ANALISIS COMPLEJO

Practica 1

Numeros Complejos - Plano Complejo

1 . Exprese los siguientes numeros complejos de la forma a + ib donde a y b sonnumeros reales.

i) (−1 + 3i)−1 ii) (i+ 1)(i− 1)(i+ 3) iii)2 + i

2− i

iv)1 + i

iv)

(2 + i

3− 2i

)2

vi) (1 + i)100

vii) (1 + i)n + (1− i)n

2 . Sean z y w dos numeros complejos. Muestre que

i) z = z si y solo si z ∈ IR

ii) z + w = z + w

iii) z · w = z · w

iv) Re(z) =z + z

2

v) Im(z) =z − z

2i

3 . Pruebe que si z0 ∈ C es raız de anXn + an−1X

n−1 + · · · + a0 = 0 , entoncesz0 ∈ C es raız de anX

n + an−1Xn−1 + · · ·+ a0 = 0 .

Deducir que si P (X) es un polinomio con coeficientes reales y z0 ∈ C es raız deP (X) , entonces z0 ∈ C tambien lo es.

4 . Sea | z |=√zz para cada z ∈ C. Probar que

i) Si z = a+ bi , | z |=√a2 + b2

1

ii) | z · w |=| z | · | w | y∣∣∣ zw

∣∣∣ =| z || w |

iii) − | z |≤ Re(z) ≤| z | y − | z |≤ Im(z) ≤| z |

iv) | z + w |2 =| z |2 + | w |2 +2Re(z · w)

v) | z − w |2 =| z |2 + | w |2 −2Re(z · w)

vi) | z + w |2 + | z − w |2 = 2(| z |2 + | w |2

)vii) | z + w |≤| z | + | w |

viii)∣∣| z | − | w |∣∣ ≤| z + w |

5 . Probar que d : C× C→ IR definida por d(z, w) =| z − w | es una metrica.

6 . Sea α = a+ bi , z = x+ iy y sea c > 0 . Transforme la condicion | z−α |= c enuna ecuacion que involucre solo a x ,y ,a , b y c ; describir que figura geometricarepresenta esta ecuacion.

7 . Describir geometricamente los siguientes subconjuntos de C:

i) | z − i+ 3 |= 5 ii) | z − i+ 3 |≤ 5 iii) Re(z) ≥ 0

8 . i) Pasar de la forma x+ iy a la forma polar

(a) 1 + i√

2 (b) −5i (c) -3

ii) Pasar de la forma polar a la forma x+ iy

(a) 3eiπ4 (b) e−iπ (c) πe−i

π3

9 . Dibuje todos los complejos de la forma zn = 1 para n = 2, 3, 4, 5 .

10 . Sea n ∈ IN y α ∈ C \ 0 . Muestre que hay n complejos distintos tales quezn = α .

Definicion: ea+bi = ea · (cos b+ i sen b)

2

11 . i) Describa los z tales que ez = 1 .

ii) Si ez = ew , entonces hay un k ∈ ZZ tal que z = w + 2kπi

iii) Sean w,α ∈ C tales que eα = w . Describa los z tales que ez = w .

12 . Sea θ ∈ IR . Muestre que

i) cos θ =eiθ + e−iθ

2; sen θ =

eiθ − e−iθ

2iii) Si definimos para z ∈ C, cosz y sen z como arriba, los unicos valores de z

para los cuales cos z = 0 = sen z son los valores reales usuales.

13 . Sea z 6= 1 . Probar que 1+z+· · ·+zn =zn+1 − 1z − 1

y calcular 1+cos θ+· · ·+cosnθpara 0 < θ < 2π .

14 . Sea S1 = z ∈ C/ | z |= 1 . Mostrar que S1 es un subgrupo multiplicativo deC∗ = C \ 0 .

15 . i) Probar que la aplicacion

cis : (IR,+) −→ (S1, ·)

θ 7−→ eiθ = cos θ + i sen θ

es un morfismo.

ii) Probar que dado z = x + iy ∈ S1 , hay un unico θ ∈ (−π, π] , con z = eiθ .(Sug: x2 + y2 = 1 , cos([ 0, π ])=[-1,1]; existe 0 ≤ θ ≤ π tal que x = cos θ =cos(−θ)

).

iii) Probar que Ker(cis) = 2πZZ .

iv) Deducir que cis induce un isomorfismo de grupos unico arg : S1 −→ IR/2πZZ

tal que

IRcis //

proy

S1

IR/2πZZ

arg−1

;;xx

xx

conmuta. En particular, hay una unica estructura de espacio metrico enIR/2πZZ que hace de arg una isometrıa.

Definicion: Dado z ∈ C∗ , llamamos argumento de z a arg(

z

| z |

).

3

Observacion: Lo anterior permite extender arg : S1 −→ IR/2πZZ a una funcion quetambien designamos arg de C∗ en IR/2πZZ .

v) arg : C∗ −→ IR/2πZZ es continua.

vi) arg(z ·w) = arg(z)+arg(w) y arg(1) = 0 . Luego, es un morfismo de grupos.

vii) Probar que proy : IR → IR/2πZZ tiene la siguiente propiedad: O ⊆ IR/2πZZ

es abierto sii proy−1(O) ⊆ IR lo es.

Definicion: Dado z ∈ C∗ , se llama argumento principal de z al unico θε(−π, π] talque cisθ =

z

| z |y se nota θ = Arg(z) .

viii) Sea Ω = C \− t∣∣t ∈ IR≥0

. Entonces Arg/Ω : Ω ∩ S1 → (−π, π) es

un homeomorfismo. (Sug: proy : IR → IR/2πZZ es abierta y luego cis

tambien. Dado que cis/(−π,π) y Arg/Ω son recıprocas, se deduce que sonhomeomorfismos)

ix) Generalizar viii) del siguiente modo

(a) Dado α ∈ IR , definir Argα : C∗ → (−π + α, π + α) conveniente.

(b) Si Ωα = C \− teiα

∣∣t ∈ IR≥0

, probar que Arg/Ωα : Ωα → (−π +

α, π + α) es un homeomorfismo.

x) Probar que no existe una determinacion continua del argumento. Es decir,probar que no existe una funcion continua g : S1 → IR tal que cis g = id .

Sucesiones

16 . i) Probar que si limn→∞

zn = z entonces limn→∞

|zn| = |z| .

ii) Dar un ejemplo donde no valga la recıproca.

iii) ¿Cuando vale la recıproca?

17 . Calcular los lımites de las siguientes sucesiones:

i) nin ii) n

(1 + i

2

)niii)

((−1)n + 1

2

)niv) cos(nπ) + i

sen(nπ2 )n2

4

18 . i) Sea α ∈ C, | α |< 1 . ¿Cual es el limn→∞

αn ?. Demuestrelo.

ii) Idem para | α |> 1 .

iii) Si | α |< 1 , pruebe que limn→∞

(1 + α+ · · ·+ αn

)=

11− α

19 . Para | z |6= 1 mostrar que el siguiente lımite existe

f(z) = limn→∞

(zn − 1zn + 1

)¿Es posible definir f(z) para | z |= 1 tal que f resulte continua?

