Matematički fakultet u Beogradu

Seminarski rad

Analitička geometrija u prostoruPrava i ravan

Profesor : Student :Dr.Zoran Lučić Košanin Radoje

Niš , 2008

1

SADRŽAJ

Ravan 3

Normalan i opšti oblik jednačine ravni 3Segmentni oblik ravni 9Jednačine ravni koje prolaze kroz datu tačku 11Jednačine ravni koje prolaze kroz 3 date tačke 12

ODNOSI IMEĐU RAVNI 14

Ugao između dve ravni 14Uslovi paralelnosti i normalnosti dve ravni 15Tačke preseka tri ravni 16Snop ravni 17

PRAVE 17

Jednačine prave 17Opšte jednačine prave 21Jednačine prave koje prolaze kroz dve date tačke 23

ODNOS IZMEĐU PRAVIH 24

Ugao između dve prave 24Uslovi paralelnosti i normalnosti dve prave 24Presek dve prave 25

PRAVA I RAVAN 27

Ugao između prave i ravni 27Uslovi paralelnosti i normalnosti prave i ravni 28Presek prave i ravni 28Uslovi da dve prave leže u istoj ravni

LITERATURA 31

2

RAVAN

Normalni i opšti oblik jednačine ravni

Kroz proizvoljno izabranu ravan p konstruisana je, kroz koordinatni početak, na ravan normalna prava l (slika 01) koja je pozitivno usmerena od koordinatnog početka.Prava seče ravan p u tački T, rastojanje ravni od koordinatnog početka jednako je dužini OT, odnosno t.Ravan je određena rastojanjem od koordinatnog početka (t) i uglovima koje prava l gradi sa koordinatnim osama (, , ).

Slika 01Neka je zadata proizviljlna tačka M, Mp, pri čemu se njene koordinate menjaju,

ali ostaju povezane određenim uslovom.Posmatrajmo izlomljenu liniju OPSM proizvoljne tačke M ravni i njenu projekciju na pravu l. Projekcija izlomljene linije jednaka je projekciji njenog spoljnog odsečka , dakle: _____ ___ __ pr OPSM = pr OM =OT = t (1)

Možemo pisati i: ___ ___ ___ _____pr OP + pr PS + pr SM = pr OPSM = t (2)

Kako je projekcija duži jednaka proizvodu njene dužine i kosinusa ugla, koji ona zaklapa sa osom projekcije, zamenom u jednakosti (2) dobijamo:

xcos + ycos + zcos = t xcos + ycos + zcos - t = 0 (3)

Ako je r radijus vektor tačke M(x, y, z) i (, , ) jedinični vektor prave l, jednačina (3) postaje: – t = 0 (3’)

3

Jednačinu (3’) možemo izvesti i vektorskom metodom.Položaj ravni p u prostoru biće potpuno određen ako zadamo njenu razdaljinu t od početka O (slika 02) odnosno dužinu normale OT, i jedinični vektor normalan i usmeren od početka O prema ravni.

Slika 02 Kada se zadaje proizvoljna tačka M, njen radijus vektor se menja ,ostajući uvek

vezan određenim uslovom. Očigledno je da za svaku tačku M( ), koja leži u ravni, važi:

= OT = t (*)

Takav uslov važi samo za tačke ravni, jednakost (*) izražava osobinu, zajedničku

svim tačkama ravni, i to samo njima. Kako je = , jednačina (*) se može zapisati :

- t = 0 (3’)Jednačina (3’)izražava uslov, uz koji tačka M(r) pripada datoj ravni i zove se

normalna jednačina ravni.Radijus-vektor proizvoljne tačke M zove se tekući radijus-vektor.

Za t = 0 ravan prolazi kroz tačku O. U tom slučaju može se uzeti bilo koji smer jediničnog vektora.

Jednačina (3) izražava uslov, pod kojim tačka M(x, y, z) pripada ravni p i zove se normalna jednačina ravni. Jednačina (3) je prvog stepena u odnosu na x, y, z što znači da svaka ravan može biti predstavljena jednačinom prvog stepena u odnosu na tekuće koordinate.

Dokažimo sada suprotno: da svaka jednačina prvog stepena sa 3 promenjive određuje ravan. Posmatrajmo jednačinu prvog stepena opšteg oblika : Ax + By + Cz + D = 0 (4)

Razmatraćemo A, B, C kao projekcije na koordinatne ose Ox, Oy, i Oz nekog

4

konstantnog vektora , a x, y, z kao projekcije radijus vektora tačke M.Tada jednačinu (4) možemo izraziti u vektorskom obliku: (5)

Sada razmotrimo sledeće slučajeve:1. D < 0

Tada ćemo podeliti jednačinu (5) sa modulom vektora , odnosno m. Dobićemo:

gde je jedinični vektor. Označimo negativan broj sa –t dobićemo normalnu

jednačinu u vektorskom obliku (3’) :

2.D > 0Jednačinau (5) podelićemo sa –m, tako da ona dobija oblik

Ako označimo sa t ponovo dobijamo jednačinu (3’).

