analisisanalisis rangkaian listrik - "darpublic" at ee … satu macam rangkaian mempunyai...

2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

AnalisisAnalisisAnalisisAnalisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikRangkaian ListrikRangkaian Listrik

Di Kawasan s

Sudaryatno Sudirham

4-1

BAB 4 Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde

Pertama

Sebagaimana kita ketahui, kondisi operasi normal rangkaian pada

umumnya adalah kondisi mantap dan dalam operasi tersebut banyak

digunakan sinyal sinus baik pada pemrosesan energi maupun

pemrosesan sinyal listrik. Dalam teknik energi listrik, tenaga listrik

dibangkitkan, ditransmisikan, serta dimanfaatkan dalam bentuk

sinyal sinus dengan frekuensi yang dijaga konstan yaitu 50 atau 60

Hz. Dalam teknik telekomunikasi, sinyal sinus dimanfaatkan dalam

selang frekuensi yang lebih lebar, mulai dari beberapa Hz sampai

jutaan Hz. Untuk hal yang kedua ini, walaupun rangkaian beroperasi

pada keadaan mantap, tetapi frekuensi sinyal yang diproses dapat

bervariasi ataupun mengandung banyak frekuensi (gelombang

komposit), misalnya suara manusia ataupun suara musik. Karena

impedansi satu macam rangkaian mempunyai nilai yang berbeda

untuk frekuensi yang berbeda, maka timbullah persoalan

bagaimanakah tanggapan rangkaian terhadap perubahan nilai

frekuensi atau bagaimanakah tanggapan rangkaian terhadap sinyal

yang tersusun dari banyak frekuensi. Dalam bab inilah persoalan

tersebut akan kita bahas.

4.1. Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus Keadaan

Mantap

Pernyataan di kawasan s dari sinyal masukan berbentuk sinus x(t) =

Acos(ωt+θ) adalah (lihat tabel Transformasi Laplace) :

22

sincos)(

ω+

θω−θ=

s

sAsX (4.1)

Jika T(s) adalah fungsi alih, maka tanggapan rangkaian adalah

4-2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

)())((

sincos

)(sincos

)()()(22

sTjsjs

sA

sTs

sAssTs

ω+ω−

θω−θ=

ω+

θω−θ== XY

(4.2)

Sebagaimana telah kita bahas di bab sebelumnya, T(s) akan

memberikan pole-pole alami sedangkan X(s) akan memberikan pole

paksa dan pernyataan (4.2) dapat kita uraikan menjadi berbentuk

n

n

ps

k

ps

k

ps

k

js

k

js

ks

−+⋅⋅⋅+

−+

−+

ω++

ω−=

2

2

1

1*

)(Y (4.3)

yang transformasi baliknya akan berbentuk

tpn

tptptjtj nekekeKekkety +⋅⋅⋅++++= ω−ω 2121

*)( (4.4)

Di kawasan t, pole-pole alami akan memberikan komponen transien

yang biasanya berlangsung hanya beberapa detik (dalam kebanyakan

rangkaian praktis) dan tidak termanfaatkan dalam operasi normal.

Komponen mantaplah yang kita manfaatkan untuk berbagai

keperluan dan komponen ini kita sebut tanggapan mantap yang

dapat kita peroleh dengan menghilangkan komponen transien dari

(4.4), yaitu :

tjtjtm ekkety ω−ω += *)( (4.5)

Nilai k dapat kita cari dari (4.2) yaitu

)(2

sincos

)()(

sincos)()(

ωθ+θ

=

ω+

θω−θ=ω−=

ω=ω=

jTj

A

sTjs

sAsjsk

jsjs

Y

(4.6)

Faktor T(jω) dalam (4.6) adalah suatu pernyataan kompleks yang

dapat kita tuliskan dalam bentuk polar sebagai |T(jω)|ejϕ dimana

|T(jω)| adalah nilai mutlaknya dan ϕ adalah sudutnya. Sementara itu

menurut Euler (cosθ + jsinθ) = ejθ. Dengan demikian (4.6) dapat kita

tuliskan

ϕθ

ω= jj

ejTe

Ak )(2

(4.7)

