HHTerpaJI cpyHKUHje j(x) Ha l1HT8pBaJiy ( -OO, a] Ca cpHKCM:paHHM ,LJ;8CHHM Kpa
jeM a E R.
IIpHMep. 1. l1ManeMo ,n;a je
r+oo dx lx dx
J 2 = lim 1 2 = lim arctgx = 1rj2,
0 1 + X x-++oo v 0 + X x-++oo
ITa O,LJ;rOBapajyrm H8CBOjCTB8Hll HHTerpaJI KOHBeprHpa.
2 . .lla.TLe je 3a p =/=- 1:
a 3a p = 1:
/,+oo dx Jx dx { - lim -
1 xP x-++oo 1 xP
1 p-1' p>1
x, p< 1
t+oo dx
J - = lil!l lnx = oo. l X X-+-roc
J+oo dx
CTora H8CBoj CTBeHH HHTerpaJr - KOHBeprHpa 3a p > 1 1 xP
rnpa 3a p ~ 1.
r+oc 3. HecBojcTB8Hl1 HHTerpaJI Jo e-x dx KOHBepnrpa jep je
1+oo l+oo 1 e-x dx = -e-x = 1 - lim - = 1 - 0 = 1.
0 0 X-++oc eX
ll ,LJ;HBep-
AHAJU13A II 3A HH~OPMATM"LIAPE 31
2. Oco6:mie HecBojcTBeHnx :miTerpaJia
flaJLe DeMO HaBeCTH H8KOJIHKO OIIIDTHX OC06:aHa H8CBOjCTB8HHX H:HTe
rpaJia ,ne¢:amrcamrx Ha HCTOM HHTepBaJiy [a, +oo).
1+oo l+oo
CTAB 1. Ax:o 'Heceojcmee'l-m U'HmezpaJl,U a f(x) dx, a g(x) dx 'X;O'H.-
eepzupajy, maaa 3a npOU380.Jb'H.e peaJl,'H.e 6pojeee a, (3 max;ofje 1W'HBepzupa U 'H.e-
l+oo
ceojcmee'H.u U'H.mezpaJl, a [af(x) + (3g(x)] dx u ea::Heu jea'Hax:ocm
l+oo l+oo l+oo
a [af(x) + (3g(x)] dx =a a f(x) dx + j3 a g(x) dx.
113 rop!her cTaBa 3a j3 = 0 11 rrpo:a3BOJl>HO a E R .n;o6:ajaMo .n;a je
l+oo 1+oo
a af(x) dx =a a f(x) dx,
a 3a a= (3 = 1 ,no6:ajaMo ,na je
!+oo r+oo 1+oo " a If (X) + g (X)] dx = J a f (X) dx + a g (X) dx.
L[aJLe DeMO HaBeCTH H8KOJIHKO CTaBOBa KOj:a ce O)l;HOCe Ha KOHBepreH
UHjy H8CBOjCTB8HOr' HHTerpaJia HeHeraniBHe <flyHKJJ;Hje.
CTAB 2. Ax:o je ¢Y'HX:'Il;Uja f(x) ;::: 0 oerjJU'H.Uca'H.a u 'H.e'H.ezamue'H.a 'H.a 'HeX:OM
l+oo
U'H.mepeaJl,y [a, +oo), maoa 'H.eceojcmee'H.U U'H.mezpaJl, a j(x) dx 'X:O'H.eepzupa
ax;o u caMo ax:o nocmoju 6poj A1 > 0 max;o oa Ja ceax;o x ;::: a ea::Heu
1x f(x) dx::::; .M.
ITpeTxo.n;H:a ycJioB oq:ar Jie.n;Ho ce MO;.t<e HCKa3aT:a ca
sup lx f(x) dx < oc. x>a a
CJie.n;enH cTaB Ha3HBa ce npeu.ht -x;p'umevujy.Aw.At ynope()uaa·lba 3a HeHer
aTHBHe cpyHKUHje.
32 AHAJIM3A II 3A MH<I?OPMATML!APE
CTAB 3. !Ipemnocmaeu.MO oa rjy'H'K:'IJ,Uje f(x), g(x) 'Ha U'Hmepea.Jty [a, +oo)
3aooeoJbaeajy nejeO'Ha-x:ocmu 0 :::; f(x) :::; g(x). Taoa u3 r;;o'Heepze'H'IJ,Uje 'Heceo-
l+oo
jcmeenoz u'Hmezpa.Jta a g(x) dx cAeOu r;;o'Heepze'H7J,Uja neceojcmeenoz U'Hme-
l+oo
zpa.Jta a f(x) dx.
Ha OCHOBy rrpeTXO.L(HOr CTaBa CJie,.rr;H ,n:a, IIpH HCTOM ycJIOBy 0 :::; j (X) :::;
g(x) (x? a), H3 ,.rr;HBepreHUHje HeCBOjCTB8HOr HHTerpaJia 1b j(x) dx CJie,.rr;H H
,.rr;HBepreHIJ;Hja H8CBOjCTB8HOr HHTerpaJia 1b g(x) dx.
HarroMeHHMO jom ,n:a ce ycJIOB 0:::; f(x) :::; g(x) (x? a) MOJKe 3aMeHHTH H
CJia6HjHM YCJIOBOM 0:::; j(x):::; g(x) 3a CBe Bp8,UHOCTH X? Xo, IIpH qmKCHpaHOj
Bpe,UHOCTH Xo > a.
r+oo IlpHMep. HecsojcTseHH HHTerpaJI Jo e-x
2
dx KoHseprHpa jep je 3a
r+oo CBaKO X ? 1 HCIIYlli8HO e-x
2
:::; e-x, a HHTerpaJI lo e-x dx KOHBeprHpa. 0
Cne.n:enH CTaB Ha3HBa ce opyzu.M r;;pumepujy.Mo.M ynope(juea?ba 3a II03H
THBHe cpyHKUHj e.
CTAB 4. IIpemnocmaeu.Mo oa rfiynr;;7J,uje f(x) u g(x) 'Ha U'Hmepea.Jty
[a, +oo) 3aooeoJbaeajy ycAoee j(x) > 0 u g(x) > 0 (x? a), u nocmoju zpa'HU"-ma
epeanocm
k = lim f(x) x->+oo g(x) (0 < k < +oo).
j+oo
Tada neceojcmeenu U'Hmezpa.Jt a g(x) dx r;;oneepzupa ar;;o u ca.Mo ana
l+oo
'HeCBOJCmBe'H·u U'HffiC2pG..J~a a j(x) dx 'KO'HBepzupa.
Tioce6Ho rrpeTXO.UHO TBpf)erue Ba,}KH aKo je aKo je k
f(x),....., g(x) Ka.n:a x --t +oo.
1 TJ. aKO J8
HarroMeHHMO jorrr ,n:a cna Hase,n:eHa TBpf)eH>a y aHanorHOM o6JTHKY BalKe
H 3a HHTepsane o6JIHKa ( -CXJ, a], rra Hx HeneMo rroce6Ho ¢opMyJTHCaTH.
IlpHMep. 1. floKa3aneMO ,Ua H8CBOjCTB8HH HHTerpaJI r+oo dx
Jl -YX4+ 1
AHAJU13A II 3A l1H<I>OPMATI1t.IAPE
KOHBeprHpa. KaKo je IIO,IJ;llHTerpaJIHa cpyHKII;Hja f(x) = 1 > 0, BaJKH
.Yx4 + 1
1 J(x) '"" x4/3 (x-. +oo)
33
l+oo dx
H H8CBOjCTB8HH HHTerpaJI 4j3 KOHBeprnpa, 3aK,rr,yqyjeMO .n;a H IIOCMa-1 X
TpaHH HHTerpaJI TaKolje KOHBeprnpa.
34 AHAJII13A II 3A I1Hci>OPMATI1LIAPE
IIorJia.B.T.he 4
HEKE IIPMMEHE MHTErP AJIA
Y oBoj Ta'IKM HaBemneMo HeKe rrp:vrMeHe o,n;pel)eHor vrnTerpaJia.
1. II peTrrocTaB:vrMo ,n;a j e ¢yHKn;:vrj a f ( x) HerrpeK:vr,n;Ha Ha 3aTBopeHOM
MHTepBaJiy [a, b]. Ta,n;a MO:tKeMo ,n;a yo'I:vrMo ¢:vrrypy r2 Koja je orpaH:vr'IeHa
KpMBOM y = f(x), Koop,n;:rmaTHOM ocoM Ox :vr rrpaBaMa x =a :vr x =b.
"'I
A
_./
/
0 0..
CJI::m<a 1
,!+' / /' /
/" ,/ /' ' ' /
6
er X.'
llpHTOM rro,n;pa3yMeBaMo ,n;a ,n;eJioB:vr Te cfmrype H3Ha,n; oce Ox HMajy rro3-
HTHBHY Bpe.n;HocT, a ,n;eJIOBH Hcrro,n; oce Ox HeraTHBHY Bpe,n;HOCT. 03HaqHMO
,n;aJLc ca P 36Hp rroBprrnma CBHX ,n;eJioBa oBe qmrype, o,n; KOjHx je ,L~.aKJie
CBaKa IIOHaOC06 II03HTHBHa HJIH HeraTHBHa. 0Ha C8 Ha3HBa aJire6apCKON1
BpeMomfly qmrype 0. IIoKa3yje ce ,n;a je oBa aJire6apcKa Bpe,n;HOCT ,L~.aTa
cpoprvryJio:rvr
AHAJH13A II 3A I1H<POPMATI1LIAPE 35
P(D) = P = 1b f(x) dx.
OcMM Tara, pa3JIMKyjeMo M arrconyTHY Bpe)l;HOCT rroBpmMHe oBe qmrype
Koja ce M3pa,}KaBa <f>opMyJIOM
P1 = 1b lf(x)l dx.
ITpMTOM je o-cmrne.n;Ho P1 2: 0, a rroKa3yje ce .n;a je P1 = 0 aKa M caMo
aKO je H8IIp8KM)l;Ha <f>yHKIJ;Mja j(x) H.IJ:8HTI1l..IKM je)l;HaKa 0 Ha MHT8pBaJiy [a, b].
2. HeKa cy .n;aJLe h(x), h(x) HerrpeKH)l;He <f>yHKu;Mje Ha HHTepBany [a, b]
I~ IIpi1TOM je fi(x) < h(x) Ha TOM MHT8pBaJiy. 03Hal..IMMO ca fl <f>Mrypy y
paBHM Oxy orpamr-c..reHy KpHBaMa y = JI(x), y = h(x) H rrpaBaMa x =a H
X= b.
vd
0
'/ 1\. . ....... / ~
J4- (x)
C.TIHKa 2
~-
Ta.n;a je rroBpmHHa qmrype D .n;aTa ¢opMyJioM
P (D) = lb ( h ( x) - h ( x)) dx
)(
H yBeK je II03HTHBHa jep je f2(x)- fi(x) > 0 3a CBaKO X E (a, b).
3. Yo-c..rMMO .n;aJLe ¢YHKIJ;Mjy y = f(x) (a:::; x:::; b), Koja rroce.n;yje HerrpeFm
.n;aH H3BO.ll: j'(x) Ha HHT8pBaJIY [a, b]. Ta.n;a ce .n;y/KHHa JiyKa KPHBe r l..!Hja je je.n;Ha"C..IHHa y = f(x), O)l Ta-c..rKe
A( a, f(a)) .n;o Ta-c..rKe B(b, f(b)), H3pa>KaBa tPOp1-ryno:tvr
l = 1' /1 + ( f'(x)) 2 dx.
36 AHAJI113A II 3A 11H<I>OPMAT11LIAPE
~l jj r
ci ~
CL lr X
CJIHKa 3
AKO je Kpvma r ,n;aTa rrapaMeTapCKHM je.n;HatiHHaMa X = x(t)' y =
y(t) (t1 ::; t ::; t2), IIpll tieMy cpyHKU:Hje x(t), y(t) HMajy H8IIp8Kll,l(H8 l13BO,l(8
x' ( t), y' ( t), Ta,n;a j e ,l(y>Kl:IHa oBe KpHBe
lt2
l = v(x'(t))2 + (y'(t)) 2 dt. tl
4. II peTrrocTaBHMO ,n;a j e y = f ( x) > 0 (a ::; x ::; b) Kpvma y paBHH
Oxy, 11 0 poTa:o;HoHa rroBpm Koja HacTaje poTau;njoM oBe KpnBe oKo oce Ox.
AKo ¢YHK:o;nja f(x) HMa rrerrpeKn,n;arr H3BO,n; J'(x) Ha HHTepBaJiy [a,b], Ta.n;a ce
IIOKa3yje ,n;a je IIOBpillHHa OBe IIOBpillll
Px = 271 1b J(x)vl + ( f'(x)) 2 dx.
AKo je rrocMaTpaHa KpnBa ,n;aTa rrapaMeTapCKHM je,n;HatiHHaMa x = x(t): y = y(t) (tl::; t::; t 2): IIpll ti8MY cpyHKU:Hje x(t), y(t) HMajy H8IIp8Kll):UI8 l13BO,l(8
x'(t), y'(t) Ha HHTepBaJiy [t1: t2], Ta,n;a ce rroKa3yje ,n;a je
rh
Px = I -jy'(t)j)(x'(t)) 2 + (y'(t)) 2 dt. Jtl
5. Raj 3a,n;: rrpeTrrocTaBH:tviO ,n;a j e y = f ( x) > 0 (a ::; x ::; b) KpHBa y
paBHH Oxy. Ta,n;a je 3arrpe1.uma poTa:o;noHor TeJia Koje HacTaje poTa:o;HjOM
KpnBe y = f(x) oKo oce Ox ,n;aTa ca
j·b
Vx = 71 a f 2 (x) dx.
AHAJU13A II 3A HH<I>OPMATHLIAPE 37
AKo je IT KpHBOJUmHjCKH Tparre3 orpaHH"tJ:eH KpHBaMa y1 = h(x), y2 = h(x) (h(x) > h(x) > O;a::; x::; b) H rrpaBaMa x =a H x = b, Ta,n:a je
3arrpeMHHa TeJia Koje HacTaje poTa:o;ujoM Tparre3a IT OKO oce Ox ,n:aTa ca
Vx = 1r 1b[fi(x)- Jf(x)] dx.
3arrp8MHHa CJIH"tJ:HOr T8Jia HaCTaJIOr pOTa:o;HjOM OBOr Tpaii83a OKO OC8
Oy ,n:aTa je ¢opMyJIOM
Vy = n 1d[fi(y)- ff(y)] dy.
38 AHAJU13A II 3A :I1Hq>QP~v1ATI1t{APE
IIornaBJLe 5
TEOPMJA PELIOBA
1. OcHOBHe ,n;eqnnrn:u.nje
ITpeTrrocTaBHMO .n;a je a1, a2, ... rrpo:vr3BoJbaH HH3 peaJIHHX 6pojesa. Ta
.n:a rro.n: pe.n;oM
00
(1) Lan n=l
rro.n;pa3yMeBaMo HH3 Sn = a1 + · · · + an ( n E N).
HH3 Sn (n EN) Ha3HBaMo napv,uja.11/HOM cyMoM peaa (1), a peaJiaH 6poj
an n-THM 'IJiaHOM ( HJIH OIIillTHM 'IJiaHOM) pe.n;a ( 1).
KaVeMo .n;a je pe.n; (1) 'IW'I-teepzenman aKo je o.n;rosapajyh.H HH3 rrapn;:vr
j aJIHHX cyMa Sn Tor pe.n:a KOHBepreHTaH ( H KOHBeprHpa Ka HeKOM KOHa'IHOM
6pojy S). y cyrrpOTHOM CJiy-qajy, pe.n; ( 1) Ha3HBaMO aueepzeHm'HUM.
Arw je pe.n; ( 1) KOHBepreHTaH, H aKo je S = limn__,oo Sn, Ta.n;a 6poj S
Ha3HBa:tv10 cy.MO.M U.lt?L 30Up0At peaa ( 1), H yMeCTO S "t.IeCTO KOpHCTHMO HCTJ' oc
03HaKy I:: an. n=l
oc
IlpnMep. Pe.n: L aqn, "t.IHjH je OIIillTH 'IJiaH an = aqn (n E N), rrpH n=l
'Ie.My cy a H q Q:lHKc:vrpaHH peaJIHH 6pojesH (a=/=- 0), Ha3:vrsa ce zeoMempujc?wM
peOO./vt . .flo6po je II03HaTO .aa je OH KOHB8pi'8HTaH aKO H Ca:tv10 aKO je lql < 1,
.aoK je 3a lql > L Kao H 3a q = ±1 OH .n;HsepreHTaH. 0
AHAJU13A II 3A I1H<POPMATI1LIAPE 39
2. Onep~je H~ pe,npBHMa
flaBO,llJ1MO Hajrrpe H8K8 OCHOBH8 Orrepau;Mje Ha,ll pe,llOBH:Ma.
TEOPEMA 1. Arx:o pea (1) rx:o'HBepzupa, o'Haa marx:o1je rx:o'Heepzupa u
pea 'K:OJU Ce ao6uja rx:aaa U3 nocMampa'HrOZ peaa 'Hra npaU3BOJba'Hr 'Hra'l(,U'H U36aV,UMO
'X:O'Ha'l(,'HO M'HrOZO 1beZOBUX "iJta'HOBa.
KaKo cnM~Ho BruRM M 3a y6au;MBafue KOHa~HO MHoro HOBH:X ~naHoBa
y IIOCMaTpaHM pe,n:, 3aK.7by~yjeMO ,lla M36aiJ;MBa!he H:nM y6au;~mafue KOHa~HO
MHoro ~naHoaa pe,n:a yorrmTe He YTM~e Ha llieroay KOHBepreHu;ajy.
I1rraK Tpe6a HarnacH:TM ,n:a oBaKBa orrepau;Mja y orrmTeM cny~ajy yTM~e
Ha CYMY KOHBepreHTHOr pe,n:a.
= TEOPEMA 2. A'K:o je pea L an 'K:O'Hreepzenman, onaa je 3a npOU380Jbaf(,
n=l =
pea.1wn 6poj).. pea L ).. an marx:o1je 'K:Oneepzenma'H, u ea::xcu n=l
= = L)..an=ALan. n=l n=l
lloKa3.. 03Ha~MMO ca An = a1 + · · · +an (n E N) rrapu;MjanHy cyMy = =
pe,n:a L an, M ca En = ).. a1 + · · ·+)..an rrapu;H:j anHy cyMy pe,n:a L A an. KaKo n=l n=l
je rrpaM pe,n: no rrpeTrrocTaBu;M KOHBepreHTaH, HM3 An KOHBeprH:pa, H: HeKa je
A = lim An cyMa rrpBor pe,n:a. n-.oc Ta,n:a j e o~ar .ne,n:Ho
En =).. (al +···+an) =)..An (n EN),
o,n:aKne Herrocpe,n:Ho cne,n:M ,n:a En ---+ -AA Ka,n:a n-+ oo, rra je H: ,n:pyrH: rroc::v~a
Tpam-r pe.u KoHnepreHTaH H: :ELeroa 36ap je je,UHaK ,A A. D
oc = TEOPEMA 3. Arx:o peaoeu L an u L bn 'K:oneepzupajy, oHaa ma'K:o1je
n=l n=l oc oc
'X:O'Heepzupajy u peaoeu L (an+ bn) u L (an- bn), 'U &a::xce jeana'K:ocmu n=l n=l
oc = oc oc :::c :::c
L (an + bn) = L an + I: bn, I:(an- bn) =I: an- L bn. n=l n=l n==l n=l n==l n=l
40 AHAJI113A II 3A 11H<I>OPMAT11LIAPE
TipeTXO,llHa ,UBa pe,n:a Ha3HBajy Ce peCII8KTHBHO 30UpOM H pa3AU'/WM IIOC
MaTpaHHX pe,n:oaa.
noKa3. 03Ha1..!HMO ca An, En pecrreKTHBHO rrapurrjaJIHe cyMe pe,n:oaa 00 00
,L an, ,L bn, H ca A H B lliHXOBe cyMe, ,n:aKJie A= lim An H B = lim En· n=l n=l n-+oo n-+oo
00
AKo ,n:aJbe ca Cn 03Ha1..!HMO rrapurrjaJIHY cyMy pe,n:a ,L (an + bn), Ta,n:a Je n=l
01..!HrJI8,llHO
Cn = (a1 + b1) +"·+(an+ bn) = (a1 +"·+an)+ (b1 + .. · + bn) =
= An+Bn,
rra 01..!HrJie.n;Ho Cn --+ A+ B, o,n:HocHo on;roaapajynH pe,n: je KOHBepreHTaH H
36Hp My je je,n:HaK A+ B.
Ha rroTrryHo CJIH1..!aH Ha1..!HH H3BO.UH ce ,n:oKa3 H 3a pa3JIHKY ,n:aa KOHBep
reHTHa pe,n:a. D
(X)
IIpeTIIOCTaBHMO ,n:a.rr,e ,Ua je pe,n: L an KOHBepreHTaH, H 03Ha1..!HMO ca S n=l
36Hp Tor pe,n:a. Ta,n:a Ha ocHoay ,n:e<fJHHHUHje Sn --+ S Ka,n:a n --+ oo, o,n:aKJie
CJie,UH ,n:a HH3 Rn = S - Sn --+ 0 Ka,n:a n --+ oo. H:vr3 Rn Koj:vr MOJKeMO ,n:a (X)
HarrrrmeMo y o6JIHKY Rn = ,L an+k TaKo.Qe rrpe,n:cTaBJLa pe,n:, H Ha3HBa ce k=l
OCmamX:OM (:vrm1 n-THM OCTaTKOM) IIOCMaTpaHOr KOHBepreHTHOr pe,n:a.
3. Herrn: KpHTepHjyMH KOHBepreHIJ;Hje pe~
Haao.u:vrMo Haj rrpe T3B. KomHj ea KpHTep:vrj yM KOHBepreHr:r;Hj e pe,n:a.
(X)
TEOPEMA 4. Peo .L an x:oHeepzupa ax:o u caMo mw 3a npou3BO./b'HO n=l
c > 0 nocmoju u3eecmaH npv,pooaH 6poj N = N(c) ma1\.ae oa je 3a cee m > n > N ucny'/be'Ho ISm- Snl :'S c.
IIpHTOM ce pa3JIHKa ISm - Snl (m > n) Ha3HBa Kowujeeu.M ooce"iX:OM
rrocMaTpaHor pe,n:a.
Haae,n:eHH ycJIOB 01..!HrJie,n:Ho ce MOJKe Harr:vrcaTH y o6JIHKY
ISm- Snl = lan+l +···+ami :'S c (m > n > N).
LloKa3 oae Teope:Me Herrocpe,n:Ho CJie,n::vr H3 o,n:roaapajyher TBP l)eH>a 3a
HH3oae, jep je, Kao mTo je II03HaTo, HH3 peaJIHHX 6pojeaa Sn n:oHaepreHTaH
AHAJU13A II 3A l1H<POPMATlfY:APE 41
aKO I1 caMO aKO je KomnjeB, Tj. 3a CBaKO E: > 0 IIOCTOjH I13B8CTaH IIpHpo,n:aH
6poj N = N(c) TaKaB ,n:a je 3a CBe m > n > N ncrryH>eHo ISm- Snl < E:.
O,n:pel)eHa rrpe.rnrocT oBor KpHTepnjyMa KOHBepreH:o;nje cacTojM ce y
TOMe illTO je, ,n:a 6M HCIIMTaJIM KOHBepreHJ:.J;Hjy HeKOr pe,n:a Ha OCHOBY OBOr
KpHTepHjyMa ,IJ;OBOJbHO CaMO 3HaTH CB8 H:.eroBe '-IJiaHOBe aJIH He H eKCIIJIMU.
HTHY Bpe,n:HOCT H>erOBe CyMe S, KOj a Ce y OIIillT8M CJiyqajy TeillKO MO:tKe TaLJ:HO
M3paqyHaTH.
IIpHMep. IlocMaTpajMo pe,n: f ~. 0Baj pe,n: Ha3MBa ce xapMO'IiUJC?WM n=l n
peooM, M Bpno LJ:ecTo rrojaBJLyje ce y rrpHMeHaMa. KopMmneiLeM KomMjeBor
KpMT8pMj yMa, ,IJ;OKa3aneMO ,n:a OBaj pe,n: ,IJ;HBeprMpa.
KaKo je 3a rrpoM3BOJLHO n E N McrryH>eHo
1 1 1 an+l + · · · + a2n = -- + -- + · · · + - >
n + 1 n + 2 2n 1 1 1 1 1
>-+- + ... +- = n.- = -. 2n 2n 2n 2n 2 ·
,n:o6HjaMo ,n:a 3a c::; 1/2 H m = 2n KomMjeB ycnoB oLIMrne,n:Ho HMje HcrryH>eH,
rra je Ha OHOBY OBOr Kpi1T8pi1j}'Nia IIOCMaTpaHH xapMOHHjCKH pe,n: ,IJ;HBepreH
TaH. D
lia.JLe HaBo,n:rrMo je,n:aH je,n:HocTaBaH 'lieonxooa'li yc.twe KOHBepreHn.rrje pe-
,n:a.
oc
TEOPEMA 5. A?Co peo :L an ?W'Iieepzupa, o'/ioa 'Jbezoe onwmu "i.IW'Ii n=l
an --t 0 ?Caoa n --t 00.
Hamv1e, aKo rrocMaTpaHH pe,n: KOHBepr:vipa :vi aKo je S 36Hp rroc:tvraTpaHor
pe,n:a, oH,n:a Ha OCHOBY ,n:eq'JHHH:O:Hje Sn ____, S Ka,n:a n--> oo. 1·lel)yTHM, KaKo je
O'IHrJie,n:HO an = Sn - Sn-l' Ta,n:a Herrocpe,n:HO CJI8,IJ;I1 ,n:a an ____, s- s = 0 Ka,ZJ;a
n ____, oo.
ITpcTXO,IJ;HH ycnon cc Hajt.rcmrlC KopHC:TH ,n:a 6H JJ.OKa3ann 11a ,IJ;HDcprcH
:o:njy nocMaTpaHor pe,n:a. HanMe, aKo ycrreMo ,n:a ,n:OKa.tKeMo ,n:a orrmTH LIJiaH
rrocMaTpaHor pe,n:a He Temrr 0 Ka,n:a n--> oo, Herrocpe,n:Ho cnel(H 11a TaKaB pe,n:
,n:rrBeprrrpa.
oc
IlpHMep. Pe,n: L ( -1)n+l = 1 - 1 + 1 - · · · ,n:rrBeprrrpa jep HH3 an n=l
(-l)n+l = ±1 OLIHrne,n:Ho He Te:tKH Ka 0 Ka,n:a n--> oc. D
42 AHAJII13A II 3A MH<I>OP~vfATM"Y:APE
CJie,uenH KpHTepHjyM Ha3HBa ce 'Kpu.mepujy.Mo.JvL nope(je1tJa 3a pe,uoBe ca
I103HTHBHHM '!JiaHOBHMa, ll BpJIO '!eCTO Ce KOpHCTH y llpHMeHaMa.
TEOPEMA 6. !Ipemnocmaeu.Mo aa cy
00
(2) 2:::: an, n=l
00
(3) I:bn, n=l
OBa peaa ca 'He'HezamUB'HUM "1../La'H.OBU.Jvta, mj. BaJICU an 2:': 0 U bn 2:': 0 3a CBa'K:O
n E N, u H.e'K:a je 3a cea'K:o n E N ucny'Tbe'IW an :S bn.
Taaa U3 'K:O'H.Bepze'H.'IJ,Uje peaa (3) C.!l.eau 'K:O'H.Bepze'H'IJ,Uja peaa (2)) a U3 au
eepze'H.'IJ,Uje peaa (2) C.!l.eOU aueepze'Ht:,Uja peaa (3).
lloKa.3. 03Ha'!HMO ca An = a1 + · · · +an H En = h + · · · + bn (n E N)
rrapu;HjaJIHe cyMe rrocMaTpaHHX pe,n;oBa, 11 rrpeTrrocTaBmvro Hajrrpe ,ua je pe,n;
(3) KOHBepreHTaH. Af\o je E FberoBa cyMa, Ta,ua En --* E Ka,n;a n --* oo, rra
KaKo je 36or bn 2:': 0 3a CBaKo n EN, O'!HrJie,n;no vrcrryH:.eHo E 1 :S E1 :S · · · :S E,
CJie,n;H ,n;a j e En :S E. KaKO j e, OCHM Tor a, O'!Hr Jie,IUio H An :S En, CJie,n;H ,n;a j e
An :S E 3a CBaKo n EN. KaKo je HH3 An H3BeCTaH pa.cTynH HH3 HeHeraTHBHHX
6poj eBa, orpaHw-IeH ca ropH:.e CTpaHe, cJie,n;H ,ua j e OH KOHBepreHTaH. O,uaB,n;e
CJie)U1 ,n;a pe,n; ( 2) Taf\O l)e KOHBeprHpa..
flaJLe rrpeTrrocTaBHMO ,n;a pe,n; (2) ,IJ;HBeprHpa. Ta,ua j e a,eroB HH3 rrap
u;vrjaJIHHX cyMa An pacTynvr HH3 HeHeraTHBHHX 6pojeBa, Kojn Mapa 6HTH
HeorpaHH"t.J:eH, rra An --* +oo. KaKO je ,n;aJLe An :S En 3a CBaKo n E N, CJie,n;n
,ua H HH3 rra pu;nj aJIHHX cyMa. En _. +oo xa.,n;a n --* oo, rra j e pe,n; ( 3) ,UH:s-ep
reHTaH. D
OB,n;e Tpe6a rrpHMeTHTH ,n;a CJIH'!HO Ba.JKH H aKo peJiau;vrje an :S bn HHJe
vrcrryiLcHa :1a cnc npc:,WIOCTH n E N, Hero ca:-..w 3a cBe n rroqeB o,n; HeKor
qmKCHpaHor rrpnpo,n;Hor 6poj a no, ,UaKJie 3a cBe n 2:': n0 .
IIpiiMep. KopHmneiLeM HaBe,n;eHor KpHTepnjyMa ncrrHTaneMo KOHBepoc 1
reHu;Hjy pe,ua .L -. n=2 ln n
Kao mTo je rr03HaTo, 3a CBaKo n 2:': 2 Ba.JKH Heje,uHaKocT ln n < n, rra
I ) 1
Je 3a n 2:': 2 ncrryH:.eHo 1 ln n > 1; n. KaKo rrpHTOM xapMOHHjCKH pe,n; n
AHAJU13A II 3A MH<POPMATMqAPE 43
.IJ:l1:BeprHpa, Ha OCHOBY KpHTepHjyMa rropeJ)eEha HManeMO .n;a ll IIOCMaTpaHll
pe.n; .n;nBeprnpa. 0
113 rrpeTxo.n;He TeopeMe Mome ce Kao EheHa rrocne.n;m:r;a .n;oKa3aTn .n;a Bamn
cne.n;ene TBpJ)eEhe.
00 00
IIOCJIE1Il1UA 1. A'X:o cy 2:: an u 2:: bn peaoeu ca no3UmUB'HUM "i.JW-n=l n=l
H.OeUMa, u npumoM Je
I. an l lffi- =
n-+oo bn (O<l<+oo),
maaa, pP.O (2) '1\.rmeepzupa a'X:O U Ca.NW a'X:O pea (3) 'IWH.Bepzupa.
lloKa3. IIpeTrrocTaBHMO Hajrrpe .n;a pe.n; (3) KOHBeprnpa. KaKo je
I. an l lffi- =
n-+oc bn (0 < l < +oo),
cne.n;:vr .n;a j e 3a cBe n 2 n0 ncrryH>eHo
an < l + 1 = ,\, b -n
00
O,LJ;HOCHO an ::; ,\ bn· KaKO je .n;aJLe pe.n; 2: bn KOHBepreHTaH, CJI8,LJ;ll .n;a J8 ll n=l
= pe.n; 2:: ,\ bn KOHBepreHTaH. An:vr Ta.n;a je, Ha ocHoBy rrpeTxo.n;He TeopeMe :vr
n=l pe.n; (2) TaKoJ)e KOHBepreHTaH.
06pa.THO TDpl)CH>C CC Ta.Kol)e CJillqHO ,Ll;OKa3yje, a. MOJ-Ke C8 IIpllMCTI1Tll
H .n;a je, aKo je
Qqi1r JI8,LJ;HO HCIIYIL8HO
an l lim-= n-+oc bn
l. bn 1 liD-=-n--= an l
(0 < l < +oo),
1 (O<y<+x). 0
Cne.n:eni1 Kpi1TepMjylvf KOHBepreHr:r;Hje Ha3I1Ba ce llaAa.M6epoeu.M 1Cpumep
UJy.MO.AL
00
TEOPEMA 7. llpemnocmaeU.JvW aaje 2: an pea ca noJUm'U,B'HU.J\1 "i.!La'HO-n=l
BUM,a, mj. Ba:JICu an > 0 3a ceaJCo n EN.
44 AHAJIH3A II 3A HH<i>OPMATM"Y:APE
A x;o npumo.M nocmoju x;ona"{na zpanu"{na epeonocm
an+l z lim--=, n->oo an
maoa 3a 0 ~ [ < 1 noc.Mampanu peO 'X:O?iBepzupa, a 3a l > 1 O?i Oueepzupa.
lloKa3. IIpeTrrocTam-IMO Hajrrpe ,n;a je 0 ~ l < 1, M yo"tiMMO rrpoM3BO.rr:.aH
6poj q TaKaB ,Ua je l < q < 1. Ta,n;a :M3 rrpeTrrocTaBKe TeopeMe cne)lM ,n;a je 3a
cBe n 2: N, r,n;e je N H3BecTaH qmKci1paHM rrpMpO,n;HM 6poj, McrryiLeHo
an+l ~ q, an
o,n;HOCHO an+l ~ q an· O,n;aB,n;e Y3MMajynH ,n;a Je n
,n;o6MjaMo )la je
aN+l < q aN, 2 aN+2 < q aN+l < q aN,
N,N + 1,N + 2, ...
