Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora ANLISIS DE AUTOCORRELACIN 1.DEFINICIN Y CAUSAS DE AUTOCORRELACIN Enestetemasecuestionar,paralosmodelosquetrabajancondatosdeseriesdetiempo,una delashiptesisquedefinenelModelodeRegresinLinealNormalClsico(MRLNC).En concretoseanalizalahiptesisqueestablecequeelvectordeperturbacionessigueuna distribucin segn un vector normal esfrico. 0 ) ( tu E02 2) ( tu E0 s 0 ) ( +S t tu u E Lahiptesisdecovarianzasnulasesmuyinteresantedesdeelpuntodevistadelas propiedadesdeseablesparalosestimadoresmnimocuadrticosordinarios,perocon frecuenciaestahiptesisesdifcildeaceptarenlaprctica,enespecialcuandolas observacionessesucedeneneltiempo.EsteproblemaloreflejMalinvaud1(1964)sealando que: ...existeamenudounacorrelacinpositivaentrelostrminosdeperturbacin separadossperiodosdebidoalhechodequelosfactoresnoidentificadosdel fenmenoactanconunaciertacontinuidadyafectanfrecuentementedeanloga manera dos valores sucesivos de la variable endgena. EntrelosfactoresnoidentificadossealadosporMalinvaudpodraencontrarseunerrorenla especificacindelaformafuncionaldelmodeloylaomisindevariablesrelevantesque puededarlugarauncomportamientosistemticodelosresiduosquepodrainterpretarse como autocorrelacin cuando en realidad se corrige al especificar correctamente el modelo. Enloscasosdeincumplimientodelahiptesisdenoautocorrelacinesnecesarioformularel modeloderegresindeunmodomsgeneralprescindiendodeestahiptesis;estemodelorecibeelnombredemodeloderegresinlinealgeneralizadoysuestimacinserealizar aplicando mtodos distintos al de mnimos cuadrados ordinarios. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 2 2.MODELIZACIN DE LA VARIABLE DE PERTURBACIN ALEATORIA Matemticamenteestesupuestodeautocorrelacinseexpresaapartirdelahiptesisquehace referencia a la covarianza de la perturbacin que, como se ha sealado es no nula. ( ) ... 2, 1, 0, s 0 t t +S t tu u E seestconsiderandoqueeltrminodeperturbacindeunaobservacinestrelacionadocon eltrminodeperturbacindeotrasobservacionesyporlotantolacovarianzaentreelloses distinta de cero y se define como, ( ) 2,... 1, 0, st t + S S t tu u E Estoeslascovarianzasoautocovarianzassonsimtricasenelretardoseindependientes del tiempo2. Apartirdeestasautocovarianzassepuedendefinirloscoeficientesdeautocorrelacin;as,el coeficiente de autocorrelacin del retardo s es,) ( ) () , (S t tS t tSu Var u Varu u Cov++ Bajoelsupuestodehomocedasticidadvarianzasdelaperturbacinconstantesenel tiempo el coeficiente de autocorrelacin se puede expresar como: ... 2, 1, 0, s0t t SS ElmodeloqueahoraseestudiaesportantounModelo de Regresin Lineal Generalizado con autocorrelacinyverificatodaslashiptesisdelmodeloderegresinlinealnormalclsico exceptolaquehacereferenciaalanulidaddelascovarianzasdelaperturbacin.Estenuevo modelo,enelquesesuponequenohayproblemasdeheterocedasticidad,quedaespecificado como,( ) + 2, 0 donde N u u X Y Dadoqueseadmitelaexistenciadeautocorrelacinperonodeheterocedasticidadlamatrizde varianzasycovarianzasdelaperturbacin-2-presentaloselementosdeladiagonal principalconstantes.Esdecir,lamatrizdevarianzasycovarianzasdelaperturbacinesdela forma,

1 Malinvaud, E. (1964) Mthodes Statistiques de l Economrie, p. 83, Dunod, Paris. 2 Cuando s=0, se obtiene la varianza que se define como, 2 20) ( tu EAnlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 3