4-3

Dengan (4.7) ini maka tanggapan mantap (4.5) menjadi

)cos( )(

2

)(

)(2

)(2

)(

)()(

ϕ+θ+ωω=

+ω=

ω+ω=

ϕ+θ+ω−ϕ+θ+ω

ω−ϕ−θ−

ωϕθ

tjTA

eejTA

eejTe

AeejTe

Aty

tjtj

tjjj

tjjj

tm

(4.8)

Persamaan (4.8) ini menunjukkan bahwa tanggapan keadaan mantap

dari suatu rangkaian yang mempunyai fungsi alih T(s) dengan

masukan sinyal sinus, akan :

• berbentuk sinus juga, tanpa perubahan frekuensi

• amplitudo berubah dengan faktor |T(jω)|

• sudut fasa berubah sebesar sudut dari T(jω), yaitu ϕ.

Jadi, walaupun frekuensi sinyal keluaran sama dengan frekuensi

sinyal masukan tetapi amplitudo maupun sudut fasanya berubah dan

perubahan ini tergantung dari frekuensi. Kita akan melihat kejadian

ini dengan suatu contoh.

CO%TOH-4.1 : Carilah sinyal keluaran

keadaan mantap dari rangkaian di

samping ini jika masukannya adalah

vs = 10√2cos(50t + 60o) V.

Penyelesaian :

Transformasi rangkaian ke kawasan

s memberikan rangkaian impedansi

seperti di samping ini.

Fungsi alih rangkaian ini adalah

50

50

1002

100)(

+=

+=

sssTV .

Karena frekuensi sinyal ω = 50 , maka

o

1

45

)50/50(tan22 2

1

5050

50

5050

50)50(

j

jV e

ejjT

−=+

=+

=−

Keluaran keadaan mantap adalah :

+ vo −

+ −

2H 100Ω

vs

+ Vo −

+ −

2s 100

Vs


)1550cos(10)456050cos(2

210)( ooo

o +=−+= tttv

Pemahaman :

Frekuensi sinyal keluaran sama dengan sinyal masukan, yaitu ω = 50 rad/sec.

Amplitudo sinyal masukan V 210=maksv , sedangkan

2

1)50()( ==ω jj VV TT .

Amplitudo sinyal keluaran

V 102

1210)(o =×=ω= jTvv smaksmaks

Sudut fasa sinyal masukan θ = 60o, sedang sudut |T(jω)| = −45o.

Sudut fasa sinyal keluaran : θ + ϕ = 60o − 45o = 15o.

4.2. Pernyataan Tanggapan Frekuensi

4.2.1. Fungsi Gain dan Fungsi Fasa

Faktor pengubah amplitudo, yaitu |T(jω)| yang merupakan fungsi

frekuensi, disebut fungsi gain yang akan menentukan bagaimana

gain (perubahan amplitudo sinyal) bervariasi terhadap perubahan

frekuensi. Pengubah fasa ϕ yang juga merupakan fungsi frekuensi

disebut fungsi fasa dan kita tuliskan sebagai ϕ(ω); ia menunjukkan

bagaimana sudut fasa sinyal berubah dengan berubahnya frekuensi.

Jadi kedua fungsi tersebut dapat menunjukkan bagaimana amplitudo

dan sudut fasa sinyal sinus berubah terhadap perubahan frekuensi

atau dengan singkat disebut sebagai tanggapan frekuensi dari

rangkaian. Pernyataan tanggapan ini bisa dalam bentuk formulasi

matematis ataupun dalam bentuk grafik.

4-5

CO%TOH-4.2: Selidikilah perubahan gain dan sudut fasa terhadap

perubahan frekuensi dari rangkaian orde pertama di bawah ini.

Penyelesaian :

Setelah di transformasikan ke kawasan s, diperoleh

1000tan)( : fasa fungsi

1000

500)( : fungsi

1000

500)(

1000

500)( : rangkaian alih fungsi

1

22

ω−=ωϕ⇒

ω+=ω⇒

+ω=ω⇒

+=

−

jTgain

jjT

ssT

V

V

V

Untuk melihat dengan lebih jelas bagaimana gain dan fasa

berubah terhadap frekuensi, fungsi gain dan fungsi fasa di plot

terhadap ω. Absis ω dibuat dalam skala logaritmik karena

rentang nilai ω sangat besar. Hasilnya terlihat seperti gambar di

bawah ini.