... )
M yorrmTe an < qn-N aN (n 2: N). 0)laB)le cne)lM ,n;a orrmTM '-IJiaH pe,Ua
aN+l + aN+2 + aN+3 + · · ·
He rrpena3M o,n;roBapajynM "tiJiaH reoMeTpHjcKor pe,n;a
2 3 aN q +aN q +aN q + · · · ,
KOji1 je O"tii1f'JI8)lHO KOHBepreHTaH KaO I'80MeTpHjCKI1 pe)l Ca KOJIM"tiHMKOM q
rrpM qeMy je 0 < q < 1. CTora Ha ocHoBy KPMTepHjyMa rropel)eH>a M pe,U 00 00
Z aN+n KOHBeprMpa: rra H pen Z an TaKol)e KOHBeprMpa. n=O n=l
liaJLe rrperrrocTaBMl--IO ,n:a je (> 1. Tana je 3a n 2: N Mcrry&eHo
an+l > 1, an
00
TJ. an+l >an> 0. Ycnen Tora je lim an =f:. 0, rra pe)l Zan )lHBeprHpa. 0 n---+oo n=l
0BJl8 Tpe6a HaiiOM8HYTH )la 3a l = 1 flaJiaM6epOB Kpi1T8pMjyM He ,n:aje
O,IJ;rOBOp, TaKO ,n:a cy MorynH I1 CJiyqaj 8BH Ka)la IIOCMaTpaHH pe,n; KOHBeprHpa,
HCTo Kao :vr cnyqaj eBH Ka)la orr JlMBeprHpa. CTora Ka:tKeMo )la j e cnyqaj l = 1
Heo,n;pe1)eH.
AHAJII13A II 3A HH<I>OPMATHl:..!APE 45
IlpHMep. KopumnellieM llaJiaM6epoBor KpHTepujyMa, ucrrzTaneMo oo n2
KOHBepreH:u;Mjy pe.n;a n~l 2n.
I1ManeMo .n;a j e
n2
an= 2n' (n + 1) 2
an+l = 2n+l
o.n;aKJie Je
an+l = (n + 1)22n = ~ (1 + ~)2---+ ~ < 1 (n---+ oo). an n2 2n-r-l 2 n 2
CTora Ha OCHOBY llaJiaM6epOBOr KpMT8pMjy!-.. m IIOCMaTpaHM pe.n; KOH
Beprvrpa. 0
CJie.n;enM KpMTepMjyM Ha3MBa ce KotuujeeuM r.:pumepujyMoM r.:o'Heepze'H-
V,UJe.
00
TEOPEJ.\tiA 8. IJpemnocmaBU.MO oa je L an peo ca noJUmUB'HUM "iJW'HO-n=l
BUMa, U npemnocmaBUMO oa nocmoju 'KO'Ha"i'Ha zpa'HU"i'Ha BpeO'HOCm
lim n;'(J-n-+oo Y '-"n - l.
Taoa 3a 0 s l < 1 nocMampa'HU pea 'KO'HBepzupa, a 3a l > 1 O'H oueepzupa,
OO'K je C./l,y"iaj l = 1 'Heoopetje'H.
11mm3. ilpeTnocTaBM:vro Hajrrpe .n;a je l < 1. Yo'-mMo rrpoM3BOJbaH cpMK
CMpaHM 6poj q TaKaB .n;a j e l < q < 1. CTora j e 3a n ?:: N McnyfheHo yra:;; < q, 00
o.n;HOCHO an < qn. KaKo j e reoMeTpMj CKM pe.n; .2::: qn KOHBepreHTaH: Ha ocHoBy n=l
00
KpMTepujyMa. rropel)eH>a, cJie.n;u .n;a je pe.n; L an TaKol)e KOHBepreHTaH. n=l
llaJLe rrpeTnocTaBMMO .n;a je l > 1. Ta.n;a je 3a cBe n ?:: N McrryiLeHo
yra:;; > l > 1, o.n;nocHo an > 1. 0 .n;aB.n;e CJie,uM .ua j e lim an ::/=- 0. rra pe,u CX)
L an ,UvmeprMpa. 0 n=l
n-+oo
IlpHMep. ilpHM8HOM KomMjeBOr KpMT8pMjyMa MCIIMTaneMO KOHBepreH-oo 1 1 n2
UMjy pe,ua L -;;: (1 + -) n=l 2 n
I1ManeMo .ua j e
1 1 n2
an=- (1 + -) 2n n 1 1)n v~=2(1 +~ '
46 AHAJIM3A II 3A MH<I>OPMATMLIAPE
o,n;aKJieje 1( 1)n e lim ~ = lim -2
1 + - = - > 1. n--+CXJ n--+oo n 2
CTora Ha ocHoBy KorrnijeBor KpYITepYijyMa rrocMaTpaHM: pe.n; ,n;M:Bep
rYipa. 0
CJie,n;enYI KpM:TepYijyM Ha3M:Ba ce unmezpaAHU.M. K;pumepujy.M.o.M, Yr TaKol)e
C8 O,n;HOCM: Ha pe,n;OB8 Ca IT03M:TM:BHM:M '!JiaHOBM:Ma.
TEOPEMA 9. IIpemnocmaBU.MO oa je ¢YHK;'4Uja f(x) oe¢unucana, nen-CXJ
peK;UO'Ha, no3Umuana u nepacmyna 3a cae apeonocmu x ~ 1. Taoa peo 2.:: f(n) n=1
1wnaepzupa aK;o u ca.M.o aK;o K;Onaepzupa necBOJcmaenu unmezpaA
r+oo }
1 f(x) dx.
OB,n;e Tpe6a HarroMeHyTYI ,n;a cJiwma TeopeMa Ba)fm Yr aKo ce yMecTo
6poja 1 y3Me 6YIJIO KOjYI .n;pyrYI 6poj a> 1.
1IoKa.3. Yoq:vrfieMo Ta-rKe x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, ... , Ha peaJIHOJ
oc:vr. AKo ca Qn 03HaqYJ:MO rroBprrmHy KpYIBOJIM:HYrjcKor Tparre3a orpaHYJ:qeHor
rrpaBaMa x = 1, x = n, y = 0 Yr KpYIBOM y = f(x), Ta.n;a je
Qn = ln f(x) dx.
lia.JLe yoqYJ:MO n-Ty rrapuYij aJIHY cyMy pe.n;a
Sn = f(1) + f(2) + · · · + f(n).
KaKo je ¢YHKUYrja f(x) HepacTyna, oqYJ:rJie.n;Ho je
.f(2_) + f(3) + · · · + f(n) = Sn- f(1) < Qn = ln f(x) dx <
< f(1) + f(2) + .. · + f(n- 1) = Sn-1 (n = 1, 2, ... ).
r+oc Ca.n;a rrpeTrrocTaBHMO .n;a HHTerpaJI }
1 f(x)dx KOHBeprvrpa. Ta.n;a
ITOCTOjH lim rn f(x) dx =A. 0)l8.KJI8 je n-.oc } 1
ln .f(x) dx :S l+oo .f(x) dx =A,
AHAJIM3A II 3A MH<DOPMATMLIAPE 47
jep je f(x) > 0 3a x 2: 1. O,n:aB,n:e CJie,n::u ,n:a je
Sn < f(1) + ln J(x) dx::; f(1) +A= M = const,
TJ. 0 < Sn < M (n E N). To 3Ha-cm ,n:a je HH3 II03HTHBHHX 6pojeBa Sn 00
orpaH:u\feH, rra je OH :u KOHBepreHTaH. liaKJie, pe.n:. :L J(n) KOHBepr:upa. n=1
l+oo
lia.rr,e rrpeTrrocTaB:uMo ,n:a HHTerpaJI 1
f ( x) dx ,n:vrBeprvrpa. KaKo j e
f(x) > 0 3a x 2: 1, cJie,n:vr ,n:a je
l +oo rn J(x) dx = lim f(x) dx = +oo.
1 n-.oo )1
0 ,n:aB,n:e j e
Sn-1 2: ln f(x) dx (n EN),
00
TJ. lim Sn = +oo, rra pe,n: L f(n) ,n:vrBeprvrpa. 0 n-.oo n=l
00 1 llpMMep. TiocMaTpajMo T3B. onwmu xapMo'Hujc1'Cu pea :L P, rrpvr qeMy
n=l n je p 6HJIO Kojvr peaJiaH 6poj. HarroMeHvrMo ,n:a CMO ,n:o ca,n:a rrocMaTpaJivr caMo
a.croB crrcuvrjaJiaH cJiyqa.j Ka,n:a je p = 1, vr ,n:oKa3aJivr CMO ,n:a je Taj pe,n:
,n::vmepreHTaH.
KopHCT8llH HHTerpaJimi KpHTepvrjyM, ,ll;OKa3aneMO ,n:a OIIIIITH xapMOHH
jCKH pe,n: KOHBeprvrpa aKO H Ca1viO aKO je p > 1.
ilpe CBera IIpHM8THMO ,n:a 3a p ::; 0 OIIIIITH qJiaH IIOCMaTpaHOI' pe.n;a He
TeiKH 0 Ka.ua n --+ oo. CTora 3a p ::; 0 rrocMaTpaHvr pe.u .II.HBeprvrpa. Ha .n;aJbe
ll8MO rrpeTIIOCTaBHTH .n;a je p > 0.
Kaxo je J(n) = 1/nP, 3a cpyHxuvrjy f(x) y3eneMo cpyHxu:ujy f(x) = 1/xP
(x 2: 1). KaKo je Ben TI03Ha.To .ua. HecBojcTBeHH MHTerpaJI
),
·+oc 1 -dx
1 xP
KOHBeprvrpa 3a p > 1 H .n;vrBeprHpa 3a p ::; 1, H cpyHKrrvrja J(x) = 1/xP je
H8IIp8KH,ll;Ha: II03HTHBHa I1 HepaCTyna 3a CB8 Bp8,ll;HOCTI1 X 2: 1 I1 p > 0, Ha OC
HOBY HHTerpaJIHOr KpHT8pHjyMa, .U06HjaMO ,n:a IIOCMaTpaHH pe,n: KOHBeprHpa
aKO H CaMO aKO je p > 1. U
48 AHAJII13A II 3A MH<I>OPMATM'-IAPE
OB,n:e Tpe6a HanoMeHyTH ,n:a, aKo npeTIIOCTaBHMO ,n:a cy HCIIyH>eHH ycJio
BH H3 TeopeMe 9, Ta,n:a ce TaKol)e MOJKe H3BpmHTH H oueHa ocTaTKa nocMa
TpaHor pe,n:a. HaHMe, noKa3yje ce ,n:a y TOM cJiy'-Iajy BaJKH
r+oo Rn ~ Jn f(x)dx (n EN).
4. AnTepHaTHBHH pe,npBH. KpHTepHjyM Jlaj6HH~a
HyMepHXUKH pe,n: o6JIHKa
a1 - a2 + a3 - a4 + · · · ,
rrpH '-reMy cy CBH 6pojeBH an > 0, HJIH rraK CBH an < 0, Ha3HBa ce aAmep'Ha
muB'HUM peOO.M. flaKJie, FberOBH 'IJiaHOBH y3aCTOIIHO M8Fbajy 3HaK O)J; IIJIYC
Ha MHHyc H o6paTHO. Ha rrpHMep,
1 1 1--+-- ...
2 3
je rrpHMep je,LUior aJITepHaTHBHor pe,n:a.
CJie,n:enH KpHTepHjyM ce Ha3HBa Jiaj 6HHUOBHM KpHTepHjyMoM KOHBep
reHuHje 3a aJITepHaTHBHe pe,n:oBe.
00
TEOPEMA 10. llpemnocmaeu.Mo aa je pea 2:: an aAmep'Hamuea'H, npu n=l
mo.M je I an I ~ I an+ 11 ( n E N) u an ___, 0 -x;aaa n ___, 00. To. a a noc.Mampa'HU p eo
'X:O'H.Bepzupa, u Jbezoea cy.'vta S 3aaoeo.!baea yc.Aoe 0 < lSI ~ fall·
Ocu.M. moza, 'lbezoe ocmam.a-x; Rn 3a cea-x;o n EN aa.ooeo.!baea. yc.ILOB fRnl ~
fan+ll·
1IOKa3. I1peT110CTaBHMO ,n:a je Hajrrpe a1 > 0, a2 < 0, ... , H 03Ha'-IHMO
ca Sn rrapuHjaJIHY cyMy ,n:aTor pe,n:a. Ta,n:a je 0'-l:HrJie,n:Ho HH3
S2n = (al + a2) + · · · + (a2n-l + a2n) = = (falf-fa2f) + · ·· + (fa2n-ll-la2nl) ~ 0 (n E I'-l),
H HH3 S2n je MOHOTOHO pacTynH (Ta'-IHHje Heorra,n:ajynH). KaKo je ,n:aJLe
S2n =fall- (fa2!-la31)- · · ·- (fa2n-2f-!a2n-1l) -fa2nl <fall (n EN):
AHAJII13A II 3A I1H<POPMATI1'-IAPE 49
cJie.n;H .n:a je S 2n < la11, rra je HH3 S2n orpaHwieH. CTora je OH, Kao orpaHwieH
H pacTynH HH3 HeHeraTHBHHX 6pojeBa- KOHBepreHTaH. CTaBHMO lim S2n = n->=
s. KaKo je ,n:aJbe
S2n+l = S2n + a2n+l (n EN),
H a2n+l --+ 0 Ka,n:a n ---+ oo, CJie,II;H .n:a H S2n+l ---+ S Ka,n:a n ---+ oo. O,n:aB,n:e
cJie,n:H .n:a Sn ---+ S Ka.n;a n--+ oo.
OcHM Tor a, HC S2n :::; la1l Herrocpe,n:Ho .n:o6Hj aMo H .n:a je S = lSI :::; la11.
IToTrryHo CJIH<.J:aH ,n:oKa3 B8)KH H y cJiy<.J:ajy Ka,n:a je a1 < 0, a2 > 0 HT,n:.
KaKo je ,n:aJLe Rn = ±(an+l- an+2 + · · · ), TaKol)e je.n;aH aJITepHaTHBHH
pe.n;, .n;o6HjaMO .n:a je IRnl:::; lan+ll· D
HarroMeHHMO .n;a cy Hej e,n:HaKOCTH o6JIHKa IRn I :::; lan+ll rrpH <.J:eMy an+l
---+ 0 Ka,n:a n ---+ oo H3Y38THO Ba>KHe, jep OMoryhyjy .n;a ce 36Hp pe.n;a, Kop
mrrhea,eM rrapuHjaJIHe cyMe Sn H3pa'IyHajy ca rrpoH3BOJLHOM yHarrpe.n: 3a.n;a
TOM Ta<.J:HOIDny.
IlpHMep. Ha ocHOBY Jlaj 6HHUOBor KpHTepHjyMa Herrocpe,n:Ho J(06HjaMo
,n:a aJIT8pHaTHBHH pe,I(
oo (-1)n-l 1 1 I: n =l-2+3- ... n=l
KOHBeprHpa, jep je 1 > 1/2 > 1/3 > · · · H 1/n---+ 0 Ka,I(a n--+ oo. D
5. ArrconyTHa H ycJIOBHa KOHBepreH:O;Hja
oc y OBOj T8.1:..fKH IIOCM<:npaneMO pe.n;ose L an "t.fHjH je OIIIIITH <.J:JiaH IIOT-
n=l IIYHO IIpOH3BOJLHOr 3HaKa, IIITO 3Ha'IH ,n:a H8KH <.J:JI8.HOBH MOry 6HTH Il03H-
THBHH, H8KH HeraTHBHH, a HeKH je,n:Ha.KH HYJIH. TaKBe pe,I(OBe Ha3HBaneMo
yKpaTKO peOOB'U.M,a npO'U380./bHOZ 3'/iO,'!W.
= = Yrrope.n:o ca pe,n:OM L an, IlOCMaTpaneMO H pe.n: L ian I, 'IHjH je orr-
n=l n=l IIITH 'IJiaH aiTCOJIYTHa Bpe,II;HOCT OIIIIITer 'IJiaHa rrpeTxo,n:Hor pe.n;a. fberosn
'IJiaHOBH cy O'IHrJI8,II;HO HeHeraTHBHH 6pojeBH.
50 AHAJ1113A II 3A MH<I>OPMA TM'-IAPE
00
TEOPEMA 11. Ax:o pea L \an\ x:oneepzupa, onaa max:otje x:oneepzupa n=l
00
u pea I: an, u npumoM je ucny'lbeno n=l
00 00
\~an\~ ~\an\· n=l n=l
Ha Taj na'-!uH, aKo JKeJIHMO ,n:a ,n:oKaJKeMo KonsepreHI(Hjy pe,n:a rrpou3-
BOJbHor 3HaKa, ,n:oBOJbHO je ,n:oKa3aTH KOHBeprennujy o,n:rosapajyner pe,n:a
'-Iilj il j e OIJillTil '-IJiaH aiJCOJIYTHa Bp€,IJ:HOCT OIJillTer '-!JiaHa TIOCMaTpaHOr pe,n:a.
Ko,n: ucrruTaBaiha ose rrocne)J;fue KOHBeprennuje, Hapasno MoJKeMo ,n:a KOpHc
THMO 5HJIO KOjil O,IJ: HaB8,IJ:8HHX KpilT8pHjyMa KOjil C8 O,IJ:HOC8 Ha pe,n:OB8 Ca
H8HeraTHBHilM '-IJiaHOBHMa.
Tpe6a HaiJOM8HYTil ,n:a y OIIillT8M CJiyqajy He Ba/KH o6paTHO TBpl)eibe,
Tj. ,n:a il3B8CTaH pe,n: rrpOH3BOJhHOr 3HaKa MO/Ke ,n:a KOHBeprupa, a )];a O,IJ:rO
Bapajynu pe,n: cacTas,n:,en O)J; arrconyTHax spe,n:nocTu ,n:HseprHpa. Hasemne
MO je,n:aH je,n:HOCTaBaH IIpMJvlep.
Y QqilMO aJIT8pHa TilBHil pe)J;
1 1 1 1--+---+ ...
2 3 4
KOJil J8 KOHBepreHTaH Ha OCHOBY J1aj6Hili(OBOr KpilTepujyMa. Ta)J;a o,n:ro
BapajynH pe,n: cacTaBJLeH o,n: arrconyTHHX spe,n:HOCTH rnacH
1 1 1+-+-+"·
2 3
H O'-Iili"Jie,n:Ho je )J;HBepreHTaH, jep rrpe,n:cTas,n:,a xapMOHHjCKH pe)J; ca rrapaMeT
poM p = 1.
00
Pe)J; rrpoH3BOJLHOr 3HaKa L an Ha3uBa ce anco.Aymno x:oneepzenmnuM n=l
00
aKo KOHBeprupa. o,n:rosapajynu pe,n: L !ani· n=l
flaKJIC, CDCLKH aiJCOJIYTHO KOHDCprCHTfiH pC)J; je TaKol)c H o6uqHo KOH-
BepreHTaH. 00
AKo pe,n: I: an KOHBeprHpa, amr He KoHBeprHpa ancoJiyTHO, Ta.n;a ce n=l
OH Ha3HBa yc.Aoeno x:oneepze'Hm'HuM peooM. 00 1
liaKJie, pe)J; L ( -1) n-l_ j e rrpuMep J e.n;Hor yc.'IOBHO KOHBepreHTHor n=l n
pe)J;a.
AHAJiil3A II 3A ilH<I> OPMATil"t.IAPE
Ilp:mv~ep. Pe.n; 1 1 1
1--+---+··· 22 32 42
51
j e rrpMMep j e.n;Hor arrcoJiyTHO KOHBepreHTHor pe.n;a, j ep j e o.n;roaapaj ynM pe.n;
1 1 00
1 1 + 22 + 32 + ... = L n2
n=l
O~MrJI8.n;HO KOHBepreHTaH KaO XapMOHH:jCKH: pe,n; Ca rrapaM8TpOM p = 2 > 1. 0
Haj3a.n;, Haao.n;nMo .n;ae aa.>KHe oco6MHe arrcoJiyTHO KOHBepreHTHHX II
ycJIOBHO KOHaepreHTHHX pe.n;oaa.
TEOPEMA 12. A-x:o je u3eecma'H peo npou3BOJb'HOZ 3'/ia-x;a ancoAym'Ho
'KO'HBepze'HmaH, maOa je U npu 6u.JLO -x;a-x;eoj nep.htymav,uju 1beZ08UX ''Ma'HOBa, 00-
6uje'HU peo max:o(je ancoAymHo 'IW'HBepzeHm.aH, u UAta ucm.u 36up -x;ao u no"{em'Hu
peo.
TEOPEMA 13. A-x;o je uJeecmaH peo npou3BOJb'HOZ ma-x;a ycAOB'HO 'IW'H
eepzeHma.H, maoa 3a npOU380JUa'H peaAa'H 6poj A nocmoju U38eC'Ha nepMymav,uja
"i,J7,a'H08a moz peoa ma-x:o oa oozoeapajynu peo UMa 36up A.
Ocu.M moza, nocmoju 6ap jeO'Ha nepMymav,uja "{AaHoea moz peoa, npu -x;oJOJ
je ma-x;o Oo6ujeHU peO 0U8epze'Hma'H.
52 AHAJ1I13A II 3A HH<POPMATMLIAPE
II or JiaBJ:be 2
<PYHKUI10HAJIH11 PEl[OBM
1. 06JiaCT ROHBepren:u_Mje
Tio,n; rjyHx;u,uo'Ha.!I/HUM pedoM rro,n;pa3yMeBaMo rrpm13BOJLaH pe.n: o6mma
00
(1) ~ fn(x) n=l
'-n-rj I1 cy t..IJiaHOBM cpyHKUHj e f n ( x) ( n E N) .n:ecpHHHCaHe Ha H3B8CHOM rro,n;cKyrry
E ~ R peaJIHe oce.
Penn neMO ,n;a j e cpyHKI(llOHaJIHH pe.n: ( 1) 'KO'HBepze'Hma'H y ma"i'KU Xo E 00
E YKOJIHKO je HyMepMt..IKH pe.n: 'L fn(xo) KOHBepreHTaH. CKyrr CBHX Tat..IaKa n=l
D ~ E y KojHMa je pe.n: (1) KOHBepreHTaH Ha3HBa ce o6JLawJiy 'KO'Haep2e'Hu,uje
rrocMaTpaHor pe.n:a.
06nacT KOHBepreHu;Mje D rrocMaTpaHor pe.n:a MOIKe .n:a 6y.n:e I1 rrpa3aH
cKyrr Tat..IaKa, a Mo;Ke I1 .n:a ce IIOKJIOIII1 ca IJ;eJIHM CKYIIOJ.\1 E.
Pe.n: ( 1) Ha3HBa ce ancoJLym'Ho 'KO'Haepze'Hm'HUM Ha cKyrry D, aKo Ha 00
uenoM cKyrry D KOHBeprMpa o.n:roBapajynM pe.n: L lfn(:r)l. n=l
36or KOHBepreHu;Hje pe.n:a (1) Ha cKyrry D, 3a rrpOI13BOJLHY Tat..IKY xED
,n;ecpMHHCaH je &eroB 36I1p S, I1 oH Ot..J:Mrne.n:Ho 3aBMCI1 o.n: Tat..J:Ke x. LlaKne,
.n:eqmHMCaHa je o.n:roBapajyna cpyHKUMj a
oc
S(x) = L fn(x) (x E D). n=l
AHAJII13A II 3A I1Hct>OPMATI1"Y:APE 53
AKo je o,nroBapajyna o6JiacT KOHBepreH.Unje pe.n:a (1) H3BecTaH HHTep
BaJI peaJIHe OCe, OH,II;a DeMO Taj llHTepBaJI 3BaTH U'Hmepaa.tWM 'IW'HBepze'HV,Uje
rrocMaTpaHor pe,n:a. 00
3a rrpon3BOJLHO xED 03Ha'IHMO ca S(x) cyMy pe,n:a L fn(x) H ca Sn(x) n=l
rrapn;HjaJIHy cyMy ncTor pe,n:a. Ta.n:a ce H3pa3
00
Rn(x) = S(x)- Sn(x) = L fk(x) (n EN) k=n+l
Ha3HBa ocmam'J<CoM HJIH n-muM ocmam'J<COM <flyHKO:HOHaJIHOr pe,n:a ( 1) H Rn (x)
----1 0 Ka,n:a n ----1 oo 3a CBaKo <fJHKCHpaHo x E D.
2. YHHcpopMHa ROHBepreH:o;Hja
YH:rr<flopMHa KOHBepreHn;nja <fJYHKO:HOHaJIHor pe.n:a je H3y3eTHO BamaH
rrojaM KO.Il ITOCMaTpaH:.a <flyHKIJ;HOHaJIHHX pe,n:oBa 360r TOra illTO Hll3 Ba:rKHHX
TeopeMa B833.HHX 3a cfJYHKO:HOH3JIH8 pe,n:oBe, KOje y OIIillT8M CJiy-cra.jy He Ba:rKe,
HITaK Ba:rKll IIO.z::I: rrpeTITOCTaBKOM ,n:a je TaKBa KOHBepreHn;Hja YHH<fJOpMHa.
ITpeTIIOCTaBHMO .n:a je
00
(1) L fn(x) n=l
<flyHKO:HOHaJIHH pe.n: Kojvr KOHBepr:rrpa Ha HeKOM cKyrry D. 03Ha-cr:rrMo ca S(x)
cyMy TOr pe,n:a 3a Bpe,n:HOCTH xED, H ca Sn(x) (n EN) rraprr:HjaJIHY cyMy
HCTor pe.n:a 3a Bpe,n:HOCTH x E D.
<I:>ym;n;vroHaJIHH pe.n: ( 1) H33HBa ce yHu¢opM'HO 'J<CO'HBepze'Hm'HUJvt 'Ha He'/'CO.M
c'J<Cyny D s;;; D yKoJIHKO 3a rrpoH3BOJLHO c > 0 rrocTojvr H3BecTaH rrprrpo,n:aH 6poj
N = N(s) TaKaB .n:a je
(2) JS(x)- Sn(x)l::; c
3a CBe Bpe.n:HoCTH n ;::::: N H 3a CBe x E D.
OB.n:c Tpe6a HarroMeHyTH .n:a je 6poj N HCTH 3a CBe Bpe,n:HOCTH x E D,
Tj. He.."laBHCaH O,n: X: aJIH 3aBHCI1 O,n: H360pa II03I1TI1BHOr 6poj a E.
Y HHcpOpMHa KOHBepreHn;Hj a <flyHKO:I10H3JIHOr pe,n:a ( 1) rrpeMa <fJYHKIJ;Hj H
S(x) ce -crecTo 03Ha"tJ:aBa 11 ca
X
L .fn(x) =1 S(x) (xED). n=l
54 AHAJU13A II 3A MH<POPMATMLIAPE
PeJiaUHja (2) TaKol)e MOllie ,n:a ce Harrvrme M y o6JIMKY
sup \S(x)- Sn(x)\ ~ E xEO
'-IMM je n ~ N(s).
HanoMeHMMO jom ,n:a je O'-!MrJie,UHo ycJIOB yHmpopMHe KOHBepreHu;Mje Ha
HeKOM CKyrry 0 ja'-IM YCJIOB O,U 06M'-IHe KOHBepreHII;Mje Ha TOM CKyny.
3. BajepmTpacoB KpHTepHjyM
36or 3Haqaja yHmpopMHe KOHBepreHIJ;Hje, O,.U M3Y38THe BalliHOCTH J8
3HaTH 6ap HeKe ,.UOBOJbHe ycJioBe KOjH rapaHTyjy yHHcpopMHY KOHBepreHu;Mjy
H8KOr cpyHKUHOHaJIHOr pe,n:a. Je,n:aH O,.U TaKBHX OIIillTHX YCJIOBa je CJI8,.U8DM
BajepmTpacoB KpHTepMjyM yHHcpopMHe KOHBepreHu;Hje.
TEOPEMA 1. AKa -x:oa ¢Y'HK1J,UO'Ha.ti.'IWZ peaa (1) ea~u \fn(x)\ ~an 3a CX)
ceaKo x E D u cea-x:o n E N, npu "ieMy je HyMepu"iKU pea '2: an -x:o'Heepze'Hma'H, n=l
maaa pea (1) 1\:0'HBepzupa Y'riU¢opM'HO u ancoAym'Ho 'Ha CKyny D.
00
lloKa3. KaKo 3a CBaKo n EN BalliH \fn(x)\ ~an, M pe,n: L an je KOH-n=l
CX)
BepreHTaH, Ha OCHOBY KpHTepHjyMa nope!)elha CJie,.UH ,n:a je pe,n: L \fn(x)i n=l
00
KOHBepreHTaH 3a CBaKo x E D. CTora pe,n: '2: fn(x) arrcoJiyTHO KOHBeprHpa n=l
CX)
3a cBaKo xED . .llaJLe 03Ha'-IHMO ca Sn(x) napu;MjaJIHy cyMy pe,n:a L fn(x), n=l
00
ca 0' n rra pu;Mj aJIHY cyMy pe,n:a '2: an, a ca S ( x) M 0' cyMe OBHx pe,n:oBa, pe-n= I
CII8KTHBHO. I1ManeMO ,.Ua je
3a CBaKO X E 0.
\S(x)- Sn(x)\ = \fn+l(x) + fn+2(x) +···I~
~ \fn+l(x)\ + \fn+2(x)\ + · · · ~
~ an+l + an+2 + ... = ()'- O'n,
liaJLc, 3a rrpOI13I30JLHO E > 0 rrocToj I1 M3B8CTaH 6poj N = N ( c:) TaKaB
,n:a je 0'- O'n :S E 3a cBaKo n ~ }'l(c). CTora je \S(x)- Sn(x)\ ~ c: 3a CBaKo
n ~ N(E) I1 3a cBe x E D. Tmvre CMO ,n:oKa3a.rm yHrrcpopMHY KOHBepreHu;Hjy CX)
pe,n: L fn(x) Ha cKyrry D. 0 n=l
AHAJII13A II 3A I1H<I>OPMATI1t.IAPE 55
Tpe6a HarroMeHyTH ,n;a ce rrpeTXO,n;HH ycnoB y rrpHHUHIIY MOllie 3aMeHHTH 00
ycnoBoM ,n;a KOHBeprnpa pe,n; '2:::: an, npn 'leMy j e n=l
an= sup lfn(x)i (n EN). xEil
Me1;5yTHM, nnaK je ycnoB H3 rrpeTxo,n;He TeopeMe JiaKme ,n;oKa3aTH, jep ce
oneRe Tnrra lfn(x)l ~ an (x E 0) ,n;aneKo naKme ,n;oKa3yjy, Hero eKCIIJIHUHTHO
o,n;pe1;5nBa.fhe Ta'!He MaKCHMaJIHe Bpe,n;HOCTH supxEil ifn (x) I·
IlpHMep. IIpnMeHOM BajepmTpacoBor KpHTepnJyMa, ncrrnTanr yHH
cpopMHY KOHBepreHIJ;Hjy cpyHKUHOHaJIHOI' pe,n;a
00 L cos;x
n=l n
Ha CKYIIY n = R.
I'fManeMO ,n;a 0"--HI' JI8,IJ;HO BaiKH Hej e,n;HaKOCT
I cos nx I = I cos nx I < ~
n2 n2 - n2
00 1 3a cBaKo n E N n 3a CBe Bpe,n;HOCTYI x E R. KaKo HyMepH'IKH pe,n; '2:::: 2 KOH
n=l n Beprnpa, Ha OCHOBY BajeprrrTpaCOBOI' KpHTepHjyMa TIOCMaTpaHH cpyHKUHO-
HaJIHH pe,n; ne YHHcjJOpMHO KOHBepnrpaTH Ha uenoj peaJIHOj OCH R. 0
TaKo1;5e Tpe6a HarroMeHyTH ,n;a BajeprrrTpacoB KPHTepnjyM ,n;aje carvro
je,n;aH iJoeO./ba'H ycJIOB YHHcpOprviHe KOHBepreHIJ;Hje cpyHKUHOHaJIHOI' pe,n;a, aJIH
y OllillT8:V1 CJiy'lajy TO HHje I1 HeOTIXO,IJ;aH J'CJIOB. Ha:vrMe, TIOCTOje IIpHMepH
cpyHKUHOHaJIHHX pe,.UOBa KOjH YHHcpOpMHO KOHBepr:vrpajy Ha TIOCMaTpaHOM
cKyrry Ta'laKa, ann He ncrrya,aBajy ycnoBe BajeprrrTpacoBor Kp:vnepnjyMa.
4. Oco6:aHe yH:acpopMHO ROHBepreHTHHX
cpyHRJJ;HOHaJIHHX pe.n.:oBa
HaBO,IJ;MMO HeKe o,n; HajBatKH:vrjnx oco6nHa ymrcpopMHO KOHBepreHTHHX
cpyHKIJ;HOHaJIHHX pe,n;OBa.
cc TEOPEMA 2. A11:o je ¢yuA:1J,UOrWA'HU pea '2:::: fn (x) yHu¢opJvtuo Kou-
n=l aepzeurnau Ha uurnepaaAy [a, b], u ¢YHK11,Uja g(x) je npou3BO!bUa ozpauu"ieua
56 AHAJ1113A II 3A l1H<POPMATI1L£APE
(X)
rfiyn"'"v,uja na moM unmepeMy, maoa je u rfiY'H"'"'IJ,UO'H.a .. rmu peo L g(x) fn(x) ynu-n=l
rfiop.Mno "'"onaepzenman na unmepaa.!Ly [a, b].
00
lloKro. IIpeTrrocTaBHMO ,n;a Ha HHTepBany [a, b] pe.n; :L fn(x) ymr-n=l
!popMHO KOHBeprnpa Ka <PYHK:O:Hjn S(x). KaKo je !pyHK:o;nja g(x) orpaHH'IeHa,
IIOCTOjH H8Ka KOHCTaHTa M > 0 TaKBa ,n;a je Jg(x)J ~ Jvf 3a CBaKO X E [a, b]. liaJLe, 3a CBaKO E: > 0 IIOCTOjH ll3B8CTaH IIpHpo,n;aH 6poj N TaKaB ,n;a j e 3a
CBe n 2: N 11 3a cBe x E [a, b] ncrrylheHo
E: JSn(x)- S(x)J ~ M'
rrpn "t.IeMy je Sn(x) rrapuHjanHa cyMa rrona3HOr pe,n;a. CTora je
E: Jg(x)Sn(x)- g(x)S(x)J = Jg(x)JISn(x)- S(x)l ~ lvf · Jvf = E,
(X)
3a n 2: N 11 3a cBe x E [a, b]. CTora pe.n; :L g(x) fn(x) yHn!popMHO KOHBeprHpa n=l
Ha HHTepBany [a, b] Ka !pyHKIJ;HjH g(x)S(x). D
Cne,n;eny TeopeMy HaBo,n;HMo 6e3 ,n;oKa3a.
