ANALISIS KANONIK MELALUI PENDEKATAN RUANG DUAL

(Skripsi)

Oleh

Dwi Mayasari

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG2016

ABSTRACK

CANONICAL ANALYSIS WITH DUAL SPACE APPROACH

By

DWI MAYASARI

Canonical analysis is used to determine the relationship or correlation betweentwo groups of quantitative variables. The relationship between two groups ofvariables is seen by the correlation. Dimensional multivariate data is presented inthe variable space and individual space. Variable space and individual space isassociated by dual space. Variable space has a dual space as well as individualspace. Trough a dual space approach, canonical analysis is trying to reduce thedimension of matrix to see the relationship between two groups of variables.Reduction is done by forming a variance covariance matrix of the centralized datamatrix, each group of variables and both groups of variables, then look for theeigen value to determine the value of the canonical correlation coefficient andeigen vector to determine the value of the canonical variables pairs.

Keywords : Multivariate, Canonical Analysis, Dual Space.

ABSTRAK

ANALISIS KANONIK MELALUI PENDEKATAN RUANG DUAL

Oleh

DWI MAYASARI

Analisis Kanonik digunakan untuk mengetahui hubungan atau korelasi antara duakelompok variabel kuantitatif. Besarnya hubungan antara kedua kelompokvariabel dilihat dengan nilai korelasinya. Dimensi data multivariat disajikan dalamruang variabel dan ruang individu. Ruang variabel dan ruang individudihubungkan dengan diagram dual. Ruang variabel mempunyai ruang dual, begitupula untuk ruang individu. Melalui pendekatan ruang dual, analisis kanonikberusaha mereduksi dimensi matriks untuk melihat hubungan antara duakelompok variabel. Pereduksian dilakukan dengan membentuk matriks variankovarian dari matriks data terpusat,tiap kelompok variabel dan kedua kelompokvariabel, kemudian mencari nilai karakteristik untuk menentukan nilai koefisienkorelasi kanonik dan vektor karakteristik untuk menentukan nilai pasanganvariabel kanonik.

Kata kunci : Multivariat, Analisis Kanonik, Ruang Dual.

ANALISIS KANONIK MELALUI PENDEKATAN RUANG DUAL

Oleh

Dwi Mayasari

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2016

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kota Metro, Lampung pada tanggal 23 Mei 1994, sebagai

anak kedua dari tiga bersaudara dari pasangan Bapak Sutarno dan Ibu Lela Utama,

dan adik dari Edwin Sutartama serta kakak dari Aldrin Tridata.

Pendidikan Sekolah Dasar (SD) Negeri 4 Metro Timur diselesaikan pada tahun

2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Kota Metro diselesaikan pada

tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Kota Metro

diselesaikan pada tahun 2012.

Tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur

mandiri. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif dalam organisasi tingkat

jurusan, fakultas dan universitas yaitu Anggota Gematika 2012-2013, anggota

Biro KRT Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) periode 2013-2014,

Anggota Muda Rois (AMAR) FMIPA Universitas Lampung, dan pengurus Unit

Kegiatan Mahasiswa (UKM) Judo Universitas Lampung.

Pada tahun 2015 penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Kantor Badan Pusat

Statistik (BPS) Kota Metro, dan pada tahun yang sama penulis melaksanakan

Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Muara Tembulih, Kecamatan Ngambur,

Kabupaten Pesisir Barat, Provinsi Lampung.

MOTTO

“Allah tidak akan membebani seseorang melainkan sesuai dengankesanggupannya”

(Al-Baqarah: 286)

“Karena Sesungguhnya bersama setiap kesulitan pasti ada kemudahan”(Al-Insyirah: 5)

“Kemenangan yang seindah-indahnya dan sesukar-sukarnya yang boleh direbutoleh manusia ialah menundukan diri sendiri”

(Ibu Kartini)

PERSEMBAHAN

Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT, dan dengan kerendahan hati

penulis persembahkan karya kecil dan sederhana ini sebagai tanda bakti dan

cinta kepada semua orang yang senantiasa mendukung dan dengan tulus

mendoakan kelancaran terciptanya karya ini.

Ayah, Ibu, Mbah, Abang dan Aldrin yang selalu memberikan semangat dan

menjadi sumber motivasi terbesar selama ini.

Sahabat-sahabat yang selalu ada. Terima kasih atas keceriaan, semangat, serta

motivasi yang diberikan kepada penulis.

Almamaterku tercinta Universitas Lampung.

SANWACANA

Dengan mengucapkan Alhamdulillah penulis panjatkan puji syukur kehadirat

Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini yang berjudul “Analisis Kanonik melalui Pendekatan Ruang Dual”.

Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana

Sains di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung. Dalam pelaksanaan dan penyusunan skripsi ini penulis

banyak mendapatkan bantuan, pengarahan, motivasi serta bimbingan dari

berbagai pihak. Dengan ketulusan hati penulis ingin mengucapkan terimakasih

banyak kepada :

1. Bapak Rudi Ruswandi, M.Si. selaku Dosen Pembimbing I, terimakasih untuk

bimbingan dan kesediaan waktunya selama penyusunan skripsi ini.

2. Bapak Amanto, M.Si. selaku Dosen Pembimbing II, terimakasih untuk

bimbingan dan masukannya selama penyusunan skripsi.

3. Bapak Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D. selaku Dosen Penguji, terimakasih

atas kesediannya untuk menguji, memberikan saran dan kritik yang

membangun dalam penyelesaian skripsi ini.

4. Bapak Rudi Ruswandi, M.Si. selaku Pembimbing Akademik, terimakasih atas

bimbingan dan pembelajarannya serta masukan kepada penulis dalam

menjalani perkuliahan.

5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

FMIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D.,selaku Dekan FMIPA Universitas

Lampung.

