analisis libro gerardo____5toao

Parte I

Teoría

1

Capítulo 1

Números reales

En las siguientes secciones se introducirá el conjunto de los números realesde forma axiomática, en el sentido de que sus propiedades se deducirán de uncierto número de proposiciones tomadas como axiomas (hechos que se suponeque cumple este conjunto). De estos axiomas se seguirá que el conjunto de losnúmeros reales tiene una estructura de cuerpo ordenado completo.Se puede demostrar por simple construcción la existencia de un modelo que

sea un cuerpo ordenado completo. Puede definirse a los números reales a partirdel conjunto de los números racionales; existen dos procedimientos clásicos parahacer esto: uno es el método de las ”cortaduras” de Dedekind que se analizaen el libro de Rudin. El otro es el método de las ”sucesiones de Cauchy” deCantor que se analiza en el libro de Hamilton y Landin. También es posibleconstruir un modelo a partir del conjunto de los números naturales, aunque esmás satisfactorio construir primero el conjunto de los números naturales a partirde nociones primitivas de la teoría de conjuntos, después construir el conjuntode los números enteros, luego el de los racionales y por último el de los númerosreales.De las observaciones ya hechas es claro que hay varias maneras de construir

un modelo de cuerpo ordenado completo. De este modo no se puede afirmar quehay un cuerpo ordenado completo único. No obstante, de los modelos obtenidospor los métodos de construcción sugeridos anteriormente se dice que son iso-morfos, esto significa que entre cualquier par de modelos se puede estableceruna correspondencia biyectiva compatible con la suma, la multiplicación y larelación de orden. Además, con base en la teoría de conjuntos elemental, sepuede establecer un razonamiento por el que se demuestra que cualquier parde cuerpos ordenados completos son isomorfos en el sentido descrito anterior-mente. Aunque esto no lo desarrollaremos aquí por tratarse de un problemamás de Lógica que de Análisis, para nuestros propósitos esta unicidad (o faltade ella) no es tan importante, ya que se puede elegir cualquier cuerpo ordenadocompleto en particular como modelo para el conjunto de los números reales.

1.1. Propiedades algebraicas

En el conjunto de los números reales R hay dos operaciones internas, deno-tadas por + y · que se denominan adición y multiplicación, respectivamente.

3

4 CAPÍTULO 1. NÚMEROS REALES

Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades conocidas como axiomasde cuerpo:

1. Propiedad conmutativa de la adición: para todo a, b ∈ R se cumplea+ b = b+ a.

2. Propiedad asociativa de la adición: para todo a, b, c ∈ R se cumple(a+ b) + c = a+ (b+ c).

3. Existencia de elemento neutro de la adición (o cero): existe en Rel número 0 tal que 0 + a = a+ 0 = a, para todo a ∈ R.

4. Existencia de elemento simétrico para la adición (o elementonegativo): para cada número a en R existe un número −a en R tal quea+ (−a) = (−a) + a = 0.

5. Propiedad conmutativa de la multiplicación: para todo a, b ∈ R secumple a · b = b · a.

6. Propiedad asociativa de la multiplicación: para todo a, b, c ∈ R secumple a · (b · c) = (a · b) · c.

7. Existencia de elemento neutro de la multiplicación (o unidad):existe en R el número 1 tal que 1 6= 0 y 1 · a = a · 1 = a, para todo a ∈ R.

8. Existencia de elemento simétrico para la multiplicación (o ele-mento recíproco): para cada número a 6= 0 en R existe un número 1/aen R tal que a · (1/a) = (1/a) · a = 1.

9. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adi-ción: para todo a, b, c ∈ R se cumple a · (b + c) = (a · b) + (a · c) y(b+ c) · a = (b · a) + (c · a).

Se supone que se conoce las consecuencias elementales de estos axiomas porla teoría general de cuerpos. Sin embargo, a continuación se muestra a modo deejemplo algunas propiedades algebraicas de los números reales.

Teorema 1 Si a es un número real cualesquiera, entonces

1. a · 0 = 02. (−1) · a = −a3. −(−a) = a

4. (−1) · (−1) = 1Demostración: (1) a+ a · 0 = a · 1 + a · 0 = a · (1 + 0) = a · 1 = a. Por tanto,de la unicidad del elemento 0, se sigue a · 0 = 0.(2) a + (−1) · a = 1 · a + (−1) · a = (1 + (−1)) · a = 0 · a = a · 0 = 0. Por

tanto, de la unicidad del elemento negativo, se sigue (−1) · a = −a.(3) De (−a) + a = 0 se sigue a = −(−a), por la misma razón de antes.(4) De (2), tomando a = −1, se tiene (−1) · (−1) = −(−1) = 1, por (3).

Teorema 2 Sean a, b, c tres números reales cualesquiera, se cumple:

1.1. PROPIEDADES ALGEBRAICAS 5

1. Si a 6= 0, entonces 1/a 6= 0 y 1/(1/a) = a

2. Si a · b = a · c y a 6= 0, entonces b = c

3. Si a · b = 0, entonces a = 0 o b = 0

Demostración: (1) Si a 6= 0, existe 1/a. Si fuera 1/a = 0, entonces 1 =a · (1/a) = a · 0 = 0, lo cual es contradictorio. Por tanto, 1/a 6= 0 y, enconsecuencia, existe 1/(1/a). Además, puesto que (1/a) · a = 1, por la unicidaddel elemento recíproco, se tiene 1/(1/a) = a.(2) Multiplicando por 1/a ambos miembros de la igualdad, se tiene (1/a) ·

(a · b) = (1/a) · (a · c). Por la propiedad asociativa, tenemos ((1/a) · a) · b =((1/a) · a) · c, de donde se deduce 1 · b = 1 · c, o sea b = c.(3) Basta suponer que a 6= 0 y deducir b = 0, porque de lo contrario, a = 0

y acabamos. Supongamos pues que a 6= 0, de la igualdad a · b = a · 0 = 0 y (2)se sigue b = 0.

Observación 1 Hacemos las siguientes observaciones importantes:

1. A partir de la adición se define la operación de sustracción por

a− b = a+ (−b)para todo a, b ∈ R. De manera similar, a partir de la multiplicación sedefine la división por

a

b= a · 1

b

para todo a, b ∈ R y b 6= 0.2. Por lo general, se omite el uso del punto para denotar la multiplicación y

se escribirá ab en lugar de a · b. Se escribirá a2 en lugar de aa, a3 para(a2)a, y en general, para n ∈ N se define

an+1 = (an)a

Por convenio se tiene a0 = 1 y a1 = a para todo a ∈ R. Por inducción sedemuestra que si a ∈ R, entonces

am+n = aman

para todo m,n ∈ N. Si a 6= 0, se utiliza la notación a−1 para 1/a, y sin ∈ N , se escribirá a−n en lugar de (1/a)n.

3. Se considera al conjunto de los números naturales como un subconjuntode R al identificar n ∈ N con la suma iterada n veces de la unidad. Delmismo modo, se identifica 0 ∈ Z con el cero de R, y a la suma iterada nveces de −1 la identificamos con el número entero −n. Por consiguiente, seconsidera también al conjunto de los números enteros como un subconjuntode R.

4. A los elementos de R que pueden escribirse en la forma m/n, con m,n ∈Z y n 6= 0, se les llama números racionales. El conjunto de todos losnúmeros racionales en R se denota por la notación usual Q. Se puededemostrar que Q satisface los axiomas de cuerpo mencionados más arriba.


5. A los elementos de R que no están en Q se les llama números irra-cionales.

Teorema 3 No existe un número racional r tal que r2 = 2.Demostración: Supongamos, por el contrario, que p y q son enteros tales que

(p

q)2 = 2

Se puede suponer además que p y q son positivos y que la fracción pq es irre-

ducible. De la igualdad anterior se deduce

p2 = 2q2

que significa que p2 es par. Entonces p es par, porque si fuera impar sería dela forma p = 2n + 1, con n ∈ N, y entonces p2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 =2(2n2+2n)+1, esto es impar, que es una contradicción. Por consiguiente, q esimpar ya que no puede tener ningún factor común con p, por hipótesis.Por otra parte, como p es par, entonces p = 2m para algún m ∈ N, y por

tanto4m2 = 2q2

de donde 2m2 = q2. Por lo tanto, q2 es par, y por el razonamiento del párrafoanterior se sigue que q es par.En consecuencia, hemos llegado a una contradicción ya que habíamos de-

ducido que q era impar. Por consiguiente, no existen tales p y q y, como conse-cuencia, no existe un número racional r tal que r2 = 2.

Ejemplo 1 Demostrar que√2 +√3 +√5 es irracional.

Solución: Se hará la demostración por el método de reducción al absurdo.Esto es, supondremos que

√2+√3+√5 es racional y llegaremos a una contradic-

ción. Supongamos que√2 +√3 +√5 = p, p ∈ Q. De aquí, √2 +√3 = p−√5

y, elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, obtenemos

5 + 2√2√3 = p2 + 5− 2p

√5

√2√3 + p

√5 =

p2

2

Elevando de nuevo al cuadrado, se obtiene

6 + 5p2 + 2p√2√3√5 =

p4

4

De aquí√2√3√5 =

p4

4 − 5p2 − 62p

Si p es racional, (p4/2−5p2−6)/2p es también racional y, por tanto, de la últimaigualdad se deduce que

√2√3√5 es racional. Sean m,n ∈ N, con mcd(m,n) = 1,

tales que √2√3√5 =

m

n

Entonces, elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, se obtiene

30n2 = m2

1.2. PROPIEDADES DE ORDEN 7

De donde se deduce que m2 es par y, en consecuencia, m es par. Escribimosm = 2k, k ∈ N. Entonces tenemos

15n2 = 2k2

De donde se deduce que n2 debe ser par y, en consecuencia, n es par. Porconsiguiente, m y n son pares, lo que contradice el hecho de que m y n seanprimos entre si.

1.2. Propiedades de ordenLa siguiente proposición sobre el conjunto de los números reales se la conoce

como los axiomas de orden: existe un subconjunto no vacío P de R, llamadoel conjunto de los números reales positivos, que satisface las siguientespropiedades:

1. a, b ∈ P =⇒ a+ b ∈ P

2. a, b ∈ P =⇒ ab ∈ P

3. Si a ∈ P , entonces una sola de las siguientes afirmaciones es verdadera

a ∈ P a = 0 − a ∈ P

Observación 2 Las dos primeras propiedades aseguran la compatibilidad delorden con las operaciones de adición y multiplicación, respectivamente. La ter-cera condición se la conoce como propiedad de tricotomía, ya que divide alconjunto de los números reales en tres partes disjuntas.

Definición 1 Si a ∈ P se dice que a es un número real positivo (o estric-tamente positivo) y se escribe a > 0. Si a ∈ P ∪ {0}, se dice que a es unnúmero real no negativo y se escribe a ≥ 0. Si −a ∈ P , se dice que a esun número real negativo (o estrictamente negativo) y se escribe a < 0.Si −a ∈ P ∪ {0}, se dice que a es un número real no positivo y se escribea ≤ 0.Definición 2 Dados dos números reales cualesquiera a y b

1. Si a− b ∈ P , entonces se dice que a es estrictamente mayor que b yescribimos a > b o b < a

2. Si a − b ∈ P ∪ {0}, entonces se dice que a es mayor o igual que b yescribimos a ≥ b o b ≤ a

Teorema 4 Dados tres números reales cualesquiera a, b y c, se cumplen lassiguientes propiedades:

1. Propiedad transitiva: si a > b y b > c, entonces a > c

2. Propiedad de tricotomía (o de ordenación total): una sola de las siguientesafirmaciones es verdadera:

a > b a = b a < b

3. Propiedad antisimétrica: si a ≥ b y b ≥ a, entonces a = b

Demostración: (1.) Si a − b ∈ P y b − c ∈ P , entonces por los axiomas deorden, se sigue (a− b) + (b− c) = a− c ∈ P . Por tanto, a > c.(2.) Por la propiedad de tricotomía de los axiomas de orden, sólo es ver-

dadera una de las siguientes afirmaciones: a − b ∈ P , a − b = 0, −(a − b) =b− a ∈ P . Por tanto, tenemos lo que queríamos probar.(3.) Si fuera a 6= b, por (2) se sigue que, o a > b o bien b > a. En cualquiera

de los dos casos, una de las hipótesis se contradice. Por lo tanto, se debe tenerque a = b.

Teorema 5 Se verifican los hechos siguientes:

1. Si a ∈ R y a 6= 0, entonces a2 > 02. 1 > 0

3. Si n ∈ N, entonces n > 0

Demostración: (1.) Por la propiedad de tricotomía de los axiomas de orden,si a 6= 0, entonces a ∈ P o bien −a ∈ P . Si a ∈ P , entonces por los axiomasde orden, se tiene a2 = aa ∈ P . Del mismo modo, si −a ∈ P , entonces por losexiomas de orden y propiedades de cálculo algebraico se tiene

(−a)(−a) = [(−1)a] [(−1)a] = [(−1)(−1)] a2 = a2 ∈ P

(2.) Puesto que 1 6= 0 y 12 = 1, de (1) se sigue 1 > 0(3.) La prueba se hace por inducción. La afirmación para n = 1 es verdadera

por (2). Si se supone que la afirmación es verdadera para n = k, entonces k ∈ P .Puesto que 1 ∈ P , se sigue de los axiomas de orden que k + 1 ∈ P . Por tanto,la afirmación es verdadera para todos los números naturales.

Teorema 6 Dados cuatro números reales cualesquiera a, b, c y d, se cumplenlas siguientes propiedades:

1. Si a > b, entonces a+ c > b+ c

2. Si a > b y c > d, entonces a+ c > b+ d

3. Si a > b y c > 0, entonces a · c > b · c4. Si a > b y c < 0, entonces a · c 0, entonces 1

a > 0

6. Si a < 0, entonces 1a < 0

Demostración: (1.) Puesto que (a+c)−(b+c) = a−b ∈ P , se tiene a+c > b+c.(2.) Si a − b ∈ P y c − d ∈ P , entonces por los axiomas de orden, se tiene

(a+ c)− (b+ d) = (a− b) + (c− d) ∈ P . Por tanto, a+ c > b+ d.(3.) Si a − b ∈ P y c ∈ P , entonces por los axiomas de orden, se tiene

a · c− b · c = (a− b) · c ∈ P . Por tanto, a · c > b · c.(4.) Del mismo modo que antes, si a−b ∈ P y −c ∈ P , entonces b ·c−a ·c =

(a− b) · (−c) ∈ P . Por tanto, a · c < b · c.

1.2. PROPIEDADES DE ORDEN 9

(5.) Si a > 0, por la propiedad de tricotomía se sigue a 6= 0. De aquí se tiene1a 6= 0. Si fuera 1

a < 0, por (4) se tendría a · 1a = 1 < 0, que contradice el hechode que 1 > 0. Por lo tanto, se tiene 1

a > 0 ya que las otras dos posibilidades sehan excluido.(6.) Del mismo modo que antes, si a < 0, entonces la posibilidad 1

a > 0 llevade nuevo a la contradicción 1 = a · 1a < 0.

Observación 3 Hemos visto que para todo n ∈ N se tiene n > 0 y, por tanto,1n > 0, es decir, se deduce que el inverso de cualquier número natural es positivo.Por consiguiente, los números racionales de la forma m

n = m · 1n , donde m y nson números naturales, son también positivos.

Teorema 7 Dados dos números reales cualesquiera a y b, si a < b, entonces

a <1

2(a+ b) 0 y, por tanto, 12 > 0. De (3) del teorema anterior, se sigueque

a =1

2(2a) <

1

2(a+ b) <

1

2(2b) = b

Corolario 1 Si b ∈ R y b > 0, entonces 0 < 12b < b.

Demostración: Basta tomar a = 0 en el teorema anterior.

Observación 4 Este último resultado significa que no puede existir un númeroreal positivo mínimo.

Teorema 8 Si a ∈ R es tal que 0 ≤ a < para todo número real positivo ,entonces a = 0.Demostración: Supongamos por el contrario que a > 0. Entonces, por el coro-lario anterior, se sigue que

0 <1

2a < a

Ahora bien, si se toma = 12a, entonces se tiene

0 < < a

Por lo tanto, es falso que a < para todo número real positivo. En consecuencia,a = 0.

Observación 5 Este resultado significa que para demostrar que un número reala ≥ 0 es igual a 0, basta probar que el número a es menor que cualquier númeroreal positivo.

Teorema 9 Dados dos números reales cualesquiera a y b, tales que

a− 0, entonces a ≤ b.Demostración: Supongamos por el contrario que b < a. Entonces a− b > 0 ypor el último corolario, se tiene

0 <1

2(a− b) < a− b

Si se toma = 12(a− b) > 0, entonces

0 < < a− b

de donde se obtieneb < a−

lo cual contradice la hipótesis.

Teorema 10 Si a · b > 0, entonces sólo una de las siguientes afirmaciones esverdadera:

1. a > 0 y b > 0

2. a < 0 y b < 0

Demostración: (1) Si a · b > 0, entonces a 6= 0 y b 6= 0. Por la propiedad detricotomía, a > 0 o bien a < 0. Si a > 0, entonces 1

a > 0. De aquí se tiene

b = 1 · b = (1a· a) · b = 1

a· (a · b) > 0

(2) De forma análoga, si a < 0, entonces 1a < 0. De donde

b = 1 · b = (1a· a) · b = 1

a· (a · b) < 0

Corolario 2 Si a · b < 0, entonces sólo una de las siguientes afirmaciones esverdadera:

1. a < 0 y b > 0

2. a > 0 y b < 0

Demostración: Si a · b < 0, entonces −(a · b) = (−a) · b = a · (−b) > 0. Por elteorema anterior se sigue que −a > 0 y b > 0 o bien a > 0 y −b > 0, y de aquíse tiene lo que queríamos probar.

Ejemplo 2 Examínese con detalle los siguientes ejemplos:

1.3. DESIGUALDADES 11

1. Determinar el conjunto A = {x ∈ R : 5x+ 2 ≤ 3}.Solución:

x ∈ A⇐⇒ 5x+ 2 ≤ 3⇐⇒ 5x ≤ 1⇐⇒ x ≤ 15

Por lo tanto, se tiene

A =

½x ∈ R : x ≤ 1

5

¾

2. Determinar el conjunto B =©x ∈ R : x2 + x > 2

ª.

Solución: La desigualdad se reescribe como sigue

x ∈ B ⇐⇒ x2 + x− 2 > 0⇐⇒ (x− 1)(x+ 2) > 0

Por lo tanto, se tienen dos casos posibles: (1) x−1 > 0 y x+2 > 0 o bien(2) x− 1 < 0 y x+ 2 < 0. En el primer caso, se tienen las desigualdadesx > 1 y x > −2, que se satisfacen si y sólo si x > 1. En el caso (2), setienen las desigualdades x < 1 y x < −2 que se satisfacen si y sólo six < −2. En consecuencia, se tiene

B = {x ∈ R : x > 1} ∪ {x ∈ R : x < −2}

3. Determinar el conjunto C =nx ∈ R : 2x+1x+2 < 1

o.

Solución:x ∈ C ⇐⇒ 2x+ 1

x+ 2− 1 < 0⇐⇒ x− 1

x+ 2< 0

Por lo tanto, se tienen dos casos (1) x − 1 < 0 y x + 2 > 0 o bien (2)x − 1 > 0 y x + 2 < 0. En el caso (1) se tienen las desigualdades x < 1y x > −2, que se satisfacen si y sólo si −2 < x < 1. En el caso (2)se tienen las desigualdades x > 1 y x < −2, que nunca se satisfacensimultáneamente. En consecuencia, se tiene

C = {x ∈ R : −2 < x < 1}

1.3. DesigualdadesA continuación se establecen algunas desigualdades importantes que con

frecuencia se usan en el desarrollo del análisis real.

Teorema 11 Sean a ≥ 0 y b ≥ 0, entonces se tienen

1. a < b⇐⇒ a2 < b2 ⇐⇒√a < √b2. a ≤ b⇐⇒ a2 ≤ b2 ⇐⇒√a ≤ √b

Demostración: (1) Distinguimos dos casos: (a) a = 0 y b > 0 y (b) a > 0 yb > 0.(a) Para la primera implicación, se tiene b > 0 y por tanto, b2 > 0. Recíp-

rocamente, si b2 = b · b > 0 entonces se tiene claramente b > 0, ya que porhipótesis b es no negativo.Para la segunda implicación, si b > 0, entonces

√b > 0. Puesto que b =

(√b)2, por la primera implicación, se tiene

0 < (√b)2 = b⇐⇒ 0 <

√b

(b) Para la primera implicación, si a > 0 y b > 0, se sigue que b + a > 0.Puesto que b − a > 0 y b2 − a2 = (b + a) · (b − a), tenemos que b2 − a2 > 0.Recíprocamente, si b2 − a2 = (b+ a) · (b − a) > 0, se deduce b− a > 0, ya quepor hipótesis b+ a ≥ 0.Para la segunda implicación, si a > 0 y b > 0, entonces

√a > 0 y

√b > 0.

