ANÁLISIS DE INDICADORES Y

ELABORACIÓN DE REPORTES SOCIOECONÓMICOS

ODEI MOQUEGUA

Principales Herramientas Estadisticas

Sesión 1

INDICADORES ESTADÍSTICOS DE TENDENCIA CENTRAL

¿Para qué nos sirven?¿Se pueden calcular todas con

todo tipo de variables?¿Cuáles son las más

adecuadas en cada caso?

MEDIDAS DESCRIPTIVAS

Media Aritmética Es la suma de todas las observaciones dividida

entre el número total de observaciones.

Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media aritmética es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación. Su resultado es un promedio.

Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tendría la misma cantidad de la variable.

Datos sueltos o no agrupadosDatos sueltos o no agrupados

MEDIA POBLACIONAL ( ) :

N = Tamaño de la población

xi = Observaciones (datos) de la variable X.

MEDIA MUESTRAL ( X ) :

= Media muestral

n = Tamaño de la muestra

MEDIA ARITMÉTICA

_

xn

xX

n

ii

1

N

xn

ii

1

EJEMPLO

Obtener la Media aritmética de los siguientes datos:

6, 3, 8, 5 y 3

MEDIA ARITMÉTICA: xi / n

6 + 3 + 8 + 5 + 3 25 = = = 5 5 5

luego: = 5

_

x

_

x

_

x

EJEMPLO DE MEDIA ARITMÉTICA

Desembarque de recursos marítimos en últimos 7 años (en TMB):

54 527 124 849 59 416 57 420

49 748 35 706 34 533

El promedio de los desembarques de recursos marítimos es:

= (54 527 + 124 849 + 59 416 + .....+ 34 533) / 7 = 59 457 TMB.

El dato 124 849 difiere en su valor con los demás valores.

Sin este dato el promedio es = 291 350 / 6 = 48 558 TMB.

__

X

__

X

Cálculo de la media aritmética

Para datos agrupados:

n

fxX

k

iii

1

Donde: xi: punto medio de la clase i fi: frecuencia absoluta de la clase i

k: cantidad de clases n: total de datos

63 00030------Total

31 50093500[2800–4200)

25 200122100[1400– 2800)

6 3009 700[0 – 1400)

TOTAL INGRESOS

(xi * fi)

Nº DE HOGARES

(fi)

INGRESO MEDIO

(XI’)

INGRESO MENSUAL (S/.)

Luego: El ingreso promedio : 63000 / 30 = S/.2 100

EJEMPLO:CÁLCULO DEL INGRESO PROMEDIO MENSUAL DE 30 HOGARES : DATOS

AGRUPADOS

EJEMPLO: GASTO MEDIO MENSUAL DE CONSUMO DE AGUA DE 100 HOGARES (EN S/.)

9 090100TOTAL

1215 3405360 - 450

630 2315270 - 360

1350 6 225 180 - 270

2835 21135 90 - 180

3060 6845 0 – 90

GASTO TOTAL

(xi*fi)

Nº DE HOGARES

(fi)

GASTO PROMEDIO

(xi)

GASTO MENSUAL AGUA

El Gasto Promedio Mensual de Agua es: 9 090/100=S/. 90,90

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

n

i

i

n

iii

w

xwX

1

1

•Si los valores que toma x en una serie de datos, no todos tienen la misma importancia, es valido asignar "pesos" o "ponderaciones" de acuerdo a la importancia de cada dato.

Donde:

Xi = Marca de clase de la variable

Wi = ponderación

GASTO TOTALGASTO MEDIONº DE HOGARESESTRATO

329 068,88-------3 133TOTAL (S/. DÍA)

15 445,2648,57318Lima Metrop.

13 712,4076,18180Costa Sur

36 542,94109,41334Costa Centro

42 706,50100,25426Costa Norte

133 070,76187,16711Selva

22 377,6670,37318Sierra Norte

28 809,2873,12394Sierra Sur

36 404,0880,54452Sierra Centro

EJEMPLO : GASTO PROMEDIO DIARIO PONDERADO EN ALIMENTOS DONADOS (PROGRAMAS SOCIALES)

Mediana

Es un valor del conjunto de datos que mide el elemento central: La mitad de los elementos se encuentran por arriba y la otra mitad por debajo de él.