7. Seluruh Dosen dan Karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lampung.

8. Untuk kedua orang tua Ayah dan Ibu, serta Mbah, Abang dan Adik tercinta

yang tak pernah berhenti memberi semangat, doa, materi, dorongan, nasehat

dan kasih sayang serta pengorbanan yang tak tergantikan hingga penulis

selalu kuat menjalani setiap rintangan yang ada di depan.

9. Sahabat tersayang Desi, Astuti, Siti, dan Tri yang selalu ada dalam keadaan

apapun.

10. Sahabat-sahabat seperjuangan Matematika 2012 Ima, Hana, Ica, Ernia, Mba

Desti, Yama, Anggi, Yanti, Erni, Citra, Oci, Dwi, Adelfira, Candra, Rendi,

Gerry, dan semua teman-teman yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

11. Keluarga HIMATIKA FMIPA Universitas Lampung atas kebersamaannya

selama ini.

12. Almamater tercinta Universitas Lampung.

13. Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu

persatu.

Bandar Lampung, Desember 2016

Dwi Mayasari

DAFTAR ISI

Halaman

I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah ....................................................... 1

1.2 Perumusan Masalah ................................................................... 3

1.3 Tujuan Penelitian ........................................................................ 4

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Matriks ................................................................. 5

2.1.1 Definisi Matriks .............................................................. 5

2.1.2 Transpose Matriks ........................................................... 5

2.1.3 Skalar............................................................................... 6

2.1.4 Matriks Diagonal ............................................................. 6

2.1.5 Trace Matriks .................................................................. 6

2.1.6 Matriks Simetris .............................................................. 6

2.1.7 Matriks Identitas.............................................................. 7

2.1.8 Invers Matriks ................................................................. 7

2.1.9 Permutasi ......................................................................... 8

2.1.10 Determinan Matriks ........................................................ 9

2.1.11 Matriks Singular .............................................................. 11

2.1.12 Matriks Ortogonal ........................................................... 11

2.2 Matriks Koragam ........................................................................ 11

2.3 Ruang Vektor .............................................................................. 11

2.4 Kombinasi Linear ........................................................................ 12

2.5 Bebas Linear................................................................................ 13

2.6 Himpunan Perentang ................................................................... 13

2.7 Basis ............................................................................................ 13

2.8 Pemetaan Linear .......................................................................... 14

2.9 Transformasi Linear dalam Bentuk Matriks ............................... 14

2.10 Ruang Dual ............................................................................... 15

2.11 Nilai Karakteristik dan Vektor Karakteristik ............................ 16

2.12 Bentuk Bilinear ......................................................................... 17

2.13 Ruang Euclids ........................................................................... 17

2.14 Diagram Dual ............................................................................ 18

2.14.1 Metrik ............................................................................. 20

2.14.2 Norm ............................................................................... 21

2.14.3 Metrik di E ...................................................................... 21

2.14.4 Metrik di F ...................................................................... 22

2.14.5 Metrik Bobot di F ........................................................... 23

2.15 Analisis Peubah Ganda ............................................................. 24

2.16 Analisis Korelasi Ganda ............................................................ 25

2.17 Analisis Korelasi Kanonik ........................................................ 25

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. 28

3.2 Metode Penelitian..................................................................... 28

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Data Penelitian ......................................................................... 31

4.2 Hasil dan Pembahasan.............................................................. 32

4.2.1 Vektor Mean dan Matriks Data Terpusat ........................ 34

4.2.2 Matriks Varian Kovarian................................................. 37

4.2.3 Nilai – Nilai Karakteristik dan Vektor Karakteristik ...... 39

4.2.4 Menentukan Nilai Koefisien Korelasi Kanonik .............. 42

4.2.5 Menentukan Nilai Pasangan Variabel Kanonik .............. 43

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

Notasi

( × ) = Matriks data awal peubah independen yang berukuran p variabel kuantitatifdan n individu

( × ) = Matriks data awal peubah dependen berukuran q variabel kuantitatif dan nindividu

= Hasil pengukuran peubah independen variabel ke j pada individu ke i,dengan j = 1, 2, …, p dan i = 1, 2, …, n

= Hasil pengukuran peubah dependen variabel ke j pada individu ke i, denganj = 1, 2, …, q dan i = 1, 2, …, n = Vektor mean

G = Matriks dengan semua vektor kolomnya sama dengan = Matriks identitas berukuran n

= Bobot individu ke i

= Matriks diagonal bobot dimana = ; n menjelaskan banyaknyaindividu

= akar karakteristik ke i

= vektor karakteristik ke i untuk kelompok variabel independen

= vektor karakteristik ke i untuk kelompok variabel dependen

= variabel kanonik pada kelompok independen

= variabel kanonik pada kelompok dependen

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Metode untuk menganalisis data dengan variabel yang lebih dari dua peubah

dikenal dengan analisis peubah ganda (analisis multivariat). Analisis multivariat

adalah salah satu metode dalam statistik yang digunakan untuk melakukan analisis

secara simultan (bersama-sama) terhadap dua variabel atau lebih. Analisis

multivariat merupakan pengembangan dari analisis univariat atau bivariat. Pada

analisis univariat data diperoleh cukup dengan memperhatikan satu peubah atau

karakter saja dari satu individu. Sedangkan pada analisis multivariat data

diperoleh dengan memperhatikan dua bahkan lebih banyak lagi peubah yang

merupakan karakter dari individu yang sama.

Teknik dalam analisis multivariat bisa dikelompokkan menjadi dua kelompok

besar, yaitu analisis dependensi dan interdependensi. Analisis interdependensi

merupakan analisis dimana variabel tidak dibedakan menjadi variabel dependen

dan variabel independen, sedangkan analisis dependensi (analisis ketergantungan),

merupakan analisis yang jelas antara variabel dependen dengan independennya

serta menentukan hubungan antara variabel-variabel tersebut secara individual

atau bersama. Salah satu metode dari analisis dependensi yang akan dibahas pada

penelitian ini adalah analisis korelasi kanonik.