20 . ¿Para que numeros z ∈ C esta definida f(z) = limn→∞

(zn

zn + 1

)?

21 . Probar que si |z| > 2 , la sucesion definida por: z0 = z , z1 = z2 +2 , y en generalzn+1 = z2

n + 2 para todo n ≥ 1 verifica limn→∞

zn =∞ .

22 . (optativo) Sea z ∈ S1 tal que arg(z) = aπ donde a ∈ IR \ Q . Probar quezn;n ∈ IN es denso en S1 .

Plano Complejo ampliado - Esfera de Riemann

23 . Sean C = C ∪ ∞ y S ⊆ IR3 la esfera de radio 1 y centro en (0, 0, 0) . SeaN = (0, 0, 1) ∈ S definimos la proyeccion estereografica θ : S → C haciendoθ(N) = ∞ y dado P ∈ S \ N , θ(P ) = a + ib sii (a, b, 0) es el punto deinterseccion de la recta NP ⊂ IR3 con el plano x3 = 0 .

i) Probar que θ(x1, x2, x3) =x1 + ix2

1− x3si (x1, x2, x3) 6= N .

ii) Probar que θ es una biyeccion y su inversa esta dada por

ϕ(z) =( 2Re(z)

1 + |z|2;

2Im(z)1 + |z|2

;|z|2 − 11 + |z|2

)para z ∈ C.

iii) Calcular ϕ(Im(z) = 0

)y ϕ

(Re(z) = 0

).

iv) Sea d la distancia en C inducida por la distancia de IR3 vıa θ , es decir,si z , z′ ∈ C, definimos d(z, z′) = d

(ϕ(z), ϕ(z′)

)donde d es la distancia

eucıdea.

5

(a) Verificar que d es una metrica en C.

(b) Probar que la metrica usual en C es equivalente a la inducida en Cpor d (probar, por ejemplo, que (C, d) y (C, dusual) tienen las mismassucesiones convergentes).

(c) Verificar que d(z, w) =|w − z|

(1 + |z|2)12 (1 + |w|2)

12

para z, w ∈ C y d(z,∞) =

1(1 + |z|2)

12

para z ∈ C.

(d) Probar que (C, d) es un espacio metrico compacto (y por lo tanto com-pleto).

24 . Sea C una circunferencia contenida en S . Probar que hay un unico plano π enIR3 tal que π ∩ S = C ; use esta informacion para mostrar que si C pasa por Nentonces su proyeccion en C es una recta. En caso contrario, se proyecta sobreuna circunferencia.

Homografıas

Definicion: Una homografıa es una funcion T : C → C del tipo T (z) =az + b

cz + ddonde ad− bc 6= 0 .

25 . Probar que el conjunto H de las homografıas es una grupo bajo la composicion.

26 . Sean z2, z3, z4 puntos distintos de C. Probar que existe una unica homografıa T

tal que T (z2) = 0 , T (z3) = 1 y T (z4) =∞ . Deducir que dados puntos distintosw2, w3, w4 de C hay una unica homografıa que aplica z2 en w2 , z3 en w3 y z4

en w4 .

27 . Demostrar que una homografıa T (z) =az + b

cz + daplica IR en IR si y solo si se

puede escribir con coeficientes reales.

Definicion: Dados z1, z2, z3, z4 puntos distintos de C, definimos la razon doble

(z1, z2, z3, z4) por (z1, z2, z3, z4) =z1 − z2

z1 − z4· z3 − z4

z3 − z2. Observar que (z1, z2, z3, z4) es

la imagen de z1 bajo la homografıa T tal que T (z2) = 0 , T (z3) = 1 y T (z4) =∞

28 . i) Probar que si T ∈ H entonces(T (z1), T (z2), T (z3), T (z4)

)= (z1, z2, z3, z4)

6

ii) Demostrar que z1, z2, z3, z4 yacen en una circunferencia si y solo si(z1, z2, z3, z4) ∈ IR .

Definicion: Sea C una circunferencia de C y z2, z3, z4 puntos de C . Dos puntos zy z∗ son simetricos respecto de C sii (z, z2, z3, z4) = (z∗, z2, z3, z4) .

29 . i) Probar que la definicion anterior no depende de los punto elegidos z2, z3, z4

sino de C .

ii) Probar que cada punto z ∈ C tiene un solo punto z∗ simetrico respecto deC . A la aplicacion que a cada z ∈ C le asigna su simetrico respecto de C sela llama simetrıa respecto de C . Probar que para cada homografıa T queaplica IR en C , la funcion

T T−1 : C→ C

es la simetrıa respecto de C .

iii) Interpretar geometricamente la nocion de simetrıa en el caso en que C esuna recta.

iv) Probar que si S es una homografıa y z, z∗ son simetricos respecto de unacircunferencia C , entonces S(z) y S(z∗) son simetricos respecto de S(C) .

30 . Probar que el simetrico del centro de una circunferencia C (respecto a C ) es∞ .

31 . Hallar homografıas que transformen

i) los puntos 0, i,−i en 1,−1, 0 .

ii) la circunferencia |z| = 2 en |z + 1| = 1 y ademas −2 en 0 y 0 en i .

iii) el disco |z| < R en si mismo y ademas α en 0 ( |α| < R ).

iv) El semiplano superior Im(z) > 0 en |z| < 1 y α en 0 (donde Im(α) > 0 ).

32 . Sea S(z) =z + i

z + 1. Sea z1 = 1 y zn = S(zn−1) para n ≥ 2 . Pruebe que lim

n→∞zn

existe y es igual a1√2

(1 + i) . (sug: T (w) =w −√i

w +√i

donde w = S(z) .)

33 . Sea S(z) =z + 2z + 1

, z 6= −1 y definamos z0 = i, zn = S(zn−1) para todo n ∈ IN .

7

i) Probar que Rezn > 0 para todo n ∈ IN .

ii) Probar que la sucesion (zn)n≥1 es acotada.

iii) Probar que zn →√

2 .

8

ANALISIS COMPLEJO

Practica 2

1 . Hallar los terminos de orden ≤ 3 en las series de potencias:

i) ez sen z ii) (sen z)(cos z) iii)ez − 1z

iv)ez − cos z

zv)

1cos z

vi)cos zsen z

vii)sen zcos z

viii)ez

sen z

2 . Sea f(z) =∑n anz

n . Se define f(−z) :=∑n an(−z)n =

∑n an(−1)nzn . Se

dice que f(z) es par (impar) si an = 0 para todo n impar (par). Mostrar quef es par sii f(−z) = f(z) y f es impar sii f(−z) = −f(z) .