O

50% 50%

Me

Es el valor ocupado por la posición central, cuando los datos se ordenan de acuerdo con su magnitud (ordenando de manera ascendente o viceversa)

n = Número de observaciones

Si n es impar : Me = será el valor que quede al centro de los datos ordenados.

Si n es par : Me = será la semisuma de los dos valores

que quedan al centro, luego de

ordenar la data.

MEDIANA (Me)

EJEMPLO

Hallar la mediana de los siguientes números: 6, 3, 8, 5, 3

donde n = 5 (impar)Ordenando los números en forma ascendente: 3,3,5,6 y 8

Me = valor central = 5

Hallar la mediana de los siguientes números: 2, 4, 3, 7, 9, 5

donde n = 6 (par)Ordenando los datos: 2, 3, 4, 5, 7, 9

Me = Valor central ubicado entre 4 y 5 = (4+5)/2 = 4.5

EJEMPLO: MEDIANA DATOS NO AGRUPADOS

SUPERFICIE COSECHADA DE ALGODÓN EN LOS ÚLTIMOS 9 AÑOS:

73,629 78,806 89,243 68,634 72,028 65,262 84,265 90,579 91,816

Ordenar los datos:

65,265 68,634 72,028 73,629 78,806 84,265 89,243 90,579 91,816

Me = 78,806 ha. MONTO DE ALQUILER MENSUAL DE 8 VIVIENDAS:

1500 250 540 300 750 500 1350 620

Ordenar datos:

250 300 500 540 620 750 1350 1500

Me = {(540 + 620) / 2 } = 580 soles

Cf

FN

Lmed

ant

i

2X~

LA MEDIANA para datos agrupados

GASTO MENSUAL EN CONSUMO DE AGUA

Me = 30 + { [(100/2) - 45]/ 21}* 30 = 30+7,14 = S/. 37,14

Intervalo Mediano

GASTO MENSUAL AGUA EN S/.

Nº DE HOGARES

ACUM.

HOGARES

0 - 30 45 45

30 - 60 21 66

60 - 90 20 86

90 - 120 11 97

120 - 150 3 100TOTAL 100

EJEMPLO: MEDIANA DATOS AGRUPADOS

Es el valor que se repite con más frecuencia en un conjunto de datos.

Ejemplo:

Hallar la moda de los siguientes números:

3, 3, 3, 3, 5, 6, 8, 4, 20, 37, 37, 50, 50, 50

En este caso la moda es: Mo = 3 (se repite cuatro veces)

MODA (Mo)

La Moda es 2 habitaciones: es decir la mayoría de hogares cuenta con dos habitaciones en su vivienda.

MODA: PARA DATOS AGRUPADOS EN TABLA DE FRECUENCIAS (VARIABLE DISCRETA)

Nº DE HABITACIONES POR HOGAR

Nº DE HOGARES

1 20

2 30

3 15

4 5

TOTAL 70

30TOTAL

10 (nj+1)[2000 – 3000)

12 (nj) [1000 – 2000)

8 (nj-1)[0 – 1000)

Nº DE HOGARES[INGRESO MENSUAL)

Moda = Yj-1 + {(nj – nj-1 )/ [(nj – nj-1) + (nj – nj+1)]}* C

Moda = 1000 + {(12 – 8)/ [(12 – 8) + (12 – 10)]}* 1 000

Moda = 1000 + { 4/ [ 4 + 2]}* 1 000 = 1 000 + 666.6 = 1 667 soles

IntervaloModal

MODA: PARA DATOS AGRUPADOS EN TABLA DE FRECUENCIAS (VARIABLE CONTINUA)

MODA: PARA DATOS AGRUPADOS EN TABLA DE FRECUENCIAS

(VARIABLE DISCRETA)

[ENTRADAS MENSUALES) Frecuencia Frecuencia acum.