,_

222 12211 12...... ... ... .........) ' ( n nnnuu E

,_

1 ...... ... ... ...... 1... 12 12 11 12n nnn dondeesunamatrizsimtricaquerepresentalamatrizdecorrelacionesdelas perturbaciones del modelo. As,enunmodeloderegresinhomocedsticosiexisteautocorrelacinaumentademodo considerableelnmerodeparmetrosaestimar;alosk parmetroshayqueaadirahora la estimacindelavarianzadelaperturbacin2,ylasn-1covarianzas;Estoes,paraun modelo connobservacioneshayqueestimark+nparmetros,loqueobligaasuponeralguna estructuradeautocorrelacinparaeltrminodeperturbacin,demodoqueresultems sencilla la estimacin de estos nuevos parmetros. Parapoderestimarestemodelo,obteniendoestimadoresconbuenaspropiedades,seaplican mnimoscuadradosgeneralizadosolatransformacindeAitkenporloqueesnecesario estimar estas correlaciones entre los trminos de perturbacin. Laformaconcretadeestascorrelacionesdependerdelprocesogeneradordelas perturbaciones;aunqueparasuestimacin,ypuestoquelasperturbacionesnoseobservanse utilizarn los residuos mnimo cuadrtico ordinarios (MCO). Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 4 3.FORMAS DE AUTOCORRELACIN. ESQUEMAS AUTORREGRESIVOS Y DE MEDIAS MVILES Elprocedimientoprcticoconsisteenestimarestascorrelacionesdesconocidassuponiendo algunaestructuradelasperturbaciones.Lasestructurasmssencillas,yqueporotrolado especificanbienelcomportamientodelaperturbacin,sonlasquesepresentana continuacincomoprocesosautorregresivos(AR),procesosdemediasmviles(MA)o procesos mixtos (ARMA). Procesos autorregresivos Losprocesosofiltrosautorregresivosestndiseadosdemodoqueelcomportamientodeuna variableenuninstantedetiempodependedevalorespasadosdelapropiavariable.As,siel valordelavariableuenelmomentotdependedesuvalorenelperiodoanteriormsun trminoaleatoriosedicequeelprocesoesautorregresivodeprimerorden(AR(1)).Sila relacindedependenciaseestablececonlospvaloresanterioreselprocesoser autorregresivo de orden p. Matemticamente estos procesos se expresan del siguiente modo, AR(1) t t tu u + 1 AR(2) t t t tu u u + + 2 2 1 1 ... AR(p) t p t p t t tu u u u + + + + ...2 2 1 1 Dondetesunprocesoderuidoblancoyportantoconesperanzanula,varianzaconstantey covarianza nula. Procesos de medias mviles Losprocesosdemediasmviles,porsuparte,seestructuranestableciendounarelacinde dependenciaentrelavariablequesemodelizayunconjuntoderetardosdelavariablede ruidoblancot.Sisloexisteunretardodelavariablederuidoblancoelprocesoserde orden1,mientrasquesiexisteunacombinacinlinealdeqtrminosdeerrorderuidoblanco el proceso se denomina MA(q). MA(1) 1 + t t tu MA(2) 2 2 1 1 + + t t t tu ... MA(q) q t q t t t tu + + + + ...2 2 1 1 Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 5 Procesos mixtos Sielcomportamientodeunavariablesemodelizacombinandoprocesosautorregresivosyde mediasmvilessedenominaARMA.AsunmodeloARMA(p,q)secaracterizaporuna sucesin de ptrminos autorregresivos y q trminos de medias mviles; esto es, q t q t t t p t p t t tu + + + + + + + + ... u ... u u2 2 1 1 2 2 1 1 Elobjetivoqueseplanteaserentoncesconocerquesquemasiguelaperturbacinycules la mejor estructura para su modelizacin. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 6 4.DETECCIN DE LA AUTOCORRELACIN Paradetectarlapresenciadeautocorrelacinsepuedenutilizarmtodosgrficosycontrastes dehiptesis.Atravsdeloscontrastesgrficosseintuirsiexisteautocorrelacincuando existan comportamientos sistemticos para los residuos. Loscontrastesdehiptesis,porsuparte,permiten,atravsdeunaregladedecisin,considerar siconlosdatosdelamuestrayconunniveldesignificacin() concreto se debe o no rechazar la hiptesis nula. Todosloscontrastesnumricosdeautocorrelacinseplanteanconidnticashiptesis;as, podemos sealar que la forma general del contraste es: H0: No existe autocorrelacin H1: Existe autocorrelacin Estoes,enlahiptesisnulaseconsideraqueeltrminodeperturbacincorrespondienteauna observacinesindependientedelcorrespondienteacualquierotraobservacin.Enla hiptesisalternativasesealaqueeltrminodeerrordeunmodeloeconomtricoest autocorrelacionadoatravsdeltiempo.Estahiptesisalternativa,alconsiderarlaexistencia deunpatrndecomportamientoparalosresiduos,sepuedeespecificarconprocesos autorregresivosAR(p),demediasmvilesMA(q)omixtosARMA(p,q) dependiendo del contraste que se vaya a utilizar. Sepresentanacontinuacindistintoscontrastesquepermitendetectarsilasperturbaciones estn o no autocorrelacionadas y, en caso de estarlo, bajo qu esquema. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 7 4.1. Contraste d de Durbin-Watson (1951) ElcontrastedesarrolladoporDurbinyWatson3eslapruebamsfrecuentementeempleada paradetectarlapresenciadeautocorrelacinenlosmodelosderegresin.Estecontraste permiteverificarlahiptesisdenoautocorrelacinfrentealaalternativadeautocorrelacin de primer orden bajo un esquema autorregresivo AR(1):t t tu u + 1 Analticamente el contraste se especifica del siguiente modo: Formulacin de las hiptesis: AR(1) acinautocorrel existe No 0 :0 HAR(1) acinautocorrel Existe1 0 :1< < H Laformaconcretadelahiptesisalternativaestableceunascotasparaelcoeficientede correlacin;stassonnecesariasparagarantizaralgunascaractersticasdelmodelo,enconcreto que la varianza es finita y se trata por tanto de un proceso no explosivo. Estadstico de prueba: ( )nttntt tee ed12221 A partir de este estadstico se puede interpretar que, Sihayautocorrelacinpositivalasdiferenciasentreresiduosquedistanunperiodoes muy pequea por lo que el valor del estadstico d ser prximo a cero. Sihayautocorrelacinnegativalosresiduossernprcticamenteigualesperode signocontrario,sudiferenciaserportantograndeyelestadsticosermsprximoallmite superior que, como se ver, se establece encuatro. Sinohayautocorrelacin,larelacinentrelosresiduosserintermediayportanto,el valor del estadstico experimental tambin alcanzar un valor intermedio. Paraestablecerloslmitesdevariacindelestadsticodlafrmulaanteriorsepuededesarrollar obtenindoseunaexpresinenfuncindelcoeficientedeautocorrelacinmuestraldeprimer orden para los residuos , Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 8 ( ) ( ) + +nttntt tntt tntnttntt t t tnttntt tee e e eee e e eee ed1221221221221212122212 2 dadoque,cuandoeltamaodelamuestraesgrande,sepuedeconsiderarque nttnttntte e e1222122 entonces el estadstico d se puede expresar como, +nttntt t tntee e ed1221222 2

y dado que el coeficiente de correlacin emprico de primer orden se calcula, nttntt tee e1221 entonces el estadstico experimental se puede expresar ) 1 ( 2 d Teniendoencuentaloslmitesdevariacindelcoeficientedecorrelacinemprico, 1 1 , sepuedededucirelrangodevariacindelestadsticodeDurbin-Watsonyelsignodela autocorrelacin,4 d1 se considera que existe autocorrelacin negativa 2 d 0 indica ausencia de autocorrelacin 0 d1 se puede admitir que existe autocorrelacin positiva As, se aprecia que el estadstico experimental tomar valores entre 0 y 4 de tal modo que cunto msprximoacero(acuatro)seaelvalordelestadsticodmayoreslaevidenciade autocorrelacinpositiva(negativa).Sielvalordelestadsticoexperimentaldesdos,entoncesla correlacinmuestralsernulayportantonosedetectarunproblemadeautocorrelacinentre las perturbaciones.