+ vo −

+ −

1 H

500Ωvs 500Ω

-90

-45

0

1 10 100 1000 10000 1E+05

ϕ [o]

Gain passband stopband

0

0.5

1 10 100 1000 10000 1E+05

0.5/√2

ω

ωC


Pemahaman:

Kurva gain menunjukkan bahwa pada frekuensi rendah terdapat

gain tinggi yang relatif konstan, sedangkan pada frekuensi tinggi

gain menurun dengan cepat. Kurva fungsi fasa menujukkan

bahwa pada frekuensi rendah sudut fasa tidak terlalu berubah

tetapi kemudian cepat menurun mulai suatu frekuensi tertentu.

Gain tinggi di daerah frekuensi rendah pada contoh di atas

menunjukkan bahwa sinyal yang berfrekuensi rendah mengalami

perubahan amplitudo dengan faktor tinggi, sedangkan gain rendah

di frekuensi tinggi menunjukkan bahwa sinyal yang berfrekuensi

tinggi mengalami perubahan amplitudo dengan faktor rendah.

Daerah frekuensi dimana terjadi gain tinggi disebut passband

sedangkan daerah frekuensi dimana terjadi gain rendah disebut

stopband. Nilai frekuensi yang menjadi batas antara passband dan

stopband disebut frekuensi cutoff , ωC . Nilai frekuensi cutoff biasanya diambil nilai frekuensi dimana gain menurun dengan

faktor 1/√2 dari gain maksimum pada passband.

Dalam contoh-4.2 di atas, rangkaian mempunyai satu passband yang

terentang dari frekuensi ω = 0 (tegangan searah) sampai frekuensi

cuttoff ωC , dan satu stopband mulai dari frekuensi cutoff ke atas.

Dengan kata lain rangkaian ini mempunyai passband di daerah

frekuensi rendah saja sehingga disebut low-pass gain. Inilah

tanggapan frekuensi rangkaian pada contoh-4.2.

Kebalikan dari low-pass gain adalah high-pass gain, yaitu jika

passband berada hanya di daerah frekuensi tinggi saja seperti pada

contoh 4.3. berikut ini.

CO%TOH-4.3: Selidikilah tanggapan frekuensi rangkaian di bawah

ini.

Penyelesaian :

Fungsi alih rangkaian adalah

+ vo −

+ − 500

vs 500

105/s

4-7

2

1o

42

225

10tan90)( ;

10

5,0)(

10

5,0)(

10

5,0

1000/10

500)(

ω−=ωϕ⇒

+ω

ω=ω⇒

+ω

ω×=ω→

+=

+=

−jT

j

jjT

s

s

ssT

V

VV

Kurva gain dan fasa terlihat seperti pada gambar di bawah ini.

Stopband ada di daerah frekuensi rendah sedangkan passband

ada di daerah frekuensi tinggi. Inilah karakteristik high-pass

gain

4.2.2. Decibel

Dalam meninjau tanggapan frekuensi, gain biasanya dinyatakan

dalam decibel (disingkat dB) yang didefinisikan sebagai

)(log20 dB dalamGain ω= jT (4.9)

Gain dalam dB dapat bernilai nol, positif atau negatif. Gain dalam

dB akan nol jika |T(jω)| bernilai satu, yang berarti sinyal tidak diperkuat ataupun diperlemah; jadi gain 0 dB berarti amplitudo

sinyal keluaran sama dengan sinyal masukan. Gain dalam dB akan

positif jika |T(jω)| >1, yang berarti sinyal diperkuat, dan akan bernilai negatif jika |T(jω)| < 1, yang berarti sinyal diperlemah.

0

45

901 10 100 1000 10000 100000

ϕ [o]

0.5/√2

ωC 0

0.5

1 10 100 1000 10000 1E+05

ω

Gain stopband passband


Frekuensi cutoff adalah frekuensi dimana gain telah turun 1/√2 = 0.707 kali nilai gain maksimum dalam passband. Jadi pada frekuensi

cutoff, nilai gain adalah

dB 3)(

2log)(log20)(2

1log20

dB −ω=

−ω=

ω

maks

maksmaks

jT

jTjT (4.10)

Dengan demikian dapat kita katakan bahwa frekuensi cutoff adalah

frekuensi di mana gain telah turun sebanyak 3 dB.

