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Análisis institucional a propósito de la noción

de completitud del conjunto de los números reales

Analía Bergé 1

RESUMEN

En este artículo se presenta un estudio longitudinal a lo largo de cuatro cursos de los estudiosuniversitarios en matemática. El análisis de los problemas y ejercicios destinados a losalumnos permite describir una organización matemática particular alrededor de la nocióncompletitud del conjunto de los números reales e hipotetizar sobre la adquisición deconocimientos de los alumnos en este tema, que es considerado como un exponente delpasaje del cálculo al análisis matemático.

PALABRAS CLAVE : Números reales, completitud, análisis institucional, praxeologías,organización matemática.

ABSTRACT

This paper presents a longitudinal study of four undergraduate mathematics courses. Theanalysis of problems and exercises given in the outlines of the courses, allows us to describea particular mathematical organization of the notion of completeness of the set of real numbers.It allows us also to make a hypothesis about the acquisition of knowledge of this topic, whichis considered as an example of the passing from Calculus to Mathematical Analysis.

KEY WORDS: Real numbers, completeness, institutional analysis, praxeologies,mathematical organization.

RESUMO

Neste artigo apresentamos um estudo longitudinal ao comprido de quatro cursos dos estudosuniversitários em matemática. O análise dos problemas e exercícios destinados aos alunospermite descrever uma organização matematica particular em torno a la noção completudedo conjunto dos números reais, e fazer hipóteses sob la aquisição de conhecimentos dosalunos neste tema que e considerado como um expoente da passagem do Cálculo aoAnálise.

PALAVRAS CHAVE : Números reais, completude, analise institucional,praxeologías, organização matematica.

1Fecha de recepción: Febrero de 2005/ Fecha de aceptación: Enero de 2006.

Mathematics & Statistics. Concordia University. Montreal, Canadá.

Relime Vol. 9, Núm. 1, marzo, 2006, pp. 31-64. 31

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RÉSUMÉ

Dans cet article nous présentons une étude longitudinale au long de quatre coursuniversitaires en mathématiques. L’analyse des problèmes et exercises destinés auxétudiants permet de décrire une organisation mathématique particulière autour de lanotion complétude de l’ensemble des nombres réels et de faire des hypothèses surl’acquisition des connaissances des étudiants à ce sujet, qui est considéré comme uneexemple du passage du Calcul à l’Analyse Mathematique.

MOST CLÉS: Nombres réels, completude, analyse institutionnelle, praxeologies,organisation mathématique.

INTRODUCCIÓN

Este artículo forma parte de un trabajo deinvestigación en Didáctica de laMatemática; de manera más precisa, atañeal dominio del Análisis Matemático. Hemoselegido como contenido el conjunto de losnúmeros reales y su completitud por dosmotivos. Por un lado, admite un estudiodidáctico longitudinal, ya que es enseñadoen diferentes materias del niveluniversitario con distintos niveles deprofundidad. Por otro, la completitud delconjunto de los números reales aparece enproblemas que están en el corazón delanálisis matemático y refleja principiosgenerales de este campo, como ser ladeterminación de un elemento mediante unencaje, la definición de un elemento porser el límite de otros que satisfacendeterminada condición, la realización deextremos, entre otros. Un estudio didácticosobre esta noción puede, entonces,otorgarnos elementos para comprender laadquisición por parte de los alumnos deuna gama más amplia de conocimientos.

Así, presentamos un análisis institucionaldiseñado a propósito de la noción conjuntode los números reales y su completitud yla institución primeros años de la

licenciatura y profesorado universitario enmatemática. Debido a que un estudio deesta índole necesariamente involucra unainstitución en particular, se ha tomadocomo referencia las carreras deLicenciatura en Matemática y Profesoradoen Matemática de la Universidad deBuenos Aires (UBA), Argentina. Si bieneste es un análisis local, posee unaestructura y plantea preguntas que puedenser importadas a otras instituciones eincluso a otros contenidos matemáticos.

Hemos enmarcado este estudio en lostrabajos de Y. Chevallard (1998) y de A.Robert (1998) entre otros autores –sobre locual abundaremos en la sección 1–, asícomo en un modelo cognitivo a priori de lacompletitud, denominado panoramacognitivo, que detallaremos en la sección 2.

Los objetivos de este artículo son:

Analizar las oportunidades que tiene unalumno de la Licenciatura en Matemáticao del Profesorado en Matemática deenfrentarse a situaciones que involucrena la completitud del conjunto IR en losprimeros años de su formación

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Ponerlas en relación con el panoramacognitivo y hacer una hipótesis sobrela posible adquisición de conocimientopor parte de los alumnos.

Exponemos nuestras preguntas en lasección 3, llevamos a cabo el análisis deejercicios de diferentes cursos en lassecciones 4, 5, 6 y 7, y presentamosnuestras síntesis y conclusiones en lassecciones 8 y 9.

1. REFERENCIAS TEÓRICAS I

1.1. Praxeologías

La completitud de IR como un tópico de lamatemática “vive” en mayor o menormedida en las materias de algunasinstituciones y en las concepciones de losprofesores o de los alumnos. Dejemos porun momento a las personas de lado yreparemos en las siguientes preguntas:¿Cómo vive este campo en lasinstituciones? ¿Qué distancia guarda estesaber designado para ser enseñado en unao varias materias con el “saber sabio”? ¿Aqué recortes y modificaciones se sometenestos saberes a fin de volverse “aptos” paraser enseñados? ¿En qué sentido semodifican las respuestas a estas preguntasal cambiar de institución? Estas y otrascuestiones son tratadas de manera generalpor Chevallard en la teoría de latransposición didáctica (Chevallard, 1997),donde especialmente distingue lasnociones de saber sabio, saber a enseñary saber enseñado como elementos de latransposición didáctica de un saber.

El análisis que haremos en este capítulo,el cual –en pocas palabras– podríamosdecir que abarca el estudio de cómo vivela completitud en la formación de unalumno de la licenciatura en Matemáticaen la UBA desde la oferta de esa institución,

sólo se centra en una transposición posibley, por tanto, está regida por las condicionesinstitucionales que la delimitan. Paraclarificar a qué aludimos cuando hablamosde condiciones institucionales, nos remitimosa los términos primitivos de la teoríaantropológica (Chevallard, 1992), objeto,persona e institución, los cuales secaracterizan por las relaciones queestablecen entre ellos.

En principio, todo es objeto. Los sujetos ylas instituciones son objetos particulares. Unobjeto existe si una persona o una instituciónlo reconocen como existente para sí. Talreconocimiento lo expresamos mediantela relación que se instaura entre ellos,dando lugar a las nociones rapportpersonal (de una persona a un objeto) yrapport institucional (de una institución aun objeto). Así, tomamos como axioma laafirmación de que un objeto existe si almenos una persona o una institución tieneun rapport hacia él. Definimos que unapersona o una institución conocen a unobjeto si tienen un rapport hacia él; luego,un objeto existe si existe una persona o unainstitución que lo conocen.

Una persona tiene aprendizaje con relacióna un objeto cuando su rapport hacia élcambia, e incluso puede aprender si lainstitución no tiene esa intención; porejemplo, si no es una institución deenseñanza. Los rapports personales seconstruyen con las personas miradas comosujetos de instituciones; un objeto vive paraun sujeto ligado a las restricciones delrapport institucional hacia ese objeto, perouna persona está vinculada a muchasinstituciones. De hecho, Chevallard planteaaxiomáticamente que una persona es elemergente de un complejo de sujecionesinstitucionales y tiene un rapport personalhacia un objeto, como producto de supertenencia o su paso por variasinstituciones.

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En nuestro caso, ahondaremos en lassujeciones institucionales hacia lacompletitud a las que está ligado un sujetocuando es alumno de la carrera deMatemática o del Profesorado Universitarioen la Universidad de Buenos Aires, a travésde cuatro cursos diferentes. Cada uno deellos ha sido pensado como una institucióndiferente, tomando como primera hipótesisel hecho de que cada uno tiene un rapportinstitucional propio hacia la completitud.

Un aspecto de dichas sujeciones está dadopor el conjunto de tareas propuestas a unalumno (en su carácter de sujeto de cadainstitución) con relación a la completitud. Sinembargo, la teoría antropológica consideraque resulta insuficiente observar y analizarel conjunto de tareas, por lo cual tambiénestudia las praxeologías. Yves Chevallard(1998) describe las praxeologías entérminos de tareas – tareas, tipo detareas y género de tareas–, técnicas,tecnologías y teorías. Las nociones de tareay tipo de tarea suponen algo preciso; porejemplo, “demostrar que una sucesión dadaes convergente” es una tarea, “demostrarque una sucesión es convergente” conciernea un tipo de tarea, “demostrar” a secas no loes, atañe a un género de tareas. ParaChevallard:

(…) tareas, tipo de tareas, génerosde tareas no son datos de lanaturaleza: son “artefactos”, “obras”,constructos institucionales cuyareconstrucción en tal institución, porejemplo, en tal clase, es unproblema que pertenececompletamente a la didáctica y essu objeto específico (Chevallard,1998, p. 92, traducción libre).

En un tipo de tarea, las actividades que serealizan para su concreción reciben elnombre de técnicas. Así, para el tipo detarea “demostrar que una sucesión esconvergente” una posible técnica consisteen “mostrar que es monótona y acotada yusar el resultado teórico que asegura laexistencia del límite”, “mostrar que esposible acotarla superiormente einferiormente por dos sucesiones quetengan el mismo límite y usar el resultadoteórico que asegura la convergencia almismo límite”, o procurar usar “los criteriosde D’Alembert o de Cauchy2”sicorresponde, entre otras. Los algoritmosmatemáticos son casos particulares detécnicas matemáticas.

Ahora bien, en una institución dada, de lastécnicas posibles para un tipo de tarea hayuna o pocas técnicas institucionalmentereconocidas, quedando excluidas otrasque tal vez pertenecen a otrasinstituciones. Tal exclusión va de la manode la ilusión de naturalidad con la que sonvistas las técnicas reconocidas por losactores de la institución.

Los discursos que describen, explican yjustifican racionalmente las técnicasconstituyen la tecnología, la cual varíaentre las instituciones. Así, ciertaracionalidad desde una institución puedeverse como poco racional desde otra;además, la tecnología evoluciona dentrode una misma institución. Los argumentosque permiten justificar racionalmente lasafirmaciones tecnológicas conforman lateoría, que toma con relación a latecnología el papel que la tecnologíaasume respecto a la técnica y, a la vez,organiza y estructura los conocimientos en

Criterio de D’Alembert: si es una sucesión de números positivos tales que el cociente converge

a un número l<1, entonces la sucesión converge a 0.

Criterio de Cauchy: si es una sucesión de números positivos tales que converge a un número l<1 ,

entonces la sucesión converge a 0.

2 (an)n∈N an +1 /an

an

(an)n∈N ann

an

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juego. El rapport institucional hacia unobjeto, en función de una posicióninstitucional, está modelado por el conjuntode tareas que deben realizar las personasque ocupan tal posición, a través detécnicas determinadas.

Dado un objeto, que puede ser un temade estudio, como la completitud delconjunto IR, tiene sentido estudiar laspraxeologías construidas por unainstitución (en nuestro caso puede ser uncurso, una guía de ejercicios, inclusive unproblema en particular). Un conjuntoorganizado, que está estructurado porpraxeologías, integra una organizaciónmatemática, mientras que la organizacióndidáctica consiste en la manera de llevara cabo la organización matemática. Conbase en estas nociones generalesintroducidas por Chevallard, describiremosy analizaremos la organizaciónmatemática respecto a la completitud deIR a través de distintas materias en lasque aparece este concepto, las cuales sonconsideradas en este estudio comodistintas instituciones.

1.2. Funcionamiento de losconocimientos a nivel técnico,

disponible, movilizable

A. Robert (1998) hace una categorizaciónsobre la puesta en funcionamiento deconocimientos en tres niveles, la cualutilizaremos también como marco dereferencia para el análisis praxeológico.Esos niveles son: 1) el técnico (a grandesrasgos, corresponde a puestas defuncionamiento bajo indicación, ohaciendo aplicaciones inmediatas deteoremas o fórmulas; no se debe confundircon el sentido que toma la palabra técnicoen el enfoque de Chevallard); 2) elmovilizable (propio de un trabajo tambiénindicado, pero que sobrepasa la simple

aplicación de una propiedad, tal vezrequiriendo de la yuxtaposición de sabereso de su articulación) y 3) el disponible(comprende al trabajo autónomo, sinindicaciones, y a la capacidad de articularla teoría para la resolución). Robertplantea, entre otras hipótesis, que no sepuede alcanzar cierto nivel deconceptualización si solamente seplantean tareas técnicas entre las tareasde ese nivel.