3.D = 0

Tada jednačinu (5) možemo podeliti sa m ili –m i u oba slučaja dobićemo jednačinu (3’)Dakle, jednačina (5) uvek može da se svede na normalan oblik (3’). To znači da

jednačina (5), a samim tim i jednačina (4), određuju ravan.Jednačina prvog stepena sa tri promenjive određuje ravan i predstavlja opšti oblik jednačine ravni.

Neka je svaki vektor, različit od nultog, i normalan na ravan, normalni vektor ravni.Tada će vektor {A, B, C} biti jedan od normalnih vektora ravni. Tada koeficijenti A, B, C, u jednačini (4) predstavljaju projekcije normalnog vektora na koordinatne ose. Apsolutna vrednost slobodnog člana D podeljena dužinom vektora m jednaka je rastojanju ravni od koordinatnog početka.

Normalna jednačina ravni (3) je samo poseban slučaj opšte jednačine (4). To je je slučaj kada je za normalni vektor ravni uzet jedinični vektor, usmeren iz koordinatnog početka, normalno na datu ravan. Da bi se opšta jednačina ravni svela na normalan oblik treba je podeliti dužinom vektora {A, B, C}, uzimajući znak + ili -, zavisno od toga dali je slobodan član D negativan ili pozitivan.Dakle, da bi se opšta jednačina (4) prvog stepena svela na normalan oblik, treba je pomnožiti sa množiocem M, pri čemu je znak množioca suprotan znaku slobodnog člana D u jednačini (4) (ako je D = 0 znak se uzima proizvoljno). Množilac M se zove normirajući množilac :

2 2 2

1M =

A B C

(6)Posle množenja sa M, jednačina (4) dobija oblik :

5

MAx + MBy + MCz + MD = 0 I podudara se sa normalnom jednačinom (3). Prema tome :

MA=cosα, MB=cosβ, MC=cosγ, MD tAko formulu M(6) stavimo u predhodnu jednakost, dobićemo formule

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

cos ,cos

cos ,

A B

A B C A B CC D

tA B C A B C

(7)

Svodjenje opšte jednačine na normalni oblik moguće je i bez vektorske metode.Ako pomnožimo jednačinu (4) konstantnim množiocem M, izabravši ga tako da dobijamo normalnu jednačinu oblika (3) , jednačina (4) imaće oblik

MAx + MBy + MCz + MD = 0 (**)

Da bi jednačina (**) bila istog oblika kao jednačina (3) treba biti :

MA=cosα, MB=cosβ, MC=cosγ, MD t (***)

Iz jednakosti (***) izrazićemo nepoznate M, , , i t pomoću poznatih koeficijenata,A, B, C, D ako upotrbimo pomoćnu jednakost

2 2 2cos cos cos 1 Ako kvadriramo i saberemo jednakosti (***) dobijamo:

2 2 2

1M =

A B C

Pri čemu se iz poslednje jednakosti (***) vidi da znak u poslednjoj jednačini treba da je suprotan od znaka slobodnog člana.Stavljajući vrednost za M u jednakosti (***) dobićemo formule (7).

Ako dve jednačine određuju istu ravan, odgovarajući koeficijenti su im proporcionalni jer kad ih svedemo na normalni oblik imaće istu normalnu jednačinu.

6

Pogledajmo sada kakav položaj u odnosu na koordinatne ose zauzima ravan zadata jednačinom (4), ako neki koeficijenti te jednačine prelaze u nulu.

Ako je D = 0 , onda je jednačina (4) zadovoljena za x = y = z = 0, odnosno ako ravan prolazi kroz koordinatni početek. Ako je C = 0, onda jednačina (4) glasi:

Ax +By +D = 0 (8)

Ako bismo tu jednačinu posmatrali u ravni xOy, imali bismo pravu liniju. Ali, ako posmatramo jednačinu (8) u prostoru, imamo geometrisko mesto tačaka koje se projektuje na ravan xOy kao tačke navedene prave. Dakle jednačina (8) određuje ravan paralelnu osi Oz. Analogno tome, ako je B = 0 jednačina :

Ax + Cz + D = 0

oređuje ravan paralelnu sa osom Oy, a za A = 0 jednačina : By + Cz + D = 0

Određuje ravan paralelnu Ox osi.Uopšteno, ako jednačini ravni nedostaje koordinata x, y ili z, ravan je paralelna sa, redom Ox, Oy ili Oz osom.