Untuk memberikan gambaran lebih jelas, mengenai satuan decibel

tersebut, berikut ini contoh numerik gain dalam dB yang sebaiknya

kita ingat.

CO%TOH-4.4: Berapa dB-kah nilai gain sinyal yang diperkuat K

kali , jika K = 1; √2 ; 2 ; 10; 30; 100; 1000 ?

Penyelesaian :

Untuk sinyal yang diperkuat K kali,

( ) ( ) ( )KjTjTKgain log20)(log20)(log20 +ω=ω=

Jadi pertambahan gain sebesar 20log(K) berarti penguatan sinyal

K kali.

dB 601000log20 : 1000

dB 40 100log20 : 100

dB 30 30log20 : 30

dB 20 10log20 : 10

dB 6 2log20 : 2

dB 3 2log20 : 2

dB 0 1log20 : 1

=⇒=

=⇒=

≈⇒=

=⇒=

≈⇒=

≈⇒=

=⇒=

gainK

gainK

gainK

gainK

gainK

gainK

gainK

Jika faktor K tersebut di atas bukan penguatan akan tetapi

perlemahan sinyal maka gain menjadi negatif.

4-9

dB 60 : 1000/1

dB 40 : 100/1

dB 30 : 30/1

dB 20 : 10/1

dB 6 : 2/1

dB 3 : 2/1

−⇒=

−⇒=

−⇒=

−⇒=

−⇒=

−⇒=

gainK

gainK

gainK

gainK

gainK

gainK

4.2.3. Kurva Gain Dalam Decibel

Kurva gain dibuat dengan absis (frekuensi) dalam skala logaritmik

(karena rentang frekuensi yang sangat lebar); jika gain dinyatakan

dalam dB yang juga merupakan bilangan logaritmik sebagaimana

didefinisikan pada (4.9), maka kurva gain akan berbentuk garis-garis

lurus.

Low-pass gain. Dengan menggunakan satuan dB, kurva low-pass

gain pada contoh-4.2 adalah seperti terlihat pada ganbar di bawah

ini. Gain hampir konstan −6 dB di daerah frekuensi rendah, sedangkan di daerah frekuensi tinggi gain menurun dengan

kemiringan yang hampir konstan pula.

High-pass gain. Dalam skala dB, high-pass gain pada contoh-4.3

adalah seperti terlihat pada ganbar di bawah ini. Gain hampir

konstan −6 dB di daerah frekuensi tinggi sedangkan di daerah frekuensi rendah gain meningkat dengan kemiringan yang hampir

konstan pula

-40

-20

0

1 10 100 1000 10000 1E+05

Gain [dB]

ω

−6

ωC

−9


Band-pass gain. Apabila gain meningkat di daerah frekuensi rendah

dengan kemiringan yang hampir konstan, dan menurun di daerah

frekuensi tinggi dengan kemiringan yang hampir konstan pula,

sedangkan gain tinggi berada di antara dua frekuensi cutoff kita

memiliki karakteristik band-pass gain.

Band-pass gain kita peroleh pada rangkaian orde kedua yang akan

kita pelajari lebih lanjut di bab selanjutnya. Walaupun demikian kita

akan melihat rangkaian orde kedua tersebut sebagai contoh di bawah

ini.

CO%TOH-4.5: Selidikilah perubahan gain dari rangkaian orde

kedua di samping ini. Gain belum dinyatakan dalam dB.

Penyelesaian :


+ −

+ Vo(s)

− Vin(s) 1100

s 10

5/s

Gain

[dB]

-40

-20

0

1 10 100 1000 10000 1E+05

ω

−6

ωC

−9

-40

-20

0

1 10 100 1000 10000 1E+05

Gain

[dB]

ω

−3

ωC

4-11

)1000)(100(

1100

101100

1100

/101100

1100)(

525 ++=

++=

++=

ss

s

ss

s

sssTV

22221000100

1000)(

)1000)(100(

1100)(

+ω×+ω

ω=ω⇒

+ω+ω

ω=ω

jT

jj

jjT

V

V

Kurva gain terlihat seperti gambar di bawah ini. Di sini terdapat

satu passband , yaitu pada ω antara 100 ÷ 1000 dan dua stopband di daerah frekuensi rendah dan tinggi.

