análisis estructural de una estructura elíptica para cubierta

UNIVERSIDAD NACIONAL

“JORGE BASADRE GROHMANN”

FACULTAD DE INGENIERÍA ARQUIECTURA Y GEOLOGÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE UNA ESTRUCTURA ELÍPTICA PARA CUBIERTA

CURSO : Análisis Estructural II

DOCENTE : Ing. Edgar Chura Arocutipa

ESTUDIANTE : Sumari Tellez, Marco Aarón

CÓDIGO : 07-31083

AÑO : Cuarto

TACNA – PERÚ

2012

“UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN” FIAG-ESIC

ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE UNA ESTRUCTURA ELÍPTICA 1

INTRODUCCIÓN

La utilización de superficies de revolución no tiene límites, y ha dado lugar a

formas muy distintas a la de la cúpula, como puedan ser el hiperboloide o las

cúpulas de planta elíptica.

En este espacio de tres dimensiones que la providencia ha deparado a la

humanidad, no puede esta prescindir de ellas para sus construcciones." Es en

esta idea en la que se basa mi trabajo. Por norma general, actualmente la

preparación técnica referente a los tipos estructurales se limita a considerar

solamente una dimensión, y en algún caso dos, pero en ningún caso se

entiende la estructura como un conjunto de tres dimensiones.

Las formas de revolución generadas por estructuras laminares son los

elementos más simples y logrados del arte arquitectónico clásico. Es la

solución más natural, más sencilla y, a su vez, más cargada de sentido técnico

para cubrir un área sin soportes intermedios con el mínimo material, de manera

que definamos sin apenas intención, el volumen que estamos buscando. As

pues, la motivación principal de este texto es presentar las herramientas

basicas para entender el funcionamiento de este tipo de estructuras y que el

lector pueda diseñarlas sin ningún tipo de problemas.



ANÁLISIS DE UNA ESTRUCTURA ELÍPTICA

I. OBJETIVOS: Realizar el análisis estructural de una estructura elíptica, usando

el reglamento y respetando las normas.

Aplicar para el análisis, el método de elementos finitos para el

cálculo de la estructura elíptica.

Utilizar algún software para análisis estructural de la estructura

elíptica.

II. CONCEPTOS BÁSICOS

1.1) ELIPSE

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la

superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con

ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide

achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje

principal genera un esferoide alargado.

ELEMENTOS DE LA ELIPSE

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes

perpendiculares entre sí:

• El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y

• El semieje menor (el segmento C-b de la figura).



PUNTOS DE UNA ELIPSE

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y

F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto

P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del

diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).

1.2) ELIPSOIDE

La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:

Donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x, y, z; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera.

1.3) CÚPULA

Superficie de revolución generada a partir de una línea curva llamada

meridiano. Las cúpulas permiten cubrir una gran superficie sin ningún

apoyo intermedio.

Estas láminas pueden adoptar distintas formas según su método

constructivo, variando en función

De la forma de planta y el perfil de acuerdo a la cónica utilizada. Así

pues tenemos entre otras, cúpulas semiesféricas, semielipsoides de

planta circular o elipsoides de planta elíptica.

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reales

http://es.wikipedia.org/wiki/Esferoide

http://es.wikipedia.org/wiki/Esfera



Las cúpulas se caracterizan por trabajar a compresión en la totalidad

de la superficie como si de un arco se tratara. En el caso en que el

apoyo no sea tangencial al meridiano, se generara una reacción

horizontal que deberemos intentar resistir con algún refuerzo

perimetral tipo anillo rigidizado.

1.4) COMPORTAMIENTO DE UNA CÚPULA ELÍPTICA

La mayoría de las cúpulas son circulares, aunque hay algunos

ejemplos elípticos. Todas se deben diseñar para resistir los empujes

laterales; de otro modo se expandirían y esto produciría tensión

perimetral. Las cúpulas elípticas se definen por la rotación de media

elipse alrededor de su eje vertical; su comportamiento no es tan

eficiente como el de una cúpula esférica, pues la parte superior de la

cáscara es más plana y la disminución de curvatura introduce

mayores tensiones.

Los domos elípticos, los cuales son relativamente más planos en la

parte superior que en la inferior, acentúan la tendencia al pandeo

hacia arriba en la región más baja y, por consiguiente, dependen aún

más de la tensión de los aros para la estabilidad. Por el contrario, los

domos parabólicos, los cuales están muy curvados en la parte

superior y poco curvados en la inferior, son casi funiculares, tienen

menos tendencia al pandeo y producen menos tensión en los aros.

En los domos altos la resistencia de los aros a la tensión del

cascarón por sí mismo normalmente es suficiente. Pero en los a

domos de poca altura es común crear un anillo de tensión

incrementando el espesor de su base.



III. FUNCIONAMIENTO ESTRUCTURAL DE UNA

CÚPULA ELÍPTICA

El mecanismo resistente de las cúpulas tiene una particularidad que las

hace superar ampliamente la capacidad estructural de los arcos. Cada

meridiano se comporta como si fuera un arco funicular de las cargas

aplicadas, es decir, resiste las cargas sin desarrollar tensiones de flexión

para cualquier sistema de cargas.

La dirección esférica da tracciones en los paralelos de riñones, y la

dirección rebajada da tracciones en el anillo extremo, por lo que requiere

estribos muy fuertes.

