analisis de respuesta transitoria 2

5/12/2018 Analisis de Respuesta Transitoria 2 - slidepdf.com

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1.- Introducción al análisis temporalComo primer paso del análisis de un sistema de control siempre es necesario calcular un modelomatemático del mismo. Deberemos tener en cuenta que en la práctica no conoceremos la señal deentrada al sistema de control, que por lo general será aleatoria.

La respuesta temporal es la evolución en el tiempo de un sistema cuando se le introduce una entrada.Está formada por dos componentes:

• Respuesta transitoria: es la que va desde el estado inicial hasta el final.

• Respuesta estacionaria: es la forma en la que la salida se comporta cuando t tiende a infinito.

A la hora de analizar y diseñar sistemas de control hay que tener una base de comparación delfuncionamiento de los diversos sistemas. Para ello estableceremos como señales estándar de estudiolas siguientes funciones:

• Impulso.

• Escalón.

• Rampa.

Para el análisis del sistema, deberemos determinar la forma de las señales de entrada más frecuentes, para así saber cuál de estas funciones de prueba usar. Por ejemplo, si las entradas a un sistema sonfunciones gradualmente variables en el tiempo, una función rampa puede ser una buena función de prueba; sin embargo, si el sistema está sometido a perturbaciones bruscas, en este caso, sería mejor usar una función escalón.

Para el diseño del sistema, se debe poder predecir el comportamiento dinámico del sistema, cuyacaracterística más importante es la estabilidad absoluta.

Un sistema está en equilibrio, si en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida semantiene constante.

Un sistema de control lineal invariante es estable, si finalmente la salida retorna a un estado deequilibrio cuando el sistema es sometido a una perturbación.

Un sistema de control lineal invariante es inestable, si la salida oscila indefinidamente o si la salidadiverge sin límite de su estado de equilibrio cuando sometemos al sistema a una perturbación.

Los sistemas reales de control involucran componentes de retardo que no permiten a la salida seguir inmediatamente las variaciones de la entrada. Es, por tanto, frecuente una respuesta transitoria conoscilaciones amortiguadas antes de alcanzar un estado de equilibrio. Una vez llegado al estadoestacionario, si la salida no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error estacionario. Este error indica la exactitud del sistema.

La forma más directa de encontrar la respuesta de un sistema a una señal dada es resolver laecuación diferencial que expresa el comportamiento dinámico del sistema:



La solución general de esta ecuación tiene dos partes: una es la solución a la ecuación homogénea(que es la respuesta propia del sistema independientemente de la entrada), la otra parte es unasolución particular correspondiente a las condiciones iniciales (y p(t) dependiente de la entrada).

Esta solución general depende de la naturaleza del sistema, así como de las condiciones iniciales, pero es independiente de la señal de entrada.

Tomando transformadas de Laplace, llegamos a la siguiente expresión polinómica:

P(s) es un polinomio debido a las condiciones iniciales del sistema.

La función G(s) es la función de transferencia del sistema. La ecuación característica se obtieneigualando a cero el denominador de la función de transferencia (D(s)). La respuesta temporal seobtiene tomando antitransformadas de la ecuación anterior:

De aquí podemos observar que existe una respuesta debida a la entrada, pero que también existe otrarespuesta que es independiente de la entrada y debida a las características propias del sistema:

Respuesta debida a la entrada:

Respuesta complementaria del sistema:

2.- Respuesta transitoria2.1.- Definición de las entradas normalizadasAunque ya las definimos en su momento, veámoslas de nuevo:

1.- Impulso unitario:



u(t)=1 para t=0; suponiendo condiciones iniciales nulas.

La transformada de Laplace para la función impulso unidad es la unidad. Entonces latransformada de Laplace de la salida es:

Y(s)=G(s) →y(t)=g(t), que es la función de respuesta impulsiva.

2.- Escalón:

u(t)=1 para t≥ 0

Su transformada de Laplace es .

3.- Rampa unitaria:

u(t)=t para t>0; con condiciones iniciales nulas.

Su transformada de Laplace es:

2.2.- Respuesta de un sistema de 1er orden a las entradas normalizadasSe conoce como sistema lineal invariante de primer orden a aquél sistema que en régimendinámico es definido por una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes de ordenuno.

Aplicando transformadas de Laplace:



Suponiendo condiciones iniciales nulas (y(0)=0), el término b/a es la ganancia estática delsistema. El término 1/a representa a su vez la constante de tiempo del sistema:

a) Respuesta al impulso unitario:

Para una entrada impulso δ (t), la salida del sistema va a ser:

Gráficamente, la respuesta del sistema será como la siguiente:

Donde la ganancia del sistema es A, para un sistema A·δ (t) en general.