58 - 67 6 6

68 - 77 19 25

78 - 87 45 70

88 - 97 26 96

98 - 107 4 100

TOTAL 100  

Moda = Yj-1 + {(nj – nj-1 )/ [(nj – nj-1) + (nj – nj+1)]}* CModa = 78 + {(45 – 19)/ [(45 – 19) + (45 – 26)]}* 9Moda = 78 + { 26/ [ 26+ 19]}* 9 = 78 + 5.2 = 83.2 soles

EN UNA DISTRIBUCIÓN SIMETRICA:

X = Me = Mo

Media

Mediana

Moda

fi

RELACIÓN ENTRE LA MEDIA, MEDIANA Y MODA

EN UNA DISTRIBUCION ASIMETRICA:

i) Asimetría positivaAsimetría positiva : X > Me > Mo

ii) Asimetría negativa: X< Me < Mo

fi

fi

RELACIÓN ENTRE LA MEDIA, MEDIANA Y MODA

¿por qué hay 3 medidas de centralización?

Moda es la única que sirve para datos cualitativos, pero cuando estamos trabajando con v cuantitativas no siempre existe.-

La media está afectada por valores extremos La media es fácil de calcular y tiene buenas

propiedades estadísticas

Datos

M3 0 3 5 1 10

M4 0 3 5 1 90

Ejemplo: Calcular las medidas de centralización para el siguiente grupo de datos

media mediana moda

3.8 5

19.8 5

INDICADORES ESTADÍSTICOS DE POSICIÓN

• CUARTILES

• DECILES

• PERCENTILES

CUANTILES

Estadísticos de posición

Cuartiles: Dividen a la muestra en 4 grupos con frecuencias similares.Primer cuartil = Percentil 25 = Cuantil 0,25Segundo cuartil = Percentil 50 = Cuantil 0,5

= medianaTercer cuartil = Percentil 75 = cuantil 0,75

Son valores que dividen a un conjunto de datos ordenados en forma ascendente o descendente en cuatro partes iguales.

Q1 Q2 Q3

25% 50% 75%

CUARTILES

CUARTILES

ii Qkk

k

Qi CFF

Fi.n

lQ

1

14

Calculo de cuartiles para datos agrupados :Calculo de cuartiles para datos agrupados :

Son los valores que dividen a un conjunto de datos ordenados en forma ascendente o descendente en 10 partes iguales.

D1 D9

DECILES

El calculo de los deciles Para datos agrupados:

ii Dkk

k

Di CFF

Fi.n

lD

1

110

DECILES

Son valores que dividen a un conjunto de datos

ordenados en forma ascendente o descendente en

cien partes iguales.

1 P2 P99

PERCENTILES

Calculo de percentiles para datos agrupados :

PERCENTILES

ii Pkk

k

Pi CFF

Fi.n

lP

1

1100

INDICADORES ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN

Dada una distribución de valores de cierta variable X, tales como x1, x2, x3,............, xn, se define amplitud o rango

(recorrido) de la variable X, a la diferencia entre el mayor valor y el menor valor observado, es decir:

xmax : mayor valor de la variable X.

xmin: menor valor de la variable X.

Rango = xmax – x min

AMPLITUD O RANGO

Varianza y desviación estándar poblacional:

Varianza: 2 = (Xi - )2/N

Desviación estándar: = 2

= Media poblacional

N = Tamaño de la población

Varianza y desviación estándar muestral

Varianza: S2 = (Xi - x)2 / (n - 1)

Desviación estándar: s = s2

x = Media muestral

n = Tamaño de la muestra

VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTANDAR

REGLA EMPÍRICA

Tomando como referencia la curva de la Distribución Normal, se

espera que de un conjunto de observaciones, un porcentaje de ellas

“caiga” en el intervalo + ks, donde:

K = 1,2,3,.....

Entre + s se encuentra 68.27% de las observaciones.

Entre + 2s se encuentra 95.45% de las observaciones.

Entre + 3s se encuentra 99.73% de las observaciones.

Entre + 4s se encuentra 99.99% de las observaciones.

USOS DE LA DESVIACIÓN ESTANDAR

_

x

_

x

_

x

_

x

_

x

x x + sx - s

x x + 2sx - 2s

68.27%

95.45%

EJEMPLO:

Supongamos que un analista financiero de una importante empresa de valores está interesado en comparar diferentes empresas, de diversas ramas industriales, con el objetivo de establecer una cartera útil para invertir en acciones. Analizando una muestra de 6 empresas entre una lista de 24 de la rama industrial.

