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UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID

FACULTAD DE INFORMATICA

ANALISIS DE LA PERTURBACION DE LA

INVERSA DE DRAZIN DE MATRICES,

ELEMENTOS EN ANILLOS Y OPERADORES

ACOTADOS EN ESPACIOS DE BANACH

TESIS DOCTORAL

JOSE YGNACIO VELEZ CERRADA

Ldo. en Ciencias Matematicas

2007

Jose Yganacio Velez

Sello

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA


Analisis de la perturbacion de la inversa deDrazin de matrices, elementos en anillos yoperadores acotados en espacios de Banach

Autor: Jose Ygnacio Velez Cerrada

Ldo. en Ciencias Matematicas

Directora: Nieves Castro Gonzalez

Dra. en Ciencias Matematicas

2007

Jose Yganacio Velez

Sello

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA


Analisis de la perturbacion de la inversa deDrazin de matrices, elementos en anillos yoperadores acotados en espacios de Banach

Memoria presentada para optar la grado de Doctor por

JOSE YGNACIO VELEZ CERRADA, subvencionada

parcialmente por el proyecto de investigacion de Minis-

terio de Educacion y Ciencia MTM2007-67232

Madrid, 2007

Indice general

Indice General I

Agradecimientos V

Resumen VII

1. Introduccion 1

1.1. Inversas generalizadas. La inversa de Moore-Penrose y las (i, j, k)-inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Una breve resena historica de la inversa de Drazin . . . . . . . . . . . 5

2. La inversa de Drazin. Definiciones y resultados 9

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1. Descomposicion core-nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2. Descomposicion ındice 1-nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Propiedades de la inversa de Drazin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. La proyeccion espectral asociada al autovalor cero . . . . . . . . . . . 16

2.5. El Grupo inverso y matrices EP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6. Inversa de Drazin de una matriz por bloques . . . . . . . . . . . . . . 22

i

2.7. Aplicacion a la resolucion de sistemas singulares . . . . . . . . . . . . 24

3. Caracterizacion de una clase de matrices y perturbacion de la in-versa de Drazin 27

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Caracterizacion de matrices con proyecciones espectrales relacionadas 30

3.2.1. Casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3. Caracterizacion de la clase de matrices que verifican (Cs) . . . . . . . 42

3.3.1. La clase (C1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.2. La clase (Cs) con s > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4. Resultados de perturbacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4.1. Matrices perturbadas con ındice de Drazin uno . . . . . . . . 58

3.4.2. Matrices perturbadas de ındice de Drazin s > 1 . . . . . . . . 64

3.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5.1. Una cota para el error de la proyeccion espectral de la pertur-bacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5.2. Aplicacion a sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.5.3. Una clase especial de matrices (Cs) . . . . . . . . . . . . . . . 80

4. La W-Drazin inversa de matrices con W-soportes idempotentes re-lacionados 87

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2. Definiciones y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3. Caracterizacion de matrices con W-soportes idempotentes relacionados 96

4.4. Perturbacion de la W-Drazin inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.5. Aplicacion a sistemas lineales rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . 111

ii

5. Elementos de anillos y algebras de Banach con espectros idempo-tentes relacionados 115

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2. La inversa de Drazin generalizada en anillos y algebras de Banach . . 116

5.2.1. Elementos cuasipolares en anillos y algebras de Banach . . . . 116

5.2.2. La g-Drazin inversa. Definiciones y resultados . . . . . . . . . 119

5.2.3. Resultados sobre elementos en anillos. Elementos regulares . 123

5.2.4. Representacion matricial de elementos en anillos y algebras deBanach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.3. Caracterizacion de elementos en anillos con espectros idempotentesrelacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.4. Caracterizacion de elementos EP en anillos con involucion . . . . . . 137

5.5. Resultados de perturbacion en algebras de Banach . . . . . . . . . . . 141

6. Perturbacion de una clase de operadores Grupo invertibles y aco-tados en espacios de Banach 145

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.2. Definiciones y resultados basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.3. El Grupo inverso de una clase de operadores . . . . . . . . . . . . . . 152

6.4. Caracterizaciones de perturbaciones Grupo invertibles . . . . . . . . . 155

6.5. Cotas de perturbacion para inversas de Drazin y proyectores espectrales162

6.6. Perturbacion de operadores g-Drazin invertibles . . . . . . . . . . . . 170

6.7. Operadores con proyecciones espectrales esenciales relacionadas . . . 174

A. Conclusiones y lıneas futuras de investigacion 177

B. El algoritmo de la traza 181

iii

. Tabla de sımbolos 183

. Indice alfabetico 188

. Bibliografıa 191

iv

Agradecimientos

Quiero mostrar mi mas profunda gratitud a Nieves Castro por el tiempo inmensoque me ha dedicado en la direccion de este trabajo, por la confianza depositada en mi,por los conocimientos transmitidos y, sobre todo, por su inquebrantable disposiciony su infinita paciencia.

A Juan Robles por su ayuda y apoyo.

Doy tambien las gracias a todos los miembros del Departamento de MatematicaAplicada de la Facultad de Informatica, por su ayuda y solidaridad y, por hacermesentir, en mas de una ocasion, como parte de ellos.

Son muchas las personas que me han ayudado y me han animado a continuareste trabajo. A todas ellas mi mas sincero agradecimiento.

Jose Ygnacio Velez CerradaMadrid, 2007

v

Resumen

La generalizacion de la nocion de inversa para trasformaciones lineales no inver-tibles ha sido estudiada por numerosos investigadores en los ultimos anos.

Ası, han sido definidas varias “pseudoinversas” para las matrices no invertibles.Dentro de estas, la inversa de Moore-Penrose, definida independientemente por Moo-re (1920) y por Penrose (1955), nos aporta la solucion por mınimos cuadrados denorma mınima de un sistema singular lineal de ecuaciones algebraicas. Sin embargo,tal inversa no posee propiedades del tipo GA = AG, si λ es un autovalor de A,entonces 1/λ es un autovalor de G y, si A es semejante a G entonces A y G tienenlos mismos valores singulares, donde G es la inversa de Moore-Penrose de A. En1958, M. P. Drazin introduce, a partir de una definicion algebraica, un nuevo tipode inversa generalizada, la inversa de Drazin, que denotaremos por AD, la cual siposee las propiedades anteriores. En este trabajo nos centraremos en tal inversa.

La inversa de Drazin presenta variadas e importantes aplicaciones en la resolucionde sistemas lineales de ecuaciones diferenciales y ecuaciones lineales en diferencias,en la criptografıa, en la teorıa del control optimo y en las cadenas de Markov.El buscador de Internet Google utiliza el algoritmo PageRank para ordenar losresultados de las busquedas. Este algoritmo puede ser interpretado en terminos deuna cadena Markov, en la cual los estados son las paginas, y las transiciones entre losestados son los enlaces (links) entre las paginas de Internet. El vector estacionariode esta cadena de Markov, llamado vector PageRank, tiene como componentes lasprobabilidades de que una pagina sea visitada. Si T es la matriz de transicion deuna cadena de Markov, en teorıa, toda la informacion de esta puede ser extraıda dela matriz A = T − I y de AD.

Esta “pseudoinversa” es inestable respecto a perturbaciones, esto es, si Aj, conj = 1, 2, . . ., y A son n × n matrices tales que Aj → A, entonces, en general, no setiene que AD

j → AD.

En [6], S. L. Campbell y C. D. Meyer, establecieron una condicion necesaria y

vii

suficiente para la continuidad de la inversa de Drazin. Formularon que si Aj → A,

entonces ADj → AD si y solo si existe un entero positivo j0 tal que rg(A

kj

j ) = rg(Ak),para j ≥ j0 y para ciertos enteros positivos kj y k.

En dicho documento senalaron la dificultad de obtener cotas del error para laperturbacion de la inversa de forma similar a las formuladas para la inversa deMoore-Penrose, como fueron establecidas por G. W. Stewart, [86]. La razon de estaafirmacion estarıa en que es algo mas complicado trabajar algebraicamente con estainversa que con la inversa de Moore-Penrose. La inversa de Moore-Penrose posee untipo de ley de cancelacion (si GAB = GAC entonces AB = AC) que la inversa deDrazin no tiene. Ademas, la inversa de Drazin puede ser pensada en terminos dela forma canonica de Jordan y, la forma de Jordan, no es una funcion continua deCn×n −→ Cn×n.

La perturbacion de la inversa de Drazin ha sido estudiada por diversos autoresdando cotas del error relativo ‖BD−AD‖/‖AD‖ bajo la condicion rg(Bs) = rg(Ak),siendo s y k los ındices de Drazin de B y A, respectivamente. Cuando el valor delos ındices es igual a uno, nos referimos a la perturbacion del Grupo inverso, quedenotaremos por A]. Este caso es de especial interes dentro de la teorıa de la inversade Drazin.

Bajo las hipotesis ind(B) = ind(A) = 1 y rg(B) = rg(A), en [62, 91], se de-dujeron estimaciones para ‖B] − A]‖/‖A]‖. Suponiendo ind(B) = 1 e ind(A) = ky, rg(B) = rg(Ak), en [16, 61, 95] fueron obtenidas nuevas cotas usando la normaespectral. El caso rg(Bs) = rg(Ak), donde s = ind(B) y k = ind(A) fue estudiadoen [97, 98, 102].

Para elementos de un algebra de Banach en [79] se hallo una cota superior de‖bD − aD‖/‖aD‖.

En el marco de la teorıa de operadores la perturbacion de la inversa de Drazinha sido estudiada en [14, 17].

En esta linea han trabajado varios autores, citemos entre otros a S. L. Campbell,N. Castro, J. J. Koliha, X. Li, C. D. Meyer, V. Rakocevic, Y. Wei y H. Wu.

A continuacion expondremos la estructura de este trabajo y los aspectos masrelevantes tratados en este estudio.

En el Capıtulo 1 introduciremos las inversas generalizadas. Tambien daremosuna breve exposicion cronologica de los logros mas significados relacionados con lainversa de Drazin.

viii

En el Capıtulo 2 se dan los conceptos y resultados mas importantes acerca dela inversa de Drazin de matrices cuadradas que seran empleados en el desarrollo delos Capıtulos 3 y 4. Se introducira el concepto de proyeccion espectral asociada alautovalor 0 de una matriz cuadrada que denotaremos por Aπ. Diversos resultadosque muestran el importante papel que juega en la teorıa de la inversa de Drazin.

En los Capıtulos 3, 4, 5 y 6 se presenta la investigacion realizada.

En el Capıtulo 3 se analiza en primer lugar la perturbacion de la proyeccionespectral asociada al 0 en relacion con la inversa de Drazin. Se consideraran losproyectores oblicuos de la forma Q = Aπ + S y, bajo la condicion I − S2 no singu-lar, se caracterizaran las matrices perturbadas B tales que su proyeccion espectralasociada al 0, Bπ, verifican Bπ = Q. Entre otros resultados, se vera que su inversade Drazin verifica la formula BD = (I + S + AD(B − A))−1AD(I − S). A partir deesta, posteriormente se derivaran cotas superiores de ‖BD‖ y ‖BD−AD‖/‖AD‖, enterminos de ‖S‖. Diversos casos seran estudiados.

En la Seccion 3.3 se introducira la clase de matrices B ∈ Cn×n las cuales satis-facen la siguiente condicion, para algun entero positivo s,

(Cs) : R(Bs) ∩N (Ak) = 0 y N (Bs) ∩R(Ak) = 0,

donde A ∈ Cn×n con k = ind(A).Probaremos que las condiciones (Cs) y rg(Bs) = rg(Ak) = rg(AkBsAk) son equi-

valentes. Otras caracterizaciones seran dadas.Estudiaremos en primer lugar el caso s = 1. El Grupo inverso juega un papel

importante en el estudio de la estabilidad de las cadenas de Markov. Extenderemoslos resultados obtenidos al caso s > 1.

En la Seccion 3.4 se aplicaran los resultados obtenidos en secciones anteriorespara dar diversos resultados de perturbacion.

A partir de una formula para BD en terminos de B −A y Bπ −Aπ, valida paralas matrices relacionadas por I − (Bπ − Aπ)2 es no singular, se derivaran cotas su-periores para la inversa de Drazin de B y su error relativo.

Para las matrices que cumplen ind(B) = 1 y (C1) obtendremos una formulaexplıcita de B], de la cual se deduciran cotas superiores de ‖B] − AD‖/‖AD‖ y‖Bπ − Aπ‖.

Se extenderan los resultados obtenidos al caso s > 1, deduciendose una expresionexplıcita de BD y, cotas superiores para el error relativo de la inversa de Drazin y‖BBD − AAD‖.

Como aplicaciones, en la Seccion 3.5 obtendremos una estimacion de ‖Bπ −Aπ‖en terminos de las proyecciones ortogonales sobre los subespacios nucleo e imagende Bs y Ak.

Se aplicaran las acotaciones superiores de la inversa de Drazin y del error relativo

ix

de la perturbacion para obtener una estimacion del error en la solucion de sistemassingulares.

Para finalizar, estudiaremos un tipo especial de perturbaciones B = A+E, dentrode la clase (Cs), que incluye a las matrices tales que B2ADA = (BADA)2. Deducire-mos una formula explıcita para la inversa de Drazin de este tipo de perturbaciones,de la cual obtendremos una nueva cota superior de ‖BD − AD‖/‖AD‖.

Los principales resultados obtenidos en la Seccion 3.2 generalizan [16, Teorema2.1, Teorema 3.1 y Corolario 2.3], donde se caracterizaban las matrices con proyec-ciones espectrales iguales.

Mediante ejemplos numericos mostraremos que las cotas obtenidas en la Seccion3.4, para el caso s = 1, son mejores que las dadas en [62, Teorema 3] y [97, Teorema4 y Teorema 5], y para el caso s > 1, que las deducidas en [97, Teorema 1, Teorema4 y Teorema 5] y [98, Teorema 4.1].

La aplicacion a sistemas lineales singulares generaliza [100, Theorem 4.1] y elprincipal resultado del Apartado 3.5.3 generaliza el dado en [63, Teorema 3.2].

Parte de los resultados concernientes a la perturbacion de la proyeccion espectralhan sido publicados con el tıtulo Characterizations of matrices whose eigen-projections at zero are equal to a fixed perturbation, [19], y los relacionadoscon el estudio de las matrices que cumplen (Cs) lo seran bajo el nombre Characte-rizations of a class of matrices and perturbations of the Drazin inverse,[18].

En el Capıtulo 4 se estudiara la perturbacion de la inversa de Drazin de unamatriz rectangular. La inversa de Drazin en el contexto de las matrices rectangularessera llamada W-Drazin inversa y denotada por AD,W .

Primero, se expondran diversos aspectos de la W-Drazin inversa y del W-soporteidempotente de una matriz A, denotado por Aσ,W .

En la Seccion 4.3 se daran diversas caracterizaciones de las matrices rectangularesB con W-soportes idempotentes relacionados por la condicion WBσ,W = WAσ,W ,entre otros resultados. Tambien se estudiaran las matrices que verifican la condicionsimetrica Bσ,W W = Aσ,W W y aquellas con igual W-soporte idempotente.

En la Seccion 4.4, de los resultados obtenidos anteriormente, derivaremos cotassuperiores para la W-Drazin inversa de B y para ‖BD,W − AD,W‖/‖AD,W‖.

Finalizara el capıtulo con una aplicacion a sistemas rectangulares perturbados.

En particular, si las matrices son cuadradas y W = I se obtiene una caracteriza-cion de las matrices con igual proyeccion espectral, ası, se generaliza [16, Teorema2.1] y su extension a operadores lineales acotados [78, Teorema 3.2].

Los resultados de perturbacion obtenidos son mas generales que los dados paramatrices en [101, Teorema 1] y para operadores lineales y acotados en [78, Corolario

x

3.3 y Corolario 3.4].En la aplicacion a sistemas lineales se generaliza [101, Teorema 2], para matrices

rectangulares, y [78, Teorema 4.4], para operadores lineales y acotados.

Los principales resultados de este capıtulo apareceran publicados bajo el tıtuloThe weighted Drazin inverse of perturbed matrices with related supportidempotents, [20].

En el Capıtulo 5 se extenderan a elementos de un anillo unitario y algebrade Banach con unidad, entre otros resultados, las caracterizaciones obtenidas en elCapıtulo 3 para las matrices relacionadas por la condicion I − (Bπ − Aπ)2 es nosingular.

En la Seccion 5.2 se introduciran los conceptos de espectro idempotente, elemen-tos cuasipolares y regulares en un anillo, dando algunos resultados que los involucran.Se definira la inversa de Drazin de elementos cuasipolares generalizando la inversade Drazin convencional. Esta inversa se denominara inversa de Drazin generaliza-da o g-Drazin inversa. Se dara una expresion matricial para elementos de anillos yalgebras de Banach.

En la Seccion 5.3 se caracterizaran los elementos g-Drazin invertibles b con es-pectros idempotentes relacionados por la condicion 1 − (bπ − aπ)2 es un elementoinvertible. Tambien se dara una representacion matricial para tales elementos.

En la Seccion 5.4 se aplicaran los resultados obtenidos a elementos de un anillocon involucion para obtener diversas caracterizaciones de los elementos EP y de laperturbacion de tales elementos.

Para finalizar, en el contexto de un algebra de Banach compleja asociativa conunidad se obtendran cotas superiores de ‖bD − aD‖ y ‖bD‖.

El Teorema 5.3.5 generaliza el principal resultado en [51, Teorema 6.1], dondese considero elementos con igual espectro idempotente y se aplicaron los resultadosobtenidos para dar una nueva caracterizacion de los elementos EP .

Si bπ = aπ, se obtiene una caracterizacion de los elementos EP en anillos coninvolucion y, en particular, para matrices se tiene [16, Teorema 5.2].

Parte de los resultados de este capıtulo se recogen en el artıculo Elements inrings and Banach algebras with related spectral idempotents, [21].

En el Capıtulo 6 estudiaremos la clase de operadores lineales y acotados so-bre un espacio de Banach complejo, B ∈ B(X ), Grupo invertibles que inducen lassiguientes descomposiciones del espacio:

X = R(Ak)⊕N (B) y X = R(B)⊕N (Ak), (1)

donde A ∈ B(X ) es Drazin invertible con ind(A) = k. Estas condiciones son equi-valentes a que los proyectores espectrales en el 0 de B y A verifiquen la condicion

xi

I − Bπ − Aπ es invertible en B(X ). Extenderemos algunos de los resultados dadospara las matrices pertenecientes a (C1) al ambito de los operadores acotados.

En la Seccion 6.2 expondremos algunos conceptos y resultados de la teorıa deoperadores Drazin invertibles y g-Drazin invertibles.

En la Seccion 6.3 estudiaremos los operadores T ∈ B(X ) cuya representacionmatricial, respecto la descomposicion del espacio de Banach X = X1 ⊕ X2, es de laforma

T =

(T11 T12

T21 T21T−111 T12

), T11 es invertible en B(X1).

Obtendremos una representacion matricial del operador resolvente, del Grupoinverso y del proyector espectral para la clase de operadores objeto de estudio.

En la Seccion 6.4 se introducira la clase (1). Se daran diversas caracterizaciones deesta clase de operadores dando, entre otras, una representacion matricial respecto dela descomposicion topologica X = R(Ak)⊕N (Ak). Mostraremos que I +AD(B−A)es invertible en B(X ) y que (I + AD(B−A))−1AD es un inverso generalizado (1, 2)-inverso de B. El operador (1, 2)-inverso de B es llamado inverso algebraico o AG-inverso de B. Observamos que si un operador B es Grupo invertible, entonces Bes AG-invertible. Diversas caracterizaciones de los operadores AG-inversos serandadas.

En la Seccion 6.5 analizaremos la perturbacion de la inversa de Drazin para losoperadores estudiados en la seccion anterior. Algunos de los resultados obtenidos seaplicaran para obtener cotas superiores de ‖B] − AD‖ y ‖BB] − AAD‖. Tambiense deducira un resultado sobre la continuidad del Grupo inverso para operadoresacotados.

En la Seccion 6.6 caracterizaremos los operadores g-Drazin invertibles B ∈ B(X )que verifican las condiciones

X = K(A)⊕H0(B) y X = K(B)⊕H0(A),

donde los espacios anteriores son los definidos por M. Mbekhta en [64].Tambien obtendremos una estimacion para ‖Bπ − Aπ‖, en el caso en el que X

sea una espacio de Hilbert.Finalmente, en la Seccion 6.7, dado un operador A ∈ B(X ) g-Drazin invertible,

se caracterizaran los operadores g-Drazin invertibles B ∈ B(X ) relacionados por lacondicion pr(Bπ) = pr(Aπ + S), donde pr es el homomorfismo natural de B(X ) enel algebra de Calkin sobre X y S ∈ B(X ).

La clase dada por las condiciones (1) generaliza la clase de matrices (C1), intro-ducida en el Capıtulo 3. En particular, el caso Bπ = Aπ fue considerado en [16] paramatrices, en [17] para operadores cerrados y, en [51] para elementos de un anillo.

El Teorema 6.3.2 generaliza [4, Teorema 7.7.7], donde el resultado fue dado paramatrices por bloques.

xii

En el Teorema 6.4.4 extendemos a operadores el resultado dado para matricesen el Teorema 3.3.7.

Los resultados de perturbacion dados en la seccion 6.5 generalizan los obtenidosen el Apartado 3.4.1 para matrices que cumplen la condicion (C1).

Por ultimo, si pr(Bπ) = pr(Aπ), el Corolario 6.7.5 se reduce a [76, Corolario 2.3].

Una parte de los resultados de este capıtulo se recogen en el artıculo On theperturbation of the Group generalized inverse for a class of boundedoperators in Banach spaces,[22].

xiii

Abstrat

The generalization of the notion of inverse for singular linear transformationshas been studied for numerous investigators in the last years.

This way, several “pseudoinverses” for matrices non invertibles were defined.Inside these, the Moore-Penrose inverse, defined independently by Moore (1920)and Penrose (1955), it contributes us the minimal norm least squares solution of alinear singular system of algebraic equations. However, such inverse doesn’t possessproperties like GA = AG, if λ is an eigenvalue of A, then 1/λ is an eigenvalue ofG and, if A is similar to G then A and G have the same singular values, where Gis the Moore-Penrose inverse of A. In 1958, M. P. Drazin introduces, starting froman algebraic definition, a new type of generalized inverse, the Drazin inverse thatwe will denote for AD, which possesses the previous properties. In this work we willcenter in such inverse.

The Drazin inverse presents varied and important applications as they are theresolution of difference equations and linear systems of differential equations, thecryptography, the theory of the optimal control and the theory of finite Markovchains. The Internet Google search uses the algorithm Pagerank to order the resultsof the searches. This algorithm can be interpreted as a Markov chain for whichthe states are the pages, and the transitions are the links among the pages. Thestationary vector of this Markov chain, called PageRank vector, has as componentsthe probabilities that a page is visited. If T is the transition matrix of a chain ofMarkov, in theory, all the information of this it can be extracted of the matricesA = T − I and AD.

This “pseudoinverse” is unstable respect perturbations, that is, if Aj, with j =1, 2, . . ., and A are n× n matrices such that Aj → A, then, in general, one doesn’thave that AD

j → AD.

In [6], S. L. Campbell and C. D. Meyer, established a necessary and sufficientcondition for the continuity of the Drazin inverse. They formulated that if Aj → A,

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then ADj → AD if and only if there exists a positive integer j0 such that rg(A

kj

j ) =

rg(Ak), for j ≥ j0 and for some positive integers kj and k.

In the same paper, they indicated the difficulty in establishing norm estimatesfor the perturbed inverse similar to those for the Moore-Penrose inverse determinedby G. W. Stewart, [86]. First, the Drazin inverse has a weaker “cancellation law”,(if G is an inverse of A and GAB = GAC, then AB = AC) and is somewhat harderto work with algebraically than the Moore-Penrose inverse, and the Jordan form isnot a continuous function of Cn×n −→ Cn×n and the Drazin inverse can be thoughtof in terms of the Jordan form.

The perturbation of the Drazin inverse has been studied for several authors givingbounds for ‖BD −AD‖/‖AD‖ under the condition rg(Bs) = rg(Ak), where s and kare the Drazin indexes of B and A, respectively. When the value of the indexes isone, we refer to the perturbation of the Group inverse, that we will denote for A].This case is of special interest in theory of the Drazin inverse.

Under the hypotheses ind(B) = ind(A) = 1 and rg(B) = rg(A), in [62, 91],were deduced bounds for ‖B] −AD‖/‖AD‖. Supposing ind(B) = 1 and ind(A) = kand, rg(B) = rg(Ak), in [16, 61, 95] were obtained new bounds using the spectralnorm. The case rg(Bs) = rg(Ak), where s = ind(B) and k = ind(A) was studiedin [97, 98, 102].

For elements of an Banach algebra in [79], was deduced a upper bound for ‖bD−aD‖/‖aD‖.

In the setting of operator theory, the perturbation of the Drazin inverse has beenstudied in [14, 17].

In this line several authors have worked, let us mention to S. L. Campbell, N.Castro, J. J. Koliha, X. Li, C. D. Meyer, V. Rakocevic, Y. Wei and H. Wu.

Next, we will expose the structure of this work and the most outstanding aspectstreated in this study.

In Chapter 1 we will introduce the generalized inverses. Also, we will give ashort exposition about the achievements more important related with the Drazininverse.

In Chapter 2 we give the concepts and more important results about the Drazininverse of square matrices that we will employ in the development of the Chapters 3and 4. We will introduce the concepts of eigenprojection of A corresponding to theeigenvalue 0 of a square matrix, which we will denote for Aπ. Several results show

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the important paper that plays in the theory of the Drazin inverse.

In Chapters 3, 4, 5 and 6 we show the investigation.

In Chapter 3, first we analyze the perturbation of the eigenprojection at zeroin relationship with the Drazin inverse. We will consider the oblique projector Q =Aπ + S and, under the condition I − S2 nonsingular, we will be characterize theperturbed matrices B such as their eigenprojections at zero, Bπ, verifies Bπ = Q.We will see that we have the formula BD = (I +S +AD(B−A))−1AD(I−S). Later,we will derive upper bounds for ‖BD‖ and ‖BD −AD‖/‖AD‖. Several cases will bestudied.

In Section 3.3 we will introduce the class of matrices B ∈ Cn×n satisfying thefollowing conditions, for some positive integer s,

(Cs) : R(Bs) ∩N (Ak) = 0 and N (Bs) ∩R(Ak) = 0,where A ∈ Cn×n, with k = ind(A).

We will prove that condition (Cs) is equivalent to rg(Bs) = rg(Ak) = rg(AkBsAk).Other characterizations will be given.

In first place, we will study the case s = 1. The Group inverse plays an impor-tant role in the study of the stability of Markov chains. We will extend the resultsobtained to the case s > 1.

In the Section 3.4 we will apply the results obtained in previous sections to giveseveral results of perturbation.

From a formula for BD in terms of B−A and Bπ−Aπ, which is valid for matricesrelated for I−(Bπ−Aπ)2 is nonsingular, we will derive upper bounds for the Drazininverse of B and its relative error.

For the matrices such that ind(B) = 1 and (C1) we will obtain an explicit formu-la of B], which we will deduce upper bounds for ‖B] −AD‖/‖AD‖ and ‖Bπ −Aπ‖.

We will expand the results obtained to the case s > 1, deducing an explicit ex-pression of BD and, upper bounds for the relative error of the Drazin inverse and‖BBD − AAD‖.

In Section 3.5 we will obtain an estimate of ‖Bπ − Aπ‖ in terms the orthogonalprojections onto the nullspaces and ranges of Bs and Ak.

We will apply the upper bounds for the Drazin inverse and for the perturbationfor relative error to perturbed linear systems.

Finally, we will study a special class of perturbation matrices B = A + E, insidethe class (Cs), which includes to matrices such that B2ADA = (BADA)2. We willdeduce an explicit formula for the Drazin inverse of these matrices, which we willobtain a new upper bound for ‖BD − AD‖/‖AD‖.

The main results obtained in Section 3.2 generalize [16, Theorem 2.1, Theorem3.1 and Corollary 2.3], it where were characterized the matrices with same eigen-

xvii

projections at zero.In a numerical example we show that our bounds obtained in Section 3.3, for

s = 1, are better than other upper bounds given in [62, Theorem 3] and [97, Theo-rem 4 and Theorem 5], and for the case s > 1 that the upper bounds deduced in[97, Theorem 1, Theorem 4 and Theorem 5] and [98, Theorem 4.1].

The application to lineal singular systems generalizes [100, Theorem 4.1] and themain result of Section 3.5.3 generalizes [63, Theorem 3.2].

A part of results for perturbation of the eigenprojection at zero has been publis-hed with the title Characterizations of matrices whose eigenprojections atzero are equal to a fixed perturbation, [19], and those related with the studyof matrices that verify (Cs) will be with the name Characterizations of a classof matrices and perturbation of the Drazin inverse, [18].

In Chapter 4 it will be studied the perturbation of the Drazin inverse of rec-tangular matrices that we will call W-Drazin inverse, AD,W .First, we will give diverse aspects of the W-Drazin inverse and of W-support idem-potent of A, that we will denote by Aσ,W .

In Section 4.3 we will give several characterizations of the rectangular matrices Bwith W-supports idempotentes related by the condition WBσ,W = WAσ,W , amongother results. Moreover, we will study those that verify the symmetrical conditionBσ,W W = Aσ,W W and those with equal W-support idempotente.

In Section 4.4, we will derive upper bounds for the W-Drazin inverse of B andfor ‖BD,W − AD,W‖/‖AD,W‖.

Finally, we consider an application to the perturbation of linear systems.

In particular, if the matrices are square and W = I we recover the results of [16,Theorem 2.1] related to the characterization of matrices with equal eigenprojectionsat zero and the perturbation by them, and their extension to bounded linear opera-tors [78, Theorem 3.2].

The perturbation results obtained generalize the result in [101, Theorem 1] andfor bounded linear operators in [78, Corollary 3.3 and Corollary 3.4].

In the application to linear systems it generalizes [101, Theorem 2], for rectan-gular matrices, and [78, Theorem 4.4], for bounden linear operators.

The main results of this chapter will appear published under the title Theweighted Drazin inverse of perturbed matrices with related support idem-potents, [20].

In Chapter 5 we will extend to the setting of rings and Banach algebras theresults for matrices, given in Chapter 3, with eigenprojections at zero related by thecondition I − (Bπ − Aπ)2 is nonsingular, among other results.

xviii

In Section 5.2 we will introduce the concepts of spectral idempotent, quasipo-lar and regular elements in a ring. We will define the Drazin inverse of quasipolarelements, generalizing the conventional Drazin inverse. This inverse will be denomi-nated generalized Drazin inverse or g-Drazin inverse. An expression matricial willbe given for elements of rings and Banach algebras.

In Section 5.3 we will characterize the g-Drazin invertibles elements b with spec-tral idempotent related by the condition 1 − (bπ − aπ)2 is invertible. Also, we willgive a matrix representation for such elements.

In Section 5.4 we apply this result in rings with involution to obtain a characte-rization of the perturbation of EP elements.

Finally, in the setting of an complex associative Banach algebra with unit wewill be derive upper bounds for ‖BD − AD‖ and ‖BD‖.

The Theorem 5.3.5 generalizes the result in [51, Theorem 6.1], where they con-sidered elements with equal with spectral idempotent and were applied the resultsobtained to give a new characterization of EP elements.

If bπ = aπ, we obtain a characterization of EP elements in rings with involutionand, in particular, for matrices it has [16, Theorem 5.2].

The main results of this chapter are picked up in the article Elements in ringsand Banach algebras with related spectral idempotents, [21].

In Chapter 6 we will study the class of bounded linear operators on a complexBanach space, B ∈ B(X ), Group invertibles which induce the space decompositions:

X = R(Ak)⊕N (B) and X = R(B)⊕N (Ak), (2)

where A ∈ B(X ) is Drazin invertible with ind(A) = k, which is equivalent to thespectral projections associated with 0 of B and A are related by the conditionI − Bπ − Aπ is invertible in B(X ). We will extend some of the results for matricesthat verify the condition (C1) to bounded operators.

In Section 6.2 we will expose some concepts and results of the theory of Drazininvertibles and g-Drazin invertibles operators.

In Section 6.3 we will study the operators T ∈ B(X ) which matrix form, withrespect to the decomposition of the Banach space X = X1 ⊕ X2, can be written asfollow:

T =

(T11 T12

T21 T21T−111 T12

), T11 is invertible in B(X1).

We will obtain a matrix form of the resolvent operator, of the Group inversespectral projection for this class of operators.

In Section 6.4 we will introduce the class (2). We will characterize this classof operators, giving a matrix form with respect to the topological decompositionX = R(Ak)⊕N (Ak), with k = ind(A). We will show that I+AD(B−A) is invertible

xix

in B(X ) and that (I + AD(B − A))−1AD is an algebraic generalized inverse, (1, 2)-inverse of B. The (1, 2)-inverse operator of B is called algebraic inverse or AG-inverseof B. We observe that if an operator B is Group invertible, then B is AG-invertible.We will give several characterizations of the AG-inverse operators.

In Section 6.5 we will analyze the perturbation of the Drazin inverse for theoperators studied in the previous section. We will apply the results obtained toderive upper bounds for ‖B]−AD‖ and ‖BB]−AAD‖. Also we will deduce a resultabout the continuity of Group invertible bounded operators.

In Section 6.6 we will characterize the g-Drazin invertibles operators B ∈ B(X )that verify the conditions

X = K(A)⊕H0(B) and X = K(B)⊕H0(A),

where the previous spaces were defined by M. Mbekhta in [64].Further, we will obtain an estimate for ‖Bπ − Aπ‖, when X is a Hilbert space.Finally, in Section 6.7, given an g-Drazin invertible operator A ∈ B(X ), we will

characterize the g-Drazin invertibles operators B ∈ B(X ) related by the conditionpr(Bπ) = pr(Aπ + S), where pr is the natural homomorphism of B(X ) onto theCalkin algebra and S ∈ B(X ) is given.

The class given by the conditions (2) generalizes the class of matrices (C1), in-troduced in Chapter 3. In particular, the case Bπ = Aπ for matrices were studied in[16] and for closed operators in [17] and, in [51] for elements in a ring.

The Theorem 6.3.2 generalizes [4, Theorem 7.7.7], where the result was given forblocks matrices.

In Theorem 6.4.4 we extend to operators the results given for matrices in Theo-rem 3.3.7.

The results of perturbation given in section 6.5 generalize those obtained in sec-tion 3.4.1 for matrices (C1).

Finally, if pr(Bπ) = pr(Aπ), the Corollary 6.7.5 we obtain [76, Corollary 2.3].

A part of the results of this chapter are picked up in article On the perturba-tion of the Group generalized inverse for a class of bounded operatorsin Banach spaces, [22].

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Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Inversas generalizadas. La inversa de Moore-

Penrose y las (i, j, k)-inversas

Sea el sistema de ecuaciones lineales

Ax = b, A ∈ Cm×n, x ∈ Cn y b ∈ Cm. (1.1)

Representamos por R(A) al subespacio imagen de A y por rg(A) al rango de A.El sistema anterior se dice que es consistente si b ∈ R(A) e inconsistente si b /∈ R(A).En el primer caso, si n = rg(A), el sistema (1.1) tiene solucion unica y, si n > rg(A),entonces tiene infinitas soluciones.

Serıa deseable encontrar para todos los casos una matriz apropiada G ∈ Cm×n

tal que x = Gb fuera algun tipo de solucion del sistema (1.1), denominandose a Ginversa generalizada de A. En particular, si A es una matriz invertible, entoncesG = A−1.

En 1935, E. H. Moore dio la siguiente definicion de inversa generalizada. Por PUdenotamos a la proyeccion ortogonal sobre cualquier subespacio vectorial U .

Definicion 1.1.1 (Definicion de Moore). Sea A ∈ Cm×n. Se define la inversageneralizada de A como la unica matriz, A† ∈ Cm×n, tal que

(i) AA† = PR(A).

(ii) A†A = PR(A†).

1

2 1. Introduccion

En 1955, R. Penrose, quien aparentemente desconocıa el trabajo de Moore, diouna nueva definicion de la misma inversa generalizada.

Definicion 1.1.2 (Definicion de Penrose). Sea A ∈ Cm×n. Se define la inversageneralizada de A como la unica matriz A† ∈ Cn×m tal que

(i) AA†A = A.

(ii) A†AA† = A†.

(iii) (AA†)∗ = AA†.

(iv) (A†A)∗ = A†A.

Por (·)∗ denotamos la traspuesta conjugada. A estas condiciones normalmentese las conoce como las condiciones de Penrose.

Claramente se observa que cuando A ∈ Cn×n es no singular esta inversa genera-lizada se reduce a la inversa usual A−1.

En [4, Teorema 1.1.1] se demuestra que ambas definiciones son equivalentes yesta inversa generalizada A† es llamada inversa de Moore-Penrose en honor a E. H.Moore y R. Penrose.

A continuacion damos la definicion funcional de una inversa generalizada de unaaplicacion lineal A de Cn en Cm asociada a una descomposicion de los espacios inicialy final de la aplicacion, [4, Definicion 6.2.1]. Recordemos que U1 y U2 son subespacioscomplementarios de Cn si Cn = U1⊕U2. Denotamos por N (A) al subespacio nucleode A.

Definicion 1.1.3. Sea A : Cn −→ Cm una trasformacion lineal y, N y R subespacios

complementarios de N (A) y R(A), respectivamente. Tomamos A1 = A∣∣∣N

y x ∈ Cm,

x = x1 ⊕ x2, donde x1 ∈ R(A) y x2 ∈ R. La trasformacion lineal

GN,R : Cm −→ Cn

x 7−→ A−11 x1

es llamada la (N,R)-inversa generalizada de A.

Dados N y R, la trasformacion GN,R es unica, por lo tanto, si A ∈ Cm×n es lamatriz asociada a la aplicacion A, podemos definir GN,R ∈ Cn×m como la matriz

asociada a la aplicacion GN,R respecto de las bases canonicas de Cm y Cn.

1. Introduccion 3

Si representamos como U⊥ al subespacio ortogonal del subespacio U , entonces,de las igualdades

(i) R(A)⊥ = N (A∗) = N (A†).

(ii) N (A)⊥ = R(A∗) = R(A†).

se deduce que la inversa de Moore-Penrose es la (R(A∗), N (A∗))-inversa generali-zada de A.

A continuacion vemos que tipo de solucion de un sistema lineal de ecuaciones nosaporta la inversa de Moore-Penrose. Si el sistema (1.1) es inconsistente un tipo desolucion a buscar podrıa ser aquellos vectores u ∈ Cn tal que la diferencia Au− b ennorma sea lo menor posible. Ası, decimos que u ∈ Cn es una solucion por mınimoscuadrados del sistema dado si ‖Au− b‖ ≤ ‖Av − b‖, para todo v ∈ Cn.

El vector u es llamado solucion por mınimos cuadrados de norma mınima si‖u‖ ≤ ‖w‖, para cualquier otra solucion por mınimos cuadrados w.

La inversa de Moore-Penrose nos aporta la solucion por mınimos cuadrados denorma mınima, [4, Teorema 2.1.1].

Teorema 1.1.4. Sean A ∈ Cm×n y b ∈ Cm. Entonces A†b es la solucion por mınimoscuadrados de norma mınima para el sistema Ax = b.

Otra clase de inversas generalizadas lo constituye las llamadas (i, j, k)-inversasgeneralizadas.

Definicion 1.1.5. Dada una matriz A ∈ Cm×n, una matriz G ∈ Cn×m es una(i, j, k)-inversa generalizada de A si G satisface la i -esima, j -esima y k -esima con-diciones de Penrose.

El conjunto de todas las (i, j, k)-inversas de A se indicara por Ai, j, k. Porejemplo, G es una (1, 3)-inversa de A si AGA = A y (AG)∗ = AG, en este casodecimos que G ∈ A1, 3, pudiendo G satisfacer o no las restantes condiciones dePenrose.

A continuacion expondremos una tabla dando los tipos mas usuales de (i, j, k)-inversas y sus propiedades mas significativas.

4 1. Introduccion

Tipo de inversa Nombre Propiedades

(1)-inversa Inversa queresuelve ecua-ciones o inversainterior

G ∈ A1 ⇔ Gb es una solucion deAx = b, para todo b ∈ R(A)

(1,2)-inversa (N, R)-inversageneralizada oinversa reflexiva

Si G ∈ A1, 2, entonces tenemosCn = N (A)⊕R(G) y tambien Cm =R(A)⊕N (G). Cada (1,2)-inversa de-fine subespacios complementarios deR(A) y de N (A)

(1,3)-inversa Inversa de mıni-mos cuadrados

G ∈ A1, 3 ⇔ Gb es una solucionpor mınimos cuadrados de Ax = b,para todo b ∈ Cm

(1,4)-inversa Inversa de nor-ma mınima

G ∈ A1, 4 ⇔ Gb es la solucion demınima norma de Ax = b, para todob ∈ R(A)

(1,2,3,4)-inversa Inversa deMoore-Penroseo Inversa pormınimos cuadra-dos de normamınima, A†

A1, 2, 3, 4 contiene exactamente unelemento, A†. El vector A†b es la solu-cion por mınimos cuadrados de nor-ma mınima del sistema Ax = b. Sib ∈ R(A), entonces A†b es la solu-cion de norma mınima

Cuadro 1.1: (i, j, k)-inversas mas usuales

Una caracterıstica fundamental de las (i, j, k)-inversas es que proporcionan alguntipo de solucion, o solucion por mınimos cuadrados, para un sistema lineal de ecua-ciones algebraicas. Por este hecho, las (i, j, k)-inversas son tambien llamadas in-versas que “resuelven ecuaciones”. Sin embargo, hay ciertas propiedades que noposeen y que serıa deseable que tuvieran. Por ejemplo, si A, B ∈ Cn×n y Ag, Bg

son (i, j, k)-inversas cualesquiera para A y B, respectivamente, vemos que ninguna(i, j, k)-inversa verifica todas las propiedades siguientes:

(i) AAg = AgA.

(ii) (Ag)p = (Ap)g, para algun p ∈ N.

(iii) Si λ ∈ σ(A) \ 0 ⇒ 1

λ∈ σ(Ag).

1. Introduccion 5

(iv) Ap+1Ag = Ap, para algun p ∈ N.

(iv) Si B = PAP−1 ⇒ Bg = PAgP−1.

La inversa generalizada llamada inversa de Drazin y, su caso particular, el Gru-po inverso verifican las propiedades anteriores. Esta inversa sera estudiada en elCapıtulo 2.

En relacion con las (i, j, k)-inversas la inversa de Drazin pertenece a A2 y elGrupo inverso a A1, 2.

1.2. Una breve resena historica de la inversa de

Drazin

Sea R un anillo asociativo con unidad e 6= 0.

En [29, (1958)], M. P. Drazin, introduce el concepto de inversa de Drazin en elmarco de un anillo o semigrupo:

Un elemento x ∈ R se dice que es pseudo-invertible (en R), si existe unelemento c ∈ R satisfaciendo

cx = xc, x− x2c es nilpotente en R y c = c2x.

Esta pseudo-inversa es, generalmente, llamada inversa de Drazin clasica o con-vencional. Se observa que la condicion x − x2c es nilpotente es equivalente a decirque xm = xm+1c para algun entero positivo m. El entero mas pequeno que verificala condicion anterior se denomina ındice de x.

Un elemento a ∈ R es llamado polar si existe un elemento idempotentep ∈ R tal que,

pa = ap, ap es nilpotente en R y a + p es invertible en R.

Cualquier elemento p que satisfaga estas condiciones es denominado un espectroidempotente de a. Todo elemento polar tiene un unico espectro idempotente. Loselementos polares son los Drazin invertibles segun la definicion dada por Drazin.

6 1. Introduccion

Llamamos B(X ) al conjunto de todos operadores lineales y acotados definidossobre un espacio de Banach complejo X . En [8, (1974)], S. R. Caradus prueba queun operador T ∈ B(X ), tiene inversa de Drazin, con ındice de Drazin igual a k ≥ 1,si y solo si el operador resolvente R(λ; T ) tiene un polo de orden k en λ = 0 y, en[7, (1978)], estudia la inversa de Drazin clasica en B(X ).

En [4, (1979)], S. L. Campbell y C. D. Meyer, desarrollan e investigan la inversade Drazin convencional para matrices cuadradas complejas.

Si A ∈ Cm×n, obviamente, la definicion de la inversa de Drazin clasica definidaen el contexto de un anillo no puede ser aplicada a matrices rectangulares.

R. E. Cline y T. N. E. Greville, en [25, (1980)], definen la inversa de Drazin deuna matriz rectangular A ∈ Cm×n, usando una matriz auxiliar W ∈ Cn×m:

Sean A y W matrices rectangulares de dimensiones adecuadas. Se diceque X es la W-Drazin inversa de A si

AWX = XWA, XWAWX = X y AW−(AW )2XW es nilpotente.

En [74, (1981)], S. Qiao, extiende la W-Drazin inversa a la teorıa de operadoreslineales y acotados definidos entre espacios de Banach complejos distintos.

Un operador T ∈ B(X ) es cuasipolar si el 0 no es un punto de acumulacion delespectro de T y polar si el 0 es un polo de la resolvente de T .

R. E. Harte, en [34, (1984)], introduce la inversa de Drazin para operadorescuasipolares haciendo referencia a la inversa de Drazin para operadores polares.Tambien, en [36, (1988)], investiga los elementos cuasipolares de un algebra normadageneral.

En [35, (1991)], R. E. Harte introduce el concepto de elemento cuasipolar en unanillo y su inversa de Drazin, que denominaremos g-Drazin inversa.

Ası mismo, define los elementos cuasinilpotentes a como aquellos tales que e−xaes invertible en R, para todo x que conmuta con a. Esta definicion esta asociadaa la nocion de elemento cuasipolar. Denotamos por comm2(a) al conjunto de todoslos elementos que conmutan con cualquier elemento que conmute con a:

Un elemento a ∈ R es cuasipolar si existe un elemento b ∈ R tal que,

b ∈ comm2(a), ab = (ab)2 y a− a2b es cuasinilpotente en R.

Un elemento b que satisfaga las condiciones anteriores y ademas b = ab2

es llamado g-Drazin inversa de a.

1. Introduccion 7

Los elementos cuasipolares en un anillo se pueden caracterizar de la siguienteforma:

Un elemento a ∈ R es cuasipolar si y solo si existe un elemento idem-potente p ∈ R tal que,

p ∈ comm2(a), ap es cuasinilpotente en R y a+p es invertible en R.

Los elementos cuasipolares en anillos y algebras de Banach, y los operadores enB(X ) cuasipolares seran los elementos g-Drazin invertibles y operadores g-Drazininvertibles, respectivamente.

En [72, (1992)], M. Z. Nashed e Y. Zhao extienden la inversa de Drazin conven-cional a operadores lineales y cerrados:

Un operador lineal y cerrado T es Drazin invertible si y solo si el 0 esun polo de la resolvente de T .

J. J. Koliha, en [48, (1996)], introduce la g-Drazin inversa para elementos de unalgebra de Banach unitaria, B:

Un elemento a ∈ B es g-Drazin invertible si existe un b ∈ R tal que,

ab = ba, b = ab2 y a− a2b es cuasinilpotente en B.

El elemento b es la g-Drazin inversa de a.

En [57, (2001)], J. J. Koliha y T. D. Tran, definen la g-Drazin inversa de unoperador cerrado T en un espacio de Banach en el caso que el 0 sea un punto aisladodel espectro de T .

Recientemente, A. Dajic y J. J. Koliha, [26], han extendido el concepto de g-Drazin inversa a operadores lineales acotados entre espacios de Banach distintos,W-g-Drazin inversa.

8 1. Introduccion

Capıtulo 2

La inversa de Drazin. Definicionesy resultados

2.1. Introduccion

En este capıtulo se expondran los principales conceptos y propiedades acerca dela inversa de Drazin de matrices cuadradas.

En la Seccion 2.2 se introducira la nocion de ındice y las definiciones funcionaly algebraica de la inversa de Drazin. Se daran dos representaciones de una matrizsingular: la descomposicion core-nilpotente y la descomposicion ındice 1-nilpotente,que seran de gran utilidad en los estudios posteriores.

En la Seccion 2.3 se daran algunas propiedades basicas de la inversa de Draziny de su caso especial, el Grupo inverso. Tambien se introduciran las matrices EP .

En la Seccion 2.4 se definira el concepto de proyeccion espectral de una matrizcorrespondiente al autovalor 0 y se vera su relacion con la inversa de Drazin. Tambiense dara una caracterizacion de la proyeccion espectral y varias de la equivalenciasde [16, Theorem 2.1], donde se caracterizaban las matrices con igual proyeccionespectral, entre otros resultados previos.

La Seccion 2.6 recogera varias representaciones de la inversa de Drazin, y delGrupo inverso, de una matriz por bloques.

Se finalizara este capıtulo dando una aplicacion de la inversa de Drazin a laresolucion de sistemas singulares.

9

10 2. La inversa de Drazin. Definiciones y resultados

2.2. Definiciones

Existen dos posibles enfoques a la hora de dar una definicion de la inversa deDrazin: el funcional o geometrico y el algebraico. Se expondran ambas definicionesque resultaran ser equivalentes.

Antes, introducimos los conceptos de ındice de una trasformacion lineal e ındicede una matriz cuadrada.

Definicion 2.2.1. Sea A una transformacion lineal de Cn en Cn. Llamamos ındicede A y lo representamos como ind(A) al entero no negativo k mas pequeno tal queN (Ak) = N (Ak+1) o, equivalentemente, al entero no negativo k mas pequeno talque R(Ak) = R(Ak+1).

Si A ∈ Cn×n es la matriz asociada a la trasformacion lineal A, entonces sidenotamos el ındice de A como ind(A), se tiene que ind(A) = ind(A).

Tambien se define el ındice de A como el entero no negativo k mas pequeno talrg(Ak) = rg(Ak+1).

A continuacion damos un lema previo a la definicion funcional de la inversa deDrazin, [4, Lema 7.2.2].

Lema 2.2.2. Si A es una transformacion lineal sobre Cn e ind(A) = k, entonces

A1 = A∣∣∣R(Ak)

es una transformacion lineal invertible sobre R(Ak).

Ahora formulamos la definicion funcional de la inversa de Drazin de una trans-formacion lineal, A, sobre Cn.

Definicion 2.2.3 (Definicion funcional). Sea A una transformacion lineal so-

bre Cn tal que ind(A) = k. Sea A1 = A∣∣∣R(Ak)

y tomemos x = u + v, donde x ∈ Cn,

u ∈ R(Ak) y v ∈ N (Ak). La transformacion lineal definida por ADx = A−11 u es

llamada inversa de Drazin de A.Si A ∈ Cn×n es la matriz de la transformacion lineal A, entonces se define la inversade Drazin de A, AD, como la matriz de la aplicacion lineal AD respecto de la basecanonica de Cn.

Seguidamente damos la definicion algebraica de la inversa de Drazin de unamatriz cuadrada.

Definicion 2.2.4 (Definicion algebraica). Sea A ∈ Cn×n. Se define la inversade Drazin de A como la matriz AD ∈ Cn×n tal que


(i) ADAAD = AD. (inversa exterior)

(ii) AAD = ADA.

(iii) Ak+1AD = Ak, para algun entero k ≥ 0.