2

Analisis korelasi kanonik merupakan salah satu metode analisis multivariat yang

ditujukan untuk mengetahui hubungan antara dua kelompok variabel. Besarnya

hubungan ini diukur dengan nilai korelasi antara dua kelompok variabel tersebut.

Analisis korelasi kanonik fokus pada korelasi antara sebuah kombinasi linear dari

variabel dalam satu himpunan dan kombinasi linear dari variabel dalam himpunan

lainnya. Ide pertama adalah untuk menentukan bagian dari kombinasi linear yang

memiliki korelasi terbesar. Selanjutnya akan ditentukan bagian dari kombinasi

linear yang memiliki korelasi terbesar diantara semua bagian yang tidak

berkorelasi dengan bagian yang dipilih di awal. Bagian dari kombinasi linear

dinamakan variabel kanonik, dan korelasi yang lainnya dinamakan korelasi

kanonik. Sebagai contoh seorang dokter ingin mengetahui adakah hubungan

antara gaya hidup dan kebiasaan makan dengan kesehatan pasien yang diukur

dengan hipertensi, berat badan, dan tingkat ketegangan.

Dalam sebuah kasus multivariat untuk melihat suatu hubungan yang mencakup

variabel dan individu yang banyak, tentu menjadi tidak mudah seperti halnya pada

korelasi sederhana dalam analisis univariat yang responnya merupakan peubah

tunggal. Banyak teknik yang digunakan untuk melihat hubungan atau kemiripan

antar variabel-variabel kuantitatif dalam kelompok salah satunya dapat dilakukan

dengan menggunakan teknik analisis komponen utama, namun pada kasus yang

terdiri dari dua kelompok variabel kuantitatif , teknik analisis yang digunakan

adalah analisis korelasi kanonik. Untuk mendapatkan kemiripan antara dua

kelompok variabel kuantitatif maka penyajian data dilakukan dengan mereduksi

dimensi dari segugus data yang berdimensi besar menjadi data yang berdimensi

kecil seperti halnya pada analisis komponen utama, dimana pada komponen utama

3

segugus data yang berdimensi besar direduksi menjadi dimensi yang lebih kecil,

tetapi tidak banyak kehilangan informasi yang diterangkan oleh variabel-variabel

awal. Dalam hal ini metode yang akan digunakan peneliti untuk melihat

kemiripan dua kelompok variabel kuantitatif yaitu dengan melalui pendekatan

ruang dual.

Bentuk khusus dari fungsi linear adalah fungsional-linear, yaitu fungsi linear dari

suatu ruang vektor ke skalar suatu lapangan. Himpunan dari fungsional-linear

akan membentuk suatu ruang yang disebut ruang dual dan basis-basis dari ruang

tersebut dinamakan basis dual. Ruang dual merupakan himpunan semua bentuk

linear yang didefinisikan pada ruang vektor riil. Suatu bentuk linear yang

merupakan anggota dari ruang dual adalah pemetaan linear dengan domain ruang

vektor dan range-nya berupa lapangan. Data multivariat dalam penelitian ini

dipandang sebagai vektor-vektor acak yang disajikan dalam bentuk matriks

dimana dimensi matriks data tersebut akan direduksi dengan memperhatikan

konsep-konsep ruang dual.

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas pada penelitian ini yaitu mereduksi dimensi

matriks melalui pendekatan ruang dual untuk melihat derajat ekivalensi antara

dua kelompok variabel atau seberapa jauh dua kelompok variabel tersebut

mendekati keadaan ekivalen. Dalam hal ini himpunan semua pemetaan linear

yang merupakan anggota ruang dual akan memetakan setiap vektor riil menjadi

suatu bilangan riil.

4

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah :

1. Mengkaji analisis kanonik dengan pendekatan ruang dual.

2. Mereduksi data multivariat pada ruang bagian berdimensi kecil yang

optimal melalui pendekatan ruang dual untuk melihat hubungan atau

kemiripan antara dua kelompok variabel kuantitatif.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Konsep Dasar Matriks

2.1.1 Matriks

Definisi. Matriks adalah suatu kumpulan bilangan yang juga sering disebut

elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga

berbentuk persegi panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh

banyaknya kolom dan baris serta dibatasi tanda “[ ]” atau “( )”. Dalam matriks

dikenal dengan ukuran matriks yang disebut dengan ordo.

Jika adalah sebuah matriks, maka dapat digunakan untuk menyatakan entri

yang terdapat di dalam baris dan kolom dari . Jadi sebuah matriks ×yang umum dapat dituliskan sebagai:

= ……⋮ ⋮ ⋱ ⋮…(Anton, 2004 ).

2.1.2 Transpose Matriks

Definisi. Jika = adalah matriks , maka matriks yang dituliskan

dengan = [ ] adalah transpose matriks yang diperoleh dengan

mempertukarkan baris dan kolom dari yaitu kolom pertama dari adalah baris

pertama dari dan seterusnya (Anton, 2004).

6

2.1.3 Skalar

Suatu skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai, tetapi tidak memiliki arah.

Definisi. Jika adalah suatu matriks dan adalah suatu skalar, maka hasil kali

(product) adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing

entri dari oleh (Anton, 2004).

2.1.4 Matriks Diagonal

Matriks diagonal yaitu matriks bujur sangkar yang semua entri di luar diagonal

utama bernilai nol.

Contoh:

= 5 0 00 7 00 0 2 , = ⎣⎢⎢⎡ 00 4 0 00 00 00 0 −6 00 0⎦⎥⎥

⎤2.1.5 Trace Matriks

Definisi. Jika diberikan sebarang matriks berukuran × , maka trace dari

matriks tersebut didefinisikan sebagai jumlah dari unsur-unsur diagonalnya, dan

dinotasikan dengan ( ), sehingga:( ) = ∑ = + + ⋯ + (Mattjik dan Sumertajaya, 2011).