Otra forma de calcular la constante de tiempo T, ante una entrada impulso es hallando la pendiente de y(t) para t=0:

La ecuación de la tangente a la curva en t=0 es:

La intersección de la tangente con el eje de tiempos se produce en el instante t=T, con lo cual podemos obtener el valor de la constante de tiempo del sistema igualando la función anterior a cero.

b) Respuesta al escalón unitario:



La transformada de Laplace para la función 1(s) es:

La salida del sistema va a ser en este caso:

La transición de la salida es exponencial desde cero (valor inicial de la entrada) hasta uno(valor final de la entrada). Se puede apreciar como característica de una respuesta de estetipo que el valor de y(t) para t=T es siempre y(t)=0.632, lo que significa un 63.2% del valor final:

T recibe el nombre de constante de tiempo del sistema, ya que cuanto menor sea ésta, másrápida será la respuesta del sistema (la salida sigue más rápidamente a las variaciones de laentrada). Otra característica importante es que la pendiente de la tangente en t=0 es 1/T:

La fidelidad con la que sigue la salida a la entrada en el estacionario viene definida por ladiferencia entre la salida y la entrada, que recibe el nombre de error del sistema.

Sin embargo, si el sistema tiene una ganancia A, el error en el estacionario no es nulo, esdecir, la salida no toma el valor exacto de la entrada.

c) Respuesta a la rampa unitaria:

La transformada de Laplace de la función rampa unitaria es 1/s2. La salida del sistema es:



En cuanto al error estacionario, podemos decir que el sistema sigue a la entrada pero siemprecon un error constante:

El error es aún mayor si el sistema tiene una ganancia A:

Nota: El estudio anterior se ha realizado tomando condiciones iniciales nulas.

A continuación veremos brevemente qué ocurre si las condiciones iniciales ya no son nulas.La transformada para una ecuación diferencial cuyas condiciones iniciales son y(0), es

.

La solución para un sistema con ganancia A ya no va a ser igual que la vista, sino:

Si introducimos una entrada escalón 1(s), la salida es:



Vemos que el primer término depende de las condiciones iniciales, mientras que el otro novaría. Podemos considerar entonces que la salida está compuesta por dos componentes: unatransitoria, que se anula cuando t → ∞ pero que gobierna al sistema con t próximo a cero, yotra parte estacionaria, que es la que perdura en el tiempo.

Como resumen:

Entrada (t≥ 0) Salida (t≥ 0)

r(t) = rampa unitaria y(t)=t-T+T·e-t/T

1(t) = escalón unitario y(t)=1- e-t/T

δ (t) = impulso unitario y(t)= T-1 e-t/T

Comparando, podemos observar que si δ (t) es la derivada de 1(t), y ésta a su vez es laderivada de r(t), las salidas también cumplen esta relación. Esta característica sólo se cumpleen sistemas lineales invariantes en el tiempo. Los sistemas variables y los no son lineales nolo cumplen.

2.3.- Respuesta de un sistema de 2º orden a las entradas normalizadasSe conoce como sistema lineal invariante de segundo orden a aquél sistema que en régimendinámico es definido por una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes desegundo orden. Es decir, su comportamiento dinámico está determinado por la siguiente

ecuación:

Si llamamos:

Y suponiendo condiciones iniciales no nulas, nos quedará tras aplicar transformadas deLaplace:



Si las condiciones iniciales son nulas:

Los sistemas de 2º orden tienen normalmente como función de transferencia:

Definiremos wn como la frecuencia natural del sistema, medida en rad/seg, ξ como el

coeficiente de amortiguamiento y k la ganancia del sistema.Tomando como ganancia 1, las raíces de la ecuación característica son:

Vamos a determinar el lugar geométrico de las raíces del polinomio característico de unsistema de segundo orden. Para ello mantendremos la frecuencia natural constante yvariaremos el coeficiente de amortiguamiento:

Los sistemas de segundo orden se pueden clasificar según los polos del sistema, es decir, lasraíces de la ecuación característica en:

1. Sobreamortiguado: Si ξ 2-1>0 ⇒ ξ >1



Los dos polos son reales distintos. Las raíces del sistema están sobre el eje real negativo, y

tienen valor: . Si aumentamos progresivamente el valor deξ , una raíz se desplaza hacia el origen mientras que la otra se mueve hacia -∞ .

2. Críticamente amortiguado: Si ξ 2-1=0 ⇒ ξ =1

Los dos polos son reales e iguales a: . También se encuentran ambas sobre eleje real negativo.

3. Subamortiguado: Si ξ 2-1<0 ⇒0<ξ <1

Los dos polos son complejos conjugados. Sus valores son:. Se desplazan por la circunferencia de radio wn y centro el origen a medida que ξ varía.

4. Oscilante: Si ξ 2-1<0 ⇒ ξ =0

Los dos polos son imaginarios puros conjugados:

a) Respuesta al impulso unitario:

La salida del sistema para una entrada impulso unitario va a ser:

Ya que la transformada de Laplace de una entrada impulso unitario es U(s)=1.

Se nos plantean tres posibilidades, dependiendo del valor de ξ :

• 0<ξ <1

• ξ =1

• ξ <1



Para amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento, la respuesta al impulso unitariosiempre es positiva o cero. Para el caso subamortiguado la respuesta oscila alrededor delcero, tomando valores positivos y negativos.

El máximo sobreimpulso para la respuesta del sistema amortiguado al impulso unitarioocurre en el instante:

El máximo sobreimpulso tiene como valor:

b) Respuesta al escalón unitario:

Dedicaremos a este apartado un análisis más extenso debido a que es el caso más habitual.