El menor k que verifica (iii) es el ind(A).

En adelante, por O y I denotaremos a una matriz nula y a una matriz identidad,de dimensiones adecuadas, respectivamente.

Observacion 2.2.5. La condicion (iii) de la definicion anterior es equivalente adecir que A− A2AD es nilpotente de ındice k. En efecto,

(A(I − AAD)

)k= Ak(I − AAD)k = Ak(I − AAD) = O ⇔ Ak = Ak+1AD.

En [4, Teorema 7.2.2] se demuestra que las definiciones funcional y algebraicason equivalentes.

2.2.1. Descomposicion core-nilpotente

En el siguiente teorema se damos una representacion matricial de la inversa deDrazin de una matriz cuadrada A. Esta representacion es llamada descomposicioncore-nilpotente de A, [4, Teorema 7.2.1].

Teorema 2.2.6 (Descomposicion core-nilpotente de A). Si A ∈ Cn×n es talque ind(A) = k ≥ 0 y rg(Ak) = r, entonces existe una matriz no singular P ∈ Cn×n

tal que

A = P

(A1 OO A2

)P−1, (2.1)

donde A1 ∈ Cr×r es no singular y A2 ∈ Cn−r×n−r es nilpotente, con ındice denilpotencia k. Y con estas condiciones

AD = P

(A−1

1 OO O

)P−1. (2.2)

De la observacion de las formas (2.1) y (2.2) se deduce que si A es nilpotente,entonces el bloque A1 es vacıo y por consiguiente AD = O. Si el bloque A2 es vacıo,entonces A es no singular y AD = A−1.

Si A2 = O, entonces ind(A) = 1 y si A es no singular, entonces ind(A) = 0.


A lo largo de este trabajo las matrices M ∈ Cn×n representadas en la forma

M = P

(M1 M12

M21 M2

)P−1 seran respecto a la representacion (2.1).

A continuacion se expondra un algoritmo para obtener la descomposicion core-nilpotente de la matriz A, hallando explıcitamente las matrices P , A1 y A2.

Antes damos la siguiente definicion.

Definicion 2.2.7. Una matriz H ∈ Cn×n esta en forma de hermite escalonada sisus elementos hij satisfacen las condiciones siguientes:

(i) H es triangular superior.

(ii) hij es 0 o 1.

(iii) Si hii = 0, entonces hik = 0, 1 ≤ k ≤ n.

(iv) Si hii = 1, entonces hki = 0, ∀k 6= i.

Algoritmo 2.2.8. Calculo de AD donde A ∈ Cn×n e ind(A) = k.

1. Tomamos p un entero tal que p ≥ k, (p puede ser tomado igual a n).Si Ap = O, entonces AD = O. Asumimos que Ap 6= O.

2. Reducimos Ap a su forma de hermite escalonada por filas, HAp .Definicion 2.2.7.

3. Seleccionamos las columnas de Ap que ocupan la misma posicion que los ele-mentos no cero de la diagonal de HAp , y las llamamos v1, v2, · · · , vr. Esteconjunto constituye una base de R(Ak).

4. Formamos la matriz I−HAp y guardamos las columnas no cero y las llamamosvr+1, vr+2, · · · , vn. Este conjunto constituye una base de N (Ak).

5. Construimos la matriz no singular P = [v1 | .. | vr | vr+1 | ... | vn].

6. Calculamos P−1.

7. Hacemos el producto P−1AP . Esta matriz es de la forma

P−1AP =

(A1 OO A2

), donde A1 es no singular y A2 nilpotente.

8. Calculamos A−11 .


9. Calculamos AD = P

(A−1

1 OO O

)P−1.

En el Apendice B se dara un algoritmo recursivo, basado en la traza de unamatriz, para el calculo de la inversa de Drazin.

2.2.2. Descomposicion ındice 1-nilpotente

La descomposicion desarrollada en este apartado sera utilizada en el desarrollodel Capıtulo 3.

Definicion 2.2.9 (Descomposicion ındice 1-nilpotente). Dada una matrizA ∈ Cn×n, las matrices

CA = AADA y NA = A− CA = (I − AAD)A

son llamadas la parte core y la parte nilpotente de A, respectivamente. La represen-tacion

A = CA + NA

es llamada la descomposicion ındice 1-nilpotente de A.

En terminos de la descomposicion core-nilpotente de A dada en el Teorema 2.2.6tenemos las siguientes representaciones:

CA = P

(A1 OO O

)P−1 y NA = P

(O OO A2

)P−1.

La descomposicion ındice 1-nilpotente es unica en el sentido siguiente, [1, Teore-ma 11, Capıtulo 4].

Teorema 2.2.10. Sea A ∈ Cn×n con ind(A) = k. Entonces A tiene una unicadescomposicion ındice 1-nilpotente

A = CA + NA

tal que ind(CA) = 1, NkA = O y

CANA = NACA = O.

Ademas,Ap = Cp

A + NpA, para todo p ≥ 1, y AD = CD

A .


El siguiente corolario es una consecuencia inmediata del teorema anterior. Sudemostracion es obvia.

Corolario 2.2.11. Si A ∈ Cn×n y p es un entero positivo, entonces CpA = CAp,

NpA = NAp y Ap = CAp + NAp. Si p ≥ ind(A), entonces Ap = Cp

A.

2.3. Propiedades de la inversa de Drazin

De las definiciones algebraica y funcional se tienen las siguientes propiedades.

Propiedades 2.3.1. Sea A ∈ Cn×n tal que ind(A) = k. Entonces,

(i) R(AD) = R(AAD) = R(Ak).

(ii) N (AD) = N (AAD) = N (Ak).

(iii) Ap+1AD = Ap, para todo p ≥ k.

(iv) B = QAQ−1 ⇒ BD = QADQ−1.

A continuacion damos una formula que nos permitira obtener la inversa de Drazinen terminos de cualquier (1)-inversa de una potencia de A, que sera denotada comoA−, [33, Teorema 2.1.5]. Recordemos que si A− es una (1)-inversa de A, entoncesAA−A = A. Se incluye su demostracion por completitud.

Teorema 2.3.2. Sea A ∈ Cn×n con ind(A) = k. Entonces, para cada entero p ≥ k,y cualquier (1)-inversa de A2p+1, se tiene

AD = Ap(A2p+1)−Ap.

Dem. Sea

A = P

(A1 OO A2

)P−1,

donde A1 y P son no singulares y A2 es nilpotente con ındice de nilpotencia k.Entonces,

A2p+1 = P

(A2p+1

1 OO O

)P−1.

Si G = P

(G1 G12

G21 G2

)P−1 es una (1)-inversa de A2p+1, entonces de A2p+1GA2p+1 =

A2p+1. De aquı se sigue que

G = P

(A−2p−1

1 G12

G21 G2

)P−1.


Luego, AD = ApGAp. ¤

Notemos que, para todo entero p ≥ k, ind(A2p+1) = 1 y, por lo tanto, A2p+1

posee (1)-inversa.

El siguiente corolario se deduce del hecho de que la inversa de Moore-Penrose deA2p+1 es una (1)-inversa.

Corolario 2.3.3. Sea A ∈ Cn×n con ind(A) = k. Entonces, para cada enterop ≥ k, se tiene

AD = Ap(A2p+1)†Ap.

En particular, si ind(A) = 1, entonces

AD = A(A3)†A.

En general, la inversa de Drazin no posee la llamada regla del orden inverso. Estoes, (AB)D 6= BDAD. En el caso de la inversa de Moore-Penrose, la conmutatividadde A y B no es suficiente para garantizar que (AB)† = B†A†. Sin embargo, en elcaso de la inversa de Drazin la conmutatividad si es suficiente.

A continuacion mostramos algunas de las propiedades que se derivan de la con-mutatividad de A y B, [4, Teorema 7.8.4 y Corolario 7.8.3].

Teorema 2.3.4. Sean A, B ∈ Cn×n tales que AB = BA. Entonces,

(i) (AB)D = BDAD = ADBD.

(ii) ADB = BAD y ABD = BDA.

(iii) ind(AB) ≤ maxind(A), ind(B).

En general, incluso si AB 6= BA,

(iv) (AB)D = A((BA)2)DB.

En el siguiente resultado damos una formula que posibilita construir AD a partirde una solucion de la ecuacion Ak+1X = Ak, [4, Teorema 7.8.5].

Teorema 2.3.5. Sean A, B ∈ Cn×n tales que Ap+1B = Ap, para algun p ≥ ind(A).Entonces,

AD = ApBp+1.


2.4. La proyeccion espectral asociada al autovalor

cero

En esta seccion se introducira el concepto de proyeccion espectral correspondienteal autovalor 0. Se dara una caracterizacion de las proyecciones espectrales y de lasmatrices con igual proyeccion espectral.

Dados dos subespacios complementarios U y V de Cn, cada x ∈ Cn se puedeescribir de modo unico como x = u + v, con u ∈ U y v ∈ V .

El unico operador lineal P definido por Px = u es llamado proyector oblicuo, oproyeccion oblicua, sobre U en la direccion, o a lo largo, de V y lo denotaremos porPU ,V .

El proyector PU ,V tiene las siguientes propiedades:

P 2 = P , i.e., P es idempotente.

I − P es el proyector sobre V en la direccion de U .

R(P ) = N (I − P ) = U y R(I − P ) = N (P ) = V .

Sean los subespacios complementarios N (Ak) y R(Ak), donde k = ind(A). Laproyeccion PN (Ak),R(Ak), proyeccion oblicua sobre N (Ak) en la direccion de R(Ak),definida por

PN (Ak),R(Ak)x =

0 si x ∈ R(Ak),x si x ∈ N (Ak),

es llamada la proyeccion espectral de A correspondiente al autovalor 0 y se denotapor Aπ. Obviamente, I − Aπ = PR(Ak),N (Ak) es el proyector complementario.

En [33, Teorema 1.3.1] se demuestra que para toda matriz idempotente A, lossubespacios R(A) y N (A) son complementarios y A = PR(A),N (A).

La matriz AAD es idempotente luego, de la igualdad anterior y de las Propiedades2.3.1 (i) y (ii), se tiene que

AAD = PR(AAD),N (AAD) = PR(Ak),N (Ak),

y ası resulta la relacion entre la proyeccion espectral y la inversa de Drazin dada por

AAD = ADA = I − Aπ.


A continuacion damos la expresion matricial del proyector Aπ respecto la des-composicion core-nilpotente de A.

Proposicion 2.4.1. Sea A ∈ Cn×n con ind(A) = k. Entonces la proyeccion espectralde, Aπ, tiene una representacion, respecto de la descomposicion core-nilpotente deA, dada por

Aπ = P

(O OO I

)P−1.

Dem. Por el Teorema 2.2.6 se tiene que AD = P

(A−1

1 OO O

)P−1. Ası,

Aπ = P

[(I OO I

)−

(A−1

1 OO O

)(A1 OO A2

)]P−1 = P

(O OO I

)P−1.

Lo que demuestra el resultado. ¤

La siguiente proposicion muestra una serie de relaciones existentes entre A, AD

y Aπ. Se utilizara el hecho sabido de que si M es nilpotente, o sea, σ(M) = 0,donde σ(M) es el espectro de la matriz M , entonces I + M es no singular.

Proposicion 2.4.2. Sea A ∈ Cn×n con ind(A) = k. Entonces,

(i) ADAπ = AπAD = O.

(ii) A + Aπ es no singular.

(iii) AD + Aπ es no singular.

Dem. Su demostracion es trivial. ¤

Seguidamente establecemos una expresion para la inversa de Drazin de una ma-triz A en terminos de su proyeccion espectral.

Proposicion 2.4.3. Sea A ∈ Cn×n con ind(A) = k. Entonces,

AD = (A + Aπ)−1(I − Aπ) = (I − Aπ)(A + Aπ)−1. (2.3)

Dem. Sean

A = P

(A1 OO A2

)P−1, Aπ = P

(O OO I

)P−1 y AD = P

(A−1

1 OO O

)P−1,


donde A1 es no singular y A2 es nilpotente de ındice de nilpotencia k. Entonces,

(A+Aπ)−1(I−Aπ) = P

(A−1

1 OO (A2 + I)−1

)(I OO O

)P−1 = P

(A−1

1 OO O

)P−1 = AD.

Similarmente se demuestra la segunda igualdad. ¤

A continuacion damos algunos resultados, involucrando a la proyeccion espectral,que seran utilizados mas adelante.

La siguiente caracterizacion de la proyeccion espectral es una consecuencia de[56, Teorema 2.3].

Lema 2.4.4. Sean A, Q ∈ Cn×n. Entonces Q = Aπ si y solo si

Q2 = Q, AQ = QA, σ(AQ) = 0, A + Q es no singular. (2.4)

Dem. Sea Aπ = P

(O OO I

)P−1. Consideramos Q = Aπ, entonces las condiciones

(2.4) se verifican por simple calculo.

Recıprocamente, tomamos Q = P

(Q1 Q12

Q21 Q2

)P−1. De AQ = QA se sigue

AkQ = QAk luego, para todo k ≥ ind(A), se tiene

P

(Ak

1Q1 Ak1Q12

O O

)P−1 = P

(Q1A

k1 O

Q21Ak1 O

)P−1.

Ası, usando que A1 es no singular, se obtiene que Q12 = Q21 = O. Por otra parte,del hecho que Q es una proyeccion, se deduce que Q2 y Q1 son tambien proyecciones.

Ahora,

AQ = P

(Q1A1 O

O Q2A2

)P−1

es nilpotente luego existe p ≥ 0 tal que (AQ)p = O, entonces Ap1Q

p1 = Ap

1Q1, puestoque A y Q conmutan y Q2

1 = Q1. Ası, Q1 = O.Finalmente, como A + Q es no singular, entonces

(A + Q)k = P

(Ak

1 OO (A2 + Q2)

k

)P−1

es no singular, donde k ≥ ind(A). Luego

(A2 + Q2)k =

k∑j=0

(k

j

)Qk−j

2 Aj2 =

k−1∑j=0

(k

j

)Qk−j

2 Aj2 =

k−1∑j=0

(k

j

)Q2A

j2

= Q2

k−1∑j=0

(k

j

)Aj

2 = Q2(I + A2)k


es tambien no singular, y como (I + A2)k es no singular, entonces Q2 tambien lo es.

Ahora, Q22 = Q2 ⇔ Q2(Q2 − I) = O, por lo que Q2 = I. ¤

Notemos que la condicion σ(A) = 0 ha sido reemplazada por la condicionequivalente, A es nilpotente, ver [103].

En [16, Theorem 2.1] fueron dadas varias caracterizaciones de matrices con igualproyeccion espectral en el autovalor 0, esto es, se caracterizaron las matrices Btales que Bπ = Aπ. Las caracterizaciones (i) ⇔ (iv) ⇔ (v) del citado teorema sonextraıdas en el siguiente Teorema.

Teorema 2.4.5. Sea A ∈ Cn×n. Las siguientes condiciones sobre B ∈ Cn×n sonequivalentes:

(i) Aπ = Bπ.

(ii) B = Pdiag(B1 , B2)P−1 con B1 no singular, B2 nilpotente.

(iii) BD = (I + AD(B − A))−1AD = AD(I + (B − A)AD)−1.

Dem. (i) ⇒ (ii): Por el Lema 2.4.4 se tiene que (i) es equivalente a

AπB = BAπ, BAπ es nilpotente y B + Aπ es no singular.

Sea

B = P

(B1 B12

B21 B2

)P−1,

entoncesAπB = BAπ ⇔ B = Pdiag(B1 , B2)P

−1.

Ahora, BAπ es nilpotente entonces B2 tambien lo es y B1 es no singular debidoa que B + Aπ es no singular.

(ii) ⇒ (iii): De la expresion B = Pdiag(B1 , B2)P−1, con B1 no singular y B2 nilpo-

tente, se sigue BD = Pdiag(B−11 , O)P−1 y I + AD(B −A) = Pdiag(A−1

1 B1 , I)P−1

es no singular, entonces

(I + AD(B − A))BD = Pdiag(A−11 B1 , I)diag(B−1

1 , O)P−1

= Pdiag(A−11 , O)P−1 = AD.

Ahora, como σ(AD(B−A))\0 = σ((B−A)AD)\0, entonces I +(B−A)AD

es no singular y

BD(I + (B − A)AD) = Pdiag(B−11 , O) diag(B1A

−11 , I)P−1

= Pdiag(A−11 , O)P−1 = AD.


(iii) ⇒ (i): Manipulando las igualdades de (iii) se obtiene

BD = AD(I + (A−B)BD) = (I + BD(A−B))AD,

AD = BD(I − (A−B)AD) = (I − AD(A−B))BD.

Luego, R(AD) = R(BD) y N (AD) = N (BD), y ası Aπ = Bπ. ¤

2.5. El Grupo inverso y matrices EP

Acorde con la definicion de una (i, j, k)-inversa, dada en la Definicion 1.1.5, vemosque la inversa de Drazin no siempre es una (1)-inversa, i.e., no verifica la primeracondicion de Penrose de una inversa generalizada, AADA = A (inversa interior).

Sin embargo hay un caso especial de la inversa de Drazin en el que AD es una(1)-inversa para A ∈ Cn×n, este es el Grupo inverso, y se denotara como A].

Proposicion 2.5.1. Sea una matriz A ∈ Cn×n. Entonces,

AADA = A ⇔ ind(A) ≤ 1.

Dem. Si ind(A) = 0, entonces AD = A−1 y AADA = A. Supongamos que ind(A) =1. Relativa a la descomposicion core-nilpotente de A, se tiene que

A = P

(A1 OO O

)P−1 y AADA = P

(A1 OO O

)P−1.

Por lo que AADA = A. Recıprocamente, supongamos que AADA = A, entoncesA2 = O y por consiguiente ind(A) = 1. ¤

Se observa que cuando el ind(A) = 1 la ecuacion dada en la Definicion 2.2.4 (iii)se reduce a AA]A = A.

En la terminologıa empleada en la Definicion 1.1.3, el Grupo inverso de A es una(R(A), N (A))-inversa generalizada de A.

A continuacion introducimos el concepto de matriz EP , [4, Definicion 4.3.1].

Definicion 2.5.2. Una matriz A ∈ Cn×n singular es EP si A†A = AA†.

En [4, Teorema 4.3.1] se caracterizaron la matrices EP .


Teorema 2.5.3. Sea A ∈ Cn×n. Entonces las siguientes condiciones son equivalen-tes:

(i) A es una matriz EP .

(ii) R(A) = R(A∗).

(iii) Cn = R(A)⊕N (A).

(iv) Existe una matriz unitaria U y una matriz no singular A1 ∈ Cr×r, r = rg(A),tal que

A = U

(A1 OO O

)U∗.

De este resultado se deduce que una matriz A es EP si y solo si

AAπ = O y (Aπ)∗ = Aπ.

Se observa que la condicion AAπ = O es equivalente a que ind(A) = 1. Por lotanto, concluimos que si una matriz A es EP , entonces A tiene Grupo inverso.

En [4, Teorema 7.3.4] se demostro que las matrices EP son aquellas que suinversa de Drazin coincide con su inversa de Moore-Penrose.

Teorema 2.5.4. Sea una matriz A ∈ Cn×n. Entonces,

A es una matriz EP ⇔ A] = A†.


2.6. Inversa de Drazin de una matriz por bloques

En esta seccion se daran diversas representaciones matriciales de la inversa deDrazin de una matriz por bloques de la forma

M =

(A BC D

)∈ Cn×n, (2.5)

donde A y D son cuadradas.

En la actualidad no se conocen representaciones de MD en terminos de la inversade Drazin de sus bloques con A, B, C y D arbitrarios. Varios trabajos han sidorealizados considerando casos particulares.

Un caso de gran interes, y para el se tienen expresiones generales para la in-versa de Drazin en terminos de AD y DD, lo constituyen las matrices triangularessuperiores e inferiores por bloques. A continuacion damos su representacion, [68].

Teorema 2.6.1. Sean

M1 =

(A OC D

)y M2 =

(D CO A

), (2.6)

donde A y D son cuadradas con ind(A) = k e ind(D) = p. Entonces,

MD1 =

(AD OX DD

)y MD

2 =

(DD XO AD

),

donde

X = (DD)2

(k−1∑i=0

(DD)iCAi

)Aπ + Dπ

(p−1∑i=0

DiC(AD)i

)(AD)2 −DDCAD.

Se define O 0 = I.

De los resultados dados anteriormente se sigue directamente el siguiente corolario.

Corolario 2.6.2. Sean

M1 =

(A BO O

), M2 =

(A OB O

), M3 =

(O OB A

)y M4 =

(O BO A

),

donde A y cada Mi son cuadradas. Entonces,

MD1 =

(AD (AD)2BO O

), MD

2 =

(AD O

B(AD)2 O

), MD

3 =

(O O

(AD)2B AD

)y

MD4 =

(O B(AD)2

O AD

).


En [4, Teorema 7.7.6] se formulo una expresion para MD cuando rg(M) = rg(A).

Teorema 2.6.3. Sea M =

(A BC D

)∈ Cn×n con A ∈ Cr×r. Si rg(M) = rg(A) = r,

entonces

MD =

[I

CA−1

]((AS)2)DA

[I A−1B

]=

[I

CA−1

]A((SA)2)D

[I A−1B

],

donde S = I + A−1BCA−1.

El caso ind(M) = 1 es particularmente interesante. En el siguiente lema damosuna condicion para la existencia del Grupo inverso y una formula para su calculo,[4, Lema 3.3.1 y Teorema 7.7.7].

En [90], N. Thome e Y. Wei investigaron la ecuacion de rangos rg

(A BC X

)=

rg(A).

Teorema 2.6.4. Sea M =

(A BC D

)∈ Cn×n con A ∈ Cr×r no singular y llamamos

S = I + A−1BCA−1. Entonces,

(i) rg(M) = rg(A) ⇔ D = CA−1B.

En este caso, para todo entero k ≥ 1, Mk tiene una representacion dada por

Mk =

[I

CA−1

](AS)k−1A

[I A−1B

]. (2.7)

(ii) Si rg(M) = rg(A), entonces ind(M) = 1 ⇔ S es no singular.

En este caso, el Grupo inverso de M es dado por

M ] =

[I

CA−1

](SAS)−1

[I A−1B

].

Cuando A es no singular, la matriz M =

(A BC D

)puede ser representada como

sigue:

(I O

−CA−1 I

)(A BC D

)(I −A−1BO I

)=

(A OO D − CA−1B

).


La matriz D − CA−1B denomina el complemento de Schur de A en M .

Observamos que, bajo las hipotesis del Teorema 2.6.4, decir que rg(M) = rg(A)es equivalente a decir que el complemento de Schur de A en M es cero, esto es,D = CA−1B.

Si A es singular, entonces tenemos(

I O−CAD I

)(A BC D

)(I −ADBO I

)=

(A AπC

BAπ D − CADB

),

donde D − CADB es llamado el complemento generalizado de Schur de A en M .

Para finalizar esta seccion mencionaremos algunos de los trabajos realizados,considerando casos especiales, sobre la obtencion de representaciones explıcitas porbloques de la inversa de Drazin de la matriz (2.5):

- BC = O, DC = O y BD = O, ver [27].

- BC = O, DC = O ( o BD = O) y D nilpotente, ver [40].

- CAπ = O, AπB = O y el complemento generalizado de Schur de A en M esno singular o cero, ver [70, 96].

- CAπB = O, AAπB = O y el complemento generalizado de Schur de A en Mes no singular o cero, ver [40].

- A = B = I, C cuadrada y D = O, ver [10].

- CDA = C,ADBC = BCAD y D = O, ver [10].

Basado en este ultimo caso, N. Castro, E. Dopazo y J. Robles, en [11], obtuvieronuna formula explıcita para la inversa de Drazin de una matriz de la forma M =(

I P t

Q UV t

), donde U , V , P y Q son matrices de dimensiones n×k, y (·)t representa

la matriz traspuesta.

2.7. Aplicacion a la resolucion de sistemas singu-

lares

En esta seccion estudiaremos la aplicacion de la inversa de Drazin a la resolucionde un sistema lineal de ecuaciones algebraicas.


Recordemos que la inversa de Drazin no siempre es una (1)-inversa, i.e, no verificala primera condicion de Penrose, AADA = A, y por lo tanto no es una inversa delas llamadas inversas que “resuelven ecuaciones”.

Consideramos el sistema lineal consistente de ecuaciones algebraicas,

Ax = b, A ∈ Cn×n, x ∈ Cn y b ∈ R(A). (2.8)

Entonces ADb puede no ser una solucion de este sistema. De hecho, ADb es unasolucion de Ax = b si y solo si b ∈ R(Ak) donde k = ind(A). Observamos quesi ind(A) = 1, entonces A]b proporciona una solucion al sistema siempre que seaconsistente.

Si ind(A) = k y b ∈ R(Ak), entonces el conjunto de soluciones de (2.8) vienedado por ADb + N (Ak). Ademas, si x ∈ R(Ak), ADb es la unica solucion en elsubespacio R(Ak).

El siguiente teorema, [92], establece la formula de la solucion general del sistema(2.8) y que tipo de solucion es ADb.

Teorema 2.7.1. Sea Ax = b, A ∈ Cn×n, x ∈ Cn, b ∈ Cn, b ∈ R(Ak) e ind(A) = k.Entonces la solucion general del sistema es

x = ADb + Ak−1(I − ADA)z, con z ∈ Cn.

Ademas, ADb es la solucion del sistema con mınima P-norma, definida como‖x‖P = ‖P−1x‖2, donde P es la matriz de paso tal que P−1AP es la forma canonicade Jordan de A y x ∈ Cn.

Dem. Veamos que ADb es la solucion con mınima P-norma.

‖x‖2P = ‖P−1

(ADb + Ak−1

(I − ADA

)z) ‖2

2

=(P−1ADPP−1b + P−1Ak−1

(I − ADA

)PP−1z

)∗

× (P−1ADPP−1b + P−1Ak−1

(I − ADA

)PP−1z

)

=(P−1ADb

)∗ (P−1ADb

)+

(P−1Ak−1

(I − ADA

)PP−1z

)∗P−1Ak−1

× (I − ADA

)z +

(P−1b

)∗ ((P−1ADP

)∗ (P−1Ak−1

(I − ADA

)P

))

× P−1z +(P−1z

)∗ ((P−1Ak−1

(I − ADA

)P

)∗ (P−1ADP

))P−1b

≥ ‖P−1ADb‖22 + ‖P−1Ak−1

(I − ADA

)PP−1z‖2

2

= ‖ADb‖2P + ‖Ak−1

(I − ADA

)z‖2

P ≥ ‖ADb‖2P .

Luego, ‖ADb‖P ≤ ‖x‖P . ¤

Capıtulo 3

Caracterizacion de una clase dematrices y perturbacion de lainversa de Drazin

3.1. Introduccion

En [16], N. Castro, J. J. Koliha e Y. Wei establecieron varias caracterizaciones,en el marco de la inversa de Drazin, de las matrices con igual proyeccion espectralasociada al autovalor 0, esto es, caracterizaron las matrices B ∈ Cn×n tal que cum-plan la condicion Bπ = Aπ. Se vio que esta condicion es equivalente a que la inversade Drazin de B verifique la formula BD = (I + AD(B − A))−1AD. A partir de estarepresentacion se derivo una cota superior del error relativo de la inversa de Drazin

de B de la forma ‖BD−AD‖‖AD‖ ≤ ‖AD(B−A)‖

1−‖AD(B−A)‖ .

En este capıtulo se obtendran varias caracterizaciones de las matrices B relacio-nadas con A por la condicion,

I − (Bπ − Aπ)2 es no singular. (3.1)

Se demostrara que la condicion (3.1) implica que las proyecciones espectralesasociadas al cero de las matrices B y A son semejantes y que la inversa de Drazinde B verifica la formula BD = (I +Bπ−Aπ +AD(B−A))−1AD(I −Bπ +Aπ). Estaexpresion nos permitira deducir una cota superior de ‖BD − AD‖, en terminos de‖AD(B − A)‖ y ‖Bπ − Aπ‖.

Se introducira la clase de matrices B ∈ Cn×n las cuales satisfacen la siguiente

27

28 3. Caracterizacion de una clase de matrices y perturbacion de la inversa de Drazin

condicion, para algun entero positivo s,

(Cs) : R(Bs) ∩N (Ak) = 0 y N (Bs) ∩R(Ak) = 0,donde A ∈ Cn×n, con k = ind(A).

Se probara el hecho de que una matriz B, con ind(B) = s, cumpla la condicion(Cs) es equivalente a que B verifique la condicion (3.1), que a su vez es equivalentea que se cumplan las siguientes igualdades: rg(Bs) = rg(Ak) = rg(AkBsAk).

Los resultados anteriormente obtenidos nos permitiran deducir cotas superioresde ‖BD − AD‖/‖AD‖ y ‖Bπ − Aπ‖, bajo las condiciones rg(Bs) = rg(Ak).

A continuacion mostramos la estructura de este capıtulo.

En la Seccion 3.2 se daran diversas caracterizaciones de las matrices B quesatisfacen la condicion (3.1). En particular, si Bπ = Aπ se generalizara el resultado[16, Teorema 2.1].

Diversos casos especiales seran considerados.

En la Seccion 3.3 se daran nuevas caracterizaciones de las matrices B, conind(B) = s, que cumplen la (Cs).

En primer lugar, se considerara en caso s = 1, dando, entre otros resultados unaestructura matricial de B. Luego, se estudiara el caso s > 1, obteniendo una repre-sentacion para estas matrices. Estas formulaciones seran empleadas en la siguienteseccion para la obtencion de expresiones de B] y BD .

Tambien se dara una formula explıcita para Bπ.

En la Seccion 3.4 se aplicaran las caracterizaciones obtenidas en las dos seccionesanteriores para dar diversos resultados de perturbacion.

Para aquellas matrices para las cuales el Grupo inverso existe se obtendra unaformula explıcita para B], de la cual se derivara una cota superior de ‖B]−AD‖/‖AD‖y, de la expresion para Bπ hallada en el Teorema 3.3.6 se tendra una cota superiorde ‖Bπ − Aπ‖.

En un ejemplo numerico se ilustrara que las cotas obtenidas son mejores que lasdas en [62, 97].

Se extenderan los resultados obtenidos, para el caso s = 1, a las matrices queverifican (Cs), con s > 1, obteniendose cotas superiores para ‖BD − AD‖/‖AD‖ y‖BBD − AAD‖, en terminos que envuelven las potencias Bs − As. Compararemos,en un ejemplo numerico, estas cotas otras dadas en [97, 98] .

En la Seccion 3.5 se derivara una cota superior de ‖Bπ−Aπ‖, en terminos de lasproyecciones ortogonales sobre los subespacios nucleo e imagen de Bs y Ak, dondes y k son los ındices de B y A, respectivamente.

3. Caracterizacion de una clase de matrices y perturbacion de la inversa de Drazin 29

Aplicaremos las acotaciones obtenidas al estudio de sistemas singulares de ecua-ciones lineales. Los resultados obtenidos generalizan el dado por Y. Wei y G. Wangen [100, Theorem 4.1].

Por ultimo, se analizara un caso particular de matrices que cumplen la condicion(Cs). Hallaremos una formula explıcita para la inversa de Drazin de la matriz B yuna cota superior de ‖BD − AD‖/‖AD‖, en este caso, la cual no esta basada en laspotencias Bs−As. Se generaliza, de esta manera, el principal resultado dado por X.Li e Y. Wei en [63], donde consideraron el caso B2AAD = (BAAD)2.

Varios trabajos han tratado el analisis y la obtencion de cotas superiores de laperturbacion de la inversa de Drazin, ‖BD‖, y del error relativo, ‖BD−AD‖/‖AD‖.

En [91], Y. Wei, bajo las condiciones ind(B) = ind(A) = 1 y rg(B) = rg(A),establecio cotas superiores para ‖B]‖, ‖BB]‖ y ‖B] − A]‖/‖A]‖ en terminos de‖B − A‖ y, en [62], con las misma hipotesis, fueron mejoradas por X. Li e Y. Wei.

N. Castro, J. J. Koliha e Y. Wei, en [16], suponiendo ind(B) = 1 e ind(A) = ky, rg(B) = rg(Ak), dedujeron una estimacion para ‖B] −AD‖2/‖AD‖2 en terminosde ‖B − A‖2. En [95], y bajo las mismas condiciones, Y. Wei dio una nueva cotapara el error relativo del Grupo inverso de la perturbacion. Asumiendo las mismashipotesis, en [61], X. Li e Y. Wei, mejoraron las acotaciones anteriormente dadas.

Suponiendo rg(Bs) = rg(Ak), donde s = ind(B) y k = ind(A), en [102], Y. Weiy H. Wu, dieron cotas superiores de ‖BD‖2, ‖BBD‖2 y ‖BD − AD‖2/‖AD‖2, enterminos de ‖B−A‖2, ‖Bl−Al‖2 ‖Bl−1−Al−1‖2, donde l = maxs, k. Posterior-mente, en [97], Y. Wei y X. Li establecieron otra estimacion de ‖BD−AD‖2/‖AD‖2

hasta los terminos de primer orden de ‖B − A‖. Mediante un ejemplo demuestranque esta cota mejora el resultado dado en [102].

En [98], Y. Wei, X. Li y F. Bu, basandose en la funcion separacion de matrices,establecieron una cota superior para ‖BD−AD‖F /‖AD‖F , trabajando con la normade Frobenius. En un ejemplo numerico se muestra que esta nueva cota mejora lasdadas anteriormente.

En este capıtulo mostraremos que las cotas superiores obtenidas en nuestro tra-bajo mejoran los resultados dados en la literatura para el caso que nos ocupa.

Parte de los resultados concernientes y los relacionados con el estudio de lasmatrices que cumplen (Cs)

Los principales resultados relacionados con la perturbacion de la proyeccion es-pectral asociada al 0 han sido publicados con el tıtulo Characterizations of ma-trices whose eigenprojections at zero are equal to a fixed perturbation,


[19] y, los relativos al analisis de la clase de matrices (Cs) lo seran con el nombreCharacterizations of a class of matrices and perturbations of the Drazininverse, [18].

3.2. Caracterizacion de matrices con proyecciones

espectrales relacionadas

En esta seccion daremos uno de los principales resultados de este trabajo. Dadauna matriz A con proyeccion espectral Aπ, caracterizaremos las matrices B satisfa-ciendo Bπ = Aπ + S, con I − S2 no singular.

Antes de abordar el teorema de caracterizacion daremos algunos resultados in-volucrando a Aπ y a matrices idempotentes de la forma Aπ + S.

Lema 3.2.1. Sean A, S ∈ Cn×n tal que I − S2 es no singular. Si Aπ + S es idempo-tente, entonces

(i) Aπ + S = (I − S)−1Aπ(I + S) = (I + S)Aπ(I − S)−1.

(ii) I − Aπ − S = (I − S)(I − Aπ)(I + S)−1 = (I + S)−1(I − Aπ)(I − S).

Dem. De la igualdad (Aπ +S)2 = Aπ +S, se sigue Aπ +AπS +SAπ +S2 = Aπ +S.Tambien se tiene que (I − S)(I + S) = I − S2 es no singular, entonces I − S I + Sson no singulares. Luego:

(i): Aπ(I + S) = Aπ + S − SAπ − S2 = (I − S)(Aπ + S) y, por lo tanto, Aπ + S =(I − S)−1Aπ(I + S). La segunda igualdad se deduce de modo similar.

(ii): Partiendo de la relacion dada en (i), Aπ(I + S) = (I − S)(Aπ + S) se tiene

Aπ + AπS = −SAπ − S2 + Aπ + S

⇔ −I + S − S + Aπ + AπS = −SAπ − I − S2 + Aπ + S

⇔ (I − Aπ − S)(I + S) = (I − S)(I − Aπ)

⇔ I − Aπ − S = (I − S)(I − Aπ)(I + S)−1.

Mediante calculos algebraicos obtenemos la segunda igualdad. ¤

En la siguiente proposicion, la cual sera la principal herramienta en la demostra-cion de proximo teorema, se demostrara que las matrices idempotentes de la formaAπ +S, con I−S2 no singular, son semejantes a la proyeccion espectral Aπ, esto es,


existe una matriz no singular R tal que R−1BπR = Aπ. Esto nos permitira obteneruna representacion para la matriz B por bloques de la forma B = QBQ−1, dondeB es una matriz diagonal por bloques.

Proposicion 3.2.2. Sean A, S ∈ Cn×n, tal que I − S2 es no singular, y Aπ + Sidempotente. Si llamamos

R = (I − S)(I − Aπ) + (I + S)Aπ y T = (I − Aπ)(I − S) + Aπ(I + S),

entonces

(i) Las matrices R y T son no singulares, R−1 = (I − S2)−1T = T (I − S2)−1.

(ii) R−1(Aπ + S)R = Aπ.

Dem. (i): Primero, de (Aπ +S)2 = Aπ +S se sigue que S2 = S−AπS−SAπ. Ahora,

RT = ((I − S)(I − Aπ) + (I + S)Aπ)((I − Aπ)(I − S) + Aπ(I + S))

= (I − S(I − Aπ) + SAπ)(I − (I − Aπ)S + AπS)

= I − 2(S − AπS − SAπ) + S2

= I − S2.

Analogamente comprobamos que TR = I−S2. De I−S2 es no singular se deduceque R y T son no singulares y,

R−1 = (I − S2)−1T = T (I − S2)−1.

(ii): Como Aπ +S es idempotente, por el Lema 3.2.1, se tiene que (Aπ +S)(I−S) =(I + S)Aπ. Usando esta igualdad obtenemos

(Aπ + S)R = (Aπ + S)((I − S)(I − Aπ) + (I + S)Aπ) = (Aπ + S)Aπ.

Por otra parte, de (I − S)(Aπ + S) = Aπ(I + S) se sigue que

R−1(Aπ + S) = (I − S2)−1((I − Aπ)(I − S) + Aπ(I + S))(Aπ + S)

= (I − S2)−1(I − S)(Aπ + S) = (I + S)−1(Aπ + S).

Entonces,

R−1(Aπ + S)R = (I + S)−1(Aπ + S)Aπ = (I + S)−1(I + S)Aπ = Aπ.

Con lo que (ii) queda demostrado. ¤

Lema 3.2.3. Sean A, S ∈ Cn×n. Entonces,


(i) R(SAD) = R(SADA).

(ii) N (ADS) = N (ADAS).

Dem. Para todo par de matrices tal que su producto esta bien definido se verifica

R(AB) ⊆ R(A) y N (B) ⊆ N (AB).

(i): Aplicando la primera de las relaciones anteriores tenemos

R(SAD) = R(SADAAD) ⊆ R(SADA) y R(SADA) ⊆ R(SAD).

Luego, tenemos (i).

(ii): Se deduce de modo similar que (i), usando la relacion N (B) ⊆ N (AB). ¤

A continuacion damos el resultado principal de esta seccion.

Teorema 3.2.4. Sean A, S ∈ Cn×n tal que I − S2 es no singular. Si Aπ + S esidempotente, entonces las siguientes condiciones sobre B ∈ Cn×n son equivalentes:

(i) Bπ = Aπ + S.

(ii) B(Aπ + S) = (Aπ + S)B, σ((Aπ + S)B) = 0, B + Aπ + S es no singular.

(iii) B = RPdiag(B1 , B2)P−1R−1, donde B1 es no singular, B2 es nilpotente,

R = I − S + 2SAπ.

(iv) I+S+AD(B−A) es no singular, B(Aπ+S) = (Aπ+S)B, σ((Aπ+S)B) = 0.

(v) BD = (I + S + AD(B − A))−1AD(I − S).

(vi) (I + S)BD − AD(I − S) = AD(A−B)BD.

(vii) R(BD) ⊆ R((I − S)AD), N (BD(I + S)) ⊆ N (AD).

Dem. (i) ⇔ (ii): De la condicion Aπ +S es idempotente, por el Lema 2.4.4, tenemosque las condiciones (i) y (ii) son equivalentes.

(ii) ⇔ (iii): Sea la matriz R = (I + S)Aπ + (I − S)(I − Aπ). Por la Proposicion

3.2.2, R es no singular y Aπ + S = RAπR−1. Introducimos la matriz B = R−1BR,entonces

Bπ = R−1BπR = R−1(Aπ + S)R = Aπ.


Ası, las matrices B y A tienen la misma proyeccion espectral correspondiente alautovalor 0. Por el Teorema 2.4.5 (i) ⇔ (ii) se tiene la siguiente estructura de Brelativa a la descomposicion core-nilpotente de A,

B = P

(B1 O

O B2

)P−1 con B1 no singular y B2 nilpotente.

Finalmente,

B = RBR−1 = RP

(B1 O

O B2

)P−1R−1.

(iii) ⇔ (iv): Sea B = R−1BR. Por la Proposicion 3.2.2 se tiene,

B(Aπ + S) = RBR−1(Aπ + S) = RBAπR−1.

LuegoB(Aπ + S) es nilpotente ⇔ BAπ es nilpotente.

Igualmente se observa que,

BAπ = AπB ⇔ RBAπR−1 = RAπBR−1 ⇔ B(Aπ + S) = (Aπ + S)B.

Ahora, sea S = P

(S1 S12

S21 S2

)P−1, entonces la matriz R definida en (iii) tiene

la estructura R = P

(I − S1 S12

−S21 I + S2

)P−1. Por hipotesis, (Aπ + S)2 = Aπ + S y

de aquı se sigue que S2 = diag(S1 , −S2). Observamos que se cumple la igualdad

(I + S + AD(B − A))R = (Aπ + S)R + ADRB = RAπ + ADRB. Usando esto, porcalculo se obtiene

(I + S + AD(B − A))R = P

(A−1

1 (I − S1)B1 S12 + A−11 S12B2

O I + S2

)P−1. (3.2)

De las condiciones A1, B1, I −S1, I + S2 y R son no singulares, deducimos queI + S + AD(B − A) es no singular.

(iv) ⇒ (v): Definimos B = R−1BR, donde R = I − S + 2SAπ. Respecto a la

descomposicion core-nilpotente de A escribimos, B = P

(B1 B12

B21 B2

)P−1. De la

identidad B(Aπ + S) = (Aπ + S)B se tiene

BAπ = R−1BRR−1(Aπ + S)R = R−1(Aπ + S)RR−1BR = AπB.


Luego, B12 = O y B21 = O.Ahora, dado que I + S + AD(B−A), I −S1 y I + S2 son no singulares, de (3.2)

se obtiene que B1 es no singular. De R−1B(Aπ + S)R = BAπ = Pdiag(O , B2)P−1

se deduce que B2 es nilpotente, puesto que asumimos que B(Aπ + S) lo es. Por lotanto,

B = P

(B1 O

O B2

)P−1 con B1 no singular y B2 nilpotente

es la descomposicion core-nilpotente de B y ası

BD = (R−1BR)D = R−1BDR = Pdiag(B−11 , O)P−1.

Luego, por calculo se tiene

(I + S + AD(B − A)

)BDR = P

(A−1

1 (I − S1) OO O

)P−1.

Por otra parte,

AD(I − S)R = AD(I − S)((I + S)Aπ + (I − S)(I − Aπ)) = AD(I − S)2(I − Aπ)

= AD(I − 2S + S2)(I − Aπ) = AD(I − S − AπS − SAπ))(I − Aπ)

= AD(I − S)(I − Aπ) = P

(A−1

1 OO O

)(I − S1 −S12

−S21 I − S2

)(I OO O

)P−1

= P

(A−1

1 (I − S1) OO O

)P−1.

En consecuencia, (I + S + AD(B−A))BDR = AD(I −S)R y, ası, se concluye laimplicacion.

(v) ⇒ (vi): De (I + S + AD(B − A))BD = AD(I − S) se sigue que

(I + S)BD − AD(I − S) = AD(A−B)BD.

(vi) ⇒ (i): De la igualdad (I + S)BD − AD(I − S) = AD(A−B)BD se obtiene

AD(I − S)Bπ = O y Aπ(I + S)BD = O.

Entonces (I − Aπ)(I − S)Bπ = Aπ(I + S)(I − Bπ) o, expresado de otra forma,(I − S + 2SAπ)Bπ = Aπ(I + S). Ahora, aplicando la Proposicion 3.2.2 (i) se tiene

Bπ = (I − S2)−1(I − S + 2SAπ)Aπ(I + S) = (I − S)−1Aπ(I + S) = Aπ + S,

donde hemos aplicado el Lema 3.2.1 en la ultima igualdad.


(i) ⇒ (vii): Dado que BDB = I −Bπ = I −Aπ−S, por el Lema 3.2.1, tenemos queBBD = (I − S)AAD(I + S)−1. Entonces,

R(BD) = R(BBD) = R((I − S)AAD) = R((I − S)AD),

donde hemos aplicado el Lema 3.2.3 (i) en la ultima igualdad.Similarmente,

N (BD(I + S)) = N (BBD(I + S)) = N ((I − S)AAD) = N (AAD) = N (AD).

(vii) ⇒ (i): De la condicion R(BD) ⊆ R((I − S)AD) y del Lema 3.2.3 (i) se obtiene,

R(BBD(I + S)) = R(BBD) = R(BD) ⊆ R((I − S)AD) = R((I − S)AAD).

Por otra parte, de la condicion N (BD(I + S)) ⊆ N (AD), aplicando el Lema3.2.3 (ii), se continua que

N (BBD(I + S)) ⊆ N (AAD) = N ((I − S)AAD). (3.3)

Por la implicacion N (A) ⊆ N (B) ⇒ R(A∗) ⊇ R(B∗), de (3.3) se deduce que

R((BBD(I + S))∗) ⊇ R(((I − S)AAD)∗).

La inclusiones

R((BBD(I + S))∗) ⊇ R(((I − S)AAD)∗) y R(BBD(I + S)) ⊆ R((I − S)AAD)

implican la consistencia de las ecuaciones

XBBD(I + S) = (I − S)AAD y BBD(I + S) = (I − S)AADY, (3.4)

donde X, Y ∈ Cn×n.Las ecuaciones (3.4) son equivalentes a

(I − S)AAD(I + S)−1Bπ = O = Aπ(I − S)−1BBD(I + S).

Finalmente, aplicando el Lema 3.2.1, de las identidades anteriores se sigue

(AAD − S)Bπ = O = (I − AAD + S)BBD.

Ası,BBD = AAD − S ⇔ Bπ = Aπ + S.

Lo que completa la demostracion. ¤


Observacion 3.2.5. Bajo las hipotesis del teorema anterior las condiciones (iv),(v) y (vi) son equivalentes a:

(iv′) I+S+(B−A)AD es no singular, B(Aπ+S) = (Aπ+S)B, σ ((Aπ + S)B) = 0.

(v′) BD = (I − S)AD(I + S + (B − A)AD

)−1.

(vi′) BD(I + S)− (I − S)AD = BD(A−B)AD.

Observacion 3.2.6. Si no asumimos la condicion I − S2 no singular, entoncespodemos encontrar matrices A, B ∈ Cn×n tal que Bπ = Aπ + S y, sin embargo,I + S + AD(B − A) no es invertible. Sean las matrices en R4×4,

S =

−1/2 1/2 0 01/2 −1/2 0 0

0 0 0 00 0 0 0

, A =

1 1 0 01 1 0 00 0 0 00 0 0 0

y B =

2 0 0 00 2 0 00 0 0 10 0 0 0

.

Entonces,

Aπ =

1/2 −1/2 0 0−1/2 1/2 0 0

0 0 1 00 0 0 1

, Bπ =

0 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1

y

I + S + AD(B − A) =

1/2 1/2 0 01/2 1/2 0 0

0 0 1 00 0 0 1

.

Ası, Bπ = Aπ + S y, sin embargo, I + S + AD(B − A) no es invertible.

En el siguiente ejemplo, dadas sendas matrices A y S, se hallara la expresionmatricial del conjunto de matrices B tal que Bπ = Aπ + S, segun la formula dadaen el Teorema 3.2.4 (iii).

Ejemplo 3.2.7. Sean

A =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 0 0

y S =

0 0 0 00 0 0 0ε 0 0 00 0 0 0

.


Estas matrices cumplen que ind(A) = 2, I − S2 es no singular y Aπ + S esidempotente. La inversa de Drazin AD viene dada por

AD =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0

.

Calculamos R y R−1, donde R = I + S − 2SAAD, resultando

R =

1 0 0 00 1 0 0−ε 0 1 0

0 0 0 1

y R−1 =

1 0 0 00 1 0 0ε 0 1 00 0 0 1

.

Y, por el Teorema 3.2.4, equivalencia (i) ⇔ (iii), la expresion matricial de Btiene la estructura

B = R

c1 c12 0 0c21 c2 0 00 0 d1 d12

0 0 d21 d2

R−1,

con

(c1 c12

c21 c2

)no singular y

(d1 d12

d21 d2

)nilpotente.

La inversa de Drazin de B viene dada por

BD = R

(c1 c12

c21 c2

)−1

O

O O

R−1.

En efecto, vemos que

Bπ = I −BBD = R

(O OO I

)R−1 =

0 0 0 00 0 0 0ε 0 1 00 0 0 1

= Aπ + S.

3.2.1. Casos especiales

En este apartado se analizara la caracterizacion de las matrices B para las cualesBπ = Aπ + S, para algunos casos especiales de S ∈ Cn×n.


Caso : S = O

Cuando S = O, el Teorema 3.2.4 se concreta en [16, Theorem 2.1], correspondien-do al caso donde A y B tienen la misma proyeccion espectral asociada al autovalor0, i.e., Bπ = Aπ.

Caso : S nilpotente

Cuando S es nilpotente la condicion I−S2 es no singular siempre se cumple. Enparticular, si S2 = O tenemos el siguiente lemma.

Lema 3.2.8. Sean A, S ∈ Cn×n. Si S2 = O entonces Aπ + S es idempotente si ysolo si

S = P

(O S12

S21 O

)P−1

con S12S21 = O y S21S12 = O.

Dem. Sea S = P

(S1 S12

S21 S2

)P−1. Se tiene

Aπ + S es idempotente ⇔ S2 = (I − Aπ)S(I − Aπ)− AπSAπ

y de S2 = O deducimos que S1 = S2 = O.Ademas, S2 = O ⇔ S12S21 = S21S12 = O. ¤

En este caso, la expresion matricial para B dada en el Teorema 3.2.4 (iii) tienela forma

B = P

(I S12

−S21 I

) (B1 O

O B2

)(I −S12

S21 I

)P−1,

con B1 no singular, B2 nilpotente y S12S21 = S21S12 = O.

En el siguiente ejemplo consideramos S nilpotente de orden 2, esto es, S2 = O.

Ejemplo 3.2.9. Sean

A =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0

y S =

0 0 0 ε0 0 0 00 ε 0 00 0 0 0

.


Se tiene, AD = A y Aπ = I − AAD = I − A. Entonces,

Bπ = Aπ + S = I − A + S =

0 0 0 ε0 0 0 00 ε 1 00 0 0 1

.

Por el Teorema 3.2.4, equivalencia (i) ⇔ (v) obtenemos

B =

1 0 0 ε0 1 0 00 −ε 1 00 0 0 1

c1 c12 0 0c21 c2 0 00 0 d1 d12

0 0 d21 d2

1 0 0 −ε0 1 0 00 ε 1 00 0 0 1

,

donde el bloque

(c1 c12

c21 c2

)es no singular y el bloque

(d1 d12

d21 d2

)es nilpotente.

