analisi non standard

Copia personale di Maurizio Berti - [email protected] - Lastra A Signa

GIORNATA DI STUDIO

ANALISI NON STANDARD

nelle scuole superiori

Atti del convegno

Relatori

Giorgio Goldoni, ITIS Leonardo da Vinci, Carpi

Paolo Bonavoglia, Liceo Classico "M. Foscarini", Venezia

Pietro Cacciatore, Liceo Classico "Tito Livio", Padova

Christian Bonfanti, Liceo Scientifico "R. Steiner", Milano

La giornata si è svolta nella sala del Drago

presso il Convitto Nazionale “Marco Foscarini” di Venezia

il giorno 20-11-2011.


Impaginazione a cura di Paolo Bonavoglia

Venezia aprile 2012

© Matematicamente.it

ISBN 9788896354285

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Universal Book – via Botticelli, 22 – 87036 Rende (CS)


Analisi non standard nelle scuole superiori 3

Indice generale

Presentazione..........................................................5

1961-2011 la NSA compie 50 anni....................................6

20 anni di calcolo infinitesimale DI GIORGIO GOLDONI......................................................7

Il ritorno dell'infinitesimo DI PAOLO BONAVOGLIA....................................................31

Infinitesimi: dalla contraddittorietà all'esistenza DI PIETRO CACCIATORE....................................................51

Un esempio di sperimentazione di NSA in un liceo scientifico:limiti e opportunità

DI CHRISTIAN BONFANTI...................................................63


4 Giornata di studio



Presentazione

L'insegnamento dell'analisi nei licei, come del resto all'Università,ricalca quasi sempre la sequenza limiti-derivate-integrali, dove i limitisono definiti alla maniera di Weierstrass, cosa che comporta notevolidifficoltà di comprensione iniziale e un appesantimento tale dasacrificare gli altri due argomenti in particolare l'ultimo (gli integrali).Un po' come un pranzo con un antipasto tanto pesante da far passarein secondo piano i piatti principali.

In realtà dal 1961 esiste un diverso approccio all'analisi cherecupera in modo logicamente rigoroso gli infinitesimi di Leibniz. Sitratta della Non-Standard Analysis (NSA) di Abraham Robinson.

La NSA ha molti aspetti interessanti, uno di questi è appunto lapossibilità di affrontare in modo radicalmente diverso l'insegnamentodell'analisi nelle scuole superiori, introducendo derivate e integraliprima dei limiti, e non necessariamente all'ultimo anno.

Questa giornata di studio, nata nell'ambito della lista Cabrinews,su proposta del prof. Tito Pellegrino, ha messo a confronto quattroesperienze di insegnamento dell'analisi nelle scuole superiori cheseguono in maggiore o minore misura l'approccio NSA.

La giornata si è svolta negli spazi messi a disposizione dal ConvittoNazionale “Marco Foscarini” di Venezia ed è stata inaugurata dalRettore prof. Rocco Fiano.

Erano presenti più di quaranta docenti di matematica, tra i quali ilprof. Ruggero Ferro dell'Università di Verona, traduttore del libro diKeisler e pioniere della NSA in Italia, che è anche intervenuto nelpomeriggio sul modo di introdurre numeri reali ed iperreali nellascuola.

Per l'organizzazione e la buona riuscita del convegno è statodeterminante l'aiuto fornito da quattro studenti del liceo, ai quali vaun doveroso ringraziamento: Marco Ciotola (2C), Gianni De Michelis(2CE), Alvise Dolcetta (1B), Marco Voltolina (2AE) e GiacomoZamprogno (1B).



1961-2011 la NSA compie 50 anni

Fu infatti nel 1961 che Abraham Robinson pubblicò il suoprimo articolo sull'Analisi Non standard; nell'autunno del 1960aveva avuto per la prima volta l'idea di rifondare l'Analisimatematica sui numeri infinitamente piccoli (infinitesimi) e suquelli infinitamente grandi (infiniti) come era ai suoi inizi conLeibniz, Bernoulli, Eulero, mentre è del 1965 il classico Non-standard Analysis.



20 anni di calcolo infinitesimale

di Giorgio Goldoni

Ho iniziato a insegnare l'Analisi non standard, che preferiscochiamare col vecchio nome di calcolo infinitesimale, nell'annoscolastico 1992/1993, nel corso di informatica dell'Istituto TecnicoIndustriale "Leonardo da Vinci" di Carpi (MO), dove insegnavo già dadiversi anni e dove ancora oggi insegno. Nel primo anno ho introdottoin modo molto immediato e informale gli infinitesimi e gli infiniti,concentrandomi principalmente sul loro uso nel concetto di derivata edi integrale. Ben presto però, nello svolgimento delle parti piùavanzate del programma, ho avvertito la necessità di premettere unatrattazione più ampia e più chiara dei numeri iperreali. Questo miointervento vuole essere una testimonianza di come i numeri iperrealipossano essere introdotti in modo molto intuitivo nella scuolasuperiore facendo uso di strumenti ottici ideali ispirati ai microscopi eai telescopi di Keisler.

Come introdurre i numeri iperreali?

La costruzione dei numeri iperreali a partire dai numeri reali ècertamente improponibile nella scuola superiore e, in particolare, inun istituto tecnico industriale, dove la matematica ha un aspettoprevalentemente applicativo. Del resto, ormai, nemmeno nei corsiuniversitari di Analisi standard si affronta in dettaglio la costruzionedei numeri reali a partire dai razionali, ma si introducono i reali inmodo assiomatico, che è come dire che ci si appoggia, di fatto,all'intuizione che lo studente già possiede delle loro proprietà. Latrattazione assiomatica ha il pregio di fornire immediatamentel'operatività, ma nasconde un grave pericolo per lo studente. Infatti,l'assiomatizzazione è di solito la sintesi finale di una vasta esperienzaprecedente, che lo studente non possiede e la cui mancata



conoscenza rischia di impedirgli di formarsi un'immagine intuitivadello strumento che sta usando, col rischio di sentirsidefinitivamente estraneo all'argomento. Ho così optato sì per unapproccio assiomatico, ma opportunamente annacquato eaccompagnato da una visualizzazione che renda il più possibile ovvigli enunciati degli assiomi, riempiendoli di significato come si fa perla geometria.

Da dove partire?

Nella mia esperienza, la cosa migliore si è rivelata partire daqualche problema in cui si veda la potenza dell'uso degli infinitesimie degli infiniti; qualche problema non banale da risolvere per altravia dove, con gli infinitesimi e gli infiniti, in quattro righe si arriva alrisultato giusto. In modo informale, ovviamente. Questo permotivare lo studente a intraprendere una strada che subito locolpisce per la spettacolarità del modo di ragionare e per la rapiditàcon cui si arriva al risultato.

Ma, riguardo all'introduzione assiomatica dei numeri iperreali, dadove partire? Come prima cosa, cerco di far capire ai ragazzi comemai nei numeri reali non ci sia posto né per gli infinitesimi (nonnulli, perché lo zero c'è!) né per gli infiniti. In una carrellata diproblemi introduttivi si è fatto uso di quantità infinitesime o infiniteper fare un certo calcolo, ma non ci sono numeri reali infinitesimi néinfiniti. Perché? A questo punto invito gli studenti ad analizzare ilprocesso di misura di una grandezza, processo che ha costituito disolito per loro il primo approccio ai numeri reali. Per misurare unsegmento, ad esempio, si guarda quante volte ci sta l'unità dimisura, poi si passa ai decimi, ai centesimi, ecc. Si tratta di unprocedimento che è legato all'uso particolare della base dieci, mache, di fatto, è del tutto generale. Invitando i ragazzi ad analizzarequali proprietà dei segmenti siano coinvolte in questo processo,emerge immediatamente l'accettazione dell'assioma che unsegmento possa essere sempre diviso in un numero arbitrario di partiuguali. Quasi mai, però, gli studenti sono consapevoli del fatto chepersino il primo passo del processo di misura implichi l'accettazione



di una proprietà dei segmenti di solito taciuta nella scuoladell'obbligo, e cioè che riportando successivamente l'unità di misura sipossa superare, prima o poi, qualsiasi segmento. Il primo passo,quello che consiste nel trovare la parte intera del numero cheesprime la misura del segmento dato rispetto all'unità, presupponedunque che l'unità di misura, riportata un numero sufficiente di volte,finisca per superare il segmento dato. Quindi, il fatto teorico cheimpedisce l'esistenza dei numeri infinitesimi e infiniti è quello che disolito viene chiamato assioma di Eudosso o di Archimede: dati duesegmenti diversi, esiste sempre un multiplo del minore che supera ilmaggiore. Per inciso, la tacita accettazione di questo assioma è resaoggi ancor più difficile da riconoscere perché siamo abituati amisurare ogni ordine di lunghezze e l'assioma di Eudosso/Archimede èfinito col diventare un pregiudizio. Gli astronomi oggi misurano ledistanze delle stelle e delle galassie ma, nell'antichità, c'erano seridubbi persino sul fatto che si potesse misurare la distanza Terra-Luna.E il dubbio non era dovuto a difficoltà tecniche, ma riguardaval'esistenza stessa di un multiplo dell'unità di misura in grado disuperare quella distanza. Archimede, nell'Arenario, ci dice che "molti

affermano essere infiniti i granelli di sabbia della spiaggia di

Siracusa". Oggi, al contrario, abbiamo il pregiudizio, fin da piccoli,che si possa misurare ogni distanza. C'è un'altra versione, del tuttoequivalente alla prima, dell'assioma di Eudosso/Archimede: dati duesegmenti diversi esiste sempre un sottomultiplo del maggiore che èpiù piccolo del minore. Si tratta di enunciati equivalenti dal punto divista logico, ma differenti dal punto di vista psicologico: il primo aiutain modo più netto l'intuizione ad arrivare alla conclusione che nonesistono segmenti infiniti, mentre il secondo che non esistonosegmenti infinitesimi. Per quanto sia grande un segmento, c'è unmultiplo dell'unità di misura che lo supera, quindi non c'è posto persegmenti infiniti. Per quanto sia piccolo un segmento, c'è unsottomultiplo dell'unità di misura che diventa più piccolo di quello,quindi non esistono segmenti infinitesimi. Per poter introdurresegmenti infiniti o infinitesimi dobbiamo allora partire dall'ammetterel'esistenza di coppie di segmenti tali che nessun multiplo del minoresuperi il maggiore o che nessun sottomultiplo del maggiore sia piùpiccolo del minore. Dal punto di vista dell'intuizione, significaaccettare che un essere immortale che cammini a velocità costante



con passi uguali al segmento minore non possa mai raggiungere lafine del segmento maggiore.