Robert establece los nives de sucategorización para estudiar el modo enque los alumnos ponen a funcionar losconocimientos. Nosotros los tomaremospara estudiar el modo en que la institucióndispone las tareas que tienen que realizarlos alumnos. Una tarea puede estarformulada de modo que, aún usando lamisma técnica de resolución, ponga afuncionar el conocimiento a nivel técnico(por ejemplo, si no hay elecciones),movilizable (si hay algunas indicaciones)o disponible (si está formulada de modotal que el alumno tiene muchas decisionesa su cargo). Esas son consideraciones quetomaremos en cuenta al analizar las tareas.

Distintas técnicas para la concreción deuna tarea también pueden revelar losniveles de funcionamiento. En nuestroejemplo anterior, centrándonos en unalumno de las primeras materias, laaplicación directa de un criterio deconvergencia de sucesiones, utilizado casicomo un algoritmo, revela unfuncionamiento más ligado al nivel técnico,mientras que la acotación por otras dossucesiones es seguramente más cercanoal disponible o al movilizable, si estáindicado.

Vemos aquí una distinción entre laaplicación de un método y la de unalgoritmo. El primero suele dejar una mayorcantidad de decisiones a cargo del alumno,


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y es importante considerar allí la posicióndel sujeto. Probablemente un alumno delas primeras materias puede aplicarfácilmente los criterios, mas tienedificultades para emplear el método deacotar o no se le va a ocurrir intentaracotar, aunque para un sujeto con alto nivelde autonomía ambas resoluciones puedenestar en el mismo nivel de disponibilidad.Tales observaciones las tomaremos encuenta en el análisis praxeológico.

1.3. La problematización de lo que sepercibe como evidente, la validación

de ciertas afirmaciones

En algunos momentos de su formación, losalumnos tienen como tarea demostrarpropiedades o resultados que han podidousar como válidos o como herramientas,sin necesidad de comprobarlos. Ellos sesorprenden si deben demostrar que a.0 = 0,la validez de algún algoritmo que veníanempleando en materias anteriores (porejemplo, los criterios de convergencia desucesiones, mencionados en la sección 1.1),escribir formalmente algo que pueden veren un dibujo (como que el ),o bien imaginar mentalmente (“si f: IR IRes continua y verificay , entonces essuryectiva”). Durante las horas de consultacirculan las preguntas del estilo: “¿esto telo demuestro?”, “¿qué puedo tomar comoválido, hasta dónde tengo quedemostrar?”, “esto se ve, es obvio, noentiendo qué quieres que demuestre”, “¿dedónde parto para demostrar esto?”Preguntas que muestran, por un lado, queel género de tarea no es claro para losalumnos; por otro, una cierta idea de quelas demostraciones se hacen “para eldocente”.

Las tareas de esta índole exigen que losalumnos pongan en práctica de nuevas

limx→+∞1 / x = 0→

limx→+∞ f (x) = +∞limx→−∞ f (x) = −∞

técnicas, otro manejo tecnológico o unconocimiento teórico mayor, perofundamentalmente que acepten la tareacomo genuina. Esto se halla un poco ligadoa considerar cierto tipo de validación –siguiendo la terminología introducida porBalacheff (1987)–, llamado pruebasintelectuales. Balacheff ha distinguido laspruebas pragmáticas de las intelectuales,al señalar que las primeras recurren a laacción para establecer la verdad de unaproposición y están en cierta forma ligadasa lo empírico, mientras que las segundasse separan de la acción y se apoyan enargumentos más generales.

Dicho tema, que podríamos a grosso modotitular “pasaje de lo práctico a lo teórico”fue abordado en varias investigacionesdidácticas en geometría; la marca de talpasaje estaba dada por la exigencia de laproducción de demostraciones. Como enalgunas se muestra que la ruptura entrelas tareas ligadas a la producción defiguras con regla y compás y las deductivasse genera a partir de un cambio de contratodidáctico, podemos pensar que estamosen presencia del mismo fenómeno en loscomienzos del trabajo en el análisis a nivelsuperior.

Aceptar la necesidad de demostrar lo queparece evidente o perceptible tiene que vercon cierto posicionamiento interno, con laadhesión a un criterio teórico y con lareflexión, además de que en cierto sentidopermanece abierta la cuestión de cómofavorecer esa reflexión desde la enseñanza.En los ochenta, las investigacionesdidácticas sobre las demostraciones engeometría parecían poner de relevanciasólo el aspecto “convencer” de las pruebas;sin embargo, las pruebas cumplen otrospapeles fundamentales, especialmentedecidir –ya sea la veracidad o falsedad deuna conjetura– y explicar, dar cuenta deciertas afirmaciones.

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Respecto al caso de demostrar aquelloque parece evidente, claramente no sonlos aspectos “convencer” ni “decidir” losque se ponen en juego, sino más bien lacomprensión y la búsqueda de razones.Podemos hallar algunos antecedentes entorno a la problemática de demostrar loque parece evidente en el análisishistórico-epistemológico sobre el conjuntode los números reales y la completitud,presentado por Bergé y Sessa (2003). Allí,se afirma que las primeras explicitacionesde las propiedades con las que debíacontar un dominio completo eran atribuidasal dominio numérico, sin haber unadiscusión sobre su validez; fue el deseode fundamentar tales propiedades lo quedio lugar a las construcciones de Cantor yDedekind. También se pone de relevanciael carácter variable de la validación, puesargumentos suficientemente válidos encierto momento se vuelven insuficientesen otro.

En nuestro análisis consideraremos lapresencia de tareas relacionadas conprobar lo que parece evidente al poner lamirada, por una parte, en el modo en queestá introducida esa problemática (en casode que lo esté), por otra, en el papel quejuega la representación de IR en la recta.

1.4. Un análisis de las potencialidades

El estudio praxeológico nos permiteacceder a una organización matemática,pero no determinar si los sujetos, alresolver las tareas, se dedican a afinar sustécnicas de demostración (másgeneralmente, de acción) o si consiguenhacer una reflexión sobre sus acciones.Ahora bien, el objetivo perseguido al nivel

de la reflexión por un docente que elaboralas tareas es tal vez muy distante deaquello que es perceptible por el alumno através de la lectura de las guías de tareas(trabajos prácticos). La reflexión que hagao no un alumno al concretar la resoluciónde las tareas no es detectada por el estudiopraxeológico; empero, nos permite darcuenta sobre las potencialidades de lastareas, pensando en qué sentido aportana esa reflexión, si es que lo hacen.

1.5. Cálculo-análisis

El pasaje de lo pragmático a lo intelectualha tenido su correlato en la enseñanza delanálisis matemático. Circula una idea, quese nota en el diseño de la licenciatura enmatemática de varias universidades, deenseñar primero cálculo elemental ydespués cálculo superior o análisis asecas. Al cálculo elemental le correspondela parte más algebrizada del análisis, asícomo la más algorítmica; el análisisdemanda otros modos de razonamiento yde técnicas que le son propias, como laacotación o la aproximación, incluso sobrelas mismas nociones que pueblan elcálculo elemental.

Tal recorrido se puede ver en losprogramas y en los prefacios de los textos.Elon Lages Lima –un matemático brasileñocuyos textos son muy preciados sobre todoen Latinoamérica– dice en el prefacio desu obra Curso de análise, Vol. 13:

Esta es la primera parte de un Cursode Análisis. En ella se estudian lasfunciones reales de una variablereal. La teoría es presentada desdeel comienzo. No se hace uso deresultados que no estén

Lima, Elon Lage s (1992). Curso de análise (volume 1). Rio de Janeiro, Brasil: Instituto de Matemática Pura e

Aplicada-CNPq-Projeto Euclides.

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establecidos en el texto. Todos losconceptos introducidos sonampliamente ilustrados por mediode ejemplos. A pesar de eso, esconveniente que los lectores de estelibro posean una experienciaequivalente a dos semestres deCálculo [ traducción libre]

Por su parte, Serge Lang, en el prefaciode su obra Introducción al AnálisisMatemático4, expresa:

Este libro está diseñado paraemplearse como texto para unprimer curso de Análisis. Aunque entérminos lógicos es completo en símismo, presupone la madurezmatemática que adquieren losestudiantes que han cursado ya dosaños de cálculo (...). Ahora el énfasisse desplaza de los aspectoscomputacionales del cálculo, a losteóricos: demostraciones deteoremas acerca de funcionescontinuas, trazado de curvas comox2.e-x, x.log x, x1/x, que usualmentese consideran demasiado difícilespara cursos más elementales y otrostemas análogos.

Estos autores, al igual que muchos otros,reconocen una ruptura entre cálculo yanálisis. Pero, ¿cuáles serían loselementos que describen y componen esaruptura? Con una mirada didácticaidentificamos el requerimiento de Lima yLang de que se posean conocimientos de

cálculo para el estudio del análisis,diciendo que el cálculo se establece comoun medio5 para el análisis, dondequedarían ubicadas las fundamentacionesmás profundas y muchas demostraciones.Por tanto, el estudio de la completitud sesitúa más en el análisis que en el cálculoporque lo que le da sentido es la necesidadde fundamentar.

La entrada al análisis es vista por algunosautores como el caso particular de unproblema más global: el del ingreso a unnuevo dominio matemático. La tesis deMaschietto (2002) ofrece una completasíntesis de los resultados deinvestigaciones didácticas en lo referido ala transición álgebra/análisis. Unacaracterística central del trabajo en análisisque Maschietto indica, y sobre la cualdesarrolla su trabajo, es la introducción delpunto de vista local. En efecto, untratamiento local está en el corazón delanálisis: cobra importancia aquello quesucede en un entorno de un elemento deldominio en cuestión, sin importar tanto loque pase a nivel global e incluso a nivelpuntual. La completitud no es una cuestiónpuntual ni completamente global.

2. REFERENCIAS TEÓRICAS II: ELPANORAMA COGNITIVO PARA IR

Robert (1998) menciona distintasherramientas para analizar los contenidosa enseñar. De ellas, repararemosespecialmente en la dimensión de losniveles de conceptualización, que permite

Lang, Serge (1990). Introducción al Análisis Matemático. Addison-Wesley Iberoamericana.

Usamos la palabra medio para referirnos a la noción de milieu, que fue introducida por Brousseau, y posteriormente

ha sido precisada y reformulada. Utilizamos aquí medio en una versión más próxima a la de Chevallard: lo pensamos

como un sistema de saberes y conocimientos preparado para permitir la formulación y la validación de las producciones.

En el caso de los alumnos, es un sistema de conocimientos con el que pueden interactuar al menos parcialmente, sin

intervención del profesor.

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describir imbricaciones sucesivas para unamisma noción. Aquí, se trata de armar lasfases intermedias de estabilidad en laevolución de un cierto campo conceptual,con una organización coherente quecontenga los objetos matemáticospresentados de cierta forma, los teoremassobre los objetos, los métodos asociadosa esos teoremas y los problemas que losalumnos pueden resolver con los teoremasdel nivel considerado.

Si tomamos como referencia los nivelesde conceptualización, el análisis histórico-epistemológico y nuestra propiaexperiencia docente, es posible queimaginemos seis ejes o dimensiones útilespara obtener un panorama sobre laconceptualización de la continuidad y lacompletitud de IR. Los distintos estadospara cada eje, vistos globalmente,constituyen para nosotros un modelo apriori –tanto como insumo para un estudioinstitucional como para interpretarrespuestas de los alumnos– que cumpleel papel de hacer observables ciertosfenómenos. En ese sentido, su validaciónestá dada exclusivamente por su fertilidadexplicativa.