Según el valor de ξ se nos vuelven a plantear varias situaciones:

• Sin amortiguamiento, ξ =0: la función de transferencia es:

La salida, en este caso, va a ser:

Gráficamente, vemos que la respuesta oscila con una frecuencia wn. El sistema escríticamente estable.

• Sistema subamortiguado, 0<ξ <1: El sistema tiene una frecuencia propia de oscilación:

Llamada también frecuencia natural amortiguada.



La salida del sistema para una entrada escalón unitario es:

Existe una oscilación transitoria de frecuencia wd, que varía con el amortiguamiento ξ .Cuando ξ aumenta, la amplitud disminuye y la frecuencia de oscilación también. Unsistema poco amortiguado nos da una respuesta rápida, pero con mayor oscilación; cuanto

más amortiguado esté, menos oscilación tendrá, pero también será más lento.

La función error presenta una oscilación sinusoidal amortiguada, que en el régimenestacionario (t→ ∞ ) no hay error entre la entrada y la salida. El máximo error se produce enla primera oscilación, se le llama rebase y ocurre en el instante:

• Amortiguamiento crítico, ξ = 1: El sistema tiene dos polos iguales. Por tanto, la salida es:

• Sistema sobreamortiguado, ξ >1: El sistema presenta dos polos que son negativos reales ydistintos.



La salida, en este caso, será:

La respuesta y(t) tiene dos términos de caída exponencial. Cuando ξ >> 1, uno de los dos

términos exponenciales decrece mucho más rápidamente que el otro, de modo que laexponencial más rápida (que se corresponde a una constante de tiempo más pequeña) puedeser despreciable. Esto quiere decir que si el polo s2 está mucho más cerca del eje imaginario jw que el polo s1 se puede despreciar s1 para una solución aproximada. Entonces, la respuestaes similar a la de un sistema de primer orden, y se puede aproximar por:

La respuesta ante un escalón unitario 1(s) será:

Dos sistemas de segundo orden con el mismo ξ pero distinto wn, tienen el mismosobreimpulso y el mismo diagrama oscilatorio: los dos sistemas tienen la misma estabilidadrelativa.

c) Respuesta a la rampa unitaria:

La respuesta del sistema para una entrada rampa será:



El error en el régimen estacionario es:

Con el fin de asegurar una respuesta transitoria aceptable y un error estacionario tambiénaceptable al seguir una rampa, ξ no debe ser demasiado pequeño y wn debe ser grande.

2.4.- Definición de las especificaciones de la respuesta transitoriaLas características de funcionamiento de un sistema de control se especifican en términos dela respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario, ya que es fácil generarla. Estarespuesta depende de las condiciones iniciales. Para poder comparar las respuestas

transitorias de diversos sistemas, se toma como condición inicial la de reposo, es decir, lasalida del sistema y todas sus derivadas en el tiempo son cero.

Veamos estas características:



• Tiempo de retardo td: es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por primera vez la mitaddel valor final.

• Tiempo de crecimiento tr : es el tiempo requerido para que la respuesta crezca desde el 10%al 90% de su valor final.

• Tiempo de pico t p: es el tiempo requerido por el sistema para que la respuesta alcance el primer pico del sobreimpulso.

• Máximo sobreimpulso M p(%): es el valor pico máximo de la curva de respuesta medidodesde la unidad.

• Tiempo de establecimiento ts: es el tiempo requerido por la curva de respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de un determinado rango alrededor del valor final. Se especifica en porcentaje, y se suelen usar los criterios del 5% ó del 2%.

Para un sistema de segundo orden, una respuesta deseable es la que tenga un coeficiente deamortiguamiento entre 0.4 y 0.8, ya que valores de ξ <0.4 dan excesivo sobreimpulso en larespuesta transitoria y valores ξ >0.8 hacen la respuesta muy lenta.

Vamos a ver, a continuación, cómo podemos calcular matemáticamente las anterioresespecificaciones:

• El tiempo de crecimiento tr de un sistema de segundo orden, se obtiene haciendo y(tr )=1:

Como , se cumple:

Entonces, tenemos que:



está comprendido entre Π /2 y Π :

• El tiempo de pico t p lo calcularemos así:

Como el tiempo de pico se mide en el primer sobreimpulso:

• El máximo sobreimpulso M p se hallará del siguiente modo:

• El tiempo de establecimiento ts:



Hemos visto que la respuesta de un sistema de segundo orden subamortiguado es:

Las curvas son las envolventes de la respuesta transitoria a una entradaescalón unitario.

La constante de tiempo de estas curvas envolventes es . El tiempo de establecimientose mide en términos de esta constante de tiempo para distintos valores de ξ .

Si usamos el criterio del 2%:

Si usamos el criterio del 5%:

En resumen, para tener una respuesta rápida, wn debe ser grande. Para limitar el máximosobreimpulso M p y hacer pequeño el tiempo de establecimiento ts, ξ no debe ser demasiado pequeño.

2.5.- Análisis de la respuesta en tiempo de los sistemas de orden superior En general, la función de transferencia de un sistema en lazo cerrado es:



La forma de la respuesta transitoria depende de la posición de los ceros y polos del sistema en el plano complejo. Estos pueden ser reales o complejos conjugados. Si los polos son todos distintos,entonces podemos descomponer la función de transferencia en fracciones parciales, de forma quenos resulta una suma de sistemas de 1er y 2º orden.