La cúpula posee unos paralelos que restringen su desplazamiento lateral

desarrollando tensiones en anillo y haciendo posible un comportamiento

de membrana. En una cúpula rebajada, con un ángulo inferior a 52º, los

meridianos se deforman hacia dentro, hacia el eje de la cúpula, y los

paralelos transversales a los mismos se comprimen tratando de

impedirlo.

Cuando la cúpula es de gran altura, bajo la acción de las cargas los

puntos más altos se mueven hacia dentro, pero los más bajos lo hacen

hacia fuera, es decir, alejándose del eje: los paralelos por debajo del

ángulo de 52º quedan sometidos a esfuerzos de tracción.

Para que todo esto tenga lugar y la cúpula solo posea esfuerzos propios

de membrana los bordes han de poder experimentar libre movimiento

horizontal en sus apoyos. En caso de que fuera empotrada se



presentarían unas pequeñas flexiones en los arranques que la propia

cúpula amortigua muy rápidamente.

La cúpula puede imaginarse como unos gajos o arcos meridianos cuya

flexión está impedida por los anillos o paralelos horizontales. En las

zonas en las que los gajos quieren hundirse hacia dentro, los paralelos

se lo impiden trabajando en compresión, y donde los gajos quieren

abrirse, el paralelo ha de evitarlo resistiendo en tracción.

Las deformaciones de la lámina ya no son lo suficientemente pequeñas

para poder prescindir de ellas, ya que la obligada continuidad entre su

superficie y el anillo exterior provoca una flexión de los meridianos. El

anillo de borde, bajo las componentes radiales, sufre una dilatación,

mientras la lámina, para seguir este movimiento, necesitará deformar

sus meridianos, para amoldarse a la nueva dimensión del anillo. La

banda continua es la que más flexiones sufre, además de las tracciones

que produce la dilatación circunferencial, que tiende a producir, en esa

zona periférica, grietas radiales. El postensado del anillo es una

aportación ideal de las técnicas a este problema, permitiendo suprimir o

disminuir considerablemente la flexión meridiana.

La retracción del hormigón produce efectos análogos. En cúpulas de

espesor muy pequeño, puede llegar a tener importancia la desigualdad

de temperaturas, del trasdós al intradós. Más graves suelen ser los

efectos de desigual calentamiento de una zona a otra, o de la actuación

de sobrecargas repartidas desigualmente.

Revolución de N´ y N´ a lo largo de” ”.

Como ya conocemos, la ecuación de la elipse para coordenadas cartesianas es:



Donde a es el radio mayor, b el menor y x corresponde a r0 radio del circulo paralelo.

Entonces

Con el mismo planteamiento encontraríamos

Así pues, los dos principales radios de curvatura son:

En este caso concreto trabajaremos con y

y por lo tanto ∫

Donde la hemos encontrado

antes y :

Entonces:

Vamos a llamar C a la parte contenida entre paréntesis y por lo tanto:



Los valores de los esfuerzos de membrana pueden obtenerse a partir de la ecuación.

Ahora usando las relaciones obtenidas en la ecuación obtendremos:

Para tratar de simplificar la ecuación obtenida llamaremos Q a:

Por lo que hace a N´ sabemos que:

Y por lo tanto usando la ecuación anterior podemos llegar a:

Ahora ya podemos determinar los esfuerzos de membrana de una cúpula elíptica.



IV. MODELAMIENTO DE UNA CÚPULA ELÍPTICA

Para cada caso concreto recurriremos a un modelo espacial de barras

con el que analizamos la influencia de las tracciones eliminado las zonas

en tracción y estudiando como progresa la fisuración de la cúpula para

establecer un modo de cálculo en rotura. En estos modelos podemos ver

las líneas de presiones en los meridianos y las excentricidades

provocadas por la flexión. Además nos servirán para analizar la

deformación de las cúpulas.

Estos modelos son un paso previo al modo de cálculo menos erróneo

que es el método de los elementos finitos con uso de elementos que

iterativamente eliminen las elementos en tracción. Este método resulta

aún hoy en día poco accesible y en vías de desarrollo en centros

universitarios especializados en métodos numéricos.

CÚPULAS DE PLANTA ELÍPTICA

Comienza definiendo una cúpula engendrada por la revolución de un

arco de elipse alrededor del eje horizontal corto, esto nos da un corte en

arco circular según el eje largo y un corte elíptico que peraltado, el

resultado es una buena solución para obra de fábrica, usada en la

Catedral de Murcia.



En el presente trabajo se analizará una estructura elíptica para

cubierta de un almacén por el método matricial de los elementos

finitos, con los siguientes datos generales:

Diámetro Mayor: 10.00 metros

Diámetro Menor: 8.00 metros

Espesor de la Cúpula: 10 centímetros de longitud

Resistencia del Concreto: F'c = 210 Kg/cm2 a los 28 días. Es del Concreto: De acuerdo a ACI 350M-01 sección 8.5.1

=15000√(f'c) = 218819.79 Kg/cm2. Fy del acero: 4200 Kg/cm2.

Normativa usada: Se Tomarán las consideraciones indicadas en el

capítulo 19: Cáscaras y losas Plegadas del ACI 318M-08.



Modelamiento por triángulos para analizar por el método de elementos finitos.

CÁLCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

Con las formulas GENERALES:

Donde la matriz B de deformación unitaria – desplazamientos de elemento, de

dimensiones (4 x 6) está dada por:

[

]

La matriz K del elemento de (4 x 4) viene dada de le siguiente forma:

[

]

Donde la matriz del elemento KG está dado por



V. MEMORIA DE CÁLCULO

análisis estructural de una estructura elíptica para cubierta

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