analiz 4 ders notları - marmara Üniversitesi · 2020. 5. 25. · 4 1. hafta olarak...

Analiz 4 Ders Notları

Taylan Senguumll

25 Mayıs 2020

Luumltfen goumlrduumlguumlnuumlz hataları bildiriniz

Iccedilindekiler

Iccedilindekiler 1

1 Hafta 3Limit 3

2 Hafta 13Suumlreklilik 13Kısmi Tuumlrevler 15

3 Hafta 21Tuumlretilebilme 21Zincir Kuralı 26

4 Hafta 29Kapalı ve Ters Fonksiyon Teoremleri 29Youmlnluuml Tuumlrev 33

5 Hafta 37Analitik Geometri Vektoumlrler Dogrular ve Duumlzlemler 37

1

2 ICcedilINDEKILER

6 Hafta 43Teget Duumlzlem 43

7-8 Hafta 53Ektremum Problemleri 53Lagrange Ccedilarpanları Youmlntemi 58

9-10 Hafta 63Ccedilok Katlı Riemann Integralinin Tanımı 63Iki Katlı Integrallerin Hesaplanması 66Iki Katlı Integrallerde Degisken Degistirme 69

2020 Bahar Doumlneminde Islenmeyen Konular 71Uumlccedil Katlı Integraller 71Zorunlu Olmayan Bilgiler 73

Kaynakccedila 77

1 Hafta

Limit

Oumln Tanımlar

Iki (x0 y0) (x1 y1) isin R2 noktası arasındaki mesafe

(x0 y0)minus (x1 y1) =radic

(x0 minus x1)2 + (y1 minus y1)2

olarak tanımlanır

Tanım 1B(x0y0)r = (x y) isin R2 (x y)minus (x0 y0) lt r

kuumlmesine (x0 y0) merkezli ve r yarıccedilaplı accedilık disk denir R sub R2 olsun ve (x y) isin R

olsun Eger Rrsquonin iccedilinde kalan (x y) merkezli bir accedilık disk varsa (x y) noktasına Rrsquoninbir iccedil noktası denir Eger Rrsquonin her noktası bir iccedil noktaysa R kuumlmesine bir accedilıkkuumlme denir (x y) noktasını iccedileren bir accedilık kuumlmeye (x y) noktasının bir komsulugudenir R sub R2 olsun Eger R2 R kuumlmesi accedilıksa R kuumlmesine kapalı kuumlme denir

Bu derste temel olarak iki degiskenli gerccedilel-degerli fonksiyonlardan bahsedecegizYaptıgımız seyler genellikle kolay bir biccedilimde uumlccedil veya daha ccedilok degiskenli ve gerccedilel-degerli fonksiyonlara da genisletilebilir Iki degiskenli bir fonksiyonu tanımlarken ta-nım kuumlmesinin verilmesi gerekir Mesela A sub R2 kuumlmesi f gerccedilel degerli fonksiyo-nunun tanım kuumlmesi ise f A sub R2 rarr R olarak yazarız Eger fonksiyonu tanımlarkentanım kuumlmesini belirtmez isek tanım kuumlmesi fonksiyonun kuralının tanımlı oldugu tuumlm(x y) isin R2 ikililerinin kuumlmesi olur

Oumlrnek 1 f(x y) =radicy minus x2 fonksiyonun tanım kuumlmesi A = (x y) isin R2 y ge x2

kuumlmesidir

Oumlrnek 2 f(x y) = 1xy

fonksiyonun tanım kuumlmesini yazınız

Eger f A sub R2 rarr R ve g B sub R2 rarr R ise f + g A capB rarr R fonksiyonu

(f + g)(x y) = f(x y) + g(x y)

3

4 1 HAFTA

olarak tanımlanır Iki fonksiyonun ccedilarpımı farkı ve boumlluumlmuuml de (sıfıra boumllmemeye dikkatederek) benzer sekilde tanımlanır Eger f A sub R2 rarr R g Rrarr R ise g f A sub R2 rarrR bileske fonksiyonu

(g f)(x y) = g(f(x y))

olarak tanımlanır

Oumlrnek 3 Iki degiskenli gerccedilel degerli bir fonksiyonun bir seviye egrisi fonksiyonunsabit degere esit oldugu noktalar kuumlmesidir f(x y) = x2 + y2 fonksiyonun 3 boyutluuzayda grafigini ccedilizip xy duumlzlemi uumlzerinde seviye egrilerini goumlsterin Bu fonksiyonunseviye egrileri x2+y2 = c esitligini saglar Bu fonksiyonun seviye egrileri xy duumlzlemindeorijin merkezli ccedilemberlerdir

Limit

Tanım 2 A sub R2 ve f A rarr R olsun Eger her ε gt 0 iccedilin bir δ gt 0 bulabiliyorsak oumlyleki

forall(x y) isin A 0 lt (x y)minus (x0 y0) lt δ =rArr |f(x y)minus L| lt ε (1)

ise lim(xy)rarr(x0y0) f(x y) = L yazılır

Uyarı 1 1 Limitin alındıgı (x0 y0) noktasında fonksiyonun tanımlı olması yani (x0 y0) isinA olması gerekmez Ancak (x0 y0)rsquoın A kuumlmesinin bir yıgılma noktası olması ge-rekir Bu her δ gt 0 iccedilin

0 lt (x y)minus (x0 y0) lt δ

sartını saglayan bir (x y) isin A elemanın olması anlamına gelir Yani limit alınannoktaya istenildigi kadar yakın bir x isin A noktası olmalıdır

2 Eger fonksiyon (x0 y0) noktasında tanımlı ise f(x0 y0) = L olması gerekmez Budurumda fonksiyona (x0 y0) noktasında suumlreksiz diyecegiz

|xminus x0| leradic|xminus x0|2 + |y minus y0|2 |y minus y0| le

radic|xminus x0|2 + |y minus y0|2

oldugundan

forall(x y) isin A |xminus x0| lt δ ve |y minus y0| lt δ =rArr |f(x y)minus L| lt ε (2)

goumlsterilirse lim(xy)rarr(x0y0) f(x y) = L olur

Oumlrnek 4 lim(xy)rarr(12) 2x+ y = 4 oldugunu εminus δ tanımını kullanarak ispatlayın

Ccediloumlzuumlm ε gt 0 iccedilin δ = ε3 seccedililirse yani |xminus 1| lt ε3 ve |y minus 2| lt ε3 ise

|2x+ y minus 4| = |2(xminus 1) + (y minus 2)| le 2 |xminus 1|+ |y minus 2| lt 3δ = ε

Oumlrnek 5 lim(xy)rarr(21)

xy + 2xminus y = 5 oldugunu εminus δ tanımını kullanarak ispatlayın

LIMIT 5

Ccediloumlzuumlm ε gt 0 olsun ve δ = min1 ε5 seccedilelim Bu durumda

|xminus 2| lt δ |y minus 1| lt δ

ise

|xy + 2xminus y minus 5| = |(xminus 2 + 2)(y minus 1 + 1) + 2(xminus 2 + 2)minus (y minus 1 + 1)minus 5|= |(xminus 2)(y minus 1) + 3(xminus 2) + (y minus 1)|le |xminus 2| |y minus 1|+ 3 |xminus 2|+ |y minus 1|le 1 middot |y minus 1|+ 3 |xminus 2|+ |y minus 1| lt 5δ lt ε

Teorem 1 lim(xy)rarr(x0y0) f(x y) = L ve lim(xy)rarr(x0y0) g(x y) = M ise

(1) lim(xy)rarr(x0y0)

(f(x y)plusmn g(x y)) = LplusmnM


(f(x y)g(x y)) = LM

(3) M 6= 0 ise lim(xy)rarr(x0y0)

f(x y)

g(x y)=

L

M

(4) (Bileske fonksiyonun limiti) F A sub Rrarr R fonksiyonu t = L isin Arsquoda suumlrekli ise

lim(xy)rarr(x0y0)

F (f(x y)) = F (L)

olur

(5) Eger f tek degiskenli bir fonksiyon ise

lim(xy)rarr(x0y0)

f(x) = limxrarrx0

f(x) lim(xy)rarr(x0y0)

f(y) = limyrarry0

f(y)

Kanıt (1)-(3) ispatları tek degiskenli durumdaki ile hemen hemen aynı Bunları sizispatlayın

Simdi (4)rsquouuml ispatlayalımε gt 0 verilsin F (t) suumlrekli oldugundan oumlyle bir δprime gt 0 vardır ki

forallt isin A 0 lt |tminus L| lt δprime =rArr |F (t)minus F (L)| lt ε (3)

Ayrıca lim(xy)rarr(x0y0) f(x y) = L oldugundan oumlyle bir δ gt 0 vardır ki

0 lt (x y)minus (x0 y0) lt δ =rArr |f(x y)minus L| lt δprime (4)

olur (3)rsquode t = f(x y) seccedilip (4)rsquoi kullanırsak

0 lt (x y)minus (x0 y0) lt δ =rArr |F (f(x y))minus F (L)| lt ε

Ispat bitti(5)rsquoi de siz ispatlayın

6 1 HAFTA

Oumlrnek 6 Teorem 1rsquoi kullanarak asagıdaki limiti hesaplayabiliriz

lim(xy)rarr(π32)

y sin(xy) = limyrarr2

y lim(xy)rarr(π32)

sin(xy) = 2 sin( lim(xy)rarr(π32)

xy)

= 2 sin

(limxrarrπ3 x

limyrarr2 y

)= 2 sin π6 = 1

Teorem 2 (Sıkıstırma Teoremi) Bir r gt 0 ve (x y)minus (x0 y0) le r olan her (x y) iccedilin

1 f(x y) le g(x y) le h(x y) ve

2 lim(xy)rarr(x0y0) f(x y) = lim(xy)rarr(x0y0) h(x y) = L

iselim

(xy)rarr(x0y0)g(x y) = L

olur

Oumlrnek 7

lim(xy)rarr(00)

x2y

x2 + y2

limitini varsa hesaplayın

Ccediloumlzuumlm

0 lt

∣∣∣∣ x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ x2

x2 + y2

∣∣∣∣ |y| lt |y|Sıkıstırma Teoremini uygula

Tek degiskenli fonksiyonlardaki sagdan veya soldan limit kavramı iki degiskenlifonksiyonlarda bir noktaya farklı egriler uumlzerinden yaklasma kavramına doumlnuumlsuumlr Tekdegiskenli fonksiyonlarda bir noktaya sadece iki youmlnden yaklasılabilirken iki degis-kenli fonksiyonlarda bir noktaya sonsuz farklı youmlnden yaklasılabilir

1 Tek degiskenli fonksiyonlarda sagdan veya soldan limit yoksa limit de yoktur Ikidegiskenli fonksiyonlarda ise (x0 y0) noktasını iccedileren herhangi bir C egrisi iccedilin

lim(xy)rarr(x0y0)

(xy)isinC

f(x y) limiti yoksa lim(xy)rarr(x0y0)

f(x y) limiti de yoktur

Tersine iki degiskenli bir fonksiyonun bir noktada limiti varsa herhangi bir youmln-den yaklasıldıgında da limitinin olması gerekir

2 Tek degiskenli fonksiyonlarda bir noktada sagdan ve soldan limit birbirine esitdegilse o noktada limit yoktur Iki degiskenli fonksiyonlarda eger (x0 y0) nokta-sını iccedileren iki farklı C1 ve C2 patikaları iccedilin

lim(xy)rarr(x0y0)

(xy)isinC1

f(x y) 6= lim(xy)rarr(x0y0)

(xy)isinC2

f(x y)

iselim

(xy)rarr(x0y0)f(x y) limiti yoktur

LIMIT 7

3 Oumlte yandan tek degiskenli fonksiyonlarda sagdan veya soldan limitin olmasıfonksiyonun o noktada limiti olacagı anlamına gelmez Benzer bir sekilde ikidegiskenli bir fonksiyon iccedilin (x0 y0) noktasında bir C egrisi iccedilin limitin olmasıo noktada fonksiyonun limitinin olacagı anlamına gelmez

Oumlrnek 8 Asagıdaki limiti varsa bulun

lim(xy)rarr(00)

2xy

x2 + y2

Ccediloumlzuumlm1 Metot (0 0) noktasına y = 0 dogrusu uumlzerinden yaklasırsak

lim(xy=0)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

xrarr0

0

x2 + 0= lim

xrarr00 = 0

(0 0) noktasına y = x dogrusu uumlzerinden yaklasırsak

lim(xy=x)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

(xy=x)rarr(00)

2xx

x2 + x2= lim

xrarr0

2x2

2x2= lim

xrarr01 = 1

Iki farklı egri uumlzerinden iki farklı limit degeri bulundugundan limit yoktur

2 Metot

lim(xy=kx)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

(xy=kx)rarr(00)

2xkx

x2 + k2x2= lim

xrarr0

2kx2

x2(1 + k2)=

2k

1 + k2

Sonuccedil krsquoya yani seccedililen egriye baglı oldugundan limit yoktur

Iki degiskenli fonksiyonlarda limit alınan noktaya sadece duumlz dogrular uumlzerindenyaklasmak yeterli olmaz


x2y

x4 + y2limitinin olmadıgını goumlsterin

Ccediloumlzuumlm Oumlnce duumlz dogrular boyunca yaklasalım

lim(xy=kx)rarr(00)

x2y

x4 + y2= lim

xrarr0

x2kx

x4 + k2x2= lim

xrarr0x

k

x2 + k2= lim

xrarr0x limxrarr0

k

x2 + k2= 0 middot k

k2= 0

Bu buldugumuz sonuccedil limit varsa 0 olmalıdır diyor Ama limit olmayabilir Bu seferparaboller boyunca (0 0)rsquoa yaklasalım

lim(xy=kx2)rarr(00)

x2y

x4 + y2= lim

xrarr0

x2kx2

x4 + k2x4=

k

1 + k2

Yani limit yoktur

8 1 HAFTA

Oumlrnek 10 a b negatif olmayan birer tamsayı m n ise ccedilift pozitif birer tamsayı c dise pozitif reel sayılar olsun

lim(xy)rarr(00)

xayb

cxm + dyn=

0 a

m+ b

ngt 1

yok am

+ bnle 1

ispat Ilk olarak am

+ bnle 1 oldugunda limitin olmadıgını goumlrelim k sabit bir sayı

olmak uumlzere (0 0) noktasına y = kxmn uumlzerinden yaklasalım Bu durumda

limxrarr0

k

c+ dknxa+bmnminusm

limiti a + bmn minus m lt 0 ise tanımsız a + bmn minus m = 0 ise krsquoya baglı oldugundana+bmnminusm le 0 iccedilin orijinal limitin var olmadıgını buluruz Bu da a

m+ b

nle 1 oldugunda

limitin olmadıgını goumlsterirSimdi a

m+ bngt 1 durumunda limitin 0 oldugunu goumlrelim Eger am gt 1 yani aminusm gt 0

ise ∣∣∣∣ xayb

cxm + dyn

∣∣∣∣ le 1

c

∣∣∣∣ cxm

cxm + dyn

∣∣∣∣ ∣∣xaminusmyb∣∣ le 1

c

∣∣xaminusmyb∣∣oldugundan sonuccedil sıkıstırma lemmasından aminusm gt 0 ve b gt 0 oldugundan elde edile-bilir Benzer sekilde bn gt 1 ise de sonuccedil elde edilir Simdi hem 0 lt am lt 1 hem de0 lt bn lt 1 oldugunu varsayalım Bu durumda biraz karmasık bir esitsizlik kullanmakgerekecegi iccedilin ispatı ders notlarına dahil etmiyorum Ispat iccedilin bkz 1

Alıstırmalar

Asagıdaki limitleri varsa bulun

1 lim(xy)rarr(12)

2x2 minus xy4x2 minus y2 (ipucu ifadeyi sa-

delestirip limiti hesaplayın)

2 lim(xy)rarr(00)

x2y2

x2 + y4 (ipucu sıkıstırma

teoremini kullananın)

3 lim(xy)rarr(00)

xy2

x2 + y4(ipucu x = 0 ve x =

y2 dogrultularından yaklasın)

4 lim(xy)rarr(00)

sin(xy)


y dogrultularından yaklasın)

5 lim(xy)rarr(00)

x2 minus y2x2 + y2

6 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =

xy(x2 minus y2)x2 + y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

(ipucu sıkıstırma teoremini kulla-nın)

7 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =

x4 + y4

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

(ipucu sıkıstırma Teoremini kulla-nın)

1httpsertozbilkentedutrdepolimit-trpdf

LIMIT 9

8 Bir oumlnceki oumlrnekte limitin tanımınıkullanarak limitin sıfır oldugunu goumls-terin

9 lim(xy)rarr(11)

xy2 minus 1

y minus 1(ipucu x = 1 ve x =

y dogruları uumlzerinden yaklasın)

10 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y4

11 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y6

12 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x) =

x2y2

x2y2+(xminusy)2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

13 lim(xy)rarr(00)

(x2 + y2) ln(x2 + y2)

14 lim(xy)rarr(00)

xradicx2 + y2

15 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y4x2 + y2

16 lim(xy)rarr(00)

x sin 1x

+ y

x+ y

17 lim(xy)rarr(00)

x2 minus 2

3 + xy

18 lim(xy)rarr(00)

(xminus y)2

x2 + y2

19 lim(xy)rarr(00)

3xy

5x4 + 2y4

20 lim(xy)rarr(00)

4x2y

x3 + y3

21 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y2x4 + y2

22 lim(xy)rarr(00)

x3 minus x2y + xy2 minus y3x2 + y2

23 lim(xy)rarr(00)

radic1 + x2y2 minus 1

x2 + y2

24 lim(xy)rarr(00)

2x2 + 3xy + 4y2

3x2 + 5y2

25 lim(xy)rarr(00)

xminus y + x2 + y2

x+ y

26 lim(xy)rarr(00)

(1+x2y2)1

x2+y2 (ipucu ifadeye

pozitif reel sayılar uumlzerinde birimfonksiyon olan exp ln fonksiyonunuuygulayın ardından ln(1 + x) lt xx gt 0 esitsizligini kullanarak sıkıs-tırma teoremini uygulayın)

27 Limit tanımını kullanarak lim(xy)rarr(11) y2minus

3xy = minus2 oldugunu goumlsterin

Opsiyonel Boumlluumlm

Sonsuz Limitler

f a sub R2 rarr R olsun Eger her M gt 0 iccedilin bir δ gt 0 bulabiliyorsak oumlyle ki

(x y) isin A ve 0 lt (x y)minus (x0 y0) lt δ =rArr f(x y) gt M

ise lim(xy)rarr(x0y0) f(x y) = +infin yazılır

Oumlrnek 11 Limitin tanımını kullanarak lim(xy)rarr(00)1

x2+y2= +infin oldugunu goumlsterelim

M gt 0 verilsin δ = 1radic

2M olarak seccedilelim O halde |x| lt δ ve |y| lt δ iken

x2 + y2 = |x|2 + |y|2 lt 1

2M+

1

2M=

1

M=rArr 1

x2 + y2gt M

olur

10 1 HAFTA

Yinelemeli Limitler

Oumlrnek 12

0 = limyrarr0

limxrarr0

x2

x2 + y26= lim

xrarr0limyrarr0

x2

x2 + y2= 1

Yani genel olarak yinelemeli limitler esit olmaz

limyrarry0

limxrarrx0

f(x y) 6= limxrarrx0

limyrarry0

f(x y)

Iki degiskenli bir fonksiyonun bir noktada limitinin var olması o noktada yinelemelilimitlerinin de var olması anlamına gelmez

Oumlrnek 13

f(x y) =

x sin 1

y y 6= 0

0 y = 0

lim(xy)rarr(00) f(x y) = 0 ama limxrarr0 limyrarr0 f(x y) var olmadıgını goumlsterin

Ama goumlsterilebilir ki (bkz [Wad00] syf 243) eger lim(xy)rarr(x0y0) f(x y) = L ise veyinelemeli limitler tanımlıysa yinelemeli limitler esit olur

L = limyrarry0

limxrarrx0

f(x y) = limxrarrx0

limyrarry0

f(x y)

olurlim(xy)rarr(x0y0) f(x y) limitinin tanımlı olması limxrarr0 limyrarry0 f(x y) yinelemeli limiti-

nin tanımlı olmasını gerektirmez

Kutupsal koordinatlar ve limit

Lemma 1 Eger

|f(x0 + r cos θ y0 + r sin θ)minus L| le g(r) limrrarr0+

g(r) = 0

iselim

(xy)rarr(x0y0)f(x y) = L

olur


x4 + y4

x2 + y2limitini hesaplayalım

Ccediloumlzuumlm |f(r cos θ r sin θ)| = r2(sin4 θ + cos4 θ) le 2r2 ve limrrarr0+ 2r2 = 0 oldugundan

lim(xy)rarr(00)

x4 + y4

x2 + y2= 0

olur

Oumlrnek 15 lim(xy)rarr(00) xy ln (x2 + y2) = 0 oldugunu goumlrelim

LIMIT 11

Ccediloumlzuumlm |f(r cos θ r sin θ)| = |r2 cos θ sin θ ln(r2)| le |2r2 ln r| limrrarr0+ 2r2 ln r = 0 olduguLrsquohospital kuralıyla goumlsterilebilir

Uyarı 2 Dikkat limrrarr0+ f(r cos θ r sin θ) demek limiti hesaplarken θrsquoyı sabit tutup rrsquoyisıfıra goumlndermek demek Bu da aslında limit alırken (0 0)rsquoa duumlz dogrular uumlzerindenyaklasmak anlamına geliyor Dolayısıyla limrrarr0+ f(r cos θ r sin θ) limitinin var olmasılim(xy)rarr(00) f(x y) limitinin var olması anlamına gelmez Asagıda bunun bir oumlrnegi ve-rilmistir

Oumlrnek 16 (x y) 6= (0 0) iccedilin f(x y) = x2yx4+y2

olarak tanımlansınlim

(xy)rarr(00)f(x y)limitinin olmadıgını (0 0)rsquoa y = kx2 youmlnuumlnden yaklasarak goumlsterin

Oumlte yandan limrrarr0+ f(r cos θ r sin θ) = 0 olur Bunu goumlrelim

limrrarr0+

f(r cos θ r sin θ) = limrrarr0

r2 cos2 r sin θ

r4 cos4 θ + r2 sin2 θ= lim

rrarr0r

cos2 θ sin θ

r2 cos4 θ + sin2 θ= 0

Son limitin gerccedilekten herhangi bir θ iccedilin sıfır oldugunu goumlrelim Eger sin θ = 0 ise ifadesıfır ve dolayısıyla limit sıfırdır Eger sin θ 6= 0 ise

limrrarr0

rcos2 θ sin θ

r2 cos4 θ + sin2 θ= lim

rrarr0r limrrarr0

cos2 θ sin θ

r2 cos4 θ + sin2 θ= 0 middot cos2 θ sin θ

sin2 θ= 0

2 Hafta

Suumlreklilik

Tanım 3 f R sub R2 rarr R ve (x y) isin R olsun Eger

lim(xy)rarr(x0y0)

f(x y) = f(x0 y0)

ise f fonksiyonu (x0 y0) noktasında suumlreklidir denir Eger f her (x y) isin R noktasındasuumlrekli ise f rsquoye suumlrekli fonksiyon denir

Eger f ve g bir (x0 y0) noktasında suumlrekliyse f + g f minus g fg fg (g(x0 y0) 6= 0 ise)fonksiyonları da suumlreklidir Bu kolayca limitin benzer oumlzelliklerinden goumlruumllebilir Ayrıcaiki suumlrekli fonksiyonun bileskesi de (eger tanımlıysa) suumlreklidir

Ayrıca px(x y) = x ve py(x y) = y fonksiyonları da suumlreklidir (Tanımı kullanarakgoumlsterin)

Oumlrnek 17 f(x y) = x sin y fonksiyonunu f = px middot sin py olarak yazalım sin py suumlrekliiki fonksiyonun bileskesi oldugundan suumlrekli f suumlrekli px ve sin py fonksiyonlarınınccedilarpımı oldugu iccedilin suumlreklidir

Oumlrnek 18

f(x y) =

2xy

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

fonksiyonu (0 0) hariccedil her noktada suumlreklidir Zira f = 2 pxpyp2x+p

2y

yani f suumlrekli fonksi-

yonların toplamı ccedilarpımı ve boumlluumlmuuml oldugundan paydanın sıfır olmadıgı her yerdesuumlreklidir (0 0) noktasında suumlreksizdir zira o noktada limiti yoktur (goumlsterin)

Oumlrnek 19

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

fonksiyonu her yerde suumlreklidir

13

14 2 HAFTA

Alıstırmalar

1 Verilen fonksiyonların (0 0) noktasında suumlrekliliklerini inceleyin

a) f(x y) =

x2y3

2x2 + y2(x y) 6= (0 0)

1 (x y) = (0 0)

b) f(x y) =

x3 + y3

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

c) f(x y) =

x3y

x4 + y2x 6= 0

0 x = 0

d) f(x y) =

sin(xy)

xx 6= 0

0 x = 0

e) f(x y) =

x sin1

yy 6= 0

0 y = 0

f) f(x y) =

sin(xy)radicx2 + y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

g) f(x y) =

sin2(x+ y)

|x|+ |y| (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

h) f(x y) =

xy

x2 + xy + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

i) f(x y) =

x3y2

x2 + y2eminusx

2minusy2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

j) f(x y) =

xy ln (x2 + y2) (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

k) f(x y) =

(x2 + y2) sin

(1

x2 + y2

)x2 + y2 gt 0

0 (x y) = (0 0)

l) f(x y) =

sin (x3 + y3)

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

KISMI TUumlREVLER 15

Kısmi Tuumlrevler

f R sub R2 rarr R olsun f fonksiyonunun bir (x0 y0) isin R noktasındaki birinci mertebedenkısmi tuumlrevleri asagıdaki gibi olur

fx(x0 y0) =partf

partx|(x0y0)= lim

hrarr0

f(x0 + h y0)minus f(x0 y0)

h

fy(x0 y0) =partf

party|(x0y0)= lim

krarr0

f(x0 y0 + k)minus f(x0 y0)

k

Oumlrnek 20 f(x y) = 2x2y fonksiyonunun (1 2) noktasındaki birinci mertebe kısmi tuuml-revlerini hesaplayınız

1 yrsquoyi sabitleyip g(x) = f(x y) olarak yazarsak

gprime(x) = fx(x y)

buluruz Bu kurala goumlre oumlrnegin x degiskenine goumlre kısmi tuumlrev hesaplamak iccediliny degiskenini sabitleyip x degiskenine goumlre tuumlrev alınır

Oumlrnek 21 f(x y) = ex2+y2 sin y olsun

fx(x y) = 2xex2+y2 sin y fy(x y) = 2yex

2+y2 sin y + ex2+y2 cos y

buluruz

2 Ikiden ccedilok degiskenli bir fonksiyonunun kısmi tuumlrevleri de benzer bir sekilde ta-nımlanabilir

Bir fonksiyonun bir noktada kısmi tuumlrevlerinin olması o noktada suumlrekliolmasını gerektirmez