Infinitesimi e infiniti e loro visualizzazione

Ho dedicato i primi anni a sviluppare un approccio visivo moltoefficace agli infinitesimi e agli infiniti. Questo non per evitare unatrattazione algebrica, che svolgo in parallelo a quella visiva, ma perfare in modo che gli studenti posseggano una forte intuizione degliiperreali e dei risultati delle operazioni coi vari tipi di iperreali.Conformandomi all'uso, chiamo numeri standard i numeri reali esegmenti standard i segmenti la cui misura rispetto a un'unitàprefissata è esprimibile mediante un numero reale. Nellarappresentazione visiva, chiamo poi scala ordinaria la scala dellaretta in cui i punti corrispondenti ai numeri 0 e 1 sono ben visibili enettamente separati fra loro. Non si tratta di una scala ben precisa:nel campo visivo rappresentato dal foglio o dalla lavagna devo potervedere lo zero e l'uno ben separati fra loro.

Faccio poi uso di alcuni strumenti ottici immaginari. Il primo è ilmicroscopio standard a n ingrandimenti. Lo posso puntare su unnumero x qualsiasi della retta nella scala ordinaria (ma anche inqualsiasi altra scala) e vedo una porzione di retta centrata in x eingrandita di n volte.

Un secondo strumento è il telescopio standard, che ci mostra unaparte lontana di retta nella stessa scala della retta vicina, qualsiasi



sia la sua scala. Per esempio, il numero x è fuori del campo visivo (c'èil cartello "a destra"). Allora punto il telescopio su x e vedo unaporzione di retta centrata in x, nella stessa scala della parte di rettache rientra nel campo visivo.



Introduco infine un terzo strumento: lo zoom all'indietro, chechiamo semplicemente zoom standard. Lo zoom standard ci mostrauna porzione di retta rimpicciolita di n volte rispetto alla scalainiziale e si punta tipicamente nell'origine.

Gli strumenti ottici appena introdotti possono essere combinatitra loro, nel senso che ciascuno strumento può essere applicato alcampo visivo di un altro. Ad esempio, posso puntare un microscopionel campo visivo di un telescopio. Dico ai miei ragazzi che untelescopio standard puntato su Marte ci mostrerebbe i marzianicome se fossero davanti a noi e puntando un microscopionell'immagine del telescopio potremmo osservare i pori della pellemarziana! È importante osservare che tutto quello che possiamodescrivere con gli strumenti ottici ha un esatto corrispondentealgebrico e che la scelta dell'approccio visivo ha lo scopo di fissare inprofondità nello studente le proprietà dei numeri iperreali.

A questo punto passo a definire i segmenti e i numeri infiniti einfinitesimi. Che cos'è un segmento infinitesimo? Un segmento



infinitesimo è un segmento tale che nessun suo multiplo superi l'unità.Ma se nessun suo multiplo supera l'unità, allora non può superarenessun altro segmento standard; infatti, se un multiplo del segmentodato superasse un qualsiasi segmento standard, poiché esiste unmultiplo di quel segmento standard che supera l'unità, alloraavremmo che un multiplo del segmento dato supererebbe l'unità.Dunque, un segmento infinitesimo è un segmento che è minore di ognisegmento standard (non nullo). Analogamente, un numeroinfinitesimo è un numero in valore assoluto minore di ogni numerostandard positivo. Come visualizziamo i numeri infinitesimi?

Consideriamo un numero ε infinitesimo (positivo). Cosa significa

affermare che ε è infinitesimo? Significa che, per tutti gli n (e usonel disegno i quantificatori), se punto nello zero un microscopiostandard a n ingrandimenti, lo vedo sempre sovrapposto allo zero. Per

separare ε dallo zero occorre un nuovo strumento: un microscopio

non standard a infiniti ingrandimenti (che disegno allo stesso mododel microscopio standard indicando soltanto ×∞ in luogo di ×n

come fattore di ingrandimento). Nel campo visivo del microscopio non

standard, opportunamente regolato, vedo lo zero e ε nettamenteseparati.

Quand'è che un segmento è infinito? È infinito se nessun multiplodell'unità lo supera. Ma allora non può essere superato da nessun



segmento standard, perché un opportuno multiplo dell'unità superaogni segmento standard e quindi un segmento infinito è un segmentoche è maggiore di ogni segmento standard. Un numero infinito èallora un numero in valore assoluto maggiore di ogni numerostandard. Come visualizziamo un numero infinito M (positivo)? Nellaretta, nella scala ordinaria, c'è un cartello che indica che M rimane adestra del campo visivo. Cosa significa affermare che M è infinito?Significa che, comunque io punti uno zoom standard nell'origine, nonriesco mai a farlo rientrare nel campo visivo dello zoom. Quindi, perogni n, se rimpicciolisco n volte, M continua a rimanere a destra delcampo visivo. Occorre un nuovo strumento, che è lo zoom non

standard, che riesce a fare rientrare nel campo visivo il numeroinfinito M.

Un segmento finito (finito è la negazione di infinito) è unsegmento che è minore di almeno un numero standard, cioè è unsegmento che si riesce sempre a fare rientrare completamente nelcampo visivo di uno zoom standard puntato in un suo estremo. Unnumero finito è allora un numero in valore assoluto minore di



almeno un numero standard. Per esempio, i numeri standard sonotutti finiti. Infatti sono tutti minori di se stessi più uno, che è ancoraun numero standard.

Un segmento non infinitesimo è un segmento maggiore di almenoun segmento standard (non nullo). Quindi un numero non infinitesimoè un numero in valore assoluto maggiore di almeno un numerostandard positivo.

Abbiamo quindi una classe di numeri che sta fra gli infinitesimi egli infiniti. Un segmento finito e non infinitesimo è un segmentocompreso tra due segmenti standard (non nulli). Così un numero finitonon infinitesimo è un numero in valore assoluto compreso tra duenumeri standard positivi. Come si visualizza un numero finito noninfinitesimo a (positivo)? Bisogna sempre fare tre casi: piccolo, medioo grande (come con la birra!). Comincio dal caso in cui a sia "piccolo".Nella scala ordinaria, dove lo zero e l'uno li vedo separati, lo vedosovrapposto allo zero. Ma non è infinitesimo: è soltanto piccolo! Mibasta allora un microscopio standard, regolato a un ingrandimentoopportuno, per separarlo dallo zero.

Può invece capitare che il numero sia "medio". Si tratta del casopiù "fortunato", perché il numero, nella scala ordinaria, rientra nel



campo visivo e lo vediamo separato dallo zero.

Resta un ultimo caso, in cui a è "grande" e, nella scala ordinaria,rimane a destra del campo visivo. Questa volta però basta uno zoomstandard puntato nello zero per farlo rientrare nel campo visivo.

In conclusione, un numero "piccolo" è un numero che nella scalaordinaria appare sovrapposto allo zero, ma che può essere separatodallo zero con un microscopio standard; un numero "medio" è inveceun numero che già nella scala ordinaria rientra nel campo visivo eben separato dallo zero; un numero "grande", infine, è un numeroche nella scala ordinaria non rientra nel campo visivo, ma che puòessere fatto rientrare con l'uso di uno zoom standard centratonell'origine.



I numeri iperreali, visti come i numeri che corrispondono allemisure dei segmenti una volta ammessa l'esistenza di segmentiinfinitesimi e infiniti e la possibilità di estendere ad essi le operazioni,possono quindi essere classificati nel modo seguente. Un numero èinfinito oppure finito, a seconda che sia in valore assoluto maggiore ditutti i numeri standard o minore di almeno un numero standardpositivo. Uso le sigle "I" e "f" rispettivamente per indicare un numeroinfinito e un numero finito. Un numero finito può a sua volta essere onon essere infinitesimo a seconda che sia in valore assoluto minore diogni numero standard positivo o maggiore di almeno uno. Uso allora lesigle "i" e "fni" per indicare rispettivamente un infinitesimo o un finitonon infinitesimo. Gli infinitesimi sono a loro volta lo zero, che fa paneper conto suo (il più infinitesimo di tutti!), e gli infinitesimi non nulli.Chiaramente, tutti gli infinitesimi non nulli e tutti gli infiniti sononumeri non standard. I finiti non infinitesimi invece comprendono,tranne lo zero, tutti i numeri standard, ma anche tantissimi altrinumeri (uno standard più un infinitesimo non nullo non è standard,ma è un finito non infinitesimo).

Una volta classificati i numeri iperreali in questi tipi, affronto leoperazioni tra tipi. Anche di queste operazioni è possibile dareun'immagine geometrica estendendo in modo naturale le costruzioniutilizzate nel caso dei segmenti standard. Ovviamente, i risultatipossono essere ottenuti anche per via algebrica, partendo dalladefinizione dei vari tipi di numeri. Ritengo però che la cosa piùimportante, più ancora delle dimostrazioni, sia il fatto che i ragazziindovinino il tipo di risultato che corrisponde a una operazione tra



numeri di dato tipo. L'uso degli strumenti ottici immaginaricontribuisce a fare in modo che gli studenti si formino un immagineindelebile delle varie situazioni che si possono presentare, in mododa ricordare con sicurezza il tipo del risultato.

Come nel caso dei limiti, compaiono le cosiddette formeindeterminate, che si presentano nei casi in cui la conoscenza deitipi degli operandi non consente di determinare il tipo del risultato.Contrariamente al caso dei limiti, però, in cui il limite può nonesistere, nel caso delle operazioni con gli iperreali il risultato esistesempre (tranne la divisione per zero!).

Qualcuno può farsi l'idea che, in fondo, l'uso degli iperreali sia deltutto equivalente all'uso dei reali con l'operazione di limite. Ineffetti si dimostra che ogni risultato riguardante i numeri reali,ottenuto mediante gli iperreali, può essere ottenuto anche coi solinumeri reali. Allora perché ricorrere agli infinitesimi e agli infiniti?Nello studio della matematica lo studente impara a conoscere inumeri razionali, ma non c'è problema che riguarda i numerirazionali che non possa essere risolto usando semplicemente inumeri interi! Il grande vantaggio dei numeri razionali sta nel fattoche essi racchiudono già il concetto di rapporto tra interi,consentendo di lavorare in modo assai più spedito. Analogamentenon c'è problema che si risolva coi numeri reali che non possa essererisolto usando successioni approssimanti di numeri razionali. Neinumeri reali questo processo di approssimazione è già incluso e conessi possiamo lavorare in modo molto più efficiente. Così accade che

inn : inn=?

inn : fni=inninn : I=inn

fni : inn=Ifni : fni= fni

fni : I=innI : inn=I

I : fni=I

I : I=?

inn×inn=inn

inn× fni=inninn×I=?

fni× fni= fnifni× I= I

I×I=I

inn±inn=i

inn± fni= fniinn±I=I

fni± fni= ffni± I= I

I±I=?



i numeri iperreali contengano in qualche modo il processo di limite,consentendo così di affrontare tanti concetti notevoli in modo assaipiù semplice e diretto. Non dimentichiamoci poi del fatto che ilconcetto di limite è più giovane di quello di infinitesimo e di infinito eche i concetti e i risultati fondamentali del calcolo differenziale eintegrale sono stati ottenuti con metodi infinitesimali!