3 . Se definen los numeros de Bernoulli Bn por la serie de potencias:

z

ez − 1=∞∑n=0

Bnn!zn

Probar la formula recursiva:

B0

n!0!+

B1

(n− 1)!1!+ · · ·+ Bn−1

1!(n− 1)!=

1 si n = 10 si n 6= 1

Entonces B0 = 1 . Calcular B1, B2, B3, B4 . Mostrar que Bn = 0 si n es impar6= 1 .

4 . Mostrar quez

2ez2 + e−

z2

ez2 − e− z2

=∞∑n=0

B2n

(2n)!z2n

Reemplazar z por 2πiz y demostrar:

πz cotπz =∞∑n=0

(−1)n(2π)2n

(2n)!B2nz

2n

5 . Expresar las series de potencias tan z ,z

sen zy z cos z en terminos de los numeros

de Bernoulli.

9

6 . Dados numeros complejos a0, a1, u1, u2 se define an para n ≥ 2 por:

an = u1an−1 + u2an−2

Si se tiene una factorizacion

T 2 − u1T − u2 = (T − α)(T − β)

con α 6= β , mostrar que los numeros an estan dados por an = Aαn+Bβn siendoA,B numeros complejos adecuados. Hallar A,B en terminos de a0, a1, α y β .Considerar la serie de potencias

F (T ) =∞∑n=0

anTn

Mostrar que esta serie representa una funcion racional, y dar su descomposicionen fracciones simples.

7 . Mas generalmente, sean a0, . . . , ar−1 numeros complejos dados. Sean u1, . . . , ur

numeros complejos tales que el polinomio

P (T ) = T r − (u1Tr−1 + · · ·+ ur)

tiene raıces distintas α1, . . . , αr . Se define an para n ≥ r por

an = u1an−1 + · · ·+ uran−r

Mostrar que existen numeros A1, . . . , Ar tales que para todo n

an = A1αn1 + · · ·+Arα

nr

8 . Criterio de Weierstrass

Sea X un espacio metrico y para cada n ∈ IN sea un : X → C una funcion talque |un(x)| ≤Mn para todo x ∈ X . Se tiene entonces la siguiente implicacion:

Si∞∑n=1

Mn converge entonces∞∑n=1

un(x) converge uniformemente en X .

9 . Sean (An)n≥1 , (vn)n≥1 dos sucesiones de numeros complejos tales que (An ·vn)n≥1 converge, entonces

10

A0v0 +∞∑n=1

(An −An−1) · vn converge si y solo si∞∑n=1

An · (vn − vn+1) converge.

10 . Criterio de Dirichlet

Si (an)n≥1 es una sucesion decreciente de numeros reales positivos que converge

a cero y existe M > 0 tal que∣∣∣∣ n∑k=1

zk

∣∣∣∣ ≤M para todo n ∈ IN , entonces la serie

∞∑n=1

an · zn converge.

(Sugerencia:n∑k=1

ak · zk =n−1∑k=1

(ak − ak+1) ·

k∑i=1

zi

+ an

n∑k=1

zk ).

11 . Criterio de Bois-Reymond

Si∞∑n=1

an converge y∞∑n=1

(vn−vn+1) converge absolutamente, entonces∞∑n=1

an ·vnconverge.

12 . Estudiar la convergencia de la serie cuyo termino general es el siguiente:

i) an =n+ 12n+ 1

ii) an =1

2niii) an =

1√n

iv) an =(

3n2n+ 1

)nv) an = sen

( 1n2

)vi) an = log

(1 +

1n

)vii) an =

ρnn!nn

(ρ > 0)

13 . Demostrar que si (an)n≥1 es una sucesion de numeros reales positivos tal queexiste lim

n→∞

an+1

an= L , entonces existe lim

n→∞n√an y es igual a L .

14 . Demostrar que la serie de termino general an =1

np(

log(n))q

i) converge para todo q > 0 si p > 1 .

ii) converge para q > 1 y p = 1 .

iii) diverge para todo q > 0 si p < 1 .

iv) diverge para 0 < q ≤ 1 y p = 1 .

11

15 . Sea r > 0 . Si el conjunto n ∈ IN/ n√an > r es infinito entonces el radio de

convergencia R de la serie∞∑n=1

an · zn es 0 o bien R ≤ r−1 .

16 . Probar que los conjuntos de convergencia de∞∑n=1

an · zn y∞∑n=1

am+n · zn son

iguales.

17 . Calcular el radio de convergencia de cada una de las siguientes series de potenciasy estudiar el comportamiento en el borde del disco de convergencia.

i)∞∑n=1

(1 + 2i)n

nnzn ii)

∞∑n=1

zn

1 + (1 + i)niii)

∞∑n=1

zn

nn

iv)∞∑n=1

n!(2− i)n2

zn v)∞∑n=1

zn2

2nvi)

∞∑n=1

n!zn2

vii)∞∑n=1

anzn (a ∈ C ) viii)∞∑n=1

an2zn (a ∈ C ) ix)

∞∑n=1

(1 + 2i)n

nnzn

x)∞∑n=1

zn! xi)∞∑n=1

(−1)n

nzn(n+1) xii)

∞∑n=1

(z + 2)n+1

(n+ 1)34n

xiii)∞∑n=1

(z + i)n

(n+ 1)(n+ 2)xiv)

∞∑n=1

(−1)nn(z − i)n

4n(n2 + 1)52

xv)∞∑n=1

(senn)zn

xvi)∞∑n=1

4nzn

5nxvii)

∞∑n=1

3n

nznxviii)

∞∑n=1

enz

n2

xix)∞∑n=1

n2(z4 + 2z2 + 1)n

7n

18 . Determinar el conjunto de convergencia absoluta de la siguientes series

i)∞∑n=1

(−1)nzn + zn+1 ii)∞∑n=1

1(z2 + 1)n

iii)∞∑n=1

1(n+ 1)zn

iv)∞∑n=1

1n+ |z|

v)∞∑n=1

(−1)n

n+ |z|vi)

∞∑n=1

1n2 + |z|

vii)∞∑n=1

einz

n+ 1viii)

∞∑n=1

e2πinz

(n+ 1)32

ix)∞∑n=1

zn

n√n+ 1

x)∞∑n=1

1n23n

(z + 1z − 1

)n12

19 . Hallar todos los numeros complejos z , tales que la serie

∞∑n=1

n(lnn− 1)(n− 2)2

(z − α1− αz

)nconverge, siendo α un numero complejo fijo con |α| < 1 .

20 . Mostrar que si el radio de convergencia de f(z) =∞∑n=0

anzn es ρ > 0 , entonces

el de f(z) =∞∑n=0

annpzn es tambien ρ .