Puesto que a = (√a)2 y b = (

√b)2, por la primera implicación, se tiene

a = (√a)2 < (

√b)2 = b⇐⇒√a <

√b

(2) Distinguimos tres casos: (a) a = b = 0, (b) a = 0 y b > 0 (c) a > 0y b > 0. En el primer caso, las implicaciones son evidentes. En los otros doscasos simplemente hay que repetir los razonamientos anteriores.

Observación 6 En la prueba, se ha supuesto la existencia de las raíces cuadradasde números reales no negativos.

Teorema 12 Si a ≥ 0 y b ≥ 0, se cumple la desigualdad de la mediasaritmética y geométrica

√ab ≤ 1

2(a+ b)

La igualdad ocurre si y sólo si a = b.Demostración: Si a > 0, b > 0 y a 6= b, entonces

√a > 0,

√b > 0 y

√a 6= √b.

Además, al ser√a−√b 6= 0, se tiene (√a−√b)2 > 0. Al desarrollar el cuadrado

se obtiene(√a−√b)2 = a− 2

√ab+ b > 0

de donde se sigue que √ab <

1

2(a+ b)

Por lo tanto, hemos probado la desigualdad estricta cuando a 6= b. Si a =b, entonces ambos miembros de la desigualdad son iguales. Con esto hemosdemostrado que la desigualdad es válida para a > 0 y b > 0.Por otro lado, supongamos que a > 0, b > 0 y que

√ab =

1

2(a+ b)

Entonces, al elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad y multiplicarlospor 4, se obtiene

4ab = (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

de donde se deducea2 − 2ab+ b2 = (a− b)2 = 0

De aquí, se sigue a = b. Por lo tanto, la igualdad significa que a = b.

1.3. DESIGUALDADES 13

Observación 7 La desigualdad de las medias aritmética y geométrica se gen-eraliza para los números reales positivos a1, a2, ..., an como sigue

(a1a2 · · · an)1/n ≤ a1 + a2 + · · ·+ ann

donde la igualdad ocurre si y sólo si a1 = a2 = · · · = an. Es posible demostrareste enunciado más general usando la inducción matemática, pero la demostraciónes un tanto intrincada. Una demostración más elegante usa las propiedades dela función exponencial.

Teorema 13 Si x > −1, entonces se cumple la desigualdad de Bernouilli(1 + x)n ≥ 1 + nx

para todo n ∈ N.Demostración: La demostración se hace por inducción. El caso n = 1 producela igualdad, de donde la afirmación es verdadera en este caso. Ahora, suponemosla validez de la desigualdad para un entero positivo k, y se debe probar su validezpara k + 1. La hipótesis de inducción

(1 + x)k ≥ 1 + kx

y el hecho de que x+ 1 > 0, indican que

(1 + x)k+1 = (1 + x)k(1 + x)

≥ (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x+ kx2

≥ 1 + (k + 1)x

Por tanto, se deduce la desigualdad para k+1. En consecuencia, la desigualdades válida para todo n ∈ N .

Teorema 14 Si n ∈ N y a1, ..., an, b1, ..., bn son números reales, entonces secumple la desigualdad de Cauchy

(a1b1 + · · ·+ anbn)2 ≤ (a21 + · · ·+ a2n)(b

21 + · · ·+ b2n)

Además, si no todas las bi son iguales a cero, entonces la igualdad ocurre si ysólo si existe un número s ∈ R tal que a1 = sb1, ..., an = sbn.Demostración: Para demostrar esto se define la función F : R→ R por

F (x) = (a1 − xb1)2 + · · ·+ (an − xbn)

2

para x ∈ R. Podemos asegurar que para todo x ∈ R, se tiene F (x) ≥ 0, yaque se trata de una suma de números reales al cuadrado. Al desarrollar estoscuadrados, se obtiene una expresión de la forma

F (x) = A− 2Bx+ Cx2 ≥ 0donde se ha hecho

A = a21 + · · ·+ a2nB = a1b1 + · · ·+ anbn

C = b21 + · · ·+ b2n


Puesto que la función cuadrática es no negativa para todo x ∈ R, no puede tenerdos raíces reales distintas. Por lo tanto, su discriminante

∆ = 4B2 − 4AC = 4(B2 −AC)

debe satisfacer ∆ ≤ 0. En consecuencia, se debe tenerB2 ≤ AC

que es precisamente la desigualdad de Cauchy.Si bi = 0 para todo i = 1, ..., n, entonces ocurre la igualdad, cualesquiera

que sean los ai. Supongamos ahora que no todas los bi son iguales a cero. Esinmediato comprobar que si ai = sbi, para un cierto s ∈ R y i = 1, ..., n, entoncesambos miembros de la desigualdad son iguales a s2(b21+· · ·+b2n)2. Por otra parte,si se cumple la igualdad, entonces ∆ = 0, por lo que existe una única raíz real sde la ecuación cuadrática F (x) = 0. Pero esto significa que F (s) = 0, es decir,

(a1 − sb1)2 + · · ·+ (an − sbn)

2 = 0

lo que sólo es posible si

a1 − sb1 = 0...

an − sbn = 0

de donde se infiere que ai = sbi para todo i = 1, ..., n.

Teorema 15 Si n ∈ N y a1, ..., an, b1, ..., bn son números reales, entonces secumple la desigualdad triangular¡

(a1 + b1)2 + · · ·+ (an + bn)

2¢1/2 ≤ (a21 + · · ·+ a2n)

1/2 + (b21 + · · ·+ b2n)1/2

Además, si no todas las bi son iguales a cero, entonces la igualdad ocurre si ysólo si existe un número real s tal que a1 = sb1, ..., an = sbn.Demostración: Puesto que

(ai + bi)2 = a2i + 2aibi + b2i

para i = 1, ..., n. De la desigualdad de Cauchy, se deduce que

(a1 + b1)2 + · · ·+ (an + bn)

2 = A+ 2B + C

≤ A+ 2√AC + C

= (√A+√C)2

siendo

A = a21 + · · ·+ a2nB = a1b1 + · · ·+ anbn

C = b21 + · · ·+ b2n

De aquí, por una de las equivalencias del apartado 1(b), se deduce que¡(a1 + b1)

2 + · · ·+ (an + bn)2¢1/2 ≤ √A+√C

que es la desigualdad triangular.Si ocurre la igualdad, entonces se debe tener B =

√AC, por lo que la igual-

dad se cumple en la desigualdad de Cauchy.

1.4. VALOR ABSOLUTO 15

1.4. Valor absoluto

Definición 3 Si a ∈ R, el valor absoluto de a, denotado por |a|, está definidopor

|a| = a si a > 00 si a = 0−a si a < 0

Observación 8 La propiedad de tricotomía asegura que si a ∈ R y a 6= 0 ,entonces uno de los números a y −a es positivo. El valor absoluto de a 6= 0 sedefine como el número que sea positivo de los dos. El valor absoluto de 0 es 0por definición.

Teorema 16 Se cumplen las siguientes propiedades:

1. |a| = 0⇐⇒ a = 0

2. |−a| = |a|3. |ab| = |a| |b|4. Si c ≥ 0, entonces |a| ≤ c si y sólo si −c ≤ a ≤ c

5. − |a| ≤ a ≤ |a|

para todo a, b ∈ R

Demostración: (1.) Si a = 0, entonces |a| = 0. Si a 6= 0, entonces −a 6= 0 y|a| 6= 0. Por tanto, si |a| = 0, entonces a = 0.(2.) Si a = 0, entonces |−0| = 0 = |0|. Si a > 0, entonces −a < 0, de manera

que |a| = a y |−a| = −(−a) = a. Si a < 0, entonces −a > 0, de modo que|a| = −a y |−a| = −a.(3.) Si a = 0 o b = 0, entonces |ab| como |a| |b| son iguales a cero. Si a > 0 y

b > 0, entonces ab > 0, de donde |ab| = ab = |a| |b|. Si a > 0 y b < 0, entoncesab < 0, de donde |ab| − ab = a(−b) = |a| |b|. Los otros dos casos se tratan delmismo modo.(4.) Supongamos que |a| ≤ c. Entonces se tiene tanto a ≤ c como −a ≤ c, o

sea a ≥ −c. Recíprocamente, si −c ≤ a ≤ c, entonces se tiene tanto a ≤ c como−a ≤ c. Por tanto, |a| ≤ c.(5.) Se hace c = |a| y se aplica (4.).

Teorema 17 Para cualesquiera números reales a y b, se cumple la desigual-dad triangular

|a+ b| ≤ |a|+ |b|Demostración: Por el apartado (5.) del teorema anterior, se tiene − |a| ≤ a ≤|a| y − |b| ≤ b ≤ |b|. Entonces, sumando miembro a miembro, se tiene

−(|a|+ |b|) ≤ a+ b ≤ |a|+ |b|

de donde se deduce la desigualdad triangular.

Corolario 3 Para cualesquiera números reales a y b, se cumple:

1. ||a|− |b|| ≤ |a− b|2. |a− b| ≤ |a+ b|

Demostración: (1.) Se escribe a = a−b+b y se aplica la desigualdad triangularpara obtener

|a| = |(a− b) + b| ≤ |a− b|+ |b|De aquí se obtiene

|a|− |b| ≤ |a− b|De manera similar, escribimos b = b− a+ a y aplicamos la desigualdad trian-gular, y obtenemos

|b| = |(b− a) + a| ≤ |b− a|+ |a|De aquí, tenemos

− |a− b| = − |b− a| ≤ |a|− |b|Combinando las dos desigualdades obtenidas, se obtiene la desigualdad pedida.(2.) Se sustituye b por −b en la desigualdad triangular para obtener

|a− b| ≤ |a|+ |−b| = |a|+ |b|

Observación 9 Mediante inducción se generaliza la desigualdad triangular paracualquier número finito de números reales. Así, para cualesquiera números realesa1, a2, ..., an, se tiene

|a1 + a2 + · · ·+ an| ≤ |a1|+ |a2|+ · · ·+ |an|Ejemplo 3 Examinar con detalle los siguientes ejemplos:

1. Determinar el conjunto A = {x ∈ R : |2x+ 3| < 6}.Solución: Se tiene que

x ∈ A⇐⇒ |2x+ 3| < 6⇐⇒ −6 < 2x+ 3 < 6

Esta última se satisface si y sólo si −9 < 2x < 3. Dividiendo por 2, setiene −9/2 < x < 3/2. Por tanto, A = {x ∈ R : −9/2 < x < 3/2}.

2. Determinar el conjunto B = {x ∈ R : |x− 1| < |x|}.Solución: Un procedimiento es considerar los casos para los que los sím-bolos de valor absoluto se pueden omitir. Estos casos son: (a) x < 0, (b)0 ≤ x < 1, y (c) x ≥ 1. Obsérvese que 1 y 0 son los valores de x en los quese anulan x− 1 y x, respectivamente, y en consecuencia, donde cambiande signo.

(a) En este caso, la desigualdad se convierte en −(x − 1) < −x, que esequivalente a 1 < 0. Puesto que esta afirmación es falsa, ningún valor dex considerado en este caso satisface la desigualdad.

(b) En este caso, la desigualdad se convierte en −(x − 1) < x, que esequivalente a x > 1/2. Por tanto, los valores de x que satisfacen 1/2 <x < 1 cumplen la desigualdad en cuestión.

1.4. VALOR ABSOLUTO 17

(c) En este caso, la desigualdad se convierte en x− 1 < x, que es equiva-lente a −1 < 0. Puesto que esta afirmación es verdadera, todos los valoresde x considerados en este caso satisfacen la desigualdad.

Combinando los tres casos, se concluye que B = {x ∈ R : x > 1/2}.Otro procedimiento para determinar B se basa en el hecho de que a < b esequivalente a a2 < b2, cuando a ≥ 0 y b ≥ 0. De este modo, |x− 1| < |x| esequivalente a |x− 1|2 < |x|2. Puesto que |a|2 = a2, para cualquier númeroreal a, se puede desarrollar el cuadrado para obtener

x2 − 2x+ 1 < x2

De aquí se tiene

x >1

2

Por tanto, B = {x ∈ R : x > 1/2}.

3. Dada la función f definida por

f(x) =2x2 − 3x+ 12x− 1

para 2 ≤ x ≤ 3. Determinar una constante M tal que |f(x)| ≤ M , paratodo x que satisface 2 ≤ x ≤ 3.Solución: Se tiene ¯

2x2 − 3x+ 12x− 1

¯≤M

equivalente a ¯2x2 − 3x+ 1¯|2x− 1| ≤M

De la desigualdad triangular y del hecho de que |x| ≤ 3, se obtiene¯2x2 − 3x+ 1¯ ≤ 2 |x|2 + 3 |x|+ 1 ≤ 2 · 32 + 3 · 3 + 1 = 28

Asimismo,

|2x− 1| ≥ |2 |x|− 1| ≥ 2 |x|− 1 ≥ 2 · 2− 1 = 3

porque |x| ≥ 2. De este modo, tenemos¯2x2 − 3x+ 1¯|2x− 1| ≤ 28

3

Por tanto, se puede tomar M = 28/3. Obsérvese que se ha encontrado unade tales constantes: es claro que cualquier M > 28/3 también cumplirá|f(x)| ≤M . También es posible que 28/3 no sea el menor valor posible deM .

1.5. La recta real

Una interpretación geométrica y familiar del conjunto de los números realeses la recta real. En esta representación el valor absoluto |a| de un número reala se considera como la distancia de a al origen 0. En general, la distancia entredos números reales a y b es |a− b|.

Distancia entre a = −2 y b = 3

Definición 4 Sea a ∈ R y un número real > 0. Se llama entorno de centroa y radio al conjunto

E (a) = {x ∈ R : |x− a| < }

Observación 10 Obsérvese que la afirmación x ∈ E (a) es equivalente a unacualquiera de las siguientes proposiciones

− < x− a <

a− < x < a+

Teorema 18 Sea a ∈ R. Si x ∈ E (a) para todo > 0, entonces x = a.Demostración: Si x es tal que 0 ≤ |x− a| < para todo > 0, entonces|x− a| = 0. Por tanto, x = a.

Ejemplo 4 Examina los ejemplos siguientes:

1. Sea A = {x ∈ R : 0 < x < 1}. Si a ∈ A, entonces se toma como el menorde los dos números 1− a y a. De este modo, E (a) ⊆ A. Por tanto, cadaelemento de A tiene un entorno que está contenido en A.

2. Sea B = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. Entonces, para cualquier > 0 el entornoE (0) contiene puntos que no están en B y, en consecuencia, E (0) noestá contenido en B. Por ejemplo, el número x = − /2 está en E (0) perono en B.

1.6. LA PROPIEDAD DE COMPLETITUD 19

1.6. La propiedad de completitud

Los axiomas de cuerpo ordenado no son suficientes para caracterizar a losnúmeros reales, porque los números racionales también satisfacen estos axiomas.Sin embargo, hay números que deberían estar ahí, pero no están; por ejemplo, nohay ningún número racional que cumpla la ecuación x2 = 2. Necesitamos puesotra condición que nos asegure la presencia de estos números en el conjunto delos números reales. Esta condición se conoce como la propiedad de completitudde los números reales.Por la propiedad de densidad de los números racionales sabemos que entre

dos números racionales existen infinitos números racionales, por tanto al visu-alizar el conjunto Q, representando cada uno de sus elementos por un punto,parecerá como si tuviéramos una recta. Sin embargo, la realidad es que Q noforma un ”todo continuo”, ya que como hemos dicho hay números, llamadosirracionales, como por ejemplo

√2, que reclaman su punto en la recta (huecos).

Los números racionales representados por puntos en un recta.Por tanto, es evidente que este conjunto carece de números que están todo locercanos que queramos a un número racional, lo que muestra el concepto de”incompletitud” de Q. En cambio, al representar el conjunto de los númerosreales R, formado por la unión del conjunto de los números racionales y delconjunto de los números irracionales, sí que estamos ante un ”continuo” y cuyavisualización da lugar a lo que llamamos habitualmente recta real

La recta real

Hay varias formas de introducir la propiedad de completitud. Una de ellas,consiste en introducirla a través de la propiedad del supremo que se toma comootro axioma de los números reales. Otra, es introducirla a través de la propiedadde la sucesión monotona. Este otro método, más cercano a nuestra intuición,consiste en construir los números reales, como

√2 = 1,414213..., en forma de

límite de una sucesión que lo aproxima.Aquí introduciremos la completitud de R por la propiedad del supremo,

tomándola como axioma. Una descripción del otro método puede encontrarseen Marsden y Hoffman.

Definición 5 Sea S un subconjunto de R. Se dice que un número real u es unacota superior (resp. inferior) de S si para todo s ∈ S se cumple s ≤ u (resp.u ≤ s).

Observación 11 Hacemos las siguientes constataciones importantes:

1. Un número real v no es una cota superior (resp. inferior) de S si y sólosi existe algún s0 ∈ S tal que v ≤ s0 (resp. s0 ≤ v)

2. Cualquier número real es una cota superior (resp. inferior) del conjuntovacío ∅.

3. Un conjunto de números reales puede no tener una cota superior (resp.inferior). Por ejemplo, el mismo R no tiene cotas superiores ni inferiores.Sin embargo, si un conjunto de números reales tiene una cota superior(resp. inferior) tendrá una infinidad de ellas porque si u es una cota supe-rior (resp. inferior), entonces cualquier número real v tal que u < v (resp.v < u) también es una cota superior (resp. inferior).

Definición 6 Sea S un subconjunto de R. Se dice que S está acotado supe-riormente (resp. inferiormente) si tiene una cota superior (resp. inferior).Se dice que S está acotado si tiene tanto cota superior como inferior.

Definición 7 Sea S un subconjunto de R. Si S está acotado superiormente(resp. inferiormente), entonces se dice que una cota superior (resp. inferior) ues un supremo o una mínima cota superior (resp. ínfimo o una máximacota inferior) de S, si ningún número menor (resp. mayor) que u es cotasuperior (inferior) de S.

Observación 12 Otro modo de definir estos números es: un número real u esun supremo (resp. ínfimo) de un subconjunto S de R si satisface las siguientescondiciones:

1. para todo s ∈ S se tiene s ≤ u (resp. u ≤ s)

2. Si s ≤ v (resp. v ≤ s) para todo s ∈ S, entonces u ≤ v (resp. v ≤ u)

De hecho, la condición (1) establece que u es una cota superior (resp. infe-rior) de S y (2), que u es menor (resp. mayor) que cualquier otra cota superior(resp. inferior) de S.

Lema 1 Un número real u es el supremo (resp. ínfimo) de un subconjunto Sno vacío de R si y sólo si verifica las siguientes condiciones:

1. No existen números s ∈ S tales que u ≤ s (resp. s ≤ u)

2. Si v < u (resp. u < v), entonces existe un número s0 ∈ S tal que v < s0(resp. s0 < v)

Demostración: Supongamos que u satisface (1) y (2). La condición (1) implicaque u es una cota superior de S. Si v es cualquier número con v < u, entoncesla condición (2) prueba que v no puede ser cota superior de S. Por lo tanto, ues un supremo de S.Recíprocamente, sea u un supremo de S. Dado que u es una cota superior

de S, la condición (1) se satisface trivialmente. Si v < u, entonces v no es cotasuperior de S. Por lo tanto, existe algún s0 ∈ S tal que v ≤ s0.Del mismo modo se hace la prueba para el caso de que u es un ínfimo de S.