Caso: ADS = O

El siguiente lema nos proporciona la estructura de S cuando ADS = O. Identicoresultado se obtiene considerando la condicion simetrica SAπ = O.

Lema 3.2.10. Sean A, S ∈ Cn×n tal que I−S2 es no singular. Si se cumple ADS = O(SAπ = O) entonces Aπ + S es idempotente si y solo si

S = P

(O OS21 O

)P−1.

Dem. Sea S = P

(S1 S12

S21 S2

)P−1. De ADS = O se obtiene que S1 = S12 = O. Por

otra parte,

Aπ +S es idempotente ⇔ S2 = S−SAπ−AπS = S−SAπ− (I−AAD)S = −SAπ.

Luego, S22 + S2 = S2(S2 + I) = O y como I + S2 es no singular se deduce que

S2 = O.Analogamente se obtiene el resultado al tomar SAπ = O. ¤

En este caso, la descomposicion para B dada en el Teorema 3.2.4 (iii) viene dadapor

B = (I − S)Pdiag(B1 , B2)P−1(I + S) con B1 no singular y B2 nilpotente.

En el ejemplo siguiente se muestra este caso particular.


Ejemplo 3.2.11. Sean

A =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0

y S =

0 0 0 00 0 0 00 ε 0 00 0 0 0

.

Se tiene, Bπ = Aπ + S = I − A + S. Luego,

Bπ =

0 0 0 00 0 0 00 ε 1 00 0 0 1

si y solo si

B =

1 0 0 00 1 0 00 −ε 1 00 0 0 1

c1 c12 0 0c21 c2 0 00 0 d1 d12

0 0 d21 d2

1 0 0 00 1 0 00 ε 1 00 0 0 1

,

donde el bloque

(c1 c12

c21 c2

)es no singular y el bloque

(d1 d12

d21 d2

)es nilpotente.

Caso: SAD = O

En este caso se tomara la condicion SAD = O. Identico resultado se obtiene conla condicion AπS = O.

Lema 3.2.12. Sean A, S ∈ Cn×n tal que I−S2 es no singular. Si se verifica SAD = O(AπS = O). Entonces Aπ + S es idempotente si y solo si

S = P

(O S12

O O

)P−1.

Dem. Si SAD = O, entonces S = P

(O S12

O S2

)P−1 y

Aπ + S es idempotente ⇔ S2 = −AπS.

De aquı se sigue que S2 = O. ¤

Bajo esta condicion la descomposicion para B dada en el Teorema 3.2.4 (iii) sereduce a

B = (I + S)Pdiag(B1 , B2)P−1, (I − S) con B1 no singular y B2 nilpotente.


Caso: BBπ = RAAπR-1

Por ultimo analizaremos el caso en el que la parte nilpotente de B es semejantea la parte nilpotente de A, i.e., BBπ = RAAπR−1.

Corolario 3.2.13. Sean A, S ∈ Cn×n tal que I − S2 es no singular. Si Aπ + Ses idempotente entonces las siguientes condiciones sobre B ∈ Cn×n, satisfaciendo(Aπ + S)BAπ = (Aπ + S)AAπ, son equivalentes:

(i) Bπ = Aπ + S.

(ii) B(Aπ + S) = (Aπ + S)B, B + Aπ + S es no singular.

(iii) B = RPdiag(B1 , B2)P−1R−1 con B1 no singular, B2 = A2 y donde la matriz

R es de la forma R = I − S + 2SAπ.

(iv) I + S + AD(B − A) es no singular, B(Aπ + S) = (Aπ + S)B.

(v) BD = (I + S + AD(B − A))−1AD(I − S).

(vi) (I + S)BD − AD(I − S) = AD(A−B)BD.

(vii) B(Aπ + S) = (Aπ + S)B, rg(A) = rg(B).

Ademas, en todos los casos tenemos BBπ = RAπAR−1 e ind(A) = ind(B).

Dem. Veamos que la condicion B(Aπ +S) es nilpotente esta implıcita en (ii) y (iv).Por la Proposicion 3.2.2 se tiene que

Aπ + S = RAπR−1 = ((I − S)(I − Aπ) + (I + S)Aπ) AπR−1 = (Aπ + S)AπR−1.

Ahora, de la igualdad anterior y de las condiciones B(Aπ + S) = (Aπ + S)B y(Aπ + S)BAπ = (Aπ + S)AAπ se sigue

B(Aπ+S) = B(Aπ+S)AπR−1 = (Aπ+S)BAπR−1 = (Aπ+S)AAπR−1 = RAπAR−1.

Y como AAπ es nilpotente entonces B(Aπ + S) es nilpotente.

Si B es de la forma B = RBR−1 = RPdiag(B1 , B2)P−1R−1, entonces

(Aπ + S)BAπ = (Aπ + S)AAπ ⇔ AπBR−1Aπ = AπR−1AAπ.

Ası, al observar que AπR−1Aπ = Aπ se tiene

P

(O O

O B2

)P−1 = P

(O OO A2

)P−1


y de aquı se deduce que B2 = A2.Luego, por el Teorema 3.2.4, las condiciones (i) – (vi) son equivalentes.

Demostremos la equivalencia (vii) ⇔ (iii). Asumamos (vii), entonces de la con-dicion B(Aπ + S) = (Aπ + S)B se obtiene que

B = RP

(B1 OO A2

)P−1R−1.

De la condicion rg(A) = rg(B) se sigue que B1 es no singular y, ası, se verifica(iii). Recıprocamente, supongamos que tenemos (iii). Es suficiente con demostrarque rg(A) = rg(B), pero esto es evidente a la vista de la representacion matricialde B. Luego se tiene (vii).

Finalmente, falta probar que ind(A) = ind(B). Supongamos (iii), entonces vemos

que ind(A) = ind(A2) = ind(B2) = ind(B). ¤

Si S = O el corolario anterior particulariza el caso en el que A y B tienen lamisma proyeccion espectral y la misma parte nilpotente. Ası, el Corolario 3.2.13generaliza [16, Corolario 2.3].

3.3. Caracterizacion de la clase de matrices que

verifican (Cs)

En esta seccion se introduce la clase de matrices B ∈ Cn×n que satisfacen lasiguiente condicion para algun entero positivo s,

(Cs) : R(Bs) ∩N (Ak) = 0 y N (Bs) ∩R(Ak) = 0, (3.5)

donde A ∈ Cn×n con k = ind(A).

Estructuraremos esta seccion en dos partes. La primera corresponde al caso es-pecial s = 1. Se hace notar el papel importante que tiene el Grupo inverso en laestabilidad de las cadenas de Markov, [4, 23, 24, 65, 66]. El algoritmo Pagerank,con el que Google ordena los resultados de las busquedas, puede ser entendido comouna cadena Markov en la cual los estados son las paginas, y las transiciones son losenlaces entre las paginas. El calculo del vector PageRank, vector cuyas componentesson las probabilidades de que una pagina sea visitada, equivale al calculo del vectorestacionario de una cadena de Markov ergodica, [2, 46, 47, 60].

En la segunda parte extenderemos los resultados para el Grupo inverso al casogeneral de perturbaciones satisfaciendo la condicion (Cs) con s > 1.


Primeramente, se daran varios resultados que seran utilizados mas adelante. Enel proximo lema se exponen algunas desigualdades relativas al rango del productode matrices, [103, Seccion 2.4].

Lema 3.3.1. Sean A, B, C ∈ Cn×n. Entonces,

rg(AB) = rg(B)− dim(R(B) ∩N (A)), (3.6)

rg(ABC) ≥ rg(AB) + rg(BC)− rg(B). (3.7)

Lema 3.3.2. Sea A ∈ Cn×n con ind(A) = k y C ∈ Cn×n no singular. Entonces,

I − Aπ + CAπC−1Aπ es no singular ⇔ I − Aπ + C−1AπCAπ es no singular.

Dem. Sean C = P

(C1 C12

C21 C2

)P−1 y C−1 = P

(X1 X12

X21 X2

)P−1. Entonces,

I − Aπ + CAπC−1Aπ = P

(I C12X2

O C2X2

)P−1,

I − Aπ + C−1AπCAπ = P

(I X12C2

O X2C2

)P−1.

Luego, como C2X2 es no singular ⇔ X2C2 es no singular, la equivalencia dadaen este lema se tiene. ¤

De [55, Theorem 1.2] extraemos la equivalencia (iii) ⇔ (iv) en el siguiente lema.

Lema 3.3.3. Sean P, Q ∈ Cn×n dos proyectores. Entonces,(R(P ) ∩R(Q) = 0 y N (P ) ∩N (Q) = 0

)⇔ P −Q es no singular.

En el siguiente resultado, para una matriz B con ind(B) = s, establecemos laequivalencia entre la condicion B ∈ (Cs), condiciones implicando el rango de lamatriz y condiciones en terminos de las proyecciones espectrales de A y B.

Teorema 3.3.4. Sea A ∈ Cn×n con ind(A) = k. Entonces las siguientes condicionessobre B ∈ Cn×n, con ind(B) = s, son equivalentes:

(i) B satisface la condicion (Cs).

(ii) rg(Bs) = rg(Ak) = rg(AkBs) = rg(BsAk).

(iii) rg(Bs) = rg(Ak) = rg(AkBsAk).


(iv) rg(Bs) = rg(Ak), I − Aπ + BπAπ es no singular.

(v) I − (Bπ − Aπ)2 es no singular.

(vi) I −Bπ − Aπ es no singular.

Dem. (i) ⇒ (ii): De la descomposicion del espacio

Cn = R(Ak)⊕N (Ak) = R(Bs)⊕N (Bs)

y de las condiciones,

N (Bs) ∩R(Ak) = 0 y R(Bs) ∩N (Ak) = 0es claro que rg(Bs) = rg(Ak). Ademas, usando el Lema 3.3.1, igualdad (3.6), setiene,

rg(AkBs) = rg(Bs)− dim(R(Bs) ∩N (Ak))

yrg(BsAk) = rg(Ak)− dim(R(Ak) ∩N (Bs)).

Luego,rg(AkBs) = rg(Bs) y rg(BsAk) = rg(Ak).

(ii) ⇒ (iii): Por el Lema 3.3.1, igualdad (3.7),

rg(AkBsAk) ≥ rg(AkBs) + rg(BsAk)− rg(Bs).

Luego, rg(AkBsAk) ≥ rg(Bs). Ahora, de R(AkBsAk) ⊆ R(Ak) se sigue querg(AkBsAk) ≤ rg(Ak) = rg(Bs), y ası concluimos que

rg(AkBsAk) = rg(Bs).

(iii) ⇒ (iv): De la condicion rg(AkBsAk) = rg(Ak) = rg(Bs), usando el Lema 3.3.1,formula (3.6), y la relacion R(AkBsAk) ⊆ R(AkBs), se obtiene

rg(Ak) = rg(AkBsAk) ≤ rg(AkBs) = rg(Bs)− dim(R(Bs) ∩N (Ak)).

Luego, 0 ≥ dim(R(Bs)∩N (Ak)) implica que R(Bs)∩N (Ak) = 0. Ahora, porel Lema 3.3.1, ecuacion (3.6), se tiene que

rg(Ak) = rg(AkBsAk) = rg(BsAk)− dim(R(BsAk) ∩N (Ak)) ≤ rg(BsAk) ≤ rg(Ak).

Por lo querg(BsAk) = rg(Ak) ⇒ N (Bs) ∩R(Ak) = 0.


Ahora, sea (I −Aπ +BπAπ)x = 0. Multiplicando por la izquierda por I −Bπ, setiene (I −Bπ)(I −Aπ)x = 0, lo cual implica que (I −Aπ)x ∈ N (I −Bπ) = N (Bs).Por otra parte (I − Aπ)x = AADx ∈ R(AD) = R(Ak). Luego,

(I − Aπ)x ∈ R(Ak) ∩N (Bs) = 0,

y ası (I − Aπ)x = 0. De esta ultima igualdad obtenemos que BπAπx = 0, entoncesAπx ∈ N (Bπ) = R(Bs). Tambien, Aπx ∈ N (Ak) y, consecuentemente

Aπx ∈ R(Bs) ∩N (Ak) = 0.

Por lo tanto, x = 0 y I − Aπ + BπAπ es no singular.

(iv) ⇒ (v): Tenemos que probar que I − Bπ + AπBπ es no singular ya que se tieneque I − (Bπ − Aπ)2 = (I − Aπ + BπAπ)(I −Bπ + AπBπ).

Sean las descomposiciones core-nilpotentes,

A = P

(A1 OO A2

)P−1 y B = Q

(B1 OO B2

)Q−1

donde A1 y B1 son matrices no singulares del mismo tamano ya que rg(Bs) = rg(Ak).Ahora, se tiene que I −Aπ + BπAπ = I −Aπ + QP−1AπPQ−1Aπ es no singular.

Por el Lema 3.3.2 se concluye que

PQ−1(I −Bπ + AπBπ)QP−1 = I − Aπ + PQ−1AπQP−1Aπ

es no singular y, por lo tanto, I −Bπ + AπBπ es tambien no singular.

(v) ⇔ (vi): La equivalencia resulta obvia cuando observamos que

(I −Bπ − Aπ)2 = I − (Bπ − Aπ)2.

(vi) ⇒ (i): Esta implicacion se obtiene aplicando el Lema 3.3.3 a los proyectoresI − Aπ y Bπ. ¤

En el proximo lema damos una serie de propiedades que seran necesarias masadelante.

Lema 3.3.5. Sea A ∈ Cn×n con ind(A) = k. Si B ∈ Cn×n, con ind(B) = s, satisfacela condicion (Cs), entonces

(i) Para cualquier entero p ≥ s, I + (AD)p(Bp − Ap) es no singular.

(ii) I − (I + (AD)s(Bs − As))−1Aπ − Aπ(I + (Bs − As)(AD)s)−1 es no singular.


Dem. (i): Sea (I + (AD)p(Bp − Ap))x = 0 con p ≥ s. Entonces se deduce queAπx = −(AD)pBpx = 0, ya que Aπ(I + (AD)p(Bp − Ap))x = Aπx = 0. Luego,

x ∈ N (Aπ) = R(Ak) y Bpx ∈ N ((AD)p) = N (Ak).

Por otra parte, Bpx ∈ R(Bp) = R(Bs), entonces

Bpx ∈ R(Bs) ∩N (Ak) = 0.Ası, Bpx = 0. Por lo tanto,

x ∈ N (Bp) ∩R(Ak) = 0,y, ası, se concluye que I + (AD)p(Bp − Ap) es no singular.

(ii): Sea x−(I+(AD)s(Bs−As))−1Aπx−Aπ(I+(Bs−As)(AD)s)−1x = 0. Se observaque (I + (AD)s(Bs −As))−1(I + (AD)s(Bs −As))x− (I + (AD)s(Bs −As))−1Aπx =Aπ(I + (Bs − As)(AD)s)−1x, entonces

(I + (AD)s(Bs − As))−1(AD)sBsx = Aπ(I + (Bs − As)(AD)s)−1x.

Multiplicando esta identidad por Aπ por la izquierda, y por la igualdad conocida(I + (AD)s(Bs − As))−1(AD)s = (AD)s(I + (Bs − As)(AD)s)−1, se concluye que

(I + (AD)s(Bs − As))−1(AD)sBsx = Aπ(I + (Bs − As)(AD)s)−1x = 0.

Por lo tanto, (AD)sBsx = 0 y, ası,

Bsx ∈ R(Bs) ∩N (Ak) = 0.Ası, Bsx = 0 y, de aquı, x ∈ N (Bs). Ademas, de Aπ(I +(Bs−As)(AD)s)−1x = 0

deducimos que (I + (Bs − As)(AD)s)−1x ∈ N (Aπ) = R(Ak), entonces, para alguny ∈ Cn, (I + (Bs − As)(AD)s)−1x = Aky. Esto implica que x = Bs(AD)sAky paraalgun y ∈ Cn. Ası

x ∈ R(Bs) ∩N (Bs) = 0,donde el hecho de que la interseccion anterior se reduce al vector cero es debido aque ind(B) = s. Luego x = 0 y (ii) esta probado. ¤

En el siguiente teorema obtenemos una formula para calcular la proyeccion es-pectral de B en el 0, Bπ.

Teorema 3.3.6. Sea A ∈ Cn×n, con ind(A) = k. Si B ∈ Cn×n, con ind(B) = s,satisface la condicion (Cs), entonces

Bπ = −(I + (AD)s(Bs − As))−1AπX−1 = −X−1Aπ(I + (Bs − As)(AD)s)−1,

donde

X = I − (I + (AD)s(Bs − As))−1Aπ − Aπ(I + (Bs − As)(AD)s)−1.


Dem. Por el Lema 3.3.5 se tiene que I + (AD)s(Bs−As) y X son no singulares. Dela igualdad

Aπ(I + (AD)s(Bs − As))−1 = Aπ = (I + (Bs − As)(AD)s)−1Aπ,

se deduce que

Aπ(I + (Bs − As)(AD)s)−1X = −Aπ(I + (Bs − As)(AD)s)−2Aπ

= X(I + (AD)s(Bs − As))−1Aπ.

Luego

(I + (AD)s(Bs − As))−1AπX−1 = X−1Aπ(I + (Bs − As)(AD)s)−1. (3.8)

Sea Q = −(I + (AD)s(Bs−As))−1AπX−1. Se demostrara que Q es un proyectorcon R(Q) = N (Bs) y N (Q) = R(Bs). Primero, vemos que

Q2 = X−1Aπ(I + (Bs − As)(AD)s)−1(I + (AD)s(Bs − As))−1AπX−1

= −(I + (AD)s(Bs − As))−1AπX−1 = Q.

Ahora, es claro que

R(Q) = R((I + (AD)s(Bs − As))−1Aπ).

Supongamos que x ∈ N (Bs). Entonces Aπx = (I +(AD)s(Bs−As))x. De aquı sesigue que x = (I+(AD)s(Bs−As))−1Aπx y, ası, x ∈ R(Q). Lo que prueba la relacionN (Bs) ⊆ R(Q).

Recıprocamente, asumamos que x ∈ R(Q). Entonces, para algun y ∈ Cn, setiene x = (I + (AD)s(Bs − As))−1Aπy. Lo cual implica que existe y ∈ Cn tal que(AD)sBsx = Aπ(y − x) ∈ R(Aπ) = N (Ak). Es claro que (AD)sBsx ∈ R(Ak), luego(AD)sBsx ∈ N (Ak)∩R(Ak) = 0. Por consiguiente, Bsx ∈ N (Ak)∩R(Bs) = 0,y de aquı, x ∈ N (Bs).

Veamos ahora que N (Q) = R(Bs). De la igualdad (3.8) tenemos la relacionN (Q) = N (Aπ(I + (Bs − As)(AD)s)−1). Tomemos x ∈ N (Q). De la identidad

(Aπ + Bs(AD)s)−Bs(AD)s = Aπ(Aπ + Bs(AD)s)−1(Aπ + Bs(AD)s)

se sigue que

Aπ(I + (Bs − As)(AD)s)−1x = Aπ(Aπ + Bs(AD)s)−1x

= (Aπ + Bs(AD)s −Bs(AD)s)(Aπ + Bs(AD)s)−1x

= (I −Bs(AD)s(Aπ + Bs(AD)s)−1)x = 0.


La ultima igualdad implica que x = Bs(AD)s(Aπ + Bs(AD)s)−1x. Por lo tanto,x ∈ R(Bs) lo que prueba la relacion N (Q) ⊆ R(Bs).

Probemos que R(Bs) ⊆ N (Q). Puesto que Q es un proyector e ind(B) = s, setienen las siguientes sumas directas

Cn = R(Q)⊕N (Q), Cn = R(Bs)⊕N (Bs).

Sea x ∈ R(Bs). Podemos escribir de modo unico x = x1 + x2, con x1 ∈ R(Q)y x2 ∈ N (Q). Como R(Q) = N (Bs) y N (Q) ⊆ R(Bs), la descomposicion anteriorde x puede interpretarse relativa a la suma Cn = N (Bs) ⊕ R(Bs), lo que implicaque x1 = 0 y x = x2. Ası pues, Qx = Qx2 = 0, y por lo tanto x ∈ N (Q). Hemosconcluido de ver que Q es el proyector tal que

N (Q) = R(Bs) y R(Q) = N (Bs).

Luego, Q = Bπ. ¤

3.3.1. La clase (C1)

En esta seccion estableceremos diversas caracterizaciones de las matrices B quesatisfacen la condicion (C1), con ind(B) = 1, esto es,

(C1) : N (B) ∩R(Ak) = 0 y R(B) ∩N (Ak) = 0.Entre ellas daremos una representacion matricial que nos sera de gran utilidad

en el estudio de la perturbacion del Grupo inverso que se desarrolla en la proximaseccion.

Es sabido que si T es la matriz de transicion de una cadena de Markov, entoncesla matriz A = I − T tiene ındice 1. En teorıa, toda la informacion de la cadena deMarkov puede ser extraıda de la matriz A y de su Grupo inverso.

Teorema 3.3.7. Sea A ∈ Cn×n con ind(A) = k. Entonces las siguientes condicionessobre B ∈ Cn×n son equivalentes:

(i) B satisface la condicion (C1), ind(B) = 1.

(ii) I+AD(B−A) es no singular, B(I+AD(B−A))−1Aπ = O, I+(AD)2(B2−A2)es no singular.

(iii) En relacion a la descomposicion core-nilpotente para A, B tiene la siguienterepresentacion

B = P

(B1 B12

B21 B21B−11 B12

)P−1, (3.9)

donde B1 y I + B−11 B12B21B

−11 son no singulares.


(iv) rg(B) = rg(Ak), I + AD(B − A) y I + (AD)2(B2 − A2) son no singulares.

Dem. (i) ⇒ (ii): Dado que ind(B) = 1, por el Lema 3.3.5 (i) se tiene que lasmatrices I + AD(B − A) y I + (AD)2(B2 − A2) son no singulares. Finalmente,usando la conocida igualdad BBπ = O y aplicando el Teorema 3.3.6 se sigue queBBπ = −B(I + (AD)s(Bs − As))−1AπX−1 = O. Ası tenemos la condicion de (ii),B(I + AD(B − A))−1Aπ = O.

(ii) ⇒ (iii): Sea

B = P

(B1 B12

B21 B2

)P−1

respecto la descomposicion core-nilpotente para A. Calculamos,

I + AD(B − A) = P

(A−1

1 B1 A−11 B12

O I

)P−1.

Y, como I + AD(B − A), entonces B1 es no singular. Igualmente,

I + (AD)2(B2 − A2) = P

(A−2

1 (B21 + B12B21) A−2

1 (B1B12 + B12B2)O I

)P−1,

y ası, I + B−11 B12B21B

−11 = B−1

1 (B21 + B12B21)B

−11 es no singular, ya que B1 y

I + (AD)2(B2 − A2) lo son.Por otra parte,

B(I + AD(B − A))−1Aπ = P

(B1 B12

B21 B2

)(B−1

1 A1 −B−11 B12

O I

)(O OO I

)P−1

= P

(O OO −B21B

−11 B12 + B2

)P−1,

y, de la condicion B(I + AD(B − A))−1Aπ = O, concluimos que B2 = B21B−11 B12.

(iii)⇔ (iv): De la representacion (3.9), aplicando el Lema 2.6.4, se sigue que rg(B) =rg(B1) = rg(Ak). Calculamos,

I + AD(B − A) = P

(A−1

1 B1 A−11 B12

O I

)P−1

y

I + (AD)2(B2 − A2) = P

(A−2

1 (B21 + B12B21) A−2

1 (B1B12 + B12B2)O I

)P−1.


Como B1 y I + B−11 B12B21B

−11 son no singulares, entonces I + AD(B − A) y

I + (AD)2(B2 − A2) son tambien no singulares.

Recıprocamente, sea la matriz B = P

(B1 B12

B21 B2

)P−1. Dado que I +AD(B−A)

y I + (AD)2(B2−A2) son no singulares, argumentando como en la demostracion de(ii) ⇒ (iii), se deduce que B1 y I + B−1

1 B12B21B−11 son no singulares. Finalmente,

de la condicion rg(B) = rg(Ak) se obtiene que rg(B) = rg(B1) y, por el Lema 2.6.4(i), se concluye que B2 = B21B

−11 B12.

(iii) ⇒ (i): Asumimos que B tiene la representacion matricial (3.9). Por el Lema2.6.4, se sigue que rg(B) = rg(B1) = rg(Ak) e ind(B) = 1. Por otra parte,

rg(AkBAk) = rg

(P

(Ak

1B1Ak1 O

O O

)P−1

)= rg(Ak

1B1Ak1) = rg(Ak).

Luego, por el Teorema 3.3.4 (i) ⇔ (iii), B satisface la condicion (C1). ¤Observacion 3.3.8. La condiciones (ii) y (iv) en el anterior teorema pueden serreemplazadas por las siguientes condiciones simetricas :

(ii′) I +(B−A)AD es no singular, Aπ(I +(B−A)AD)−1B = O, I +(B2−A2)(AD)2

es no singular.

(iv′) rg(B) = rg(Ak), I + (B − A)AD y I + (B2 − A2)(AD)2 son no singulares.

En el siguiente resultado damos una representacion matricial de B y B].

Lema 3.3.9. Sea A ∈ Cn×n, con ind(A) = k, y B ∈ Cn×n, con ind(B) = 1,satisfaciendo la condicion (C1). Entonces tenemos la representacion

B = P

[IS

]B1

[I T

]P−1, (3.10)

donde I + TS y B1 son no singulares.Ademas,

B] = P

[IS

]((I + TS)B1(I + TS))−1

[I T

]P−1. (3.11)

Dem. Por el Teorema 3.3.7 (c), B tiene una representacion matricial dada por

B = P

(B1 B12

B21 B21B−11 B12

)P−1,

donde B1 y I + B−11 B12B21B

−11 son no singulares. Si T = B−1

1 B12 y S = B21B−1,

entonces obtenemos la representacion (3.10).Aplicando el Lema 2.6.4, formula (2.6.4), se tiene la expresion para B]. ¤


3.3.2. La clase (Cs) con s > 1

A continuacion, apoyandonos en los obtenidos para la clase (C1), generalizaremoslos resultados para la clase de matrices (Cs) con ind(B) = s > 1.

Observamos que Bs satisface la condicion (C1) e ind(Bs) = 1.

Teorema 3.3.10. Sea A ∈ Cn×n con ind(A) = k. Entonces las siguientes condicio-nes sobre B ∈ Cn×n son equivalentes:

(i) B satisface la condicion (Cs), ind(B) = s.

(ii) I + (AD)s(Bs − As) es no singular, Bs(I + (AD)s(Bs − As))−1Aπ = O,I + (AD)s+1(Bs+1 − As+1) es no singular, donde s es el entero positivo maspequeno que verifica las condiciones anteriores.

(iii) La descomposicion ındice 1-nilpotente de B, B = CB + NB, tiene la siguienterepresentacion relativa a la descomposicion core-nilpotente de A,

B = CB + NB = P

[IS

]B1

[I T

]P−1 + P

[T−I

]B2

[S −I

]P−1, (3.12)

donde I + TS y B1 son no singulares y, B2(I + ST ) es nilpotente de ındice s.

(iv) I + (AD)s(Bs −As) y I + (AD)s+1(Bs+1 −As+1) son no singulares, rg(Bs) =rg(Ak), donde s es el entero positivo mas pequeno que verifica las condicionesanteriores.

Dem. (i) ⇔ (ii) ⇔ (iv): Si ind(B) = s y B satisface la condicion (Cs), entonces s esel mas pequeno entero positivo tal que Bs satisface la condicion (C1) e ind(Bs) = 1.Ademas, se observa que para cualquier entero p ≥ s, I + (AD)p(Bp − Ap) es nosingular si y solo si I + AD(Bp −A) es no singular. Ası, aplicando el Teorema 3.3.7con Bs se obtiene la equivalencia entre las condiciones (i) y

(ii′) I + (AD)s(Bs − As) es no singular, Bs(I + (AD)s(Bs − As))−1Aπ = O,I +(AD)2s(B2s−A2s) es no singular, donde s es el entero positivo mas pequenoque verifica las condiciones anteriores.

Observamos que las condiciones (ii) y (ii′) son equivalentes.Un similar desarrollo prueba la equivalencia entre la condiciones (i) y (iv) en este

teorema. Aplicando el Teorema 3.3.7 con Bs obtenemos la equivalencia de (i) y


(iv′) I + (AD)s(Bs − As) y I + (AD)2s(B2s − A2s) son no singulares, rg(Bs) =rg(Ak), donde s es el entero positivo mas pequeno que verifica las condicionesanteriores.

Finalmente, notamos que las condiciones (iv′) y (iv) son equivalentes .

(i)⇒ (iii): Supongamos que B = CB+NB es la descomposicion ındice 1-nilpotente deB dada en el Teorema 2.2.10. Se sabe que si s = ind(B), entonces N (CB) = N (Bs)y R(CB) = R(Bs). Luego, si B satisface la condicion (Cs), entonces CB satisface lacondicion (C1) e ind(CB) = 1. Por el Teorema 3.3.7 se sigue que

CB = P

(B1 B12

B21 B21B−11 B12

)P−1 = P

[IS

]B1

[I T

]P−1, (3.13)

donde hemos definido T = B−11 B12 y S = B21B

−11 . Del citado teorema se tiene que

B1 y I + TS son no singulares. Se observa que I + ST es tambien no singular.

Ahora, sea NB = P

(N1 N12

N21 N2

)P−1. Calculamos,

CBNB = P

(B1N1 + B1TN21 B1N12 + B1TN2

SB1N1 + SB1TN21 SB1N12 + SB1TN2

)P−1,

NBCB = P

(N1B1 + N12SB1 N1B1T + N12SB1TN21B1 + N2SB1 N21B1T + N2SB1T

)P−1.

De la condicion CBNB = NBCB = O se sigue que

N1 = TN2S

N12 = −TN2

N21 = −N2S.

Ası,

NB = P

[T−I

]B2

[S −I

]P−1, (3.14)

y para todo entero positivo p se tiene,

NpB = P

[T−I

](B2(I + ST ))p−1B2

[S −I

]P−1. (3.15)

La condicion N sB = O implica que

(B2(I + ST ))s−1B2(I + ST )(I + ST )−1 = O ⇔ (B2(I + ST ))s = O.

Por lo tanto, (B2(I +ST )) es nilpotente de ındice s. De (3.13) y (3.14) se obtienela representacion (3.12).


(iii) ⇒ (i): Asumamos que B tiene la descomposicion B = CB + NB, donde CB yNB tienen una representacion dada por (3.12). Claramente CBNB = NBCB = O.Ademas, por el Teorema 3.3.7, equivalencia (i) ⇔ (iii), se sigue que CB satisface lacondicion (C1) e ind(CB) = 1, esto es,

N (CB) ∩R(Ak) = 0 y R(CB) ∩N (Ak) = 0, (3.16)

con ind(CB) = 1.Usando (3.15) se tiene que

N sB = P

[T−I

](B2(I + ST ))s−1B2

[S −I

]P−1

= P

[T−I

](B2(I + ST ))s(I + ST )−1

[S −I

]P−1 = O,

ya que B2(I + ST ) es nilpotente de ındice s.Ası, B = CB+NB es la descomposicion ındice 1-nilpotente de B con ind(B) = s.

Entonces R(CB) = R(Bs) y N (CB) = N (Bs) y, sustituyendo en (3.16), concluimosque B ∈ (Cs) e ind(Bs) = s. ¤

Corolario 3.3.11. Sea A ∈ Cn×n con ind(A) = k. Entonces las siguientes condi-ciones sobre B ∈ Cn×n con ind(B) = s son equivalentes:

(i) B satisface la condicion (Cs).

(ii) I + (AD)s(Bs − As) es no singular, Bs(I + (AD)s(Bs − As))−1Aπ = O.

(iii) I + (AD)s(Bs − As) es no singular, rg(Bs) = rg(Ak).

Dem. (i)⇔ (ii): Para establecer esta equivalencia se demostrara que, bajo la hipote-sis ind(B) = s, las condiciones dadas en (ii) implican que I +(AD)s+1(Bs+1−As+1)es no singular. Una vez visto esto, el Teorema 3.3.10 (i) ⇔ (ii), mostrara la equiva-lencia que nos ocupa.

Primero, se observa que N (Bs) = N (Bs+1), ya que ind(B) = s. Ahora, seax ∈ N (Aπ) ∩N (Bs), entonces Aπx = 0 y (AD)sBsx = 0. Luego

(Aπ + (AD)sBs)x = (I + (AD)s(Bs − As))x = 0,

y como I + (AD)s(Bs − As) es no singular resulta x = 0. Esto muestra que

N (Aπ) ∩N (Bs) = N (Aπ) ∩N (Bs+1) = 0.Ahora, de Bs(I + (AD)s(Bs − As))−1Aπ = O se sigue que

Bs(I + (AD)s(Bs − As))−1 = Bs(I + (AD)s(Bs − As))−1AAD


o, expresado de otra forma, que

Bs = Bs(I + (AD)s(Bs − As))−1(AD)sBs.

Entonces Bs+1 = Bs(I + (AD)s(Bs − As))−1(AD)sBs+1, y se tiene

N ((AD)s+1Bs+1) ⊆ N (Bs(I + (AD)s(Bs − As))−1(AD)s+1Bs+1) = N (Bs+1).

Supongamos que tenemos (Aπ + (AD)s+1Bs+1)x = 0. Entonces Aπx = 0 y(AD)s+1Bs+1x = 0. De aquı obtenemos

x ∈ N (Aπ) ∩N ((AD)s+1Bs+1) ⊆ N (Aπ) ∩N (Bs+1) = 0.

Por lo tanto, Aπ + (AD)s+1Bs+1 es no singular.

(i) ⇔ (iii): Procediendo de un modo similar al dado en la equivalencia anterior,tenemos que N (Aπ) ∩N (Bs) = 0. De la condicion ind(B) = s se sigue que

Cn = R(Q)⊕N (Q) = R(Bs)⊕N (Bs).

Dado que R(Ak) ∩N (Bs) = 0 y como rg(Ak) = rg(Bs), entonces concluimosque R(Bs) ∩N (Ak) = 0. ¤

Observacion 3.3.12. Bajo las hipotesis del corolario anterior la condicion (iii) pue-de ser sustituida por la condicion equivalente

(iii′) rg(Bs) = rg(Ak), I + (AD)s(Bs − As) y I + (AD)s+1(Bs+1 − As+1) son nosingulares.

3.4. Resultados de perturbacion

El principal objetivo de esta seccion sera la obtencion de cotas superiores para‖BD − AD‖/‖AD‖ y ‖Bπ − Aπ‖.

El caso en que el Grupo inverso de B existe sera objeto de especial atencion yse estudiara en primer lugar.

En varios ejemplos numericos compararemos las cotas superiores obtenidas eneste trabajo con otras dadas en la literatura.

A continuacion damos algunos resultados sobre la continuidad de la inversa deDrazin.


Si Aj, A ∈ Cm×n, entonces Aj → A denota la convergencia de Aj a A conrespecto de una norma de Cm×n.

En el siguiente teorema, [73], R. Penrose establecio condiciones necesarias ysuficientes para continuidad de la inversa de Moore-Penrose.

Teorema 3.4.1. Sean Aj, A ∈ Cm×n tal que Aj → A. Entonces A†j → A† si y solo

si existe un j0 tal que rg(Aj) = rg(A), para todo j ≥ j0.

El siguiente ejemplo muestra que la implicacion hacia la derecha en esta carac-terizacion no se tiene en el caso de la inversa de Drazin.

Ejemplo 3.4.2. Sean

A =

1 0 00 0 00 0 0

Aj =

1 0 00 0 1/j0 0 0

.

Entonces, Aj → A y ADj → AD, pero rg(Aj) 6= rg(A), para todo j.

La implicacion contraria tampoco se tiene.

Ejemplo 3.4.3. Sean

A =

0 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0

Aj =

1/j 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0

.

Entonces,

ADj =

j j2 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

,

mientras AD = O. Ası, Aj → A, rg(Aj) = rg(A) e ind(Aj) = ind(A) = 2, peroAD

j 9 AD.

En [6], S. L. Campbell y C. D. Meyer Jr establecieron las condiciones necesariasy suficientes para la continuidad de la inversa de Drazin, relacionando la continuidadde AD con el core-rango de A. Recordemos que el core-rango de A, que denotaremospor core-rg(A), es el rango de Ak, donde k = ind(A).

Teorema 3.4.4. Sean Aj, A ∈ Cn×n tal que Aj → A. Entonces ADj → AD si y solo

si existe un j0 tal que core-rg(Aj) = core-rg(A), para todo j ≥ j0.


Es sabido que se si Aj → A, entonces

ADj → AD ⇔ Aπ

j → Aπ.

En efecto, si ADj → AD, entonces

AjADj → AAD ⇔ Aπ

j → Aπ.

Recıprocamente, si Aπj → Aπ, entonces Aπ

j + Aj → Aπ + A, con Aπ + A nosingular y ası, (Aπ

j + Aj)−1 → (Aπ + A)−1. Finalmente,

ADj = (Aπ

j + Aj)−1(I − Aπ

j ) → (Aπ + A)−1(I − Aπ) = AD.

Ejemplo 3.4.5. Sean

Aj =

1 1/j 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0

, A =

1 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0

.

Entonces,

ADj =

1 1/j 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

, AD =

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

.

Ası, Aj → A, ind(Aj) = ind(A) = 2, rg(A2j) = rg(A2) y AD

j → AD. Observamosque tambien se tiene la convergencia Aπ

j → Aπ.

La continuidad de la inversa de Drazin sin dar cotas explıcitas del error ha sidoestudiada en [1, 3, 6, 15, 53, 75, 80].

Trabajaremos con la norma matricial natural en el conjunto de las matricescomplejas, Cm×n, inducida por la norma vectorial ‖ · ‖v en Cn. Esta norma es mul-tiplicativa, i.e.,

‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖,para todo par de matrices A y B tal que el producto este bien definido y consistentecon la norma vectorial que la induce, i.e.,

‖Ax‖v ≤ ‖A‖‖x‖v,

para toda matriz A ∈ Cm×n y x ∈ Cn.Cuando v = 2, la norma matricial inducida por la norma euclıdea es la norma

espectral definida como ‖A‖2 =√

σ(A∗A).


Las siguientes acotaciones basicas se utilizaran a lo largo del capıtulo sin sermencionadas explıcitamente:

Si ‖F‖ < 1, entonces I + F es no singular y

· ‖(I − F )−1‖ ≤ 1

1− ‖F‖ , [4].

· ‖I − (I + F )−1‖ ≤ ‖F‖1− ‖F‖ , [88].

En el Teorema 3.2.4 se derivo la formula

BD = (I + S + AD(B − A))−1AD(I − S),

valida siempre que I − S2 sea no singular. Si S = Bπ − Aπ, entonces esta formulaes tambien valida para las matrices de perturbacion B ∈ (Cs), con ind(B) = s.

Utilizando la formula anterior para BD, en el siguiente resultado establecemos

cotas superiores para ‖BD‖ y ‖BD−AD‖‖AD‖ en terminos de ‖Bπ − Aπ‖. Posteriormente

se daran estimaciones para la norma de la diferencia de las proyecciones espectrales.

Teorema 3.4.6. Sean A, B ∈ Cn×n. Denotamos E = B − A. Si se cumple lacondicion ‖Bπ − Aπ‖+ ‖ADE‖ < 1, entonces

‖BD‖ ≤ ‖AD‖(1 + ‖Bπ − Aπ‖)1− ‖Bπ − Aπ‖ − ‖ADE‖ (3.17)

y‖BD − AD‖‖AD‖ ≤ ‖ADE‖+ 2‖Bπ − Aπ‖

1− ‖Bπ − Aπ‖ − ‖ADE‖ . (3.18)

Dem. Sea S = Bπ − Aπ. Como ‖Bπ − Aπ‖ + ‖AD(B − A)‖ < 1 es claro que‖Bπ − Aπ‖ < 1 y, por lo tanto, I − S2 es no singular. Ahora, por el Teorema 3.2.4,equivalencia (i) ⇔ (vi), tenemos

(I + S)BD − AD(I − S) = ADEBD.

Aplicando normas a BD = AD − ADS − (S + ADE)BD se obtiene

‖BD‖ ≤ ‖AD‖+ ‖AD‖ ‖S‖+ (‖S‖+ ‖ADE‖)‖BD‖y de aquı, agrupando terminos en la desigualdad y despejando ‖BD‖, se deriva(3.17). Ahora, de

BD − AD = −(S + ADE)(AD + (BD − AD))− ADS


se sigue

‖BD − AD‖ ≤ (‖S‖+ ‖ADE‖)(‖AD‖+ ‖BD − AD‖) + ‖AD‖ ‖S‖y, consecuentemente, (3.18). ¤

Del precedente teorema se obtiene [16, Teorema 2.1] cuando se considera S = O,i.e., Bπ = Aπ.

Observacion 3.4.7. Si ‖Bπ − Aπ‖+ ‖AD‖ ‖E‖ < 1 en el Teorema 3.4.6, entonces

‖BD − AD‖‖AD‖ ≤ ‖AD‖ ‖E‖+ 2‖Bπ − Aπ‖

1− ‖Bπ − Aπ‖ − ‖AD‖ ‖E‖ ≤κD(A)Θ + 2‖Bπ − Aπ‖

1− ‖Bπ − Aπ‖ − κD(A)Θ,

donde κD(A) = ‖AD‖ ‖A‖ es el numero de condicion de Drazin de A y Θ =‖E‖/‖A‖.

Ademas, si ∆ es una cota superior para ‖Bπ − Aπ‖ tal que ∆ + ‖AD‖ ‖E‖ < 1,entonces

‖BD − AD‖‖AD‖ ≤ κD(A)Θ + 2∆

1−∆− κD(A)Θ.

3.4.1. Matrices perturbadas con ındice de Drazin uno

Apoyandonos en los resultados obtenidos en la seccion anterior, en el siguienteteorema obtenemos una expresion explıcita del Grupo inverso y, de esta, derivamosuna cota superior del error relativo del Grupo inverso de la matriz B.

Teorema 3.4.8. Sea A ∈ Cn×n, con ind(A) = k, y B ∈ Cn×n, con ind(B) = 1.Asumamos que B satisface la condicion (C1) y tomemos E = B − A. Entonces,

B] =Φ−11

(AD + ADΨ−1

11 Φ−11 ADEAπ(I − AπEADΦ−1

1 ) + AπEADΦ−11 Ψ−1

11

× (AD − Φ−1

1 ADEAD − (Φ−11 AD)2EAπEADΦ−1

1 Ψ−111

)(I + Φ−1

1 ADEAπ)),

(3.19)

donde Φ1 = I + ADE, Φ1 = I + EAD y Ψ11 = I + Φ−11 ADEAπEADΦ−1

1

Si asumimos que max‖EAD‖, ‖ADE‖ < 1, entonces

‖B] − AD‖‖AD‖ ≤ ‖ADE‖

1− ‖ADE‖ +‖ADEAπ‖ ‖Ψ−1

11 ‖(1− ‖ADE‖)2

(1 +

‖AπEAD‖1− ‖EAD‖

)

+‖AπEAD‖ ‖Ψ−1

11 ‖(1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖)

(1 +

‖ADEAπ‖1− ‖ADE‖

)

×(

1 +‖ADE‖

1− ‖ADE‖ +‖AπEAD‖ ‖ADEAπ‖ ‖Ψ−1

11 ‖(1− ‖ADE‖)2(1− ‖EAD‖)

).

(3.20)


Ademas, si max‖EAD‖, ‖ADE‖ <1

1 +√‖Aπ‖ , entonces

‖Ψ−111 ‖ ≤

(1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖)(1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖)− ‖ADE‖ ‖AπEAD‖ . (3.21)

Dem. Utilizando la representacion de B dada en el Lema 3.3.9 tenemos

E = P

(B1 − A1 B1T

SB1 SB1T − A2

)P−1. (3.22)

Si Φ1 = I + ADE y Φ1 = I + EAD, entonces

Φ−11 = P

(B−1

1 A1 −TO I

)P−1 y Φ−1

1 = P

(A1B

−11 O

−S I

)P−1.

En vista de estas representaciones obtenemos

Φ−11 AD = ADΦ−1

1 = P

(B−1

1 OO O

)P−1. (3.23)

Ademas, usando (3.22) y (3.23) tenemos

Φ−11 ADEAπ = P

(O TO O

)P−1 y AπEADΦ−1

1 = P

(O OS O

)P−1. (3.24)

Sea Ψ11 = I + Φ−11 ADEAπEADΦ−1

1 Usando (3.24) tenemos una representacionpor bloques de Ψ11 de la cual se sigue

Ψ−111 = P

((I + TS)−1 O

O I

)P−1. (3.25)

Ahora, tenemos que verificar la identidad (3.19), lo cual es equivalente a

(I + ADE)B] = Σ1 + Σ2, (3.26)

donde

Σ1 = AD + ADΨ−111 Φ−1

1 ADEAπ(I − AπEADΦ−11 ),

Ω = AD − Φ−11 ADEAD − (Φ−1

1 AD)2EAπEADΦ−11 Ψ−1

11 ,

Σ2 = AπEADΦ−11 Ψ−1

11 Ω(I + Φ−11 ADEAπ).

(3.27)

Usando la representacion de B], dada en el Lema 3.3.9, obtenemos

(I+ADE)B] = P

(A−1

1 (I + TS)−1 A−11 (I + TS)−1T

S((I + TS)B1(I + TS)

)−1S((I + TS)B1(I + TS)

)−1T

)P−1.

(3.28)


Por otra parte, utilizando (3.22), (3.24) y (3.25), vemos que

Σ1 =P

[(A−1

1 OO O

)+

(A−1

1 (I + TS)−1 OO O

)(O TO O

)(I O−S I

)]P−1

=P

(A−1

1 (I + TS)−1 A−11 (I + TS)−1T

O O

)P−1,

Ω =P

[(A−1

1 OO O

)−

(A−1

1 −B−11 O

O O

)−

(B−1

1 TS(I + TS)−1 OO O

)]P−1

=P

(B−1

1 (I + TS)−1 OO O

)P−1,

y, ası,

Σ2 =P

(O O

S(I + TS)−1 O

)(B−1

1 (I + TS)−1 OO O

)(I TO I

)P−1

=P

(O O


)−1S((I + TS)B1(I + TS)

)−1T

)P−1.

Luego, vemos que Σ1 + Σ2 es igual al lado derecho de la igualdad (3.28). Conse-cuentemente, la identidad (3.26) es verificada.

A continuacion demostramos (3.20). Asumimos que max‖EAD‖, ‖ADE‖ < 1.De (3.26) se sigue

B] − AD = −ADE(B] − AD + AD) + Σ1 − AD + Σ2.

Luego, tomando normas obtenemos

‖B] − AD‖ ≤ ‖AD‖ ‖ADE‖+ ‖Σ1 − AD‖+ ‖Σ2‖1− ‖ADE‖ (3.29)

Ahora, tenemos

‖Φ−11 ‖ ≤ 1

1− ‖ADE‖ y ‖Φ−11 ‖ ≤ 1

1− ‖EAD‖ . (3.30)

De (3.27), tomando normas y usando (3.30), obtenemos

‖Σ1 − AD‖ ≤‖AD‖ ‖ADEAπ‖ ‖Ψ−1

11 ‖1− ‖ADE‖

(1 +


),

‖Ω‖ ≤‖AD‖(

1 +‖ADE‖

1− ‖ADE‖ +‖AπEAD‖ ‖ADEAπ‖ ‖Ψ−1

11 ‖(1− ‖ADE‖)2(1− ‖EADE‖)

),

‖Σ2‖ ≤‖AπEAD‖ ‖Ψ−1

11 ‖1− ‖EADE‖

( ‖ADEAπ‖1− ‖ADE‖

)‖Ω‖.


Sustituyendo ‖Σ1−AD‖ y ‖Σ2‖ por sus respectivas cotas en (3.29) obtenemos (3.20).

Finalmente, si max‖EAD‖, ‖ADE‖ <1


‖Ψ11 − I‖ = ‖Φ−11 ADEAπEADΦ−1

1 ‖ ≤ ‖ADE‖ ‖AπEAD‖(1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖) < 1.

Por lo tanto,

‖Ψ−111 ‖ ≤

(1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖)(1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖)− ‖ADE‖ ‖AπEAD‖

y, ası, la cota superior para ‖Ψ−111 ‖ dada en (3.21) se tiene. ¤

Cuando ind(B) = 1 y AπEAD = ADEAπ tenemos el siguiente corolario. Notemosque de la condicion AπEAD = ADEAπ se deduce que B tiene una representacion

dada por B = P

(B1 OO O

)P−1.

Corolario 3.4.9. Sean A, B ∈ Cn×n, con ind(A) = k, e ind(B) = 1, tal querg(Ak) = rg(B) = rg(AkBAk), y sea E = B − A. Si AπEAD = ADEAπ, entonces

B] = (I + ADE)−1AD.

Ademas, si ‖ADE‖ < 1, entonces

‖B] − AD‖‖AD‖ ≤ ‖ADE‖

1− ‖ADE‖ .

Si consideramos solo los terminos de primer orden de ‖E‖ en (3.20) obtenemosel siguiente resultado.

Observacion 3.4.10. Sea δ11 = (1 − ‖ADE‖)(1 − ‖EAD‖) − ‖ADE‖ ‖AπEAD‖,entonces

‖Ψ−111 ‖ ≤ 1 +

‖ADE‖ ‖AπEAD‖δ11

= 1 + O(‖E‖2).

Sustituyendo ‖Ψ−111 ‖ por la cota superior de arriba en (3.20) obtenemos que la

cota superior de‖B] − AD‖‖AD‖ de primer orden de ‖E‖ tiene la siguiente expresion

‖B] − AD‖‖AD‖ ≤ ‖ADE‖

1− ‖ADE‖+‖ADEAπ‖

(1− ‖ADE‖)2+

‖AπEAD‖(1− ‖EAD‖)(1− ‖EAD‖)+O(‖E‖2).

(3.31)


Basado en el Teorema 3.3.6, donde se obtuvo una expresion explıcita de Bπ,obtenemos el siguiente resultado.

Teorema 3.4.11. Sea A ∈ Cn×n, con ind(A) = k, y B ∈ Cn×n, con ind(B) = 1.Asumimos que B satisface la condicion (C1) y llamamos E = B − A. Si se cumplemax‖ADE‖, ‖EAD‖ < 1, entonces

‖Bπ−Aπ‖ ≤ ‖ADEAπ‖1− ‖ADE‖+

‖AπEAD‖ ‖Ψ−111 ‖

(1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖)(

1 +‖ADEAπ‖1− ‖ADE‖

), (3.32)

donde Ψ11 = I + (I + ADE)−1ADEAπEAD(I + EAD)−1.

Ademas, si max‖ADE‖, ‖EAD‖ <1

1 +√‖Aπ‖ , entonces una cota superior

de ‖Ψ−111 ‖ es dada en (3.21).

Dem. Del Teorema 3.3.6 se tiene

Bπ + ADEBπ = −AπX−1, (3.33)

donde X = I − (I + ADE)−1Aπ − Aπ(I + EAD)−1. Utilizando las expresiones ma-

triciales de Φ1 = I + ADE y Φ1 = I + EAD dadas en la demostracion del Teorema3.4.8, podemos representar

X = P

(I TS −I

)P−1 y X−1 = P

((I + TS)−1 (I + TS)−1TS(I + TS)−1 −I + S(I + TS)−1T

)P−1.