Apabila kurva gain dibuat dalam dB, kurva yang akan

diperoleh adalah seperti diperlihatkan di atas.

CO%TOH-4.6: Selidikilah perubahan gain dari rangkaian orde

kedua di samping ini. Gain belum dinyatakan dalam dB.

Penyelesaian :


+ Vo(s)

−

Vin(s)

10

0,1s

105/s +

−

0

0.7

1.4

1 10 100 1000 10000

Gain

1

1/√2

ω

passband stopband stopband


28226

62

642

62

642

62

5

5

10)10(

10)(

1010

10)(

1010

10

/101,0

/101,010

10)(

ω+ω−

+ω−=ω⇒

+ω+ω−

+ω−=ω

++

+=

+

×+

=

jT

jjT

ss

s

ss

sssT

V

V

V

Kurva gain adalah seperti gambar di bawah ini.

Kurva ini menunjukkan bahwa ada satu stopband pada ω antara 100 ÷ 10000 dan dua passband masing-masing di daerah

frekuensi rendah dan tinggi.

Karakteristik gain seperti pada contoh-4.5. disebut band-pass gain

sedangkan pada contoh-4.6 disebut band-stop gain. Frekuensi cutoff

pada band-pass gain ada dua; selang antara kedua frekuensi cutoff

disebut bandwidth (lebar pita).

4.3. Bode Plot

Bode plots adalah grafik gain dalam dB ( |T(jω|dB ) serta fasa (ϕ(ω) ) sebagai fungsi dari frekuensi dalam skala logaritmik. Kurva-kurva

ini berbentuk garis-garis lengkung. Walaupun demikian kurva ini

mendekati nilai-nilai tertentu secara asimtotis, yang memungkinkan

kita untuk melakukan pendekatan dengan garis lurus dengan patahan

di titik-titik belok. Melalui pendekatan ini, penggambaran akan lebih

mudah dilakukan. Bila kita ingin mendapatkan nilai yang lebih tepat,

terutama di sekitar titik belok, kita dapat melakukan koreksi-koreksi

pada kurva pendekatan ini.

passband stopband passband

ω 0

0.7

1.4

1 100 10000 1000000

1

1/√2

Gain

4-13

Manfaat Bode plots dapat kita lihat misalnya dalam proses

perancangan rangkaian; kurva-kurva pendekatan garis lurus tersebut

merupakan cara sederhana tetapi jelas untuk menyatakan

karakteristik rangkaian yang diinginkan. Dari sini kita dapat

menetapkan maupun mengembangkan persyaratan-persyaratan

perancangan. Selain dari pada itu, tanggapan frekuensi dari berbagai

piranti, perangkat maupun sistem, sering dinyatakan dengan

menggunakan Bode plots. Pole dan zero dari fungsi alih peralatan-

peralatan tersebut dapat kita perkirakan dari bentuk Bode plots yang

diberikan. Berikut ini kita akan mempelajari tahap demi tahap

penggambaran Bode plots dengan pendekatan garis lurus. Kita akan

mulai dari rangkaian orde pertama disusul dengan rangkaian orde

kedua.

4.3.1. Low-Pass Gain

Bentuk fungsi alih rangkaian orde pertama dengan karakteristik low-

pass gain adalah

α+=s

KsTV )( (4.11)

K dapat bernilai riil positif ataupun negatif. Jika K positif berarti K

mempunyai sudut θK = 0o dan jika negatif mempunyai sudut θK =

±180o. Pole fungsi alih ini haruslah riil negatif karena hanya pole negatif (di sebelah kiri sumbu imajiner dalam bidang s) yang dapat

membuat rangkaian stabil; komponen transiennya menuju nol untuk t

→∞. Hanya rangkaian yang stabil sajalah yang kita tinjau dalam

analisis mengenai tanggapan frekuensi.

