ANÁLISIS DE LA PREDICTIBILIDAD ATMOSFÉRICA MEDIANTE LA RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE LORENZ-SALTZMAN

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1. Descripción del problema

El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas

es conocido como el sistema Lorenz-Saltzman, y es no lineal, tridimensional y determinista. Las ecuaciones que lo forman representan la convección en fluidos atmosféricos tridimensionales, y por tanto se le puede considerar como un modelo simple de la atmósfera. X, Y y Z son variables que pertenecen al conjunto de números reales y que dependen a su vez de la variable independiente tiempo (t), mientras que σ, r y b son parámetros que representan al número de Prandlt (con valor típico 10), número de Rayleight (con valor típico 8/3) y la constante de proporcionalidad (con valor variable), respectivamente. Este sistema es notable por tener un fuerte carácter caótico para diferentes valores de los parámetros y pequeñas variaciones de las condiciones iniciales (X(t=0), Y(t=0), Z(t=0)). Sus soluciones  son ampliamente conocidas cuando se representan respecto de sus variables X, Y y Z ya que adquieren una forma similar a una

mariposa como se observa en la figura 1. A esta estructura se le ha llamado “Atractor de Lorenz”.

El objetivo de este artículo es resolver el sistema para representar y analizar sus soluciones a partir de diferentes condiciones iniciales y valores de los parámetros de tal forma que se pueda aplicar al análisis de la predictibilidad de la atmósfera y por tanto describir el caos atmosférico desde una perspectiva  matemática simple.

 

Figura 1. Solución del sistema de Lorenz-Saltzman en tres dimensiones.

2. Simulaciones con distintos parámetros y condiciones inicialesEn este apartado se representan las diferentes soluciones a partir de diferentes parámetros y condiciones iniciales por separado. Cada figura representa una situación.

Los distintos casos son:

   

Al cambiar las condiciones iniciales podemos observar que la solución va recorriendo diferentes zonas. Por ejemplo en la figura 2, la solución nunca termina por caer en ninguno de los dos atractores (puntos entorno a los que giran las soluciones), pero en la figura 3, la solución acaba cayendo en el atractor izquierdo. De esto hablaremos con mayor profundidad en el siguiente apartado. Es de destacar como con condiciones iniciales que parten del (0,0,0) la solución permanece en dicho punto durante toda la integración y por tanto, sería una solución totalmente predecible. Sin embargo, al variar únicamente la condición inicial en la variable Y en milésimas, la solución cambia y vuelve a parecerse al Atractor de Lorenz típico. Al cambiar los parámetros se observa como los atractores cambian ligeramente su forma geométrica, es decir, las soluciones cambian su recorrido debido al cambio en la forma de los atractores, por lo que también los valores de los parámetros utilizados pueden intervenir en el resultado final. Esto último se asocia a la diferencia entre modelos de predicción numérica del tiempo a la hora de predecir determinadas situaciones, ya que no se utilizan los mismos esquemas a la hora de resolver las ecuaciones y por tanto dan lugar a diferentes soluciones que resultan en diferentes predicciones.

 

Figura 2. Soluciones con r=28,  b=8/3,  σ=10 y X(0)=9, Y(0)=9, Z(0)=9.5

 

Figura 3. Soluciones con r=28,  b=8/3,  σ=10 y X(0)=0, Y(0)=0, Z(0)=0

 

Figura 4. Soluciones con r=28,  b=8/3,  σ=10 y X(0)=0, Y(0)=0.001, Z(0)=0

 

Figura 5. Soluciones con r=20,  b=8/3,  σ=10  y X(0)=9, Y(0)=9, Z(0)=9.5

 