Hemos pensado los ejes ligados tanto ala disponibilidad técnica de un sujetoteórico acerca de tales nociones (primereje) como al grado de reflexión de unsujeto teórico sobre el carácter deherramienta y de objeto de la completitud,sobre la necesidad de incluirla como unacondición en la definición de IR, sobre lafundamentación que se lleva a cabo entorno a estas nociones, sobre la utilizaciónflexible de los distintos aspectos de lacompletitud y sobre su visión acerca de

las construcciones de IR (los otros cincoejes). Asimismo, hemos considerado unestado inicial teórico, común a los ejes. Enlo que resta de esta sección, describiremosel estado inicial y los ejes.

2.1. El estado inicial

El estado inicial corresponde a una visiónsobre la completitud intuitiva, noproblematizada, dada por el carácterpreconstruido6 de las formas de lacompletitud que puedan aparecer. Unsujeto opera como si las propiedades severificasen naturalmente y hace uso deciertos resultados, sin preocuparse por sufundamentación; además, hay unanaturalización de las herramientas paraproducir conocimiento, ya que lajustificación es algo externo al sujeto, suinterés se centra en la utilización de dichasherramientas.

Con respecto a la completitud, a este nivelciertas propiedades de los objetosgeométricos (por ejemplo, la continuidadnatural de la recta) son transferidas aldominio numérico. Aunque este estadoadmite muchas posibles variantes, paranuestro trabajo las hemos englobado enuno solo. En tal sentido, es un estado inicialteórico donde pueden convivir variasconcepciones contradictorias.

Tareas como las aplicaciones simples paradeterminar la existencia de raíces odeterminar la existencia de límite desucesiones monótonas acotadas,examinando respectivamente las hipótesisdel teorema de Bolzano o las condicionesde monotonía y acotación en lassucesiones, son acordes al estado inicial.

Tomamos la idea de preconstrucción de Chevallard (1997): objetos preconstruidos son aquellos cuya existencia se

presenta como evidente, en un contexto que elude el cuestionamiento, con una idea o una representación que no

permite operar ni hacer demostraciones. Interpretamos la idea de Chevallard en el sentido de que con estos objetos

preconstruidos no se puede operar ni hacer demostraciones que involucren a esa noción en su carácter de objeto.

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Otra tarea que asociamos a dicho nivel esla de hallar supremos e ínfimos de ciertosconjuntos sencillos, donde el supremo eínfimo aparecen en el rol de cotas óptimasde conjuntos accesibles por unarepresentación en la recta, lo cual fortalecesu naturalización.

A partir de este estado inicial, consideramosseis ejes que describimos a continuación.

2.2. Los ejes del panorama cognitivo

A continuación presentaremos los seis ejes,retomando para cada uno el estado inicial,al igual que describiremos algunos estadosintermedios, los cuales no deben tomarsecomo un “camino” que ha de seguirse.

2.2.1. Disponibilidad técnica

Tomamos como variable el grado de dominiotécnico y teórico que tiene un sujetoalrededor de la completitud y la continuidad.Podemos pensar en una organizaciónteórica de esa disponibilidad por medio delos siguientes niveles, a sabiendas de quehay muchos subniveles intermedios que nodescribiremos aquí:

Un nivel inicial, al cual hemos hechoreferencia, que en este eje vemosplasmado en saber hacer uso de losteoremas de Bolzano y de la existenciade límites en aplicaciones simples, o bienen determinar supremos o ínfimos deconjuntos sencillos accesibles medianteuna representación en aplicacionessimples.

Un nivel en el que el sujeto encuentra lademostración de teoremas como el deBolzano o la existencia de límite desucesiones monótonas y acotadas, ypuede reproducirlas si manejaexplícitamente en esas demostraciones

u otras tareas alguna versión del axiomade completitud; por ejemplo, el desupremo. Un sujeto en esta posición vea las demás caracterizaciones comoteoremas, no como posiblesequivalentes. Las tareas acordes coneste nivel son la demostración de losteoremas ya mencionados; asimismo, lecorresponde la adquisición de técnicaspara la manipulación de los objetosligados a la versión de la completitud quese utiliza, como la demostración de laequivalencia entre las distintascaracterizaciones del supremo.

Un nivel en el que un sujeto encuentravarias formas equivalentes de expresarla completitud de IR, donde habría unasubcategorización en función de losenunciados disponibles para ese sujeto.Cada una de las caracterizaciones sobrela completitud involucra distintos objetosy la destreza en su manipulación haceque, a este nivel, la disponibilidad técnicase presente como un cierto dominio enla utilización de sucesiones, desucesiones de Cauchy, de encajes deintervalos, de las distintascaracterizaciones del supremo,cortaduras, etc.

Un nivel en el que un sujeto, además deque puede observar la completitud desdeel contexto de espacios más generales,es consciente de que ciertas formas deexpresión sobre la completitud en IR segeneralizan para espacios métricos,mientras que otras ponen en juegopropiedades específicas de IR,relacionadas fundamentalmente alhecho de que éste es ordenado.

2.2.2. Instrumentalidad/objetivación

A partir de las categorías de R. Douady(1986), este eje valora la medida en que

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la completitud se percibe comoherramienta y como objeto de estudio. Sibien en el estado inicial no hay unaidentificación de la completitud comoherramienta ni como objeto, pues sólo seutiliza en su carácter de preconstruido, enun estado más avanzado es percibidacomo una herramienta que posibilita definirnúmeros o entes bajo ciertas condiciones–las distancias de un punto a un conjuntoo entre dos conjuntos, o la demostraciónde la existencia de un elemento medianteun encaje–, así como probar que ciertosextremos se realizan, ciertas distancias serealizan, etc.

En un estado más avanzado aún, lacompletitud es apreciada como unaherramienta en el contexto de espacios másgenerales. Como objeto, hay distintosniveles de objetivación que están dados porla diferenciación de IR con Q en primer lugar,ya que se reconoce a la completitud comoun atributo adicional al de la densidad delorden y a IR como algo más que la simpleyuxtaposición de los racionales y losirracionales. Dentro de un nivel más alto, sedistingue a la completitud como unapropiedad de IR en alguna de sus formas;por ejemplo, el axioma de supremo. Y en unnivel más alto aún, es vista como un objetode estudio en el marco del estudio deespacios más generales.

Ahora bien, en la explicitación de lacompletitud como instrumento y como objetotambién notamos dos instancias: ladeclarativa o discursiva y la que se actualizaen el trabajo matemático, lo cual posibilitasu uso técnico.

2.2.3. Necesidad

Este eje valora en qué medida un sujetocomprende la necesidad de considerar lacompletitud –en alguna versión– para definira IR . En el estado inicial un sujeto no percibe

la necesidad de explicitar la completitudporque es una propiedad transparente; si enalgún grado la aprecia, parece verificarsenaturalmente. Sin embargo, a cierto nivel deeste eje un sujeto deja de ver comotransparente a la completitud; incorpora ungrado de problematización sobre esacuestión y toma a la teoría como objeto deestudio.

En un nivel más alto, el sujeto puede ver a lacompletitud como una condición necesaria;tal hecho se encuentra ligado a comprenderque el trabajo en análisis que se ha venidodesarrollando descansa en esascondiciones, las cuales se aseguran para eldominio de trabajo. De modo mástransversal, un sujeto que percibe comonecesario incluir un axioma para el desarrollode una teoría ha hecho una reflexión sobrelos modos de reorganización de los saberesmatemáticos.

2.2.4. Validación y fundamentación

Este eje considera dos aspectos: por unaparte, en qué medida un sujeto concibe lanecesidad de fundamentar en matemática;por otra, distingue el tipo de validaciónllevada a cabo (dichos aspectos no sepresentan en el nivel inicial porque lafundamentación es algo externo al sujeto,que hace uso de resultados y teoremas sintomar a su cargo su validación).

Con respecto al tipo de validación, puedetener un soporte empírico, apoyada en lavisualización de una representación. En unnivel más avanzado de este eje, un sujetoargumenta las afirmaciones matemáticas ydistingue una validación empírica de una queexige la movilización de otras herramientasmatemáticas. La noción matemática decompletitud, que a cierto nivel admite unsoporte empírico, es sumamenteparticularmente fértil para distinguir entre lostipos de validación.


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2.2.5. Flexibilidad

Este eje valora la capacidad de un sujetopara percibir las diferentes expresiones dela completitud como equivalentes y parasaber utilizar una u otra, según la ocasión.No lo incluimos en el estado inicial quediseñamos para poner en común a todoslos ejes, pues no se trabajan lasequivalencias de la completitud a ese nivel;su aprendizaje se realiza después de unpar de semestres de cálculo. Los distintosestados del eje están dados por losdiferentes enunciados de los que sedisponga y por su uso, de acuerdo con lastareas a realizar.

2.2.6. Posición frente a lasconstrucciones de IR.

Este eje valora la comprensión que puedetener un sujeto, tanto acerca del sentidode que IR sea construido a partir de Qcomo del rol de modelo que puede adquiriresa construcción con relación a ladefinición axiomática. Tampoco loconsideramos en el estado inicial comúna los ejes porque el aprendizaje de lasconstrucciones se efectúa después de dossemestres de cálculo. Comprender lanecesidad o el sentido de lasconstrucciones de IR requiere pensar lascondiciones que necesita un conjunto a finde ser un buen dominio para el análisis opara desarrollar otras teorías, como en elcaso de la completación de espaciosmétricos.

Podemos pensar que un sujeto que seplantea tales cuestiones comprende mejorla propiedad de un conjunto de sercompleto. Un sujeto que puede percibir elrol de modelo que juega la construcciónpara un sistema de axiomas es alguien queha hecho una reflexión acerca de laconsistencia de las teorías matemáticas.Los distintos estados que asume un sujeto

sobre este eje son el “valor cero” (si noconoce las construcciones), el nivelintermedio (si sabe algunas construccionesy puede percibirlas como modelos para ladefinición axiomática) y el nivelcorrespondiente a entender que talesconstrucciones fueron la respuesta de losmatemáticos a la necesidad de conocercuál era el dominio numérico con el quevenían trabajando desde hacía variossiglos.

2.3 Estructura multidimensional

Un sujeto puede estar convencido de quees necesario demostrar los teoremas ycomprender que el axioma de completitudpermite definir ciertos números, pero nohaber adquirido la destreza para demostrarteoremas con la completitud.

Asimismo, un sujeto puede saberdemostrar esos teoremas e inclusodemostrar las equivalencias (teniendo unestado alto en el eje de disponibilidadtécnica), sin que esto le requieranecesariamente que haga una reflexiónsobre su reutilización o su potencia, o sinque sepa en qué problema le convieneemplear una u otra caracterización de lacompletitud, conservando un valor bajo enel eje de flexibilidad.

También es posible que un sujeto, aunquesepa reproducir las construcciones y elteorema de completación, permanezca enun estadio bajo en los ejes de necesidad,fundamentación e instrumentación. Elcrecimiento cognitivo no esnecesariamente uniforme; un sujeto puedeestar avanzado en un eje y no en otros.

La separación de estos ejes es en ciertomodo ficticia, pero resulta útil para poderpensar globalmente distintos valores encada uno, como un modelo donde cierto

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estado de conceptualización es visto comouna 6-upla dada por algún valor para cadaeje.

A continuación, presentaremos laspreguntas que guían el análisis de nuestrainvestigación.

3. ORGANIZACIÓN INSTITUCIONAL.HIPÓTESIS A PRIORI. PREGUNTAS

PARA EL ANÁLISIS

Haremos un análisis praxeológico sobreel tema de estudio, Completitud delconjunto de los números reales en lainstitución Primeros años de laLicenciatura en Matemática y ProfesoradoUniversitario de Matemática de laUniversidad de Buenos Aires (UBA),donde consideraremos cuatro cursos. Elprimero, Análisis Matemático, forma partedel primer año que llevan los alumnos dela UBA, denominado Ciclo Básico Común(CBC); los otros tres, Análisis I,Complementos de Análisis II y CálculoAvanzado, dependen del Departamento deMatemática de la Facultad de CienciasExactas y Naturales de la UBA. Al terminarel estudio, deseamos poder caracterizara qué categoría o categorías del panoramacognitivo potencialmente aportan lastareas que tienen a cargo los alumnos encada curso.

Algunas preguntas o ítems que van aguiarnos en nuestro estudio praxeológicoal interior de cada curso son:

¿Qué tipo de apariciones hace lacompletitud en las tareas y en lastécnicas? ¿Cómo aparece y cómo seusa?