3 J. Durbin y G.S. Watson Testing for Serial Correlation in Least-Squares Regression Biometrika, Vol. 38, 1951, pp. 159-171. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 9 Noobstante,estosvalores(0,2y4)sonlmitesextremosquedebenmatizarseestableciendo regionesmsampliasenlasquepuedaconsiderarsesiexisteonoautocorrelaciny,encasode detectarse,sistaespositivaonegativa.Enestesentidoesnecesario precisar que la distribucin tericadeesteestadsticonoessencillaydependedelosvaloresconcretosdelamatrizde regresores;portanto,noexisteunvalorcrticonicoquepermitaestablecerunareglade decisin.ParasolucionarestadificultadDurbinyWatsonhallaronunoslmitessuperior(du)e inferior (dL) que permiten tomar decisiones acerca de la presencia o ausencia de autocorrelacin. Estosvaloressealanellmitesuperior(du)paraconsiderarautocorrelacinpositivaesto es, paravaloresdelestadsticoexperimentalsuperioresaestelmitenoserechazalahiptesisde ausenciadeautocorrelacinyellmiteinferior(dL)paranorechazarlahiptesisnulay suponerquelascovarianzasdelasperturbacionesdelmodelosonnulasy,portanto,noestn autocorrelacionadas. Sielvalordelestadsticodessuperioradossepuedecontrastarlahiptesisnuladeno autocorrelacinfrentealaalternativadeautocorrelacinnegativa.Elanlisisessimilarpero considerandoelvalormximode4comolmiteparalaautocorrelacinnegativaportantolos lmites anteriores se establecen en los puntos 4-duy4-dL. Grficamente se pueden sealar las regiones del contraste en el siguiente segmento: AutocorrelacinZona de Regin de no rechazo:Zona de Autocorrelacin Positiva Indecisin No autocorrelacin Indecisin negativa 0 dLdu24 - du4 dL 4 Esto es, 0 < d < dL se rechaza H0, existe entonces autocorrelacin positiva con un esquema AR(1) 4- dL < d < 4 se rechaza H0, existe autocorrelacin negativa con un esquema AR(1) du < d < 4-du no se rechaza H0, no existe autocorrelacin dL < d < duel contraste no es concluyente 4-du < d < 4-dLel contraste no es concluyente Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 10 Estoslmitesdependendeltamaodelamuestra(n) y del nmero de regresores del modelo (k). Lastablasoriginalessirvenparamuestrasentre15y100observacionesyunmximode5 regresores.Aosmstarde,SavinyWhite4(1977)publicaronunastablasmscompletasque incluyen tamaos de muestra superiores 5 < n < 200 y hasta 20 regresores. El tratamiento emprico de este contraste requiere de las siguientes fases: 1)Estimacin por mnimos cuadrados ordinarios (MCO) del modelo de regresin 2)Clculo de los residuos MCO 3)Obtencin del estadstico d (experimental) de Durbin-Watson 4)Bsqueda de los niveles crticos del contraste 5)Aplicacin de la regla de decisin Un inconveniente que presenta este contraste es que a veces puede no ser concluyente, por lo que hayqueconsiderar,utilizandootroscriterios,siexisteonoautocorrelacin.Enestesentidouna solucinclsicaconsisteenampliar5lasregionesderechazoconsiderandoasqueexiste autocorrelacinpositivaparavaloresdedinferioresadu yautocorrelacinnegativasilos valores del estadstico experimental son superiores a 4-du. Esteestadsticodeusofrecuente,ytambingeneralmenteimplementadoenlosprogramasy aplicacionesinformticasdeEconometra,sebasaenunconjuntodesupuestosacercadelos cuales es necesario reflexionar. 1)Enprimerlugarhayquesealarqueeldiseooriginaldelcontraste se bas en el anlisisdeunmodeloderegresinqueincluatrminoindependiente.Noobstante,este requisitoexigiblealmodelofueposteriormenteresuelto.En1980,Farebrother6calcul losvalorescrticosdelcontrasteparalosmodelosenlosquenoexistetrmino independiente. 4 N.E. Savin y K.J. White, The Durbin-Watson Test for Serial Correlation with Extreme Sample Sizes of Many Regressors, EconometricaVol., 45, 1977, pp. 1989-1996. 5 Un procedimiento prctico de tipo conservador consiste en tomar la decisin de rechazar la hiptesis nula para valores del estadsticoexperimentalinferioresallmitedu.Enestesentidosehacomprobadoquelasconsecuenciasdeconsiderar autocorrelacin cuando no existe son menos graves que las del supuesto contrario; estos resultados se encuentran detallados en H. Theil, A.L. Nagar Testing the Independence of Regression Disturbares, Journal of the American Statistical Association, EconometricaVol.56,1961,pp.793-806yE.J.HannanyR.D.TerrelTestingforSerialCorrelationafterLeastSquares Regression, Econometrica, Vol. 36, 1966, pp. 646-660. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 11 2)Juntoconlanecesidaddetrminoindependienteenelmodelo,estambinun requisitoquelamatrizdevariablesexplicativasseanoaleatoria,estoesdeterministay fijaenunmuestreorepetido.Portanto,estecontrasteno es vlido en modelos dinmicos que consideren como regresor retardos de la variable dependiente. 3)Lahiptesisalternativaconsideraque,silasperturbacionesestn autocorrelacionadas,elprocesoquelasgeneraesautorregresivodeorden1;estoes, t t tu u + 1. Sin embargo, se ha comprobado que este estadstico es robusto frente a otrasespecificacionesdelahiptesisalternativay,ademspermitedetectarerroresde especificacinderivadosdefaltadeespecificacindinmicay/odelaomisinde variables que estn correlacionadas. Unapruebamsdelgranintersquedemostrestecontrasteeselnmerodeeconmetrasque tratandetabularlosnivelescrticosparadistintossupuestosenlosquesebasaelcontrastede Durbin-Watson. En este sentido podemos citar los siguientes desarrollos: 1)Wallis(1972)desarrollunestadsticosimilarparamodelosderegresincondatos trimestralesenlosquesetratadeprobarlaautocorrelacindeorden4tantoenmodelosque incluyennicamentetrminoindependientecomoenlosmodelosqueincluyenvariables estacionales trimestrales para especificar el nivel autnomo. 2)SavinyWhite(1977)ampliaronlastablasinicialmentepropuestasporDurbinyWatson considerando muestras de 6 a 200 observaciones y hasta 20 regresores. 3)Ding y Giles (1978) amplan las tablas de Wallis considerando ms niveles de significacin. 4)Farebrother(1980)tabullosnivelescrticosparaelsupuestodemodeloderegresinsin trmino independiente. 5)King(1981)proporcionalosnivelescrticosalniveldesignificacindel5%paradatosde seriesdetiempotrimestralesyconvariablesdetendenciay/ovariablesindicadorasde estacionalidad considerando autocorrelacin de cuarto orden. 6)King(1983)obtienelosvaloresdLyduparadatosmensualesenlosqueesconveniente probar una autocorrelacin de duodcimo orden.