(X)
TEOPEMA 3. Ax:o peo S(x) = :L fn(x) ynur.f;opM.'H.O x:o?-taepzupa na n=l
unmepea.!Ly [a., b], u npumoM cy cae rj;yn"'"1~uje fn(x) (n EN) nenpe"'"uone, maoa
je u rfiY'H"'"1~ uja S ( x) ma"'"o !Je nenp eKUO'Ha tfiyn"'"·u, uja na ucmoM unmepe a.!Ly.
oc Tpe6a HarroMeHyTH .n;a cpyHK:O:HOHaJIHH pe,n; I: f n ( x), rrpH 'IeMy cy CBe
n=l cpyHKUHje fn(x) (n E N) H8IIp8KH)lH8 Ha HHTepBaJiy [a, bL aJIH KOjH He KOH-
BeprHpa YHHcpopMHO Ha TOM HHT8pBaJiy, :MOllie HMaTH :~611p S(x) KOjH HHje
H8ITp8KH.n;Ha cpyHKUHja Ha TOM HHT8pBaJiy.
(X)
TEOPEMA 4. A?i:o peo :L fn(x) :qnutfiop.!vt'H.o "'"onaepzupa na unmepea.!Ly n=l
[a, b] u cee rfiy'HKV,Uje fn(x) (n EN) cy nenpe"'"uone rfiyn?i:v,uje na moM unmepaa.!Ly,
maoa 3a npOU380.!b'H.Y tfiu?i:CU.pany ma"ir.:y Xo E [a, b] u npOU3BO.!b'H.O X E [a, b] aaJICU
jeona?i:ocm
(3) 1: S(t) dt = ~ E fn(t) dt,
AHAJII13A II 3A l1H<DOPMATI1t.IAPE 57
m;. noc.Mampa'Hu ped Moxe ce u'Hmezpucamu '4.Jta'H no '4../La'H 'Ha nocMampa'HOM
U'Hmepea.fLy .
.llo6uje'Hu ped ma~o!je y'HutjjopM'HO ~o'Heepzupa no x E [a, b] 3a cea~o rfm~
cupa'HO xo E [a, b].
l[oKa3. KaKo cy ¢YHKUHje fn (x) HerrpeKH,rme H o_nroBapajynH pe_n yHH
cpopMHO KOHBeprHpa Ha HHTepBaJiy [a, b], ELeroB 36Hp S(x) je HerrpeKrr_n;Ha
cpyHKIJ;Hja, H CTOra HHTerpa6HJIHa ¢YHKI.J;Hja Ha HHT8pBaJiy [a, b]. JiaJbe,
yoqHMO pa3JIHKY
{x S(t) dt- {x Sn(t) dt = {x [S(t)- Sn(t)] dt, Jxo Jxo Jxo
rrpH qeMy TaqKe x, x 0 E [a, b]. 36or YHHcpOpMHO KOHBepreHI.J;Hje pe_na Ha HHTepBaJiy [a, b], 3a lipOH3BOJh
HO E > 0 IIOCTOjH H8KO N(c) > 0 TaKO _na je 3a CBe n ~ N(c) H CB8 X E [a, b]
HCIIyELeHO r::
JS(x)- Sn(x)J:::; b ~a.
O_naB_ne je
11: S(t) dt -1: Sn(t) dtl :::; 11: JS(t)- Sn(t)J dtl :::;
ll x c I E :::; --dt =--lx-xoJ:::; b-a b-a xo
E < --lb-al =E. - b- a ·
CTora je 3a cBaKo n ~ N(c) HCIIyELeHo
11~ S(t) dt -1: Sn(t) dtl :::; c.
lipyrm.r per..rHMa, HJ\IaMO ,n:a je
lx
1x lx n
S(t) dt = nl~~ Sn(t) dt = nl~IIJo [ L Jk(t)] dt = x0 xo xo k=l
= lim t {x fk(t) dt, n~.:.:c }_r
k=l xo
TJ.
f S(t)dt = ~ f /k(t)dt. D
58 AHAJU13A II 3A MH<I>OPMA TMqAPE
00
TaKo t)e Tpe6a HarroMeHyTli .n;a aKo clJYHKIJ;liOHaJIHli pe,n: 'L f n ( t) He KOH-n=l
BeprHpa YHMclJOpMHO Ha liHTepBaJiy [a, b], Ta,n:a Ce OH y OIIillT8M CJiy'-Iajy He
MO/Ke liHTerpHcaTli '-IJiaH no '!JiaH, Tj. y orrmTeM cJiy'Iajy He Ba~KH
1x S(t) dt = f 1x fn(t) dt. xa n=l xo
TEOPEMA 5. IIpemnocmaeuMo Oa cy cee rjjy'H:x;v,uje fn(x) E C 1 [a, b],
mj. 'Henpe'x;UOrW cy ourjjepewu,uja6U.!L'He 'Ha U'HmepeaAy [a, b], u Oa rjjy'H'x;V,UO'Ha.!L'HU 00
peo 'L f~(x) y'HurjjopM'HO 'x;O'Heepzupa 'Ha u'HmepeaAy [a, b]. Taoa y npou3eO.!b'HOj n=l
ma"t'x;U x E [a, b] eaxu
(4) [ f fn(x) ]' = f f~(x), n=l n=l
ffiJ. TWCMampa'HU peO MOJ1Ce Ce Ourjjepe'HV,Upamu "t.!La'H no "t.!La'H.
llOKa3. 03Ha'!MMO:
00 00
L fn(x) = S(x), L f~(x) = cr(x). n=l n=l
Ta.n;a je 3a rrpoli3BOJLHe Ta'!Ke x, x 0 E [a, b] Ha ocHoBy rrpeTxo.n;He TeopeMe
liCIIyfueHO
[ u(t) dt = 1: [ ~ f~(t)] dt = ~ 1>~(t) dt =
DC 00 00
= L[fn(x)- fn(xo)] = L/n(x)- ~ fn(xo) = n=l n=l n=l
= S(x)- S(xo).
AJili, KaKo je clJYHK:o;Hja cr(x) HerrpeKli.n;Ha, Kao 361Ip YHliclJOPMHO KOHBep
reHTHor pe.n;a HerrpeKli.D:HHX ¢YHK:o;lij a, .n;HcpepemrHpaiLeM peJiaurrj e
1x cr(t) dt = S(x)- S(xo) xo
.n;o6:wjaMo .n;a je
[1: cr(t) dt]' = S'(t),
AHAJIM3A II 3A HH<I>OPMATMLIAPE 59
TJ a-(x)=S'(x), O,UHOCHO
00 I 00
[ L fn(x)] = L f~(x). 0 n=l n=l
III. CTerreHH pe,npnH
1. Pa,LJ;H:jyc KormepreHI~J.rje cTerreHor pe,np.
AKo je xo rrpOYI3BOJLHa Ta'IKa peaJIHe oce, YI an (n E N) rrpOYI3BOJLaH
peaJiaH HYI3, ra,n:a ce cpyHKUHOHaJimr pe,n: o6JIYIKa
00
(1) L an(x- xo)n n=O
Ha3HBa cmene'Hu.tvt peoo.M no npoMeHJbHBoj x, OKO ratrKe x 0 .
0BaKaB pe,n: OtrllrJI8,UHO KOHBeprHpa 6ap y TatrKYI X= Xo.
BpojeBH an (n E N) ce rrpHTOM Ha3HBajy r,;oe¢u'4uje'HmuMa OBOr cre
rreHor pe.n;a.
(2)
lloce6Ho 3a x 0 = 0 HMaMo crerreHH pe.n: o6JIYIKa
00
~anXn n=l
OKO TatrKe 0, KOjH KOHBeprHpa 6ap y TatrKYI X= 0.
Ocmv1 Tora, otrHrJic,n:uo cc cBaKH CTcrrci-m pe.n: o6JII1Ka (1) MO.tKe rrpc
B8CTH y CT8II8Hll pe,n: 06JIHKa ( 2) aKO YB8,ll;8MO ClvleHy X - Xo = X.
CJie.n;ena reopeMa Ha3YIBa ce A6eJweo.M meope.A40.Jvt H o,n:HOCH ce Ha YIH
repBaJI KOHBepreHUYij e CT8II8HOr pe,n:a ( 2).
TEOPEMA 6. An:o cmeneHu peo (2) 1W'Heepzupa y Her,;oj ma."ir,;u x 1 =/= 0,
maoa O'H anco.Aym'HO 'KO'HBepzupa 30. CBe BpeO'Hocmu X mar,;ee Oa je lxl < lxll· Ar,;o O'H oueepzupa y 'He'Koj ma"i'KU X2, maoa O'H oueepzupa u 30. cee epeO'HOCmu X
ffiQ.1GBC 00. je lxl > lx2l· cc
1IoKa3. llperrrocraBRMO ,n:a pe.n: L anxn KOHBeprHpa y HeKoj ra'IKH x = n=O
00
x1 =/= 0, Tj . .n:a HJ'MepHtrKH pe.n: L an x? KOHBeprHpa. Ta,n:a je lim an x? = 0, n=O n_,oo
60 AHAJII13A II 3A MH<I>OPMATH'-IAPE
rra rrocTOJH 6poj M > 0 TaKaB )la je \an x1\ :S M 3a cBaKo n E N. L[aJbe 00
I1p8TITOCTaBHMO )la je jxj < jx1j, H ITOCMaTpajMO pe)l 2:: \anXnj. l1MaD8MO )la n=O
je
\anxn\ = \anx~\ ·\ ~ \n :S M qn, Xl
00
rrpH -.:.reMy j e q = ix / x 1\ < 1. KaKo j e 2::::: M qn reoMeTpHj cKa rrporpecHj a ca n=O
KOJIHl:.fHHKOM q, rrpH 1:.f8MY je 0 :S q < 1, )laKJie rrpe)lCTaBJLa je)laH KOHBepreHoo
TaR pe)l. Ha OCHOBY KpHTepHjyMa rropcl)eiLa, pe)l 2":: \anxn\ KOHBeprHpa y n=O
00
IIpOH3BOJbHOj T8.1:.fKH X 3a KOjy je jxj < jxll· Y CJI8)l TOra, CT8II8HH pe)l 2::::: anXn n=O
arrconyTHO KOHBeprHpa. 38. \x\ < \x1\· 00
l[aJbe IIp8TIIOCTaBHMO )la pe)l 2:: anXn KOHBeprHpa 3a H8KO X TaKBO )la n=O
je jxj > jx2j. Ha OCHOBy IIp8TXO)lH8 T8.1:.fK8, CJI8)lM )la OBaj pe)l KOHBeprMpa y . .
Tal:.fKH X2, illTO J8 KOHTpa)lMKUMJa.
Tmvre j e TeopeMa )lOKa3aHa. 0
KopMmneiLeM rrpeTxo)lHe TeopeMe )lOKa3yje ce )la Ban<H cne)lene TBp
l)eiLe.
TEOPEMA 7. A'K:o cmeneHu pea (2) ?WHeepzupa 6ap y jeouoj ma"-i'K:U
X i- 0, maaa nocmoju jeOa?-l jeOuHcmee'HU 6poj R > 0 (R :S +oo) ma'K:aB oa
nocMampa'Hu peo ancoAym'Ho 'K:O'Heepzupa 3a cee epeo'Hocmu x ma'K:ee oa je \x\ < R, a aueepzupa 3a cee epeO'Hocmu X ma'K:ee oa je \xi > R.
-R 0 R X
c:rr. 2.1
Ha OC:HOBY OBOr TBpl)eiLa CJI8)lll )la je 06JiaCT KOHBepreH:o;Mje (Tal:.fHHje
06JiaCT arrcoJiyTHe KOHBepreHUHje) pe)la (2) M3B8CTaH HHT8pBaJI ( -R, R) CH
M8TpH-.:.raH y O)lHOCy Ha KOOp)lHHaTHH IT01:.f8TaK.
11HTepBaJI ( -R, R), rrpM -.:.reMy je R > 0, M pe)l (2) KOHBeprHpa 3a cBaKo
x E ( -R, R) 11 )lMBeprHpa 3a cBa.Ko x TaKBO )la je jxj > R, Ha3HBa ce uHmep
eaAO.M 'K:oueepze'H~uje peoa (2).
IIo3I1TI1BaH 6poj R Ha3I1Ba ce paoujyco.M 'K:O'Heepze'H~uje oBor pe)la.
AHAJ1I13A II 3A I1H<I>OPMATM"Y:APE 61
Tpe6a HaiiOMeHyTH ,n;a Ha KpajeBHMa IIOMeHyTor HHTepBaJia, TJ. y
Ta'!KaMa x = -R 11 x = R pe,n; (2) MOJKe 11 .n;a KOHBeprHpa 11 ,n;a .n;MBeprHpa,
TaKa ,n;a cy Moryna cBa 'IeTHpH cJiy"C.J:aj a.
TaKO l)e Tpe6a HaiiOMeHyTH ,n;a CTeiieHH pe.n; ( 1), 3a Xo =f 0 HMa HCTH
IIOJiyrrpe"C.J:HHK KOHBepreH:o;Hj e KaO H pe,n; ( 2), aJIH j e IberOB HHTepBaJI KOHBep
reH:o;Hje (xo- R, xo + R), ,n;aKJie :o;eHTap MY je Ta'!Ka x 0 , a He Ta"C.J:Ka 0. CTora,
IIOJiyrrpe"C.J:HHK KOHBepreH:o;Mj e pe.n;a ( 1) 3aBHCM CaMO O)l; Ih810BHX Koeqm:o;Hj e
HaTa an ( n E N), aJIH He 11 o.n; Ta'!Ke x0.
3a H3pa"C.J:yHaBaihe pa.n;Hjyca KOHBepreH:o;Hje IIOCTOjH H8KOJIHKO cpopMy
Jia, H OB,LJ;e neMO HaBeCTH CMO H8Ke O,ll; IhHX.
Hajrrpe HaBO,ll;MMO OIIillTY cpopMyJiy 3a H3pa"C.J:yHaBaihe pa.n;Hjyca KOHBep
reH:o;Hje cTerreHor pe,n;a, Koja ce Ha3HBa Kowu-Aaa.Mapoeo.M rfiop.MyAo.M.
TEOPEMA 8. Ax;o je l = lim ~' npu "ie.My je 0 :::=; l :::=; +oo, maaa je n_,.=
(3) 1 1
R = l = limn_,.= v1C1J
llpHTOM, aKo je l = 0, Y3HMaMo .n;a je R = +oo, a aKo je L = +oo,
y3MMaMo ,n;a je R = 0.
KaKo j e rop:rLa cpopMyJia, MaKo BeoMa T8'!Ha, .n;ocTa TemKa 3a rrpaKTM'!HY
yrroTpe6y jep rOplliH JIMMeC cyrrepHOp HMje TC\.KO JiaKO H3pa'!yHaTH, y rrpaKCM
Ce 06M"C.J:HO KOpHCTe H8illTO je,n;HOCTaBHHje BapHjaHT8 OB8 cpopMyJie. Y B83M
Tara HaBo,n;HMo cJie.n;ene .n;Be TeopeMe.
TEOPEMA 9. Al\:o cy ceu x;oerfiuv,uje'Hm?L cmeneHoz peaa (1) pa3AU"iumu
oa 0 u nocmoju zpaHU.''i'Ha epeaHocm
l . Jan+ll l lffi = .
n-->= Jan I ,
npu "ie.My je l E [0, +x], maaa je
(4) Jan I / l- lim - · R = 1 · - n_,.= lan+l
TEOPEJ\1A 10. Al\:o nocmoju zpaHU"i?·ta epeaHocm
1 im n !i-::-11 n-->= V lanl = l,
62 AHAJU13A II 3A l1H<I>OPMATI11..IAPE
u npumoM je l E [0, +oo]), maoa je
1 R = 1/Z = 1· n~lanl.
lilln->oo V lun I
HarroMrrH>eMo .n;a cy o6a rrpeTxo.n;Ha TBpi)e:a,a Ta"t:J:Ha M aKo je je.n;Ha o.n;
HaBe,n;eHHX rpaHMqHHX Bpe):(HOCTM je,n:HaKa l = 0 MJIM l = +oo, IIpH qeMy Ce IIO
.n;eqmHHIJ;HjH y3rrMa ,n:a je R = +oo, o,n;HocHo R = 0. llaKJie y rrpBOM cnyqajy
.n;o6HjaMo ,n:a je MHTepBaJI KOHBepreHu;Mje rrocMaTpaHor cTerreHor pe.n;a uena
peanHa oca (- oo, +oo), a y .n;pyroM .n;o6Hj aMo .n;a ce Taj MHTepBaJI cBo,n;rr caMo
Ha Ta'IKy xo.
Y orrmTeM cnyqajy, o6nacT KOHBepreHIJ;rrje CTerreHor pe.n;a ( 1) MOJKe
6HTM OTBOpeHM MHT8pBaJI (x0 -R, x 0 +R), 3aTBOp8HH MHTepBaJI [x 0 -R, x 0 +R],
MJIM 6:vmo KOjM o.n; ,n;Ba rronyoTBopeHa ITHTepBaJia (x 0 - R, x0 + R], [xo- R, xo + R).
lla 6M y orrmTeM cnyqajy o,n:pe.n;rrnrr o6nacT KOHBepreHu;Mje rrocMaTpa
HOr cTerreHor pe.n;a, Hajrrpe rro je,n;Hoj o.n; HaBe,n;eHrrx cpopMyna o.n;pei)yjeMo
rronyrrpeqHrrK KOHBepreHu;rrje oBor pe.n;a, a THMe vr HHTepBaJI KOHBepreHurrje
(xo - R, x0 + R) y KOMe OH arrconyTHO KOHBeprvrpa. Tiocne Tara, HcrrrrTy
jeMo KOHBepreHUITjy TOr pe,n;a Ha KpajeBrrMa ilHT8pBaJia KOHB8pr8HI{Mje, Tj. y
TaqKaMa x = x 0 - R M x = x 0 + R.
TipHMep. O.n;pe.n;MneMo rrHTepBan KOHBepreHu;Mj e cTerreHor pe.n;a 00
I: ( -l)n-ln2xn. n=l
Hajrrpe neMo o.n:pe,n:rrTH IIOJiyrrpe"tiHM:K :KOHBepreHUMje OBOf' R OBOr CTe
rreHor pe.n;a KOpHcTenvr TeopeMy 9. KaKO je an = ( -l)n-ln2 rr an+l =
(-1)n(n+ 1) 2, vrManeMo .n:a .ie
lanl lan+ll
I( -1)n-ln21
1(-l)n(n+ 1)21
n2 (n + 1)2 -+ 1
Ka,n;a n -. oo. CTora je IIOJij:rrpeqHvrK KOHBepreHuvrje R = 1, Ta"Ko .n;a rrocMa
TpaHM pe,n; aiTCOJIYTHO KOHBeprHpa y HHT8pBaJiy ( -1, 1) .
.liaJLe nelvfO ilCIIHTaTH KOHBepreHUHj y pe,n;a Ha Kpaj 8Bil1Ia ilHTepBaJia
( -1, 1). AKo cTaBvr:vro x = -L .n;o6vrja:vw HyMeprrqKvr pe.n;
ex:; ex:;
I) -lt-ln2( -1r =I) -n2) n=l n=l
AHAJB13A II 3A l1H<I>OPMATI1LIAPE 63
KOjlf O"t!HrJie,D;HO ,UHBeprHpa jep Ih8rOB OIIIDTH "CIJiaH He T81Klf 0. 00
Y Ta"CIKH x = 1: ,uo6HjaMo CJIH"CIHO HyMepH"tiKM pe,u L ( -1)n-1n 2, Koj:vr n=l
TaKot)e ,n:HBeprHpa H3 CJIH'fHor pa3nora.
CTora je 06JiaCT KOHBepreHTI;Hje IIOCMaTpaHOr pe,ua OTBOp8Hlf MHT8pBaJI
(-1,1). D
00
TEOPEMA 11. Cmene'Hu pea L anxn ?Wneepzupa anco.~r,ym'Ho u y'Hun=O
¢opM'HO 'Ha npou3BOJb'HOM u'Hmepea.~r,y [-a: a] (a > 0), r;;oju ce 'Ha.~r,a3u ynymap
U'Hmepea.~r,a 'IW'Heepzen11:uje ( -R, R) nocMampa'Hoz peaa.
00
TEOPEMA 12. 36up S(x) = L anxn npeacmaeJba 'Henper;;uOny ¢ynr;;-n=O
7.1:ujy y cear;;oj ma"ir;;u x u'Hmepea.~r,a K;O'Heepze'H'U:uje peaa (-R, R) (R > 0).
CTerreHH pe,u MOiKe ce HHTerp:vrcaTH "CIJiaH no "CIJiaH, Ha ocHoBy cne,uene
TeopeMe.
00
TEOPEMA 13. Cmene'Hu pea L anxn MoJK:e ce u'Jimezpucamu "i.!r,Q.'H no n=O
"i.!r,Q.'H y ceoM u'Hmepea.Ay r;;o'Heepze'H7~uje (-R: R) (R > 0), u no.~r,ynpe"i'HU'/C '/CO'H-
eepze'H7ptje peoa oo6uje'Hoz no.M.ofiy ·tmmezpa7.1:uje "i.IW.'H no "i.!r,O.'H ma'K:ofje uanoc·a
R. 1Ioce6Ho eaxu
lx ( f antn) dt = f n ~ 1 xn+l, 0 n=O n=O
3a cear;;o x E ( -R, R).
3a ,UHcpepeHUHpa:ELe CT8II8HOr pe,n:a Ba:tKH CJIM"tfHa T80peMa, KaO M 3a
MHTerpauHjy.
00
TEOPEMA 14. Cmene'HU pea L O.n xn .MOJK:e ce ou¢epe'H.11;Upamu "t.~a'H n=O
no "i.!r,O.'H y cear.:oj ma"i?CU x u3 u'Hmepea.~a 'K:O'Heepze'H4Uje ( -R: R), mj. '/bezoe
J6up S(x) u.M.a. uJeoae 6u.~r,o 'K:OZ peaa. y moM. uHmepea.~r,y u Ja cear;;o kEN eaxu
jea'Har;;ocm =
s( k) (X) = L n ( n - 1) ... ( n - k + 1) an X n-k. n=k
Ilo.!Lynpe"i'HU'K: 'K:O'Heepze'H'Lfltje zop?bez peoa jeona?C je no.~r,ynpe"i'HUKY 'K:O'Heepcc
Ze'H4Uje peoa 2:: an xn' mj. jeonar;; je R. n=l
64 AHAJU13A II 3A 11Hci>OPJ\1ATif4APE
2. TejJiopoB pe,11_ <j>yHRIJ;Hje
00
PenH neMo ,n:a ce cpyHK:o;Hja f(x) MOJIC.e pa3Bumu y cmenenu peo .Z.::: an xn n=O
'Ha U'Hmepea.Jty ( -R, R) (R > 0) aKO Taj pe,n: KOHBepnrpa Ha TOM HHT8pBany,
M BaiKM J8,UHaKOCT
00
f(x) = ~anXn (xE(-R,R))o n=O
MoiKe ce rroKa3aTM ,n:a j e yen on ,n:a ce cpyHK:o;Hj a MOiKe pa3BHTH y cTe
rreHM pe,n: B80Ma peCTpMKTMBaH, If ,n:a je MHOrO ja'-l:H Ha IIpHM8p O)l YCJIOBa ,Ua
cpyHKD;Hja 6y,n:e 6eCKOHa1.IHO ,llll4Jep8HD;Hja6HJIHa Ha IIOCMaTpaHOM HHT8pBaJiyo
ci>yHK:o;vrje Koje ce Mary pa3BHTH y o,n:ronapajynn Tejnopon pe,n: Ha rrocMa
TpaHoM HHT8pBaJiy, Ha3HBajy Ce jom H peO.Jl,'HUM O.'HO.Jl.UffiU"i'ICUM ¢Y'H1CV,UJO.Ma,
HJIH KpaTKO Q.?i,Q.Jl,UffiU"i'ICUM ¢Y'H1CV,UJO.Mao
AKo je ¢YHK:o;vrja f(x) aHaJIHTH"t.IKa Ha HHTepBany (-R,R), Ta,n:a ce naKo
MO/f\8 IIOK3.33.TH )la je OBaj pa3BOj je,UHHCTB8H 1 Tjo ,n:a cy K08cpHUHjeHTVI an (n =
0, 1, 2, o o o) o,n:ronapajyner CT8II8HOr pe,n:a IIOTIIYHO O,Upel)eHM Bp8,UHOCTHMa
rpyHKuvr.ic Ha. TOM HHTcpnanyo Ta"t.IHvrje, namH cnc.ucr1a TcopcMao
TEOPEMA 15. A1eo je ¢yn1ev,uja f(x) anamtmU"i'ICO. Ha unmepea.Jty (-R R)' maoa je 0?-i,Q, 6ec'ICO'HQ,"i'HO ou¢epenv,uja6u.Jt'HQ, H.a moM unmepea.Jty, u 'X:oe¢u
v,ujenmu an (n = 0, 1, 2, 0 0 0) 3CLOOBO./baeajy jeona1eocm
- f(n) (0) an-
n! (n = 0, 1, 2, 0 0 o),
npu "ieMy je H.a OC'HOBY oe¢unuv,uje .f(O) (0) = j(O) U 0! = 1.
Ona Teope1vm Heocpe,n:Ho cne.ru1 H3 TeopeMe 14, ,llllcpepeHuvrpajynM ,n:aTvr
pe,n:, Tjo ¢YHKUHjy .f(x) n rryTa ·y HHT8pBaJiy (-R,R), 11 3aTH:tv1 CTaBJLajynH
X= 00
Ha rroTrryHo CJIH"t.IaH Ha"t.IHH MOI:Ke ce ,n:oKa3a.TH ,n:a a.Ko ce ¢YHK:o;Mja. f(x)
MOI:K8 pa3BHTM y CT8II8HH pe,n: ITO CT8II8HHM3. X - Xo, Tj. aKO BaiKH
ex:;
f(x) = L an (x- xo)n x E (xo - R, xo + R), n=O
AHAJU13A II 3A MH<I?OPMATI1LIAPE 65
rrpH "t.J:eMy je R > 0, Ta,n;a 3a Koe¢m:~;ujeHTe an OBOr pa3BOja Ba)Kll ¢opMyJia
an= (n=0,1,2, .. 1
r,n;e je J(O) (xo) = f(xo).
CTora je u oaaKaB pa3aoj je,n;HHCTBeH.
IIpeTriOcTaBHMO ,n;aJbe ,n;a je ¢YHKIJ;Hja f(x) 6ecKOHa"t.J:HO ,n;u¢epeHuuja-
6unHa Ha HeKOM HHTepaany (a, b) M Ta"t.J:Ka xo E (a, b). Ta,n;a ce cTerreHH pe,n;
~ f(nl(xo) (x- xo)n L. n! n=l
Ha3HBa Tej.;wpoauJw, peOo.M tfiy?-LKV,Uje f ( x). Koe¢uuuj eHTH oaor pe,n;a, Tj. 6po
J8BH f(n) (xo)
an= n! (n=0,1,2, ... )
Ha3HBajy ce rrpHTOM Tef;wpoauJvt Koetfiuv,ujeumu.Ma tjy?-LKV,uje f(x) y ma"-i'KU xo.
AKo rroce6Ho y3MeMo ,n;a je xo = 0, Ta,n;a ce owoaapajynu: pe,n;
~ f(n)(O) L xn n=O n!
Ha3u:Ba JvfaK.!topenoau.M peoo.M tfiynKv,uje f(x) aKa ma"-iKe 0.
HarroMHILeMo ,n;a y orrmTeM cJiy-qajy, TejJiopoa pe,n; rpyHKUHje f(x) E
c= (xo - R, Xo + R) HMje o6aae3HO KOHBeprCHTaH Ha U8JIOM HHT8pBaJiy (xo -
R, xo + R) ( ocmvr y Tat.IKH xo r,n;e curypHo KOHBepru:pa), a H aKo je KOHBepreH
TaH Ha U8JIOM ITOCJ\1aTpaHOM llHTepBaJiy, ILeroBa CyMa He MOpa 6HTll ITOJia3Ha
rpyHKUHja j(x). liaKJie, y OIIIDT8}..! CJiyqajy, He :t-.10/Ke ce CBaKa cflyHKIJ;Hja
f(x) E c= (xo - R, Xu + R) pa3BHTH y o,n;roBapa.jynu TejJIOpOB pe,n;. CTora,
aKo ca A(x0 - R, x0 + R) 03Hat.IH1W cKyrr CBHX aHaJIHTH"t.J:KHX ¢YHKUHja Ha
HHTepaaJiy (x 0 - R, x0 + R) (:y o,n;Hocy Ha cpe,n:HmiLy Ta"t.J:KY xo), Ta,n:a je
A(xo- R Xo + R) ~ cx(xo- R, Xo + R): aJIH je OBa llHKJIY3Hja npa.aa.
llp:rrMep. Yot.IHMO cflyHKuujy
x)= . ,xrO f( { e-1/x2 --L
O,x = 0
Ta,n;a Ce MO/Ke IIOKa3aTH ,n;a je ITOCMaTpaHa cflyHKUHja 6eCKOHat.IHO ,n;ucfle
p8HUHja6H.i'IHa Ha 6HJIO KOM HHTepBaJiy ( -R, R) (R > 0), u ,n;a cy cau: H3Bo,n;u:
66 AHAJU13A II 3A MH<POPMATMLIAPE
OB8 cpyHKJJ;>-:Ije y TaCIKH 0 je,llHaKH 0, Tj. ,.n:a Bailili j(n)(O) = 0 (n = 0, 1, 2, ... ).
CTora je MaKJiopeHOB pe.n; oBe cpyHKI.J;Hje KOHBepreHTaH H 36:11p MY je H,n;eH
THCIKH je,II;HaK HyJIH, ,n;aKJI8 OH Ce y CBHM TaCIKaMa X =1- 0 pa3JIHKyje O,Il; cpyHr.:r;Hje
f(x). D
Y B83I1 Tara, IIaCTaBJba ce III1TaH>e o,.n:pe'QHBaELa rraTpe6Hai' I1 ,Il;OBaJhHOr
ycJIOBa KOji1 I13B8CHa cpyHKI.J;Hja Tpe6a ,n;a 3a,n:oBaJLaBa ,n:a 6H 6:11Jia aHaJIHTHCI
Ka Ha HHTepBaJiy (x0 - R, x0 + R). CJie,n;ena TeapeMa ,n:oKa3yje ce Herrocpe,llHo
H .n;aj e Taj ycJIOB.
TEOPEMA 16. PyH~v,uja f(x) je a'/iaAumu'l(,~a 'liO. unmepea.Ay (xo -
R, x+O + R) a~o u ca.Mo a~o je 6ec~a'lia'Lf,'liO du¢epenv,uja6uA'Iia 'lia mo.M u'/imep
Ba.Ay u, 30. cea~o ¢u~cupa1io x E (xo - R, xo + R), u3pa3
n j(k) (xo) Rn(x) = f(x)- [L k! (x- xo)k] --+ 0
k=O
~aoa n--+ 00.
KaKa je raprni1 KpHTepHJYM, HaKo Bea:r..m TaCiaH, ,n:ocTa HerrpaKTHCiaH
Ka,n: rrpaKTHCIHai' ,Il;OKa3HBaiba aHaJIHTHCIHOCTH cpyHKIJ;Hj e, HaBa,n:HMO ,II;Ba j e,n:
HOCTaBm:Ija KpHTepRjy:t-.13. KajH Ta:Ko'Qe Mary ,n:a rraMarHy Ka,Il; ,n;aKa3HBatLa
aHaJIHTHCIHOCTH IIOCMaTpaHe cpyHKIJ;Hje.
TEOPEMA 17. A~o je ¢YH~v,uja f(x) 6ec~ona'l(,1i0 du¢epe1iv,uja6u.A1ia 1ia
u'limepea.Ay (x 0 - R, x0 + R), 3a cea~o n = 0, 1, 2, ... u cea~o x E (x 0 - R, x0 + R)
ea.JK:n lf(n)(x)l :S 1-dn) u nocmoju ne~o B > 0 ma~o da 1iU3 .Mn Bn/n!--+ 0 ~ada
n--+ x, mada. je ¢YH~v,uja. f(x) O.'!iO.Aumu'Lf,~O. no. noc.Ma.mpa.'lia.M u'limepea.Ay.
IIoce6Ho ce MaJKe ,n:aKa3anr .n:a j e rrpeTxo,n:HR ycJiaB HcrryiLeH, a THMe j e
H IIOCJviaTpaHa cpyHJ{IJ;Hja aHaJIHTHCIKa, aKO rraCTOjH H3B8CHa KOHCTaHTa fl.f > 0
TaKBa )Ia je 3a CBaKo n = 0, 1, 2,.,. H CBaKa x E (x0 - R, x 0 + R) HcrryfheHa
lf(n)(x)l :S Af.
Pa3BOjM y MrumopeHoB pe-A: OCHOBHMX eJieMeHTapHMX cpyHKIJ:_Mja.
Ha )IaJLc, Hana)IHMa pa3najc y MaKJiopcnan pc.n; ocHommx cncMcH
TapHHx ¢YHKUHja ex, sinx, casx, (1 + x)u: (o-: E R) H ln (1 + x).
IlpHTOM Tpe6a Har.'IaCHTH ,n;a cy H CB8 OCTaJie 8JICMCHTapHe cpyHKIJ;Hje
aHaJIHTHCIK8 Ha a.IJ;I'OBapajyfiHM aTBapeHHM llHT8pBaJIH::VIa KajH IIpHIIa)Iajy
AHAJII13A II 3A HH<I?OPMATH"Y:APE 67
IMIXOBHM o6JiaCTHMa ,n;eqmHHCaHOCTH.