Sada predpostavimo da su dva koeficijenta jednaka nuli.Ako je D = C = 0 jednačina

Ax + Cz = 0

predstavlja jednačinu ravni koja prolazi kroz osu Oy, kao što je jednačinom

By + Cz = 0

određena ravan koja prolazi kroz osu Ox.Ako su dva koeficijenta uz koordinate jednaka nuli, npr. A = B = 0, onda

jednačina : Cz + D = 0

određuje ravan paralelnu paralelnu i Ox i Oy osi, odnosno pravu paralelnu ravni xOy. Isto tako jednačine

By + D = 0 i Ax + D = 0određuju ravni koje su, redom paralelne ravnima xOy i yOz.

Ako su tri koeficijenta jednaka nuli, npr. B = C = D = 0, jednačina Ax = 0 ili x = 0 određuju koordinatnu ravan yOz. Dakle By = 0 biće jednačina koordinatne ravni xOz, a Cz = 0 jednačina koordinatne ravni xOy. Primeri :1.Jednačinu ravni x -2y +2z -3 = 0 dovesti na normalan oblik.

Normirajući množilac biće :

Kada njime pomnožimo jednačinu , dobićemo : . Za ravan biće :

7

2.Skicirati ravni () : z = 1, () : x = 1, () : y= -1, () : x + y =1

║xOy,(0,0,1) ║ yOz, (1,0,0)

║xOz, (0,-1,0) ║Oz,(l): x + y = 1

Segmentni oblik jednačine ravni

8

Posmatrajmo ravan koja preseca sve tri koordinatne ose i ne prolazi kroz koordinatni početak.Tada je njena jednačina :

Ax + By + Cz + D = 0 (9)

pri čemu nijedan od koeficijenata A, B, C, D nije jednak nuli. Neka su a, b, i c dužine odsečaka koje ravan odseca na koordinatnim osama (slika 03).Kako tačka P(a, 0,0) pripada ravni, njene koordinate zadovoljavaju jednačinu (9). Dakle Aa + D = 0 ili:

(10)

I,analogno tome, za tačku Q(0, b, 0) važi Bb + D = 0 ili:

(10’)

kao i za tačku R (0, 0, c) važi Cc + D = 0 ili

(10”)

Ako zamenimo vrednosti dobijene u jednačinama (10), (10’), (10”), u jednačini (9) dobijamo :

Slika 03Kada skratimo sa –D koje po predpostavci nije jednako nuli, dobijamo :

9

(11)

Ovakva jednačina predstavlja segmentni oblik jednačine ravni.

Primeri:3.Jednačina ravni 3x – 4y + z – 5 = 0 napisati u segmentnom obliku.

Za y = z = 0 dobićemo a: Isto tako :

Jednačina ravni u segmentnom obliku biće :

4.Napisati u segmentnom obliku jednačinu ravni 5x - 2y + 8z + 4 = 0. Ako podelimo jednačinu sa -4, imaćemo :

Pa odatle odmah dobijamo segmentni oblik jednačine ravni :

Jednačina ravni koja prolazi kroz datu tačku

Razmotrimo situaciju kada je potrebno pronaći jednačinu ravni koja prolazi kroz

datu tačku M1, koja je određena radijus-vektorom .Uzmimo proizvoljni

vektor ≠0 i nađimo jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku M1 i normalna je

na vektor (slika 04). Označimo takvu ravan sa p .

Neka je sada radijus-vektor bilo koje tačke M ravni p. Tada će vektor

biti jednak razlici vektora i i normalan na vektor . Onda će njihov skalarni

proizvod biti jednak nuli:

( - ) = 0 (12)

Ova jednakost važi za sve tačke ravni p, a ne važi za tačke van te ravni.

10

Kada izrazimo skalarni proizvod u jednačini (12) u koordinatnom obliku dobijamo:

A(x - x1) + B(y - y1)+ C(z - z1) = 0 (12’)

Slika 04

Menjajući vrednosti A, B, C odnosno brisanjem proizvoljnog vektora m dobijaju se različite ravni koje prolaze kroz tačku M1.

Jednačinu ravni koja prolazi kroz datu tačku možemo izvesti i bez vektorske

metode. Ako je potrebno odrediti jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku ,

predpostavimo da je ta jednačina oblika :

Ax + By + Cz + D = 0

Prema uslovu tačka M pripada ravni pa važi:

Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0

Ako oduzmemo ovu identičnost od polazne jednačine, dobićemo :

A(x - x1) + B(y - y1)+ C(z - z1) = 0

Gde su A, B, C proizvoljni. Na ovaj način poslednja jednačina predstavlja jednačinu ravni, koja prolazi kroz tačku M za proivoljne vrednosti A, B, C (osim A = B = C = 0).

Primer :5.Sastaviti jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku M(5,6,7).