Oumlrnek 22

f(x y) =

xy

x2+y2 (x y) 6= 0

0 (x y) = (0 0)

fonksiyonunun (0 0)rsquoda suumlreksiz ama fx(0 0) = fy(0 0) = 0 oldugunu yani kısmi tuumlrev-lerinin tanımlı oldugunu goumlrelim

fx(0 0) = limhrarr0

f(h 0)minus f(0 0)

h= lim

hrarr0

0minus 0

h= 0

Benzer sekilde fy(0 0) = 0 oldugu goumlruumlluumlr

f rsquoin ikinci mertebe kısmi tuumlrevleri su sekildedir

fxx(x0 y0) =partfxpartx

= limhrarr0

fx(x0 + h y0)minus fx(x0 y0)h

fxy(x0 y0) =partfxparty

= middot middot middot

16 2 HAFTA

Karısık Ikinci Mertebe Kısmi Tuumlrevlerin Esitligi

Oumlrnek 23 f(x y) = ex2+y fonksiyonu iccedilin fxy = fyx oldugunu goumlsterin Bu bir tesaduumlf

muuml

Asagıdaki oumlrnek ikinci mertebe karısık kısmi tuumlrevlerin yani fxy ve fyxrsquoin her f iccedilinesit olmayabilecegini goumlsterir Yani kısmi tuumlrevlerin sırasını degistirince esit olmayabi-lir

part

partx

partf

party6= part

party

partf

partx

Oumlrnek 24

f(x y) =

xy(x2minusy2)x2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

ise fxy(0 0) = minus1 6= 1 = fyx(0 0) oldugunu goumlsterin

Ccediloumlzuumlm

fxy(0 0) = limkrarr0

fx(0 k)minus fx(0 0)

k= minus1

Diger tuumlrev benzer sekilde bulunur

Ccediloumlzuumlm fx(0 0) = limhrarr0f(h0)minusf(00)

h= 0 ve (x y) 6= (0 0) ise

fx(x y) = yx2 minus y2x2 + y2

+ xy2x(x2 + y2)minus (x2 minus y2)2x

(x2 + y2)2

Yanifx(0 0) = 0 fx(0 y) = minusy

olur



k= lim

krarr0

minusk minus 0

k= minus1

Benzer sekildefy(0 0) = 0 fy(x 0) = x

fyx(0 0) = limhrarr0

fy(h 0)minus fy(0 0)

h= lim

hrarr0

hminus 0

h= 1

Yukarıdaki oumlrnekte sorun aslında su Asagıdaki ifadeler birbirine esit oldugu terim-lerin yerleri degistirilerek rahatlıkla goumlruumlluumlr

1

k

(f(h k)minus f(0 k)

hminus f(h 0)minus f(0 0)

h

)1

h

(f(h k)minus f(h 0)

kminus f(0 k)minus f(0 0)

k

)Yukarıda oumlnce h rarr 0 sonra k rarr 0 alınırsa fxy(0 0) elde edilir Limitlerin sırası degis-tirilirse fyx(0 0) elde edilir Yani yinelemeli limitlerin esit olmaması durumuyla karsıla-sırız


Teorem 3 Eger (x0 y0) merkezli herhangi bir accedilık disk uumlzerindeki her noktada fxy vefyx var ve suumlrekli ise fxy(x0 y0) = fyx(x0 y0) olur

Kanıt Ispat iccedilin bkz syf 17

Alıstırmalar

1 f(x y) = 2x2y+ 5xy fonksiyonun (2 1) noktasındaki kısmi tuumlrevlerini tuumlrevin limittanımını kullanarak bulun

2 f(x y) = sin(xy)eyx x 6= 0 y 6= 0 fonksiyonu iccedilin fx ve fy kısmi tuumlrevlerini bulun

3 Asagıdaki fonksiyonların f(0 0) = 0 olarak tanımlı olmak uumlzere (0 0) noktasın-daki kısmi tuumlrevlerini bulun

a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2

e) f(x y) =sin2(x+ y)

|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2

4 Verilen fonksiyonunun verilen denklemi sagladıgını goumlsterin

a) f(x y) =x2 minus y2x2 + y2

fxy

+fyx

= 0

b) f(x y) = eyx + tan(xy) xfx + yfy = 0

c) f(x y) = lnradicx2 + y2 fxx + fyy = 0

d) f(x y z) =radicx2 + y2 + z2 xfx + yfy + zfz = f

e) u = ln (x3 + y3 + z3 minus 3xz) ux + uy + uz = 3x+y+z

Zorunlu Olmayan Bilgiler

Simdi Teorem 3 iccedilin bir ispat verelim

Kanıt

F (h k) =1

hk[(f(x0 + h y0 + k)minus f(x0 + h y0))minus (f(x0 y0 + k)minus f(x0 y0))]

olarak tanımlayalım Simdi limhrarr0 limkrarr0 F (h k) = fyx(x0 y0) ve limkrarr0 limhrarr0 F (h k) =

fxy(x0 y0) oldugu kısmi tuumlrevin tanımından goumlruumllebilir Daha oumlnce yinelemeli limitlerinesit olması iccedilin lim(hk)rarr(00) F (h k) limitinin var olmasının yeterli oldugunu soumlylemistikTek degiskenli g fonksiyonunu

g(x) = f(x y0 + k)minus f(x y0)

18 2 HAFTA

olarak tanımlayalım

F (h k) =1

hk(g(x0 + h)minus g(x0))

vegprime(c) = fx(c y0 + k)minus fx(c y0)

olduguna dikkat edelimg fonksiyonuna Ortalama Deger Teoremini (ODT) uygularsak (ki kabullerimiz nede-

niyle kullanımı geccedilerlidir) x0 ve x0 + h arasında oumlyle bir c(h) vardır ki

g(x0 + h)minus g(x0) = gprime(c(h))h

olur Bu da

F (h k) =1

hk(fx(c(h) y0 + k)minus fx(c(h) y0))h

ile aynı anlama gelir Simdir(y) = fx(c(h) y)


F (h k) =1

hk(r(y0 + k)minus r(y0))

verprime(d) = fxy(c(h) d)

olurODTrsquoyi bu sefer r fonksiyonuna uygularsak y0 ve y0 +k arasında oumlyle bir d(k) vardır

kir(y0 + k)minus r(y0) = rprime(d(k))k

olur Bu da

F (h k) =1

hk(fxy(c(h) d(k)))hk = fxy(c(h) d(k))

anlamına gelir fxy kısmi tuumlrevi (x0 y0)rsquoın bir komsulugunda suumlrekli oldugundan velimhrarr0 c(h) = x0 limkrarr0 d(k) = y0 oldugundan

lim(hk)rarr(00)

F (h k) = fxy(x0 y0)

olur Yani yinelemeli limitler esit olmalı ve ispat bitti( Eger yinelemeli limitlerin esit oldugunu kullanmak istemezseniz ODTrsquoyi uygula-

mala sırasını degistirin ve bu sefer

lim(hk)rarr(00)

F (h k) = fyx(x0 y0)

elde edin )

Uyarı 3 bull Yukarıdaki teoremde karısık kısmi tuumlrevlerin suumlrekliligi yeterli ama ge-rekli olmayan bir kosuldur Oumlrnegin

f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0


olarak tanımlı f fonksiyonu iccedilin fxy ve fyx fonksiyonları (0 0)rsquoda suumlreksizdir amafxy(0 0) = fyx(0 0) = 0 olur Goumlsterin (ipucu g(x) = x2 sin 1

x g(0) = 0 olarak

tanımlı g fonksiyonu iccedilin gprime(0) tanımlıdır ama gprime x = 0rsquoda suumlreksizdir)

bull Karısık kısmi tuumlrevlerin esitligi ile ilgili ccedilesitli kosullar iccedilin bkz(httpwwwscibrooklyncunyedu~matemiscmixedpartialpdf)

bull Yukarıdaki teorem fyxx fxyx fxxy gibi daha uumlst mertebeden karısık tuumlrevlerinesitligini goumlstermek iccedilin de kullanılabilir

bull Yukarıdaki teorem ikiden ccedilok degiskenli fonksiyonlar iccedilinde geccedilerlidir Eger f

Rn rarr R ise fij ve fji tuumlrevlerinin esitligini yukarıdaki teorem saglar

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Daha oumlnceki boumlluumlmde ccedilok degiskenli bir fonksiyonun kısmi tuumlrevlere sahip olmasınıntek basına fonksiyonun suumlrekli olmasına yeterli olmadıgını goumlrmuumlstuumlk Bu boumlluumlmde ccedilokdegiskenli fonksiyonlar iccedilin kısmi tuumlrevden daha guumlccedilluuml bir kavram olan tuumlretilebilmekavramını inceleyecegiz Oumlncelikle tek degiskenli fonksiyonlardaki tuumlrev tanımını ha-tırlayalım

f prime(x0) = limhrarr0

f(x0 + h)minus f(x0)

h=rArr lim

hrarr0

f(x0 + h)minus f(x0)minus hf prime(x0)h

= 0

=rArr limhrarr0

|f(x0 + h)minus f(x0)minus hf prime(x0)||h| = 0

Bu tanımı iki degiskenli fonksiyonlara asagıdaki gibi genisletebiliriz

Tanım 4 f R sub R2 rarr R fonksiyonu eger fx(x0 y0) ve fy(x0 y0) kısmi tuumlrevlerinesahipse ve

lim(hk)rarr(00)

|f(x0 + h y0 + k)minus f(x0 y0)minus fx(x0 y0)hminus fy(x0 y0)k|radich2 + k2

= 0

sartını saglıyorsa f fonksiyonuna (x0 y0) noktasında tuumlretilebilir denilir

Bu sart su sekilde de yazılabilir

lim(xy)rarr(x0y0)

|f(x y)minus f(x0 y0)minus fx(x0 y0)(xminus x0)minus fy(x0 y0)(y minus y0)|(x y)minus (x0 y0)

= 0

f fonksiyonun (x0 y0) noktasında tuumlretilebilir olmasının geometrik anlamıf fonksiyonunun grafiginin (x0 y0 f(x0 y0)) noktasında teget duumlzleminin tanımlıolması anlamına gelir Bu konuyu ileride ele alacagız

Bir fonksiyonun bir noktada kısmi tuumlrevlerinin olması o noktadatuumlretilebilir oldugu anlamına gelmez

21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0

fonksiyonunun (0 0) noktasında tuumlretilebilirligini inceleyiniz

Ccediloumlzuumlm Oumlnce f rsquoin kısmi tuumlrevlerini hesaplayalım

fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1

Tuumlretilebilme kosulu asagıdaki limitin sıfır olmasını gerektirir

lim(hk)rarr(00)

|f(h k)minus f(0 0)minus fx(0 0)hminus fy(0 0)k|radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣ k|k|radich2 + k2 minus k∣∣∣

radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)

∣∣∣∣ k|k| minus kradich2 + k2

∣∣∣∣Yukarıdaki limitin olmadıgını goumlrmek iccedilin h = 0 youmlnuumlnden limitinin

limkrarr0

∣∣∣∣ k|k| minus kradick2

∣∣∣∣ = 0

k = h youmlnuumlnden limitinin ise

limkrarr0

∣∣∣∣ k|k| minus kradic2k2

∣∣∣∣ = limkrarr0

∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2

)∣∣∣∣ = 1minus 1radic2

oldugunu goumlrmek yeterlidir Yani limit yaklasılan youmlne baglıdır ve yoktur Yani f fonk-siyonu tuumlretilebilir degildir

f rsquonin bir noktada kısmi tuumlrevlerinin olmasının o noktada suumlrekli olacagı anlamınagelmedigini goumlrmuumlstuumlk Asagıdaki teorem tuumlretilebilmenin kısmi tuumlrevlere sahip ol-maktan daha guumlccedilluuml bir kosul oldugunu goumlsteriyor

Teorem 4 f A sub R2 rarr R fonksiyonu bir (x0 y0) noktasında tuumlretilebilir ise suumlreklidir

Kanıt

|f(x0 + h y0 + k)minus f(x0 y0)| le |f(x0 + h y0 + k)minus f(x0 y0)minus fx(x0 y0)hminus fy(x0 y0)k|+ |fx(x0 y0)hminus fy(x0 y0)k|

Sagdaki iki terim de (h k)rarr (0 0) limitinde sıfır olur

Oumlrnek 26 f(x y) =xy

x2 + y2 (x y) 6= (0 0) ve f(0 0) = 0 fonksiyonu (0 0) noktasında

tuumlretilemez zira bu noktada suumlrekli degildir Goumlsterin

TUumlRETILEBILME 23

Tuumlretilebilmenin ccedilok daha kolay kontrol edilebilen bir kosulu sudur

Teorem 5 f A sub R2 rarr R fonksiyonu iccedilin fx ve fy kısmi tuumlrevleri (x0 y0) noktasınınbir accedilık komsulugunda tanımlı ve fx fy fonksiyonları (x0 y0) noktasında suumlrekli ise f (x0 y0) noktasında tuumlretilebilir

Bu teoremin daha az genel ama daha akılda kalıcı bir versiyonu soumlyledirEger f fonksiyonu (x0 y0) noktasının bir accedilık komsulugunda suumlrekli

kısmi tuumlrevlere sahipse o noktada tuumlretilebilir


Oumlrnek 27 Yukarıdaki teoreme goumlre f(x y) = x2 + y2 fonksiyonu her (x y) noktasındatuumlretilebilirdir Zira fx = 2x ve fy = 2y fonksiyonları R2 uumlzerinde suumlreklidir

Yukarıdaki oumlnermenin tersi dogru degildir Yani iki degiskenli bir fonksiyonun birnoktada tuumlretilebilir olması o noktada suumlrekli kısmi tuumlrevleri olacagı anlamına gelmez

Oumlrnek 28 (Tuumlretilebilen ama kısmi tuumlrevleri suumlrekli olmayan bir fonksiyon)

f(x) =

(x2 + y2) sin 1radicx2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

fonksiyonunun (0 0) noktasında tuumlretilebilir oldugunu ama kısmi tuumlrevlerinin (0 0) nok-tasında suumlrekli olmadıgını goumlsterin

Ccediloumlzuumlm Oumlncelikle fx(0 0) = fy(0 0) = 0 oldugunu goumlsterinSimdi f rsquoin (0 0)rsquoda tuumlretilebilir oldugunu goumlrelim

lim(hk)rarr(00)

f(h k)minus f(0 0)minus fx(0 0)hminus fx(0 0)kradich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak

fx(x y) =minusxradicx2 + y2

cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2

buluruz limxrarr0 fx(x 0) limitinin tanımsız oldugunu goumlrelim Zira

limxrarr0+

fx(x y) = limxrarr0+

minus cos1

x+ 2x sin

1

x

Burada ikinci ifadenin limiti sıfır birinci ifadenin limiti ise tanımsız oldugundan limittanımsızdır Yani fx (0 0) da suumlreksiz olur

Oumlrnek 29 f(x y) =radicx2 + 2y2 fonksiyonun (0 0) noktasında suumlrekli oldugunu ancak

bu noktada tuumlretilemez oldugunu goumlsterin

24 3 HAFTA

Ccediloumlzuumlm Tanım geregi f rsquoin bir noktada tuumlretilebilir olması iccedilin o noktada kısmi tuumlrev-lerinin tanımlı olması gerekir Soruda verilen fonksiyonun (0 0) da kısmi tuumlrevlerininolmadıgını goumlsterin

Oumlrnek 30 f(x y) = xradicy fonksiyonunun (2 1) noktasında tuumlretilebilir oldugunu tuumlre-

tilebilirligin limit tanımını kullanarak goumlsterin

Ccediloumlzuumlm fx(2 1) = 1 ve fy(2 1) = 1 olur Tuumlretilebilirligin tanımını kullanalım

lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic

1minus 1hminus 1k∣∣

radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2

∣∣∣radich2 + k2

lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)

4 + 4h+ h2 + 4k + 4hk + h2k minus 4minus h2 minus k2 minus 4hminus 4k minus 2hkradich2 + k2

=1

4lim

(hk)rarr(00)

2hk + h2k minus k2radich2 + k2

Son limit iccedilin ∣∣∣∣2hk + h2k minus k2radich2 + k2

∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k

∣∣ |k|radich2 + k2

le∣∣2h+ h2 minus k

∣∣Bu ifadenin (h k)rarr (0 0) limiti sıfır oldugundan sıkıstırma teoreminden orijinal limitinsıfır oldugu ccedilıkar Yani fonksiyon (0 0) noktasında tuumlretilebilir

Burada her k isin R iccedilin|k| le

radich2 + k2

oldugu bilgisini kullandık

Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3

x2 + y2 (x y) 6= (0 0) ise ve f(0 0) = 0 olarak tanımlansın f rsquoin (0 0)

hariccedil her (x y) isin R2 iccedilin tuumlretilebilir oldugunu goumlsterin f rsquoin (0 0)rsquoda tuumlretileme-yecegini goumlsterin

2 f(x y) = x2 + 3xy2 fonksiyonunun her (x0 y0) noktasında tuumlretilebilir oldugunutuumlretilebilirligin limit tanımını kullanarak goumlsterin

3 f(x y) = |xy| fonksiyonunun (0 0) noktasında tuumlretilebilir oldugunu goumlsterin fxkısmi tuumlrevinin y-ekseni uumlzerindeki orijinden farklı noktalarda tanımsız oldugunudiger her yerde tanımlı ve suumlrekli oldugunu goumlsterin

4 Asagıdaki fonksiyonların f(0 0) = 0 olarak tanımlı olmak uumlzere (0 0) noktasındatuumlretilebilir olup olmadıklarını inceleyin

TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y minus y3xx2 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13

h) f(x y) =radic|xy|

i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2

k) f(x y) =x2y2radicx2 + y2

l) f(x y) =xyradicx2 + y2

m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)



Kanıt fx ve fy fonksiyonları (x0 y0)rsquoin bir accedilık komsulugunda tanımlı oldugundan ye-terince kuumlccediluumlk h ve k degerleri iccedilin Ortalama Deger Teoremini asagıdaki gibi kullana-biliriz

f(x0 + h y0 + k)minus f(x0 y0) =[f(x0 + h y0 + k)minus f(x0 + h y0)

]+[f(x0 + h y0)minus f(x0 y0)

]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h

Burada limhrarr0 x(h) = x0 limkrarr0 y(k) = y0 seklindedirf fonksiyonunun (x0 y0) noktasında tuumlretilebilme sartını yazalım


=|fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)hminus fx(x0 y0)hminus fy(x0 y0)k|radic

h2 + k2

le |fx(x(h) y0)minus fx(x0 y0)|∣∣∣∣ hradich2 + k2

∣∣∣∣+ |fy(x0 + h y(k))minus fy(x0 y0)|∣∣∣∣ kradich2 + k2

∣∣∣∣fx ve fy (x0 y0) noktasında suumlrekli olduklarından

lim(hk)rarr(00)

|fx(x(h) y0)minus fx(x0 y0)| = 0 lim(hk)rarr(00)

|fy(x0 + h y(k))minus fy(x0 y0)| = 0

olur Ayrıca ∣∣∣∣ hradich2 + k2

∣∣∣∣ le 1

oldugundan sagdaki birinci ifadenin (h k) rarr (0 0) limiti sıfır olur Benzer sekilde sag-daki ikinci ifadenin limiti de sıfırdır

26 3 HAFTA

Zincir Kuralı

Oumlrnek 31 z = f(x y) = x2y x = cos t ve y = sin t ise dzdt

rsquoyi hesaplayın Bu tuumlrev f

fonksiyonun birim ccedilember uumlzerinde ilerlerken nasıl degistigini verir

Ccediloumlzuumlm Birinci yol olarak z = cos2 t sin t yazıp belirtilen tuumlrev hesaplanır Ikinci yololarak zincir kuralını kullanırsak

dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy

dt= 2 cos t(minus sin t) sin t+ cos2 t cos t

bulunur

Teorem 6 f fonksiyonu (x0 y0) da tuumlretilebilir olsun x = u(t) ve y = v(t) fonksiyonlarıda t = t0 da tuumlretilebilir ve x0 = u(t0) ve y0 = v(t0) olsun

z(t) = f(u(t) v(t))

yazarsakzprime(t) = fx(x0 y0)u

prime(t0) + fy(x0 y0)vprime(t0)

olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt

veya daha accedilık olarak

dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)

olarak da yazabiliriz

Teoremin ispatı iccedilin bkz syf 27 Benzer sartlar altında eger

z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar

1 z = ln(x2+y2) x = eu cos v y = eu sin v

olsun partzpartu

ve partzpartv

kısmi tuumlrevlerini he-saplayın

2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =

cos t y = sin t z = t ise dudt

nedir

3 z = f(x y) ikinci mertebeden suumlreklikısmi tuumlrevleri bir fonksiyon ise(

partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0

denkleminin x = r cos θ y = r sin θ

ZINCIR KURALI 27

doumlnuumlsuumlmleriyle(partz

partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0

olarak yazılabilecegini goumlsterin

4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0

Laplace denkleminin x = r cos θy = r sin θ doumlnuumlsuumlmleriyle

zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0


5 Eger g fonksiyonu Laplacedenklemini saglarsa f(x y) =

g(

xx2+y2

yx2+y2

) olarak tanımlanan f

fonksiyonunun da Laplace denklemi-nin bir ccediloumlzuumlmuuml oldugunu goumlsterin

6 z = f(x y) ikinci mertebeden suumlreklikısmi tuumlrevleri olan bir fonksiyon ise

zxx minusm2zyy = 0

denkleminin u = y+mx ve v = yminusmxdoumlnuumlsuumlmleriyle zuv = 0 olarak yazıla-bilecegini goumlsterin

7 t = f(u v w) u = x minus y v = y minus zw = z minus x ise

partf

partx+partf

party+partf

partz= 0

oldugunu goumlsterin

8 w = f(u v) fonksiyonu wuu + wvv = 0

Laplace denklemini saglasın ve u =

(x2minusy2)2 ve v = xy olarak tanımlan-sın O halde wxx + wyy = 0 oldugunugoumlsterin

9 x2fxx + y2fyy + xfx + yfy = 0 x = er

ve y = et ise frr + ftt = 0 oldugunugoumlsterin

10 Asagıdaki fonksiyonların verilendenklemleri sagladıgını goumlsterin

a) z = f(x+ g(y)) zxzxy = zyzxx

b) z = xf(x + y) + yg(x + y) zxx minus2zxy + zyy = 0

c) z = f(xy) +radicxy + g

(yx

) x2zxx =

y2zyy

11 2 f (y1 y2) = cos (y21 + y22)y1(x y z) = sin2(xyz) y2(x y z) =

2xy2 + yz3 minus xz2 ise partfpartx partfparty partfpartz

kısmituumlrevlerini hesaplayın

12 z = xceminusyx fonksiyonunun yzyy =

zxminuszy denklemini saglaması iccedilin c neolmalıdır

13 x2yprimeprime + xyprime + y = 0 denklemini x = et

esitligi ile verilen denklemin t degis-kenine goumlre d2y

dt2+ y = 0 olarak yazıl-

dıgını goumlsterin

14 u = f(x y) x = es cos t y = es sin t

ise uxx + uyy = eminus2s (uss + utt) oldu-gunu goumlsterin



Kanıt

H(l) = u(t0 + l)minus u(t0) = u(t0 + l)minus x0 K(l) = v(t0 + l)minus v(t0) = v(t0 + l)minus y0

28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)

olurε(h k) = f(x0 + h y0 + k)minus f(x0 y0)minus fx(x0 y0)hminus fy(x0 y0)k

olarak tanımlarsak

z(t0 + l)minus z(t0)

l=f(u(t0 + l) v(t0 + l))minus f(x0 y0)

l

=f(x0 +H(l) y0 +K(l))minus f(x0 y0)

l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l

Eger limlrarr0ε(H(l)K(l))

l= 0 oldugunu goumlsterebilirsek ispat her iki tarafın limitini alarak

bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0

ε(H(l) K(l))radicH(l)2 +K(l)2

limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2

yazalım Tuumlretilebilirligin tanımından

lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0

anlamına gelir Zira bu limit bir youmlnluuml limittir ve limit varsa youmlnluuml limitlerin de varolması gerekir

Ikinci limit ise vardır ve

limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2

=radicuprime(t0)2 + vprime(t0)2

degerine esittir Bu sonuccedillar birlestirilerek

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta

Kapalı ve Ters Fonksiyon Teoremleri

F R2 rarr R fonksiyonu iccedilin asagıda verecegimiz kapalı fonksiyon teoremi

F (x y) = 0

iki bilinmeyenli bir denklemin hangi sartlar altında

y = f(x)

seklinde bir ccediloumlzuumlmuuml oldugunu soumlylerF (x y) civarında suumlrekli kısmi tuumlrevlere sahip bir fonksiyon olsun Yani F tuumlretile-

bilirdirF (x y) = 0 (5)

denklemini alalım Bu denklemi denklemi saglayan bir (x0 y0) civarında (yani F (x0 y0) =

0) y iccedilin x cinsinden ccediloumlzmek istiyoruz Yani oumlyle bir δ gt 0 ve y = f(x)forallx isin (x0minusδ x0+δ)fonksiyonu bulmak istiyoruz ki

y0 = f(x0) F (x f(x)) = 0 forallx isin (x0 minus δ x0 + δ)

sartları saglansınTuumlretilebilme kosulu (x0 y0) yakınında

F (x y) asymp F (x0 y0) +partF

partx(x0 y0)(xminus x0) +

partF

party(x0 y0)(y minus y0)

oldugunu soumlyler (5) denklemi yerine onun dogrusallastırılmıs hali olan

F (x0 y0) +partF


partF

party(x0 y0)(y minus y0) = 0 (6)

denklemini goumlz oumlnuumlne alalım Asagıdaki kapalı fonksiyon teoremi lineer (6) denkle-minden y yi x in bir fonksiyonu olarak belirleyebilirsek (yani partF

party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)

denkleminde de x0rsquoin bir accedilık komsulugundaki her x iccedilin yrsquoyi x cinsinden tek sekildebelirleyebilecegimizi soumlyler

29

30 4 HAFTA

Kapalı Fonksiyon Teoremi F R2 rarr R durumu

Oumlncelikle iki bilinmeyenli bir denklem ile ilgili kapalı fonksiyon teoremini inceleyelim

Teorem 7 (Kapalı Fonksiyon Teoremi 1) (x0 y0)rsquoın bir R sub R2 komsulugunda tanımlıF Rrarr R fonksiyonu suumlrekli kısmi tuumlrevlere sahip olsun Eger

F (x0 y0) = 0 vepartF

party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0

sartlarını saglayan ve x0rsquoın bir komsulugunda tanımlı tek bir f (x0 minus δ x0 + δ) rarr Rfonksiyonu vardır Ayrıca f fonksiyonu tanımlandıgı aralıkta suumlrekli tuumlreve sahip birfonksiyondur ve tuumlrevi

df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir

Kanıt Asagıda anlatılan teoremin goumlrsel ispatı iccedilin bkz Figuumlr 01

1 Fy(x0 y0) gt 0 kabul edelim Fy fonksiyonu suumlrekli ve Fy(x0 y0) gt 0 oldugundan

Fy(x y) gt 0 forall(x y) isin U

olacak sekilde (x0 y0)rsquoın bir U accedilık komsulugu vardır

2 Yeterince kuumlccediluumlk bir b gt 0 iccedilin (x0 y0 + b) ve (x0 y0 minus b) noktaları U rsquonun iccedilindekalacaktır

3 Ayrıca U iccedilerisinde partFparty

(x y) gt 0 oldugundan F (x y) sabit bir x iccedilin yrsquonin artanbir fonksiyonudur Dolayısıyla F (x0 y0 + b) gt F (x0 y0) gt F (x0 y0 minus b) olur YaniF (x0 y0 + b) gt 0 ve F (x0 y0 minus b) lt 0 olur

4 Yine suumlreklilik nedeniyle bir δ gt 0 ve her x isin (x0minus δ x0 + δ) iccedilin F (x y0 + b) gt 0 veF (x y0minusb) lt 0 olur Ara deger teoremi bize her x isin (x0minusδ x0+δ) iccedilin F (x y(x)) = 0

sartını saglayan bir y(x) oldugunu soumlyler

5 Ayrıca F (x y) yrsquoye goumlre artan oldugundan bu sartı saglayan tek bir y(x) vardırki Dolayısıyla x0rsquoın bir δ komsulugunda teoremdeki birinci sartı saglayan bir y =

f(x) = y(x) fonksiyonu bulmus ve bu fonksiyonun tek oldugunu goumlstermis olduk

6 f fonksiyonun suumlrekli ve tuumlretilebilir oldugunun ispatı iccedilin bkz [BST08] syf 750

Kapalı Fonksiyon Teoremi bir varlık teoremidir Teorem bir f fonksiyonunun varlı-gını garanti eder Ama bu fonksiyonun ne oldugunu veya nasıl bulunacagını belirtmez