6 Farebrother The Durbin-Watson Test for Serial Correlation when there is No Intercept in the Regression Econometrica, Vol. 48, 1980, pp. 1553-1563. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 12 4.2. Contraste d4de Wallis7 (1972) EstecontrastepresentaunamodificacindelestadsticodeDurbin-Watsonparalosmodelos queutilizandatostrimestralesenlosque,dadoelcarcterestacionaldeestasseries,seespera quelaperturbacindeunaobservacinconcretanoestrelacionadaconlaperturbacindel periodoinmediatamenteanteriorsinoquedependadelaperturbacindelmismotrimestre pero del ao anterior, es decir, que la estructura de autocorrelacin sea t t tu u + 4 El contraste plantea en la hiptesis nula la ausencia de autocorrelacin, acinautocorrel existe No 0 :0 Hacinautocorrel Existe1 0 :1< < H ParaverificarsiestaestructuradeautocorrelacinesonociertaWallisproponeuna modificacin del estadstico de Durbin-Watson que denomina d4:( )nttntt tee ed125244 EsteestadsticotambinfuetabuladoporWallisbajoelsupuestodemodeloderegresincon unnicotrminoindependienteytambinparaelcasoderegresionesqueincluyantrmino independienteyvariablesficticiasestacionales8(trimestrales).Aligualqueelcontrastede Durbin-Watson,elestadsticod4sehatabuladosuponiendoquelamatrizderegresoresesno aleatoria y suponiendo tambin que el modelo tiene trmino independiente. Ademsdeestecontraste,King9(1983)desarrollotramodificacindelestadsticode Durbin-Watson.Enestecasoseobtuvieronlosvaloresdeloslmitessuperiores(du)e inferiores(dL)deautocorrelacinparadefinirlasregionesderechazo,indecisinynorechazo cuando se trabaja con datos mensuales. 7 K.F. Wallis Testing for Fourth Order Autocorrelation in Quaterly Regression Equations Econoetrica, Vol. 40, 1972, pp. 617-636. 8 Para otros niveles de significacin pueden consultarse las tablas de D.E.A Giles y M.L. King Fourth-Order Autocorrelation: Further Singnificance Points for the Wallis Test Journal of Econometrics, Vol. 8, 1978, pp. 255-259. 9M.L.KingThe Durbin Watson Test for Serial Correlation: Bounds for Regressions with Trende and/or Seasonal Dummy Variables, Econometrica, Vol. 49, 1981, pp. 1571-1581. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 13 4.3. Contraste h de Durbin10 (1970) ElcontrastedeDurbin-Watson,comoyasehaespecificadoanteriormente,imponecomo condicinparasucorrectainterpretacinquelosmodeloscontenganregresoresexclusivamente noaleatorios;conlocualnosepuedeaplicarenmodelosdinmicosenlosqueseconsidere comoregresoralgnretardodelavariabledependiente.Paracorregirestadeficiencia,Durbin11 desarrollunestadsticoquespuedeaplicarseenestosmodelosqueincluyanretardosdela variable dependiente. Para este caso se ha obtenido un test asinttico para muestras grandes. Laformulacindelashiptesisnulacontinasiendolamismayaquesiguesiendouncontraste para la autocorrelacin de orden uno bajo un esquema autorregresivo AR(1), t t tu u + 1 AR(1) acinautocorrel existe No 0 :0 H Lahiptesisalternativa,porsuparte,seespecificaahorademodoqueelcontrasteseconfigure comouncontrateunilateral;estoes,sevanaestablecerdosposibleshiptesisalternativassegn seconsiderequelaautocorrelacinpuedeserpositivaonegativa.As,elcontrastequedara especificado 0 :0 H 0 :0 H0 :1< H 0 :1> H El estadstico de prueba es ( )ib nVarnh1 quesedistribuyeasintticamentesegnuna distribucin( ) 1 , 0 N loque,conunniveldesignificacindel5%,suponenorechazarlahiptesis nulaparalosvaloresdehpertenecientesalintervalo(-1.645;1.645)yaquesetrabajaconun contraste de una sola cola. Para el clculo de este estadstico se necesitan conocer los siguientes datos: 1)Tamao de la muestra (n) 2)Varianzamuestralestimadadelcoeficientedelregresoraleatorio(Yt -1)enlaregresinMCO del modelo a estimar; es decir, obtenida bajo el supuesto de MRLNC [Var(bi)]. 10EstecontrastefuedesarrolladoporDurbinapartirde..una nota de Nerlove y Wallis que afirmaba que la estadstica de Durbin y Watson no es aplicable en presencia de variables dependientes rezagadas. Vase M. Nerlove y K.F. Wallis, Use of Durbin-Watson Statistic in Inappropiate Situations, Econometrica, Vol. 34, 1966, pp. 235-238 (citado en Maddala, 1996). 11 J. Durbin Testing for Serial Correlation in Least Square Regression when some of the Regressors are Lagged Dependent Variables, Econometrica, Vol. 38, 1970, pp. 410-421. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 14 3) Coeficiente de correlacin estimado ( ) Estecoeficientedecorrelacinestimadosepuedecalcularapartirdelaestimacindeuna estructuraautorregresivadeorden1paralosresiduosunaregresinMCOdelosresiduos frente a un retardo de los mismos (t t te + 1e ); esto es, nttntt tee e22121 Otraposibilidadconsisteencalcularestacorrelacinmuestralapartirdelvalordelestadsticode prueba del contraste de Durbin-Watson, 21 d El procedimiento de contrastacin requiere de la realizacin de las siguientes fases: 1)EstimacinMCOdelmodeloderegresinyobtencindelavarianzaestimadadel coeficiente del regresor aleatorio, Var(bi) 2)Clculo del coeficiente de correlacin estimado 3)Clculo del valor del estadstico experimental h 4)Aplicacindelaregladedecisin.Sih>1,645serechazalahiptesisnulaalnivelde significacindel5%considerandoentoncesqueexisteautocorrelacinpositivadeprimer orden.Paraelcasodeautocorrelacinnegativadeprimerorden,elvalordelestadstico experimental h debe ser inferior a 1,645. Elprincipalinconvenientequetieneestecontrasteesquesielradicandoesnegativo,estoes [n Var(bi)>1],entonceseltestfalla.ParaestoscasosDurbinpropusounprocedimiento asinttico equivalente12 y que consiste en lo siguiente: 1)Estimar por MCO el modelo de regresin y obtener la serie de residuos MCO 2)EstimarunaregresinauxiliarenlaquelosresiduosMCOseespecifiquencomofuncinde todoslosregresoresdelmodeloytambinseincluyacomoregresoradicionalunretardode los residuos.3)Analizar,utilizandoelestadsticothabitual,lasignificacinindividualdelretardodelos residuosdelaregresinauxiliar.Sielcoeficientedelretardodelresiduoes 12 La utilizacin de esta alternativa no siempre es adecuada; en este sentido se puede sealar que un estudio de Monte Carlo deMaddalayRaosugierequeestapruebanoesmuypotentecuandonopuedeaplicarseelcontrastedelestadsticoh. (Maddala y Rao Test for Serial Correlation). Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 15 significativamentedistintodeceroentoncesseconsideraqueexisteautocorrelacinde primer orden. Este procedimiento sirvi de base para el contraste, ms general, de Breusch-Godfrey (1978) que comoseveracontinuacinpermitecontrastarlaexistenciadeotrasestructurasde autocorrelacin distintas a las autorregresivas de primer orden. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 16 4.4. Contraste de Breusch-Godfrey13 (1978) Loscontrastesanteriores,apesardesuvalidezyrobustezparadetectarautocorrelacionesde rdenessuperiores,sedisearoninicialmenteparacontrastarlapresenciadeprocesos autorregresivosdeprimerordenporloqueelprocedimientoadecuado,unavezdetectadoun problemadeautocorrelacin,consistirenelanlisisdeotrosprocesosdeautocorrelacin,ya sean autorregresivos de orden superior, procesos de medias mviles o procesos mixtos. Enestesentido,elcontrastedeBreusch-Godfreyseespecificaconlafinalidaddeanalizarsi existeonoautocorrelacindeordensuperiorauno;paraello,enlahiptesisalternativase incluyenespecificacionesmsgeneralesqueladelmodeloautorregresivodeprimerordenyque se pueden generalizar a cualquier especificacin ARMA(p,q). Enlahiptesisnulaseconsideraahoraquenoexisteautocorrelacin;lahiptesisalternativa especificar un esquema concreto de autocorrelacin. Por ejemplo, en un modelo autorregresivo de orden p. t p t p t t tu u u u + + + + ...2 2 1 1 lahiptesisnulaseformularaconelsupuestodeausenciadeautocorrelacin,esdecir,nulidad de todos los coeficientes autorregresivos,0 ...2 1 0 pH Estecontraste,aligualquelosestudiadoshastaelmomento,sebasaenlosresiduosMCOyse definecomounapruebadesignificacinconjuntadelasprimeraspautocorrelacionesdelos residuos. Para su aplicacin emprica es necesario desarrollar las siguientes etapas: 1)Estimacin por MCO del modelo de regresin y obtencin de los residuos MCO (et)2)Estimacindeunaregresinauxiliardelosresiduosetsobrepretardosdelosmismos,et -1, et -2, ..., et -p, as como sobre las variables explicativas del modelo original. 