Ası,

−AπX = Aπ + P

(I T

−S(I + TS)−1 −S(I + TS)−1T

)P−1. (3.34)

Luego, en vista de las representaciones (3.24) y (3.25) podemos escribir

−AπX−1 = Aπ − AπEADΦ−11 Ψ−1

11 (I + Φ−11 ADEAπ). (3.35)

Sustituyendo esta ultima igualdad en (3.33) obtenemos

Bπ − Aπ = −ADE(Bπ − Aπ + Aπ)− AπEADΦ−11 Ψ−1

11 (I + Φ−11 ADEAπ).

Ahora, dado que max‖ADE‖, ‖EAD‖ < 1, tomando normas y reagrupandoen ‖Bπ − Aπ‖ tenemos

‖Bπ − Aπ‖ ≤ ‖ADEAπ‖1− ‖ADE‖ +

‖AπEAD‖ ‖Ψ−111 ‖

(1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖)(

1 +‖ADEAπ‖1− ‖ADE‖

).

Luego, la cota superior (3.32) es obtenida. ¤


A continuacion damos un ejemplo en el que se comparan las cotas superiores

para ‖B]−AD‖2‖AD‖2 dadas en Teorema 3.4.8, Observacion 3.4.10 y Observacion 3.4.7, en

este caso ∆ es reemplazada por la cota superior dada en (3.32), y la cota superiorpara ‖Bπ − Aπ‖2, deducida en el Teorema 3.4.11, con otras cotas superiores dadasen [62, 97].


A =

1100

0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 1 00 0 0 1 00 0 0 0 0

, E1 =

0 0 0 0 00 ε 0 ε 00 0 0 ε 00 0 0 0 00 0 0 0 0

, E2 =

0 0 0 0 00 0 ε ε 00 0 0 ε 00 0 0 0 00 0 0 0 0

,

donde ε = 10−6. Vemos que ind(A) = ind(A + Ei) = 1 y rg(A + Ei) = rg(A) =rg(A(A+Ei)A) = 3, para i = 1, 2 y, ası, por el Teorema 3.3.4, tenemos que la matrizB = A + Ei satisface ind(B) = 1 y B ∈ (C1).

En las siguientes tablas se muestra que nuestras cotas son mejores que las pre-viamente dadas.

Valor exacto [97, Th. 5], (15) (3.32)

B = A + E1 9,99× 10−7 1,00× 10−4 1,00× 10−6

B = A + E2 1,62× 10−6 2,42× 10−4 2,42× 10−6

Cuadro 3.1: Comparacion de cotas superiores para ‖BB] −AA]‖2

Valor exacto [97, Th. 4], (6) (3.31)

B = A + E1 1,62× 10−8 1,02× 10−4 + O(‖E‖2) 2,42× 10−6 + O(‖E‖2)B = A + E2 3,31× 10−8 2,43× 10−4 + O(‖E‖2) 3,83× 10−6 + O(‖E‖2)

Cuadro 3.2: Comparacion de cotas superiores para ‖B] −A]‖2/‖A]‖2

[62, Th. 3] (3.1) (3.20) (3.18) + (3.32)

B = A + E1 2,62× 10−4 2,42× 10−6 3,42× 10−6

B = A + E2 4,04× 10−4 3,83× 10−6 6,25× 10−6

Cuadro 3.3: Comparacion de cotas superiores para ‖B] −A]‖2/‖A]‖2


3.4.2. Matrices perturbadas de ındice de Drazin s > 1

En este apartado extenderemos los resultados obtenidos anteriormente a la clasede matrices que cumplen ind(B) = s > 1 y B ∈ (Cs).

Primero damos una representacion de las potencias de B la cual esta basada enel Teorema 3.3.10.

Lema 3.4.13. Sea A ∈ Cn×n, con ind(A) = k, y B ∈ Cn×n, con ind(B) = s, satisfa-ciendo la condicion (Cs). Entonces, para todo entero p ≥ 1, se tiene la representacion

Bp = P

[IS

](B1(I + TS))p−1B1

[I T

]+

[T−I

](B2(I + ST ))p−1B2

[S −I

]P−1,

donde I + TS y B1 son no singulares y, B2(I + ST ) es nilpotente de ındice s.

Ademas,

BD = P

[IS

]((I + TS)B1(I + TS))−1

[I T

]P−1 (3.36)

y

BBD = P

[IS

](I + TS)−1

[I T

]P−1.

Dem. Por el Teorema 3.3.10, la descomposicion ındice 1-nilpotente de B tiene unarepresentacion relativa a la descomposicion core-nilpotente de A dada por

B = CB + NB = P

[IS

]B1

[I T

]P−1 + P

[T−I

]B2

[S −I

]P−1,

donde I + TS y B1 son no singulares, y B2(I + ST ) es nilpotente de ındice s. DeCBNB = NBCB = O se sigue que Bp = Cp

B + NpB. Por el Lema 2.6.4, formula (2.7),

se obtiene la expresion

CpB = P

[IS

](B1(I + ST ))p−1B1

[I T

]P−1

y, por la formula (3.15),

NpB = P

[T−I

](B2(I + ST ))p−1B2

[S −I

]P−1.

Ası se llega a la expresion para Bp. Ademas, BD = C]B, entonces por el Lema

2.6.4, formula (2.6.4), se tiene la expresion para BD. Finalmente, la formula paraBBD se comprueba por calculo directo. ¤


Teorema 3.4.14. Sea A ∈ Cn×n, con ind(A) = k, y B ∈ Cn×n, con ind(B) = s,satisfaciendo la condicion (Cs). Denotamos E1 = E = B − A y Es = Bs − As.Asumimos que I + ADE es no singular. Entonces,

BD =Φ−11

(AD + ADΨ−1

ss Φ−1s (AD)sEsA

π(I − AπEs(AD)sΦ−1

s ) + AπEs(AD)sΦ−1

s Ψ−11s

× (AD − Φ−1

1 ADEAD − Φ−11 AD(Ψss − I)Ψ−1

ss

)(I + Φ−1

s (AD)sEsAπ)

),

(3.37)

donde Φi = I + (AD)iEi, Φi = I + Ei(AD)i y Ψis = I + Φ−1

i (AD)iEiAπEs(A

D)sΦ−1s ,

para i = 1 e i = s.

Si max‖ADE‖, ‖(AD)sEs‖, ‖Es(AD)s‖ < 1, entonces

‖BD − AD‖‖AD‖ ≤ ‖ADE‖

1− ‖ADE‖ +‖(AD)sEsA

π‖ ‖Ψ−1ss ‖

(1− ‖ADE‖)(1− ‖(AD)sEs‖)(

1 +‖AπEs(A

D)s‖1− ‖Es(AD)s‖

)

+‖AπEs(A

D)s‖ ‖Ψ−11s ‖

(1− ‖ADE‖)(1− ‖Es(AD)s‖)(

1 +‖(AD)sEsA

π‖1− ‖(AD)sEs‖

)

×(1 +

‖ADE‖1− ‖ADE‖+

‖AπEs(AD)s‖ ‖(AD)sEsA

π‖ ‖Ψ−1ss ‖

(1− ‖ADE‖)(1− ‖(AD)sEs‖)(1− ‖Es(AD)s‖))

.

(3.38)

Ademas, si max‖ADE‖, ‖(AD)sEs‖, ‖Es(AD)s‖ <

1


‖Ψ−1is ‖ ≤

(1− ‖(AD)iEi‖)(1− ‖Es(AD)s‖)

(1− ‖(AD)iEi‖)(1− ‖Es(AD)s‖)− ‖(AD)iEi‖ ‖AπEs(AD)s‖ , (3.39)

para i = 1 e i = s.

Dem. Del Teorema 3.3.10 (iii), tenemos que la descomposicion ındice 1-nilpotentede B, es dada por B = CB + NB, con

CB = P

[IS

]B1

[I T

]P−1 y NB = P

[T−I

]B2

[S −I

]P−1,

donde I +TS y B1 son no singulares y, B2(I +ST ) es nilpotente de ındice s. Luego,aplicando el Lema 3.3.9, obtenemos

BD = C]B = P

[IS

] ((I + TS)B1(I + TS)

)−1 [I T

]P−1. (3.40)


Ademas, podemos escribir E = B − A como

E = P

(B1 + TB2S − A1 B1T − TB2

SB1 −B2S SB1T + B2 − A2

)P−1. (3.41)

En vista de esta ultima representacion obtenemos

I + ADE = P

(A−1

1 (B1 + TB2S) A−11 (B1T − TB2)

O I

)P−1. (3.42)

De la suposicion I + ADE es no singular se sigue que B1 + TB2S es no singular.Usando (3.42) y (3.40) tenemos

(I+ADE)BD = P

(A−1

1 (I + TS)−1 A−11 (I + TS)−1T


)−1S((I + TS)B1(I + TS)

)−1T

)P−1.

(3.43)Denotamos Φ1 = I + ADE, entonces

Φ−11 = P

((B1 + TB2S)−1A1 −(B1 + TB2S)−1(B1T − TB2)

O I

)P−1. (3.44)

Utilizando la representacion de las potencias de B dada en el Lema 3.4.13, es-cribimos Es = Bs − As como

Es = P

((B1(I + TS)

)s−1B1 − As

1

(B1(I + TS)

)s−1B1T

S(B1(I + TS)

)s−1B1 S

(B1(I + TS)

)s−1B1T − As

2

)P−1. (3.45)

Ahora, llamando Φs = I + (AD)sEs y Φs = I + Es(AD)s, obtenemos

Φ−1s = P

(B−1

1

((B1(I + TS))s−1

)−1As

1 −TO I

)P−1,

Φ−1s = P

(As

1B−11

((B1(I + TS))s−1

)−1O

−S I

)P−1

(3.46)

y

Φ−1s (AD)s = (AD)sΦ−1

s = P

(B−1

1

((B1(I + TS))s−1

)−1O

O O

)P−1. (3.47)

Ademas,

Φ−1s (AD)sEsA

π = P

(O TO O

)P−1 y AπEs(A

D)sΦ−1s = P

(O OS O

)P−1. (3.48)


Sea Ψis = I + Φ−1i (AD)iEiA

πEs(AD)sΦ−1

s , para i = 1 e i = s. Usando (3.48)tenemos una representacion por bloques de Ψss de la cual se sigue

Ψ−1ss = P

((I + TS)−1 O

O I

)P−1, (3.49)

y, usando (3.41), (3.42) y (3.48), obtenemos

Ψ1s = P

((B1 + TB2S)−1B1(I + TS) O

O I

)P−1

y, ası,

Ψ−11s = P

((I + TS)−1B−1

1 (B1 + TB2S) OO I

)P−1. (3.50)

Introducimos

Σ1 = AD + ADΨ−1ss Φ−1

s (AD)sEsAπ(I − AπEs(A

D)sΦ−1s ),

Ω = AD − Φ−11 ADEAD − Φ−1

1 AD(Ψss − I)Ψ−1ss ,

Σ2 = AπEs(AD)sΦ−1

s Ψ−11s Ω(I + Φ−1

s (AD)sEsAπ).

(3.51)

A fin de verificar la igualdad (3.37) veremos que la representacion matricial deΣ1 + Σ2 es igual al lado derecho de (3.43). Calculamos

Σ1 = P

(A−1

1 (I + TS)−1 A−11 (I + TS)−1T

O O

)P−1.

Por otra parte, utilizando (3.41), (3.44) y (3.49) vemos que

Ω = P

((B1 + TB2S)−1(I + TS)−1 O

O O

)P−1,

y, ası, usando (3.50), obtenemos

Ψ−11s Ω = P

((I + TS)−1B−1

1 (I + TS)−1 OO O

)P−1.

Por lo tanto,

Σ2 =P

(O OS O

)((I + TS)−1B−1

1 (I + TS)−1 OO I

)(I TO I

)P−1

=P

(O O


)−1S((I + TS)B1(I + TS)

)−1T

)P−1.


En vista de estas expresiones de Σ1 y Σ2 concluimos la demostracion de la primeraparte.

A continuacion demostramos la cota (3.38). De la identidad

BD − AD + ADE(BD − AD + AD) = Σ1 − AD + Σ2,

tomando normas obtenemos

‖BD − AD‖ ≤ ‖ADE‖ ‖BD − AD‖+ ‖ADE‖ ‖AD‖+ ‖Σ1 − AD‖+ ‖Σ2‖.

Puesto que max‖ADE‖, ‖(AD)sEs‖, ‖Es(AD)s‖ < 1, tenemos

‖BD − AD‖ ≤ ‖ADE‖ ‖AD‖+ ‖Σ1 − AD‖+ ‖Σ2‖1− ‖ADE‖ (3.52)

y

‖Φ−1s ‖ ≤ 1

1− ‖(AD)sEs‖ y ‖Φ−1s ‖ ≤ 1

1− ‖Es(AD)s‖ . (3.53)

Tomando normas en (3.51), y usando estas cotas superiores obtenemos

‖Σ1 − AD‖ ≤ ‖AD‖ ‖(AD)sEsAπ‖ ‖Ψ−1

ss ‖1− ‖(AD)sEs‖

(1 +

‖AπEs(AD)s‖

1− ‖Es(AD)s‖)

y

‖Σ2‖ ≤+‖AD‖ ‖AπEs(A

D)s‖ ‖Ψ−11s ‖

1− ‖Es(AD)s‖(

1 +‖(AD)sEsA

π‖1− ‖(AD)sEs‖

)

×(

1 +‖ADE‖

1− ‖ADE‖ +‖AπEs(A

D)s‖ ‖(AD)sEsAπ‖ ‖Ψ−1

ss ‖(1− ‖ADE‖)(1− ‖(AD)sEs‖)(1− ‖Es(AD)s‖)

).

Sustituyendo ‖Σ1 − AD‖ y ‖Σ2‖ por sus respectivas cotas en (3.52) concluimosla demostracion de (3.38).

Finalmente, si max‖ADE‖, ‖(AD)sEs‖, ‖Es(AD)s‖ <

1


‖Ψis − I‖ ≤ ‖(AD)iEi‖ ‖AπEs(AD)s‖

(1− ‖(AD)iEi‖)(1− ‖Es(AD)s‖) < 1, i = 1, s.

Por lo tanto,

‖Ψ−1is ‖ ≤

(1− ‖(AD)iEi‖)(1− ‖Es(AD)s‖)

(1− ‖(AD)iEi‖)(1− ‖Es(AD)s‖)− ‖(AD)iEi‖ ‖AπEs(AD)s‖ , i = 1, s.

Esto completa la demostracion. ¤


Observacion 3.4.15. Si denotamos

δis = (1− ‖(AD)iEi‖)(1− ‖Es(AD)s‖)− ‖(AD)iEi‖ ‖AπEs(A

D)s‖,entonces la cota superior (3.39), para i = 1 e i = s, puede ser expresada como

‖Ψ−1is ‖ ≤ 1 +

‖(AD)iEi‖ ‖AπEs(AD)s‖

δis

= 1 + O(‖E‖2),

donde en la ultima identidad hemos tenido en cuenta que ‖Es‖ = O(‖E‖), ver [80].

Sustituyendo esto en (3.38) obtenemos que la cota superior de ‖BD−AD‖‖AD‖ , hasta

el primer orden de ‖E‖ en (3.38), tiene la siguiente expresion


1− ‖ADE‖ +‖(AD)sEsA

π‖(1− ‖ADE‖)(1− ‖(AD)sEs‖)

+‖AπEs(A

D)s‖(1− ‖ADE‖)(1− ‖Es(AD)s‖) + O(‖E‖2).

(3.54)

Teorema 3.4.16. Sea A ∈ Cn×n, con ind(A) = k, y B ∈ Cn×n, con ind(B) = s,satisfaciendo (Cs). Sea Es = Bs−As. Si max‖(AD)sEs‖ ‖Es(A

D)s‖ < 1, entonces

‖Bπ−Aπ‖≤ ‖(AD)sEsAπ‖

1−‖(AD)sEs‖+‖AπEs(A

D)s‖ ‖Ψ−1ss ‖

(1−‖(AD)sEs‖)(1−‖Es(AD)s‖)(1+

‖(AD)sEsAπ‖

1−‖(AD)sEs‖)

,

(3.55)donde Ψss = I + (I + (AD)sEs)

−1(AD)sEsAπEs(A

D)s(I + Es(AD)s)−1.

Ademas, si max‖(AD)sEs‖, ‖Es(AD)s‖ <

1

1 +√‖Aπ‖ , entonces una cota su-

perior de ‖Ψ−1ss ‖ es dada en (3.39).

Dem. Del Teorema 3.3.6 se tiene

Bπ + (AD)sEsBπ = −AπX−1, (3.56)

donde X = I − (I + (AD)sEs)−1Aπ −Aπ(I + Es(A

D)s)−1 Utilizando las expresiones

de Φ−1s y Φ−1

s dadas en la demostracion del Teorema 3.4.14, representaciones (3.46),tenemos

X = P

(I TS −I

)P−1 y X−1 = P

((I + TS)−1 (I + TS)−1TS(I + TS)−1 −I + S(I + TS)−1T

)P−1.

Ası,

−AπX = Aπ + P

(O O

−S(I + TS)−1 −S(I + TS)−1T

)P−1. (3.57)


Luego, de las representaciones (3.48) y (3.49) podemos escribir

−AπX−1 = Aπ − AπEs(AD)sΦ−1

s Ψ−1ss (I + Φ−1

s (AD)sEsAπ). (3.58)

Sustituyendo esta ultima igualdad en (3.56) obtenemos

Bπ − Aπ = −(AD)sEs(Bπ − Aπ + Aπ)− AπEs(A

D)sΦ−1s Ψ−1

ss (I + Φ−1s (AD)sEsA

π).

Tomando normas

‖Bπ − Aπ‖ ≤‖(AD)sEs‖ ‖Bπ − Aπ‖+ ‖(AD)sEsAπ‖

+ ‖AπEs(AD)s‖ ‖Φ−1

s ‖ ‖Ψ−1ss ‖(1 + ‖Φ−1

s ‖ ‖(AD)sEsAπ‖).

Ahora, dado que max‖(AD)sEs‖, ‖Es(AD)s‖ < 1 reagrupando en ‖Bπ − Aπ‖

y sustituyendo ‖Φ−1s ‖ y ‖Φ−1

s ‖ por las cotas superiores (3.53), obtenemos (3.55). ¤

Se observa a continuacion la acotacion que resulta cuando en la cota (3.55)consideramos los terminos de primer orden de ‖E‖.

Observacion 3.4.17. Si max‖(AD)sEs‖, ‖Es(AD)s‖ <

1

1 +√‖Aπ‖ , analoga-

mente a la Observacion 3.4.15, la cota superior de ‖Bπ −Aπ‖ hasta el primer ordende ‖E‖ en (3.55) resulta como sigue,

‖Bπ−Aπ‖ ≤ ‖(AD)sEsAπ‖

1− ‖(AD)sEs‖+‖AπEs(A

D)s‖(1− ‖(AD)sEs‖)(1− ‖Es(AD)s‖)+O(‖E‖2). (3.59)

En el siguiente ejemplo se compara la cota superior para ‖Bπ − Aπ‖2, derivada

en el Teorema 3.4.16, y las cotas superiores para ‖BD−AD‖2‖AD‖2 dadas en Teorema 3.4.14,

Observacion 3.4.15 y Observacion 3.4.7, reemplazando en este caso ∆ por la cotasuperior dada en (3.55), con las cotas superiores dadas en [97].


A =

1100

0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 1 10 0 0 1 00 0 0 0 0

, E1 =

0 0 0 0 00 ε 0 ε 00 0 0 ε 00 0 0 0 00 0 0 0 0

, E2 =

0 0 0 0 00 0 ε ε 00 0 0 ε 00 0 0 0 00 0 0 0 0

,

donde ε = 10−9. Vemos que ind(A) = ind(A + Ei) = 2 y rg((A + Ei)2) = rg(A2) =

rg(A2(A+Ei)2A2) = 3, para i = 1, 2. Por el Teorema 3.3.4 tenemos que B = A+Ei

satisface ind(B) = 2 y B ∈ (C2).

Los resultados obtenidos se reflejan en las siguientes tablas.


Valor exacto [97, Th. 5], (15) (3.55)

B = A + E1 9,99× 10−9 1,00× 10−5 1,00× 10−9

B = A + E2 1,85× 10−9 2,74× 10−5 2,74× 10−9

Cuadro 3.4: Comparacion de cotas superiores para ‖BBD −AAD‖2

Valor exacto [97, Th. 4], (6) (3.54)

B = A + E1 1,12× 10−10 1,00× 10−5 + O(‖E‖2) 2,41× 10−9 + O(‖E‖2)B = A + E2 3,44× 10−11 2,73× 10−5 + O(‖E‖2) 4,15× 10−9 + O(‖E‖2)

Cuadro 3.5: Comparacion de cotas superiores para ‖BD−AD‖2‖AD‖2 hasta el primer orden

[97, Th. 1], (1) (3.38) (3.18) + (3.55)

B = A + E1 0,7649 2,41× 10−9 3,41× 10−9

B = A + E2 0,9008 4,15× 10−9 6,88× 10−9

Cuadro 3.6: Comparacion de cotas superiores para ‖BD−AD‖2‖AD‖2

En [98], formula (4.1), los autores dieron una cota superior para el error relativode la inversa de Drazin basada en la separacion de matrices.

La funcion separacion de dos matrices cuadradas A y B es definida como en [87]:

sepF (A, B) =

mın‖W‖F =1 ‖AW −WB‖F si σ(A) ∩ σ(B) = 0,

0 en otro caso,

donde ‖ · ‖F es la norma de Frobenius, definida como ‖A‖F =

(n∑

i=i

m∑j=1

|aij|2) 1

2

.

Se puede calcular la funcion sepF (A, B) como el mınimo valor singular de lamatriz I ⊗ A−Bt ⊗ I, donde ⊗ es el producto de Kronecker para matrices.

La cota superior [98, Teorema 4.1] esta basada en la separacion de matricessepF (C, N), con C y N las matrices de la siguiente representacion

Q∗AQ =

(C GO N

), (3.60)

donde Q es una matriz unitaria, C es no singular y N es nilpotente de ındice denilpotencia ind(A). Esta representacion se deduce del teorema de descomposicionde Schur dado en [88].


En el siguiente ejemplo consideramos las matrices dadas en el Ejemplo 3.4.18,dando explıcitamente las matrices que intervienen en (3.60). En el comparamosla cota superior formulada en (3.38), usando la norma de Frobenius, con la cotaobtenida en [98, Teorema 4.1].

Ejemplo 3.4.19. Calculamos

A = Q

(C GO N

)Q∗ = Q

1/100 0 0 0 00 1 0 0 0

0 0 1 −1 1/√

2

0 0 0 0 1/√

20 0 0 0 0

Q∗,

con

Q =

1 0 0 0 00 1 0 0 0

0 0 1/√

2 1/√

2 0

0 0 1/√

2 −1/√

2 00 0 0 0 1

.

Tenemos que sepF (C, N) = 1,42× 10−4.

En la siguiente tabla se exponen los resultados obtenidos.

Valor exacto [98, Th. 4.1], (4.1) (3.38)

B = A + E1 1,14× 10−10 8,39× 10−5 2,42× 10−9

B = A + E2 3,47× 10−11 8,39× 10−5 4,15× 10−9

Cuadro 3.7: Comparacion de cotas superiores para ‖BD−AD‖F

‖AD‖F

3.5. Aplicaciones

A continuacion se exponen las aplicaciones tratadas en esta seccion.

Deduciremos una estimacion para ‖Bπ−Aπ‖ cuya obtencion es totalmente inde-pendiente de los resultados alcanzados en las secciones anteriores. Esta cota sera da-da en terminos de las proyecciones ortogonales sobre los subespacios nucleo e imagende las proyecciones espectrales Bπ y Aπ. Una cota en terminos del gap entre los su-bespacios R(Ak), R(Bs), y N (Ak), N (Bs) fue dada en [50].


Las acotaciones superiores de la inversa de Drazin y del error relativo de laperturbacion seran aplicadas en el estudio de la perturbacion de sistemas singularesde ecuaciones lineales. Se derivara un resultado que generaliza el obtenido por Y.Wei y G. Wang en [100, Theorem 4.1].

Se considerara una clase especial de matrices perturbadas B = A + E, queverifican la condicion (Cs), que incluye las matrices tales que B2AAD = (BAAD)2.Se dara una formula explıcita para la inversa de Drazin de dicha matriz y una cotasuperior para el error relativo de la inversa de Drazin. El principal resultado dadoen este apartado generaliza el obtenido por X. Li e Y. Wei en [63, Teorema 3.2].

3.5.1. Una cota para el error de la proyeccion espectral dela perturbacion

Antes de obtener la cota superior de ‖Bπ −Aπ‖ damos el siguiente lema, el cualconstituye una herramienta basica en la obtencion de dicha cota.

Lema 3.5.1. Sean A, B ∈ Cn×n, con k = ind(A) y s = ind(B). Entonces,

(i) ‖(I −Bπ)Aπ‖ ≤ ‖I −Bπ‖ ‖Aπ‖ ‖PN (Bs) − PN (Ak)‖.(ii) ‖Bπ(I − Aπ)‖ ≤ ‖Bπ‖ ‖I − Aπ‖ ‖PR(Bs) − PR(Ak)‖.(iii) ‖(I − Aπ)Bπ‖ ≤ ‖I − Aπ‖ ‖Bπ‖ ‖PN (Ak) − PN (Bs)‖.(iv) ‖Aπ(I −Bπ)‖ ≤ ‖Aπ‖ ‖I −Bπ‖ ‖PR(Ak) − PR(Bs)‖

Dem. Para todo proyector Q se verifica X = R(Q)⊕N (Q), luego para cada x ∈ X ,

x = Qx + (I −Q)x, donde Qx ∈ R(Q) y (I −Q)x ∈ N (Q).

Ası, PR(Q)Qx = Qx. Ahora, dado queR(Q) yN (Q) son subespacios ortogonales,se tiene PN (Q) = I − PR(Q). Luego,

PN (Q)x = (I − PR(Q))x = x− PR(Q)x = x−Qx = (I −Q)x

(i): De PR(Aπ)Aπx = Aπx y PR(Bπ)A

πx ∈ R(Bπ) se sigue,

(I −Bπ)Aπx = (I −Bπ)(PR(Aπ)Aπx− PR(Bπ)A

πx)

= (I −Bπ)(PR(Aπ) − PR(Bπ))Aπx.


Aplicando normas,

‖(I −Bπ)Aπx‖ ≤ ‖I −Bπ‖ ‖PR(Aπ) − PR(Bπ)‖ ‖Aπ‖ ‖x‖= ‖I −Bπ‖ ‖PN (Ak) − PN (Bt)‖ ‖Aπ‖ ‖x‖= ‖I −Bπ‖ ‖Aπ‖ ‖PN (Bt) − PN (Ak)‖ ‖x‖.

(ii): Por PR(I−Aπ)(I −Aπ)x = (I −Aπ)x y PN (Bπ)(I −Aπ)x = (I −Bπ)(I −Aπ)x setiene,

Bπ(I − Aπ)x = Bπ(PR(I−Aπ)(I − Aπ)x− PN (Bπ)(I − Aπ)x)

= Bπ(PN (Aπ)(I − Aπ)x− PN (Bπ)(I − Aπ)x)

= Bπ(PN (Aπ) − PN (Bπ))(I − Aπ)x

y, ası,

‖Bπ(I − Aπ)x‖ ≤ ‖Bπ‖ ‖PN (Aπ) − PN (Bπ)‖ ‖I − Aπ‖ ‖x‖= ‖Bπ‖ ‖PR(Bt) − PR(Aπ)‖ ‖I − Aπ‖ ‖x‖= ‖Bπ‖ ‖I − Aπ‖ ‖PR(Bt) − PR(Aπ)‖ ‖x‖.

Los puntos (iii) y (iv) son obtenidos de forma similar. ¤

En el siguiente resultado se establecera una cota superior para ‖Bπ − Aπ‖.Proposicion 3.5.2. Sean A, B ∈ Cn×n, con k = ind(A) y s = ind(B). LlamamosΓR = ‖PR(Bs)−PR(Ak)‖ y ΓN = ‖PN (Bs)−PN (Ak)‖. Si ‖Aπ‖ΓN + ‖I −Aπ‖ΓR < 1,entonces

‖Bπ − Aπ‖ ≤ ‖Aπ‖ ‖I − Aπ‖ (ΓN + ΓR)

1− ‖Aπ‖ΓN − ‖I − Aπ‖ΓR. (3.61)

Dem. De la igualdad Bπ − Aπ = Bπ(I − Aπ)− (I −Bπ)Aπ se sigue

‖Bπ − Aπ‖ ≤ ‖Bπ(I − Aπ)‖+ ‖(I −Bπ)Aπ‖.Ahora, aplicando el Lema 3.5.1 se obtiene

‖Bπ − Aπ‖ ≤ ‖Bπ(I − Aπ)‖+ ‖(I −Bπ)Aπ‖≤ ‖I − Aπ‖ ‖Bπ‖ ‖PR(Bs) − PR(Ak)‖+ ‖Aπ‖ ‖I −Bπ‖ ‖PN (Bs) − PN (Ak)‖≤ ‖I − Aπ‖(‖Aπ‖+ ‖Bπ − Aπ‖) ΓR + ‖Aπ‖(‖I − Aπ‖+ ‖Bπ − Aπ‖) ΓN= ‖Aπ‖ ‖I − Aπ‖(ΓR + ΓN ) + (‖I − Aπ‖ΓR + ‖Aπ‖ΓN )‖Bπ − Aπ‖.

Luego, si ‖Aπ‖ΓN + ‖I − Aπ‖ΓR < 1, entonces

‖Bπ − Aπ‖ ≤ ‖Aπ‖ ‖I − Aπ‖(ΓN + ΓR)

1− ‖Aπ‖ΓN − ‖I − Aπ‖ΓR.



Notemos que si ‖Aπ‖ΓN + ‖I − Aπ‖ΓR < 1, entonces se dan las desigualdades‖Aπ‖ΓN < 1 y ‖I − Aπ‖ΓR < 1, y dado que ‖Aπ‖ , ‖I − Aπ‖ < 1 se sigue queΓN , ΓR < 1.

Si consideramos la igualdad Bπ − Aπ = (I − Aπ)Bπ − Aπ(I −Bπ), entonces

‖Bπ − Aπ‖ ≤ ‖(I − Aπ)Bπ‖+ ‖Aπ(I −Bπ)‖,

y, por lo tanto,

‖Bπ − Aπ‖ ≤ ‖(I − Aπ)Bπ‖+ ‖Aπ(I −Bπ)‖≤ ‖I − Aπ‖ ‖Bπ‖ ‖PN (Ak) − PN (Bt)‖+ ‖Aπ‖ ‖I −Bπ‖ ‖PR(Ak) − PR(Bt)‖≤ ‖I − Aπ‖(‖Aπ‖+ ‖Bπ − Aπ‖) ΓN + ‖Aπ‖(‖I − Aπ‖+ ‖Bπ − Aπ‖) ΓR= ‖Aπ‖ ‖I − Aπ‖(ΓN + ΓR) + (‖I − Aπ‖ΓN + ‖π‖ΓR)‖Bπ − Aπ‖.

Si ‖Aπ‖ΓR + ‖I − Aπ‖ΓN < 1, entonces

‖Bπ − Aπ‖ ≤ ‖Aπ‖ ‖I − Aπ‖ (ΓN + ΓR)

1− ‖Aπ‖ΓR − ‖I − Aπ‖ΓN. (3.62)

Observacion 3.5.3. Si usamos la norma espectral se tiene que ‖Aπ‖2 = ‖I−Aπ‖2,[45]. En este caso las acotaciones (3.61) y (3.62) son iguales y

‖Bπ − Aπ‖2 ≤ ‖I − Aπ‖22 (ΓN + ΓR)

1− ‖I − Aπ‖2 (ΓN + ΓR)≤ κD(A)2(ΓN + ΓR)

1− κD(A)(ΓN + ΓR).

En el Teorema 3.4.6 y en la Observacion 3.4.7, cuando se verifica la condicion∆ + ‖AD‖ ‖E‖ < 1, donde ∆ es una cota superior de ‖Bπ − Aπ‖, fueron dadas lassiguientes estimaciones de la inversa de Drazin y del error relativo de la inversa deDrazin,

‖BD‖ ≤ ‖AD‖(1 + ∆)

1−∆− ‖ADE‖ (3.63)

y‖BD − AD‖‖AD‖ ≤ ‖AD‖ ‖E‖+ 2∆

1−∆− ‖AD‖ ‖E‖ . (3.64)

Luego, tomando ∆ igual a cualquiera de las cotas anteriormente obtenidas para‖Bπ − Aπ‖, cuando ∆ + ‖AD‖ ‖E‖ < 1, las estimaciones superiores (3.63) y (3.64)se tienen.

En el siguiente ejemplo hallamos una acotacion superior para ‖BD−AD‖/‖AD‖,segun la ecuacion (3.64). De (3.61) obtenemos una estimacion de ‖Bπ − Aπ‖. Em-pleamos la norma espectral ‖ · ‖2.


Ejemplo 3.5.4. Sean

A =

2 0 0 00 2 0 00 0 0 10 0 0 0

, B =

2 0 0 00 2 0 εε 0 0 10 0 0 0

, ε → 0, ind(A) = ind(B) = 2.

Entonces,

AD =

1/2 0 0 00 1/2 0 00 0 0 00 0 0 0

, Aπ =

0 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1

.

Llamamos E = B − A. Obtenemos las siguientes normas:

‖AD‖2 =1

2,

‖Aπ‖2 = ‖I − Aπ‖2 = 1,‖E‖2 = ε.

Sean las bases normalizadas de los subespacios nucleo e imagen de A2 y B2:

BN (A2) = L(0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) ,

BR(A2) = L(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0),

BN (B2) = L

(0, 0, 1, 0), (0,ε√

4 + ε2, 0,

−2√4 + ε2

)

,

BR(B2) = L

(2√

4 + ε2,0,

ε√4 + ε2

, 0), (0, 1, 0, 0)

.

Las proyecciones ortogonales sobre las bases normalizadas anteriores son:

PN (A2) =

0 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1

,

PN (B2) =

0 0 0 00 ε2/(4 + ε2) 0 −2ε/(4 + ε2)0 0 1 00 −2ε/(4 + ε2) 0 4/(4 + ε2)

,


PR(A2) =

0 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1

,

PR(B2) =

4/(4 + ε2)− 1 0 2ε/(4 + ε2) 00 0 0 0

2ε/(4 + ε2) 0 ε2/(4 + ε2) 00 0 0 0

.

Ahora,

PR(B2) − PR(A2) =

0 0 0 00 ε2/(4 + ε2) 0 −2ε/(4 + ε2)0 0 0 00 −2ε/(4 + ε2) 0 4/(4 + ε2)− 1

,

PN (B2) − PN (A2) =

4/(4 + ε2)− 1 0 2ε/(4 + ε2) 00 00 0 0

2ε/(4 + ε2) 0 ε2/(4 + ε2) 00 0 0 0

y, por lo tanto,

ΓR = ‖PR(B2) − PR(A2)‖2 =ε√

4 + ε2,

ΓN = ‖PN (B2) − PN (A2)‖2 =ε√

4 + ε2.

Entonces, si 2ε/√

4 + ε2 < 1 (ε <2√

3

3), aplicando la Proposicion 3.5.2 se

obtiene,

‖Bπ − Aπ‖2 ≤ ‖Aπ‖2 ‖I − Aπ‖2(ΓN + ΓR)

1− ‖Aπ‖2ΓR − ‖I − Aπ‖2ΓN=

2ε/√

4 + ε2

1− 2ε√

4 + ε2

=2ε√

4 + ε2 − 2ε:= ∆.

Finalmente, por (3.64), si ∆ < 1−√

3

3, entonces

‖BD − AD‖2

‖AD‖2

≤ ‖AD‖2 ‖E‖2 + 2∆

1−∆− ‖AD‖2 ‖E‖2

≤ ε/2 + 2∆

1−∆− ε/2=

5ε

2 + 4ε+ O(ε2).

Si usamos una norma matricial unitariamente invariante (p.e. ‖ · ‖2), entoncesla norma ‖PR(Bs) − PR(Ak)‖2 puede ser determinada en terminos de los angulos


canonicos entre los subespacios R(Bs) y R(Ak). Ver [31]. En particular, si se cumplep = dim(R(Bs)) ≥ dim(R(Ak)) = q, y θ1 ≤ · · · ≤ θq ≤ π/2 son los anguloscanonicos entre estos subespacios, entonces

‖PR(Bs) − PR(Ak)‖2 =

sin(θq) p = q,

1 p 6= q.

Analogamente con la norma ‖PN (Bs) − PN (Ak)‖2.

3.5.2. Aplicacion a sistemas lineales

En este apartado se aplicaran los resultados obtenidos a la perturbacion de unsistema singular de ecuaciones lineales.

Sean A, B ∈ Cn×n. Consideramos el sistema lineal singular

Ax = b, b ∈ R(AD) dado, (3.65)

y el sistema perturbado

By = c, c ∈ R(BD) dado. (3.66)

La unica solucion enR(AD) de (3.65) viene dada por x = ADb y la unica solucionde (3.66) en R(BD) es y = BDc. En el siguiente resultado obtenemos una estimaciondel error relativo ‖y − x‖/‖x‖.Teorema 3.5.5. Sean A, B, S ∈ Cn×n tal que cumplen la relacion S = Bπ − Aπ.Si ‖S‖+ ‖AD(B − A)‖ < 1, entonces

‖y − x‖‖x‖ ≤ ‖AD‖(1 + ‖S‖)

1− ‖S‖ − ‖AD(B − A)‖(‖B − A‖+

‖b− c‖‖b‖ ‖A‖

)+ ‖S‖. (3.67)

Dem. Sea b ∈ R(AD), entonces

BDSb = BD(Bπ − Aπ)b = 0.

Por la Observacion 3.2.5 (vi′) se tiene,

(BD − AD)b = −BDSb− SADb−BD(B − A)ADb = −Sx−BD(B − A)x.

Luego,

y− x = BDc−ADb = (BD −AD)b + BD(c− b) = −BD(B −A)x + BD(c− b)− Sx.


Aplicando normas y usando la acotacion (3.17) se sigue,

‖y − x‖ ≤ ‖BD‖ ‖B − A‖ ‖x‖+ ‖BD‖ ‖b− c‖+ ‖S‖ ‖x‖= ‖BD‖(‖B − A‖ ‖x‖+ ‖b− c‖) + ‖S‖ ‖x‖

≤ ‖AD‖(1 + ‖S‖)‖x‖1− ‖S‖ − ‖AD(B − A)‖(‖B − A‖+

‖b− c‖‖b‖ ‖A‖) + ‖S‖ ‖x‖.


Si R(AD) = R(BD), entonces Sx = (Bπ−Aπ)ADb = 0 y la cota (3.67) se reducea

‖y − x‖‖x‖ ≤ ‖AD‖

1− ‖AD(B − A)‖(‖B − A‖+

‖b− c‖‖b‖ ‖A‖

),

obteniendose el resultado dado por Wei y Wang en [100, Theorem 4.1].

Observacion 3.5.6. Si κD(A) = ‖AD‖ ‖A‖ es el numero de condicion de Drazin deA y Θ = ‖B − A‖/‖A‖, entonces la formula (3.67) viene dada por

‖y − x‖ ≤ (κD(A)/‖A‖)(1 + ‖S‖)‖x‖1− ‖S‖ − κD(A)Θ

(Θ‖A‖+

‖b− c‖‖b‖ ‖A‖

)+ ‖S‖ ‖x‖.

En el siguiente ejemplo comparamos la cota ‖y − x‖, para el caso en el queconocemos este error exactamente con los obtenidos tras aplicar las distintas cotasconocidas de ‖Bπ − Aπ‖.Ejemplo 3.5.7. Sean las matrices A y B dadas en el Ejemplo 3.5.4

A =

2 0 0 00 2 0 00 0 0 10 0 0 0

, B =

2 0 0 00 2 0 εε 0 0 10 0 0 0

, ε → 0.

Vemos que ind(A) = ind(B) = 2 y rg(B2) = rg(A2) = rg(A2B2A2) = 2. Por elTeorema 3.3.4 tenemos que B ∈ (C2).

Consideremos el sistema lineal singular

Ax = b, b =(−2 1 0 0

)∗ ∈ R(AD), (3.68)

y el sistema perturbado

By = c, c =(2 2 ε 0

)∗ ∈ R(BD). (3.69)

En la siguiente tabla comparamos el error exacto entre las soluciones de (3.68)y (3.68) con la cota del error obtenida de la formula (3.67). Consideramos, porseparado, las cotas para ‖Bπ−Aπ‖ deducidas en la Proposicion 3.5.2, formula (3.61),y el Teorema 3.4.16, formula (3.55).

Por el Ejemplo 3.5.4, ‖Bπ − Aπ‖2 ≤ 2ε√4 + ε2 − 2ε

.


Valor exacto (3.61) (3.55)

ε = 0,1 2,0621590627 2,9285285782 2,8899920472ε = 0,001 2,0615528734 2,0683982070 2,0683955775ε = 0,00001 2,0615528128 2,0616211235 2,0616211232

Cuadro 3.8: Cotas superiores para ‖y − x‖2

3.5.3. Una clase especial de matrices (Cs)

En esta seccion se considerara la clase de matrices perturbadas B = A + Esatisfaciendo las siguientes condiciones:

(i) I + ADE y I + (AD)2(B2 − A2) son no singulares.

(ii) B(I + ADE)−1AπBAD = O.

(iii) s es el entero positivo mas pequeno tal que rg(Bs) = rg(Ak).

Si s = 1 en la condicion (iii), entonces del Teorema 3.3.7 se sigue que B satisfacela condicion (C1) e ind(B) = 1 y, ademas, B(I + ADE)−1Aπ = O. Centraremosnuestra atencion en el caso s > 1. Mostraremos que estas perturbaciones satisfacenla condicion (Cs). Daremos una expresion explıcita para BD de la cual se derivara unaestimacion superior para ‖BD − AD‖/‖AD‖ diferente de la previamente dada en elTeorema 3.4.14. Esta nueva cota superior no requiere del calculo de las potenciasde Es = Bs − As. Notemos que la condicion (ii) es verificada cuando se cumpleB2AAD = (BAAD)2. Ası, se generaliza el principal resultado de [63, Teorema 3.2].

Primero damos el siguiente lema donde deducimos una representacion matricialpara las potencia de B.

Lema 3.5.8. Sean A ∈ Cn×n, con ind(A) = k. Si B ∈ Cn×n verifica las condiciones(i), (ii) y (iii), entonces B satisface la condicion (Cs) e ind(B) = s.

Ademas, para todo entero p ≥ 1 se tiene la descomposicion

Bp = P

[IS

](B1(I + TS))p−1B1

[I T

]+

[T−I

]Bp

2

[O −I

]P−1,

donde B1(I + TS) es no singular, B2 es nilpotente de ındice s y B2S = O.

Dem. Denotamos Ei = Bi −Ai, para todo entero i > 1, y E = E1. Por el Teorema3.3.10 se tiene que para que B satisfaga la condicion (Cs) e ind(B) = s es suficiente


mostrar que I + Es(AD)s y I + Es+1(A

D)s+1 son no singulares.

Sea B = P

(B1 B12

B21 B2

)P−1, respecto la descomposicion core-nilpotente de A.

De las condiciones I + ADE y I + (AD)2E2 son no singulares se deduce que B1 yB1 + B−1

1 B12B21 son no singulares.De B(I + ADE)−1AπBAD = O se sigue que B(I + ADE)−1AπBAAD = O. Por

calculo se obtiene

B(I + ADE)−1AπBAAD = P

(O OO −B21B

−11 B12B21 + B2B21

)P−1.

Luego, B2B21 = B21B−11 B12B21 y

B2AAD = P

(B2

1 + B12B21 OB21B1 + B2B21 O

)P−1 = P

[B1

B21

]ψ

[I O

]P−1,

donde ψ = B1 + B−11 B12B21 es no singular. Ası, para todo entero positivo p,

BpAAD = P

[B1

B21

]ψp−1

[I O

]P−1.

Entonces,

Aπ + Bp(AD)p = P

(B1ψ

p−1A−p1 O

O I

)P−1

es no singular ya que ψ lo es. Por lo tanto I + (AD)pEp es no singular para todop ≥ 1.

Se observa que

Aπ(Aπ + Bs(AD)s)−1BAAD = P

(O OO I

)(As

1ψ−s+1B−1 O

−B21B−11 I

)(B1 OB21 O

)P−1 = O.

Por otra parte, por el Lema 3.4.13, para todo entero p ≥ 1, se tiene la represen-tacion

Bp = P

[IS

](B1(I + TS))p−1B1

[I T

]+

[T−I

](B2(I + ST ))p−1B2

[S −I

]P−1,

donde I + TS y B1 son no singulares, y B2(I + ST ) es nilpotente de ındice s.Entonces,

Aπ(Aπ + Bs(AD)s)−1BAAD

= P

(O OO I

) (As

1B−1(B1(I + TS))−s+1 O

−S I

)(B1 + TB2S OSB1 −B2S O

)P−1

= P

(O O

−STB2S −B2S O

)P−1.

Luego, Aπ(Aπ + Bs(AD)s)−1BAAD = O si y solo si B2S = O. ¤


Teorema 3.5.9. Sea A ∈ Cn×n, con ind(A) = k. Asumimos que B ∈ Cn×n satisface(i), (ii) y (iii) y, sea E = B − A. Entonces,

BD =(I + AπEAD(I + EAD)−1

)

Ψ−111 (I + ADE)−1ADΨ−1

11

+s−1∑p=0

(Ψ−1

11 (I + ADE)−1AD)p+2

EAπ(BAπ −BAD(I + EAD)−1EAπ

)p

,

donde Ψ11 = I + (I + ADE)−1ADEAπEAD(I + EAD)−1.

Si max‖ADE‖, ‖EAD‖ < 1, entonces


1− ‖ADE‖ +‖AπEAD‖ ‖Ψ−1

11 ‖(1− ‖ADE‖)2(1− ‖EAD‖)(‖Ψ

−111 ‖+ ‖ADE‖)

+‖EAπ‖ ‖AD‖ ‖Ψ−1

11 ‖2

(1− ‖ADE‖)2

(1 +


)

×s−1∑p=0

‖AD‖p ‖Ψ−111 ‖p

(1− ‖ADE‖)p

(‖BAπ‖+

‖BAD‖ ‖EAπ‖1− ‖EAD‖

)p

.

(3.70)

Ademas, si max‖ADE‖, ‖EAD‖ <1

1 +√‖Aπ‖ , entonces una cota superior

de ‖Ψ−111 ‖ es dada por (3.21).

Dem. Por el Lema 3.5.8,

B = P

(B1 B1T − TB2

SB1 SB1T + B2

)P−1, E = P

(B1 − A1 B1T − TB2

SB1 SB1T + B2 − A2

)P−1,

(3.71)donde B1(I +TS) es no singular, B2 es nilpotente de ındice s y B2S = O. Definimos

Φ1 = I + ADE y Φ1 = I + EAD. Obtenemos

Φ−11 AD = ADΦ−1

1 = P

(B−1

1 OO O

)P−1. (3.72)

Ademas, usando (3.71) y (3.72), tenemos

Φ−11 ADEAπ = P

(O T −B−1

1 TB2

O O

)P−1, AπEADΦ−1

1 = P

(O OS O

)P−1.

(3.73)


Luego,

Φ−11 ADEAπEADΦ−1

1 = P

(TS OO O

)P−1,

ya que B2S = O. Ası, denotando Ψ11 = I + Φ−11 ADEAπEADΦ−1

1 , obtenemos

Ψ−111 = P

((I + TS)−1 O

O I

)P−1. (3.74)

Ademas, para todo entero p ≥ 1, se obtiene

[Ψ−1

11 Φ−11 AD

]p

= P

(((I + TS)−1B−1

1

)pO

O O

)P−1

y [B(Aπ − ADΦ−1

1 EAπ)]p

= P

(O OO (I + ST )Bp

2

)P−1.

Introducimos

Γ =s−1∑p=0

(Ψ−1

11 Φ−11 AD

)pEAπ

(B(Aπ − ADΦ−1

1 EAπ))p

. (3.75)

Usando las representaciones de potencias de mas arriba, obtenemos

Γ =s−1∑p=1

P

(O

((I + TS)−1B−1

1

)p−1TBp

2 −((I + TS)−1B−1

1

)pTBp+1

2

O O

)P−1

+ P

(O B1T − TB2

O SB1T + B2 − A2

)P−1 = P

(O B1TO SB1T + B2 − A2

)P−1.

(3.76)

Ası,

Φ−11 ADΓ = P

(O TO O

)P−1. (3.77)

Teniendo en cuenta la descomposicion ındice 1-nilpotente de B, B = CB + NB,

donde CB = P

[IS

]B1

[I T

]P−1, sabemos que

BD = C]B = P

[IS

] ((I + TS)B1(I + TS)

)−1 [I T

]P−1.

Por lo tanto,

(I + AπEΦ−11 AD)−1BD = P

(I O−S I

) [IS

] ((I + TS)B1(I + TS)

)−1 [I T

]P−1

= P

(((I + TS)B1(I + TS)

)−1 ((I + TS)B1(I + TS)

)−1T

O O

)P−1.


Luego, usando (3.72), (3.74) y (3.77) se sigue que

(I + AπEΦ−11 AD)−1BD = Ψ−1

11 Φ−11 ADΨ−1

11 (I + Φ−11 ADΓ).

Por lo tanto, en vista de (3.75), concluimos la primera parte de la demostracion.

Ahora, asumamos max‖ADE‖, ‖EAD‖ < 1. Tomando normas en la igualdad

BD =Ψ−111 Φ−1

1 ADΨ−111 + AπEADΦ−1

1 Ψ−111 Φ−1

1 ADΨ−111

+ (I + AπEADΦ−11 )(Ψ−1

11 Φ−11 AD)2Γ,

obtenemos

‖BD − AD‖‖AD‖ ≤‖Ψ

−111 Φ−1

1 ADΨ−111 − AD‖

‖AD‖ +‖Ψ−1

11 ‖2 ‖AπEAD‖(1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖)

+‖AD‖ ‖Ψ−1

11 ‖2 ‖Γ‖(1− ‖ADE‖)2

(1 +


).

(3.78)

Podemos escribir

Ψ−111 Φ−1

1 ADΨ−111 − AD =− Φ−1

1 ADEAD −Ψ−111

(Φ−1

1 ADEAπEADΦ−11 Φ−1

1 AD

+ (Φ−11 AD)2EAπEADΦ−1

1 Φ−11

).

Luego,

‖Ψ−111 Φ−1

1 ADΨ−111 − AD‖

‖AD‖ ≤ ‖ADE‖1− ‖ADE‖ +

‖ADE‖ ‖AπEAD‖(1− ‖ADE‖)2(1− ‖EAD‖)

× ‖Ψ−111 ‖(1 + ‖Ψ−1

11 ‖).

Tomando normas en (3.75), tenemos

‖Γ‖ ≤‖EAπ‖s−1∑p=0

‖Φ−11 ‖p ‖AD‖p ‖Ψ−1

11 ‖p(‖BAπ‖+ ‖BAD‖ ‖Φ−1

1 ‖ ‖EAπ‖)p

≤‖EAπ‖s−1∑p=0

‖AD‖p ‖Ψ−111 ‖p

(1− ‖ADE‖)p

(‖BAπ‖+

‖BAD‖ ‖EAπ‖1− ‖EAD‖

)p

.