KAPALI VE TERS FONKSIYON TEOREMLERI 31

ay ay

IfNoYo O fNoYo OfItoYoko flyxoto 7Oflx y

EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x

fIXyofSO fxE Xo EXotE

fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE

Sekil 01 Kapalı fonksiyon teoreminin ispatı

Uyarı 4 KFTrsquode partFparty

(x0 y0) 6= 0 kosulu partFpartx

(x0 y0) kosulu ile degistirilirse bu sefer de y0noktasının bir I = (y0 minus δ y0 + δ) komsulugunda tanımlı oumlyle bir x = f(y) fonksiyonuvardır ki her y isin I iccedilin F (f(y) y) = 0 saglanır

Oumlrnek 32 x3 minus 2y2 + xy = 0 denkleminin x = 1 noktasının bir komsulugundaki herx iccedilin y = f(x) f(1) = 1 seklinde bir ccediloumlzuumlmuuml oldugunu goumlsterin dy

dxtuumlrevini x = 1

noktasında hesaplayın

Ccediloumlzuumlm F (x y) = x3 minus 2y2 + xy fonksiyonu heryerde suumlrekli kısmi tuumlrevlere sahiptirAyrıca F (1 1) = 0 ve

partF

party(1 1) = minus4y + x |(11)= minus3 6= 0

oldugundan kapalı fonksiyon teoremindeki tuumlm sartlar yerine gelmis olup bahsedilen

32 4 HAFTA

y = f(x) fonksiyonu vardır

dy

dx(1) = minusFx(1 1)

Fy(1 1)=minus3x2 minus yminus4y + x

|(11)=4

3

Teorem 8 (f R rarr R Fonksiyonlar iccedilin Ters Fonksiyon Teoremi) U x0 noktasının biraccedilık komsulugu f U sub Rrarr R tuumlrevi suumlrekli olan bir fonksiyon ve f prime(x0) 6= 0 olsun Ohalde y0 = f(x0) isin R noktasının bir V accedilık komsulugunda tanımlı suumlrekli tuumlreve sahipbir g fonksiyonu vardır oumlyle ki

g(f(x)) = x forallx isin U f(g(y)) = yforally isin Vve

gminus1(y) =1

f prime(x)

sartları saglanır Yani f fonksiyonun tuumlretilebilir bir yerel tersi vardır

Kanıt F (x y) = y minus f(x) olarak tanımlayalım

1 F fonksiyonu U times f(U) kuumlmesi uumlzerinde suumlrekli kısmi tuumlrevlere sahiptir

2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx

(x0 y0) = f prime(x0) 6= 0 olur

Yani KFTrsquonin varsayımları gerccedileklenmis olur O halde y0 noktasının bir komsulugundatanımlı ve F (g(y) y) = 0 sartını yani y minus f(g(y)) = 0 sartını saglayan suumlrekli tuumlrevesahip bir g fonksiyonu vardır


Simdi uumlccedil bilinmeyenli bir denklem ile ilgili kapalı fonksiyon teoremini inceleyelim

Teorem 9 (Kapalı Fonksiyon Teoremi 2) (x0 y0 z0) noktasının bir R sub R3 komsulu-gunda tanımlı F Rrarr R fonksiyonu suumlrekli kısmi tuumlrevlere sahip olsun Eger

F (x0 y0 z0) = 0 vepartF

partz(x0 y0 z0) 6= 0

iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0

sartlarını saglayan ve (x0 y0)rsquoın bir accedilık U komsulugunda tanımlı tek bir f U rarr Rfonksiyonu vardır Ayrıca f fonksiyonu tanımlandıgı aralıkta tuumlretilebilir bir fonksiyon-dur ve fonksiyon asagıdaki suumlrekli kısmi tuumlrevlere sahiptir

partf

partx(x y) = minus

partFpartx

(x y f(x y))partFpartz

(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))

Bu tuumlrevler kısacapartz

partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy

Fzolarak da goumlsterilir

YOumlNLUuml TUumlREV 33

Alıstırmalar

1 x2y2 + 2exy minus 4minus 2e2 = 0 denkleminin x = 1 noktasının bir komsulugundaki her xiccedilin y = f(x) f(1) = 2 seklinde bir ccediloumlzuumlmuuml oldugunu goumlsterin dy

dxtuumlrevini x = 1


2 Asagıdaki verilen denklemlerin (x0 y0) noktasının bir komsulugundaki her (x y)

iccedilin z = f(x y) f(x0 y0) = z0 seklinde bir ccediloumlzuumlmuuml oldugunu goumlsterin partzpartx

ve partzparty

kısmi tuumlrevlerini (x0 y0) noktasında hesaplayın

a) x2y2z2 + x+ y + z = 0 (x0 y0 z0) = (minus1minus1 1)

b) z3 minus xy + yz + y3 minus 2 = 0 (x0 y0 z0) = (1 1 1)

c) xey + yez + 2 lnxminus 2minus 3 ln 2 = 0 ve (x0 y0 z0) = (1 ln 2 ln 3)

d) Yukaridaki denklemler x iccedilin y ve z cinsinden veya y iccedilin x ve z cinsindenccediloumlzuumllebilir mi Inceleyin

3 g fonksiyonu tuumlrevi gprime(u) lt 1 u isin R sartını saglayan tek degiskenli bir fonksiyonve 0 lt a lt b reel sayılar olsun x minus az = g(y minus bz) denkleminin herhangi bir(x y) noktasında z = f(x y) seklinde ccediloumlzuumllebilecegini ve ccediloumlzuumlmuumln a dz

dx+ bdz

dy= 1

denklemini saglayacagını goumlsteriniz

4 f(x y z) fonksiyonu partfpartx6= 0 partf

party6= 0 partf

partz6= 0 sartlarını her yerde saglayan suumlrekli

kısmi tuumlrevlere sahip olsun Herhangi bir (x0 y0 z0) noktasında partxparty

partypartz

partzpartx

= minus1 ba-gıntısının saglandıgını goumlsterin

Youmlnluuml Tuumlrev

Tanım ve Oumlrnekler

f A sub R2 rarr R (x0 y0) isin A ve ~u = u1i+ i2j bir birim vektoumlr olsun

D~uf(x0 y0) =d

dtf(x0 + tu1 y0 + tu2) |t=0= lim

trarr0

f(x0 + tu1 y0 + tu2)minus f(x0 y0)

t

limiti mevcutsa D~u sayısına f fonksiyonunun (x0 y0) noktasındaki ~u youmlnuumlndeki youmlnluumltuumlrevi denir

Uyarı 5 partfpartx

(x0 y0) f rsquoin (x0 y0) noktasındaki u = i vektoumlruuml youmlnuumlndeki partfparty

(x0 y0) ise f rsquoinP0 noktasındaki u = j vektoumlruuml youmlnuumlndeki youmlnluuml tuumlrevleridir

partf

partx(x0 y0) = Dif(x0 y0)

partf

party(x0 y0) = Djf(x0 y0)

Uyarı 6 Bir fonksiyonun minus~u youmlnuumlndeki youmlnluuml tuumlrevi (varsa) ~u youmlnuumlndeki youmlnluuml tuumlrevi-nin ters isaretlisi yani

D~uf(x0 y0) = minusDminus~uf(x0 y0)

34 4 HAFTA

olur Zira s = minust degisken doumlnuumlsuumlmuumlyle

limtrarr0

f(x0 minus tu1 y0 minus tu2)minus f(x0 y0)

t= lim

srarr0

f(x0 + su1 y0 + su2)minus f(x0 y0)

minuss

oldugu goumlruumlluumlr

Oumlrnek 33 f(x y) = x2y fonksiyonunun (12) noktasındaki ve minus3i+ 4j youmlnuumlndeki youmlnluumltuumlrevini bulun

Ccediloumlzuumlm Verilen vektoumlr youmlnuumlndeki birim vektoumlr ~u =minus3i+ 4j

5olur

D~uf(1 2) =d

dt(1 + t(minus35))2(2 + t(45)) |t=0= minus

8

5

bulunur

Youmlnluuml Tuumlrev ve Tuumlretilebilirlik

Bir f R2 rarr R fonksiyonun birinci mertebe kısmi tuumlrevleri mevcut ise f nin bir (x0 y0)

noktasındaki gradyanı

nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)

)olarak tanımlanır

Teorem 10 f A sub R2 rarr R fonksiyonu P0(x0 y0) isin A noktasında tuumlretilebilir ise

D~uf(P0) = nablaf(P0) middot ~u (7)

olur

Kanıt Fonksiyon P0 noktasında tuumlretilebilir ise zincir kuralı geregi

d

dtf(x0 + tu1 y0 + tu2) = fx(x0 + tu1 y0 + tu2)u1 + fy(x0 + tu1 y0 + tu2)u2

ve

D~uf(P0) =d

dtf(x0 + tu1 y0 + tu2) |t=0= fx(P0)u1 + fy(P0)u2 = nablaf(P0) middot ~u

olur

Oumlrnek 34 Birinci oumlrnegi bu sefer (7) yardımıyla hesaplayın

Teorem 10 bir noktada tuumlretilebilen fonksiyonun o noktada her youmlnde youmlnluuml tuumlre-vinin oldugunu soumlyler Ama bu oumlnermenin tersi dogru degildir Yani bir noktada heryoumlnde youmlnluuml tuumlreve sahip olan bir fonksiyon o noktada tuumlretilemiyebilir


Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

fonksiyonunun (0 0) noktasındaki herhangi bir ~u = u1i+ u2j youmlnuumlndeki youmlnluuml tuumlrevininvar oldugunu ama fonksiyonun (0 0) noktasında tuumlretilemez oldugunu goumlsterin

Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0

olur Yani fonksiyonun (0 0) noktasında her youmlnde youmlnluuml tuumlrevi mevcuttur Ancak f (0 0)

noktasında tuumlretilemez Zira fonksiyon (0 0) noktasında suumlrekli bile degildir Bunu goumlr-mek iccedilin fonksiyonun (0 0) noktasında y = kx2 youmlnuumlnden limiti krsquoya baglı ccedilıktıgından(0 0) noktasında limiti olmadıgını goumlrmek yeterlidir

Ayrıca bu oumlrnek (7) formuumllasyonu fonksiyon tuumlretilebilir degil ise geccedilerli olmayabi-lecegini de goumlsterir Zira nablaf(0 0) = ~0 oldugundan ve oumlrnegin ~u =

radic22i+

radic22j alırsak

0 = nablaf(0 0) middot ~u 6= Duf(0 0) =12radic22

=1radic2

olur

Uyarı 5 bir noktada her youmlnde youmlnluuml tuumlrevi olan bir fonksiyonun bariz olarakkısmi tuumlrevlerinin de tanımlı oldugunu soumlyler Ama bunun tersi dogru degildir Yani birnoktada kısmi tuumlrevleri tanımlı olan bir fonksiyonun her youmlnde youmlnluuml tuumlreviolması gerekmez

Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0

fonksiyonunun youmlnluuml tuumlrevlerinin sadece u = plusmni ve u = plusmnj youmlnlerinde tanımlı oldugunugoumlsterin

Youmlnluuml Tuumlrevin Geometrik Anlamı

Duf(P ) f rsquoin P noktasında u youmlnuumlndeki degisimini ifade eder

nablaf(P0) middot ~u = nablaf(P0) ~u cos θ = nablaf(P0) cos θ

yazarsakD~uf(P0) youmlnluuml tuumlrevinin en buumlyuumlk olması iccedilin yani f in en hızlı sekilde artmasıiccedilin

~u =nablaf(P0)

nablaf(P0)yani θ = 0 olmalıdır Yani bir fonksiyonun maksimum degisimi gradyan vektoumlruuml youmlnuumln-dedir

36 4 HAFTA

Degisimin sıfır oldugu youmln ise

~u =fy(P0)iminus fx(P0)j

nablaf(P0)

youmlnuumlduumlrDegisimin minimum oldugu youmln (f rsquoin en hızlı azaldıgı youmln) ise

~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)

Oumlrnek 37 f(x y) = x2y fonksiyonunun (1 2) noktasında en hızlı azaldıgı youmlnuuml bulun

Ccediloumlzuumlm nablaf = 2xyi + x2j nablaf(1 2) = 4i + j f rsquoin en hızlı azaldıgı youmln ~u = minusnablaf(12)nablaf(12) =

minus 4radic17iminus 1radic

17j olur

Alıstırmalar

1 f(x y) = arctanradicxy

fonksiyonunun(4minus2) noktasındaki gradyan vektouml-ruumlnuuml ve i+j youmlnuumlndeki youmlnluuml tuumlrevinibulun

2 f(x y z) = 3ex cos(yz) fonksiyonunun(0 0 0) noktasındaki u = 2i + j minus 2k

youmlnuumlndeki youmlnluuml tuumlrevini bulun

3 f(x y) = xy + y2 fonksiyonunun (3 2)

noktasındaki hangi youmlnde en ccedilok ar-tarazalır Hangi youmlnde fonksiyon sa-bit kalır

4 f g R2 rarr R fonksiyonları iccedilin nabla(cf)

(c sabit) nabla(f + g) nabla(fg) nablafα (α sa-bit) ifadelerini belirleyin

5 Ahmet Tekcan Ileri Analiz sayfa 268Alıstırmalar 1-3

5 Hafta

Analitik Geometri Vektoumlrler Dogrular ve Duumlzlemler

Uumlccedil Boyutlu Uzayda Vektoumlrler

3 boyutlu uzayda i j ve k sırasıyla x y ve z ekseni dogrultusundaki birim vektoumlrlerolmak uumlzere herhangi bir vektoumlruuml

~u = u1i+ u2j + u3k

olarak yazabiliriz Burada u1 u2 u3 reel sayılarına u vektoumlruumlnuumln bilesenleri denir Tuumlmbilesenleri sıfır olan vektoumlre sıfır vektoumlruuml denir

~0 = 0i+ 0j + 0k

Iki vektoumlruuml toplama ve bir vektoumlrle bir skalerin ccedilarpım islemlerinin ve bu islemlerinsagladıgı oumlzelliklerin bilindigini varsayıyoruz ~u = u1i+ u2j + u3k vektoumlruumlnuumln boyu

~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır

Iccedil Ccedilarpım

~u = u1i+ u2j + u3k ve ~v = v1i+ v2j + v3k seklinde iki vektoumlruumln iccedil ccedilarpımı

~u middot ~v = u1v1 + u2v2 + u3v3

olarak tanımlanır Asagıdaki oumlzellikler buumltuumln vektoumlrler ve skalerler iccedilin geccedilerlidir

1 ~u middot ~v = ~v middot ~u

2 ~u middot~0 = 0

3 ~u middot (~v + ~w) = ~u middot ~v + ~u middot ~w

4 (c~u) middot ~v = ~u middot (c~v) = c(~u middot ~v)

37

38 5 HAFTA

5 ~u2 = ~u middot ~u

Iccedil ccedilarpım sayesinde iki vektoumlr arasındaki accedilı belirlenebilir

Lemma 2 ~u ve ~v vektoumlrleri arasındaki accedilı θ ise

~u middot ~v = ~u ~v cos θ (8)

olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ

Kanıt Bu esitlik kosinuumls teoreminden elde edilen

(~v minus ~u) middot (~v minus ~u) = ~v minus ~u2 = ~u2 + ~v2 minus 2 ~u ~v cos θ

ifadesini accedilarak elde edilir

(8) bagıntısının bazı sonuccedilları soumlyledir

1 Iki vektoumlr ancak ve ancak iccedil ccedilarpımları sıfır ise birbirine diktir yani aralarındakiaccedilı 90 olur

2 |~u middot ~v| = ~u ~v |cos θ| bagıntısı her ~u ve ~v vektoumlrleri iccedilin geccedilerli olan uumlnluuml Cauchy-Schwartz esitsizligini verir

|~u middot ~v| le ~u ~vYani

|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12

Vektoumlrel Ccedilarpım

~u 6= ~0 ve ~v 6= ~0 olsun Hem ~u hem de ~v vektoumlrlerine dik olan ve sag el kuralı ile belirlenenbir tek birim vektoumlr vardır Bu vektoumlre ~n diyelim

~utimes ~v = (~u ~v sin θ)~n

olarak tanımlanır Eger vektoumlrlerden biri ~0 ise vektoumlrel ccedilarpım ~utimes ~v = ~0 olarak tanım-lanır

Sıfırdan farklı ~u ~v vektoumlrleri ancak ve ancak ~utimes~v = ~0 ise paraleldir Oumlzel olarak da~utimes ~u = ~0 olur

Lemma 3 Asagıdaki oumlzellikler her ~u ~v ve ~w vektoumlrleri ve her r s skalerleri iccedilin ge-ccedilerlidir

ANALITIK GEOMETRI VEKTOumlRLER DOGRULAR VE DUumlZLEMLER 39

1 (r~u)times (s~v) = (rs)(~utimes ~v)

2 ~utimes (~v + ~w) = ~utimes ~w + ~utimes ~w

3 ~utimes ~v = minus~v times ~u

4 ~0times ~u = ~0

5 ~utimes (~v times ~w) = (~u middot ~w)~v minus (~u middot ~v)~w

Vektoumlrel ccedilarpımın tanımı sebebiyle

itimes j = k j times k = i k times i = j

olur Bu oumlzellikler kullanılarak ~u = u1i+ u2j + u3k ve ~v = v1i+ v2j + v3k vektoumlrleri iccedilinvektoumlrel ccedilarpımın

~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2

∣∣∣∣= i(u2v3 minus u3v2)minus j(u1v3 minus u3v1) + k(u1v2 minus u2v1)

oldugu goumlsterilirVektoumlr ccedilarpımının birlesme oumlzelligi yoktur Oumlrnegin

minusj = itimes k = itimes (itimes j) 6= (itimes i)times j = ~0

olurVektoumlrel Ccedilarpımın Geometrik Anlamı ~u ve ~v tarafından gerilen paralelkenarın alanı

~utimes ~v = ~u ~v sin θ

olur Gerccedilekten de ~u ve ~v tarafından gerilen paralelkenarda ~v taban uzunlugunu~u sin θ ise yuumlksekligi verir

~u

~v

h = ~u sin θ

θ

Uumlccedil Boyutlu Uzayda Parametrik Dogrular

Bir P (x0 y0 z0) noktasından geccedilen ve ~v = ai+bj+ck dogrultmanına sahip bir dogrununparametrik denklemi

~r(t) = ~r0 + t~v t isin R

seklinde yazılır Burada ~r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k dogrunun uumlzerindeki bir noktanınpozisyon vektoumlruuml ~r0 ise P noktasının pozisyon vektoumlruumlduumlr yani ~r0 = x0i + y0j + z0k

seklindedir Her t isin R iccedilin yukarıdaki bagıntı dogru uumlzerindeki baska bir noktanınpozisyon vektoumlruumlduumlr Bu dogruyu tarif etmenin baska bir yolu da

x(t) = x0 + ta y(t) = y0 + tb z(t) = z0 + tc

40 5 HAFTA

seklindedir Eger bu denklemden trsquoyi ccedilekersek ve a 6= 0 b 6= 0 c 6= 0 oldugunu kabuledersek dogrunun

xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c

standart denklemlerini elde ederiz

Oumlrnek 38 (minus3 2minus3) ve (1minus1 4) noktalarından geccedilen dogrunun standart denklemle-rinin

xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7


Oumlrnek 39 Bir S noktasının P noktasından geccedilen ve dogrultmanı ~v olan bir dogruyauzaklıgının ∥∥∥minusrarrPS times v∥∥∥

~voldugunu goumlsterin

S

~vP

∥∥∥minusrarrPS∥∥∥ sin θ =minusrarrPStimesv~v

θ

Oumlrnek 40 S(1 1 5) noktası ile parametrik denklemi x = 1 + t y = 3 minus t z = 2t olandogru arasındaki mesafenin

radic5 oldugunu goumlsterin

Uumlccedil Boyutlu Uzayda Duumlzlemler

Bir P0(x0 y0 z0) noktası ve ~n = ai+ bj + ck normal vektoumlruuml bilinen bir duumlzlem uumlzerindeherhangi bir P (x y z) noktası alırsak

~n middot minusminusrarrP0P = 0

olur Bu daa(xminus x0) + b(y minus y0) + c(z minus z0) = 0

veyaax+ by + cz = d = ax0 + by0 + cz0

olarak ifade edilebilirTersine olarak duumlsuumlnuumlrsek

ax+ by + cz = d

denklemi normali ai+ bj + ck vektoumlruuml olan duumlzlemin denklemidirBir duumlzlemin normal vektoumlruumlnuumln tek olmadıgına dikkat edilmelidir


Oumlrnek 41 P (1 3 2) Q(3minus1 6) R(5 2 0) noktalarından geccedilen duumlzlemin denkleminiyazın

Ccediloumlzuumlm Duumlzlemin ~n =minusrarrPQtimesminusrarrPR olarak alabiliriz Buradan

~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k

bulunur P (1 3 2) noktasını alırsak duumlzlemin denklemini

12(xminus 1) + 20(y minus 3) + 14(z minus 2) = 0

olarak buluruz

Alıstırmalar

1 Koumlsegenleri birbirine dik bir dikdoumlrt-gen karedir Goumlsterin

2 Bir paralelkenar ancak ve ancak kouml-segenleri aynı uzunluktaysa bir dik-doumlrtgendir Goumlsterin

3 ~u middot ~u1 = ~u middot ~u2 ise ~u1 = ~u2 olmak zo-runda mıdır

4 Lemma 3 de verilen oumlzellikleri ispat-layın

5 Koumlseleri P (1minus1 0) Q(2 1minus1) veR(minus1 1 2) noktlarında olan uumlccedilgeninalanının 3


6 i+ 2j minus k minus2i+ 3k ve 7j minus 4k vektoumlr-leri tarafından gerilen paralelyuumlzluuml-nuumln hacminin 23 birim kuumlp oldugunugoumlsterin

7 (9) nolu bagıntıyı goumlsterin

8 Herhangi bir uumlccedilgende iki kenarınorta noktalarını birlestiren dogruuumlccediluumlncuuml kenara paraleldir uzunluguise uumlccediluumlncuuml kenarın uzunlugunun ya-rısıdır

9 (Opsiyonel) Aralarındaki accedilı θ olanbir ~v vektoumlruumlnuumln bir ~u vektoumlruuml uumlze-rine iz duumlsuumlm vektoumlruuml

iz~u~v = (~v cos θ)(~u

~u)

= (~u ~v cos θ)(~u

~u2) = (~u middot ~v)

~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ

10 ~v middot ~u = iz~u~v middot ~u oldugunu goumlsterin

11 (Opsiyonel) Kenarları ~u ~v ve ~w tara-fından gerilen uumlccedil boyutlu paralelyuumlz-luumlnuumln hacmi

~utimes ~v ~v |cos θ|

tarafından belirlenir Burada θ ~u times~v ve ~w vektoumlrleri arasındaki accedilıdırGerccedilekten ~utimes ~v paralelyuumlzluumlnuumln

42 5 HAFTA

taban alanını ~v |cos θ| ise paralel-yuumlzluumlnuumln yuumlksekligini belirtir Bu ha-cimi

(~utimes ~v) middot ~w = ~utimes ~v ~v |cos θ|olarak da yazabiliriz

(~utimes ~v) middot ~w isin R

sayısına ~u ~v ve ~w vektoumlrlerinin uumlccedilluumlccedilarpımı denir u = u1i+u2j+u3k v =

v1i+ v2j + v3k ve w = w1i+w2j +w3k

olmak uumlzere uumlccedilluuml ccedilarpım

(~utimes ~v) middot ~w =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)

determinantı yardımıyla hesaplana-bilir (Goumlsterin)

6 Hafta

Teget Duumlzlem

Vektoumlr Degerli Fonksiyonlar

f A sub Rrarr Rn fonksiyonuna n isin N ve n ge 2 iccedilin bir vektoumlr degerli fonksiyon denirf A sub Rrarr R3 durumunda

f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

olarak yazılabilir f fonksiyonun goumlruumlntuuml kuumlmesine Rn uumlzerinde bir egri f fonksiyonunaise bu egrinin bir parametrizasyonu denir

Oumlrnek 42 f(t) = ln ti + etj +radic

1minus t2k fonksiyonunun tanım kuumlmesi (0 1] olur

Oumlrnek 43 f(t) = cos ti+ sin tj t isin R fonksiyonu birim ccedilemberin bir parametrizasyonu-dur Baska bir deyisle f fonksiyonunun goumlruumlntuuml kuumlmesi R2 de birim ccedilemberdirk

1 f g R rarr Rn ve h R rarr R ise (f + g)(t) = f(t) + g(t) olarak tanımlarız Benzersekilde f minus g (hf) f middot g f times g f h fonksiyonları tanımlanır

2 bull forallε gt 0 existδ gt 00 lt |tminus t0| lt δ =rArr f(t)minus L lt ε

kosulu saglanırsa limtrarrt0 f(t) = L deriz

bull Goumlsterilebilir kif(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

fonksiyonunun bir t0 noktasındaki limiti ancak ve ancak x y ve z skaler fonk-siyonlarının t0 noktasında limiti varsa vardır ve bu durumda

limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k

bull a) limtrarrt0(f(t) + g(t)) = (limtrarrt0 f(t)) + (limtrarrt0 g(t))

b) limtrarrt0(f(t) middot g(t)) = (limtrarrt0 f(t)) middot (limtrarrt0 g(t))

43

44 6 HAFTA

c) limtrarrt0(f(t)times g(t)) = (limtrarrt0 f(t))times (limtrarrt0 g(t))

d) limtrarrt0(h(t)f(t)) = (limtrarrt0 h(t)) (limtrarrt0 f(t))

gibi klasik limit kuralları geccedilerlidir

3 bull Eger limtrarrt0 f(t) = f(t0) ise f vektoumlr degerli fonksiyonuna t0 noktasında suuml-rekli deriz Eger bu fonksiyon tanım kuumlmesindeki her noktada suumlrekli isefonksiyonun kendisine suumlrekli deriz


fonksiyonu bir t0 noktasında suumlreklidir ancak ve ancak x y ve z skaler fonk-

siyonları t0 noktasında suumlrekliyse oumlrnek f(t) =1radicti +

1

t2 minus 4j fonksiyonu

tanımlı oldugu (0 2) cup (2infin) kuumlmesi uumlzerinde suumlreklidir

4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h

limiti varsa f fonksiyonuna t noktasında tuumlretilebilir denir

oumlrnek f(t) = cos ti + sin tj fonksiyonunun tuumlrevi f prime(t) = minus sin ti + cos tj olur

bull Eger u ve v tuumlretilebilir fonksiyonlar c sabir vektoumlr c skaler ve f tuumlretilebilirbir skaler fonksiyon ise

a) ddtc = 0

b) ddt

[cu(t)] = cuprime(t)

c) ddt

[f(t)u(t)] = f prime(t)u(t) + f(t)uprime(t)

d) ddt

[u(t) middot v(t)] = uprime(t) middot v(t) + u(t) middot vprime(t)e) d

dt[u(t)times v(t)] = uprime(t)times v(t) + u(t)times vprime(t)

f) ddt

[u(f(t))] = f prime(t)uprime(f(t))

ispat Oumlrnegin u = u1(t)i + u2(t)j + u3(t)k ve v = v1(t)i + v2(t)j + v3(t)k olsun

d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)

= uprime1v1 + uprime2v2 + uprime3v3︸︷︷︸uprimemiddotv

+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler

Tanım 5r I sub Rrarr R2 r(t) = x(t)i + y(t)j

olsun x ve y trsquonin tuumlretilebilir fonksiyonları olsun r fonksiyonun goumlruumlntuuml kuumlmesi olan

r(I) =

(x(t) y(t)) isin R2 | t isin I

TEGET DUumlZLEM 45

kuumlmesine R2rsquode tanımlı bir egri ve

dr

dt=dx

dti +

dy

dtj

vektoumlruumlne eger sıfır vektoumlruuml degilse bu egrinin teget vektoumlruuml denir Benzer bir se-kilde R3rsquoteki egriler de tanımlanabilir