Empresas de recursos naturales

Razón de precio/ utilidad

A 25

B 12

C 23

D 28 E 17

F 15

EJEMPLO:

Utilizando el arreglo ordenado de razones de PU de las empresas de recursos naturales: 12 15 17 23 25 28 El rango es 28-12 = 16 Para nuestro ejemplo la media x

__

= 20. La varianza muestral se calcula de la siguiente manera:

2S =

2

1

1

n

xxn

ii

EJEMPLO:

=

16)2015(...)2012(2025 222

=5

196

=39.2 (en unidades al cuadrado) y la desviación estándar muestral se calcula como:

11

2

2

n

xxSS

n

i i

EJEMPLO:

Calculando la desviación con los datos:

26.62.391

1

2

2

n

xxSS

n

ii

En los datos anteriores sobre las razones de PU, la desviación respecto a la media es de 6.26.

A B C D E F

Empresa

10

15

20

25

30

UP

INDICADORES ESTADÍSTICOS DE FORMA

Las medidas de forma permiten conocer que forma tiene la curva que representa la serie de datos de la muestra.

A) ASIMETRÍA: mide si la curva tiene una forma simétrica, es decir, si respecto al centro de la misma (centro de simetría) los segmentos de curva que quedan a derecha e izquierda son similares.

B) CURTOSIS: mide si los valores de la distribución están más o menos concentrados alrededor de los valores medios de la muestra.

C) CONCENTRACIÓN: mide si los valores de la variable están más o menos uniformemente repartidos a lo largo de la muestra.

MEDIDAS DE FORMA

Hemos comentado que el concepto de asimetría se refiere a si la curva que forman los valores de la serie presenta la misma forma a izquierda y derecha de un valor central (media aritmética).

ASIMETRÍA

El Coeficiente de Curtosis analiza el grado de concentración que

presentan los valores alrededor de la zona central de la distribución.

Se definen 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis:

• DISTRIBUCIÓN MESOCÚRTICA: presenta un grado de

concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable

(el mismo que presenta una distribución normal).

• DISTRIBUCIÓN LEPTOCÚRTICA: presenta un elevado grado de

concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

• DISTRIBUCIÓN PLATICÚRTICA: presenta un reducido grado de

concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

CURTOSIS

Calcular la media aritmética, mediana, moda, varianza y desviación estándar, de los siguientes datos:

43, 51, 37, 39, 19, 24, 27 donde n = impar

•Media aritmética : x = (43+51+37+39+19+24+27)/7 = 34.3

•Mediana: Se ordenan previamente los datos de menor a mayor:19, 24, 27, 37, 39, 43, 51

Me = 37 (valor central)

•Moda: Valor que se repite con más frecuencia. En este caso no hay moda.

•Varianza: ((43-34.3)2+(51-34.3)2+(37-34.3)2+(39-34.3)2+(19-34.3)2+ (24-34.3)2+(27-34.3)2))/ (7-1) = 777.43/ 6 = 129.57

•Desviación estándar: 129.57 = 11.38

LABORATORIO Nº 1:

Calcular e interpretar la media aritmética, mediana, moda, varianza y desviación estándar, de los siguientes datos:

43, 51, 37, 39, 19, 24, 27, 62 donde n=par

•Media aritmética : = (43+51+37+39+19+24+27+62)/8 = 37.75

El promedio del conjunto de datos es de 37.75

•Mediana: Se ordenan previamente los datos de menor a mayor:

19, 24, 27, 37, 39, 43, 51,62

Me = (37 + 39)/ 2 = 38 (valor central)

El valor central del conjunto de datos es de 38

LABORATORIO Nº 1:

_

x

LABORATORIO Nº 1:

Moda : Valor que se repite con más frecuencia.

En este caso no hay moda.

Varianza: ((43-37.75)2+(51-37.75)2+......+(62-37.75)2)/(8-1)=207.07

Desviación estándar: 207.07 = 14.39 La desviación respecto a la media es de 14.39, es decir

tiene una desviación mayor por que sus valores no son cercanos al promedio que es 37.75.