Confronto di infinitesimi e di infiniti

Nel calcolo infinitesimale alla vecchia maniera, che l'analisi nonstandard ha resuscitato, è di fondamentale importanza il confronto diinfinitesimi e di infiniti. Quando chiedo agli studenti quale operazioneoccorre fare tra due numeri per confrontarli, una buona metà dellaclasse suggerisce senza esitazione l'operazione di differenza. Solodopo aver mostrato loro con alcuni esempi come la conoscenza delladifferenza di due numeri non ci dica nulla riguardo al fatto che i duenumeri siano dello stesso ordine di grandezza o di ordini moltodiversi, ecco che si sente finalmente parlare di quoziente. Per

confrontare due infinitesimi non nulli ε e δ si considera quindi illoro quoziente. Si tratta di una forma indeterminata, nel senso che ilquoziente di due infinitesimi non nulli può essere di qualsiasi tipo: uninfinitesimo non nullo, un finito non infinitesimo oppure un infinito.



Se ε /δ è un infinitesimo, diciamo che ε è un infinitesimo di

ordine superiore a δ . Come possiamo visualizzare il fatto che ε è

un infinitesimo di ordine superiore a δ ? Nella scala ordinaria i duenumeri si vedono sovrapposti allo zero e non riusciamo a separarlidallo zero con nessun microscopio standard. Si tratta cioè di dueinfinitesimi. Usando un microscopio non standard e agendodelicatamente sulla manopola dell'ingrandimento, ecco che il primo

numero ad essere separato dallo zero è δ . Quando, nel campo

visivo del microscopio, vedo δ separato dallo zero, ε risultaancora sovrapposto allo zero e non riesco, in quella scala, asepararlo dallo zero con nessun microscopio standard. In altri

termini, ε e δ sono entrambi infinitesimi, ma ε è infinitesimo

anche rispetto a δ e, nella scala in cui vedo δ , ε è uninfinitesimo. In quella scala occorre un microscopio non standard per

separare ε dallo zero.



Se il quoziente ε /δ è un finito non infinitesimo diciamo che ε e

δ sono infinitesimi dello stesso ordine. Si tratta infatti di unarelazione simmetrica in quanto il reciproco di un finito noninfinitesimo è ancora un finito non infinitesimo. Possiamo visualizzarela situazione nel modo seguente. Per semplicità supponiamo ancora

una volta che i due numeri siano positivi e, inoltre, che sia ε< δ .Anche in questo caso i due numeri, nella scala ordinaria, appaionosovrapposti allo zero e non possono essere separati dallo zero connessun microscopio standard. Occorre allora usare un microscopio non

standard e il primo numero che riusciamo a separare dallo zero è δ .Possono presentarsi due casi. Nel primo caso possiamo essere cosìfortunati da ottenere nel campo visivo del microscopio non standard

un'immagine di δ e di ε simultaneamente separati dallo zero.



Nel secondo caso, quando δ risulta separato dallo zero, ecco

che ε rimane invece sovrapposto allo zero. Questa volta però, nellascala dell'ultimo microscopio, basta usare un microscopio standard

per separare ε dallo zero. Infatti ε è soltanto "piccolo" rispetto a

δ , ma non infinitamente piccolo!

Se, infine, il quoziente ε /δ è infinito, diciamo che ε è un

infinitesimo di ordine inferiore a δ . Poiché il reciproco di uninfinito è un infinitesimo non nullo, ciò equivale ad affermare che

δ è un infinitesimo di ordine superiore a ε e la visualizzazione è

identica a quella già vista a patto di scambiare ε con δ .

Il confronto di infiniti si effettua in modo del tutto analogo aquello degli infinitesimi e può essere visualizzato utilizzando deglizoom.



Numeri infinitamente vicini, a distanza finita e indistinguibili

Desidero terminare questo mio intervento con una nozione che nonho trovato esplicitamente nei testi di analisi non standard, ma che miè utilissima nella trattazione del calcolo infinitesimale e che è quellache ho chiamato indistinguibilità. A questo scopo devo premetterealcune importanti definizioni.

Due numeri si dicono infinitamente vicini se la loro differenza è uninfinitesimo. Per indicare che x è infinitamente vicino a y si scrive

x≈ y . In particolare, la scrittura x≈0 equivale ad affermare chex è infinitesimo. Si tratta di una relazione di equivalenza, le cui classisi chiamano monadi. La monade del numero x, che si indica conmon ( x ) , è allora l'insieme di tutti i numeri infinitamente vicini a x ela monade dello zero, detta anche monade principale, non è altro chel'insieme dei numeri infinitesimi. Nella scala ordinaria, quandopuntiamo un microscopio non standard vediamo sempre numeri di unastessa monade. Ogni numero finito x ha nella sua monade uno e unsolo numero standard s e può quindi essere espresso in modo uniconella forma x=s+ ε , cioè come somma di un numero standard con unnumero infinitesimo. Si tratta della parte standard e della parteinfinitesima di quel numero finito. La parte standard del numerofinito x si indica con st ( x) . C'è una certa analogia con la parte interae la parte decimale di un numero reale, ma si tratta solo di una vagaanalogia perché la parte standard e la parte intera godono diproprietà diverse. Per esempio la parte standard della somma di duenumeri finiti è la somma delle parti standard dei due numeri, mentrela parte intera della somma di due numeri reali può essere diversadalla somma delle parti intere dei due numeri.

La parte standard gioca un ruolo fondamentale nell'uso dei numeriiperreali. La situazione è infatti tipicamente la seguente. Si vuolecalcolare un certo valore reale, che rappresenta la soluzione di unproblema. Si ricorre allora ai numeri iperreali, ottenendo comerisultato un numero iperreale. Il numero reale che rappresenta lasoluzione del problema è allora la parte standard del numeroiperreale trovato, cioè l'unico numero reale che gli è infinitamente



vicino. La maggior parte delle tecniche infinitesimali prevedonoinfatti un procedimento risolutivo che è sistematicamente affetto daun errore, ma tale che l'errore può essere reso infinitamentepiccolo.

Due numeri si dicono a distanza finita o finitamente vicini se laloro differenza è un numero finito. Indico il fatto che x è a distanzafinita da y con la scrittura x≃y . Anche questa volta si tratta di unarelazione di equivalenza, le cui classi prendono il nome di galassie.Questo nome suggestivo proviene dal fatto che mediante untelescopio standard possiamo osservare, nella scala ordinaria,soltanto numeri di una stessa galassia. Per osservare numeri situatial di fuori di quella galassia occorre usare un telescopio nonstandard. La galassia dello zero coincide dunque con la galassia diogni altro numero standard ed è chiamata galassia principale. Lagalassia principale non è altro che l'insieme dei numeri finiti.

Passiamo finalmente alla nozione di indistinguibilità. Due numerinon nulli si dicono indistinguibili se il loro rapporto è infinitamente



vicino a 1 o, in modo equivalente, se la loro differenza è infinitesimarispetto ad essi. Lo zero è dunque escluso da questa relazione. Perindicare che il numero non nullo x è indistinguibile dal numero non

nullo y scrivo che x ~ y . Il significato visivo di questa relazione è ilseguente. Due numeri sono indistinguibili se, risultando separati dallozero nel campo visivo di un microscopio o di uno zoom centratonell'origine (non importa che si tratti di uno strumento standard o nonstandard), in quella scala non è possibile separarli con nessunmicroscopio standard.

L'utilità della relazione di indistinguibilità sta in un principio disostituzione. Se in un'espressione iperreale sostituiamo ogni numerocon uno indistinguibile, allora il risultato dell'espressione èindistinguibile dal risultato dell'espressione precedente. Si badi beneperò che lo zero è escluso da questa relazione!

Il modo migliore di chiarire il significato di queste relazioni èquello di analizzarle sui vari tipi di numeri iperreali. Due numeri

infinitesimi ε e δ sono sempre infinitamente vicini e quindi anche

a distanza finita. Le affermazioni ε≈δ o ε≃δ non hanno quindi

alcun contenuto di informazione. Affermare invece che ε ~ δ

significa invece asserire qualcosa di più forte ancora del fatto che ε

e δ siano dello stesso ordine. Infatti, due infinitesimi indistinguibilisono sempre dello stesso ordine, essendo il loro rapportoinfinitamente vicino a 1 e quindi finito non infinitesimo, ma non vale

il viceversa: ε e 2ε sono infinitesimi dello stesso ordine, ma nonsono indistinguibili. Per due infinitesimi, essere dello stesso ordinesignifica infatti differire per un infinitesimo di ordine superiore aentrambi.

Due finiti non infinitesimi sono sempre a distanza finita, mentresono infinitamente vicini se e soltanto se sono indistinguibili. Dunque,per i finiti non infinitesimi essere indistinguibili equivale adappartenere alla stessa monade o ad avere la stessa parte standard.

Per due infiniti M e N, in generale, non vale invece nessuna delletre relazioni precedenti. In particolare, se i due infiniti sonoinfinitamente vicini, allora sono anche a distanza finita e, in entrambii casi, i due infiniti sono indistinguibili. Non vale però il viceversa e



due infiniti indistinguibili possono non essere a distanza finita, madifferire per un infinito di ordine inferiore.

Riguardo all'indistinguibilità, valgono le seguenti proprietà per lasomma di due numeri, che si traducono in regole di calcolo pertrasformare un'espressione iperreale in una indistinguibile piùsemplice.

• ε+ δ ~ ε , se δ è un infinitesimo di ordine superiore a ε

(un infinitesimo di ordine superiore può essere trascurato)

• a+ ε ~ a (un infinitesimo può essere trascurato rispetto aun finito non infinitesimo);

• M + ε ~ M (un infinitesimo può essere trascurato rispettoa un infinito);

• M+ a ~ M (un finito non infinitesimo può esseretrascurato rispetto a un infinito);

• M+ N ~ M , se N è di ordine inferiore a M (un infinito diordine inferiore può essere trascurato).

Vediamo qualche esempio di calcolo.