1. Pa3aoj y Ma'/'W'l,opeuoa peo rjyuKv,uje e:=
Kao mTo je rro3HaTo, oBa cpyHKo;:aja je 6ecKoHa'-IHO ,n;:acflepeHo;:aja6:aJIHa
Ha D;8JIOj peaJIHOj OCR ( -oo, +oo), a Ha CBaKOM HHT8pBaJiy (-a, a) (a > 0)
3a,n;oBoJLaBa ycJIOB [j(nl(x)[ =ex< ea (n = 0, 1, 2, ... ). CTora Ha rrpoH3BOJL
HOM HHT8pBaJiy (-a, a), a THM8 H Ha IJ;8JIOj peaJIHOj OCH ( -00, +oo) Ba)Kll
pa3BOj
(1) ()() xn x2
ex = '""" - = 1 + x + - + · · · ~ n! 2! n=O
Ocmvr Tora, rroKa3yje ce ,n;a je rroJiyrrpeLIHHK KOHBepreHrrHje ropiDer CTe
rreHor pe,n;a R = oo.
2. Pa3aoj y MaKAopeuoa peo rjyuKv,uje sin x
I1 OBa cpyHKIJ;Hja je 6eCKOHaLIHO ,n;mpepeHIJ;Hja6HJIHa Ha II8JIOj peaJIHOj
ocH ( -x, +oo). Oc:aM Tor a, Ta,n;a 3a CBaKo n = 0, 1, 2, ... 11 cBe Bpe,n;HOCTH
x E ( -oo, +x) naJ-KH
j(sinx)(n)j =I sin (x + n;) I:::; 1,
rra je cpyHKu;Hja f(x) Ha ocHoBy Teope1vre 17 aHaJIMTI1LIKa Ha o;eJioj peaJrHoj
rrpaBoj ( -oo, +oc). KaKo je ,n;aJLe
( ) mr { 0. n = 0. 2. 4 .... fn(O)=sin2= (~1)(n+l)/2,' ,n=L3,5, ...
,n;o6M:j arvro ,n;a j e
(2) oo x2n+l x 3 x 5 _ ...
sinx = L(-1)n (2n + 1)! = x- 3T + 5! · n=O
lloKa3yje ce .n:a je rroJiyrrpeLIHHK KOHBepreHu;:aje .n:o6M:jeHor pe,n;a TaKol)e
R=oo.
3. Pa3aoj y JllfaK.IWpeuoe peo rjyux;v,uje cos x
Ha rroTrryHo c.rmLiaH HaLIMH, ,n;o6M:ja ce ,n;a je
(3) 2 ') 4 cc X n x- x
cosx = I)-1)n (2n)! = 1- 2T + 4T- ... n=O
68 AHAJII13A II 3A I1H<:POPMA TI1"4APE
H ,n;a je rroJiyrrpe"tiHHK KOHBepreHII.Hje ,n;o6HjeHor pe,n;a TaKo!)e je,n;HaK R = oo.
4. Pa3eoj y Ma1\,./l,ope'HOB peiJ ¢Y'H?CV,uje (1 + x)a (o: E R)
Ko,n; cpyHKII.Hje OBaKBOI' o6JIHKa yBeK neMo rrpeTIIOCTaBJhaTH ,n;a je X > -1.
KaKo je OBaKBa cpyHKUMja 6ecKoHa'IHO ,n;HcpepeauHja6HnHa 3a x > -1, H
3a CBaKO n = 0, 1, 2, ... Ba;.KH
f(n)(x) = a(o: -1) · · · (o:- n + 1)(1 + x)a-n,
aerrocpe,n;Ho cJie,n;H ,n;a j e
J(n)(O) = o:(o:- 1) .. · (o:- n + 1).
AKo 3a rrporr3BOJhaH 6poj k = 0, 1, 2, ... 11 peaJiaH 6poj a yBe,n;eMo T3B.
6U'I·W.M'He '/Coerfmv,uje'Hme (~) ca
(a) = a( a - 1) · · · (a - k + 1) k k! '
Ta,IJ;a. MOIK8MO ,n;a H3IIHIII8MO ,n;a j e
Jln)(Q) = (~)
CTora o,n;roBapajynH MaKJiopeaoB pe,n; ¢yaKuHje f(x) rJiacH:
(4) f(x) = ~ (~)x" I1oKa3yje ce ,n;a. je rronyrrpe'-l:HRK KOHBepreaurrje pe,n;a (4) R = 1, 3aTrrM
rrpmvreHOM Teope~re 13 ,n;a 3a CBaKo x E (-1.1) ocTaTaK pe,n;a Rn(x) -+ 0
Ka,n;a n-+ oo, o,n;aK.Jie cne.nH .na je 11 oBa cpyHKurrja aaanrrTR'-l:Ka y RHTepBany
(-1,1).
Pe.n ( 4) Ha3rrBa ce jorn H 6u'HO.M'HU.M peiJo.M.
Harro.tvreHrrMo .na H3 oBor pa3Boj a noce6Ho 3a o: = -1 .no6HjaMo .na je
1 2 3 -- = 1-x+x -x + ... 1+x
(5)
a TaKo!)e .na 3aMeHOM x ca -x .n:o6HjaMo .n:a je
(6) 1 2 3 --=1+x+x +x + ... 1-x
(-l<x<1),
(-1<x<1).
AHAJU13A II 3A I1H1>0PMATI1'-IAPE 69
5. PaJeoj y Ma'K:Jwpe'Hoe pea ¢Y'H'K:'Uruje f(x) = ln (1 + x), x > -1
fla 6H pa3BHJIH y pe,ll_ IIOCMaTpaHy cpyHKUHjy, HCKOpHCTHD8MO li>8H
H3BO,Il; Tj. cJlYHKD;Hjy 1
J'(x)=1+x'
Koja ce 3a -1 < x < 1 Mome pa3BHTH y MaKJiopeHoB pe,IJ; Ha ocHoBy cpopMyJie
(5), a 3aTHM D8MO H3BpiiiHTH HHTerpaunjy TOr CT8II8HOr pe,IJ;a 'l:JiaH ITO 'l:JiaH.
Ha Taj Ha'l:HH ,IJ;o6:njaMo ,IJ;a je
1x dt rx o 1 + t = Jo (1 - t + t2 - t3 + ... ) dt,
TJ.
(7) x2 x3 00 n
ln (1 + x) = x- 2 + 3 _ ... = L(-1)(n+l):. n=l
I1oKa3yje ce ,IJ;a je noJiynpe'l:HHK KOHBepreHu:nje roplber cTeneHor pe.n;a
R = 1 H ,IJ;a oBaj pa3Boj Bam:n 3a cBaKo x E (-1, 1). TaKol)e ce Mome ,n:oKa3aTH
J(a OH BafKH H 3a Ta'l:KY X = 1, j ep BafKH j 8,L(HaKOCT
1 1 1 ln 2 = 1 - - + - - - + · · · .
2 3 4
CTora pa3Boj (7) Bamn 3a cBe Bpe.n;HOCTH x H3 HHTepBana ( -1, 1].
IIpRMepi-1. 1. <l>yHKIJ;Hjy 1/( 4- x) pa3BHneMo y cTeneHH pe,n: oKo Ta'l:Ke
Xo = 2: Tj. ITO CT8II8HHMa X - 2.
AKo CTaBHlv!O .n;a je x - 2 = u, Ta,n:a je x = 2 + u, o.n;aKne je
1 1 1 1 1 1 [ u u ,2 ] f(x) = 4- x = 4- (2 + u) = 2- u = 2 1- u/2 = 2 1 + 2 + ( 2) + ...
1 :r-2 (x-2) 2
=-+--+ +···. 2 22 23
rop!LH pa3BOj BaJKH aKO je
IX- 21 I -2 < 1,
TJ. 3a jx- 2i < 2: OJ(HOCHO 3a Bp8,Il;HOCTH X E (0, 4).
2. <l>yHKu;njy f(x) = l/(x2 - 3x + 2) pa3BHneMo y MaKnopeHoB pe,IJ;.
70 AHAJU13A II 3A MH<I?OPMATl'P-IAPE
KaKO je cpyHKUMja f(x) rrpocTa paUHOHaJIHa cpyHKUHja, aajrrpe neMO je
pa3JIOIKHTH y 36Hp 8JI8M8HTapHHX pa3JIOMaKa. C 063HpOM ,n;a je x 2 - 3X + 2 = (x- 1)(x- 2), IIOCMaTpaHa cpyHKUHja HMa CHHryJiapHT8T8 y TaqKaMa 1 I1 2,
KOje cy Ib8HH IIpOCTll CHHryJiapHT8TH, ITa Ce j(x) MOIKe HaiiHCaTH y o6mmy
a b f( x) = -- + ---=--1'
X- 2 X
3a H3B8CH8 peaJIHe KOHCTaHTe a H b H X=/= 1, 2.
:Vbj e.u:aaqaBaiDeM KoecpMUMj eHaTa JiaKo ce HaJia3M .n:a j e a = 1 11 b = -1,
o.n;aKJieje
(1)
(2)
1 1 1 1 1 f(x)= x-2- x-1 = 1-x -2G(~)"
flaJLe D8MO MMaTH .n;a j e
1 2 3 --=1+x+x +x +···, 1-x
1 x (x)2 (x)2 1- x/2 = 1 + 2 + 2 + 2 + ... '
rrpH 'ieMy pe,n: (1) KOHBeprMpa 3a lxl < 1, a pe,n: (2) KOHBeprMpa 3a lxl < 2.
CTora o6a pe,n:a (1) H (2) KOHBeprupajy 3a lxl < 1, rra ce 3a Te Bpe,n:aocTrr x
Mary o,zzy3eTrr. CTora je
1 f(x)= =(1+x+x2 +x3 +···)-x2- 3x + 2
1 [ X (X) 2 (X' 3 ] = 2n - 1 - 2 1 + 2 + ~ + 2) + · · · = L - xn. n=O
JlaKo ce noKa3yje ,n;a je noJiyrrpeqarrK KOHBepreHUHje ropiDer pe,n;a je,n;
HaK 1, rra je ropiLH pe,n: ancoJiyTHO KOHBepreHTaH 3a lxl < 1. 0
IV. q,ypvrjeoBvr pe,n:,oBvr
1. Tpl1TOHOMeTpvrj CKVJ: pen:oBvr
IIo,n:ceTrrMo aajrrpe ,n;a ce cpyHKUMj a f(x) ,n:ecpuaHcaaa a a H8KOM cKyrry
D peaJ"IHe OCe Ha3HBa nepUOO'U"-i'HOJv£ (y ,ll8CHO) Ha TOM CI\)'IIY aKO IIOCTOjll
6poj T > 0 TaKaB ,n;a 3a CBaKo x E D 6pojeBrr x ± T E D u rrpHTOM BaJKH
f(x ± T) = f(x).
AHAJII13A II 3A HH<I>OPMA TH'-IAPE 71
IIo3HTHBaH 6poj T Ha3HBa ce nepuoooM cpyHKUHje f(x). Kao mTo je
II03HaTO, CB8 OCHOBH8 TpHrOHOM8TpHj CK8 cJlYHKUHj 8 KaO IDTO cy sin X, COS X,
tg X H ctg X cy II8pHO,Z::(:H"tiH8 cJlYHKUHje.
flaJI.e HaBO):(:HMO ,n:a neMO no,n: mpUZO'HOMempujcr.;UM peOOM IIO,n;pa3yMe
BaTH npOH3BOJI.aH cJlYHKUHOHaJIHH pe,n; 06JIHKa
00
(1) a2o + L (an cos nx + bn sin nx)
n=l
cmjH cy KoecpHUHjeHTH ao, an, bn (n EN) rroTrryHo rrpoH3BOJI.HH peanHH 6po
jeBH. 0BH K08cJlHUHjeHTH Ha3HBajy Ce r.;oerjjuv,ujenmuMa OBOZ mpUZO'HOMempu
jcr.;oz peoa.
KaKo cy CBH "tiJiaHOBH pe.n:a ( 1) rrepHO,ZJ;H"tiHe cpyHKUHj e ca rrepHo.n:oM 2rr,
Ta,n:a aKO IIp8TIIOCTaBHMO ,n:a pe,n: ( 1) KOHBeprHpa 3a CBaKO X E ( -oo, +oo),
MO>Ke ce naKo BH,n;eTH .n:aje H IheroBa cyMa S(x) TaKol)e nepHo,n:H"tiHa cpyHKUHja
Ca rrepHO,n:OM 27r, Tj. Ba>KH
S(x + 2rr) = S(x) (-oo < x < +oc) .
.IIaJI.e neMO penH .n:a ce cpyHKUHja. f(x) (x E IR) MO>Ke pa3BHTH y TpHro
HOM8TpHjCKH pe,n; (1), aKO IIOCTOjH TpHrOHOM8TpHjCKH pe,n; o6JIM:Ka (1) KOjH
KOHBeprHpa Ha U8JIOj peaJIHOj OCH JR, H "tiHjH je 36Hp je,z::maK ,n:aTOj cJlYHKUHjH
f(x).
fla.JLe neMO ,n;ecpHHHCaTH IIOjaM OpTOrOHaJIHOCTH ,ZJ;B8 cpyHKUHje.
<i>yHKI.J;Hje j(x), g(x) KOje cy H8IIp8KH,ZJ;H8 Ha H8KOM HHT8pBaJiy [a,b] Ha3H
Bajy ce opmozonaA'HUM Ha HHTepBany [a, b], aKo Ba>KH
1b f(x)g(x) dx = 0.
Ha rrpHMep, cpyHKUHje f(x) = x H g(x) = x2 cy opToroHanHe Ha HHTep
Bany [-1,1], jep je
11
x · x 2 dx = 11
x 3 dx = 0. -1 -1
flaJLe D8MO penH ,n:a j e H3B8CTaH HI13 HenpCKH)::[HHX cJlYHKUHj a 'P1 (.T),
Y'2(x), ... Ha HHTepBan:y· [a, b] opmozo'Ha.!W'H 'Ha mo.Jvt unmepBaAy aKo je <.pn(x) 1:. 0 (n = 1, 2, ... ), H 3a rrpoH3BOJLHe m, n EN (m :F n) Ba>KH
[ 'Pm(x)yn(x) dx = 0.
72 AHAJ1113A II 3A llH<I>OPMATll"Y:APE
Ta.na ce Mo:rKe JiaKo B:a.neT:a .na Ba:rKH cJie.nena TeopeMa.
TEOPEMA 18. CucmeM mpuzonoMempujc'I'Cux ¢Y'H'I'CV,Uja 1, cosx, sinx,
cos2x, sin2x, ... je opmozona.!La'H na uumepea.!/,y [-11,11].
Oc:aM Tora, rrp:aMeHOM MeTo.ne JIHHeap:a3au:aje, H:aje TemKo B:a.neT:a .na
3a CBaKO n = 1, 2, ... Ba.tKH
i: cos2
nx dx = i: sin2
nx dx = 11.
2. <J?ypHjeoB pe,n; rrepHO,LJ;l-IqHe cpyHKI\Hje
ca rrepHO,IJ;OM 211
Y cJie.nenoj TeopeM:a rrpeTrrocTaBJLaMo .na ce H3BecHa rrep:ao.nwma cpyH
Ku:aj a j (X) Ca II8pHO)lOM 211 MO:rKe pa3BHTH y TpHrOHOM8TpHj CKH pe.n, H IIOKa-
3yjeMO KaKo ce Ta.na KoeqmUI-IjeHTH an (n = 0,1,2, ... )~ bn (n = 1,2, ... ) Tor
pe.na MOry I13paqyHaTH Ha OCHOBy Bp8)lHOCTI1 cpyHKUHje j(x).
TEOPEMA 19. A'i'Co 3a cea'I'Co x E IR eaJICu
00
(2) f ( x) = ~0 + L (an cos nx + bn sin nx) ~ n=l
u pea (2) ynu¢op.Mno r.;oneepzupa na unmepea.!/,y [-11, 11], maiJa eaJICe ¢opMyAe:
(3)
1 lrr an = - f (X) cos nx dx IT -rr
11-rr bn = - f ( x) sin n.T dx 7i' -rr
(n=0,1,2, ... ),
(n = 1,2, .. .).
1IOK3.3 CJI8,llH I13 rrpeTIIOCTaBKe ,lla )l3.TI1 cpyHKUI10H3.JIHI1 pe.n KOHBepr:apa
Ha HHTepBaJI:y· [-11, 11], o.naKJie 36or rrepvro.nwmocTvr cre.n:a .na yH:acpopMHO
KOHBeprvrpa 11 Ha U8JIOj peaJIHOj OCH, 3aTHM MHO:rK8EL8M CBHX t.IJiaHOBa pe.na
aajrrpe ca cosmx (m = 0,1,2, ... ) a 33.THM ca sinmx (m = 1,2, ... ), :a Haj3a.ll
HHTerpauvrjOM Ha I1HT8pBaJiy [-IT, 11] IIpH qeMy Ce KOpHCTH 0C00I1Ha OpTOfO
HaJIHOCTH O,llfOBapaj-yfier H¥!33. cpyHKUHja.
fipeTIIOCT3.BI1MO ,ll3.JL8 ,lla je j(x) rrpOI13BOJbHa rrepMO,llHqHa cpyHKUHja Ca
rrepvro.noM 211 Koja je rrp:aTOM HHTerpa6HJIHa Ha HHTepBa_-rry [-IT, 1r]. Ta.na ce
AHAJI113A II 3A 11H<!>OPMATML.IAPE 73
TpMrOHOMeTp:vrj CKM pe,n;
00
~0 + I: (an cos nx + bn sin nx) n=l
rrp:vr LieMy cy a.eroa:vr Koeqmn;:vrjeHTM an (n = 0, 1, 2 ... ), bn (n = 1, 2, ... ) ,n;ecfJ:vrH
t-rcamr cpopMyJiaMa (3), Ha3HBa iJ>ypujeoeuM peaoM ¢y'H:l'Gu,uje f(x), a KoecfJ:vrn;:vr
jeHTM an (n = 0, 1, 2, ... ), bn (n = 1, 2, ... ) Ha3:vraajy ce <Pypujeoeu.Jvt 'l'Goe¢uu,u
je'HmUMa ¢Y'H'l'GU,Uje f(x).
ilpMTOM Tpe6a HarJiaCMTM ,n;a C8 y OIIillT8M CJiyLiajy He MO/Ke CBaKa
rrepMO,UM'IHa, MHTerpa6MJIHa cfJYHKD;Mja Ha MHT8pBaJiy [-71, 71] pa3BMTM y <lJy
p:vrjeon pc,n;, TaKo .n.a He MoJKeMo .n.a Harr:vrmeMo .n.a je cyMa owoaapajyner
pe.n.a je,n;HaKa f(x). CTora 3a KopecrroH,n;eHn;:vrjy M3Mel)y cfJYHKn;:vrje f(x) :vr
O,U!OBapajyfier <!JypMjeOBO! pe,n;a cf.lyHKD;Mje 06M'IHO KOpMCTMMO 03HaKy:
00
(4) ao ' f ( x) "" 2 + L....., (an cos nx + bn sin nx). n=l
I1 pCTfiOCT3BMMO ,n;a.JLe ,n;a j C M3BCCH8. peamra c±Jym;n;:vrj a j (X) ,n;ecfJHHMCaHa
:vr HHTerpa6:vrJIHa ca:Yro Ha HHTepaaJiy [-71,71]. Ta.n.a TaKol)e MOIKeMo ,n;a rroc
MaTpaMo <!Jop~mpaMo owoaapajynM <!>ypt-rjeoa pe.n. oae cj:lyHKn;t-rje, jep cy a.e
roat-r Koeqmn;:vrjeHTM O,Upel)eHM Bp8)lHOCTMMa T8 cpyHKIJ;Mje CaMO y HHT8pBaJiy
[-71,71]. Oc:vrM Tora, TaKol)e :rvroJKeMo ,n;a H3Bpm:vrMo rrpo,n;yJKaaaH>e cj:lyHKn;t-rje f(x)
ca MHTepaaJia [-71, 11] Ha n;eJiy peaJIHy ocy TaKo ,n;a ,n;o6:vrjeHa cj:lyHKu;:vrja F(x)
6y,n;e rrept-ro,n::vrLIHa ca rrepvro,n:oM 271. ITpt-rTOM he ce <llyp:vrjeoa:vr pe,n;os:vr rpyHK
n;:vrja .f(x) :vr F(x) oLI:vrrJie,n:Ho rroKJiarraT:vr, jep cy o,n;roaapajyn:vr Koecj:l:vrn;:vrjeHTH
an, bn o,n;pc})cHM CClMO DIJC,ll.HOCTMMa TMX <flyHKD;Mja Ha MHT8pBaJiy [-71, 71], a
Ha TOM MHTepaaJiy je F(x) = j(x).
CTora rro.n: M3pa3oM "pa3BHTM y <!>ypt-rjeoa pe.n: cj:lyHKn;:vrjy f(x) 3a,n:aTy Ha
MHTepaaJiy [-71.11] rro,n;pa3y).-reaaMo 3arrpaao pa3aoj y <!>yp:vrjeoa pe.n: cj:lyHKn;:vrje
F(x).
Oa,n;c Tpc6a HarJiac:vrT:vr ,n;a TaKo ,n;o6:vrjeua ¢YHKn;:vrja F(x) o6:vrLIHO HeMa
je,.U:MHCTB8H)-' Bpe,n:HOCT y Ta'IKaMa X = ±71, ±371, ±571 .. ·: jep je y OIIillT8M
CJiyLiajy f( 71) =f. f( -71). AJIM TO yorrmTc rrc yTW·Ie Ha npc,n;HOCT o,n;ronapa.jyti.cr
pe,n;a cp yuKu;Mj e.
3. HeKH ,n;oBOJLHH ycJIOBR 3a pa3Boj y ci>ypHjeoB pe,n;
74 AHAJII13A II 3A HH<POPMA THLIAPE
HarroMeHITMO ,n;aJUe ,n;a ce cpyHKUrrja f(x) Ha3HBa aeo no aeo MO'HOffiO'HOJvf,
Ha ITHTepBaJiy [a, b] aKO ce Taj ITHTepBaJI KOp:am:l'ieH:.eM lf3B8CHOr HIT3a TaqaKa
a < X1 < X2 < · · · < Xn-1 < b MO:tKe pa3JIO:tKITTIT Ha IIO,n;ITHTepBaJie (a, xl),
(Xl,X2), ... ,(Xn-l:b) TaKO ,n;a je Ha CBaKOM O.I\ THX ITO,n;ITHTepaaJia clJYHKUITja
f(x) MOHOToHa, Tj. HepacTyna rrnrr Heorra,n;ajyna.
TaKO j e Ha ITprrMep clJYHKUITj e j (X) = x 2 ,n;eo ITO .n;eo MOHOTOHa Ha U8JIOj
peaJIHOj OCIT JR., a clJYHKUITja j(x) =COS X ,n;eo ITO ,n;eo MOHOTOHa Ha ITHTepaany
[-7r, 7r].
y
b =X,. X
CJJ. 2.2
Tio3HaTo je .n;a aKo je cpyHKUrrja f(x) .n;eo ITO .n;eo MOHOTOHa H orpaHrrqeHa
Ha HeKOM ITHTepBaJiy [a, b], Ta,IJ.a OHa Ha TOM lfHTCpBaJiy MO:tKe ITMaTH Ca}.-W
ITpeKrr.n;e ITpae apcTe, Tj. aKo je c E [a, b] 6rrno Koja H:.eHa TaqKa ITpeKrr,n;a,
Ta,n:a ITOCTOje je,n;HOCTpaHe rpaHrrqHe Bpe,LI;HOCTIT
f(c- 0) = lim f(x), X-->C x<c
f ( c + 0) = lim f ( x). X-->C x>c
Cne.n;ena TeopeMa Ha3rraa ce Jlupx.!LeoeoM meopeMoM.
TEOPEMA 20. A?i:o je f(x) nepUOOU't'Ha rPY'H'X;U,Uja ca nepuoOOM 2rr, aeo
no Oeo .lvto'HOffiO'Ha U Ozpa'HU'te'Ha 'Ha U'Hmepea.!Ly [-rr, rr], rnaaa '/tJe'H ifJypujeOB peO
'X;O'Heepzupa y cea'X;oj ma't'X;'U moz unmepea.!La. 36up oozoeapajynez !fJypujeoaoz
pea a 00
ao ~ . S ( x) = 2 + L....., (an cos nx + bn sm nx)
n=l
ucny7baea C.!Leael'ie yc.!Loae:
AHAJIM3A II 3A MH<I?OPMATM"Y:APE 75
(a) S(x) = f(x) mw je x E (-IT, IT) u rfiyxx:u,uja f(x) je xenpex:uoxa y ma'ix:u
x;
(6) S(x) = ~ [f(x + 0) + f(x- 0)] ax:o je x E (-IT, IT) u x je ma'ix:a npex:uoa
rfiyxx:u,uje f(x); 1
(u) S( -IT)= S(IT) = 2 [!(-IT+ 0) +!(IT- 0)].
4. cl>ypHjeOB pa3BOj rrapHHX VI H8IIapHHX cpyHKIJ;Hja
ITo,n:ceTuMo ,n:a ce cpyHKUHja f(x) Koja je ,n:ecpuHHCaHa Ha HeKOM UHTep
BaJiy [-l, l] (l > 0) Ha3HBa nap'HOM Ha TOM llHT8pBaJiy aKO Baffill f( -x) -_ j(x)
3a CBaKO X E [-l,lj. Kao mTo je ,n:o6po rro3HaTo, rpacpHK rrapHe cpyHKuuje je CHMeTpu-qaH y
o,n:Hocy Ha ocy Oy.
fla.Jbe IIO,UC8Tll~v10 ,n:a Ce cjlyHKUHja j(x) ,n:ecpHHUCaHa Ha H8KOM HHT8pBaJiy
[-l, l] Ha3UBa 'Henap'HOM Ha TOM llHT8pBaJiy aKO 3a CBaKO X E [-l, l] BaffiH
.f( -x) =- f(x).
rpacjluK H8IIapHe cpyHKU:Uje je CUM8Tpll1::£aH y O,l(HOCJ' Ha KOOp,UHHaTHH
II01::£8TaK, Tj. y O,l(HOCJ' Ha Ta1::£KY 0.
ITpeTrrocTaBuMo ,n:a.lbe ,n:a je cpyHKuuja. f(x) nap1-w Ha MHTepBaJiy [-IT, IT],
H ,n:a 3a,n:oBo.i'LaBa ycJioBe TeopeMe 20. KaKo je rrpou3Bo,n: ,n:Be rrapHe cpyHKUMje
TaKol)c rrapaa cpyrrKUMja, MMahcMo .n:a jc 3a cBaKo n = 0, 1, 2, ... f(x) cos nx
Ta.Kol)e HapHa ciJYHKI(Uja Ha IIOCMaTpaHOM l1HT8pBaJiy, rra 3a CBaKO n = 0, 1, 2,
... Baffill .J e,n:HaKOCT
an = ~ f ( x) cos nx dx = - f ( x) cos nx dx. ' !7T 211r II -IT IT 0
OcMM Tora. KaKo je rrpoH3Bo,n: je,n:He rrapHe 11 je,n:He HerrapHe cpyHKUMje
Herrapaa rpyHKUMja Ha IIOCMaTpaHOM l1HT8pBaJiy, HManeMO ,n:a je 3a CBaKO
n = 1, 2, ... HcrryiLeHo:
1 j1r bn = = f ( x) sin nx dx = 0.
II -7r
CTora <l>yp11j eoB pe.n: rrapae ¢YHKUMj e ca,n:pac11 caMo Kocvmyce, Tj. BaffiH
J8,l(HaKOCT ex::
ao ""' f(x)"" 2 +~an cosnx. n=l
76 AHAJU13A II 3A I1H<I:>OPMATI1"llAPE
lla.JI>e rrpeTrrocTaBI-IMO ,n;a je cpyHKI(Hja f(x) nenapna Ha HHTepBaJiy [-7r, 7r], H ,n;a 3a,n;oBoJbaBa ycJioBe TeopeMe 20. Ta,n;a je 3a cBaKo n = 0, 1, 2, ...
f(x) cos nx HerrapHa cpyHKI(Hja, a 3a cBaKo n = 1, 2, ... f(x) sin nx rrapHa cpyHK
I(Hja Ha rrocMaTpaHoM HHTepBaJiy. CTora je
1 j7T an = - f ( x) cos nx dx = 0 7l" -71"
(n=0,1,2 ... ),
1 j7T 2171" bn = - f ( x) sin nx dx = - f ( x) sin nx dx 7l" -71" 7l" 0
(n = 1, 2, ... ).
CTora o,n;roBapajynH <I:>ypHjeoB pe,n; TaKBe cpyHKI(nje ca,n;pJKH caMo cn
Hyce, Tj. MOIK8MO ,n;a HaiiHill8MO ,n;a j e
00
f ( x) "' 2::= bn sin nx. n=l
3BHPKA 3A.IIATAKA 1
II or JiaBJLe 1
HEOliPEnEHM HHTErP AJI
1. p a3HH THITOBH HHTerpaJia
Ko,n; H3pac.ryHaBaFba Heo,n;pel)eHHx HHTerpana Bpno c.recTo KopHCTHne:tvro
TaK03BaHe Ta6JIHLIH8 HHTerpaJie, Tj. HHTerpane OCHOBHHX 8JI8M8HTapHI1X
<flyHKUHja.
3Al[A TAK 1. lf:3pa"-1.y'Hamu Heodpe{je'Hu U'Hmezpa.!l. j (ax+ b )P dx (p E
R; a-=/= 0).
Perne&e. AKo yBe,n;e:tvro CMeHy ax+ b = t, ,n;o611ja:tvro .n:a je a dx = dt, rra
3aM8HOM CJI8.ZJ:l1 .n:a je
(ax -r- b)· dx = tP-;; = ~ tP dt = ~ p+l + C, P-:/= -1 J 1 V J dt 1 J { l tP+!
a:lnltl+C, p=-1
CTora je
J { (ax+b)P
(ax+ b)P dx = (p+l)a + C, ln lax+bl
· a +C,
p-:/= -1 0
p = -1
J d.T 3A.ITATAK 2. J13pa'L/,yHamu 1mmezpa.11. x
2 _
1.
Perne&e. KaKo je 3a x =/= ±1:
1 1 1 1 x 2 - 1 (x-1)(x+1) 2(x- 1) 2(x + 1)'
2 3B11PKA 3A.llATAKA
,.uo6lijaMo ,.ua je 3a x =I= ±1:
J dx 1 1 1 I x - 1 I 2
= - ln lx - 11 - - ln I x + 11 + C = - ln -- + C. x -1 2 2 2 x+1
1 KaKo j e cpyHKUlij a f ( x) = 2 1
,.uecpliHliCaHa Ha YHlij li liHTepBaJia (-oo, X -
-1), (-1,1), (1,+oo), KOHCTaHTa C liMa Tpli IIOTIIYHO H83aBliCH8 Bp8,IUIOCTli
Cl, c2' c3 Ha OBliM liHTepBaJiliMa. 0
3A.IIA TAK 3. H3pa"-ty1-wmu Heoopeije'Hu u'Hmezpa.11,
j ___ ') ,d~ __ , _ (a =I= 0) .
Perne&e. HaBO,Ul1MO caMo yrryTCTBO 3a pemaBarue OBor 3a,n;aTKa. 06-
JiliK pemeiLa OBOr 3a,UaTKa ,Ulip8KTHO ne 3aBliCliTli O,U IIplipO,n;e HyJia KBa,UpaT
HOr li3pa3a ax2 + bx +c. KaKo je
2 4ac- b2
ax + bx + c = a(x + b/2a) 2 + ---4a
pa3JIHKOBaneMo cJiyqaj eBe Ka,n;a je b2 = 4ac, b2 < 4ac li b2 > 4ac.
1. AKO je b2 = 4ac YBO,UHMO CMeHy X+ bj2a = t, '!liMe OBaJ liHTerpaJI r dt 1 CBO,UHMO HR. li3paqyHaBa&e HHTerpaJia THIIa J t 2 = - t + C.
2. AKo j e b2 < 4ac, yBO,UliMO crvreHy
x + _!:_ _ V 4ac - b2 2a- 2 t a '
qliM8 OBaj HHTerpaJI CBO,UHMO Ha l13pa'-IyHaBarue HHTerpaJia Tliiia
J dt t2 + 1 = arctg t + C.
3. Haj3a,n;, aKo je b2 > 4ac, yBO,UliMO CMeHy
b x+ 2a =
vb2- 4ac t, 2a
qliMC OBaj liHTCrpaJI CBO,Ul11\W Ha li3paqyHaBaiLC liHTCrpaJia THIIa
/~ = ~lnJx-11 +C. t 2 - 1 2 X+ 1
3BI1PKA 3A.llA TAKA 3
3A1IA TAK 4. L[or;;a3amu oa je
(1) J xlxl lxl dx = -2- +C.
Pemeii:>e. Je,n:HaKoCT (1) cne,n:M M Herrocpe,n:Ho I13 3a,n:aTKa .... y KOMe je
,n:oKa3aHo ,n:a je q>yHKUI1ja. x lxl ,D:Mq>epeHUI1ja6HJIHa y 6I1JIO Kojoj Ta'IKH x E R,
H ,n:a je fu8H H3BO,U je,D:HaK lxl. I1rraK DeMO ,UaTI1 I1 ,D:Hp8KTaH ,UOKa3.
3a ape,UHOCTI1 x ~ 0 I1MaMO ,n:a je lxl = x rra je
J lxl dx = J x dx = ~2
+C.
3a Bpe,n:HOCTH x :::; 0 I1MaMo ,n:a je lxl = -x rra je
J lx I dx = J ( -x) dx = - ~2
+ C.
CTora y CBaKOM cny-qaj y BCDKI1 j e,n:HaKOCT ( 1). 0
3A1IA TAK 5. }f:Jpa"t,yrwmu Heoope{Jerm uHmezpaA
J { 11 + xI - 11 - xI } dx.