¿Qué técnicas se util izan en laresolución de las tareas? ¿Cuántatecnología y teoría requieren esas

técnicas? ¿Se trata de técnicas queconsisten en la aplicación aislada deun teorema o propiedades? En el casode la utilización de propiedades, ¿“esllamada” desde la formulación de latarea o permanece implícita? ¿En quémedida es necesario para desplegar latécnica el proceso de demostración delas propiedades o teoremas? ¿En quémedida solamente el enunciado de losmismos?

Con respecto al género de tareas y a suformulación, tendremos en cuenta sifavorecen un funcionamiento delconocimiento más a nivel técnico (“hallar”,“resolver”, “calcular”, ítems aislados),movilizable (“demostrar usando talresultado”, varios ítems secuenciados) odisponible (“estudiar”, “analizar”,“demostrar”, etc.). Procuraremos identificarlos momentos en los que las técnicasusadas se vuelven insuficientes, así comolos puntos de equilibrio, continuidades,rupturas y falsas continuidades.

Referente al grado de problematización deaquello que parece evidente u observable,veremos si hay tareas que involucren untrabajo de demostración de propiedadeso resultados “observables”, “evidentes”.Asimismo, en qué medida hay unaproblematización y hasta qué punto lasrepresentaciones utilizadas condicionanlas tareas que se proponen y si se presentauna evolución en tal dirección:

¿Qué elementos de las tareas seríanindicadores de reflexión? ¿Qué discursoexplicativo acompaña a las tareas? ¿Quéreflexiones podrían hacerse sobre ellas?¿En qué sentido aportan a la reflexiónsobre el hecho de que IR sea definidomediante un conjunto de axiomas?

¿Qué elementos de la ruptura cálculo-análisis se hacen presentes en las


Relime

prácticas? Si hay elementos queintroduzcan el punto de vista local,¿cuáles son y cómo hacen eseproceso? ¿Qué elementos tiene elalumno para validar? ¿Qué criterios devalidez favorece la realización de estasprácticas?

¿En qué medida las tareas contribuyena hacer evolucionar los ejesintroducidos en el panorama cognitivo?

En las secciones siguientes, analizaremoslas praxeologías de las materiasmencionadas. Hemos elegido la opción depasar materia por materia. La primeraparte es posiblemente un poco monótona,ya que analizamos ejercicio por ejercicio,pero presentamos una síntesis paraalgunas de las materias y las retomamosen forma global al final, a fin de ponerlasen relación con el panorama cognitivo.

4. ANÁLISIS MATEMÁTICO DEL CICLOBÁSICO COMÚN (CBC)

4.1 Las guías de trabajos prácticos

Esta materia tiene una duracióncuatrimestral y su carga horaria es denueve horas semanales (tres encuentrosde tres horas teórico-prácticas). Consisteen un primer curso de Cálculo en unavariable y su guía de trabajos incluye unapráctica titulada Números reales, dondeaparecen por primera vez las tareasvinculadas a la completitud. Los materialespara analizar son los enunciados de losejercicios de la guía y la planificacióndocente oficial.

La guía de trabajos prácticos tituladaNúmeros reales comprende doceejercicios en los que distinguimos tres tiposde tareas: representar subconjuntos de IR

en la recta, demostrar la irracionalidad, ydeterminar supremos e ínfimos, máximosy mínimos de ciertos subconjuntos de IRcon diferentes exigencias de justificación,según el caso. El objetivo de la guía pareceser que apunta a poder describir losconjuntos de IR y adquirir familiaridad conlas nociones de supremo e ínfimo.

La noción de supremo surgió en lamatemática cuando se volvió necesarionombrar o determinar a ese número, en elcontexto de funciones continuas definidasen un intervalo o de sucesiones cuyaconvergencia parecía evidente –monótonas acotadas–; su existenciaquedó garantizada una vez que IR estuvobien definido. Más allá de las situacioneshistóricas a partir de las cuales se leidentificó como una noción de lamatemática, un matemático actual utilizael supremo esencialmente para definir unnúmero con determinados atributos.

En este trabajo práctico de Númerosreales, las nociones de supremo e ínfimoaparecen antes del tratamiento de límite ydel de funciones continuas en intervalos,así como del trabajo correspondiente alanálisis. Se muestran como un fin en símismo, en buena medida despojados desu función de herramienta y su “utilidad” aese nivel podría ser la de constituir cotasóptimas si el conjunto no tiene máximo omínimo. Desde nuestro punto de vista,esto es el efecto de la elección de unatransposición que privilegia el recorte delsaber en porciones que permiten laejercitación y la evaluación, aunque sesepare de la instrumentalidad de losconceptos.

Hay un primer grupo de cuatro ejerciciosdonde se pide representar en la rectaalgunos números, las soluciones de ciertasinecuaciones, las intersecciones y unionesde algunos intervalos de IR y ciertos

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1/ n, n ∈IN{ }= 0

existen son números enteros, salvo unmínimo que da , lo cual facilita suidentificación a partir de la representación.

Los ejercicios posteriores solicitan ciertajustificación de los resultados obtenidosantes. Uno de ellos pide mostrar que 1 escota superior del conjunto formado por loscocientes de naturales n/(n+1), así comoexhibir un elemento del conjunto entre 0,9 y1 y otro del conjunto entre 0,99 y 1. Lapalabra mostrar en este enunciado indicaque hay que hacer algo más que encontrar,lo cual se pedía en el ejercicio anterior. Apesar de que con este ejercicio se avanzaun poco en la justificación, el trabajo quedainconcluso, pues no se llega a justificar que1 es el supremo. El trabajo podría extendersehasta mostrar que es posible encontrarelementos del conjunto tan cercanos a 1como se quiera, pero esto se hace en elsiguiente ejercicio. La relación entre ambosejercicios no se explicita en los enunciados;dicha tarea deberá realizarla el docente oquedará para el trabajo personal de losalumnos.

La tarea en otro ejercicio consiste en justificarque el ínf y también seencuentra subdividida en dos subtareas. Laprimera es numérica y puede hacerse portanteo o despejando; esto último abre elcamino para la tarea principal. El hecho deque el conjunto esté dado por una expresiónde tipo homográfica permite operar ydemostrar lo que se pide sin necesidad deutilizar técnicas más analíticas, como el pasoal límite.

Además, en este ejercicio se menciona laarquimedianidad, que en el contexto de larepresentación se vuelve transparente;parece no haber algo nuevo por demostrar7.

conjuntos discretos, uno de ellos infinito. Conello, se da un lugar importante a larepresentación de subconjuntos de IR en larecta, que es tomada en forma natural, sinser problematizada. La cuestión de larepresentación pasa por estas prácticas sinuna reflexión acerca de qué es la recta,cuáles son sus propiedades, si es posibledeterminar o no un “lugar” en la recta paracada número real, etc.

Un segundo grupo de ejercicios los podemosenglobar en la tarea de hallar supremos,ínfimos, máximos y mínimos. En ellos hayun fraccionamiento de las tareas ensubtareas que parecen tener como objetivo“ayudar” a obtener las respuestas. Por otraparte, va creciendo la exigencia dejustificación, admitiéndose en un comienzorespuestas más intuitivas, ligadas al registrográfico, para ir avanzando a formas másprecisas y un poco menos asociadas a lavisualización, casi al final de este grupo deejercicios.

En uno de los ejercicios el tipo de tarea esencontrar, si existen, el supremo y el ínfimo paraciertos subconjuntos reales y analizar si sonmáximos o mínimos, lo cual indica la pérdidade sentido sobre la noción de supremo. La tarease presenta fraccionada, ayudada por dossubtareas: la primera consiste en determinarsi ciertos números son cota, la segunda endecidir si los subconjuntos son acotados. Unprimer nivel de respuesta puede darseapoyándose fuertemente en la representaciónque se tiene de los subconjuntos en la recta,una tarea instalada en la primera parte de lapráctica. En particular, casi todos lossubconjuntos de este ejercicio son análogos alos que hay que representar en la recta,planteados en la primera parte de la guía.Además, todos los supremos e ínfimos cuando

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La arquimedianidad es un postulado indispensable en el conjunto de axiomas que presentó Hilbert para definir a IR,

sin embargo, si se utiliza otro axioma de completitud, por ejemplo, el de supremo, la arquimedianidad se obtiene como

consecuencia. En el marco de las representaciones resulta obvia.


Relime

Estos dos ejercicios sirven para acrecentarlas destrezas a la hora de demostrar, perono para enriquecer los sentidos sobre elsupremo. Cambia el tipo de tarea al pasaral ejercicio siguiente, pues ya no hay quejustificar, sino “ordenar de menor a mayor”.Asimismo, es una tarea ligada al aspecto“descriptivo” del supremo y se muestra uncambio fuerte con el tipo de tareas que sevenía desplegando, ya que la dificultad enlas demostraciones iba creciendo y, degolpe, desaparece.

En el último ejercicio de esta guía la tareaes determinar los supremos, ínfimos,máximos y mínimos en tres subconjuntos(uno del dominio y dos de la imagen) deuna función cuadrática. Algo que distingueeste ejercicio de los anteriores es que notiene subtareas cuya resolución contribuyaa la resolución de la tarea principal; tal vezpor eso se ubica en el último lugar,mostrando una mayor autonomía. Latécnica, en el caso del primer ejercicio, estádada por factorear y escribir el conjuntocomo unión de intervalos y dar lasrespuestas a partir de su determinación.Para resolver los otros a este nivel, seasume que la imagen de un intervalo poruna función continua constituye unintervalo. Hallar la imagen de unacuadrática o de una cuadrática restringidaa un intervalo es un ejercicio que losalumnos han realizado en prácticasanteriores.

El esquema que parece seguir esta guíade trabajos prácticos es comenzar por lapresentación del supremo y las pequeñasaplicaciones, seguir con una parte másteórica y finalizar con aplicaciones un pocomás complicadas que las anteriores, másautónomas, sin subtareas.

Con respecto a otros temas ligados a guíasde trabajos prácticos posteriores(Sucesiones y Límites y continuidad),

algunos tópicos en los que se relacionanlas sucesiones y las funciones continuascon la completitud, y que en algún sentidoestán presentes en el trabajo en estamateria, son el hecho de que laconvergencia de sucesiones monótonasacotadas sólo se asegura en un dominiocompleto, que vale el teorema de Bolzanopara funciones continuas definidas enintervalos y las funciones continuas sobreintervalos cerrados reales alcanzan susextremos.

Aquí, las tareas consisten en hallar límitesde sucesiones que pueden ser mostradascomo monótonas y acotadas, hallar lassoluciones de ciertas ecuaciones que seenmarcan en las hipótesis del teorema deBolzano, o encontrar intervalos donde segarantiza la existencia de una raíz. En talesprácticas, los teoremas son resultadosfuertes que sirven para asegurar laconvergencia o la existencia de raíces; poreso no hay terreno para problematizar lacompletitud.

4.2. La guía del docente

Entre los materiales que hemos analizadocon respecto a esta materia, contamos conuna “guía del docente”, la cual consiste enuna planificación clase por clase,elaborada por la cátedra de esta materia,y muestra el rapport institucional que seha concebido sobre este tema. Dicha guíaseñala que es la intención de estainstitución trabajar durante dos clases estetema. La primera comprenderá larepresentación en la recta, demostrar que 2 no es racional (destacando que laprueba se da por el absurdo, ya que seráuna técnica muy usada), mencionar ladensidad, dar los axiomas de cuerpoordenado, así como hacer notar que losreales y los racionales no se distinguenpor esos axiomas. En la segunda clase, laplanificación indica dar el axioma de

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completitud en su versión del supremo ydestacar que no se cumple en Q, enunciarel principio de Arquímedes y usarlo pararesolver el ejercicio donde hay quejustificar que inf , al igualque discutir con los alumnos distintosejemplos en los que el supremo o ínfimopertenezcan o no al conjunto. ¿Qué lugarocupa el supremo para los alumnos a partirde estas tareas? ¿Es posible verlo comouna herramienta útil y necesaria?

