ANALISIS STABILITAS DAN OPTIMAL KONTROLANALISIS STABILITAS DAN OPTIMAL KONTROLPADA NYAMUK AEDES AEGYPTI DENGAN PADA NYAMUK AEDES AEGYPTI DENGAN

TEKNIK STERILISASI SERANGGA DAN INSEKTISIDATEKNIK STERILISASI SERANGGA DAN INSEKTISIDA

TUGAS AKHIR

OlehErdina Sri Febriyanti

NRP. 1207100028

Dosen PembimbingDr. Erna Apriliani, M.Si

Drs. Setijo Winarko, M.Si

ABSTRAKABSTRAK

Teori optimal kontrol sering diaplikasikan pada berbagai cabang ilmu. Salahsatunya, teori optimal kontrol diterapkan pada pengendalian populasi nyamuk AedesAegypti. Gigitan nyamuk Aedes Aegypti (betina) menyebabkan terjangkitnya penyakitDemam Berdarah Dengue (DBD). Untuk dapat menekan jumlah penderita DBDmaka dilakukan suatu metode yang dapat mengendalikan populasi nyamuk AedesAegypti. Sterile Insect Technique (SIT) merupakan teknik pengendalian secarabiologi dengan memberikan mutagen atau radiasi gamma pada nyamuk jantansehingga menjadi steril. Nyamuk steril inilah yang nantinya akan dilepaskan kelingkungan untuk kawin dengan nyamuk normal sehingga nyamuk normal akanlingkungan untuk kawin dengan nyamuk normal sehingga nyamuk normal akanmenjadi steril, sedangkan Insektisida merupakan teknik pengendalian secara kimia.Pada tugas akhir ini pengendalian populasi nyamuk Aedes Aegypti dilakukan denganmenerapkan Sterile Insect Technique dan insektisida untuk menganalisis upayaminimal dalam mengurangi nyamuk betina subur, sehingga diperoleh kontrol yangoptimal dengan mempertimbangkan biaya fungsional seperti biaya penerapaninsektisida, biaya produksi nyamuk steril dan pelepasannya, serta biaya sosial.Optimal kontrol diperoleh dengan menerapkan Prinsip Maksimum Pontryagin.

Kata Kunci : Sterile Insect Technique, Insektisida, Optimal Kontrol, PrinsipMaksimum Pontriyagin

PENDAHULUANPENDAHULUAN

DemamBerdarahDengue

Sejak tahun 1968 hingga tahun 2009, WHO mencatat Indonesia sebagai negara dengan kasus

Demam Berdarah tertinggi di Asia Tenggara

Th.1998 sebanyak 2.133 korban terjangkit penyakitDBD dengan jumlah korban meninggal 1.414 jiwa

Mengurangi Populasi Nyamuk

Sterile Insect Technique (SIT) dan Insektisida

RUMUSAN MASALAHRUMUSAN MASALAH

BATASAN MASALAHBATASAN MASALAH

1. Bagaimana menentukan stabilitas pada model populasi nyamuk AedesAegypti?

2. Bagaimana mendapatkan kontrol yang optimal dari model populasinyamuk Aedes Aegypti dengan Sterile Insect Technique dan Insektisida?

1. State dipengaruhi oleh waktu (t) dalam keadaan kontinu2. Sistem dalam keadaan terkontrol dan lama waktu penerapan SIT dan

insektisida berada pada interval waktu tertentu3. Kontrol yang dapat diterima (admissible control) disimbolkan dengan u1

dan u2 dalam keadaan terbatas dan kontinu pada dan.

4. Model dasar sistem dan parameter yang digunakan diambil dari referensi5. Simulasi dilakukan dengan menggunakan toolbox DotcvpSB dengan

MATLAB 7.0

TUJUANTUJUAN

1. Mendapatkan jenis kestabilan pada model populasi nyamuk AedesAegypti

2. Mendapatkan bentuk kontrol yang optimal dari penggunaan Sterile InsectTechnique dan Insektisida pada model pengendalian nyamuk AedesAegypti

MANFAATMANFAAT

Manfaat dalam Tugas Akhir ini adalah memberikan pengetahuan tentangpengendalian optimal dari populasi nyamuk Aedes Aegypti dengan metodeSterile Insect Technique dan Insektisida dengan biaya yang minimumsehingga jumlah populasi nyamuk dapat berkurang

TINJAUAN PUSTAKATINJAUAN PUSTAKA

STERILE INSECT TECHNIQUEMerupakan metode pengendalian serangga secara biologi denganpenggunaan mutagen atau radiasi gamma yang diberikan kepadaserangga (nyamuk jantan) sehingga nyamuk tersebut menjadi steril.Nyamuk steril inilah yang akan dilepaskan ke alam bebas untuk kawindengan nyamuk betina normal sehingga nyamuk betina tersebut menjadisteril dan telur yang dihasilkan tidak akan menetas. Hal ini berlaku jugasteril dan telur yang dihasilkan tidak akan menetas. Hal ini berlaku jugasecara timbal balik