Esempio 1: Nell'espressione iperreale r R

r+ R possiamo trascurare

a denominatore il finito non infinitesimo r rispetto all'infinito R

ottenendo che r R

r+ R~

r R

R=r . Poiché il risultato è un finito non

infinitesimo e per i numeri di questo tipo essere indistinguibiliequivale ad essere infinitamente vicini, possiamo concludere che

r R

r+ R≈r . In un ITIS gli alunni riconoscono immediatamente che la

formula esprime la resistenza equivalente del parallelo di dueresistenze, una finita non infinitesima e una infinita. L'intuizione cidice che la resistenza infinita equivale a un circuito aperto (correnteinfinitesima!) e che la resistenza equivalente è data semplicementedall'altra resistenza.

Esempio 2: r ρ

r+ ρ~

r ρ

r= ρ . In questo caso abbiamo trascurato a



denominatore l'infinitesimo ρ rispetto al finito non infinitesimo r.

Non avrebbe fornito alcuna informazione la scrittura r ρ

r+ ρ≈ ρ , se non

quella di affermare che il risultato è infinitesimo, mentre la scrittura

r ρ

r+ ρ~ ρ ci dice che il risultato non solo è infinitesimo, ma che è

indistinguibile da ρ . Visivamente, i numeri r ρ

r+ ρ e ρ si possono

separare dallo zero soltanto con un microscopio non standard puntatonell'origine e, nel campo visivo di quello strumento, appaionosovrapposti e non si riescono a separare con nessun microscopiostandard. Anche in questo caso è possibile dare una sempliceinterpretazione del risultato in termini di resistenza equivalente di unparallelo.

Esempio 3: Trascurando a numeratore e a denominatore gliinfinitesimi di ordine superiore, possiamo scrivere che

5σ

3−2σ4

σ5−σ3~

5σ3

−σ3=−5 , da cui

5σ3−2σ

4

σ5−σ3≈−5 .

Esempio 4: Se trascuriamo a numeratore e a denominatore gliinfiniti di ordine inferiore e i finiti, possiamo ricavare che

8M4−5M

3

4M3+ 109~

8M4

4M3=2M e quindi che

8M4−5M

3

4M3+ 109~ 2M . Visivamente,

questo significa che facendo rientrare i numeri 8M

4−5M3

4M3+ 109 e 2M nel

campo visivo di uno zoom non standard centrato nell'origine, in quellascala essi ci appaiono sovrapposti e non possono essere separati conun microscopio standard. Sarebbe però un errore scrivere che

8M

4−5M3

4M3+ 109≈2M ! Infatti i due numeri, sebbene indistinguibili, non

sono infinitamente vicini. Possiamo verificarlo calcolandone ladifferenza:

8M4−5M

3

4M3+ 109−2M=−5M

3−2⋅109M

4M3+ 109~−5

4.



In questo caso i due numeri risultano essere a distanza finita noninfinitesima, ma può persino accadere che due infiniti indistinguibilisiano a distanza infinita e appartengano quindi a galassie diverse,

come accade per i numeri M2+ M e M

2 .

Esempio 5: Concludo con un esempio che equivale al calcolo della

derivata della funzione f (x )=1

x per x=2 . Se nell'espressione

iperreale 1

δ (1

2+ δ−

1

2 ) trascuriamo δ in 2+ δ , otteniamo il

risultato

1

δ (1

2+ δ−

1

2 )~1

δ (1

2−

1

2)=0 ,

che non ha significato! Infatti lo zero è escluso dalla relazione diindistinguibilità! Dobbiamo allora procedere diversamente ottenendo

che 1

δ (1

2+ δ−

1

2 )=1

δ

−δ

2 (2+ δ )=−

1

2 (2+ δ )~−

1

4. Possiamo allora

concludere che 1

δ (1

2+ δ−

1

2 )≈−1

4 o, essendo −1

4 un numero

standard, che st [1

δ (1

2+ δ−

1

2 )]=−1

4.

Sperando di essere riuscito a darvi un'idea di come sia possibileintrodurre i numeri iperreali in modo del tutto elementare, almenoquanto basta per una trattazione del calcolo infinitesimale nellascuola superiore, voglio concludere questo mio interventosegnalandovi tre volumi pubblicati in proprio (l'ultimo ancora in fasedi scrittura e che conto di terminare la prossima primavera) in cui horaccolto la mia ventennale esperienza didattica sull'argomento. Sitratta di volumi scritti in forma di dialogo tra un insegnante e la suaclasse:

Il professor Apotema insegna ... i numeri iperreali

Il professor Apotema insegna ... il calcolo delle differenze e il

calcolo differenziale



Il professor Apotema insegna ... il calcolo delle somme e il calcolo

integrale

Ringrazio il collega Paolo Bonavoglia e il Liceo Foscarini di Veneziaper l'ospitalità e l'impeccabile organizzazione di questo Convegno.

Bibliografia

• ABRAHAM ROBINSON, Introduzione alla teoria dei modelli e alla

metamatematica dell'algebra, Boringhieri

• JEROME KEISLER, Foundations of Infinitesimal Calculus (il libropuò essere scaricato gratuitamente in formato pdf all'indirizzohttp://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html)



Il ritorno dell'infinitesimo

di Paolo Bonavoglia

In questo mio intervento parlerò brevemente di tre storie: la primasu come e quando mi capitò di scoprire l'analisi non standard; laseconda è un capitolo di storia della matematica su come andò chel'analisi di Leibniz basata sul concetto di infinitesimo venisse rifondatanell'Ottocento da Cauchy e Weierstrass abolendo proprio quelconcetto e poi rifondata di nuovo nel Novecento da Robinsonriabilitando gli infinitesimi di Leibniz; la terza storia è quella checerca di illustrare i vantaggi dell'approccio non standard rispetto aquello standard.

Come ho scoperto la NSA

Quando cominciai a preparare questo intervento alla giornata distudio, mi venne spontanea la domanda su come e quando avessi ioscoperto l'Analisi non standard. Ripercorrendo la mia carriera diinsegnamento nelle scuole secondarie, non era facile trovare il puntoiniziale.

Tra il 1982 il 1986 avevo insegnato matematica in una sezionesperimentale di uno dei più conosciuti licei di Roma il “Mamiani”;all'ultimo anno era prevista anche analisi che insegnavo in modo deltutto tradizionale e standard, anzi nel 1982 non sapevo nemmenodell'esistenza di un'analisi non standard e conoscevo molto poco anchela storia dell'analisi. La scoperta dell'analisi non standard dovevaquindi risalire agli ultimi anni di questa esperienza al Mamiani. E inqualche modo dovevo averne avuto la prima notizia dalla rivistaPeriodico di matematiche della Mathesis, alla quale ero alloraabbonato.



Mi misi a frugare nella raccolta di numeri di questa rivistapuntando subito alle annate 1985, 19861; e qui trovai due articolisull'analisi non standard; ecco quindi a quando risale la mia scopertaed è ormai passato un quarto di secolo.

Quel nuovo approccio mi era apparso subito interessantissimo,non immaginavo che in origine l'analisi di Leibniz fosse stata cosìsemplice, scoprii finalmente il motivo di quel misterioso dx checompare alla fine di ogni integrale, compresi meglio il perché delsimbolo di Leibniz per la derivata. E naturalmente provai subito ildesiderio di mettere in pratica quel nuovo modo di affrontarel'analisi.

Però proprio nel 1986 persi il posto, che era poi un postoprecario, al Mamiani, e mi ritrovai a insegnare Statistica in unistituto tecnico, poi passai ad insegnare Informatica generale, alloramateria quasi nuova e in grande espansione, in un istituto tecnicoromano, questo tra il 1987 e il 1994. Il desiderio di sperimentarel'analisi non standard dovette essere a malincuore riposto in uncassetto, mentre i miei interessi si spostavano sempre piùsull'informatica.

Nel 1994 decisi di lasciare Roma per Venezia e di tentare lastrada del ritorno nei licei, feci la domanda di passaggio di cattedrasenza crederci molto, e invece al primo colpo ottenni iltrasferimento al più antico liceo di Venezia, il “Marco Foscarini”.

Qui però il programma di matematica era ancora quellotradizionale, niente analisi, e quindi il sogno di provare l'analisi non-standard finì di nuovo nel cassetto.

Solo quando nel 1999-2000 arrivai ad avere una classe terminaledi liceo classico con sperimentazione PNI mi trovai finalmente nellasituazione di provare l'insegnamento dell'analisi alla maniera nonstandard. Dopo 15 anni di attesa potevo finalmente provarci.

1 Si tratta di RUGGERO FERRO, Introduzione all'analisi non standard,Periodico di matematiche, n. 3-4 1985; ALBERTO GIANNONE, L'analisinon-standard nella didattica: una proprietà degli insiemi «Star-

Finiti», Periodico di matematiche, n. 1-2 1986.



Un problema che dovetti subito affrontare era l'assenza di qualsiasilibro o materiale didattico in lingua italiana adatto all'insegnamentodell'analisi non-standard nei licei. Solo qualche articolo come quelliricordati e qualche capitolo di opere non specifiche della NSA.2

Non mi restava altra soluzione che rivolgermi ai libri in linguainglese, il più prezioso si rivelò J.HENLE-E.KLEINBERG Infinitesimal

Calculus, Dover.

Il problema della tangente

La geometria analitica di Cartesio non ha un metodo generale pertrovare le tangenti a una qualsiasi curva, ma solo metodi specifici perparticolari curve.

Per le curve di secondo grado (coniche) ci sono metodi comequello ben noto e ancora usato nei libri scolastici del delta; si fa ilsistema tra l'equazione della conica e quello del fascio di rette per ilpunto e si impone che questo sistema abbia una sola soluzione,algebricamente che il discriminante valga zero; si ottieneun'equazione di secondo grado che risolta fornisce il valore delcoefficiente angolare della tangente.

L'idea di fondo è che la tangente è quella retta che ha un solopunto in comune con la curva.

Ma per curve di grado superiore questo metodo non serve.

Qual è la vera difficoltà del problema della tangente?

Questa: trovare il coefficiente angolare è facile, basta applicare laformula

per la secante m=Δ y

Δ x

ma questa formula per la tangente degenera nel rapporto 0/0notoriamente indeterminato:

2 Per esempio il capitolo in appendice a R.COURANT – H.ROBBINS, Checos'è la Matematica, Boringhieri;



per la tangente m=Δ y

Δ x=

0

0

Il problema quindi è quello del rapporto 0/0, problema che sipresenta anche quando si tenta di definire la velocità istantanea diun corpo e che in definitiva ricalca il terzo paradosso di Zenone,quello della freccia.