Sin embargo, el tipo de tarea deja alsupremo y al ínfimo del lado de describirlos conjuntos. ¿Qué valor agrega enrelación con la caracterización de IRdiscutir si el supremo es o no un máximo?¿Qué estatuto –es algo útil, accesorio oinnecesario– puede tener para los alumnosel principio de Arquímedes en el contextode representaciones desplegado a partirde los primeros ejercicios? El análisis delas tareas indica que no hay un correlatoentre la guía docente y la de ejercicios, yaque la intención de distinguir a IR de Q,enunciada en la guía docente, no se veplasmada en ejercicios que aborden dichacuestión.

Con respecto a la relación entresucesiones y completitud, la planificaciónincluye que sea enunciado, sindemostración, tanto el teorema queasegura la existencia del límite desucesiones monótonas y acotadas comoel que afirma que, de toda sucesiónacotada, puede extraerse unasubsucesión convergente. Los alumnostienen a disposición un apunte teóricooficial de la materia en el que puedenencontrar las demostraciones, que seapoyan en el axioma del supremo. En lotocante a la relación entre funcionescontinuas y completitud, se incluye en laplanificación el teorema de Bolzano,destacando que en su demostración seutiliza el axioma de supremo.

1/ n, n ∈N{ }= 0

De este modo, la completitud permaneceencapsulada en estos tres teoremas. Losalumnos pueden avanzar en las prácticassin aludir a la completitud porqueprevalecen estos resultados, que sonvistos como muy potentes. Si bien en lademostración del teorema de Bolzano sedestaca que se emplea el axioma delsupremo, eso queda en un lugar que “vivepoco” para los alumnos, parece necesariosólo para el docente, no para ellos, por locual queda limitado al momento de lademostración. El tipo de tareas propuestasy la presencia de resultados que son vistoscomo instrumentos para resolver esastareas hace que el rapport personal haciala completitud en esta materia esté másligado a las representaciones, a lasnociones de cotas y extremos,permaneciendo en un nivel más biennominal.

4.3. Síntesis de análisis del CBC

En los ejercicios que analizamos se hacenpresentes las cotas, los supremos, losínfimos y los extremos –máximos y mínimos–como instrumentos para describir ycomprender un poco más la naturaleza delos subconjuntos de IR, mientras que eltrabajo se desarrolla mayoritariamente conun apoyo fuerte en las representaciones. Laproblemática de demostrar lo que pareceevidente hace pequeñas apariciones, peroel fraccionamiento de esta tarea en subtareashace que no se despliegue. El supremo y elínfimo se muestran como nociones en símismas, no vinculadas a otros objetosmatemáticos, de modo que se desligan delas situaciones en las que son necesariospara definir números, reduciéndoseconsiderablemente su sentido instrumental.

El axioma de completitud hace unaaparición en esta materia, pero parece algonecesario para el docente, no para losalumnos. El análisis que hicimos nos


Relime

permite ubicarla dentro del estado inicialseñalado en el panorama cognitivo.

5. ANÁLISIS I DE CIENCIAS EXACTAS

Esta es una de las primeras materias quecursan los alumnos en la Facultad deCiencias Exactas, a continuación del CBC.Se encuentra organizada en 10 horassemanales, 4 de teoría, donde seintroducen los temas, se dan lasdefiniciones y se demuestran los teoremas(las clases están a cargo del profesor) y 6de práctica, durante las cuales seresuelven problemas en el pizarrón,habitualmente la mitad del tiempo (esodepende del docente ) y se respondenconsultas personales. Estas clases sonimpartidas por docentes auxiliares,quienes normalmente son estudiantes deldoctorado, recientes doctores o alumnosavanzados de licenciatura.

La completitud del conjunto IR estávinculada con las siguientes unidades delprograma: Sucesiones, Series Numéricasy Teoremas sobre funciones continuas.Los materiales de los que disponemospara analizar son los enunciados de losejercicios que necesitan hacer losalumnos, las notas tomadas por dosalumnos distintos sobre la primera claseteórica de la materia –relacionada con eltema de la completitud– y dos entrevistashechas a dos docentes de clasesprácticas.

5.1 Breve descripción de las dosprimeras clases teóricas

Las notas de las clases teóricas indicanque en la primera sesión empezó con tresdefiniciones: 1) cota superior de unsubconjunto de IR, 2) máximo y 3)supremo de un subconjunto de IR acotadosuperiormente, como la menor cota

superior. Quedó demostrado que cuandoel supremo existe es único y se enunciócomo axioma que todo conjunto no vacío,acotado superiormente, tiene supremo.También se especificaron las nociones decota inferior e ínfimo, así como se expresóy demostró el primer teorema: todoconjunto acotado inferiormente y no vacíotiene ínfimo. La justificación, muydetallada, se basó en el axioma dadoanteriormente, considerando el conjuntode los opuestos aditivos. Cuando el temacambió a sucesiones, se proporcionó ladefinición de límite de una sucesión, seexpuso el álgebra de límites (sindemostración), se puntualizó qué es lasucesión creciente y la acotada, y secomprobó con todo detalle, usando elaxioma, que toda sucesión creciente yacotada converge al supremo.

En la segunda clase teórica se definieronlas nociones de intervalo real abierto,conjunto abierto y clausura de un conjunto.Se puntualizó que el conjunto cerrado esaquel que coincide con su clausura, sedemostró que un conjunto es abierto si ysólo si su complemento es cerrado, al igualque se enunció y argumentó en formadetallada el teorema dado un conjunto yun elemento de su clausura, existe unasucesión contenida en el conjunto queconverge a ese elemento. Asimismo, seespecificó el límite funcional y lacontinuidad puntual de una función real, yse probó la equivalencia con la definiciónde función continua en un punto porsucesiones.

Estas notas señalan que, en relación conlos temas de completitud vistos en Análisisdel CBC, los alumnos cuentan con losmismos elementos teóricos, las mismasdefiniciones y la misma versión del axiomade completitud, aunque con mucho mayordetalle y formalidad en su exposición yestructuración. Hasta aquí no hay

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n ∈IN

contenidos nuevos respecto a lacompletitud, ni la explicitación de situacionesen la que sea una herramienta necesaria.

5.2. La primera guía de trabajosprácticos de Análisis I de Exactas

En cuanto a la completitud o a IR, las tareasde la primera práctica consisten enrepresentar ciertos subconjuntos de IR,mostrar que algunos conjuntos no estánacotados, calcular supremos, ínfimos,máximos y mínimos –en algunos casosargumentar que lo son–, analizar laexistencia del límite en determinadassucesiones (monótonas y acotadas),demostrar la validez de los criterios deD’Alembert y Cauchy, así como probar queel conjunto de los racionales cuyo cuadradoes menor a 2 no tiene máximo ni supremoen Q.

A excepción de las últimas dos tareas, todaslas anteriores figuraban en la práctica deAnálisis I CBC, y sus ítems podrían haberestado en la práctica de dicha materia. Eltipo de tarea que necesitan realizar losalumnos con relación al tema muestra unagran similitud con los anteriores; sinembargo, las técnicas de resolución que seespera para las tareas son diferentes porqueen esta materia hay que demostrar, laspruebas deben ser pruebas formales y seesperan resoluciones distintas de las quehabía en la institución anterior, aunque loscontenidos y situaciones en las que sedespliegan sean los mismos.

Tomemos el ejercicio donde se pide mostrarque el conjunto formado por los cuadradosde los naturales no está acotadosuperiormente. Si esta tarea hubiera estado

en la práctica de Análisis del CBC (hay otrosanálogos), su justificación podría basarse enuna representación, o bien tomar comopunto de partida que IN no está acotado yusar, por ejemplo, que . No obstante,a este nivel se espera otro tipo de resolución.Los dos docentes de prácticas entrevistadosrespondieron por separado que esperan deeste ítem una prueba formal, utilizandoarquimedianidad: dado un número Mcualquiera, es posible exhibir un elementodel conjunto en cuestión mayor que M. Unaposibilidad es considerar un n > M (por laarquimedianidad) y emplear que para losnaturales , de donde n2 > M. Otraposibilidad es atender al número M ytomar un número natural n mayor que M;aquí se requiere también de la completitudpara justificar la existencia de la raíz de M.Lo que cambia respecto a la resoluciónposible para el CBC es qué versión de laarquimedianidad se toma como punto departida, su explicitación y cómo se escribe.Ahora bien, ¿cómo se negocia, si es quesucede, esta diferencia con los alumnos,más aún cuando el tipo de tarea es lamisma?

El tipo de tarea que hay en el siguienteejercicio es calcular supremos, ínfimos,máximos y mínimos –si existen– de ciertossubconjuntos de IR y probar que lo son. Unode los conjuntos es finito, mientras que losotros son infinitos y discretos (forman elrango de una sucesión). La representacióny la escritura por extensión de los conjuntos,al igual que la manipulación algebraica,pueden ser un medio de conjeturarlos valores buscados. El conocimiento sobresucesiones de monotonía y límites, quehan aprendido los alumnos en la materiaanterior, posibilita nuevas técnicas 8 .

Por ejemplo, en el caso del inciso (d), el conjunto es {2n/(7n-3), } . La desigualdad 2n/(7n-3)>(2n+2)/(7n+4) muestra

algebraicamente que ; esto es, la sucesión es decreciente, luego el límite (2/7) es el ínfimo y el supremo se

alcanza en n=1 (o sea, es un máximo). Una técnica más analítica para ver que es decreciente es considerar la función

2x/(7x-3) , para y comprobar que la derivada es negativa.

8

n2 ≥ n

n2 ≥ n

an > an+1

x ≥1


Relime

Como ellos cuentan con más herramientaspara la resolución podrían acceder aproblemas donde el supremo y el ínfimose pongan en juego, con un carácter máspróximo al instrumental; sin embargo, esasnociones siguen teniendo el mismo sentidode la materia anterior en tareas que sóloparecen existir en el contexto de estoscursos.

La tarea de otro ejercicio pide demostrarque el conjunto no tienemáximo ni supremo en Q. Esta actividadmarca una ruptura en dos sentidos. Hastaahora, todos los conjuntos acotados teníansupremo en el conjunto en que estabandefinidos, IR. Por otra parte, el supremocumple otro papel, lo cual permite pensaren alguna diferencia entre Q e IR. Hayvarias técnicas de resolución para estatarea, según lo que se decida tomar comopunto de partida. Mencionamos algunas:

1)Partir de un elemento m del conjunto,esto es, m2< 2, m racional y, porejemplo, buscar un natural n, tal que(m+1/n)2<2. Así, uno se asegura quem+1/n es racional. Si se acotasuperiormente 1/n2 con 1/n y m con 2,se obtiene una condición de tipon>5/(2-m2), que asegura que siempreva a haber un racional mayor.

2)Pensar al conjunto como unsubconjunto más de IR; esto es, elconjunto de los m en Q, tales que(- 2)<m< 2, y aplicar los resultadosque han sido desarrollados en la claseteórica. Este subconjunto tienesupremo y se puede demostrar que es 2 de varias maneras: una de ellas espor el absurdo, usando la densidad deQ en IR, y demostrar finalmente que elsupremo no está en Q. Como estopuede no resultar interesante a losalumnos, pueden hacer la analogía conun caso que ya conocen: el de los

a ∈Q: a2 < 2{ }

conjuntos que tienen supremo y nomáximo. En el enunciado no hayelementos que generen una reflexiónacerca de que el axioma deja de serválido si solamente se piensa en Q.Desde ese punto de vista, el ejerciciono tendrá una significación particularpara los alumnos.

3)Usar la menor cantidad posible deconocimientos iniciales. Esa fue la opciónque tomó uno de los docentesconsultados. En la entrevista, él dijo: “Yolo hice en el pizarrón y a la clase siguientevinieron muchos a preguntarme detallesde la demostración, a mí y a los otrosayudantes. Al hacerlo, asumí que nosabíamos nada, ni siquiera que entre dosracionales hay un irracional, ni que hayun racional; supuse que no conocíamosningún resultado sobre densidad.Construimos todo a mano. Solo usé quepuedo elegir un racional positivo entrecero y otro número racional, por ejemplo,dividiendo por dos. A la clase siguientelos alumnos preguntaban: “¿me puedesdecir por favor qué tengo que demostrary qué no?, ¿qué es obvio y qué no? Porejemplo, en el ejercicio 4, ¿se asume que 2 es un irracional? La idea es que no,pero... ¿porqué no, si eso ya losabemos?”