Dari (4.11) kita dapatkan :

( )αω+α=

α+ω=ω

/1)(

j

K

j

KjT (4.12)

Fungsi gain dan fungsi fasa dapat kita tuliskan

)/(tan)(dan

)/(1

/)( 1

2αω−θ=ωϕ

αω+

α=ω −

KV

KjT (4.13)

Fungsi gain dalam satuan dB, menjadi


( )

αω+−α=ω 2

dB)/(1log20/log20)( KjTV (4.14)

Fungsi gain ini terdiri dari dua komponen, yang ditunjukkan oleh

suku pertama dan suku kedua ruas kanan (4.14). Komponen pertama

bernilai konstan untuk seluruh frekuensi. Komponen kedua

tergantung dari frekuensi dan komponen inilah yang menyebabkan

gain berkurang dengan naiknya frekuensi. Komponen ini pula yang

menentukan frekuensi cutoff, yaitu saat (ω/α) =1 dimana komponen

ini mencapai nilai −20log√2 ≈ −3 dB. Jadi dapat kita katakan bahwa frekuensi cutofff ditentukan oleh komponen yang berasal dari pole

fungsi alih, yaitu

α=ωC (4.15)

Gb.4.1. memperlihatkan perubahan nilai komponen kedua tersebut

sebagai fungsi frekuensi, yang dibuat dengan α = 1000. Dengan pola perubahan komponen kedua seperti ini maka gain total akan

tinggi di daerah frekuensi rendah dan menurun di daerah frekuensi

tinggi, yang menunjukkan karakteristik low-pass gain. Kurva ini

mendekati nilai tertentu secara asimtotis yang memungkinkan

dilakukannya pendekatan garis lurus sebagai berikut.

Gb.4.1. Pola perubahan−log√((ω/α)2+1); α=1000 ; dan pendekatan

garis lurusnya.

Untuk frekuensi rendah, (ω/α) << 1 atau ω << α , komponen kedua

dapat didekati dengan

( ) 01log20)/(1log202 =−≈

αω+− (4.17)

dB

ω [rad/s]

-60

-40

-20

0

1

10

100

1000

10000

1E+05

1E+06

−log√((ω/α)2+1)

pendekatan garis lurus

ωC

4-15

yang akan memberikan kurva garis lurus horisontal di 0 dB.

Untuk frekuensi tinggi, (ω/α)>>1 atau ω>>α, komponen kedua

tersebut didekati dengan

( )αω−≈

αω+− /log20)/(1log20

2 (4.18)

sehingga kurvanya berupa garis lurus menurun terhadap log(ω). Untuk setiap kenaikan frekuensi 10 kali, yang kita sebut satu dekade,

penurunan itu adalah

( ) ( ) dB 2010log20/log20/10log20 −=−=αω−αω−

Jadi pendekatan garis lurus untuk komponen kedua ini adalah garis

nol untuk 1<ω<α dan garis lurus −20 dB per dekade untuk ω>α. Titik belok terletak pada perpotongan kedua garis ini, yaitu pada

(ω/α) =1, yang berarti terletak di frekuensi cutoff, seperti terlihat pada Gb.4.1.

Tanggapan fasa kita peroleh dari fungsi fasa (4.13) yaitu

)/(tan)( 1 αω−θ=ωϕ −K (4.16)

Komponen pertama fungsi ini bernilai konstan. Komponen kedua

memberi pengurangan fasa yang juga menjadi penentu pola

perubahan tanggapan fasa. Lengkung komponen kedua ini terlihat

pada Gb.4.2.

Gb.4.2. Pola perubahan−tan−1(ω/α); α=1000 ; dan pendekatan garis lurusnya.

ω [rad/s]

-90

-45

0

1

10

100

1000

10000

1E+05

1E+06

ωC

ϕ [o]

−tan−1(ω/α)

pendekatan garis lurus


Seperti halnya kurva pada Gb.4.1. kurva inipun mendekati nilai-

nilai tertentu secara asimtotik yang juga memungkinkan kita untuk

melakukan pendekatan garis lurus. Pendekatan garis lurus untuk

komponen kedua fungsi fasa ini kita lakukan dengan

memperhatikan bahwa pada (ω/α)=1, yaitu pada frekuensi cutoff, nilai −tan−1(ω/α) adalah −45o. Pada ω=0.1ωC , nilai −tan

−1(ω/α)

kecil dan dianggap 0o ; pada ω=10ωC , nilai −tan

−1(ω/α) mendekati

−90o dan dianggap −90o; untuk ω>10ωC , nilai −tan−1(ω/α) adalah

−90o . Jadi untuk daerah frekuensi 0.1ωC < ω < 10ωC perubahan fasa dapat dianggap linier −45o per dekade, seperti terlihat pada Gb.4.2.