INSEKTISIDAmerupakan suatu senyawa kimia yang digunakan untuk membunuhserangga pengganggu. Ada dua mekanisme untuk membunuh seranggayaitu dengan meracuni makanannya atau dengan langsung meracuniserangga tersebut

Model Model PopulasiPopulasi NyamukNyamuk AedesAegyptiAedesAegypti

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)(2.4)

(2.5)

Model Model PopulasiPopulasi NyamukNyamuk AedesAegyptiAedesAegypti dengandengan PengontrolPengontrol

(2.9)

(2.8)

(2.7)

(2.6)

(2.10)

Tujuan akhir dari pengendalian nyamuk Aedes Aegypti dengan SIT danInsektisida adalah untuk mendapatkan bentuk yang optimal sehinggameminimalkan biaya dengan kontrol dengan F diminimalkandan dimaksimalkan. Sehingga bentuk indek performancenya adalah [3] :

(2.11)

Dengan :A : Populasi nyamuk pada belum dewasa (telur, larva dan pupa)I : Populasi betina belum kawinF : Populasi betina subur

M : Populasi nyamuk jantan normal: Populasi nyamuk jantan steril : Laju kematian nyamuk belum dewasa: Laju kematian betina belum kawin: Laju kematian betina subur: Laju kematian jantan normal: Laju kematian jantan steril

α : Rata-rata dimana jantan steril dilepaskanα : Rata-rata dimana jantan steril dilepaskan: Tingkat kawin nyamuk normal: Tingkat kawin betina normal dengan jantan steril: Tingkat oviposisi nyamuk betina

C : Carrying capacity: Populasi nyamuk belum dewasa yang berhasil menjadi nyamuk

dewasa: Proporsi nyamuk betina: Proporsi nyamuk jantan: Kuantitas insektisida yang diterapkan: Banyaknya nyamuk yang disterilkan dan dilepaskan

: faktor penyeimbang biaya

TitikTitik SetimbangSetimbang dandan KestabilanKestabilan LokalLokal

Suatu sistem persamaan diferensial berbentuk

2.12

Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari

(2.12) jika memenuhi , ,

, dan

Kestabilan suatu titik setimbang dapat diperiksa dari akar – akarkarakteristik (nilai eigen ) dengan menyelesaikan dengan Aadalah matrik dari sistem persamaan differential (2.12) yang linear danberukuran 5x5

Sifat stabilitas titik setimbang berdasarkan tanda bagianreal nilai eigen dibagi menjadi 3 yaitu :1. Stabil

Titik Setimbang dikatakan stabil jika dan hanya jikaakar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan negatif atau mempunyaibagian real tak positif .bagian real tak positif .

2. Stabil AsimtotisTitik Setimbang dikatakan stabil asimtotis jika danhanya jika akar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan negatif ataumempunyai bagian real negatif.

3. Tidak StabilTitik Setimbang dikatakan tidak stabil jika dan hanyajika akar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan positif ataumempunyai paling sedikit satu niai eigen dengan bagian real positif.

Kriteria kestabilan Routh – Hurwitz adalah suatu metode untukmenunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien daripersamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secaralangsung.Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagaiberikut : . Kemudian susun koefisienpersamaan karakteristik menjadi :

Tabel 2.1 Tabel Routh – Hurwitz

sistem dikatakan stabil ataumempunyai bagian real negatif jika

dengan

mempunyai bagian real negatif jikadan hanya jika elemen – elemen padakolom pertama memiliki tanda yangsama

Untuk sistem tak linear harus dilinearkan sehingga didapatkan bentuksistem linear. Tinjau kembali persamaan (2.12) dimana f, g, h, i dan j adalah persamaaan nonlinear dan adalah titik setimbang dari persamaan (2.12).

Dalam hal ini matriks

disebut matriks Jacobian disekitar titik setimbang

KestabilanKestabilan Global Global SistemSistem TaklinearTaklinear

Kestabilan global dari titik kesetimbangan dapat ditentukan denganmenggunakan fungsi Lyapunov

Definisi 2.3

Diketahui , misalkan adalah subhimpunan terbuka dari yang

memuat titik setimbang dari dengan dan .

Suatu fungsi adalah fungsi Lyapunov dalam jika :Suatu fungsi adalah fungsi Lyapunov dalam jika :

a.

b.

c.

d.