Jednačina te ravni je A(x - 5) + B(y - 6) + C(z - 7) = 0.

11

Jednačine ravni koja prolazi kroz tri date tačke

Neka je potrebno naći jednačinu ravni koja prolazi kroz tri date tačke, koje ne

pripadaju jednoj pravoj. Označimo njihove radijus-vektore sa , a tekući radijus-

vektor sa .Vektori - , , , moraju biti ,jer svi leže u istoj ravni, pa je

vektorsko-skalarni proizvod ovih vektora jednak nuli :

(( - ) ( )) ( ) = 0 (13)

Ovo je jednačina ravni kroz tri date tačke određene radijus-vektorima date u

vektorskom obliku. U koordinatnom obliku dobijamo

(13’)

Gde su , , , .Ako bi tri date tačke ležale

na istoj pravoj, vektori i bili bi kolinearni.Onda bi odgovarajući elementi

dve poslednje vrste determinante jednačine (13’) bili proporcionalni, a determinanta identično jednaka nuli. Dakle, kroz svaku tačku u prostoru prolazi ravan kojoj pripadaju i tri tače jedne prave.

Izvedimo bez vektora, Ako označimo koordinate tri date tačke sa napisaćemo jednačinu svake ravni koja prolazi kroz prvu

tačku :

A(x - x1) + B(y - y1)+ C(z - z1) = 0 (#)

Sada je potrebno da ova jednačina bude zadovoljena za druge dve tačke

(##)

Iz jednačine (##) odrediti treba odrediti odnos dva koeficijenta prema trećem i dobijene vrednosti uneti u jednačinu (#).

Primeri:

12

6.Sastaviti jednačinu ravni koja prolazi kroz tačke A(1,2,3), B(-1,0,0), i C(3,0,1).Unesimo koordinate u determinantu :

7.Sastaviti jednačinu ravni koja prolazi kroz tačke (0,0,0), (1,1,1) i (2,2,2).

0x - 0y – 0z = 0Identitet pokazuje da postoji bezbroj ravni koje prolaze kroz date tačke, jer su one kolinearne.8.Sastaviti jednačinu ravni koja prolazi kroz tačke (1,1,-1), (3,-4,-2), (-3,0,1).

Ova ravan je normalna na ravan x0z.

ODNOSI IZMEĐU RAVNI

13

Ugao između dve ravni

Neka su jednačine dve date ravni:

i (14)Pod uglom između dve ravni podrazumeva se svaki od dva susedna prostorna

ugla koje te ravni zatvaraju(u slučaju paralelnosti ravni možemo smatrati da je ugao između njih jednak nuli ili ). Jedan od tih prostornih uglova je jednak uglu φ između vektora {A1,B1,C1} i {A2,B2,C2} koji su normalni na date ravni. Ugao φ biće :

(15)

Možemo izračunati i bez vektora. Ako je jedan od susednih prostornih uglova, koje obrazuju ravni, jednak uglu između normala konstruisanih iz koordinatnog početka na te ravni, i ako su jednačine ravni :

Onda će biti :

Ako u poslednjoj jednačini unesemo formule (7), dobijamo :

gde znak + ili – odgovara izabranom susednom prostornom uglu između ravni.

Uslovi paralelnosti i normalnosti dve ravni

Ako su dve ravni sa jednačinama (14) normalne, ugao između njih je , odnosno . Ako ovo iskoristimo u jednačini (15) dobićemo uslov normalnosti dve ravni :

(16)

Isto ćemo dobiti i ako imamo na umu da skalarni proizvod normalnih vektora ravni {A1,B1,C1} i {A2,B2,C2} mora biti jednak nuli.

14

Uslov paralelnosti možemo napisati u vektorskom obliku: , gde su i

vektori koji polaze iz koordinatnog početka i normalni su na dve ravni. Kada

pređemo na projekciju, dobićemo :

To odgovara uslovu :

(17)

Primeri:9. Odreditiuglove između ravni 4x-5y+3z=0 i 2x+3y-z-13=0.

10.Odrediti jednačinu ravni, koja prolazi kroz datu tačku (4,-1,2) i paralelna je sa ravni 7x+5y-4z+13=0

A(x-4) + B(y+1) + C(z-2) = 0, a po uslovu paralelnosti :A=7, B=5 ,C=-4.Odakle dobijamo jednačinu ravni :

7(x - 4) + (y + 1) - 4(z - 2) = 07x + 5y - 4z - 15 = 0

Tačke preseka tri ravni

Da bismo našli koordinate tačke preseka tri ravni sa jednačinama :

Potrebno je režiti ovaj sistem po x,y i z jer tačka preseka tri ravni mora mora zadovoljiti sve tri jednačine ravni.U opštem obliku poslužićemo se determinantama. Ako je determinanta Δ,

Različita od nule, tri date ravni seku se samo u jednoj tački. Ako je determinanta Δ jednaka nuli,ali je bar jedan od njenih minora različitih od nuke, onda te tri ravni ili nemaju zajedničku tačku, ili se seku u bezbrojtačaka. U prvom slučaju, ako među determinantama trećeg reda, koje pripadaju šemi

15

Postoji bar jedna koja se razlikuje od nule, tada je jedna od ravni paralelna liniji preseka druge dve.U drugom slučaju sve determinante trećeg reda, koje odgovaraju datoj šemi su jednake nuli, a u preseku tri date ravni se nalazi prava.