Observación 13 Es claro que sólo puede haber un supremo (ínfimo) para unsubconjunto dado S de R. En efecto, si u1 y u2 son supremos (ínfimos) de S,entonces ambos son cotas superiores (inferiores) de S. Como u1 es supremo

(ínfimo) de S y u2 es cota superior (inferior) de S, se debe tener u2 ≤ u1(u1 ≤ u2). Siguiendo el mismo razonamiento se prueba que u1 ≤ u2 (u2 ≤ u1).Por consiguiente, en cualquier caso se tiene u1 = u2.Cuando estos números existan se denotarán por

supS y inf S

Es claro que si u es una cota superior arbitraria de S, entonces

supS ≤ u

Asimismo, si u es una cota inferior arbitraria de S, entonces

u ≤ inf S

Esto quiere decir que supS (inf S) es la menor (mayor) de las cotas superiores(inferiores) de S.

supS y inf S

Lema 2 Una cota superior (resp. inferior) u de un subconjunto no vacío S deR es el supremo (resp. ínfimo) de S si y sólo si para cada > 0 existe s ∈ Stal que u− < s (u+ > s ).Demostración: Supongamos que u es una cota superior de S y que satisfacela condición del enunciado. Si v 0 yentonces existe s ∈ S tal que v = u − < s . Por lo tanto, v no es una cotasuperior de S. Puesto que v es un número arbitrario menor que u, se sigue queu = supS.Recíprocamente, supongamos que u = supS y sea > 0. Puesto que u− < u,

entonces u − no es cota superior de S. Por lo tanto, existe algún s ∈ S talque u− < s .Mediante un razonamiento análogo se prueba el otro caso.

u = supS

Observación 14 Es muy importante entender que el supremo (ínfimo) de unconjunto puede ser elemento o no del conjunto en consideración.

Definición 8 Sea S un subconjunto de R. Se dice que un elemento u ∈ S esel elemento máximo (resp. elemento mínimo) de S si se cumple s ≤ u (resp.u ≤ s) para todo s ∈ S.

Observación 15 Si u = supS y además se cumple que u ∈ S, entonces u esel máximo de S. Análogamente, si u = inf S y se cumple u ∈ S, entonces u esel mínimo de S.

Ejemplo 5 Examina con detalle los siguientes ejemplos:

1. Si S1 es un subconjunto no vacío de números reales que tiene un númerofinito de elementos, entonces es fácil probar que S1 tiene máximo y mín-imo. Esto resulta evidente si S1 tiene un solo elemento, y para cualquiernúmero finito de elementos se demuestra por inducción respecto al númerode elementos de S.

2. El conjunto S2 = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} tiene evidentemente a 1 y a 0 comocotas superior e inferior respectivamente. Además, 1 es el supremo y 0es el ínfimo de S2. Por ejemplo, se prueba que 1 es el supremo de lasiguiente manera: si v < 1, existe un elemento s ∈ S2 tal que v < s <1. En consecuencia, v no es una cota superior de S2 y, puesto que ves un número arbitrario menor que 1, se sigue que supS2 = 1. Con unrazonamiento similar se prueba que inf S2 = 0. Obsérvese que tanto supS2como inf S2 están contenidos en S2. En tal caso podemos afirmar que 1 y0 son respectivamente el máximo y el mínimo de S2.

3. Es evidente que 1 y 0 son respectivamente cota superior e inferior delconjunto S3 = {x ∈ R : 0 < x < 1}. Aplicando el mismo razonamiento deantes se ve que supS3 = 1 y inf S3 = 0. En este caso, el conjunto nocontiene a estos dos elementos. Por consiguiente, S3 no tiene máximo nimínimo.

4. El conjunto vacío no tiene supremo ni ínfimo porque cualquier númeroreal es cota superior e inferior de dicho conjunto.

Axioma 1 (Propiedad del supremo) Todo conjunto no vacío de númerosreales y acotado superiormente tiene supremo en R.

Observación 16 Constatamos los siguientes hechos importantes:

1. Con todos los supuestos que se han hecho hasta ahora sobre el conjun-to R, con los cuales R es un cuerpo ordenado, no es posible demostrarque cualquier subconjunto no vacío que esté acotado superiormente tienesupremo en R. Esta propiedad que suele denominarse de completitud de Res la hipótesis final acerca de R. De este modo, se dice que R es un cuerpoordenado completo.

2. La propiedad análoga del ínfimo se puede deducir del axioma del supre-mo. Supongamos que S es un subconjunto no vacío de R que está acotadoinferiormente. Entonces el conjunto S = {−s : s ∈ S} está acotado su-periormente y por el axioma del supremo tiene supremo. Sea u = supS,entonces es fácil probar que −u es el ínfimo de S. De este modo tenemos:todo conjunto de números reales no vacío y acotado inferiormente tieneínfimo en R.

Teorema 19 (Propiedad arquimediana) Si x ∈ R, entonces existe un númeronatural nx tal que x < nx.Demostración: Si la conclusión es falsa, entonces x es una cota superior deN. Por el axioma del supremo, el conjunto no vacío N tiene supremo u ∈ R.Puesto que u−1 < u, por el lema 2 se sigue que existe m ∈ N tal que u−1 < m.Pero entonces u < m + 1 y puesto que m + 1 ∈ N, esto contradice la hipótesisde que u es cota superior de N.

Corolario 4 Dados dos números reales positivos y y z, entonces:

1. Existe n ∈ N tal que z < ny

2. Existe n ∈ N tal que 1n < y

3. Existe n ∈ N tal que n− 1 ≤ z < n

Demostración: (1) Puesto que x = zy > 0, por la propiedad arquimediana

existe n ∈ N tal que zy < n y, por tanto, z < ny.

(2) Si hacemos z = 1 en (1) se tiene 1 < ny, lo cual implica que 1n < y.

(3) La propiedad arquimediana asegura que el conjunto {m ∈ N : z < m} deN es no vacío. Sea n el mínimo de este conjunto, que existe por la propiedaddel buen orden de N. Entonces n − 1 no pertenece a este conjunto y por tantose tiene n− 1 ≤ z < n.


1. La propiedad arquimediana es una consecuencia importante del axiomadel supremo. Esta propiedad asegura que el subconjunto N de los númerosnaturales no está acotado superiormente en R. Debido a la familiaridaden representar los números sobre la recta real, esto parece un hecho obvio.Sin embargo, resulta significativo que esta propiedad no se pueda deducirsin el axioma del supremo.

2. El apartado (2) del corolario anterior muestra que dado cualquier númeroreal z > 0 hay un número racional de la forma 1

n con 0 < 1n < z. Por

lo tanto, no existe ningún número real mínimo estrictamente positivo, obien, existen números racionales arbitrariamente pequeños de la forma 1

n .

3. La propiedad arquimediana también se satisface en Q.

Teorema 20 (Existencia de√2) Existe un número real positivo x tal que

x2 = 2.Demostración: Sea S =

©s ∈ R : 0 ≤ s, s2 < 2

ª. Puesto que 1 ∈ S, el conjunto

es no vacío. Asimismo, S está acotado superiormente por 2, ya que de no serasí existiría un elemento t ∈ S tal que 2 < t por lo que se tendría entonces que4 < t2, lo que es una contradicción. Por el axioma del supremo se tiene que Stiene supremo en R. Sea x = supS. Es claro que x > 1. Probaremos que x2 = 2,descartando las otras dos posibilidades: x2 < 2 y x2 > 2.Supongamos que x2 < 2. Evidentemente se cumple

1

n2≤ 1

n

de donde µx+

1

n

¶2= x2 +

2x

n+1

n2≤ x2 +

1

n(2x+ 1)

Por tanto, si se puede elegir n de manera que

x2 +1

n(2x+ 1) < 2

es decir1

n(2x+ 1) < 2− x2

entonces µx+

1

n

¶2< 2

lo que significa que

x+1

n∈ S

Ahora bien, por hipótesis sabemos que 2− x2 > 0 y 2x+ 1 > 0, de donde

2− x2

2x+ 1> 0

Por tanto, por la propiedad arquimediana, existe n ∈ N tal que1

n<2− x2

2x+ 1

Para este valor de n se tiene como hemos visto, que

x+1

n∈ S

lo cual contradice el hecho de que x es cota superior de S. Por lo tanto no esposible que x2 < 2.Supongamos ahora que x2 > 2. Obsérvese queµ

x− 1

m

¶2= x2 − 2x

m+

1

m2> x2 − 2x

m

Por tanto, si se puede elegir m de manera que

x2 − 2xm

> 2

es decir2x

m< x2 − 2

entonces µx− 1

m

¶2> 2

Por hipótesis se tiene que x2 − 2 > 0 y x > 0, de donde

x2 − 22x

> 0

Por tanto, por la propiedad arquimediana, existe m ∈ N tal que

1

m<

x2 − 22x

Para este valor de m se tiene como hemos visto, queµx− 1

m

¶2> 2

Ahora bien, si s ∈ S, entonces

s2 < 2 <

µx− 1

m

¶2de donde se sigue por teorema 11 que

s < x− 1

m

lo que significa que el número

x− 1

m

es una cota superior de S, pero es contradictorio con el hecho de que x = supS.Por consiguiente, no se puede tener x2 > 2.A la vista de ambos resultados se debe tener x2 = 2.


1. Este último resultado pone de relieve la importancia del axioma del supre-mo al asegurar la existencia de un número real positivo x tal que x2 = 2.Ya se demostró en el teorema 3 que dicho x no puede ser un númeroracional, por tanto, se ha demostrado también la existencia de al menosun número irracional.

2. El conjunto de los números racionales Q no cumple la propiedad del supre-mo. Por ejemplo, el conjunto A =

©x ∈ Q : x2 < 2ª no posee supremo en

Q. El último teorema prueba este hecho.

3. Haciendo ligeras modificaciones en el razonamiento usado en la demostracióndel teorema anterior, puede probarse que si a > 0, entonces existe unnúmero b > 0 único tal que b2 = a. A este número se le llama raíz cuadradapositiva de a y se denota por b =

√a o bien por b = a1/2. Un razonamiento

similar pero un tanto más complicado en el que interviene la fórmula delbinomio hace posible establecer la existencia de la raíz n− ésima positivaúnica de a, denotada por n

√a o bien por a1/n, para cada n ∈ N.

Corolario 5 Sea x > 0 un número irracional y sea z > 0. Entonces existe unnúmero natural n tal que el número irracional x/n satisface

0 <x

n< z

Demostración: Dado que x > 0 y z > 0, se sigue que x/z > 0. Por la propiedadarquimediana, existe un número natural n tal que

0 <x

z< n

Por lo tanto, se tiene

0 <x

n< z

y es fácil probar que x/n es irracional.

Observación 19 En el corolario anterior hemos probado que existen númerosirracionales infinitamente pequeños de la forma x/n, siendo x un número irra-cional dado y n cualquier número natural.

Teorema 21 (Propiedad de densidad de los números racionales) Si x ey son números reales con x < y, entonces existe un número racional q tal quex < q < y.Demostración: Sin ninguna pérdida de generalidad podemos suponer que x >0, ¿por qué? porque si no es así, debe ser x = 0 o bien x < 0. En el primercaso, se tiene 0 < y y el teorema resulta del corolario 4. Si x < 0, entoncespuede ocurrir que uno sólo de los siguientes casos: (1) y = 0, (2) y > 0 y (3)y < 0. En (1), se tiene −x > 0 y el teorema resulta del mismo corolario. En (2),se tiene x < 0 y y > 0. Por tanto, el número racional 0 cumple la condicióndel teorema. Finalmente, en (3) se tiene x < y < 0, o sea 0 < −y < −x, yse procederá como el caso supuesto que a continuación exponemos. Puesto quey − x > 0, por el corolario 4, existe n ∈ N tal que

1

n< y − x

de dondeny − nx > 1

Por ser x > 0, entonces nx > 0. Por el corolario 4, existe m ∈ N tal que

m− 1 ≤ nx < m

Este valor de m satisface también m < ny, ya que m ≤ nx+1 < ny. Por tanto,se tiene

nx < m < ny

de donde q = m/n es un número racional que satisface

x < q < y

Corolario 6 (Propiedad de densidad de los números irracionales) Si xe y son dos números reales con x < y, entonces existe un número irracional ztal que

x < z < y

1.7. INTERVALOS 27

Demostración: Aplicando el teorema anterior a los números x/√2 y y/

√2, se

obtiene un número racional q 6= 0 tal quex√2< q <

y√2

De aquí, tomando z = q√2, se tiene

x < z < y

Finalmente, es fácil probar que q√2 es irracional.

Observación 20 A partir de los dos resultados anteriores podemos afirmar queel conjunto de los números racionales es ”denso” en R, en el sentido de que esposible hallar un número racional (de hecho, un número indefinido de ellos)entre dos números reales diferentes (teorema 21), y se tiene la misma propiedadde densidad para el conjunto de los números irracionales (corolario 6).

1.7. Intervalos

Definición 9 Si a, b ∈ R y a ≤ b, se llama

1. Intervalo abierto de extremos a y b al subconjunto siguiente:

]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b}

2. Intervalo cerrado de extremos a y b al subconjunto siguiente:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

3. Intervalo semiabierto por la derecha de extremos a y b al subconjuntosiguiente:

[a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b}

4. Intervalo semiabierto por la izquierda de extremos a y b al subcon-junto siguiente:

]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}

5. Semirrectas abiertas de extremo a a los subconjuntos siguientes:

]a,+∞[ = {x ∈ R : x > a}]−∞, a[ = {x ∈ R : x < a}

6. Semirrectas cerradas de extremo a a los subconjuntos siguientes:

[a,+∞[ = {x ∈ R : x ≥ a}]−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}

Observación 21 Hacemos las siguientes anotaciones:


1. Es frecuente pensar en el conjunto completo R como un intervalo infinito.En este caso se escribe

]−∞,+∞[ = R

2. Cada uno de los intervalos del (1) al (4) tiene una longitud definida porb − a. Obsérvese que si a = b, el intervalo abierto correspondiente es elconjunto vacío

]a, a[ = ∅y el intervalo cerrado correspondiente es el conjunto de un solo elemento

[a, a] = {a}

3. Se observará que los intervalos (1) al (4) son conjuntos acotados. Lassemirrectas (5) y (6) son conjuntos no acotados. En la denotación de lassemirrectas se han usado los símbolos −∞ y +∞. Estos símbolos deberánconsiderarse solamente como acuerdos de notación; no son elementos deR.

4. Se llama intervalo unitario al intervalo cerrado [0, 1].

Definición 10 Se dice que una sucesión de intervalos I1, I2, ..., In, ... es unasucesión de intervalos encajados si se cumple la siguiente cadena de inclusiones

I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ In+1 ⊇ · · ·

Ejemplo 6 Si

In =

·0,1

n

¸entonces se cumple

In ⊇ In+1

para cada n, por lo que los intervalos están encajados. En este caso, el número0 pertenece a todo In y además se cumple

∞\n=1

In = {0}

1.7. INTERVALOS 29

En efecto, de la propiedad arquimediana se sigue que para cualquier x > 0 existem ∈ N tal que

0 <1

m< x

de dondex /∈ Im

Por lo tanto,

x /∈∞\n=1

In

Observación 22 Es importante entender que, en general, una sucesión de in-tervalos encajados no necesariamente tiene un punto común. Por ejemplo, si

In =

¸0,1

n

·entonces esta sucesión es de intervalos encajados, pero los intervalos no tienenningún punto en común. En efecto, para cualquier x > 0 existe m ∈ N tal que

1

m< x

lo cual quiere decir quex /∈ Im

Por lo tanto

x /∈∞\n=1

In

Teorema 22 (Propiedad de los intervalos encajados) Si In = [an, bn], n ∈N, es una sucesión de intervalos cerrados encajados no vacíos, entonces existeξ ∈ R tal que ξ ∈ In para todo n ∈ N.Demostración: Puesto que los intervalos están encajados, se tiene In ⊆ I1para todo n ∈ N, por lo que an ≤ b1 para todo n ∈ N. Por tanto, el conjuntono vacío {an : n ∈ N} está acotado superiormente y, por el axioma del supremo,existe su supremo. Sea ξ = sup {an : n ∈ N}. Evidentemente, an ≤ ξ para todon ∈ N. Se tiene además que ξ ≤ bn para todo n ∈ N, ya que de no ser así,existiría algún m ∈ N tal que bm < ξ. Dado que ξ = sup {an : n ∈ N}, debeexistir ap tal que bm < ap. Sea q el mayor de los números naturales m y p.Puesto que

a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · ·b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn ≥ · · ·

se deduce que bq ≤ bm < ap ≤ aq. Pero esto implica que bq < aq, lo cual noes posible ya que Iq = [aq, bq] es un intervalo cerrado no vacío. Por lo tanto,ξ ≤ bn para todo n ∈ N. Como an ≤ ξ ≤ bn para todo n ∈ N, de aquí se sigueξ ∈ In = [an, bn] para todo n ∈ N.

Observación 23 En las mismas hipótesis del teorema anterior, se demuestraque puede haber más de un elemento común. De hecho, si se supone que η =inf {bn : n ∈ N}, entonces se tiene

[ξ, η] =∞\n=1

In

Teorema 23 Si In = [an, bn], n ∈ N, es una sucesión de intervalos cerradosencajados no vacíos tales que las longitudes bn − an de In cumplen

inf {bn − an : n ∈ N} = 0

entonces existe un único número real ξ perteneciente a todos los intervalos dela sucesión.Demostración: Puesto que los intervalos están encajados, se tiene In ⊆ I1para todo n ∈ N, por lo que a1 ≤ bn para todo n ∈ N. Por tanto, el conjunto{bn : n ∈ N} está acotado inferiormente y, en consecuencia, existe su ínfimo.Sea η = inf {bn : n ∈ N}. Evidentemente, η ≤ bn para todo n ∈ N. Medianteun razonamiento similar al de la demostración del teorema 22, se prueba quean ≤ η para todo n ∈ N. Por consiguientem se tiene an ≤ ξ ≤ η ≤ bn. De hecho,como hemos observado antes, se puede demostrar que x ∈ In para todo n ∈ N siy sólo si ξ ≤ x ≤ η. Ahora bien, si tenemos inf {bn − an : n ∈ N} = 0, entoncespara cualquier > 0 existe m ∈ N tal que 0 ≤ η − ξ ≤ bm − am < . Puesto queesto se cumple para cualquier > 0, por el teorema 8 se deduce que η − ξ = 0.Por lo tanto, se concluye que η = ξ es el único elemento que pertenece a In paratodo n ∈ N.

1.8. Conjuntos infinitosDefinición 11 Si n ∈ N, se dice que un conjujnto S tiene n elementos si existeuna aplicación biyectiva del subconjunto {1, 2, ..., n} de N en S. Se dice que Ses finito si es vacío, o bien tiene n elementos, para un cierto n ∈ N. Se dice queun conjunto es infinito si no es finito.

Teorema 24 Un conjunto S1 tiene n elementos si y sólo si existe una aplicaciónbiyectiva de S1 en un conjunto S2 que tiene n elementos.Demostración: Si S1 tiene n elementos, por definición S1 es biyectable conel conjunto {1, 2, ..., n} que tiene n elementos. Por tanto, es suficiente tomarS2 = {1, 2, ..., n}. Recíprocamente, sea ϕ : S1 → S2 la aplicación biyectiva.Como S2 tiene n elementos, por definición existe una aplicación biyectiva ψde {1, 2, ..., n} en S2. Entonces la aplicación ϕ−1 ◦ ψ de {1, 2, ..., n} en S1 esbiyectiva y, en consecuencia, S1 tiene n elementos.

Corolario 7 Un conjunto S1 es finito si y sólo si existe una biyección de S1 enun conjunto S2 que es finito.Demostración: La prueba es análoga a la realizada en la demostración ante-rior, sabiendo que un conjunto no vacío es finito si tiene n elementos.

Teorema 25 1. Sean m,n ∈ N tales que m ≤ n. Entonces existe una apli-cación inyectiva del conjunto {1, 2, ...,m} en el conjunto {1, 2, ..., n}.

1.8. CONJUNTOS INFINITOS 31

2. Sean m,n ∈ N tales que m > n. Entonces no existe una inyección de{1, 2, ...,m} en {1, 2, ..., n}.

Demostración: (1) Definimos la aplicación ϕ : {1, 2, ...,m}→ {1, 2, ..., n} porϕ(k) = k para 1 ≤ k ≤ m. Es obvio que ϕ es inyectiva.(2) La demostración se hace por inducción. Para n = 1, cualquier aplicación

ϕ : {1, 2, ...,m} → {1}, con m > 1, cumple ϕ(1) = · · · = ϕ(m) = 1, lo quenos asegura que ϕ no es inyectiva. Supongamos ahora que para k > 1 ningunaaplicación de {1, 2, ...,m} en {1, 2, ..., k}, con m > k, no es inyectiva. Se probaráque tampoco ninguna aplicación ψ de {1, 2, ...,m} en {1, 2, ..., k + 1}, con m >k + 1, es inyectiva. En efecto, si ψ({1, 2, ...,m}) está contenido en {1, 2, ..., k},entonces por la hipótesis de inducción ψ no es una inyección en {1, 2, ..., k} y, portanto, no es una inyección en {1, 2, ..., k, k + 1}. En consecuencia, suponemosque ψ({1, 2, ...,m}) no está contenido en {1, 2, ..., k}. Si más de un elemento de{1, 2, ...,m} se corresponde con k + 1, entonces ψ no es inyectiva. Por tanto,debemos suponer que sólo un cierto p ∈ N se corresponde con k + 1. Definimosahora la aplicación ψ1 : {1, 2, ...,m− 1}→ {1, 2, ..., k} por

ψ1(q) =

½ψ(q) si 1 ≤ q < pψ(q − 1) si p ≤ q ≤ m− 1

que, por hipótesis de inducción, no es inyectiva. Por consiguiente, ψ no es in-yectiva.