13

ANALISIS COMPLEJO

Practica 3

1 . Sean f : C→ IR y g : IR2 → IR relacionadas por g(x, y) = f(x+ iy) .

i) Suponiendo que f es derivable en z0 = a+ ib , probar que g es diferenciableen (a, b) . Calcular f ′(z0) y Dg(a, b) .

ii) ¿Es cierto que si g es diferenciable en (a, b) entonces f resulta derivable ena+ ib?

iii) Hallar todas las funciones f : C→ IR derivables en todo punto.

2 . Sean f : C → C y g : IR2 → IR2 relacionadas por f(x + iy) = u(x + iy) + i ·v(x+ iy) ; g(x, y) =

(u(x, y), v(x, y)

). Supongamos que f es derivable en z0 .

i) Calcular limh→0h∈IR

f(z0 + h)− f(z0)h

y limh→0h∈IR

f(z0 + ih)− f(z0)ih

en terminos de

u y v . ¿Que se deduce?

ii) Suponiendo que u y v son C2 , calcular∂2u

∂x2+∂2u

∂y2y∂2v

∂x2+∂2v

∂y2.

iii) Si z0 = a+ ib , probar que g es diferenciable en (a, b) . Calcular |f ′(z0)| yel jacobiano de Dg(a, b) en terminos de u y v .

3 . Sea f : C→ C definida por:

f(x+ iy) =

x3 − y3 + i(x3 + y3)

x2 + y2si x+ iy 6= 0

0 si x+ iy = 0

Verificar que f es continua en 0 y cumple las condiciones de Cauchy-Riemannpero no es derivable.

4 . Determinar los puntos donde f es derivable y donde es holomorfa.

i) f(z) =

x+ iy

x2 + y2si z 6= 0

0 si z = 0ii) f(z) = z

iii) f(z) = x2 − y2 − 2xy + i(x2 − y2 + 2xy) iv) f(z) = x2 + iy2

14

5 . Analizar donde son holomorfas las siguientes funciones. Hallar f ′(z) en cadacaso.

i) f(z) = ex(cos y + i sen y) ii) f(z) = e−y(cosx+ i senx)

iii) f(z) = x2 + iy3 iv) f(z) = z2 · z

v) f(z) = z3 − 2z vi) f(z) =z + 11− z

6 . Sea Ω ⊂ C abierto conexo. Probar:

i) Si f y f son holomorfas en Ω , entonces f es constante.

ii) Si f es holomorfa en Ω y f ′ ≡ 0 en Ω , entonces f es constante.

iii) Si f es holomorfa en Ω y f ′ ≡ g′ entonces f − g es constante.

7 . Sea f : C→ C holomorfa. Demostrar:

i) Re(f) = cte ⇒ f cte.

ii) Im(f) = cte ⇒ f cte.

iii) |f | = cte ⇒ f cte.

iv) arg(f) = cte ⇒ f cte.

8 . Sea D un abierto simetrico respecto del eje real y f : D → C holomorfa. Probarque la funcion g : D → C definida por g(z) = f

(z)

es holomorfa.

9 . i) Sea L ⊆ IR2 una recta. Probar que si g : C→ C es holomorfa e Im(g) ⊆ Lentonces g es constante.

ii) Sean g : C→ C holomorfa y L1, · · · , LN rectas (en IR2 o C). Probar quesi Im(g) ⊆ L1 ∪ L2 ∪ · · · ∪ LN entonces g es constante.

10 . Sea u : IR2 → IR . Decimos que v es la conjugada armonica de u si f(z) = u+ives holomorfa.

i) Hallar la conjugada armonica de u(x, y) = x2− y2 y de u(x, y) = 2x(1− y)

ii) Probar que si v y v son conjugadas armonicas de u , entonces v y v difierenen una constante.

15

iii) Probar que si u y v son mutuamente conjugadas armonicas; entonces sonconstantes.

11 . Sea V ⊂ IR2 un abierto de IR2 y u : V → IR una funcion C2 . Probar que si u

admite una conjugada armonica entonces u es armonica, es decir,∂2u

∂x2+∂2u

∂y2=

0 .

12 . Regla de L’Hospital

Sean f , g funciones holomorfas en z0 tales que f(z0) = g(z0) = 0 y g′(z0) 6= 0 .Entonces:

limz→z0

f(z)g(z)

=f ′(z0)g′(z0)

(Sugerencia: f(z) = f(z0)+f ′(z0) · (z−z0)+η(z)(z−z0) donde limz→z0

η(z) = 0 ).

13 . Calcular:

i) limz→i

z10 + 1z6 + 1

ii) limz→2i

z2 + 42z2 + (3− 4i)z − 6i

iii) limz→e

π·i3

(z − eπ·i3 ) · zz3 + 1

iv) limz→i

z2 − 2iz − 1z4 + 2z2 + 1

14 . Sea T (z) =z + 1z + 2

i) Hallar las soluciones de la ecuacion T (z) = z . Los puntos hallados se llamanlos puntos fijos de T .

ii) Sea z0 ∈ C arbitrario, se define la sucesion zn = T (zn−1) para n ≥ 0 .Verificar que, si zn converge, el posible lımite es uno de los punto fijos deT .

iii) Se llama circunferencia isometrica de T al conjunto CT := z ∈ C/|T ′(z)| =1 . Verificar que si p, q ∈ CT entonces |T (p)−T (q)| = |p−q| . ¿ Que sucedesi |T ′(p)| y |T ′(q)| son mayores (respectivamente menores) que 1?

iv) Calcular T (CT ) . Si R = z ∈ C/|T ′(z)| < 1 y S = z ∈ C/|T ′(z)| > 1 ,calcular T (R) y T (S) .

v) Ubicar los puntos fijos en R o S . Demostrar que la sucesion definida en ii)converge y hallar su lımite.

16

vi) Si T (z) =2z + 5−z − 2

¿ Que sucede con la sucesion definida en ii)?

15 . Funcion exponencial

Sea f(z) =∞∑n=0

zn

n!y g(z) = ez .

i) Verificar que f, g : C → C son funciones holomorfas con f ′(z) = f(z)

y g′(z) = g(z) . Demostrar que h(z) =f(z)g(z)

es constante y deducir que

f ≡ g .

ii) Probar que ez+z′

= ez · ez′ .

iii) Verificar que ez 6= 0 para todo z ∈ C y (ez)−1 = e−z .

iv) Mostrar que ez tiene perıodo 2πi .

v) Analizar la existencia de limz→∞

ez .

16 . Funciones trigonometricas

i) Calcular las derivadas de sen z y cos z .

ii) Comprobar que cos2(z) + sen2(z) = 1 y que eiz = cos z + i sen z

iii) Las funciones sen z y cos z , ¿estan acotadas?

iv) Mostrar que sen z y cos z tienen perıodo 2π .