En toda demostración hay algo que seasume; en este caso, como hemos visto,se puede empezar por otros puntosiniciales. Las cosas que el docente noquiere asumir como punto de partida noson nuevas; las dos resolucionesalternativas que hemos expuesto loindican. Él tal vez desea mostrar que hayque demostrar en esta materia y utilizael ejercicio con tal fin, tomando unaposición algo extremista para marcar laruptura de contrato y alcanzar el objetivode movilizar en dirección a la actividadde demostrar.

50

La tarea de otro ejercicio es hallarsupremos e ínfimos de ciertossubconjuntos de IR. Aquí, los ítems sonalgebraicamente más complejos que losdel CBC, pero podrían haber estado enesa práctica. Con los conocimientos quehan adquirido los alumnos en la materiaanterior (límites, especialmente, y distintastécnicas para determinar crecimiento odecrecimiento) se amplía su campo deelecciones de técnicas con relación a estetipo de tarea, mas no añade nuevos usosde la noción de supremo, ya que la tareasigue siendo la misma que en laasignatura anterior.

Hay dos ejercicios donde se solicitaestudiar la convergencia de las siguientesdos sucesiones: x

n =(1-1/2)(1-1/4)… (1-1/2n)

y xn=2/1.3/3.4/5.5/7... (n+ 1)/(2n-1). Aunque

pueden servir como un principio paraobservar que un número real quedadado por una sucesión, su resoluciónpodría quedar reducida a comprobar laexistencia de límite. En los ejercicios deeste tipo, el docente tiene oportunidadde hacer un verdadero aporte sobre unacuest ión que, de otro modo,permanecería solapada. Técnicamentees fácil, con respecto a las sucesionesde ejercicios anteriores, ver que sonmonótonas y acotadas; como el límitepuede no ser un número conocido, loidentificamos con la sucesión.

Esta actividad muestra que el enunciadoaislado de un ejercicio no permite másque analizar su “potencialidad”, quepuede ser muy distante de lo que losalumnos hagan o de lo que relice eldocente en clase.

5.3.La segunda guía de trabajosprácticos de Análisis I de Exactas.

La segunda guía es una práctica sobrefunciones y continuidad de funciones. Lostemas, en su totalidad, están dentro de losque se estudiaron en Análisis I del CBC,salvo la aparición de la f(x) = [x], o parteentera de x. Los primeros ejercicios de estaguía son similares a los del CBC en su gradode dificultad y tipo de tareas, pues consistenen graficar, sustituir y hallar el dominionatural, actividades más ligadas a “resolver”,no tanto a fundamentar, y podríamos afirmarque son típicas del cálculo elemental. Porejemplo, la noción de dominio se pierde enla búsqueda de condiciones que requierende un tratamiento de tipo algebraico, delmismo modo que las sustituciones. Hay ungrupo de ejercicios que presenta tareasnuevas respecto a los ejercicios de Análisisdel CBC, ya que se pide probar ciertoslímites por definición y demostrar una dobledesigualdad que se usará para comprobarla existencia del límite . Elresto son cálculos de límites y análisis decontinuidad, con una complejidad algebraicamayor que la que había en la materiaanterior.

Hay un ejercicio donde el tipo de tarea consisteen demostrar una propiedad que se ve comoevidente al representar la situación. Sedemanda comprobar que sies continua y verifica y

, entonces f debe sersuryectiva. Es un resultado “visualizable”,“esperable”, mas exige que se movilicenbastantes elementos para su demostración.Es necesario trabajar con la definición delímite para ver si se cumplen las condicionesdel teorema de Bolzano9.

La versión del teorema de Bolzano que se suele enseñar en este curso es: Sea continua. Si f (a)<d<f(b),

entonces existe , tal que f(c) = d.

limx→+∞(1+1/ x)x

f :IR → IR

limx→+∞ f (x) = +∞limx→−∞ f (x) = −∞

9 f : a,b[ ]→ IR

c ∈(a,b)


Relime

Lo mismo sucede con los ejercicios 18,19 y 2010, que obligan a escribir y utilizarcon precisión y detalle la definición delímite o la de supremo e ínfimo. Hay unsalto importante en el tipo de práctica quese espera por parte de los alumnos y la

Ejercicio 18: Sea f continua y estrictamente creciente en la semirrecta [a, + ), tal que . Probar

que Im(f) = [f(a), M ). Mostrar con un ejemplo que si sólo se pide que f sea creciente, entonces puede ser ) .

Ejercicio 19: Sea estrictamente creciente y continua, que y .Probar

(a) Im( f ) = (c, d ); (b) Existe y es continua; (c) y ; (d) Encontrar

contraejemplos si (i) f no es continua, (ii) f no es creciente.

Ejercicio 20: Sea continua y sean y . Demostrar que

es suryectiva.

10 ∞ limx→+∞ f (x) = MIm( f ) ≠ f a( ), M[

f :(a,b):→ IR limx→a + f (x) = c limx→b − f (x) = d

f −1:(c,d) → (a,b) limx→c+ f (x) = a limx→d − f (x) = b

f :(a,b):→ IR T = supx∈(a,b) f (x) B = infx∈(a,b) f (x) f :(a,b) → (B,T)

clase de argumentos que deben utilizar, encomparación con los ejercicios anterioresde esta misma guía. Sobre dichasactividades transcribimos una pequeñaparte de la entrevista a un docente (A es elentrevistador y D1 el docente entrevistado).

A: El ejercicio 17 c, el 18 y el 19 se tratan de resultados que son visibles,creíbles y complicados de explicar y escribir. ¿Notaste si eso les trajo problemasa tus alumnos?

D1: Sí, muchísimos problemas. De hecho, no saben escribir nada. Ese día seme rebelaron, me decían: ¿por qué hay que escribir esto, si es obvio que esasí?

A: ¿Y qué les contestaste?

D1: En general, el argumento que doy es que si bien la intuición es buena yofrece algo en lo que apoyarse, no es una verdad absoluta. Yo hablo mucho dela intuición en clase; no es que haga todo formal, pero les propongo escribir loque uno intuye. Y les digo que tengan cuidado porque a veces lo que se intuyees equivocado. Da igual, no los convenzo ni un poco... Por ejemplo, el 18 lesparece más que obvio... y yo les pregunto ¿por qué es obvio? ¿Por qué nopuede pasar que la imagen se escape para más arriba? Esa clase estuvobuenísima. Uno me dijo que si se escapara para arriba tendría un pedazodecreciente. Les dije, escribamos eso, y salió. Pero en el parcial tomamos unopor el estilo, e igual escribieron “obviamente” en la resolución.

Una vez me pasó que una chica me vino a consultar un ejercicio de este tipo.Me vino a preguntar si estaba bien como lo había resuelto y me lo mostró:había escrito el enunciado y había concluido escribiendo exactamente lo quehabía que probar. A ella le pareció que estaba entonces probado... Yo la miraba,no sabía qué decirle... en fin. Yo les digo para este tipo de ejercicios tenemos laúnica herramienta es el teorema de valor medio; hay que poner paso a pasocosas que sean solamente despejes y en algún momento usar el teorema.Pero en el ejercicio que pusimos de eso en el examen sucedió lo mismo: lamitad de los alumnos no lo hicieron.

52

El docente plantea la cuestión de si saben o no escribir, que se puede ampliar a sireconocen o no la necesidad/legitimidad de demostrar. Más que escribir o no escribir, elasunto es poder argumentar con elementos que formen parte de un corpus aceptado deconocimientos; en este caso, el teorema es una parte de ese corpus, y la argumentaciónpodría no ser escrita.

En la entrevista al otro docente (D2), opinó sobre este grupo de ejercicios:

Este fragmento muestra que hay unadificultad para los alumnos y un salto entrelo que espera el docente que realicen y loque ellos creen que deben hacer.

Ambos partes de las entrevistas indicanque enseñar a demostrar aquello queparece evidente resulta una tarea muydifícil. El método que propone el docenteD1 es identificar (no se sabe muy biencómo) que en este tipo de ejercicio se debeusar el teorema y resolverlo haciendo sólodespejes algebraicos y emplear el teoremaen algún momento, con la ilusión aparentede poder algoritmizar una tarea que no nosparece algoritmizable. Mientras que el

docente D2 propone la repetición(“machacarles”).

5.4. Síntesis de Análisis I de Exactas

En estas guías no hay contenidos nuevossobre la completitud con respecto a lamateria Análisis I del CBC, salvo tal vezque se explicita que no está asegurada laexistencia de supremo e ínfimo en Q. Hayuna decisión tomada de entrar a los realespor la vía del axioma del supremo. El tipode tareas a partir de las cuales se abordala noción de supremo no añade nuevoscontenidos a los vistos en la materia

D2: Y en las aplicaciones de Bolzano tienen muchas dificultades con esto. Aquítienen que aplicar demostraciones, aquí hay que darles, “machacarles”.

A: Yo de eso quería preguntarte especialmente porque, por ejemplo, el 17c seve, pero probarlo da trabajo...

D2: Claro, ellos lo ven con el dibujo, pero cuando pedimos que lo demuestrenusando la definición de límite, eso les cuesta mucho.

A: ¿Les sorprende que hay que demostrar algo que se ve?

D2: Les cuesta... Dicen: “esto es tan evidente, ¿pero cómo lo escribo?” Y tevienen a preguntar “¿así está bien escrito o hace falta más? O te dicen: “dimecuánto quieres que escriba”, o “¿te convence esto?”

A: ¿Y qué esperas por parte de ellos?

D2: Una demostración formal, que usen las definiciones de límite.


Relime

anterior, aunque son algebraicamente unpoco más complicados. No obstante,dichos contenidos forman el contextodonde se despliegan cuestiones y técnicasque sí son nuevas: la pertinencia deacordar qué se demuestra y qué no, elhecho de reducir un problema a un casoanterior, poner en juego la necesidad dedefinir y la conveniencia de contar con unsistema de axiomas como punto departida.

De igual manera, acotar, haceracotaciones intermedias para facilitar lascuentas y las condiciones respecto a lavariable en cuestión, comprender elsentido de poner condiciones para lasvariables, comprender que para probaruna implicación (por ejemplo, la definiciónde límite) se plantea el consecuente y serecortan unas condiciones sobre lavariable a fin de que valga. Aunque todosesos elementos no se desprendenautomáticamente de la resolución de losproblemas, dichas habilidades pueden sertomadas o no; esto depende del grado dereflexión del alumno, del docente, de lasinteracciones entre los alumnos, etc. Enrelación con la completitud, no hayejercicios que hagan necesaria laexplicitación de ese atributo de IR.

Hay un cambio importante en lasexigencias para validar las afirmaciones.El fragmento de la entrevista a un docentesobre algunos ejercicios de la primerapráctica muestra que los alumnos nocomprenden las razones de este cambio,el cual no es evidente en la medida queno se planean nuevas tareas a losalumnos. Las pruebas apoyadas enrepresentaciones o en ciertos supuestos“ingenuos” (por ejemplo, el conjunto IN noestá acotado) ya no son aceptadas comolegítimas porque los docentes esperanmayor formalismo en las demostraciones.Las tareas no están presentadas con

subtareas que las fraccionan; sin embargo,los ejercicios se parecen bastante a los dela materia anterior. Con base en nuestromarco teórico, esas diferencias sonesencialmente contractuales, pues pareceríaque los alumnos asumen estos cambios enlas demostraciones más debido a que eldocente se los exige que por ser algointeresante para ellos, desde el punto de vistamatemático.

El estudio praxeológico nos permite concluirque no hay un cambio significativo con lamateria anterior en términos del tipo detareas. La teoría –que sustenta las técnicasy las tecnologías– es la misma, pero lastécnicas son diferentes porque se exige unavalidación o fundamentación no empírica.Además, hay una estabilidad dada por laaparición de la completitud encapsulada enlos teoremas. En términos del panoramacognitivo, creemos que hay elementos paraubicar a un sujeto que aprueba los ejerciciosprácticos de esta materia en el estado inicial.Un alumno que prepara su examen finalevoluciona en el eje de validación, debido aque usa en forma explícita el axioma paraprobar los teoremas.

6. COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS II

La materia Complementos de Análisis II escomplementaria del curso Análisis II. Sucarga horaria es de cinco horas semanales,dos teóricas y tres prácticas. Los temas delprograma son: números reales como cuerpoordenado completo, sucesiones y series enIR, completación por cortaduras del cuerporacional, definición alternativa del cuerpo IRcon sucesiones de Cauchy racionales,nociones básicas de topología en IRn yfunciones de variación acotada e integral deRiemann-Stieljes.

La primera tarea que deben resolver losalumnos es probar cuatro afirmaciones

54

relacionadas entre sí, a partir de cuatropremisas. Entre los primeros ejercicios,hay por lo menos uno que consiste endemostrar la equivalencia entre ciertosenunciados; otros tienen como objetivoconjeturar propiedades y demostrarlas,muchas de ellas respecto al supremo y alínfimo. Esto marca una diferencia con lasmaterias anteriores en dos sentidos: porun lado, el juego deductivo es tomadocomo objeto de estudio; por otro, lademostración cobra el sentido de validaruna conjetura.

En las clases teóricas se definió a IR comoel conjunto de cortaduras racionales y semostró que así definido cumple tanto elaxioma de supremo como el teorema deencaje de intervalos; asimismo, que todasucesión de Cauchy converge. El supremotiene en esta materia un rol más cercanoal de objeto, en comparación con las dosmaterias anteriores, y cumple la funciónde definir ciertos números (distancias,especialmente). Ahora bien, el rol deobjeto lo identificamos a partir de lamanipulación que se hace de esa nociónen ejercicios que podríamos denominar“aritmética de supremos e ínfimos”:demostrar las relaciones entre sup A e inf Acon sup(-A) e inf(-A), y entre sup (c.A), inf(c.A) y c.supA c.inf A, al igual que encontrary probar la relación entre sup A, sup B ysup (A+B). Hay actividades que demandanhallar supremos y demostrar que lo son,pero se presenta previamente un ejerciciodonde hay que demostrar la equivalenciaentre tres distintas caracterizaciones desupremo. Esto no añade nuevossentidos al supremo, pero sí abre elpanorama de técnicas al momento dedemostrar que tal candidato es elsupremo.

La primera aparición del supremo y delínf imo en la guía, con un usoinstrumental, se da en la segunda

práctica, al definirse tanto la distanciaentre un punto y un conjunto como entredos conjuntos. Un buen manejo operatoriode tales nociones es necesario paraprobar, por ejemplo, la desigualdadtriangular para esas distancias.

Desde el punto de vista del análisispraxeológico, la teoría es la misma que enlas materias anteriores, pero el conjuntode tareas, técnicas y tecnologías esdiferente, ya que el supremo tiene un rolmás cercano al de objeto y se ha instaladoel estilo de justificar formalmente lasafirmaciones. Eso hace que no exista unsoporte en las representaciones sobre larecta.

No hay en esta práctica “aplicaciones” dela completitud, excepto en el caso de unasucesión monótona creciente, mientrasque las tareas, indicadas de maneraescasa, corresponderían al nivelmovilizable, según la categorización deRobert (1998). La aritmética de supremosmarca un terreno de estabilidad, con unnivel diferente de conceptualización delque había en las otras materias, einterpretamos que una ruptura ocurre enel momento en que se util izan lossupremos y los ínfimos para definirdistancias, debido a que se hace explícitoel rol de herramienta de dichas nociones.

Si se toma en cuenta el panoramacognitivo, interpretamos que el tipo detareas planteadas a los alumnos de estamateria favorece la evolución en el eje deinstrumentalidad/objetivación y también enel de disponibilidad técnica.

7. CÁLCULO AVANZADO

Los temas que contempla el programa dela materia Cálculo Avanzado son: númerosreales, cardinalidad, espacios métricos,


Relime

x ∈∩∞n =1In

sucesiones y series en el campo complejo,rudimentos de la teoría de espaciosnormados y diferenciación en espacioseuclideanos; la completitud, ahora deespacios más generales y no sólo de IR,forma parte de los temas a estudiar. Laslimitaciones de un espacio no completo,además de las potencialidades y alcancesde un espacio completo, pueden sercomprendidas y cobran mayor sentido enespacios más generales, como los que seestudian en esta materia.

Referente a los materiales que tenemospara analizar, consisten en las guías detrabajos prácticos del año 2003. El tipo detarea que hay en las prácticas esdemostrar, mostrar, probar, enunciar yprobar, analizar, armar ejemplos que

cumplan tal o cual condición y demostrar laequivalencia entre enunciados; la mayoríacorresponde a un tipo de trabajo bastanteautónomo. Hay dos partes de la práctica enlas que se estudia la completitud: una alcomienzo de la primera práctica, cuandoaparece un ejercicio que trataespecíficamente sobre la completitud de IR,que vamos a analizar a continuación; la otrase da en el estudio de espacios métricoscompletos.

7.1. Enunciados equivalentes sobre lacompletitud

En la primera guía de trabajos prácticos hayun ejercicio que toma a la completitud de IRcomo objeto de estudio. Su enunciado es:

Mostrar que en un cuerpo totalmente ordenado arquimediano son equivalenteslas afirmaciones siguientes:

i) Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergenteii) Toda sucesión de Cauchy es convergenteiii) Si es un encaje de intervalos cuyas longitudes tienden a cero,entonces existe un únicoiv) Todo conjunto acotado superiormente y no vacío tiene supremov) Toda sucesión monótona y acotada tiene límite

(In)n≥1

Las afirmaciones son equivalentes en un cuerpo ordenado arquimediano, en el sentidode que poseen el mismo valor de verdad: si los elementos de un cuerpo ordenadoarquimediano satisfacen una de esas afirmaciones, satisfacen entonces las otras. Si nose añade la hipótesis de arquimedianidad, las afirmaciones dejan de ser equivalentes.Ahora bien, si un cuerpo ordenado satisface además las afirmaciones i), iv) o v), entoncestambién satisface ser arquimediano, mientras que la arquimedianidad no se deduce delas afirmaciones ii) ni iii). De hecho, una adaptación de estas últimas dos caracterizacionessirve también para expresar la completitud de espacios no necesariamente ordenados.

Este ejercicio muestra distintos aspectos de la completitud de IR que, en principio, noparecen ligados entre sí. Asimismo, permite “observar la completitud”, tomarla comoobjeto de estudio y potencialmente hace que los alumnos interpreten que cada uno deesos enunciados son expresiones de la completitud. Lo anterior nos hace ubicar a estamateria en otro nivel de conceptualización respecto a la completitud; empero, eso dependeen cierto modo de la reflexión que se haga sobre este ejercicio. Eventualmente, podría

56

sólo servir para mejorar las técnicas endemostrar, sin que se haga evolucionar alalumno en otros ejes de racionalidad.

También este ejercicio favorece la relaciónde aspectos que habitualmente parecen“estancos”, lo cual posibilita la imbricaciónde herramientas y condiciones que, enprincipio, parecen no estar relacionadasunas con otras.

Resulta interesante hacer lasdemostraciones de todas implicacionesposibles; por ejemplo, ¿qué elementos seponen en juego al tomar como punto departida a cada uno de los enunciados?Partir de i) lleva a armar sucesiones ysubsucesiones convenientes a partir de unencaje o de un conjunto acotado, apreguntarse si una sucesión de Cauchyes una sucesión acotada para poder usarla hipótesis, o si a partir de que unasucesión monótona tiene una subsucesiónconvergente se puede deducir laconvergencia de la sucesión original. Partirde ii) lleva a construir sucesiones osubsucesiones de Cauchy a partir de unasucesión acotada, de un encaje deintervalos, de un conjunto acotado o deuna sucesión monótona y acotada parapoder usar la hipótesis.

Partir de iii) lleva a construir encajesconvenientes en todos los casos. Enalgunos casos tal vez implica pasar poralguno de los otros enunciados; porejemplo, para probar ii) una manera esusar que toda sucesión de Cauchy esacotada, y recurrir al argumento que se

empleó para probar i) a partir de iii), a finde obtener una subsucesión convergentede la sucesión de Cauchy, lo cualconduce a plantear preguntas sobre lassucesiones de Cauchy. Partir de iv) parademostrar v) o iii) implica tomar losconjuntos formados por la sucesiónmonótona o por los extremos inferioreso superiores del encaje, así como susrespectivos supremos e ínfimos, peropara demostrar i) o ii) se requiere de otraconstrucción que no fue utilizada hastaahora, de modo que la existencia desupremo permita construir unasubsucesión convergente11. Partir de v)hace necesario pensar cómo extraersubsucesiones o sucesiones monótonasde una sucesión acotada, de unasucesión de Cauchy, de un encaje deintervalos o de un conjuntosuperiormente acotado.

En todos los casos hay que usar ladefinición de límite como algo necesario,construir una subsucesión tomando conprecisión los subíndices y, de maneramás general, elaborar un objeto quecumpla con ciertas condiciones.

Las situaciones de este tipo hacen quelos alumnos se formulen preguntas queestán en condiciones de abordar y veancomo resultados necesarios a lasdemostraciones que, muchas veces,aparecen como ejercicios recortados enlas guías o en los textos. Por otra parte,la demostración de la equivalencia entreenunciados es un ejercicio interesanteporque no pone al alumno a “adivinar” el

11 En efecto, tomar el supremo al rango de la sucesión no sirve para encontrar una subsucesión convergente. Es

interesante “ sacarse de encima” los términos de la sucesión que son puntos aislados; de hecho, nos interesa “pescar”

algún punto de acumulación. Una construcción posible es considerar los conjuntos y sus respectivos

supremos , que existen por hipótesis. Esos supremos forman una sucesión decreciente debido a la relación de

inclusión de los conjuntos ; el rango de esa sucesión es un conjunto inferiormente acotado, tiene un ínfimo x y no

resulta difícil mostrar que . Se construye una subsucesión de , de modo que cada difiera en menos

de 1/k de cada . Esa subsucesión converge a x.

(an)

Ak = an,n≥ k{ }αk

Ak

x = límk→∞αk ank anank

αk


Relime

teorema que debe usar (eso forma partede los datos), sino generar lascondiciones para poder usar en cada casola hipótesis12. En relación con el panoramacognitivo, este tipo de tarea favorece uncrecimiento en los ejes de disponibilidadtécnica y flexibilidad, pero su concreciónno necesariamente conduce a evolucionaren los otros ejes.

7.2. Espacios métricos completos

En esta materia se define la completitud deun espacio métrico mediante laconvergencia de sus sucesiones de Cauchy.La práctica de Espacios métricos contieneuna sección titulada Completitud, cuyossiete ejercicios abarcan tres aspectos:“poner a punto” un cierto manejo de lassucesiones de Cauchy; hacer explícitasciertas propiedades y la caracterización delos espacios completos, y mostrar quealgunos espacios en particular son espacioscompletos. Uno de los ejercicios delsegundo grupo consiste en demostrar quela completitud es equivalente a que valga elteorema de Cantor. Las técnicas son lasmismas que en el ejercicio analizado en 7.1;para ambas implicaciones hay que construirun encaje conveniente y una sucesión deCauchy para poder usar las hipótesis.

Hasta que los alumnos no apliquen esosespacios para hacer otras cosas (comodesarrollar tópicos de análisis), los alcancesde la completitud o las limitaciones de unespacio no completo no se pondrán demanifiesto. Tras desarrollar la teoría deespacios métricos, en esta materia se tratantemas de análisis en IRn, con lo que losespacios más generales no se “usan” comodominio de trabajo. Es en materiasposteriores (por ejemplo, Análisis Funcional)donde tal vez se empleen los atributos de

12

un espacio completo para desarrollar ciertostópicos de Análisis.

El estudio de la completitud de espacios másgenerales puede llevar a un sujeto –aunqueno necesariamente– a evolucionar en el ejede disponibilidad técnica, en el sentido queha sido señalado en el panorama cognitivo:observar la completitud de IR desde unaposición más general, tomando conscienciade que algunas formas con las que seexpresa la completitud se generalizan,mientras otras ponen en juego propiedadesespecíficas de IR, sobre todo las ligadas alhecho de ser ordenado. No va de suyo queel estudio de espacios métricos generales yel del teorema de completación favorezca laevolución del eje de posición frente a lasconstrucciones, siendo posible que se limitea hacer crecer solamente los aspectos mástécnicos.

En la siguiente sección haremos una miradaglobal al conjunto de tareas relacionadas conla completitud.