Peme:a.e. Ha ocHoBy rrpeTxo,n:Hor 3a,n:aTKa HMaMo ,n:a je:
J { 11 + xI - 11 - xI} dx = J 11 + xI dx - J 11 - xI dx =
= J 11 + xI dx + J 11 - xI d( 1 - x) =
=(1+x)l1+xl+(1-x)l1-xi+C. 0 2 2
3ALL.:\.TAK 6. AKo je J f(x) dx = F(x) + C, OO'/Ca3amu oa je 3a 6u./I.O
Koje a =I= 0:
J f(ax +b) dx =} F(ax +b)+ C.
Peme:a.e. AKo yae,n:eMo c:rvreHy ax+ b = t, Tj. x = (t- b)/a, ,n:o6Hja?viO
,u:a je d.T = dt/ a o,u:aKne je:
J !(ax+ b) dx = J j(t) dt = ~ J f(t) dt = ~ F(t) + C = ~ F(ax +b)+ C. 0 a a a a
4 3BHPKA 3ALIA TAKA
3AliATAK 7. I13pa"iynamu neoope(Je'Hu unmezpa.IL J e-lxl dx.
Pemellie. AKo j e x 2 0 HManeMo .na j e
J e-lxl dx = J e-x dx =-e-x+ cl,
,IlOK je 3a X :S 0: J e-lxl dx = J ex dx =ex + c2.
KaKo je rrpHMHTMBHa cj:>yHKUHja F(x) cf:>:YHKUHje f(x) = e-lxl HerrpeKM,nHa
3a CBaKo X E R, HManeMO .na je y TaLIKH X= 0: -1 + cl = 1 + c2. O,naB,ne je
C2 = C1 - 2, rra je Haj3a,n
J e-lxl dx = { -e-x+ C, ex- 2 + C,
IIpH Lie My j 8 C IIpOH3BOJLHa KOHCTaHTa. 0
3A1IA TAK 8. H3pa"iynamu unmezpa.!Le
x20
X :S 0'
(a) j tg x dx; (6) j ctg x dx; (u) j th x dx; (.n) j cth x dx.
Pemellie. (a) I1ManeMo ,na je 3a 6MJio Koje x =!=- k1i + 7i/2 (k E Z) HCIIYILCHO
J J sin x J d cos x tg x dx = -- dx = - = -ln I cos xi+ C.
cosx cosx
KaKo je rrpHTOM rro,nHHTerpaJIHa cj:>yHKUHja f(x) = tg x .necj:>MHHCaHa Ha
ymijM MHTepBaJia o6m1Ka (krr + 1i /2, (k + l)7i + 1i /2) (k E Z), KOHCTaHTa C tie
Ha CBaKOM o.n TMX HHT8pBaJra rrorrpnMaTH He3aBHCHy Bpe,nHOCT ck (k E Z). (6) CJIMLIHO, 3a 6HJIO Koje x =/=- krr (k E Z) HMaMo .na je
J J cos x j d sin x ctg x dx = -.- dx = . = ln I sin xi+ C.
Slll X Slll X
Tio,n:vmTerpaJIHa cj:>yHKUMja j(x) = ctg X je ,necj:>HHHCaHa Ha YHMjH HHTep
BaJia o6JIHKa (krr, (k + 1)7r) (k E Z), rra ne KOHCTaHTa c Ha CBaKOM on: TMX
MHTepBaJia rrorrpHMaTH He3aBMCHY Bpe,nHOCT ck (k E Z). (u) .llaJLe je
J J sh x ;· dch x th x dx = ch x dx = ch x = ln ( ch x) + C,
3EI1PKA 3AliATAKA 5
M oao BaiKH Ha :o:eJioj peaJIHOj rrpaaoj R. Cn:) <i>yHK:O:Mja f(x) = cth x je .n;eqmHHCaHa 3a CBaKo x i- 0, rra Je 3a
Bpe.n;HOCTH X=/= 0 HCITymeHO:
J J ch x J dsh x cth x dx = sh x dx = sh x = ln ish xi+ C.
KoHcTaHra C y3HMa je.n;Hy Bpe.n;Hocr Ha HHTepBaJiy ( -x, 0), a .n;pyry
Ha HHTepBaJiy (0, +oo). D
3A1IA TAK 9. J13pa"iy'Hamu U'Hmezpa.!Le
(a) j sinn x cos x dx; (6) j cosn x sin x dx (n EN).
PemeH>e. M:tvraneMo .n;a je
I = j sin n x cos x dx = j sin n x d sin x,
H CM8HOM sin X= t,
I = tn dt = -- + C = + C. J tn+l (sinx)n+l
n+l n+l
CJiwmo HaJia3HMO .n;a j e
J (cosx)n+l
COS n X sin X dx = - + C n+l
(n EN). D
3A1IA TAK 10. Hapa"iy'Hamu c.!Ledene u'Hmezpa.11.e:
(a) j sin 2 ax dx (ai-0); (6) j cos2 axdx (a=!= 0);
( :o:) j sin ax sin /Jx dx (a i- ±;3); (.n:) j cos ax cos {3x dx (a i- ±!1);
(e) / sin ru cos f] x dx (a i- ±/3).
PemeH>e. Ko.n; CBHX OBHX 3a.n;araKa rrpHMeiLyje ce rrocryrraK CffHJKaBa&a
crerreHa rro.n;HHTerpa;rHe ¢YHK:O:Hje, rj. Herrocpe.n;Ha rrpHMeHa a.n;H:O:HOHHX I1
.n;pyrHX I1.II;8HTW:IHOCTI1 Koje BaJKe 3a OCHOBHe Tpi1rOHOM8Tpi1jCK8 ciJYHK:O:Hje.
(a) I1ManeMo .n;a je 3a a f. 0:
J . 2 . _ J 1 - cos 2ax d _ ;· dx J cos 2o:x d _ Sin OX d.T -
2 .X - 2 -
2 X -
= :_ _ sin2ax +C. 2 4a.
6 3BMPKA 3A1IATAKA
(6) KopHrnneiLeM rrpeTxo,n:Hor .H:HTerpaJia, HaJia3.H:MO ,n:a je:
J cos2 ax dx = J ( 1 - sin 2 ax) dx = x - J sin 2 ax dx =
= x _ ( :_ _ sin 2ax) = :_ + sin 2ax + C. 2 4a 2 4a
(n:) liaJLe je 3a a =f. ±{3:
J . . {3 J cos( a- (3)x- cos( a+ (3)x d sm ax sm x =
2 x =
= J cos( a 2- {3)x dx _ J cos( a+ (3)x dx =
_ sin(a-(3)x _ sin(a+f3)x +C - 2(a-(3) 2(a+f3) ·
(,n:) CJiwmo je 3a a f ±{3:
j . (3 d j cos(a + (3)x +cos( a- (3)x d COS ax COS X X = X =
2
= J cos(o: 2+ (3)x dx + J cos(o:- (3)x dx =
sin(a+{3)x sin(a-(3)x C = + + .
2(o:+f3) 2(o:-{3)
(e) Haj3a,n: .H:MaMO ,n:a je 3a a =f. ±(3:
J. (3d jsin(o:+f3)x+sin(o:-!3)xd Slll ax COS X X =
2 X =
= J sin( a 2+ (3)x dx + J sin(o:- {3)x dx =
=_cos( a+ {3)x _ cos( a- (3)x + C 0 2(o: + (3) 2(a- (3) ·
3AllA TAK 11. Jhpa"iy'Ham.u C.JLeiJe fie U'Hm.ezpa.JLe:
(a) J sin3 x dx; (6) J cos3 x dx; (u) j sin4 x dx; (,n:) j cos4 x dx.
PemeH>e. (a) M:rvraneMo ,n:a je:
j sin 3 x dx = / sin 2 x sin x dx = - j ( 1 - cos 2 x) d cos x =
= - J ( 1 - t2) dt = J t2
dt - J dt =
t 3 cos3 x =- -t+C= -- -cosx+C.
3 3
dx.
3BMPKA 3A1IATAKA
( 6) CmrrcrHo j e:
j cos3 x dx = j cos2 x cos x dx = j ( 1 - sin 2 x) d sin x =
J t3
= ( 1 - t 2) dt = t - 3 + c =
sin3 x = sin x - -- + C.
3
(u;) lia.rr,e MMaMo .n;a je:
J . J . ') 2 J ( 1 - cos 2x) 2 sm 4 x dx = ( sm-) dx = 2
dx =
= J 1 - 2 cos 2x + cos2
2x dx =
J dx 1 J 1 J 1 + cos 4x = 4 - 2 cos 2x dx + 4 dx =
= :_ _ sin 2x + :_ + sin 4x + C = 4 4 8 32
= 3x _sin 2x --'- sin4x +C. 8 4 ' 32
(.n;) Haj3a.n;, MMa~w .n;a je:
J j. 2 j (1 + cos2x)2 cos4 x dx = (cos x) 2 dx = 2
dx =
= J 1 + 2 cos 2x + cos2
2x dx =
= J dx + ~ J cos 2x dx + ~ J 1 + cos 4
x dx = 4 2 4 2
_ :_ sin 2x :_ sin 4x C _ - 4 + 4 + 8 + 32 + -= 3x sin 2x sin 4x C
0 8 + 4 + 32 + .
7
3A1IA TAK T2. Jhpa"iyrwmu Heoopeljer-m uxmezpa.!L I = j max{ 1: x2}
PemeH>e. AKa je lxl ~ 1 HMaMo .n;a je max{L :r2} = L na je
j max{1,x2}dx= j 1·dx=x+Cl·
8 3BI1PKA 3AIIATAKA
.IlaJbe je 3a lxl > 1, max{1, x2} = x2, rra je
J max{1, x2} dx = J x 2
dx = ~3
+ c2.
ITpHTOM, KaKo je cKyrr Jxl > 1 cacTaBJLeH o,n: ,n:Ba HHTepBaJia ( -oo, -1)
H (1, +oo), KOHCTaHTa C2 HMa je,n:Hy Bpe,UHOCT 3a X< -1, a ,n:pyry Bpe,n:HOCT
3a x > 1.
KaKo je rrpHTOM rro;::r:HHTerpaJIHa ¢YHKUHja f(x) HerrpeKH,n:Ha, rrpHMH
THBHa ¢YHKUHja F(x) ,n:aTe cpyHKUHje je TaKol)e HerrpeKH,n:Ha, rra je y TaqKH
X= 1: 1 + cl = 1/3 + c2, o,n;aKJie je c2 = cl + 2/3. CJIHqHQ ,n;o6HjaMO ,n:a
je y Ta~H X= -1: -1 + cl = -~ + c2, o,n:aKJie je c2 = c1- 2/3. O,n:.aB,n:e
,n;o6HjaMo ,n:a je
{
x 3 /3 + 2/3 + C, x > 1
I = X + c, -1 ::; X ::; 1 )
x 3 /3-2/3 + C, x < -1 O,I\HOCHO:
lxl > 1 {
x 3 j3 + ~srrn x +C. I= 3 b .
x + C, lxl ::; 1
IIpH qeMy j 8 C IIpOH3BOJLHa KOHCTaHTa. 0
3All.A TAK 13. J]o'K'.aaamu aa je 'liCOOpefjeuu uumezpa.!L 6n.ILO 'K'.02 T/.0./l,U
'/iOMa cmeneua n u3eecmau no.JLuuoM cmeneua n + 1.
PemeH>e. YoqHMO rrpoH3BOJLaH IIOJIHHOM
P. ( ) n n-1 n X = ao X + a1 X + · · · + an (ao 1- 0)
CTerreHa n. Ta,n:a je:
J Pn(x) dx = J (aoxn + a1xn- 1 +···+an) dx =
= ao j xn dx + a1 j xn-l dx +···+an j dx =
xn+l xn = ao --· + a1- + · · · + anx + C =
n + 1 n = boxn+l --L- b1xn + · · · + b 1 n.,
rrpH qeMy je b0 = a0 /(n + 1) f. 0. CTora je OBaj HHTerpaJI IIOJIHHOM CTerreHa
n+l. 0
3Al(ATAK 14. H3pa"tyHarn.u ueoapdjeu·u uumezpa.JL
J x4
( x - 1) 1 oo dx ·
3BI1PKA 3A1IA TAKA
Pemmne. YBe.UHMO cMeHy x- 1 = t. Ta.ua je
J x4
dx = J (t + 1)4
dt = J t 4 + 4t3 + 6t
2 + 4t + 1 dt = (x _ 1)100 tlOO t100
= j (r96 + 4r97 + 6r9s + 4r99 + clOo) dt =
1 4 6 4 1 =- 95t95 - 96t96 - 97t97 - 98t98- 99t99 + c =
1 4 6 95 (x- 1)98
4 98 (x- 1)98
96 (x- 1) 96 97 (x- 1)97
1 99 (x- 1)99 +C.
9
x4 KaKo j e rrpHT01-I cpyHKUHj a f ( x) = ( )lOO .uecpHHHCaHa y HHTepBaJI-
x-1 HMa ( -CXJ, 1), (1, +oo), KOHCTaHTa C HMane He3aBHCHe Bp8,llHOCTH C1 H C2 .Y
THlvi HHTepBaJIHMa. D
3A1IA TAK 15. 113pa"iy'rwmu c.~~.eoefie neoopefjene unmezpa.11.e:
(a) j Jx2 + 9dx; (6) j )x2 - 4dx; (u) j )10- x 2 dx;
J ~ J ~ J ~ (.u) vx2 + 6; (e) V3- x2 ; (¢) -~-
YnyTCTBO. Y cJiyqajy (a) Tpe6a yBeCTH cMeHy x = 3 t H ucKopHc
THTH Ta6JIH'IHH HHTerpaJI J Jt2+1 dt. CJIH'IaH je IIOCTyrraK H y rrpeOCTaJIHM
CJiyqaj eBHMa.
3A1IATAK 16. 113pa"iynamu C.!l.eOefie neoopeljene unmezpa.11.e:
(a) j )2x2 +4x+2dx; (6) j )x2 +x+1dx; (u;) j )x2+x-1dx;
'}'J J ~ J ~ (.u) 2-x-x2 dx: (e) J ; (<P) J ; x2 + x + 1 x2 + x - 1
(r) J dx . )2- x- x 2
YnyTCTBO. (-a) KaKo je 2x2 + 4x + 2 = 2(x2 + 2x + 1) = 2(x + 1) 2, CJie.UH
.I(a je V2x2 + 4.7: + 2 = J2ix + 11, rra Tpe6a yBeCTH CMeHy X+ 1 = t. CJIH'l:aH riOcTyrraK .uorryHe .uo KBa.upaTa H KopHmnea,a Ta6JIH'IHHX HH
TerpaJia KOpHCTH Ce H y rrpeOCTaJIHM CJiyqajeBHMa.
3A1IA TAK 17. Kop·uwfie·lbeM nap4UJa.!I.'He U'/iTne'C-pa4Uje, OO'X:a3amu oa ea:J~Cu:
10 3BMPKA 3A.IIATAKA
(a) J arc sin x dx = x arc sin x + J 1 - x 2 + C;
(6) j arc cos x dx = 1r2x - x arc sin x- Vl+x2 + C;
(u:) j arc tg x dx = x arc tg x- ~ ln (1 + x 2) + C;
J 11"X 1 (,n:) arc ctg x dx = T - x arc tg x + 2 ln ( 1 + x 2) + C.
3AllATAK 18. IIpuMerWM nap7J,uja.!/,'He U'Hmezpav,uje, OO'K,a3amu oa eaxe
C.!/,eoelie jeo'Ha'K,ocmu:
(a) J ar sh x dx = x ar sh x - J x 2 + 1 + C;
(6) Jar ch xdx = xar ch X- v'x2 -1 + C;
J 1 ') (u:) ar th xdx = xar th x + 21n (1- x-) + C;
(.n:) jar cth xdx = xar cth x- ~ ln (x2 -1) +C.
IIpMTOM y TaLJ:KM (6) no.n:pa3yMeBaMo .n:a ce pa.n;M o no3H:TMBHoj rpaHM
¢YHKUMje arch X.
2. l1HTerpa:o;I1:ja pa:o;HOHaJIHHX cpyHKI.J;Hja
Hajjc.IJ;HOCTaBHMjM MoryhM CJiyLJ:aj KOjM MOJKC .I(a CC rrojaBM KO.IJ; HHTC
rpauHje pauMoHaJIHe ¢YHKUMje jecTe c;ry-.:.raj .n:a oHa MMa caMo je.n;Hy je.n;MHY
CHHry;rapHy TaLJ:KY I13B8CHOr pe.n;a M .I(a je OHa peaJIHa. TaKaB CJiyLiaj MMaMO
y CJI8.I(8ll8M 3a.IJ;aTKy. Y TaKBOM CJiy-.:.rajy je 6o.Jbe npMM8Hl!ITI1. I13JIOJK8Hl!I M8TO.IJ;
Hero Me TO .I( pa3JiaraiLa TaKBe <lJYHKUMj e y 36Hp eJieMeHTapHMX pa3JIOMaKa.
J x4 + 1
3AllATAK 19. 11:Jpa"iy'Hamu U'Hmezpa.!/, (x _ 1)5 dx.
Peme!he. Y OBOM c;ry-.:.rajy Haj6oJLe je yBeCTM cMeHy x- 1 = t. Ta.n:a
Je:
x 4 + 1 (t + 1) 4 + 1 t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 2 ----:-dx- - -(X - 1) 5 - t5 - t 5 -
1 4 6 4 2 = t + t2 + t 3 + t4 + t 5 '
3BMPKA 3A1IATAKA
OJ.(aKJI8 HHTerpa:o;HjOM HaJia3HMO J.(a je:
J _x_4_+_1_ dx = ln It I - i - ~ - i ~ - _1 + C = (X - 1) 5 t t 2 3 t 3 2t4
4 3 4 = ln lx -11---- --x-1 (x-1)2 3(x- 1)3
1 - 2(x- 1)4 +C. 0
J x5 + 2x3 + 4
3AliATAK 20. Jf:Jpa"iy'Hamu U'HmezpM 2
dx. X -1
11
Pernea,e. KaKo je rroJ.(HHTerpaJma cpyHK:o;vrja f(x) pa:o;HoHaJIHa aJivr Hvrje
rrpaBH pa3JIOMaK, Hajrrpe je IIOTp86HO H3Bpiiii1Uf J.(8Jb8Ib8 OBOX IIOJIHHOMa.
1Jeo60M THX ITOJIHHOMa HaJia3HMO J.(a je:
f ( x) = x3 + 3x + 3x + 4 x2 -1 (x f. ±1).
KaKO je J.(aJbe OCTaTaK rrpH OBOM J.(8JLefuy, Tj. pa:o;HOHaJIHa cpyHKIJ;Hja 3x+4
2 rrpaBH pa3JIOMaK I1 HMa J.(B8 peaJIH8 CHHryJiapHe Ta'IK8 ±1, Ha OCHOBY X -1 orrmTer cTaBa Ba:rKH pa3Jiara:Ehe:
3x +4 x 2 -1
3x + 4 a b ----=--+--
(x + 1)(x- 1) x + 1 x- 1'
3a H3BecHe peaJIHe 6pojeBe a 11 b. O.n:aB.n:e .n:o6HjaMo .n:a je
3x + 4 = a(x- 1) + b(x + 1),
o.n:aKJie je H3je.n:Ha"tJ:aBaELeM KoecpH:o;HjeHaTa, a+ b = 3 11 b- a= 4. ll3 OBor
CHCTeMa JIHHeapHHX je,n:Ha'IHHa HaJia3HMo .n:a je a= -1/2 11 b = 7/2. CTora
3a X f. ±1 Ba)KH HJ.(8HTM'IHOCT:
1 1 7 1 f(x) = x3 + 3x- 2 x + 1 + 2 x- 1.
I1HTerpa:o;HjoM Haj3aJ.( .n:o611ja::vro .n:a je
J x 4 3 1 7 I= f(x) dx = 4 + 2x2 -
21n lx + 11 +
21n lx- 11 +C.
KaKo je oBa cpyHK:o;Hja .n:ecfmHHCaHa Ha HHTepBaJlJ1::t .. m (-oc,-1), (-1,1), (1, +oo), KOHCTaHTa C rrorrprr;vra TpH He3am-rcHe Bpe,n:HOCTH C1,C2,C3 Ha OBH~<I
HHT8pBaJIHMa. 0
12 3BI1PKA 3A1IA TAKA
J x 3 + 1 3AB.ATAK 21. Jf3pa"iyHamu uxmezpM
3 2 6 dx.
X - 5x + X
x 3 + 1 Pemeir.e. KaKo rro,n;:r,mTerpaJIHa ¢YHKUHja f(x) = ( )(
3) HHJe
xx-2x-rrpaBH pa3JIOMaK, Hajrrpe j e IIOTpe6HO H3BpillHTH ,.U8Jh8H>8 HaBe,n;eHHX IIOJIH-
HOMa. KaKo je
( ) ( x3 - 5x2 + 6x) + ( 5x2
- 6x + 1) 5x2 - 6x + 1
fx= =1+ , x3 - 5x2 + 6x x3 - 5x2 + 6x
ll ,n;pyrH ca6HpaK je rrpaBH pa3JIOMaK, ,.UaJhH IIOCTJIIaK HaCTaB.lhaMO Ca OC
TaTKOM. KaKo rroJIHHOM x 3 - 5x2 + 6x = x(x- 2) (x- 3) HMa TpH rrpocTe HyJie
x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 3, Ha OCHOBJ OIIillTer CTaBa 3a IIpOH3BOJLHO X =j=. 0, 2, 3
BaJKH .J8,.UHaKOCT:
5x2 - 6x + 1 a b c -----=-+--+--
x3 - 5x2 + 6x x x - 2 x - 3 ·
0 .n:aB,n;e cJie.n:n ,.ua B aJKH:
5x2- 6x + 1 = a(x- 2)(x- 3) + bx(x- 3) + cx(x- 2) =
= a(x2- 5x + 6) + b(x2
- 3x) + c(x2- 2x) =
= (a+ b + c)x2 - (Sa+ 3b + 2c)x + 6a.
1·bje,UHaqaBaiLeM Koecfm.urrjeHaTa .n:o6HjaMo CHCTeM je.n:HaqHHa:
a+ b + c = 5, 5a + 3b + 2c = 6, 6a = 1,
H3 Kora HaJia3HMO .n:a je a = 1/6, b = -9/2 H c = 28/3. CTora 3a x =/=- 0, 2, 3 Ba.IKH j e.n:HaKOCT:
1 9 1 28 1 j (X) = 1 + 6x - 2 X - 2 + 3 X - 3 .
O.n:aB.n:e HHTerpa.urrjoM ,.uo6HjaMo ,.ua je
J 1 9 I = f ( x) dx = x + 6 ln I xI - 2 ln I x - 31 + C.
ITpHTOM KOHCTaHTa C rrorrpHMa 4 rroTrryHo He3aBHCHe Bpe.n:HOCTH y HH
TepBaJIHMa (-X, 0), (0, 2), (2, 3) ll (3, +oc) Ha KOjH~ra je .n:ecfJHHHCaHa IIO,llllH
TerpaJIHa ¢YHK.UHja .f(x). 0
J xdx 3Al(ATAK 22. li3pa"iy'H.amu uxmezpaJI. (x- 1)2 (x + 2' .
35MPKA 3A1IATAKA 13
Pemea,e. IIo.nJmTerpaJIHa cpyaKu:rrja f(x) = ( )~( ) je rrpaBM x-1 x+2
pa3JIOMaK HilMa CHHrynapHe Ta'IK8 X 1 = 1:rr x 2 = -2 pe,n:a 2 M 1 p8CII8KTHBHO.
CTora Ha ocaoBy orrmTer CTaBa 3a rrpo:rr3BOJbHO x ::/= 1; -2 BaJKH pa3Jiaraihe:
a b c j(x) = x- 1 + (x- 1)2 + x + 2.
},;feTo,n:oM Heo.n:pet)eH:rrx Koe¢:rru:rrjeHaTa HaJia3:rrMo .n:a je: a = 2/9, b =
1/3 11 c = -2/9. O.n:aB.n:e je 3a x ::/= 1; -2:
2 1 1 1 2 1 f(x)=9x-1 +3 (x-1)2 -9x+2'
:rr HHTerpau:rrj oM
f(x) dx = -ln lx -11- ---- -ln lx + 21 +C. J 2 1 1 2
9 3x-1 9
IIo.n::rraTerpanaa cpyaKu:rrja f(x) je .n:ecp:rrH:rrcaaa y :rraTepBaJI:rrMa ( -oo,
-2), ( -2, 1) M (1, +oo), rra KOHCTaHTa C IIOIIpHMa Ha THM HHT8pBaJIHMa H83a
BHCH8 Bpe,n:HOCTH. 0
J dx 3A1IA TAK 23. Ihpa"{y'Hamu unmezpM x 3 +
1 ·
Pemea,e. IIo.n::rrHTerpanHa cpyHKU:rrja f(x) je rrpaB:rr pa3JIOMaK :rr rrp:rrTOM
je x 3 + 1 = (x + 1)(x2 - x + 1), o,n:aKJie cne.n::rr .n:a pa3JiaraiLe aBe cpyHKu:rrje Ha
36:rrp 8JI8M8HTapHHX pa3JIOMaKa HMa 06JIHK:
f(x) = ~·< 1, 1
= _a . + bx + c X+ 1 -
MeTo.n:oM aeo.n:pet)eH:rrx Koecp:rru:rrjeaaTa .n:o6MjaMo c:rrcTeM je.n:aa'I:rrHa:
a+ b = 0, -a+ b + c = 0, a+ c = 0,
o.n:aKne je a= 1/3, b = -1/3 :vr c = 2/3. CTora je
!( ) _ 1 1 -x/3 + 2/3 X----+ ,
3 X+ 1 x 2 - X+ 1
11 HHTerpau:rrjo:tvr:
J 1 11 x-2 f ( x) dx = - ln I x + 11 - - ') dx. 3 3 x-- x + 1
14 3BHPKA 3AliA TAKA
KaKo j e ,n;aJne x- 2 _ (x- 1/2) - 3/2
x2 - x + 1 - (x- 1/2)2 + 3/4'
.n;o 6Hj aMo .n;a j e
J x- 2 dx _ J (x- 1/2) dx _ ~ J dx _ x2- x + 1 - (x- 1/2)2 + 3/4 2 (x- 1/2)2 + 3/4 -
1 J d[(x- 1/2)2 + 3/4] 3 J dx = 2 (x- 1/2)2 + 3/4 - 2 (x- 1/2)2 + 3/4 =
1 ;;; 2x- 1 = -ln ((x -1/2) 2 + 3/4)- v3arc tg n .
2 ' 3
CTora je:
J 1 1 2 ;;; 2x - 1 I= f(x) dx = 31n lx + 11- 61n (x - x + 1)- v 3 arc tg ~ +C.
KaKo je rro,n;HHTerpa;ma cflyHKU:Hja .n;e<fmHHCaHa y HHTepBaJII·iMa ( -:x>, -1) H ( -1, +:x> J, KOHCTaHTa C Y3HMa ,li;Be H83aBHCH8 Bpe,n;HOCTH y THM HHTep
BaJIHMa. D
J dx 3AJIA.TAK 24. J13pa"iy'l·tamu U'limezpM x 3 _
1.
PemeH:.e. KaKo j e x 3- 1 = ( x- 1) ( x2 + x + 1), rro,n;:aHTerpa;ma cf>YHKU:Hj a
j(x) je ,n;eqmHHCaHa 3a Bpe,n;HOCTH X =/=1, Tj. y HHTep:oaJIHMa X< 1 H X> 1.
YBol)ciLC1vi CMCHC x = -t .n;o6HjaMo .n;a je
J dx j -dt j dt x 3 - 1 = -t3 - 1 = t 3 + 1 ·
CTora je Ha ocHOBY rrpeTxo.n;Hor 3a.n;aTKa:
J dx 1 1 2 ;;; 2t - 1 3 = - ln It + 11 - -
2 ln ( t - t + 1) + v 3 arc tg v'3 + C =
X - 1 3 3 1 1 -2x- 1
= -ln 1- x + 11- -2
ln (x2 + x + 1) + V3 arc tg ~ + C = 3 \ 1 1 2x + 1
= -ln lx- 11- -2
ln (x 2 + x + 1)- V3 arc tg ~ +C. D 3 ' 3
J x dx ( _) 3A.UATAK 25. J13pa"lY'Iiamu u'/imezpa.tt In = (
1 + x 2 )n n E N .
PemeH:.e. AKo je n = 1 HMaMo .n;a je
h = J X dx ~ J d.T2 1 1+x22 l+x2 =2ln(1+x
2)+C.
91 V>IVcL VITV£ V>Idl18£
16 3BI1PKA 3A.IIA TAKA
IIornantT.be 2
OllPE'BEHll l1HTErP AJI
3AliA TAK 1. Jf3pa"iyNamu odpefjeNu u'limezpa.JL la1
(x2- 2x + 3) dx.
PemeH>e. KaKo j e
J (x2- 2x + 3) dx = J x2
dx- 2 J x dx + 3 J dx =
x3 =-- x 2 + 3x + C 3 )
Ha ocHony fLyTH-Jiaj6mro;oBe cpopMync .n;o6wjaMo .n;a je
11 x311 1 1 1 7 (x2
- 2x + 3) dx = -3
- x21 + 3xl =-- 1 + 3 = -.
0 0 0 0 3 3
;
·1
3AliA TAK 2. I13pa"iy'liamu odpefjeNu U'/imezpa.JL _1
x ex dx.
PemeH>e. KaKo je rrpwMeHOM rrapu:wjaJIHe HHTerpauwje
J xex dx = J x dex = xex - J ex dx = xex - ex + C,
Ha ocHoBy fLyTH-Jiaj6mr-noBe cpopMyne .n;o6wjaMo .n;a. je
11 1 1
xex dx = xexl - exl = e- (-1)e- 1- (e- e- 1
) = -1 -1 -1
= 2e- 1 = 2/e. 0
0
3BMPKA 3AIIA TAKA
3AllA TAK 3. Jf3pa"iy'Hamu oopeije'HU U'Hmezpa.!L 12
x2 ln X dx.
Peme:a.e. I1ManeMo ,n:a je o,n:roBapajynH Heo,n:pel)eHH HHTerpaJI
x 2 ln x dx = - ln x dx3 = - - - dx = J 1 J x3
ln x 1 J x3 3 3 3 X
= x3
ln x _ ~ J x 2 dx = x3
ln x _ x3
+ C. 3 3 3 9
O,n:aB,n:e je Ha ocHoBy l-by-TH-J1aj6HHU:OBe cpopMyJie:
!2
2 _ x 3 ln x 12 x3 J2 Sln 2 7
x ln x dx - - - = -- - -. 1 3191 3 9
0
3All.A TAK 4. H3pa"iy'Hamu 'Heoopeije'He uHmezpa.JLe
(a) jrr x sinxdx; (6) frr x cosxdx. -rr Jo
Peme:a.e. (a) KaKo je
J X Sin X dx = - J X d COS X = -X COS X + J COS X dx =
= -x cosx + sinx + C,
Ha OCHOBY fLyTH-J1a.j6HHI."(OB8 cflOpMyJie CJI8,UH ,n:a je
l rr x sin x dx = - x cos x lrr + sin x lrr = -rr -rr -rr
= -n( -1) + ( -n)( -1) + 0- 0 = 2n.
(6) liaJLe je
o,n:aKJieje
J x cos x dx = j x d sin x = x sin x - J sin x dx =
= X sin X + COS X + 0,
{11" 111" 7r j 0
x sin x dx = x sin x 0
+ cos xI 0
= 0 - 0 + ( -1) - 1 = -2. 0
17
3AlL.t\.TAK 5. Hcnumamu 'Ha x;oju.Jvt U'Hmepea.!lU.lvt oo.JLux;a [a: b] (a< b) je
1 1bdx rfiY'H'K:v,uja f(x) = -, j(O) = 0 U'Hmezpa6u"~'Ha, u 'Hanu UHmezpa.!L -. X a. X
18 3BI1PKA 3AliATAKA
Peme!he. AKo j e cpyHKIJJij a f ( x) MHTerpa6MJIHa Ha HeKOM MHTepBaJiy
[a, bj, OH,I(a OHa Ha OCHOBY Jie6erOB8 TeOpeMe MOpa 6MTM OrpaHWieHa Ha
TOM MHT8pBaJiy. 0,I(aB,I(8 CJI8,I(M ,I(a aKO je cpyHKIIMja 1/x MHTerpaOMJIHa Ha
MHTepBaJiy [a, b], Ta,I(a je a, b > 0 MJIM a, b < 0. KaKo je ,I(a,rr,e Ha MHTepBaJiy (O,+oc):
j dxx = ln x + C,
M cpyHKIIHja 1/x je HerrpeKM,.UHa Ha 6HJIO KOM MHTepBaJiy [a, bj (0 < a < b), ,I(06MjaMO ,I(a je Ha OCHOBY fbyTH-Jiaj6Hm:J;OBe cf>opMyJie
l b dx (b) - = ln b - ln a = ln - . a X a
KaKo je cJiwmo aa HHTepBaJiy ( -oo, 0):
Jdx ---;; = ln lxl + C = ln ( -x) + C,
M cf>yHKIIMja 1/x je H8IIp8KM,I(Ha Ha 6MJIO KOM MHTepBaJiy [a, b] (a < b < 0), IIpHM8HOM !LyTH-Jiaj6HMIIOB8 cf>opMyJie ,I(06HjaMO ,I(a je
1b dx = ln lbl- ln ial = ln I~ I = ln ( ~). 0 a X a a
3ALIATAK 6. Hcnumamu na ?COJUM unmepea.JLuMa o6JLmca [a, b] (a< b) cy c.JLeoene rfiyn?CV;uje unmezpa6u.11.ne:
1 1 (a) ( )(
2), (6) 2 , (rr) e1/lxl, (,I() tg x.
x-1 x+ x +x+1
Peme!he. (a) CJiw-rHo Kao M KO,I( rrpeTxo,.UHor 3a,I(aTKa, cf>YHKIIMja j(x) = --.-
1---- je MHTerpaOHJIHa Ha MHTepBaJiy [a, b] aKO M CaMO aKO HMj8,I(Ha O,I(
CMHryJiapHMX TaqaKa x 1 = 1 M X2 = -2 OB8 cpyHKIIMje He IIpHIIa,I(a TOM MHTep
BaJiy, O,I(HOCHO y CJI8,I(8IlMM CJiy-IajeBMMa:
[a, b] <;;;; ( -oo, -2), [a, b] ~ ( -2, 1), [a, b] ~ (1, +oo).