Teorema 26 1. Sim ∈ N, entonces existe una aplicación inyectiva de {1, 2, ...,m}en N.

2. Si m ∈ N, entonces no existe una aplicación inyectiva de N en {1, 2, ...,m}.Demostración: La prueba es análoga a la demostración del teorema anterior.

Corolario 8 El conjunto de los números naturales N es un conjunto infinito.Demostración: Si N fuera finito, entonces existiría un m ∈ N y una aplicaciónbiyectiva de {1, ...,m} en N. Pero esto significa que la aplicación inversa de Nen {1, ...,m} es inyectiva, lo que no es posible por el teorema anterior.Teorema 27 Un subconjunto T de un conjunto finito S es finito.Demostración: Se puede suponer que T es no vacío, porque si fuera vacío seríafinito. La demostración se hace por inducción sobre el número de elementos delconjunto S. Si S tiene un elemento, entonces es evidente que el único subcon-junto no vacío T de S debe coincidir con S, y, por tanto, es un conjunto finito.Supongamos ahora que todo subconjunto no vacío de un conjunto de k elementoses finito. Si ahora S tiene k + 1 elementos, entonces existe una biyección ϕ deNk+1 en S. Si T es un subconjunto no vacío de S y ϕ(k + 1) /∈ T , entonces sepuede considerar que T es un subconjunto del conjunto S1 = S − {ϕ(k + 1)}, elcual tiene k elementos. Por tanto, por hipótesis de inducción, T es finito. Sinembargo, si ϕ(k+ 1) ∈ T , entonces el conjunto T1 = T − {ϕ(k + 1)} es un sub-conjunto de S1, el cual tiene k elementos. Por consiguiente, T1 es un conjuntofinito, y en consecuencia, T = T1 ∪ {ϕ(k + 1)} también es un conjunto finito.Teorema 28 Si S es un conjunto infinito y S ⊆ U , entonces U es un conjuntoinfinito.Demostración: Si U fuera finito, entonces por el teorema anterior se seguiríaque S es un conjunto finito, lo cual contradice la hipótesis.

Ejemplo 7 Sea f : N → N una aplicación inyectiva. Demostrar que el conjunto

A = {n ∈ N : f(n) ≥ n}

es infinito.Solución: Supongamos que A fuera finito. Entonces existen

n0 = maxn∈A

{f(n)}n1 = max

n∈A{n}

por el principio del buen orden de los números naturales. Además, por definiciónde A, se tiene n0 ≥ n1. Puesto que por hipótesis f es inyectiva, se tiene

{1, 2, ..., n0} ⊆ {f(1), f(2), ..., f(n0)}

Sea n ∈ {1, 2, ..., n0}, entonces se cumple una de las siguientes posibilidades:n ∈ A o n /∈ A. Si n ∈ A, entonces n ≤ f(n) ≤ n0. Si n /∈ A, entoncesf(n) < n ≤ n0. En cualquier caso, se deduce

{f(1), f(2), ..., f(n0)} ⊆ {1, 2, ..., n0}

Por tanto,{f(1), f(2), ..., f(n0)} = {1, 2, ..., n0}

Finalmente, se cumplen0 + 1 > n0 ≥ n1

y por tanto, n0 + 1 /∈ A. De aquí, se deduce

f(n0 + 1) < n0 + 1

de dondef(n0 + 1) ≤ n0

lo que es una contradicción por el hecho de que {f(1), f(2), ..., f(n0)} = {1, 2, ..., n0}y f inyectiva.

1.9. Conjuntos numerables

Definición 12 Se dice que un conjunto S es infinito numerable si existe unaaplicación biyectiva de N en S. Se dice que un conjunto S es numerable si esfinito o bien infinito numerable. Se dice que un conjunto S es no numerablesi no es finito ni infinito numerable.

Ejemplo 8 Examínense los siguientes ejemplos con detalle.

1. El conjunto de los números naturales pares P = {2n : n ∈ N} es infinitonumerable, ya que la aplicación ϕ : N→ P definida por ϕ(n) = 2n, n ∈ N,es biyectiva. De manera similar, el conjunto de los números naturalesimpares I = {2n− 1 : n ∈ N} es infinito numerable.

1.9. CONJUNTOS NUMERABLES 33

2. El conjunto de los números enteros Z es infinito numerable. Para verlo,consideremos la disposición siguiente de los conjuntos Z y N:

0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, ...1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

La correspondencia entre estas dos listas se establece mediante la siguienteaplicación:

f(n) =

½n2 si n es par−n−1

2 si n es impar

que es biyectiva.

3. Utilizando el mismo razonamiento anterior, puede demostrarse ensegui-da que la unión disjunta de dos conjuntos infinito numerables es infinitonumerable. Uno de los dos conjuntos se enumera mediante los númerosnaturales pares y el otro, mediante los impares.

Teorema 29 Un conjunto S1 es infinito numerable (resp. numerable) si y sólosi existe una biyección de S1 en un conjunto S2 que es infinito numerable (resp.numerable).Demostración: Si S1 es infinito numerable, existe una biyección de N en S1,y N es un conjunto infinito numerable. Recíprocamente, sea ϕ : S1 → S2 labiyección. Puesto que S2 es infinito numerable existe una biyección ψ de N enS2. Entonces, ϕ−1 ◦ ψ es una aplicación biyectiva de N en S1.De manera análoga se procede para el caso de conjuntos numerables.

Teorema 30 Si un conjunto S es numerable y T ⊆ S, entonces T es numerable.Demostración: Si S es finito, por el teorema 27, T es finito. Si T es finito,entonces se ha terminado la prueba. De este modo, podemos suponer que S esinfinito numerable y T ⊆ S es infinito. Sea f una biyección de N en S y seaU = {n ∈ N : f(n) ∈ T} = f−1(T ). Puesto que T no es vacío, se sigue que Ues no vacío. Podemos ahora aplicar la propiedad de buena ordenación de N paraobtener el elemento mínimo u1 de U . Entonces se hace que u2 sea el elementomínimo de U − {u1}, que debe ser no vacío, porque T es infinito. Procediendode este modo, obtenemos u1, u2, ..., uk de U . Hacemos que uk+1 sea el elementomínimo de U−{u1, u2, ..., uk}, que debe ser también no vacío por la misma razónde antes. Por construcción, tenemos 1 ≤ u1 < u2 < · · · < uk < uk+1 < · · · ,de donde se deduce por inducción que r ≤ ur para todo r ∈ N. Ahora se definela aplicación g : N → N por g(r) = ur, para cada r ∈ N. Del hecho de queuk+1 /∈ {u1, u2, ..., uk}, se deduce que g es inyectiva. Por lo tanto, la aplicaciónf ◦ g es inyectiva de N en S. Puesto que los valores que toma esta aplicaciónestán contenidos en T ⊆ S, podemos considerarla como una inyección de Nen T . Puesto que f es exhaustiva, para todo t ∈ T ⊆ S se tiene f(nt) = tpara un cierto nt ∈ U ⊆ N. Sin embargo, como r ≤ ur = g(r) para r ∈ N,se tiene nt = g(mt) para un cierto mt ∈ N y mt ≤ nt. Por consiguiente,t = f(nt) = f(g(mt)) = (f ◦ g)(mt), con lo cual se demuestra que f ◦ g es unaaplicación exhaustiva de N en T . Por consiguiente, f ◦ g es biyectiva y T esinfinito numerable.

Observación 24 El teorema anterior muestra que los conjuntos infinito nu-merables representan la "menor infinidad"posible, en el sentido de que un con-junto que es numerable puede ser un subconjunto de uno numerable.


Teorema 31 1. El conjunto S es numerable si y sólo si existe una inyecciónde S en N.

2. El conjunto S es numerable si y sólo si existe una aplicación exhaustivade N sobre S.

Demostración: Como una biyección es una aplicación inyectiva y exhaustiva,la condición de que S es numerable lleva consigo las condiciones enunciadas.Por tanto, es necesario demostrar que cada una de las condiciones dadas implicaque S sea numerable.

1. Sea f : S → N una aplicación inyectiva. Entonces f es una biyección deS en f(S) ⊆ N. Ahora bien, por el teorema 30, f(S) es numerable. Deaquí, por el teorema 29, S es numerable.

2. Sea g : N → S una aplicación exhaustiva. Definimos la aplicación g1 :S → N de la siguiente manera: para cada s ∈ S, g1(s) es el elementomínimo del conjunto {n ∈ N : g(n) = s} que es no vacío, ya que g esexhaustiva Sean s, t ∈ S y s 6= t, entonces los subconjuntos {n ∈ N :g(n) = s} y {n ∈ N : g(n) = t} de N son disjuntos. Por el buen orden deN, se sigue que g1(s) 6= g1(t). Por consiguiente, g1 es inyectiva y, por (1),se concluye que S es numerable.

Observación 25 La parte (2) del teorema anterior nos muestra como un con-junto numerable es un conjunto S cuyos elementos se pueden presentar comolos valores de una sucesión

S = {x1, x2, ..., xn, ...}en donde se permiten las repeticiones. En consecuencia, ya no es tan indispens-able que la aplicación sea inyectiva.

Teorema 32 El conjunto de los números racionales Q es numerable.Demostración: Se demostrará que el conjunto Q+ de los números racionalespositivos es infinito numerable. Entonces, como Q = Q+ ∪ {0}∪Q−, donde Q−es el conjunto de los números racionales negativos, se seguirá que Q es infinitonumerable, del mismo modo que Z en el ejemplo 8.Se muestra el conjunto F de todas las fracciones m/n, con m,n ∈ N de

acuerdo con la siguiente ordenación: la n− ésima fila se compone de todas lasfracciones con n en el denominador

La aplicación de N en F se define según lo indican las flechas. Se tiene entonces

F =

½1

1,1

2,2

1,1

3,2

2,3

1, ...

¾

1.9. CONJUNTOS NUMERABLES 35

Por lo tanto, el conjunto F es infinito numerable. Cada número racional estárepresentado por muchos elementos diferentes de F ; por ejemplo, 1 = 1/1 =2/2 = · · · . Para cada r ∈ Q+ se puede elegir como representante la fraccióncon el menor denominador y, por tanto, es posible considerar Q+ como unsubconjunto de F . De este modo, por el teorema 30, Q+ es infinito numerable.

Teorema 33 El conjunto [0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} no es numerable.Demostración: Se supone que se sabe que todo número real x tal que 0 ≤ x ≤ 1tiene una representación decimal de la forma x = 0.a1a2a3 · · · , en donde cadaak es un dígito entre 0 y 9. Se debe tener presente que ciertos números realestienen dos representaciones de esta forma; por ejemplo, el número racional 1/10puede representarse de dos maneras

0,1000 · · · y 0,0999 · · ·Dado que Q cumple la propiedad arquimediana, hay una infinidad de númerosracionales en dicho intervalo. Por tanto, el conjunto [0, 1] no puede ser finito.Ahora se probará que no es infinito numerable. Supongamos que hay una enu-meración x1, x2, ... de todos los números reales en [0, 1]. Expresemos cada xk enforma decimal:

x1 = 0.a11a12a13 · · ·x2 = 0.a21a22a23 · · ·

...

xn = 0.an1an2an3 · · ·...

Sea ahora b1 un dígito distinto de 0, a11 y 9, b2 un dígito distinto de 0, a22 y9, b3 un dígito distinto de 0, a33 y 9, etc. Consideremos el número real x cuyarepresentación decimal es

x = 0.b1b2b3 · · ·que claramente satisface 0 ≤ x ≤ 1. El número x no es uno de los números condos representaciones decimales, ya que bn 6= 0 y bn 6= 9. Además, x 6= xn paracualquier n ∈ N, porque x y xn tienen dígitos diferentes en la n− ésima cifradecimal. Por lo tanto, cualquier lista de números reales en este intervalo omitiráal menos un número real que pertenece a este intervalo. En consecuencia, esteintervalo no es un conjunto numerable.

Corolario 9 1. El conjunto de los números reales R no es numerable.

2. Un intervalo (no vacío) de R no es numerable.Demostración:

1. Es evidente a partir del teorema 33, pues si fuera numerable, por el teorema30, cualquier subconjunto sería numerable y esto es contradictorio con elhecho de que [0, 1] es no numerable

2. Un cambio de escala mediante la aplicación f(x) = a + (b − a)x pone elintervalo [0, 1] en correspondencia biyectiva con el intervalo [a, b]. Por elteorema 33, el intervalo [a, b] no es numerable.


Observación 26 Hacemos las siguientes consideraciones importantes:

1. Del hecho de que R es no numerable y de que Q es numerable se sigue queel conjunto de los números irracionales R−Q es no numerable. En efecto,puesto que la unión de dos conjuntos disjuntos numerables es numerable,si R − Q fuera numerable se deduciría que R sería numerable, lo cual escontradictorio con el corolario anterior.

2. Un conjunto finito no puede ser biyectable a uno de sus subconjuntos pro-pios. Sin embargo, esto es posible para conjuntos infinitos (según se mues-tra en el ejemplo 8, en el que N es un subconjunto propio de Z). Se con-sidera el siguiente resultado como un axioma de la teoría de conjuntos:todo conjunto infinito tiene un subconjunto infinito numerable. De esteresultado se sigue que un conjunto es infinito si es biyectable a uno de sussubconjuntos propios. De este modo, podemos sustituir la definición 11 porla que acabamos de encunciar.

Capítulo 2

Sucesiones de númerosreales

2.1. DefiniciónDefinición 13 Una sucesión de números reales es una aplicación f : N→R. Dicho de otro modo, una sucesión en R asigna a cada número natural unnúmero real determinado de manera única. Los números reales así obtenidos sellaman los elementos, valores o términos de la sucesión. Es habitual denotarpor xn, en lugar de f(n), al número real asignado a n por la sucesión. De estemodo, la sucesión se denotará por

X = (xn : n ∈ N)o simplemente X = (xn).

Observación 27 Hacemos las siguientes anotaciones:

1. No hay que confundir la sucesión (xn : n ∈ N), cuyos elementos tienen unorden, y el conjunto {xn : n ∈ N} de los valores de esta sucesión, los cualesno se consideran ordenados. Por ejemplo, la sucesión ((−1)n : n ∈ N)viene dada por enumeración como sigue

(−1, 1,−1, 1, ...)mientras que el conjunto {(−1)n : n ∈ N} de los valores de la sucesión esigual al siguiente conjunto

{−1, 1}2. Al definir una sucesión es costumbre enumerar en orden los términos de

la misma, deteniéndose cuando la regla de formación parece evidente. Así,la sucesión de los números naturales pares se puede escribir como sigue

(2, 4, 6, 8, ...)

Del mismo modo escribimos por ejemplo la sucesión de los inversos de loscubos de los números naturales

(1

23,1

43,1

63,1

83, ...)

37

38 CAPÍTULO 2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES

3. Otro método más satisfactorio para definir una sucesión consiste en daruna fórmula para el término general de la sucesión. De esta manera, lassucesiones del apartado anterior se escriben como sigue

(2n : n ∈ N)(1

m3: m ∈ N)

4. Finalmente, también podemos encontrar las sucesiones definidas recursi-vamente. Esto es así cuando se especifica el valor de x1 y una fórmulapara obtener xn+1 a partir de x1, x2, ..., xn. De esta manera, la sucesiónde los números naturales pares se puede definir por

x1 := 2 xn+1 := xn + 2 (n ≥ 1)o también por

x1 := 2 xn+1 := xn + x1 (n ≥ 1)Ejemplo 9 Examina detenidamente los siguientes ejemplos:

1. Si a ∈ R, la sucesión (a, a, a, ...), cuyos términos son iguales a a, se llamasucesión constante a. Por tanto, la sucesión constante 0 es la sucesión(0, 0, 0, ...), cuyos términos son iguales a 0.

2. La sucesión de los cuadrados de los números naturales es la sucesión(12, 22, 32, ...) = (n2 : n ∈ N).

3. La sucesión cuyo término general viene dado por la fórmula

xn =n

n+ 1

es la sucesión(1

2,2

3,3

4,4

5, ...)

4. La sucesión de Fibonacci es la sucesión (fn) definida recursivamente comosigue:

f1 = 1 f2 = 1 fn+1 = fn−1 + fn (n ≥ 2)Los diez primeros términos de esta sucesión son

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...)

2.2. Operaciones con sucesionesDefinición 14 Si X = (xn) y Y = (yn) son dos sucesiones de números realescualesquiera, entonces su suma se define como la sucesión

X + Y = (xn + yn : n ∈ N)su diferencia se define como la sucesión

X − Y = (xn − yn : n ∈ N)

2.2. OPERACIONES CON SUCESIONES 39

y su producto como la sucesión

XY = (xn · yn : n ∈ N)

Si a ∈ R, se define el producto de (xn) por a como la sucesión

aX = (a · xn : n ∈ N)

Por último, si Z = (zn) es una sucesión de números reales con zn 6= 0 para todon ∈ N, entonces se define el cociente de X y Z como la sucesión

X

Z= (

xnzn: n ∈ N)

Ejemplo 10 Dadas las sucesiones

X = (1, 3, 5, 7, ...) = (2n− 1 : n ∈ N)Y = (1,

1

2,1

3,1

4, ...) = (

1

n: n ∈ N)

entonces tenemos:

1. La suma X + Y , es la sucesión

(2,7

2,16

3,29

4, ...) = (

2n2 − n+ 1

n: n ∈ N)

2. La diferencia X − Y , es la sucesión

(0,5

2,14

3,27

4, ...) = (

2n2 − n− 1n

: n ∈ N)

3. El producto XY , es la sucesión

(1,3

2,5

3,7

4, ...) = (

2n− 1n

: n ∈ N)

4. El producto 2X, es la sucesión

(2, 6, 10, 14, ...) = (4n− 2 : n ∈ N)

5. El cociente XY , es la sucesión

(1, 6, 15, 28, ...) = (2n2 − n : n ∈ N)

Si Z denota la sucesión cuyo término general es zn = 1 + (−1)n, es decir,la sucesión

(0, 2, 0, 2, ...)

entonces están definidas las sucesiones X+Z, X−Z y XZ, pero no está definidala sucesión X

Z porque algunos de los términos de Z son iguales a 0.

2.3. El límite de una sucesiónDefinición 15 Sea X = (xn) una sucesión de números reales. Se dice que unnúmero real x es un límite de (xn) si para todo > 0 existe un número naturalm( ) tal que para todo n ≥ m( ), los términos xn de la sucesión pertenecen alentorno V (x).

Observación 28 Hacemos las siguientes anotaciones importantes:

1. La notación m( ) se usa para hacer explícito que la elección de m puededepender del valor de > 0.

2. Decir que los términos xn pertenecen al entorno V (x) puede también ex-presarse de cualquiera de las siguientes maneras equivalentes:

xn ∈ V (x)⇐⇒ |xn − x| < ⇐⇒ − < xn−x < ⇐⇒ x− < xn < x+

Definición 16 Si x es un límite de la sucesión X = (xn), entonces se dice quela sucesión converge a x o que tiene un límite x. Si una sucesión tiene un límite,se dice que la sucesión es convergente; si no tiene ningún límite, se dice que lasucesión es divergente.

Observación 29 La definición de convergencia de una sucesión X = (xn) sepuede expresar también diciendo: para cualquier entorno de x, V (x), todos lostérminos de la sucesión, excepto un número finito, pertenecen a dicho entorno.

Teorema 34 Una sucesión convergente de números reales tiene un único límite.Demostración: Supongamos, por el contrario, que una sucesión X = (xn)tuviera dos límites distintos x1 y x2. Elegimos > 0 de manera que los entornosV (x1) y V (x2) sean disjuntos (es decir < 1

2 |x1 − x2|). Por definición, existendos números naturales m1( ) y m2( ) tales que, si n ≥ m1( ) entonces xn ∈V (x1), y si n ≥ m2( ) entonces xn ∈ V (x2). Sin embargo, esto contradice lahipótesis de que estos entornos sean disjuntos. En consecuencia x1 = x2.