Oumlrnek 44 r(t) = ti + t2j t isin R olsun x = t y = t2 yazıp trsquoyi elimine edersek y = x2

denklemini buluruz Yani x(t) = t ve y(t) = t2 parametrik denklemleri y = x2 paraboluuml-nuumln bir parametrizasyonudur Bu egrinin teget vektoumlruuml

dr

dt= i + 2tj

olur

Oumlrnek 45 Her tek degiskenli suumlrekli f A sub R rarr R fonksiyonunun grafigi bir egritanımlar ve bu egri r(t) = ti + f(t)j denklemi ile parametrize edilebilir Ancak tersineR2rsquodeki her egri bir fonksiyonunun grafigi degildir Oumlrnegin x2 + y2 = 1 ccedilemberi birfonksiyonun grafigi olarak yazılamaz

Oumlrnek 46 x2 + y2 = 1 ccedilemberi parametrik olarak r(t) = cos ti + sin tj t isin R seklindeyazılabilir Aslında bir egri sonsuz farklı parametrik denklemle tanımlanabilir Oumlrneginr(t) = cos 2ti + sin 2tj denklemi de aynı ccedilemberi tanımlar

Oumlrnek 47 r(t) = cos ti + sin tj + tk parametrik denklemi R3rsquode bir helis tanımlar

Sekil 02 Helis grafigi

Seviye Egrileri ve Gradyan

Bir egriyi tanımlamanın diger bir yolu egriyi iki degiskenli reel degerli bir fonksiyonu-nun seviye egrisi olarak tanımlamaktır

Tanım 6 f A sub R2 rarr R ve k isin R olmak uumlzere

Ck = (x y) isin A f(x y) = k

kuumlmesine f rsquonin bir seviye kuumlmesi denir

46 6 HAFTA

1 k isin R m isin R ve k 6= m is Ck cap Cm = empty olacagı accedilıktır zira (x y) isin Ck cap Cm isef(x y) = k ve f(x y) = m oldugundan k = m olur

2 Eger (x0 y0) isin Ck ve nablaf(x0 y0) 6= 0 ise (x0 y0) noktasının oumlyle bir B sub A accedilıkkomsulugunu bulabiliriz ki Ck capB kuumlmesi bir egridir

ispat (Opsiyonel) nablaf(x0 y0) 6= 0 oldugundan oumlrnegin partfparty

(x0 y0) 6= 0 olarak ala-

biliriz (aksi halde partfpartx6= 0 olur ve ispat benzer sekildedir) Kapalı fonksiyon te-

oremi bir δ gt 0 ve ε gt 0 iccedilin f(x g(x)) = k ve g(x0) = y0 seklinde tek birg (x0minus δ x0 + δ)rarr (y0minus ε y0 + ε) fonksiyonunun var oldugunu soumlyler DolayısıylaB = (x0 minus δ x0 + δ)times (y0 minus ε y0 + ε) kuumlmesi iccedilin Ck capB kuumlmesi

r(t) = ti + g(t)j t isin (x0 minus δ x0 + δ)

olarak parametrize edilen bir egridir

Oumlrnek 48 Belirtilen fonksiyonların seviye kuumlmelerini ve seviye egrilerinin parametrikdenklemlerini belirleyin

1 f(x y) = x2 + y2 2 f(x y) = x2 + 2y2 3 f(x y) = ex+2y

Ccediloumlzuumlm 1 f(x y) = x2 + y2 fonksiyonunun seviye kuumlmeleri k lt 0 iccedilin bos kuumlmek = 0 iccedilin sadece orijin noktası k gt 0 iccedilin ise

radick yarıccedilaplı ve orijin merkezli

ccedilember olur Bu ccedilemberler her k gt 0 iccedilin

r(t) =radick cos ti +

radick sin tj t isin [0 2π]

denklemiyle parametrize edilebilir

2 f(x y) = x2 + 2y2 fonksiyonunun seviye kuumlmeleri k lt 0 iccedilin bos kuumlme k = 0 iccedilinsadece orijin noktası k gt 0 iccedilin ise

2x2 + y2 = k = 2x20 + y20

denklemiyle tanımlı elipslerdir Bu elipsler

r(t) =

radick

2cos ti +

radick sin j t isin [0 2π]


3 f(x y) = ex+2y fonksiyonunun her k isin R iccedilin seviye egrileri x+2y = k dogrularıdırBu dogrular y = t ve x = k minus 2t denklemi veya kısaca

r(t) = (k minus 2t)i + tj t isin R


Teorem 11 f A sub R2 rarr R tuumlretilebilir bir fonksiyon C egrisi ise f rsquonin bir seviyeegrisi olsun Bu durumda nablaf vektoumlruuml C egrisine (yani C egrisinin teget vektoumlruumlne)diktir

TEGET DUumlZLEM 47

Kanıt C egrisinin r = x(t)i + y(t)j t isin I seklinde parametrize edildigini kabul edelimDolayısıyla bir k isin R iccedilin

f(x(t) y(t)) = k forallt isin Iolmalıdır Yukarıdaki denklemde her iki tarafın ddt tuumlrevini alırsak

0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy

dt= nablaf middot dr

dt

buluruz

Bir topografik haritadaki izohipslerdir yuumlkseklik fonksiyonun seviye egrileridir Yu-karıdaki teoreme goumlre bir topografya haritasında nehirler izohipslere diktirler

Oumlrnek 49 Opsiyonel Oumlrnek (2 1) noktasından geccedilen ve f(x y) = x2 + 2y2 fonksiyo-nunun en hızlı arttıgı youmlnde giden C egrisini belirleyin

Ccediloumlzuumlm Fonksiyonun en hızlı gittigi youmln nablaf olduguna goumlre C egrisinin teget vektoumlruumldrdt

= dxdti + dy

dtj ile nablaf = partf

partxi + partf

partyj = 2xi + 4yj vektoumlruuml paralel olmalıdır Yani bir c sayısı

iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y

olmalıdır Buradandy

dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x

bulunur Bu denklemin iki tarafını da integre edersek bir k sabiti iccedilin

ln |y| = 2 ln |x|+ k =rArr |y| = ekx2 =rArr y = plusmnekx2 =rArr y = Kx2

(K = plusmnek olmak uumlzere) olur Buradan da x = 2 y = 1 koyarsak K = 14 olur Yani Cegrisi y = x24 paraboluumlduumlr

Yuumlzeyler

Egriler gibi yuumlzeyleri tanımlamanın da bir kaccedil yolu vardırBirinci yol yuumlzeyi bir f A sub R2 rarr R fonksiyonunun grafigi olarak tanımlamaktır

Oumlrnek olarak Figuumlr 03 ve Figuumlr 04 deki yuumlzeyler goumlsterilebilirAma her yuumlzey bu sekilde tanımlanamaz Oumlrnegin x2 + y2 + z2 = 1 kuumlresi bir z =

f(x y) fonksiyonunun grafigi olarak yazılamazIkinci youmlntem yuumlzeyi parametrik olarak tanımlamaktır

r(t s) = x(t s)i + y(t s)j + z(t s)k (s t) isin A sub R2

Bu durumda a yarıccedilaplı kuumlre

x(θ φ) = a cos θ sinφ y(θ φ) = a sin θ sinφ z(θ φ) = a cosφ (θ φ) isin [0 2π]times [0 π]

olarak yani kuumlresel koordinatlar yardımıyla tanımlanabilir Yuumlzeylerin parametrik goumls-terimi ile bu derste ilgilenmeyecegiz

48 6 HAFTA

minus4 minus2 0 2 4 minus5

0

5

0

20

40

xy

Sekil 03 z = x2 +y2 fonksiyonunun grafigi


0

5minus20

0

20

xy

Sekil 04 z = x2minusy2 fonksiyonunun grafigi

f(x y z) = k Seviye Yuumlzeyi ve Bu Yuumlzeyin Teget Duumlzlemi


(x y z) isin A f(x y z) = k

kuumlmesine f rsquonin bir seviye kuumlmesi denir Eger bu kuumlme R3rsquode bir yuumlzey tanımlıyorsabu yuumlzeye f rsquonin bir seviye yuumlzeyi denir Eger (x0 y0 z0) isin A ve k = f(x0 y0 z0) iseyuumlzey (x0 y0 z0) noktasından geccediler Seviye yuumlzeyi uumlzerindeki bir egriye seviye egrisidenir

Oumlrnek 50 f(x y z) = x2 + y2 + z2 fonksiyonun (1minus1 0) noktasından geccedilen seviyeyuumlzeyi

f(x y z) = f(1minus1 0)

yanix2 + y2 + z2 = 2

denklemi ile tanımlı kuumlredir

Teorem 11lsquoe benzer bir teorem uumlccedil degiskenli fonksiyonlar iccedilin de geccedilerlidir

Teorem 12 f A sub R3 rarr R tuumlretilebilir bir fonksiyon C egrisi ise r = x(t)i + y(t)j +

z(t)k t isin I seklinde parametrize edilmis olsun Ayrıca C f rsquonin bir seviye egrisi olsunYani bir k isin R iccedilin t isin I iccedilin

f(x(t) y(t) z(t)) = k

olsun Bu durumda nablaf = partfpartxi + partf

partyj + partf

partzk vektoumlruuml C egrisine diktir Yani

nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49

Bu teorem bizenablaf vektoumlruumlnuumln f rsquonin bir seviye yuumlzeyindeki her egriye dik oldugunusoumlyler Yani baska bir deyisle nablaf vektoumlruuml f rsquonin seviye yuumlzeyine diktir

Tanım 8 f A sub R3 rarr R fonksiyonu bir P (x0 y0 z0) isin A noktasında tuumlretilebilir ol-sun P (x0 y0 z0) noktasından geccedilen ve normal vektoumlruuml nablaf(P ) olan duumlzleme f(x y z) =

f(x0 y0 z0) seviye yuumlzeyinin teget duumlzlemi denir Seviye yuumlzeyinin teget duumlzlemininbir denklemi

fx(P )(xminus x0) + fy(P )(y minus y0) + fz(P )(z minus z0) = 0

ve seviye yuumlzeyinin normal dogrusunun bir denklemi ise

x = x0 + fx(P )t y = y0 + fy(P )t z = z0 + fz(P )t

olur

Oumlrnek 51 x2 + y2 + z2 = 5 yuumlzeyinin (1 2 0) noktasındaki teget duumlzlemini ve normaldogrusunu belirleyin

Ccediloumlzuumlm f = x2+y2+z2minus5 olarak tanımlarsak (1 2 0) noktasındanablaf = 2xi+2yj+2zk =

2i + 4j oldugundan teget duumlzlem

2(xminus 1) + 2(y minus 2) = 0

normal dogru isex = 1 + 2t y = 2 + 4t z = 0

olur

z = f(x y) Fonksiyonunun Grafiginin Teget Duumlzlemi

z = f(x y) fonksiyonun grafigi g(x y z) = f(x y) minus z = 0 yuumlzeyidir Dolayısıyla birP (x0 y0 z0) noktasında teget duumlzlemi

gx(P )(xminus x0) + gy(P )(y minus y0) + gz(P )(z minus z0) = 0

Bu dafx(P )(xminus x0) + fy(P )(y minus y0)minus (z minus z0) = 0

olarak yazılır

Oumlrnek 52 z = x cos y minus yex yuumlzeyine (0 0 0) noktasındaki teget duumlzlemin ve normaldogrunun denklemlerini bulun

Ccediloumlzuumlm F (x y z) = x cos y minus yex minus z olarak tanımlarsak (0 0 0) noktasında

nablaF = (cos y minus yex)i + (minusx sin y minus ex)jminus k = iminus jminus k

olur Teget duumlzlemxminus y minus z = 0

normal dogru isex = t y = minust z = minust t isin R

olur

50 6 HAFTA

Iki Yuumlzeyin Kesisim Egrisinin Teget Dogrusu

Teorem 13 (x0 y0 z0) noktası f(x y z) = 0 ve g(x y z) = 0 denklemlerinin bir ccediloumlzuumlmuumlolsun Eger

nablaf(x0 y0 z0)timesnablag(x0 y0 z0) 6= 0

ise (x0 y0 z0) noktasının bir komsulugunda f(x y z) = 0 ve g(x y z) = 0 yuumlzeyleri(x0 y0 z0) noktasından geccedilen bir C egrisinde kesisirler C egrisinin teget vektoumlruuml nablaf timesnablag youmlnuumlndedir

Kanıt

nablaf timesnablag =

(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)

)oldugundan bu Jakobyenlerden birisi oumlrnegin part(fg)

part(xy)Jakobyeni (x0 y0 z0) noktasında

sıfırdan farklı ise x0 noktasının yeterince kuumlccediluumlk bir I komsulugunda tanımlı oumlyle biry = X(x) ve z = Z(x) fonksiyonları vardır ki

f(x Y (x) Z(x)) = g(x Y (x) Z(x)) = 0 forallx isin I

olur Eger C egrisini

x = t y = Y (t) z = Z(t) t isin I

olarak tanımlarsak yukarıdaki sonuccedil C egrisinin her iki yuumlzey uumlzerinde oldugunu goumls-terir

C egrisi f rsquonin bir seviye egrisi oldugundan nablaf vektoumlruumlne grsquonin bir seviye egrisioldugundan ise nablag vektoumlrlerine diktir Yani nablaf timesnablag vektoumlruumlne paraleldir

Hatırlatma P noktasındaki teget vektoumlruuml v olan C egrisinin normal duumlzlemi P rsquodengeccedilen ve normali v olan duumlzlemdir Buna goumlre iki yuumlzeyin kesisim egrisinin normalduumlzlemi bulunabilir

Oumlrnek 53 f(x y z) = x2 + y2minus 2 = 0 silindiri ve g(x y z) = x+ zminus 4 = 0 duumlzlemlerinin(1 1 3) noktasından geccedilen bir kesisim egrisinin var oldugunu goumlsterin ve bu egrininteget dogrusunun denklemini belirleyin

Ccediloumlzuumlm (1 1 3) noktasında nablaf = 2i+ 2j nablag = i + k v = nablaf timesnablag = 2iminus 2j minus 2k olurTeget dogrusunun denklemi

x = 1 + 2t y = 1minus 2t z = 3minus 2t

olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51

1 Verilen (x0 y0) noktasında verilenz = f(x y) fonksiyonunun grafigineteget olan duumlzlemi bulun

a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)

2 x2 + 4y2 + 16z2 minus 2xy = 12 yuumlze-yinin hangi noktasındaki teget duumlz-lemi xz-duumlzlemine paralel olur (Ce-vap A(2 2 0) ve B(minus2minus2 0) CcediloumlzuumlmMustafa Balcı)

3 x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1 elipsoidine uumlze-

rindeki P (x0 y0 z0) noktasında tegetolan duumlzlemi belirleyin (Cevap xx0

a2+

yy0b2

+ zz0c2

= 1 Ccediloumlzuumlm Mustafa Balcı)

4 x2 + 2y2 + 3z2 = 21 yuumlzeyinin x+ 4y+

6z = 0 duumlzlemine paralel olan tegetduumlzleminin denklemini yazınız (Ce-vap x+ 4y + 6z = minus21 Ccediloumlzuumlm Mus-tafa Balcı)

5 f tuumlrevlenebilen bir fonksiyon olsunz = xf

(yx

)yuumlzeyinin x0 6= 0 olmak

uumlzere her P (x0 y0 z0) noktasındakitegetinin orijinden geccediltigini goumlsteri-niz (Ccediloumlzuumlm Mustafa Balcı)

6 z2 = x2 + y2 konisinin her noktasın-daki teget duumlzleminin orijinden geccedil-tigini goumlsteriniz (Ccediloumlzuumlm MustafaBalcı)

7 Nurettin Ergun sayfa 124-130 1 23 7 8 9 11

7-8 Hafta

Ektremum Problemleri

Hatırlatma Tek Degiskenli Reel Degerli Fonksiyonlarda EkstremDeger Problemleri

f A sub Rrarr R olsun

bull

Tanım 9 Bir x0 isin A noktasının A iccedilinde kalan bir komsulugundaki her x degeriiccedilin f(x) ge f(x0) ise f(x0) degerine f rsquonin bir yerel minimumu denir Benzer se-kilde yerel maksimum tanımlanır f(x0) f rsquonin bir yerel minimum veya yerel mak-simum degeri ise f(x0) degerine f rsquonin bir yerel ekstrem degeri denir f rsquonin ta-nım kuumlmesindeki minimum degerine f rsquonin mutlak minimum degeri maksimumdegerine ise mutlak maksimum degeri denir Benzer sekilde mutlak ekstremdegeri tanımlanır

bull

Tanım 10 f prime(x) = 0 olan bir x isin A noktasına f rsquonin bir kritik noktası denir

bull

Teorem 14 i) x0 noktası A kuumlmesinin bir iccedil noktası ii) f prime(x0) tanımlı iii) f(x0)f rsquonin bir yerel ekstrem degeri ise x0 noktası f rsquonin bir kritik noktası olur

Kanıt f prime(x0) 6= 0 olsun Genellikten kaybetmeksizin oumlrnegin f prime(x0) gt 0 kabuledelim

f prime(x0) = limxrarrx0

f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

oldugundan bir δ gt 0 iccedilin (x0 x0 + δ) aralıgındaki her x iccedilin limit tanımından

f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA

olur (neden) yani f(x) gt f(x0) olur Benzer sekilde bir δprime gt 0 iccedilin (x0 minus δprime x0)

aralıgındaki her x iccedilin f(x) lt f(x0) olur Yani f(x0) bir yerel ekstrem deger olmaz

bull Ters oumlnerme dogru degildir Yani f prime(x0) = 0 ise f(x0) bir ekstrem deger olmakzorunda degildir Oumlrnek olarak f(x) = x3 fonksiyonu iccedilin f prime(0) = 0 olur ama f(0) =

0 fonksiyonun bir ekstrem degeri degildir

bull Dolayısıyla fonksiyonun yerel ekstrem degerleri ancak ve ancak fonksiyonun kri-tik noktalarında tuumlrevinin tanımsız oldugu noktalarda ve fonksiyonun tanım kuuml-mesinin sınır noktalarında ortaya ccedilıkabilir

bull

Teorem 15 (Ikinci tuumlrev testi) f f prime ve f primeprime fonksiyonları x0 noktasının bir komsu-lugunda suumlrekli ve x0 f rsquonin bir kritik noktası olsun O halde i) f primeprime(x0) gt 0 ise f(x0)

bir yerel minimum ii) f primeprime(x0) lt 0 ise f(x0) bir yerel maksimum olur

Kanıt Taylor Teoremine goumlre her x isin A iccedilin

f(x) = f(x0) + f prime(x0)(xminus x0) +f primeprime(c)

2(xminus x0)2

olur Burada c x ile x0 arasındadır f prime(x0) = 0 oldugundan

f(x)minus f(x0) =f primeprime(c)

2(xminus x0)2

olur f primeprime suumlrekli ve f primeprime(x0) gt 0 oldugundan x0rsquoın yeterince kuumlccediluumlk bir (x0 minus ε x0 + ε)

komsulugundaki her x iccedilin f primeprime(x) gt 0 olur Yani bu komsuluktaki her x iccedilin f(x) gt

f(x0) ve f(x0) bir yerel minimum olur Benzer sekilde diger oumlnerme goumlsterilir

bull Eger f suumlrekli ise ve A kuumlmesi sınırlı ve kapalı ise (yani kompakt ise) f rsquonin A

kuumlmesi uumlzerinde mutlaka bir mutlak minimumu ve mutlak maksimumu olmakzorundadır

Iki Degiskenli Reel Degerli Fonksiyonlarda Ekstrem DegerProblemleri

f A sub R2 rarr R olsun

bull Tanım 9rsquode x0 yerine (x0 y0) yazılarak tanımlar iki degiskenli fonksiyonlara tası-nabilir

bull

EKTREMUM PROBLEMLERI 55

Tanım 11 Eger fx(x y) ve fy(x y) kısmi tuumlrevlerinden biri tanımlı degilse veyaher ikisi birden tanımlı ve fx(x y) = fy(x y) = 0 oluyorsa (x y) isin A noktasınaf rsquonin bir kritik noktası denir

Yani kritik noktada kısmi tuumlrevler tanımlı ise nablaf(x y) = 0 olur Buradan eger fkritik noktasında tuumlretilebilen bir fonksiyon ise kritik noktasındaki her youmlndekiyoumlnluuml tuumlrevinin sıfır olması gerektigi sonucu ccedilıkar

bull

Teorem 16 i) (x0 y0) noktası A kuumlmesinin bir iccedil noktası ii) f fonksiyonunun(x0 y0) noktasında kısmi tuumlrevleri tanımlı iii) f(x0 y0) f rsquonin bir yerel ekstremdegeri ise (x0 y0) noktası f rsquonin bir kritik noktasıdır

Kanıt g(x) = f(x y0) olsun x0 noktası ve g fonksiyonu Teorem 14rsquodeki sartlarısagladıgından gprime(x0) = 0 olur fx(x0 y0) = gprime(x0) oldugundan fx(x0 y0) = 0 olurBenzer bir oumlnerme fy(x0 y0) = 0 oldugunu goumlstermek iccedilin de kullanılabilir

bull Ters oumlnerme dogru degildir Yani fonksiyon bir kritik noktasında ekstrem degeralmayabilir Oumlrnegin f(x y) = 0 fonksiyonu iccedilin fx(0 0) = fy(0 0) = 0 yani (0 0)f rsquonin bir kritik noktası olur (0 0) noktasının her komsulugunda (a a) seklindebir nokta mutlaka vardır ve a2 = f(a a) gt f(0 0) = 0 olacagından f(0 0) biryerel maksimum olamaz Aynı oumlnerme (minusa a) noktası iccedilin tekrarlanırsa f(0 0)

degerinin bir yerel minimum olamayacagı goumlruumlluumlr


bull

∆f(x0 y0) = fxx(x0 y0)fyy(x0 y0)minus f 2xy(x0 y0) =

∣∣∣∣fxx fxyfxy fyy

∣∣∣∣olarak tanımlayalım

Teorem 17 (Ikinci tuumlrev testi) f ve f rsquonin birinci ve ikinci mertebe kısmi tuuml-revleri (x0 y0) noktasının bir komsulugunda suumlrekli ve (x0 y0)rsquoda f rsquonin bir kritiknoktası olsun O halde

1 ∆f(x0 y0) gt 0 ve fxx(x0 y0) gt 0 (veya fyy(x0 y0) gt 0) ise f (x0 y0) noktasındabir yerel minimuma sahiptir

2 ∆f(x0 y0) gt 0 ve fxx(x0 y0) lt 0 (veya fyy(x0 y0) lt 0) ise f (x0 y0) noktasındabir yerel maksimuma sahiptir

3 ∆f(x0 y0) lt 0 ise (x0 y0) noktası f rsquonin bir eger noktasıdır Yani (x0 y0) nok-tasının her komsulugunda f(x1 y1) lt f(x0 y0) ve f(x2 y2) gt f(x0 y0) ba-gıntılarını saglayan (x1 y1) ve (x2 y2) noktaları vardır Yani fonksiyon (x0 y0)

noktasında bir yerel minimum veya yerel maksimum degeri almaz

56 7-8 HAFTA

4 ∆f(x0 y0) = 0 ise kritik noktanın karakteri hakkında bir sey soumlylenemez

Kanıt Taylor teoremine goumlre her (x y) isin A iccedilin

f(x y) =f(x0 y0) + fx(x0 y0)(xminus x0) + fy(x0 y0)(y minus y0)1

2

(fxx(c d)(xminus x0)2 + 2fxy(c d)(xminus x0)(y minus y0) + fyy(c d)(y minus y0)2

)olur Burada c x ile x0 arasında d ise y ile y0 arasındadır

A = fxx(c d) B = fxy(c d) C = fyy(c d) X = xminus x0 Y = y minus y0

olarak tanımlayalım fx(x0 y0) = fy(x0 y0) = 0 oldugundan her (x y) isin A

f(x y)minus f(x0 y0) =1

2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)

olur Suumlreklilik nedeniyle (x0 y0)rsquoın yeterince kuumlccediluumlk bir komsulugunda fxx(x0 y0) gt

0 ise A gt 0 ve ∆f(x0 y0) gt 0 ise (ACminusB2)A2 gt 0 olur Buradan bu komsuluk iccedilindeki

her (x y) iccedilin f(x y) minus f(x0 y0) gt 0 olur Yani birinci sonuccedil ccedilıkar Digerleri debenzer sekilde goumlsterilir

Oumlrnek 54 f(x y) = x2 + y2 fonksiyonunun yerel ekstremumlarını bulun

Ccediloumlzuumlm fx = 2x = 0 ve fy = 2y = 0 denklemlerinin tek ccediloumlzuumlmuuml (0 0) fxx = 2 fxy = 0fyy = 2 Yani ∆f(0 0) = 4 lt 0 ve ikinci tuumlrev testine goumlre (0 0) fonksiyonun bir yerelminimum noktasıdır bkz Figuumlr 03 f(x y) ge 0 oldugundan (0 0) noktası fonksiyonunmutlak minimum noktasıdır

Oumlrnek 55 f(x y) = x2 minus y2 fonksiyonunun yerel ekstremumlarını bulun

Ccediloumlzuumlm fx = 2x = 0 ve fy = minus2y = 0 denklemlerinin tek ccediloumlzuumlmuuml (0 0) fxx = 2 fxy = 0fyy = minus2 Yani ∆f(0 0) = minus4 lt 0 ve ikinci tuumlrev testine goumlre (0 0) bir eyer noktasıdırbkz Figuumlr 04

Yukarıdaki oumlrnekte (0 0) noktasının bir eyer noktası oldugunu f(ε 0) = ε2 gt 0 vef(0 ε) = minusε2 lt 0 olduguna dikkat ederek de goumlrebilirdik Yani (0 0) noktasının herkomsulugunda 0 = f(0 0)rsquodan daha buumlyuumlk degerler daha kuumlccediluumlk degerler de vardır

Oumlrnek 56 f(x y) = 6xy minus 3x2 minus 3y4 fonksiyonunun yerel eksremumlarını bulun

Ccediloumlzuumlm Fonksiyonun (0 0) noktasında bir eyer noktası (minus1radic2 minus1radic

2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-

rında yerel maksimumları oldugunu goumlsterin

Oumlrnek 57 (2minus1 1) noktasının x+ y minus z = 2 duumlzlemine uzaklıgını bulun


Ccediloumlzuumlm Noktanın duumlzlem uumlzerindeki bir (x y z) noktasına uzaklıgıradic(xminus 2)2 + (y + 1)2 + (z minus 1)2

Bu fonksiyonun x + y minus z = 2 duumlzlemi uumlzerindeki minimum degerini bulmak yerineD(x y z) =

radic(xminus 2)2 + (y + 1)2 + (z minus 1)2 fonksiyonunun minimumunu bulmak yeterli

ve daha kolaydır z = x + y minus 2 ifadesini D fonksiyonunda yerine koyarsak d(x y) =

D(x y x + y minus 2) = (x minus 2)2 + (y + 1)2 + (x + y minus 3)2 Dx = 2(x minus 2) + 2(x + y minus 3) = 0Dy = 2(y + 1) + 2(x+ y minus 3) = 0 Kritik nokta (83minus13) Bu noktada Dxx = 4 Dxy = 2Dyy = 4 ∆ = 12 gt 0 Dxx gt 0 Uzaklık d(83minus13 13) = 2

radic3

Kapalı ve Sınırlı Bir Boumllge Uumlzerinde Maksimum ve Minimum

Teorem 18 B sub R2 boumllgesi kapalı ve sınırlı bir kuumlme f B rarr R suumlrekli bir fonksiyonolsun Bu takdirde f mutlak ekstremum degerlerini mutlaka alır f mutlak ekstremumdegerlerini ya kritik noktalarında ya da B boumllgesinin sınır noktalarında alir

Oumlrnek 58 f(x y) = 2 + 2x + 4y minus x2 minus y2 fonksiyonunun x = 0 y = 0 ve y = 9 minus x

dogruları ile sınırlanmıs boumllge uumlzerindeki mutlak ekstremum degerlerini bulun