17 . Logaritmo

Definicion: Sea Ω abierto y conexo. Se dice que una funcion continua f : Ω → Ces una rama del logaritmo en Ω si se verifica ef(z) = z para todo z ∈ Ω .

i) Si 0 ∈ Ω , ¿puede existir una rama del logaritmo en Ω ?

ii) Probar que si f y g son dos ramas del logaritmo en Ω , entonces existek ∈ ZZ tal que f − g ≡ 2kπi . Concluir que si existe z0 ∈ Ω tal quef(z0) = g(z0) , entonces f ≡ g .

iii) Sean Ω = C \ IR≤0 y f : Ω → C definida por f(z) = ln |z| + i arg(z) .Comprobar que si fijamos −π < arg z < π ; entonces f es una rama dellogaritmo. Dicha rama se dice la rama principal del logaritmo.

iv) Sean f : Ω′ → Ω y g : Ω → C ( Ω,Ω′ ⊂ C abiertos) funciones continuastales que g f(z) = z para todo z ∈ C. Probar que si g es holomorfa en

17

Ω y g′(z) 6= 0 para todo z ∈ Ω , entonces f tambien es holomorfa y vale

f ′(z) =1

g′(f(z)

) .

v) Verificar que toda rama del logaritmo es holomorfa y calcular su derivada.

vi) Calcular: log i , log 1 , log(1 + i) , elog i .

18 . Si Ω ⊂ C es abierto, llamamos rama raız cuadrada de z , rama de√z , en Ω a

toda funcion continua g : Ω→ C tal que(g(z)

)2 = z para todo z ∈ Ω .

i) Probar que si Ω = C \ IR≥0 , hay exactamente dos ramas de√z en Ω .

Definirlas.

ii) Probar que toda rama de√z es holomorfa.

iii) Si Ω es conexo y f es una rama de√z en Ω , entonces f y −f son todas

las ramas.

iv) Si existe una rama de√z en Ω , entonces 0 6∈ Ω .

19 . Sean g : Ω → C una rama del logaritmo, b ∈ C, a ∈ Ω . Definimos zb = eb·g(z)

y az = ez·g(a) .

i) ¿Los valores de zb y az estan bien definidos?

ii) Fijando una rama del logaritmo, demostrar que zb y az son funciones holo-morfas.

iii) Verificar que si b ∈ ZZ , zb esta bien definida y coincide con z · z · · · z︸ ︷︷ ︸b veces

.

iv) Calcular ii considerando la rama principal del logaritmo. Hallar los demasvalores considerando las restantes ramas. Idem para (−1)

35 y 1π .

v) Sean z ∈ Ω , a, b ∈ C. Consideremos los conjuntos:A = w ∈ C tales que w = za+b B = w ∈ C tales que w = za ·zbC = w ∈ C tales que w =

(za)b D = w ∈ C tales que w = za·b

¿Que relacion hay entre ellos?

20 . i) Sea Ω = z ∈ C/|z| < 1 y α = ki con k ∈ IN . Probar que, para todok ∈ IN , existe una rama holomorfa de (z2 + 1)α definida en Ω tal quef(0) = 1 . Calcular su derivada.

ii) ¿Es cierto que (z2 + 1)α =(

(z2 + 1)i)k

=(

(z2 + 1)k)i

?

18

21 . Sea Ω = C \ IR≤0 y n ∈ IN . Hallar todas las funciones f : Ω → C tales que(f(z)

)n = z para todo z ∈ Ω . Determinar, para cada f , su imagen.

22 . Hallar un abierto conexo Ω ⊂ C y dos funciones continuas distintas f, g : Ω→ Ctales que f2(z) = g2(z) = 1 − z2 . ¿Son f y g holomorfas? ¿Puede hallar Ωmaximal?

19

ANALISIS COMPLEJO

Practica 4

1 . Calcular

∫γzdz para γ : [0, 2π]→ C γ(t) = eit

∫γ|z|zdz para γ :

2 . Calcular∫γ(z − a)ndz si n es un entero distinto de -1 y γ : |z − a| = r .

3 . Sea γ : [0, 1] → C una curva. Notamos por −γ : [0, 1] → C a la curva −γ(t) =

γ(1− t) . Probar que∫−γ

f(z)dz = −∫γ

f(z)dz .

4 . Sea T : C → C definida por T (z) = az + b con a 6= 0 . Dadas una curva γ yc 6∈ γ , probar que ∫

γ

dz

z − c=∫Tγ

dz

z − T (c)

5 . Sea γ : [0, 2π]→ C definida por γ(t) = a+ reit . Probar que∫γ

dzz−b = 2πi para

todo b ∈ B(a, r) .

6 . Sea γr : [0, π] → C, dada por γr(t) = reit . Probar que∫γr

eiz

z dz → 0 cuandor →∞ .

7 . Probar que si d(a, b) > r entonces∫|t−a|=r

dzz−b = 0 .

8 . Calcular∫γ

log(1 + z)(z − 1

2 )3dz siendo γ : [0, 2π]→ C la curva γ(t) = 2

3eit .

9 . Evaluar∫γ

ez − e−z

z4dz siendo γ alguna de las siguientes curvas:

20

10 . Encontrar todos los posibles valores de∫γ

dz

1 + z2, donde γ es una curva difer-

enciable que no pasa por ±i .

11 . Sea γ la curva cuya imagen es la elipse x2

a2 + y2

b2 = 1 parametrizada por γ(t) =a cos t+ ib sen t con 0 ≤ t ≤ 2π .

Calcular∫γ

dz

zy deducir que

∫ 2π

0

dt

a2 cos2 t+ b2 sen2 t=

2πab

.

12 . Sean γ : [α, β] → C una curva diferenciable a trozos y f : Imγ → C una

funcion continua. Definimos ϕ : Imγ × (C \ Imγ) → C por ϕ(w, z) =f(w)w − z

y g : C \ Imγ → C por g(z) =∫γϕ(w, z)dw . Probar que g es holomorfa y

g(n)(z) = n!∫γ

f(w)(w − z)n+1

dw .

13 . Sean Ω ⊆ C un abierto y γ : [α, β] → C una curva cerrada diferenciable atrozos. Sea ϕ : Imγ × Ω → C una funcion continua y g : Ω → C definida porg(z) =

∫γϕ(w, z)dw .

Probar que:

i) g es continua.

ii) Si para todo w ∈ Imγ , la funcion ϕ(w,−) : Ω→ C es holomorfa (es decir∂ϕ(w, z)

∂zes continua), entonces g es holomorfa y g′(z) =

∫γ

∂ϕ(w, z)∂z

dw .

14 . Sea γ : [α, β]→ C una curva cerrada diferenciable a trozos. Para todo a ∈ C\Imγse define el ındice η(γ, a) de a con respecto a γ por

η(γ, a) =1

2πi

∫γ

dz

z − a

Demostrar que η(γ, a) ∈ ZZ .