Notación 1 Cuando una sucesión X = (xn) tiene límite x en R, se usará lasiguiente notación

lımX = x o lım xn = x

También se usa en ocasiones la simbología (xn) → x, que representa la ideaintuitiva de que los valores xn tienden al número x cuando n→∞.Observación 30 Hacemos las aclaraciones siguientes:

1. La definición de límite de una sucesión de números reales se usa para com-probar que un valor propuesto x es en realidad el límite. No proporcionaningún método para determinar inicialmente cuál podría ser ese valor. Enla práctica lo que se hace es conjeturar un valor del límite a partir delcálculo mediante calculadoras de varios términos suficientemente grandesde la sucesión.

2. Para probar que un número real x no es límite de una sucesión X = (xn),basta hallar un 0 > 0 tal que independientemente del número natural mque se elija, es posible encontrar un nm concreto que satisface nm ≥ m talque xnm no pertenece al entorno V

0(x), o dicho en otras palabras, que

|xnm − x| ≥ 0

2.3. EL LÍMITE DE UNA SUCESIÓN 41

Ejemplo 11 Examínense con detalle los siguientes ejemplos:

1. lım 1n = 0

Solución: Para probar esto, se observa que dado > 0, entonces 1 >0. Por la propiedad arquimediana, hay un número natural m( ) tal quem( ) > 1 . Entonces, para todo n ≥ m( ) se tiene n > 1 , de donde 1

n < .Es decir, si n ≥ m( ) entonces¯

1

n− 0¯=1

n<

En consecuencia, la sucesión ( 1n) converge a 0, pues independientementedel valor que se elija para > 0, siempre existirá un número naturalm( ) > 1 .

2. lım 1n2 = 0

Solución: Dado > 0, queremos obtener¯1

n2− 0¯=1

n2<

para n suficientemente grande. De aquí deducimos

1

n<√

o n >1√

Por tanto, podemos tomar m( ) como un número natural tal que

m( ) >1√

cuya existencia queda asegurada por la propiedad arquimediana. Una vezhallado m( ) debemos comprobar que funciona, es decir, que si n ≥ m( )entonces

n >1√

de aquí se tiene

n2 >1

de donde se deduce1

n2<

con lo cual queda probado que la sucesión converge a 0.

3. La sucesión (0, 2, 0, 2, ...) no converge a 0.

Solución: Elegimos < 2, por ejemplo = 1. Entonces, independiente-mente del valor que escojamos para m(1), se podrá seleccionar un númeropar n > m(1) para el cual el valor correspondiente xn = 2 y para el cualse tiene

|xn − 0| = |2− 0| = 2 > 1Por consiguiente, 0 no es límite de la sucesión.

4. lım³3n+2n+1

´= 3

Solución: Dado > 0 queremos obtener la desigualdad¯3n+ 2

n+ 1− 3¯<

para n suficientemente grande. Efectuando operaciones tenemos¯3n+ 2

n+ 1− 3¯=

¯ −1n+ 1

¯=

1

n+ 1<1

n<

De aquí deducimos

n >1

Por tanto, podemos tomar m( ) como un número natural tal que

m( ) >1

cuya existencia queda garantizada por la propiedad arquimediana. En-tonces para cualquier n ≥ m( ), se tiene

n >1

y por tanto se cumple la desigualdad.

Definición 17 Si X = (x1, x2, x3, ..., xn, ...) es una sucesión de números realesy p es un número natural dado, entonces se llama p− cola de X a la sucesión

Xp = (xp+1, xp+2, ...) = (xp+n : n ∈ N)

Ejemplo 12 Dada la sucesión X = (2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...), la 3− cola de X es lasucesión

X3 = (8, 10, 12, ..., 2n+ 6, ...)

Observación 31 El concepto de cola de una sucesión proviene del hecho deque la convergencia (o divergencia) de una sucesión depende sólo del ”compor-tamiento final” de sus términos. Con esto se quiere decir que si para cualquiernúmero natural p se omiten los p primeros términos de la sucesión, entonces lasucesión resultante Xp converge si y sólo si la sucesión original converge y, eneste caso, los límites son iguales.

Teorema 35 Dada una sucesión de números reales X = (xn : n ∈ N) y unnúmero natural p. La p− cola Xp = (xp+n : n ∈ N) de X converge si y sólo siX converge. En tal caso, se cumple

lımXp = lımX

Demostración: Supongamos que X converge a x. Dado cualquier > 0, existeun número natural m( ) tal que para todo n ≥ m( ) se cumple la desigualdad

|xn − x| <

Entonces los términos de Xp para k + p ≥ m( ), es decir, para k ≥ m( ) − pcumplen la desigualdad

|xk − x| <Por tanto, se puede tomar mp( ) = m( )−p, de modo que Xk también convergea x.Recíprocamente, si los términos de Xp para k ≥ mp( ) cumplen la desigual-

dad|xk − x| <

entonces los términos de X para los que n − p ≥ mp( ), es decir, para n ≥mp( ) + p cumplen la desigualdad

|xn − x| <Por tanto, podemos tomar m( ) = mp( )+p, de manera que X también convergea x.

Teorema 36 Dadas dos sucesiones de números reales A = (an) y X = (xn) yx ∈ R. Si para algún c > 0 y k ∈ N se tiene

|xn − x| < c |an|para todo n ≥ k, y lım an = 0, entonces lımxn = x.Demostración: Al ser lım an = 0, dado cualquier > 0 existe un númeronatural mA( c) tal que para todo n ≥ mA( c ) se tiene

|an| = |an − 0| <c

De aquí se obtiene|xn − x| < c |an| < c ·

c=

para todo n ≥ mA( c) y n ≥ k. En consecuencia, X converge a x.

Observación 32 Este teorema asegura la convergencia de una sucesión a par-tir de sucesiones particulares convergentes a cero. A continuación se ilustra suaplicación mediante algunos ejemplos.

Ejemplo 13 Examina con detalle los siguientes ejemplos:

1. Si a > 0, entonces lım 11+an = 0.

Solución: Puesto que a > 0, se sigue an > 0 y 0 < an < 1+ an. De aquíse tiene

0 <1

1 + an<1

an

y por tanto ¯1

1 + an− 0¯<1

a· 1n

para todo n ∈ N. Puesto que lım 1n = 0, por el teorema anterior, tomando

c = 1a y m = 1, se deduce

lım1

1 + an= 0

2. lim 12n = 0

Solución: Puesto que 0 < n < 2n para todo n ∈ N, se tiene

0 <1

2n<1

n

De aquí ¯1

2n− 0¯<1

n

para todo n ∈ N. Puesto que lım 1n = 0, por el teorema anterior, tomando

c = 1 y m = 1, se deduce

lım1

2n= 0

3. Si 0 0. Por la desigualdad de Bernoulli, se

tiene(1 + a)n ≥ 1 + na

De aquí se obtiene

0 < bn =1

(1 + a)n≤ 1

1 + na<1

a· 1n

que, por el teorema anterior se sigue lım bn = 0.

4. Si c > 0, entonces lım c1n = 1

Solución: El caso c = 1 es trivial porque la sucesión es constante 1.

Si c > 1, entonces c1n = 1 + dn para algún dn > 0. Por la desigualdad de

Bernoulli se tienec = (1 + dn)

n ≥ 1 + ndn

para todo n ∈ N, de dondedn ≤ c− 1

n

Entonces se tiene ¯c1n − 1

¯= dn ≤ (c− 1) · 1

n

para todo n ∈ N. Por el teorema anterior podemos deducir lo que queríamosprobar siempre que c > 1.

Si 0 < c < 1, entonces podemos escribir

c1n =

1

1 + hn

para algún hn > 0. Por la desigualdad de Bernoulli se tiene

c =1

(1 + hn)n≤ 1

1 + nhn<

1

nhn

De aquí obtenemos

0 < hn <1

nc

para n ∈ N. Por lo tanto, tenemos

0 < 1− c1n =

hn1 + hn

< hn <1

nc

de modo que ¯c1n − 1

¯<1

c· 1n

y por el teorema anterior se tiene lo que queríamos cuando 0 < c < 1.

5. lımn1n = 1

Solución: Puesto que n1n > 1 para n > 1, podemos escribir

n1n = 1 + kn

para un cierto kn > 0. De aquí se tiene n = (1 + kn)n. Entonces, por la

fórmula del binomio, podemos escribir

n = 1 + nkn +1

2n(n− 1)k2n + · · · ≥ 1 +

1

2n(n− 1)k2n

de donde se obtiene

n− 1 ≥ 12n(n− 1)k2n

y de aquí

k2n ≤2

n

para n > 1. Ahora bien, dado cualquier > 0, por la propiedad arquime-diana se sigue que existe un número natural m( ) tal que

2

m( )< 2

Si n ≥ m( ), entonces2

n< 2

de donde ¯n

1n − 1

¯= kn ≤

µ2

n

¶ 12

<

y, en consecuencia, se deduce lo que queríamos probar.

2.4. Teorema de límitesDefinición 18 Se dice que una sucesión X = (xn) de números reales estáacotada si existe un número real M > 0 tal que |xn| ≤M para todo n ∈ N.Por tanto la sucesión X = (xn) está acotada si y sólo si el conjunto {xn :

n ∈ N} de sus valores está acotado en R.

Teorema 37 Una sucesión convergente de números reales está acotada.Demostración: Supongamos que lımxn = x y tomemos = 1. Por definiciónde límite, existe un número natural m(1) tal que si n ≥ m(1) se cumple

|xn − x| < 1

De aquí, por la desigualdad triangular, se obtiene

|xn| < |x|+ 1

SeaM = sup{|x1| , |x2| , ...,

¯xm(1)−1

¯, |x|+ 1}

entonces para todo n ∈ N se cumple

|xn| ≤M

Teorema 38 Sean X = (xn) y Y = (yn) dos sucesiones de números reales queconvergen a x e y, respectivamente, y sea c ∈ R.

1. Entonces las sucesiones X+Y,X−Y,X ·Y y cX convergen a x+y, x−y, xyy cx, respectivamente.

2. Si Z = (zn) es una sucesión de números reales diferentes de cero queconverge a z y z 6= 0, entonces la sucesión cociente X/Z converge a x/z.

Demostración:

1. a) Debemos demostrar que

lım(X + Y ) = lımX + lımY

Para ello, observemos que por la desigualdad triangular se cumple

|(xn + yn)− (x+ y)| = |(xn − x) + (yn − y)|≤ |xn − x|+ |yn − y|

Por hipótesis, si > 0 existe un número natural m1( ) tal que sin ≥ m1( ) entonces

|xn − x| <2

asimismo, existe otro número natural m2( ) tal que si n ≥ m2( )entonces

|yn − y| <2

2.4. TEOREMA DE LÍMITES 47

Por tanto, si m( ) = sup{m1( ),m2( )}, entonces para todo n ≥ m( )se cumple

|(xn + yn)− (x+ y)| ≤ |xn − x|+ |yn − y|<

2+2=

Puesto que > 0 es arbitrario, se deduce lo que queríamos demostrar.

b) Debemos demostrar que

lım(X − Y ) = lımX − lımY

Un razonamiento análogo al anterior sirve para demostrar este hecho.

c) Debemos demostrar que

lım(X · Y ) = lımX · lımY

Para ello, observemos que por la desigualdad triangular se cumple

|xnyn − xy| = |xnyn − xny + xny − xy|≤ |xn(yn − y)|+ |(xn − x)y|= |xn| |yn − y|+ |xn − x| |y|

Por hipótesis y según el teorema anterior, existe un número realM1 >0 tal que |xn| ≤M1 para todo n ∈ N, y si tomamosM = sup{M1, |y|}entonces se cumple

|xnyn − xy| ≤ |xn| |yn − y|+ |xn − x| |y|≤ M |yn − y|+M |xn − x|

De la convergencia de X y Y podemos asegurar que para cualquier> 0 existen los números naturales m1( ) y m2( ) tales que para todo

n ≥ m1( ) se cumple

|xn − x| <2M

y para todo n ≥ m2( ) se cumple

|yn − y| <2M

Si tomamos m( ) = sup{m1( ),m2( )}, entonces para todo n ≥ m( )se cumple

|xn − x| ≤ M |yn − y|+M |xn − x|< M(

2M) +M(

2M) =

Por tanto queda probado lo que queríamos.

d) Debemos demostrar que

lım(cX) = c lımX

Un razonamiento análogo al anterior haciendo que Y sea la sucesiónconstante (c, c, ..., c, ...) sirve para probar este hecho.

2. Primero demostraremos que

lım1

Z=1

z

Puesto que lımZ = z 6= 0, dado α = 12 |z| > 0 existe un número natural

m(α) tal que para todo n ≥ m(α) se verifica

|zn − z| < α

De aquí, por la desigualdad triangular, se obtiene

−α < − |zn − z| ≤ − ||zn|− |z|| ≤ |zn|− |z|de aquí tenemos

1

2|z| = |z|− α ≤ |zn|

Por tanto1

|zn| ≤2

|z|Entonces ¯

1

zn− 1

z

¯=

¯z − znznz

¯=

1

|znz| |z − zn|

≤ 2

|z|2 |z − zn|

Dado cualquier > 0, existe un número natural m( ) tal que para todon ≥ m( ) se verifica

|zn − z| < 1

2|z|2

Por tanto, si tomamos m( ) = sup{m(α),m( )}, entonces¯1

zn− 1

z

¯≤ 2

|z|2 |z − zn|

<2

|z|2 ·1

2|z|2 =

que demuestra lo que queríamos.

La demostración del hecho siguiente

lımX

Z=lımX

lımZ

se completa ahora al tomar Y = 1/Z y aplicar (c). En efecto

lımX

Z= lım(X · Y ) = lımX · lımY = x · 1

z=lımX

lımZ

Observación 33 Algunos de los resultados del teorema pueden generalizarse aun número finito de sucesiones convergentes. Por ejemplo, si A = (an), B =(bn), ..., Z = (zn) son sucesiones convergentes, entonces su suma A+B + · · ·+Z = (an + bn + · · ·+ zn) es una sucesión convergente y se cumple

lım(an + bn + · · ·+ zn) = lım an + lım bn + · · ·+ lım zn

También su producto A ·B · · · · ·Z = (an ·bn · · · · ·zn) es una sucesión convergentey se verifica

lım(an · bn · · · · · zn) = lım an · lım bn · · · · · lım zn

Por tanto, si k ∈ N y A = (an) es una sucesión convergente, entonceslım akn = (lım an)

k

Las demostraciones de estos hechos son análogas a las realizadas en el teorema.

Teorema 39 Si X = (xn) es una sucesión convergente y xn ≥ 0 para todon ∈ N, entonces lımxn = x ≥ 0.Demostración: Supongamos que la conclusión es falsa, es decir, que x < 0.Entonces = −x > 0, y puesto que X es convergente hacia x, entonces existeun número natural m( ) tal que para todo n ≥ m( ) se verifica

x− < xn < x+

En particular se tienexm( ) < x+ = x− x = 0

pero esto no es posible ya que por hipótesis xn ≥ 0 para todo n ∈ N. Por lotanto, debe ser x ≥ 0.Teorema 40 Si X = (xn) y Y = (yn) son sucesiones convergentes y xn ≤ ynpara todo n ∈ N, entonces lımxn ≤ lım yn.Demostración: Sea zn = yn − xn, entonces por hipótesis se tiene zn ≥ 0.Además se cumple

lım zn = lım yn − lımxn ≥ 0es decir

lımxn ≤ lım yn

Teorema 41 Si X = (xn) es una sucesión convergente y a ≤ xn ≤ b para todon ∈ N, entonces a ≤ lımxn ≤ b.Demostración: Sea Y la sucesión constante (b, b, ..., b, ...), por el teorema an-terior se deduce que

lımxn ≤ lım b = b

Del mismo modo se demuestra la otra desigualdad.

Teorema 42 (Teorema de compresión) Supongamos que X = (xn), Y =(yn) y Z = (zn) son sucesiones de números reales tales que

xn ≤ yn ≤ zn

para todo n ∈ N y que lımxn = lım zn, entonces Y es convergente y se verifica

lımxn = lım yn = lım zn

Demostración: Supongamos que w = lımxn = lım zn. Dado cualquier > 0,entonces existe un número natural m( ) tal que para todo n ≥ m( ) se cumple

− < xn − w < y − < zn − w <

Por la hipótesis se verifica

xn − w ≤ yn − w ≤ zn − w

para todo n ∈ N, entonces− < yn − w <

es decir|yn − w| <

para todo n ≥ m( ). Por tanto, Y es convergente y lım yn = w.

Observación 34 Puesto que cualquier cola de una sucesión convergente tieneel mismo límite, las hipótesis de los cuatro últimos teoremas pueden hacersemenos rigurosas al aplicarlos a la cola de una sucesión. Por ejemplo, si la condi-ción xn ≥ 0 para todo n ∈ N del primer teorema se sustituye por xn ≥ 0 paratodo n ≥ m, se cumplirá la misma condición de que x ≥ 0. Modificacionessimilares son válidas para los demás teoremas.

Ejemplo 14 1. La sucesión (n) es divergente.

Solución: Si la sucesión fuera convergente, la sucesión estaría acotada,es decir, existiría un número M > 0 tal que n = |n| ≤M para todo n ∈ N.Pero esto no es posible por la propiedad arquimediana.

2. La sucesión ((−1)n) es divergente.Solución: Si la sucesión fuera convergente, existiría lım(−1)n = x. En-tonces, tomando = 1, debería existir un número natural m( ) tal quepara todo n ≥ m( ) se cumpliría

|(−1)n − x| < 1

Si n es un número impar, entonces

|−1− x| < 1

es decirx− 1 < −1 < x+ 1

o bien−2 < x < 0

Por otra parte, si n es un número par, entonces

|1− x| < 1

es decirx− 1 < 1 < x+ 1

o bien0 < x < 2

Por consiguiente, x no puede satisfacer ambas desigualdades y, en conse-cuencia, la sucesión dada no puede ser convergente.

3. lım 2n+1n = 2

Solución: Obsérvese que

2n+ 1

n= 2 +

1

n

Si ahora hacemos X = (2) y Y = ( 1n), entonces

lım2n+ 1

n= lım(X + Y ) = lımX + lımY = 2 + 0 = 2

4. lım 2n+1n+5 = 2

Solución: Es claro que las sucesiones (2n+ 1) y (n+ 5) no son conver-gentes. Por ejemplo, (n+ 5) no es convergente ya que si lo fuera, puestoque (5) es convergente, entonces (n) sería convergente y esto no es posible.Por tanto no es posible aplicar el teorema directamente. Sin embargo, sise escribe

2n+ 1

n+ 5=2 + 1/n

1 + 5/n

la sucesión dada se expresa en una forma en la que se puede aplicar elteorema cuando se toma X = (2 + 1/n) y Z = (1 + 5/n), ya que lım(2 +1/n) = 2 y lım(1 + 5/n) = 1 6= 0. En efecto, entonces tenemos

lım2 + 1/n

1 + 5/n= lım

X

Z=lımX

lımZ=2

1= 2

5. lım 2nn2+1 = 0

Solución: No puede aplicarse directamente el teorema. Sin embargo, si seescribe

2n

n2 + 1=

2/n

1 + 1/n2

entonces se puede aplicar el teorema, ya que lım(2/n) = 0 y lım(1 +1/n2) = 1 6= 0. Por lo tanto

lım2n

n2 + 1=0

1= 0

6. lım sinnn = 0

Solución: No se puede aplicar directamente el teorema, ya que la sucesión(n) no es convergente y tampoco lo es (sinn). Esta última no lo es porquesi lo fuera entonces existiría lımsinn = a. Entonces, dado = a−2 existem( ) tal que para todo n ≥ m( ) se cumple

|sinn− a| < a− 2En particular

2 = a− (a− 2) < sinnlo que no es posible. En este caso una operación algebraica no nos permitiráreducir esta sucesión a una forma en la que se pueda aplicar el teorema.Sin embargo, sabemos que −1 ≤ sinn ≤ 1, entonces

− 1n≤ sinn

n≤ 1

n

para todo n ∈ N. Por tanto, es posible aplicar el teorema de compresiónpara inferir que

lımsinn

n= 0

7. Sea X = (xn) una sucesión de números reales convergente hacia x ∈ R yp(t) = a0 + a1t+ a2t

2 + · · ·+ aktk

un polinomio a coeficientes reales de grado k. Probar que la sucesión(p(xn)) converge hacia p(x).