3)Obtencin del coeficiente de determinacin (R2) de la regresin auxiliar. 4)Formadelestadsticoexperimental, 2 2expR n quesedistribuye,bajolahiptesis nuladenoautocorrelacincomo2p , dondepeselnmeroderetardosdelosresiduos 13 T.S. Breusch y L.G. Godfrey Testing for Autocorrelation in Dynamic Linear Models, Australian Economic Papers, Vol. 17, 1978,pp.334-355.YL.G.GodfreyTesting against General Autorregresive and Moving Average Error Models when the regressors include lagged dependent variables, Econometrica, Vol. 46, 1978, pp. 1293-1302. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 17 incluidosenlaregresinauxiliar;estoes,elordendeautocorrelacinqueseest contrastando; n es el nmero de observaciones del modelo. 5)Regladedecisin:sielvalordelestadsticoexperimentalexcededelestadsticoterico entonceshayevidenciasuficientepararechazarlahiptesisnulayadmitirqueexiste autocorrelacin;encasocontrarionoseracorrectorechazarlaausenciade autocorrelacin. EstecontrastepresentaalgunasventajasfrentealestadsticodeDurbin-Watson;sepuede considerarqueelcontrastedeBreusch-Godfreypuedeutilizarseenmodelosqueincluyancomo regresoresalgunosretardosdelavariableendgena, sin que por ello cambien las propiedades del contraste. Ensegundolugarsepuedesealarqueestecontrastepermiteespecificarenlahiptesis alternativacualquieresquemadeautocorrelacinyaseaatravsdeunprocesoautorregresivo,de medias mviles o mixto. ApesardeestasventajasquelopuedenhacerpreferiblealcontrastedeDurbinWatson,nohay queolvidarqueparalaaplicacindeestecontrasteesnecesarioespecificarunalongituddel retardoyquestasedeterminarporunprocedimiento de experimentacin basado en el anlisis designificacinindividualdelosretardosdelosresiduos,loqueenprincipiopodradificultarla tarea de seleccin del orden de autocorrelacin. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 18 4.5. Contraste de Sargan (1964) CuandoelresultadodelcontrastedeDurbin-Watsonindicaquedeberechazarselahiptesis nulaelorigendeestaposibleautocorrelacinpuededebersealaexistenciadeerroresenla especificacindelmodelo.Porejemplo,laomisindevariablesrelevantesllevaraaincluir esasvariablesomitidaseneltrminodeperturbacin;siestasvariablesestuvieran correlacionadaspodradetectarseunproblemadeautocorrelacinenlaperturbacincuando el verdadero origen de sta se debe a la falta de especificacin de aqullas. EnestesentidoSargan14(1964)yposteriormenteHendryyMizon15(1978)buscaronuna formadedistinguir,enloscasosenqueelestadsticodeDurbin-Watsondetectalapresencia deautocorrelacin,sistasedebeaunerrordeespecificacindinmicaosiesrealmenteun problema de las perturbaciones del modelo. As,puedeapreciarsecmounmodeloderegresinconperturbacionesAR(1);estoes t tu Y + tX conperturbacin t t tu u + 1,puedeescribirsecomounmodelo dinmico autorregresivo,t tY + + 1 - t t 1 - tX X Y Reparametrizandoelmodeloanteriorsepuedeexpresaralternativamentecomo, t te Y + + + 1 - t 3 t 2 1 - t 1X X Y ,dondedeberaverificarselasiguienterestriccin 0 :3 2 1 0 + H Sargansugierecomenzarconunaespecificacindinmicaycontrastarlarestriccinanterior antesdeprobarcualquieranlisisdeautocorrelacin.Sicomoresultadodelcontraste 0 :3 2 1 0 + H seobtienequeesarestriccinescierta,estoesquenoserechazala hiptesisnula,entoncessepuedeconsiderarquelosdosmodelossonidnticosyportantono existeerrordeespecificacinconloquedeberapasaracontrastarsesiexisteono autocorrelacin.Enelcasoenqueserechacelahiptesisnulaentonceslosposibles problemasdeautocorrelacindetectadossepuedenreferiraunerrordeespecificacinal haber omitido en la especificacin inicial los regresores dinmicos Xt -1 e Yt -1. 14 J.D. Sargan ,Wages and Prices in the United Kingdom: A Study in Econometric Methodology en P.E. Hart, G. Mills y J.K. Whitaker (editores), Econometric Analysis for National Economic Planning, Colston Papers 16 (London: Butterworth, 1964), pp. 25-54. 15 D.F. Hendry y G.E. Mizon Serial Correlation as a Convenient Simplification, Nor a Nuisance: A Comment on a Study of the Demand for Money by the Bank of England The Economic Journal, Vol. 88, sept. 1978, pp. 549-563. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 19 En este mismo sentido se manifiestan Johnston y Dinardo (2001) quienes sealan, ... en la prctica lo normal es que exista escasa informacin relativa a la especificacin; porestaraznaconsejamosdesarrollarunaespecificacinricaenvariablesapartirde larelacinoriginal,conobjetodeevitarlanecesidadderealizarespecificaciones complejas del trmino de perturbacin... Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 20 4.6. Anlisis de la Funcin de Autocorrelacin yFuncin de Autocorrelacin Parcial Lafuncindeautocorrelacinylafuncindeautocorrelacinparcialconstituyenunadelas herramientasprincipalesenlaidentificacindelasestructurasautorregresivasydemedias mviles. Loscoeficientesdeautocorrelacinproporcionaninformacinsobrelarelacinlinealentre losresiduosdelmodeloseparadosporkunidadestemporales.Esdecir,indicanelgradode correlacinentrecadavalordelresiduoylosdesplazados1,2,...hperiodos.Suponiendoque lasvarianzasdelosresiduossonconstantesalolargodeltiempo,elcoeficientede autocorrelacin terico, como ya se ha sealado, se expresa como, 0SSEsto es,1000 011 dondese verifica que00> s s s s Larepresentacingrficadeestoscoeficientesdecorrelacinparaunconjuntoderetardos sucesivos dar lugar a la funcin de autocorrelacin simple (FAS). Juntoconestoscoeficientesdeautocorrelacinsedefinenlosdeautocorrelacinparcialque midelacorrelacinentredosmomentosdetiempodespusdeeliminarelefectodelos momentosintermedios.Larepresentacingrficadeestoscoeficientesrecibeelnombrede funcin de autocorrelacin parcial (FAP). Elconceptodeautocorrelacinparcialesanlogoalconceptodecoeficientederegresin parcial.EnelMRLNCelksimocoeficientederegresinmideelcambioenelvalormediode lavariabledependienteanteuncambiounitarioenelregresork,manteniendoconstantela influenciadelosdemsregresores(oaislandolosefectosdelosposiblesrestantesvariables explicativas).Demodosimilarlaautocorrelacinparcialmidelacorrelacinentre observacionesqueestnseparadaskperiodosdetiempomanteniendoconstanteslas correlacionesenlosretardosintermedios.Luegoestoscoeficientespuedenobtenerseapartir de la siguiente expresin,Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 21 t p t p t t t ta u u u u u + + + + + ...3 3 2 2 1 1 donde p eselcoeficientedeautocorrelacinparcialyaquemideelefectoadicionaldela variableut -Psobreut.Msconcretamenterecogeelefectoquesobrelavariableuttieneun retardodeestamismavariable,aisladoslosefectosdelasposiblesrestantesretardoso considerando stos como constantes. Elclculoempricodeestoscoeficientesnoesmateriaobjetodeestudiodeestecaptulo;no obstante,podemossealarqueatravsdelasecuacionesdeYule-Walker(1930)sepueden establecerlasrelacionesentreloscoeficientesdeautocorrelacin( )yloscoeficientesde autocorrelacin parcial ( ). LospatronesquesiguenlasFASyFAPsondistintosparalosprocesosARyMA,porloque puedenutilizarseparalaidentificacindelaseriederesiduosdelmodelo.Enelcasoconcreto delosprocesosautorregresivosAR(p)laFASdecrecegeomtricaoexponencialmenteyla FAPsecortadespusdep-retardos,estoespresentapcoeficientessignificativos.Paraelcaso deprocesosdemediasmvilesMA(q)ocurrealcontrario;lafuncindeautocorrelacin parcialdecrecedeformageomtricaoexponencialylafuncindeautocorrelacinsimplese anula para retardos de orden superior a q. Enlasestimacionesprcticasestoscomportamientosnosontanprecisosporloqueatravs decontrastesdehiptesisdeberdeterminarsecundouncoeficienteestimado(de autocorrelacinodeautocorrelacinparcial)esconsideradonuloapesardelvaloremprico quepresente.Paraelloserealizancontrastesdesignificatividadestadsticadeloscoeficientes estableciendounasbandasdeconfianzaporencimadelasculesloscoeficientesresultan significativos. Estasbandaspuedencalcularseapartirdelcoeficientedecorrelacinempricoquepresentala siguiente distribucin de probabilidad:

,_

,_

+ 1122 1n1, 0kss kAN Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 22 Aunquelavarianzanoesconstante,elprogramaEViewsconsideraque0 112kss ydibuja unasbandasdefluctuacinparalelas.Sitodosloscoeficientesdecorrelacinsesitandentro deestoslmiteselprocesoseconsideradeRuidoBlanco.Cuandoexistencoeficientesqueno sesitandentrodelasbandashabrquebuscarelpatrndecomportamientosegnun esquema autorregresivo (AR), de medias mviles (MA) o mixto (ARMA). Estemtodogrficosecomplementaconotrosmtodosnumricoscomosonloscontrastes Q deBox-Pierce(1970)yQdeLjung-Box(1978)quesebasanenunanlisisdesignificacin deunconjuntoderetardosdelosresiduos.Estoes,lahiptesisnulaseformulaconsiderando laausenciadeautocorrelacinloqueequivaleaconsiderarlanulidaddeunconjuntodeestos residuos;0 ... :2 1 0 mH Estoscontrastessonmuysimilaresysedefinenenamboscasosapartirdelasumaacumulada de los coeficientes de correlacin empricos con las siguientes especificaciones. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 23 4.7. Contraste de Box-Pierce-Ljung BoxyPierce16desarrollaronunestadsticoque,basadoenloscuadradosdelosprimeros coeficientesdeautocorrelacindelosresiduos,permiteanalizarsiexisteono autocorrelacin. Elestadsticosedefinecomounasumaacumuladadeestoscuadradosdeloscoeficientesde correlacin empricos; esto es, pjjn Q12 siendo + nttnj tj t tjee e121 BajolahiptesisnuladenoautocorrelacinelestadsticoQsedistribuyeasintoticamente segnuna 2 congradosdelibertadigualaladiferenciaentreelnmerodecoeficientes acumulados(p)yelnmerodeparmetrosestimadosalajustarelprocesoARMAquese considere. PosteriormenteesteestadsticofuerevisadoporLjung-Boxobtenindosemejoresresultados para muestras pequeas si se utiliza esta otra expresin alternativa. ++ pjjj nn n Q12) () 2 ( ' EstosestadsticossedefinieroninicialmenteparaelanlisisdeSeriesTemporalesperoa vecestambinseutilizanparaverificarlahiptesisdeautocorrelacinenlosmodelosde regresin.Noobstante,estaaplicacinenmodelosestructuralesdeberealizarseconcautelaya quelainclusindevariablesexgenasenelmodelotieneunefectodesconocidosobreel estadstico experimental17. Sinembargo,puestoquesetratadeunprocedimientoimplementadoenEViewssepresenta aqucomounaprimeraaproximacinalanlisisdeautocorrelacinquedeberestudiarsecon 16 G.E.P. Box y D. A. Pierce Distribution of Residual Autocorrelations in Autoregresive-Integrated Moving Average Time Series Models, Journal of the American Statisticak Association, vol. 65, 1970, pp. 1509-1526. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 24 msdetalleconloscontrastespresentadosanteriormenteyquesediseabanespecficamente para modelos de regresin estructurales.