15 . Sea γ una curva como en el ejercicio anterior.

i) Probar:

21

(a) η(γ, a) = −η(−γ, a) donde −γ : [−β,−α] → C se define por −γ(t) =γ(−t) .

(b) η(γ, a) = 0 para todo a 6∈ 4 = z ∈ C/|z| ≤ max|γ| .

(c) η(γ, a) es constante como funcion de a en cada componente conexa deC \ Imγ .

ii) Sea γ : [α, β]→ C una curva cerrada arbitraria y a ∈ C \ Imγ .

(a) Probar que existe una funcion continua µ : [α, β]→ IR tal que γ(t)−a =|γ(t)− a|eiµ(t) para todo t ∈ [α, β] .

S e define el ındice η(γ, a) de a respecto de la curva γ por

η(γ, a) =µ(β)− µ(α)

2π

(b) Probar que esta definicion no depende de µ .

(c) Probar que valen los ıtems (a), (b) y (c) de i) y que cuando γ esdiferenciable a trozos esta definicion coincide con la anterior.

16 . Calcular∫γk

(z

z + 1

)ndz γk(t) = 1 + eikt con 0 ≤ t ≤ 2π

∫γk

sen zz3

dz γk(t) = eikt con 0 ≤ t ≤ 2π

17 . Sea fn : A → C . Si fnunif−→ f en una curva γ ⊆ A entonces

∫γfn(z)dz −→∫

γf(z)dz .

18 . Sea A ⊆ C un abierto y fn, f : A → C tales que fnunif−→ f en B para todo

compacto B de A (notar que fn puede no tender uniformemente a f en A ).Probar que si fn es holomorfa en A para todo n ≥ n0 , entonces f es holomorfaen A y f ′n

unif−→ f ′ en B para cada compacto B de A .

19 . Probar que f(z) =∫ +∞

0

e−zt2dt es una funcion holomorfa en <(z) > 0 .

20 . Probar que si f(z) es continua en el disco cerrado |z| ≤ r y holomorfa en eldisco abierto |z| < r , se tiene

f(z) =1

2πi

∫|w|=r

f(w)w − z

dw

22

para todo |z| ≤ r .

21 . Sea Ω = C \ a, b , a 6= b , y sea γ la curva en la siguiente figura:

i) Mostrar que η(γ, a) = η(γ, b) = 0 .

ii) Convencerse de que γ no es homotopica a cero.

Definicion: Dado un abierto Ω ⊂ C, decimos que una curva γ contenida en el eshomologa a cero si η(γ,w) = 0 para todo w ∈ C \ Ω .

iii) Probar que γ es homologa a cero en Ω .

23

ANALISIS COMPLEJO

Practica 5

1 . Probar que si Ω es simplemente conexo y f : Ω → C es holomorfa, entonces f

tiene una primitiva en Ω . ¿Es necesaria la hipotesis de simplemente conexo?

2 . Sea Ω simplemente conexo y f : Ω → C holomorfa tal que f(z) 6= 0 paratodo z ∈ Ω . Demostrar que existe una funcion holomorfa g : Ω → C talque f(z) = eg(z) . Si z0 ∈ Ω y ew0 = f(z0) se puede elegir g de modo queg(z0) = w0 .

3 . i) Sea f : Ω → C holomorfa, f 6≡ 0 . Probar que para cada a ∈ Ω tal quef(a) = 0 existen n ∈ IN y g : Ω → C holomorfa con g(a) 6= 0 tales quef(z) = (z − a)ng(z) para todo z ∈ Ω .

ii) Con las hipotesis de i) verificar que el conjunto de ceros de f es discreto.Deducir que en todo compacto de Ω f tiene solo un numero finito de ceros.

4 . i) ¿Existe f holomorfa en |z| < 1 tal que f( 1n ) = (−1)n

n para todo n ∈ IN ?

ii) ¿Existe f holomorfa en un entorno de 0 tal que f( 12n ) = f( 1

2n+1 ) = 1n para

todo n ∈ IN ?.

iii) Idem ii) para f( 1n ) = f(− 1

n ) = 1n .

5 . Sea f(z) = cos(

1+z1−z)

, |z| < 1 . Verificar que los ceros de f son los puntos de laforma zn = nπ−2

nπ+2 con n impar, que f es holomorfa en |z| < 1 y que los cerosde f tienen un punto de acumulacion. ¿Es f ≡ 0 en |z| < 1 ? ¿Contradice estoalgun resultado conocido?

6 . Sean f y g dos funciones holomorfas en un abierto conexo Ω del plano complejo,no nulas en Ω ; si existe una sucesion (an)n≥1 de puntos de Ω tales que

limn→∞

an = a, a ∈ Ω, an 6= a para todo n ∈ IN

y ademasf ′(an)f(an)

=g′(an)g(an)

para todo n ∈ IN,

24

probar que existe entonces una constante c tal que f(z) = cg(z) en Ω .

7 . Demostrar que si f y g son holomorfas en Ω y fg es holomorfa en Ω , entoncesg ≡ 0 o f es constante.

8 . Sea u : IR2 → IR armonica no suryectiva.

i) Probar que u esta acotada superior o inferiormente.

ii) Probar que u es constante (por lo tanto, toda funcion armonica es constanteo suryectiva).

9 . Sea f entera y R un numero real positivo tal que |f(z)| ≤ M |z|n para todo z

tal que |z| > R . Probar que f es un polinomio de grado menor o igual que n .

10 . Hallar todas las funciones enteras tales que lim|z|→∞

|f(z)| = 5 .

11 . Sea f entera tal que existen numeros complejos z0, z1 IR -linealmente indepen-dientes tales que f(z + z0) = f(z) y f(z + z1) = f(z) para todo z ∈ C. Probarque f es constante.

12 . Formular y demostrar el “principio de modulo mınimo” para funciones holomor-fas.

13 . Sean Ω ⊂ C conexo con Ω compacto y f : Ω→ C holomorfa y no constante talque |f(z)| = cte para todo z ∈ ∂Ω . Probar que existe z ∈ Ω tal que f(z) = 0 .

14 . Sea Ω un abierto acotado y conexo y consideremos n puntos P1, P2, . . . , Pn enel plano IR2 . Probar que el producto PP1 ·. . .·PPn de las distancias de un puntoP , que recorre la adherencia Ω , a los puntos P1, . . . , Pn alcanza su maximo enun punto de la frontera de Ω .

15 . Sea f una funcion holomorfa en el disco |z| < 1 tal que |f(z)| < 1 en este disco;si existen dos puntos a y b del disco distintos, tales que f(a) = a y f(b) = b ,entonces se tiene f(z) = z en el disco. (Sugerencia: Considerar la funcion

g(z) =h(z)− a1− ah(z)

, con h(z) = f

(z + a

1 + az

)y usar el Lema de Schwarz).