Finalmente, sustituyendo las cotas dadas arriba en (3.78) y reagrupando terminosse deduce (3.70). ¤

En el siguiente ejemplo se compara la cota obtenida para el error relativo de laperturbacion dada en este apartado con otras estimaciones.



A =

110

0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 00 0 0 0 0

, E =

0 0 ε 0 ε0 0 0 0 00 ε 0 0 00 0 0 0 00 ε 0 0 0

, ε = 10−6.

Consideramos B = A+E. Vemos que ind(A) = ind(B) = 2 y rg(B2) = rg(A) =rg(A2) = 2. La matriz B satisface las condiciones del Teorema 3.5.9.

Observamos que B2AAD 6= (BAAD)2 por lo que no podemos aplicar la cota dadaen [63, Teorema 3.2].

En la siguiente tabla comparamos la cota superior del Teorema 3.5.9 con la cotasuperior (3.38), y con las cotas superiores dadas en [98, 102].

Para la cota [102, Teorema 4.2] calculamos sepF (C, N) = 0,009901.

Valor exacto [102, Th.4.2] (4.3) [98, Th.4.1] (3.38) (3.70)

1,01× 10−4 3,55× 10−2 8,28× 10−4 1,17× 10−4 1,73× 10−4

Cuadro 3.9: Comparacion de cotas superiores para ‖BD−AD‖F

‖AD‖F

En [63] fue dada una expresion para BD y una cota del error relativo bajo lascondiciones siguientes:

(a) ‖ADE‖ < 1.

(b) B2AAD = (BAAD)2.

(c) s es el entero positivo mas pequeno tal que rg(Bs) = rg(Ak).

Observamos que si las condiciones (a), (b) y (c) son verificadas, entonces lascondiciones (i), (ii) y (iii) tambien son satisfechas.

Sea B = P

(B1 B12

B21 B2

)P−1. De la condicion ‖ADE‖ < 1 se sigue que I + ADE

es no singular y de aquı se tiene que el bloque B1 es tambien no singular.De B2AAD = (BAAD)2 se deduce que B12B21 = O y B2B21 = O. Entonces,


B2AAD = P

(B2

1 OB21B1 O

)P−1. Luego, I + (AD)2E2 es no singular. Ademas,

B(I + ADE)−1AπBAD

= P

(A1 O

B21B−11 A1 −B21B

−11 B12 + B2

)(O O

B21A−11 O

)P−1 = O.

Ası, por el Lema 3.5.8 se tiene que

B = P

(B1 B1T − TB2

SB1 SB1T + B2

)P−1,

donde I + TS y B1 son no singulares, B2 es nilpotente de ındice s, y B2S = O.Luego,

B2AAD = P

(B1(I + TS)B1 OSB1(I + TS)B1 O

)P−1 y (BAAD)2 = P

(B2

1 OSB2

1 O

)P−1.

Y, de la condicion B2AAD = (BAAD)2 se concluye que TS = O. Esta ultimacondicion implica que ADEAπEAD = O, donde E = B − A. Consecuentemente, lamatriz Ψ dada como en el Teorema 3.5.9 verifica que Ψ = I.

Tomando en consideracion todas las simplificaciones expuestas, del Teorema 3.5.9se deriva el siguiente corolario el cual fue el principal resultado en [63, Teorema 3.2].

Corolario 3.5.11. Sea A ∈ Cn×n, con ind(A) = k. Asumimos que B ∈ Cn×n

satisface (a), (b) y (c) y, sea E = B − A. Entonces B satisface la condicion (Cs),ind(B) = s y

BD =(I + AπE(I + ADE)−1AD

)((I + ADE)−1AD

+s−1∑p=0

((I + ADE)−1AD

)p+2EAπ

(BAπ

)p).

Ademas,


1− ‖ADE‖ +‖AπE‖ ‖AD‖(1− ‖ADE‖)2

+‖EAπ‖ ‖AD‖(1− ‖ADE‖)2

(1 +

‖AπE‖ ‖AD‖1− ‖ADE‖

) s−1∑p=0

‖BAπ‖p ‖AD‖p

(1− ‖ADE‖)p.

Capıtulo 4

La W-Drazin inversa de matricescon W-soportes idempotentesrelacionados

4.1. Introduccion

En este capıtulo estudiaremos la inversa de Drazin de matrices A ∈ Cm×n, lacual denominaremos W-Drazin inversa de A y denotaremos por AD,W ∈ Cm×n. LaW-Drazin inversa puede ser estudiada en el marco de un algebra de Banach cuandodefinimos en el espacio Cm×n el producto de matrices y una norma matricial.

Dadas W ∈ Cn×m, una matriz fija no nula, (a lo largo de este capıtulo se con-siderara siempre no nula), y A, B ∈ Cm×n definimos el W-producto en Cm×n, quedenotaremos por ?, como A ? B = AWB. Ası mismo, definimos la W-norma, ‖ · ‖W

en Cm×n, como ‖A‖W = ‖A‖ ‖W‖. El espacio ası construido, (Cm×n, +, ?, ‖ · ‖W ),es una algebra de Banach compleja sin unidad, al menos que W sea no singular, encuyo caso W−1 es la unidad.

El equivalente del proyector ADA para matrices cuadradas lo desempena el W-soporte idempotente de A en el espacio anteriormente construido, el cual pasamosa definir a continuacion.

Dadas la matrices W ∈ Cn×m y A, B ∈ Cm×n, el W-soporte idempotente de A,que se denotara por Aσ,W ∈ Cm×n, se define como

Aσ,W = A(WA)D = (AW )DA, (4.1)

87

88 4. La W-Drazin inversa de matrices con W-soportes idempotentes relacionados

el cual es obtenido de A ? AD,W .

De (4.1) se tienen los proyectores oblicuos

Aσ,W W = PR((AW )k1 ),N ((AW )k1 ),

WAσ,W = PR((WA)k2 ),N ((WA)k2 ),(4.2)

donde ind(AW ) = k1 e ind(WA) = k2.

En particular, si la matriz A es cuadrada y W = I, entonces el W-soporteidempotente viene dado por

Aσ = ADA = AAD = I − Aπ,

denominandose, en este caso, soporte idempotente de A.

En este capıtulo sera caracterizaran, entre otros resultados, las matrices rectan-gulares B ∈ Cm×n cuyo W-soporte idempotente esta relacionado con el W-soporteidempotente de una matriz A ∈ Cm×n dada. Tambien se deduciran cotas superioresde la W-Drazin inversa de B y de su error relativo.

En la Seccion 4.2 se introducira el concepto de W-Drazin inversa, , o inversa deDrazin con peso, que denotaremos por AD,W , dando sus propiedades mas significa-tivas.

En la Seccion 4.3 se caracterizaran las matrices rectangulares B ∈ Cm×n tal que

Bσ,W W = Aσ,W W, (4.3)

donde A ∈ Cn×m y B ∈ Cn×m son dadas, mostrando una estructura algebraicamatricial para B y una formula para la W-Drazin inversa de B.

Estos resultados podran ser aplicados a la clase de matrices rectangulares deperturbacion B las cuales satisfacen la siguiente condicion:

(CAW ) :

R((B − A)W ) ⊆ R((AW )k1), N ((AW )k1) ⊆ N ((AW )k1(B − A)W )con k1 = ind(AW ) y ‖AD,W W (B − A)W‖ < 1.

Similarmente, se obtendra una caracterizacion de las matrices rectangulares B ∈Cm×n tal que

WBσ,W = WAσ,W . (4.4)

Se vera que esta condicion es verificada por las matrices rectangulares B talesque:

(CWA) :

N ((WA)k2) ⊆ N (W (B − A)), R(W (B − A)(WA)k2) ⊆ R((WA)k2)con k2 = ind(WA) y ‖AD,W W (B − A)W‖ < 1.

4. La W-Drazin inversa de matrices con W-soportes idempotentes relacionados 89

Demostraremos que las condiciones (CAW ) y (CWA) son mas restrictivas que lacondicion

R((B − A)W ) ⊆ R((AW )k), N ((WA)k) ⊆ N (W (B − A))con k = maxind(WA), ind(AW ) y ‖AD,W‖W (B − A)W < 1,

dada en [101].Tambien se estableceran caracterizaciones de las matrices B que verifican las

condiciones (4.3) y (4.4), en este caso,

Bσ,W = Aσ,W .

En la Seccion 4.4 se obtendran cotas superiores de ‖BD,W‖ y del error relativo‖BD,W − AD,W‖/‖AD,W‖.

Finalmente, en la Seccion 4.5 se aplicaran las cotas obtenidas a un sistema rec-tangular de ecuaciones lineales.

Los resultados de caracterizacion y de perturbacion obtenidos generalizan el re-sultado principal de [101]. En particular, si las matrices A y B son cuadradas yW = I, entonces se obtienen los dados en [16], donde se caracterizaban matrices conigual proyeccion espectral y se derivaron consecuencias de perturbacion.

En 1980, R. E. Cline y T. N. E. Greville, [25], extienden el concepto de inversade Drazin de una matriz cuadrada a una matriz rectangular A ∈ Cm×n, usando unamatriz auxiliar W ∈ Cn×m.

La perturbacion de la W-Drazin inversa ha sido estudiada para matrices en[94, 101].

En el marco de la teorıa de operadores, la W-Drazin inversa para operadoresfue introducida y estudiada por S. Z. Qiao, en [74], e investigada por R. Wang en[81, 82]. En [77, 78], V. Rakocevic e Y. Wei estudiaron la W-Drazin inversa paraoperadores lineales acotados en espacios de Hilbert y Banach.

Recientemente, en [26], A. Dajic y J. J. Koliha introdujeron y estudiaron laW-g-Drazin inversa para operadores lineales acotados en espacios de Banach.

Parte de estos resultados se recogen en el artıculo The weighted Drazin in-verse of perturbed matrices with related support idempotents, [20].


4.2. Definiciones y resultados

En esta seccion expondremos los resultados mas significativos de la W-Drazininversa. Antes damos el siguiente lema para matrices cuadradas que sera utilizadomas adelante.

Lema 4.2.1. Sean A, B ∈ Cn×n. Si

A + B es no singular, BA = AB y B nilpotente,

entonces A es no singular.

Dem. Sea ind(B) = s. De A+B es no singular se sigue que (A+B)s es no singular.Tenemos la siguiente factorizacion,

(A + B)s =s∑

j=0

(s

j

)As−jBj =

s−1∑j=0

(s

j

)As−jBj = A

s−1∑j=0

(s

j

)As−j−1Bj.

Ahora, dado que A

s−1∑j=0

(s

j

)As−j−1Bj es no singular y, A y

s−1∑j=0

(s

j

)As−j−1Bj

conmutan, entonces A es no singular. ¤

La siguiente definicion de la W-Drazin inversa fue introducida por R. E. Cline yT. N. E. Greville, [25].

Definicion 4.2.2. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A ∈ Cm×n. Decimos queX ∈ Cm×n es una W-Drazin inversa de A si

AWX = XWA, (XW )2A = X, (AW )k1+1XW = (AW )k1 para algun entero k1 ≥ 0.(4.5)

El entero mas pequeno k1 que verifica (4.5) es el ind(AW ).

Esta definicion puede ser expresada de la siguiente forma simetrica,

AWX = XWA, (XW )2A = X, WX(WA)k2+1 = (WA)k2 para algun entero k2 ≥ 0.(4.6)

El entero mas pequeno k2 que verifica las condiciones anteriores es el ind(WA).En principio k1 6= k2.

En particular, cuando A es cuadrada y W = I, la W-Drazin inversa es la inversade Drazin convencional para matrices cuadradas estudiada en la Definicion 2.2.4.

A continuacion se demostrara la unicidad de la W-Drazin inversa. Se considerarandos soluciones X1 y X2 de las ecuaciones (4.5) y se probara que X1 = X2.


Proposicion 4.2.3. Sea A ∈ Cm×n. Si existe una matriz X ∈ Cm×n satisfaciendo(4.5) para alguna matriz W ∈ Cn×m, entonces es unica.

Dem. Sean X1 y X2 dos soluciones de (4.5) para ciertos enteros no negativos k1 yk2, respectivamente. Tomemos k = maxk1, k2. Entonces,

X1 = X1WAWX1

= AWX1WX1

= AWX1WAWX1WX1

= AWAWX1WX1WX1

= (AW )2(X1W )2X1

= (AW )2(X1W )2X1WAWX1

= (AW )3(X1W )3X1

= · · · · · ·= (AW )k(X1W )kX1

= (AW )k+1X2W (X1W )kX1

= X2(WA)k+1W (X1W )kX1

= X2W (AW )k+1X1W (X1W )k−1X1

= X2W (AW )k(X1W )k−1X1

= · · · · · ·= X2WAWX1.

De forma analoga, utilizando las condiciones simetricas (4.6) se prueba que

X2 = X2WAWX1.

Luego, X2 = X1. ¤

A continuacion se expondra una caracterizacion de la W-Drazin inversa en termi-nos de la inversa de Drazin. Antes damos el siguiente lema.

Lema 4.2.4. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A ∈ Cm×n. Entonces,

(i) (AW )D = A((WA)D)2W .

(ii) (WA)D = W ((AW )D)2A.

Dem. (i): Consideramos la matriz cuadrada X = A((WA)D)2W y k ≥ ind(WA)+1.Veamos que X cumple las condiciones dadas en (4.5), lo cual es equivalente a que


X sea la Drazin inversa de la matriz AW .

AWX = AWA((WA)D)2W

= A(WA)D(WA)DWAW

= XAW,

X2AW = (A((WA)D)2W )2AW

= A((WA)D)2WA((WA)D)2WAW

= A(WA)D(WA)DW

= X,

(AW )k+1X = (AW )k+1A((WA)D)2W

= A(WA)k+1(WA)D(WA)DW

= A(WA)k(WA)DW

= A(WA)k−1W

= (AW )k.

Luego, X = (AW )D.

(ii): Esta identidad se deduce de forma similar tomando X = W ((AW )D)2A yk ≥ ind(AW ) + 1. ¤

Proposicion 4.2.5. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A ∈ Cm×n. Entonces laW-Drazin inversa de A viene dada por

AD,W = A((WA)D)2 = ((AW )D)2A. (4.7)

Dem. Sea X = A((WA)D)2, entonces

AWX = AWA((WA)D)2

= A((WA)D)2WA

= XWA,

XWAWX = A((WA)D)2WAWA((WA)D)2

= A((WA)D)2

= X,

(AW )k+1XW = (AW )k+1A((WA)D)2W

= A(WA)k+1(WA)D(WA)DW

= A(WA)k(WA)DW

= A(WA)k−1W

= (AW )k, con k ≥ ind(WA) + 1.


Ası, de las identidades anteriores se concluye que X = AD,W .La segunda igualdad se demuestra de forma similar. ¤

En el proximo resultado se dan algunas propiedades de la W-Drazin inversa.

Proposicion 4.2.6. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A ∈ Cm×n con k1 = ind(AW )y k2 = ind(WA). Entonces,

(i) AD,W W = (AW )D.

(ii) WAD,W = (WA)D.

(iii) R(AD,W ) = R((AW )k1).

(iv) N (AD,W ) = N ((WA)k2).

(v) dim(R((AW )k1)) = dim(R((WA)k2)).

Dem. En la Proposicion 4.2.5 se demostro que AD,W = ((AW )D)2A, luego:

(i): AD,W W = (AW )D(AW )DAW = (AW )D.

(ii): De la igualdad (AW )D = A((WA)D)2W dada en la Proposicion 4.2.4 (i) sesigue,

WAD,W = W ((AW )D)2A

= W (AW )D(AW )DA

= WA((WA)D)2WA((WA)D)2WA

= (WA)D(WA)DWA

= (WA)D.

(iii): Tenemos,

R(AD,W ) = R(((AW )D)2A) ⊆ R((AW )DAW ) = R((AW )D) = R((AW )k1).

Por otra parte,

R((AW )k1) = R((AW )D) = R((AW )DAW ) = R(AD,W WAW ) ⊆ R(AD,W ).

Entonces,

R(AD,W ) = R((AW )k1).


(iv): De la igualdad AD,W = A((WA)D)2 se tiene

N (AD,W ) = N (A((WA)D)2) ⊆ N ((WA)D) = N ((WA)k2)

yN ((WA)k2) = N (((WA)D)2) ⊆ N (A((WA)D)2) = N (AD,W ).

Por lo tanto, de las inclusiones anteriores se concluye que

N (AD,W ) = N ((WA)k2).

(v): Sea AD,W ∈ Cm×n. Entonces,

n = dim(R(AD,W )) + dim(N (AD,W )).

Por (iii) y (iv) se tiene

Cn = R((AW )k1)⊕N ((WA)k2). (4.8)

Ahora,Cn = R((WA)k2)⊕N ((WA)k2) (4.9)

entonces de (4.8) y (4.9) se deduce que

dim(R((WA)k2)) = dim(R((AW )k1)).

Quedando la proposicion demostrada. ¤

En el siguiente teorema damos las representaciones matriciales de A, W y AD,W

respecto a las descomposiciones core-nilpotentes de las matrices cuadradas AW yWA.

Teorema 4.2.7. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A ∈ Cm×n con k1 = ind(AW ) yk2 = ind(WA). Entonces,

A = P

(A1 OO A2

)Q−1, W = Q

(W1 OO W2

)P−1 (4.10)

y

AD,W = P

((W1A1W1)

−1 OO O

)Q−1,

donde P ∈ Cm×m, Q ∈ Cn×n y A1, W1 ∈ Cr×r son matrices no singulares y,A2W2 ∈ Cm−r×m−r y W2A2 ∈ Cn−r×n−r son nilpotentes de ındices de nilpotencia k1

y k2, respectivamente.


Dem. Sean

WA = Q

(R OO T

)Q−1, AW = P

(C OO N

)P−1

las descomposiciones core-nilpotentes de WA y AW , respectivamente, donde R y Cson matrices no singulares del mismo orden y, T y N son matrices nilpotentes.

Tomemos las siguientes descomposiciones de A y W ,

A = P

(A1 A12

A21 A2

)Q−1, W = Q

(W1 W12

W21 W2

)P−1, (4.11)

donde P y Q son no singulares.Ahora, si k = maxk1, k2, entonces

(AW )kA = P

(CkA1 CkA12

O O

)Q−1,

A(WA)k = P

(A1R

k OA21R

k O

)Q−1,

y de la igualdad (AW )kA = A(WA)k se obtiene

CkA12 = O y A21Rk = O.

Luego, A12 = A21 = O, ya que C y R son no singulares. Ası, las expresionesmatriciales de AW y WA resultan,

AW = P

(A1W1 A1W12

A2W21 A2W2

)P−1 = P

(C OO N

)P−1,

WA = Q

(W1A1 W12A2

W21A1 W2A2

)Q−1 = Q

(R OO T

)Q−1.

Por lo tanto,

A1W1 = C, W1A1 = R,

A1W12 = O, W21A1 = O,

W2A2 = T, A2W2 = N,

y de aquı se deduce que A1 y W1 son no singulares, W2A2 y A2W2 nilpotentes y,W12 = W21 = O.

Finalmente, de la expresion AD,W = A((WA)D)2 = ((AW )D)2A se obtiene

AD,W = P

(C−2A1 O

O O

)Q−1 = P

(A1R

−2 OO O

)Q−1 = P

((W1A1W1)

−1 OO O

)Q−1.

Ası obtenemos la expresion de la W-Drazin inversa de A. ¤


De aquı en adelante, cualquier par de matrices M ∈ Cm×n y N ∈ Cn×m repre-

sentadas en la forma M = P

(M1 M12

M21 M2

)Q−1 y N = Q

(N1 N12

N21 N2

)P−1, lo seran

respecto a las descomposiciones dadas en (4.10).

Para finalizar esta seccion damos la representacion matricial del W-soporte idem-potente de una matriz rectangular A.

Proposicion 4.2.8. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A ∈ Cm×n. Entonces elW-soporte idempotente de A, Aσ,W ∈ Cm×n, tiene una representacion dada por

Aσ,W = P

(W−1

1 OO O

)Q−1.

Dem. Sean

W = P

(W1 OO W2

)Q−1 y A = P

(A1 OO A2

)Q−1.

Entonces,

Aσ,W = (AW )DA = P

(W−1

1 A−11 O

O O

)(A1 OO A2

)Q−1 = P

(W−1

1 OO O

)Q−1.

Luego tenemos (4.2.8). ¤

4.3. Caracterizacion de matrices con W-soportes

idempotentes relacionados

En esta seccion caracterizaremos las matrices rectangulares B, con W-soporteidempotente Bσ,W , tal que Bσ,W W = Aσ,W W , donde Aσ,W es el W-soporte idem-potente de A. Similarmente obtendremos una caracterizacion de las matrices B talque WBσ,W = WAσ,W .

Por el Lema 4.2.6 tenemos AD,W W = (AW )D y WAD,W = (WA)D. De aquı re-sultan los proyectores

AD,W WAW = Aσ,W W = Im − (AW )π,

WAD,W WA = WAσ,W = In − (WA)π,

donde Im y In son la matriz identidad de ordenes m y n, respectivamente. Luego,

Aσ,W W = Bσ,W W ⇔ (AW )π = (BW )π,

WAσ,W = WBσ,W ⇔ (WA)π = (WB)π.


De estas equivalencias, aplicadas al Lema 2.4.4, se deduce el resultado siguiente.Su demostracion es similar a la dada en el citado lema.

Lema 4.3.1. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A ∈ Cm×n. Entonces T = Aσ,W W siy solo si

T 2 = T, AWT = TAW, AW (I − T ) es nilpotente, AW + I − T es no singular.(4.12)

El siguiente teorema constituye uno de los resultados principales de este capıtulo.En el se caracterizaran las matrices B ∈ Cm×n tales que Bσ,W W = Aσ,W W , dandouna representacion matricial de B respecto de (4.10) y una formula explıcita paraBD,W .

Teorema 4.3.2. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A ∈ Cm×n. Entonces las sigui-entes condiciones sobre B ∈ Cm×n son equivalentes:

(i) Bσ,W W = Aσ,W W .

(ii) BWAσ,W W = Aσ,W WBW , BW(I − Aσ,W W

)es nilpotente,

I + AD,W W (B − A)W es no singular.

(iii) B = P

(B1 B12

O B2

)Q−1, B1 no singular, B2W2 nilpotente, B12W2 = O.

(iv) Aσ,W WBW (I − Aσ,W W ) = O,

BD,W = S−1AD,W + (S−1AD,W W )2(B − A)(I −WAσ,W ),

donde S = I + AD,W W (B − A)W .

Dem. (i) ⇒ (ii): Por el Lemma 4.3.1 la condicion (i) es equivalente a

BWAσ,W W = Aσ,W WBW, BW (I − Aσ,W W ) es nilpotente y

BW + I − Aσ,W W es no singular.(4.13)

Ahora, dado que AD,W W + I − Aσ,W W y BW + I − Aσ,W W son no singulares,entonces

(AD,W W + I − Aσ,W W )(BW + I − Aσ,W W )

= I + AD,W W (B − A)W + (I − Aσ,W W )BW


es no singular y como (I − Aσ,W W )BW es nilpotente y conmuta con la matrizI + AD,W W (B −A)W , por el Lema 4.2.1, se sigue que I + AD,W W (B −A)W es nosingular. Ası, de este hecho junto con la primera y segunda condiciones de (4.13) setiene (ii).

(ii) ⇒ (iii): Sea B = P

(B1 B12

B21 B2

)Q−1. Dado que BWAσ,W W = Aσ,W WBW ,

entonces

P

(B1W1 OB21W1 O

)P−1 = P

(B1W1 B12W2

O O

)P−1,

y como W1 es no singular se concluye que B21 = O y B12W2 = O.De la igualdad

BW (I − Aσ,W W ) = P

(O OO B2W2

)P−1

y de la condicion BW (I−Aσ,W W ) es nilpotente se obtiene que B2W2 es nilpotente.Finalmente,

I + AD,W W (B − A)W = P

(W−1

1 A−11 B1W1 OO I

)P−1

es no singular, entonces B1 es no singular ya que W1 tambien lo es.Luego,

B = P

(B1 B12

O B2

)Q−1, B1 es no singular, B2W2 nilpotente, B12W2 = O. (4.14)

(iii) ⇒ (iv): De (4.14) se obtiene que

BW = P

(B1W1 O

O B2W2

)P−1

y de aquı se sigue que Aσ,W WBW (I − Aσ,W W ) = O. Ahora, usando la formula(4.7), vemos que

BD,W = ((BW )D)2B = P

((W1B1W1)

−1 (W−11 B−1

1 )2B12

O O

)Q−1, (4.15)

donde P , Q, W1 y B1 son no singulares.Por otra parte,

I + AD,W W (B − A)W = P

(W−1

1 A−11 B1W1 OO I

)Q−1 (4.16)


es no singular ya que B1 es no singular. Sea S = I + AD,W W (B − A)W , entonces

S−1AD,W = P

((W1B

−11 W1)

−1 OO O

)Q−1

y

(S−1AD,W W )2(B − A)(I −WAσ,W ) = P

(O (W−1

1 B−11 )2B12

O O

)Q−1.

Ası, de (4.15), se concluye que

BD,W = S−1AD,W + (S−1AD,W W )2(B − A)(I −WAσ,W ).

(iv) ⇒ (i): Sea S = I + AD,W W (B − A)W . De Aσ,W WBW (I − Aσ,W W ) = O sesigue que AD,W WBW (I − Aσ,W W ) = O y de aquı,

AD,W WBW = AD,W WBWAσ,W W

= AD,W WBWAσ,W W + Aσ,W W − Aσ,W W

= (I + AD,W W (B − A)W )Aσ,W W

= SAσ,W W

y, usando que (I −WAσ,W )W = W (I − Aσ,W W ), se obtiene la igualdad

AD,W W (B − A)(I −WAσ,W )W = O.

Luego

Bσ,W W = S−1AD,W WBW + (S−1AD,W W )2(B − A)(I −WAσ,W )WBW = Aσ,W W.


A continuacion deducimos una formula para el proyector WBσ,W , la cual esvalida cuando Bσ,W W = Aσ,W W .

Corolario 4.3.3. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A ∈ Cm×n. Si B ∈ Cm×n estal que Bσ,W W = Aσ,W W , entonces

WBσ,W = WAσ,W + WS−1AD,W W (B − A)(I −WAσ,W ), (4.17)

donde S = I + AD,W W (B − A)W .

Dem. Por el Teorema 4.3.2 (iii) se tiene

AD,W W (B − A)(I −WAσ,W )W = O.


Entonces,

WBσ,W = W (S−1AD,W + (S−1AD,W W )2(B − A)(I −WAσ,W ))WB

= WS−1AD,W WB

= WAD,W WA + WS−1(AD,W WB − SAD,W WA)

= WAD,W WA + WS−1AD,W WB −WS−1(I + AD,W W (B − A)W )Aσ,W

= WAσ,W + WS−1AD,W W (B − A)(I −WAσ,W ).

Ası demostramos la identidad (4.17). ¤

En el siguiente ejemplo se vera que la implicacion contraria en la corolario ante-rior no es cierta, o sea, podemos encontrar matrices rectangulares tales que verifican(4.17) y sin embargo Bσ,W W 6= Aσ,W W .

Ejemplo 4.3.4. Sean

A =

2 0 00 2 00 0 10 0 0

, B =

2 0 30 2 00 0 10 0 0

, W =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 1

.

Entonces,

AD,W =

1/2 0 00 1/2 00 0 00 0 0

, Aσ,W W =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0

, WAσ,W =

1 0 00 1 00 0 0

,

BD,W =

1/2 0 3/40 1/2 00 0 00 0 0

, Bσ,W W =

1 0 0 3/20 1 0 00 0 0 00 0 0 0

, WBσ,W =

1 0 3/20 1 00 0 0

.

Ahora, por calculo directo tenemos

WS−1AD,W W (B − A)(I −WAσ,W ) =

0 0 3/20 0 00 0 0

.

Luego

WAσ,W + WS−1AD,W W (B − A)(I −WAσ,W ) =

1 0 3/20 1 00 0 0

= WBσ,W

y, sin embargo, Bσ,W W 6= Aσ,W W .


Sea la clase de matrices B que cumplen:

(CAW ) :

R((B − A)W ) ⊆ R((AW )k1), N ((AW )k1) ⊆ N ((AW )k1(B − A)W )con k1 = ind(AW ) y ‖AD,W W (B − A)W‖ < 1.

A continuacion veremos que la clase de matrices B ∈ (CAW ) verifican que susW-soportes idempotentes estan relacionados por Bσ,W W = Aσ,W W . Por lo cual,tambien se cumpliran las condiciones equivalentes del Teorema 4.3.2.

Proposicion 4.3.5. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A ∈ Cm×n. Si B ∈ Cm×n

satisface la condicion (CAW ), entonces Bσ,W W = Aσ,W W .

Dem. Dado que k1 = ind(AW ), entonces R((AW )k1) = R(AD,W ) = R(Aσ,W W ) =N (I − Aσ,W W ). Luego,

R((B − A)W ) ⊆ R((AW )k1) ⇒ (I − Aσ,W W )(B − A)W = O.

Sea B = P

(B1 B12

B21 B2

)Q−1. Entonces,

(I − Aσ,W W )(B − A)W = P

(O O

B21W1 (B2 − A2)W2

)P−1,

y ası, B21 = O y B2W2 es nilpotente ya que W1 es no singular y A2W2 es nilpotente.Ahora, de N ((AW )k1) = R(I − Aσ,W W ) se sigue que

N ((AW )k1) ⊆ N ((AW )k1(B − A)W ) ⇒ (AW )k1(B − A)W (I − Aσ,W W ) = O.

Luego,

(AW )k1(B − A)W (I − Aσ,W W ) = P

(O (A1W1)

k1B12W2

O O

)P−1,

y ası, B12W2 = O, ya que A1W1 es no singular.Ademas, la condicion ‖AD,W W (B − A)W‖ < 1 implica que

I + AD,W W (B − A)W = P

(W−1

1 A−11 B1W1 OO I

)P−1

es no singular, luego B1 es no singular. De todo lo anterior se concluye que

B = P

(B1 OO B2

)Q−1

con B1 no singular, B12W2 = O y B2W2 nilpotente y, por el Teorema 4.3.2, equiva-lencia (i) ⇔ (iii), tenemos que Bσ,W W = Aσ,W W . ¤


A continuacion se muestra que la implicacion contraria en la proposicion anteriorno siempre se tiene. Damos matrices rectangulares tales que Bσ,W W = Aσ,W W ysin embargo no verifican la condicion (CAW ).

Ejemplo 4.3.6. Sean

A =

1 1 01 0 00 0 00 0 0

, B =

1 0 00 1 00 0 00 0 1

, W =

1 1 0 00 1 0 00 0 1 0

.

Entonces,

AD,W =

−1 3 01 −2 00 0 00 0 0

, Aσ,W W =

1 0 00 1 00 0 00 0 0

,

BD,W =

1 −2 00 1 00 0 00 0 0

, Bσ,W W =

1 0 00 1 00 0 00 0 0

.

Por calculo tenemos que

R((B − A)W ) = L(0, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1),R(AD,W ) = L(0, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0),

luego, R((B − A)W ) * R(AW ) = R(AD,W ).

Ahora, caracterizamos las matrices B ∈ Cm×n tales que WBσ,W = WAσ,W .

Teorema 4.3.7. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A ∈ Cm×n. Entonces las sigui-entes condiciones sobre B ∈ Cm×n son equivalentes:

(i) WBσ,W = WAσ,W .

(ii) WBWAσ,W = WAσ,W WB, WB(I −WAσ,W ) es nilpotente,

I + W (B − A)WAD,W es no singular.

(iii) B = P

(B1 OB21 B2

)Q−1, B1 no singular, W2B2 nilpotente, W2B21 = O.


(iv) (I −WAσ,W )WBWAσ,W = O,

BD,W = AD,W Z−1 + (I − Aσ,W W )(B − A)(WAD,W Z−1)2,

donde Z = I + W (B − A)WAD,W .

Dem. La demostracion se obtiene de modo similar a la demostracion del Teorema4.3.2. La modificaciones requeridas resultan obvias. ¤

Seguidamente obtenemos una expresion para el proyector Bσ,W W , la cual esvalida cuando WBσ,W = WAσ,W .

Corolario 4.3.8. Sean W ∈ Cn×m una matriz fija y A ∈ Cm×n. Si B ∈ Cm×n estal que WBσ,W = WAσ,W , entonces

Bσ,W W = Aσ,W W + (I − Aσ,W W )(B − A)WAD,W Z−1W, (4.18)

donde Z = I + W (B − A)WAD,W .

Dem. Del Teorema 4.3.7 (iii) se obtiene W (I − Aσ,W W )(B − A)WAD,W = O y

Bσ,W W = BW (AD,W Z−1 + (I − Aσ,W W )(B − A)(WAD,W Z−1)2)W

= BWAD,W Z−1W

= AD,W WAW + (BWAD,W − AD,W WAZ)Z−1W

= AD,W WAW + BWAD,W Z−1W − Aσ,W (I + W (B − A)WAD,W )Z−1W

= Aσ,W W + (I − Aσ,W W )(B − A)WAD,W Z−1W.

Ası el corolario queda demostrado. ¤

A continuacion damos un ejemplo en el que se muestra que existen matrices talque cumplen (4.18) y, en cambio, los proyectores WBσ,W y WAσ,W son distintos,i.e., la implicacion recıproca en el corolario anterior no siempre es cierta.

Ejemplo 4.3.9. Sean

A =

2 0 00 2 00 0 10 0 0

, B =

2 0 00 2 00 0 13 0 0

, W =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 1

.

Entonces,

AD,W =

1/2 0 00 1/2 00 0 00 0 0

, Aσ,W W =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0

, WAσ,W =

1 0 00 1 00 0 0

,


BD,W =

1/2 0 00 1/2 00 0 0

3/4 0 0

, Bσ,W W =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

3/2 0 0 0

, WBσ,W =

1 0 00 1 0

3/2 0 0

.

Operando tenemos

(I − Aσ,W W )(B − A)WAD,W Z−1W =

0 0 00 0 0

3/2 0 0

.

Luego,

WAσ,W + WS−1AD,W W (B − A)(I −WAσ,W ) =

1 0 00 1 0

3/2 0 0

= WBσ,W

y, sin embargo, Bσ,W W 6= Aσ,W W .

Sea ahora la clase de matrices que verifican:

(CWA) :

N ((WA)k2) ⊆ N (W (B − A)), R(W (B − A)(WA)k2) ⊆ R((WA)k2)con k2 = ind(WA) y ‖AD,W W (B − A)W‖ < 1.

En la siguiente proposicion demostramos que las matrices B ∈ (CWA) cumplenque sus W-soportes idempotentes estan relacionados por la condicion WBσ,W =WAσ,W . De este modo, se cumplen las condiciones equivalentes del Teorema 4.3.7.

Proposicion 4.3.10. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A ∈ Cm×n. Si B ∈ Cm×n

satisface la condicion (CWA), entonces WBσ,W = WAσ,W .

Dem. De N ((WA)k2) = N (AD,W ) = R(I −WAσ,W ) se tiene la implicacion

N ((WA)k2) ⊆ N (W (B − A)) ⇒ W (B − A)(I −WAσ,W ) = O.

Sea B = P

(B1 B12

B21 B2

)Q−1. Entonces,

W (B − A)(I −WAσ,W ) = Q

(O W1B12

O W2(B2 − A2)

)Q−1,

y ası, B12 = O, ya que W1 es no singular y W2B2 = W2A2 es nilpotente.Ahora, de la condicion R((WA)k2) = N (I −WAσ,W ) se sigue que

R(W (B − A)(WA)k2) ⊆ R((WA)k2) ⇒ (I −WAσ,W )W (B − A)(WA)k2 = O.


Entonces,

(I −WAσ,W )W (B − A)(WA)k2 = Q

(O O

W2B21(W1A1)k2 O

)Q−1,

y ası, W2B21 = O, dado que W1A1 es no singular.Ademas, de ‖AD,W W (B − A)W‖ < 1 se obtiene que

I + AD,W W (B − A)W = P

(W−1

1 A−11 B1W1 OO I

)P−1

es no singular, luego B1 es no singular. Ası, la estructura de B viene dada por

B = P

(B1 OB21 B2

)Q−1

con el bloque B1 no singular, W2B21 = O y W2B2 nilpotente, y por el Teorema 4.3.7(i) ⇔ (iii) concluimos que WBσ,W = WAσ,W . ¤

En el siguiente ejemplo mostramos que las matrices relacionadas por WBσ,W =WAσ,W no siempre verifican la condicion (CWA).


A =

1 1 0 00 1 0 00 0 −1 0

, B =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

, W =

1 1 01 0 00 0 00 0 1

.

Entonces,

AD,W =

1 −1 0 0−2 3 0 0

0 0 0 0

, WAσ,W =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

,

BD,W =

1 −1 0 0−1 2 0 0

0 0 0 0

, WBσ,W =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

.

Por otra parte,

N (W (B − A)) = L(1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1),N (AD,W ) = L(0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1),

luego, N ((WA)2) = N (AD,W ) * N (W (B − A)).


En los resultados anteriores obtuvimos caracterizaciones de las matrices B ∈Cm×n tales que WBσ,W = WAσ,W o Bσ,W W = Aσ,W W . La consideracion de ambasidentidades es equivalente a que A y B tengan el mismo W-soporte idempotente,Aσ,W = Bσ,W . En efecto,

WBσ,W = WAσ,W ⇒ Bσ,W = Bσ,W WAσ,W ,

Bσ,W W = Aσ,W W ⇒ Aσ,W = Bσ,W WAσ,W .

Recıprocamente,

Bσ,W = Aσ,W ⇒ Bσ,W W = Aσ,W W,

Bσ,W = Aσ,W ⇒ WBσ,W = WAσ,W .

Ası, de los Teoremas 4.3.2 y 4.3.7, se deriva la siguiente caracterizacion de lasmatrices rectangulares B tal que Aσ,W = Bσ,W .

Corolario 4.3.12. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A ∈ Cm×n. Entonces lassiguientes condiciones sobre B ∈ Cm×n son equivalentes:

(i) Bσ,W = Aσ,W .

(ii) Bσ,W W = Aσ,W W , Aσ,W WB(I −WAσ,W ) = O.

(iii) WBσ,W = WAσ,W , (I − Aσ,W W )BWAσ,W = O.

(iv) B = P

(B1 OO B2

)Q−1 con B1 no singular, B2W2 y W2B2 nilpotentes.

(v) BD,W = (I + AD,W W (B − A)W )−1AD,W = AD,W (I + W (B − A)WAD,W )−1.

Particularizando las condiciones equivalentes del corolario anterior a matricescuadradas A, B y tomando W = I se obtiene una caracterizacion de las matricesB con BBD = AAD o, equivalentemente, Bπ = Aπ. Ası, este corolario es unageneralizacion de [16, Teorema 2.1].

En [101] fue introducida la siguiente clase de matrices rectangulares B:

(C ) :

R((B − A)W ) ⊆ R((AW )k), N ((WA)k) ⊆ N (W (B − A))con k = maxind(WA), ind(AW ) y ‖AD,W W (B − A)W‖ < 1.

(4.19)

En el siguiente resultado se demostrara que el hecho de que se cumpla (C ) esequivalente a que se cumplan conjuntamente (CAW ) y (CWA).


Proposicion 4.3.13. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A, B ∈ Cm×n. Entonces Bverifica (C ) si y solo si B verifica ambas condiciones (CAW ) y (CWA).

Dem. Demostremos que si se cumple (C ), entonces se tienen al mismo tiempo (CAW )y (CWA).

Sea k = maxk1, k2, donde k1 = ind(AW ) y k2 = ind(WA). De la inclusionN ((WA)k) ⊆ N (W (B − A)) deducimos que

N ((AW )k1) ⊆ N (W (AW )k1) = N ((WA)kW ) ⊆ N (W (B − A)W )

⊆ N (A(WA)k−1W (B − A)W ) = N ((AW )k1W (B − A)W ).

Analogamente, de R((B − A)W ) ⊆ R((AW )k) obtenemos

R(W (B − A)(WA)k2) ⊆ R(W (B − A)W ) ⊆ R(W (AW )k)

⊆ R((WA)k) = R((WA)k2).

El recıproco es evidente. ¤

Para finalizar esta seccion damos un ejemplo con matrices que cumplen la igual-dad Aσ,W = Bσ,W y, sin embargo, no cumplen (C ).


A =

1 1 01 0 00 0 00 0 0

, B =

1 0 00 1 00 0 00 0 1

, W =

1 1 0 00 1 0 00 0 1 0

.

Entonces,

AD,W =

−1 3 01 −2 00 0 00 0 0

, Aσ,W =

1 −1 00 1 00 0 00 0 0

,

BD,W =

1 −2 00 1 00 0 00 0 0

, Bσ,W =

1 −1 00 1 00 0 00 0 0

.

Los subespacios imagen de (B − A)W y de AD,W son,

R((B − A)W ) = L(0, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1),R(AD,W ) = L(0, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0).

Luego, la condicion (C ) no se cumple.


4.4. Perturbacion de la W-Drazin inversa

En esta seccion obtendremos resultados de perturbacion de la W-Drazin inver-sa que seran de aplicacion a una clase de matrices rectangulares perturbadas masamplia que la estudiada en [101].

Usaremos la norma natural matricial dada en la Seccion 3.4.

A continuacion vamos a presentar un resultado de perturbacion para la W-Drazininversa basado en el Teorema 4.3.2.

Teorema 4.4.1. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A, B ∈ Cm×n, A no nula.Asumimos que Bσ,W W = Aσ,W W y ‖AD,W W (B − A)W‖ < 1. Entonces,

‖BD,W‖ ≤ ‖AD,W‖1− ‖AD,W W (B − A)W‖ + ‖AD,W‖∆ (4.20)

y‖BD,W − AD,W‖

‖AD,W‖ ≤ ‖AD,W W (B − A)W‖1− ‖AD,W W (B − A)W‖ + ∆, (4.21)

donde

∆ =‖AD,W W‖ ‖W (B − A)(I −WAσ,W )‖

(1− ‖AD,W W (B − A)W‖)2. (4.22)

Dem. Por el Teorema 4.3.2 tenemos que

BD,W = −AD,W W (B−A)WBD,W +AD,W +AD,W WS−1AD,W W (B−A)(I−WAσ,W ).

Entonces, aplicando normas

‖BD,W‖ ≤ ‖AD,W W (B − A)W‖ ‖BD,W‖+ ‖AD,W‖+ ‖AD,W W‖ ‖S−1‖ ‖AD,W W (B − A)(I −WAσ,W )‖

y, usando que ‖S−1‖ ≤ 1

1− ‖AD,W W (B − A)W‖ , se sigue (4.20).

Ahora, tomando normas a

BD,W − AD,W =− AD,W W (B − A)W (BD,W − AD,W + AD,W )

+ AD,W WS−1AD,W W (B − A)(I −WAσ,W )

obtenemos

‖BD,W − AD,W‖ ≤‖AD,W W (B − A)W‖(‖BD,W − AD,W‖+ ‖AD,W‖)+ ‖AD,W W‖ ‖S−1‖ ‖AD,W‖ ‖W (B − A)(I −WAσ,W )‖.

Luego, (4.21) se tiene. ¤


En el siguiente corolario la condicion de norma ‖AD,W W (B − A)W‖ < 1 esreemplazada por la condicion mas fuerte ‖AD,W‖ ‖W (B − A)W‖ < 1, lo que nosva a permitir obtener estimaciones utilizando κD,W (A), el numero de condicion conrespecto a la W-Drazin inversa de A, definido como κD,W (A) = ‖AD,W‖ ‖WAW‖.Su demostracion resulta evidente.

Corolario 4.4.2. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A, B ∈ Cm×n, A no nula.Asumimos que Bσ,W W = Aσ,W W y ‖AD,W‖ ‖W (B − A)W‖ < 1. Entonces,

‖BD,W‖ ≤ κD,W (A)/‖WAW‖1− κD,W (A) ‖W (B − A)W‖/‖WAW‖ +

κD,W (A)

‖WAW‖ ∆


‖AD,W‖ ≤ κD,W (A) ‖W (B − A)W‖/‖WAW‖1− κD,W (A) ‖W (B − A)W‖/‖WAW‖ + ∆,

donde ∆ es definido como en (4.22).

Observacion 4.4.3. Tanto en el Teorema 4.4.1 como en el Corolario 4.4.2 la con-dicion Bσ,W W = Aσ,W W puede ser reemplazada por cualquiera de las condicionesequivalentes dadas en el Teorema 4.3.2.

Podemos formular el siguiente resultado sobre la perturbacion de la W-Drazin in-versa, similar al dado en el Teorema 4.4.1, cuando se tiene la igualdad de proyectoresWBσ,W = WAσ,W .

Teorema 4.4.4. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A, B ∈ Cm×n, A no nula.Asumimos que WBσ,W = WAσ,W y ‖W (B − A)WAD,W‖ < 1. Entonces,

‖BD,W‖ ≤ ‖AD,W‖1− ‖W (B − A)WAD,W‖ + ‖AD,W‖Θ (4.23)


‖AD,W‖ ≤ ‖W (B − A)WAD,W‖1− ‖W (B − A)WAD,W‖ + Θ, (4.24)

donde

Θ =‖WAD,W‖ ‖(I − Aσ,W W )(B − A)W‖

(1− ‖W (B − A)WAD,W‖)2. (4.25)

Dem. La demostracion es analoga a la dada en el Teorema 4.4.1. ¤

Al igual que en el Corolario 4.4.2, en el siguiente corolario la condicion de norma‖W (B − A)WAD,W‖ < 1 es reemplazada por ‖AD,W‖ ‖W (B − A)W‖ < 1.


Corolario 4.4.5. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A, B ∈ Cm×n, A no nula.Asumimos que WBσ,W = WAσ,W y ‖AD,W‖ ‖W (B − A)W‖ < 1. Entonces,

‖BD,W‖ ≤ κD,W (A)/‖WAW‖1− κD,W (A) ‖W (B − A)W‖/‖WAW‖ +

κD,W (A)

‖WAW‖ Θ

y

‖BD,W − AD,W‖‖AD,W‖ ≤ κD,W (A) ‖W (B − A)W‖/‖WAW‖

1− κD,W (A) ‖W (B − A)W‖/‖WAW‖ + Θ,

donde Θ es definido como en (4.25).

Observacion 4.4.6. Tanto en el Teorema 4.4.4 como en el Corolario 4.4.5 la con-dicion WBσ,W = WAσ,W puede ser reemplazada por cualquiera de las condicionesequivalentes dadas en el Teorema 4.3.7.

Como un corolario de los Teoremas 4.4.1 y 4.4.4, podemos obtener facilmente elresultado de perturbacion de [101, Teorema 1] el cual se refiere a la clase de matricesque satisfacen la condicion (C ).

Corolario 4.4.7. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A, B ∈ Cm×n, A no nula. SiB satisface la condicion (C ) definida como en (4.19 ), entonces

BD,W = (I +AD,W W (B−A)W )−1AD,W = AD,W (I +W (B−A)WAD,W )−1, (4.26)

‖BD,W‖ ≤ ‖AD,W‖1− ‖AD,W W (B − A)W‖ (4.27)

y

‖BD,W − AD,W‖‖AD,W‖ ≤ ‖AD,W W (B − A)W‖

1− ‖AD,W W (B − A)W‖ . (4.28)

En el corolario anterior si consideramos la condicion ‖AD,W‖ ‖W (B−A)W‖ < 1y se expresa la ecuacion (4.28) en terminos de κD,W (A), resulta

‖BD,W − AD,W‖‖AD,W‖ ≤ κD,W (A) ‖W (B − A)W‖/‖WAW‖

1− κD,W (A) ‖W (B − A)W‖/‖WAW‖ .

Observamos que la condicion (C ) implica que A y B tengan el mismo W-soporteidempotente, y en este caso la expresion (4.26) puede ser sustituida por cualquierade las condiciones equivalentes dadas en el Corolario 4.3.12.


4.5. Aplicacion a sistemas lineales rectangulares

En esta seccion se aplicaran los Teoremas 4.4.1 y 4.4.4, y el Corolario 4.4.7para obtener acotaciones de la perturbacion de sistemas lineales singulares. Estosresultados generalizan el dado en [101, Teorema 2].

Sea el sistema rectangular de ecuaciones lineales dado por

WAWx = b, b ∈ R((WA)k2), k2 = ind(WA), (4.29)

entonces la unica solucion en R((AW )k1) = R(AD,W ), donde k1 = ind(AW ), vienedada por x = AD,W b.

Sea ahora el sistema perturbado

WBWy = c, c ∈ R((WB)l2), l2 = ind(WB), (4.30)

entonces la unica solucion en R((BW )l1) = R(BD,W ), donde l1 = ind(BW ), vienedada por y = BD,W c.

Seguidamente estableceremos diversas estimaciones en norma del error relativode la solucion exacta del sistema (4.29). Por simplificar asumimos que R(AD,W ) =R(BD,W ).

En primer lugar consideramos que las matrices de los coeficientes de los sistemasoriginal y perturbado estan relacionadas por la condicion Bσ,W W = Aσ,W W .

Teorema 4.5.1. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A, B ∈ Cm×n. Asumimos queBσ,W W = Aσ,W W y ‖AD,W W (B − A)W‖ < 1. Entonces,

‖y − x‖‖x‖ ≤ ‖AD,W‖ ‖WAW‖

1− ‖AD,W W (B − A)W‖(‖AD,W W (B − A)W‖+∆+(1 + ∆)

‖b− c‖‖b‖

),

(4.31)

donde∆ = (1− ‖AD,W W (B − A)W‖)∆

y ∆ es definido como en (4.22).

Dem. Aplicando normas a

y − x = BD,W c− AD,W b = (BD,W − AD,W )b + BD,W (c− b)

se obtiene

‖y − x‖ ≤ ‖BD,W − AD,W‖ ‖b‖+ ‖BD,W‖ ‖b− c‖≤ ‖BD,W − AD,W‖ ‖WAW‖ ‖x‖+ ‖BD,W‖ ‖b− c‖

‖b‖ ‖WAW‖ ‖x‖.


Ahora, usando las cotas superiores (4.20) y (4.21) dadas en el Teorema 4.4.1 setiene (4.31). ¤

Del teorema anterior se sigue el siguiente corolario.

Corolario 4.5.2. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A, B ∈ Cm×n. Asumimos queBσ,W W = Aσ,W W y ‖AD,W‖ ‖W (B − A)W‖ < 1. Entonces,

‖y − x‖‖x‖ ≤ κD,W (A)

1− κD,W (A)‖W (B − A)W‖/‖WAW‖×

(κD,W (A)

‖W (B − A)W‖‖WAW‖ + ∆ + (1 + ∆)

‖b− c‖‖b‖

),

donde ∆ = (1− ‖AD,W W (B − A)W‖)∆ y ∆ es definida como en (4.22).

En el siguiente teorema asumimos la igualdad WBσ,W = WAσ,W .