Ako je determinanta Δ zajedno sa svim svojim minirima jednaka nuli, tri date ravni ili nemaju ni jednu zajedničku tačku ili se seku u bezbroj tačaka. U prvom slučaju, između determinanti drugog reda, koje pripadaju datoj šemi postoji bar jedna različita od nule, i tada su sve tri ravni međusobno paralelne, dok su, u drugom slučaju, sve determinante drugog reda date šeme jednake nuli, a tri date ravni su podudarne.

Primer : 12.Odredi tačku preseka ravni

.Lako se dobija x = 1, y =14, z = 2, pa je presečna tačka (1,1,2)

Snop ravniAko su ravni i , sa jednačinama (14), seku u jednoj pravoj l, kroz tu pravu se može

povući beskonačno mnogo ravni (snop ravni ). Ako jednačina ravni pomnožimo sa λ i

saberemo sa jednačinom ravni dobićemo

(18)

Ovo je linearna jednačina po x pa predstavlja ravan. Za različite vrednosti λ

dobićemo jednačinu ravni koja prolazi kroz pravu l uključujući i ravan ( za λ=0). Da

bi jednačina snopa ravni bila potpuna pišemo :

(18’)

Primer:13.Sastavljati jednačinu ravni koja prolazi kroz pravu i presek ravnix+y-z=0 i x-y+z-1=0 i tačku (1,1,-1).

Jednačina snopa ravni kroz datu pravu jex+y-z+ λ(x-y+z-1)=0 , a iz uslova da ravan prolazi kroz datu tačku dobijamo jednačinu ravni :

16

Prava

Jednačina prave

Položaj prave u prostoru biće potpino određen ako na pravoj zadamo tačku , određenu

radijus-vektorom i vektor (različit od nultog) koji je paralelan sa pravom (slika 05).

Vektor je usmerujući vektor prave. Promenjivoj tački M prave odgovara njen

radijus-vektor , pa se dobija :

(19)

Kako je vektor paralelan vektoru možemo pisati :

Pri čemu je množilac t proizvoljan. Dakle jednakost (19) možemo zapisati kao :

(20)

17

Jednačina (20) predstavlja vektorsku jednačinu prave.Da bi napisali jednačinu u koordinatnom obliku, predpostavimo da su koordinatne

tačke , tačke i vektora .Tada ćemo , izrazivši jednačinu

(20) u projekcijama dobiti :

, , (21)

Kada se parmetar t menja, tačka sa koordinatama x,y,z određenim jednačinama(21), kreće se po datoj pravoj p. Jednačina (21) zove se parametarska jednačina prave. Kako su m,n,p projekcije usmerujućeg vektora , kome je prava paralna , brojevi m,n,p određuju orjentaciju prave u prostoru i to su usmerujući koeficijenti prave. Za jedinični vektor usmerujući koeficijenti postaju kosinusi uglova ,,, koje dati vektor (a samim tim i prava p) zaklapa sa koordinatnim osama.U tom slučaju jednačine (20) i (21) dobijaju oblik :

(20’)

(21’) Gde parametar t ima jednostavni geometriski smisao : on predstavlja rastojanje promenjive tačke M od tačke M0 (a,b,c), tačnije njegovu apsolutnu vrednost, jer znak te

vrednosti zavisi od toga dali je vektor usmeren isto ili suprotno u odnosu na

vektor . Pokušajmo da na osnovu poslednjih jednačina (20’) i (21’) odredimo

ako su poznati m,n,i p .Biće :

gde je s gužina vektora . Ako poslednju jednačinu napišemo sa projekcijama, biće:

, , (22)

Dakle, m, n, p su proporcionalni kosinusima pravca prave, a kao množilac

proporcionalnosti služi , odnosno dužina vektora . Iz

jednakosti (22) dobijamo :

(23)

18

Prema tome, smer prave u prostoru određuje odnos usmerujućih koeficijenata m : n : p, pa je dužina usmerujućeg vektora proizvoljna.