Ccediloumlzuumlm Iccedil kritik noktalar fx = 2 minus 2x = 0 ve fy = 4 minus 2y = 0 sonucu (1 2) olarakbulunur

Sınırdaki kritik noktalar Uumlccedilgenin koumlse noktaları O(0 0) A(9 0) B(0 9)(i) OA dogrusu uumlzerinde f(x y) = f(x 0) = 2 + 2xminus x2 0 le x le 9 Bu tek degiskenli

fonksiyonun ekstrem degerleri uccedil noktalarda x = 0 x = 9 ve f prime(x 0) = 2minus 2x = 0 yanix = 1 noktasında ortaya ccedilıkar Kritik noktalar (0 0) (9 0) (1 0)

(ii) OB dogrusu uumlzerinde f(x y) = f(0 y) = 2+4yminusy2 0 le y le 9 f prime(0 y) = 4minus2y = 0

ve y = 2 bulunudur Kritik noktalar (0 0) (0 9) ve (0 2)(iii) AB dogrusu uumlzerinde f(x y) = f(x 9 minus x) = 2 + 2x + 4(9 minus x) minus x2 minus (9 minus x)2

f prime(x 9minus x) = 16minus 4x = 0 ve x = 2 bulunur Kritik noktlar (0 9) (9 0) (4 5)f(1 2) = 7 f(0 0) = 2 f(9 0) = minus61 f(0 9) = minus43 f(1 0) = 3 f(0 2) = 6 f(4 5) =

minus11 Mutlak minimum minus61 mutlak maksimum 7

Alıstırmalar

1 Asagıdaki fonksiyonların kritik nok-talarını bulun ve cinslerini belirleyin

a) f(x y) = xyminusx2minusy2minus2xminus2y+4Cevap (minus2 2) yerel maksimum

b) f(x y) = 3y2 minus 2y3 minus 3x2 + 6xyCevap (0 0) eyer noktası (2 2)

yerel maksimum

c) f(x y) = 10xyeminus(x2+y2) Cevap

(0 0) eyer noktası (1radic

2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic

2) yerel mak-simum (minus1

radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum

2 Her k isin R degeri iccedilin (0 0) nokta-sının f(x y) = x2 + kxy + y2 fonksi-yonunun bir kritik noktası oldugunugoumlsterin (Ipucu k = 0 ve k 6= 0 du-rumlarını ayrı ayrı degerlendirin)

58 7-8 HAFTA

3 Hangi k isin R degerleri iccedilin (0 0) nok-tası f(x y) = x2 + kxy + y2 fonksiyo-nunun bir yerel minimumu veya eyernoktası olur (Cevap |k| lt 2 iccedilin ye-rel minimum |k| gt 2 iccedilin eyer nok-tası |k| = 2 iccedilin 2 tuumlrev testi sonuccedilvermez Ancak k = plusmn2 iccedilin f(x y) =

(x plusmn y)2 ge 0 = f(0 0) oldugundan(0 0) yerel minimum olur)

4int ba

(24minus 2xminus x2)13 dx integralinin en

buumlyuumlk degerini alması iccedilin a le b ola-cak sekilde a ve b sayılarını belirle-yin (Cevap a = minus3 b = 2)

5 Nurettin Ergun sayfa 132-140 sayfa140 141 Oumlrnekler 1 2 3 Ahmet Tek-can

6 Ahmet Tekcan sayfa 288-292 ccedilouml-zuumlmluuml oumlrnekler sayfa 293 1-18 sayfa299-304 oumlrnekler 1-5 sayfa 304 1-9

Lagrange Ccedilarpanları Youmlntemi

Teorem 19 f A sub R2 rarr R tuumlretilebilir bir fonksiyon olsun Duumlzguumln bir C sub A egrisi

C r(t) = x(t)i + y(t)j

seklinde parametrize edilmis olsun Eger f fonksiyonu C uumlzerinde bir P0 noktasındaekstremum degerin alırsa nablaf(P0) vektoumlruuml C egisine diktir yani

nablaf middot drdt

= 0

Kanıt f fonksiyonunun C uumlzerindeki degerleri f(x(t) y(t)) olur

df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt

f fonksiyonunun C uumlzerindeki ekstremum degerlerinde dfdt = 0 oldugundan sonuccedilccedilıkar

Eger yukarıdaki teoremde verilen C egrisi bir g A sub R2 rarr R fonksiyonunun seviyeegrisi ise daha oumlnce goumlrduumlguumlmuumlz uumlzere nablag 6= 0 vektoumlruuml C egrisine diktir Hem nablafhem de nablag fonksiyonu C egrisine dik olduklarından birbirlerine paralel olurlar Yanibir λ isin R iccedilin

nablaf = λnablag

bagıntısı saglanır Bu youmlntem Lagrange ccedilarpanları youmlntemi denir

Bu youmlntem genel olarak n reel degiskenli reel degerli f A sub Rn rarr R fonksiyonu-nun g(x1 x2 xn) = 0 kısıtı altındaki ekstrem degerlerini bulmak iccedilin de aynı sekildegeccedilerlidir

Oumlrnek 59 f(x y) = xy fonksiyonunun x2

8+ y2

2= 1 elipsi uumlzerindeki en buumlyuumlk ve en

kuumlccediluumlk degerlerini bulun

LAGRANGE CcedilARPANLARI YOumlNTEMI 59

Ccediloumlzuumlm 1 youmlntem Elipsin y-ekseni uumlzerinde yer alan kısmı y =radic

2(1minus x28) fonksi-yonu ile verilir Fonksiyonu elipsin bu kısmına kısıtlarsak

h(x) = f(xradic

2(1minus x28)) = xradic

2(1minus x28) minus2radic

2 le x le 2radic

2

fonksiyonunu elde ederiz Bu fonksiyonun minimum ve maksimum degerlerini su se-kilde bulabiliriz

dh

dx= 0 =rArr x2 = 4 =rArr x = plusmn2

Ayrıca fonksiyonun sınır noktalarına da bakarsak

h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2

Yani fonksiyonun elipsin uumlst kısmında aldıgı minimum deger f(minus2 1) = minus2 maksimumdeger ise f(2 1) = 2 olur Benzer sekilde fonksiyonun elipsin y-ekseninin alt kısmı olany = minus

radic2(1minus x28) uumlzerinde de minimum ve maksimum degerlerinin aynı oldugunu

goumlrebiliriz Yani fonksiyonun elips uumlzerindeki minimum degeri f(minus2 1) = f(2minus1) =

minus2 maksimum degeri ise f(2 1) = f(minus2minus1) = 2 olur2 youmlntem Lagrange ccedilarpanları youmlntemini kullanalım g(x y) = x2

8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım

nablaf = yi + xj = λnablag = λ(x

4i + yj)

Bagıntısı ve kısıt kosulu bize

y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0

seklinde uumlccedil denklem verir Birinci ve ikinci denklemleri kullanırsak

y =λ2

4y =rArr y = 0 veya λ = plusmn2

buluruz y = 0 ise ikinci denklemden x = 0 buluruz ki (0 0) noktası elips uumlzerindeyer almaz yani uumlccediluumlncuuml denklemi saglamaz Oumlte yandan λ = plusmn2 bize 4y2

8+ y2

2minus 1 = 0

denklemini verir Bu denklemin ccediloumlzuumlmleri y = plusmn1 olur 1 youmlntem de bulunan 4 kritiknoktayı belirledik

Yukarıda ise yarayan yerine koyma youmlntemi (1 youmlntem) her zaman ise yaramaya-bilir Zira 1 youmlntem ile bulunan kritik nokta kısıt kosulunu saglamayabilir Bu durum-larda mutlaka Lagrange ccedilarpanı youmlntemini kullanmak zorunda kalırız

Oumlrnek 60 x2 minus z2 = minus1 hiperbolik silindirinin orijine en yakın oldugu noktaları belir-leyin

Ccediloumlzuumlm Ekstrem degerini bulmak istedigimiz fonksiyon f(x y z) =radicx2 + y2 + z2 fonk-

siyonudur Bu fonksiyon yerine tuumlrevini almanın daha kolay oldugu ve ekstrem deger-leri aynı noktalarda olan f(x y z) = x2 + y2 + z2 fonksiyonunu kullanalım

60 7-8 HAFTA

1 youmlntem z2 = x2 minus 1 ifadesini f fonksiyonunda yazarak

h(x y) = x2 + y2 + (x2 minus 1) = 2x2 + y2 minus 1

elde ederiz Bu fonksiyonun ekstrem degerleri hx = 4x = 0 hy = 2y = 0 denklemlerinisaglar Yani tek kritik noktası (x y) = (0 0) noktasıdır Ancak x koordinatı sıfır olannoktalar x2minusz2 = minus1 hiperbolik silindiri uumlzerinde yer almaz Bu youmlntem sonuccedil vermedi(Oumlte yandan x2 = z2 + 1 doumlnuumlsuumlmuumlnuuml kullansaydık sonucu elde edebilirdik)

2 youmlntem Lagrange ccedilarpanı g(x y z) = x2minus z2 + 1 olsun nablaf = λnablag denklemin-den

2x = λ2x 2y = 0 2z = minusλ2z x2 minus z2 + 1 = 0

olur Birinci denklemden λ = 1 veya x = 0 elde ederiz λ = 1 iccedilin uumlccediluumlncuuml denklem z = 0

verir ve son denklemin ccediloumlzuumlmuuml olmaz x = 0 iccedilin doumlrduumlncuuml denklem z = plusmn1 verir Yaniekstrem degerler (x y z) = (0 0plusmn1) noktalarında gerccedileklenir

Sekil 05 Problemin geometrisi

Oumlrnek 61 f(x y) = 3x+4y fonksiyonunun x2+y2 = 1 ccedilemberi uumlzerinde aldıgı minimumve maksimum degerleri bulun

Ccediloumlzuumlm g(x y) = x2 + y2 minus 1 olsun

nablaf = λnablag =rArr 3i+ 4j = 2xλi+ 2yλj x2 + y2 minus 1 = 0

λ 6= 0 olmalıdır ve x = 32λ

y = 2λ

bulunur Ikinci denklemden

9

4λ2+

4

λ2= 1


Yani λ = plusmn52 x = plusmn3

5 y = plusmn4

5olur Yani ekstremum degerler (minus35minus45) ve (35 45)

noktalarında ccedilıkar f(minus35minus45) = minus5 minimum deger f(35 45) = 5 ise maksimumdeger olur


Oumlrnek 62 f(x y) = x2 + y2 minus 6x + 6y fonksiyonunun orijin merkezli ve 2 yarıccedilaplıccedilember uumlzerindeki mutlak maksimum ve minimum degerlerini bulun

Alıstırmalar

1 Ahmet Tekcan sayfa 315-316 1 1-24 2

9-10 Hafta

Ccedilok Katlı Riemann Integralinin Tanımı

Dikdoumlrtgensel Boumllgeler Uumlzerinde Iki Katlı Integraller

Bu boumlluumlmuumln genelinde f R sub R2 rarr R R = [a b] times [c d] bir dikdoumlrtgen ve frsquoninR uumlzerinde sınırlı oldugunu varsayalım

a = x0 lt x1 lt middot middot middot xn = b c = y0 lt y1 lt middot middot middot ym = d

iseP = (xi yj) 0 le i le n 0 le j le m

kuumlmesine R boumllgesinin bir partisyonu denir

Rij = [xi ximinus1]times [yj yj minus 1]

mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy

f sınırlı oldugundan mij ve Mij sayıları vardır

Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)

toplamlarına sırasıyla alt ve uumlst Riemann toplamları denir

Lemma 4 R sub R2 bir dikdoumlrtgen f Rrarr R sınırlı bir fonksiyon olsun α = infR f(x y)timesAlan(R) β = supR f(x y) times Alan(R) ve P R boumllgesinin herhangi bir partisyonu olsunO halde

minusinfin lt α le Lf (P ) le Uf (P ) le β ltinfinolur

63

64 9-10 HAFTA

Eger P sub P prime ise P prime partisyonuna P rsquonin bir incelmesi denir

Lemma 5 Eger P sub P prime ise

Lf (Pprime) ge Lf (P ) Uf (P

prime) le Uf (P )

olur

Kanıt Oumlncelikle P prime partisyonunun P partisyonunda xi ile xi+1 arasına bir x noktasıeklenerek olustugunu varsayalım Bu durumda oumlnermenin gerccedileklendigini goumlsterinGenel durum tuumlmevarımla ccedilıkar

Lemma 6 P ve P prime R boumllgesinin hangi iki partisyonu olursa olsun

Lf (P ) le Uf (Pprime)

olur

Kanıt P sub P primeprime ve P prime sub P primeprime olacak sekilde bir P primeprime bulunabilecegini goumlsterin

Lf (P ) le Lf (Pprimeprime) le Uf (P

primeprime) le Uf (Pprime)

1 ve 3 esitsizlik Lemma 4 2 esitsizlik Lemma 5 sebebiyle dogrudur

Alt ve uumlst Riemann integrallerini

Lf = supLf (P ) P Rrsquonin bir partisyonuUf = infUf (P ) P Rrsquonin bir partisyonu

olarak tanımlayalım Lemma 6 sebebiyle

Lf le Uf

olur

Tanım 12 f R sub R2 rarr R R = [a b]times [c d] bir dikdoumlrtgen ve f rsquonin R uumlzerinde sınırlıoldugunu varsayalım Eger Lf = Uf ise f fonksiyonu R boumllgesi uumlzerinde Riemannanlamında integrallenebilir denir veintint

R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır

Oumlrnek 63 f(x y) = c sabit fonksiyonu R = [a b]times [c d] dikdoumlrtgensel boumllgesi uumlzerindeintegrallenebilir ve integrali intint

R

f(x y)dA = ctimes Alan(R)

bulunur

CcedilOK KATLI RIEMANN INTEGRALININ TANIMI 65

Ccediloumlzuumlm R boumllgesinin her P partisyonu iccedilin Mij = mij = c olacagından her P iccedilin

Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

cAlan(Rij) = Alan(R)

ve bu yuumlzden Lf = Alan(R) olur Benzer sekilde underlineUf = Alan(R) olacagındansonuccedil bulunur

Her sınırlı fonksiyon Riemann anlamında integrallenemez

Oumlrnek 64 R = [0 1]times [0 1] ve

f(x y) =

1 (x y) isin R cap (QtimesQ)

0 (x y) isin R (QtimesQ)

fonksiyonu R boumllgesi uumlzerinde integre edilemez P Rrsquonin bir partisyonu olsun UumlstRiemann toplamının 1 alt Riemann toplamının 0 oldugunu goumlsterin

Genel Boumllgeler Uumlzerinde Iki Katlı Integraller

Geccedilen boumlluumlmde Riemann anlamında integrallenebilmeyi dikdoumlrtgenlerde tanımlamıs-tık Bu boumlluumlmde bu tanımı daha genel boumllgelere tasıyacagız

Tanım 13 B sub R2 boumllgesi sınırlı bir boumllge f B rarr R fonksiyonu da sınırlı bir fonksiyonolsun R B boumllgesini iccedileren herhangi bir dikdoumlrtgensel boumllge olsun f rsquoin R uumlzerinegenisletilmesini

fR(x y) =

f(x y) (x y) isin B0 (x y) isin R B

olarak tanımlayalım Eger fR R boumllgesi uumlzerinde Riemann anlamında integrallenebi-lirse f B uumlzerinde Riemann anlamında integrallenebilir denir veintint

B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır

Teorem 20 Yukarıdaki tanım seccedililen R dikdoumlrtgensel boumllgesine baglı degildir

Kanıt Brsquoyi iccedileren bir R dikdoumlrtgeni seccedilelim veintint

BfdA =

intintRfRdA olarak tanımlaya-

lım Rprime R dikdoumlrtgenini iccedileren bir dikdoumlrtgense Rprime R en fazla doumlrt dikdoumlrtgenin (R1R2 R3 ve R4) birlesimi olarak yazılabilir (biri digerini iccedileren iki dikdoumlrtgen hayal edin)fRprime |Ri

= 0 i = 1 2 3 4 oldugundanintintRprimefRprimedA =

4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA

Dolayısıyla tanımda iki farklı R ve Rprime dikdoumlrtgenleri kullanılırsa her ikisini de iccedilerenbir dikdoumlrtgen Rprimeprime alınarakintint

R

fRdA =

intintRprimefRprimedA =

intintRprimeprimefRprimeprimedA

oldugu bir oumlnceki oumlnermeden goumlruumlluumlr

Simdi hangi fonksiyonların Riemann anlamında integrallenebilecegini inceleyelim

Tanım 14 B sub R2 sınırlı bir boumllge olsun Eger f(x y) equiv 1 fonksiyonu B uumlzerindeintegrallenebilirse B boumllgesine oumllccediluumllebilir denir ve |B| =

intintB

1dA yazılır |B| sayısınaBrsquonin oumllccediluumlmuuml veya Brsquonin alanı denir

Teorem 21 (Lebesgue) Tanım 13rsquodaki varsayımları kabul edelim f rsquonin B boumllgesi uumlze-rinde Riemann anlamında integrallenebilmesi iccedilin gerek ve yeter kosul fR genisleme-sinin suumlreksiz oldugu noktaların oumllccediluumlmuuml sıfır bir kuumlme olmasıdır

Kanıt Bu teoremin ispatı daha ileri analiz derslerinde yapılmaktadır

Lebesgue Teoremine goumlre B boumllgesinin oumllccediluumllebilir olması iccedilin gerek ve yeter kosulB boumllgesinin sınırının oumllccediluumlmuumlnuumln sıfır olmasıdır

Sınırının oumllccediluumlmuuml sıfır olmayan kuumlmeler vardır ama bu tarz kuumlmeleri hayal etmesiguumlccediltuumlr ve bu derste bu tarz kuumlmelerle karsılasmayacagız

Tanım 15 f R rarr R2 f ge 0 ve f R uumlzerinde integrallenebilir olsun V boumllgesi dez = f(x y) yuumlzeyi altında R boumllgesi uumlzerinde kalan boumllge ise

Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır

Iki Katlı Integrallerin Hesaplanması

Ardısık Tek Katlı Integraller

Oumlrnek 65 Asagıdaki ardısık integralleri hesaplayın

1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy

Ccediloumlzuumlm =int 1

0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2

IKI KATLI INTEGRALLERIN HESAPLANMASI 67

3int π0

int sinx

0ydydx = π

4

Fubini teoremi iki katlı integralin iki ardısık tek katlı integral ile hesaplanabilecegidurumları verir

Teorem 22 (Fubini) f B rarr R2 fonksiyonunun suumlreksiz oldugu nokta sayısı sonsuzolmasın

gi [a b]rarr R i = 1 2 suumlrekli olsun

1 Eger B = (x y) isin R2 | a le x le b g1(x) le y le g2(x) ise B boumllgesine Tip-1 boumllgedenir Bu durumda f B uumlzerinde integrallenebilir veintint

B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur

2 Eger B = (x y) isin R2 | a le y le b g1(y) le x le g2(y) boumllgesine Tip-2 boumllge denirBu durumda f B uumlzerinde integrallenebilir veintint

B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur


Oumlrnek 66 Verilen sınırlı boumllgeyi ccedilizin ve alanını hesaplayın

1 0 le x le 2 ve 1 le y le ex

Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0

(ex minus 1)dx = ex minus x∣∣∣20

= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y

Asagıdaki oumlrnekte verilen boumllge hem tip-1 hem tip-2rsquodir Dolayısıyla ccedilift katlı integ-ral iki farklı sekilde iki tane tek katlı integral olarak yazılabilir Ama integralin sonucusadece birinden hesaplanabilir

68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx

xdxdy sıralı integralini hesaplayın

Ccediloumlzuumlm Soruda verilen integral verildigi sekliyle alınamaz Ancak bu integral xy-duumlzlemi x-ekseni y = x dogrusu ve x = 1 dogrusu ile sınırlanan R boumllgesi iccedilinintint

R

sinx

xdA integralini hesaplamaktadır

1

1

y = x

x

y

Integralde integrasyon sırasını degistirirsekint 1

0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0

sinxdx = minus cosx∣∣∣10

= 1minus cos 1

sonucunu elde ederiz

Oumlrnek 68int 1

0

int radic1minusx21minusx2

2

f(x y)dydx sıralı integralinin integrasyon boumllgesini ccedilizin ve integ-

rasyon sırasını degistirin

minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA

IKI KATLI INTEGRALLERDE DEGISKEN DEGISTIRME 69

2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx

3 T xy duumlzleminde koumlseleri (0 0) (0 3) (1 3) olan uumlccedilgen olsunintint

T6 exp(minusy2)dA

integralini hesaplayın

4 y = 4minus x2 ile y = x+ 2 arasında kalan boumllgenin alanını bulun

Nurettin Ergun syf 195 - 207 1 2 3 4 6 7 8 9Ahmet Tekcan sayfa 350-352 1-4Mustafa Balcı 72 1-3 5-6

Iki Katlı Integrallerde Degisken Degistirme

Teorem 23 B xy-duumlzleminde kapalı sınırlı bir boumllge ve Φ uv-duumlzleminden xy-duumlzleminebir koordinat doumlnuumlsuumlmuuml olsun

Φ Bprime rarr B Φ(u v) = (x y)

birebir oumlrten ve birinci mertebeden tuumlrevlenebilen bir doumlnuumlsuumlm ise f B rarr R fonksi-yonu iccedilin intint

B

f(x y)dA =

intintBprimef(x(u v) y(u v))

∣∣∣∣part(x y)

part(u v)

∣∣∣∣ dAprimeolur


Alıstırmalar

1 R xy-duumlzleminde 1 boumllgede y = x2 y = x2 +1 xy = 1 xy = 2 ile sınırlanan boumllge

olsun

intintR

(5(yminusx2)4+6xy)(y+2x2)dxdy integralini uygun bir degisken doumlnuumlsuumlmuuml

yaparak ccediloumlzuumln

2 R xy-duumlzleminde 1 boumllgede x2 + y2 = 4 x2 + y2 = 9 x2 minus y2 = 1 x2 minus y2 = 4 ile

sınırlanan boumllge olsun

intintR

xydA integralini hesaplayın

3 R xy-duumlzleminde x + y = 0 x + y = 1 2x minus y = 0 2x minus y = 3 ile sınırlanan

paralelkenar olsun

intintR

(x+ y)2dA integralini hesaplayın

Ahmet Tekcan Ileri Analiz syf 367-370 1 (1 2 6 7 10 14 16) 3 (1 2 4 5 6 10)4 (2 5 8)

Mustafa Balcı 73 1-5Mustafa Balcı 74 23 24 25 27 28 29

2020 Bahar Doumlneminde IslenmeyenKonular

Uumlccedil Katlı Integraller

A Asagıdaki integralleri hesaplayınız

1

intintintB

(xz minus y3)dV B = [minus1 1]times [0 2]times [0 1]

2

intintintB

zradicx2 + y2

dV B z = 0 z = x duumlzlemleri ve y2 = 4minus 2x ile sınırlı boumllge

3

intintintB

ex+2y+3zdV B x = 0 y = 0 z = 0 ve x + y + z = 1 duumlzlemleri ile sınırlanan

boumllge

B Asagıdaki boumllgelerin hacmini hesaplayınız

1 Koumlseleri (a 0 0) (0 b 0) ve (0 0 c) olan tetrahedron (Ccediloumlzuumlm NE syf 217)

2 z = 2minus (x2 + y2) paraboloidi z = minus1 ve z = 1 duumlzlemleri arasında kalan boumllge

3 R3 uzayında z = x+ y z = 6 x = 0 y = 0 z = 0 duumlzlemleri ile sınırlanan boumllge

C Ahmet Tekcan (syf 405) 1 2

D Mustafa Balcı 82 2 3 4

E

1 x = y2 parabolik silindiri z = 0 duumlzlemi ve x+z = 1 duumlzlemi ile sınırlanan boumllgeninhacmini belirleyen dzdxdy ve dydzdx sıralı uumlccedilluuml integralleri yazın (cevap V =int 1

minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0

int radicxminusradicxdydzdx)

2int π20

int radic31

int radic4minusr21

z2r3 sin θ cos θdzdrdθ integralini dzdydx sıralı yazın

71

72 2020 BAHAR DOumlNEMINDE ISLENMEYEN KONULAR

Silindirik Koordinatlar

Asagıdaki integralleri hesaplayınız

1

intintintB

(x2 + y2)dV B z = x2 + y2 paraboloidi ve z = 1 duumlzlemi ile sınırlanan boumllge

2

intintintB

(x2 + y2 minus z)dV B alttan xy-duumlzlemi uumlstten z = 9 minus x2 minus y2 paraboloidi

tarafından sınırlanan ve x2 + y2 = 1 silindirinin dısında kalan boumllge

3

intintintB

radicx2 + y2dV B x2 + y2 = 25 silindiri ve z = minus1 z = 2 duumlzlemleri ile sınırlı

boumllge

4

intintintB

xydV B z = x2 + y2 paraboloidi z = 0 duumlzlemi ve x2 + y2 = 1 silindiri ile

sınırlanan boumllge

Kuumlresel Koordinatlar


1

intintintB

radicx2 + y2 + z2dV B x2 + y2 + z2 = x kuumlresi ile sınırlı boumllge

2

intintintB

(x2 + y2 + z2)dV B x2 + y2 + z2 le 4 ile sınırlı boumllge

3

intintintB

(x2 +y2)dV B x2 +y2 +z2 = 16 kuumlresi ile z =radicx2 + y2 konisi arasında kalan

boumllge

4

intintintB

(x+y+z)dV B z =radica2 minus x2 minus y2 yarı kuumlresi ve xy-duumlzlemi ile sınırlı boumllge

5

intintintB

(x2 + y2)dV B uumlstten x2 + y2 + z2 = 9 kuumlresi alttan xy-duumlzlemi ile sınırlı

boumllge

6

intintintB

radica2 + x2 + y2dV B z =

radicx2 + y2 konisi ile z = 1 z = 2 duumlzlemleri ile


7 x2 + y2 + z2 = a2 a gt 0 kuumlresi ve z =radicx2 + y2 konisi arasında kalan boumllgenin

hacmini hesaplayın

8

intintintB

dV B x2 + y2 + z2 = 1 kuumlresinin iccedilinde ve z =radic

12(x2 + y2) paraboloidinin

uumlzerinde kalan boumllge

ZORUNLU OLMAYAN BILGILER 73


Kapalı Fonksiyon Teoremi

F = (f g) R4 rarr R2 durumu

Simdi doumlrt bilinmeyenli iki denklem ile ilgili kapalı fonksiyon teoremini inceleyelim

Tanım 16 f(x y) ve g(x y) fonksiyonları iccedilin[fx fygx gy

]matrisine Jakobiyen matris bu matrisin determinantına ise Jakobiyen determinantveya kısaca Jakobiyen denir

part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy

Bu kavramı Alman Matematikccedili Karl Gustav Jacop Jacobi 1830rsquolarda tanımlamıstır

Oumlrnek 69 u = x2 + y2 ve v = yex ise

part(u v)

part(x y)= 2xex minus 2y2ex

Lemma 7 φ(x y) ψ(x y) f(x y u v) ve g(x y u v) fonksiyonlarının hepsi tuumlretilebilirolsun Eger

part(f g)

part(u v)6= 0 (10)

vef(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0

g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)

sartları saglanırsa φx φy ψx ψy kısmi tuumlrevleri asagıdaki gibi belirlenir

partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)

Kanıt (14) denklemlerini xrsquoe goumlre tuumlretirsek

fx + fuφx + fvψx = 0

gx + guφx + gvψx = 0

veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx

]buluruz Bu denklemin ccediloumlzuumlmuuml verilen (10) sartı altında muumlmkuumlnduumlr ve ccediloumlzuumlmler (12)seklindedir Benzer sekilde (13) elde edilir