Dari definisi 2.3, jika a, b dan c terpenuhi maka stabil, jika d terpenuhi maka

stabil asimtotis, sedangkan jika b dan d terpenuhi maka stabil asimtotis

global. [14]

MasalahMasalah Optimal Optimal KontrolKontrol

Pada prinsipnya, tujuan dari optimal kontrol adalah menentukan signalyang akan diproses dalam plant dan memenuhi konstrain fisik. Kemudianpada waktu yang sama dapat ditentukan ekstrim (maksimum/minimum)yang sesuai dengan kriteria performance index. Secara umum, formulasiyang dapat diberikan pada permasalahan optimal kontrol adalah (Naidu,2002) :1. Mendiskripsikan secara matematik artinya diperoleh metode matematika

dari proses terjadinya pengendalian (secara umum dalam bentuk variabel keadaan).variabel keadaan).

2. Spesifikasi dari performance index3. Menentukan kondisi batas dan konstrain fisik pada keadaan (state ) dan

atau kontrol.Dengan tujuan mencari kontrol yang mengoptimalkan (memaksimumkan atau meminimumkan) performance index

(2.17)

Dengan kendala

(2.18)

PrinsipPrinsip MaksimumMaksimum PontryaginPontryagin

Prinsip Maksimum Pontryagin merupakan suatu kondisi sehingga dapatdiperoleh penyelesaian optimal kontrol yang sesuai dengan tujuan.(memaksimalkan performance index). Misal diberikan permasalahan dengansuatu kontrol yang terbatas sebagai berikut :

Didefinisikan persamaan Hamiltonian

Untuk kondisi pada persamaan Hamiltonian tersebutdigeneralisasi dengan memaksimumkan fungsi tujuan (2.19) yangdapat dinyatakan sebagai berikut

max (2.29)

kendala (2.30)

LANJUTAN…….

Persamaan Lagrangian yang terbentuk dari (2.29) dan (2.30) adalah

Dengan

supaya optimal maka harus memenuhi persamaan1. Kondisi Stationer1. Kondisi Stationer

(2.31)2. Persamaan Keadan

Dengan danDari persamaan (2.31) dapat diperoleh bentuk optimal kontrol .

METODE PENELITIANMETODE PENELITIAN

Metode yang digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam

tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Mencari Titik Setimbang

2. Analisis Stabilitas Model Populasi Nyamuk Aedes Aegypti2. Analisis Stabilitas Model Populasi Nyamuk Aedes Aegypti

3. Penyelesaian Optimal Kontrol

4. Simulasi

5. Analisis Hasil Penyelesaian dan Simulasi

Daerah Daerah PenyelesaianPenyelesaian ModelModel

TitikTitik SetimbangSetimbang ModelModelTitik setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu. Dengan demikianpada persamaan (2.1) - (2.5) titik-titik setimbang diperoleh dari

sehingga persamaan (2.1) - (2.5) menjadisehingga persamaan (2.1) - (2.5) menjadi

TitikTitik SetimbangSetimbang BebasBebas PenyakitPenyakit

TitikTitik SetimbangSetimbang EndemikEndemik

Pada saat adalah suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaranpenyakit yang disebabkan nyamuk Aedes Aegypti. Sehingga didapatkantitik setimbang bebas penyakit

Titik setimbang endemik yaitu suatu kondisi dimana penyakit selalu adadalam populasi tersebut. Titik setimbang endemik dipengaruhi olehpopulasi nyamuk betina subur dengan . Sehingga diperoleh titikpopulasi nyamuk betina subur dengan . Sehingga diperoleh titiksetimbang dengan mengambil

Maka didapatkan

adalah penyelesaian dari persamaan differential orde 2

(4.12)Dengan

Dari (4.7) diketahui bahwa penyelesaian titik setimbang non trivial positif danmemenuhi . Misalkan

Merupakan rata-rata jumlah betina yang berhasil dilahirkan oleh induknya

Merupakan rasio tingkat kawin dari betina dengan jantan steril dan jantannormalSehingga persamaan (4.10) menjadi

mempunyai satu atau 2 akar pada interval (0,C) jika dan hanya jika

Dari syarat tersebut diperoleh(4.17)

(4.18)Sehingga mempunyai 2 akar yaitu

Jadi titik setimbang endemik adalah

Titik setimbang mempunyai matrik Jacobian

Nilai eigen diperoleh dari : maka

KestabilanKestabilan LokalLokal TitikTitik SetimbangSetimbang BebasBebas PenyakitPenyakit

Sehingga didapat

bernilai negatif pada bagian realnya maka berdasarkan sifatstabilitas titik setimbang berdasarkan akar – akar karakteristik (nilai eigen )maka titik setimbang stabil asimtotis.

Pada titik setimbang matrik Jacobiannya adalah

Nilai eigen diperoleh dari : maka

KestabilanKestabilan LokalLokal TitikTitik SetimbangSetimbang EndemikEndemik

Nilai eigen diperoleh dari : maka

Pada hasil tersebut dapat diketahui bahwa merupakan nilai eigen darimatrik jacobian pada titik setimbang .Sehingga untuk 4nilai eigen selanjutnya diperoleh dari :

LANJUTAN…………..

Sehingga diperoleh bentuk polynomialSehingga diperoleh bentuk polynomialDengan