Iz jednačine (21) i (21’) možemo odrediti pravu pomoću sistema od dve jednačine prvog stepena sa tekućim koordinatama. Dobijamo ih kada iz jednačine (21) ili (21’)Isključimo parametar t. Tako iz jednačine (20)dobijamo :

, ,

(24)

Jednačina (26) predstavlja kanonički oblik jednačine prave. U posebnom slučaju, koji predstavlja jednačina (20’) i (21’)

Sistem dve jednačine (24) predstavlja pravu kao presek dve ravni određene jednačinama:

(24’)

U kanoničkim jednačinama svi koeficijenti (m, n, p) ne mogu se u isto vreme zameniti nulom, jer .Ali neki od njih mogu biti jednaki nuli. U tom slučaju jednačina ravni (24) posmatra se uslovno.

Za i biće :

n (x - a) = 0 (y - b)

odnosno (x - a) = 0. Jednakost i (x - a) = 0 dovode do istog zaključka: prva prikazuje da je prava normalna na osu Ox, a druga da prava leži u ravni normalnoj na tu osu.

Jednačine prave možemo izvesti I vektorske metode. Nje na pravoj p (slika06)

data tačka i promenjiva tačka .

19

Slika 06

Neka su uglovi koje prava zaklapa sa koordinatnim osama ,, I d rastojanja

. Projekcija duži redom su jednake : x-a, y-b, z-c. Prema formulama za

projekciju duži biće :

, , .

Iisključivanjem parametra d dobićemo :

Poslednja jednačina svodi se na jednačinu (24) množenjem imenilaca istim proizviljnim brojem s.

Primer:

14.Odrediti uglove prave zaklapa sa koordinatnim osama.

Opšte jednačine prave

Daje prava sa jednačinama (24’), uz uslov da parametar p nije jednak nuli, odnosno da prava nije paralelna ravni xOy. Tada jednačina (24’) potpuno određuje pravu.

20

Svaka od njih određuje ravan, pri čemu je prava paralelna osi Oy, adruga paralelna osi Ox.

Na taj način predstavljanjem prave preko jednačina (24’), mi je posmatramo kao presek dve ravni, koje projektuju tu pravu na ravni koordinata xOy i yOz. Prava od jednačina (24’)posmatrana u ravni xOz određuje projekciju date prave na tu ravan, isto kao što drugu jednačina posmatrana u ravni yOz, predstavlja projekciju prave na tu ravan.Dakle zadati jednačine prave u obliku (24’) znači zadati njene projekcijena koordinatne ravni xOz i yOz.

Ako bi usmerujući koeficijent p bio jednak nuli, onda bi obavezno bar jedan od druga dva bio različit od nule. Dakle, prava ne bi bila paralelna ravni yOz. U tom slučaju pravu bi odredjivale ravni koje je projektuju na ravni xO i xOy, napisane u obliku:

,

Prema tome, svaka prava može biti izražena pomoću jednačina dve ravni, koje prolaye kroz nju i proektuju je na kordinatne ravni. Ali pravu je moguće odrediti ne samo pomoću ovakve dve ravni. Kro svaku pravu prolazi bezbrj ravni. Bilo koje dve od njih u svom preseku odredjuju pravu u prostoru. Dakle, jednačine bilo koje dve ravni, posmatrane zajedno, predstavljaju jednačine te ravni. Uopšteno, bilo koje dve neparalelne ravni sa opštim jednačinama

(25)

odredjuju pravu u svom preseku. Jednačine (25) , posmatrane zajedno, predstavljaju opšte jednačine prave.

Da bi se sa opštih šprešlo na kanoničke obilke prave potrebno je znati usmerujući vektor i neku tačku prave. Kordinate tačke nalaze se iz sistema (25) tako što jednu kordinatu odredimo proizvoljno. Usmerujući vektor prave mora biti normalan na

normalne vektore ravni i Za usmerujući vektor prave treba

uzeti vektorski proizvod i .

Od opštih jednačina prave (25) možemo preći na kanonički i bez vektora. Izrazimo u jednačini (24’) x i y pomoću z:

(*)pri čemu je :

,

,

21

Jednačina (*) predstavlja prave u projekcijama na ravni xOy i yOz, pa određuju i samu pravu i zovu se ugaoni koeficijenti prave, xo i yo predstavljaju koordinate trsaga date prave u ravni xOy.

Rešavanjem jednačina (*) po z, dobijamo :

,

i konačno, u kanoničkom obliku:

= = .

Primeri:15.Svesti na kanonički oblik jednačine prave x=3z-2 i y = -2z + 1.

Rešavanjem po z dobićemo

,

Odatle je = = .

16.Svesti jednačinu prave na opšti oblik.