Ha rrocMaTpaHOM MHTepBaJiy Ta,I(a BaJKM fuyTH-.ITaj6HmJ,oBa cpopMyJia.
1 (6) <I>yHKIJ,Hja f(x) = ') je ,I(eqmHMCaHa M HerrpeKH,I(Ha Ha ueJioj
x- + x + 1 rrpaBoj R, rra je HHTerpa6MJIHa Ha rrpoH3BOJLHOM MHTepBaJiy [a, b] (a< b).
3Bl1PKA 3AIIATAKA 19
(u) IIpeTrrocTaBHMO .ua je cpyHK:O:Hja f(x) HHTerpa6mma Ha HHTepsaJiy
[a: b]. KaKo BWKH limx__,.o e1/lxl = +x, cJie,UH .ua Ta'llia 0 He rrpvrrra.ua HHTep
BaJiy [a,b]. CTora Mory .ua HacTyrre caMo .usa cJiy'Iaja: [a:b] ~ (-oo:O) H
[a, b] ~ (0, +x). KaKo je oHa HerrpeKHL(Ha Ha csaKOM o.u HHTepsaJia ( -oo, 0), (0, +oo), Ha CBaKOM HHT8pBaJiy [a, b] KOjH 3a,UOBOJbaBa HaBe,UeHH YCJIOB Ba/fi:H
fbyTH-JI aj 6HH:UOB a cpopMy Jia.
(.U) <J?yHK:UHja j(x) = tg X je HerrpeKHL(Ha Ha CBHM HHT8pBaJIHMa h = (rr /2+br, 1r /2+(k+l)11) (k E Z), aHa KpajeBHMa THX HHTepsaJia o.urosapajyne
rpaHH'IH8 Bpe,UHOCTH cy je,UHaKe ±oo.
CTora je oHa HHTerpa6vrJIHa Ha HHTepsaJiy [a, b] aKo H caMo aKo je
HHTepsaJI [a, b] ca.n:p~KaH y HeKoM HHTepsaJiy h (k E Z). Ha csaKOM TaKBOM
HHTepBaJIY [a, b] Baffi:H fhyTH-J1aj6HH:O:OBa cpopMyJia. 0
3AliA TAK 7. IlpemnocmaB'U.MO aa je rjjy'H11;7J,Uja f(x) U'Hmezpa6U.A'Ha 'Ha
'He'JI;OM U'Hmepaa.Ay [-a, a] (a> 0). A 11;0 je O'Ha 'Ha moM U'Hmepaa.Ay nap'Ha, ao'JI;a3amu a a je
f a J(x) dx = 2 (a f(x) dx. -a Jo
A'/\;0 je O'Ha 'Ha moM U'Hmepaa.Ay 'Henap'Ha, ao'JI;a3amu aa je
I: f(x) dx = 0.
PemeH>e. KaKo je cpyHK:O:Hja f(x) HHTerpa6HJIHa Ha HHTepBaJiy [-a, a],
H Ta'!Ka 0 E [-a, a], HMaMO ,Ua je
I: f(x) dx =I: f(x) dx + 1a f(x) dx = h +I2 .
AKo ca.ua rrpeTrrocTaBHMO .ua je cpyHKurrja f(x) Ha HHTepsaJiy [-a, a]
(a > 0) rrapHa. Ta.ua je ysol)eiLeM cMeHe -x = t 11 KOpHrnneELe1vi rrapHOCTH
Te cpyHK:O:Hje YICIIY!L8HO:
f O 10 1.a !1= f(x)dx=- f(-t)dt= j(t)dt=h,
-a a 0
O,UaKJI8J8
f a f(x) dx = 2 t f(x) dx. -a Jo
20 3B11PKA 3ALIA TAKA
Cm-rtmo, aKo je lflYHKUMja f(x) HerrapHa Ha rrocMaTpaHOM MHTepBaJiy,
HaJia3MMO .ua J e
h = ro f(x) dx = -1° f( -t) dt =- fa j(t) dt = -h, J -a a Jo
o.uaKJie je I= I+I2 = 0. 0
3A1IATAK 8. H3pa"iynamu unmezpaJL 12
11- xi dx.
PemeH>e. I na"iu'H. KopMmne:a,eM oco6MHe a.n;wrMBHOCTM MHTerpaJia
MManeMo .ua je:
2 t ;:2 111 - xI dx = J 0
11 - xI dx + 1
11 - xI dx =
= 11
( 1 - x) dx + 12
( x - 1) dx =
= (X - ~2 ) I~ + ( ~2 - X) I: =
1 1 1 1 = (1--) +- = - +- = 1 2 2 2 2 °
II na"iU'H. KaKo je Heo.upcl)eHM MHTerpaJI J Jxl dx = x~xl + C, CMeHOM
X- 1 = t HaJia3MMO .[(a je:
J ix- 11 dx = J Jtl dt = t~l + C = (x- l~lx- ll +C.
O.uaB.ue je:
(2il- xi dx = (x- l)ix- liJ2 = ~ - (- ~) = 1. 0 }1 2 0 2 2
3A1IATAK 9. H3pa"iy'Harnu oiJpe1je'H'U U'HmezpaJL r iln xi dx. }1/e
PemeH>e. ITo.n;MHTerpaJIHa cpyHKUMja f(x) = Jln xl je HerrpeKM.UHa Ha
MHT8pBaJIY [1/e: e] M IIpMTOM je
{ -ln x. 1/ e < x < 1 Jln xJ = · - -ln x, 1 ::::; x::::; e
3BMPKA 3A.IIATAKA 21
KaKo je Heo.n;pei)eHM MHTerpaJI Jln xdx = x(ln x -1), HaJia3MMO .n;a je:
r lln X I dx = 11
( -ln X) dx + Je ln X dx = }1/e 1/e 1
= (x- xln x)j~/e + (xln x- x)j~ = 2 2
=(1--)+1=2--. D e e
3AliA TAK 10. IlpemnocmaeU.MO oa rfiyxx;u,uja f(x) U.Ma xa 'He'K:OM U'H
mepea.tLy [-a, a] (a> 0) npuMumuexy rfiyxx;u,ujy.
Ax;o je rfiyxx;u,uja f(x) napxa, OO'K:a3amu oa je 6ap jeoxa 'lbe'Ha npu.Mumuexa
rfiyux;u, uja xenapxa.
A x;o je rfiyxx;u, uja f ( x) xenapxa, oox;a3amu oa cy cee 'lbeue npu.M'umuexc
rfiyxx;u,uje napxe.
PemeH>e. IIpeTrrocTaBMMO Hajrrpe .n;a je cpyHKU:Mja f(x) rrapHa Ha rrocMa
TpaHoM MHTepaaJiy, M yo"C.J:MMO IbeHy rrpMMMTMBHY cpyHKUMjy F(x) = 1x f(t) dt
(x E [-a, a]). Ta,L(a je
F(x) = 1x f( -t) dt,
M yaoi)eH>eM cMeHe t = -u:
F(x) = -1-x f(u) du = -1-x f(t) dt = -F( -x) (-a s; x s; a),
rra je oaa rrpMMMTMBHa cpyHKUMja F(x) HerrapHa Ha MHTepaaJiy [-a, a]. HeKa je ,L(aJLe cpyHKD;Mja j(x) HerrapHa Ha IIOCMaTpaHOM MHT8pBaJiy, II
HeKa je F(x) 6MJIO Koja rrpiiMMTIIBHa cpyHKU:IIja cpyHKUIIje f(x). Ta,L(a je
F(x) = 1x j(t) dt + C = -1x J( -t) dt +C.
AKo ca.n:a yae.n;eMo c:tvreHy t = -u, .n:o6.11ja~w .n:a je
F(x) = 1-x f(u) du + C = F( -x) (-as; x s; a),
o.n:aKJie CJie,L(II ,L(a je cpyHKU:IIja F(x) rrapHa Ha rrocMarpaHoM IIHrepBaJiy. D
22 3BMPKA 3ALIATAKA
IIorJiaB.n,e 3
HECBOJCTBEHH HHTErP AJIH
IIpi1 I1CIII1TI1BaiLy KOHBepreHI(llje HecBojcTBeHllX llHTerpaJI BpJio -qecTo
neMO, KO)J. ciJYHKI(Hj a KOj e cy CBY )J.a II03HTI1BHe Ha IIOCMaTpaHOM llHTepBaJiy,
J+oo dx KOpHCTHTll Kpi1T8pHjyM IIOpel)eiLa ca HeCBOjCTB8HHM HHTerpaJIOM -
1 xP (p E R). Kao mTo je II03HaTo, oBaj HHTerpaJI KOHBeprHpa I1 caMo aKo je
p>l.
3Al[A TAK 1. Llo1w3amu 7W'Heepzenv,ujy, u U3pa"iy'Hamu 'HeceoJcmee'Hu
l+oo dx
unmezpa.JL 2
2 x +x-
PemeH>e. KaKo j e rro.rr.HHTerpaJIHa ¢YHKIJ;llj a
1 f(x) = x2 + x- 2
1 1 1 1 1
(x-1)(x+2) 3x-1 3x+2
.rr.e¢HHI1CaHa H HerrpeKH)J.Ha Ha HHTepBaJiy (1, +oo), Herrocpe)J.HOM llHTerpai(H
jOM HaJia3HMO )J.a je:
rra Je
f(x) dx = -ln lx- 11- -ln lx + 21 + C = -ln -- +C. J 1 1 1 ~x-11 3 3 3 x+2
CTora j e 3a rrpoH3BOJLHO a > 2:
l a. 1 x - 11 a. 1 ( a - 1 1) 1 a - 1 f ( x) dx = -ln -- = - ln -- - ln - = -ln 4--. _ 3 x+2 2 3 a+2 4 3 a+2'
---- = lim -ln -- = -ln 2. 1+oo dx ( 1 a - 1) 2 _ x 2 + x - 2 a..-,oo 3 a + 2 3
D
3BI1PKA 3A11ATAKA
3A1LA .. TAK 2. Jf3pa"iynamu necaojcmaenu unmezpaA
r+x dx In = Jo (1 + x2)n (n EN).
PemeH>e. llpHMeHoM rrap:o;HjaJIHe HHTerpa:o;Hje HMaMo .n;a je:
1+= dx x 1+= 1+= x2 + 1- 1
I = = + 2n dx = n 0 (1 + x2)n (1 + x2)n 0 0 (1 + x2)n+l
= 0 + 2nin- 2nln+1 = 2nin- 2nin+l,
o.n;aKJie .n;o6vrjaMo peKypeHTHY cpopMyJiy (2n- 1)In = 2nln+l, Tj.
2n -1 In+1 = cL In (n EN).
KaKo je
1+oo dx I+= h = 1 2 =arc tg x = 1rj2,
0 +X 0
Herrocpe.n;Ho .n;o6HjaMo .n;a je
(2n-3)!! ~- 0 In = ( 2n _ 2)!! 2
3A1IA TAK 3. Hcnumamu 1W'HBepzenv,ujy necaojcmaenoz unmezpaAa
!+= dx
1 JX3+x
23
1 PemeH..e. C o63vrpoM .n;a je rro.n;HHTerpaJIHa cpyHK:o;vrja J(x) = -.
1-;==:;.==
vx3 +x .n;ecpHHHCaHa H H8IIp8KH.ZJ;Ha Ha HHT8pBaJiy [1, +co), HCITHTaDeMO KOHBepreH
:o;Hjy OBor HHTerpaJia caMo y TaqKH +oo. KaKo je 3a x--+ +ex:::
1 1 f(x) = x3!2J1 + 1/x2 '"""'x3/2'
!-roo dx H HHTerpaJI ~ KOHBeprHpa, CJI8.ZJ;I1 .n;a H .n;aTH HHTerpaJI KOHBep-
1 X rHpa. 0
3A1IATAK 4. Hcnumamu 1W'HBepzem~ujy necaojcmae'Hoz U'HmezpaAa
r+x x2 dx
J2 x4- x 2 + 1·
24 3BI1PKA 3A1IATAKA
PemeH>e. c o63Hp0M ,n;a je IIO,LJ;llHTerpaJIHa cj:JyHKI(Hja f(x) = x4_x;2+1
H8IIpKH,LJ;Ha Ha liHT8pBaJiy [2, +oo), li j (X) > 0 3a X 2_ 1, HCIIHTaheMO CaMO
:fb8HO IIOHama&e y Ta 'l:KH +oo. I1MaMO ,n;a j e
x2 f ( x) = x4 ( 1 - 11 x 2 + 1 I x 4 )
1 "" -x2, Ka,n;a x--+ +oc,
r+= o,n;aKJie cJie,n;H ,n;a HHTerpaJI J
2 f ( x) dx KOHBeprHpa. 0
3A1I.A TAK 5. )]or;;a3amu da necaojcmaerm unmezpaAu
smx l+cc .
-P-dx. 1 X '
r;;onaepzupajy 3a caar;;o p > 1.
l+cc cosx
--dx 1 xP
Peme:a.e. lloKa3aheMo 3arrpaBo ,n;a oBa ,n;Ba HHTerpaJia arrcoJiyTHO KOH
BeprHpajy 3a CBaKO p > 1, O,LJ;aKJie he CJI8,n;HTH ,n;a OHH H 06H'l:HO KOHBeprH
pajy.
KaKo 3a rrpoH3BOJLHo x 2: 1 B<llilli I sinxllxP:::; 1lxP H HHTerpaJI Jt= ~~ KOHBeprHpa 3a CBaKO p > 1, Ha OCHOBY KpHTepHjyMa rropel)e&a CJI8,n;H ,n;a
HHTerpaJI Jtoo I 8~~ xi dx KOHBeprHpa. CTora HHTerpaJI J1+= sinx~ dx arrcoJiyTHO
KOHBeprHpa, O,LJ;aKJI8 CJI8,LJ;H ,n;a OH H 06H'l:HO KOHBeprHpa 3a CBaKO p > 1.
.llpyrH ,n;eo 3a,n;aTKa ocTaBJLa ce 3a caMocTaJiaH pa,n;. D
3BI1PKA 3AIIA TAKA 25
IIorJiaBJLe 4
HEKE ITPHMEHE HHTErP AJIA
3Al[ATAK 1. Jf3'[Ja"-ly'Hamu noepwu'Hy '});pueo.AU'HUJC?\,02 mpane3a ozpa'Hu
"-le'l-wz npaeaMa x = -1, x = 2, ocoM Ox u '});pueoM y = x 2 + 1.
y
5
4
X
-2 -! 0 2 3 4
Cmnm 1
Peme:a:.e. AKo OBY rroBpm:vmy 03Ha1:.!HMO ca S, HManeMo ,n;a je
!2 !2 3 2 S = f ( x) dx = ( x 2 + 1) dx = ( ~ + x) j_ = 6.
-1 -1 3 1 0
3Al[A TAK 2. Jhpa"-ly'Hamu a.Aze6apc'});y u anco.Aym'Hy epeo'Hocm noep
WU'He cfiuzype ozpa'HU"-le'He npaea.Ma x = 0, x = 27T, ocn.M Ox u '1\,pueoM y =sin x.
Peme:a:.e. HarroMeHHMO ,n:a aJrre6apcKa Bpe.n:HocT rroBprrmHe oBe cpHrype
3Ha1:.!H .n:a ce ,n;eJIOBH Te cpHrJ-"pe H3Ha,n; oce Ox pa1:.!yHajy ca 3HaKo:--.r :: +": a
26 3BMPKA 3A.IIATAKA
.n:eJIOBM Mcrro.n: oce Ox ca 3HaKOM "-''. Ha ocHoBy orrmTe cpopMyJie, MManeMo
.n:a je oBa aJire6apcKa Bpe.n:HoCT
(1r (2-rr 2-rr 5 = J
0 f ( x) dx = J
0 sin x dx = (- cos x) [
0 = 0.
y
x= 2rcl
f«//////y/////A,7;';; ';,,, l27t X
-I
CmiKa 2
C .n:pyre CTpaHe, aKO ca 51 03HaqVJ:MO aiiCOJIYTHY Bp8.IJ:HOCT OB8 IIOBp
IDMHe, Ta.n:a je (2-rr (2-rr
51 = Jo lf(x)l dx = Jo I sinxl dx =
r1r rh = J
0 sin x dx + J rr (- sin x) dx =
17r 12-rr
= (- COS X) O + (COS X) rr =
=4. 0
O.n:ca.n:a rra Ha.n:aJ1e yBeK neMo rro.n:pa3yMeBanr .n:a ce pa.n:vr o aAze6apcKoj
epeorwcmu rroBpmvrHe oBaKBMX q:mrypa.
3A1IA TAK 3. l13pa."iy?-tamu noepwu'Hy rfiuzype ozpa'Hu"ie'He Kpueo.M x =
2 - y - y2 u OCO.M Oy.
PemeH>e. KaKo oBa KpMBa ceqe ocy Oy y TaqKaMa A(O, -2) vr B(O, 1)
vrMaheMo .n:a ce rrpoMeHJ1MBa x Kpehe y rpaHMU:aMa -2 .n:o 1, rra je rroBpmvrHa
oBe qm:rype:
p = j 1
x(y) dy = (1
(2- y- y2) dy =
-2 }_2
( y2 y3) 11
= 2y- - - - = 9/2. 0 2 3 -2
3BHPKA 3A.IIA TAKA
y
-----) X
-I
'
-------
C.IIHRa 3
3A1IATAK 4. Hanu noepwu'Hy e.11,unce "iuje cy no.11,yoce a u b.
-a 0
y
b
-b
·Slika 4
X
a
27
Pemellie. OB,n:e neMo no,n: noBpiiiHHOM enHnce no,n:pa3yMeBaTll arrco
JIYTHY Bpe,n:HOCT IIOBpiiivrHe.
IIpvrMeTHMO ,n:a ce je,n:Ha"tiHHa envrnce x 2 / a2 + y2 jb2 = 1 ca rroJiyocaMa
a H b MOJ-Ke Han:vrcaTH y o6JIHKY x = a cost, y = b sin t rrpvr qeMy rrapaMeTap
t E (0, 21r). IIpvrTOM je emmca je cvrMeTpH11Ha y o,n:Hocy Ha Koop,n:vrHaTHH
rroqeTaK, vr cacTaBJLeHa je o,n: qeT:vrpvr H.n;eHTH"tiHa .n:ena rrpH qeMy je.n;aH o.n:
THX .li:8JIOBa JI8X3ll y npBOM KBa.n;paHTy, Tj. o.n;roBapa Bpe.n;HOCTH rrapaMeTpa
t E (0, 7r/2). O.n;aB,n:e cJie,llH ,n:a je llieHa rroBpmHHa
28 3BHPKA 3A1IA TAKA
P = 4 fa iy(x)l dx = 41° iy(t)i x'(t) dt = Jo rr/2
10 1rr/2 = 4 b sin t (-a sin t) dt = 4 ab sin 2 t dt =
rr /2 0
1rr 12 1 - cos 2t ( t sin 2t) I rr / 2
= 4ab dt = 4ab - - -- = ab1r. 0 2 2 2 0
lloce6Ho 3a a = b = r ~o6vrjaMo ~a rroBpmvrHa Kpyra rroJiyrrpeqmllia r H3HOCH p = TIT2 . 0
3Al(ATAK 5. Hanu oyJ~Cu'H,y npyJ~C'H,uv,e noJtynpe·,muna R.
y
X
0 R
Cm,IKa 5
Pemea,e. Tip:vrMeTMMO ~a je KpyJKH:vrua qvrja je je~Ha'll!Ha x2 + y2 = R2
CHM8TpHXUHa y O~HOCY Ha KOOp~MHaTHH rroqeTaK VI CaCTOjM Ce 0~ qeTMpH
rro~~apHa ~ena o~ Kojvrx ce rrpBvr HaJia3vr y rrpBOM KBa~paHTy. KaKo cy
FLeHe rrapaMeTapcKe je~aqvrHe x = R cos ( y = R sin t (0 :::; t :::; 271), a ~eny
CM8IIIT8HOM y IIpBOM KBa~paHTY O~rOBapa IIpOM8Ha rrapaMeTpa t y rpaHH
UaMa 0 ~0 Jr/2, Ha OCHOBY OIIIIITe cflopMyJie ~06!<!jaMO ~a je ~YJKMHa U:8JI8
KPYJKHHUe:
rrr /2 rrr /2 . l = 4 Jo )(x'(t))2 + (y'(t)) 2 dt = 4 Jo v/( -R sm t)2 + (R cos t)2 dt =
l rr/2 lrr/2 = 4R J sin
2 t + cos2 t dt = 4R 1 · dt = 4R · ~ = 21r R. 0 0 2
0
3ALI:ATAK 6. Hanu oyJ~CU'H,y np'UBe x(t) = t, y(t) = t 2 DO ma"ine t = 0
oo ma"ine t = 1/2.
3B11PKA 3ALIATAKA 29
PemeH>e. Ha ocHOBY orrmTe ¢opMyrre ,.zzy>KnHa KpHBe paqyHa ce rrpeMa
¢op:rvryrrn
r1/2 l = Jo v(x'(t)) 2 + (y'(t)) 2 dt.
KaKo je oB.n;e x'(t) = 1, y'(t) = 2t, .n;o6HjaMo .n;a je
(12 (12 l = Jo )1 + (2t) 2 dt = Jo V1 + 4t2 dt.
AKa yBe.n;eMo cMeHy 2t = u .n;o6HjaMo .n;a je
l = V1 + u2 - =- V1 + u2 du. 11
du 111
0 2 2 0
KaKo je
j. 1 V1 + u2 du = ¥ V1 + u2 + 21n (u + V1 + u2) + C,
Haj3a.n; .no6HjaMo .na je
(1 uv1 + u211 1 11 V2 1 Jo V1 + u2 du = 2 0
+ 21n (u + V1 + u2)
0 = -i + 21n (1 + .J2),
o.n;aKJie je l = (V2 + ln (1 + V2))/4. 0
3Ali.ATAK 7. Hanu ayxw-~,y 'tfUX:./l,OuiJe "iuje cy napaMemapcx:ejeana"iune
x(t) =a (t- sin t), y(t) =a (1- cost) (0::; t::; n).
y
2a
X
0 art 2cm
CnnKa 6
30 3B11PKA 3ALIA TAKA
Pemea.e. l11mheMo .n:a j e x' ( t) = a ( 1 - cost), y' ( t) = a sin t, o,n:aKJie j e
(2rr l = lo v(x'(t)) 2 + (y'(t)) 2 dt =
(2rr = J
0 ) a 2 ( 1 - cos t) 2 + a 2 sin 2 t dt =
(2rr = J
0 J 1 - 2 cos t + cos2 t + sin 2 t dt =
(2rr
= a J 0 v2 - 2 cos t dt =
(2rr
= a-/2 Jo V1- cost dt.
KaKo je
v'2 ~ v'2 c:;t v'2 t )1-cost= 2y~ = 2ysin2
2 = 2sin 2,
.uo6Hj aMo ,n:a j e
(2rr t t 2rr l = 2 a J
0 sin 2 dt = 4a ( - cos 2) I
0 = 8a. 0
3AliATAK 8. Hanu 3anpeMm-£y .~tonme no.~tynpe't{,'H'UKa R.
z
y
X
CJIHI..:a 7
Pemea.e. Yo'-mMo JIOIITY y rrpocTopy R3 q:vrja je je,n:Ha'-l:llHa x 2 +y2 +z2 = R2
. ORa HacTaje poTamrjoM rroJiyKpyra x 2 + y2 = R2 (y 2 0) oKo oce Ox.
KaKo je je,n:Ha'-l:HHa oBor rroJiyKpyra y = v R2 - x 2 ( -R S x ::; R), Ha ocHoBy
3BHPKA 3A.llATAKA
orrmTe ¢opMyJre CJie,zu1 ,zra je 3arrpeJvnma JIOIITe
V x = 1r 1R y2 ( x) dx = 1r 1R ( R2
- x 2) dx =
-R -R
= 21r f(R2- x2
) dx = 2rr( R'x- ~3
) 1: =
47rR3 - 0 3
31
3AliA TAK 9. Hanu 3anpeMWty mopyca -x:oju ce iJo6uja pomav,ujoM -x:pyza
x 2 + (y- b) 2 = R 2 o-x:o ace Ox.
J
- JZ 0 R X
CJinKa 8
Peme:a,e. 113 je,IIHa"Y:HHe Kpyra HaJia3HMO ,zra je y - b = ±vR2 - x 2
( -R ~ x ~ R), o,zraKJie cJie,lU{ ,zra je OBaj Kpyr orpaHH'IeH JIHHHjaMa
Y1 ( x) = b - J R 2 - x 2 l Y2 ( x) = b + j R2 - x 2 ( -R ~X~ R).
O,zraB,zre Ha OCHOBY orrmTe ¢opMyJie CJie,IIH ,zra je 3arrpeMHHa Topyca
{X2 Vx = 1r /_ (y~(x)- Yi(x)) dx =
v X)
KaKo je
R
= 1r1 [(b + VR2 - x 2 )2
- (b- )R2 - x2)2
] dx = -R
= 1r JR 4b)R2- x 2 dx = 8b1r (R )R2- x 2 dx. -R h
J X R2 X )R2- x2 dx = 2.JR2- x2 + 2 arcsin ~ + C:
32 3BI1PKA 3A.IIATAKA
CJie,n:H ,n:a J e
R ,R
1 X IR R2 X )R2 - x2 dx = -)R2 - x 2 +-arcsin-0 2 o 2 a
10
Rz = 0 + 2 arc sin 1 = R 2 rr/4,
O.[(aKJie je KOHa'!HO
R 2rr Vx = 8brr · -
4- = 2R2 brr2
. D
3A1IA TAK 10. Han:u 3anpeMuny me.1w '1\,0je nacmaje pomav,ujaM mpay
Ma ca meMenuMa A(O, -R), B(O, R), C(h, 0) (R, h > 0)
(a) 0'1\,a ace Ox; (6) 0'1\,a ace Oy.
y y
c (h,O) X c (h,O) X
A(O,-R} A(O.-R)
CnnKa 9
PemeH>e. (a) Y rrpBOM CJiy"t.Iajy O'IMTJie,n:Ho ce pa~ o rrpaBOM KpyJKHOM
KoHycy Kojn ce ,n:o6Hja poTau;HjOM rrpaBe BC OKO oce Ox. IberoB rroJiyrrpe'I
HHK ocHoBe je R, a BHCHHa je je,n:HaKa h. KaKo je je,n:Ha'InHa rrpaBe BC:
,n:o6nj aMO .n:a j e
R y=--x+R
h (O:::;x:::;h),
rh rh R 2 V x = rr j
0 y2
( x) dx = rr j 0
( - hx + R) dx =
= r. R2
{ ( - ~ + 1) 2
dx.
3BI1PKA 3AliA TAKA 33
CMeHOM x = ht (0:::; t :::; 1) .n:o6vrjaMo .n:a je
\tx = 1rR211
(1- t) 2hdt = 1rR2h 11
(t2- 2t + 1) dt =
( t3 ) I 1 7r R2
h = 7r R2 h 3 - t2 + t o = -3-.
(6) Y .n:pyroM c;ry-c.rajy HManeMo .n:a cy je.IJ:Ha-c.rvrHe KpHBHX y 1 (x) vr y2(x):
o,n:aKJieJe
( Rx
Y1 x) =-- R h '
( Rx
Y2 x) = -- +R h
Vy = 27r 1x2
x(y2(x)- Yl(x)) dx = X1
(0:::; X:::; h),
= 27r lah x [( -Rxlh + R)- (Rxlh- R) J dx = h
= 47r R 1 x · ( 1 - xI h) dx =
= 47r R 1h ( x - x 2 I h) dx =
(x2 x3)[h (h2 h2)
= 47r R 2 - 3h o = 4rr R 2 - ~ = h2 2rr Rh2
=47rR·- = --6 3
llpyro .n:o6vrjeHo TeJio o-c.rnrJie,n:Ho ce cacTojn o.n: ,n:Ba cJierrJbeHa rrpaBa
KpytKHa KOHyca -c.rnje cy BHCHHe R, a IIOJiyrrpe-c.rHHIJ;H OCHOBa h. 0
3AllATAK 11. Hanu noepwu'Hy .1wnme no.!/,ynp~'li,'HU'fCa R.
PemeH>e. Yo-c.rmviO rroHoBo JIOITTY y rrpocTopy R3 -c.rnja je je.IJ:Ha-c.rnHa
x2 + y2 + z2 = R2. 0Ha o-c.rnrJie.IJ:Ho HacTaje poTa:o;njoM rop&e rroJiyKpymHn:o;e
x2 + y2 = R2 (y 2: 0) OKO oce Ox. CTora ce &eHa rroBpmnHa H3pa-c.ryHaBa
ITOMOflY <flopMyJie
Sx = 21r 1b jy(x)h/1 + (v'(x)) 2 dx.
KaKo je y HarneM cJiy-c.rajy y(x) = +v'R2 _:_-x2 vr x E [-R,R], .n:o6njaMo
34 3El1PKA 3ALIATAKA
,n:a je rroBpunma JIOITTe:
Sx=2njR /R2 -x2 /1+( -x )2
dx= -R y VR2 - x 2
= 2n J R 2 - x 2 - dx = 1R VR2 x2 +x2 -R R2- x2
= 2n1R Rdx = 21rR · (2R) = 47rR2. 0 -R
3A)JATAK 12. Hafiu noBpWU'HY noapwu ao6uje'He pomav,ujoM ./I,Y'IW r.:pu
ae y = e-x 00 ma"ir.:e X= 0 00 ma"ir.:e +oo.
Pemelhe. l1ManeMo ,n:a j e
r+oo Sx = 27f Jo ly(x)IVl + (y'(x)) 2 dx =
r+oo = 2n e-x )1 + ( -e-x) 2 dx =
lo r+oo
= -27!" Jo \h + e- 2x de-x,
o,n:aKJie yBo1)eH>eM cMeHe e-x = t ,n:o6.rrjaMo ,n:a je
Sx = -2n 1° Vl + t 2 dt = 21r 11
Vl + t 2 dt.
KaKo je
j J1 + t 2 dt = ~ v1 + t 2 + ~ ln (t + J1 + t 2) + c,
KOHaqHQ ,U06Hj aMO ,Ua j e
S x = 2n ( ~ J 1 + t2 + ~ ln ( t + J 1 + t 2)) I~ =
(J2 1 ) = 2n T + 21n ( 1 + J2) =
= 1r ( J2 + ln ( 1 + v'2)) . 0
3BMPKA 3AllATAKA 35
IIorJiaBJLe 5
TEOPMJA PEllOBA
3AJIA TAK 1. Hcnumamu 'IW'HBepze'Hu,ujy zeoMempujc""oz peoa
00 L qn-l = 1 + q + q2 +,,. n=l
Pemeffie. Kao mTo je rro3HaTo, rrapii;njaJIHa cyMa Sn = 1 + q + · · · + qn-l
.n;aTor pe.n:a je,n:HaKa je
1- qn Sn = 1- q (q # 1).
1 IIocMaTpajMo CJiyqaj Ka.n;a je lql < 1. Ta.n:a je lim Sn = -
1--, rra Je
n-+oo - q 1
IIOCMaTpaHH pe,n: KOHBepreHTaH ll Fb8rOBa CyMa S = --. 1-q
AKo je lql > 1 Ta,n:a je lim qn = +co, rra rrocMaTpaHH re0M8TpnjcKn n-+oo
pe.n: oxii;nrJie,n:Ho ,n:nBeprnpa.
Y cJiyqajy Ka.n;a je q = 1, HManeMo .n:a je sn = 1 + 1 + · · · + 1 = n, rra
,n:aTH pe,n: TaKO l)e .D:HBeprHpa.
Haj3a.n;, aKo je q = - 1, Ta.n;a je
sn = 1 - 1 + ... + ( _1r-l = { 1, 0,
rra j e .n:a TH pe.n: ,n:HBepreHTaH.
n = 2k- 1
2k
CTora je .n:aTH reoMeTpHjCKH pe.n: KOHBepreHTaH aKo H caMo aKo je lql < 1,Tj.3aqE(-1,1). D
36 3BI1PKA 3A.IIA TAKA
3Al!A TAK 2. 1Jo'IW3amu oa je 'Hy.MepU"i'ICU peo L~=l cos ~ oueepzenma'H.
PeiiieH>e. I1ManeMo .n;a je
1. 1' 7r liil an = liil cos - = cos 0 = 1 . n->oc n->oc n
KaKO je limn->oc an = 1 =I= 01 Ha OCHOBY CTaBa 3 .n;anr pe.n: .IJ;HBep
rupa. D
3Al!ATAK 3. 1Jo'ICa3amu oa peo L~=l ( -1)n-l
oueepzupa.
1-1+1-1+ ...
PeiiieH>e. Ha ocHoBy ucTor cTaBa je .n:aTH pe.n: .n;HBepreHTaH, jep je
lim an = lim ( -1) n-1, n->oc n->oc
na .n;aKJie rpaHu•ma Bpe.n;HOCT limn->oc an He nocToju. D
IIoaeKa.n; ce KOHBeprean:uj a pe.n;a MOllie ucnuTanr .n;HpeKTHO, eKCIIJIHI(
HTHHM HaJia>KeFLeM rueroBe napuujaJIHe cyMe Sn. To ce MOllie y~HHHTH 6ap y
CJiy~ajy Ka):la Ce OIIillTM ~JiaH pe.n;a an MOllie npe.n;cTaBHTH y o6JIHKY pa3JIHK8
bn+l- bn, rrpu ~eMy je bn H8KH .n;pyru HH3. Ta.n;a je
Sn = al + .. ·+an= (b2 -b1)+(b3-b2)+· · ·+(bn+l-bn) = bn+l-bl (n EN),
na HH3 Sn KOHBeprupa aKo n: caMo aKo HH3 bn KOHBeprupa. Ta.n;a je o~mrJie.n;Ho
S = lim Sn = lim bn- b1. n->oc n->oc
HaBemneMo HeKoJIHKo TaKBHx cJiy~ajeBa.