Si todos los polos de lazo cerrado caen en el semiplano izquierdo s, todos los términosexponenciales tienden a 0 al incrementar el tiempo.

La distancia horizontal desde un polo en lazo cerrado hasta el eje jw, determina el tiempo de

establecimiento de los transitorios; así, cuanto menor es la distancia, mayor es el tiempo deestablecimiento.

El tipo de respuesta transitoria es determinado por los polos de lazo cerrado, mientras que laforma de la respuesta transitoria depende de los ceros de lazo cerrado.

2.6.- Teoría de los polos dominantes. Reducción del orden de un sistemaLa estabilidad de los sistemas es definida por el valor de las partes reales de las raícesimaginarias. Cuanto mayor sea este valor, más lejos se encuentran del eje imaginario, luegolas exponenciales decrecen más rápidamente, y, por tanto, el sistema será tanto más estable.Así mismo, los polos más cercanos al eje imaginario son los causantes de que el sistema sea

menos estable. Es por esta razón que se los denomina polos dominantes. La presencia de polos dominantes permite reducir el orden del sistema.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos un sistema de 5º orden, que presenta este diagrama de polos yceros:

Para que el análisis del sistema sea más sencillo, vamos a proceder a reducir el orden delmismo.



En primer lugar, vemos que existe un polo real muy lejano al eje imaginario (p5). El valor dela exponencial a que da lugar puede despreciarse frente a la exponencial del polo p1. Por tanto, conseguimos reducir el orden del sistema a 4º orden.

En segundo lugar, vemos que existe un polo (p2) cercano a un cero (z1). En este caso, el poloy el cero se cancelan ya que:

Con esto, conseguimos tener un sistema de 3er orden.

De la misma forma ocurre si existen dos polos complejos conjugados cerca de dos cerostambién complejos conjugados. En nuestro ejemplo, p3 y p4 se eliminan con z2 y z3.

De este modo, hemos llegado a un sistema de 1er orden que sólo presenta el polo dominante p1.

Hay que tener en cuenta que cuando un sistema de orden superior se reduce y se sustituye

por su equivalente, se debe ajustar la ganancia de éste para que en régimen permanente seasimilar a la del sistema inicial.

Podemos dibujar la respuesta del sistema original y del equivalente:

3.- Análisis de la respuesta en régimen permanenteUna característica importante a estudiar en los sistemas es el error, que puede venir dado por muchos factores: modificaciones en la entrada de referencia, imperfecciones, envejecimiento ydeterioro de los componentes, etc.

Como veremos, se puede medir la exactitud de un sistema de acuerdo a su capacidad de seguir entradas escalón, rampa y parábola unitarias. Esto es bastante razonable debido a que las entradasreales pueden ser consideradas combinaciones de tales entradas.

Un sistema es denominado de tipo N cuando en la función de transferencia de lazo abierto:

Tenemos un polo en el origen de multiplicidad N.

Esta clasificación es distinta de la del orden de un sistema. Al aumentar el tipo, aumenta laexactitud, sin embargo, empeora la estabilidad. Siempre es necesario un compromiso entre laexactitud estacionaria y la estabilidad relativa.



3.1.- Coeficientes estáticos de error El objetivo principal de un sistema de control es controlar una variable de salida y(t) de talforma que la diferencia entre el valor obtenido y el valor deseado sea mínimo. En todo esto,es importante el concepto de precisión, que es la capacidad del sistema de mantener el error estático entre valores pequeños una vez alcanzado el régimen permanente.El diagrama de bloques de un sistema de control sabemos que es:

La función de transferencia del error será:

El error estático del sistema se obtiene aplicando el teorema del valor final:

a) Coeficiente estático de error de posición (k p):El error estacionario ante una entrada escalón unitario es:

Entonces, se define:

Así que el error estático en función del coeficiente de error estático de posición es:

Para un sistema de tipo 0, tenemos que:



Si el sistema es de tipo 1 o mayor se cumple:

El error estacionario ess para una entrada escalón unitario será:

para un sistema de tipo 0

para un sistema de tipo 1 y mayores

Vemos que para tener un error estacionario pequeño con un sistema de tipo 0, la ganancia k debe ser muy grande, lo que lleva al sistema a ser bastante inestable. Por tanto, para que elerror estacionario sea nulo, el tipo del sistema debe ser 1 ó mayor.

Ejemplo:

Dado un sistema con:

1º) Determinar el coeficiente estático de error de posición y el error estático.

2º) Hallar la nueva función de transferencia G'(s) si se desea que el error estático de posición permitido sea 0.75 manteniéndose la red de realimentación y los polos en s=-5 y s=-1± 2j.

1º)

2º) Calculamos primero la nueva k p necesaria para cumplir con el error requerido.

La nueva G'(s) será de la forma:



Entonces:

Por tanto:

b) Coeficiente estático de error de velocidad (k v):

El error estático de velocidad se define para una señal entrada rampa unitaria:

Este error se calcula así:

Se define k v del siguiente modo:

El error estacionario en función del coeficiente de error estático de velocidad es:

Para un sistema de tipo 0:


Para un sistema de tipo 2 ó mayor:

Por lo tanto, el error estacionario para una entrada rampa unitaria puede resumirse como:



para sistemas de tipo 0


para sistemas de tipo 2 y mayores

De lo anterior, podemos sacar varias consecuencias:

- Un sistema de tipo 0: es incapaz de seguir a una entrada rampa en el estado estacionario.