2.1.6 Matrik simetris

Misalkan adalah sebarang matriks berukuran × , jika = maka

simetrik (Anton, 2004).

7

2.1.7 Matriks Identitas

Matriks disebut matriks identitas dan biasa diberi simbol .= = = 1,2, … , , = 1,2, … , ⇔ = dan untuk= 1 → == 0 → ≠(Anton, 2004).

2.1.8 Invers Matriks

Definisi. Jika adalah suatu matriks bujur sangkar, dan dapat dicari matriks

sehingga = = , maka dikatakan mempunyai invers (invertible) dan

dinamakan invers dari (Anton, 2004).

Teorema.

Jika suatu matriks mempunyai invers, maka inversnya tunggal.

Bukti :

Misalkan invers dari suatu matriks adalah dan maka := == =Akan ditunjukkan bahwa == = = ( ) = =Karena = maka terbukti bahwa invers dari bersifat tunggal. ∎Teorema.

Jika dan adalah sebuah matriks dan mempunyai invers, maka inversnya

adalah ( ) =

8

Bukti.( ) = ( ) . .( ) = ( ) . . . .( ) = ( ) . . . .( ) = ( ) . ( ). .( ) = . .( ) = .maka benar bahwa adalah invers dari . ∎2.1.9 Permutasi

Definisi. Barisan bilangan-bilangan ( , , … , ) dimana berlaku ≠ , untuk≠ ( = 1, 2, … , ) serta salah satu dari bilangan asli (1, 2,…,n)

disebut suatu permutasi

Contoh :

(2, 3, 1, 4, 5) adalah permutasi.

Definisi. Inversi pada permutasi adalah adanya bilangan bulat yang lebih besar

mendahului bilangan bulat yang lebih kecil, < ( mendahului ) padahal< ( = 1,2, … , ).

Contoh :

Tentukanlah banyaknya invers dalam permutasi berikut

(3, 4, 1, 5, 2).

Jawab :

Banyaknya inverse adalah 2 + 2 + 0 + 1 = 5.

9

Definisi. Jika banyaknya inversi suatu permutasi adalah bilangan genap maka

dinamakan permutasi genap (even) dan jika banyaknya inversi suatu permutasi

adalah bilangan ganjil maka dinamakan permutasi ganjil (odd).

Definisi. Misalkan ( , , … , ) suatu permutasi, maka tanda (sign) dari

permutasi tersebut ditulis ( , , … , ) adalah ( , , … , ) = +1 bila( , , … , ) genap, = -1 bila ( , , … , ) ganjil (Anton, 2004).

2.1.10 Determinan Matriks

Definisi. Determinan dari matriks bujur sangkar berordo n adalah jumlah dari

semua ! hasil kali bertanda dari elemen-elemen matriks , yang dituliskan

dengan :det( ) = | | = ∑ ( , , … , ) , , … ,(Anton, 2004).

Selain dengan permutasi mencari determinan juga dapat dilakukan dengan

ekspansi kofaktor.

Definisi. Jika adalah matriks bujur sangkar, maka minor entri dinyatakan

oleh adalah determinan dari submatriks yang diperoleh dengan cara

menghilangkan semua entri pada baris ke –i dan semua entri pada kolom ke-j.

Dan kofaktor dari yang dilambangkan oleh adalah (−1) adalah

suatu skalar (Anton, 2004).

Definisi. Misalkan adalah matriks bujur sangkar, determinan dari

didefinisikan sebagai:

10

det( ) = + + ⋯ +(karena baris ke-i menjadi acuan atau tetap, disebut ekspansi kofaktor sepanjang

baris ke-i). det( ) = + + ⋯ +(karena kolom ke-j menjadi acuan atau tetap, disebut ekspansi kofaktor sepanjang

kolom ke-j).

Definisi. Misalkan matriks bujur sangkar, adalah kofaktor dari entri ,

maka

= ……⋮ ⋮ ⋱ ⋮…Dinamakan matriks kofaktor . Transpose dari matriks ini dinamakan adjoin

yang dinotasikan dengan ( ).

( ) = = ……⋮ ⋮ ⋱ ⋮…(Anton, 2004)

Dengan menggunakan matriks adjoin, selanjutnya dapat ditentukan invers dari

suatu matriks. Misalkan merupakan suatu matriks bujur sangkar, maka= ( ) ( )Dengan demikian, ada hubungan bahwa suatu matriks bujur sangkar

mempunyai invers jika dan hanya jika det( ) ≠ 0.

11

2.1.11 Matriks Singular

Jika adalah matriks bujur sangkar dan det( ) = 0, maka invers dari matriks

tidak ada dan dikatakan sebagai matriks singular atau non-invertible

(Anton, 2004).

2.1.12 Matriks Ortogonal

Matriks bujur sangkar = [ ] dikatakan dapat didiagonalisasi secara orthogonal

jika terdapat matriks orthogonal sehingga berlaku = ′ . Matriks

orthogonal didefinisikan sebagai matriks kuadrat yang inversnya sama dengan

transposenya, sehingga : = ′

Maka adalah matriks orthogonal (Mattjik dan Sumertajaya, 2011).

2.2 Matriks Koragam

Misalkan adalah vektor peubah berukuran × 1, adalah vektor peubah

berukuran × 1, ( ) adalah nilai harapan dari dan ( ) adalah nilai harapan

dari . Maka matriks koragam dari dan adalah:[ , ] = = [( − [ ])( − [ ])] (Johnson dan Wichern, 2002).