8. ORGANIZACIÓN MATEMÁTICAALREDEDOR DE LA COMPLETITUD

Ya mencionamos en la sección 1 queChevallard se refiere a la organizaciónmatemática como un conjunto organizado,estructurado de praxeologías. En el siguientecuadro sintetizamos la organizaciónmatemática alrededor de la completitud, conuna columna para tareas, una para técnicas,una para tecnologías, una para teorías y unaen la que señalamos los ejes del panoramacognitivo que cada problema contribuyepotencialmente a hacer evolucionar. Losdistintos tonos de sombreado correspondena los cuatro diferentes cursos.

Esta consideración nos parece interesante para un docente porque permite identificar qué tipo de habilidad se evalúa.

58

TAREAS

Representarconjuntosen la recta

Demostrarirracionalidad deciertos números

Determinarsupremos e

ínfimos de ciertossubconjuntos de

IR

Hallar el límite desucesiones

monótonas yacotadas

Asegurar laexistencia desoluciones de

ciertasecuaciones vía el

teorema deBolzano

Mostrar queciertos conjuntosno son acotados(en Análisis I del

CBC)

TÉCNICAS

Dibujar un origen,una unidad demedida, medir

Suponer quepueden escribirsecomo fracción y

llegar a unacontradiccion13

Representar elconjunto, por

extensión, ya seaen un dibujo o

mentalmente, yestimar los valores

de supremo eínfimo14

Checar lashipótesis y usar el

teorema


teorema

Representarlo, over que contiene a

los naturales

TECNOLOGÍAS

Teniendo el origen yuna unidad de

medida se puedenrepresentar losnúmeros realessobre la recta

Demostrar por elabsurdo

La definición deínfimo como cota

inferior máxima y lade supremo como

cota superiormínima

El teorema queasegura en IR la

existencia de límitede sucesionesmonótonas y

acotadas

El teorema deBolzano

TEORÍAS

La existenciade supremo e

ínfimo desubconjuntosno vacíos yacotados

Análisismatemático enuna variable

real

Análisismatemático en

una variablereal

Análisismatemático en

una variablereal

RELACIÓN CON ELPANORAMA COGNITIVO

Corresponde al estadoinicial

Corresponde al estadoinicial; potencialmentehace evolucionar el eje

de validación


Corresponde al estadoinicial; potencialmentehace evolucionar losejes de disponibilidadtécnica y de validación



En este caso puede realizarse por la elección que se ha hecho de los números irracionales (no podría usarse la

misma técnica si el número elegido fuera ).

En este caso puede realizarse porque los supremos e ínfimos en cuestión son todos números enteros salvo uno, que

da .

13

14

π

12


Relime

Mostrar queciertos conjuntosno son acotados(en Análisis I de

Exactas)

Determinarsupremos e

ínfimos de ciertossubconjuntos y

demostrar que loson (la mayoríason el rango deuna sucesión,

salvo un conjuntodiscreto)

Analizar laexistencia de

límite desucesiones

monótonas yacotadas (no

necesariamentehallarlo)

Demostrar quecierto conjunto de

racionales notiene máximo nisupremo en Q

Demostrar que si es

continua y verifica

yentonces f debeser suryectiva (y

similares)

Demostrar lasrelaciones entresup A e inf A con

sup(-A) e inf(-A), yentre sup (c.A), inf(c.A) y c.supA c.inf

A, encontrar yprobar la relaciónentre sup A, sup B

y sup (A+B)

Demostrarlomediante la vía desuponer que hay

una cota y mostrarque no lo es

Conjeturar losnúmeros pedidos,

analizando laexistencia delímites en la

mayoría de loscasos, o si la

sucesión se vuelvemonótona a partirde cierto término,

comparando con elvalor de los

primeros términos


teorema

Hay variastécnicas posibles:están descritas en

la sección 4 deeste capítulo

Ver que se está enlas condiciones del

teorema deBolzano

Acotar y usar lasdefiniciones desupremo y de

ínfimo

* La necesidad desalir de lo empírico* La propiedad de

Arquímedes

Las sucesionesmonótonas y

acotadas convergenal supremo o al

ínfimo

Existe el límite desucesiones

monótonas yacotadas

El teorema deBolzano y la

definición de límitede una función

cuando la variabletiende al infinito

La definición de losconjuntos A, c.A y la

de supremo


real


real


real


real


real


real

Potencialmente haceevolucionar los ejes dedisponibilidad técnica y

validación

Potencialmente, haceevolucionar los ejes

instrumentalidad/objetivación,

disponibilidad técnica yvalidación

Potencialmente haceevolucionar los ejes de

instrumentalidad/objetivación y

disponibilidad técnica


instrumentalidad /objetivación, validacióny disponibilidad técnica


instrumentalidad/objetivación , validacióny disponibilidad técnica


validación

f :IR → IR

límx→ +∞ f (x) = +∞límx→ -∞ f (x) = −∞

60

Demostrar laequivalencia

entre las distintascaracterizaciones

del supremo15

Demostrar que ladistancia entre un y

queda biendefinida por

Demostrar laequivalencia

entre distintasmaneras de

definir lacompletitud de uncuerpo ordenado

arquimediano

Demostrar quetodo subespaciocompleto de unespacio métrico

es cerrado

Demostrar quetodo subconjunto

cerrado de unespacio métricocompleto es un

subespaciocompleto

Probar que lacompletitud

(definida por víade las sucesionesde Cauchy) en unespacio métricoes equivalente ala propiedad de

Cantor (todo

Acotar y demostrarpor el absurdo

Están descritas enla sección 6;

esencialmente, latécnica es

construir un objetode modo tal que

sea posible usar lahipótesis en cada

caso

Tomar unasucesión del

subespacio queconverge y usarque es completo

para afirmar que ellímite está en el

subespacio

Tomar unasucesión deCauchy, que

converge por sercompleto el

espacio, y usarque es cerradopara ver que ellímite está en el

subespacio

Tomar un encaje,construir a partirdel mismo una

sucesión deCauchy y usar sulímite para probarla propiedad de

Cantor.Análogamente,

Las definiciones y laequivalencia entre

enunciados

La demostración dela equivalencia

entre enunciados

La definición decompletitud vía las

sucesiones deCauchy, y la de

conjunto cerradopor sucesiones

La definición decompletitud vía las

sucesiones deCauchy, y la de

conjunto cerradopor sucesiones

Equivalencia entreenunciados, ladefinición de

espacio métricocompleto, la

construcción de unencaje


real


real


real

Espaciosmétricos

Espaciosmétricos

Espaciosmétricos


validación


instrumentalidad /objetivación, validación

y necesidad

Potencialmente haceevolucionar los ejes dedisponibilidad técnica,

instrumentalidad /objetivación, validación

y flexibilidad


instrumentalidad/objetivación y validación


instrumentalidad /objetivación y validación


instrumentalidad,validación y flexibilidad

x ∈IRn A ⊆ IRn

d(x, A) = inf d x,y( ),y ∈A{ }

15 El enunciado de este ejercicio está en el Anexo IV.3.


Relime

tomar unasucesión de

Cauchy y armar apartir de la misma

un encaje cuyaintersección

permite demostrarque la sucesión

converge

Tomar unasucesión deCauchy en el

espacio, buscar uncandidato a límitey probar que lo es

La definición deespacio completo y

de sucesión deCauchy aplicada alcaso que el espaciosea un espacio de

funciones

Espaciosmétricos

Potencialmente haceevolucionar el eje dedisponibilidad técnica

encaje decerrados con

diámetrotendiendo a cero

tiene un únicopunto en suintersección)

Probar queciertos espacios

métricos soncompletos

(espacio defunciones

acotadas realessobre un e.m,

espacio defuncionescontinuas

definidas en unintervalo real

cerrado, con ladistancia sup)

9. SÍNTESIS Y CONCLUSIONES

Lo que hemos analizado a lo largo de esteartículo nos permite afirmar que, en las dosprimeras materias estudiadas, lacompletitud vive encapsulada en teoremasfuertes –criterios de convergencia desucesiones, el teorema de Bolzano– cuyautilización hace que los alumnos no sevean confrontados con la completitud comoproblema. Un atributo de la completitud endichas materias es la existencia desupremo, que hace su aparición en funciónde describir mejor los subconjuntos y noen situaciones de definir ciertos números,quedando así reducido su aspectoinstrumental. Esa tarea, que para suresolución muchas veces se apoya en larepresentación en la recta, para nosotrosconstituye un primer nivel de estabilidadalrededor de esta noción, el cual fue

identificado con el estado inicial delpanorama cognitivo descrito en la sección2.

Un poco más adelante se presentan comoobjeto de estudio ciertos elementos ligadosa la completitud y a la construcción de undominio completo, como cortaduras,encajes de intervalos y sucesiones deCauchy. En particular, las prácticas de lamateria Complementos de Análisis IIcontienen tareas destinadas a hacerefectiva una cierta manipulación delsupremo, mediante la equivalencia entresus caracterizaciones y la aritmética desupremos. Esto no necesariamente leagrega sentido a esa noción, ni a lacompletitud de IR, pero prepara el terrenopara un uso que tal vez constituye una

62

ruptura con respecto a los usos anteriores,que atañían a definir distancias. Probar laequivalencia entre los distintos enunciadosde la completitud de IR (una de las primerastareas que deben llevar a cabo los alumnosde Cálculo Avanzado) abre la posibilidadde relacionar e imbricar distintos atributosde la completitud y comprender ciertascaracterísticas de un dominio completo,además de otorgar un entrenamiento enprobar resultados equivalentes contécnicas similares, en el caso de espaciosmás generales.

El siguiente cuadro de doble entradamuestra para cada materia, en términoscuantitativos, la proporción de tareas queaportan potencialmente a hacerevolucionar cada eje del panoramacognitivo. Los denominadores de lasfracciones representan la cantidad detareas de cada materia. Por ejemplo, el2/5 en el cuadro correspondiente a cálculoavanzado y flexibilidad expresa que 2 de 5tareas de Cálculo Avanzado hacenpotencialmente evolucionar el eje deflexibilidad.

Análisis CBC

Análisis I Ex.

C. Análisis II

Cálculo Av.

E.I.

5/6 0,83

0

0

0

≈D.T.

1/6 0,16

5/5

2/3 0,66

4/5 0,80

≈

≈≈

I./O.

0

4/5 0,80

1/3 0,33

3/5 0,60

≈≈

≈

N.

0

0

1/3 0,33

0

≈

V.y F.

2/6 0,33

4/5 0,80

3/3

4/5 0,80

≈≈

≈

F.

0

0

0

2/5 0,40≈

P.

0

0

0

0

E I : Estado InicialDT: Disponibilidad técnicaI/O: Instrumentalidad/objetivaciónN: Necesidad

V y F: Validación y fundamentaciónF: FlexibilidadP: Posición frente a las construcciones

Una primera rápida lectura del cuadro indica que tres ejes quedan débiles desde laoferta de la institución: necesidad, flexibilidad y posición frente a las construcciones.El eje de flexibilidad requiere de mucha disponibilidad técnica, lo cual restringe susposibilidades a una sola materia, que es la de Cálculo Avanzado; de ese modo nosexplicamos su baja aparición en el cuadro. Las proporciones correspondientes a losotros ejes muestran que esas cuestiones no son tomadas a cargo por la institución.

Hacemos la siguiente interpretación sobre el tratamiento que tiene la noción decompletitud en las cuatro materias. Aunque se ponen de relevancia nuevos aspectosdel mismo objeto con distinto tratamiento, que responde a nuevas preguntas cadavez, éstas no se explicitan en la oferta institucional y los alumnos no entienden porquéni para qué tienen que lidiar con estas demostraciones y propiedades sobre objetosque les resultan conocidos, habida cuenta de los tratamientos anteriores, queresultaban suficientes. Tal vez el fracaso en el pasaje del Cálculo al Análisis puedaexplicarse porque los alumnos no se plantean espontáneamente las nuevas preguntasque, por otro lado, son difíciles de elaborar. En ese sentido, la institución tiene unaposición privilegiada, que no está explotando al máximo nivel.


Relime

10. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Analía Bergé

Research Assistant ProfessorMathematics & StatisticsConcordia UniversityMontreal, Canada

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análisis institucional a propósito de la noción de ... · a los términos primitivos de la...

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