- Un sistema de tipo 1: sigue a la entrada rampa pero con un error constante proporcional a lavelocidad de entrada e inversamente proporcional a la ganancia.

- Un sistema de tipo 2 ó mayor sigue a la entrada rampa con error nulo en el estacionario.

Ejemplo:


1º) Determinar el coeficiente estático de error de posición y de velocidad, así como los

errores estáticos correspondientes.2º) Hallar el nuevo valor de la realimentación (k r ) si el error estático de velocidad permitidoes de 0.25.

1º) El coeficiente estático de error de posición se calcula del siguiente modo:

Con lo que el error estático de posición es:

Para hallar el coeficiente estático de error de velocidad, hacemos:



Entonces, el error estático de velocidad es:

2º) Para obtener un error estático de velocidad de 0.25, el coeficiente estático de error develocidad debe ser:

Por lo tanto, la nueva constante de realimentación será:

c) Coeficiente estático de error de aceleración (k a):

El error estático de aceleración se define para una entrada parabólica unitaria (entradaaceleración) definida por:

Este error se calcula así:

Se define k a del siguiente modo:

El error estacionario en función del coeficiente de error estático de aceleración es:






Para un sistema de tipo 3 ó mayor:

Por lo tanto, el error estacionario para una entrada parábola unitaria puede resumirse como:

para sistemas de tipo 0 y1


para sistemas de tipo 3 y mayores

De lo anterior, podemos sacar varias consecuencias:

- Un sistema de tipo 0 ó de tipo 1: es incapaz de seguir a una entrada parabólica en el estadoestacionario.

- Un sistema de tipo 2: sigue a la entrada parábola pero con un error finito.

- Un sistema de tipo 3 ó mayor sigue a la entrada parabólica con error nulo en elestacionario.

Ejemplo:


1º) Determinar los coeficientes estáticos de error, así como el error estático correspondiente.

2º) Hallar la nueva función de transferencia en lazo abierto del sistema (G'(s)) si se desea unerror estático de aceleración de valor 0.5 y sólo se puede actuar sobre el cero.

1º) El coeficiente estático de error de posición se puede obtener de la siguiente expresión:



El coeficiente estático de error de velocidad es:

El coeficiente estático de error de aceleración resulta:

Por tanto, el error estático de aceleración es:

2º) Para conseguir el error estático de aceleración deseado, el nuevo coeficiente estático deerror de aceleración debe ser:

Veamos dónde debemos situar el cero para que la nueva k a sea 2:

Por lo tanto, la función de transferencia resultante es:

A continuación, podemos ver una tabla resumen de los distintos errores estáticosdependiendo de la entrada y del tipo del sistema:

Entrada escalón unitario

u(t)=1

Entrada rampa unitaria

u(t)=t

Entrada parábola unitaria

u(t)=t2/2

Tipo 0 1/ (1+k) ∞ ∞

Tipo 1 0 1/k ∞

Tipo 2 0 0 1/k



3.2.- Coeficientes de error dinámicos

Los coeficientes de error estáticos sólo nos dan información del sistema en estadoestacionario. Seríamos incapaces de distinguir dos sistemas iguales, pero uno más rápido queel otro:

Para poder distinguir entre ambos sistemas vamos a calcular unos coeficientes de error nuevos, que identifiquen cómo de buena es la respuesta transitoria. En primer lugar tomaremos la función de transferencia desarrollada en fracciones parciales:

Tenemos que:

k 1 = coeficiente de error dinámico de posición

k 2 = coeficiente de error dinámico de velocidad

k 3 = coeficiente de error dinámico de aceleración

Los calcularemos como:

Podemos formar una tabla como la que ya vimos en errores estacionarios. Así tendremos que para un sistema de 1er orden:



Y para un sistema de orden 2:

En general, para un sistema de orden N tenemos que los coeficientes de error dinámicos se pueden calcular como:

La principal ventaja de conocer los coeficientes de error radica en que el sistema se puedeexpresar como:

La región de convergencia de esta serie es entorno a s=0, lo que traducido al tiempo significat=∞ . Suponiendo que el sistema es estable, tiene condiciones iniciales nulas y que no hayimpulsos en t=0, podemos calcular el error en estado estacionario como:

3.3.- Criterios de error A menudo, se desean hacer estimaciones de la "bondad" del comportamiento de un sistema.Es por esto que se definen ciertos criterios de error que se tratarán siempre de minimizar.Veamos los más habituales:

• Criterio integral de error cuadrático (IEC): con este criterio, la calidad decomportamiento del sistema se evalúa por medio de la siguiente integral:



El límite superior de la integral, se puede sustituir pot T, que se elige losuficientemente grande como para que e(t) sea despreciable para T < t. El sistemaóptimo es el que minimice esta integral.