L'idea di Leibniz è di sostituire gli zeri con numeri infinitamentepiccoli o infinitesimi:

per la tangente m=dy

dx

Nella lettera riportata di seguito Leibniz mostra come si possaricavare facilmente il coefficiente angolare della tangente a unaparabola, usando appunto gli infinitesimi.



Gli infinitesimi di Leibniz

La filosofia di Leibniz si basa sul concetto di monade.

La matematica di Leibniz si basa sul concetto di infinitesimo.

Ma che cosa sono gli infinitesimi? La definizione di Leibniz è:

Un numero si dice infinitesimo o infinitamente piccolo se è

minore di ogni numero reale positivo ma ancora maggiore di zero;

indicando l'infinitesimo con il simbolo dx

∀N 0< dx<1

N

Per questi nuovi numeri Leibniz usa, senza dimostrarlo, il seguentefondamentale principio di estensione.

Principio di estensione

AI numeri infinitesimi si applicano le ordinarie regole dell'algebra.

È quindi per esempio lecito usare le proprietà associativa,commutativa, distributiva e i conseguenti prodotti notevoli, potenzedel binomio ecc.ecc.

Leibniz trova la tangente

Vediamo ora un esempio di come Leibniz riesce a trovare latangente a una curva algebrica; consideriamo la semplice parabola:

y=x2

Incrementiamo di un infinitesimo sia la x sia la y:

y+ dy= x2+ ( x+ dx)2−x

2

e ricordando che y=x2 si possono eliminare i primi termini:

dy=(x+ dx)2−x2

e applicando la regola del quadrato del binomio (per il principio diestensione valida anche per gli infinitesimi):

dy=x2+ 2 x dx+ dx

2−x2



dy=2 x dx+ dx2

e dividendo tutto per dy

dy

dx=2 x+ dx

ma dx è trascurabile rispetto a 2x e quindi:

dy

dx=2 x

In questo modo abbiamotrovato il coefficienteangolare della tangente allaparabola; e lo abbiamotrovato non in puntoparticolare come A(1;1) maper qualsiasi punto. Ilrisultato del calcolo diLeibniz infatti non è unnumero ma una funzione cheprende il nome di funzionederivata o brevementederivata.

Il problema dellatangente è così risolto inmodo generale. Il metodoinfatti si applica facilmente a qualsiasi funzione algebrica non solo aquelle di secondo grado.

Una variante a questa procedura Leibniz la espone nella già

citata lettera a Newton del 21 giu 1677 dove afferma che dx2

va considerato nullo, “per le ragioni già esposte per la ricerca deimassimi e dei minimi”.

Riprendendo il procedimento da

dy=2 x dx+ dx2

e ammettendo appunto che dx2 sia nullo si ha



dy=2 x dx

dy

dx=2 x

risultato ovviamente coincidente con quello precedente.3

Generalizzando il metodo si arriva a questa definizione di derivata:

D x f (x )=f ( x+ dx)− f ( x )

dx

dove f(x) è una qualsiasi funzione4

Nel caso precedente per esempio sostituendo a f(x) x2 :

D x x2=

( x+ dx )2−x2

dx

=x

2+ 2 x dx+ dx2−x

2

dx=

2 x dx+ dx2

dx=2 x+ dx≃2 x

La critica di Berkeley

Nel 1734 George Berkeley vescovo anglicano e filosofoimmaterialista (famoso il suo esse est percipi) scrisse un breve saggiointitolato The Analyst nel quale criticava pesantemente i fondamentidel calcolo infinitesimale così come erano stati definiti da Newton eLeibniz.

L'obiezione di Berkeley è che il procedimento di Leibniz ècontraddittorio, l'infinitesimo dx è considerato al tempo stesso ugualea zero e diverso da zero, infatti …

D x x2=( x+ dx )2−x

2

dx

3 Contemporaneamente a Leibniz, Isaac Newton partendo dalproblema della velocità istantanea arriva a un calcolo equivalentea quello di Leibniz, usando i termini fluente e flussione.

4 Va osservato che la funzione deve essere continua altrimenti laderivata può risultare indefinita



qui si divide tutto per l'infinitesimo presupponendo quindidx≠0

=x

2+ 2 x dx+ dx2−x

2

dx=

2 x dx+ dx2

dx=2 x+ dx≃2 x

mentre qui si scarta l'infinitesimo presupponendo quindidx=0

Berkeley conclude sarcasticamente che gli infinitesimi sono”Ghosts of departed quantities” fantasmi di entità defunte.

Cauchy e Weierstrass

La critica di Berkeley non turbò troppo matematici, fisici eingegneri; il calcolo infinitesimale funzionava troppo bene perché sipotesse seriamente pensare di abbandonarlo.

Restava però il problema di rifondarlo in modo logicamente piùsolido.

Una prima soluzione fu trovata nell'Ottocento quando AugustinCauchy ridefinì la derivata come un limite:

Dxf ( x)=lim

h→ 0

f ( x+ h)− f ( x)h

per esempio

Dxx

2=limh→0

( x+ h)2−x2

h=...=lim

h→0

(2 x+ h)=2 x

Il procedimento resta nella sostanza lo stesso, ma al postodell'infinitesimo dx c'è ora un normale numero reale h che tende azero. Così il calcolo infinitesimale che era nato dal concetto diinfinitesimo viene rifondato abolendo proprio gli infinitesimi.

L'ultimo passo in questa rifondazione dell'analisi lo fanno Bolzanoe Weierstrass che definiscono in modo rigoroso i limiti, senza far usodi infinitesimi, ma con la ben nota definizione epsilon-delta. Oral'Analisi Matematica ha fondamenti solidi, ma al prezzo di una



notevole complicazione del suo impianto concettuale e di buona partedelle dimostrazioni.

Gli infinitesimi sono quindi banditi dalla matematica! Leibniz èscreditato e su di lui cala una vera e propria damnatio memoriae!Ancora oggi capita di leggere che è bene stare alla larga dai metodisbagliati di Leibniz, che arrivò a fondare l'analisi in modo fortunosononostante un gran numero di errori e leggerezze, un po' comeCristoforo Colombo che scoprì casualmente l'America in seguito a ungrosso errore nella stima delle dimensioni della Terra.

Robinson risuscita gli infinitesimi

I metodi di Leibniz conservavano però il fascino di una semplicitàed immediatezza che l'Analisi di Cauchy e Weierstrass aveva perso.

Nel 1960 il logico-matematico Abraham Robinson, grandeammiratore di Leibniz, ha l'idea di rifondare l'analisi sugli infinitesimi,grazie al seguente teorema di Logica;

Teorema di compattezza proposizionale:

Sia K un insieme infinito di proposizioni tale che ogni sottoinsiemefinito di K è consistente. Allora anche K è consistente.5

K={p0, p1, p2 ... pn ...}

{p0}⊂K

{p0, p1}⊂K

{p0, p1, p2 ... pn}⊂K

Nel 1966 Robinson pubblica il testo “Non-standard Analysis” che èdi fatto il testo fondante di questo nuovo approccio all'AnalisiMatematica.

5 ABRAHAM ROBINSON, Non standard Analysis, Princeton 1965, pag.13



Gli infinitesimi di Robinson

Il teorema precedente si applica proprio al caso degli infinitesimi;consideriamo infatti questo insieme infinito di proposizioni.

K={0< ϵ< 1 ,0< ϵ< 1 /2 , 0< ϵ< 1 /3 ,0< ϵ< 1/4 ... 0< ϵ< 1/ N ...}

Esiste un ε per il quale siano tutte contemporaneamente vere?

Nell'insieme R dei numeri reali, chiaramente NO! (per il postulato diArchimede)

D'altra parte un qualsiasi sottoinsieme finito di K è soddisfacibile,nel senso che esiste un ε che lo soddisfa. Per esempio:

{0< ϵ< 1} Un tale ε esiste, p.es. ε = 1/2

{0< ϵ< 1 , 0< ϵ< 1/2} Un tale ε esiste, ε = 1/3

{0< ϵ< 1 , 0< ϵ< 1/2 , 0< ϵ< 1/3 } Un tale ε esiste, ε = 1/4

Allora il teorema di compattezza assicura che esiste un insiemeesteso R* che comprende numeri non standard detti infinitesimi (oinfinitamente piccoli), qui indicati con la lettera ε, che soddisfano K;e non si tratta che degli infinitesimi che sono appunto minori di ogninumero reale ma maggiori di zero.

Gli infiniti di Robinson

Ma il teorema di compattezza assicura anche l'esistenza di numerinon standard infiniti (o infinitamente grandi), qui indicati con lalettera ω. La logica è del tutto analoga a quella che genera gliinfinitesimi.

K={ω> 1 ,ω> 2 ,ω> 3 ,ω> 4 ...ω> N ...}

Nell'insieme R dei numeri reali non esiste un tale ω. Ma unqualsiasi sottoinsieme di K è soddisfacibile, per esempio:

{ω> 1 }⊂K Un tale ω esiste, ω = 2.

{ω> 1 ,ω> 2 }⊂K Un tale ω esiste, ω = 3.



{ω> 1 ,ω> 2 ,ω> 3}⊂K Un tale ω esiste, ω = 4.

E quindi il teorema di compattezza ci assicura l'esistenza di numerinon standard, numeri infinitamente grandi o infiniti, qui indicati conla lettera ω, che soddisfanno l'ultimo insieme in pratica sono maggioridi ogni numero reale N.

I numeri iperreali

L'insieme esteso dei numeri reali standard e non standard

costituisce l'insieme dei numeri iperreali.

I numeri iperreali possono rappresentarsi come somma di una parte

reale e di una parte infinitesima o infinita, per esempio:

3+ 3ϵ−4ϵ2

o usando la notazione di Leibniz 3+ 3dx−4dx2 .

Il seguente esempio è la somma di un numero reale finito (inquesto caso 3) e di un numero infinitamente grande.

3+ 3ω−4ω2

Si noti per altro che la somma di un numero finito e diinfinitamente grande è un numero infinitamente grande.

I numeri iperreali in cifre

Di solito i numeri iperreali sono usati solo come variabili, mai come

costanti. E' possibile una rappresentazione numerica dei numeri

iperreali? La risposta è sì e ne sono state pensate più di una.

Una di queste rappresenta un numero iperreale come sequenza di

infiniti numeri reali, un po' come un numero reale può rappresentarsicon una sequenza infinita di cifre.

Un numero reale finito a si rappresenta con una sequenza infinita

di numeri uguali ad a per esempio: 3=⟨3,3, 3,3 ... 3 ...⟩

Un numero infinitesimo si rappresenta ugualmente con unasequenza infinita di numeri reali, per esempio



ϵ=⟨1,1

2,1

3,1

4...