Ingreso Punto medio Número de x-x (x-x)2 fi(x - x )2

(S/.) de clase trabajadores

(X) (fi)

2400-2699 2549.5 7 -450 202500 1417500

2600-2899 2749.5 20 -250 62500 1250000

2800-3099 2949.5 33 -50 2500 82500

3000-3299 3149.5 25 150 22500 562500

3200-3499 3349.5 11 350 122500 1347500

3400-3699 3549.5 4 550 302500 1210000

100 5870000

MEDIA ARITMETICA : X = 2999.5

VARIANZA : S2 = 5870000 / 99 = 59292.93

DESVIACION ESTANDAR : S = 59292.93 = 243.5

CÁLCULO DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR PARA DATOS AGRUPADOS

ÍNDICE DE GINI

Este indicador sirve para medir la concentración de una distribución de frecuencias. Este índice se calcula aplicando la siguiente fórmula:Fórmula de cálculo:

= porcentaje de individuos de la muestra que presentan un valor igual o inferior al de

CONCENTRACIÓN

1,...2,1

)(

ni

pqp

IGi

ii

ip

100*...321

n

nnnnp i

i

ix

= porcentaje de salarios, se calcula aplicando la siguiente fórmula:

CONCENTRACIÓN

)*(...)*()*(

)*(...)*()*(

2211

2211

nn

iii nxnxnx

nxnxnxq

Donde:

= son los valores de cada observación de la variable que queremos medir la concentración.

= son las frecuencias simples de los valores.

ix

in

iq

El Indice de Gini (IG) puede tomar valores entre 0 y 1:

IG = 0 : concentración mínima. La muestra está uniformemente repartida a lo largo de todo su rango.

IG = 1 : concentración máxima. Un sólo valor de la muestra acumula el 100% de los resultados.

En el Laboratorio Nº 1, haremos el cálculo del Indice de Gini de una serie de datos con los sueldos de los empleados de una empresa.

CONCENTRACIÓN

Conocemos los sueldos de 40 empleados, de una empresa, calcular los valores y aplicar el Indice de Gini:

Xi ni ni pi Xi * ni Xi * ni qi pi - qi

3,5 10 10 25,0 35,0 35,0 14,2 10,8

4,5 12 22 55,0 54,0 89,0 36,0 19,0

6,0 8 30 75,0 48,0 137,0 55,5 19,5

8,0 5 35 87,5 40,0 177,0 71,7 15,8

10,0 3 38 95,0 30,0 207,0 83,8 11,2

15,0 1 39 97,5 15,0 222,0 89,9 7,6

25,0 1 40 100,0 25,0 247,0 100 0

pi (entre 1 y n-1) = 535 (pi - qi) (entre 1 y n-1 ) = 83,9

LABORATORIO Nº 2:

Por lo tanto: IG = (pi - qi)/ pi,

IG = 83,9 / 535 = 0,157

INTERPRETACIÓN:

Un Indice Gini de 0,157 indica que la muestra está bastante uniformemente repartida, es decir, su nivel de concentración no es excesivamente alto, por cuanto el resultado, está más cercano al cero que al 1.

LABORATORIO Nº 1:(Continuación)

NÚMEROS ÍNDICES, RAZONES

PROPORCIONES, TASAS Y

VARIACIONES

NÚMEROS ÍNDICES, RAZONES

PROPORCIONES, TASAS Y

VARIACIONES

NÚMEROS ÍNDICES

Es un indicador estadístico que permite apreciar en forma resumida las variaciones en el tiempo o en el espacio de múltiples aspectos de la actividad económica o social.

Al estudiar un mismo fenómeno se puede utilizar diferentes números índices, obteniéndose, necesariamente diferentes resultados

El resultado del número índice depende de la fórmula, año base, ponderación, informantes, estructura de los elementos del índice, etc.

¿QUÉ ES UN NÚMERO ÍNDICE?

Expresa la comparación del valor de una variable entre dos períodos

de tiempo

= Valor de la variable en el período “n”

= Valor de la variable en el período base

Ejemplo:

Hallar el índice relativo del precio de la leche, en el 2007, tomando

como base al año 2005. Sabiendo que el precio del litro de leche en

2005 fue de S/0.85 y en el 2007 de S/0.92.

Precio Relativo = 2007/2005 = Precio 2007/ Precio 2005

=0.92/0.85= 1,082.

xxn 0

xn

x0

ÍNDICE RELATIVO

Los índices relativos pueden ser de precios (p), de cantidades (q),

de valor (v).