Untuk x = y, maka cov[x,x] = var(x) = = [(x− [x])(x− [x])T].2.3 Ruang Vektor

Definisi. Misalkan sebarang himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan

operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penjumlahan

12

tersebut merupakan sebuah aturan yang memasangkan elemen u dan v dalam ,

yang dituliskan u + v, yang dinamakan jumlah u dan v. Sedangkan perkalian

skalar merupakan aturan untuk mengawankan setiap skalar k maupun setiap

elemen u pada V yaitu elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar u oleh k. Jika

aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua elemen u, v, w pada V dan oleh

setiap skalar k dan l, maka dinamakan V sebuah ruang vektor dan elemen-elemen

pada V dinamakan vektor:

1. u + v ϵ (tertutup terhadap penjumlahan)

2. u + v = v + u (komutatif)

3. u + (v + w) = (u + v) + w (asosiatif)

4. ada sebuah benda 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 ; untuk semua u di V

5. untuk setiap u di V, ada sebuah benda –u di V yang kita namakan negatif u

sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0

6. jika k adalah sebuah skalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku

berada di V

7. k(u + v) = ku + kv

8. (k + l) u = ku + lv

9. k(lu) = (kl)(u)

10. 1u = u

(Anton, 2004).

2.4 Kombinasi Linear

Definisi. Sebuah vektor dikatakan kombinasi linear dari vektor , , … , bila

terdapat bilangan-bilngan riil , , … sehingga :

13

= + + ⋯ + (Anton, 2004).

2.5 Bebas Linear

Definisi. Misalkan suatu ruang vektor dan , , … . Himpunan{ , , … } dikatakan bebas linear jika persamaan:+ + ⋯ + = 0Hanya dapat dipenuhi oleh = = ⋯ = = 0(Anton, 2004).

2.6 Himpunan Perentang

Definisi. Misalkan suatu ruang vektor dan , , … . Jika masing-masing

vektor pada dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear , , … maka

vektor-vektor tersebut merentang (Anton, 2004).

2.7 Basis

Definisi. Misalkan suatu ruang vektor dan , , … . Himpunan ={ , , … } dikatakan sebagai basis bagi jika B merentang dan bebas linear.

Dalam hal ini jika merupakan basis bagi maka dikatakan berdimensi n(dim( ) = )Definisi. Misalkan = , , … , basis dari . dinamakan basis kanonik,

bila

= (1, 0, … , 0) = 10⋮0

14

= (0, 1, … , 0) = 01⋮0⋮= (0, 0, … , 1) = 00⋮1 (Djauhari, 1988).

2.8 Pemetaan Linear

Definisi. Pemetaan dari ruang vektor ke dalam ruang vektor dinamakan

pemetaan linear bila :

i. f ( + ) = f ( ) + f ( )ii. f ( λ ) = λ f ( )Untuk setiap dan di dan setiap λ di (Djauhari, 1988).

2.9 Transformasi Linear dalam Bentuk Matriks

Fungsi : → adalah aturan yang mengaitkan setiap elemen dari

dengan tepat satu ke elemen ( ) di daerah hasil . Fungsi tersebut disebut

fungsi transformasi dari ke .

Sistem Persamaan Linear (SPL) dapat dipandang suatu aturan transformasi linear:= ( , , … , ) = + + ⋯ += ( , , … , ) = + + ⋯ +⋮ = ( , , … , ) = + + ⋯ +SPL diatas merupakan transformasi linear : → yaitu

15

( , , … , ) = ( , , … , )Maka matriks = disebut matriks standar untuk transformasi linear

= ⋮ ……⋱… ⋮(Djauhari, 1988).

2.10 Ruang Dual

Definisi. Misalkan ( , ) merupakan himpunan semua pemetaan linear dari

setiap vektor di ke dalam suatu bilangan real di sehingga ( , ) juga

merupakan ruang vektor. Secara khususnya pula, anggota dari ( , ) dinamakan

bentuk linear .

Jika memetakan setiap vektor di ke dalam suatu bilangan real di maka

merupakan suatu bentuk linear jika:

f ( + ) = f ( ) + f ( )

f ( ) = f ( )untuk setiap dan di dan di , sehingga adalah anggota dari ( , ).

Ruang vektor ( , ) dinamakan ruang dual dan diberi lambang ∗.

Berdasarkan definisi ∗ adalah himpunan semua bentuk linear yang didefinisikan

pada . Sebagaimana halnya , maka ∗ pun memiliki basis yang disebut basis

dual (Djauhari, 1988).

16

2.11 Nilai Karakteristik dan Vektor Karakteristik

Jika adalah matriks , maka vektor tak nol di dalam dinamakan vektor

karakteristik dari jika adalah kelipatan skalar dari yakni :=Untuk suatu skalar λ. Skalar dinamakan nilai karakteristik dari dan

dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan .Untuk mencari nilai karakteristik matriks yang berukuran , dapat ditulis

kembali sebagai suatu persamaan homogeny :( − ) = 0Dengan adalah matriks identitas yang berordo sama dengan matriks , dalam

catatan matriks:

= ……⋮ ⋮ ⋱ ⋮… , = 1 00 1 … 0… 0⋮ ⋮0 0 ⋱ ⋮… 1 , ⋮= , ≠ 0=− = 0( − ) = 0≠ 0 → | − | = 0

Uuntuk memperoleh nila| − | = 0−⋮ …⋱⋯ ⋮− =0

17

( ) = + + ⋯ + + = 0buah akar , , … ,

Jika nilai karakteristik disubstitusikan pada persamaan ( − ) = 0, maka

solusi dari vektor karakteristik adalah ( − ) = 0 (Rencher, 2002).

2.12 Bentuk Bilinear

Misalkan suatu ruang vektor, dim( ) = , dan pemetaan dari × ke dalam

. Pemetaan dinamakan bentuk bilinear pada , bila :

1). ( + , ) = ( , ) + ( , )2). ( , + ) = ( , ) + ( , )3). ( α , β ) = α β ( , )

Untuk setiap , , di , dan α, β real.

