Análisis vectorial

Matemáticamente hablando, el desarrollo del análisis vectorial se enmarca en una problemática conceptual de más de veinte siglos que giró en torno a la ontología de los números. El marco del universo numérico se fue ampliando por las exigencias en la búsqueda de soluciones a las ecuaciones. La teoría de ecuaciones evolucionó en la medida que el álgebra se constituía como nueva disciplina matemática, y con la emergencia de la geometría analítica. Algunas de las nuevas disciplinas matemáticas fueron manifestándose como resultado directo o indirecto de la ampliación de los sistemas numéricos. Para entender un poco este proceso es indispensable que tengamos en cuenta el marco conceptual, que influyó en el desarrollo de las nociones matemáticas. Los aspectos fundamentales de esta discusión se pueden localizar en la antigüedad griega. En este orden de ideas, es importante conocer el desarrollo evolutivo del concepto de número y su representación, como la relación intrínseca entre número, magnitud y dirección, que permitieron el nacimiento de la noción de vector.

La línea física en el desarrollo del análisis vectorial

El análisis vectorial surgió de la necesidad de dotar a los físicos de una herramienta básica para la interpretación de algunos fenómenos naturales. Por ejemplo, en la matematización del movimiento, las cantidades tradicionales se mostraron incapaces de describir la posición. Para suplir este impase, fue necesario realizar un cambio de perspectiva sin precedentes: visualizar el espacio físico como un espacio de objetos matemáticos ocupado por vectores. Esto era posible pues aunque se aceptaba que los objetos matemáticos gozaban de una existencia autónoma en un campo teórico, también 53 se aceptaba que ellos eran un reflejo del mundo fenomenológico. Parecía pues, natural que las matemáticas se constituyeran en el lenguaje apropiado para expresar las características o propiedades de muchos fenómenos físicos. Desde Euclides hasta los tiempos de Galileo Galilei (1564-1642), la matemática y la física se habían desarrollado por separado. Por un lado, el aristotelismo sostenía que la física debería basarse directamente en la experiencia, y su objetivo era explicar el por qué de los fenómenos suceden y descubrir las causas que los ocasionan. La naturaleza de las matemáticas era diferente; se tomaba como una ciencia auxiliar

William Hamilton y el surgimiento del análisis vectorial

Con Hamilton se abre paso a un nuevo campo de las matemáticas, completamente diferente al tradicional, con su teoría de los cuaterniones. Sin embargo, encontró muchos detractores, por las siguientes razones: i. Los cuaterniones presentaban un rompimiento categórico con el principio de permanencia de forma. ii. Era muy tedioso operar con ellos. iii. Los físicos no sabían qué hacer con la parte escalar del cuaternión (hipernúmero de dimensión cuatro). De acuerdo con los obstáculos anteriores, no le impidió a Hamilton continuar con el desarrollo de su teoría. Cabe resaltar que esta situación no es algo inherente del desarrollo del análisis vectorial, sino que durante muchos años los matemáticos se enfrentaban a este tipo de obstáculos en la formulación de sus teorías, cuando van en contra a una tradición. 65 Tenemos muchos ejemplos históricos de teorías que, dada su originalidad, debieron sufrir percances similares, entre ellos tenemos: las geometrías no euclidianas, el álgebra de Boole, la teoría de Maxwell, entre otros

Hermann Gunther Grassmann y el surgimiento del análisis vectorial

En 1844, año en el cual Hamilton publica su primer artículo sobre cuaterniones, Grassmann saca a la luz pública sus desarrollos sobre análisis vectorial en un libro titulado: Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (El cálculo de la extensión).Grassmann desarrolla sus ideas sobre el análisis vectorial durante el período de 1832 a 1864. Es de singular importancia que en principio, el proyecto investigativo en el cual Grassmann estaba interesado era describir matemáticamente el fenómeno de las turbulencias y mareas. Precisamente, investigando estas cuestiones Grassmann se da cuenta que para desarrollar estos aspectos debe definir las bases conceptuales de una nueva rama de las matemáticas, cuyos objetos no se encontraban claramente determinados, como lo es el análisis vectorial. Sin embargo, sus aportes más finos, teóricamente hablando, pertenecen al campo del álgebra abstracta. Sus contribuciones a las matemáticas empiezan a concretarse en su Theorie der Ebbe und Flut de 184033 , el cual, según Crowe, contiene el nacimiento de un sistema de análisis basado en vectores. Pero su obra más importante, es sin duda, Die Ausdehnungslehre: Vollständing und in strenger Form bearbeitet; en ella, Grassmann no sólo desarrolla cuestiones técnicas de las matemáticas, sino que expone también concepciones filosóficas.