25

ANALISIS COMPLEJO

Practica 6

1 . Sea f(z) =1

z(z − 1)(z − 2); hallar el desarrollo en serie de Laurent de f en cada

uno de los siguientes anillos:

i) 0 < |z| < 1 ii) 1 < |z| < 2 iii) |z| > 2

iv) 1 < |z − 1| < 2 v) |z − 2| > 1 vi) 0 < |z − 1| < 1

2 . Hallar el coeficiente de z en el desarrollo de Laurent deez

z − 1en |z| > 1 .

3 . Sea λ ∈ C. Mostrar que

e12λ(z+ 1

z

)= a0 +

∞∑n=1

an

(zn +

1zn

)para 0 < |z| <∞ , donde para n ≥ 0

an =1π

∫ π

0

eλ cos t cosntdt

4 . Considere la serie de Laurent

· · ·+ 1zn

+1

zn−1+ · · ·+ 1

z+

12

+ · · ·+ z

22+ · · ·+ zn

2n+1+ · · ·

¿Que tipo de singularidad tiene en 0?

5 . Sea f(z) =∑k∈ZZ

ak(z− a)k valido para r1 < |z− a| < r2 con r2 > r1 ≥ 0 . ¿Que

se puede decir del comportamiento de f en a si:

i) ak = 0 para todo k ≤ −n0 con n0 ∈ IN .

ii) para todo k ∈ ZZ<0 existe m ≤ k tal que am 6= 0 .

iii) ak = 0 para todo k ≥ n0 > 0 .

26

6 . Verificar que si f tiene una singularidad no evitable en z = i y en z = 2i ,entonces el desarrollo en serie de Laurent de f en 1 < |z| < 2 tiene infinitosterminos negativos e infinitos terminos positivos no nulos.

7 . i) Verificar que f tiene un cero de orden k en z = a sii 1f tiene un polo de

orden k en z = a .

ii) Si f tiene un cero (polo) de orden k en z = a y g tiene un cero (polo) deorden k en z = a ¿Que clase de singularidad tiene f

g en z = a? (consideretodos los casos posibles).

8 . Cada una de las siguientes funciones tiene una singularidad aislada en z = 0 .Determine su naturaleza; si es evitable defina f(0) de modo que resulte holomorfaen z = 0 , si es un polo halle la parte singular.

i) f(z) =sen zz

ii) f(z) =cos zz

iii) f(z) =cos z − 1

z

iv) f(z) = e1z v) f(z) =

log(z + 1)z

vi) f(z) = 1z cos

(1z

)vii) f(z) =

z2 + 1z(z + 1)

viii) f(z) =1

1− ezix) f(z) = z sen

(1z

)

9 . Sea f(z) =amz

m + · · ·+ a1z + a0

bnzn + · · ·+ b1z + b0. Probar que ∞ es a lo sumo una singularidad

aislada. Clasificarla de acuerdo con el grado de los polinomios.

10 . i) Pruebe que una funcion entera tiene una singularidad evitable en ∞ sii esconstante.

ii) Pruebe que una funcion entera tiene un polo de orden n en ∞ sii es unpolinomio de grado n .

11 . Hallar todas las funciones f : C→ C enteras y biyectivas.

12 . Clasificar las singularidades de las siguientes funciones en C. En el caso de ceros

27

o polos determinar el orden.

i) f(z) =ez − 1− z

z2ii) f(z) = cos ze−

1z2

iii) f(z) =1

z3 + 7z2 + z + 5+ ze

1z iv) f(z) =

z5

1 + z4

v) f(z) =(

sen 1z2

)−1vi) f(z) = e

z1−z

vii) f(z) =cos z − sen zz4 + 2z2 + 1

viii) f(z) = sen 1z + 1

z2

ix) f(z) =1

cos z − 1

13 . i) Si z0 es una singularidad esencial de f y un polo de g , decidir que tipo desingularidad tienen f · g y f

g en z0 .

ii) Probar que una singularidad aislada de f no puede ser un polo de ef(z) .

14 . Sea Ω un abierto de C que contiene a 0. Probar que no existe una funcioncontinua f : Ω → C tal que

(f(z)

)n = z para todo z ∈ Ω . (sugerencia:Probar que una tal f restringida a Ω \ 0 debe ser holomorfa, deducir que f

es holomorfa en Ω y estudiar la multiplicidad de 0 como cero de f )

Residuos

15 . Calcular los residuos de f en cada una de sus singularidades aisladas y en ∞

i) f(z) =1

z2(z + 1)ii) f(z) =

1z3

sen z

iii) f(z) = z5 cos1z

iv) f(z) =e

1z

1 + z

16 . i) Sea a un polo de orden m de f y sea g(z) = (z − a)m.f(z) , entonces

Res(f, a) =1

(m− 1)!g(m−1)(a)

28

ii) Deduzca que si a es un polo simple de f entonces

Res(f, a) = limz→a

(z − a)f(z)

17 . Sea f una funcion meromorfa en un abierto conexo Ω .

i) Si f tiene un polo de orden m en α ∈ Ω su derivada logarıtmica tiene en

el un polo simple, siendo Res(f ′

f , α

)= −m .

ii) Si f tiene un cero de orden m en β ∈ Ω , su derivada logarıtmica tiene en

el un polo simple, siendo Res(f ′

f , β

)= m .

iii) Si f tiene un polo simple en a y g es holomorfa en a probar que

Res(f · g, a) = Res(f, a) · g(a)

18 . Calcular los siguientes residuos:

i)ez

(z − 1)2zen z = 0, 1 ii)

z3

(z − 1)(z − 2)(z − 3)en z =∞

iii)eaz

1 + ezen z = πi iv)

e1z

(1 + z)zen z = 0,−1,∞

19 . Sea C la circunferencia |z| = 2 recorrida en el sentido positivo. Calcular

i)∫C

z

z4 + 1ii)∫C

1 + sen zsen z

dz iii)∫C

dz

(z + 1)4(z2 − 9)(z − 4)

20 . Sea Ω = C \ [−1, 1] . Se define en Ω la funcion f(z) = z2 log(z + 1z − 1

)tomando

para el logaritmo la determinacion que es real cuando z es real y mayor que 1.

i) Calcular Res(f,∞) .

ii) Calcular∫Cf(z)dz siendo C : |z| = 2 recorrida en sentido positivo.

21 . Sea f : Ω→ C holomorfa salvo en los polos simples a1, . . . , an . Si g : Ω→ C esholomorfa, entonces

12πi

∫γ

f(z)g(z)dz =n∑k=1

η(γ, ak)g(ak) Res(f, ak)

29

para toda curva γ que no pasa por a1, . . . , an y tal que η(γ, ω) = 0 para todoω 6∈ Ω .