Simdi kapalı fonksiyon teoreminin yeni bir seklini yazalım

Teorem 24 (Kapalı Fonksiyon Teoremi 3) (x0 y0 u0 v0) noktasını iccedileren bir U sub R4

accedilık komsulugunda f U rarr R ve g U rarr R fonksiyonları suumlrekli kısmi tuumlrevlere sahipolsun

f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0

sartları saglansın O halde (x0 y0) noktasının bir V sub U accedilık komsulugu ve bu accedilıkkomsulukta tanımlı φ V rarr R2 ψ V rarr R2 fonksiyonları vardır Bu fonksiyonlar

φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0 forall(x y) isin V (14)

sartlarını saglar Bu fonksiyonlar suumlrekli kısmi tuumlrevlere sahiptir ve kısmi tuumlrevleri (12)ve (13) seklinde verilir

Teorem 24 ve Lemma 7 arasındaki fark teoremde u ve vrsquonin x ve yrsquonin fonksiyonlarıoldugunu kabul etmiyoruz Hatta bunu goumlsteriyoruz

Oumlrnek 70xu+ yv2 = 0

xv3 + y2u6 = 0

denklemleri u ve v iccedilin x ve y cinsinden x = 0 y = 1 u = 0 v = 0 noktası civarında tekbir sekilde ccediloumlzuumllebilir mi

Ccediloumlzuumlm Denklemleri sol taraflarına f ve g diyelim

part(f g)

part(u v) (uvxy)=(0100)

=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0

oldugundan kapalı fonksiyon teoremi bize bu durumda bilgi vermez Ccediloumlzuumlmuumln olupolmadıgını incelemek iccedilin dogrudan analiz gereklidir


Kapalı fonksiyon teoreminin f(x y z) = g(x y z) = 0 denklem sisteminin x ve y iccedilin z

cinsinden ccediloumlzuumllebilirlik kosulu nasıl belirleyebilecegimizi goumlsteren bir oumlrnek goumlrelimGeometrik yorum Eger

part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0

ise f(x y z) = 0 ve g(x y z) = 0 yuumlzeylerinin kesisimi (x0 y0) noktasının bir U komsu-lugunda bir egri tanımlar ve bu egri yerel olarak z degiskeni tarafından parametrizeedilebilir


Oumlrnek 713xminus cos y + y + ez = 0

xminus ex minus y + z + 1 = 0

denklem sistemini (x y) = (0 0) noktası civarında tek bir sekilde ccediloumlzen x = x(z) ve y =

y(z) fonksiyonlarının var oldugunu goumlsterin ve dxdz ve dydz tuumlrevlerini hesaplayın

Ccediloumlzuumlm Denklemleri sol taraflarına f ve g diyelim f(0 0 z) = g(0 0 z) = 0 denklemle-rinin ccediloumlzuumlmuuml z = 0 verir

part(f g)

part(x y)|(xyz)=(000)=

∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0

oldugundan kapalı fonksiyon teoremi bize denklem sistemini (x y) = (0 0) noktası ci-varında tek bir sekilde ccediloumlzen x = x(z) ve y = y(z) fonksiyonlarının var oldugunu soumlylerTuumlrevleri hesaplamak iccedilin denklem sisteminin z degiskenine goumlre tuumlrevini alalım

3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx

dzminus ex(z) minus y(z) + z + 1 = 0[3 sin y + 1

1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1

]sistemini ccediloumlzersek

dx

dz=

ez + sin y + 1

minus3minus (sin y + 1)(1minus ex) dy

dz=

eminusz minus exminusz minus 3

minus3minus (sin y + 1)(1minus ex)

buluruz

Genel Durum F = (f1 fn) Rn+m rarr Rn

En genel durumda KFT su sekilde ifade edilebilir

f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0

n+m bilinmeyenli n denklemden olusan bir denklem takımı olsun(x1 xn y1 ym) = (a1 an b1 bm) bu denklem sisteminin bir ccediloumlzuumlmuuml ol-

sunpart(f1 fn)

part(x1 xn)|(a1anb1bm) 6= 0

ise bu denklem takımı y1 ym iccedilin x1 xn cinsinden (a1 an b1 bm) isin Rn+m

noktasının bir komsulugunda tek bir sekilde ccediloumlzuumllebilir


Oumlrnek 72 bull f1(x1 x2 x3 y1 y2) = 0 f2(x1 x2 x3 y1 y2) = 0 vepart(f1 f2)

part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3

kısmi tuumlrevini uygun jakobyenler aracılıgıyla bulunuz

bull Ahmet Tekcan Ileri Analiz syf 253-255 1 2 3 4 5 6 7 8

bull Ahmet Tekcan Ileri Analiz syf 261-262 2 4 5 6 7

Kaynakccedila

[BST08] Andrew M Bruckner Brian S Thomson Judith B Bruckner Ele-mentary Real Analysis httpclassicalrealanalysisinfodocumentsTBB-AllChapters-Landscapepdf 2008

[Wad00] William Wade An introduction to analysis second edition 2000

77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta

Analitik Geometri Vektoumlrler Doğrular ve Duumlzlemler

6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta

Ccedilok Katlı Riemann İntegralinin Tanımı

İki Katlı İntegrallerin Hesaplanması

İki Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme

2020 Bahar Doumlneminde İşlenmeyen Konular

Uumlccedil Katlı İntegraller


Kaynakccedila

2 ICcedilINDEKILER

6 Hafta 43Teget Duumlzlem 43

7-8 Hafta 53Ektremum Problemleri 53Lagrange Ccedilarpanları Youmlntemi 58

9-10 Hafta 63Ccedilok Katlı Riemann Integralinin Tanımı 63Iki Katlı Integrallerin Hesaplanması 66Iki Katlı Integrallerde Degisken Degistirme 69

2020 Bahar Doumlneminde Islenmeyen Konular 71Uumlccedil Katlı Integraller 71Zorunlu Olmayan Bilgiler 73

Kaynakccedila 77

1 Hafta

Limit

Oumln Tanımlar




olarak tanımlanır






kuumlmesidir




(f + g)(x y) = f(x y) + g(x y)

3

4 1 HAFTA


(g f)(x y) = g(f(x y))

olarak tanımlanır


Limit










oldugundan








LIMIT 5



ise






(f(x y)g(x y)) = LM


f(x y)

g(x y)=

L

M


lim(xy)rarr(x0y0)

F (f(x y)) = F (L)

olur


lim(xy)rarr(x0y0)

f(x) = limxrarrx0


f(y) = limyrarry0

f(y)









6 1 HAFTA


lim(xy)rarr(π32)


y lim(xy)rarr(π32)


xy)

= 2 sin

(limxrarrπ3 x

limyrarr2 y

)= 2 sin π6 = 1




iselim


olur

Oumlrnek 7

lim(xy)rarr(00)

x2y

x2 + y2


Ccediloumlzuumlm

0 lt

∣∣∣∣ x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ x2

x2 + y2




lim(xy)rarr(x0y0)

(xy)isinC





lim(xy)rarr(x0y0)

(xy)isinC1


(xy)isinC2

f(x y)

iselim


LIMIT 7



lim(xy)rarr(00)

2xy

x2 + y2


lim(xy=0)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

xrarr0

0

x2 + 0= lim

xrarr00 = 0


lim(xy=x)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

(xy=x)rarr(00)

2xx

x2 + x2= lim

xrarr0

2x2

2x2= lim

xrarr01 = 1


2 Metot

lim(xy=kx)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

(xy=kx)rarr(00)

2xkx

x2 + k2x2= lim

xrarr0

2kx2

x2(1 + k2)=

2k

1 + k2




x2y



lim(xy=kx)rarr(00)

x2y

x4 + y2= lim

xrarr0

x2kx

x4 + k2x2= lim

xrarr0x

k

x2 + k2= lim

xrarr0x limxrarr0

k

x2 + k2= 0 middot k

k2= 0


lim(xy=kx2)rarr(00)

x2y

x4 + y2= lim

xrarr0

x2kx2

x4 + k2x4=

k

1 + k2

Yani limit yoktur

8 1 HAFTA


lim(xy)rarr(00)

xayb

cxm + dyn=

0 a

m+ b

ngt 1

yok am

+ bnle 1

ispat Ilk olarak am



limxrarr0

k

c+ dknxa+bmnminusm


m+ b

nle 1 oldugunda




cxm + dyn

∣∣∣∣ le 1

c

∣∣∣∣ cxm

cxm + dyn


c


Alıstırmalar


1 lim(xy)rarr(12)



2 lim(xy)rarr(00)

x2y2



3 lim(xy)rarr(00)

xy2



4 lim(xy)rarr(00)

sin(xy)



5 lim(xy)rarr(00)

x2 minus y2x2 + y2

6 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


7 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =

x4 + y4

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



LIMIT 9


9 lim(xy)rarr(11)

xy2 minus 1



10 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y4

11 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y6

12 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x) =

x2y2

x2y2+(xminusy)2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

13 lim(xy)rarr(00)

(x2 + y2) ln(x2 + y2)

14 lim(xy)rarr(00)

xradicx2 + y2

15 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y4x2 + y2

16 lim(xy)rarr(00)

x sin 1x

+ y

x+ y

17 lim(xy)rarr(00)

x2 minus 2

3 + xy

18 lim(xy)rarr(00)

(xminus y)2

x2 + y2

19 lim(xy)rarr(00)

3xy

5x4 + 2y4

20 lim(xy)rarr(00)

4x2y

x3 + y3

21 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y2x4 + y2

22 lim(xy)rarr(00)


23 lim(xy)rarr(00)


x2 + y2

24 lim(xy)rarr(00)

2x2 + 3xy + 4y2

3x2 + 5y2

25 lim(xy)rarr(00)

xminus y + x2 + y2

x+ y

26 lim(xy)rarr(00)

(1+x2y2)1






Sonsuz Limitler








x2 + y2 = |x|2 + |y|2 lt 1

2M+

1

2M=

1

M=rArr 1

x2 + y2gt M

olur

10 1 HAFTA

Yinelemeli Limitler

Oumlrnek 12

0 = limyrarr0

limxrarr0

x2

x2 + y26= lim

xrarr0limyrarr0

x2

x2 + y2= 1


limyrarry0

limxrarrx0


limyrarry0

f(x y)


Oumlrnek 13

f(x y) =

x sin 1

y y 6= 0

0 y = 0



L = limyrarry0

limxrarrx0

f(x y) = limxrarrx0

limyrarry0

f(x y)




Lemma 1 Eger


g(r) = 0

iselim


olur


x4 + y4



lim(xy)rarr(00)

x4 + y4

x2 + y2= 0

olur


LIMIT 11







limrrarr0+


r2 cos2 r sin θ


rrarr0r

cos2 θ sin θ



limrrarr0

rcos2 θ sin θ


rrarr0r limrrarr0

cos2 θ sin θ


sin2 θ= 0

2 Hafta

Suumlreklilik


lim(xy)rarr(x0y0)

f(x y) = f(x0 y0)





Oumlrnek 18

f(x y) =

2xy

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


2y



Oumlrnek 19

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


13

14 2 HAFTA

Alıstırmalar


a) f(x y) =

x2y3

2x2 + y2(x y) 6= (0 0)

1 (x y) = (0 0)

b) f(x y) =

x3 + y3

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

c) f(x y) =

x3y

x4 + y2x 6= 0

0 x = 0

d) f(x y) =

sin(xy)

xx 6= 0

0 x = 0

e) f(x y) =

x sin1

yy 6= 0

0 y = 0

f) f(x y) =

sin(xy)radicx2 + y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

g) f(x y) =

sin2(x+ y)

|x|+ |y| (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

h) f(x y) =

xy

x2 + xy + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

i) f(x y) =

x3y2

x2 + y2eminusx

2minusy2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

j) f(x y) =

xy ln (x2 + y2) (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

k) f(x y) =

(x2 + y2) sin

(1

x2 + y2

)x2 + y2 gt 0

0 (x y) = (0 0)

l) f(x y) =

sin (x3 + y3)

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Kısmi Tuumlrevler


fx(x0 y0) =partf

partx|(x0y0)= lim

hrarr0


h

fy(x0 y0) =partf

party|(x0y0)= lim

krarr0


k



gprime(x) = fx(x y)





buluruz



Oumlrnek 22

f(x y) =

xy

x2+y2 (x y) 6= 0

0 (x y) = (0 0)


fx(0 0) = limhrarr0

f(h 0)minus f(0 0)

h= lim

hrarr0

0minus 0

h= 0




= limhrarr0




16 2 HAFTA



muuml


part

partx

partf

party6= part

party

partf

partx

Oumlrnek 24

f(x y) =

xy(x2minusy2)x2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm



k= minus1



h= 0 ve (x y) 6= (0 0) ise



(x2 + y2)2


olur



k= lim

krarr0

minusk minus 0

k= minus1




h= lim

hrarr0

hminus 0

h= 1


1

k

(f(h k)minus f(0 k)


h

)1

h

(f(h k)minus f(h 0)


k





Alıstırmalar




a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2



fxy

+fyx

= 0







Kanıt

F (h k) =1





18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila

1 Hafta

Limit

Oumln Tanımlar




olarak tanımlanır






kuumlmesidir




(f + g)(x y) = f(x y) + g(x y)

3

4 1 HAFTA


(g f)(x y) = g(f(x y))

olarak tanımlanır


Limit










oldugundan








LIMIT 5



ise






(f(x y)g(x y)) = LM


f(x y)

g(x y)=

L

M


lim(xy)rarr(x0y0)

F (f(x y)) = F (L)

olur


lim(xy)rarr(x0y0)

f(x) = limxrarrx0


f(y) = limyrarry0

f(y)









6 1 HAFTA


lim(xy)rarr(π32)


y lim(xy)rarr(π32)


xy)

= 2 sin

(limxrarrπ3 x

limyrarr2 y

)= 2 sin π6 = 1




iselim


olur

Oumlrnek 7

lim(xy)rarr(00)

x2y

x2 + y2


Ccediloumlzuumlm

0 lt

∣∣∣∣ x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ x2

x2 + y2




lim(xy)rarr(x0y0)

(xy)isinC





lim(xy)rarr(x0y0)

(xy)isinC1


(xy)isinC2

f(x y)

iselim


LIMIT 7



lim(xy)rarr(00)

2xy

x2 + y2


lim(xy=0)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

xrarr0

0

x2 + 0= lim

xrarr00 = 0


lim(xy=x)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

(xy=x)rarr(00)

2xx

x2 + x2= lim

xrarr0

2x2

2x2= lim

xrarr01 = 1


2 Metot

lim(xy=kx)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

(xy=kx)rarr(00)

2xkx

x2 + k2x2= lim

xrarr0

2kx2

x2(1 + k2)=

2k

1 + k2




x2y



lim(xy=kx)rarr(00)

x2y

x4 + y2= lim

xrarr0

x2kx

x4 + k2x2= lim

xrarr0x

k

x2 + k2= lim

xrarr0x limxrarr0

k

x2 + k2= 0 middot k

k2= 0


lim(xy=kx2)rarr(00)

x2y

x4 + y2= lim

xrarr0

x2kx2

x4 + k2x4=

k

1 + k2

Yani limit yoktur

8 1 HAFTA


lim(xy)rarr(00)

xayb

cxm + dyn=

0 a

m+ b

ngt 1

yok am

+ bnle 1

ispat Ilk olarak am



limxrarr0

k

c+ dknxa+bmnminusm


m+ b

nle 1 oldugunda




cxm + dyn

∣∣∣∣ le 1

c

∣∣∣∣ cxm

cxm + dyn


c


Alıstırmalar


1 lim(xy)rarr(12)



2 lim(xy)rarr(00)

x2y2



3 lim(xy)rarr(00)

xy2



4 lim(xy)rarr(00)

sin(xy)



5 lim(xy)rarr(00)

x2 minus y2x2 + y2

6 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


7 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =

x4 + y4

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



LIMIT 9


9 lim(xy)rarr(11)

xy2 minus 1



10 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y4

11 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y6

12 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x) =

x2y2

x2y2+(xminusy)2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

13 lim(xy)rarr(00)

(x2 + y2) ln(x2 + y2)

14 lim(xy)rarr(00)

xradicx2 + y2

15 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y4x2 + y2

16 lim(xy)rarr(00)

x sin 1x

+ y

x+ y

17 lim(xy)rarr(00)

x2 minus 2

3 + xy

18 lim(xy)rarr(00)

(xminus y)2

x2 + y2

19 lim(xy)rarr(00)

3xy

5x4 + 2y4

20 lim(xy)rarr(00)

4x2y

x3 + y3

21 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y2x4 + y2

22 lim(xy)rarr(00)


23 lim(xy)rarr(00)


x2 + y2

24 lim(xy)rarr(00)

2x2 + 3xy + 4y2

3x2 + 5y2

25 lim(xy)rarr(00)

xminus y + x2 + y2

x+ y

26 lim(xy)rarr(00)

(1+x2y2)1






Sonsuz Limitler








x2 + y2 = |x|2 + |y|2 lt 1

2M+

1

2M=

1

M=rArr 1

x2 + y2gt M

olur

10 1 HAFTA

Yinelemeli Limitler

Oumlrnek 12

0 = limyrarr0

limxrarr0

x2

x2 + y26= lim

xrarr0limyrarr0

x2

x2 + y2= 1


limyrarry0

limxrarrx0


limyrarry0

f(x y)


Oumlrnek 13

f(x y) =

x sin 1

y y 6= 0

0 y = 0



L = limyrarry0

limxrarrx0

f(x y) = limxrarrx0

limyrarry0

f(x y)




Lemma 1 Eger


g(r) = 0

iselim


olur


x4 + y4



lim(xy)rarr(00)

x4 + y4

x2 + y2= 0

olur


LIMIT 11







limrrarr0+


r2 cos2 r sin θ


rrarr0r

cos2 θ sin θ



limrrarr0

rcos2 θ sin θ


rrarr0r limrrarr0

cos2 θ sin θ


sin2 θ= 0

2 Hafta

Suumlreklilik


lim(xy)rarr(x0y0)

f(x y) = f(x0 y0)





Oumlrnek 18

f(x y) =

2xy

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


2y



Oumlrnek 19

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


13

14 2 HAFTA

Alıstırmalar


a) f(x y) =

x2y3

2x2 + y2(x y) 6= (0 0)

1 (x y) = (0 0)

b) f(x y) =

x3 + y3

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

c) f(x y) =

x3y

x4 + y2x 6= 0

0 x = 0

d) f(x y) =

sin(xy)

xx 6= 0

0 x = 0

e) f(x y) =

x sin1

yy 6= 0

0 y = 0

f) f(x y) =

sin(xy)radicx2 + y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

g) f(x y) =

sin2(x+ y)

|x|+ |y| (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

h) f(x y) =

xy

x2 + xy + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

i) f(x y) =

x3y2

x2 + y2eminusx

2minusy2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

j) f(x y) =

xy ln (x2 + y2) (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

k) f(x y) =

(x2 + y2) sin

(1

x2 + y2

)x2 + y2 gt 0

0 (x y) = (0 0)

l) f(x y) =

sin (x3 + y3)

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Kısmi Tuumlrevler


fx(x0 y0) =partf

partx|(x0y0)= lim

hrarr0


h

fy(x0 y0) =partf

party|(x0y0)= lim

krarr0


k



gprime(x) = fx(x y)





buluruz



Oumlrnek 22

f(x y) =

xy

x2+y2 (x y) 6= 0

0 (x y) = (0 0)


fx(0 0) = limhrarr0

f(h 0)minus f(0 0)

h= lim

hrarr0

0minus 0

h= 0




= limhrarr0




16 2 HAFTA



muuml


part

partx

partf

party6= part

party

partf

partx

Oumlrnek 24

f(x y) =

xy(x2minusy2)x2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm



k= minus1



h= 0 ve (x y) 6= (0 0) ise



(x2 + y2)2


olur



k= lim

krarr0

minusk minus 0

k= minus1




h= lim

hrarr0

hminus 0

h= 1


1

k

(f(h k)minus f(0 k)


h

)1

h

(f(h k)minus f(h 0)


k





Alıstırmalar




a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2



fxy

+fyx

= 0







Kanıt

F (h k) =1





18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila

4 1 HAFTA


(g f)(x y) = g(f(x y))

olarak tanımlanır


Limit










oldugundan








LIMIT 5



ise






(f(x y)g(x y)) = LM


f(x y)

g(x y)=

L

M


lim(xy)rarr(x0y0)

F (f(x y)) = F (L)

olur


lim(xy)rarr(x0y0)

f(x) = limxrarrx0


f(y) = limyrarry0

f(y)









6 1 HAFTA


lim(xy)rarr(π32)


y lim(xy)rarr(π32)


xy)

= 2 sin

(limxrarrπ3 x

limyrarr2 y

)= 2 sin π6 = 1




iselim


olur

Oumlrnek 7

lim(xy)rarr(00)

x2y

x2 + y2


Ccediloumlzuumlm

0 lt

∣∣∣∣ x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ x2

x2 + y2




lim(xy)rarr(x0y0)

(xy)isinC





lim(xy)rarr(x0y0)

(xy)isinC1


(xy)isinC2

f(x y)

iselim


LIMIT 7



lim(xy)rarr(00)

2xy

x2 + y2


lim(xy=0)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

xrarr0

0

x2 + 0= lim

xrarr00 = 0


lim(xy=x)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

(xy=x)rarr(00)

2xx

x2 + x2= lim

xrarr0

2x2

2x2= lim

xrarr01 = 1


2 Metot

lim(xy=kx)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

(xy=kx)rarr(00)

2xkx

x2 + k2x2= lim

xrarr0

2kx2

x2(1 + k2)=

2k

1 + k2




x2y



lim(xy=kx)rarr(00)

x2y

x4 + y2= lim

xrarr0

x2kx

x4 + k2x2= lim

xrarr0x

k

x2 + k2= lim

xrarr0x limxrarr0

k

x2 + k2= 0 middot k

k2= 0


lim(xy=kx2)rarr(00)

x2y

x4 + y2= lim

xrarr0

x2kx2

x4 + k2x4=

k

1 + k2

Yani limit yoktur

8 1 HAFTA


lim(xy)rarr(00)

xayb

cxm + dyn=

0 a

m+ b

ngt 1

yok am

+ bnle 1

ispat Ilk olarak am



limxrarr0

k

c+ dknxa+bmnminusm


m+ b

nle 1 oldugunda




cxm + dyn

∣∣∣∣ le 1

c

∣∣∣∣ cxm

cxm + dyn


c


Alıstırmalar


1 lim(xy)rarr(12)



2 lim(xy)rarr(00)

x2y2



3 lim(xy)rarr(00)

xy2



4 lim(xy)rarr(00)

sin(xy)



5 lim(xy)rarr(00)

x2 minus y2x2 + y2

6 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


7 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =

x4 + y4

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



LIMIT 9


9 lim(xy)rarr(11)

xy2 minus 1



10 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y4

11 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y6

12 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x) =

x2y2

x2y2+(xminusy)2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

13 lim(xy)rarr(00)

(x2 + y2) ln(x2 + y2)

14 lim(xy)rarr(00)

xradicx2 + y2

15 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y4x2 + y2

16 lim(xy)rarr(00)

x sin 1x

+ y

x+ y

17 lim(xy)rarr(00)

x2 minus 2

3 + xy

18 lim(xy)rarr(00)

(xminus y)2

x2 + y2

19 lim(xy)rarr(00)

3xy

5x4 + 2y4

20 lim(xy)rarr(00)

4x2y

x3 + y3

21 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y2x4 + y2

22 lim(xy)rarr(00)


23 lim(xy)rarr(00)


x2 + y2

24 lim(xy)rarr(00)

2x2 + 3xy + 4y2

3x2 + 5y2

25 lim(xy)rarr(00)

xminus y + x2 + y2

x+ y

26 lim(xy)rarr(00)

(1+x2y2)1






Sonsuz Limitler








x2 + y2 = |x|2 + |y|2 lt 1

2M+

1

2M=

1

M=rArr 1

x2 + y2gt M

olur

10 1 HAFTA

Yinelemeli Limitler

Oumlrnek 12

0 = limyrarr0

limxrarr0

x2

x2 + y26= lim

xrarr0limyrarr0

x2

x2 + y2= 1


limyrarry0

limxrarrx0


limyrarry0

f(x y)


Oumlrnek 13

f(x y) =

x sin 1

y y 6= 0

0 y = 0



L = limyrarry0

limxrarrx0

f(x y) = limxrarrx0

limyrarry0

f(x y)




Lemma 1 Eger


g(r) = 0

iselim


olur


x4 + y4



lim(xy)rarr(00)

x4 + y4

x2 + y2= 0

olur


LIMIT 11







limrrarr0+


r2 cos2 r sin θ


rrarr0r

cos2 θ sin θ



limrrarr0

rcos2 θ sin θ


rrarr0r limrrarr0

cos2 θ sin θ


sin2 θ= 0

2 Hafta

Suumlreklilik


lim(xy)rarr(x0y0)

f(x y) = f(x0 y0)





Oumlrnek 18

f(x y) =

2xy

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


2y



Oumlrnek 19

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


13

14 2 HAFTA

Alıstırmalar


a) f(x y) =

x2y3

2x2 + y2(x y) 6= (0 0)

1 (x y) = (0 0)

b) f(x y) =

x3 + y3

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

c) f(x y) =

x3y

x4 + y2x 6= 0

0 x = 0

d) f(x y) =

sin(xy)

xx 6= 0

0 x = 0

e) f(x y) =

x sin1

yy 6= 0

0 y = 0

f) f(x y) =

sin(xy)radicx2 + y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

g) f(x y) =

sin2(x+ y)

|x|+ |y| (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

h) f(x y) =

xy

x2 + xy + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

i) f(x y) =

x3y2

x2 + y2eminusx

2minusy2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

j) f(x y) =

xy ln (x2 + y2) (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

k) f(x y) =

(x2 + y2) sin

(1

x2 + y2

)x2 + y2 gt 0

0 (x y) = (0 0)

l) f(x y) =

sin (x3 + y3)

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Kısmi Tuumlrevler


fx(x0 y0) =partf

partx|(x0y0)= lim

hrarr0


h

fy(x0 y0) =partf

party|(x0y0)= lim

krarr0


k



gprime(x) = fx(x y)





buluruz



Oumlrnek 22

f(x y) =

xy

x2+y2 (x y) 6= 0

0 (x y) = (0 0)


fx(0 0) = limhrarr0

f(h 0)minus f(0 0)

h= lim

hrarr0

0minus 0

h= 0




= limhrarr0




16 2 HAFTA



muuml


part

partx

partf

party6= part

party

partf

partx

Oumlrnek 24

f(x y) =

xy(x2minusy2)x2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm



k= minus1



h= 0 ve (x y) 6= (0 0) ise



(x2 + y2)2


olur



k= lim

krarr0

minusk minus 0

k= minus1




h= lim

hrarr0

hminus 0

h= 1


1

k

(f(h k)minus f(0 k)


h

)1

h

(f(h k)minus f(h 0)


k





Alıstırmalar




a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2



fxy

+fyx

= 0







Kanıt

F (h k) =1





18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila

LIMIT 5



ise






(f(x y)g(x y)) = LM


f(x y)

g(x y)=

L

M


lim(xy)rarr(x0y0)

F (f(x y)) = F (L)

olur


lim(xy)rarr(x0y0)

f(x) = limxrarrx0


f(y) = limyrarry0

f(y)









6 1 HAFTA


lim(xy)rarr(π32)


y lim(xy)rarr(π32)


xy)

= 2 sin

(limxrarrπ3 x

limyrarr2 y

)= 2 sin π6 = 1




iselim


olur

Oumlrnek 7

lim(xy)rarr(00)

x2y

x2 + y2


Ccediloumlzuumlm

0 lt

∣∣∣∣ x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ x2

x2 + y2




lim(xy)rarr(x0y0)

(xy)isinC





lim(xy)rarr(x0y0)

(xy)isinC1


(xy)isinC2

f(x y)

iselim


LIMIT 7



lim(xy)rarr(00)

2xy

x2 + y2


lim(xy=0)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

xrarr0

0

x2 + 0= lim

xrarr00 = 0


lim(xy=x)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

(xy=x)rarr(00)