Bentuk bilinear dikatakan simetris bila ( , ) = ( , ) untuk setiap dan

di (Djauhari, 1988).

2.13 Ruang Euclides

Ruang vektor , dengan dim( ) = , yang dilengkapi suatu produk skalar

dinamakan ruang Euclides dan ( , ) disebut produk skalar dari dan .

Dalam suatu ruang Euclides, dapat diukur panjang (vektor), jarak (antara dua

vektor), serta sudut (yang dibentuk oleh dua vektor). Untuk itu akan dianggap

ruang Euclides dengan produk skalar (Djauhari, 1988).

18

2.14 Diagram Dual

Misalkan ( ) adalah matriks data hasil pengukuran buah variabel kuantitatif

pada individu,

= ⎣⎢⎢⎡ ⋮ ……⋱… ⋮ ⎦⎥⎥

⎤yang merupakan elemen baris ke-j dan kolom ke-i, adalah nilai pengukuran

variabel ke-j pada individu ke-i, dimanai di = {1,2, … , } = {1,2, … }.

Urutan bilangan ( , , …, ) yakni urutan nilai pengukuran variabel ke-1

sampai dengan variabel ke-p pada individu ke-i, dapat dinyatakan dengan vektor :

= ⎣⎢⎢⎡ ⋮ ⎦⎥⎥

⎤ = ∑ di = ; artinya dengan merupakan vektor real berdimensi .

Dalam hal ini { , , …, } menyatakan basis kanonik dari ruang vektor

individu . Jadi menggambarkan vektor individu ke-i di ; = 1,2, … , .

Demikian pula untuk urutan bilangan ( , , …, ), yang merupakan urutan

hasil pengukuran variabel ke-j pada individu ke-1 sampai dengan ke-n, dapat

dinyatakan sebagai vektor :

= ⎣⎢⎢⎢⎡ ⋮ ⎦⎥⎥

⎥⎤ = ∑ di =Disini { , , …, } adalah basis kanonik dari ruang vektor variabel . Dengan

demikian, menyatakan vektor variabel ke-j di ; = 1,2, … , .

19

Cara pandang tersebut, mengakibatkan bahwa di memiliki titik-titik individu

{ ; i=1,2,…,n} dan di memiliki titik variabel { ; j=1,2,…,p}. Sekarang

pandang ∗ dan ∗ yakni ruang dual dari dan dari .

Misalkan { ∗, ∗, …, ∗} dan { ∗, ∗, …, ∗} adalah basis-basis dualnya.

Berdasarkan definisi basis dual, maka kita peroleh :

1). ∗ ( ) = ∗ ( ∑ ) = < ∗, > =

2). ∗ ( ) = ∗ ( ∑ ) = < ∗, > =

Dari uraian 1) dan 2), dapat disimpulkan bahwa adalah :

a). nilai ∗ pada vektor individu ke-i atau dengan kata lain ∗ menggambarkan

variabel ke-j di ∗b). ∗ pada vektor variabel ke-j. Sehingga ∗ menyatakan individu ke-i di ∗.

Sampai disini, telah diperoleh representasi individu dan variabel sebagai berikut.

a). Terhadap variabel-j dapat dikaitkan vektor di dan bentuk linear ∗ di ∗b). Terhadap individu-i dapat dikaitkan vektor di E dan bentuk linear ∗ di ∗Oleh karena itu dalam usaha menggambarkan mekanisme yang ada dalam induk

dasar , adalah wajar kita pandang pemetaan:: ∗ →∗ → = ( ∗)Jadi memetakan bentuk linear ∗ menjadi vektor individu .Selanjutnya dapat diketahui pula bahwa matriks pemetaan dari tidak lain adalah

matriks data ( × ) itu sendiri. Dengan demikian, matriks data dapat

dipandang sebagai pemetaan := ∗ →

20

∗ → = ∗Dan transpose dari adalah pemetaan:: ∗ →∗ → = ∗Sehingga yang memetakan bentuk linear ∗ menjadi .

Menyajikan himpunan individu dan himpunan variabel adalah salah satu

tujuan utama dari teknik-teknik analisis data multidimensi. Untuk itu perlu

membuat partisi dari yang terdiri atas kelas-kelas dari individu-individu yang

saling berdekatan. Jadi perlu dipertegas pengertian kedekatan antar individu.

Demikian pula untuk membuat kelas-kelas dari , perlu didefinisikan kedekatan

antar variabel. Dalam analisis linear, kedekatan tersebut akan diukur dengan

bantuan metrik Euclides (Djauhari, 1988).

2.14.1 Metrik

Diberikan sebarang himpunan . Fungsi : × → dengan himpunan

bilangan real. Dimana adalah jarak Euclids di antara titik dari anggota di yang

memenuhi sifat-sifat :

1. ( , ) ≥ 0 untuk setiap , di dan ( , ) = 0 jika dan hanya jika=2. ( , ) = ( , ) untuk setiap , di

3. ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) , , di

Disebut metrik atau jarak pada . Himpunan dilengkapi dengan suatu metrik

ditulis dengan ( , ) disebut ruang metrik. Anggota ruang metrik ( , ) disebut

21

titik dan untuk setiap , di bilangan non-negatif ( , )disebut jarak titik ke

titik .

2.14.2 Norm

Definisi. Suatu norm di sebuah ruang vektor real adalah pemetaan dari ke

himpunan bilangan real, biasanya dilambangkan ‖. ‖ yang memenuhi:

‖ ‖ ≥ 0 untuk setiap ∈ dan ‖ ‖ = 0 jika dan hanya jika = 0 ‖ ‖ = ‖ ‖‖ ‖ untuk setiap skalar dan ∈ ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖ untuk setiap , ∈

(Anton, 2004).