Teorema 4.5.3. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A, B ∈ Cm×n. Asumimos queWBσ,W = WAσ,W y ‖W (B − A)WAD,W‖ < 1. Entonces,

‖y − x‖‖x‖ ≤ ‖AD,W‖ ‖WAW‖

1− ‖W (B − A)WAD,W‖(‖W (B − A)WAD,W‖+ Θ+(1 + Θ)

‖b− c‖‖b‖

),

(4.32)

dondeΘ = (1− ‖W (B − A)WAD,W‖)Θ

y Θ es definida como en (4.25).

Dem. Su demostracion es similar a la dada en el Teorema 4.5.1 considerando ahoralas cotas (4.23) y (4.24) dadas en el Teorema 4.4.4. ¤

Al igual que en el Corolario 4.5.2, podemos fortalecer las condiciones del teoremaanterior dando un resultado donde esta involucrado el numero de condicion conrespecto a la W-Drazin inversa de A.

Corolario 4.5.4. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A, B ∈ Cm×n. Asumimos queWBσ,W = WAσ,W y ‖AD,W‖ ‖W (B − A)W‖ < 1. Entonces,

‖y − x‖‖x‖ ≤ κD,W (A)

1− κD,W (A)‖W (B − A)W‖/‖WAW‖×

(κD,W (A)

‖W (B − A)W‖‖WAW‖ + Θ + (1 + Θ)

‖b− c‖‖b‖

),

donde Θ = (1− ‖W (B − A)WAD,W‖)Θ y Θ es definida como en (4.25).


En el siguiente corolario damos una cota superior del error relativo cuando elW-soporte idempotente de la matriz del sistema original (4.29) es igual al soporteidempotente de la matriz de los coeficientes de sistema perturbado (4.30), es decir,Aσ,W = Bσ,W .

Corolario 4.5.5. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A, B ∈ Cm×n. AsumimosBσ,W = Aσ,W . Si ‖AD,W W (B − A)W‖ < 1, entonces

‖y − x‖‖x‖ ≤ ‖AD,W‖ ‖WAW‖

1− ‖AD,W W (B − A)W‖(‖AD,W W (B − A)W‖+

‖b− c‖‖b‖

). (4.33)

Dem. Su demostracion resulta evidente aplicando las cotas (4.27) y (4.28). ¤

Corolario 4.5.6. Sea W ∈ Cn×m una matriz fija y A, B ∈ Cm×n con A no nula.Asumimos Bσ,W = Aσ,W . Si ‖AD,W‖ ‖W (B − A)W‖ < 1, entonces

‖y − x‖‖x‖ ≤ κD,W (A)

1− κD,W (A)‖W (B − A)W‖‖WAW‖

(κD,W (A)‖W (B − A)W‖

‖WAW‖ +‖b− c‖‖b‖

).

(4.34)

Capıtulo 5

Elementos de anillos y algebras deBanach con espectrosidempotentes relacionados

5.1. Introduccion

La inversa de Drazin para elementos polares en anillos fue originalmente definidapor M. P. Drazin, [29], y generalizada por R. E. Harte, [35], a elementos cuasipolares,denominandose en este caso inversa de Drazin generalizada, o g-Drazin inversa.

En [51], J. J. Koliha y P. Patricio caracterizaron los elementos g-Drazin inver-tibles en un anillo asociativo unitario con unidad 1 6= 0, denotado por R, cuyosespectros idempotentes son iguales.

El principal proposito de este capıtulo sera caracterizar los elementos g-Drazininvertibles en un anillo unitario con espectros idempotentes relacionados por la con-dicion

1− (bπ − aπ)2 ∈ R−1, (5.1)

donde R−1 representa al grupo de los elementos invertibles de R y, aπ y bπ son losespectros idempotentes de a y b, respectivamente.

Se hace notar que la condicion (5.1) se cumple, en particular, para elementoscuyos espectros idempotentes son iguales, generalizando ası, [51, Teorema 6.1].

Los resultados de esta investigacion en anillos se trasladaran al contexto de anilloscon involucion, con las modificaciones correspondientes. Se analizara la perturbacion

115

116 5. Elementos de anillos y algebras de Banach con espectros idempotentes relacionados

de elementos EP . En particular, para matrices con igual proyeccion espectral se tiene[16, Teorema 5.2].

En la Seccion 5.2 se daran diversos conceptos y resultados basicos sobre la inversade Drazin generalizada en anillos y algebras de Banach. Se introduciran las nocionesde elemento cuasipolar, elemento cuasinilpotente, espectro idempotente y elementoregular en un anillo.

Finalizaremos esta seccion dando una representacion matricial para elementosde un anillo y algebra de Banach.

En la Seccion 5.3 se expondra el resultado principal de este capıtulo. Se darandiversas caracterizaciones de los elementos en un anillo con espectros idempotentesrelacionados por la condicion (5.1).

En la Seccion 5.4 se aplicaran los resultados obtenidos a elementos de anillos coninvolucion para obtener diversas caracterizaciones de la perturbacion de elementosEP , esto es, elementos los cuales tienen Drazin y Moore-Penrose inversas y ambascoinciden.

En la Seccion 5.5, en el contexto de un algebra de Banach compleja y asociativacon unidad, que llamaremos B, se derivara una cota superior de ‖bD − aD‖ y ‖bD‖en terminos de ‖aD(b− a)‖ y ‖bπ − aπ‖.

Los resultados principales de este capıtulo se recogen en el artıculo Elementsin rings and Banach algebras with related spectral idempotents, [21].

5.2. La inversa de Drazin generalizada en anillos

y algebras de Banach

En esta seccion expondremos diversas nociones y resultados acerca de la g-Drazininversa para elementos en un anillo unitario y en una algebra de Banach con unidad.

5.2.1. Elementos cuasipolares en anillos y algebras de Ba-nach

A continuacion damos la definicion de un elemento cuasinilpotente en un anilloR dada R. E. Harte en [35].

Antes introducimos los siguientes conjuntos:

5. Elementos de anillos y algebras de Banach con espectros idempotentes relacionados 117

Dado a ∈ R. Se define el conmutador y doble conmutador de a por

comm(a) = x ∈ R : ax = xa,comm2(a) = x ∈ R : xy = yx para todo y ∈ comm(a).

Definicion 5.2.1. Un elemento a ∈ R es cuasinilpotente si, para todo x ∈ comm(a),1 + xa ∈ R−1.

Denotaremos por Rqnil y Rnil al conjunto de todos los elementos cuasinilpotentesy nilpotentes de R, respectivamente.

En el contexto de un algebra de Banach unitaria B, dotada de una norma ‖ · ‖,se tiene la siguiente caracterizacion de los elementos cuasinilpotentes, [37],

a ∈ Bqnil ⇔ lımn→∞

‖an‖1/n = 0, (5.2)

donde Bqnil representa al conjunto de todos los elementos cuasinilpotentes de B.

En la siguiente definicion se establecen los elementos cuasipolares de un anillo.

Definicion 5.2.2. Un elemento a ∈ R es cuasipolar si existe un elemento p ∈ R

idempotente tal que

p ∈ comm2(a), ap ∈ Rqnil, a + p ∈ R−1. (5.3)

Si a es cuasipolar y ap ∈ Rnil con ındice de nilpotencia k, entonces a es llamadoun elemento polar de orden k. Si k = 1 entonces a es llamado un elemento simplepolar de R.

Cualquier elemento idempotente p que verifique las condiciones (5.3) es llamadoun espectro idempotente de a, termino tomado de la teorıa espectral en algebras deBanach [37].

En el Apartado 5.2.2 se demostrara que los elementos cuasipolares, polares ypolares simple de anillos son los elementos g-Drazin invertibles, Drazin invertibles yGrupo invertibles de un anillo, respectivamente.

En [37], Harte demuestra que el producto de elementos cuasipolares que conmu-tan es cuasipolar.

En la siguiente proposicion se mostrara que el espectro idempotente, si existe, esunico. Antes damos los siguientes lemas.

Lema 5.2.3. Sean a, b ∈ R. Si a ∈ R−1 y b ∈ Rqnil ∩ comm(a), entonces a+b ∈ R−1.


Dem. Como b ∈ Rqnil ∩ comm(a) y a ∈ R−1, entonces 1 + a−1b ∈ R−1 si y solo sia + b ∈ R−1. ¤

Lema 5.2.4. Sea a ∈ R cuasipolar y p, q dos espectros idempotentes de a, entonces

(i) (1− p)(a + p)−1aq = aq(1− p)(a + p)−1.

(ii) (a + p)−1(1− p)a = (1− p) = a(1− p)(a + p)−1.

Dem. Como p, q ∈ comm2(a), entonces

(1− p)(a + p)−1(a + p)aq = aq(1− p)(a + p)−1(a + p).

De aquı, usando que a + p ∈ R−1, se sigue que

(1− p)(a + p)−1aq = aq(1− p)(a + p)−1,

lo que prueba (i).

Las identidades mostradas en (ii) son de facil verificacion:

1− p = (1− p)(a + p)(a + p)−1 = a(1− p)(a + p)−1

y1− p = (a + p)−1(a + p)(1− p) = (a + p)−1(1− p)a.

Con lo que concluimos la demostracion. ¤

Proposicion 5.2.5. Cualquier elemento cuasipolar a ∈ R tiene un unico espectroidempotente.

Dem. Sean p, q ∈ R dos espectros idempotentes de un elemento cuasipolar a ∈ R.Entonces,

1− (1− p)q = 1− (1− p)(a + p)−1(1− p)(a + p)q = 1− (1− p)(a + p)−1(1− p)aq

= 1− (1− p)(a + p)−1aq.

Sea b = (1− p)(a + p)−1. Aplicando el Lema 5.2.4 (i) se tiene que b ∈ comm(aq)y por el Lema 5.2.3 se deduce que 1 − b(aq) ∈ R−1. Ahora, aplicando el punto (ii)del Lema 5.2.4, y del hecho que p y q conmutan se obtiene

1− b(aq) = 1− (1− p)q = 1− (1− p)2q2 =(1− (1− p)q

)(1 + (1− p)q

)

y como 1− (1− p)q es invertible, entonces (1− p)q = 0, o sea, q = pq.Similarmente obtenemos que (1− q)p = 0. Luego, q = pq = qp = p. ¤


A continuacion veamos que para elementos polares de un anillo la condicionp ∈ comm2(a) puede ser sustituida por la simple conmutatividad, p ∈ comm(a).

Proposicion 5.2.6. Sea a ∈ R un elemento polar y p su espectro idempotente.Entonces las condiciones (5.3) son equivalentes a:

p ∈ comm(a), ap ∈ Rnil, a + p ∈ R−1. (5.4)

Dem. Basta con demostrar que si se cumplen las condiciones dadas en (5.4), enton-ces p ∈ comm2(a). Como ap ∈ Rnil, entonces existe un k ∈ N tal que (ap)k = akp =0.

Tomamos b = (1− p)(a + p)−1. Del Lema 5.2.4 (ii) se sigue que ab = ba = 1− p.Sea x ∈ comm(a). Tenemos

(1− p)xp = (1− p)kxp = bkakxp = bkxakp = 0,

lo cual implica que xp = pxp.Similarmente se demuestra que px = pxp. Luego xp = px y, por consiguiente,

p ∈ comm2(a). ¤

5.2.2. La g-Drazin inversa. Definiciones y resultados

En esta seccion se daran algunas propiedades de la g-Drazin inversa de elementoscuasipolares en anillos y algebras de Banach.

Definicion 5.2.7. Un elemento a ∈ R es g-Drazin invertible si existe un b ∈ R talque

b ∈ comm2(a), ab2 = b, a2b− a ∈ Rqnil. (5.5)

Cualquier elemento b ∈ R que verifique las condiciones anteriores es una g-Drazininversa de a, que denotaremos por aD.

Si a2b− a ∈ Rnil, entonces se dice que a es Drazin invertible y b es una inversade Drazin clasica de a. Si a es un elemento polar, entonces la doble conmutatividadpuede ser sustituida por b ∈ comm(a). Denotamos por RD y RgD al conjunto detodos los elementos Drazin invertibles y g-Drazin invertibles de R, respectivamente.

El siguiente resultado establece la equivalencia entre los elementos cuasipolaresy los g-Drazin invertibles de R.

Teorema 5.2.8. Un elemento a ∈ R es g-Drazin invertible si y solo si a es cuasi-polar. En este caso a tiene una unica g-Drazin inversa, aD, dada por

b = (a + aπ)−1(1− aπ) = (1− aπ)(a + aπ)−1. (5.6)


Dem. Sea a un elemento cuasipolar con espectro idempotente p = aπ. Definimos elelemento b = (a + aπ)−1(1 − aπ) = (1 − aπ)(a + aπ)−1. Veamos que b verifica lascondiciones (5.5). Para comprobar que b ∈ comm2(a) tenemos que ver que bx = xb,para todo x que conmute con a. De aπ ∈ comm2(a) se sigue aπ conmuta con x luego,

bx = (a + aπ)−1(1− aπ)x = x(1− aπ)(a + aπ)−1 = xb.

Ahora,

ab2 = a(1− aπ)2(a + aπ)−2 = (a + aπ)(1− aπ)(a + aπ)−2 = (1− aπ)(a + aπ)−1 = b.

Por otra parte, aplicando el Lema 5.2.4 (ii),

a2b− a = a2(1− aπ)(a + aπ)−1 − a = a(1− aπ)− a = −aaπ ∈ Rqnil.

Luego b es una g-Drazin inversa de a y por lo tanto a es g-Drazin invertible.

Recıprocamente, sea a ∈ RgD con g-Drazin inversa b y sea p = 1 − ab. Comoa ∈ RgD entonces p ∈ comm2(a),

(1− p)2 = a2b2 = ab = 1− p,

lo cual implica que p2 = p. Por otra parte,

a2b− a = a(ab− 1) = −ap ∈ Rqnil.

Finalmente, veamos que a + p ∈ R−1. Observamos que

(b + p)(a + p) = (a + p)(b + p) = ab + ap + bp + p = 1 + ap + b(1− ab) = 1 + ap.

De aquı, puesto que 1 + ap ∈ R−1, se sigue que a + p ∈ R−1. Por lo tanto a escuasipolar y p = aπ es el espectro idempotente de a.

De (a + p)b = b(a + p) = 1− p + pb = 1− p + (1− ab)b = 1− p obtenemos queb = (a + p)−1(1− p) = (1− p)(a + p)−1.

La unicidad de la g-Drazin inversa aD se deduce de la unicidad del espectroidempotente p demostrada en la Proposicion 5.2.5. ¤

De esta demostracion se obtienen las siguientes relaciones entre el espectro idem-potente y la g-Drazin inversa de un elemento a ∈ R:

aπ = 1− aDa = 1− aDa, aπaD = aDaπ = 0. (5.7)

Observacion 5.2.9. De modo similar al teorema anterior se demuestra que loselementos Drazin invertibles en R son los elementos polares de R.


A continuacion damos el concepto de ındice extendido a elementos cuasipolares.

Definicion 5.2.10. El ındice de g-Drazin, ind(a), de un elemento cuasipolar a ∈ R

es definido por

ind(a) =

0 si a ∈ R−1,k si a2aD − a es nilpotente de ındice k ∈ N,∞ en otro caso.

Si el ind(a) = 0, entonces a es invertible y aD = a−1. Si el ind(a) = 1, la g-Drazininversa de a es llamada el Grupo inverso, y lo denotaremos por a]. El conjunto detodos los elementos que poseen Grupo inverso es denotado por R]. Observamos queel ındice de g-Drazin de a ∈ R es finito si y solo si a es polar.

Es claro que todo elemento polar es g-Drazin invertible pero si es cuasipolarposee Drazin inversa si y solo si su ındice es finito.

A la vista de esta definicion vemos que

R−1 ⊆ R] ⊆ RD ⊆ RgD.

En la siguiente proposicion se dan algunas propiedades de la g-Drazin inversa.

Proposicion 5.2.11. Sea a ∈ RgD con espectro idempotente aπ, entonces

(i) aD + aπ ∈ R−1.

(ii) aD ∈ R] y (aD)π = (aπ)D = aπ.

Dem. (i): Tenemos que

(aD + aπ)(a + aπ) = aDa + aπa + aπ = 1 + aπa ∈ R−1,

y como a + aπ ∈ R−1 y, aD, aπ y a conmutan entre si, entonces aD + aπ ∈ R−1.

(ii): Veamos primero que el espectro idempotente de aD es aπ. De (5.7) se tiene queaDaπ = 0 luego aDaπ ∈ Rnil ⊆ Rqnil. Por (i) se tiene que aD + aπ ∈ R−1. Seax ∈ comm(aD), entonces aπx = xaπ y aπ ∈ comm2(aD). Luego (aD)π = aπ. Por otraparte, de la g-Drazin inversa para elementos idempotentes se tiene que (aπ)D = aπ.

Ahora,(aD)2(aD)D − aD = aD(aD(aD)D − 1) = −aDaπ = 0,

luego ind((aD)2(aD)D − aD) = 1 y, por consiguiente, aD ∈ R]. ¤


Concluiremos este apartado dando algunos resultados relativos a la g-Drazininversa en el contexto de un algebra de Banach.

Si a ∈ B, vamos a denotar por iso σ(a) y acc σ(a) al conjunto de los puntosaislados y de acumulacion del espectro de a, que llamaremos σ(a), respectivamente.

En el siguiente teorema se caracterizan los elementos g-Drazin invertibles en unalgebras de Banach.

Teorema 5.2.12. La siguientes condiciones sobre a ∈ B son equivalentes:

(i) 0 /∈ acc σ(a).

(ii) a es g-Drazin invertible.

(iii) a es cuasipolar.

Dem. En [37, Teorema 9.7.6] se demuestra (i) ⇔ (iii). Para la equivalencia entre (i)y (ii) ver [48]. ¤

En el marco de un algebra de Banach la doble conmutatividad b ∈ comm2(a)puede ser relajada por la simple conmutatividad.

Llamaremos BgD al conjunto de todos los elementos g-Drazin invertibles de B.

Dado un elemento a ∈ BgD con espectro idempotente aπ, denotamos por R(λ; a)a la resolvente del elemento a, dada por R(λ; a) = (λ1− a)−1.

En [48] se demostro que R(λ; a) tiene un desarrollo en serie de Laurent en unentorno del 0 ∈ iso σ(a) dado por:

R(λ; a) =∞∑

n=1

λ−nanaπ −∞∑

n=0

λn(aD)n+1, 0 < |λ| < r,

para un r > 0 suficientemente pequeno.

Observamos que aD es el termino independiente del desarrollo en serie.

En relacion con la resolvente se tiene que el 0 es un polo de R(λ; a) si y solo si aes Drazin invertible. En particular, si 0 es un polo simple, entonces a posee Grupoinverso.


5.2.3. Resultados sobre elementos en anillos. Elementosregulares

En este apartado se expondran algunos resultados basicos sobre los elementosde un anillo, necesarios en la demostracion del resultado principal de este capıtulo.Tambien se definiran los elementos regulares dando algunas de sus propiedades.

Dado a ∈ R, introducimos los conjuntos siguientes:

aR = ax : x ∈ R, Ra = xa : x ∈ R,a0 = y ∈ R : ay = 0, 0a = y ∈ R : ya = 0. (5.8)

En teorıa de anillos los conjuntos aR y Ra se denominan ideal derecho principale ideal izquierdo principal generado por a, respectivamente. Los conjuntos a0 y 0a sonideales derecho e izquierdo, respectivamente. Estos conjuntos se denominan anuladorderecho y anulador izquierdo generado por a, respectivamente.

Veamos que aR es un ideal derecho:

- Dados ax, ay ∈ aR, entonces ax + ay = a(x + y) ∈ aR.

- El elemento 0 = a0 ∈ aR.

- Si ax ∈ aR, entonces axy ∈ aR, para todo y ∈ R.

Similarmente se demuestra el resto de los conjuntos.

Si M ⊂ R, definimos

M0 =y ∈ R : My = 0 y 0M =y ∈ R : yM = 0. (5.9)

A la vista de las definiciones de los conjuntos (5.8) podemos establecer las pro-piedades siguientes.

Lema 5.2.13. Sea a ∈ R. Se verifican las siguiente propiedades:

(i) a ∈ R−1 ⇒ aR = Ra = R.

(ii) c ∈ comm(a) ⇒ caR ⊆ aR y Rac ⊆ Ra.

(iii) a ∈ R−1 ⇒ (ab)0 = b0, para todo b ∈ R.

(iv) b ∈ R−1 ⇒ 0(ab) = 0a, para todo a ∈ R.


Dem. (i): Sea a ∈ R−1, entonces

y ∈ aR ⇒ y = ax = axa−1a ∈ Ra,

y ∈ Ra ⇒ y = xa = aa−1xa ∈ aR.

Por otra parte,

x ∈ R ⇒ x = xa−1a ∈ Ra,

y ∈ Ra ⇒ y = xa ⇔ ay = axa ∈ aR ⇒ y ∈ R.

(ii): Consideremos un elemento x ∈ caR, entonces x = cay = acy ∈ aR, dondey ∈ R. Analogamente se deduce la otra inclusion.

(iii): Sea x ∈ (ab)0, entonces abx = 0 ⇔ bx = 0, luego x ∈ b0. Consideramos ahorax ∈ b0, entonces bx = 0 ⇔ abx = 0 y x ∈ (ab)0.

(iv): Tomamos x ∈ 0(ab), entonces xab = 0 ⇔ xa = 0. Luego x ∈ 0a. Para la otrainclusion elegimos x ∈ 0a por lo que xa = 0 ⇔ xab = 0 y ası x ∈ 0(ab). ¤

A continuacion definimos los elementos regulares.

Definicion 5.2.14. Un elemento a ∈ R es regular (en el sentido de von Neumann)si existe un elemento inverso interior x, i.e., si existe un x ∈ R tal que axa = a.

Cualquier inversa interior de a sera denotada por a− y el conjunto de todos loselementos regulares de R sera denotado por R−. Observamos que R−1 ⊆ R−.

De esta definicion se deducen las siguientes propiedades.

Lema 5.2.15. Sea a ∈ RgD con g-Drazin inversa aD, entonces

(i) aD ∈ R−.

(ii) aDa ∈ R−.

(iii) Si b ∈ R−1, entonces aDb, baD ∈ R−.

En [38], R. E. Hartwig establecio otras propiedades sobre los conjuntos (5.8) y(5.9), las cuales damos a continuacion. Damos su demostracion por completitud.

Proposicion 5.2.16. Sea a ∈ R un elemento regular y M, N ⊂ R. Entonces,

(i) a ∈ RgD ⇒ RaD = RaaD y aDR = aaDR.


(ii) a0 = (Ra)0.

(iii) Ra = 0((Ra)0

)= 0

(a0

).

(iv) M ⊆ N ⇒ 0M ⊇ 0N .

Dem. (i): Vamos a probar la primera igualdad. Sea x ∈ RaD, entonces x = yaD =yaDaaD ∈ RaaD, con y ∈ R. Recıprocamente, tomamos ahora x ∈ RaaD, entoncesx = yaaD ∈ RaD. De forma similar se demuestra la segunda igualdad.

(ii): Sea y ∈ a0, entonces ay = 0 y xay = 0, para todo x ∈ R. Luego y ∈ (Ra)0.Sea ahora y ∈ (Ra)0, entonces Ray = xay = 0, para todo x ∈ R. Si cogemos

x = 1, entonces ay = 0 y ası, y ∈ a0.

(iii): Consideramos ya ∈ Ra. Si x ∈ a0, entonces ax = 0 y yax = 0, para todox ∈ a0. Luego ya ∈ 0

(a0

).

Si y ∈ 0(a0

), entonces yx = 0, para todo x ∈ a0. Ahora, como a es regular,

y = ya−a + y(1− a−a) y a− aa−a = 0 = a(1− a−a), por lo que (1− a−a) ∈ a0, ycomo yx = 0, para todo x ∈ a0, tenemos que y(1−a−a) = 0. Luego y = ya−a ∈ Ra,eligiendo x = ya− ∈ Ra. Esto demuestra que Ra = 0

(a0

). Para obtener la igualdad

0((Ra)0) = 0(a0) basta con aplicar (ii).

(iv): Si x ∈ 0N , entonces xN = 0. Para todo y ∈ M ⊆ N se cumple xy = 0 porlo cual xM = 0 y ası, x ∈ 0M . ¤

5.2.4. Representacion matricial de elementos en anillos yalgebras de Banach

En esta seccion daremos una representacion matricial para los elementos de ani-llos.

Decimos que P = (p1, p2, . . . , pn) es un sistema total de elementos idempotentesno nulos en un anillo R si p2

i = pi, para todo i ∈ 1, . . . , n, pipj = 0 si i 6= j,

yn∑

i=1

pi = 1. Dado un sistema total P de elementos idempotentes no nulos en un

anillo R, consideramos el conjunto Mn(R,P) consistiendo en todas las matricesA =

(aij

)n

i,j=1con elementos en R tal que aij ∈ piRpj para todo i, j ∈ 1, . . . , n, el

cual es un anillo unitario con las operaciones usuales del algebra matricial y con elelemento unidad I(P) = diag(p1, p2, . . . , pn).

Si P = (p1, p2, . . . , pn) es un sistema total de elementos idempotentes no nulos y


x ∈ R, definimos la aplicacion

ϕ : R −−−→Mn(R,P)

por

ϕ(x) =

p1xp1 p1xp2 · · · p1xpn

p2xp1 p2xp2 · · · p2xpn...

.... . .

...pnxp1 pnxp2 · · · pnxpn

. (5.10)

Denotaremos a la ϕ(x) por(pixpj

)n

i,j=1.

En el siguiente resultado demostramos que ϕ es un isomorfismo de anillos.

Lema 5.2.17. La aplicacion ϕ es un isomorfismo de anillos de R en Mn(R,P).

Dem. Tenemos que, para cada x ∈ R,

x =( n∑

i=1

pi

)x( n∑

i=1

pi

)=

n∑i,j=1

pixpj.

Veamos que ϕ es un homomorfismo de anillos. Sean a, b ∈ R y 1 el elementounidad de R, entonces

ϕ(a + b) =(pi(a + b)pj

)n

i,j=1=

(piapj

)n

i,j=1+

(pibpj

)n

i,j=1= ϕ(a) + ϕ(b).

ϕ(ab) =(piabpj

)n

i,j=1=

(pia

(n∑

k=1

pk

)bpj

)n

i,j=1

=

(n∑

k=1

(piapk

)(pkbpj

))n

i,j=1

=(piapj

)n

i,j=1

(pibpj

)n

i,j=1= ϕ(a)ϕ(b).

ϕ preserva la unidad.

ϕ(1) =(pipj

)n

i,j=1= diag(p1, p2, . . . , pn) = I(P).

Por lo tanto la aplicacion ϕ es un homomorfismo.

Probemos que es un isomorfismo. Para probar la inyectividad de ϕ. Tenemosque,

ϕ(a)− ϕ(b) =(piapj

)n

i,j=1− (

pibpj

)n

i,j=1=

(pi(a− b)pj

)n

i,j=1= O,

entoncesn∑

i=1

pi(a − b)p1 =n∑

i=1

pi(a − b)p2 = . . . =n∑

i=1

pi(a − b)pn = 0 o, equivalente-

mente, (a − b)p1 = (a − b)p2 = . . . = (a − b)pn = 0, ya quen∑

i=1

pi = 1. De aquı se


sigue que (a− b)n∑

i=1

pi = 0, luego a = b.

Finalmente, tomemos la matriz A =(aij

) ∈ Mn(R,P), i, j ∈ 1, . . . , n y

a ∈ R tal que a =n∑

i,j=1

aij. Como aij ∈ piRpj, entonces aij = piapj, para todo i, j.

Luegoϕ(a) =

(piapj

)n

i,j=1=

(aij

)n

i,j=1= A.

Ası para toda matriz A ∈ Mn(R,P) existe a ∈ R tal que ϕ(a) = A, por lo quees sobreyectiva. ¤

Este isomorfismo manda elementos invertibles de R en elementos invertibles deMn(R,P) y viceversa. Ası

ϕ(1) = ϕ(aa−1) = ϕ(a)ϕ(a−1) ⇔ (ϕ(a)

)−1= ϕ(a−1).

Si B es un algebra de Banach con unidad 1, entonces el conjunto Mn(B,P),construido de forma analoga a Mn(R,P), es tambien un algebra de Banach conunidad I(P) y con la norma

‖A‖ =∥∥∥

n∑i,j=1

aij

∥∥∥, A = (aij)ni, j=1 ∈Mn(B,P).

Veamos que es una norma matricial. Dadas las matrices A, B ∈ Mn(B,P)tenemos

‖A + B‖ =∥∥∥

n∑i,j=1

(aij + bij)∥∥∥ ≤

∥∥∥n∑

i,j=1

aij

∥∥∥ +∥∥∥

n∑

k,l=1

bij

∥∥∥ = ‖A‖+ ‖B‖

y

‖AB‖ =∥∥∥

n∑i,j=1

( n∑

k=1

aikbkj

)∥∥∥ =∥∥∥( n∑

i,k=1

aik

)( n∑m,j=1

bmj

)∥∥∥

≤∥∥∥

n∑

i,k=1

aik

∥∥∥∥∥∥

n∑m,j=1

bmj

∥∥∥ = ‖A‖ ‖B‖,

ya que aikbmj = 0, cuando m 6= k.

Claramente ‖I(P)‖ =∥∥∥

n∑i=1

pi

∥∥∥ = 1.

Observamos que para cada x ∈ B,

x =n∑

i,j=1

pixpj.


Tenemos que la aplicacion

φ : B −−−→Mn(B,P)

definida como en (5.10), junto con la norma matricial anterior, es un isomorfismoisometrico entre algebras de Banach, [12].

Los isomorfismos entre anillos y algebras de Banach vistos nos permiten estable-cer la identificacion:

x =(pixpj

)n

i,j=1, (5.11)

para un sistema total de elementos idempotentes no nulos P = (p1, p2, . . . , pn).Si a ∈ R, tenemos que aii = pixpi ∈ piRpi. Denotaremos por Ri al subanillo

piRpi, el cual es unitario con unidad pi, ası a−1ii denota la inversa de aii en Ri;

similarmente aDii es la g-Drazin inversa de aii en Ri.

Por abreviar renombramos los elementos de la diagonal por ai.

Utilizando la terminologıa matricial se dice que un elemento a ∈ R es g-Drazininvertible si y solo si existe un sistema total de elementos idempotentes no nulos(p1, p2) en R tal que

a =

(a1 00 a2

), (5.12)

donde a1 ∈ R−11 y a2 ∈ Rqnil

2 . Se hace notar que (p1, p2) = (1− aπ, aπ), entonces

aD =

(a−1

1 00 0

)y aπ =

(0 00 1

).

Como la inversa a−11 es tomada en R1 = (1−aπ)R(1−aπ), tenemos que a−1

1 = 0si aπ = 1. Es evidente que si aπ = 0, entonces a es invertible en R.

5.3. Caracterizacion de elementos en anillos con

espectros idempotentes relacionados

En esta seccion se establecera el resultado principal de este capıtulo. Se caracte-rizaran los elementos a, b ∈ R con espectros idempotentes satisfaciendo bπ = aπ +s,donde s es un elemento dado de R tal que 1 − s2 ∈ R−1. Observamos que, enparticular, para cualquier s ∈ Rqnil tenemos que 1− s2 ∈ R−1.

Antes de abordar esta caracterizacion daremos algunos resultados.


En la siguiente proposicion vamos a mostrar algunas relaciones involucrando elespectro idempotente aπ y los elementos idempotentes de la forma aπ + s.

Proposicion 5.3.1. Sea a ∈ RgD y s ∈ R tal que 1 − s2 ∈ R−1. Si aπ + s esidempotente, entonces

(i) aπ + s = (1− s)−1aπ(1 + s) = (1 + s)aπ(1− s)−1.

(ii) 1− aπ − s = (1− s)(1− aπ)(1 + s)−1 = (1 + s)−1(1− aπ)(1− s).

(iii) Sea r = (1+ s)aπ +(1− s)(1− aπ), entonces r ∈ R−1 con r−1 = aπ(1− s)−1 +(1− aπ)(1 + s)−1 y

aπ + s = raπr−1.

Dem. (i): Como aπ + s es idempotente, entonces

(aπ + s)2 = aπ + s ⇔ aπ + aπs + saπ + s2 = aπ + s

⇔ aπ(1 + s) = −saπ − s2 + aπ + s

⇔ aπ(1 + s) = (1− s)(aπ + s)

⇔ aπ + s = (1− s)−1aπ(1 + s).

La segunda igualdad en (i) se obtiene de forma similar.

(ii): De la identidad aπ(1 + s) = −saπ − s2 + aπ + s, se sigue

1− aπ − aπs = −1 + saπ + s2 − aπ − s ⇔ (1− aπ − s)(1 + s) = (1− s)(1− aπ)

⇔ 1− aπ − s = (1− s)(1− aπ)(1 + s)−1.

Analogamente deducimos la segunda igualdad en (ii).

(iii): Sean r = (1 + s)aπ + (1 − s)(1 − aπ) y t = aπ(1 − s)−1 + (1 − aπ)(1 + s)−1.Aplicando (i) y (ii) tenemos

rt =((1 + s)aπ + (1− s)(1− aπ)

)(aπ(1− s)−1 + (1− aπ)(1 + s)−1

)

= (1 + s)aπ(1− s)−1 + (1− s)(1− aπ)(1 + s)−1 = aπ + s + 1− aπ − s = 1.

Del mismo modo obtenemos tr = 1. Consecuentemente, t = r−1. Por otra parte,

raπr−1 =((1 + s)aπ + (1− s)(1− aπ)

)aπ

(aπ(1− s)−1 + (1− aπ)(1 + s)−1

)

= (1 + s)aπ(1− s)−1 = aπ + s,

donde hemos aplicado la propiedad (i) en la ultima igualdad. ¤


Observacion 5.3.2. De la condicion (aπ + s)2 = aπ + s se deduce que s2(1− aπ) =(1− aπ)s2 = (1− aπ)s(1− aπ) y s2aπ = aπs2 = −aπsaπ.

Lema 5.3.3. Sea P = (p1, p2) un sistema total de elementos idempotentes no nulosen un anillo R y z ∈ R. Si

p2zp1 = 0 y pizpi ∈ (piRpi)−1, i = 1, 2,

entonces z ∈ R−1.

Dem. Dado que p2zp1 = 0, usando el isomorfismo ϕ : R −−−→M2(R,P), definidoen el Apartado 5.2.4, obtenemos

ϕ(z) =

(p1zp1 p1zp2

0 p2zp2

).

Luego, dado que pizpi ∈ (piRpi)−1, i = 1, 2, se sigue que la matriz ϕ(z) es

invertible en M2(R,P) y, consecuentemente, por el isomorfismo z es invertible enR. ¤

Lema 5.3.4. Sea P = (p1, p2) un sistema total de elementos idempotentes no nulosen un anillo R. Si z ∈ R conmuta con p2 y 1 + p2z ∈ R−1, entonces

z + p2 ∈ R−1 ⇔ p1z + p2 ∈ R−1.

Dem. Dado que z ∈ R conmuta con p2, se sigue que

(p1z + p2)(1 + p2z) = z + p2.

Luego, la equivalencia que queremos probar se tiene, ya que 1 + p2z ∈ R−1. ¤

Ahora estamos en condiciones de dar el resultado principal de este capıtulo.

Teorema 5.3.5. Sea a ∈ RgD y s ∈ R tal que 1−s2 ∈ R−1. Si aπ+s es idempotente,entonces las siguientes condiciones sobre b ∈ R son equivalentes:

(i) b ∈ RgD, bπ = aπ + s.

(ii) aπ + s ∈ comm2(b), (aπ + s)b ∈ Rqnil, b + aπ + s ∈ R−1.

(iii) aπ + s ∈ comm2(b), (aπ + s)b ∈ Rqnil, 1 + s + aD(b− a) ∈ R−1.

(iv) b ∈ RgD, 1 + s + aD(b− a) ∈ R−1,

bD =(1 + s + aD(b− a)

)−1aD(1− s).


(v) b ∈ RgD,

(1 + s)bD − aD(1− s) = aD(a− b)bD.

(vi) b ∈ RgD, aπ + s ∈ comm(b), 1− (bπ − aπ − s)2 ∈ R−1.

(vii) b ∈ RgD, bDR ⊆ (1− s)aDR,(bD(1 + s)

)0 ⊆ (aD

)0.

Dem. (i) ⇔ (ii): Esta equivalencia se deduce del Teorema 5.2.8.

(ii) ⇔ (iii): Sea r = (1 + s)aπ + (1 − s)(1 − aπ). Por la Proposicion 5.3.1 (iii), setiene que r ∈ R−1 y aπ + s = raπr−1. Entonces (ii) y (iii) son equivalentes a:

(ii)′ aπ ∈ comm2(r−1br), aπr−1br ∈ Rqnil, r−1br + aπ ∈ R−1.

(iii)′ aπ ∈ comm2(r−1br), aπr−1br ∈ Rqnil, raπ + aDbr ∈ R−1.

Mostraremos que bajo las hipotesis aπ ∈ comm2(r−1br) y aπr−1br ∈ Rqnil secumple que

r−1br + aπ ∈ R−1 ⇔ raπ + aDbr ∈ R−1. (5.13)

Supongamos que r−1br + aπ ∈ R−1. Sea z = raπ + aDbr. Entonces,

z = aπraπ + aDr(r−1br + aπ)(1− aπ) + (1− aπ)(r + aDbr)aπ.

Probemos que z es invertible. Sea (p1, p2) = (1− aπ, aπ). Observamos que p1, p2

conmutan con r−1br y, por la Observacion 5.3.2, tambien con 1− s2. Se verifica que

p2zp1 = p2

(aπraπ + aDr(r−1br + aπ)(1− aπ) + (1− aπ)(r + aDbr)aπ

)p1 = 0,

p1zp1 = p1


)p1

= p1aDr(r−1br + aπ)p1 = p1(a + aπ)−1p1r(r

−1br + aπ)p1,

p2zp2 = p2


)p2 = p2rp2.

Veamos que los elementos p1zp1 y p2zp2 son invertibles en R1 y R2, respectiva-mente.

La expresion que aparece en p1zp1 se puede reescribir de la forma siguiente:

p1r(r−1br + aπ)p1 = p1rp1(r

−1br + aπ)p1

= p1

((1 + s)aπ + (1− s)(1− aπ)

)p1(r

−1br + aπ)p1

= p1(1− s)p1(r−1br + aπ)p1

= p1(1− s)(r−1br + aπ)p1.


Luego, en el subanillo R1 con unidad p1, se tiene

(p1zp1)−1 =

(p1(a + aπ)−1p1r(r

−1br + aπ)p1

)−1

=(p1(a + aπ)−1(1− s)(r−1br + aπ)p1

)−1

= p1(r−1br + aπ)−1(1− s)−1(a + aπ)p1.

En el subanillo R2 con unidad p2 tenemos,

(p2zp2)−1 = (p2rp2)

−1 =(p2

((1 + s)aπ + (1− s)(1− aπ)

)p2

)−1

= (p2(1 + s)p2)−1

= (p2(1− s2)p2)−1

= p2(1− s2)−1p2.

Ası, por el Lema 5.3.3, z es invertible en R.

Recıprocamente, supongamos que raπ+aDbr ∈ R−1 y demostraremos que r−1br+aπ ∈ R−1. Sea el elemento

u = (aD + aπ)(1− s2)((1− aπ)r−1br + aπ

).

Vemos que

((1− aπ)r−1br + aπ

)(1 + aπr−1br) = r−1br + aπ.

De aπr−1br ∈ Rqnil se deduce que 1 + aπr−1br ∈ R−1 y, del Lema 5.3.4, se sigue

(1− aπ)r−1br + aπ ∈ R−1 ⇔ r−1br + aπ ∈ R−1.

Por lo tanto,u ∈ R−1 ⇔ r−1br + aπ ∈ R−1.

Verificamos que

p2up1 = p2(aD + aπ)(1− s2)

((1− aπ)r−1br + aπ

)p1 = 0,

p1up1 = p1(aD + aπ)(1− s2)((1− aπ)r−1br + aπ)p1 = p1a

Dp1(1− s2)p1r−1brp1

= p1aDp1rp1r

−1brp1 = p1aDbrp1 = p1(ra

π + aDbr)p1,

p2up2 = p2(1− s2)p2.

Ademas, los inversos de p1up1 y p2up2 vienen dados por

p1up1 = (p1(raπ + aDbr)p1)

−1 = p1(raπ + aDbr)−1p1,

p2up2 = (p2(1− s2)p2)−1 = p2(1− s2)−1p2,


en los subanillos R1 y R2, respectivamente. Luego, por el Lema 5.3.3, u es invertibleen R, y consecuentemente r−1br + p2 ∈ R−1.

(iii) ⇒ (iv): Dado que (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii), entonces tenemos bπ = aπ + s y 1 + s +aD(b− a) ∈ R−1. Por la identidad aD = (a + aπ)(1− aπ), dada en (5.6), se deduceque

(1 + s + aD(b− a)

)bD = (aπ + s + aDb) (1− (aπ + s)) (b + aπ + s)−1

= aDb(1− aπ − s)(b + aπ + s)−1

= aD(1− s).

Por lo tanto se cumple (iv).

(iv) ⇒ (v): De bD =(1 + s + aD(b− a)

)−1aD(1− s) se sigue

(1 + s)bD + aD(b− a)bD = aD(1− s), (5.14)

y ası se tiene (v).

(v)⇒ (i): Primero multiplicamos por la izquierda la igualdad (5.14) por aπ y despuesmultiplicamos por la derecha la misma igualdad por bπ obteniendo

aπ(1 + s)bD = 0 y aD(1− s)bπ = 0.

Entonces,

aπ(1 + s)bDb = aaD(1− s)bπ ⇔ aπ(1 + s)(1− bπ) = (1− aπ)(1− s)bπ.

Luego,

aπ(1 + s) =(aπ(1 + s) + (1− aπ)(1− s)

)bπ

=(aπ(1− s)−1 + (1− aπ)(1 + s)−1

)(1− s2)bπ.

Finalmente, aplicando la Proposicion 5.3.1 (iii) y (i), concluimos que

bπ = (1− s2)−1((1 + s)aπ + (1− s)(1− aπ)

)aπ(1 + s)

= (1− s)−1aπ(1 + s) = aπ + s.

(i) ⇔ (vi): La implicacion hacia la derecha es obvia. Demostraremos la implicacionhacia la izquierda. De 1− (bπ − aπ − s)2 ∈ R−1 se sigue que 1− bπ + aπ + s ∈ R−1

y 1 + bπ − aπ − s ∈ R−1. Ahora, como aπ + s ∈ comm(b) y b ∈ RgD, entoncesbπ(aπ +s) = (aπ +s)bπ. Ası, (1−aπ−s+bπ)(aπ +s)(1−bπ) = 0 y, consecuentemente,(aπ + s)(1− bπ) = 0. Luego,

aπ + s = (aπ + s)bπ. (5.15)


Por otra parte, (1− bπ + aπ + s)bπ(1− aπ − s) = 0 y ası, bπ(1− aπ − s) = 0. Porlo tanto,

bπ = (aπ + s)bπ. (5.16)

Finalmente, de (5.15) y (5.16) se obtiene bπ = aπ + s.

(i) ⇒ (vii): Como bDb = 1 − bπ = 1 − aπ − s, por la Proposicion 5.3.1 (ii) se tieneque bbD = (1− s)aaD(1 + s)−1. Entonces, aplicando el Lema 5.2.13,

bDR = bbDR = (1− s)aaD(1 + s)−1R = (1− s)aaDR = (1− s)aDR.

Similarmente,

RbD(1 + s) = RbbD(1 + s) = R(1− s)aaD = RaaD = RaD.

Ahora, bD(1 + s) y aD tienen inversas propias (1 + s)−1b y a, respectivamente,luego son elementos regulares, y por la Proposicion 5.2.16 (i),

(bD(1 + s)

)0=

(RbD(1 + s)

)0=

(RaD

)0=

(aD

)0.

(vii) ⇒ (i): De(bD(1 + s)

)0 ⊆ (aD

)0, por la Proposicion 5.2.16 (ii), (iii) y el Lema

5.2.13, se sigue que

RbbD(1 + s) = RbD(1 + s) = 0((

bD(1 + s))0

)⊇ 0

((aD

)0)

= RaD = R(1− s)aaD.

Por otra parte, por el Lema 5.2.13,

bbD(1 + s)R = bbDR = bDR ⊆ (1− s)aDR = (1− s)aaDR.

La inclusiones RbbD(1+s) ⊇ R(1−s)aaD y bbD(1+s)R ⊆ (1−s)aaDR implicanla consistencia de las ecuaciones

xbbD(1 + s) = (1− s)aaD y bbD(1 + s) = (1− s)aaDy, (5.17)

las cuales son equivalentes a

(1− s)aaD(1 + s)−1bπ = 0 = aπ(1− s)−1bbD(1 + s).

Finalmente, aplicando la Proposicion 5.3.1, de las identidades anteriores se sigue

(aaD − s)bπ = 0 = (1− aaD + s)bbD

y de aquıbbD = aaD − s ⇔ bπ = aπ + s.



En particular, si s = 0 entonces se tiene [51, Teorema 6.1].

Observacion 5.3.6. Bajo las hipotesis del teorema anterior las condiciones (iv) y(v) son equivalentes a

(iv′) b ∈ RgD, 1 + s + aD(b− a) ∈ R−1,

bD = (1− s)aD(1 + s + (b− a)aD)−1.

(v′) b ∈ RgD,bD(1 + s)− (1− s)aD = bD(a− b)aD.

El corolario siguiente es una especializacion del Teorema 5.3.5 para el caso en elque a y b tienen partes cuasinilpotentes relacionadas por la condicion bbπ = raaπr−1.

Corolario 5.3.7. Sea a ∈ RgD y s ∈ R tal que 1 − s2 ∈ R−1. Si aπ + s esidempotente, entonces las siguientes condiciones sobre b ∈ R, verificando la igualdad(aπ + s)baπ = (aπ + s)aaπ, son equivalentes:


(ii) aπ + s ∈ comm2(b), b + aπ + s ∈ R−1.

(iii) aπ + s ∈ comm2(b), 1 + s + aD(b− a) ∈ R−1.

(iv) b ∈ RgD, 1 + s + aD(b− a) ∈ R−1,

bD =(1 + s + aD(b− a)

)−1aD(1− s).

(v) b ∈ RgD, (1 + s)bD − aD(1− s) = aD(a− b)bD.

(vi) b ∈ RgD, aπ + s ∈ comm(b), 1− (bπ − aπ − s)2 ∈ R−1.

Dem. Por la Proposicion 5.3.1 tenemos

aπ +s = raπr−1 =((1+s)aπ +(1−s)(1−aπ)

)aπr−1 = (1+ s)aπr−1 = (aπ +s)aπr−1

y ademas

b(aπ + s) = (aπ + s)baπr−1 = (aπ + s)aaπr−1 = raaπr−1.

Por otra parte, a ∈ RgD y por lo tanto aaπ ∈ Rqnil. Ası, la condicion b(aπ + s) ∈Rqnil esta implıcita en las partes (ii) y (iii).

Luego, por el Teorema 5.3.5 las condiciones (i) – (vi) son equivalentes. ¤


A continuacion damos una nueva caracterizacion de elementos b ∈ RgD tal que1− (bπ − aπ)2 es invertible en terminos de su expresion matricial.

Teorema 5.3.8. Sea a ∈ RgD y s ∈ R tal que 1−s2 ∈ R−1. Si aπ+s es idempotente,entonces las siguientes condiciones sobre b ∈ R son equivalentes:


(ii) La representacion matricial para b es:

b =

(p1(1− s)p1 p1sp2

−p2sp1 p2(1 + s)p2

)(b1 0

0 b2

)(p1 −p1s(1 + s)−1p2

p2s(1− s)−1p1 p2

),

b1 ∈ R−11 y b2 ∈ Rqnil

2 , donde Ri = piRpi, i = 1, 2.

Dem. Consideramos r = (1 + s)aπ + (1 − s)(1 − aπ) = 1 − s + 2saπ. Por la Pro-posicion 5.3.1 (iii), r es no singular con r−1 = aπ(1 − s)−1 + (1 − aπ)(1 + s)−1 =(1 − s + 2aπs)(1 − s2)−1 y r−1(aπ + s)r = aπ. Ademas, r y r−1 tienen la siguienterepresentacion matricial:

r =

(p1(1− s)p1 p1sp2

−p2sp1 p2(1 + s)p2

)y r−1 =

(p1 −p1s(1 + s)−1p2

p2s(1− s)−1p1 p2

).

Ahora, definimos b = r−1br. Entonces bπ = aπ + s ⇔ bπ = r−1(aπ + s)r = aπ,luego b y a tiene el mismo espectro idempotente.

Por el Teorema 5.2.12,

baπ = aπ b, baπ ∈ Rqnil, b + aπ ∈ R−1.

Sea b =

(b1 b12

b21 b2

)la expresion matricial para b respecto (5.12), entonces

baπ = aπ b ⇔ b = diag(b1 , b2).

Ahora, baπ es cuasinilpotente si y solo si b2 lo es y b1 es no singular si y solo sib + aπ es no singular. Luego,

b =

(b1 0

0 b2

), donde b1 ∈ R−1

1 y b2 ∈ Rqnil2 .

Consecuentemente, tenemos la equivalencia entre (i) y (ii), ya que b = rbr−1. ¤


5.4. Caracterizacion de elementos EP en anillos

con involucion

En esta seccion vamos a denotar ∗ como la involucion x 7→ x∗ en un anillo R talque si a, b ∈ R, entonces

(i) (a + b)∗ = a∗ + b∗.

(ii) (ab)∗ = b∗a∗.

(iii) (a∗)∗ = a.

Si R = Cn×n, entonces A∗ es la traspuesta conjugada de A ∈ Cn×n.

Proposicion 5.4.1. Sea R un anillo con involucion. Entonces,

a ∈ RgD ⇔ a∗ ∈ RgD.

En este caso,(a∗)D = (aD)∗ y (a∗)π = (aπ)∗.

Dem. Sea b una g-Drazin inversa de a, entonces aplicando involucion a (5.5) seobtiene

b∗ ∈ comm2(a∗), a∗(b∗)2 = b∗, (a∗)2b∗ − a∗ ∈ Rqnil,

y por la unicidad de la g-Drazin inversa se deduce que a∗ ∈ RgD y (a∗)D = b∗.Similarmente, sea b una g-Drazin inversa de a∗, entonces aplicando involucion se

tieneb∗ ∈ comm2(a), a(b∗)2 = b∗, a2b∗ − a ∈ Rqnil,

luego a ∈ RgD y aD = b∗ = ((a∗)D)∗, lo cual implica que (aD)∗ = (a∗)D.

De la relacion aπ = 1− aaD se sigue

(aπ)∗ = (1− aaD)∗ = 1− (aD)∗a∗ = 1− (a∗)Da∗ = (a∗)π.

Obteniendose la igualdad (aπ)∗ = (a∗)π. ¤

En la Seccion 2.5 se introdujo el concepto de matriz EP y se caracterizarondichas matrices. En esta seccion expondremos la nocion de elemento EP de unanillo unitario, dando diversos resultados que lo involucran.

En [38], R. E. Hartwig hizo un detallado estudio de los elementos EP en anilloscon involucion y, en [49], J. J. Koliha estudio los elementos EP en C∗-algebras.


A continuacion exponemos el concepto de inversa de Moore-Penrose de un ele-mento de un anillo con involucion, nocion usada en la definicion de un elementoEP .