2xx

x2 + x2= lim

xrarr0

2x2

2x2= lim

xrarr01 = 1


2 Metot

lim(xy=kx)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

(xy=kx)rarr(00)

2xkx

x2 + k2x2= lim

xrarr0

2kx2

x2(1 + k2)=

2k

1 + k2




x2y



lim(xy=kx)rarr(00)

x2y

x4 + y2= lim

xrarr0

x2kx

x4 + k2x2= lim

xrarr0x

k

x2 + k2= lim

xrarr0x limxrarr0

k

x2 + k2= 0 middot k

k2= 0


lim(xy=kx2)rarr(00)

x2y

x4 + y2= lim

xrarr0

x2kx2

x4 + k2x4=

k

1 + k2

Yani limit yoktur

8 1 HAFTA


lim(xy)rarr(00)

xayb

cxm + dyn=

0 a

m+ b

ngt 1

yok am

+ bnle 1

ispat Ilk olarak am



limxrarr0

k

c+ dknxa+bmnminusm


m+ b

nle 1 oldugunda




cxm + dyn

∣∣∣∣ le 1

c

∣∣∣∣ cxm

cxm + dyn


c


Alıstırmalar


1 lim(xy)rarr(12)



2 lim(xy)rarr(00)

x2y2



3 lim(xy)rarr(00)

xy2



4 lim(xy)rarr(00)

sin(xy)



5 lim(xy)rarr(00)

x2 minus y2x2 + y2

6 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


7 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =

x4 + y4

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



LIMIT 9


9 lim(xy)rarr(11)

xy2 minus 1



10 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y4

11 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y6

12 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x) =

x2y2

x2y2+(xminusy)2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

13 lim(xy)rarr(00)

(x2 + y2) ln(x2 + y2)

14 lim(xy)rarr(00)

xradicx2 + y2

15 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y4x2 + y2

16 lim(xy)rarr(00)

x sin 1x

+ y

x+ y

17 lim(xy)rarr(00)

x2 minus 2

3 + xy

18 lim(xy)rarr(00)

(xminus y)2

x2 + y2

19 lim(xy)rarr(00)

3xy

5x4 + 2y4

20 lim(xy)rarr(00)

4x2y

x3 + y3

21 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y2x4 + y2

22 lim(xy)rarr(00)


23 lim(xy)rarr(00)


x2 + y2

24 lim(xy)rarr(00)

2x2 + 3xy + 4y2

3x2 + 5y2

25 lim(xy)rarr(00)

xminus y + x2 + y2

x+ y

26 lim(xy)rarr(00)

(1+x2y2)1






Sonsuz Limitler








x2 + y2 = |x|2 + |y|2 lt 1

2M+

1

2M=

1

M=rArr 1

x2 + y2gt M

olur

10 1 HAFTA

Yinelemeli Limitler

Oumlrnek 12

0 = limyrarr0

limxrarr0

x2

x2 + y26= lim

xrarr0limyrarr0

x2

x2 + y2= 1


limyrarry0

limxrarrx0


limyrarry0

f(x y)


Oumlrnek 13

f(x y) =

x sin 1

y y 6= 0

0 y = 0



L = limyrarry0

limxrarrx0

f(x y) = limxrarrx0

limyrarry0

f(x y)




Lemma 1 Eger


g(r) = 0

iselim


olur


x4 + y4



lim(xy)rarr(00)

x4 + y4

x2 + y2= 0

olur


LIMIT 11







limrrarr0+


r2 cos2 r sin θ


rrarr0r

cos2 θ sin θ



limrrarr0

rcos2 θ sin θ


rrarr0r limrrarr0

cos2 θ sin θ


sin2 θ= 0

2 Hafta

Suumlreklilik


lim(xy)rarr(x0y0)

f(x y) = f(x0 y0)





Oumlrnek 18

f(x y) =

2xy

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


2y



Oumlrnek 19

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


13

14 2 HAFTA

Alıstırmalar


a) f(x y) =

x2y3

2x2 + y2(x y) 6= (0 0)

1 (x y) = (0 0)

b) f(x y) =

x3 + y3

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

c) f(x y) =

x3y

x4 + y2x 6= 0

0 x = 0

d) f(x y) =

sin(xy)

xx 6= 0

0 x = 0

e) f(x y) =

x sin1

yy 6= 0

0 y = 0

f) f(x y) =

sin(xy)radicx2 + y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

g) f(x y) =

sin2(x+ y)

|x|+ |y| (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

h) f(x y) =

xy

x2 + xy + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

i) f(x y) =

x3y2

x2 + y2eminusx

2minusy2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

j) f(x y) =

xy ln (x2 + y2) (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

k) f(x y) =

(x2 + y2) sin

(1

x2 + y2

)x2 + y2 gt 0

0 (x y) = (0 0)

l) f(x y) =

sin (x3 + y3)

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Kısmi Tuumlrevler


fx(x0 y0) =partf

partx|(x0y0)= lim

hrarr0


h

fy(x0 y0) =partf

party|(x0y0)= lim

krarr0


k



gprime(x) = fx(x y)





buluruz



Oumlrnek 22

f(x y) =

xy

x2+y2 (x y) 6= 0

0 (x y) = (0 0)


fx(0 0) = limhrarr0

f(h 0)minus f(0 0)

h= lim

hrarr0

0minus 0

h= 0




= limhrarr0




16 2 HAFTA



muuml


part

partx

partf

party6= part

party

partf

partx

Oumlrnek 24

f(x y) =

xy(x2minusy2)x2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm



k= minus1



h= 0 ve (x y) 6= (0 0) ise



(x2 + y2)2


olur



k= lim

krarr0

minusk minus 0

k= minus1




h= lim

hrarr0

hminus 0

h= 1


1

k

(f(h k)minus f(0 k)


h

)1

h

(f(h k)minus f(h 0)


k





Alıstırmalar




a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2



fxy

+fyx

= 0







Kanıt

F (h k) =1





18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila

6 1 HAFTA


lim(xy)rarr(π32)


y lim(xy)rarr(π32)


xy)

= 2 sin

(limxrarrπ3 x

limyrarr2 y

)= 2 sin π6 = 1




iselim


olur

Oumlrnek 7

lim(xy)rarr(00)

x2y

x2 + y2


Ccediloumlzuumlm

0 lt

∣∣∣∣ x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ x2

x2 + y2




lim(xy)rarr(x0y0)

(xy)isinC





lim(xy)rarr(x0y0)

(xy)isinC1


(xy)isinC2

f(x y)

iselim


LIMIT 7



lim(xy)rarr(00)

2xy

x2 + y2


lim(xy=0)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

xrarr0

0

x2 + 0= lim

xrarr00 = 0


lim(xy=x)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

(xy=x)rarr(00)

2xx

x2 + x2= lim

xrarr0

2x2

2x2= lim

xrarr01 = 1


2 Metot

lim(xy=kx)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

(xy=kx)rarr(00)

2xkx

x2 + k2x2= lim

xrarr0

2kx2

x2(1 + k2)=

2k

1 + k2




x2y



lim(xy=kx)rarr(00)

x2y

x4 + y2= lim

xrarr0

x2kx

x4 + k2x2= lim

xrarr0x

k

x2 + k2= lim

xrarr0x limxrarr0

k

x2 + k2= 0 middot k

k2= 0


lim(xy=kx2)rarr(00)

x2y

x4 + y2= lim

xrarr0

x2kx2

x4 + k2x4=

k

1 + k2

Yani limit yoktur

8 1 HAFTA


lim(xy)rarr(00)

xayb

cxm + dyn=

0 a

m+ b

ngt 1

yok am

+ bnle 1

ispat Ilk olarak am



limxrarr0

k

c+ dknxa+bmnminusm


m+ b

nle 1 oldugunda




cxm + dyn

∣∣∣∣ le 1

c

∣∣∣∣ cxm

cxm + dyn


c


Alıstırmalar


1 lim(xy)rarr(12)



2 lim(xy)rarr(00)

x2y2



3 lim(xy)rarr(00)

xy2



4 lim(xy)rarr(00)

sin(xy)



5 lim(xy)rarr(00)

x2 minus y2x2 + y2

6 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


7 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =

x4 + y4

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



LIMIT 9


9 lim(xy)rarr(11)

xy2 minus 1



10 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y4

11 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y6

12 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x) =

x2y2

x2y2+(xminusy)2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

13 lim(xy)rarr(00)

(x2 + y2) ln(x2 + y2)

14 lim(xy)rarr(00)

xradicx2 + y2

15 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y4x2 + y2

16 lim(xy)rarr(00)

x sin 1x

+ y

x+ y

17 lim(xy)rarr(00)

x2 minus 2

3 + xy

18 lim(xy)rarr(00)

(xminus y)2

x2 + y2

19 lim(xy)rarr(00)

3xy

5x4 + 2y4

20 lim(xy)rarr(00)

4x2y

x3 + y3

21 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y2x4 + y2

22 lim(xy)rarr(00)


23 lim(xy)rarr(00)


x2 + y2

24 lim(xy)rarr(00)

2x2 + 3xy + 4y2

3x2 + 5y2

25 lim(xy)rarr(00)

xminus y + x2 + y2

x+ y

26 lim(xy)rarr(00)

(1+x2y2)1






Sonsuz Limitler








x2 + y2 = |x|2 + |y|2 lt 1

2M+

1

2M=

1

M=rArr 1

x2 + y2gt M

olur

10 1 HAFTA

Yinelemeli Limitler

Oumlrnek 12

0 = limyrarr0

limxrarr0

x2

x2 + y26= lim

xrarr0limyrarr0

x2

x2 + y2= 1


limyrarry0

limxrarrx0


limyrarry0

f(x y)


Oumlrnek 13

f(x y) =

x sin 1

y y 6= 0

0 y = 0



L = limyrarry0

limxrarrx0

f(x y) = limxrarrx0

limyrarry0

f(x y)




Lemma 1 Eger


g(r) = 0

iselim


olur


x4 + y4



lim(xy)rarr(00)

x4 + y4

x2 + y2= 0

olur


LIMIT 11







limrrarr0+


r2 cos2 r sin θ


rrarr0r

cos2 θ sin θ



limrrarr0

rcos2 θ sin θ


rrarr0r limrrarr0

cos2 θ sin θ


sin2 θ= 0

2 Hafta

Suumlreklilik


lim(xy)rarr(x0y0)

f(x y) = f(x0 y0)





Oumlrnek 18

f(x y) =

2xy

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


2y



Oumlrnek 19

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


13

14 2 HAFTA

Alıstırmalar


a) f(x y) =

x2y3

2x2 + y2(x y) 6= (0 0)

1 (x y) = (0 0)

b) f(x y) =

x3 + y3

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

c) f(x y) =

x3y

x4 + y2x 6= 0

0 x = 0

d) f(x y) =

sin(xy)

xx 6= 0

0 x = 0

e) f(x y) =

x sin1

yy 6= 0

0 y = 0

f) f(x y) =

sin(xy)radicx2 + y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

g) f(x y) =

sin2(x+ y)

|x|+ |y| (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

h) f(x y) =

xy

x2 + xy + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

i) f(x y) =

x3y2

x2 + y2eminusx

2minusy2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

j) f(x y) =

xy ln (x2 + y2) (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

k) f(x y) =

(x2 + y2) sin

(1

x2 + y2

)x2 + y2 gt 0

0 (x y) = (0 0)

l) f(x y) =

sin (x3 + y3)

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Kısmi Tuumlrevler


fx(x0 y0) =partf

partx|(x0y0)= lim

hrarr0


h

fy(x0 y0) =partf

party|(x0y0)= lim

krarr0


k



gprime(x) = fx(x y)





buluruz



Oumlrnek 22

f(x y) =

xy

x2+y2 (x y) 6= 0

0 (x y) = (0 0)


fx(0 0) = limhrarr0

f(h 0)minus f(0 0)

h= lim

hrarr0

0minus 0

h= 0




= limhrarr0




16 2 HAFTA



muuml


part

partx

partf

party6= part

party

partf

partx

Oumlrnek 24

f(x y) =

xy(x2minusy2)x2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm



k= minus1



h= 0 ve (x y) 6= (0 0) ise



(x2 + y2)2


olur



k= lim

krarr0

minusk minus 0

k= minus1




h= lim

hrarr0

hminus 0

h= 1


1

k

(f(h k)minus f(0 k)


h

)1

h

(f(h k)minus f(h 0)


k





Alıstırmalar




a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2



fxy

+fyx

= 0







Kanıt

F (h k) =1





18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila

LIMIT 7



lim(xy)rarr(00)

2xy

x2 + y2


lim(xy=0)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

xrarr0

0

x2 + 0= lim

xrarr00 = 0


lim(xy=x)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

(xy=x)rarr(00)

2xx

x2 + x2= lim

xrarr0

2x2

2x2= lim

xrarr01 = 1


2 Metot

lim(xy=kx)rarr(00)

2xy

x2 + y2= lim

(xy=kx)rarr(00)

2xkx

x2 + k2x2= lim

xrarr0

2kx2

x2(1 + k2)=

2k

1 + k2




x2y



lim(xy=kx)rarr(00)

x2y

x4 + y2= lim

xrarr0

x2kx

x4 + k2x2= lim

xrarr0x

k

x2 + k2= lim

xrarr0x limxrarr0

k

x2 + k2= 0 middot k

k2= 0


lim(xy=kx2)rarr(00)

x2y

x4 + y2= lim

xrarr0

x2kx2

x4 + k2x4=

k

1 + k2

Yani limit yoktur

8 1 HAFTA


lim(xy)rarr(00)

xayb

cxm + dyn=

0 a

m+ b

ngt 1

yok am

+ bnle 1

ispat Ilk olarak am



limxrarr0

k

c+ dknxa+bmnminusm


m+ b

nle 1 oldugunda




cxm + dyn

∣∣∣∣ le 1

c

∣∣∣∣ cxm

cxm + dyn


c


Alıstırmalar


1 lim(xy)rarr(12)



2 lim(xy)rarr(00)

x2y2



3 lim(xy)rarr(00)

xy2



4 lim(xy)rarr(00)

sin(xy)



5 lim(xy)rarr(00)

x2 minus y2x2 + y2

6 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


7 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =

x4 + y4

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



LIMIT 9


9 lim(xy)rarr(11)

xy2 minus 1



10 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y4

11 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y6

12 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x) =

x2y2

x2y2+(xminusy)2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

13 lim(xy)rarr(00)

(x2 + y2) ln(x2 + y2)

14 lim(xy)rarr(00)

xradicx2 + y2

15 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y4x2 + y2

16 lim(xy)rarr(00)

x sin 1x

+ y

x+ y

17 lim(xy)rarr(00)

x2 minus 2

3 + xy

18 lim(xy)rarr(00)

(xminus y)2

x2 + y2

19 lim(xy)rarr(00)

3xy

5x4 + 2y4

20 lim(xy)rarr(00)

4x2y

x3 + y3

21 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y2x4 + y2

22 lim(xy)rarr(00)


23 lim(xy)rarr(00)


x2 + y2

24 lim(xy)rarr(00)

2x2 + 3xy + 4y2

3x2 + 5y2

25 lim(xy)rarr(00)

xminus y + x2 + y2

x+ y

26 lim(xy)rarr(00)

(1+x2y2)1






Sonsuz Limitler








x2 + y2 = |x|2 + |y|2 lt 1

2M+

1

2M=

1

M=rArr 1

x2 + y2gt M

olur

10 1 HAFTA

Yinelemeli Limitler

Oumlrnek 12

0 = limyrarr0

limxrarr0

x2

x2 + y26= lim

xrarr0limyrarr0

x2

x2 + y2= 1


limyrarry0

limxrarrx0


limyrarry0

f(x y)


Oumlrnek 13

f(x y) =

x sin 1

y y 6= 0

0 y = 0



L = limyrarry0

limxrarrx0

f(x y) = limxrarrx0

limyrarry0

f(x y)




Lemma 1 Eger


g(r) = 0

iselim


olur


x4 + y4



lim(xy)rarr(00)

x4 + y4

x2 + y2= 0

olur


LIMIT 11







limrrarr0+


r2 cos2 r sin θ


rrarr0r

cos2 θ sin θ



limrrarr0

rcos2 θ sin θ


rrarr0r limrrarr0

cos2 θ sin θ


sin2 θ= 0

2 Hafta

Suumlreklilik


lim(xy)rarr(x0y0)

f(x y) = f(x0 y0)





Oumlrnek 18

f(x y) =

2xy

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


2y



Oumlrnek 19

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


13

14 2 HAFTA

Alıstırmalar


a) f(x y) =

x2y3

2x2 + y2(x y) 6= (0 0)

1 (x y) = (0 0)

b) f(x y) =

x3 + y3

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

c) f(x y) =

x3y

x4 + y2x 6= 0

0 x = 0

d) f(x y) =

sin(xy)

xx 6= 0

0 x = 0

e) f(x y) =

x sin1

yy 6= 0

0 y = 0

f) f(x y) =

sin(xy)radicx2 + y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

g) f(x y) =

sin2(x+ y)

|x|+ |y| (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

h) f(x y) =

xy

x2 + xy + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

i) f(x y) =

x3y2

x2 + y2eminusx

2minusy2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

j) f(x y) =

xy ln (x2 + y2) (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

k) f(x y) =

(x2 + y2) sin

(1

x2 + y2

)x2 + y2 gt 0

0 (x y) = (0 0)

l) f(x y) =

sin (x3 + y3)

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Kısmi Tuumlrevler


fx(x0 y0) =partf

partx|(x0y0)= lim

hrarr0


h

fy(x0 y0) =partf

party|(x0y0)= lim

krarr0


k



gprime(x) = fx(x y)





buluruz



Oumlrnek 22

f(x y) =

xy

x2+y2 (x y) 6= 0

0 (x y) = (0 0)


fx(0 0) = limhrarr0

f(h 0)minus f(0 0)

h= lim

hrarr0

0minus 0

h= 0




= limhrarr0




16 2 HAFTA



muuml


part

partx

partf

party6= part

party

partf

partx

Oumlrnek 24

f(x y) =

xy(x2minusy2)x2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm



k= minus1



h= 0 ve (x y) 6= (0 0) ise



(x2 + y2)2


olur



k= lim

krarr0

minusk minus 0

k= minus1




h= lim

hrarr0

hminus 0

h= 1


1

k

(f(h k)minus f(0 k)


h

)1

h

(f(h k)minus f(h 0)


k





Alıstırmalar




a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2



fxy

+fyx

= 0







Kanıt

F (h k) =1





18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila

8 1 HAFTA


lim(xy)rarr(00)

xayb

cxm + dyn=

0 a

m+ b

ngt 1

yok am

+ bnle 1

ispat Ilk olarak am



limxrarr0

k

c+ dknxa+bmnminusm


m+ b

nle 1 oldugunda




cxm + dyn

∣∣∣∣ le 1

c

∣∣∣∣ cxm

cxm + dyn


c


Alıstırmalar


1 lim(xy)rarr(12)



2 lim(xy)rarr(00)

x2y2



3 lim(xy)rarr(00)

xy2



4 lim(xy)rarr(00)

sin(xy)



5 lim(xy)rarr(00)

x2 minus y2x2 + y2

6 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


7 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x y) =

x4 + y4

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



LIMIT 9


9 lim(xy)rarr(11)

xy2 minus 1



10 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y4

11 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y6

12 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x) =

x2y2

x2y2+(xminusy)2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

13 lim(xy)rarr(00)

(x2 + y2) ln(x2 + y2)

14 lim(xy)rarr(00)

xradicx2 + y2

15 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y4x2 + y2

16 lim(xy)rarr(00)

x sin 1x

+ y

x+ y

17 lim(xy)rarr(00)

x2 minus 2

3 + xy

18 lim(xy)rarr(00)

(xminus y)2

x2 + y2

19 lim(xy)rarr(00)

3xy

5x4 + 2y4

20 lim(xy)rarr(00)

4x2y

x3 + y3

21 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y2x4 + y2

22 lim(xy)rarr(00)


23 lim(xy)rarr(00)


x2 + y2

24 lim(xy)rarr(00)

2x2 + 3xy + 4y2

3x2 + 5y2

25 lim(xy)rarr(00)

xminus y + x2 + y2

x+ y

26 lim(xy)rarr(00)

(1+x2y2)1






Sonsuz Limitler








x2 + y2 = |x|2 + |y|2 lt 1

2M+

1

2M=

1

M=rArr 1

x2 + y2gt M

olur

10 1 HAFTA

Yinelemeli Limitler

Oumlrnek 12

0 = limyrarr0

limxrarr0

x2

x2 + y26= lim

xrarr0limyrarr0

x2

x2 + y2= 1


limyrarry0

limxrarrx0


limyrarry0

f(x y)


Oumlrnek 13

f(x y) =

x sin 1

y y 6= 0

0 y = 0



L = limyrarry0

limxrarrx0

f(x y) = limxrarrx0

limyrarry0

f(x y)




Lemma 1 Eger


g(r) = 0

iselim


olur


x4 + y4



lim(xy)rarr(00)

x4 + y4

x2 + y2= 0

olur


LIMIT 11







limrrarr0+


r2 cos2 r sin θ


rrarr0r

cos2 θ sin θ



limrrarr0

rcos2 θ sin θ


rrarr0r limrrarr0

cos2 θ sin θ


sin2 θ= 0

2 Hafta

Suumlreklilik


lim(xy)rarr(x0y0)

f(x y) = f(x0 y0)





Oumlrnek 18

f(x y) =

2xy

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


2y



Oumlrnek 19

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


13

14 2 HAFTA

Alıstırmalar


a) f(x y) =

x2y3

2x2 + y2(x y) 6= (0 0)

1 (x y) = (0 0)

b) f(x y) =

x3 + y3

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

c) f(x y) =

x3y

x4 + y2x 6= 0

0 x = 0

d) f(x y) =

sin(xy)

xx 6= 0

0 x = 0

e) f(x y) =

x sin1

yy 6= 0

0 y = 0

f) f(x y) =

sin(xy)radicx2 + y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

g) f(x y) =

sin2(x+ y)

|x|+ |y| (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

h) f(x y) =

xy

x2 + xy + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

i) f(x y) =

x3y2

x2 + y2eminusx

2minusy2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

j) f(x y) =

xy ln (x2 + y2) (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

k) f(x y) =

(x2 + y2) sin

(1

x2 + y2

)x2 + y2 gt 0

0 (x y) = (0 0)

l) f(x y) =

sin (x3 + y3)

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Kısmi Tuumlrevler


fx(x0 y0) =partf

partx|(x0y0)= lim

hrarr0


h

fy(x0 y0) =partf

party|(x0y0)= lim

krarr0


k



gprime(x) = fx(x y)





buluruz



Oumlrnek 22

f(x y) =

xy

x2+y2 (x y) 6= 0

0 (x y) = (0 0)


fx(0 0) = limhrarr0

f(h 0)minus f(0 0)

h= lim

hrarr0

0minus 0

h= 0




= limhrarr0




16 2 HAFTA



muuml


part

partx

partf

party6= part

party

partf

partx

Oumlrnek 24

f(x y) =

xy(x2minusy2)x2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm



k= minus1



h= 0 ve (x y) 6= (0 0) ise



(x2 + y2)2


olur



k= lim

krarr0

minusk minus 0

k= minus1




h= lim

hrarr0

hminus 0

h= 1


1

k

(f(h k)minus f(0 k)


h

)1

h

(f(h k)minus f(h 0)


k





Alıstırmalar




a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2



fxy

+fyx

= 0







Kanıt

F (h k) =1





18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila

LIMIT 9


9 lim(xy)rarr(11)

xy2 minus 1



10 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y4

11 lim(xy)rarr(00)

x2y3

x4 + y6

12 lim(xy)rarr(00)

f(x y)

f(x) =

x2y2

x2y2+(xminusy)2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

13 lim(xy)rarr(00)

(x2 + y2) ln(x2 + y2)

14 lim(xy)rarr(00)

xradicx2 + y2

15 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y4x2 + y2

16 lim(xy)rarr(00)

x sin 1x

+ y

x+ y

17 lim(xy)rarr(00)

x2 minus 2

3 + xy

18 lim(xy)rarr(00)

(xminus y)2

x2 + y2

19 lim(xy)rarr(00)

3xy

5x4 + 2y4

20 lim(xy)rarr(00)

4x2y

x3 + y3

21 lim(xy)rarr(00)

x4 minus y2x4 + y2

22 lim(xy)rarr(00)


23 lim(xy)rarr(00)


x2 + y2

24 lim(xy)rarr(00)

2x2 + 3xy + 4y2

3x2 + 5y2

25 lim(xy)rarr(00)

xminus y + x2 + y2

x+ y

26 lim(xy)rarr(00)

(1+x2y2)1






Sonsuz Limitler








x2 + y2 = |x|2 + |y|2 lt 1

2M+

1

2M=

1

M=rArr 1

x2 + y2gt M

olur

10 1 HAFTA

Yinelemeli Limitler

Oumlrnek 12

0 = limyrarr0

limxrarr0

x2

x2 + y26= lim

xrarr0limyrarr0

x2

x2 + y2= 1


limyrarry0

limxrarrx0


limyrarry0

f(x y)


Oumlrnek 13

f(x y) =

x sin 1

y y 6= 0

0 y = 0



L = limyrarry0

limxrarrx0

f(x y) = limxrarrx0

limyrarry0

f(x y)




Lemma 1 Eger


g(r) = 0

iselim


olur


x4 + y4



lim(xy)rarr(00)

x4 + y4

x2 + y2= 0

olur


LIMIT 11







limrrarr0+


r2 cos2 r sin θ


rrarr0r

cos2 θ sin θ



limrrarr0

rcos2 θ sin θ


rrarr0r limrrarr0

cos2 θ sin θ


sin2 θ= 0

2 Hafta

Suumlreklilik


lim(xy)rarr(x0y0)

f(x y) = f(x0 y0)





Oumlrnek 18

f(x y) =

2xy

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


2y



Oumlrnek 19

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


13

14 2 HAFTA

Alıstırmalar


a) f(x y) =

x2y3

2x2 + y2(x y) 6= (0 0)

1 (x y) = (0 0)

b) f(x y) =

x3 + y3

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

c) f(x y) =

x3y

x4 + y2x 6= 0

0 x = 0

d) f(x y) =

sin(xy)

xx 6= 0

0 x = 0

e) f(x y) =

x sin1

yy 6= 0

0 y = 0

f) f(x y) =

sin(xy)radicx2 + y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

g) f(x y) =

sin2(x+ y)

|x|+ |y| (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

h) f(x y) =

xy

x2 + xy + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

i) f(x y) =

x3y2

x2 + y2eminusx

2minusy2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

j) f(x y) =

xy ln (x2 + y2) (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

k) f(x y) =

(x2 + y2) sin

(1

x2 + y2

)x2 + y2 gt 0

0 (x y) = (0 0)

l) f(x y) =

sin (x3 + y3)

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Kısmi Tuumlrevler


fx(x0 y0) =partf

partx|(x0y0)= lim

hrarr0


h

fy(x0 y0) =partf

party|(x0y0)= lim

krarr0


k



gprime(x) = fx(x y)





buluruz



Oumlrnek 22

f(x y) =

xy

x2+y2 (x y) 6= 0

0 (x y) = (0 0)


fx(0 0) = limhrarr0

f(h 0)minus f(0 0)

h= lim

hrarr0

0minus 0

h= 0




= limhrarr0




16 2 HAFTA



muuml


part

partx

partf

party6= part

party

partf

partx

Oumlrnek 24

f(x y) =

xy(x2minusy2)x2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm



k= minus1



h= 0 ve (x y) 6= (0 0) ise



(x2 + y2)2


olur



k= lim

krarr0

minusk minus 0

k= minus1




h= lim

hrarr0

hminus 0

h= 1


1

k

(f(h k)minus f(0 k)


h

)1

h

(f(h k)minus f(h 0)


k





Alıstırmalar




a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2



fxy

+fyx

= 0







Kanıt

F (h k) =1





18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila

10 1 HAFTA

Yinelemeli Limitler

Oumlrnek 12

0 = limyrarr0

limxrarr0

x2

x2 + y26= lim

xrarr0limyrarr0

x2

x2 + y2= 1


limyrarry0

limxrarrx0


limyrarry0

f(x y)