• Criterio integral de error absoluto (IEA): en este caso, el sistema será óptimo siminimiza la siguiente integral:

• Criterio integral del producto de error absoluto por tiempo (IEAT): la integral quetendrá que hacer mínima el sistema será ahora:

4.- EstabilidadHablamos de que un sistema de control es estable, si estando en reposo es capaz de amortiguar conel tiempo cualquier perturbación, y si señales de control acotadas producen salidas acotadas.

Si nuestro caso es el contrario, diremos que el sistema es inestable.

Para el caso de sistemas lineales e invariantes en el tiempo, es condición necesaria y suficiente quetodos los polos de su función de transferencia en lazo cerrado tengan su parte real negativa.

Podemos establecer un margen absoluto de estabilidad, lo que equivale a exigir que la respuestatransitoria del sistema no sea demasiado lenta. Hacemos esto delimitando la posición de los polos atan sólo la parte izquierda de una paralela al eje imaginario. Cuanto mayor es la abcisa de la paralela, más exigente se es en el diseño del sistema.

Por otro lado, establecer un margen relativo de estabilidad equivale a exigir al sistema que surespuesta transitoria sea suficientemente amortiguada. Para ello, los polos sólo podrán estar situadosen una región del plano s comprendida entre el eje imaginario y dos rectas que pasan por el origen, yque además forman con el eje imaginario un ángulo prefijado ϕ . Si ϕ es mayor o igual a 45º, lasoscilaciones no aparecen en la salida.



La estabilidad de los sistemas lineales puede determinarse sin más que calcular las raíces de laecuación característica del sistema. Sin embargo, tratándose de sistemas de orden superior, ladeterminación de las raíces de la ecuación característica es una labor muy laboriosa. Para facilitar

estas tareas se han establecido métodos alternativos, que permiten determinar la estabilidad delsistema sin necesidad de calcular dichas raíces.

4.1.- Criterio de estabilidad de RouthSea un sistema lineal invariante en lazo cerrado, cuya función de transferencia es:

Este método sólo es aplicable a polinomios que tengan un número finito de términos. El procedimiento es el siguiente:

1. Escribir el polinomio en s de la forma siguiente:

donde los coeficientes son cantidades reales. Se supone que an≠ 0, es decir, el grado máximodel polinomio característico es n.

2. Si cualquiera de los coeficientes es cero o negativo, el sistema es inestable, ya que eso indicaque hay una o más raíces que son imaginarias, o que tienen partes reales positivas. Esto esuna condición necesaria, pero no suficiente.

3. Se forma la tabla de Routh como:



Los coeficientes b1, b2, b3 ... se calculan como:

Continuamos evaluando b hasta que no tengamos más a. Seguimos el mismo esquema,multiplicando en forma cruzada los coeficientes de las dos filas previas para calcular c, d ...:

El proceso continúa hasta haber completado la fila n-ésima. El criterio de estabilidad deRouth establece que la cantidad de raíces de la ecuación característica con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes en la primera columnadel conjunto. La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuacióncaracterística queden en el semiplano izquierdo de s es, entonces, que todos los coeficientesde la ecuación característica sean positivos, y que todos los términos en la primera columnadel conjunto tengan signo positivo.

Ejemplo 1:



Al ser positivos todos los términos de la 1ª columna, el sistema es estable.

Ejemplo 2:

Al existir términos negativos en la primera columna, el sistema es inestable. Además podemos decir que hay tres raíces con parte real positiva, ya que hay tres cambios de signo.

Ejemplo 3:

Determinar los valores de a y de b que hagan estable al sistema:

Las condiciones necesarias y suficientes para que el sistema sea estable son:

4.2.- Aplicación del criterio de Routh a casos especialesEl criterio de Routh falla cuando el primer término de una fila de la tabla es cero o cuandotodos los términos de una fila son cero.

Para solucionar el primer caso, se multiplica la ecuación característica por el término (s+a) yse aplica el criterio de Routh a la ecuación resultante. Si aparece de nuevo un cero en el primer término de una fila de la tabla de Routh del polinomio resultante, se multiplica este por el término (s+b) y se aplica el método al nuevo polinomio. Así sucesivamente hasta queno aparezca ningún cero en la primera columna de la tabla de Routh.

Ejemplo:



Multiplicamos la ecuación característica por (s+1), y así:

El sistema es inestable. Existe un coeficiente negativo en la 1ª columna. Ya que hay doscambios de signo, hay dos raíces con parte real positiva.

Otra solución podría ser sustituir el cero por un valor pequeño ε . Si el signo de ε es elmismo que el que está debajo de él, esto indica que hay un par de raíces imaginarias.

Sin embargo, si el signo del coeficiente ε resulta ser contrario al que está debajo de él, estoindica que hay un cambio de signo, lo que nos lleva a la inestabilidad.

Si todos los coeficientes calculados en una fila son cero, esto indica que hay raíces de igualvalor y signo opuesto y/o dos raíces imaginarias conjugadas, en cuyo caso, el sistema esoscilante. El criterio de Routh puede aplicarse a la misma ecuación característica,sustituyendo la fila de ceros por los coeficientes del polinomio que resulta de derivar respecto de s un polinomio auxiliar, cuyos coeficientes son los de la última fila no nula. Lasraíces imaginarias puras son precisamente los ceros del polinomio auxiliar.