,

17.Svesti na kanonički oblik jednačine prave 2x+y-z+1=0 i 3x-y+2z-3=0.Rešavanjem date jednačine po x i y, dobijamo

Ako sada izrazimo z, dobićemo jednačinu u kanoničkom obliku:

Jednačina prave koja prolazi kroz dve date tačke

22

Neka su date tačke i . Jednačine prave koja prolazi

kroz ove tačke dobićemo u kanoničkom obliku.Dovoljno je da za usmerujući vektor

prave uzmemo vektor . Njegova projekcija na koordinatne ose biće :

, , a jednačina tražene prave imaće oblik :

(26)

Isto se može dobiti i bez vektorske metode. Jednačina prave koja prolazi kroz tačku

biće:

Kako tačka propada pravoj, važiće i :

Upoređivanjem ove dve jednakosti, dobićemo(26).

Primer :18.Sastaviti jednačinu prave koja prolazi kroz koordinatni početak i tačku (2, 3, 4)

Tražena prava ima jednačinu

Odnos između pravih

Ugao između dve prave

Pod uglom između dve prave u ptostoru podrazumeva se svaki ugao, koji zaklapaju dve prave,povučene kroz proizvoljnu tačku, paralelno datim pravama.Pri tome se ugao uzima u granicama od 0 do .

Neka su date prave jednačinama:

i

23

Za ugao φ imeđu datih pravih možemo uzeti ugao između njihovih usmerujućih

vektora i ili ugao koji ga dopunjava do . Imaćemo :

(27)

U formuli (27) znak se uzima proizvoljno, prema izboru jednog od dva različita ugla između datih pravih.

Uslovi paralelnosti i normalnosti dve prave

U slučaju normalnosti pravih cosφ = 0, pa se iz formule (27) dobija uslov :

(28)

Isto ćemo dobiti i ako uzmemo u obzir da skalarni proizvod usmerujućih vektora

i mora biti jednak nuli.

Kako se položaj prave određuje odnosima m : n : p, uslov paralelnosti dve prave biće:

(29)

Isto se dobija i ako se zna da vektori i moraju biti kolinearni.

Presek dve prave

Svake dve prave u prostoru seku se ako nisu paralelne.Međutim, u prostoru prave se seku i ako nisu mimoilazne.

Neka su dve prave date u parametarskom obliku :

Predpostavimo da se prave seku u tački S(x, y, z). Onda je

Odnosno:

Ako takozvabe homogene nepoznate:

24

Pri čemu , uvedemo u predhodnu jednačinu dobićemo :

Dobili smo tri linearne homogene jednačine sa tri nepoznate x, y, z. Takav sistem ima različita rešenja ako je determinanta sistema jednaka nuli. Dakle :

Ako promenimo međusobni raspored prve i treće kolone, a zatim rotiramo determinantu za oko dijagonalnih članova, dobićemo :

(30)

Jednačina (30) postavlja uslov da se dve prave seku u jednoj tački, odnosno da se ne mimoilaze, Ako je taj uslov ispunjen , iz bilo koje od dve jednačine pravih izračunaćemo one vrednosti parametara i , koje odgovaraju traženom preseku dve prave, a onda i koordinate x, y, z presečne tačke S.

Primeri :19.Napisati jednačinu prave koja prolazi tačku (2, -3, 4) i paralelna je sa pravom

.

Jednačina tražene prave biće

20.Dokazati da se prave i seku i odrediti tačku

njihovog preseka.

Prave se seku. Da bismo odredili tačku preseka prelazimo na parametarski oblik

25

Izjednačavanjem dobijamo :

Tražena tačka preseka biće (1, -2, 3)21.Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku (2, 2, -2) i seče prave

i

Jednačina tražene prave ima oblik . Kako prava seče date

prave, važiće :

i

Odavde izrazimo a, b, c.

Ako jednačina oblika podelimo sa c i zamenimo dobijene vrednosti,

dobićemo jednačinu tražene prave

.

PRAVA I RAVAN

Ugao između prave i ravni

Neka su jednačine prave i ravni

26

(31)

Ugao između prave i ravni računaćemo kao bilo koji od dva suplementna ugla koje pravazaklapa sa svojom projekcijom u ravni .

Nađimo sinus ugla φ (možemo smatrati da je , jer su sinusi suplementnih uglova

jednaki). Lako ćemo izračunati kosinus ugla , jer je to ugao (slika 07) između prave

inormale na ravan, pa se kosinus nalazi iz usmerujućih koeficijenata A, B, C normale na ravan i usmerujućih koeficijenata m, n, p date prave. Pri tome znamo da je

, pa dobijamo :

(32)

Brojilac je uzet u apsolutnoj vrednosti jer je .

Uslovi paralelnosti i normalnosti prave i ravni

U slučaju paralelnosti prave i ravni sa jednačinama (31) ugao između njih je jednak nuli, , pa se iz formule (32) dobija uslov :

(33)

27

Do istog zaključka dolazimo i kada posmatramo vektore {A, B, C} i {m, n, p}, koji su normalni pa njihov skalarni proizvod mora da bude jednak nuli.