1

N...⟩

Restano infiniti numeri dopo 1/N, tutti minori di 1/N; d'altraparte questi numeri sono tutti maggiori di zero; in questo senso6

possiamo dire che ε è minore di un qualsiasi 1/N e al tempo stessomaggiore di zero; si tratta dunque di un numero infinitesimo oinfinitamente piccolo.

Infine un numero infinito si rappresenta come una sequenza dinumeri reali crescenti che non ha un massimo per esempio:

ω=⟨1,2, 3, 4,... N ... ⟩

Analogamente a prima è facile verificare che un tale ω èmaggiore di qualsiasi numero reale N per quanto grande possaessere, e quindi è un numero infinito.

I numeri iperreali si possono sommare, sottrarre, moltiplicare,dividere semplicemente eseguendo le operazioni termine a termine,per esempio, con riferimento ai numeri qui sopra:

3+ 3ω=⟨3, 3,3, 3 ... ⟩+⟨3, 6,9, 12... ⟩=⟨6, 9,12,15... ⟩

Risultato che ci conferma quanto detto sopra: la somma di unnumero reale finito e di uno infinitamente grande è un numeroinfinitamente grande.

6 Vale per i numeri iperreali una sorta di regola della maggioranza;tra due iperreali è quindi maggiore/minore/uguale quello che hala maggioranza di elementi maggiori/minori/uguali; qui ilconfronto è facile perché il sottoinsieme degli elementi minori di1/N è infinito, mentre quello degli elementi maggiori (i primidella sequenza) è finito; più spinoso il caso nel quale entrambi isottoinsiemi siano infiniti; in quel caso occorre definire uninsieme di regole che abbiano la struttura di un ultrafiltro. Vedip.es. HENLE KLEINBERG, Infinitesimal Calculus, cap.3 e app.A



Analogamente per la somma di un numero reale e di un numeroinfinitesimo:

3+ 3ϵ=⟨3, 3,3, 3 ... ⟩+

⟨3,3

2,1,

3

4...⟩=

⟨6,9

2,4,

15

4...⟩

Si noti che qui la somma di un numero reale finito e di uninfinitesimo non è un infinitesimo ma un numero iperreale che èinfinitamente vicino a 3.

Robinson rifonda l'analisi

Fondamentale è la funzione parte standard che restituisce la partereale di un numero iperreale:

st (a+ b dx )=a

Nel caso visto alla fine del paragrafo precedente si ha:

st (3+ 3ϵ)=3

Questa situazione si esprime dicendo che il numero 3+ 3ϵ èinfinitamente vicino a 3 e si scrive7:

3+ 3ϵ≃3

La funzione parte standard è fondamentale per ridefinire laderivata usando gli infinitesimi di Leibniz: la definizione è ora:

D x f ( x)=st ( f ( x+ dx )− f ( x)dx )

Il calcolo segue la falsariga di quello di Leibniz, ma l'eliminazionefinale dell'infinitesimo è ora perfettamente giustificata.

7 La simbologia dell'analisi non-standard è tutt'altro che uniformenei diversi autori; così il simbolo di infinitamente vicino è su alcuni

testi ≈ (doppia ondina) su altri ≃ (trattino e ondina)



La derivata secondo Robinson

Vediamo di nuovo l'esempio della derivata della funzione

y=x2 applicando questa nuova definizione; per prima cosa

sostituiamo a f(x) la funzione x2 :

D x x2=st (( x+ dx)2−x

2

dx )e quindi:

=st ( x2+ 2 x dx+ dx

2−x2

dx )=st (2 x dx+ dx2

dx )=st(2 x+ dx )=2 x

L'eliminazione dell'infinitesimo alla fine non comporta più lecontraddizioni contestate da Berkeley.

Continuità (intuitiva)

Vediamo ora un esempio di argomento trattato alla maniera nonstandard, quello della continuità; come illustrazioni uso qui i lucidipreparati per la LIM per le lezioni in classe.

Nel primo lucido si parte dalla definizione intuitiva di curva



A questo punto si presentano due esempi di funzioni una continua,una funzione goniometrica, e una discontinua la y = floor(x)

Si sente ora le necessità di dare una definizione più rigorosa dicontinuità. Come tradurre nel linguaggio matematico quel “disegnaresenza staccare mai la matita dal foglio di carta”? Viene spontaneotradurlo in “ad ogni incremento infinitesimo della variabile x devecorrispondere un incremento infinitesimo della variabile dipendente yO con una formulazione equivalente, che se x ed x

1 sono

infinitamente vicini allora anche f(x) ed f(x1) lo sono.

In simboli:

st ( f (x+ dx)− f (x ))=0

o in modo equivalente:

x≃ x1→ f ( x)≃ f (x1)



Continuità: confronto con la definizione standard

Confrontando questo modo di definire la continuità con quellodell'analisi standard si apprezza la maggior semplicità ed eleganzadell'approccio NSA.

Come criterio per confrontare la complessità di una definizione èstato proposto di conteggiare il numero di variazioni diquantificatore (da esistenziale e universale o viceversa) che unadefinizione comporta.

Per esempio la seguente (proprietà commutativa della somma):

∀a∀b :a+ b=b+ a

ha complessità zero e in effetti non è molto difficile da capire.

Mentre la seguente:

∀a∃ x : a+ x=0



ha complessità 1, ed è in effetti un po' più difficile dacomprendere della precedente.

Ecco ora la definizione di continuità classica

Definizione classica (Weierstrass)

dato un x0 reale

∀ϵ∃δ∀x :∣x−x0∣< δ→∣f ( x)− f (x

0)∣< ϵ

Ci sono due cambiamenti di quantificatore: la definizione èpiuttosto difficile da capire.

Definizione non standard (Robinson)

dato un x0 reale

∀x : x≃x0→ f ( x)≃ f ( x

0)

Nessuna variazione di quantificatore, decisamente più facile dacapire.

Derivata della funzione composta

Un altro esempio che mostra quanto sia più semplice e intuitivol'approccio non-standard è quello della derivata della funzionecomposta.

Sia y = f(x) una funzione composta mediante le funzioni:

y= f (t )t=g ( x)

per esempio y=ex

2−1 è composta di:

y=et

t=x2−1

La regola della derivata della funzione composta viene giustificatada Leibniz con una banale semplificazione in croce di infinitesimi:

dy

dx=

dy

dt×

dt

dx



che porta al risultato corretto:

dy

dt=e

t;

dt

dx=2 x

dy

dx=

dy

dt×

dt

dx=e

t×2 x=2 x e

x 2−1

Nell'analisi classica questa banale dimostrazione vieneconsiderata sbagliata essendo basata sugli infinitesimi e sostituitacon dimostrazioni molto più complesse; a titolo di esempio ecco ladimostrazione di un vecchio ma sempre ottimo manuale di Analisi,quello di Piero Buzano8:

Sia y = f(x) funzione composta mediante le funzioni:

y= f (t)e t=g( x)

che supporremo entrambe derivabili. Si ha:

Δ y

Δ x=

f ( x+ h)− f ( x )h

=f [g ( x+ h)]− f [ g ( x )]

h

e quindi applicando la seconda formula dell'incremento finito, siha:

Δ y

Δ x=

f [g (x)+ hg ' (x)+ hω2]− f (g (x))

h

e ponendo h f ' (x )+ hω2=k

Δy

Δx=

f [ t+ k ]− f ( t)h

applichiamo ora a f (t+ k ) la prima formula dell'incremento

finito ove si sostituisca x con t e h con k, avremo:

Δy

Δx=[ f ( t)+ω1]

k

h

e ripristinando per k l'espressione h f ' (x )+ hω2

8 PIERO BUZANO, Lezioni di Analisi Matematica, Torino, Levrotto &Bella 1968, pag.89.



Δy

Δx= f ' (t) g ' (x )+ g ' (x )ω1+ f ' (t)ω2+ω1ω2

che per h→0 dà:

dy

dx= f ' ( t ) g ' ( x)

Nell'analisi non standard la regola può nuovamente giustificarsi allamaniera di Leibniz con l'aggiunta della funzione parte standard.

st(dy

dx )=st (dy

dt×

dt

dx )=st (dy

dt )×st (dt

dx )Si veda per esempio la dimostrazione della chain rule in

Infinitesimal Calculus9 che dopo aver considerato il caso un po'patologico che la funzione t = g(x) sia costante e quindi dt = 010

dimostra la regola appunto con la semplificazione in croce.

La differenza di complessità per giustificare questa regola nonrichiede ulteriori commenti.

Possibili percorsi didattici

Quali percorsi didattici per l'analisi alla maniera NSA sono possibiliin una scuola superiore o liceo?

Ecco alcune idee:

9 HENLE-KLEINBERG Infinitesimal Calculus, Dover; pag 69 Theorem 7.5

10 Un esempio tratto dalla mia esperienza didattica: avendosottoposto ai miei studenti il quesito: calcolare Dx e

2 alcunistudenti diedero questa soluzione: scomponiamo la funzione in

y=et;t=2 calcoliamo le derivate y '=e

t; t '=0 e quindi

Dx e2=e

2×0=0 . Soluzione corretta ma anche inquietante: nonera evidente dall'inizio che e

2 è una costante e quindi laderivata è zero? Che bisogno c'era di usare la regola della derivatacomposta? In questo senso ho chiamato patologico questo caso cheè appunto quello nel quale è dt=0 .



a) Derivate e integrali di funzioni polinomiali (e studio di talifunzioni); adatto a una scuola dove si vuole limitare alminimo lo studio dell'analisi. Si può affrontare l'argomentosubito dopo lo studio della geometria analitica (retta econiche) e prima di trigonometria e funzioni esponenziali-logaritmiche. Il vantaggio è che finalmente gli studenti dellescuole superiori riescono ad assimilare i concetti di derivatae integrale ben prima dell'ultimo periodo dell'ultimo anno.

b) Lo stesso percorso ma con calcolo numerico di aree edintegrali che può essere collocato a complemento dellostudio degli integrali stessi.

c) Una prima fase equivalente alla a) al penultimo anno, quinditrattazione più approfondita di iperreali, derivate e integraliall'ultimo anno.

d) La c) con i polinomi di Maclaurin si tratta di un'utileintegrazione; si capisce finalmente come si calcolanofunzioni non algebriche come le goniometriche, e leesponenziali-logaritmiche.