Ejemplo:



Polinomio auxiliar:

Las raíces imaginarias puras serán ± j. Al no existir cambios de signo en la primeracolumna, no existirán raíces con parte real positiva.

4.3.- Análisis de la estabilidad relativaUn procedimiento útil para examinar la estabilidad relativa es desplazar el eje imaginario del plano s, y aplicar el criterio de estabilidad de Routh. Es decir, se hace el cambio de variables=z-σ , con σ =constante, en la ecuación característica del sistema. Obtendremos entoncesun polinomio escrito en términos de z, al que aplicamos Routh. La cantidad de cambios designo en la primera columna del conjunto desarrollado por el polinomio en z es igual a lacantidad de raíces ubicadas a la derecha de la línea vertical s=-σ .

4.4.- Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de sistemas decontrolEl criterio de estabilidad de Routh tiene una utilidad limitada en el análisis de sistemaslineales de control, principalmente porque no sugiere cómo manejar la estabilidad relativa, ocómo estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, es posible determinar los efectos de lamodificación de uno ó dos parámetros de un sistema examinando los valores que producen lainestabilidad. Veamos un ejemplo:



Ejemplo:

Su ecuación característica es:

Para que haya estabilidad, k debe ser positivo ⇒k>0. Por otro lado, también se debe cumplir que el otro término de la primera columna dependiente de k sea mayor que cero, luego elsistema es estable si k vale:

Cuando , el sistema se vuelve oscilatorio, y matemáticamente, la oscilación semantiene en amplitud constante.

5.- Lugar de las raícesCon este método, ideado por Evans, situamos los polos de la función de transferencia en lazocerrado en el plano complejo conociendo la situación de los polos y los ceros de la función detransferencia en lazo abierto G(s)H(s) en dicho plano complejo, haciendo variar un parámetro de la

función G(s)H(s), que será normalmente la ganancia.De este modo, podemos definir lugar de las raíces como el lugar geométrico de los polos de lafunción de transferencia en lazo cerrado cuando un parámetro (la ganancia k) de la función detransferencia en lazo abierto varía de 0 a +∞ . A su vez, se denomina contorno de las raíces si el parámetro k se mantiene constante y varía cualquier otro parámetro de la función de transferencia enlazo abierto.

Vamos a ver con detenimiento el método del lugar de las raíces:

Consideraremos el siguiente sistema genérico:



Sabemos que la función de transferencia en lazo cerrado es:

Donde al denominador igualado a cero se le conoce como ecuación característica:

También es conocida la expresión de la función de transferencia en lazo abierto:

La ganancia que vamos a variar es k.

Todo punto del lugar de las raíces cumple dos condiciones:

Condición del ángulo:

Equivale a hacer la (suma de ángulos de los ceros) - (suma de los ángulos de los polos).

Condición de amplitud:

Entre todos los puntos pertenecientes al lugar de las raíces, estarán los polos de la función detransferencia en lazo cerrado, es decir, las raíces de la ecuación característica.

Antes de enumerar los pasos a seguir para trazar el lugar de las raíces, es importante tener en cuentaque el lugar de las raíces es siempre simétrico respecto del eje real.

5.1.- Reglas de construcción del lugar de las raíces1º) Obtener la ecuación característica: 1+G(s)H(s)=0

2º) Expresar la ecuación característica del siguiente modo:



3º) Dibujar los polos y ceros en lazo abierto

Cuando k →0: los polos en lazo abierto coinciden con los polos en lazo cerrado.

Cuando k → ∞ : los ceros en lazo abierto coinciden con los polos en lazo cerrado.

El lugar de las raíces tendrá n ramas, siendo n el grado de la ecuación característica. Lasramas empiezan en los polos en lazo abierto (k →0) y terminan en los ceros en lazo abierto(k → ∞ ). Cuando hay menos ceros que polos en la función de transferencia en lazo abierto(m<n), habrá ramas en el infinito.

4º) Determinar el lugar de las raíces sobre el eje real: un punto del eje real pertenece al lugar de las raíces si a su derecha hay un número impar de polos y ceros en lazo abierto.

5º) Calcular la ecuación de las asíntotas:

Ángulo de la asíntota (respecto del eje real):

Corte de la asíntota con el eje real:

6º) Encontrar los puntos de ruptura: estos puntos se producen cuando en el lugar de las raíces

tenemos dos polos adyacentes o dos ceros adyacentes. Los puntos de ruptura pueden estar enel eje real o en puntos que sean complejos conjugados. Para obtener estos puntos, debemosrealizar los siguientes cálculos:

• Despejar k de la ecuación característica.

• Derivar la anterior expresión respecto de s e igualar a cero.

• Despejar s, y esos son los puntos de ruptura.

7º) Determinar el ángulo de llegada a un cero complejo:

Ángulo de llegada = 180º - (suma de ángulos desde el resto de ceros) + (suma ángulos desdelos polos).

8º) Determinar el ángulo de salida de un polo complejo:Ángulo de salida = 180º - (suma de ángulos desde el resto de polos) + (suma ángulos desdelos ceros).

9º) Obtener los puntos de cruce con el eje imaginario:

• Aplicar el criterio de Routh a la ecuación característica.

• Igualar una de las filas que tengan sólo k a cero y despejar k.