Dengan pendekatan garis lurus seperti di atas, baik untuk fungsi

gain maupun untuk fungsi fasa, maka tanggapan gain dan

tanggapan fasa dapat digambarkan dengan nilai seperti tercantum

dalam dua tabel di bawah ini. Perhatikanlah bahwa nilai komponen

pertama konstan untuk seluruh frekuensi sedangkan komponen ke-

dua mempunyai nilai hanya pada selang frekuensi tertentu.

Gain Frekuensi

ωC = α

ω=1 1<ω<α ω>α

Komponen 1 20log(|K|/α) 20log(|K|/α) 20log(|K|/α)

Komponen 2 0 0 −20dB/dek

Total 20log(|K|/α) 20log(|K|/α) −20dB/dek

ϕ Frekuensi

ωC = α

ω=1 0,1α<ω<10α ω>10α

Komponen 1 θK θK θK

Komponen 2 0 −45o/dek 0

Total θK θK −45o/dek θK

4-17

Kurva pendekatan garis lurus tanggapan gain dan tanggapan fasa

ini, dengan mengambil α = 1000, diperlihatkan pada Gb.4.3.a. dan Gb.4.3.b.

Gb.4.3. Pendekatan garis lurus tanggapan gain dan

tanggapan fasa − lowpass gain. ωC = α = 1000 rad/s.

Karena kurva garis lurus adalah kurva pendekatan, maka untuk

mengetahui gain sebenarnya, diperlukan koreksi-koreksi. Sebagai

contoh, pada Gb.4.3.a. gain pada frekuensi cutoff sama dengan gain

maksimum dalam pass-band; seharusnya gain pada frekuensi cutoff

adalah gain maksimum dalam pass-band dikurangi 3 dB.

4.3.2. High-Pass Gain

Fungsi alih rangkaian orde pertama dengan karakteristik high-pass

gain ini berbentuk

( )αω+α=

α+ω=ω

α+=

/1)( sehingga )(

j

Ks

j

KsjT

s

KssT (4.19)

Berbeda dengan fungsi alih low-pass gain, fungsi alih ini

mempunyai zero pada s = 0. Fungsi gain dan fungsi fasa-nya adalah

( ))/(tan90)(dan

)/(1

/)( 1o

2αω−+θ=ωϕ

αω+

ωα=ω −

K

KjT (4.20)

( ) )/(1log20log20/log20)( 2dB

αω+−ω+α=ω⇒ KjT (4.21)

ω [rad/s] a).

-40

-20

0

20

1

10

100

1000

10000

1E+05

1E+06

Gain [dB]

20log(|K|/α)

−20dB/dek

ωC = α

ω [rad/s] b).

-135

-90

-45

0

45

1

10

100

1000

10000

1E+05

1E+06

ϕ [o]

−45o/dek

0.1ωC 10ωC

θK


Dengan hanya menggunakan pendekatan garis lurus, nilai fungsi

gain dan fungsi fasa adalah seperti dalam tabel berikut.

Gain Frekuensi

ωC = α

ω=1 1<ω<α ω>α

Komponen 1 20log(|K|/α) 20log(|K|/α) 20log(|K|/α)

Komponen 2 0 +20dB/dek 20log(α/1)+20dB/dek


Total 20log(|K|/α) 20log(|K|/α)

+20dB/dek

20log(|K|/α)

+20log(α/1)

ϕ(ω) Frekuensi

ωC = α

ω=1 0,1α<ω<10α ω>10α

Komponen 1 θK θK θK

Komponen 2 90o

90o 90

o

Komponen 3 0o −45o/dek −90o

Total θK +90o θK +90

o −45

o/dek θK

Pendekatan garis lurus dari tanggapan gain dan tanggapan fasa

dengan α=100, diperlihatkan pada Gb.4.4.a.dan Gb.4.4.b.

4-19

Gb.4.4. Pendekatan garis lurus tanggapan gain dan

tanggapan fasa – highpass gain. ωC = α = 100 rad/s.