22 . Sea f meromorfa en Ω con ceros z1, . . . , zn y polos p1, . . . , pn contados consu multiplicidad. Si g es holomorfa en Ω y γ es una curva cerrada tal queη(γ, z) = 0 para todo z 6∈ Ω , y que no pasa por ningun cero ni ningun polo,probar que

12πi

∫γ

g(z)f ′(z)f(z)

dz =n∑i=1

g(zi)η(γ, zi)−m∑j=1

g(pj)η(γ, pj)

23 . Sea f holomorfa en BR(a) e inyectiva en BR(a) . Si G = f(BR(a)

)y γ :

|z − a| = R , probar que f−1 esta definida en G y para cada ω ∈ G se tiene

f−1(ω) =1

2πi

∫γ

zf ′(z)f(z)− ω

dz

24 . Sea f entera y γ una curva como en la figura

Si∫γ

z · f′(z)f(z)

dz = 0 probar que f no se anula en el interior de γ .

25 . Sea f meromorfa en C tal que f(z + 3i) = f(z) y f(z + 1) = f(z) para todoz ∈ C. Demostrar que si f no tiene polos ni ceros en γ , entonces la cantidadde ceros de f en γ es igual a la cantidad de polos de f en γ (contados con sumultiplicidad), siendo γ la curva:

26 . Sea f una funcion par y doblemente periodica en C (i.e. existen ω1, ω2 ∈ Ctales que ω1, ω2 6= 0 , ω1

ω26∈ IR y f(z + ω1) = f(z) y f(z + ω2) = f(z) ).

Demostrar que si a es cero de f y a = 2ω1 o a = 2ω2 ; entonces el ordende a como cero es mayor o igual que 2.

30

27 . i) Demostrar que la funcion π cotg(πz) tiene un polo simple con residuo 1 encada entero. Esto mismo es cierto para la funcion

1z

+∞∑n=1

2zz2 − n2

== limn→∞

N∑n=−N

1z − n

Demostrar que ambas funciones son periodicas (f(z + 1) = f(z) ) y que sudiferencia es una funcion entera acotada.Concluir que

1z

+∞∑n=1

2zz2 − n2

= π cotg(πz)

ii) Sumar las series∞∑n=1

1n2

,∞∑n=1

1n4

y∞∑n=1

1n6

.

28 . Consideremos la ecuacion z5 + 15z + 1 = 0 .

i) Probar que tiene una unica raız en |z| < 32 .

ii) ¿Hay alguna raız en |z| ≥ 2 ?

29 . Probar que la ecuacion zneα−z = 1 (α > 1) , tiene exactamente n raıces en|z| < 1 .

30 . Pruebe que la funcion f(z) = 2z5 + 7z− 1 tiene una raız real positiva en |z| < 1y que el resto de las raıces estan en 1 < |z| < 2 .

31 . Sea f holomorfa alrededor de z0 . Probar que f es inyectiva en algun entornode z0 si y solo si f ′(z0) 6= 0 .

32 . Sea f holomorfa y no constante en ∆ := |z| < r tal que f(0) = 0 . Probarque existe un entorno Ω de 0 contenido en ∆ y g : Ω→ C holomorfa e inyectivatal que g(Ω) = |z| < s para algun s y f(z) = g(z)mult(f,0) para todo z ∈ Ω .

Calculo de integrales reales mediante el Teorema de los Residuos

33 . i) Sea R(x, y) una funcion racional con coeficientes reales sin polos en la cir-cunferencia unidad. Probar que∫ 2π

0

R(sen t, cos t)dt = 2π∑|zk|<1

Res

1zR

[12i

(z − 1

z

),

12

(z +

1z

)]

31

ii) Calcular

(a)∫ 2π

0

dt

a+ sen t(a ∈ IR, a2 > 1)

(b)∫ 2π

0

dt

(a+ b cos t)2(0 < b < a)

(c)∫ π

0

cos(2t)1− 2a cos t+ a2

dt (a ∈ IR, a2 < 1)

34 . i) Sea R : C → C. una funcion racional con coeficientes reales y sin polosreales. Supongamos que lim

|z|→∞zR(z) = 0 . Demostrar que

∫ ∞−∞

R(x)dx = 2πi∑

ResR(z)

con la suma extendida a los polos de R situados en el semiplano superiorIm z > 0 .

ii) Calcular

(a)∫ ∞−∞

1x4 + 1

dx

(b)∫ ∞−∞

x2

x4 + 1dx

(c)∫ ∞

0

x2

x4 + 2x2 + 1dx

35 . i) Sea f una funcion holomorfa en un entorno del semiplano Im z ≥ 0 , salvoen un numero finito de puntos ninguno de los cuales esta sobre el eje real.Supongamos que f verifica lim

|z|→∞Im z≥0

|f(z)| = 0

Entonces

v.p.

∫ ∞−∞

f(x)eixdx = limr→+∞

∫ r

−rf(x)eixdx = 2πi

∑Im zk>0

Res(f(z)eiz, zk)

ii) Calcular

(a)∫ ∞

0

cosxx2 + 1

dx

(b)∫ ∞−∞

x senxx2 + 1

dx

32

(c) v.p.∫ ∞−∞

x cosxx2 + 1

dx

36 . i) Sea f como en i) del ejercicio anterior pero supongamos que ahora tiene unpolo simple en el origen. Probar que

limδ→0δ>0

(∫ −δ−∞

f(x)eixdx+∫ ∞δ

f(x)eixdx)

=

= 2πi∑

Im z>0

Res(f(z)eiz

)+ πiRes

(f(z)eiz, 0

)ii) Probar que

limδ→0δ>0

(∫ −δ−∞

eix

xdx+

∫ ∞δ

eix

xdx

)= πi

y deducir que ∫ ∞−∞

senxx

dx =π

2

37 . i) Sea R una funcion racional con coeficientes reales sin polos sobre el semiejereal positivo. Supongamos que lim

z→∞R(z) = 0 . Probar que

(1− e−2πiα)∫ +∞

0

R(x)xα

= 2πi∑

Res(R(z)zα

)donde la rama elegida de zα es la obtenida tomando el argumento de z en(0, 2π) .

ii) Calcular ∫ +∞

0

dx

xα(1 + x)dx

para 0 < α < 1

38 . i) Para a ∈ IR , a 6= 0 , probar que la integral∫ ∞

0

lnxx2 + a2

dx converge y

calcularla integrando en la curva:

−R −r r R

33

para r → 0 y R→∞ .

39 . Calcular∫ +∞

−∞

eax

1 + exdx integrando en

−R R

40 . Probar que las siguientes integrales convergen y calcularlas integrando en la curva:

−r ε−R R

(a)∫ ∞

0

√x

x2 + 1dx

(b)∫ ∞

0

5√x

x3 + x

34