Oumlrnek 13

f(x y) =

x sin 1

y y 6= 0

0 y = 0



L = limyrarry0

limxrarrx0

f(x y) = limxrarrx0

limyrarry0

f(x y)




Lemma 1 Eger


g(r) = 0

iselim


olur


x4 + y4



lim(xy)rarr(00)

x4 + y4

x2 + y2= 0

olur


LIMIT 11







limrrarr0+


r2 cos2 r sin θ


rrarr0r

cos2 θ sin θ



limrrarr0

rcos2 θ sin θ


rrarr0r limrrarr0

cos2 θ sin θ


sin2 θ= 0

2 Hafta

Suumlreklilik


lim(xy)rarr(x0y0)

f(x y) = f(x0 y0)





Oumlrnek 18

f(x y) =

2xy

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


2y



Oumlrnek 19

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


13

14 2 HAFTA

Alıstırmalar


a) f(x y) =

x2y3

2x2 + y2(x y) 6= (0 0)

1 (x y) = (0 0)

b) f(x y) =

x3 + y3

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

c) f(x y) =

x3y

x4 + y2x 6= 0

0 x = 0

d) f(x y) =

sin(xy)

xx 6= 0

0 x = 0

e) f(x y) =

x sin1

yy 6= 0

0 y = 0

f) f(x y) =

sin(xy)radicx2 + y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

g) f(x y) =

sin2(x+ y)

|x|+ |y| (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

h) f(x y) =

xy

x2 + xy + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

i) f(x y) =

x3y2

x2 + y2eminusx

2minusy2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

j) f(x y) =

xy ln (x2 + y2) (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

k) f(x y) =

(x2 + y2) sin

(1

x2 + y2

)x2 + y2 gt 0

0 (x y) = (0 0)

l) f(x y) =

sin (x3 + y3)

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Kısmi Tuumlrevler


fx(x0 y0) =partf

partx|(x0y0)= lim

hrarr0


h

fy(x0 y0) =partf

party|(x0y0)= lim

krarr0


k



gprime(x) = fx(x y)





buluruz



Oumlrnek 22

f(x y) =

xy

x2+y2 (x y) 6= 0

0 (x y) = (0 0)


fx(0 0) = limhrarr0

f(h 0)minus f(0 0)

h= lim

hrarr0

0minus 0

h= 0




= limhrarr0




16 2 HAFTA



muuml


part

partx

partf

party6= part

party

partf

partx

Oumlrnek 24

f(x y) =

xy(x2minusy2)x2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm



k= minus1



h= 0 ve (x y) 6= (0 0) ise



(x2 + y2)2


olur



k= lim

krarr0

minusk minus 0

k= minus1




h= lim

hrarr0

hminus 0

h= 1


1

k

(f(h k)minus f(0 k)


h

)1

h

(f(h k)minus f(h 0)


k





Alıstırmalar




a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2



fxy

+fyx

= 0







Kanıt

F (h k) =1





18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila

LIMIT 11







limrrarr0+


r2 cos2 r sin θ


rrarr0r

cos2 θ sin θ



limrrarr0

rcos2 θ sin θ


rrarr0r limrrarr0

cos2 θ sin θ


sin2 θ= 0

2 Hafta

Suumlreklilik


lim(xy)rarr(x0y0)

f(x y) = f(x0 y0)





Oumlrnek 18

f(x y) =

2xy

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


2y



Oumlrnek 19

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


13

14 2 HAFTA

Alıstırmalar


a) f(x y) =

x2y3

2x2 + y2(x y) 6= (0 0)

1 (x y) = (0 0)

b) f(x y) =

x3 + y3

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

c) f(x y) =

x3y

x4 + y2x 6= 0

0 x = 0

d) f(x y) =

sin(xy)

xx 6= 0

0 x = 0

e) f(x y) =

x sin1

yy 6= 0

0 y = 0

f) f(x y) =

sin(xy)radicx2 + y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

g) f(x y) =

sin2(x+ y)

|x|+ |y| (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

h) f(x y) =

xy

x2 + xy + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

i) f(x y) =

x3y2

x2 + y2eminusx

2minusy2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

j) f(x y) =

xy ln (x2 + y2) (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

k) f(x y) =

(x2 + y2) sin

(1

x2 + y2

)x2 + y2 gt 0

0 (x y) = (0 0)

l) f(x y) =

sin (x3 + y3)

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Kısmi Tuumlrevler


fx(x0 y0) =partf

partx|(x0y0)= lim

hrarr0


h

fy(x0 y0) =partf

party|(x0y0)= lim

krarr0


k



gprime(x) = fx(x y)





buluruz



Oumlrnek 22

f(x y) =

xy

x2+y2 (x y) 6= 0

0 (x y) = (0 0)


fx(0 0) = limhrarr0

f(h 0)minus f(0 0)

h= lim

hrarr0

0minus 0

h= 0




= limhrarr0




16 2 HAFTA



muuml


part

partx

partf

party6= part

party

partf

partx

Oumlrnek 24

f(x y) =

xy(x2minusy2)x2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm



k= minus1



h= 0 ve (x y) 6= (0 0) ise



(x2 + y2)2


olur



k= lim

krarr0

minusk minus 0

k= minus1




h= lim

hrarr0

hminus 0

h= 1


1

k

(f(h k)minus f(0 k)


h

)1

h

(f(h k)minus f(h 0)


k





Alıstırmalar




a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2



fxy

+fyx

= 0







Kanıt

F (h k) =1





18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila

2 Hafta

Suumlreklilik


lim(xy)rarr(x0y0)

f(x y) = f(x0 y0)





Oumlrnek 18

f(x y) =

2xy

x2 + y2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


2y



Oumlrnek 19

f(x y) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


13

14 2 HAFTA

Alıstırmalar


a) f(x y) =

x2y3

2x2 + y2(x y) 6= (0 0)

1 (x y) = (0 0)

b) f(x y) =

x3 + y3

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

c) f(x y) =

x3y

x4 + y2x 6= 0

0 x = 0

d) f(x y) =

sin(xy)

xx 6= 0

0 x = 0

e) f(x y) =

x sin1

yy 6= 0

0 y = 0

f) f(x y) =

sin(xy)radicx2 + y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

g) f(x y) =

sin2(x+ y)

|x|+ |y| (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

h) f(x y) =

xy

x2 + xy + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

i) f(x y) =

x3y2

x2 + y2eminusx

2minusy2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

j) f(x y) =

xy ln (x2 + y2) (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

k) f(x y) =

(x2 + y2) sin

(1

x2 + y2

)x2 + y2 gt 0

0 (x y) = (0 0)

l) f(x y) =

sin (x3 + y3)

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Kısmi Tuumlrevler


fx(x0 y0) =partf

partx|(x0y0)= lim

hrarr0


h

fy(x0 y0) =partf

party|(x0y0)= lim

krarr0


k



gprime(x) = fx(x y)





buluruz



Oumlrnek 22

f(x y) =

xy

x2+y2 (x y) 6= 0

0 (x y) = (0 0)


fx(0 0) = limhrarr0

f(h 0)minus f(0 0)

h= lim

hrarr0

0minus 0

h= 0




= limhrarr0




16 2 HAFTA



muuml


part

partx

partf

party6= part

party

partf

partx

Oumlrnek 24

f(x y) =

xy(x2minusy2)x2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm



k= minus1



h= 0 ve (x y) 6= (0 0) ise



(x2 + y2)2


olur



k= lim

krarr0

minusk minus 0

k= minus1




h= lim

hrarr0

hminus 0

h= 1


1

k

(f(h k)minus f(0 k)


h

)1

h

(f(h k)minus f(h 0)


k





Alıstırmalar




a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2



fxy

+fyx

= 0







Kanıt

F (h k) =1





18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila

14 2 HAFTA

Alıstırmalar


a) f(x y) =

x2y3

2x2 + y2(x y) 6= (0 0)

1 (x y) = (0 0)

b) f(x y) =

x3 + y3

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

c) f(x y) =

x3y

x4 + y2x 6= 0

0 x = 0

d) f(x y) =

sin(xy)

xx 6= 0

0 x = 0

e) f(x y) =

x sin1

yy 6= 0

0 y = 0

f) f(x y) =

sin(xy)radicx2 + y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

g) f(x y) =

sin2(x+ y)

|x|+ |y| (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

h) f(x y) =

xy

x2 + xy + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

i) f(x y) =

x3y2

x2 + y2eminusx

2minusy2 (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

j) f(x y) =

xy ln (x2 + y2) (x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)

k) f(x y) =

(x2 + y2) sin

(1

x2 + y2

)x2 + y2 gt 0

0 (x y) = (0 0)

l) f(x y) =

sin (x3 + y3)

x2 + y2(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Kısmi Tuumlrevler


fx(x0 y0) =partf

partx|(x0y0)= lim

hrarr0


h

fy(x0 y0) =partf

party|(x0y0)= lim

krarr0


k



gprime(x) = fx(x y)





buluruz



Oumlrnek 22

f(x y) =

xy

x2+y2 (x y) 6= 0

0 (x y) = (0 0)


fx(0 0) = limhrarr0

f(h 0)minus f(0 0)

h= lim

hrarr0

0minus 0

h= 0




= limhrarr0




16 2 HAFTA



muuml


part

partx

partf

party6= part

party

partf

partx

Oumlrnek 24

f(x y) =

xy(x2minusy2)x2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm



k= minus1



h= 0 ve (x y) 6= (0 0) ise



(x2 + y2)2


olur



k= lim

krarr0

minusk minus 0

k= minus1




h= lim

hrarr0

hminus 0

h= 1


1

k

(f(h k)minus f(0 k)


h

)1

h

(f(h k)minus f(h 0)


k





Alıstırmalar




a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2



fxy

+fyx

= 0







Kanıt

F (h k) =1





18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila


Kısmi Tuumlrevler


fx(x0 y0) =partf

partx|(x0y0)= lim

hrarr0


h

fy(x0 y0) =partf

party|(x0y0)= lim

krarr0


k



gprime(x) = fx(x y)





buluruz



Oumlrnek 22

f(x y) =

xy

x2+y2 (x y) 6= 0

0 (x y) = (0 0)


fx(0 0) = limhrarr0

f(h 0)minus f(0 0)

h= lim

hrarr0

0minus 0

h= 0




= limhrarr0




16 2 HAFTA



muuml


part

partx

partf

party6= part

party

partf

partx

Oumlrnek 24

f(x y) =

xy(x2minusy2)x2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm



k= minus1



h= 0 ve (x y) 6= (0 0) ise



(x2 + y2)2


olur



k= lim

krarr0

minusk minus 0

k= minus1




h= lim

hrarr0

hminus 0

h= 1


1

k

(f(h k)minus f(0 k)


h

)1

h

(f(h k)minus f(h 0)


k





Alıstırmalar




a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2



fxy

+fyx

= 0







Kanıt

F (h k) =1





18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila

16 2 HAFTA



muuml


part

partx

partf

party6= part

party

partf

partx

Oumlrnek 24

f(x y) =

xy(x2minusy2)x2+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm



k= minus1



h= 0 ve (x y) 6= (0 0) ise



(x2 + y2)2


olur



k= lim

krarr0

minusk minus 0

k= minus1




h= lim

hrarr0

hminus 0

h= 1


1

k

(f(h k)minus f(0 k)


h

)1

h

(f(h k)minus f(h 0)


k





Alıstırmalar




a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2



fxy

+fyx

= 0







Kanıt

F (h k) =1





18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila




Alıstırmalar




a) f(x y) =xy2

x2 + y2

b) f(x y) =x3y

x6 + y2

c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) =x4y

x2 + y2



fxy

+fyx

= 0







Kanıt

F (h k) =1





18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila

18 2 HAFTA


F (h k) =1






olur Bu da

F (h k) =1




F (h k) =1





olur Bu da

F (h k) =1



lim(hk)rarr(00)




lim(hk)rarr(00)


elde edin )


f(x y) =

yx2 sin 1

x x 6= 0

0 x = 0



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila



x g(0) = 0 olarak






3 Hafta

Tuumlretilebilme




h=rArr lim

hrarr0


= 0

=rArr limhrarr0




lim(hk)rarr(00)


= 0



lim(xy)rarr(x0y0)


= 0



21

22 3 HAFTA

Oumlrnek 25

f(x y) =

y|y|

radicx2 + y2 y 6= 0

0 y = 0



fx(0 0) = limhrarr0

f(0 + h 0)minus f(0 0)

h= 0

fy(0 0) = limkrarr0

f(0 0 + k)minus f(0 0)

k= lim

krarr0

k|k|

radic(k)2

k= 1


lim(hk)rarr(00)


= lim(hk)rarr(00)


radich2 + k2

=

lim(hk)rarr(00)



limkrarr0


∣∣∣∣ = 0


limkrarr0



∣∣∣∣ k|k|(

1minus 1radic2





Kanıt






TUumlRETILEBILME 23









f(x) =


(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)



lim(hk)rarr(00)


=

lim(hk)rarr(00)

radich2 + k2 sin

1radich2 + k2

= 0

Son olarak


cos1radic

x2 + y2+ 2x sin

1radicx2 + y2


limxrarr0+


minus cos1

x+ 2x sin

1

x




24 3 HAFTA





lim(hk)rarr(00)

∣∣(2 + h)radic

1 + k minus 2radic


radich2 + k2

= lim(hk)rarr(00)

∣∣∣((2 + h)radic

1 + k)2 minus (2 + h+ k)2


lim(hk)rarr(00)

1((2 + h)

radic1 + k + (2 + h+ k)

)=

1

4lim

(hk)rarr(00)


=1

4lim

(hk)rarr(00)



∣∣∣∣ =∣∣2h+ h2 minus k





radich2 + k2


Alıstırmalar

1 f(x y) =x3 + y3






TUumlRETILEBILME 25

a) f(x y) =xy2

x2 + y2


c) f(x y) =x3

x2 + y2

d) f(x y) =xy2

x4 + y2


|x|+ |y|

f) f(x y) = xy ln(x2 + y2)

g) f(x y) = (xy)13


i) f(x y) = ln (x2 + y2)

j) f(x y) =x5

x4 + y2



m) f(x y) = |y| ln(1 + x)

n) f(x y) = xy ln (x2 + y2)

o) f(x y) = |x|+ |y|

p) f(x y) = (x2 + y2) sin

(1radic

x2 + y2

)






]= fy(x0 + h y(k))k + fx(x(h) y0)h




h2 + k2




lim(hk)rarr(00)




∣∣∣∣ le 1


26 3 HAFTA

Zincir Kuralı





dz

dt= 2x

dx

dty + x2

dy


bulunur


z(t) = f(u(t) v(t))



olur Bunudz

dt=partz

partx

dx

dt+partz

party

dy

dt


dz

dt(t0) =

partf

partx(x0 y0)

dx

dt(t0) +

partf

party(x0 y0)

dy

dt(t0)



z = f(x y) x = g(u v) y = h(u v)

isepartf

partu=partf

partx

partx

partu+partf

party

party

partu

partf

partv=partf

partx

partx

partv+partf

party

party

partv

Alıstırmalar


olsun partzpartu

ve partzpartv


2 u = f(x y z) = ln(x2 + y2 + z2) x =


nedir


partz

partx

)2

+

(partz

party

)2

= 0


ZINCIR KURALI 27


partr

)2

+1

r2

(partz

partθ

)2

= 0


4 z = f(x y)

zxx + zyy = 0


zrr +1

rzr +

1

r2zθθ = 0



g(

xx2+y2

yx2+y2




zxx minusm2zyy = 0



partf

partx+partf

party+partf

partz= 0











(yx

) x2zxx =

y2zyy














Kanıt


28 3 HAFTA

yazarsak

limlrarr0

H(l) = limlrarr0

K(l) = 0 limlrarr0

H(l)

l= uprime(t0) lim

lrarr0

K(l)

l= vprime(t0)


olarak tanımlarsak



l


l

= fx(x0 y0)H(l)

l+ fy(x0 y0)

K(l)

l+ ε(H(l) K(l))

1

l



bitmis olur

limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= lim

lrarr0


limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2


lim(HK)rarr(00)

ε(HK)radicH2 +K2

= 0

olur Bu da

limlrarr0


= 0



limlrarr0

radic(H(l)

l

)2

+

(K(l)

l

)2



limlrarr0

ε(H(l) K(l))

l= 0

sonucu bulunur

4 Hafta



F (x y) = 0


y = f(x)









partF



F (x0 y0) +partF


partF



party(x0 y0) 6= 0 ise) (5)


29

30 4 HAFTA





party(x0 y0) 6= 0

iseF (x f(x)) = 0 f(x0) = y0


df

dx(x) = minus

partFpartx

(x f(x))partFparty

(x f(x))

olarak belirlenir















ay ay


EUflXyoYV

xElXo EXotE

f

flXoyo8150x


fIXYoYO

VxE Xo EXotE

xftpSKOVxelxo EXotE






dxtuumlrevini x = 1



partF



32 4 HAFTA


dy



|(11)=4

3



gminus1(y) =1

f prime(x)




2 F (x0 y0) = 0 olur

3 partFpartx








iseF (x y f(x y)) = 0 f(x0 y0) = z0


partf

partx(x y) = minus

partFpartx


(x y f(x y))

partf

party(x y) = minus

partFparty


(x y f(x y))


partx= minusFx

Fz

partz

party= minusFy



Alıstırmalar


dxtuumlrevini x = 1




ve partzparty







dx+ bdz

dy= 1



party6= 0 partf



partypartz

partzpartx





D~uf(x0 y0) =d


trarr0


t


Uyarı 5 partfpartx



partf


partf




34 4 HAFTA


limtrarr0


t= lim

srarr0


minuss




5olur

D~uf(1 2) =d


8

5

bulunur




nablaf(x0 y0) =

(partf

partx(x0 y0)

partf

party(x0 y0)




olur


d


ve

D~uf(P0) =d


olur




Oumlrnek 35

f(x y) =

x2yx4+y2

(x y) 6= (0 0)

0 (x y) = (0 0)


Ccediloumlzuumlm

Duf(P0) = limtrarr0

f(0 + tu1 0 + tu2)

t=

u21u2 u2 6= 0

0 u2 = 0




radic22i+

radic22j alırsak


=1radic2

olur


Oumlrnek 36

f(x y) =

xy y 6= 0

0 y = 0






~u =nablaf(P0)


36 4 HAFTA



nablaf(P0)


~u =minusnablaf(P0)

nablaf(P0)




17j olur

Alıstırmalar










5 Hafta




~u = u1i+ u2j + u3k


~0 = 0i+ 0j + 0k


~u =radicu21 + u22 + u23

olarak tanımlanır






2 ~u middot~0 = 0



37

38 5 HAFTA





olur

~u~v

~w = ~v minus ~u

θ








|u1v1 + u2v2 + u3v3| le (u21 + u22 + u23)12(v21 + v22 + v23)12











4 ~0times ~u = ~0





~utimes ~v =

∣∣∣∣∣∣i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣minus j ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣u1 u2v1 v2







~u

~v

h = ~u sin θ

θ







40 5 HAFTA


xminus x0a

=y minus y0b

=z minus z0c



xminus 1

4=y + 1

minus3=z minus 4

7




S

~vP


θ









ax+ by + cz = d





~n =

∣∣∣∣∣∣i j k

2 minus4 4

4 minus1 minus2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k



olarak buluruz

Alıstırmalar












~u)

= (~u ~v cos θ)(~u


~u

~u2

~v

~uiz~u~v

θ





42 5 HAFTA








∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ (9)


6 Hafta

Teget Duumlzlem



f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k










limtrarrt0

f(t) =

(limtrarrt0

x(t)

)i +

(limtrarrt0

y(t)

)j +

(limtrarrt0

z(t)

)k



43

44 6 HAFTA








1



4 bull

f prime(t) =df

dt= lim

hrarr0

f(t+ h)minus f(t)

h




a) ddtc = 0

b) ddt


c) ddt


d) ddt



f) ddt



d

dt(u middot v) =

d

dt(u1v1 + u2v2 + u3v3)


+u1vprime1 + u2v

prime2 + u3v

prime3︸︷︷︸

umiddotvprime

olur

Parametrik Egriler



r(I) =


TEGET DUumlZLEM 45


dr

dt=dx

dti +

dy

dtj




dr

dt= i + 2tj

olur










46 6 HAFTA


















2x2 + y2 = k = 2x20 + y20


r(t) =

radick

2cos ti +







TEGET DUumlZLEM 47



0 =dk

dt=

d

dtf(x(t) y(t)) = fx

dx

dt+ fy

dy


dt

buluruz




= dxdti + dy


partxi + partf


iccedilindx

dt= c2x

dy

dt= c4y


dx=

dydtdxdt

= 2y

x

yanidy

y= 2

dx

x




Yuumlzeyler








48 6 HAFTA


0

5

0

20

40

xy



0

5minus20

0

20

xy








yanix2 + y2 + z2 = 2





f(x(t) y(t) z(t)) = k


partyj + partf


nablaf middot drdt

= 0

olur

TEGET DUumlZLEM 49







olur






olur





olarak yazılır






olur

50 6 HAFTA





Kanıt


(part(f g)

part(y z)part(f g)

part(z x)part(f g)

part(x y)













olur

Alıstırmalar

TEGET DUumlZLEM 51


a) z = x2 + xy (x0 y0) = (1minus1)

b) z = xey (x0 y0) = (1 0)

c) z = x ln y (x0 y0) = (2 1)


3 x2

a2+ y2

b2+ z2



a2+

yy0b2

+ zz0c2





(yx





7-8 Hafta




bull


bull


bull




f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0


f(x)minus f(x0)

xminus x0gt 0

53

54 7-8 HAFTA






bull





2(xminus x0)2



2(xminus x0)2









bull




bull






bull









56 7-8 HAFTA




2






2(AX2 + 2BXY + CY 2) =

A

2

((X +

B

AY

)2

+(AC minusB2)

A2Y 2

)











2) ve ( 1radic

2 1radic

2) noktala-









radic3












Alıstırmalar




yerel maksimum



2 1radic

2)

ve (minus1radic

2minus1radic


radic2 1radic

2) ve(1radic

2minus1radic

2) yerel minimum


58 7-8 HAFTA



4int ba









nablaf middot drdt

= 0


df

dt=partf

partx

dx

dt+partf

party

dy


dt



nablaf = λnablag




8+ y2






h(x) = f(xradic



2 le x le 2radic

2


dh



h(plusmn2radic

2) = 0 h(minus2) = minus2 h(2) = 2





8+ y2

2minus 1 olarak

tanımlayalım


4i + yj)


y = λx

4x = λy

x2

8+y2

2minus 1 = 0


y =λ2



8+ y2

2minus 1 = 0






60 7-8 HAFTA













y = 2λ


9

4λ2+

4

λ2= 1



5 y = plusmn4





Alıstırmalar


9-10 Hafta








mij = infRij

fxy

Mij = supRij

fxy


Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0

mijAlan(Rij)

Uf (P ) =nsumi=0

msumj=0

MijAlan(Rij)




63

64 9-10 HAFTA




prime) le Uf (P )

olur




olur








Lf le Uf

olur


R

f(x y)dA = Lf = Uf

olarak tanımlanır


R


bulunur



Lf (P ) =nsumi=0

msumj=0





f(x y) =







fR(x y) =



B

fdA =

intintR

fRdA

olarak tanımlanır



BfdA =




4sumi=1

intintRi

fRprimedA+

intintR

fRprimedA =

intintR

fRprimedA

66 9-10 HAFTA


R

fRdA =






intintB







Hacim(V ) =

intintR

f(x y)dA

Alan(R) =

intintR

1dA

olarak tanımlanır




1

int 1

0

int 1

radic2

dxdy


0

(1minusradicy

)dy = y minus 2

3y32

∣∣∣10

= 13

2

int π

0

int x

0

x sin ydydx =π2

2+ 2


3int π0

int sinx

0ydydx = π

4





B

f(x y)dA =

int b

x=a

int g2(x)

y=g1(x)

f(x y)dydx

olur


B

f(x y)dA =

int b

y=a

int g2(y)

x=g1(y)

f(x y)dxdy

olur




Ccediloumlzuumlm

intintR

1dA =

int 2

0

int ex

1

dydx =

int 2

0


= e2 minus 3

2

1

e2

y = 1

y = ex

x

y


68 9-10 HAFTA

Oumlrnek 67

int 1

0

int 1

y

sinx



R

sinx


1

1

y = x

x

y


0

int x

0

sinx

xdydx =

int 1

0


= 1minus cos 1


Oumlrnek 68int 1

0


2



minus1 1

12

1y =radic1minus x2

y = 1minusx2

2

x

y

Ccediloumlzuumlm

int 12

0

int radic1minusy2

radic1minus2y

f(x y)dxdy +

int 1

12

int radic1minusy2

0

f(x y)dxdy

Alıstırmalar

1

int 2

0

int 4

2y

exp(minusx2)dA


2

int 1

0

int 1

x2x3 sin(y3)dydx


T6 exp(minusy2)dA








B

f(x y)dA =



part(u v)



Alıstırmalar


olsun

intintR





intintR



paralelkenar olsun

intintR







1

intintintB


2

intintintB

zradicx2 + y2


3

intintintB


boumllge







E


minus1

int 1

y2

int 1minusx0

dzdxdy =int 1

0

int 1minusx0


2int π20

int radic31

int radic4minusr21


71




1

intintintB


2

intintintB



3

intintintB


boumllge

4

intintintB





1

intintintB


2

intintintB


3

intintintB


boumllge

4

intintintB


5

intintintB


boumllge

6

intintintB





hacmini hesaplayın

8

intintintB











part(f g)

part(x y)= det

(part(f g)

part(x y)

)= fxgy minus gxfy



part(u v)



part(f g)

part(u v)6= 0 (10)


g(x y φ(x y) ψ(x y)) = 0(11)


partφ

partx= minus

part(fg)part(xv)

part(fg)part(uv)

partψ

partx= minus

part(fg)part(ux)

part(fg)part(uv)

(12)

partφ

party= minus

part(fg)part(yv)

part(fg)part(uv)

partψ

party= minus

part(fg)part(uy)

part(fg)part(uv)

(13)




veya [fu fvgx gv

] [φxψx

]=

[minusfxminusgx






f(x0 y0 u0 v0) = g(x0 y0 u0 v0) = 0

vepart(f g)

part(u v)6= 0


φ(x0 y0) = u0 ψ(x0 y0) = v0






xv3 + y2u6 = 0



part(f g)


=

∣∣∣∣ x 2yv

6y2u5 3xv2

∣∣∣∣(uvxy)=(0100)

= 0





part(f g)

part(x y)

∣∣∣∣(xy)=(x0y0)

6= 0








part(f g)


∣∣∣∣ 3 sin y + 1

1minus ex minus1

∣∣∣∣(xyz)=(000)

= minus3 6= 0


3dx

dz+ sin y(z)

dy

dz+dy

dz+ ez = 0

dx


1minus ex minus1

] [xprime

yprime

]=

[minusezminus1


dx

dz=

ez + sin y + 1


dz=



buluruz



f1(x1 xn y1 ym) = 0

f2(x1 xn y1 ym) = 0

fn(x1 xn y1 ym) = 0


sunpart(f1 fn)






part(y1 y2)6= 0 ise

party2partx3




Kaynakccedila



77

İccedilindekiler

1 Hafta

Limit

2 Hafta

Suumlreklilik

Kısmi Tuumlrevler

3 Hafta

Tuumlretilebilme

Zincir Kuralı

4 Hafta



5 Hafta


6 Hafta

Teğet Duumlzlem

7-8 Hafta



9-10 Hafta







Kaynakccedila

analiz 4 ders notları - marmara Üniversitesi · 2020. 5. 25. · 4 1. hafta olarak...

Documents