00
3Al!ATAK 4. 1Jo'ICa3amu oa peo L 4nLl 'ICO'HBepzupa u U3pa"iynamu n=l
10ezoey cyMy.
0 . 1
PeiiieiLe. IIillTH ~JiaH OBOr pe.n:a Je an = 2 ' H rrpu TOM 3a CBaKO 4n -1
n E N BaJKH j e.n;HaKocT
1 1 ( 1 1 ) an = 4n2 - 1 = 2 2n- 1 - 2n + 1 ·
CTora je
n n 1 1 1 ) Sn = L ak = L 2 ( 2k - 1 - 2k + 1
k=l k=l
= ~ (~ - ~) + ~ (~ - ~) + ... + ~ ( 1 - 1 ) 2 1 3 2 3 5 2 2n - 1 2n + 1
= ~ ( 1 - 2n ~ 1 ) ·
3BHPKA 3AliATAKA 37
1 1 1 ITomTo je lim Sn = lim -
2 (1-
2 ) = -, Herrocpe.zmo cne.zn-r .zra je
n-+oo n-+oc n + 1 2
.l{aTH pe.zr KOHBepreHTaH H lli8f'OB 36Hp je S = ~ . 0
3A1IATAK 5. Hanu napu,uja.JL'HY cyMy u ucnumamu 'IW'Heepze'Hu,ujy c.JL
eoenux peooea:
(a) = 1 I: . (6) = 1 .
'\"' ,... ' n=2 n(n- 1) l ~ 9n2- 3n-n=l
PemeH>a. (a) KaKo je
1 an= n(n- 1)
1 1
n -1 n
.rro6HjaMo .zra je rrap[(HjanHa cyMa OBor pe.zra
([() = 2n+ 1 n~l n2(n + 1)2;
(n 2 2),
Sn = a2 +···+an= (1- ~) + (~- ~) + · · · + (-1-- ~) = 1- ~.
2 2 3 n-1 n n
O.zraB.zre Herrocpe.zmo cJie.l{l1 .zra .zraTH pe.zr KOHBepnipa H rueroB 36Hp je.zmaK je
S = lim Sn = 1. n-+oo
(6) CJrwmo je
1 1 an= =
9n2 -3n-2 (3n-2)(3n+1)
o.zraKne cne.zrH .zra j e
1 1 ---3 3n- 2
1 1
33.n+1 (n EN),
1 1) 1(1 1) 1( 1 1 )-Sn = a1 + · · · + an = 3 ( 1 - 4 + 3 4 - 7 + · · · + 3 3n - 2 - 3n + 2 -
1 1 1 -- --+- (n--+oo). 3 3(3n+ 1) 3
CTora .zraTH pe.zr KOHBeprHpa H 36Hp MY je je.zrHaK S = 1/3.
([() KaKo ce orrmTH "l.IJiaH oBor pe.zra Mo;.r<e HarrHcaTH y o6JIHKY
2n + 1 1 1 an= =----
n2(n + 1)2 n2 (n + 1)2 (n EN),
.zro6HjaMO .zra je fu8f'OB rrap[(MjaJIHH 36Hp
1) (1 1\ (1 1 )-Sn = a1 + · · · +an = ( 1 - 22 + 22 - 32) + · · · + n2 - (n + 1) 2 -
1 ( \ =1- --+1 n--+oo;. ( n + 1 )2
38 3EI1PKA 3ALIA TAKA
CTora ,Uanr pe,U KOHBepnrpa H &eroB 36Hp je,[(HaK je S = 1. 0
Ha ,Ua.TLe, rrocMaTpaneMo pe,UoBe ca HeHeraTHBHHM "t.J:JiaHOBHMa. IlpH
TOM fieMO KO,ll pemaBaiha CJI8,[(8fillX H8KOJIHKO 3a,UaTaKa IIpHM8IhHBaTH T3B.
r;;pumepujyM nopefje?ba. Ko.IJ: rrpHMeHe OBOr KpRTepHjyMa ce )laTH pe,U o6H"t.J:HO
rrope,UH ca reoMeTpHj CKHM pe,UOM
00
Lqn, n=l
3a KOjH 3HaMO ,Ua KOHBeprHpa 3a JqJ < 1 H ,llHBeprHpa y cyrrpOTHOM CJiy"t.J:ajy,
HJIH Ca OIIIDTHM xapMOHHjCKH}II pe,UOM
00 1
LnP n=l
(pER),
3a KOjH je II03HaTO ,[(a KOHBeprHpa 3a p > 1 H ,[(HBeprHpa y cyrrpOTHOM
cny"t.J:ajy.
HaoMeHHMO ,[(a neMO y U:8JIOM OBOM IIOI'JiaBJI.Y KOpHCTHTH CJie,Ueny 03-
HaKy. AKo cy an, bn ( n E N) ,UBa peanHa HH3a TaKBa ,Ua j e 3a cBaKo n E N
bn -=/= 0 H
l. an lin -b = 1
n~CXJ n
Ta,lla IIHill8MO an "' bn Ka,lla n --> 00.
3A1I.A TAK 6. Hcnumamu no'Haepze'Hv,ujy peoa c.a.eoefiux peooaa:
00 1 00 2 00 7r 00 1 (a) n~l3n+fo; (6 ) n~2lnn; (u) n~lsin~; (.IJ:) n~l3n-n
Peme:a.a. (a) CTaBHMO ,Ua j e bn = 31n . II pH TOM j e
1 1 an= <-- b 3n + Vn - 3n - n '
H an :?: 0 3a CBaKo n E N. IIomTo je pe,U 2:~= 1 3~ KOHBepreHTaH, Ha ocHoBy
KpHT8pHjyMa IIOpe1jeH:.a CJI8,IDI H ,Ua je H ITOCMaTpaHH pe,ll KOHB8pi'8HTaH.
(6) 11MancMo ,Ua je
2 an= -
1- > 0
nn
2 2 -> ln 2 n
3a CBaKo n :?: 2. KaKo je pe.n: 2::=1 ; ,UHBepreHTaH, Ha ocHoBy KpHTepHjyMa
rrope1jeH:.a cJie,UH H ,Ua j e nocMaTpaHH pe.n: ,[(HBepreHTaH.
3BMPKA 3A1IA TAKA 39
( u) CTaBHMO bn = ~ . I1ManeMo ,I( a j e
an sin .!I. lim b = lim ~ = 1r.
n--->oo n n-..oo n
oc
KaKo je xapMOH:vrjcK:vr pel( I: ~ J(HBepreHTaH, Ha ocHoBy Kp:vrTep:vrjyMa rrope-n=l
ljeH:.a CJI8J(H H J(a je IIOCMaTpaHH pe,n: TaKolje J(HBepreHTaH.
(,n:) Haj3al(, y OBOM CJiyqajy HManeMO ,n:a je an = 1 > 0 H bn = 3n- n
1 .
3n > 0 3a CBaKO n EN. IIp:vr TOM Je
1 an 3n- n 3n
lim - = lim = lim = 1 . n-+oc bn n-..oo ~ n-+oc 3n - n
3n
KaKo je pe,n: L~=l 3~ KOHBepreHTaH, Ha ocHoBy Kp:vrTep:vrjyMa rropeljefua cne
,n::vr ,n:a H IIOCMaTpaHH pel( TaKoi)e KOHBepr:vrpa. 0
3A1IA TAK 7. IIpu.Me'liOJ'vt 'K:p·umepujy.Ma nope1je1ba, ucnumamu 'K:O'/ieep
e'li'4Ujy c.JLeoeliux peooea:
(a) oc 1
n~l )4n + 3 (6
) oc 3n + 1
n~l n2(n + 4) (u)
oc 5
L n.;2n+3 n=l
f: ._v_n_+_l-=-,----vn_n
n=l V'n (,n:) (e)
oc n 1 L sin-n=l v'n2 + 1 n
(¢) oc 1 L 2n tg 3n n=l
Perne:a,a. (a) I1ManeMo J(a je
1 1 1 a= <--=-
n J4n + 3 - y'4n 2"-'
00 1 :vr KaKo pe,n: 2: -;;- KOHBepr:vrpa, Ha ocHoBy Kp:vrTep:vrjyMa rropei)eH>a cnel(H J(a
n=l 2 H ,n:aTH pe,n: KOHBepr:vrpa.
(6) KaKo je
3n + 1 an= n2(n + 4)
3n(1 + l/3n) 3 n 3 (1 + 4/n) rv n 2
(n--+ oc),
oc 1 :vr xap::vroH:vrjcKu pe,n: 2: 2 KOHBepr:vrpa, cnel(H ,n:a :vr ,n:a:vrT pe,n: KOHBeprupa.
n=l n
40 3BMPKA 3AliATAKA
(u) Y oBoM cnyqajy HManeMo ,n;a je
5 5 an= rv-
n3/2 J2 + 3/n n3/2 (n~CXJ):
00 1 rra KaKO xapMOHHjCKH pe,n 2::: 3j2 KOHBeprM:pa, CJie,LU1 ,n;a H IIOCMaTpaHM: pe,n;
n=l n TaKol)e KOHBeprHpa.
(.n:) CBH qJiaHOBH ,n;aTor pe,n;a cy TaKol)e IT03HTHBHH. IlpHTOM je
_ Jn+I- fo (n + 1) - n 1 an- = ·--vn Jn + 1 + fo nl/3 -
1 1 1 1
fo( J1 + 1/n + 1) ·-rv (n ~ oo). nl/3 2 nl/2+1/3 - 2n5/6
00 1 KaKo xapMOHHjcKH pe.n: 2::: --s;5 .IJ:M:BeprHpa, cne,n;H ,n;a H .n;aTH pe,n; .IJ:M:BeprHpa.
n=l n
(e) CBH qJiaHOBH .n;aTor pe,n;a cy TaKol)e II03HTHBHH. IlpHTOM, KaKo
1/ 0 6 . . . 1 1 .
n ~ Ka.n;a n ~ CXJ, .IJ:O HJaMO ,n;a J8 Slll-""' -, O,II;aKJie J8 n n
n . 1 an= Slll- ""'
Jn2 + 1 n
1 1 1
j1 + 1/n2 ;, '"" ;, (n ~ oo).
00 1 KaKo xapMOHHjCKH pe,n; L - ,n;M:BeprHpa., cne.IJ:H H ,n;a rrocMaTpaHH pe,n; TaKo
n=l n l)e .n;HBeprHpa.
(e) "Y:JiaHOBH OBOr pe.n:a cy TaKol)e II03HTHBHH. KaKO je IIpHTOM tg X rv X
Ka.n;a x ~ 0, ,n;o6HjaMo ,n;a je
n 1 n 1 (2)n a = 2 tg - rv 2 . - = -n 3n 3n 3 (n ~ oo).
oo (2)n KaKo rrpHTOM reoMeTpHjCKH pe.n: n~l 3 KOHBeprHpa, cne.n;H .n;a H .n;aTH pe,n;
TaKODC KOHBCprHpa. 0
Ko.n; pemaBaFLa cne.n;enHx HeKOJIHKo 3a,n;aTaKa KopucHTHneMo T3B. 1Ia.JiaM6epoB Kpi1Tepuj YM KOHBepreHU:Hj e.
3A.ITA TAK 8. llpu.Me'!-W.M 1!a.JWJI,t6epoeoz ~pumepujy.ivta, ucnumamu ~o'!-l
eepze'!-l1{Ujy c.JLeaenux peaoea:
(a) oo n3
2:: 3n; n=l
(6) = 2n
~ n2 +n n=l (u:)
oc n 4
2:: 4n+l' n=l
(,n;) oc nn 2:: -· n=l n!'
(e) oo n! 2.:= .., '""'~ '
n==l
3BJ1PKA 3AliA TAKA 41
( cp) 00 an 2.:=-n=l nn
(a>O);
Peme:a.a. (a) IIocMaTpaH11 pe,n; HMa II0311T11BHe t.IJiaHoBe 11 rrp11TOM je
(n+l)3
1 + 1 3 1 ( 1) 3 1 an+l = ~ = _ (-n--) = _ 1 +- __. - < 1
n3 3 n 3 n 3 an 3n
(n--> oo).
CTora Ha ocHoBy 1IaJiaM6epoBor Kp.vnep11jyMa ,n;aT11 pe,n; KOHBepr11pa.
(6) Y OBOM CJiyqajy HManeMO ,n;a je
an+l _ (n+l)2+n+l _ 2
n2 + n _ 1 + 1/n - - 2 -->2>1
an n;:n n2 + 3n + 2 - 1 + 3/n + 2jn2
2n+l
Ka,n;a n--> 00, rra Ha OCHOBY 11CTOI' Kp11Tep11jyMa ,n;aT11 pe,n; ,n;HBeprHpa.
(u;) HaJia3HMO ,n;a je
an+l = (n+ 1)4/4n+
2 = ~ ( 1)4 1
an n4j4n+l 4 1+;, __. 4 < 1.
CTora Ha ocHoBy 1IaJiaM6epoBor Kp11TepHjyMa ,n;aTH pe,n; KOHBeprHpa.
(,~) KaKo je y OBOM cJiyt.Iajy
an+l - (n + l)n+l /(n + 1)! = (n + l)n = (1 + ~)n __. e > 1, ---;;;: - nn jn! nn n
Ka,n;a n --> oo, pe,n; Ha OCHOBY 11CTOI' KpHT8p11jy:rvra ,ll;11BeprHpa.
(e) 11ManeMo ,n;a j e
an (n+1)!/(n+1)
2·2n+l = n+1 (n+1) 2 = n+1 (1+~) 2
rv
n!jn2 · 2n 2 n 2 n an+l
n+1 rv ----> 00
2
Ka,n;a n--> oo. CTora 11 oBaj pe,n; Ha OCHOBY HCTor KpHTep11jyMa ,n;11Bepr11pa.
( cp) Haj3a,n;, y oBoM cJiy"--ajy HManeMo ,n;a je
an+l
an
an+l /(n + 1)n+l
an;nn a 1 n"'
n+1 (1+~) a
(n + 1)e __. 0
Ka,n;a n--> oc, o,n;aKJie CJie,n;11 ,n;a ,n;aT11 pe,n; ,n;.vmepr11pa. 0
42 3BMPKA 3A1IATAKA
Ko,n CJie,neh:vrx HeKOJIHKO 3a,naTaKa KOpHCTHneMo T3B. Kowujea 'K:pumep-. .
UJYM 'K:O'HBepze'Ht~;UJe.
3Al[.A TAK 9. Kopucmenu Kowujea 'K:pumepujyM 'K:O'Haepze'Ht~;uje, ucnu-
mamu 'K:o'Haepze'Ht~;ujy cAeOenux peooaa:
oo n2
( 6) n~l ( n : 1 ) ; (a) f ( n )n n=l 2n + 1 i
(Q) oo ( 1)n n~l arctg :;;_ ;
(e) f: 1n(n+1)n2
;
n=l 2 n (,n)
oo gn+2 2::-·
n=l 5n ' (cp)
00
2:: , ~;~ ,, . n=l
Peme:a,a. IlpHM8THMO Hajrrpe ,na CBH IIOCMaTpaHH pe,nOBI1 HMajy II03H
THBH8 qJiaHOB8. Y CJiyqajy (a) HManeMO ,na je
n 1 1 nr;:;- = = -+ - < 1 y u.n () __ I 1 () 1 1 1 _ 2 (n-+ oo),
rra Ha ocHoBy KomHjeBor KpHTepHjyMa OBaj pe,n KOHBeprHpa.
(6) Y OBOM CJiyqajy HManeMO ,na je
( n )n _ 1 -+ ~ < 1 ~ = n + 1 - (1 + 1/n)n e (n-+ oo),
rra M oBaj pe,n KOHBeprHpa.
(u) KaKo je arc tg x"' x Ka,na x -+ 0, ..n:o6HjaMo ,na je
1 1 yra:;; = arc tg - "' - -+ 0 n n
(n-+oo),
rra H OBaj pe,n KOHBepr:vrpa Ha OCHOBY KomHjeBor KpHTepHjyMa.
(,n) CJIHqHo je
yra:;; = g(n+2)/n
5
gl+2/n 8 ----+->1
5 5 '
Ka,na n -+ 00, onaKJI8 Ha OCHOBY HCTOr KpHT8pi1jyMa CJI8,ll;H ,na ,naTH pe,n
,n:vrBepr:vrpa.
(e) Haj 3a,n, y oBoM cJiyqaj y MManeMo ,na j e
1 (n+l)n 1( l)n e ~ = 2 -n- = 2 1 +:;;, -+ 2 > 1: (n-+o::::),
o,naKJie CJie,nH ,na ,nanr pe,n ,nHBeprHpa.
3EI1PKA 3A1IATAKA 43
(¢) I1ManeMo .n;a jean= lnn7:-~-n > 0 3a CBaKo n EN. KaKo je .n;aJLe
k = lim ya;; = lim 2
= 0 < 1 n--+oo n-.oo ln ( n + 1) '
Ha OCHOBY Kom:vrjeBor Kp:vrTep:vrjyMa .n;aT:vr pe.n; KOHBepr:vrpa. 0
Ko.n: cJie.n;en:vrx HeKoJI:vrKo 3a.n;aTaKa Kop:vrcT:vrneMo T3B. KorrmjeB :vrHTe
rpaJIH:vr Kpl1:T8p:vrjyM 3a p8)l;OB8 Ca II03HTHBHHM l..l:JiaHOBHMa.
3AliATAK 10. Kopucmenu unmezpa.~tnu "'"pumepujy.M, ucnumamu "'"on-oo
eepzen11;ujy peaa 2: ;p (p E R). n=l
PemeELe. HarroMeH:vrMo Hajrrpe .n;a ce rrocMaTpaH:vr pe.n; Ha3:vrBa orrmTHM
xapMOHHj CKHM pe.n;OM.
AKo CTaBRMO .n;a je f(x) = }p' Ta.n;a je an = f(n) = ;p. llp:vr TOM je
rpyHKD;Hj a j (X) H8IIp8KH)l;Ha :vi II03HTHBHa 3a X ~ 1.
AKo je Hajrrpe p :S 0 Ta.n;a je lim an = lim nlPl f+ 0, rra rrocMaTpaH:vr n--++oo n->+oo
pe.n; Ol..l:Hr JI8)l;HO )l;HBepr:vrpa.
flaJLe rrpeTIIOCTaBHMO .n;a je p > 0. Y TOM CJiyl..fajy rpyHKD;Hja j(x) je
orra.n;ajyna, rra MOJKeMo np:vrMeHHTH Kom:vrjeB HHTerpaJIHH Kp:vrTep:vrjyM.
KaKo je HeCBOjTBeH:vr HHTerpaJI
J+oo dx ( x 1-P lx=b)
-- lim --xP b-->+oo 1 - p x=l
1
= { KOHBepreHTaH,
)l;HBepreHTaH,
p > 1
p:S1
H8IIOCp8)l;HO CJI8)l;H .n;a je :vi IIOCMaTpaH:vr pe.n; KOHBepreHTaH 3a p > 1, :vi )l;HB8p
r8HTaH 3a p:::; 1. 0
3All.ATAK 11. Kopucmenu unmezpaAnu "'"pumepujy.M, ucnumamu "'"on-oo
eepzen11;ujy peaa 2: n2~ 1 · n=l
PemeELe. Yol..l:HMO Q:lyHKD;Hjy f(x) = x2~1. 0Ha je .n;ecp:vrH:vrCaHa, Herrpe
KH)l;Ha H HcpacTyna. 3a x ~ 1. rra cTor"'a MoJKeMo rrpHMeHHTH Korrmjen HHTe
rpaJIHH KpHTep:vrpyM. O.n:roBapajynH HecBojcTBeHH HHTerpaJI
+oo.
J 1
dx
x 2 + 1
b
J dx ( lx=b) = lim 2 = lim arc tg x b--++cc X + 1 b-->+oc n=l
1
= lim (arc tg b - arc tg 1) = b-.+oo
7T 7i 7i
2 4 4
44 3BHPKA 3AliATAKA
je KOHBepreHTaH, rra je H IIOCMaTpaHH pe..n; TaKoJ)e KOHBepreHTaH. 0
3AllA TAK 12. Kopucmeliu U'Hmezpa.ll.HU -x;pumepujyM ucnumamu -x;o'H
eepze1i'4UJY peooea
00 1 (a) 2: ;
n=2 n .Jfil11 (6)
00 2: n e-n 2 /2
n=1
Peme:a,a. (a) I1oc1-raTpaHH pe..n; o•mrJie.L(Ho HMa II03HTHBHe 'IJiaHOBe.
flaJ:Oe, yoqYJ:MO cpyHKII;Hjy
1 f(x) = xVlnX (x 2:: 2).
I1ManeMo ,.n;a je f(x) > 0 3a cBaKo x 2: 2, f(x)-+ 0 Ka,n;a x-+ +oo, vr f'(x) < 0
3a cBaKo x 2:2, rra oBa cpyHK:o;vrja oqYJ:rJie.L(Ho orra,.n;a Ha vrHTepBaJiy (2,+oo).
liaJhe je
i
+oo i+oo 1 J d ln x I = f ( x) dx = dx = -- = 2 2 xvillX viilX
= - = 2vfu = 2 ~ = +oo. J du l+oo
fo 2
CTora ,.n;aTvr pe..n; Ha OCHOBY YIHTerpaJIHOr Kpi1TepHjyMa .L(HBeprHpa.
(6) M oBaj pe..n; nMa cBe qJiaHoBe rro3vrTHBHe. AKo yoqnMo cpyHK:o;Hjy
j(x) = X e-x2
/2 (x 2:: 1), OHa je O'IllrJie,[(HO II03llTllBHa 3a CBaKO X 2:: 1, YI
Momc cc JiaKo ,.n;oKa3aTn ..n;a f(x) -+ 0 Ka,.n;a x -+ +oo. HanMe, Ha ocHOBY
JiormTaJioBor rrpaBnJia HManeMo ,.n;a je
X 1
-t 0 f(x) = ex2 /2 ,......, xe "·~
Ka..n;a x-+ +oo. OcnM Tara je
f'(x) = e-x2/2 +x(-x)e-x2/2 = (1- x2)e-x2/2 < 0 (x > 1),
rra OBa cpyHK:o;nja O'IHrJie..n;Ho orra,.n;a y HHTepBaJiy (1, +oo). liaJhe je
r+oo r+oo 2 1 J 2 . 1 J }
1
f(x) dx = }1
x e-x / 2 dx = 2 e-x 12 dx 2 = 2 e-u/2 du =
= ~(-2)e-u/2 = -e-x2/2/+oo = -+i+oo = 2 1 ex /2 1
1 1 = 0 + e1/2 = vie'
ITa IIOCMaTpaHH HeCBOjCTBeHH HHTerpaJI KOHBeprvrpa. CTora Ha OCHOBY HH
TerpaJIHOr KpHTep:vrjyMa H ..n;aTH pe..n; KOHBeprHpa. 0
3B11PKA 3A1IATAKA 45
00
lla.lhe HarroMeHHMO ,n;a ce HyMepn'-IKH pe,n; o6JIHKa ~ an rrpn "t.IeMy J e n=l
a1 > 0, a2 < 0, a3 > 0, ... HJIH a1 < 0, a2 > 0, a3 < 0, ... Ha3:rrBa a.rr,mepxa-
muexuM peooM.
flaKJie, KO,ll; aJITepHaTHBHOr pe_n;a a.erOBll "t.IJiaHOBll Hall3MeHll'-IHO Mea.ajy
3HaK. .liOBO.lhHO je ITOCMaTpaTll CaMO aJITepHaTHBHe pe,n;OBe '-IHjH je "t.J:JiaH
a 1 > 0, jep ce llCIIllTHBaa.e KOHBepreHI(llje KO,ll; pe,n;a Ca a1 < 0 JiaKO CBO,ll;H Ha
rrpeTXO,IJ;HH.
Ko,n; KOHBepreHI(nje aJITepHaTHBHHX pe,n;oBa o6n"t.J:HO ce KopncTH T3B.
JI aj6'HU7J,OB KpllTepHjyMOM KOHBepreHI(Hj e.
00
.llaJLe DeMO TIOCMaTpaTll pe,ll;OBe 06JIHKa ~ an '-!Hjll cy "t.J:JiaHOBll 11p0ll3-n=l
BOJLHOr 3HaKa, O,IJ;HOCHO rvrory 6HTll ll II03llTllBHll, ll HeraTHBHll ll je,n;HaKH
HYJill.
PenH neMO ,n;a TaKaB pe,n; anco.rr,ym'HO 'IW'HBe]nupa aKO KOHBeprHpa pe,n;
00
Llanl· n=l
AKo rrocMaTpaHn pe,n; KOHBeprnpa aJIH He KOHBeprnpa arrcoJiyTHo, penH
neMo ,n;a OH yc.rr,oe'Ho 7W'Heepzupa.
00 ( l)n-1
3AJIATAK 13. Hcnumamu r;;oxeepzeHv,ujy peoa ~ - .
Pemea,e. IIorrrTo je
1 1 1>->->···>0 2 3 )
n=l
H IIpll TOM lim an = 0, Ha OCHOBY Jiaj6HHI(OBOr KpllT8pHjyMa CJI8,IJ;H _n;a J8 n-->oo
ITOCMaTpaHH pe_n; KOHBepreHTaH. 0
00
3A.llATAK 14. Hcnumamu r;;oHeepzeHv,ujy peoa ~ ( -l)nrb-. n=l
00
Pemea,e. llorrrro je pe,n; ~ 7& KOHBepreHTaH, CJie,n;H ,n;a Je ,n;aTH pe,n; n=l
arrcoJiyTHO KOHBepreHTaH. CTora je oH n o6H"t.J:HO KOHBepreHTaH. 0
oc 1 3A.llA TAK 15. Hcnumamu 'K:O'HBepze'H1tUJY peoa n;;l ( -1)n fo.
46 3BI1PKA 3A1IA TAKA
00
Pemmne. Pe.n: 2.::: Jn ycJIOBHO KOHBeprupa. HauMe, Ha ocHoBy J1aj6-n=l
HH:U:OBOr KpHTepujyMa ,n:aTH pe,n: KOHBepr:rrpa, ,.U:OK j e O,n:rOBapajynH XapMOHH-oo
jcKH pe,n: L Jn ,n:uBepreHTaH. 0 n=l
3AliA TAK 16. Hcnumamu yc.JLOB'HY u anco.JLym'Hy ?W'Heepze'Hv,ujy c.JLede
nux peooea:
(a) f ( -1)n-l:; (6) oo ( -1)n+l
(:u:) oo ( -1)n-l3n
2.::: . 2.::: . n=l 2 n=2 ln (ln n)' n=l (2n- 1)n '
(.n:) oo ( -1)n+ln
(e) oo 3n
2.::: ; L (-1)n-l3· n=l 6n- 5 n=l n
Peme:a,a. IIpuMeTHMO Hajrrpe .n;a cy CBH rrocMaTpaHH pe.n;oBH aJITepHa
THBHH.
(a) Y OBOM CJiy"tJ:ajy HManeMO .n;a je
o,n:aKJie j e
an = ( -1)n-l _!2_ 2n'
n lanl =- > 0 2n
I I n+l ~n+l = 2n+l = ~ n + 1 = ~ (1 + ~) --+ ~ I an I 2";. 2 n 2 n 2
(n EN),
(n--+oo).
CTora Ha ocHOBY 1IaJiaM6epoBor KpHTepujyMa oBaj pe.n: arrcoJiyTHO KOHBep
rupa.
(6) I1ManeMo .n:a je
an = ( -1)n+l ln (ln n) ( n ;:: 2), I an I = Jln (ln n) I
1 1 (n;:: 3).
ln (ln n)
CTora oBaj pe,n: oq:rrrJie,n:Ho arrcoJiyTHO .n;:rrBeprvrpa, jep Ha OCHOBY HHTeoo 1
rpaJIHOr KpHTepujyMa pe.n: L 1
(1 ) .n;uBeprupa. HavrMe, HeCBOjCTB8HH n=3 n n n
HHTerpaJI +oo dx
J = 1 ln (ln x)
CM8HOM X = et IIOCTaj e
J = e dt 1+oo t
ln 3 ln t
H rrpHTOM je et /ln t;:: 1 3a t;:: ln 3.
3BHPKA 3AliATAKA 47
Ca. ,n:pyre cTpaHe, osaj pe,n: oqnrne,n:Ho o6nqHo KOHseprnpa Ha ocHosy
Jlaj6HH:O:OBOr Kp11T8pHjyMa, jep
1 \ani= ·· ,_ " --t 0 (n--too),
11 BaJKH 1
I an I = , , , , 2: 1 (n 2: 3).
CTora ,n:aTH pe,n: ycnosHo KOHseprnpa.
(:o:) HManeMo ,n:aje
3n )n-1
an= (-1 (2n -1)n' 3n
\ani = tn 1 \n > 0 (n EN),
o,n:a.Kneje
3 --t 0 ~ = 2n-1 (n--too).
CTora ,n:aTH pe,n: Ha ocHosy Komnjesor KpHTepnjyMa oqnrne,n:Ho arrconyTHO
KOHseprnpa.
(,n:) Y osoM cny-qajy HManeMo ,n:a je
an= (-1r+1~ 6n- 5'
n 1 1 lanl = 6n- 5 = 6- 5/n --t 6'
Ka,n:a n --t oo, rra ,n:aTH pe,n: ,I(MBeprnpa j ep I:beros orrmTH qJiaH He Te~KH 0 Ka,n:a
n --t oo.
(e) HManeMo ,n:a j e
an= ( -1r-1 3n n3'
3n lanl = 3 > 0 n
(n EN).
Ka.Ko ce HH,L(YK:O:HjoM MOJKe JiaKo BM,L(eTM ,n:a je 3n 2: n 3 3a csa.Ko n 2: 6,
,n:o6nja.Mo ,n:a je lanl 2: 1 3a n 2: 6, rra. ,n:aTI<!- pe,n: ,n:nseprnpa jep I:heros OIIIIITH
qJiaH He TeJKM 0 Ka,n:a n --t oo. 0
48 3Bl1PKA 3AliA TAKA
IIorJiaBJbe 6
~YHKUMOHAllHMPEllOBH
1. KoHBepreHrt;Hja <f>YHR:rt;HOHaJIHHX pe,ilpBa
3A1IATAK 1. Hanu o6Aacm 'IW'Heepzex4uje cAeoenux ¢Y'H'K,'4uoxaAxux
peooea:
(a) oo n!
'2:::n=l xn; (6) )oo sinnx. L......<n=l n2 ' (~) '2:::oo n
n=l 2nx;
(.[{) 2::::oo . X n=O Sill 2n; (e) 2::::00 nlnx.
n=l ' ( cp) enx. '
(r) '2:::~=l (ln X) n.
Pemeiba. (a) Y:JiaHOBH ,n;aTor pe,n;a fn(x) = n!jxn oqnrne,n;Ho cy ,n;ecpnH
ncaHH caMo 3a x =I= 0. KaKo je 3a CBaKo x =I= 0, fn(x) =I= 0 H
IJn+l (x)l
lfn(x)J
J(n+1)!/xn+lJ n+1 = -- -T 00
Jn!jxnl lxl (n--. oo),
Ha OCHOBY flaJiaM6epOBOf' KpYITepYijyMa OBaj pe,n; KOHBeprYipa 3a CBaKO X=/= 0.
CTora je o6nacT KOHBepreH~Hje OBor pe,n;a ( -oo, 0) U (0, +oo).
(6) KaKo je orrmTYI 'IJiaH pe,n;a fn(x) =(sin nx)jn2 , ,n;o6njaMo ,n;a 3a cBaKo
X E R BruKH
lfn(x)l < I sin nxl 1 - n2 <-- n2.
C c · '\'X 1 003I1p0M ,n;a xapMOHHJCKH pe,n; Lm=l? KOHBepnrpa, CJie,IJ;H ,n;a ITOCn-
MaTpaHH cpyHK~HOHaJIHH pe,n; arrconyTHO KOHBeprYipa 3a cBaKo x E R. CTora
je o6nacT KOHBepreH~nje ,n;aTor pe,n;a ~ena peaJIHa oca R.
3BMPKA 3ALIATAKA 49
(r.r,) Y OBOM CJiy'-!ajy HMaMo .ua je fn(x) = n/2nx
q = 1/2x > 0 3a cBaKo x E R. O.uaB,n:e .uo6HjaMo .ua je
nqn, rrpH '-!eMy je
fn+l(x) n+1 fn(x) = ~n-q rv q (n-roo).
CTora Ha ocHoBy 1IaJiaM6epoBor Kp:viTepHjyMa ,n:aTH pe.u KOHBeprHpa 3a q < 1, Tj. 3a x > 0, a ,UHBeprHpa 3a q > 0, Tj. 3a x < 0.
3a x = 0 .uo6HjaMo .ua je fn(O) = n, rra OBaj pe.n: O'-IHrJie,UHo .UHBeprHpa.
CTora je 06JiaCT KOHBepr8HUHje IIOCMaTpaHOr pe,n:a HHT8pBaJI (0, +oo).
(.u) OrrrnTH '-IJiaH pe,n:a je,UHaK je fn(x) = sin(x/2n) (n = 0, 1, 2, ... ). KaKo
3a rrpoH3BOJhHO x E R HMaMO .ua x /2n -r 0 Ka,n:a n -r oo, CJie,n:H .ua j e
I xI I xI lxl lfn(x)l = sin 2n rv 2n = 2n (n-roo).
K . ~= lxl aKO J8 pe,U wn=O 2n KOHBepreHTaH, CJI8,Ull ,n:a IIOCMaTpaHH pe,n: arrCOJIYTHO
KOHBeprHpa 3a cBaKo x E R. CTora je o,n:ronapajyna o6JiaCT KOHBepreHuHje
,n:aTor pe.ua r.r,eJia peaJIHa oca ( -oo, +oo).