Ejemplo de índices relativos de cantidad (q):

De bienes producidos, consumidos, exportados, de enfermos de

un hospital, de alumnos matriculados, etc.

TIPO DE ÍNDICES RELATIVOS

( Rpta: 1,114 ó 111,4)

Ejercicio:

Hallar el índice de cantidad (q) de la producción de papa en el año

2006, que fue de 2885,5 tm; tomando con base al año 1998 en que

la producción alcanzó 2589,3 tm.

Si “p” es el precio de un bien durante un período y “q” es la cantidad o volumen producido, vendido, consumido, etc. durante ese período. Entonces “p.q” se llama valor total.

Así, si en el año 1998, se producen mil kilos de papa a S/. 0,65 cada uno, entonces el valor de la producción de papa será(1 000)(0,65)= 650 nuevos soles

Si en el año 2007 se producen 900 kilos de papa a S/. 0,85 cada uno, entonces el valor será (900)(0,85) = 765 nuevos soles.

IV2007/1998 IV2007

IV1998

S/. 765

S/. 650x 100 x 100 117,69

ÍNDICE DE VALOR (V)

Cuando se trabaja con precios, valores o cantidades, o que se refieren a intervalos de tiempo mayores a dos se llama índices encadenados.

Así, si los precios de un bien durante los años 2004, 2005, 2006 y 2007 son: 8, 12, 15 y 18 nuevos soles respectivamente, los precios relativos de esta cadena serán:

P2005/2004 = 12/8 = 1,50 P2006/2005 = 15/12 = 1,25

P2007/2006 = 18/15 = 1,20

Y el enlace relativo será:

P2007/2004 = P2005/2004 x P2006/2005 x P2007/2006

= (12/8)(15/12)(18/15) = 18/8 = 2,25

El precio relativo con respecto a un período base, puede obtenerse por medio de enlaces relativos, llamado a veces cadena relativa o encadenamiento.

ENLACES Y CADENAS RELATIVAS

A través de este método se divide el total de precios, cantidades o valores de un año dado entre el total de precios, cantidades o valores de un año base.

Donde:

= Suma todos los precios (cantidades o valores) en el año dado y

= Suma todos los precios (cantidades o valores) en el año base.

pn

p0

pp

n

0

IP =

CÁLCULO DEL ÍNDICE POR MÉTODO DE AGREGACIÓN SIMPLE

• No tiene en cuenta la importancia relativa de los diferentes bienes. Así le asigna igual peso o importancia a leche que a la crema de afeitar.

• Las unidades utilizadas en las cotizaciones de los precios tales como salarios, libras, kilos, unidades, afectan el valor del Índice.

INCONVENIENTES DEL ÍNDICE DE AGREGACIÓN SIMPLE

Supera al método anterior porque le da un peso al precio de cada bien, mediante un factor adecuado (cantidad del volumen del bien vendido, por ejm.)

Existen varios métodos, los más usados son:

1. Índices de Laspeyres o método del año base:

2. Método de Paasche o método del año dado:

qpqp

n

nnIP0

qpqp

nIP

00

0

CÁLCULO DE ÍNDICES POR MÉTODO DE AGREGACIÓN PONDERADA

EJERCICIO:

El precio del galón de la gasolina de 84 octanos es el siguiente:

Tomando como base el mes de agosto 2003, hallar los precios relativos de los meses de agosto de 2005 y de 2007.

Rpta.

P(2005)/(2003) = Precio en 2005 / Precio en 2003 = 10,5 / 9,4 = 1,12 = 112

P(2007)/(2003) = Precio en 2007 / Precio en 2003 = 12,45 / 9,4 = 1,32 = 132

Ago-02 Ago-03 Ago-04 Ago-05 Ago-06 Ago-07Precio S/. 8,3 9,4 9,7 10,5 11,95 12,45

EJERCICIOS CON NÚMEROS ÍNDICES

Se desea saber en qué porcentaje ha variado el precio al por mayor de los tubérculos en el mes de octubre 2007, respecto a agosto 2007. Para ello se cuenta con la siguiente información:

Solución:

Agregación Simple

= (0,77+1,41+ 0,89 +0,58)/ (0,73 + 1,31+0,82 + 0,62) = 3,65/3,48= 1,049. Que expresado por 100 = 104,9

Según este índice los precios mayoristas de los tubérculos se incrementaron en 4,9%

Agosto Septiembre Octubre Agosto Septiembre Octubre0,73 0,73 0,77 99,6 157,1 239,71,31 1,33 1,41 4,5 4,5 6,60,82 0,86 0,89 66,3 70,0 77,60,62 0,59 0,58 19,4 20,1 21,3

Precio S/ x Kg. Producción (t)

AgostoprecioSumaOctubreprecioSuma

PP

IP n

....

0

SOLUCIÓN: AGREGACIÓN PONDERADA

Indice de Laspeyres

= 153,3/145,0 = 1,057 Que expresado por 100 es = 105,7

Según este índice los precios mayoristas de los tubérculos, en el mes de octubre 2007, con respecto a agosto se incrementaron en 5,7%

Agosto Septiembre Octubre Agosto Septiembre OctubrePapa 0,73 0,73 0,77 99,6 157,1 239,7Olluco 1,31 1,33 1,41 4,5 4,5 6,6Yuca 0,82 0,86 0,89 66,3 70,0 77,6Camote 0,62 0,59 0,58 19,4 20,1 21,3

Precio S/. x Kg. Producción (t)Producto

)..)(Pr..(Pr

)..)(Pr..(Pr

00

0n

AgoodAgoe

AgoodOcte

qpqp

)4,19)(62,0()3,66)(82,0()5,4)(31,1()6,99)(73,0()4,19)(58,0()3,66)(89,0()5,4)(41,1()6,99)(77,0(

IPL

IPL=

RAZONES, PROPORCIONES Y

TASAS

Es el cociente de dos números, una variable analizada respecto a una variable

de referencia. Ninguno o sólo algunos elementos del numerador están

incluidos en el denominador.

POR EJEMPLO:• Densidad Poblacional (Habitantes por Km2).

Ejm. En el Perú existen 20,5 habitantes por Km2

Deuda Externa Percápita 2007 (29,678’/27,986= 1060,5 dólares)• Rotación de Activos Fijos: Ventas / Activo Fijo.• Índice Cte. o Liquidez General: Activo / Pasivo.• Rentabilidad del Capital: Utilidad Neta/Capital Social.• Razón de médicos por habitante.• Razón de alumnos por aula.• Índice de Masculinidad (Hombres / Mujeres).• Razón de Habitantes por vivienda.

La razón puede mostrar un rango entre cero e infinito, y puede ser expresada

con o sin dimensión.

RAZONES

Es un tipo especial de razón en la que los elementos del numerador están incluidos en el denominador. Puede mostrar un rango entre 0 y 1, y se expresa sin dimensión.

Por ejemplo:• En el Perú 5 de cada 100 personas (5/100), tienen más de 65 años. • En el año 2006 el PBI ascendió a S/ 159 955 millones de nuevos soles

corrientes, se quiere saber que % le corresponde al PBI Agropecuario, si su valor fue S/ 13 295 millones de nuevos soles.

PBI Agro.2006 13 295

PBI Total 2006 159 955

En el año 2006, el PBI agropecuario representa el 8,3% del PBI Total

En resumen: Nos permite obtener estructuras porcentuales.

x 100 =

PROPORCIONES

x 100 = 8,3%

A muchos indicadores de uso corriente se les designa con la palabra “Tasa” y no son otra cosa que proporciones para cantidades o valores:

Ejemplo:Se pide hallar la Tasa de Natalidad, por cada mil, si se sabe que la población es de un país es 29 millones 678 mil habitantes y ocurren 599 mil 300 nacimientos, Tasa de Natalidad = TN =(Nacimientos/Población) x 1000TN = (599 300 / 29 678,000) x 1000TN = 20,2 por milSe pide hallar la Tasa de Mortalidad Infantil (TMI), sabiendo que los niños menores eran 611 mil 600 y en el año mueren 26 mil 972 , antes de cumplir un año de edadTasa de Mortalidad =(TMI)=(Fallecidos/Población) x 1000TMI = (26,972/611,600) x 100 = 44 por mil

TASAS