Figura 6. Soluciones con r=100,  b=8/3,  σ=10 y X(0)=9, Y(0)=9, Z(0)=9.5

3. Simulaciones con EnsemblesRealizar simulaciones de tipo ensemble nos permite observar la predictibilidad del fenómeno que tratamos de modelizar. Este tipo de simulaciones se basan en partir desde condiciones iniciales ligeramente perturbadas y repetir el mismo cálculo varias veces para obtener un conjuntos de soluciones, cada una obtenida a partir de cada condición inicial deducida. Dado que el sistema de Lorenz-Saltzman describe en cierta medida el

comportamiento de la atmósfera como se ha mencionado, podemos extrapolar las conclusiones obtenidas del análisis de las soluciones este sistema al análisis de la atmósfera, y estudiar de esta forma la influencia del caos en la predictibilidad atmosférica de una manera simple. Como el sistema de Lorenz-Saltzman tiene soluciones que dependen del tiempo, una medida de la predictibilidad a la hora de analizar las figuras obtenidas de las simulaciones nos la da el tiempo en que tardan en divergir de forma considerable las distintas simulaciones que parten de cada condición inicial ligeramente modificada. Es decir, una divergencia temprana nos indicaría que la predictibilidad es pobre, mientras que una divergencia tardía indicaría una buena predictibilidad. La dependencia en el tiempo de las soluciones se aprecia mejor en el video que se describirá al final de este apartado.La predictibilidad de la atmósfera depende de dos factores fundamentales que tienen relación con su dinámica caótica. Por un lado, existe la sensibilidad a las condiciones iniciales, es decir, pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden dar lugar a soluciones completamente diferentes. Y por otro lado, existe la dependencia del flujo, esto es, dependiendo de cuales sean las condiciones iniciales, tendrá un comportamiento caótico mayor o menor, es decir, será menos predecible o más predecible, respectivamente. Para abordar ambos casos de forma separada, se han realizado dos experimentos como se indican a continuación, utilizando únicamente 3 simulaciones o ensembles diferentes ya que da más facilidad para analizar las gráficas

-    Análisis de la predictibilidad sensible a las condiciones iniciales.Para realizar este análisis se ha partido de 3 condiciones iniciales que varían en centésimas con  valores de los parámetros típicos como en el apartado anterior (r=28, b=8/3, σ=10). Esto aplicado al caso de la atmósfera representa un límite en la predicción debido a un desconocimiento exacto del estado inicial de la atmósfera por razones técnicas, es decir, un error instrumental en la medida conjuntamente con la imposibilidad de tener observaciones en todos los puntos de la atmósfera. Las condiciones iniciales utilizadas son:

-     Análisis de la predictibilidad dependiente del flujo.En este caso se parte de 3 condiciones iniciales que varían en centésimas como el caso anterior (r=28, b=8/3, σ=10), pero se parte de condiciones iniciales con valores muy diferentes al caso anterior, es decir, las condiciones iniciales de los tres ensembles parten desde otra zona del espacio formado por X, Y y Z. En términos gráficos, la diferencia reside en que las condiciones iniciales del caso anterior están situadas en una zona en la que la distancia a los dos atractores es parecida, mientras que las en este caso están situadas en una zona mucho más cercana a un atractor que a otro. En definitiva, en este caso se analiza con respecto al caso anterior la diferencia temporal en el comienzo de una divergencia considerable de las 3 simulaciones o ensembles, al cambiar las condiciones

iniciales a distintas zonas. Las condiciones iniciales de este caso son:

-    Análisis de las gráficas obtenidasLos resultados obtenidos tras las simulaciones se muestran en las figuras 7 y 8, donde cada color representa un ensemble. El análisis de éstas nos lleva a varias conclusiones:Por un lado, según la figura 7a y figura 8a comprobamos como la solución del sistema es muy sensible a las condiciones iniciales, y por tanto altamente caótico, de tal forma que si variamos mínimamente las condiciones iniciales el recorrido de las soluciones a lo largo del diagrama pueden divergir considerablemente. Sin embargo, esta divergencia puede reducirse y prácticamente anularse si las condiciones iniciales parten de diferente lugar, ya que como observamos en las figuras 7b y 8b, partiendo con las condiciones iniciales igualmente perturbadas aunque nos posicionándose en las cercanías de un atractor, la divergencia es mínima o prácticamente nula para el mismo intervalo de tiempo que el caso anterior. Esta característica es lo que indica que la divergencia de las soluciones depende del flujo, es decir, de los valores de las condiciones iniciales (no confundir con la perturbación de las condiciones iniciales). Este análisis extrapolado al estudio del caos atmosférico indica que la predictibilidad de la atmósfera es muy sensible a pequeñas variaciones en las condiciones iniciales, pero esta sensibilidad depende a su vez del estado inicial de la atmósfera, y por tanto depende del flujo. Es decir, la atmósfera puede encontrarse en un estado inicial tal que haga que su movimiento sea más determinista y con ello la predictibilidad sea más alta y no depender tanto del desconocimiento exacto de su estado inicial. Sin embargo, existirán otras situaciones que provoquen que la atmósfera sea altamente sensible al error cometido al establecer su condición inicial. Por tanto, podemos concluir que existiría un límite en la predicción del comportamiento de la atmósfera debido al imposible conocimiento exacto del estado actual de la atmósfera (dependencia de las condiciones iniciales) aunque este límite puede variar en función de cuál sea el estado inicial de la atmósfera (dependencia del flujo). Es decir, habrá días en que la atmósfera sea más predecible, y otros en los que será menos predecible. Todo ello se engloba en el término “caos atmosférico”. Relacionándolo con el conocido concepto de “efecto mariposa”, que precisamente fue introducido por Lorenz, podemos ver entonces como la intervención del aleteo de una mariposa en la atmósfera, es decir, ligera variación de las condiciones iniciales, podría dar lugar, mediante amplificación de la solución, a una situación totalmente diferente de la que sucedería en el caso de no intervenir. Esto llevado a un caso hipotético extremo resultaría en que el aleteo de una mariposa podría provocar un huracán en otra zona del planeta.

 

Figura 7. a) (arriba) Solución proyectada en el plano XZ para el caso divergente. b) (abajo) Solución proyectada en el plano YZ para el caso no divergente.

 Figura 8. a) (arriba) Solución proyectada en el plano YZ para el caso divergente. b)

(abajo) Solución proyectada en el plano XZ para el caso no divergente.

-    Descripción del videoEn el video referido anteriormente, el cual es una simulación animada de la figura 7a y se puede ver a través del enlace http://www.youtube.com/watch?v=bB0YD-q2rgo, se observa cómo se va formando la figura del Atractor de Lorenz conforme pasa el tiempo.

Vemos que las soluciones parten de unas condiciones iniciales que están ligeramente perturbadas y que más o menos siguen la misma trayectoria conforme empieza a contar el tiempo. Sin embargo, cada vez los ensembles tienen a separarme más entre ellos hasta que luego, pasado un cierto tiempo, las 3 soluciones divergen considerablemente con dos soluciones (la verde y la roja) dirigiéndose al atractor izquierdo, y la solución restante (azul) al atractor derecho. Por tanto, se comprueba que pequeñas variaciones en las condiciomnes iniciales dan lugar a soluciones completamente diferentes al cabo de cierto tiempo, lo cual indica que es un sistema altamente caótico.

4. ConclusionesEn este artículo se ha resuelto el sistema de Lorenz-Saltzman, conocido por representar de forma simple el funcionamiento de la atmósfera, y por tanto, llevar asociado el caos contenido en el movimiento de ésta. El análisis de las soluciones de dicho sistema ha permitido, por tanto, deducir características del caos atmosférico a partir de un modelo simple de la atmósfera, lo que permite hacer más sencilla y entendible  la explicación.

El análisis del sistema y su aplicación a la predictibilidad atmosférica ha demostrado que el movimiento atmosférico es altamente caótico y que como consecuencia de ello, la predictibilidad atmosférica depende fuertemente de las condiciones iniciales, pero no sólo eso sino que además depende del flujo atmosférico o estado inicial ya que un cambio radical en las condiciones iniciales puede hacer que disminuya el caos y tenga una componente determinista mayor, es decir, ser más predecible. Es por ello, por lo que hay que tratar a la atmósfera de manera caótica y hacer predicciones de tipo ensemble o por conjuntos, ya que un trato determinista de la atmósfera supone pasar por alto una propiedad intrínseca muy importante de ésta y que tiene grandes consecuencias en la predicción atmosférica.

 

 Autor: Juan Jesús González Alemán

Esta entrada fue publicada en Noticias el 21 julio 2014 por admin.