Solución: El término general de la sucesión (p(xn)) es

p(xn) = a0 + a1xn + a2x2n + · · ·+ akx

kn

Entonces por el teorema

lım p(xn) = a0 + a1(lımxn) + a2(lımxn)2 + · · ·+ ak(lımxn)

k

= a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ akx

k

= p(x)

8. Sea X = (xn) una sucesión de números reales convergente hacia x ∈ R yf una función racional definida como sigue

f(t) =p(t)

q(t)

donde p y q son funciones polinómicas. Supongamos además que q(xn) 6= 0para todo n ∈ N y que q(x) 6= 0. Demostrar que la sucesión (f(xn)) esconvergente a f(x) = p(x)/q(x).

Solución: La prueba consiste en aplicar el teorema de la misma maneraque el ejemplo anterior.

Teorema 43 Supongamos que la sucesión X = (xn) es convergente a x. En-tonces la sucesión (|xn|) de los valores absolutos converge a |x|. En otras pal-abras, si lımxn = x entonces

lım |xn| = |lımxn|Demostración: Por la desigualdad triangular tenemos

||xn|− |x|| ≤ |xn − x|para todo n ∈ N. Entonces la convergencia de (|xn|) a |x| es una consecuenciainmediata de la convergencia de (xn) a x.

Teorema 44 Sea X = (xn) una sucesión de números reales que converge a xy supongamos que xn ≥ 0 para todo n ∈ N. Entonces la sucesión (√xn) de lasraíces cuadradas positivas converge y

lım√xn =

√x

Demostración: Por el teorema 6 se tiene x = lımxn ≥ 0 y, en consecuencia,la afirmación tiene sentido. Tenemos entonces dos casos: (1) x = 0 y (2) x > 0.

1. Si x = 0, entonces lımxn = 0. Dado > 0, existe un número natural m( )tal que para todo n ≥ m( ) se verifica

0 ≤ |xn − 0| = xn < 2

Por tanto, tenemos0 ≤ √xn <

para todo n ≥ m( ). Por tanto, lım√xn = 0.

2. Si x > 0, entonces√x > 0. Observemos que

√xn −

√x =

(√xn −√x)(√xn +√x)√

xn +√x

=xn − x√xn +

√x

De aquí tenemos ¯√xn −

√x¯=

1√xn +

√x|xn − x|

≤ 1√x|xn − x|

para todo n ∈ N. Puesto que lımxn = x, dado > 0 existe un númeronatural m(

√x) tal que para todo n ≥ m( ) se verifica

|xn − x| < √x

Por lo tanto ¯√xn −

√x¯ ≤ 1√

x|xn − x|

<1√x· √x =

Teorema 45 Sea X = (xn) una sucesión de números reales positivos tal queexiste L, siendo

L = lımxn+1xn

Si L < 1, entonces (xn) converge y lımxn = 0.Demostración: Por el teorema 6 se tiene L ≥ 0. Sea r un número real tal queL < r < 1 y tomemos = r − L > 0. Entonces existe un número natural m( )tal que para todo n ≥ m( ) se cumple¯

xn+1xn− L

¯<

es decirxn+1xn

< L+ = r

o bien

xn+1 < rxn

Por tanto, si n ≥ m( ) entonces

0 < xn+1 < rxn < r2xn−1 < · · · < rn−m( )+1xm( ) = rn+1xm( )

rm( )

Si ahora hacemos k = xm( )/rm( ), entonces

0 < xn+1 < krn+1

Puesto que 0 < r < 1, entonces por el ejemplo 5 (3) lım rn = 0 y, por lo tanto,por el teorema 3, se deduce

lımxn = 0

Ejemplo 15 Probar que lım(n/2n) = 0Solución: Se cumple

xn+1xn

=n+ 1

2n+1· 2

n

n=1

2(1 +

1

n)

Por tanto

L = lımxn+1xn

=1

2lım(1 +

1

n) =

1

2

Puesto que L < 1, por el teorema anterior, se sigue

lımn

2n= 0

2.5. SUCESIONES MONÓTONAS 55

2.5. Sucesiones monótonasDefinición 19 Sea X = (xn) una sucesión de números reales. Se dice que Xes creciente si

x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn ≤ xn+1 ≤ · · ·Se dice que X es estrictamente creciente si

x1 < x2 < · · · < xn < xn+1 < · · ·Se dice que X es decreciente si

x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn ≥ xn+1 ≥ · · ·Se dice que X es estrictamente decreciente si

x1 > x2 > · · · > xn > xn+1 > · · ·Se dice que X es monótona si es creciente, o bien, decreciente.

Ejemplo 16 Las sucesiones siguientes son crecientes

1. (1, 2, 3, 4, ..., n, ...)

2. (1, 2, 2, 3, 3, 3, ...)

3. (a, a2, a3, ..., an, ...) , si a > 1

Las sucesiones siguientes son decrecientes

1. (1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...)

2. (1, 1/2, 1/22, ..., 1/2n−1, ...)

3. (b, b2, b3, ..., bn, ...), si 0 < b < 1

Las siguientes sucesiones no son monótonas

1. (1,−1, 1, ..., (−1)n+1, ...)2. (−1, 2,−3, ..., (−1)nn, ...)Las siguientes sucesiones no son monótonas, pero son monótonas en ”última

instancia”

1. (7, 6, 2, 1, 2, 3, 4, ...)

2. (−2, 0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...)Teorema 46 Una sucesión monótona de números reales es convergente si ysólo si es acotada. Además:

1. Si X = (xn) es una sucesión creciente acotada, entonces sup{xn : n ∈N} = lımxn

2. Si Y = (yn) es una sucesión decreciente acotada, entonces inf{xn : n ∈N} = lımxn

Demostración: En el teorema 4 se demostró que una sucesión convergente esacotada. Recíprocamente, supongamos que X es una sucesión monótona acota-da. Entonces X es creciente, o bien, decreciente.

1. Supongamos que X es una sucesión creciente acotada. Por hipótesis, ex-iste un número real M tal que xn ≤ |xn| ≤ M para todo n ∈ N. Comoconsecuencia, el conjunto {xn : n ∈ N} de los valores de la sucesión estáacotado. Por el axioma del supremo, existe sup{xn : n ∈ N} = x. Dado> 0, entonces x− no es una cota superior del conjunto {xn : n ∈ N}.Por tanto, existe un número natural m( ) tal que x− < xm( ). Pero como(xn) es creciente, se cumple

x− < xm( ) ≤ xn < x

para todo n ≥ m( ). Por consiguiente

x− < xn < x+

es decir|xn − x| <

y de aquí se sigue que (xn) converge a x.

2. Supongamos que Y es una sucesión decreciente acotada. Entonces, es claroque X = −Y = (−yn) es una sucesión creciente acotada. En (1) se havisto que

lımX = sup{−yn : n ∈ N}Por el teorema 5, lımX = − lımY y, por otra parte, se cumple

sup{−yn : n ∈ N} = − inf{yn : n ∈ N}Por lo tanto,

lımY = − lımX = inf{yn : n ∈ N}

Observación 35 Este teorema establece la existencia del límite de una sucesiónmonótona acotada. Proporciona asimismo un método para calcular el límite de lasucesión siempre que sea posible determinar el supremo o el ínfimo del conjuntode sus valores. A veces no es fácil calcular este supremo o ínfimo, pero una vezque se conoce su existencia, es preferible hallar el límite por otros métodos.

Ejemplo 17 Probar que lım(1/√n) = 0

Solución: Es claro que por el teorema 11

lım1√n= lım

r1

n=

rlım

1

n=√0 = 0

pero ahora se usará el teorema de convergencia de las sucesiones monótonas.Es evidente que 0 es una cota inferior del conjunto {1/√n : n ∈ N} y no es

difícil demostrar que 0 es el ínfimo de este conjunto. Por tanto, lım(1/√n) = 0.

Por otra parte, una vez se sabe que la sucesión es convergente a algún númeroreal x. Por el teorema 5 se cumple

x2 = lımX2 = lım1

n= 0

Por tanto, x = 0.

2.5. SUCESIONES MONÓTONAS 57

Ejemplo 18 Sea Y = (yn) la sucesión definida recursivamente por

y1 = 0

yn+1 =1

4(2yn + 3)

Probar que lımY = 3/2.Demostración: Observemos que

y1 = 0 < 2

y2 =1

4(2y1 + 3) =

3

4< 2

y3 =1

4(2y2 + 3) =

1

4· 92=9

8< 2

...

Por inducción se demuestra que yn < 2 para todo n ∈ N. En efecto, supongamosque yk < 2, entonces

yk+1 =1

4(2yk + 3) <

1

4(4 + 3) =

7

4< 2

Por tanto, Y es una sucesión acotada. Observemos que

0 = y1 <3

4= y2 <

9

8= y3 < · · ·

Por inducción se demuestra ahora que yn < yn+1 para todo n ∈ N. En efecto,supongamos que yk < yk+1, entonces

2yk + 3 < 2yk+1 + 3

y

yk+1 =1

4(2yk + 3) <

1

4(2yk+1 + 3) = yk+2

Por tanto, Y es una sucesión creciente. Por el teorema de convergencia de lassucesiones monótonas se sigue que Y es convergente. En este caso no es fácilhallar el supremos del conjunto de valores de la sucesión. Sin embargo, hay otramanera de calcular el límite. En efecto, consideremos la 1− cola Y1 = (yn+1)de Y = (yn). Por el teorema 2 se cumple

y = lımY = lımY1 =1

4(2y + 3)

de donde se sigue que y = 3/2.

Ejemplo 19 Sean a > 0, b > 0 y X = (xn) una sucesión definida por

x1 = b

xn+1 =1

2(xn +

a

xn)

Demostrar quelımxn =

√a

Solución: Observemos que xn satisface

2xn+1xn = x2n + a

es decirx2n − 2xn+1xn + a = 0

Esta ecuación de segundo grado debe tener una solución real. Por tanto, eldiscriminante 4x2n+1 − 4a debe ser no negativo, es decir

x2n+1 ≥ a > 0

para todo n ≥ 1. Por tanto, la sucesión (xn) es acotada. Observemos entoncesque

xn − xn+1 = xn − 12(xn +

a

xn) =

1

2· x

2n − a

xn≥ 0

para todo n ≥ 2. Por tanto,xn+1 ≤ xn

para todo n ≥ 2, y la sucesión (xn) es decreciente en ”última instancia”. Por elteorema de convergencia de sucesiones monótonas, existe x = lımxn. Si ahoraen la relación

xn+1 =1

2(xn +

a

xn)

pasamos al límite, se obtiene

x =1

2(x+

a

x)

de donde resulta x2 = a. Por tanto, x =√a, ya que x > 0.

Observación 36 Este ejemplo da un método para calcular las raíces cuadradas.

2.6. Teorema de Bolzano-WeierstrassDefinición 20 Sea X = (xn) una sucesión de números reales y sea

n1 < n2 < · · · < nk < nk+1 < · · ·una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Entonces la sucesión

(xn1 , xn2 , ..., xnk , ...)

se llama subsucesión de X.

Ejemplo 20 Las sucesiones siguientes son subsucesiones de X = (1, 12 ,13 , ...,

1n , ...)

(1

3,1

4,1

5...,

1

n+ 2, ...)

(1,1

3,1

5, ...,

1

2n− 1 , ...)

(1

2!,1

4!,1

6!, ...,

1

(2n)!, ...)

2.6. TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSTRASS 59

En cambio, las siguientes sucesiones no son subsucesiones de X

(1

2, 1,1

4,1

3,1

6,1

5, ...)

(1, 0,1

3, 0,

1

5, 0, ...)

Observación 37 Cualquier cola de una sucesión es una subsucesión. De hecho,m− cola de la sucesión X = (xn) corresponde a la siguiente sucesión de númerosnaturales (índices)

n1 = m+ 1 < n2 = m+ 2 < · · · < nk = m+ k < · · ·Sin embargo, no toda subsucesión de una sucesión dada es necesariamente unacola de la misma.

Teorema 47 Si una sucesión X = (xn) de números reales converge a unnúmero real x, entonces cualquier subsucesión de X también converge a x.Demostración: Dado cualquier > 0, existe un número natural m( ) tal quepara todo k ≥ m( ), se cumple

|xk − x| <Sea (xnk) una subsucesión cualquiera de X. Es fácil demostrar por inducciónque nk ≥ k. Por tanto, si k ≥ m( ) se tiene también nk ≥ k ≥ m( ) y, enconsecuencia, se cumple

|xnk − x| <Por lo tanto, la subsucesión (xnk) también converge a x.

Teorema 48 (Criterio de divergencia) Sea X = (xn) una sucesión de númerosreales. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. La sucesión X = (xn) no converge a x ∈ R2. Existe 0 > 0 tal que para cualquier k ∈ N existe m ∈ N tal que m ≥ k y

|xm − x| ≥ 0

3. Existe 0 > 0 y una subsucesión X 0 = (xnk) de X tal que |xnk − x| ≥ 0

para todo k ∈ NDemostración: (1) =⇒ (2) Si X = (xn) no converge a x, entonces para algún0 > 0 no es posible hallar un número natural m tal que |xn − x| < 0 seaválida para todo n ≥ m. En otras palabras, para cualquier k ∈ N la desigualdad|xn − x| < 0 no se cumple para todo n ≥ k; en particular, existe un númeronatural m tal que m ≥ k y |xn − x| < 0.(2) =⇒ (3) Supongamos que 0 > 0 satisface la condición (2). Entonces,

para 1 ∈ N existe n1 ∈ N tal que n1 ≥ 1 y |xn1 − x| ≥ 0. Para n1 escogemosn2 ∈ N de manera que n2 > n1 y |xn2 − x| ≥ 0, y así sucesivamente. De estemodo obtenemos una subsucesión X 0 = (xnk) de X tal que |xnk − x| ≥ 0 paratodo k ∈ N.(3) =⇒ (1) Supongamos que X tiene una subsucesión X 0 que satisface la

condición (3). Entonces, X no puede converger a x, porque si lo hiciera, segúnel teorema 14, la subsucesión X 0 también convergería a x. Pero esto no esposible, ya que según (3), ningún término de X 0 está suficientemente próximoa x.

Ejemplo 21 La sucesión ((−1)n) es divergente.Solución: Si la sucesión convergiera a un número real x, entonces por el

teorema ??? cualquier subsucesión debería converger a x. Puesto que hay unasubsucesión que converge a 1 y otra que converge a −1. Se concluye que lasucesión dada es divergente.

Ejemplo 22 La sucesión X = (1, 12 , 3,14 , ...) es divergente.

Demostración: Obsérvese que esta sucesión puede definirse como sigue

xn =

½n si n es impar1n si n es par

Es claro que esta sucesión no está acotada y, en consecuencia, no puede serconvergente. De otra manera, hay una subsucesión ( 12 ,

14 ,

16 , ...) que converge a

0, y hay otra, (3, 5, 7, ...) que no converge a 0. Por tanto, la sucesión dada nopuede ser convergente.

Teorema 49 Si X = (xn) es una sucesión de números reales, entonces existeuna subsucesión de X monótona.Demostración: Para los fines de esta demostración, diremos que el m− ésimotérmino xm es un ”pico” si xm ≥ xn para todo n ∈ N con m ≤ n. En otraspalabras, xm es un pico si nunca es excedido por ningún término que va por de-lante. Consideraremos dos casos, dependiendo de si X tiene un número infinitoo finito de picos.

1. Si X tiene un número infinito de picos, entonces los ordenamos mediantesubíndices crecientes. De este modo se tienen xn1 , xn2 , ..., xnk , ..., donden1 < n2 < · · · < nk < · · · . Puesto que cada uno de estos términos es unpico, se cumple

xn1 ≥ xn2 ≥ · · · ≥ xnk ≥ · · ·Por tanto, la sucesión (xnk) de picos es una subsucesión decreciente deX.

2. Supongamos ahora que X tiene un número finito (posiblemente cero) depicos. Sean xn1 , xn2 , ..., xnr estos picos. Supongamos que s1 es el primeríndice después del último pico, es decir, s1 = nr+1. Puesto que xs1 no esun pico, debe existir s2 > s1 tal que xs1 < xs2 . Puesto que xs2 no es unpico, debe existir s3 > s2 tal que xs2 < xs3 ; y así sucesivamente. De estemodo obtenemos una subsucesión (xsn) creciente de X.

Teorema 50 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Una sucesión acotada denúmeros reales tiene siempre una subsucesión convergente.Demostración: Sea X = (xn) una sucesión acotada de números reales. Delteorema anterior se sigue que X admite una subsucesión X 0 = (xnk) que esmonótona. Puesto que X es acotada, esta subsucesión también es acotada. Porel teorema de convergencia de las sucesiones monótonas, se sigue que X 0 esconvergente.

2.7. SUCESIONES DE CAUCHY 61

Observación 38 Es fácil comprobar que una sucesión acotada puede tenervarias subsucesiones que convergen a números reales diferentes; asimismo puedetener subsucesiones que no convergen. Por ejemplo, la sucesión ((−1)n) tienesubsucesiones que convergen a 1, otras que convergen a −1 y otras que no con-vergen.

Teorema 51 Sea X = (xn) una sucesión acotada de números reales con lapropiedad de que todas sus subsucesiones convergentes convergen a un númeroreal x, entonces X es convergente a x.Demostración: Supongamos que M > 0 es una cota de la sucesión X = (xn).Por tanto, |xn| ≤M para todo n ∈ N. Supongamos asimismo que la sucesión Xno converge a x. Por el criterio de divergencia se sigue que existe 0 > 0 y unasubsucesión X 0 = (xnk) de X tal que

|xnk − x| ≥ 0

para todo k ∈ N. Puesto que X 0 es una subsucesión de X, se sigue que M tam-bién es una cota de X 0. Por tanto, la sucesión X 0 es acotada. Por el teorema deBolzano-Weierstrass, X 0 admite una subsucesión X 00 de X 0 que es convergente.Es claro que X 00 también es una subsucesión de X. Por tanto, X 00 es conver-gente a x por hipótesis. Puesto que todo término de X 00 también es un términode X 0, la última afirmación está en contradicción con el hecho de que

|xnk − x| ≥ 0

para todo k ∈ N.

2.7. Sucesiones de CauchyDefinición 21 Se dice que una sucesión X = (xn) de números reales es unasucesión de Cauchy si para todo > 0 existe un número natural k( ) tal quepara todos los números naturales n,m ≥ k( ) los términos xn, xm satisfacen

|xn − xm| <Teorema 52 Si X = (xn) es una sucesión convergente de números reales, en-tonces X es una sucesión de Cauchy.Demostración: Supongamos que x = lımX. Entonces, dado cualquier > 0existe un número natural k( /2) tal que si n ≥ k( /2) entonces

|xn − x| <2

Observemos que por la desigualdad triangular tenemos

|xn − xm| = |(xn − x) + (x− xm)|≤ |xn − x|+ |x− xm|= |xn − x|+ |xm − x|

Por tanto, para todo n,m ≥ k( /2) se cumple

|xn − xm| ≤ |xn − x|+ |xm − x|<

2+2=

y, en consecuencia, X es una sucesión de Cauchy.

Teorema 53 Una sucesión de Cauchy de números reales es acotada.Demostración: Supongamos que X = (xn) es una sucesión de Cauchy. En-tonces, para = 1 existe un número natural k(1) tal que para todo n ≥ k(1) secumple ¯

xn − xk(1)¯< 1

Por la desigualdad triangular se tiene

|xn| <¯xk(1)

¯+ 1

para todo n ≥ k(1). Consideremos

M = sup{|x1| , |x2| , ...,¯xk(1)−1

¯,¯xk(1)

¯+ 1}

entonces|xn| ≤M

para todo n ∈ N.

Teorema 54 (Criterio de convergencia de Cauchy) Una sucesión de númerosreales es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy.Demostración: Por el teorema 19, una sucesión convergente es una sucesiónde Cauchy.Recíprocamente, supongamos que X = (xn) es una sucesión de Cauchy.

Por el teorema 20, X está acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass,X admite una subsucesión X 0 = (xnk) de X que converge a un número realx. Puesto que X es una sucesión de Cauchy, dado cualquier > 0 existe unnúmero natural k( /2) tal que si n,m ≥ k( /2) entonces

|xn − xm| <2

Puesto que X 0 converge a x, existe un número natural r ≥ k( /2) que perteneceal conjunto {n1, n2, ...} tal que

|xr − x| <2

Para todo n ≥ k( /2) se cumple

|xn − xr| <2

pues r ≥ k( /2). Entonces se cumple

|xn − x| = |(xn − xr) + (xr − x)|≤ |xn − xr|+ |xr − x|<

2+2=

para todo n ≥ k( /2). Por lo tanto, la sucesión X es convergente.