CO%TOH-4.7: Gambarkan pendekatan garis lurus tanggapan gain

dari dua rangkaian yang masing-masing mempunyai fungsi alih

100

20dan

100

20)( 21 +

=+

=s

s(s)T

ssT

Penyelesaian:

Fungsi gain rangkaian pertama adalah

( ) 21dB1

211

)100/(1log20)2.0log(20)(log20)(

)100/(1

2.0)(

100/1

2.0

100

20)(

ω+−=ω=ω⇒

ω+=ω⇒

ω+=

+ω=ω

jTjT

jTjj

jT

Frekuensi dan nilai tanggapan gain rangkaian pertama terlihat

pada tabel berikut ini.

Gain Frekuensi

ωC = 100 rad/s

ω=1 1<ω<100 ω>100

Komponen 1 −14 dB −14 dB −14 dB


Total −14 dB −14 dB −14 dB −20dB/dek

20log(|K|/α)

+20dB/dek

ωC = α -40

-20

0

20

40

1

10

100

1000

10000

1E+05

1E+06

Gain [dB]

ω [rad/s]

a).

-45

0

45

90

1

10

100

1000

10000

1E+05

1E+06

ϕ [o]

ω [rad/s]

−45o/dek

0.1ωC 10ωC

θK

b).

θK+90o


Fungsi gain rangkaian kedua adalah:

2dB2

222

)100/(1log20)log(20)2.0log(20)(

)100/(1

2.0)(

100/1

2,0

100

20)(

ω+−ω+=ω⇒

ω+

ω=ω⇒

ω+

ω=

+ω

ω=ω

jT

jTj

j

j

jjT

Frekuensi dan nilai tanggapan gain rangkaian kedua terlihat

pada tabel berikut ini.

Gain Frekuensi

ωC = 100 rad/s

ω=1 1<ω<100 ω>100

Komponen 1 −14 dB −14 dB −14 dB

Komponen 2 0 20 dB/dek 40+20 dB/dek

Komponen 3 0 0 −20 dB/dek

Total −14 dB −14 dB +20 dB/dek 26 dB

Gambar tanggapan gain ke-dua rangkaian adalah sebagai

berikut.

-60

-40

-20

0

20

40

1

10

100

1000

10000

ω [rad/s]

Gain [dB]

(Rangkaian 1)

ωC

Komp-1 Komp-2

Gain

ω [rad/s]

-60

-40

-20

0

20

40

1

10

100

1000

10000

Gain [dB]

(Rangkaian 2)

Komp-2

Komp-1 Komp-3

Gain

4-21

4.3.3. Band-Pass Gain

Rangkaian dengan karakteristik band-pass gain dapat diperoleh

dengan menghubungkan secara bertingkat dua rangkaian orde

pertama dengan menjaga agar rangkaian yang di belakang (rangkaian

kedua) tidak membebani rangkaian di depannya (rangkaian pertama).

Rangkaian pertama mempunyai karakteristik high-pass gain

sedangkan rangkaian kedua mempunyai karakteristik low-pass gain.

Hubungan kaskade demikian ini akan mempunyai fungsi alih sesuai

kaidah rantai dan akan berbentuk

β+×

α+=×=

s

K

s

sKTTT 2121 (4.22)

( ) ( )

( ) ( )22

21

2121

/1 /1

/)(

/1/1

)()()(

βω+×αω+

ωαβ=ω⇒

βω+β×

αω+α

ω=

β+ω×

α+ω

ω=ω

KKjT

j

K

j

jK

j

K

j

jKjT

( )

)/(1log20)/(1log20

log20/log20)(

22

21dB

βω+−αω+−

ω+αβ=ω⇒ KKjT

Dengan membuat β >> α maka akan diperoleh karakteristik band-

pass gain dengan frekuensi cutoff ωC1 = α dan ωC2 = β. Sesungguhnya fungsi alih (4.22) berbentuk fungsi alih rangkaian

orde kedua. Kita akan melihat karakteristik band-pass gain

rangkaian orde ke-dua dalam bab berikut.

analisisanalisis rangkaian listrik - "darpublic" at ee … satu macam rangkaian mempunyai...

Documents