2.14.3 Metrik di E

Misalkan ruang Euclides dengan metrik M yang berperan mengukur kedekatan

antar individu. Dengan memandang sebagai isomorfisma (sebuah fungsi yang

bersifat satu-satu atau bijektif) dari pada ∗ maka sangatlah wajar bila pada ∗diterapkan metrik sedemikian sehingga :‖ − ‖ = ∗ − ∗dimana ( ∗) = ; i=1,2,…,n. Mekanisme di atas, dapat disajikan dalam

diagram berikut.

∗∗

22

Secara umum, untuk setiap dan di ∗diinginkan( ) − ( ) = −Ini berarti pula bahwa untuk setiap di ∗ berlaku :‖ ( )‖ = ‖ ‖ (Djauhari, 1988).

2.14.4 Metrik di F

Seperti halnya di , maka untuk mengukur kedekatan antar variabel serta melihat

kolinearitasnya di diterapkan suatu metrik di . Dengan mengikuti konsep

yang sama seperti untuk , di ∗ pun dapat diterapkan metrik ∋ − = ∗ − ∗Ingatlah bahwa ( ∗) = ; j = 1,2,…,p.

Secara umum, hal tersebut berarti bahwa untuk setiap di ∗ berlaku :‖ ( )‖ = ‖ ‖Hubungan antara dan diberikan pada dalil berikut.

Dalil

Jika untuk setiap di ∗ berlaku ‖ ( )‖ = ‖ ‖ , maka diperoleh diagram

berikut :

∗

∗Komutatif, artinya : =

23

Selanjutnya kedua diagram di atas dapat digabungkan sehingga membentuk

diagram berikut ini yang menggambarkan seluruh mekanisme dasar yang ada bila

dihadapkan dengan matriks data ( × ).= ∗

∗ =Diagram tersebut selanjutnya disebut diagram dual (Djauhari, 1988).

2.14.5 Metrik Bobot di F

Bila ( × ) matriks data yang terdiri dari baris dan kolom maka di =dengan himpunan vektor individu { / = 1,2, … }.

Misalkan terhadap setiap individu -i, jadi terhadap setiap vektor di himpunan

itu, diberikan bobot ( > 0 dan ∑ = 1)

Dengan demikian, maka vektor dimana :

= tidak lain adalah vektor mean atau pusat gravitasi dari himpunan vektor individu

di atas. Elemen ke-j dari adalah

=

24

yang merupakan mean sampel untuk variabel ke-j. Khususnya jika = ; untuk

setiap = 1,2, … , yang berarti bahwa semua individu memiliki bobot yang sama

(ini akan diperoleh bila sampel diambil secara acak); maka = ∑ dan = ∑Di dalam analisis data univariate, besaran-besaran yang sering digunakan

terutama adalah mean sampel (rata-rata) dan variansi sampel. Sebagai

pengembangannya pada analisis data multivariate, akan digunakan vektor mean dan momen inersia (yang merupakan perluasan dari variansi) (Djauhari, 1988).

2.15 Analisis Peubah Ganda

Misalkan adalah vektor acak berukuran × 1 atau

= ⎣⎢⎢⎡ ⋮ ⎦⎥⎥

⎤Maka setiap adalah vektor acak dan diasumsikan , , … , mungkin saling

tidak bebas. Nilai tengah dari vector acak dinotasikan dan matriks kovarian

dari dinotasikan didefinisikan sebagai:

( ) = ( )( )⋮( ) = ⋮ == ⎣⎢⎢

⎡ ( ) ( , )( , ) ( ) … ( , )… ( , )⋮ ⋮( , ) ( , ) ⋱ ⋮… ( ) ⎦⎥⎥⎤ = ……⋮ ⋮ ⋱ ⋮…

Dengan mengartikan , = ( ) = , bentuk , disebut

sebagai unsure ke ( , ) dari matriks dimana:

25

= ( ) = [( − μ ) ] untuk = 1,2, … ,= , = ( − μ )(( − μ ) untuk ≠ = 1,2, … (Johnson,

1998).

2.16 Analisis Korelasi Ganda

Misalkan ingin didapatkan korelasi antara variabel dan = , , … , .didefinisikan matriks = dan = 1

dimana =( , , … , ) merupakan koragam contoh dari dengan dan

merupakan matriks koragam contoh dari , analog dengan = ( , , … ,merupakan korelasi contoh dari dengan dan adalah matriks korelsi

contoh dari . Kuadrat korelasi ganda dapat dihitung menggunakan partisi dari

matriks koragam atau partisi dari matriks korelasi sebagai berikut

= = 2.1

Korelasi ganda dapat didefinisikan dengan maksimum korelasi antara dan

kombinasi linear (Rencher, 2002).

2.17 Analisis Korelasi Kanonik

Analisis kanonik adalah analisis statistika multivariat yang memungkinkan

identifikasi dan kuantifikasi hubungan antara dua himpunan peubah. Jika terdapat

dua kelompok variabel dan , melalui teknik analisis kanonik dapat diselidiki

derajat ekivalensi antara dan atau seberapa jauh keduanya mendekati keadaan

ekivalen.

26

Misalkan terdapat dua kelompok variabel kuantitatif { , , … , } dan{ , , … , } pengertian ekivalensi antara dua variabel kuantitatif, bermakna

bahwa kedua variabel itu ekivalen jika dan hanya jika mereka berimpit atau

memiliki korelasi 1 atau -1. Untuk melihat kemiripan antar kedua kelompok

variabel kuantitaif penyajian data dilakukan dengan mereduksi data yang

berdimensi besar menjadi dimensi kecil dengan pendekatan ruang dual.