Bibliografia

1. ABREHAM ROBINSON, Non Standard Analysis, Princeton, 1966-1996

2. PIERO BUZANO, Lezioni di Analisi Matematica, TORINO, Levrotto &Bella 1968

3. J.HENLE-E.KLEINBERG Infinitesimal Calculus, Dover, 1979-2003

4. R.COURANT – H.ROBBINS, Che cos'è la Matematica, Boringhieri,2000

Segnalo inoltre questo libro basato sulle mie lezioni dicalcolo infinitesimale nel liceo:

5. P.BONAVOGLIA, Il calcolo infinitesimale, matematicamente.it,2011



Infinitesimi: dalla contraddittorietàall'esistenza

di Pietro Cacciatore

Per la matematica è diverso. La matematica precede

di fatto storicamente l’ontologia, e le teorie

matematiche sono quello che sono

indipendentemente dalla teorie filosofiche. Se ci

sono o cosa sono gli enti matematici lo decide la

matematica. 11

L’insegnamento dell’Analisi non standard è spesso fatto incontrapposizione all’Analisi classica, il punto di vista qui sostenuto èche è utile cercare un’intersezione tra le due teorie poiché la storiadella matematica è una storia di idee e le vicende che hannocondotto all’invenzione delle due teorie ne sono un ottimo esempio.In questo articolo, che ripercorre l’intervento al Convegno, mi augurodi portare argomenti convincenti a sostegno di questa tesi.

La prima parte del percorso proposto è costruita sul libro delSawyer, Il calcolo infinitesimale, Zanichelli, 1983 nel quale è indicatoun percorso rapido al concetto di derivata, in sostanza si tratta di unatrasposizione didattica delle derivate alla Newton-Leibniz per ilcalcolo della pendenza della tangente ad una curva in un suo punto12.Ad esempio volendo calcolare il coefficiente angolare della tangentealla curva y = x2 in un suo punto generico si procede così:

m (x )=∆y

∆x=

y (x+ h )−y (x )x+ h−x

=(x+ h )2−x

2

h=

x2+ 2hx+ h

2−x2

h=

2 hx+ h2

h=

(2x+ h )hh

dividendo per h (cioè considerando 0≠h )

11 Lolli, Filosofia della matematica, Einaudi, 2002, pag 31.

12 Troverete nell’articolo di Paolo Bonavoglia, in questi stessi Atti, una descrizione piùfedele del modo di procedere sia di Newton che di Leibniz.



hx +2 (1)

trascurando h (cioè considerando 0=h )

2x (2)

Come ognuno può vedere i passaggi (1) e (2) sono contraddittori.Ed è su questa contraddizione che si dovrà richiamare con forzal’attenzione degli studenti, ad esempio discutendo sul seguentebrano13

Fermat e più tardi Newton e Leibniz non diedero mai unagiustificazione del loro modo di procedere, e del resto si guardavanobene dall’asserire alcun teorema generale. Il procedimento cheseguivano sembrava loro soddisfacente perché si prestava adun’interpretazione geometrica ed erano fiduciosi che alla finesarebbe stato possibile darne una adeguata dimostrazione. Alcunipensatori posero in dubbio la correttezza di questo modo diprocedere. L’attacco più forte venne da un filosofo il Vescovo G.Berkeley (1685-1753):

Leibniz, Newton e i loro seguaci non si fanno alcuno scrupolo,

prima di supporre e poi di ripudiare le quantità infinitesime

[l’incremento h], con quale correttezza nel ragionamento, ogni

uomo pensante, che non ha pregiudizi, può facilmente discernere…

Chiedo che i matematici, i quali sono tanto esigenti in cose di

religione, siano rigorosamente scrupolosi nella propria scienza. Non

è forse vero che anch’essi hanno i loro misteri e, ciò che è peggio,

che a questi aggiungono contraddizioni?

L’Approccio del Sawyer permette di saltare i limiti e lavoraresubito con le derivate; la cosa può risultare molto vantaggiosa in unoScientifico perché si può introdurre la derivata addirittura in terza.Naturalmente lo studio di funzione (in modo completo) richiede lanozione di limite, ma intanto in terza e in quarta lo “strumento”derivata tornerà molto utile sia in Matematica, sia in Fisica. Ineffetti i due problemi che condussero al concetto di derivata furonoda una parte la determinazione del coefficiente angolare dellatangente ad una curva in un suo punto e dall’altra la determinazione

13 Kline, Matematica la perdita della certezza, Mondadori, 1985, pag 161



della velocità istantanea di un corpo, ed anche in quest’ultimo caso sitratta di calcolare un rapporto incrementale, ad esempio per il motoin caduta libera si ha:

v=s (t+ h )−s (t )

h dove ( )ts è la legge oraria e h un incremento di tempo

v=

1

2g (t+ h)2−

1

2gt

h

=

1

2gt

2+ gt+1

2h

2−1

2gt

h

= (gt+ 1

2h)h

h

=

hgt2

1+ (con 0≠h ) = gt (con 0=h ).

In preparazione alla seconda parte del percorso si presenterannoagli studenti gli approcci di Newton e Leibniz al calcolo, enfatizzandole differenze fra i due punti di vista: a Newton si attribuirà un puntodi vista dinamico: la tangente è il limite della corda

Gli ultimi rapporti non sono i rapporti delle ultime quantità, ma i

limiti ai quali i rapporti delle quantità decrescenti si avvicinano

sempre, illimitatamente, e ai quali si possono avvicinare per più di

qualunque differenza data.

Mentre a Leibniz si attribuirà un punto di vista statico: la tangenteha due punti di contatto infinitamente vicini con la curva

Si constata che le regole del finito funzionano nell’infinito e

viceversa, come se ci fossero degli infinitamente piccoli metafisici.

Gli infinitesimi di Leibniz sono in atto, e prefigurano la soluzione diRobinson. Questa si può riassumere con l’introduzione del concetto diinfinitamente piccolo e infinitamente grande, e quindi dei numeriiperreali. Mentre gli sbocchi del punto di vista di Newton saranno ilconcetto di limite, e la formalizzazione dei numeri reali.14

La soluzione di Weierstrass al problema della derivata, e cioè lasua definizione di limite, incontra notevoli difficoltà didattiche sia a

14 Naturalmente le posizioni sono molto più sfumate e fra loro contaminate, e sitratta dunque di una forzatura didattica. Ma costruire un percorso didattico conelementi di storia della matematica non significa, e non può significare, fare storiadella matematica. Primo perché l’insegnante non è uno storico di professione esecondo perché sarebbe impossibile, e didatticamente dannoso, percorrere tutte le“piste”.



livello tecnico sia a livello di motivazione. Gli studenti fanno fatica acapire perché sia necessaria una definizione così “astrusa”, che perdi più costringe a calcoli complicati, per affermare ad esempio che

limx→ 2

( x+ 5 )=7 . Forse il racconto delle difficoltà incontrate dai

matematici nel risolvere il problema della tangente e della velocitàistantanea da una parte, e il presentare la soluzione weierstrassianacome una vera e propria rivoluzione scientifica dall’altra è un modoper aiutarli. Nel primo caso infatti non serve ricorrere ad esempiartificiosi, ma si presenta un problema vero, un problema che risultainsormontabile con sole manipolazioni algebriche, cioè il rapportofra due quantità che tendono entrambe a zero; nel secondo sienfatizza l’individuazione di una anomalia nella teoria già al suosorgere, l’accantonamento di questa anomalia, e infine la suarimozione ad opera di Weierstrass.15

Per quanto riguarda gli aspetti più propriamente tecnici, basteràlimitare la verifica dei limiti alla Weierstrass a semplicissimefunzioni, giusto per far capire agli studenti come funziona ladefinizione; il calcolo del limite, infatti, risulta molto più agevole inAnalisi non Standard. Si badi, ho detto calcolo e non verifica, equesta sarà una delle tante differenze tra le due teorie che andràfatta notare agli studenti.

Riprendendo le considerazioni storiche epistemologiche vorrei farpresente che la mia esperienza, con questo come con altriargomenti, mi ha convinto che gli studenti sono in grado di capirebenissimo che l’opera di Weierstrass è una ricostruzione a posteriori,e questo può essere motivo di ulteriori riflessioni, come fagiustamente notare Lolli16: “[…] si scoprono prima le proprietà deglienti che gli enti stessi; questo rispetta semplicemente la storia;nessuno può ignorare che proprietà come quelle dei logaritmi emolte altre siano state enunciate e usate ben prima che si desse unedefinizione dei numeri reali stessi a fine Ottocento”.

15 Il richiamo al punto di vista di Kuhn è qui evidente; ed a proposito di filosofiadella scienza, forse è il caso di far notare agli studenti che Newton, Leibniz e tuttii matematici successivi non si comportarono certo da falsificazionisti.

16 Lolli, Filosofia della matematica, Einaudi, 2002, pag 99.



Una circostanza di rilevante interesse, che va fatta notare aglistudenti, è che la definizione di limite non può prescindere dallacostruzione dei numeri reali, anzi che l’insieme dei reali è costruito,volutamente, in modo da risultare chiuso rispetto all’operazione dilimite17.

Si capisce che al centro di queste argomentazioni c’è l’assioma dicontinuità che proprio in vista di queste riflessioni è bene trattare conuna certa cura negli anni precedenti. Tutto ciò va ricordato affinchégli studenti possano apprezzare l’armonia del calcolo, e possanoavere la percezione che il periodo in cui avvennero queste scoperte fuelettrizzante per la storia della matematica. Non è un caso che nellostesso anno, 1872, comparvero la definizione di numero reale (Cantor,Dedekind, Weierstrass e altri), l’assioma di continuità di Dedekind(ma anche un analogo assioma di Cantor), e la definizione di limite diuna funzione.

La storia delle idee ha spesso aspetti sorprendenti, a volte quasiironici, è il caso degli infinitesimi che furono banditi, con grandesoddisfazione, dall’analisi matematica per poi rientrare a buon dirittofra i concetti più utili e promettenti. Nel 1948 Hewitt dimostrò,servendosi di sofisticate tecniche della teoria dei modelli, l’esistenzadegli infinitesimi; e questi furono poi utilizzati negli anni ’60 delNovecento da Robinson per creare l’Analisi non standard. Qualcheanno dopo Keisler costruì la teoria assiomatica dei numeri iperreali.La seconda parte del percorso si apre con una trasposizione didatticadel testo di Keisler, Elementary calculus an infinitesimal approach,http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/.