17H.DezhbakshTheInapropiateUseofSerialCorrelationTestinDynamicLinearsModels, Review of Economics and Statistic, Vol. LXXII, 1990, pp. 126-132. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 25 5. ESTIMACIN, INFERENCIA Y PREDICCIN Enelcaptulodedicadoalanlisisdelmodeloderegresingeneralizadoyasehaestudiado que,enestemodelo,losestimadoresMCOsonlineales,insesgadosperonoptimos,porlo queparaconseguirunaadecuadaestimacindelosparmetrosdelmodeloypoderrealizarlos procesosdeinferenciaseutilizarnlosestimadoresdemnimoscuadradosgeneralizados (MCG) tambin estudiados en el tema once. Enlaestimacineinferenciadelosparmetrosdelmodelolaautocorrelacinorigina problemassimilaresalosyaanalizadosenelmodeloconheterocedasticidad:laestimacin porMCOcontinasiendoinsesgadaperoahoraesineficienteconloquelosprocesosde inferencia quedan invalidados. DadoquelosestimadoresdeMCOnosoneficientessumatrizdevarianzasycovarianzas estmalcalculadalosprocedimientosdeinferenciahabitualesnosonvlidosyaquees probablequeseobtenganresultadosquellevenaconsiderarqueloscoeficientesnoson estadsticamentesignificativosesdecir,coeficientesigualesacerocuandoenrealidads losean.EnestecasoesaconsejableutilizarlosestimadoresdeMnimosCuadrados Generalizados(MCG)oMnimosCuadradosGeneralizadosFactibles(MCGF)yaque presentanmejorespropiedades.Laformaespecficadeestosestimadoresdependerdel proceso subyacente para la perturbacin. En este sentido Gujarati (1997) concluye que,Para establecer intervalos de confianza y probar hiptesis debe utilizarse MCG y no MCO,ancuandolosestimadoresderivadosdeesteltimoseaninsesgadosy consistentesy las pruebas de significacin t y F usuales dejan de ser vlidas y, deserstasaplicadas,esprobablequeconduzcanaconclusioneserrneassobrela significacin estadstica de los coeficientes de regresin estimados. Enesteepgrafeseabordalaestimacindeunmodeloderegresinlineal,homocedsticoy conperturbacionesautocorrelacionadas.Losdistintosprocedimientosdeestimacinqueaqu sepresentanpartendelsupuestodemodelosderegresinconmatrizderegresoresno estocstica;elsupuestodemodelosconvariablesdependientesretardadasmodelos autorregresivos no es objeto de estudio en este tema. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 26 Sevaaestudiarportantolaestimacinenunmodeloquecomoyasehasealadocumplelas siguientes hiptesis u X Y + 0 ) ( u E 2) ' ( uu E matriz con varianzas constantes y covarianzas no nulas Paraestemodeloquepresentamosexistendistintosmtodosdeestimacinque,bsicamente difierenenlainformacinquesetengaacercadelamatrizsegnqueestaseaconocidao desconocida y deba por tanto estimarse. Silamatrizesconocidaseaplican,aligualquesesealparaelproblemade heterocedasticidad,MCGyaqueelmodeloconelqueseesttrabajandonoesunMRLNC sino un MRLG. Silamatrizesdesconocidastadeberdeestimarseenfuncindelprocesode autocorrelacindelmodelo.Unavezestimadaestamatrizseaplicarloquesehadadoen llamarMCGF.EstosestimadoresdeMCGFconservanlaspropiedadesasintticasdelos MCGsiemprequelosestimadoresdelaprimeraetapaestoes,laestimacindelamatriz sean consistentes. Estimacin prctica del modelo: aplicacin con el programa Eviews Enlaprcticalaestimacinquesevaautilizarconsisteenlaaplicacindirectadealgunode losprocedimientosquetieneimplementadosEviews.Esteprogramapermiteestimarel modeloderegresinporMCOincorporandolaestructuradeautocorrelacinsinmsque aadir,alosregresoresdelmodelo,laespecificacinconcretadelaperturbacin;estoesel tipodeprocesoyelordendelmismo.As,paraelsupuestodeunprocesoautorregresivode segundo orden la estimacin en Eviews se realizar a partir de los siguientes comandos, Quick/ Estimate Equation/ Y C X2 X3 AR(1) AR(2) Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 27 SielprocesofuerademediasmvileslostrminosqueseaadensonMA(1),MA(2), MA(q)yencasodeunprocesomixtoseincluirantantolostrminosautorregresivoscomo los de medias mviles. OtraposibilidadqueofreceEviewsconsisteenlaestimacindelmodeloporMCOperocon unaestimacinconsistentedelamatrizdevarianzasycovarianzasdeloscoeficientesde modoqueseanvlidoslosprocesosdeinferencia.Paraello,desdelaventanaenquese especificalaestimacindeMCOseactivaelbotnOptionsyseseleccionaHeterokedaticiyy laestimacinconmatrizdevarianzasycovarianzasdeNewey-West(recurdesequeparael caso de heterocedasticidad la opcin a seleccionar era la matriz de White). Elanlisisdeprediccinenlosmodelosconautocorrelacinnecesitaincluirlaestructurade laperturbacin;esteanlisissevaadesarrollarunicamenteparaelcasodeprocesos autorregresivosdeprimerorden.Laaplicacinparaotrasestructurasserealizar automticamente con las opciones de Eviews. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 28 6.PROCESO AUTORREGRESIVO DE PRIMER ORDEN AR(1) ElprocesoautorregresivodeprimerordenAR(1)eselprocesomsfrecuentemente analizadotantodesdeunpuntodevistatericocomoemprico;enestesentidosepuede sealarquelaliteraturaempricaestaplastantementedominadaporelmodeloAR(1) [estemodelo]haresistidoloscontrastesdetiempoyexperimentacinmostrndosecomoun modelorazonableparaelprocesosubyacentequeprobablementeenrealidad,es complejamente opaco. (Greene, 1999) Esnecesariosealartambinquelosprocesosderdenessuperioresson,confrecuencia, extremadamentedifcilesdeanalizaryquegranpartedelosmodeloseconmicoscon problemasdeautocorrelacinpresentanunprocesoautorregresivodeprimerordenporloque steeselsupuestoqueseconsideraahoraparaanalizarlaestimacindelosmodelosde regresin homocedstico y con problemas de autocorrelacin. Definimosahoraelprocesoautorregresivodeorden1apartirdelaestructura, t t tu u + 1 dondetesunavariablequesedenominaderuidoblancoyqueverificalassiguientes propiedades, t 0 ) ( tE t ) var(2 t s t 0 ) (1 t tE I E2) ' ( LaexpresindelprocesoAR(1)sepuedeformulartambincomounprocesodemedias mvilesdeordeninfinitosinmsquesustituirdeformacontinuadalavariableretardarda; esto es, ...221+ + + t t t tu 0 ii titu Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 29 Las propiedades que verifica el proceso autorregresivo AR(1) son, 0 ) ( tu E2221) ( ) var( t tu E u 1 < condicin necesaria para que la varianza sea finita CovarianzasCorrelaciones 21 u t t) u u ( E 1 2 22 u t t) u u ( E 22 2 33 u t t) u u ( E 33 .2uSS t t) u u ( E SS Luego la matriz de varianzas y covarianzas de la perturbacin se puede expresar, 111111]1

1111321 22... .........`) uu ( Ennnu uu 111111]1

1... ...... 1... 111321 222nnn siendo la matriz, 111111]1

1... ...... 1... 1111321 22nnn ParalaestimacindelmodeloderegresinaplicandoMCGsenecesitaraconocerlainversa de esta matriz que es, Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 30 11111111]1

+ + + 1 0 ... 0 0 01 ... 0 0 0... ... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 1 00 0 0 ... 10 0 0 ... 0 12221 Oalternativamente,sielmodelogeneralizadosequisieratransformaraunmodeloclsico utilizandolatransformacindeAitkensenecesitaraexpresarlamatrizdepasoPqueparael supuesto concreto de un modelo autorregresivo de primer orden se formula, 111111]1

1 ... 0 0 0... ... ... ... ... ...0 0 ... 1 00 0 ... 0 10 0 ... 0 0 12P Apartirdeestamatrizdepasotambinllamadamatrizdetransformacinse transformaran las variables del modelo del siguiente modo Y*=P Y, X*=P X. Parasimplificarlanotacinvamosaconsiderarelmodeloderegresinsimple18, t tu Y + + tX enelquelasperturbacionessiguenunesquemaautorregresivodeprimer orden, t t tu u + 1.Lasvariablestransformadassecalcularanapartirdelassiguientes expresiones, ( )11111]1

11 212...1*n nY YY YYY ( )11111]1

11 212 2...1

1...11*n nX XX XXX Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 31 Teniendoencuentaestasmatrices,-1,Psesealanacontinuacinlosdistintos procedimientosdeestimacinparaelprocesoautorregresivodeprimerordenqueseest analizando. 1)Estimacin con conocida: Mnimos Cuadrados GeneralizadosParaelcasoconcretodeperturbacionesautocorrelacionadassegnunesquemaautorregresivo deorden1AR(1)esrelativamentesencilloutilizarestemtodoquesereduciraala aplicacin directa de la frmula ( ) Y X X X b111*' ' Conlaformaconcretadelamatrizdefinidaanteriormenteotransformandolasvariablesy estimandoporMCOunaregresindeY*sobreX*yteniendoencuentaqueahoranosedebe incluir trmino constante en el modelo. Modelo de regresin t tu Y + + tX con perturbaciones AR(1) t t tu u + 1 Modelo de regresin expresado en el periodo t-1 y multiplicando por 1 1 - t 1X + + t tu Y Se realiza la diferencia entre uno y otro ) ( X X ) 1 ( ) (1 1 - t t 1 + + t t t tu u Y Y t t tY Y + + ) X (X ) 1 ( ) (1 - t t 1 este modelo se puede expresar como t tY + + *t* *X ypuestoquetverificalashiptesisclsicasestemodeloconvariablestransformadasse podraestimarporMCOylosestimadoresobtenidosseranptimos;esteprocedimientoes