Ejemplo 23 Probar que la sucesión (1/n) es convergente.Solución: Es claro que esta sucesión converge a 0. Por otra parte, podemos

demostrar que (1/n) es una sucesión de Cauchy y, en consecuencia, es una

2.7. SUCESIONES DE CAUCHY 63

sucesión convergente. En efecto, por la propiedad arquimediana, para cualquier> 0 existe un número natural k( ) tal que k( ) > 2/ . Por tanto, si n,m ≥ k( )entonces se tiene

1

n≤ 1

k( )y

1

m≤ 1

k( )

De aquí

|xn − xm| =¯1

n− 1

m

¯≤ 1

n+1

m≤ 2

k( )<

Ejemplo 24 Probar que la sucesión X = (xn) de números reales con la propiedadde que

|xn − xn+1| ≤ 1

2n

para todo n ∈ N, es una sucesión convergente.Solución: Por la desigualdad triangular podemos escribir

|xn − xn+k| = |(xn − xn+1) + (xn+1 − xn+2) + · · ·+ (xn+k−1 − xn+k)|≤ |xn − xn+1|+ |xn+1 − xn+2|+ · · ·+ |xn+k−1 − xn+k|≤ 1

2n+

1

2n+1+ · · ·+ 1

2n+k−1

=1

2n(1 +

1

2+ · · ·+ 1

2k−1)

<2

2n

ya que

1 +1

2+ · · ·+ 1

2k−1=1− 1

2k

1− 12

= 2(1− 1

2k) < 2

Por tanto|xn − xm| < 2

2n

para todo m ≥ n. Dado > 0, existe un número natural k( ) tal que

1

2k( )<2

Si m ≥ n ≥ k( ), entonces

|xn − xm| < 2

2k( )<2

2=

Por lo tanto, X es una sucesión de Cauchy y, en consecuencia, por el criteriode Cauchy, X es convergente.

Definición 22 Se dice que una sucesión X = (xn) de números reales es unasucesión contractiva si existe una constante K, 0 < K < 1, tal que

|xn+2 − xn+1| ≤ K |xn+1 − xn|para todo n ∈ N. Al número K se le llama constante de la sucesión con-tractiva.

Teorema 55 Toda sucesión contractiva es una sucesión convergente.Demostración: Si se aplica sucesivamente la condición que define a una suce-sión contractiva, podemos escribir

|xn+2 − xn+1| ≤ K |xn+1 − xn|≤ K2 |xn − xn−1|≤ K3 |xn−1 − xn−2|

...

≤ Kn |x2 − x1|para todo n ∈ N. Supongamos que m > n, entonces por la desigualdad triangularpodemos escribir

|xm − xn| = |(xm − xm−1) + (xm−1 − xm−2) + · · ·+ (xn+1 − xn)|≤ |xm − xm−1|+ |xm−1 − xm−2|+ · · ·+ |xn+1 − xn|≤ Km−2 |x2 − x1|+Km−3 |x2 − x1|+ · · ·+Kn−1 |x2 − x1|= Kn−1 ¡Km−n−1 +Km−n−2 + · · ·+ 1¢ |x2 − x1|

= Kn−1 · 1−Km−n

1−K|x2 − x1|

≤ Kn−1 · 1

1−K|x2 − x1|

Puesto que 0 < K < 1, se sabe que

lımKn = 0

Por lo tanto, se deduce que X es una sucesión de Cauchy. Por el criterio deconvergencia de Cauchy se sigue que X es una sucesión convergente.

Corolario 10 Si X = (xn) es una sucesión contractiva con una constante K,0 < K < 1, y lımX = x, entonces:

1. |x− xn| ≤ Kn−11−K |x2 − x1|

2. |x− xn| ≤ K1−K |xn − xn−1|

Demostración:

1. En la demostración del teorema anterior se vio que si m > n, entonces

|xm − xn| ≤ Kn−1

1−K|x2 − x1|

Si ahora en esta desigualdad se pasa al límite con respecto a m se obtiene

|x− xn| ≤ Kn−1

1−K|x2 − x1|

2. Observemos que si m > n entonces

|xm − xn| ≤ |xm − xm−1|+ |xm−1 − xm−2|+ · · ·+ |xn+1 − xn|

2.8. SUCESIONES PROPIAMENTE DIVERGENTES 65

Del mismo modo que en la demostración del teorema anterior

|xn+k − xn+k−1| ≤ Kk |xn − xn−1|De las dos desigualdades anteriores se sigue que

|xm − xn| ≤¡Km−n +Km−n−1 + · · ·+K

¢ |xn − xn−1|

=K(1−Km−n)

1−K|xn − xn−1|

≤ K

1−K|xn − xn−1|

Si ahora se pasa al límite con respecto a m se obtiene

|x− xn| ≤ K

1−K|xn − xn−1|

2.8. Sucesiones propiamente divergentesDefinición 23 Sea X = (xn) una sucesión de números reales. Se dice que Xtiende a +∞, y se denota por lımxn = +∞, si para todo α ∈ R existe unnúmero natural K(α) tal que si n ≥ K(α), entonces xn > α. Se dice que Xtiende a −∞, y se denota por lımxn = −∞, si para todo β ∈ R existe unnúmero natural K(β) tal que si n ≥ K(β), entonces xn < β. Se dice que Xes propiamente divergente en caso de que se tenga lımxn = +∞, o bienlımxn = −∞.Observación 39 Hay que tener presente que los símbolos +∞ y −∞ se usantan solo como una notación conveniente; en ningún caso, representan númerosreales. Por otra parte, los resultados obtenidos para límites finitos, es decir,lımxn = L y L ∈ R, pueden no seguir siendo válidos cuando lımxn = ±∞.Ejemplo 25 Probar que lımn = +∞Solución: Si se da α ∈ R, cualquier número natural K(α) tal que K(α) > α

hace que n ≥ K(α) > α.

Ejemplo 26 Probar que lımn2 = +∞Solución: Si se da α ∈ R, cualquier número natural K(α) tal que K(α) > α

hace que n2 ≥ n ≥ K(α) > α.

Ejemplo 27 Si c > 1, probar que lım cn = +∞Solución: Supongamos que c = 1+ b, b > 0. Dado α ∈ R, existe un número

natural tal que K(α) > α/b, y si n ≥ K(α), entonces por la desigualdad deBernouilli tenemos

cn = (1 + b)n ≥ 1 + nb > 1 + α > α

Por lo tanto, lım cn = +∞.Teorema 56 Una sucesión monótona de números reales X = (xn) es propia-mente divergente si y sólo si no está acotada. Además

1. Si X es una sucesión creciente no acotada, entonces lımxn = +∞2. Si X es una sucesión decreciente no acotada, entonces lımxn = −∞Demostración:

1. Supongamos que X es una sucesión creciente. Se sabe que si X está aco-tada, entonces es convergente. Si (xn) no está acotada, entonces paracualquier α ∈ R existe K(α) ∈ N tal que α < xK(α). Pero como X escreciente, se tiene α < xn para todo n ≥ K(α). Por tanto, lımxn = +∞.

2. La prueba es similar a la del apartado anterior.

Teorema 57 Sean X = (xn) y Y = (yn) dos sucesiones de números reales ysupongamos que

xn ≤ yn

para todo n ∈ N. Entonces se cumple:1. Si lımxn = +∞, entonces lım yn = +∞2. Si lım yn = −∞, entonces lımxn = −∞Demostración:

1. Si lımxn = +∞ y α ∈ R, entonces existe un número natural K(α) tal quesi n ≥ K(α), entonces α < xn. Por hipótesis, entonces α < xn ≤ yn y, enconsecuencia, lım yn = +∞.

2. La prueba es similar a la del apartado anterior.

Observación 40 1. Este teorema sigue siendo válido si la condición

xn ≤ yn

se cumple en última instancia, es decir, si existe m ∈ N tal que xn ≤ ynpara todo n ≥ m.

2. Al usar este teorema, para demostrar que una sucesión tiende a +∞ obien a −∞, es necesario demostrar que los términos de la sucesión son enúltima instancia mayores (menores) o iguales que los términos correspon-dientes de una sucesión que se sabe que tiende a +∞ o bien a −∞.

Teorema 58 Sean X = (xn) y Y = (yn) dos sucesiones de números realespositivos y supongamos que

lımxnyn= L > 0

Entonces, lımxn = +∞ si y sólo si lım yn = +∞.Demostración: Por hipótesis, existe m ∈ N tal que

−L2<

xnyn− L <

L

2

2.9. PUNTOS LÍMITE DE UNA SUCESIÓN 67

es decirL

2<

xnyn

<3L

2

para todo n ≥ m. Por tanto

L

2yn < xn <

3L

2yn

Si lımxn = +∞ y α ∈ R, entonces existe un número natural K(α) tal que sin ≥ K(α), entonces

3Lα

2< xn

es decirα <

2

3Lxn < yn

Por tanto, lım yn = +∞. Mediante un razonamiento similar se prueba el recípro-co.

Ejemplo 28 Establecer la divergencia propia de las siguientes sucesiones

1. X = (√n)

2. Y = ( n√n+1

)

Solución: (1) Puesto que X es creciente y no acotada superiormente, sesigue que

lım√n = +∞

(2) Observemos que

lım

√nn√n+1

= lımnq1 + 1

n

n= lım

r1 +

1

n= 1 > 0

Puesto que lım√n = +∞, por el teorema 25 se sigue que

lımn√n+ 1

= +∞

2.9. Puntos límite de una sucesiónDefinición 24 Un punto x se llama punto límite de la sucesión (xn) si paratodo > 0 hay infinitos valores de n tales que

|xn − x| <

Ejemplo 29 La sucesión (1,−1, 1,−1, ...) tiene a 1 y −1 como puntos límites.Sin embargo, esta sucesión no es convergente.

Teorema 59 Sea X = (xn) una sucesión de números reales y x ∈ R. Entoncesse cumple:

1. x es un punto límite de X si y sólo si para todo > 0 y para todo númeronatural m existe otro n tal que n > m y |xn − x| < .

2. x es un punto límite de X si y sólo si existe una subsucesión de X queconverge a x.

3. X converge a x si y sólo si X está acotada y x es su único punto límite

Demostración:

1. Si x es un punto límite de X y > 0, entonces hay infinitos valores de npara los que |xn − x| < . Dado cualquierm ∈ N, hay sólo un número finitode ellos que es menor que m. Por tanto, hay uno que debe ser mayor quem. Recíprocamente, elegimos los números naturales de forma inductiva.Por hipótesis dado cualquier m ∈ N, existe n1 ∈ N tal que n1 > m y|xn1 − x| < . Después, existe n2 ∈ N tal que n2 > n1 y |xn2 − x| < , yasí sucesivamente. Obtenemos n1 < n2 < · · · tales que |xni − x| < y, enconsecuencia, x es un punto límite de X.

2. Supongamos que x es un punto límite de X. Por (1), existe n1 ∈ N demanera que |xn1 − x| < 1. De nuevo por (1), existe n2 ∈ N tal que n2 > n1y |xn2 − x| < 1

2 . Continuando de esta forma, encontramos n1 > n2 >· · · > nk > · · · de modo que |xnk − x| < 1

k . De este modo, determinamosuna subsucesión (xnk) de X que converge a x. En efecto, dado cualquier> 0, existe m( ) ∈ N tal que 1

m( ) < . Entonces, para todo k ≥ m( ) secumple

|xnk − x| < 1

k≤ 1

m( )<

Recíprocamente, si existe una subsucesión X 0 = (xnk) de X que convergea x. Entonces, dado cualquier > 0 y m ∈ N existe nk ∈ N tal que nk > my

|xnk − x| <Por (1), x es un punto límite de X.

3. Si X converge a x, entonces por el teorema 4 X está acotada y por elteorema 14 toda subsucesión convergente de X converge a x. Por (2), xes el único punto límite de X. Recíprocamente, supongamos que X estáacotada y que x es el único punto límite de X. Si la sucesión no convergea x, entonces existe 0 > 0 y una subsucesión X 0 = (xnk) de X tal que|xnk − x| ≥ 0 para todo k ∈ N. Como X 0 está acotada, por el teoremade Bolzano-Weierstrass, debe tener una subsucesión X 00 convergente. Ellímite de X 00 es un punto límite de X diferente de x, pero esto no es posibleya que x es el único punto límite de X. Por tanto, X converge a x.

Definición 25 Sea X = (xn) una sucesión de números reales acotada superi-ormente. Se llama límite superior de X al supremo de los puntos límite de X yse denota por

lımsupxn o lımxn


Si el conjunto de puntos límite es vacío, definimos

lımsupxn = −∞si la sucesión no está acotada superiormente, definimos

lımsupxn = +∞De manera similar, si X = (xn) es una sucesión acotada inferiormente, se llamalímite inferior de X al ínfimo de los puntos límite de X, denotándose por

lıminf xn o lımxn

Si el conjunto de puntos límite de X es vacío, definimos

lıminf xn = +∞Si la sucesión no está acotada inferiormente, definimos

lıminf xn = −∞Ejemplo 30 Probar que para la sucesión X = (1, 0,−1, 1, 0,−1, 1, 0,−1, ...),lımsup = 1 y lıminf = −1.Solución: La sucesión X está acotada y sus puntos límite son −1, 0 y 1. Se

tienelımsupxn = sup{−1, 0, 1} = 1lıminf xn = inf{−1, 0, 1} = −1

Ejemplo 31 Sea X = (xn) definida por

xn =

½0 si n es parn si n es impar

es decir, X = (1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ...). Hallar lımsupxn y lıminf xn.Solución: La sucesión está acotada inferiormente y

lıminf xn = 0

En cambio, es claro que la sucesión no está acotada superiormente. Por tanto

lımsupxn = +∞

Observación 41 Aunque una sucesión esté acotada, lıminf no es necesaria-mente el ínfimo del conjunto de valores de la sucesión, ni lımsup su supremo.Esto se debe a que sólo estamos interesados en los puntos límite, y podemoseliminar cualquier número finito de términos sin alterar el conjunto de puntoslímite. La idea clave es que si x es un punto límite de (xn), entonces x tambiénes un punto límite de (xn+p), es decir, de la p− cola de X.Teorema 60 Sea X = (xn) una sucesión de números reales. Entonces se cumple:

1. Si X está acotada inferiormente, entonces lıminf xn = a si y sólo si

a) Para todo > 0, existe un número natural m( ) tal que a − < xnsiempre que n ≥ m( ), y

b) Para todo > 0 y para todo M ∈ N existe un número natural n > Mtal que xn < a+

2. Si X está acotada superiormente, entonces lımsupxn = b si y sólo si

a) Para todo > 0 existe un número natural m( ) tal que xn 0 y para todo M ∈ N existe un número natural n > Mtal que b− < xn

Demostración:

1. Supongamos que lıminf xn = a. Por definición

a = inf{x ∈ R : x es punto límite de X}Entonces, dado > 0, existe un punto límite x tal que

x < a+2

Si x es un punto límite de X, entonces para todo número natural M existeotro n tal que n > M y

|xn − x| <2

es decir,xn < x+

2< a+

lo que prueba (b). Si (a) es falsa, entonces existe 0 > 0 para el que existeninfinitos xn que satisfacen

xn ≤ a−De este modo, podemos elegir una subsucesión X 0 = (xnk) de X tal que

xnk ≤ a−Como X está acotada inferiormente, X 0 está acotada inferiormente. Portanto, por Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión X 00 de X 0 que esconvergente. Supongamos que el límite de X 00 es x. Entonces

x ≤ a− < a

y, en consecuencia, x es un punto límite de X menor que a, lo cual esuna contradicción, ya que

a ≤ x

para todos los puntos límite. El recíproco se prueba de la misma manera.

2. La demostración es similar a la del apartado anterior.

Teorema 61 Sea X = (xn) una sucesión acotada de números reales. Entoncesse cumple:

lımsupxn = infn∈N

{supSn}lıminf xn = sup

n∈N{inf Sn}

en donde Sn = {xn, xn+1, xn+2, ...}.Demostración: Supongamos que b ∈ R y

lımsupxn = b

Por estar acotada superiormente X, existen los supremos de cada uno de lossiguientes conjuntos

b1 = sup{x1, x2, x3, ...}b2 = sup{x2, x3, x4, ...}

...

bn = sup{xn, xn+1, xn+2, ...}...

y es claro que se cumple

b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ · · · ≥ bn ≥ · · ·La sucesión (bn) es decreciente y, como X está acotada inferiormente, (bn)también lo está. Por tanto,

lım bn = inf{bn : n ∈ N}Por (2a) del teorema anterior, dado cualquier > 0 existe un número nat-ural m( ) tal que xn < b + siempre que n ≥ m( ). Por tanto, si bn =sup{xn, xn+1, xn+2, ...} y (bn) es decreciente, entonces

bn ≤ b+

para n ≥ m( ). Por otra parte, como b − < xn, para n ≥ M arbitrariamentegrande, entonces se tiene que b− ≤ bn. Por tanto, tenemos

b− ≤ bn ≤ b+

para n suficientemente grande, es decir, la sucesión (bn) converge a b, y

lımsupxn = b = lım bn = inf{bn : n ∈ N}Mediante un razonamiento similar se demuestra la otra fórmula.

Teorema 62 Sea X = (xn) una sucesión de números reales. Entonces:

1. lıminf xn ≤ lımsupxn2. Si xn ≤M para todo n ∈ N, entonces lımsupxn ≤M

3. Si M ≤ xn para todo n ∈ N, entonces lıminf xn ≥M

4. lımsupxn = +∞ si y sólo si X no está acotada superiormente

5. lıminf xn = −∞ si y sólo si X no está acotada inferiormente

6. Si x es un punto límite de X, entonces lıminf xn ≤ x ≤ lımsupxn7. Si a = lıminf xn es finito, entonces a es un punto límite de X

8. Si b = lımsupxn es finito, entonces b es un punto límite de X

9. X converge a x si y sólo si lımsupxn = lıminf xn = x

Demostración:

1. Supongamos que Sn = {xn, xn+1, xn+2, ...} y que an = inf Sn. Por defini-ción, si Sn no está acotado inferiormente, an = −∞. Supongamos quebn = supSn. Por definición, si Sn no está acotado superiormente, bn =+∞. Observemos que cada bn es una cota superior de {an : n ∈ N}. Portanto,

lıminf xn = sup{an : n ∈ N} ≤ bn

para todo n ∈ N. De aquí, se siguelıminf xn ≤ inf{bn : n ∈ N} = lımsupxn

2. Puesto que xn ≤ M para todo n ∈ N, se sigue supSn ≤ M para todon ∈ N. Por lo tanto,

lımsupxn = infn∈N

supSn ≤M

3. La demostración es similar a la del apartado (2).

4. Si X no está acotada superiormente, por definición se tiene lımsupxn =+∞. Recíprocamente, si X está acotada superiormente, por (2), lımsupxn≤M , siendo M una cota superior de la sucesión.


6. Supongamos que x es un punto límite de X. Entonces, para todo n ∈ Nexiste k > n para el cual

x− < xk < x+

Por tantoinf Sn ≤ x+ y x− ≤ supSn

para todo n ∈ N. De aquí, se sigueinf Sn < x < supSn

luego

lıminf xn = supn∈N

{inf Sn} ≤ x ≤ infn∈N

{supSn} = lımsupxn

7. Por definición,

a = sup{an : n ∈ N}donde

an = inf Sn

Es evidente que

a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · ≤ a

La sucesión (an) es creciente y acotada superiormente. Por tanto, lım an =a. Entonces, dados > 0 y k ∈ N, existe m( ) tal que

a− < an ≤ a

siempre que n ≥ m( ). Si ahora escogemos n > sup{k,m( )}, se sigue que

a− < inf Sn ≤ a

De aquí se deduce que existe M ∈ N tal que N > n ≥ k y

|xM − x| <

y, en consecuencia, x es un punto límite de X.


9. Si X converge a x, entonces para todo > 0 existe m( ) ∈ N tal que

x− < xn < x+

siempre que n ≥ m( ). De aquí, por el teorema 27 (1), se sigue quelıminf xn = x. Del mismo modo, por (2) se tiene lımsupxn = x. Recíp-rocamente, si se cumplen las condiciones del teorema 27 con x = a = b,supongamos que M( ) es el mayor de los m( ) correspondientes a (1a) y(2a), entonces

x− < xn < x+

si n ≥M( ). Por tanto, X converge a x.

Ejemplo 32 Sea X = (xn) definida por

xn = 3 + (−1)n(1 + 1

n)

Calcular lıminf xn y lımsupxn.Solución: La sucesión se define por extensión como sigue

(3− 1− 11, 3 + 1 +

1

2, 3− 1− 1

3, ...)