Definicion 5.4.2. Dado un anillo con involucion R. Decimos que un elemento a ∈ R

es Moore-Penrose invertible si existe un b ∈ R tal que

bab = b, aba = a, (ab)∗ = ab, (ba)∗ = ba. (5.18)

Este elemento b si existe es unico, [73], y es llamado inversa de Moore-Penrose,y denotado por a†. El conjunto de todos los elementos Moore-Penrose invertibles deR sera denotado por R†.

Definicion 5.4.3. Sea R un anillo con involucion. Un elemento a es EP si a ∈ R†

y aa† = a†a.

En el siguiente resultado se caracterizan los elementos EP .

Proposicion 5.4.4. Sea R un anillo con involucion y a ∈ R. La siguientes condi-ciones son equivalentes:

(i) a es EP .

(ii) a ∈ R], (a∗)π = aπ.

(iii) a ∈ RgD ∩R†, aD = a†.

Dem. (i) ⇒ (ii): De a ∈ R† y aa† = a†a se deduce que a† satisface la definicion dea], luego a ∈ R].

Ademas,(a∗)π = (aπ)∗ = (1− a†a)∗ = 1− a†a = aπ.

(ii) ⇒ (i): Tenemos

(a∗)π = (aπ)∗ = (1− a†a)∗ = 1− (a†a)∗ = 1− a†a = aπ.

Entonces (a†a)∗ = a†a. Similarmente se obtiene (aa†)∗ = aa†. De estas condicio-nes, junto con las que se tienen de a ∈ R], se deduce que a es EP .

(i) ⇔ (iii): Esta equivalencia resulta obvia. ¤

El siguiente teorema constituye el resultado principal de esta seccion. Dado unelemento a, que es EP , caracterizaremos los elementos EP de la forma b = a + e,con e ∈ R, tal que 1− (bπ − aπ)2 ∈ R−1.


Teorema 5.4.5. Sea R un anillo con involucion y s ∈ R tal que 1−s2 ∈ R−1. Si a esEP y aπ + s es idempotente, entonces las siguientes condiciones sobre b = a+ e ∈ R

son equivalentes:

(i) b es EP , bπ = aπ + s.

(ii) s∗ = s, e(a]a− s)− as = e = (a]a− s)e− sa, 1 + s + a + e− a]a ∈ R−1.

(iii) s∗ = s, e(a]a− s)− as = e = (a]a− s)e− sa, 1 + s + a]e ∈ R−1.

(iv) b ∈ RgD ∩R†, (1 + s + a†e)−1 ∈ R,

b† = bD = (1 + s + a†e)−1a†(1− s).

(v) b ∈ RgD ∩R†, b† = bD,

(1 + s)b† − a†(1− s) = −a†eb†.

Dem. Como a es EP , por las Proposiciones 5.4.4 y 5.4.1, se tiene

a ∈ R] y (a∗)π = (aπ)∗ = aπ.

Ahora, si b es EP y bπ = aπ + s, entonces de

(bπ)∗ = (aπ + s)∗ = (aπ)∗ + s∗ = aπ + s∗

se deduce que s∗ = s, puesto que (bπ)∗ = bπ. Luego, la condicion (i) es equivalente a

(i)′

b ∈ R], s = s∗ y bπ = aπ + s.

De aπ = 1− aa] y aaπ = 0 se sigue

e(a]a− s)− as− e = −e(aπa + s) + as = (a + e)(aπ + s) = 0

y(a]a− s)e− sa− e = −(aπa + s)e + sa = (aπ + s)(a + e) = 0,

luego las condiciones (ii) y (iii) son equivalentes a:

(ii)′

s∗ = s, (a + e)(aπ + s) = 0 = (aπ + s)(a + e), aπ + s + a + e ∈ R−1.

(iii)′

s∗ = s, (a + e)(aπ + s) = 0 = (aπ + s)(a + e), 1 + s + a]e ∈ R−1.


Finalmente, aplicando el Teorema 5.3.5 concluimos la equivalencia de las condi-ciones (i) – (v) del teorema. ¤

A continuacion, dado un s ∈ R, caracterizamos los elementos a ∈ R tales quelos espectros idempotentes de a y a∗ satisfacen (a∗)π = aπ + s.

Teorema 5.4.6. Sea R un anillo con involucion y s ∈ R tal que 1 − s2 ∈ R−1.Entonces las siguientes condiciones sobre a ∈ R son equivalentes:

(i) a∗ ∈ R], (a∗)π = aπ + s.

(ii) a∗ ∈ RgD, (a∗)Da∗ = aaD − s, (1 + s)a∗ = aDaa∗.

(iii) a∗(aDa−s) = a∗ = (aDa−s)a∗, 1+s+a∗−aDa ∈ R−1, s2+s = saaD +aaDs.

(iv) a∗(aDa−s) = a∗ = (aDa−s)a∗, 1+s+aD(a∗−a) ∈ R−1, s2+s = saaD+aaDs.

Dem. Veamos que las condiciones (ii) – (iv) son equivalentes a:

(ii′) (a∗)π = aπ + s, a∗(aπ + s) = 0.

(iii′) (aπ + s)2 = aπ + s, a∗(aπ + s) = 0 = (aπ + s)a∗, a∗ + aπ + s ∈ R−1.

(iv′) (aπ + s)2 = aπ + s, a∗(aπ + s) = 0 = (aπ + s)a∗, 1 + s + aD(a∗ − a) ∈ R−1.

(ii) ⇒ (ii′): Tenemos que

(a∗)π = (aπ)∗ = (1− aaD)∗ = 1− (a∗)Da∗ = 1− aaD + s = aπ + s.

Ahora, de (1 + s)a∗ − aDaa∗ = 0 se sigue (aπ + s)a∗ = 0, y del hecho que elespectro idempotente de a∗ es aπ + s se tiene que a∗ es Grupo invertible y ademasque a∗(aπ + s) = 0.

(ii′) ⇒ (ii) : De (a∗)π = aπ + s y a∗(aπ + s) = 0 se deduce que a∗ ∈ R], ya que(a∗)πa∗ = a∗(a∗)π = 0. Ahora,

(a∗)] a∗ = 1− (a∗)π = 1− aπ − s = aDa− s.

De a∗(aπ + s) = 0 se obtiene

(aπ + s)a∗ = aπa∗ + sa∗ = (1− aDa)a∗ + sa∗ = (1 + s)a∗ − aDaa∗ = 0.


(iii) ⇔ (iii′): Operando obtenemos

a∗(aDa− s) = a∗ = (aDa− s)a∗ ⇔ a∗(aDa− s− 1) = 0 = (aDa− s− 1)a∗

⇔ a∗(1− aDa + s) = 0 = (1− aDa + s)a∗

⇔ a∗(aπ + s) = 0 = (aπ + s)a∗,

y tambien

(aπ + s)2 = (aπ + s) ⇔ s2 + s = saaD + aaDs.

Demostrando la equivalencia.

Siguiendo un razonamiento analogo al dado anteriormente se demuestra la equi-valencia (iv) ⇔ (iv′).

Ahora, aplicando el Teorema 5.3.5, puntos (i) – (iii), a a∗ en lugar de b obtenemos(ii′) y (iv′).

La equivalencia entre (i) y (ii′) resulta obvia. ¤

En el corolario siguiente es una especializacion del teorema anterior para el casos = 0. En este caso, la condicion (i) se traduce en el hecho de que a es EP . Ası,obtenemos una caracterizacion de los elementos EP en anillos con involucion. Enparticular, para matrices se recoge [16, Teorema 5.2].

Corolario 5.4.7. Sea R un anillo con involucion. Entonces las siguientes condi-ciones sobre a ∈ R son equivalentes:

(i) a es EP .

(ii) a∗ ∈ RgD, (a∗)Da∗ = aaD, a∗ = aDaa∗.

(iii) a∗aDa = a∗ = aDaa∗, 1 + a∗ − aDa ∈ R−1.

(iv) a∗aDa = a∗ = aDaa∗, 1 + aD(a∗ − a) ∈ R−1.

5.5. Resultados de perturbacion en algebras de

Banach

En esta seccion se derivara un resultado de perturbacion en el marco de lasalgebras de Banach.


Denotaremos por B−1 al conjunto de todos los elementos invertibles de B.

Diversos trabajos acerca de la perturbacion de la inversa de Drazin han sidorealizados a fin de obtener una cota del error.

Si a, b ∈ B son g-Drazin invertibles, bajo las hipotesis b − a = aaD(b − a)aaD

y ‖aD‖ ‖b − a‖ < 1, en [79], V. Rakocevic e Y. Wei derivaron una cota superior de‖bD−aD‖/‖aD‖, en terminos de ‖b−a‖. En [12], N. Castro y J. J. Koliha suponiendoaπb = b, abaπ = 0 y b2 = b establecieron una cota superior de ‖(b+a)D−aD‖/‖aD‖.

En este apartado utilizaremos la equivalencia (i) ⇔ (v) del Teorema 5.3.5 en elcontexto de un algebra de Banach

b ∈ RgD, (1 + s)bD − aD(1− s) = aD(a− b)bD,

para obtener cotas superiores de ‖bD‖ y ‖bD − aD‖/‖aD‖.Teorema 5.5.1. Sean a, b ∈ BgD. Si ‖bπ − aπ‖+ ‖aD(b− a)‖ < 1, entonces

‖bD‖ ≤ ‖aD‖(1 + ‖bπ − aπ‖)1− ‖bπ − aπ‖ − ‖aD(b− a)‖ (5.19)

y‖bD − aD‖‖aD‖ ≤ ‖aD(b− a)‖+ 2‖bπ − aπ‖

1− ‖bπ − aπ‖ − ‖aD(b− a)‖ . (5.20)

Dem. Sea s = bπ − aπ. De ‖s‖ + ‖aD(b− a)‖ < 1 se deduce que ‖s‖ < 1, entonces1− s, 1 + s ∈ B−1. Ahora, por el Teorema 5.3.5 (i) ⇔ (v),

(1 + s)bD − aD(1− s) = aD(a− b)bD.

Aplicando normas a bD = aD − aDs− (s + aD(b− a))bD se sigue

‖bD‖ ≤ ‖aD‖+ ‖aD‖ ‖s‖+ (‖s‖+ ‖aD(b− a)‖)‖bD‖,

y de aquı, agrupando primero terminos en ‖bD‖ al lado izquierdo de la desigualdady despejando despues ‖bD‖, resulta (5.19).

DebD − aD = −(s + aD(b− a))(aD + (bD − aD))− aDs

se obtiene

‖bD − aD‖ ≤ (‖s‖+ ‖aD(b− a)‖)(‖aD‖+ ‖bD − aD‖) + ‖aD‖ ‖s‖.

Agrupando terminos tenemos la cota (5.20) . ¤


Podemos combinar esta estimacion con una cota superior de ‖bπ − aπ‖ y ası ob-tener una cota explıcita del error de la perturbacion de la g-Drazin inversa. En lasSecciones 3.5 y 3.4 obtuvimos cotas superiores de ‖Bπ − Aπ‖ en el ambito de lasmatrices. Recordemos que una estimacion para esta cota fue obtenida en terminosdel gap entre subespacios en [50, Section 4] para matrices y en [17, Section 6] paraoperadores lineales y acotados sobre un espacio de Banach.

Este resultado de acotacion generaliza el obtenido para matrices en la Seccion3.4, Teorema 3.4.6.

Capıtulo 6

Perturbacion de una clase deoperadores Grupo invertibles yacotados en espacios de Banach

6.1. Introduccion

En este capıtulo consideraremos el algebra de Banach formada por todos losoperadores lineales y acotados sobre un espacio de Banach complejo, que denotare-mos por B(X ). Tal algebra esta dotada de la norma usual para operadores acotadosdefinida como

‖B‖ = sup‖Bx‖ : ‖x‖ = 1, x ∈ X,la cual es una norma multiplicativa. Las nociones de elemento Grupo invertible,Drazin invertible y g-Drazin invertible introducidas en el contexto de un algebra deBanach en el Capıtulo 5 pueden ser llevadas al ambito de los operadores acotados.

Introduciremos la clase de operadores B ∈ B(X ) Grupo invertibles que inducenlas siguientes descomposiciones del espacio:

X = R(Ak)⊕N (B) y X = R(B)⊕N (Ak), (6.1)

donde A ∈ B(X ) es Drazin invertible con ind(A) = k, la cual generaliza la clase dematrices (C1) estudiada en el Capıtulo 3. Se generalizaran resultados de caracteri-zacion y de perturbacion obtenidos en el Capıtulo 3 para matrices, a los operadoresGrupo invertibles que verifican (6.1).

145

146 Perturbacion de una clase de operadores Grupo invertibles en espacios de Banach

Si asumimos que X es un espacio de Hilbert de dimension finita, entonces lascondiciones (6.1) son equivalentes a

R(Ak) ∩N (B) = 0 y R(B) ∩N (Ak) = 0.En terminos de los proyectores espectrales en el 0, esta clase de operadores puede

ser descrita por la condicion I − Bπ − Aπ es invertible en B(X ). Bajo un supuestoequivalente la perturbacion de la inversa de Drazin fue investigada para matrices en[19, 18] y, para elementos en un algebra de Banach en [21], con un enfoque diferentedel dado en este capıtulo. El caso particular Bπ = Aπ fue considerado en [16] paramatrices, en [17] para operadores cerrados y, en [51] para elementos de un anillo.A relacionado documento es [28], el cual contiene caracterizaciones de operadoresacotados con iguales proyecciones relacionadas con su externa o interna inversasgeneralizadas.

Por otra parte, tambien se formularan resultados de perturbacion, derivados enel Capıtulo 5 para elementos de algebras de Banach, para los operadores B ∈ B(X )g-Drazin invertibles tales que

X = K(A)⊕H0(B), X = K(B)⊕H0(A). (6.2)

Un caso especial lo constituyen los operadores acotados g-Drazin invertibles conproyecciones espectrales esenciales distintas.

En la Seccion 6.2 se daran algunas definiciones de la teorıa espectral de ope-radores. Se vera que los operadores g-Drazin invertibles son aquellos tales que el0 no es un punto de acumulacion del espectro, y los operadores acotados Drazininvertibles son aquellos que tienen ascendente y descendente ambos finitos. Usandoel calculo operacional, daremos expresiones de los operadores g-Drazin inverso, dela proyeccion espectral asociada al autovalor 0 y del operador resolvente.

Tal y como se vio en el Capıtulo 3, una caracterıstica de las matrices de la cla-se (C1) es que pueden ser expresadas, respecto a una descomposicion del espacio,mediante una determinada estructura matricial, la cual fue utilizada como herra-mienta basica para el desarrollo de la teorıa de perturbacion. Nuestro primer objetivosera estudiar la correspondiente representacion matricial para operadores. Ası, enla Seccion 6.3 introduciremos la clase de operadores B ∈ B(X ) cuya representacionmatricial, relativa a la descomposicion en suma directa topologica X = X1⊕X2, conX1,X2 espacios de Banach, es

T =

(T11 T12

T21 T21T−11 T12

), T11 es invertible en B(X1). (6.3)

Obtendremos una representacion matricial del operador resolvente, R(λ; T ), paraesta clase de operadores y una condicion necesaria y suficiente para que sean Grupoinvertibles, dando, en este caso, una expresion matricial del Grupo inverso.

Perturbacion de una clase de operadores Grupo invertibles en espacios de Banach 147

En la Seccion 6.4 consideraremos la clase de operadores que poseen un (1, 2)-inverso acotado, que llamaremos inverso generalizado algebraico o AG-inverso de T .Observamos que la clase de los operadores AG-invertibles incluye a la de los ope-radores Grupo invertibles. Diversas caracterizaciones de los operadores AG-inversosseran dadas.

Tambien caracterizaremos los operadores acotados Grupo invertibles B que cum-plen (6.1).

En la Seccion 6.5 se derivaran diversos resultados de perturbacion para la clase deoperadores Grupo invertibles tratados en la seccion anterior. Tambien se obtendra unresultado sobre la continuidad del Grupo inverso para operadores acotados sobre unespacio de Banach.

En la Seccion 6.6 daremos un resultado sobre los operadores g-Drazin invertiblesB ∈ B(X ) que verifican las condiciones dadas en (6.2).

Tambien obtendremos una estimacion para ‖Bπ − Aπ‖, en el caso en el que Xsea una espacio de Hilbert, que denotaremos por H.

Finalmente, en la Seccion 6.7, dado un operador A ∈ B(X ) g-Drazin invertible,caracterizaremos los operadores B ∈ B(X ) g-Drazin invertibles con proyectores es-pectrales esenciales relacionados. En particular, si A y B tienen el mismo proyectorespectral esencial se tiene [76].

En [14], N. Castro, J. J. Koliha y V. Rakocevic obtuvieron una cota superior delerror ‖BD−AD‖ en terminos del gap(A,B) y ‖Bπ−Aπ‖, donde A y B son operadorescerrados g-Drazin invertibles sobre un espacio de Banach. Cuando A, B ∈ B(H), enese mismo documento, dedujeron otra cota superior de ‖BD−AD‖, en terminos delgap entre las imagenes y nucleos de estos operadores y, ‖B − A‖.

Bajo las condiciones A, B ∈ C(X ) g-Drazin invertibles, con el mismo dominio yBπ = Aπ, en [17], N. Castro, J. J. Koliha e Y. Wei obtuvieron una estimacion de‖BD − AD‖/‖AD‖, en terminos de ‖B − A‖.

Parte de los resultados de este capıtulo se recogen en el artıculo On the pertur-bation of the Group generalized inverse for a class of bounded operatorsin Banach spaces, [22].

6.2. Definiciones y resultados basicos

A continuacion daremos algunas definiciones en el marco de la teorıa espectralde operadores.


Dado un operador A ∈ B(X ), definimos el espectro de A, σ(A), como

σ(A) = λ ∈ C : A− λI no es invertible.

El conjunto resolvente de A, ρ(A), es el complemento de σ(A) en C, i.e.,

ρ(A) = λ ∈ C : (A− λI)−1 existe.

Designamos por iso σ(A) y acc σ(A) el conjunto de los puntos aislados y lospuntos de acumulacion de σ(A), respectivamente.

El operador R(λ; A) = (A− λI)−1 ∈ B(X ), definido para λ ∈ ρ(A), es llamadoresolvente de A.

El radio espectral de A, r(A), es definido como

r(A) = sup|λ| : λ ∈ σ(A).

Es sabido que r(A) = lımn→∞

‖An‖1/n. Los operadores cuasinilpotentes en B(X ) se

caracterizan del siguiente modo:

A es cuasinilpotente ⇔ r(A) = 0 ⇔ σ(A) = 0.

Atendiendo a la definicion de la g-Drazin inversa de un elemento en un algebrade Banach, decimos que un operador A ∈ B(X ) es g-Drazin invertible si existe unoperador X ∈ B(X ) tal que

XAX = X, AX = XA, σ(A(I − AX)) = 0. (6.4)

En [33, Teorema 10.1.1] se demuestra que si tal operador X existe, entonces esunico. El operador X es llamado el inverso de g-Drazin de A y denotado por AD.Si en (6.4) el operador A(I −AX) es nilpotente, entonces decimos que A es Drazininvertible y el operador X es el inverso de Drazin de A. El ındice de Drazin, ind(A),de A es igual al ındice de nilpotencia de A(I − AX). En particular, si ind(A) = 1,entonces el operador inverso de Drazin de A es denotado por A] y llamado el Grupoinverso de A.

Representaremos por B(X )D al conjunto de todos los operadores Drazin inverti-bles en B(X ).

Sea A ∈ B(X ). El ascendente de A, denotado por asc(A), es el entero no negativomas pequeno n tal que N (An) = N (An+1), o ∞, si tal entero no existe. Del mismomodo, el descendente de A, denotado por des(A), es el entero no negativo maspequeno n tal que R(An) = R(An+1), o ∞, si este entero no existe.

En [44] se prueba que un operador lineal y acotado A es Drazin invertible si y solosi el ascendente de A y el descendente son ambos finitos. En este caso, k = ind(A) =


asc(A) = desc(A). Ademas, los subespaciosR(Ak) yN (Ak) son cerrados y el espacioX admite una descomposicion en suma directa topologica X = R(Ak)⊕N (Ak).

Mencionamos a continuacion algunas clases de operadores Drazin invertibles yGrupo invertibles, [84]:

(I) Si A ∈ B(X ) tal que el operador resolvente de A es racional y 0 ∈ σ(A),entonces A es Drazin invertible.

(II) Si A ∈ B(X ) es hermıtico, i.e, ‖ exp(itA)‖ = 1 para todo t ∈ R, y 0 ∈ iso σ(A),entonces A es Grupo invertible.

(III) Si A ∈ B(X ) es paranormal, i.e, ‖Ax‖2 ≤ ‖A2x‖ ‖x‖ para todo x ∈ X , y0 ∈ iso σ(A), entonces A es Grupo invertible.

(IV) Si A ∈ B(H) es hiponormal, i.e, ‖A∗x‖2 ≤ ‖Ax‖ ‖x‖ para todo x ∈ H, y0 ∈ iso σ(A), entonces A es Grupo invertible.

Usando el calculo operacional, en [57], se demostro que un operador A es g-Drazininvertible si y solo si 0 /∈ acc σ(A).

En el ambito de la teorıa de operadores, si 0 /∈ acc σ(A), entonces el operadorproyeccion espectral de A asociado al 0, que designaremos por Aπ, se correspondecon la nocion de espectro idempotente de un elemento en un anillo introducida enla Seccion 5.2.1.

En [14], se dio la siguiente representacion de la g-Drazin inversa de un operadorA tal que 0 /∈ acc σ(A):

AD = f(A), f(λ) =

0 en Ω0,λ−1 en Ω,

(6.5)

siendo Ω0 y Ω dos entornos abiertos y disjuntos de λ = 0 y σ(A) \ 0, respectiva-mente.

Utilizando la terminologıa anterior, el operador proyeccion espectral asociado al0, Aπ, viene dado por

Aπ = f(A), f(λ) =

1 en Ω0,0 en Ω,

(6.6)

esto es,

Aπ =1

2πi

∫

γ

R(λ; A)dλ,


donde γ es una circunferencia centrada en el 0, positivamente orientada, y tal queno contiene en su interior otras singularidades de R(λ; A).

De (6.5) y (6.6) se deduce facilmente la relacion

AD = (A + Aπ)−1(I − Aπ) = (I − Aπ)(A + Aπ)−1.

Si A es g-Drazin invertible, entonces el operador resolvente tiene un desarrolloen serie de Laurent dado por:

R(λ; A) =∞∑

n=1

An−1Aπ

λn−

∞∑n=0

λn(AD)n+1,

en la region 0 < |λ| < (r(AD))−1, [8].Se observa que Aπ es el coeficiente de λ−1 y AD es el termino independiente en

el desarrollo de la resolvente.

En [41, Proposicion 50.2], se demuestra que un operador A es Drazin invertiblesi y solo si el 0 es un polo de orden k = ind(A) de la resolvente R(λ; A). En estecaso el desarrollo de Laurent adopta la forma:

R(λ; A) =k∑

n=1

An−1Aπ

λn−

∞∑n=0

λn(AD)n+1.

De [89, Teorema V.9.2] se deduce la siguiente caracterizacion de los operadoresg-Drazin invertibles.

Proposicion 6.2.1. Un operador A ∈ B(X ) es g-Drazin invertible si y solo si existeuna descomposicion del espacio X = X1 ⊕X2 relativa a la cual el operador A puedeescribirse de la forma

A = A1 ⊕ A2, A1 es invertible, A2 es cuasinilpotente. (6.7)

Respecto a esta descomposicion se tiene que el ind(A) es el entero positivo maspequeno k para el cual Ak

2 = 0, o ∞ si tal entero no existe.Si A2 es nilpotente, entonces decimos que el operador A es Drazin invertible.

Los operadores g-Drazin invertibles incluyen a los operadores invertibles y cua-sinilpotentes cuando X2 = 0 y X1 = 0, respectivamente.

Si A = A1 ⊕ A2 con A1 y A2 como en (6.7), entonces los operadores AD y Aπ

vienen dados porAD = A−1

1 ⊕O y Aπ = O⊕ I,


respectivamente.

En [64], M. Mbekhta probo que los espacios X1 y X2 en la suma directa X =X1 ⊕ X2, que nos lleva a la representacion (6.7), son X1 = K(A) y X2 = H0(A),donde

H0(A) =x ∈ X : lım supn→∞

‖Anx‖1/n = 0,K(A) =x ∈ X : ∃xn ∈ X tal queAx1 = x, Axn+1 = xn para n = 1, 2, . . .

y lım supn→∞

‖xn‖1/n < ∞.(6.8)

Estos subespacios son invariantes bajo A, y

N (An) ⊆ H0(A), K(A) ⊆ R(An), n = 1, 2, . . . .

Se hace notar que si asc(A) = desc(A) = k, entonces

K(A) = R(Ak) y H0(A) = N (Ak).

En [64], se demostro que un operador A ∈ B(X ) es g-Drazin invertible si y solosi X puede descomponerse en la suma directa

X = K(A)⊕H0(A),

con al menos uno de los subespacios cerrado. La proyeccion espectral asociada al 0de un operador g-Drazin invertible A es el operador acotado Aπ tal que

R(Aπ) = H0(A) y N (Aπ) = K(A).

Finalizaremos esta seccion recordando algunas propiedades de la teorıa de lainversa de Drazin las cuales seran usadas en este capıtulo.

Propiedades 6.2.2. Sea A ∈ B(X ). Entonces:

(a) R(AD) = R(AAD).

(b) N (AD) = N (AAD).

(c) Aπ = I − AAD. Ası, N (Aπ) = R(AD) y N (AD) = R(Aπ).

(d) Si 0 es un polo de orden k de R(λ; A), entonces N (Aπ) = R(Ak) y R(Aπ) =N (Ak).

(e) Si 0 es un polo simple de R(λ; A), entonces AAπ = O.


6.3. El Grupo inverso de una clase de operadores

En esta seccion trataremos con operadores lineales y acotados definidos sobreel espacio X = X1 ⊕ X2, con X1,X2 espacios de Banach, que tienen una expresion

matricial de la forma T =

(T11 T12

T21 T22

), donde los coeficientes Tij, i, j = 1, 2 son

operadores lineales que actuan del modo siguiente:

Tij : Xj −→ Xi.

Renombramos Tij = Ti, si i = j. Asumimos que todos los coeficientes de T sonoperadores lineales y acotados entre los correspondientes espacios.

En el siguiente resultado damos una expresion matricial de la resolvente para losoperadores objeto de estudio.

Teorema 6.3.1. Sea T ∈ B(X ) definido por T =

(T1 T12

T21 T2

), respecto la descom-

posicion X = X1 ⊕ X2, donde T1 es invertible en B(X1) y T2 = T21T−11 T12 y, sea

Ψ = I + T−11 T12T21T

−11 . Entonces ρ(T1) ∩ ρ(T ) = ρ(T1) ∩ ρ(ΨT1) \ 0 y, para todo

λ en este conjunto, tenemos

R(λ; T ) =

(λ−1(I + T1R(λ; ΨT1)) λ−1T1R(λ; ΨT1)T

−11 T12

λ−1T21R(λ; ΨT1) λ−1(I + T21R(λ; ΨT1)T−11 T12

). (6.9)

Dem. Para cualquier λ ∈ ρ(T1), sea S(λ) = λ − T2 − T21R(λ; T1)T12. Denotamospor ρ(S) = λ ∈ C : S(λ)−1 ∈ B(X ). Por [30, Proposicion H], tenemos queρ(T1) ∩ ρ(T ) = ρ(S) y, para todo λ ∈ ρ(S),

R(λ; T ) =

(R(λ; T1)

(I + T12S(λ)−1T21R(λ; T1)

)R(λ; T1)T12S(λ)−1

S(λ)−1T21R(λ; T1) S(λ)−1

). (6.10)

Usando la hipotesis T2 = T21T−11 T12, podemos escribir S(λ) de la forma

S(λ) = λ− T21T−11 T12 − T21R(λ; T1)T12 = λ− T21R(λ; T1)

((λI − T1)T

−11 + I

)T12

= λ(I − T21R(λ; T1)T

−11 T12

).

Probemos que ρ(S) = ρ(T1) ∩ ρ(ΨT1) \ 0 y, para todo λ en este conjunto,

S(λ)−1 = λ−1(I + T21R(λ; ΨT1)T

−11 T12

). (6.11)

De la igualdad siguiente(

T1 T12

T21 T2

)=

(I −T−1

1 T12

O I

)(T1 + T−1

1 T12T21 OT21 O

)(I T−1

1 T12

O I

)


obtenemos que σ(T ) = σ(ΨT1)∪0, o lo que es lo mismo ρ(T ) = ρ(ΨT1)\0. Porconsiguiente, ρ(S) = ρ(T1) ∩ ρ(T ) = ρ(T1) ∩ ρ(ΨT1) \ 0. Ahora, para λ en dichoconjunto, definimos Z(λ) = λ−1

(I + T21R(λ; ΨT1)T

−11 T12

). Observamos que,

R(λ; ΨT1)−R(λ; T1) = R(λ; T1)(λ− T1 − (λ− T1 − T−1

1 T12T21))R(λ; ΨT1)

= R(λ; T1)T−11 T12T21R(λ; ΨT1).

Luego,

S(λ)Z(λ) =λ(I − T21R(λ; T1)T

−11 T12

)λ−1

(I + T21R(λ; ΨT1)T

−11 T12

)

=I + T21

(R(λ; ΨT1)−R(λ; T1)−R(λ; T1)T

−11 T12T21R(λ; ΨT1)

)T−1

1 T12

=I.

De forma similar, usando que

R(λ; ΨT1)−R(λ; T1) = R(λ; ΨT1)T−11 T12T21R(λ; T1),

vemos que Z(λ)S(λ) = I. Por lo tanto, Z(λ) = S(λ)−1.Calculamos ahora las demas componentes de (6.10).

S(λ)−1T21R(λ; T1) = λ−1(I + T21R(λ; ΨT1)T

−11 T12

)T21R(λ; T1)

= λ−1T21

(R(λ; ΨT1)T

−11 T12T21R(λ; T1) + R(λ; T1)

)

= λ−1T21R(λ; ΨT1),

R(λ; T1)T12S(λ)−1 = R(λ; T1)T12λ−1

(I + T21R(λ; ΨT1)T

−11 T12

)

= λ−1R(λ; T1Ψ)T12

= λ−1T1R(λ; ΨT1)T−11 T12,

R(λ; T1)(I + T12S(λ)−1T21R(λ; T1)

)= R(λ; T1) + λ−1T1R(λ; T1)T

−11 T12T21R(λ; ΨT1)

= λ−1T1R(λ; ΨT1) + (I − λ−1T1)R(λ; T1)

= λ−1(I + T1R(λ; ΨT1)).

Finalmente, substituyendo (6.11) y las igualdades anteriores en (6.10) obtenemos(6.9). ¤

Consideramos ahora el Grupo inverso de un operador con una representacionmatricial como en el Teorema 6.3.1. El siguiente resultado es una generalizacion de[4, Teorema 7.7.7], el cual fue establecido para matrices por bloques.

Teorema 6.3.2. Sea T ∈ B(X ) definido por T =

(T1 T12

T21 T2

), respecto la descom-

posicion X = X1 ⊕ X2, donde T1 es invertible en B(X1) y T2 = T21T−11 T12, y sea


Ψ = I + T−11 T12T21T

−11 . Entonces T es Grupo invertible si y solo si Ψ es invertible.

En este caso,

T ] =

((ΨT1Ψ)−1 (ΨT1Ψ)−1T−1

1 T12

T21T−11 (ΨT1Ψ)−1 T21T

−11 (ΨT1Ψ)−1T−1

1 T12

)(6.12)

y

T π =

(I −Ψ−1 −Ψ−1T−1

1 T12

−T21T−11 Ψ−1 I − T21T

−11 Ψ−1T−1

1 T12

). (6.13)

Dem. Por el Teorema 6.3.1, para todo λ ∈ ρ(T1) ∩ ρ(T ) = ρ(T1) ∩ ρ(ΨT1) \ 0, eloperador resolvente R(λ; T ) tiene una forma matricial dada por

R(λ; T ) =

(λ−1(I + T1R(λ; ΨT1)) λ−1T1R(λ; ΨT1)T

−11 T12

λ−1T21R(λ; ΨT1) λ−1(I + T21R(λ; ΨT1)T−11 T12

). (6.14)

Supongamos que T es Grupo invertible. Entonces R(λ; T ) tiene el desarrollo en

serie de Laurent en la region 0 < |λ| < (r(TD)

)−1:

R(λ; T ) =1

λ(I − TTD)−

∞∑n=0

λn(TD)n+1. (6.15)

Por otra parte, dado que 0 ∈ iso σ(T ) y T1 es invertible, entonces existe undisco perforado Dr0 = λ ∈ C : 0 < |λ| < r0 tal que Dr0 ⊂ ρ(T ) ∩ ρ(T1) =ρ(T1) ∩ ρ(ΨT1) \ 0. Luego, 0 ∈ ρ(ΨT1) o 0 ∈ iso σ(ΨT1). Por lo tanto,

R(λ; ΨT1) =∞∑

n=−∞λnXn,

para λ ∈ Dr0 y los Xn son definidos como es usual en el desarrollo en serie deLaurent. Usando la expansion (6.15) en el lado izquierdo de (6.14) y la expresiondada arriba en el lado derecho de la misma identidad deducimos que X−n = 0, paratodo n ≥ 1, y, ası, ΨT1 es invertible.

Recıprocamente, supongamos que ΨT1 es invertible. Entonces tenemos el sigui-ente desarrollo

R(λ; ΨT1) = −∞∑

n=0

λn((ΨT1)

−1)n+1

,

en la region |λ| < r(ΨT1). Usando este desarrollo junto con (6.14) vemos que el 0es un polo simple de R(λ; T ) y, tomando los coeficientes de λ0 y λ−1, deducimos larepresentacion de T ] y T π, dadas en (6.12) y (6.13), respectivamente. ¤


6.4. Caracterizaciones de perturbaciones Grupo

invertibles

El principal proposito de esta seccion sera extender a operadores el analisis dela perturbacion de la inversa de Drazin realizado en el Capıtulo 3 para las matricescuadradas A,B tales que B es grupo invertible y verifican las condiciones

R(Ak) ∩N (B) = 0, R(B) ∩N (Ak) = 0,donde k = ind(A).

Para ello introduciremos la clase de operadores B ∈ B(X ) Grupo invertibles queverifican las condiciones

X = R(Ak)⊕N (B) y X = R(B)⊕N (Ak), (6.16)

donde A ∈ B(X ) es Drazin invertible con ind(A) = k.

Se hace notar que si X es un espacio de Hilbert de dimension finita, entonces lascondiciones en (6.16) son equivalentes a las anteriormente formuladas para matrices.

Se establecera una conexion entre el hecho de que B verifique las condiciones(6.16) y el hecho de que B posea cierto inverso generalizado algebraico en B(X ).

Finalizaremos esta introduccion dando algunas conceptos basicos sobre los in-versos generalizados algebraicos los cuales seran usados en esta seccion, (ver [71]).

Sea B ∈ B(X ). Un operador X ∈ B(X ) es llamado un inverso interior de B siBXB = B y un inverso exterior si XBX = X, con X 6= O. Si X es de dimensionfinita, entonces el inverso exterior siempre existe. Si B posee un inverso interioracotado, entonces se dice que B es regular.

Si X es una inverso interior y exterior de B, el operador X es llamado un inversogeneralizado algebraico o AG-inverso.

Observamos que un AG-inverso de B verifica las condiciones (i) y (ii) de Penrose,por lo tanto el operador X es un (1, 2)-inverso generalizado de B, segun la termi-nologıa de las (i, j, k)-inversas introducida en el Capıtulo 1. Notemos que el Grupoinverso de B tambien es un (1, 2)-inverso de B.

Es sabido que B ∈ B(X ) tiene un AG-inverso X ∈ B(X ) si y solo si N (B) yR(B) son cerrados y tienen complementos topologicos en X .

Si B es un operador regular, entonces B posee un inverso exterior acotado, elrecıproco no es cierto. Por lo tanto, la clase de los operadores regulares es la mismade la de los operadores AG-invertibles.


Para cualquier operador B ∈ B(X ) con un AG-inverso acotado X, tenemos lassiguientes propiedades:

(i) BX y XB son proyectores acotados tales que

R(BX) = R(B), R(XB) = R(X), N (BX) = N (X), N (XB) = N (B).

(ii) X = R(X)⊕N (B), X = R(B)⊕N (X).

En el siguiente teorema, dado un operador A ∈ B(X ) Drazin invertible y bajo lahipotesis I + AD(B −A) es invertible, caracterizamos un AG-inverso de B ∈ B(X ).

Teorema 6.4.1. Sea A ∈ B(X ) Drazin invertible con ind(A) = k. Las siguientesafirmaciones sobre B ∈ B(X ) y I + AD(B − A) es invertible son equivalentes:

(i) Z = (I + AD(B −A))−1AD = AD(I + (B −A)AD)−1 es un AG-inverso de B.

(ii) B(I + AD(B − A))−1Aπ = Aπ(I + (B − A)AD)−1B = O.

(iii) R(B) ∩N (Ak) = 0.(iv) X = N (B) +R(Ak).

(v) R(BAD) = R(B).

(vi) N (ADB) = N (B).

(vii) Aπ(N (B)) = N (Ak).

Dem. (i) ⇔ (ii): Observamos que Aπ(Aπ + ADB)−1 = Aπ y, ası,

ZBZ = (Aπ + ADB)−1(ADB + Aπ − Aπ)(Aπ + ADB)−1AD = Z.

Ademas,

BZB = B −B(I + AD(B − A))−1Aπ = B − Aπ(I + (B − A)AD)−1B.

Entonces,

BZB = B ⇔ Aπ(I + (B − A)AD)−1B = B −B(I + AD(B − A))−1Aπ = O.

Por lo que la equivalencia entre (i) y (ii) queda establecida.


(ii) ⇒ (iii),(v): Tenemos que BZ es una proyeccion, entonces R(BZ) = R(B) yN (BZ) = N (Z). Ademas,

X = N (BZ)⊕R(BZ) = N (Z)⊕R(B).

Claramente, N (Z) = N (AD) = N (Ak) y, ası, R(B)∩N (Ak) = 0. Usando queR(BZ) = R(BAD) tambien concluimos que R(BAD) = R(B).

(ii) ⇒ (iv),(vi),(vii): De ZB es una proyeccion se sigue que R(ZB) = R(Z) =R(Ak), N (ADB) = N (ZB) = N (B) y

X = N (ZB)⊕R(ZB) = N (B)⊕R(Ak).

Lo anterior prueba (iv) y (vi). Ahora, sea x ∈ N (Ak) = N (AD). Escribimosx = ADy + z, respecto a la suma X = N (B) ⊕ R(Ak). Entonces x = Aπx = Aπz,con z ∈ N (B). Esto prueba (vii).

(iii) ⇒ (ii): Tenemos

ADB(I + AD(B −A))−1 = (ADB + Aπ −Aπ)(I + AD(B −A))−1 = I −Aπ. (6.17)

Por lo tanto, para todo x ∈ X , se cumple que

B(I + AD(B − A))−1Aπx ∈ R(B) ∩N (AD) = 0.Luego, B(I + AD(B − A))−1Aπx = 0, para todo x ∈ X . Esto prueba (ii).

(iv),(v) ⇒ (ii): Asumimos (iv) y sea x ∈ X . Escribimos x = ADy + z, respecto a lasuma X = N (B) +R(Ak). Entonces,

Aπ(I + (B − A)AD)−1Bx = Aπ(I + (B − A)AD)−1BADy = 0.

Si (v) se tiene, entonces para un arbitrario x ∈ X , tenemos Bx = BADy, paraalgun y ∈ X . Por lo tanto,

Aπ(I + (B − A)AD)−1Bx = Aπ(I + (B − A)AD)−1BADy = 0.

Esto prueba (ii).

(vi),(vii) ⇒ (ii): Asumimos (vi). De (6.17) se sigue ADB(I +AD(B−A))−1Aπx = 0,para todo x ∈ X . Entonces (I + AD(B − A))−1Aπx ∈ N (ADB) = N (B). Ası,B(I + AD(B − A))−1Aπ = O.

Si tenemos (g), entonces, para todo x ∈ X , tenemos Aπx = Aπu, con u ∈ N (B).Luego,

B(I + AD(B − A))−1Aπx = B(I + AD(B − A))−1Aπu = 0.

Ası vemos esta implicacion y se concluye la demostracion el teorema. ¤


Del [54, Teorema 5.2], equivalencia (i) ⇔ (ii), extraemos el siguiente lema.

Lema 6.4.2. Sean F, G ∈ B(X ) dos proyectores oblicuos. Entonces,

F −G es invertible ⇔ X = R(F )⊕R(G) y X = N (F )⊕N (G).

Lema 6.4.3. Sean S, T ∈ B(X ). Entonces I + ST es invertible en B(X ) si y solo siI + TS es invertible en B(X ).

Dem. La demostracion de este resultado se puede ver en [103, Teorema 2.8]. ¤

En el siguiente teorema, el cual constituye el principal resultado de esta seccion,caracterizamos la clase de operadores Grupo invertibles que satisfacen las condicio-nes (6.16).

Teorema 6.4.4. Sea A ∈ B(X ) Drazin invertible con ind(A) = k. Las siguientescondiciones sobre el operador B ∈ B(X ) tal que B es Grupo invertible son equiva-lentes:

(i) I + AD(B − A) es invertible, R(B) ∩N (Ak) = 0.

(ii) Respecto a la descomposicion del espacio X = R(Ak) ⊕ N (Ak), B tiene unarepresentacion matricial de la forma

B =

(B1 B12

B21 B21B−11 B12

), B1, I+B−1

1 B12B21B−11 son invertibles en B(R(Ak)).

(6.18)

(iii) I − Aπ −Bπ es invertible en B(X ).

(iv) X = R(Ak)⊕N (B), X = R(B)⊕N (Ak).

(v) Bπ + ADB es invertible, N (B) ∩R(Ak) = 0.

(vi) R(AD) = R(ADBAD), N (ADB) = N (B), N (B) ∩R(AD) = 0.

Dem. (i) ⇒ (ii): Sean A =

(A1 OO A2

)y B =

(B1 B12

B21 B2

)las formas matriciales

de A y B, relativas a la descomposicion X = R(Ak) ⊕ N (Ak), respectivamente.Entonces,

I + AD(B − A) =

(A−1

1 B1 A−11 B12

O I

).


De la condicion I+AD(B−A) es invertible en B(X ), se sigue que B1 es invertibleen B(R(Ak)). Ademas,

(I + AD(B − A))−1 =

(B−1

1 A1 −B−11 B12

O I

).

Calculamos

B(I +AD(B−A))−1Aπ =

(B1 B12

B21 B2

)(O −B−1

1 B12

O I

)=

(O OO B2 −B21B

−11 B12

).

Entonces, B2 = B21B−11 B12, ya que por el Teorema 6.4.4, equivalencia de (ii) y

(iii), se verifica B(I + AD(B − A))−1Aπ = O. Del caculo

Aπ + ADB2AD =

(A−1

1 (B21 + B12B21)A

−11 O

O I

),

se sigue que B21 + B12B21, o equivalentemente, I + B−1

1 B12B21B−11 es invertible en

B(R(Ak)) si y solo si Aπ + ADB2AD es invertible en B(X ).Mostraremos que el operador Aπ + ADB2AD es invertible en B(X ). Primero,

observamos el siguiente hecho. Por el Teorema 6.4.1, equivalencia de (iii), (v) y(vi), tambien tenemos N (ADB) = N (B) y R(BAD) = R(B). Por otra parte,dado que B es Grupo invertible se cumple que R(B) = R(B2), N (B) = N (B2) yX = R(B)⊕N (B).

Para probar que Aπ +ADB2AD es inyectiva, sea (Aπ +ADB2AD)x = 0. EntoncesAπx = 0 y ADB2ADx = 0. De esta ultima igualdad se sigue que BADx ∈ N (ADB) =N (B) y, de R(B) ∩N (B) = 0, que BADx = 0. Luego,

ADx ∈ R(Ak) ∩N (B).

De la condicion Aπ + ADB es invertible obtenemos que N (ADB) ∩ N (Aπ) =N (B) ∩R(Ak) = 0 y, ası, ADx = 0, concluyendo que x = Aπx + AADx = 0.

Queda probar que Aπ+ADB2AD es sobreyectiva. Consideremos x ∈ X arbitrario,entonces hay un u ∈ X para el cual x = (Aπ + ADB)u, lo cual implica que AADx =ADBu. De R(B) = R(B2) = R(BAD) se sigue que existen v, w ∈ X tal queBu = B2v = B2ADw. Por lo tanto, AADx = ADB2ADw, y

x = Aπx + AADx = (Aπ + ADB2AD)(AADw + Aπx).

Esto prueba que Aπ + ADB2AD es sobreyectiva.

(ii) ⇒ (iii): Llamamos Ψ = I + B−11 B12B21B

−11 . Primero, del Teorema 6.3.2 de-

ducimos que B es Grupo invertible ya que Ψ es invertible en B(R(Ak)). Ademas,aplicando la formula (6.13), obtenemos que

I − Aπ −Bπ =

(Ψ−1 Ψ−1B−1

1 B12

B21B−11 Ψ−1 −I + B21B

−11 Ψ−1B−1

1 B12

). (6.19)


Finalmente, de la identidad

(I − Aπ −Bπ)(I + AD(B − A))−1 =

(Ψ−1B−1

1 A1 OB21B

−11 Ψ−1B−1

1 A1 −I

),

concluimos que I − Aπ −Bπ es invertible.

(iii) ⇔ (iv): Bajo la hipotesis que B es Grupo invertible, existe el proyector espectralBπ con R(Bπ) = N (B) y N (Bπ) = R(B). Puesto que I − Aπ es el proyectoroblicuo con R(I − Aπ) = R(Ak) y N (I − Aπ) = N (Ak), aplicando el Lema 6.4.2con F = I − Aπ y G = Bπ se deriva esta equivalencia.

(iv) ⇒ (v): Primero, notamos que el operador I + BπADB es invertible en B(X ).Ahora, de la identidad

Bπ + ADB = (Bπ + B]BADB)(I + BπADB) (6.20)

se sigue que Bπ + ADB es invertible si y solo si Bπ + B]BADB es invertible. Paraprobar que Bπ + B]BADB es inyectiva, supongamos que (Bπ + B]BADB)x = 0.Entonces Bπx = −B]BADBx y, de aquı, deducimos que Bπx = 0 y BADBx = 0.De la ultima relacion se sigue que ADBx ∈ N (B) ∩ R(Ak) y, ası, ADBx = 0. Perotambien tenemos Bx ∈ R(B) ∩ N (AD) y por lo tanto Bx = 0. Esto, junto conBπx = 0 nos da que x = Bπx + B]Bx = 0.

Para ver que Bπ + B]BADB es sobre, tomemos x ∈ X arbitrario. De X =N (B)⊕R(Ak) tenemos x = z+ADy, con z ∈ N (B) e y ∈ X . Ası, B]Bx = B]BADy.Ademas, de X = R(B) ⊕ N (Ak), podemos escribir y = Bu + v, con u ∈ X yv ∈ N (Ak). Por lo tanto, B]Bx = B]BADy = B]BADBu y

x = BB]x + Bπx = (Bπ + B]BADB)(B]Bu + Bπx),

finalizando la implicacion.

(v) ⇒ (vi): De R(AD) = R(Ak) es claro que se tiene N (B) ∩ R(AD) = 0. Paraprobar la inclusion N (ADB) ⊆ N (B), supongamos que x ∈ N (ADB). Entonces(Bπ + ADB)BB] = ADBx = 0. De aquı se sigue que BB]x = 0 y, ası, x ∈ N (B).La inclusion ⊆ es obvia.

Queda probar unicamente que R(AD) ⊆ R(ADBAD) ya que la inclusion inversaresulta clara. Sea x ∈ R(AD) arbitrario. Entonces existe y ∈ X para el cual x =(Bπ + ADB)y. Luego Aπx = AπBπy = 0 y, ası, Bπy ∈ R(AD) ∩ N (B) = 0. Estoimplica que x = ADBy = ADB(Bπ+ADB)z = ADBADBz, con z = (Bπ+ADB)−1y.Concluyendo que x ∈ R(ADBAD).

(vi) ⇒ (i): Observamos en primer lugar que I + ADBAπ es invertible en B(X ).Ahora, de la identidad

(Aπ + ADB) = (I + ADBAπ)(Aπ + ADBADA) (6.21)


se sigue que Aπ + ADB es invertible si y solo si Aπ + ADBADA es invertible. Pro-baremos que

N (Aπ + ADBADA) = 0 y R(Aπ + ADBADA) = X .

En vista de (6.21), y usando N (Aπ) ∩N (ADB) = 0, concluimos que

N (Aπ + ADBADA) = N (Aπ + ADB) = 0.

Para demostrar la segunda identidad tomemos un x ∈ X arbitrario. Por laigualdad R(AD) = R(ADBAD), podemos escribir AADx = ADBADy, para alguny ∈ X y, entonces

x = Aπx + AADx = (Aπ + ADBADA)(Aπx + ADy).

Ademas, por el Teorema 6.4.1, equivalencia (vi) ⇔ (iii), se sigue la relacionR(B) ∩N (Ak) = 0. ¤

Se hace notar que la segunda condicion en (i) del teorema anterior puede serreemplaza por cualquiera de las condiciones equivalentes dadas en el Teorema 6.4.1.

La demostracion del teorema anterior muestra el siguiente resultado, el cualsera usado en la proxima seccion para dar una condicion de la continuidad delGrupo inverso.

Lema 6.4.5. Sea A ∈ B(X ) Drazin invertible y B ∈ B(X ). Si I + AD(B − A) esinvertible y R(B) ∩N (Ak) = 0, con k = ind(A), entonces se cumple la siguienteequivalencia:

B es Grupo invertible ⇔ I + (AD)2(B2 − A2) es invertible en B(X ).

Dem. Bajo las hipotesis de este teorema y argumentando como en la demostracion

de la equivalencia (i) ⇔ (ii) en el Teorema 6.4.4, tenemos B =

(B1 B12

B21 B21B−11 B12

),

con B1 invertible en B(R(Ak)) y, ademas, si asumimos que B es Grupo invertible,entonces Aπ + ADB2AD es invertible.

Por el Lema 6.4.3, I+(AD)2(B2−A2) es invertible si y solo si I+AD(B2−A2)AD

es invertible. Por lo tanto, una implicacion es probada.Recıprocamente, si Aπ + ADB2AD es invertible, entonces usando la representa-

cion matricial de B dada arriba, derivamos que I + B−11 B12B21B

−11 es invertible en

B(R(Ak)) y, del Teorema 6.3.2 se sigue que B es grupo invertible. ¤


6.5. Cotas de perturbacion para inversas de Dra-

zin y proyectores espectrales

En esta seccion se derivaran cotas del error para la norma de la diferencia delas inversas de Drazin y los proyectores espectrales de la clase de perturbaciones enestudio.

Primero, estableceremos una cota del error para la inversa de Drazin en terminosde la norma de la diferencia de los proyectores espectrales asociados al autovalor 0.Observamos que la condicion ‖AD(B − A)‖ < 1 implica que I + AD(B − A) esinvertible.