18 Los procedimientos que se van a desarrollar en este epgrafe consideran, por simplicidad, un modelo de regresin simple pero es necesario sealar que la inclusin de otros regresores no cambiara el procedimiento ya que la correccin se hace para el problema de autocorrelacin que es una caracterstica de la perturbacin y no de los regresores. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 32 equivalentealaaplicacindeMCGconlanicadiferenciaqueseprescindedelaprimera observacin. Ntesequeesteprocedimientoessimilaraprescindirdelainformacindelaprimerafila delamatrizPyestimarunmodeloconvariabledependiente( )1 t tY Y sobreunaconstante y( )1 t tX X utilizandoestatransformacindesdelasegundaalaltimaobservacin.Este mtodo, aunque no coincide exactamente con MCG, s es asintticamente equivalente. Noobstante,elprincipalproblemaquesepresentaparaaplicarmnimoscuadrados generalizadoporcualquieradeestosprocedimientosesqueelvalordeesdesconocidopor loquedeberestimarsecomounparmetromsdelmodeloderegresinaplicndose entonces el mtodo de Mnimos Cuadrados Generalizados Factibles. 2)Estimacin con desconocida: Mnimos Cuadrados Generalizados Factibles Elsupuestoanalizadoenelcasoanteriorespocofrecuentesiendolohabitualtrabajarcono modelosquepresentanautocorrelacinenlosquesedesconocenloselementosque configuranlamatrizEnestoscasosesnecesariorealizarenprimerlugarunaestimacinde dichamatrizqueparaelcasoqueestamosanalizandoprocesoautorregresivodeprimer orden se reduce a una estimacin del coeficiente Acontinuacinsesealanalgunosprocedimientosparaestimarelcoeficientede autocorrelacinperoestalistanoesexhaustiva;existenotrosmtodos,comoeldemxima verosimilitud,queaqunosepresentan.Losqueaqusemuestransonprocedimientosque, bsicamente,sedesarrollanendosetapas.Enlaprimeraetapaseobtieneunaestimacinde queseutiliza,enlasegundaetapa,paratransformarlasvariablesconlasqueestimaruna ecuacinendiferenciasgeneralizadamtodoestequecomoyasehasealadocoincide bsicamenteconlaaplicacindeMCGTodosestosprocedimientosseconocenconel nombredeMCGFyaque,enlugardelverdaderovalordelcoeficienteutilizanuna estimacin del mismo. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 33 Procedimiento iterativo de Cochrane-Orcutt19 LaestimacinplanteadaporCochrane-Orcuttesunprocesoiterativoquepermiteestimarel valor del parmetro de autocorrelacin desconocido (). EnunaprimeraetapaseestimaelmodeloderegresinporMCOysecalculalaseriede residuosMCO;apartirdestosserealizaunaregresinauxiliardelosresiduossobrelos residuosdelperiodoanteriorsinincluirtrminoconstante.Deestemodoseobtieneuna primeraestimacindelcoeficientedeautocorrelacindeprimerorden20.Apartirdeestevalor estimadosetransformanlasvariablesdelmodeloderegresinqueseutilizanpararepetirla estimacin del modelo (etapa 1) y continuar con el procedimiento descrito. EsteprocesofinalizacuandoelestadsticoddeDurbin-Watsonindiquequelosresiduos MCOdelaetapa1sonderuidoblancoo,alternativamente,sepuedefinalizarelproceso cuandolasestimacionessucesivasdelparmetrodifieranenmenosdeunacantidad prefijada por ejemplo 0,01 0,005. Esnecesariosealarquelaaplicacindeestemtodoreduceelnmerodeobservacionesde la muestra ya que se omite la informacin relativa a la primera observacin. Procedimiento o Modificacin de Prais-Wisten21 (con informacin completa) UnamodificacindelprocedimientodeCochrane-OrcuttfuepropuestaporPraisyWisten (1954);estosautoressugierenampliareltamaodemuestraincluyendounatransformacin paralaprimeraobservacinque,comoconsecuenciadelautilizacindeprimerasdiferencias, desaparece.Enlugardeutilizarelmodeloquesurgedirectamentedelatransformacinse incorpora,paralasprimerasobservacionesdelasvariableselfactordecorreccin( )21 , conloquelaprimeraobservacinparalavariabledependienteser( )121 Y y 19D.Cochrane y G.H. Orcutt,Application of Least Squares Regressions to Relationships Containing Autocorrelated Error Terms Journal of the American Statistical Association, Vol. 44, 1949, pp.32-61. 20Laestimacindelcoeficientedeautocorrelacintambinsepodra calcular a partir del estadstico de Durbin-Watson que como ya se ha sealado permite obtener, 21dr 21 S.J. Prais y C.B. Winsten Trend Estimation an Serial Correlation Cowles Comission Disucussion Paper, n383, Chicago, 1954. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 34 anlogamenteparalamatrizderegresores.Estamodificacinpermitemejorarlaeficienciaen la estimacin de muestras pequeas. Procedimiento en dos etapas de Cochrane-Orcutt Esteprocedimientosemuestracomounaversinabreviadadelprocesoiterativo;laprimera etapaseraequivalentey,acontinuacin,enlasegundayltimaetapaseestimarala ecuacin en diferencias a partir del coeficiente de autocorrelacin estimado. Mtodo de Durbin de dos pasos Durbin22(1960)proponeunaprimeraestimacindelmodeloencuasidiferenciasexpresadoa partir de la igualdad, t t tY Y + + + 1 1 - t tX X ) 1 ( Comoprimeraestimacindelcoeficientedeautocorrelacinsevaaconsiderarelcoeficiente delavariableendgenadesplazada,yaque,aunquesesgada,setratadeunaestimacin consistente de Estaprimeraestimacindelcoeficientedeautocorrelacinpuedeservirdebaseparala aplicacindecualquieradelosotrosdosmtodospresentadosconanterioridad.Enconcreto, GrilichesyRao23muestran,apartirdeunestudiodeMonteCarloqueelestimadorobtenidoa partirdeunaprimeraestimacinconelmtododeDurbinyseguidodelprocedimientode Prais-Wistenparalasvariablestransformadasesmejorotrasalternativas.Enestesentido Greene(1998)citandoaHarveyyMcAvinchey(1981)afirmaqueesbastantepeor omitir la primera observacin que mantenerla. 22 J. Durbin Estimation of Parameters in Time Series Regression Models Journal of the Royal Statistical Society, ser. B, Vol. 22, 1960, pp. 139-153. 23 Z. Griliches y P. Rao Small Sample Propierties of Several Two Stage Regression Methods in The Context of Autocorrelated Errors, Journal of the American Statistical Association, Vol, 64, 1969, pp. 253-272. Anlisis de AutocorrelacinJ.M. Arranz ,M.M. Zamora 35 Prediccin con perturbaciones AR(1)24 Unavezquesehadetectalapresenciadeautocorrelacinenunmodeloderegresinesta informacindebeconsiderarsepararealizarlaprediccin;asporejemplounmodelode regresinsimpleconperturbacionesAR(1)lamejorprediccinparaunperiodoextramuestral n+1 debe incluir una correccin por autocorrelacin; por tanto, 1 1 + ++ n nX b a Y no es la mejor prediccin para el periodo n+1ya que n 1u ) ( + nu Eque podra estimarse a travs de) (Y u n n nbX a Portanto,laprediccindeYparaelperiodon+1debeincorporarestainformacin obtenindose el siguiente predictor n 1 1u + + + + n nX b a Y ) ( n n 1 1bX a Y X b a Yn n + + + + yestepredictorcoincideconelqueseobtendrahabiendotransformadoelmodelocon cuasidiferencias. 24 Este tema se puede estudiar con ms profundidad en a.S. Goldberger Best Linear Unbiased Prediction in the Generalized Linear Regression Model Journal of the American Sotstistical Association, Vol. 57, 1962, pp. 369-375.