Melalui pendekatan ruang dual pereduksian matriks pada setiap kelompok

variabel melibatkan nilai karakteristik dan vektor karakteristik dari matriks varian

kovarian dengan matriks diagonal bobot . Matriks varian kovarian ditentukan

melalui matriks data terpusat yaitu selisih dari data sebenarnya dengan rata-

ratanya. Sehingga nilai koefisien korelasi kanonik dan nilai pasangan variabel

kanonik juga bersifat terpusat (Djauhari, 1988).

Definisi. Dua kelompok variabel kuantitatif { , , … , } dan { , , … , }dikatakan ekivalen, jika himpunan semua kombinasi linear dari { , , … , }berimpit dengan himpunan semua kombinsi linear { , , … , }.Misalkan = {1, 2, … , } himpunan individu, ( ) dan ( ) matriks-

matriks data berturut-turut hasil pengukuran kelompok variabel pertama dan

kedua pada . Diagram dual yang sesuai dengan , , tersebut adalah := ∗ ∗ =

= ∗∗

27

Dimana:

a. Pada digunakan basis kanonik { (1)| = 1, 2, … , } dan metrik= = ( ) .b. Pada digunakan basis kanonik { (2)| = 1, 2, … , } dan metrik= = ( ) .c. Pada digunakan basis kanonik { | = 1, 2, … , } dan metrik =

(Djauhari, 1988).

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan pada semester genap tahun ajaran 2015/2016,

bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam, Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang

menggunakan buku-buku penunjang dan jurnal-jurnal yang berhubungan dengan

tugas akhir ini, kemudian melakukan simulasi sebagai aplikasi untuk menerapkan

teori yang telah dipelajari. Langkah-langkah yang digunakan pada penelitian ini

yaitu:

1. Menentukan vektor mean pada masing-masing kelompok variabel dan

dengan elemen-elemennya merupakan mean dari setiap variabel yang

diamati.

2. Membakukan data atau menentukan matriks data terpusat dari matriks data

mentah. Untuk memperoleh matriks data terpusat matriks berukuran× dan matriks berukuran × dapat dilakukan dalam bentuk

operasi matriks berikut :

29

= − dan = − Dengan adalah ∑

3. Dengan bobot semua individu pada kedua kelompok variabel sama, maka

diketahui = ,matriks diagonal bobot berukuran × . Selanjutnya

akan ditentukan matriks varian-kovarian tiap kelompok variabel. Misal

diberikan:

= =matriks varians-kovarians kelompok variabel pertama.

= = matriks varian-kovarian kelompok variabel kedua.= = = ( ) matriks varian-kovarian kelompok

variabel pertama dan kedua.

4. Dari matriks varian-kovarian yang telah diperoleh, maka akan dicari nilai

karakteristik yang akan digunakan untuk menentukan koefisien korelasi

kanonik dan vektor karakteristik untuk menentukan nilai pasangan

variabel kanonik, dengan persamaan berikut:

Misal banyaknya variabel pada , dan banyaknya variabel pada .

Jika ≤ , maka terlebih dahulu mencari nilai karakteristik dari

persamaan det( − ) = 0, untuk setiap =1,2, … , .

Menentukan vektor karakteristik pada kelompok variabel

pertama yang bersesuaian dengan nilai karakteristik , dimana= 1.

30

Jika < , maka terlebih dahulu mencari nilai karakteristik dari

persamaan det( − ) = 0, untuk setiap =1,2, … , .

Menentukan vektor karakteristik pada kelompok variabel kedua

yang bersesuaian dengan nilai karakteristik , dimana =1.5. Menentukan koefisien korelasi kanonik ( , ) dari nilai karakteristik

yang telah diperoleh :( , ) = untuk setiap = 1,2, … , .

6. Menentukan nilai pasangan variabel kanonik ( , ) yaitu merupakan

variabel kanonik pada kelompok pertama dan merupakan variabel

kanonik pada kelompok kedua, untuk setiap = 1,2, … , dengan:

= dan =

untuk setiap = 1,2, … ,

V. KESIMPULAN

Dari uraian pembahasan dan analisis yang telah dilakukan, maka diperoleh

kesimpulan sebagai berikut:

1. Melalui pendekatan ruang dual, analisis korelasi kanonik berusaha mereduksi

dimensi ruang untuk melihat kemiripan dua kelompok variabel. Pada

penelitian ini analisis korelasi kanonik berhasil mereduksi dimensi matriks

dengan membentuk matriks varian kovarian melalui matriks data terpusat.

Invers dari matriks varian kovarian tiap variabel merupakan dual dari dari

matriks varian kovarian. Selanjutnya analisis diteruskan dengan melibatkan

matriks varian kovarian dan matriks data terpusat tanpa melibatkan matriks

data awal.

2. Analisis korelasi kanonik berfokus pada korelasi antara kombinasi linear dari

gugus peubah independen dengan gugus peubah dependen. Ide utamanya

mencari pasangan kombinasi linear yang memiliki korelasi terbesar. Pasangan

kombinasi linear kedua kelompok variabel yang dipilih merupakan pasangan

kombinasi linear yang memiliki korelasi terbesar yaitu pada pasangan

kombinasi linear pertama.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard dan Chris Rorres. 2004. Aljabar Linear Elementer. Jakarta.Erlangga.

Djauhari, Maman A. 1988. Struktur Data Statistik. Jakarta. Karunika, UniversitasTerbuka.

Jacob, Bill. 1990. Linear Algebra. New York. W.H. Freeman and Company.

Johnson, R. A. dan Winchen, D. W. 2002. Applied Multivariate StatisticalAnalysis Fifth Edition. New Jersey. Prentice Hall Inc.

Mattjik, A. Ansori dan Sumertajaya, I Made. 2011. Sidik Peubah Ganda. Bogor.IPB Press.

Rencher, Alvin C. 2002. Methods of Multivariate Analysis Second Edition. NewYork. John Wiley and Sons.