(e) Kao IIITO CMO Ben BH,UeJm, xapMOHHjCKH pe,n: o6JIHKa ~00_ 1 I_ KOHWn- nP
BeprHpa aKo H caMo aKo je p > 1. OrrrnTH '-IJiaH ,n:aTor pe.ua
f n (X) = n ln x = 1 n-ln X 1
O'-IHrJie,UHo je .ueqmHHCaH je caMo 3a x > 0, H Ha ocHoBy rropel)eroa ca xap
MOHHjCKHM pe,UOM OBaj pe,n: KOHBeprHpa aKO H CaMO aKO je -ln X> 1, Tj. 3a
ln x < -1, ,n:aKJie 3a 0 < x < 1/e. CTora je o6JiaCT KOHBepreHuHje ,n:aTor pe.ua
HHTe p B aJI ( 0, 1 /e) .
(¢) OrrrnTH G:JiaH pe,n:a je.n:HaK je fn(x) = (exf (n = 1,2, ... ), rra je
rrocMaTpaHH pe.u reoMeTpHjCKH H KOJIH'IHHK MY je je,n:HaK q = ex. KaKo je
0B,U8 q > 0, pe,n: KOHBeprHpa CaMO 3a q < 1, ,UaKJie aKO H CaMO aKO je X < 0.
CTora je o6JiaCT KOHBepreHuHje ,n:aTor pe.ua HHTepBaJI ( -oo, 0).
(r) KaKo je fn(x) = (ln xf, G:JiaHOBH pe.ua cy ,n:ecpHHHCaHH caMo 3a
x > 0, H pe.u je O'-IHrJie,n:Ho reoMeTpHjCKH. CTora OH KOHBeprHpa caMo 3a
lln xl < 1, Tj. 3a -1 < ln x < 1, Tj. 3a 1/e < x < e. CTora je o6JiaCT
KOH.sepreHuHje ,n:aTor pe.ua HHTepBaJI (1/e, e). 0
3AIIATAK 2. Kupucmefi:u Bajepwmpacoe r.;pumepujyM, OO'IW3amu
y1-m¢opM'HY ?W'Heepze'H'4ujy CJLeaenux peaoea:
50 3BI1PKA 3A1IATAKA
(a) I:cc cos nx n=1 2 n
(lxl < oo); (6) 1 _ 3sin nx
2::~=1 ( - 1)n nfo (lxl <
00);
(u) 2:~= 1 ln (1 + -!r) (0:::; x:::; 1).
PemeH>a. (a) KaKo j e orrmTH qJiaH .n:a Tor pe.n:a J n ( x) rrpOI13BOJbHO x E R I1 n E N B8)KH:
lfn(x)l = I cosnxl < ~ n2 - 2 · n
cos nx ~' 3a
KaKo pe.n: 2:~- 1 -; KOHBeprHpa, Ha OCHOBY BajepmTpacoaor KpHTepH- n jyMa, CJI8.1J:H .n;a IIOCMaTpaHH pe.n; YHHcpOpMHO KOHBeprHpa Ha U8JIOj peaJIHOj
rrpaaoj R.
(6) CJIWIHO, I13
f n (X) = ( -1) n 1 - 3 sin nx n,/n '
.n:o6Hj aMo .n:a j e 3a caaKo x E R H 3a cae n E N Hcrrya,eHo:
I ( ) I 11 - 3 sin nx I 1 + 31 sin nx I 4
J n X = r,;; :::; r,;; :::; ~/2 · nyn nyn n
1 KaKo xapMOHHjcKH pe..u 2::~- 1 ~12 TaKolje KOHBeprHpa, Ha ocHoay Bajepm- n TpaCOBOf' Kpi1T8pHjyMa CJI8.n;H .n;a .n;aTH pe.n; ym-rcpopMHO KOHBeprHpa Ha U8JIOj
peaJIHOj rrpaaoj R.
( u) OrrmTH '-IJiaH .n;aTor cpyHKUHOHaJIHOr pe..ua r JiaCH
fn(x) = ln (1 + : 3 ),
H Q"t{Hf'JI€..UHO je ,.U06po .n;ecpHHHCaH 3a CBaKG X ~ Q. liaJLe DeMO I1CKOJ:YkiCTI1TI1
II03HaTy Heje.n:HaKOCT ln (1 + u) :::; u Koja Ba)KH 3a caaKo u ~ 0. Ha ocHoay
OB€ Heje.n;HaKOCTI1 .n;o6HjaMO ,.Ua je
X 1 0:::; fn(x):::; 3:::; 3
n n
1
(O:::;x:::;l).
KaKo je ..uaJLe xapMoHMjCKH pe..u I::=l --=-3 KOHBepreHTaH, Ha ocHoay Bajepmn
TpaCOBOf' KpHT€pHjy:Ma CJI8..UI1 .n;a .n;aTH pe..u YHHcpOpMHO KOHBeprHpa Ha HH-
T8pBaJiy [0, 1]. 0
3BI1PKA 3A1IA TAKA 51
3. CTerreHH pe,.r~OBH
3aAaTru<. 3. Hafi.u oihoeapajyne uHmepea.!l,e '1\',0'H.eepzeHv,uje C.!l,edenux
cmene'Hux peooea
(1 0) xn
(20) 2n
(30) ~oo n + 1 n ~~=1 n·2n;
~oc --xn. x· n=O n + 1 ' n=O )2n + 1 '
(40) ~oo n n n=1 n X ; (50) ~oo n n=l nx ; (60) Loo ( -l)n Xn. n=O n + 1 '
(70) Loo ( -l)nn (x + 2)n. (80) oo ( -l)nn3 n
n=l n2 + 1 ' ~n=l 3n (x+3);
(90) ~oo (n + 1)! (x- 2)n. n=O 5n ' (10°) Loo- ( -1)n ~ (x- 1)n. n-1 nn
PemeH.a. (1 °) I1ManeMo .n:a je an = 1/n · 2n > 0 (n = 1, 2, ... ) , rra je
an 1
n·2n n + 1 an+1
1 =2 - - 1 (n+1)·2n+l n - 2(1 + -) n'
o,n:aKJI8 j 8 IIOJiyiip8'-IHllK KOHB8pf'8HIJ;llj 8
R = lim ~ = lim 2 ( 1 + ~) = 2. n-->oo an+l n-->oo n
CTora OBaj cTerreHH pe.n: KOHBeprnpa y MHTepBaJiy ( -2, 2).
3a X = 2 ,n:aTM pe,n: IIOCTaje ~~-1 ~, ,n:aKJI8 ,I{HBeprnpa. 3a X = -2 OH - n . ~oo (-1)n
rrocTaJe L..,..n-l , rra KOHBeprnpa. - n CTora je MHTepBaJI KOHBepreHu;Hje ,n:aTor pe.rr;a [ -2, 2), Tj. -2::::; x < 2.
(2°) Y OBOM CJiy'-Iajy MManeMO ,.[{a je an = 2nj(n + 1) > 0 3a CBaKO
n = 0, 1, 2, .... O,n:aB,n:e j-e
2n an _ n+1 n + 2 1 1 ( -1 ) 1
an+l - ~n:~ = n + 1 2 = 2 l + n + 1 -+ 2 (n-+oo),
rra je rroJiyrrpe'-IHHK KOHBepreHu;nje OBor pe.n:a:
a 1 n -R = lim--- 2 n-+oc an+l
CTora .n:an-r pe.rr; KOHBeprHpa 3a lxl < 1/2. 3a x = 1/2 oBaj pe.n: rrocTaje
L~=O 1/(n+l), ,n:aKJie .rr;nBeprnpa, a 3a x = -1/2 rrocTaje ~:=0 (-l)n1/(n+l), .rr;aKJie KOHBeprHpa.
CTora je HHT8pBaJI KOHBepreHu;Hje IIOCMaTpaHOf' pe.rr;a [-1/2, 1/2).
52 3BI1PKA 3A.llATAKA
(3°) CBH Koecfm:o:uj eHTH an H OBOr pe,n;a cy IT03HTI1BHI1, vr rrpvrTo::vr j e
an n + 1 ~ 2n + 3 ( 1 ) / 2 an+l = n + 2 2n + 1 =
1 - n + 2 V 1
+ 2n + 1 --+ 1
Ka,n;a n --+ oo. CTora je rroJiyrrpeqmrn KOHBepreH:o:uje OBOr pe,n;a R = 1, rra
OBaj pe,n; KOHBeprHpa y liHT€pBaJiy ( -1, 1).
3 . . "'oo n + 1 . a X = 1 OBaJ pe,n; ITOCTaJ€ L.m-O , li KaKO J8
- v2n + 1
n + 1 jn 1 + 1/n jn v2n + 1 = v 2 )1 + 1/2n r-v v 2 --+
00 (n--+oo),
,n;o6nj arv.LO ,u:a orrmTvr 'tJ:JiaH pe,n;a He Te)KII 0 Ka.n;a n --+ co, rra pe.n: .n;vrBeprvrpa.
3a X = -1 HMaMO C.l!HqHO .n;a OIIIDTI1 'tJ:JiaH pe.n;a ITO anCOJIYTHOj Bpe.n;
HOCTH T€)KH Ka +oo, rra I1 y TOM CJiyqajy pe.n; .l(l1B€prvrpa.
CTora je HHTepBaJI KOHBepreH:o:nje ,n;aTor pe,n;a (-1,1), Tj. lxl < 1.
(4°) CBH Koecfm:o:njeHTH an = nn H OBor pe,n;a cy IT03HTHBHH, H rrpHTOM
Je ya;;; = n. KaKo ya;;; --+ oo Ka,n;a n --+ oo, ,n;o6n:jaMo .n;a je rroJiyrrpe'tiHHK
KOHBeperH:o:n:j e pe.n;a
1 = 0. R = · nf[L hmn-.oo Y '-"n
CTora .n;aTn pe.n; KOHBeprvrpa caMo 3a x = 0.
(5°) KaKo je an= n > 0 3a cBaKo n EN, ,n;o6njaMo ,n;a je
an n 1 --=--= --+1 an+l n + 1 1 + 1/n
Ka,n;a n --+ oo, rra je rroJiynpe"tJ:IDIK KOHBepreHIJ;vrje pe.n;a R = 1. CTora .n;aTH
pe,n; KOHB.eprupa y HHT€pBaJiy (-1, 1). 3a x = ±1 ,n;aTH pe,n; 0'-IHrJie.n;Ho ,n;:vmeprnpa jep fn(±1)nl = n --+ +oo,
.n;aKJie orrmTH qJiaH pe.n;a He Te)KH 0. CTo-ra je HHTepsaJI KOHBepreH:o:rrje ,n;aTor
pe,n;a ( -1, 1).
(6°) KaKo jean= (- 1 )~ -:j:: 0 (n EN), ,n;o6n:jaMo .n;a je n+
fan[ n+2 1 -'I a-n+---'l-1 = -n -+-1 = 1 + -n -+-1 --+ 1
Ka,n;a n--+ oo, o.n;aKJie cJie.n;n: ,n;a je noJiyrrpe'tiHHK KOHBepremrvrje pe,n;a
1. [ani = 1. R- lill I I - n-;.oo an+l
3BHPKA 3AliA TAKA 53
CTora je HHT8pBaJI KOHB8pi'8HUHje pe,n:a ( -1, 1). 3a X = 1 ,n:aTH pe,n: KOH
B8pi'Hpa Ha OCHOBY Jlaj6HHUOBOI' KpHT8pHjyMa, a 3a X= -1 OH .IUIB8prHpa.
CTora j e HHTepBaJI KOHBepreHuHj e OBor pe,n:a ( -1, 1].
(7°) KaKO cy CBH Koeqmu:vrjeHTH an OBOr pe,n:a pa3JIH<.IHTH O.LJ: HyJie,
HMaMO ,n:a je
I ani
lan+ll (n+1)2 +1 n
n 2 + 1 n + 1
(1 + 1/n)2 + 1/n2 1 ...:.___.:....___.: _ ____:__ -- --+ 1 1 + 1/n2 1 + l ' n
Ka,n:a n --+ oo, rra je rronyrrpe<.IHHK KOHBepreHu:vrje R = 1. CTora ,n:aTH pe.n:
KOHBepr:vrpa 3a lx + 21 < 1, Tj. 3a -1 <X+ 2 < 1, O,n:HOCHO 3a -3 <X< -1.
3a X = -1 pe,n: KOHB8pr:vrpa Ha OCHOBY Jiaj6HHUOBOr KpHT8pHjyMa, jep je
aJIT8pHaTHBaH, 3aTHM
n --+0 lanl = n2 + 1 (n--+oo),
H MOIKe ce naKo BH.LI:8TH .n:a BaJKH ian I 2: ian+ II ( n E N), Tj.
n n+1 ->--n2+1- (n+1) 2 +1
(n EN).
3a X = -3 pe,n; ,ll;HBeprHpa jep je H>8I'OB OIIIIITH <.IJiaH
n 1 1
n 2 + 1 n 1 + 1/n
1 ' n
1 a o,n:roBapajyn:vr xapMoH:vrjcKH pe,n; L~=l -, Kao mTo je rro3HaTo, .IUIBepr:vrpa.
n CTora je HHTepBaJI KOHBepreH:u:vrje ,n:aTor pe,n:a ( -3, -1].
(-1)nn3 (8°) KaKO je an = "~ ' .n:o6:vrjaMo .n:a je
I I n3 1 an -3 = 3-- 3
lan+ll- (n+ 1)3 (1+~) --+3 (n--+oo),
rra je rronyrrpe<.IHHK KOHBepreHUHje OBor pe,n;a R = 3. CTora oBaj pe.n: KOH
BeprHpa 6ap y HHT8pBaJiy lx + 31 < 3, Tj. 3a -3 < X+ 3 < 3, O.LJ:HOCHO 3a
-6 <X< 0.
3a X= 0 HJIH X = -6 ,LI;06HjaMO ,n:a je
ian (x + 3)nl = n3,
rra ,n:aTH pe.n: ,n::vrBepr:vrpa jep ILeroB OIIIIITH "Y:JiaH He TeJKH HYJIH. CTora je
HHT8pBaJI KOHBepr8H:UHje ,n:aTOI' pe,n:a HHT8pBaJI ( -6, 0).
54 3BMPKA 3A1IA TAKA
(9°) KaKo je an= (n + 1)!/5n, .uo6HjaMo .ua je
an 5 an+l = n + 2 ---+ 0 (n ---+ oo ),
na je noJiynpeqHHK KOHBepreHIJ;Hje R = 0. CTora .uaTH pe.u KOHBeprHpa caMo
3a x = 2.
(10°) Y oBOM cJiyqajy m.mneMo .ua je
( -1)n 1 vlaJ = ~ ---+ 0 (n---+ oo), an= nn ' lanl = ---;;:' n n
o.uaKJieje
R= 1
-00 limn-+oo vfcLJ - .
O.uaB.ue CJI8.UH .ua .uaTH pe,n: KOHBeprHpa 3a cae Bpe.UHOCTH x E R, rra je I:beroa
HHTepaaJI KOHBepreHIJ;Hj e IJ;eJia peaJIHa oca R. D
4. TejJiopoB pe,n:. cpyHRn_Mje
3A1IATAK 4. Pa3aumu y Tej./l,opoa pea C./l,eaetie ¢YH~v,uje:
1 1 (1 °) - r y ma"i~U Xo = -3; (2°)
2 , y ma"i~U xo = 1;
x x+3
(3°) sinx , y ma"i'X:U x0 = 7r/2; (4°) ln (3x- 2) , y ma"i'X:U x0 = 2;
(5°) e-x , y ma"i~U xo = -1; (6°) ..JXTI , y ma"i'X:U xo = 1.
Pemea:.a. (1 °) AKa yBe.ueMo eMeRy x + 3 = u, Tj. x = u- 3, ,n:o6HjaMo
.ua Je 1 1 1 1 1
f(x) =- = -- = --- = ----x u - 3 3 - u 3 1 - u/3
=-~(1+¥+(¥_)2 +(¥)3 +···) =
1 1u 1 2 1 3 = --3- -3 -3- _3_3_2 u - _3_3_3 u . .
o.uaKJie je, apanaiLeM Ha x:
f(x) = -~ _ x + 3 _ (x + 3)2 3 32 33
(x + 3)3 34
ilpeTXO.UHH pa3BOj Ba/KH 3a lx + 31 < 1, Tj. 3a -1 < X+ 3 < 1, O.UHOCHO
3a -4 < x < -2.
3BMPKA 3AIIA TAKA 55
(2°) AKo yBe,n;eMo cMeHy x- 1 = u, Tj. x = u + 1, cmrqHo .n;o6MjaMo .n;a
J8 1 1 1 1 1
f(x) = 2x + 3 = 2(u + 1) + 3 = 5 + 2u = 5 1 + 2u/5
= ~ ( 1 _ 2; + ( 25u) 2 _ ... ) = ~ _ ~ ~ u + ~: u3
_ ... =
1 2 22 2 = 5- 52 (x- 1) + 53 (x- 1) - ....
0Baj pa3BOj BaJKM 3a lx-11 < 1, O,JJ;HOCHO 3a -1 < X-1 < 1, Tj. 3a Q <X< 2.
(3°) CMeHOM x = 1r /2 + u .n;o6MjaMo .n;a je
u2 u4 u6 f ( x) = sin x = sin ( 1r /2 + u) = cos u = 1 - - + - - - + · · · =
2! 4! 6! (x- 1r /2) 2 (x- 1r /2) 4 (x- 1r /2) 6
=1- + - + .... 2! 4! 6!
TipeTXO.n;HI1 pa3Boj BaJKI1 3a cBaKo x E R.
( 4°) CMeHoM x- 2 = u, .n;o6MjaMo .n;a je
KaKo je
f(x) = ln (3x- 2) = ln (3(2 + u)- 2) = ln (4 + 3u) =
= ln 4(1 + 3u/4) = ln 4 + ln (1 + 3u/4).
x2 x3 ln (1 + x) = x-- +-- · ..
2 3 (lxl < 1),
.n;o611jaMo .n;a je
3u 1 ( 3u) 2 1 ( 3u) 3 f ( x) = ln 4 + 4 - 2 4 + 3 4 - ... =
3 32 33 = ln 4 +- (x- 2)- -- (x- 2) 2 + -- (x- 2) 3 - ....
4 2. 42 3. 43
TipeTXO.n;HI1 pa3BOj BaJKI1 3a 3lx-2l/4 < 1, Tj. 3a -4/3 < X-2 < 4/3, O,miOCHO
3a 2/3 < x < 10/3.
(5°) CMeHOM x + 1 = u .n;o611jaMo .n;a je
. ( u u2
u3
) f(x) =e-x= e-(-l-ru) = el-u = e · e-u = e 1- l! + 2T- 3! + · · · = e e 2 e 3 = e- - (x + 1) + - (x -L 1) - - (x + 1) - .. · . 1! 2! I 3!
f'opiLM pa3Boj BaiKM 3a cBaKo x E R.
56 3BHPKA 3A.LIATAKA
(6°) AKo yBe.n;eMo cMeHy x- 1 = u, ,n;o6MjaMo ,n;a je
f(x) = v'x+1 = J2 + u = v'2 )1 + u/2 =
= v'2(1 + (1{2) ~ + (1~2) (~f + (1~2) (~)3 + ... ) =
= y'2 + vf2 (1{2) (x; 1) + V2(1~2) (x; 1 f + ... .
IIpeTXO,UHM pa3Boj Ba.JKH 3a lx- 11/2 < 1, O.LJ;HOCHO 3a -2 < x- 1 < 2, Tj. 3a
-1<x<3. 0
3A1IATAK 5. Pa3eumu y Ma'K.!topenoe pea c.~teaene tftyn'Kv,uje:
(10)
(60)
1
2 +3x' arc tg x;
(20)
(70)
X (30) --X -1'
. ( 71"). sm x- 4 '
Perneiba. (1 °) KaKo je
1 f(x) =
sh x; (4°) ch x;
(80) 7r
cos (2x- 4 );
1 1 ---2 1 + (3x/2)'
aKO YB8,U8MO CMeHy 3x /2 = U l1 l1CKOpi1CT¥IMO pa3BOj
1 -- -1 2 1 + u - - u + u - u3 + ... (lui < 1),
,n;o6MjaMo ,n;a je
(5°) \11 + x 3 ;
(9°) sin2 x.
j (X) = ~ [ 1 - 32X + ( 32X r -... ] = ~ - 232 X + ~: X2 - ....
IlpeTXO,UHM pa3BOj Ba.JKH 3a lxl < 2/3.
(2°) liaJbe je
X 1 ( 2 3 ) f(x)=--=-x--=-x 1+x+x +x +··· = x-1 1-x
= -x - x 2 - x3
- · · · .
IlpeTXO,UHM pa3BOj I38JKH 3a lxl < 1.
(3°) KopMcTeflM ,n;eqmHMUHjy ¢YHKUMje sh x 11 pa3BOj y MaKJIOpeHOB pe,n;
cflyHKUMje ex, .LJ;06MjaMO ,n;a je
ex -e-x 1 1 f(x) = sh x = = -ex- -e-x =
2 2 2
= ~ (1 + x + x2 + x3 + ... ) - ~ (1- ~ + x2 - x3 + ... ) = 2 1! 2! 3! 2 1! 2! 3! x x3 xs x x2n-1
= _11 + -3 ~ + ~ + .. · = I: . . . . . o. n=l
3BI1PKA 3AliATAKA
f'opH>:vr pa3aoj BadKH 3a caaKo x E R.
(4°) Cn:vr'l:HO je
ex+ e-x f(x) = ch x = ---
2
1 ( x x2 x3 ) 1 ( x x2 x3 ) =2 1+1!+2!+3!+"· +2 1-1!+2!-3!+· .. = x2 x4 oo x2n
= 1 + 2! + 4! + · .. = L ( 2n)! · n=O
lOplliH pa3BOj Ba>Im 3a CBaKO peaJIHO X.
(5°) I1cKOpHCTHDeMO T3B. 6HHOMHll pa3BOj
(1 +x)a = ~ (~) x" (jxj < 1),
rrp:vr 'l:eMy je 3a IIpOH3BOJI,HO peaJIHO o::
(o:) = o: ( o: - 1) .. · ( o: - n + 1) . n n!
IIoce6Ho 3a o: = 1/2 ,n;o6:vrjaMo ,n;a je
f(x) = /1 + x3 = ~ c~2) x3" =
= 1 + ~ x3 + ~ ( ~ - 1) x6 + ~ ( ~ - 1) ( ~ - 2) 9 -
2 21 X + .. ·-. 3!
x3 1 6 3 9 =1+---x +-x
2 8 16
rrp:vr "48MY OBaj pa3BOj BadKll3a jxj 3 < 11 Tj. 3a CBaKO X E (-1,1). (6°) KaKo je ¢YHK:o;:vrja f(x) =arc tg X 1 Hana3HMO ,n;a je
'( ) 1 2 4 f x= =1-x+x-··· , ' I') '
57
rrp:vr 'IeMy rop&n pa3Boj aaam 3a jxj < 1. I4HTerpa:o:njoM ropH>er pe,n;a 'IJiaH
no •:maR, ,n;o6vrjaMo ,n;a je 3a jxj < 1:
x3 xs x7 f(x) = C + x- 3 +5-7+···.
KaKo jc ,n;aJLc f(O) = arc tg 0 = 0, cne,n;:vr ,n;a je C = 0, rra TpameH:vr pa3BOJ
rnac:vr x3 xs
f(x) = x- 3 + 5 - ... (lxl < 1).
58 3EMPKA 3A1IA TAKA
MHTepBaJI KOHBepreH:o;Rj e oBor M aKJiopeHoBor pe,ua j e ( -1, 1).
( 7°) MManeMo ,ua j e
f( ) . ( 7r) . 7r . 7r x = sm x - 4 = sm x cos 4 - cos x sm 4 =
J2. J2 = - sm x - - cos x = 2 2
= v; (X - ~~ + ~~ - · · · ) - v; ( 1 - ~~ + ~~ - · · · ) =
J2 J2 J2 1 2 J2 x3 =--+-x+--x ----···
2 2 2 2! 2 3! .
0Baj pa3BOj Ba:t~m 3a cBaKo x E R, ,uaKJie Ha :o;eJioj peaJIHoj ocR.
(8°) KopRmneiLeM a)lH:o;ROHRX o6pa3aua, ,uo6RjaMo ,ua je
( 7r) 7f 7r f ( x) = cos 2x - 4 = cos 2x cos 4 + sin 2x sin "4 =
= J2 (1 _ (2x)2 + (2x)
4 _ ... ) + J2 (2x _ (2x)
3 + (2x)5
_ ... ) = 2 2! 4! 2 3! 5!
J2 J2 J2 22x2 J2 23x3 = 2 + 2 (2x)- 2 2!- 23! +··· ·
IIoKa3yj e ce ,n:a R oBaj pa3Boj BaJKll 3a cBaKo x E R, Tj. Ha ueJioj peaJIHOj
OCR R.
(9°) MManeMo .n:a je
J(x) = sin2 x = 1- cos2x = ~ _ ~ [1 - (2x)2 (2x)4 J 2 2 2 2' + -,- - . . . =
1 22 4 . 4
· ___ 2 12 4 - 2 2! X - 2 4! X + ....
IIoKa3yje ce ,n:a R oBaj pa3Boj Ba.JKR Ha ueJioj peaJIHoj ocR R. 0
5. <J?ypMj eOBM pe)l;OBM
3AliATAK 6. Pa3eumu y 1>ypujeoe pea rfty?-i'K:V,ujy
{ 2 -7r <X< Q
f(x)= 1:0:Sx<1r.
PemeiLe. llaTa ¢YHK:o;Hja. OCIHrJie.n;Ho 3a.n;oBoJLaBa ycJioBe o,uroBapajy
ner TeOpHjcKor CTaBa ,ua ce MO:tl<e pa3BHTH y ci>ypRjeoB pe,u. IIpRTOM HHje
3BHPKA 3A1IATAKA 59
HH rrapHa HM HerrapHa, M H>eHe KoectJH:o;HjeHTe an, bn HaJia3HMO no cpopMyJIH:
111T an = - f ( x) cos nx dx ( n = 0, 1, 2 ... ) , Ti -JT
111T bn = - f(x) sin nx dx Ti -1T
(n = 1, 2, ... ).
HManeMo .n:a j e
1 11T 1 10 11T 1 0 1T a0 = - f ( x) dx = - ( 2 dx + 1 dx) = - ( 2x j_ + xI ) = Ti -JT Ti -JT 0 Ti 1T 0
1 = -(27r + Ti) = 3,
Ti
o.n;aKJie je ao/2 = 3/2, M
111T 1 10 11T an = - f ( x) cos nx dx = - ( 2 cos nx dx + cos nx dx) = Ti -:rr Ti -JT 0
= ~ ( 2 sin nx I o + sin nx 11T) = ~ ( _ 2 sin (-n 1r) + sin ( n 1r) ) = 0, 1r n -JT n o 1r n n
(n = 1, 2, ... ). liaJLe je 3a cBaKo n = 1, 2, ... :
111T 1 10 11r bn = - f ( x) sin nx dx = - ( 2 sin nx dx + sin nx dx) = Ti -JT Ti -JT 0
_ 1 ( cos nx. j o cos nx jlT) _ 1 ( 2 ( ) cos n 1r - 1 ) _ - - - 2 - - - - - 1 - cos n1r - -1r n -rr n o Ti 1r n 1 1 1 1 n = -(-- )(1- cosn1r) = --(1- cosn1r) = --(1- (-1) ) = 1r n n1r n1r
= { -2/~, n = ~k- 1, k = 1, 2, .... 0, n- 2k, k - 1, 2, ...
CTora je
S(x) = ~ _ ~ ~ sin(2n- 1)1r 2 Ti ~ 2n -1 ·
n=l
llpMTOM je Ha ocHoBy 1IMpi1xJieoBe TeopeMe S(O) = 3/2 M S(±1r) = 3/2. 0
3AJIATAK 7. Pa3eumu ¢Y'H-'K:'4ujy f(x) = 1r- x y Pypujeoe peo 'Ha
u'Hmepea.Jty (-1r,1r).
PemeH>e. O.n:roBapajyfiH KoecfJH:o;IifjeHTiif an, bn <I>ypMjeoBor pe.n:a rJiace: 1T 7r
ao = 2_ j(Ti- x) dx = 27r Ti
an = : j ( 7r - x) cos nx dx = 0 , II
-rr -JT
7r
1 ;· 2(-1)n bn = - ( Ti - .T) sin nx dx = -----'--
7!" n -1i
60 3BHPKA 3AliA TAKA
rra je <l>ypHjeoB pen ,naTe ¢YHKUHje
= S ( x) = 7r + 2 2:::) _1) n sin nx
n=l n (-7r<X<7r).
Ha cJie.n:enoj cJIHUH rrpHKa3aH je rpa¢HK ¢YHKUHje F(x), Koja rrpe.n:cTaBJLa
rrepHO.UH'IHO rrpo.n:yJKeH>e ¢YHKUHj e f ( x) = 7r - x Ha CKyrr R. 0
y
-57r -37r -7r 7r 51!' X
Cn. 2.1
3AllATAK 8. Pa3eumu rfiynr.:v,ujy f(x) = { 0, _ 7l" < x < 0 y <Pypu-
os;x<1l" x, jeoe pea na unmepea./l,y ( -7!", 7r).
Perne:a,e. liaTa ¢YHKUHja j(x) TaKol)e 3a,n;oBoJLaBa ycJioBe rro3aTor
TeopHjCKOr CTaBa. O.n:roBapajynH Koe<j>HUHjeHTH an, bn HMajy CJie.n:ene Bpe.n:-
HOCTH: 7r 0 7r
ao = ~ J f ( x) dx = ~ [ J f ( x) dx + J f ( x) dx] -7!" -7r 0
7r 7r 7r
= ~ [ J 0 dx + j x dx] = ~ j x dx = ; ; -7!" 0 0
{
-2 1 Jrr - --2 , n = 1, 3, 5, ...
an = -- x cos nx dx =- 1l"n 7!"
o 0, n = 2, 4, 6, ...
7r
1 J . ( -1)n+l bn = -; x sm nx dx =
0
ITa je <J>ypHjeoB pe,n: IIOCMaTpaHe <iJyHKUHje
S( ) _ 7r ~ 2 cos(2n- l)x r )n+l sin nx J 0 X --+L.._., -- +\-1 --. 4 n=l 7!" (2n- 1)2 n
3BHPKA 3A1IATAKA 61
y
-47r -37r -27r -Jr 0 7r 27r 37r 47r X
CJI. 2.2
3AllA TAK 9. Pa3t3umu y <Pypujeoe pea rfiynx;v,ujy f(x) = sin,2 x na
unmepea.Ay [-1r, 1r].
Peme:a,e. liaTa <fJYHKU:Hja je O'II1TJie,n;Ho rrapHa, rra IneH pa3BOj y <Py
pHjeoB pe,n; ca,n;pJKM caMO KOCHHyce. Y IIOCMaTpaHOM CJiy-qajy OBaj pa3BOj Ce
Mome HanH Herrocpe,n;Ho. HaHMe, HManeMo ,n;a je
1- cos 2x 1 1 f( x) = = -- - cos 2x
'"' 2 2 '
o,n;aKJie je ao = 1, a2 = -1/2, an= 0 (n = 1, 3, 4 ... ). D
3AJIATAK 10. Pa3eumu rfiynx;v,ujy j(x) = x 2 y <Pypujeoe pea na
unmepe-a.Ay [-1r, 1r].
Peme:a,e. KaKo je <fJYHKUHja f(x) = x2 rrapHa Ha HHTepBaJiy [-1r, 1r] II
3a,n;oBoJbaBa o,n;roBapajyner cTaBa, HoeH <PypHjeoB pe.n: HMa o6JIHK
IIpH TOM je
00
x2 = ~0 + L an cos nx .
n+1
11'
a0 = ~ j x2
dx = ~ 1r2;
0
11'
an = - x 2 cos nx dx = -.., , 2 J 4( 1)n 1f n
0
rra je <PypHjeoB pe.n: oBe <flyHKUHje
2 oc 1f
S ( x) = _ + 4 """ ( _ 1) n cos nx 3 L...t ~ . D n=1
62 3BI1PKA 3A1IATAKA
3Al[ATAK 11. Pa3eumu ¢yxx;v,ujy f(x) = x y <Pypujeoe pei:J na ux
mepea.Jty (-rr,rr).
PemeH>e. <!?yHKUHja f(x) = x 3a.n;oBOJbaBa ycJioBe craBa, rra ce MOtt:e
pa3BHTH Ha HHT8pBaJiy (-7r,7r). KaKO je j(x) =X HerrapHa cpyHKUHja, OBaj
pe.n: HMane o6JIHK
IIpH TOM je
CXJ
x = L bn sin nx . n=l
2 'IT
bn = J -; xsinnxdx = 2(-l)n+l
o n
rra je o.nroBapajynH <!?ypHjeoB pe.n: cpyHKUHje
CXJ
S ( x) = 2 L ( _1) n+ 1 sin nx . n=l n
(n EN),
0Ba peJiaUHja B3.1KH 3a CBaKO X E ( -7f, 1r). Y T3.'IKaMa X = ±7r cyMa
S(x) ce He rroKJiarra ca Bpe.n:HOCTHMa cpyHKUHje f(x) = x; cyMa S(±1r) = f(-rr)2+f(rr) = 0. I13BaH HHTepBaJia [-1r, 1r] cyMa S(x) je rrepHO.[(H'IHO rrpo-
.n:ytt:ei:he cpyHKU.Hje f(x) = x. IbeH rpacpHK rrp:~ma3aH j e Ha cJie.n:enoj CJIHU:H :
y
X
Sl. 2.3
X 3A1IATAK 12. Pa3eumu y <Pypujeoe pei:J ¢yxx;v,ujy f(x) = sin 2 na
uxmepea.Jty [ -rr, rr J.
PemeH>e. liara cpyHKUHja je raKol)e HerrapHa, rra ILeH pa3Boj y <I>ypH
jeoB pe.[( Ca.[(piKH CaMO CHHyce. llpHTOM je 33. CBaKO n = 1, 2, ... :
bn = ~ rr f(x) sin nx dx = ~ (1[ sin:. sin nx dx. rr)0 rr)0 2