Entonces

b1 = supS1 = 3 + 1 +1

2

b2 = supS2 = 3 + 1 +1

2

b3 = supS3 = 3 + 1 +1

4...

b2n = supS2n = 3 + 1 +1

2n...

ylım bn = 4

Por tanto,lımsupxn = inf{supSn : n ∈ N} = 4

Por otra parte, tenemos

a1 = inf S1 = 3− 1− 11

a2 = inf S2 = 3− 1− 11

a3 = inf S3 = 3− 1− 13

...

a2n−1 = inf S2n−1 = 3− 1− 1

2n− 1...

ylım an = 2

Por tanto,lıminf xn = sup{inf Sn : n ∈ N} = 2

Ejemplo 33 Hallar una sucesiónX = (xn) tal que lımsupxn = 5 y lıminf xn =−3.Solución: Es evidente que la sucesión

X = (5,−3, 5,−3, 5,−3, ...)que se define como sigue

xn =

½5 si n es impar−3 si n es par

satisface las condiciones del enunciado.

2.10. CRITERIOS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES 75

2.10. Criterios para el cálculo de límitesTeorema 63 (Teorema de Toeplitz) Sea X = (xn) una sucesión de númerosreales tal que lımX = α. Elegidos los números reales λin de manera que:

1. lımλin = 0, para todo i ∈ N2. lım(λ1n + λ2n + · · ·+ λnn) = λ

3. |λin|+ |λ2n|+ · · ·+ |λnn| < k, para todo n ∈ NEntonces se cumple que

lım(x1λ1n + x2λ2n + · · ·+ xnλnn) = αλ

Demostración: Podemos escribir xn = α+ βn, donde βn = xn − α. Entoncesse cumple lımβn = 0. Por tanto, dado > 0, existe m( ) ∈ N tal que

|βn| < k

siempre que n ≥ m( ). Entonces

λ1nx1 + λ2nx2 + · · ·+ λnnxn = λ1n(α+ β1) + λ2n(α+ β2) + · · ·+ λnn(α+ βn)

= αnXi=1

λin +

m( )Xi=1

λinβi +nX

i=m( )+1

λinβi

Puesto que |λin| + |λ2n| + · · · + |λnn| < k y |βn| < k para todo n ≥ m( ), secumple

nXi=m( )+1

|λinβi| < k ·k=

Si ahora pasamos al límite la igualdad anterior se sigue que

lım(λ1nx1 + λ2nx2 + · · ·+ λnnxn) = lım

αnXi=1

λin +

m( )Xi=1

λinβi

= α lım

nXi=1

λin

= αλ

ya que

lım

m( )Xi=1

λinβi = 0

porque lımλin = 0 para todo i ∈ N.Teorema 64 (Primer criterio de Stolz) Sean X = (xn) y Y = (yn) dossucesiones de números reales tales que lımxn = α ∈ R, yn > 0 para todo n ∈ N,y (y1 + · · · + yn) no está acotada superiormente (es decir, tiene límite +∞).Entonces

lımx1y1 + · · ·+ xnyny1 + · · ·+ yn

= α


Demostración: Haciendo

λin =yi

y1 + · · ·+ yn

Entonces se cumplen las hipótesis del teorema de Toeplitz (en este caso λ = 1)y, en consecuencia, se tiene

lımx1y1 + · · ·+ xnyny1 + · · ·+ yn

= α

Corolario 11 Sean X = (xn) y Y = (yn) dos sucesiones de números realestales que yn > 0 para todo n ∈ N, y lım(y1 + · · ·+ yn) = +∞. Entonces, si

lımxnyn= α

entonceslım

x1 + · · ·+ xny1 + · · ·+ yn

= α

Demostración: Tomandoan =

xnyn

para todo n ∈ N. Por hipótesislım an = α

Por tanto, aplicando el primer criterio de Stolz, se sigue que

lıma1y1 + · · ·+ anyny1 + · · ·+ yn

= lımx1 + · · ·+ xny1 + · · ·+ yn

= α

Teorema 65 (Segundo criterio de Stolz) Se cumple

1. Sean X = (xn) y Y = (yn) dos sucesiones de números reales tales quelımxn = lım yn = 0, (yn) estrictamente creciente y

lımxn − xn−1yn − yn−1

= α ∈ R ∪ {+∞}

Entonceslım

xnyn= α

2. Sean X = (xn) y Y = (yn) dos sucesiones de números reales tales que(yn) es estrictamente creciente (o decreciente) y no acotada superiormente(respectivamente, no acotada inferiormente) y

lımxn − xn−1yn − yn−1

= α ∈ R ∪ {±∞}

Entonceslım

xnyn= α

Demostración: (1) Por hipótesis, dado > 0, existe m( ) ∈ N tal que

α− <xn − xn−1yn − yn−1

< α+

para todo n ≥ m( ). Entonces, las fracciones

xn+p − xn+p−1yn+p − yn+p−1

,xn+p−1 − xn+p−2yn+p−1 − yn+p−2

, ...,xn+2 − xn+1yn+2 − yn+1

,xn+1 − xnyn+1 − yn

para todo p ∈ N y n ≥ m( ), están comprendidas entre α − y α + . Luego,la fracción obtenida de numerador igual a la suma de todos los numeradores ydenominador igual a la suma de todos los denominadores, siendo éstos de signopositivo (se cumple · · · < yn+p−1 < yn+p < · · · ), está también comprendidaentre estos números. Por lo tanto, se cumple para todo p ∈ N y n ≥ m( )

α− <xn+p − xnyn+p − yn

< α+

Si ahora pasamos al límite respecto a p (conservando fijo n) en la desigualdadanterior, como lımxn+p = lım yn+p = 0, entonces

α− <xnyn

< α+

siempre que n ≥ m( ). Por consiguiente

lımxnyn= α

Mediante un razonamiento similar se prueba el caso en que α = +∞.(2) Supongamos que Y es estrictamente creciente y no acotada superior-

mente, es decir, yn−1 < yn y lım yn = +∞. Hacemos a1 = x1 y b = y1, y

an = xn − xn−1bn = yn − yn−1

para todo n > 1. Entonces bn > 0 y lım(b1 + · · ·+ bn) = +∞, además de que

lımanbn= lım

xn − xn−1yn − yn−1

= α

por hipótesis. Entonces, aplicando el corolario anterior, se tiene

lıma1 + · · ·+ anb1 + · · ·+ bn

= lımxnyn= α

Si Y es estrictamente decreciente y no acotada inferiormente, es decir,yn−1 > yn y lım yn = −∞. Hacemos a1 = x1 y b = y1, y

an = xn − xn−1bn = yn − yn−1

para todo n > 1. Entonces −bn > 0 y lım(−b1− · · ·− bn) = +∞, además de que

lıman−bn = lım

xn − xn−1(−yn)− (−yn−1) = −α


por hipótesis. Entonces, aplicando el corolario anterior, se tiene

lıma1 + · · ·+ an−b1 − · · ·− bn

= lımxn−yn = −α

Mediante un razonamiento similar se prueba el caso en que α = ±∞.Ejemplo 34 Calcular lım lnn

nSolución: La sucesión (n) es estrictamente creciente y no acotada superi-

ormente. Calculamos el límite siguiente

lımlnn− ln(n− 1)n− (n− 1) = lımln

n

n− 1 = ln 1 = 0

Por tanto, según Stolz, se sigue que

lımlnn

n= 0

Ejemplo 35 Calcular L = lım 12+22+···+n2n3

Solución: La sucesión (n3) es estrictamente creciente y no acotada superi-ormente. Calculamos el límite siguiente

L = lım12 + 22 + · · ·+ (n− 1)2 + n2 − (12 + 22 + · · ·+ (n− 1)2)

n3 − (n− 1)3

= lımn2

n3 − (n3 − 3n2 + 3n− 1)= lım

n2

3n2 − 3n+ 1= lım

n2

n2(3− 3n +

1n2 )

= lım1

3− 3n +

1n2=1

3

Por tanto, según Stolz, se sigue que

lım12 + 22 + · · ·+ n2

n3=1

3

Teorema 66 (Criterio de la media aritmética) Sea X = (xn) una suce-sión de números reales tal que existe

lımxn = α ∈ R ∪ {±∞}Entonces

lımx1 + · · ·+ xn

n= α

Demostración: Tomando an = x1+ · · ·+xn y yn = n para todo n ∈ N. Puestoque (n) es estrictamente creciente y no acotada superiormente, por el segundocriterio de Stolz, se tiene

lıman − an−1yn − yn−1

= lımxn = α


por hipótesis, implica que

lımanyn= lım

x1 + · · ·+ xnn

= α

Ejemplo 36 Calcular lım√1+√

12+···+

√1n

n

Solución: Puesto que

lım

r1

n= 0

Según el criterio de la media aritmética

lım

√1 +

q12 + · · ·+

q1n

n= 0

Teorema 67 (Criterio de la media geométrica) Sea X = (xn) una suce-sión de números reales tal que xn > 0 para todo n ∈ N y

lımxn = α ∈ R ∪ {+∞}

Entonceslım n√x1 · · ·xn = α

Demostración: Tomando logaritmos y aplicando el criterio de la media arit-mética, se tiene

lım n√x1 · · ·xn = eln

n√x1···xn

= eln z1+···+ln xn

n

= elnα

= α

Ejemplo 37 Calcular lım n

q13 · 25 · 37 · · · · · n

2n+1

Solución: Puesto que la sucesión ( 13 · 25 · 37 ·· · ·· n2n+1) es de términos positivos,

calculamos el límite siguiente

lımn

2n+ 1= lım

n

n(2 + 1n)= lım

1

2 + 1n

=1

2

Por tanto, según el criterio de la media geométrica, se sigue que

lım n

r1

3· 25· 37· · · · · n

2n+ 1=1

2

Teorema 68 (Criterio de la raíz) Sea X = (xn) una sucesión de númerosreales tal que xn > 0 para todo n ∈ N y existe

lımxnxn−1

= α ∈ R ∪ {+∞}

Entonceslım n√xn = α

Demostración: Hacemos a1 = x1 y

an =xnxn−1

para todo n > 1. Entonces, por hipótesis

lım an = α

Por el criterio de la media geométrica, se sigue que

lım n√a1a2 · · · an = lım n

rx1

x2x1· · · xn

xn−1= lım n

√xn = α

Ejemplo 38 Calcular lım n

q1n!

Solución: Puesto que la sucesión (1/n!) es de términos positivos, calculamosel límite siguiente

lım1/(n+ 1)!

1/n!= lım

n!

(n+ 1)!= lım

1

n+ 1= 0

Por tanto, según el criterio de la raíz, se sigue que

lımn

r1

n!= 0

Teorema 69 (Primer criterio del número e) Sea X = (xn) una sucesiónde números reales tal que

lımxn = ±∞Entonces

lım

µ1 +

1

xn

¶xn= e

Demostración: Si lımxn = +∞ y

an = E(xn)

es la parte entera de xn para todo n ∈ N, entonces se cumple

an ≤ xn < an + 1

De aquí, se sigue queµ1 +

1

an + 1

¶an<

µ1 +

1

xn

¶xn<

µ1 +

1

an

¶an+1Es claro que lım an = +∞ y como que a partir de un cierto lugar en adelantese cumple que an ∈ N, entonces

lım

µ1 +

1

an + 1

¶an=lım

³1 + 1

an+1

´an+1lım

³1 + 1

an+1

´ =e

1= e

Del mismo modo se tiene

lım

µ1 +

1

an

¶an+1= lım

µ1 +

1

an

¶an· lım

µ1 +

1

an

¶= e · 1 = e

Por tanto, de la desigualdad anterior, se sigue que

lım

µ1 +

1

xn

¶xn= e

Si lımxn = −∞, hacemos bn = −xn. De este modo, lım bn = +∞ y

lım

µ1 +

1

−bn

¶−bn= lım

µbn

bn − 1¶bn

= lım

µ1 +

1

bn − 1¶bn−1

lım

µ1 +

1

bn − 1¶

= e

Teorema 70 (Segundo criterio del número e) Si X = (xn) y Y = (yn)son dos sucesiones de números reales tales que

lımxn = 1 y lım yn = +∞y existe

lım(xn − 1)yn = α ∈ REntonces

lımxynn = eα

Demostración: Puesto que

lım1

xn − 1 = ±∞

Entonces se cumple

lımxynn = lım[1 + (xn − 1)]yn

= lım

"µ1 +

1

1/(xn − 1)¶1/(xn−1)#(xn−1)yn

= elım(xn−1)yn


Ejemplo 39 Calcular lım³n2−5n+6n2−2n+1

´n2+5n+2

Solución: Puesto que

lımn2 − 5n+ 6n2 − 2n+ 1 = lım

n2(1− 5n +

6n2 )

n2(1− 2n +

1n2 )

= lım1− 5

n +6n2

1− 2n +

1n2= 1

y

lımn2 + 5

n+ 2= lım(

n2

n+ 2+

5

n+ 2) = +∞

Calculamos el límite siguiente

L = lım

µn2 − 5n+ 6n2 − 2n+ 1 − 1

¶n2 + 5

n+ 2

= lım

µ −3n+ 5n2 − 2n+ 1 ·

n2 + 5

n+ 2

¶= lım

−3n3 + 5n2 − 15n+ 25n3 − 3n+ 2 = −3

Por tanto,

lım

µn2 − 5n+ 6n2 − 2n+ 1

¶n2+5n+2

= e−3

2.10.1. Infinitésimos

Definición 26 Se dice que una sucesión de números reales X = (xn) es uninfinitésimo si

lımxn = 0

Definición 27 Decimos que dos infinitésimos X = (xn) y Y = (yn) son in-finitésimos equivalentes, y lo designaremos por X ∼ Y , si

lımX

Y= 1

siempre que xn 6= 0 y yn 6= 0 para todo n ∈ N.Teorema 71 Si X = (xn) y Y = (yn) son dos infinitésimos equivalentes, yZ = (zn) es cualquier sucesión de números reales, entonces se cumple

1. lım(XZ) = lım(Y Z)

2. lım ZX = lım Z

Y

o sea podemos sustituir un infinitésimo por su equivalente, siempre que estémultiplicando o dividiendo.Demostración: (1) Se cumple

lım(XZ) = lım(X

YY Z) = lım(Y Z)


(2) Se cumple

lımZ

Y= lım

µX

Y

Z

X

¶= lım

Z

X

Observación 42 (Lista de algunos infinitésimos) Si X = (xn) es un in-finitésimo, entonces se demuestra que:

1. (sinxn) ∼ (xn)2. (tanxn) ∼ (xn)3. (ln(1 + xn)) ∼ (xn), siempre que xn > −1 para todo n ∈ N4. (1− cosxn) ∼ (12x2n)5. (

√a2 + xn) ∼ (a+ xn

2a ), siempre que a > 0

6. (axn − 1) ∼ (xn ln a), siempre que a > 07. ( 1

1+xn) ∼ (1− xn), siempre que xn 6= −1 para todo n ∈ N

Ejemplo 40 Calcular los límites siguientes:

1. lım¡2n sin 1

n

¢2. lım 2

n ln(1+ 1n3)

Solución:

1. Puesto que (1/n) es un infinitésimo, sabemos que (sin 1/n) ∼ (1/n). Portanto,

lım

µ2n sin

1

n

¶= lım

µ2n · 1

n

¶= 2

2. Puesto que (1/n3) es un infinitésimo, sabemos que (ln(1 + 1n3 )) ∼ (1/n3).

Por tanto,

lım2

n ln(1 + 1n3 )

= lım2

n · 1n3= lım2n2 = +∞

2.10.2. Infinitos

Definición 28 Se dice que una sucesión de números reales X = (xn) es uninfinito si

lımxn = ±∞Definición 29 Decimos que dos infinitos X = (xn) y Y = (yn) son infinitosequivalentes, y lo designamos por X ∼ Y , si

lımX

Y= 1

siempre que xn 6= 0 y yn 6= 0 para todo n ∈ N.

Definición 30 Dados dos infinitos X = (xn) y Y = (yn), decimos que Y es uninfinito de orden superior a X, designado por X ¿ Y , si

lımX

Y= 0

o lo que es equivalente

lımY

X= ±∞

Teorema 72 Si X = (xn) y Y = (yn) son dos infinitos equivalentes y Z = (zn)una sucesión de números reales, entonces se cumple

1. lım(XZ) = lım(Y Z)

2. lım ZX = lım Z

Y

Demostración: (1) Se cumple

lım(XZ) = lım(X

YY Z) = lım(Y Z)

(2) Se cumple

lımZ

Y= lım

µX

Y

Z

X

¶= lım

Z

X

Observación 43 (Comparación de algunos infinitos) Si X = (xn) es uninfinito, entonces se demuestra que

X ¿ X2 ¿ 2X ¿ eX ¿ XX

Teorema 73 (Fórmula de Euler) Se cumple

1 +1

2+1

3+ · · ·+ 1

n= lnn+ C + n

donde lım n = 0 y C es la constante de Euler.Demostración: Consideremos la sucesión X = (xn) definida por

xn = 1 +1

2+1

3+ · · ·+ 1

n− lnn

Observemos que

xn+1 − xn =1

n+ 1− ln n+ 1

n

Puesto que µ1 +

1

n

¶n< e <

µ1 +

1

n

¶n+1entonces

n ln

µ1 +

1

n

¶< 1 < (n+ 1) ln

µ1 +

1

n

¶de donde se obtiene

1

n+ 1< ln

µ1 +

1

n

¶<1

n

Por tanto

xn+1 − xn =1

n+ 1− ln

µ1 +

1

n

¶< 0

para todo n ∈ N, luego X es una sucesión decreciente. Observemos también que

xn = 1 +1

2+1

3+ · · ·+ 1

n− lnn

= 1− ln 21+1

2− ln 3

2+ · · ·+ 1

n− ln n+ 1

n≥ 0

ya que

0 <1

n− ln n+ 1

npara todo n ∈ N. Por tanto, X está acotada inferiormente y, en consecuencia,X es convergente. Su límite es un número real que se designa por C y se llamaconstante de Euler. Entonces la sucesión ( n) definida como

n = 1 +1

2+1

3+ · · ·+ 1

n− lnn− C

es un infinitésimo. Por lo tanto, tenemos

1 +1

2+1

3+ · · ·+ 1

n= lnn+ C + n

Teorema 74 (Fórmula de Stirling) Se cumple

lımn!

e−nnn√2πn

= 1

es decir (n!) y¡e−nnn

√2πn

¢son dos infinitos equivalentes.

Demostración: Consideremos la sucesión X = (xn) definida por

xn =n!en

nn√n

Puesto que

xn+1xn

=(n+ 1)!en+1

(n+ 1)n+1√n+ 1

· nn√n

n!en

= e

µn

n+ 1

¶n+ 12

=e¡

1 + 1n

¢n+ 12

< 1

se sigue que xn+1 < xn para todo n ∈ N. Por tanto, X es una sucesión decre-ciente. Es claro que xn > 0 y, en consecuencia, X es convergente. Su límite es√2π (no se demuestra aquí este hecho). Por lo tanto

lımn!

e−nnn√2πn

=1√2πlım

n!en

nn√n= 1


Ejemplo 41 Calcular los límites siguientes:

1. lım1+ 1

2+13+···+ 1

n

lnn

2. lım n2n

3. lım nn

enn!

Solución:

1. Según la fórmula de Euler,

lım1 + 1

2 +13 + · · ·+ 1

n

lnn= lım

lnn+ C + xnlnn

= lım(1 +C + xnlnn

) = 1

Obsérvese entonces que (1 + 12 +

13 + · · ·+ 1

n) ∼ (lnn).2. Puesto que (n)¿ (2n), entonces

lımn

2n= 0

3. Puesto que (n!) y¡e−nnn

√2πn

¢son dos infinitos equivalentes, se sigue

que

lımnn

enn!= lım

nn

ene−nnn√2πn

= lım1√2πn

= 0

2.10.3. Indeterminaciones

Las expresiones simbólicas siguientes, se llaman indeterminaciones

+∞−∞, 0 · (±∞) , 00,±∞±∞ , (±∞)

0 , 00, 1±∞

Por ejemplo, si lımX = +∞ y lımY = −∞, entonces nada puede afirmarsesobre el límite de X + Y . En efecto, si X = (1, 2, 3, ...) y Y = (−1,−2,−3, ...),entonces X+Y = (0, 0, 0, ...) que es covergente a 0; en cambio, si Y1 = (yn+1) =(−2,−3,−4, ...), entonces X + Y 0 = (−1,−1,−1, ...) que es convergente a −1.La dificultad del cálculo de límites es averiguar si existe el l ímite y cuál es

su valor en el caso de que aparezca una de las indeterminaciones.

analisis libro gerardo____5toao

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