• Sustituir en una fila que tenga k y s el valor de k y despejar s, siendo éstos los puntosde corte con el eje jw.

Una vez trazado el lugar de las raíces, podemos determinar el valor del parámetro k para un punto de prueba, llamémosle s p, a partir de la ecuación característica:

Acerca de la cancelación de polos de G(s) y ceros de H(s), es importante notar que el gradode la ecuación característica se reduce, con lo que el lugar de las raíces se ve modificado. Por tanto, no es conveniente realizar la cancelación de polos y ceros.

5.2.- Estabilidad en el lugar de las raícesYa sabemos que para que un sistema lineal sea estable, todos los polos de la función detransferencia en lazo cerrado deben estar en el semiplano izquierdo del plano complejo.Ahora, al disponer del lugar de las raíces, que es el lugar geométrico de esos polos, nos esmuy sencillo estudiar la estabilidad de un sistema.

Para calcular los valores máximos de k que mantienen estable el sistema, basta calcular laintersección del lugar de las raíces con el eje imaginario, para ello, hay que aplicar el criteriode Routh a la ecuación característica.

Ejemplo:Dado un sistema con la siguiente función de transferencia en lazo abierto, calcular losvalores máximos de la ganancia k que mantienen estable al sistema:

La ecuación característica del sistema es:

Aplicamos el criterio de Routh:



Igualamos a cero la ecuación de k y obtenemos el valor crítico:

Que corresponde a una frecuencia w:

Con esto, tenemos que para valores mayores que los calculados de k y w, el sistema esinestable.

Podemos verlo gráficamente con el lugar de las raíces:

5.3.- Efecto de la adición de polos y ceros sobre el lugar de las raícesAdición de polos:

Es ésta una acción integral que reduce el error estático del sistema a costa de empeorar laestabilidad del mismo. La influencia de este polo adicional sobre la estabilidad será mayor cuanto más cercano al origen se encuentre. Veámoslo con un ejemplo:

Sea un sistema con la siguiente función de transferencia en lazo abierto:



El diagrama del lugar de las raíces es:

El sistema es estable para todo valor de k ya que no existe ningún polo en la parte derechadel plano complejo.

Si introducimos un nuevo polo en el origen (s=0), nos queda la siguiente función detransferencia en lazo abierto:

Su lugar de las raíces es, en esta ocasión:

Vemos que el lugar de las raíces se inclina hacia la derecha y ahora sí que hay valores de k para los que el sistema es inestable (k>4).

Si se introduce un polo algo alejado del origen (s=-2), tenemos:

El lugar de las raíces será:



Ahora el diagrama varía menos pero sigue siendo el sistema inestable para algunos valoresde k (k>20).

Con esto, podemos concluir que la influencia de la adición de un polo va disminuyendosegún se aleja del origen, hasta desaparecer en s=-∞ .

Adición de ceros:

Ahora la acción realizada es derivativa, por lo que aumenta la estabilidad del sistema. Estainfluencia es mayor cuanto más alejado del origen esté el cero añadido. Veámoslo con unejemplo:

Sea un sistema con la siguiente función de transferencia en lazo abierto:

El diagrama del lugar de las raíces es:

El sistema es estable para todo valor de k ya que no existe ningún polo en la parte derechadel plano complejo.

Si introducimos un nuevo cero en el origen (s=0), nos queda la siguiente función detransferencia en lazo abierto:



Su lugar de las raíces es, en esta ocasión:

Vemos que el lugar de las raíces se inclina hacia la izquierda, con lo que aumenta laestabilidad del sistema.

Si se introduce un cero algo alejado del origen (s=-2), tenemos:

El lugar de las raíces será:

Ahora el diagrama se desplaza más a la izquierda, así que el sistema es más estable queantes.

5.4.- Sistemas condicionalmente establesSon aquéllos sistemas que son estables en rangos limitados de k. Por tanto, ligeros cambiosen la función de transferencia debidos, por ejemplo, a variaciones en las condiciones defuncionamiento, pueden volver al sistema no lineal y provocar la pérdida de la estabilidad.

Este tipo de sistemas no es deseable; en la práctica lo que se hace para eliminar la estabilidadcondicional es agregar una compensación adecuada.

Estos sistemas tienen un diagrama del lugar de las raíces con el siguiente aspecto:



5.5.- Sistemas de fase no mínimaSon aquéllos sistemas que presentan en lazo abierto algún cero en el semiplano derecho del plano complejo.

La función de transferencia en lazo abierto de estos sistemas es:

La condición de ángulo de estos sistemas es:

Lo que nos lleva a que debe cumplirse:

Tendremos que el sistema es estable si k < 1/Ta. Lo podemos ver en el diagrama del lugar delas raíces:



5.6.- Sistemas con retardoSon sistemas en los cuales una acción en la variable de control o manipulada produce uncambio en la variable medida, pero con un cierto retraso.

El retardo puede producir inestabilidad en los sistemas, porque los lugares de las raíces estánen el semiplano derecho de s para valores elevados de k.

Vemos que el lugar de las raíces resulta infinito; las asíntotas son rectas paralelas al eje real,que también es infinito.

Aproximación del retardo: Si el retardo T es pequeño, podemos hacer las siguientesaproximaciones:

analisis de respuesta transitoria 2

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