Lema 6.5.1. Sean A, B ∈ B(X ) Drazin invertibles. Si ‖Bπ − Aπ‖ < 1, entoncesN (Bπ) ∩N (I − Aπ) = 0.

Dem. De ‖Bπ−Aπ‖ < 1 deducimos que I−Aπ +Bπ es invertible. Ahora, asumimosque x ∈ N (Bπ)∩N (I − Aπ). Entonces (I−Aπ)x = Bπx = 0 y, ası, (I−Aπ+Bπ)x =0. Luego x = 0 y la implicacion es probada. ¤

Teorema 6.5.2. Sean A, B ∈ B(X ) dos operadores Drazin invertible y Grupo in-vertible, respectivamente, y sea E = B − A. Si ‖Bπ − Aπ‖+ ‖ADE‖ < 1, entonces

‖B] − AD‖‖AD‖ ≤ ‖ADE‖+ 2‖Bπ − Aπ‖

1− ‖Bπ − Aπ‖ − ‖ADE‖ . (6.22)

Dem. Por el Lema 6.5.1, tenemos N (Bπ) ∩ N (I − Aπ) = 0 o, equivalentementeR(B) ∩ N (Ak) = 0, con k = ind(A). Por hipotesis tambien tenemos que I +AD(B − A) es invertible. Por lo tanto, podemos aplicar el Teorema 6.4.4 y de laequivalencia (i) ⇔ (v) se sigue que Bπ +ADB es invertible en B(X ). Ahora, notemosque la siguiente identidad se tiene:

B] = (Bπ + ADB)−1AD(I −Bπ) = (I + ADE + Bπ − Aπ)−1AD(I −Bπ + Aπ).

Esto da paso a

B] − AD = −(ADE + Bπ − Aπ)(B] − AD + AD)− AD(Bπ − Aπ).

Tomando normas obtenemos

‖B] − AD‖ ≤ (‖ADE‖+ ‖Bπ − Aπ‖) ‖B] − AD‖+ (‖ADE‖+ 2‖Bπ − Aπ‖) ‖AD‖.Agrupando terminos en ‖B]−AD‖ y usando la hipotesis ‖Bπ−Aπ‖+‖ADE‖ < 1

tenemos la cota superior (6.22). ¤


La cota (6.22) puede ser combinada con una explıcita cota superior de ‖Bπ−Aπ‖.Por lo tanto, si ∆ es una cota superior de ‖Bπ−Aπ‖ tal que ‖ADE‖+∆ < 1, entonces

‖B] − AD‖‖AD‖ ≤ ‖ADE‖+ 2∆

1− ‖ADE‖ −∆, (6.23)

lo cual se sigue repitiendo el argumento de la demostracion del teorema de arriba.

Dados dos operadores idempotentes P, Q ∈ B(X ), en [14, Proposistion 2.2] fuededucida una cota del error para la norma ‖P − Q‖ en terminos del gap entre sussubespacios nucleo e imagen.

Sea S(X ) el conjunto de todos los subespacios acotados del espacio de BanachX . El gap entre los subespacios U , V ∈ S(X ) es definido en [32, 45]:

gap(U , V) = maxδ(U , V), δ(V , U),

donde δ(U , V) = supdist(x, V) : x ∈ U , ‖x‖ = 1.

Proposicion 6.5.3. Sean P, Q ∈ B(X ) operadores idempotentes y tomemos

ν(P, Q) = gap(N (P ), N (Q)), %(P, Q) = gap(R(P ), R(Q)).

Si ‖P‖ ν(P, Q)− ‖I − P‖ %(P, Q) < 1, entonces

‖P −Q‖ ≤ ‖P‖ ‖I − P‖(ν(P, Q) + %(P, Q))

1− ‖P‖ ν(P, Q)− ‖I − P‖ %(P, Q).

Una estimacion para ∆ es obtenida directamente de la proposicion anterior to-mando los proyectores Aπ y Bπ.

Si consideramos un espacio de Hilbert, H, entonces

gap(U , V) = ‖PU − PV‖.

El resto de esta seccion esta dedicado a obtener formulaciones explıcitas de lascotas del error de para las inversas de Drazin y los proyectores espectrales. Nuestroanalisis esta basado en la representacion matricial del operador perturbacion proba-do en el Teorema 6.4.4 y las formulas para el Grupo inverso y el proyector espectraldeducidos en el Teorema 6.3.2.

A continuacion damos el siguiente resultado el cual usaremos mas adelante.


Lema 6.5.4. Sea A ∈ B(X ) un operador Drazin invertible. Asumimos que B ∈ B(X )tiene una representacion matricial dada como en (6.18). Si E = B − A, entoncestenemos las siguientes representaciones

UE := (I + ADE)−1ADEAπ =

(O B−1

1 B12

O O

),

LE := AπEAD(I + EAD)−1 =

(O O

B21B−11 O

),

(I + UELE)−1 =

((I + B−1

1 B12B21B−11 )−1 O

O I

).

(6.24)

Si max‖ADE‖, ‖EAD‖ <1


‖UE‖ ≤ ‖ADEAπ‖1− ‖ADE‖ , ‖LE‖ ≤ ‖AπEAD‖

1− ‖EAD‖ , (6.25)

‖(I + UELE)−1‖ ≤ (1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖)(1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖)− ‖ADE‖ ‖AπEAD‖ . (6.26)

Dem. La representacion matricial del operador E = B − A, respecto a la descom-posicion del espacio X = R(Ak)⊕N (Ak) es dada por

E =

(B1 − A1 B12

B21 B21B−11 B12 − A2

), B1, I+B−1

1 B12B21B−11 son invertibles en R(Ak).

(6.27)Entonces,

ADEAπ =

(O A−1

1 B12

O O

), AπEAD =

(O O

B21A−11 O

).

Por otra parte,

(I + ADE)−1 =

(B−1

1 A1 −B−11 B12

O I

), (I + EAD)−1 =

(B−1

1 A1 O−B21A

−11 I

). (6.28)

Usando estas representaciones vemos facilmente que las expresiones (6.24) se tie-nen.

Bajo la hipotesis max‖EAD‖, ‖ADE‖ < 1

1+√‖Aπ‖

( ≤ 12

), tenemos las sigui-

entes estimaciones elementales

‖(I + ADE)−1‖ ≤ 1

1− ‖ADE‖ , ‖(I + EAD)−1‖ ≤ 1

1− ‖EAD‖ .


Por lo tanto obtenemos las cotas superiores de ‖UE‖ y ‖LE‖ dadas en (6.25).Usando las estimaciones (6.25), deducimos que

‖UELE‖ ≤ ‖ADEAπ‖ ‖AπEAD‖(1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖) < 1,

y, combinando la desigualdad ‖(I + UELE)−1‖ ≤ 1

1− ‖UELE‖ con la cota superior

de arriba obtenemos la estimacion (6.26). ¤

A continuacion obtenemos una formula para el proyector espectral del operadorperturbacion y una cota superior del error entre los proyectores espectrales.

Teorema 6.5.5. Sean A, B ∈ B(X ) Drazin invertible y Grupo invertible, res-pectivamente, y sea E = B − A. Si R(B) ∩ N (Ak) = 0, con ind(A) = k, ymax‖ADE‖, ‖EAD‖ < 1

1+√‖Aπ‖ , entonces

Bπ = −UE + Aπ − (I − UE)LE(I + UELE)−1(I + UE), (6.29)

donde UE y LE son definidos como en (6.24) y


‖AπEAD‖ν(E)

(1 +


), (6.30)

donde ν(E) = (1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖)− ‖ADE‖ ‖AπEAD‖.

Dem. Por el Teorema 6.4.4 (i) ⇔ (ii) tenemos que B tiene una representacion,respecto X = R(Ak)⊕N (Ak), dada por

B =

(B1 B12

B21 B21B−11 B12

), B1, I + B−1

1 B12B21B−11 son invertibles en R(AD).

(6.31)Ahora, aplicando en Teorema 6.3.2 obtenemos

Bπ =

(I −Ψ−1 −Ψ−1B−1

1 B12

−B21B−11 Ψ−1 I −B21B

−11 Ψ−1B−1

1 B12

),

donde Ψ = I + B−11 B12B21B

−11 . Usando las expresiones dadas en (6.24) vemos que

−UE + Aπ − (I − UE)LE(I + UELE)−1(I + UE)

=

(O −B−1

1 B12

O I

)−

(I −B−1

1 B12

O I

)(O O

B21B−11 O

)(Ψ−1 OO I

)(I B−1

1 B12

O I

)

=

(O −B−1

1 B12

O I

)−

(−(Ψ− I)Ψ−1 −(Ψ− I)Ψ−1B−11 B12

B21B−11 Ψ−1 B21B

−11 Ψ−1B−1

1 B12

)= Bπ.


Para probar (6.30). Escribimos

Bπ − Aπ = −UE − (I − UE)LE(I + UELE)−1(I + UE)

= −UE − (I + ADE)−1LE(I + UELE)−1(I + UE)

Tomando normas obtenemos y usando las estimaciones (6.25)


‖AπEAD‖ ‖(I + UELE)−1‖(1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖)

(1 +


).

Finalmente, substituyendo ‖(I+UELE)−1‖ por su cota superior definida en (6.26)obtenemos (6.30). ¤

Una cota superior de ‖B]−AD‖/‖AD‖ puede ser obtenida aplicando a (6.23) ellado derecho de (6.30) en lugar de ∆.

En el siguiente teorema damos una expresion explıcita del Grupo inverso y de estaderivamos una estimacion directa del error relativo del Grupo inverso del operadorB.

Teorema 6.5.6. Sean A, B ∈ B(X ) Drazin invertible y Grupo invertible, res-pectivamente, y sea E = B − A. Si R(B) ∩ N (Ak) = 0, con ind(A) = k, ymax‖ADE‖, ‖EAD‖ < 1

1+√‖Aπ‖ , entonces

B] = (I + ADE)−1(AD + ADΣ2 + Σ1AD + Σ1A

DΣ2) (6.32)

donde

Σ1 := LE(I + UELE)−1(I − (I + ADE)−1ADE),

Σ2 := (I + UELE)−1UE(I − LE),(6.33)

y

‖B] − AD‖‖AD‖ ≤ ‖ADE‖

1− ‖ADE‖ + δ1 + δ2 + δ1δ2, (6.34)

donde

δ1 :=‖AπEAD‖ ‖(I + UELE)−1‖(1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖)

(1 +

‖ADE‖1− ‖ADE‖

),

δ2 :=‖ADEAπ‖ ‖(I + UELE)−1‖

(1− ‖ADE‖)2

(1 +


).

(6.35)


Dem. De acuerdo con el Teorema 6.4.4, (i) ⇔ (ii), B tiene una representacionmatricial de la forma dada en (6.18). Ademas, si denotamos Ψ = I+B−1

1 B12B21B−11 ,

por el Teorema 6.3.2, formula (6.12), tenemos

B] =

((ΨB1Ψ)−1 (ΨB1Ψ)−1B−1

1 B12

B21B−11 (ΨB1Ψ)−1 B21B

−11 (ΨB1Ψ)−1B−1

1 B12

). (6.36)

Con E = B − A, escrito de la forma (6.27), obtenemos

(I + ADE)B] =

(A−1

1 Ψ−1 A−11 Ψ−1B−1

1 B12

B21B−11 (ΨB1Ψ)−1 B21B

−11 (ΨB1Ψ)−1B−1

1 B12

). (6.37)

Usando las representaciones (6.24) y (6.28) del Lema 6.5.4, podemos escribir losoperadores Σ1 y Σ2, los cuales has sido definidos en (6.33), en la forma

Σ1 =

(O O

B21B−11 O

)(Ψ−1 OO I

)(B−1

1 A1 OO O

)=

(O O

B21B−11 Ψ−1B−1

1 A1 O

),

Σ2 =

(Ψ−1 OO I

) (O B−1

1 B12

O O

)(I O

−B21B−11 I

)=

(−I + Ψ−1 Ψ−1B−11 B12

O O

).

Deducimos (6.32) viendo que el lado derecho de (6.37) es igual a la representa-cion matricial que resulta de calcular AD + ADΣ2 + Σ1A

D + Σ1ADΣ2 usando las

representaciones de arriba.Ahora, la ecuacion (6.32) implica

B] − AD = −ADE(B] − AD + AD) + ADΣ2 + Σ1AD + Σ1A

DΣ2.

Luego,

‖B] − AD‖ ≤ ‖ADE‖ ‖B] − AD‖+ ‖AD‖(‖ADE‖+ ‖Σ1‖+ ‖Σ2‖+ ‖Σ1‖ ‖Σ2‖),

y, de ‖ADE‖ < 1, se sigue que

‖B] − AD‖‖AD‖ ≤ ‖ADE‖

1− ‖ADE‖ +‖Σ1‖+ ‖Σ2‖+ ‖Σ1‖ ‖Σ2‖

1− ‖ADE‖ . (6.38)

Ahora, usando las cotas (6.25), los terminos Σ1 y Σ2 son estimados como sigue:

‖Σ1‖ ≤ ‖LE‖ ‖(I + UELE)−1‖(1 + ‖(I + ADE)−1ADE‖)

≤ ‖AπEAD‖ ‖(I + UELE)−1‖1− ‖EAD‖

(1 +


)

y

‖Σ2‖ ≤ ‖(I + UELE)−1‖ ‖UE‖(1 + ‖LE‖)

≤ ‖ADEAπ‖ ‖(I + UELE)−1‖1− ‖ADE‖

(1 +


).

Finalmente, la cota superior (6.34), con δ1 y δ2 definidos como en (6.35), esdeducida substituyendo estas estimaciones en (6.38). ¤


Observamos que la hipotesis R(B) ∩ N (Ak) = 0, con k = ind(A), en losresultados de perturbacion previos puede ser reemplazada por cualquiera de lascondiciones equivalentes dadas en el Teorema 6.4.1.

Observacion 6.5.7. Si asumimos las hipotesis del Teorema 6.5.6 y reemplazando‖(I+UELE)−1‖ por su cota (6.26) en las expresiones de δ1 y δ2 obtenemos los nuevosvalores

δ1 :=‖AπEAD‖

ν(E)

(1 +


),

δ2 :=‖ADEAπ‖(1− ‖EAD‖)

ν(E)(1− ‖ADE‖)(

1 +‖AπEAD‖1− ‖EAD‖

),

(6.39)

donde ν(E) = (1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖)− ‖ADE‖ ‖AπEAD‖.Corolario 6.5.8. Bajo las hipotesis del Teorema 6.5.5, si N (AD) ⊆ N (ADB),entonces

Bπ = Aπ − LE,

B] = (I + ADE)−1(I + LE)AD,

donde LE es definido como en (6.24) y

‖Bπ − Aπ‖ ≤ ‖AπEAD‖1− ‖EAD‖ ,

‖B] − AD‖‖AD‖ ≤ ‖ADE‖

1− ‖ADE‖ +‖AπEAD‖

(1− ‖ADE‖)(1− ‖EAD‖) .

Corolario 6.5.9. Bajo las hipotesis del Teorema 6.5.5, si N (Aπ) ⊆ N (AπB),entonces

Bπ = Aπ − UE,

B] = (I + ADE)−1AD(I + UE),

donde UE es definido como en (6.24) y

‖Bπ − Aπ‖ ≤ ‖ADEAπ‖1− ‖ADE‖ ,

‖B] − AD‖‖AD‖ ≤ ‖ADE‖

1− ‖ADE‖ +‖ADEAπ‖

(1− ‖ADE‖)2.

La continuidad de la inversa de Drazin para operadores lineales y acotados yelementos de un algebra de Banach fue investigada en [14, 53, 54, 75, 79, 99].

En [53, Teorema 4.1] se dio el siguiente resultado de continuidad el cual sera usadoen el proximo teorema.


Lema 6.5.10. Sean An, A ∈ B(X ) operadores Drazin invertibles tal que An → A.Entonces

ADn → AD ⇔ Aπ

n → Aπ.

Teorema 6.5.11. Sea A ∈ B(X ) un operador Grupo invertible y An ∈ B(X ) opera-dores tal que An → A. Entonces son equivalentes:

(i) An tiene un Grupo inverso para n suficientemente grande y A]n → A].

(ii) R(An)∩N (A) = 0, I +(AD)2(A2n−A2) es invertible para n suficientemente

grande.

Dem. De An → A, para n suficientemente grande, tenemos ‖AD‖ ‖An − A‖ < 1 y,ası, I + AD(An − A) es invertible.

Asumimos (i). dado que A]n → A], entonces Aπ

n → Aπ. Luego ‖Aπn−Aπ‖ < 1, para

n suficientemente grande. Ahora, por el Lema 6.5.1, N (Aπn) ∩ N (I − Aπ) = 0 o,

equivalentemente R(An)∩N (A) = 0. La asercion I +(AD)2(A2n−A2) es invertible

se sigue del Lema 6.4.5.Asumimos (ii). Para n suficientemente grande tenemos que I + A](An − A) es

invertible, R(An) ∩ N (A) = 0 y I + (A])2(A2n − A2) es invertible. Entonces An

es Grupo invertible por el Lema 6.4.5. Tambien, para n suficientemente grande,tenemos ‖AD‖ ‖An − A‖ < 1

1+√‖Aπ‖ y, las estimaciones (6.34)–(6.35), dadas en el

Teorema 6.5.6, nos conducen a que ‖A]n − AD‖ → 0. ¤

Corolario 6.5.12. Sea A ∈ B(X ) un operador Grupo invertible y An ∈ B(X )operadores tal que An → A. Si A2

n → A2, entonces son equivalentes:

(i) An tiene un Grupo inverso para n suficientemente grande y A]n → A].

(ii) R(An) ∩N (A) = 0, para n suficientemente grande.


6.6. Perturbacion de operadores g-Drazin inver-

tibles

Dado un operador A ∈ B(X ) g-Drazin invertible, consideramos la clase de ope-radores acotados B ∈ B(X ) g-Drazin invertibles que inducen las siguientes descom-posiciones del espacio:

X = K(A)⊕H0(B), X = K(B)⊕H0(A) (6.40)

donde los espacios que intervienen en las sumas directas anteriores son definidos en(6.8).

Un caso particular lo constituyen los operadores acotados B g-Drazin invertiblesque satisfacen:

K(A) = K(B) y H0(A) = H0(B). (6.41)

La clase de los operadores B relacionados con A por la condicion (6.41), lo cualequivale a que ambos operadores tengan el mismo proyector espectral en el 0, fueroncaracterizados en [17, Corolario 2.2], y se vio que la g-Drazin inversa de B viene dadapor BD = (I + AD(B − A))−1AD.

En el siguiente teorema damos una caracterizacion de los operadores que cumplenlas condiciones dadas en (6.40).

Teorema 6.6.1. Sea un operador A ∈ B(X ) g-Drazin invertible. Las siguientescondiciones sobre el operador g-Drazin invertible B ∈ B(X ) son equivalentes:

(i) X = K(A)⊕H0(B), X = K(B)⊕H0(A).

(ii) I − Aπ −Bπ es invertible en B(X ).

(iii) Bπ + ADB es invertible, X = K(B) +H0(A), H0(B) ∩ K(A) = 0.

Dem. (i) ⇔ (ii): Los operadores A y B son g-Drazin invertibles, entonces existenproyectores Aπ y Bπ tal que

K(A) = N (Aπ), K(B) = N (Bπ),

H0(A) = R(Aπ), H0(B) = R(Bπ).

Ahora, N (Bπ) = R(I −Bπ) y R(Bπ) = N (I −Bπ). Luego, las relaciones en (i)se pueden reescribir de la forma

X = N (Aπ)⊕N (I −Bπ), X = R(I −Bπ)⊕R(Aπ).


Y, aplicando el Lema 6.4.2, se demuestra la equivalencia de (i) y (ii).

(ii) ⇒ (iii): Por el Lema 6.4.3 tenemos

I + (AD −BD)B es invertible ⇔ I + B(AD −BD) es invertible.

Para probar que Bπ +BAD es sobre, asumamos que (Bπ +BAD)x = 0. EntoncesBπx = −BADx y ası BDADx = 0 . Luego ADx ∈ R(AD)∩N (BD) y, ası, ADx = 0.Por lo tanto, x ∈ R(BD) ∩N (AD) = 0.

Para probar que Bπ + BAD es sobre, sea x ∈ X arbitrario. Como B es g-Drazin invertible, existen f ∈ X y g ∈ N (BD) para los cuales x = BDf + g,y entonces Bπx = Bπg. Tambien, dado que X = R(I −Bπ) ⊕ R(Aπ), podemosescribir g = (I − Bπ)h + Aπk, con h, k ∈ X . Esto implica que Bπx = BπAπk. Porotra parte, como X = N (BD)⊕R(AD), entonces existen z ∈ N (BD) y y ∈ X , paralos cuales f = z + ADy y BBDx = BDf = BDADy. Tambien, podemos escribiry = BDu + v, con respecto a la suma directa X = R(BD) ⊕N (AD). Por lo tanto,BBDx = BDADy = BDADBDu y

x = BBDx + Bπx = (Bπ + BDAD)(BDu + Aπk),

obteniendo que Bπ + BAD es sobre.

(iii) ⇒ (i): Sea (I − Aπ − Bπ)x = 0. Entonces (I − Aπ)x = Bπx y (I − Aπ)x ∈K(A)∩H0(B). Esto significa que (I−Aπ)x = 0, y ademas Bπx = 0. De estas ultimasigualdades se sigue que x ∈ N (Bπ)∩N (I − Aπ). Buscamos que K(B)∩H0(A) = 0,y usando esto concluirıamos que x = 0. De Bπ + BAD es invertible se sigue queN (Bπ)∩N (AD) ⊆ N (Bπ)∩N (BAD) = 0 y ası x = 0 como querıamos probar.

Veamos que I − Aπ −Bπ es sobre. Primero demostraremos que

K(B) = R((I −Bπ)AD), H0(A) = R(AπBπ). (6.42)

Efectivamente, la primera relacion se sigue de BD = (I −Bπ)AD(Bπ + BAD)−1.Para la segunda, sea x ∈ R(Aπ). Dado que Bπ + ADB es sobre, existe u ∈ X parael cual x = (Bπ + ADB)u. Entonces x = Aπx = AπBπu y ası x ∈ R(AπBπ).

Ahora estamos en condiciones de probar que I − Aπ − Bπ es sobre. Sea x ∈ Xarbitrario. Since X = K(B) +H0(A), existen y ∈ K(B) y z ∈ H0(A) para los cualesx = y + z. Usando las realaciones (6.42), podemos escribir y = (I − Bπ)ADu yz = AπBπw, con w, u ∈ X . Por lo tanto,

x = (I −Bπ)ADu + AπBπw = (I −Bπ − Aπ)(ADu + Bπw).

Lo que demuestra la implicacion. ¤


Bajo los supuestos del teorema anterior la g-Drazin inversa de B tiene una ex-presion dada por:

BD = (Bπ + ADB)−1AD(I −Bπ).

Seguidamente damos un ejemplo del teorema anterior.

Ejemplo 6.6.2. Sea `2 el espacio de sucesiones: `2 = (xn)∞n=0 :∑∞

n=0 |xn|2 < ∞.Consideramos los operadores lineales acotados A, B : `2 −→ `2, definidos por lasmatrices infinitas

A =

1 1 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0...

... SL0 0

y B =

1 1 ε 0 · · ·0 1 0 0 · · ·0 0...

... SL0 0

,

donde SL es el operador shift left, con proyecciones espectrales dadas por las ma-trices infinitas

Aπ =

0 0 0 · · · 00 0 0 · · · 00 0...

... I0 0

y Bπ =

0 0 −ε −ε · · ·0 0 0 0 · · ·0 0...

... I0 0

.

Sea en∞n=1 la base canonica de `2. Calculamos los subespacios que intervienenen las condiciones X = K(A)⊕H0(B), X = K(B)⊕H0(A):

K(A) = K(B) = e1, e2.H0(A) = en∞n=3.

H0(B) = εe1 − en∞n=3.

Comprobamos que Bπ + ADB es invertible,

Bπ + ADB =

1 0 1− ε −ε · · ·0 1 0 0 · · ·0 0...

... I0 0

.


Igualmente vemos que K(A) ∩ H0(B) = 0 y X = K(B) + H0(A), luego Bverifica las otras condiciones del Teorema 6.6.1.

Efectivamente,

I −Bπ − Aπ =

1 0 ε ε · · ·0 1 0 0 · · ·0 0...

... −I0 0

es invertible.

La g-Drazin inversa de B tiene una representacion matricial de la forma:

BD =

1 −1 ε ε · · ·0 1 0 0 · · ·0 0...

... O0 0

.

A continuacion derivaremos una estimacion para ‖Bπ − Aπ‖ de forma indepen-diente a los resultados dados hasta ahora.

En [14, Proposistion 2.2] fue deducida una cota del error para la norma ‖P −Q‖en terminos del gap entre sus subespacios nucleo e imagen, donde P, Q ∈ B(X ) sondos proyectores.

Basado en este resultado y teniendo en cuenta

gap(U , V) = ‖PU − PV‖,

donde U y V son dos subespacios acotados de un espacio de Hilbert, H, obtenemosla siguiente proposicion, donde deducimos una expresion para la cota ∆, cuandoA, B ∈ B(H), en terminos de las proyecciones ortogonales sobre los subespaciosque interviene en las condiciones dadas en el punto (ii) del Teorema 6.6.1. En laProposicion 3.5.2 obtuvimos una cota similar para matrices.

Proposicion 6.6.3. Sean A, B ∈ B(H) g-Drazin invertibles. Llamamos ΓK =‖PK(B) − PK(A)‖ y ΓH0 = ‖PH0(B) − PH0(A)‖. Si ‖Aπ‖ΓH0 + ‖I − Aπ‖ΓK < 1,entonces

∆ =‖Aπ‖ ‖I − Aπ‖ (ΓH0 + ΓK)

1− ‖Aπ‖ΓH0 − ‖I − Aπ‖ΓK. (6.43)


Teniendo en cuenta que ‖Aπ‖ = ‖I − Aπ‖ ≤ κD(A), la cota (6.43) se convierteen

∆ =κD(A)2(ΓH0 + ΓK)

1− κD(A)(ΓH0 + ΓK).

6.7. Operadores con proyecciones espectrales esen-

ciales relacionadas

Dado un operador A ∈ B(X ) g-Drazin invertible, en esta seccion caracterizare-mos los operadores B ∈ B(X ) g-Drazin invertibles tal que pr(Bπ) = pr(Aπ + S),donde pr es el homomorfismo natural de B(X ) sobre el algebra de Calkin y S ∈ B(X )es un operador dado. En [76], V. Rakocevic, considero la igualdad de las proyeccionesespectrales esenciales de operadores acotados sobre un espacio de Hilbert.

A continuacion daremos los conceptos y resultados utilizados en el resultado decaracterizacion.

Por K(X ) denotamos al conjunto de todos los operadores lineales compactos.

Definicion 6.7.1. Sean A ∈ B(X ) y K ∈ K(X ). El algebra de Calkin sobre X esdefinida como el algebra cociente

C(X ) = B(X )/K(X ) = [A] : A ∈ B(X ),

donde

[A] = A +K(X ) = A + K : K ∈ K(X ),con la norma

‖A +K(X )‖ = infK∈K(X )

‖A + K‖.

Definimos el homomorfismo natural

pr : B(X ) −→ B(X )/K(X )A 7−→ A +K(X ).

Efectivamente, sean A, B ∈ B(X ) y α, β ∈ C. Las combinaciones lineales deoperadores compactos es un compacto, i.e, si K1, K2 ∈ K(X ), entonces αK1+βK2 ∈K(X ). Igualmente la combinacion lineal de operadores acotados es un acotado. Luego

pr(αA + βB) = αA + βB + αK1 + βK2 ∈ C(X ),


y

αA + βB + αK1 + βK2 = α(A + K1) + β(B + K2) = αpr(A) + βpr(B).

pr(αA + βB) = [αA + βB] = α[A] + β[B] = αpr(A) + βpr(B).

Definicion 6.7.2. Sea A ∈ B(X ). El espectro esencial de A, σess(A), es el espec-tro de pr(A), i.e., σess(A) = σ(pr(A)). Denotaremos por ress(A) al radio espectralesencial de A, i.e., ress(A) = lım

n→∞‖(pr(A)

)n‖1/n.

Definicion 6.7.3. Un operador F ∈ B(X ) es Fredholm si el R(F ) es cerrado y, elN (F ) y el cociente X /R(F ) son ambos de dimension finita.

Denominaremos Φ(X ) al conjunto de todos los operadores Fredholm de B(X ).

Teorema 6.7.4 (Atkinson). [9, Teorema 3.2.8] Un operador F ∈ B(X ) es Fred-holm si y solo si pr(F ) es invertible en C(X ).

En el Teorema 5.3.5, del Capıtulo 5, dada un elemento a ∈ R tal que a es g-Drazin invertible, se caracterizaron los elementos b de R con espectros idempotentesrelacionados por la condicion bπ = aπ + s, con s ∈ R y 1 − s2 es un elementoinvertible de R.

Basandonos es este resultado obtenemos las siguientes caracterizaciones de losoperadores g-Drazin invertibles.

Corolario 6.7.5. Sea A ∈ B(X ) un operador g-Drazin invertible y S ∈ B(X ) talque I − S2 es invertible y Aπ + S idempotente, entonces las siguientes condicionessobre el operador B ∈ B(X ) son equivalentes:

(i) B es g-Drazin invertible, pr(Bπ) = pr(Aπ + S).

(ii) pr((Aπ + S)B

)= pr

(B(Aπ + S)

), ress

((Aπ + S)B

)= 0, B + Aπ + S ∈ Φ(X ).

(iii) pr((Aπ+S)B

)= pr

(B(Aπ+S)

), ress

((Aπ+S)B

)= 0, Aπ+S+ADB ∈ Φ(X ).

(iv) B ∈ B(X ) es g-Drazin invertible, I + S + AD(B − A) ∈ Φ(X ),

BD = CAD(I − S) + K,

donde K ∈ K(X ) y C ∈ B(X ) es una inversa de Fredholm de I+S+AD(B−A).

(v) B ∈ B(X ) es g-Drazin invertible,

(I + S)BD − AD(I − S) = AD(A−B)BD + L,

donde L ∈ K(X ).


Dem. Observamos que ress

((Aπ + S)B

)= 0 equivale a decir que pr

((Aπ + S)B

)es cuasinilpotente en el algebra de Calkin B(X )/K(X ). Tambien de B + Aπ + S ∈Φ(X ) tenemos que pr

(B + Aπ + S

)es invertible en C(X ). Similarmente ocurre con

Aπ + S + ADB ∈ Φ(X ). Luego, restringiendonos C(X ) y aplicando el Teorema 5.3.5el corolario queda demostrado. ¤

Si S = 0 en el anterior Corolario obtenemos [76, Corolario 2.3].

Apendice A

Conclusiones y lıneas futuras deinvestigacion

El analisis de la perturbacion de la inversa de Drazin en el campo matricial, deelementos en algebras de Banach y de operadores acotados en espacios de Banachrealizado en la Tesis ha dado como resultado mas significativo la obtencion de ca-racterizaciones de la perturbacion de inversa de Drazin y, de aquı, se derivaron cotassuperiores de la norma de la matriz perturbada, y cotas superiores del error relativode la inversa de Drazin y del error de la proyeccion espectral.

En el contexto de las matrices se dedujeron, entre otros resultados, expresionespara la inversa de Drazin de la matriz perturbada y de la proyeccion espectral, paraaquellas matrices con proyecciones espectrales relacionadas por cierta condicion. Deestas formulas se derivaron cotas superiores de la norma de la inversa de Drazin y, delerror de la inversa de Drazin y de la proyeccion espectral. Tambien se obtuvierondiversos resultados de perturbacion de las matrices rectangulares con W-soportesidempotentes relacionados.

Los resultados obtenidos para matrices cuadradas fueron extendidos al ambito deelementos en anillos y algebras de Banach. Tambien se obtuvo una caracterizacionde la perturbacion de los elementos EP en anillos con involucion.

Finalmente, algunos de los resultados dados para matrices fueron formuladospara operadores lineales y acotados Grupo invertibles, dando otras caracterizacionesnuevas hasta ahora. Tambien se obtuvo un resultado de la continuidad del Grupoinverso para operadores acotados.

En esta investigacion ha jugado un papel importante la obtencion de representa-ciones matriciales para la perturbacion, la inversa de Drazin y la proyeccion espectralen cada uno de los contextos expuestos anteriormente.

177

178 A. Conclusiones y lıneas futuras de investigacion

En [6], S. L. Campbell y C. D. Meyer, establecieron una condicion necesaria y su-ficiente para la continuidad de la inversa de Drazin. Tambien senalaron la dificultadde obtener cotas del error para la perturbacion de la inversa de Drazin.

La dificultad de hallar resultados sin considerar restricciones sobre la pertur-bacion, ha hecho que los trabajos en este campo se hayan dirigido a establecercondiciones los menos restrictivas posibles. En esta lınea se halla esta Tesis, mejo-rando las cotas deducidas hasta ahora, en unos casos, y aportando nuevos enfoquesy resultados, en otros. Citemos, a continuacion los resultados obtenidos:

En el Capıtulo 3 los resultados de perturbacion, para matrices con proyeccio-nes espectrales relacionadas, Teorema 3.2.4, Teorema 3.4.6 y Corolario 3.2.13 gene-ralizan [16, Teorema 2.1, Teorema 3.1 y Corolario 2.3], respectivamente, donde secaracterizaban las matrices con proyecciones espectrales iguales. Mediante ejemplosnumericos mostramos que las cotas obtenidas en la Seccion 3.4, para el caso s = 1,son mejores que las dadas en [62, Teorema 3] y [97, Teorema 4 y Teorema 5], ypara el caso s > 1, que las deducidas en [97, Teorema 1, Teorema 4 y Teorema 5] y[98, Teorema 4.1]. El resultado de aplicacion a sistemas lineales singulares, Teorema3.5.5, generaliza [100, Theorem 4.1] y el Teorema 3.5.9, donde se caracterizaba untipo especial de matrices, el dado en [63, Teorema 3.2].

En el Capıtulo 4 los resultados de caracterizacion de la inversa de Drazin paramatrices rectangulares con W-soportes idempotentes relacionados, Teorema 4.3.2 yTeorema 4.3.7 generalizan el dado en [16, Teorema 2.1], para matrices, y su extensiona operadores lineales acotados [78, Teorema 3.2]. Los resultados de perturbacionTeorema 4.4.1 y Teorema 4.4.4 generalizan el dado para matrices en [101, Teorema1] y para operadores lineales y acotados en [78, Corolario 3.3 y Corolario 3.4]. Enla aplicacion a sistemas lineales el Teorema 4.5.1 generaliza [101, Teorema 2], paramatrices rectangulares, y [78, Teorema 4.4], para operadores lineales y acotados.

En el Capıtulo 5 el Teorema 5.3.5 generaliza el principal resultado en [51, Teore-ma 6.1], donde se considero elementos con igual espectro idempotente y se aplicaronlos resultados obtenidos para dar una nueva caracterizacion de los elementos EP . Sibπ = aπ, se obtiene una caracterizacion de los elementos EP en anillos con involuciony, en particular, para matrices se tiene [16, Teorema 5.2].

En el Capıtulo 6 la clase dada por las condiciones (1) generaliza la clase dematrices (C1), introducida en el Capıtulo 3. En particular, el caso Bπ = Aπ fueconsiderado en [16] para matrices, en [17] para operadores cerrados y, en [51] paraelementos de un anillo. El Teorema 6.3.2 generaliza [4, Teorema 7.7.7], donde elresultado fue dado para matrices por bloques. En el Teorema 6.4.4 extendemos aoperadores el resultado dado para matrices en el Teorema 3.3.7. Los resultados de

A. Conclusiones y lıneas futuras de investigacion 179

perturbacion dados en la seccion 6.5 generalizan los obtenidos en el Apartado 3.4.1para matrices que cumplen la condicion (C1). Por ultimo, si pr(Bπ) = pr(Aπ), elCorolario 6.7.5 se reduce a [76, Corolario 2.3].

El amplio campo de aplicacion de la inversa de Drazin para operadores cerradoses suficientemente importante para que una futura lınea de investigacion sea la deextender a los operadores lineales cerrados el analisis de la perturbacion realizadopara operadores lineales y acotados.

M. Z. Nashed e Y. Zhao, en [72], introdujeron la inversa de Drazin clasica paraoperadores lineales y cerrados en espacios de Banach y mostraron su aplicacion a larepresentacion de soluciones de ecuaciones de evolucion singulares y operadores di-ferenciales en derivadas parciales. Posteriormente, J. J. Koliha y T. D. Tran, en [57],estudiaron la inversa generalizada de Drazin para operadores cerrados, prestando es-pecial atencion al caso en que el operador cerrado A es el generador infinitesimal deun C0-semigrupo. Para esta situacion derivaron una representacion integral de AD

que fue usada en el estudio del comportamiento asintotico de las soluciones de unaecuacion diferencial singular, y singularmente perturbada, en un espacio de Banach.En el trabajo [59] se realiza un estudio de la perturbacion de un C0-semigrupo deoperadores asintoticamente convergente y los resultados se aplica para describir elcomportamiento asintotico de las soluciones a ecuaciones diferenciales perturbadassingulares no homogeneas en espacios de Banach.

En relacion al analisis de la continuidad de inversa de Drazin para operadoreslineales y cerrados citemos los siguientes documentos:

N. Castro y J.J. Koliha, en [13], investigaron la perturbacion de la inversa deDrazin de operadores lineales y cerrados, aplicando los resultados obtenidos a lasolucion de ecuaciones lineales perturbadas, al comportamiento asintotico de un C0-semigrupo de operadores lineales y a ecuaciones diferenciales perturbadas.

En [14], N. Castro, J. J. Koliha y V. Rakocevic estudiaron la perturbacion y lacontinuidad de la inversa de Drazin de operadores lineales y cerrados, obteniendocotas explıcitas del error de la inversa de Drazin de la perturbacion en terminosdel gap entre los operadores cerrados y en terminos de el gap entre los subespaciosnucleo e imagen de los operadores. Los resultados fueron usados para describir elcomportamiento asintotico de un semigrupo de operadores.

En [17], N. Castro, J. J. Koliha e Y. Wei, investigaron la perturbacion de la inver-sa de Drazin de operadores lineales y cerrados para el caso en el que los operadoresperturbados tuvieran el mismo proyector espectral, derivando una cota explıcita delerror de la inversa de Drazin de la perturbacion, en terminos de las potencias de losoperadores.

Finalmente, siguiendo en la misma linea de investigacion establecida en el Capıtu-lo 6, los resultados sobre la caracterizacion de los operadores lineales y acotados g-

180 A. Conclusiones y lıneas futuras de investigacion

Drazin invertibles dados en la Seccion 6.6 serviran de base para elaborar un trabajoel cual se pretender enviar a un congreso.

Apendice B

El algoritmo de la traza

Este algoritmo esta basado en el conocido algoritmo para el calculo de los coefi-cientes de la ecuacion caracterıstica de una matriz A, ver [42].

Se omitiran las demostraciones, pudiendose encontrar estas en la Seccion 5 de[4, Capıtulo 7].

Si A es no singular, A−1 puede ser expresada como un polinomio en A. Estapropiedad no se puede trasladar a las (i, j, k)-inversas, incluso siendo A cuadradapuede no existir un polinomio p(x) tal que G = p(A), donde G es una inversageneralizada. Sin embargo, la inversa de Drazin si posee esta propiedad.

Teorema B.0.6. Si A ∈ Cn×n, entonces existe un polinomio p(x) tal que

AD = p(A).

El polinomio utilizado sera el polinomio caracterıstico de A.

El siguiente resultado muestra como obtener AD a partir del polinomio carac-terıstico de A.

Teorema B.0.7. Sea A ∈ Cn×n, con ind(A) = k, y m0 la multiplicidad algebraicadel autovalor 0. Sea

0 = xm0(xn−m0 + βn−1xn−1−m0 + . . . + βm0+1x + βm0) = xm0q(x), (βm0 6= 0)

el polinomio caracterıstico de A. Llamamos

r(x) =

− 1

βm0

(xn−m0−1 + βn−1xn−m0−2 + . . . + βm0+1) si m0 < n,

0 si m0 = n.(B.1)

181

182 B. El algoritmo de la traza

Entonces,AD = Al(r(A))l+1, para todo entero l ≥ k.

Del hecho que el ındice de una matriz nunca puede exceder de su tamano, ni dem0, tenemos el siguiente corolario. Antes damos el concepto de traza de una matrizcuadrada.

Sea A ∈ Cn×n representada como A = (aij)ni, j=1. Llamamos traza de A, y la

denotamos como tr(A), a

tr(A) = a11 + · · ·+ ann.

Corolario B.0.8. Sea A ∈ Cn×n y AD = An(r(A))n+1 = Am0(r(A))m0+1, don-de r(x) es el polinomio dado en el Teorema B.0.7. Los coeficientes de la ecuacioncaracterıstica de A,

xn + βn−1xn−1 + βn−2x

n−2 + . . . + β1x + β0 = 0

pueden ser calculados recursivamente mediante el algoritmo dado por:

βn−j = −1

jtr(ASj−1), (B.2)

dondeS0 = I y Sj = ASj−1 + βn−jI. (B.3)

Puesto que Sj = Aj +βn−1Aj−1 + . . .+βn−jI, el proximo resultado muestra como

este algoritmo puede ser usado para obtener la matriz r(A).

Teorema B.0.9. Sea A ∈ Cn×n y r(x) dado como en (B.1 ). Si n = m0, entonces

AD = O. Si n > m0, entonces r(A) = − 1

βm0

Sn−m0−1, donde βm0 y Sn−m0−1 son

calculados de (B.2 ) y (B.3 ). Ası,

AD = − 1

βl+1m0

AlSl+1n−m0−1,

para cada l ≥ ind(A).

Observacion B.0.10. Si St = O, entonces O = St+1 = St+2 = . . . = Sn−1 yβn−t−1 = βn−t−2 = . . . = β0 = O.

A continuacion exponemos el algoritmo.

B. El algoritmo de la traza 183

Algoritmo B.0.11. Calculo de AD donde A ∈ Cn×n e ind(A) = k.

1. Tomamos S0 = I y recursivamente calculamos Sj = ASj−1 + βn−jI, βn−j =

−1

jtr(ASj−1), hasta que St = O, pero St−1 6= O.

2. Obtenemos el numero u tal que βn−u 6= 0 y βn−u−1 = βn−u−2 = . . . = βn−t−1 =0.(Se observa que n−u = m0, es la multiplicidad algebraica del autovalor cero).

3. Sea l = n− u y calculamos Sl+1n−m0−1 = Sl+1

u−1.

4. Calculamos AD = − 1

βl+1l

AlSl+1u−1.

Hay que notar que no todos los Sj′s deben ser guardados. Si βn−j 6= 0, entonces

Sj−2 puede ser olvidado. Sin embargo Sj−1 debe ser guardado hasta que aparezca elproximo β 6= 0. Este algoritmo halla la multiplicidad algebraica del autovalor cerode A.

184 B. El algoritmo de la traza

Tabla de sımbolos

MATRICES: A y B son matrices cuadradas

‖A‖P : P-norma de A.

‖A‖W : W-norma de A.

‖A‖2 : Norma espectral de la matriz A.

‖A‖F : Norma de Frobenius de A.

‖v‖2 : Norma euclıdea del vector v.

σ(A) : Espectro de A.

κD(A) : Numero de condicion de la inversa de Drazin de A.

κD,W (A) : Numero de condicion con respecto a la W-Drazin inversa de A.

A† : Inversa de Moore-Penrose de A.

AD : Inversa de Drazin de A.

A] : Grupo inverso de A.

A∗ : Conjugada traspuesta de A.

At : Traspuesta de A.

Aπ : Proyeccion espectral de A.

A− : (1)-inversa de A.

Ag : Cualquier (i, j, k)-inversa de A.

Aσ : Soporte idempotente de A.

Aσ,W : W-soporte idempotente de A.

AD,W : W-Drazin inversa de A.

Ai, j, k : Conjunto de todas las (i, j, k)-inversas.

A −→ B : A converge en norma a B.

A ∗B : W-producto de A y B.

185

186 TABLA DE SIMBOLOS

Cn×m : Matrices de n×m con coeficientes en C.

Cn : Vectores de n× 1 con coeficientes en C.

(Cs) : Clase de matrices definida en Pag. 42.

(C) : Clase de matrices definida en Pag. 106.

(CAW ) : Clase de matrices definida en Pag. 101.

(CWA) : Clase de matrices definida en Pag. 104.

diag(A , B) : Matriz diagonal por bloques A y B.

HA : Forma de hermite de A.

I : Matriz identidad.

ind(A) : Indice de A.

O : Matriz nula.

O(‖A‖) : Orden de ‖A‖.Rn×m : Matrices de n×m con coeficientes en R.

rg(A) : Rango de A.

sepF (AB) : Funcion separacion de las matrices A y B.

tr(A) : Traza de A.

ANILLOS: a es un elemento de un anillo o algebra de Banach.

‖a‖ : Norma de a.

σ(a) : Espectro de a.

aD : g-Drazin inversa de a.

a] : Grupo inverso de a.

a− : Inversa interior de a.

a† : Inversa de Moore-Penrose de a.

aπ : Espectro idempotente de a.

aR : Ideal derecho generado por a.0a : Anulador izquierdo generado por a.

a0 : Anulador derecho generado por a.

acc σ(a) : Conjunto de los puntos de acumulacion de σ(a).

B : Algebra de Banach asociativa y unitaria.

Bqnil : Conjunto de los elementos cuasinilpotentes en B.

TABLA DE SIMBOLOS 187

BgD : Conjunto de los elementos g-Drazin invertibles en B.

B−1 : Conjunto de los elementos invertibles en B.

comm(a) : Conjunto conmutador de a definido en Pag. 117.

comm2(a) : Conjunto doble conmutador de a definido en Pag. 117.

I(P) : Elemento unidad de Mn(R,P).

ind(a) : Indice de a.

iso σ(a) : Conjunto de los puntos aislados de σ(a).

Mn(R,P) : Anillo de las matrices n× n con elementos en R y respecto de P .

Mn(B,P) : Algebra de Banach de las matrices n × n con elementos en B yrespecto de P .

P : Sistema total de elementos idempotentes en R.

R : Anillo asociativo y unitario.

R−1 : Conjunto de los elementos invertibles en R.

Rnil : Conjunto de los elementos nilpotentes en R.

Rqnil : Conjunto de los elementos cuasinilpotentes en R.

RgD : Conjunto de los elementos g-Drazin invertibles en R.

RD : Conjunto de los elementos Drazin invertibles en R.

R] : Conjunto de los elementos Grupo invertibles en R.

R− : Conjunto de los elementos regulares en R.

R† : Conjunto de los elementos Moore-Penrose invertibles en R.

Ri : Subanillo piRpi.

Ra : Ideal izquierdo generado por a.

R(λ; a) : Resolvente de a.

ESPACIOS: U y V son espacios vectoriales

dim(U) : Dimension de U .

gap(U , V) : Gap entre los espacios U y V definido en Pag. 163.

`2 : Espacio de sucesiones definido en Pag 172.

N (U) : Espacio nucleo de U .

PU : Proyeccion ortogonal sobre U .

PU ,V : Proyeccion oblicua sobre U en la direccion de V .

188 TABLA DE SIMBOLOS

R(U) : Espacio imagen de U .

OPERADORES: A y B son operadores. X es un espacio de Banach.

σ(A) : Espectro de A.

ρ(A) : Conjunto resolvente de A.

σess(A) : Espectro esencial de A.

Φ(X ) : Conjunto de todos los operadores Fredholm de B(X ).

κD(A) : Numero de condicion de A respecto la inversa de Drazin.

‖A‖ : Norma de A.

A] : Grupo inverso de A.

A∗ : Operador adjunto de A.

AD : Inverso de Drazin de A.

Aπ : Proyector espectral de A asociado al autovalor 0.

asc(A) : Ascendente de A.

acc σ(A) : Conjunto de los puntos de acumulacion de σ(A).

B(X ) : Conjunto de todos los operador lineales y acotados sobre X .

B(H) : Conjunto de todos los operador lineales y acotados sobre el espaciode Hilbert H.

C(X ) : Algebra de Calkin sobre X .

des(A) : Descendente de A.

gap(A, B) : Gap entre A y B.

H0(A) : Espacio definido en Pag. 151.

ind(A) : Indice de A.

iso σ(A) : Conjunto de los puntos aislados de σ(A).

K(A) : Espacio definido en Pag. 151.

K(X ) : Conjunto de todos los operadores lineales y compactos sobre X .

pr : Homomorfismo natural de B(X ) sobre el algebra de Calkin.

r(A) : Radio espectral de A.

R(λ; A) : Operador resolvente de A.

ress(A) : Radio espectral esencial.

Indice alfabetico

AG-inverso, 155(N,R)-inversa generalizada, 2(i,j,k)-inversa generalizada, 3

Algebra de Calkin, 174Anulador,

derecho, 123izquierdo, 123

Ascendente, 148Atkinson, teorema, 175

Complemento de Schur, 23generalizado, 24

Condiciones de Penrose, 2Conmutador, 116

doble, 116Cuasinilpotente, 117Cuasinilpotente,

operador, 148Cuasipolar, 117

Descendente, 148Descomposicion,

ındice 1-nilpotente, 13core-nilpotente, 11

Drazin invertible,elemento, 119, 122operador, 148, 150

Ecuacion caracterıstica, 182EP,

elemento, 138matriz, 20

Espectroidempotente, 5, 117

Espectro,de un operador, 147esencial, 175

Forma de hermite escalonada, 12

g-Drazin inversa, 119g-Drazin invertible,

elemento, 119operador, 148, 150, 151

Gap,entre matrices, 147entre subespacios, 163

Grupo inverso,de un operador, 148de una matriz, 20elemento, 121

Ideal,derecho principal, 123izquierdo principal, 123

Indice,de Drazin, 148de g-Drazin, 121de una matriz, 10de una trasformacion lineal, 10

Inversa de Drazin,de una aplicacion lineal, 10de una matriz, 10definicion algebraica, 10definicion funcional, 10

Inversa de Moore-Penrose, 2, 138Inversa exterior, 10Inversa generalizada, 1

189

190 INDICE ALFABETICO

definicion de Penrose, 2definicion de Moore, 1

Inversa interior, 20Inverso de Drazin, 148Inverso de g-Drazin, 148Inverso exterior, 155Inverso generalizado algebraico, 155Inverso interior, 155

Moore-Penrose invertible, 138

Numero de condicionde Drazin, 58de la W-Drazin inversa, 109

Operador,Fredholm, 175regular, 155

P-norma, 25Parte,

core, 13nilpotente, 13

Polar, 117simple, 117

Polinomio caracterıstico, 181Proyeccion espectral,

de un operador, 151de una matriz, 16, 17

Proyeccion oblicua, 16Proyector espectral,

de un operador, 149Proyector oblicuo, 16

Radio espectral, 148esencial, 175

Regular, elemento, 124Resolvente,

conjunto, 148elemento, 122operador, 148

Sistema total de idempotentes, 125

Solucion por mınimos cuadrados, 3de norma mınima, 3

Soporte idempotente, 88Subespacios complementarios, 2

Traza, 182

W-Drazin inversa, 90W-producto, 87W-soporte idempotente, 87

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