Uslov normalnosti prave i ravni podudarase sa uslovom paralelnosti te prave i normale na ravan :

(34)

Presek prave i ravni

Koordinate preseka prave i ravni, zadatih jednačinama (31), moraju istovremeno zadovoljavati jednačine prave i ravni. Da bismo odredili te koordinate treba rešiti sistem (31) po x, y, z.

x = a + mt, y = b + nt, z = c + pt.Kada ove vrednosti x, y, z ubacimo u jednačinu ravni, biće:

A(a + mt) + B (b + nt) + C(c + pt) + D = 0

Aa + Bb + Cc + D = t( Am + Bn + Cp ) = 0

Odakle dobijamo izraz za t :

(35)

Zamenom vrednosti t u parametarskim jednačinama dobijamo koordinate presečne tačke.Ako je (Am+Bn+Cp) 0 onda t izračunavamo po formuli (35). U tom slučaju

prava i ravan se seku u jednoj tački. U slučaju da je :

(Am+Bn+Cp) = 0 i Aa + Bb + Cc + D 0

Prava je paralelna ravni, a tačka (a, b, c) kroz koju prolazi data prava, leži van ravni, pa prava i ravan nemaju zajedničkih tačaka. Ako je :

(Am+Bn+Cp) = 0 i Aa + Bb + Cc + D =0

Prava je paralelna datoj ravni i prolazi kroz tačku (a, b, c) koja leži u toj ravni. Dakle prava leži u ravni.

Uslov da dve prave leže u istoj ravni

Neka su dve prave zadate jednačinama:

28

i

Ozmačimo usmerujući vektor prave od njih sa , a drugi sa . Prva prava prolazi kroz

tačku čiji ćemo radijus-vektor označiti sa . Druga prava prolazi kroz tačku

njen radijus-vektor ćemo označiti sa . Povucimo vektor iz tačke

u tačku . On će biti jednak - , a njegova projekcija

Prave leže u istoj ravni samo ako su vektori , i - komplanarni. Traženi uslov

postoji ako je mešoviti proizvod ta tri vektora jednak nuli, odnosno ako je :

(36)

Primeri :22.Sastaviti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku (1, 1, 1) i seče prave

Jednačina prave je oblika . Uslov da prava leži sa pravom od

datih pravih u istoj ravni je

ili 2a + 4b + c = 0

Isto tako i za drugu ravan važi :

ili a – 2b +c = 0 .

Odnois dobijemo kada podelimo dve jednačine sa c

Jednačina tražene prave je oblika

23. Sastaviti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku (1, 1, 1), seče pravu , a

normalna je na pravu .

29

Jednačina tražene prave je oblika , gde se odnos a : b : c

određuje iz uslova a - 2b + c = 0 , 2a + b + 4c = 0.

a : b : c = 9 : 2 : (-5)

Jednačina tražene prave : .

24.Sastaviti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku (a, b, c) paralelno ravni Ax + By + Cz + D = 0.

Jednačina prave je oblika . Uslov paralelnosti prave i ravni

je Am + Bn + Cp = 0. Ako je m, n, p zamenimo proporcionalnim velićinama dobićemo rešenje : A(x - a) + B(y - b) + C(z - c) = 0.

25.Odrediti ugao između prave i ravni 2x – 6y +3z -7 =0.

26.Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku (-2, -1, 3) i paralelna je sa ravnima 5x – y – z + 4 = 0 i x + 3y + 2z -7 = 0.

Jednačina prave je oblika Uslovi paralelnosti su

. Odavde računamo . Zamenom u prvobitnom obliku

dibijamo rašenje :

27. Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku (3, -2, 1), a normalna je na ravan 3x + 4y – z + 3 = 0.

Jednačina prave je oblika Iz uslova normalnosti

Ako a, b, c zamenimo proporcionalnim izrazima dobijamo rešenje :

30

Literatura

Dr Radivoje KašaninVIŠA MATEMATIKA I,treće izdanjeNaučna knjiga Beograd, 1949.

Dr Boris ApsenREPETITORIJ VIŠE MATEMATIKE ,treći deoTehnička knjiga Zagreb, 1972

Pavle M. Miličić, Momčilo P. UščumlićZBIRKA ZADATAKA IZ VIŠE MATEMATIKE I, XVI izdanje IP “Nauka”, Beograd, 1993.

I.I.PrivalovANALITIČKA GEOMETRIJA Zavod za izdavanje udžbenika , Sarajevo, 1968

Dr Zoran P. Rakić ANALITIČKA GEOMETRIJA, PredavanjaMatematički fakultet Univerziteta u Beogradu 2007.

31