Penso sia importante presentare una trasposizione didattica il piùfedele possibile della teoria degli iperreali e soprattutto dimostrare iteoremi che sono diretta conseguenza degli assiomi, ciò, più di ognialtra cosa, dà, a mio avviso, il senso di come si costruisce (aposteriori!) una teoria. Di solito i “primi teoremi” sono molto “facili”,succede anche nel nostro caso; ma è un errore didattico, secondo me,saltarne le dimostrazioni solo perché non impegnano“adeguatamente” gli studenti. A titolo di esempio riporto due

17 Cfr Waismann, Introduzione al pensiero matematico, Boringhieri, 1970, pag 216



dimostrazioni (per semplificare sono considerati solo infinitesimipositivi):

Se ε è infinitesimo, ci aspettiamo che anche εεε 2=+ lo sia, più

in generale ci aspettiamo che sia infinitesimo εεεε k... =+++

, con 0Nk ∈ . Per assurdo εk non sia infinitesimo, allora per

qualche naturale n si ha εkn

<1

, ε<nk

1ora posto kn'n = si ha

ε<'n

1: contraddizione!

Se ε, δ sono infinitesimi, δε ⋅ è infinitesimo. Sian

1<ε 0Nn ∈∀ e

prendiamo 1<δ con 1=n (ipotesi), cosìnn

11

1=⋅<⋅δε 0Nn ∈∀

.

La parte applicativa non comporta, a questo punto del percorso,particolari difficoltà: gli studenti ritrovano infatti il modo di operaredel Sawyer.

Un momento importante è la ricomposizione della contraddizione00 =∧≠ hh : numeri trascurabili contro infinitesimi! ma non lo è

solo dal punto di vista logico, è importante anche dal punto di vistadidattico: la comparazione genera metacognizione. Ripercorriamo il

calcolo della derivata di 2xy = fatto secondo la nostra

ricostruzione didattica della derivata alla Newton-Leibniz, econfrontiamolo col calcolo fatto alla Robinson:

dividendo per h (cioè considerando 0≠h )

hx +2 (1)

trascurando h (cioè considerando 0=h )

2x (2)

m (x )=∆y

∆x=

y (x+ h )−y (x )x+ h−x

=(x+ h )2−x

2

h=

x2+ 2hx+ h

2−x2

h=

2 hx+ h2

h=

(2x+ h )hh



I due passaggi (1), (2) non sono più contraddittori se lavoriamo inτIR:

dividere per h è in questo caso possibile poiché h è un infinitesimosupposto diverso da zero

hx +2 (1′)

mentre la giustificazione “trascurando h” va sostituita con

“prendendo la parte standard di hx +2 ”

( ) xhxst 22 =+ (2′)

Questo argomento è un ottimo esempio di come significati nuovi divecchie parole (“limite”, “vicino”), si intreccino con parole nuove(“infinitesimo”). Che il concetto di “vicino” sia relativo è scontato, adesempio, due stelle sono vicine in un senso decisamente diverso didue città vicine e queste ultime lo sono in un senso ancora diverso didue molecole vicine, ma il termine riferito al concetto di limite aprescenari nuovi: per il senso comune i due termini si combinano perdare il significato di “essere sempre più vicino”, “avvicinarsi sempredi più”; dopo aver introdotto la soluzione di Weierstrass ci siamo resiconto che il significato di senso comune, che veniva fatto proprio daiprimi analisti, era inadeguato ad esprimere il concetto di pendenzadella tangente ad una curva in un suo punto, o di velocità istantanea,poiché produceva contraddizioni! Quello che ci dice la propostaweierstrassiana è infatti che alla parola “limite” dobbiamo dare ilsignificato di “essere più vicino di una quantità prefissata” (vienelanciata la sfida: “dammi un epsilon piccolo quanto vuoi (la quantitàprefissata) e ti mostro che esiste un delta tale che…”), tutto sommatoera quello che si era prefigurato Newton senza però riuscire adesprimerlo rigorosamente! Nella proposta di Robinson il significatodella parola limite cambia, diventa quello di un superlativo assoluto“vicinissimo”: “se mi metto vicinissimo ad x0, allora mi ritrovovicinissimo ad l”. Alla fine tra il senso comune e la proposta diRobinson c’è la differenza che passa tra un superlativo relativo e unsuperlativo assoluto, forse è per questo che i due significati cisembrano molto più comprensibili rispetto al significato che vuoleWeierstrass18. Dunque questo argomento non conduce semplicemente

18 Ferro, Due problemi, comunicazione personale in corso di pubblicazione



ad una negoziazione di significati (come capita con termini come“lavoro”, “razionale”, …) ma mostra agli studenti che lamatematica, e il discorso scientifico in generale, si configuranocome scrigni di parole e sorgenti di metafore. Il pensiero corre aquei poeti che hanno ricercato costantemente nel linguaggioscientifico una fonte di ispirazione (Dante, Zanzotto, …)

L’impostazione data a questo percorso conduce inevitabilmentead affrontare il problema dell’esistenza degli infinitesimi, aspettoche ho voluto sottolineare sin dal titolo dell’intervento. Il flussodelle nostre riflessioni partito da Berkeley che dimostrando lacontraddittorietà dei costrutti teorici di Newton e Leibniz aveva difatto dimostrato la non esistenza degli infinitesimi: “se gliinfinitesimi sono contraddittori, allora non esistono”, sembracondurci inevitabilmente alla proposizione contraria: “se gliinfinitesimi non sono contraddittori, allora esistono” e cioè al puntodi vista di Hilbert che l’esistenza di un oggetto matematico è legataalla non contraddittorietà:

Frege – Il fatto che gli assiomi siano veri ci assicura di per sé che

non si contraddicono tra loro, e ciò non abbisogna di alcuna

ulteriore dimostrazione.

Hilbert – Mi ha molto interessato leggere nella Sua lettera

proprio questa frase, poiché io, da quando ho cominciato a

riflettere su questo argomento, ho sempre detto esattamente il

contrario: se assiomi arbitrariamente stabiliti non sono in

contraddizione, con tutte le loro conseguenze, allora essi sono veri,

allora esistono gli enti definiti per mezzo di quegli assiomi. Questo

è per me il criterio della verità e dell’esistenza.19

Ma questa vicenda custodisce una sorpresa: la Teoria dei Modelliassicura l’esistenza di Modelli non Standard di una teoria, e, nelnostro caso, assicura, in definitiva, l’esistenza degli infinitesimi.

La dimostrazione è accessibile agli studenti, essa è tutta giocatasulla differenza fra sintassi e semantica (confrontate la figura a lato,dove la parte di sinistra si riferisce a considerazioni sintattiche, e la

19 Citato in Lolli, Da Euclide a Goedel, Einaudi, 2004, pag 72



parte di destra a considerazioni semantiche20) e sulla conoscenza diun fondamentale Metateorema (Goedel 1930, indicato in figura conMT) che pur essendo di difficile e complessa dimostrazione ha unenunciato semplice e convincente: “Una teoria è non contraddittoriase e solo se ha un modello”21.

Consideriamo il seguente insieme P di enunciati:

c è un numero maggiore di zero e minore di 1/2

c è un numero maggiore di zero e minore di 1/3

…

c è un numero maggiore di zero e minore di 1/n

…

P è un insieme di enunciati di τR e R è un modello di questa teoria.Ovviamente tutto P non può essere vero in R – poiché contraddirebbel’assioma di Archimede – tuttavia ogni sottoinsieme finito di P è vero

20 Forse il modo migliore per far riflettere gli studenti sulla differenza fra i punti divista moderno e classico sulla matematica, e quindi, primariamente, sulladistinzione fra sintassi e semantica, è presentare le geometrie non euclidee con iloro numerosi modelli.

21 Una dimostrazione informale di questo teorema si può trovare in Agazzi, Palladino,Le geometrie non euclidee, Mondadori, 1978, pag 30.



in R e dunque ognuno di questi sottoinsiemi è non contraddittorio(MT), ma allora l’intera collezione è non contraddittoria (questo èun punto centrale: infatti una qualunque dimostrazione che utilizziquesti enunciati deve, come ogni altra dimostrazione, essereformata da un numero finito di premesse, così se P è fatto dasottoinsiemi non contraddittori, non potrà esserci una dimostrazioneche utilizzi come premesse un sottoinsieme di P e conduca ad unacontraddizione), così per MT l’insieme P deve avere un modello, R*,in cui tutti gli enunciati sono simultaneamente veri. EvidentementeR* dovrà essere diverso da R. 22

Questa dimostrazione di esistenza rivela un aspetto troppo spessotrascurato del metodo assiomatico, e cioè la sua capacità di operarecome strumento euristico!23

Vorrei finire con un’ultima riflessione che propongo ai mieistudenti. L’opera di Robinson ha recuperato dei concetti che eranostati criticati ed espulsi dalla matematica (il grido di vittoria diRussell “gli infinitesimi [...] devono essere considerati non necessari,erronei e auto-contraddittori”, rende bene l’idea dello stato disoddisfazione dei matematici per la soluzione di Weierstrass chemetteva fine ad un secolare imbarazzo), e con quei concetti hacostruito una teoria alternativa. Ora mi pare di poter affermare chela lezione più importante dal punto di vista epistemologico è che lastoria della conoscenza è imprevedibile, e che le epistemologie nonpossono avere carattere prescrittivo, ma si devono accontentare diriflettere e trarre insegnamento dalla storia della conoscenza, nonper imporre i corretti comportamenti che deve assumere lo

22 Davis, Hersh, Logica, Quaderni delle Scienze, N 60, 1991

23 Furono le riflessioni sul metodo assiomatico ed in particolare sui modelli digeometrie-non (non-euclidee, non-continue, non-archimedee, …) che condusseroa scoperte fondamentali sui legami tra gli assiomi della geometria, in definitiva suquestioni di indipendenza. Un ottimo esempio da portare agli studenti è che in unmodello non-continuo non è vero già il primo teorema del primo Libro degliElementi (la costruzione del triangolo equilatero) poiché in questo modello nonesiste l’intersezione fra le due circonferenze! Da qui la constatazione (oggi fintroppo ovvia…) che il sistema di Euclide è largamente incompleto.



scienziato, ma per aiutarci a comprendere il rapporto tra il mondo edi nostri tentativi di crearne un’immagine, di interpretarlo.

Ringraziamenti

Vorrei ringraziare il Professore Ruggero Ferro che trent’anni fa miha fatto conoscere l’Analisi non Standard. Ho con lui un particolaredebito di riconoscenza per il generoso aiuto al Progetto LaureeScientifiche realizzato nella mia 3F in questo anno scolastico (2011-12). La sua presenza, praticamente costante, ha arricchito le lezioni ele attività svolte in classe. Mentre il sostegno datomi in orario extrascolastico ha reso possibile la costruzione delle parti più impegnativedei materiali didattici distribuiti agli studenti.

Un ringraziamento particolare al Professore Paolo Bonavoglia e alLiceo Foscarini di Venezia per l’ospitalità.



Un esempio di sperimentazione di NS A in unliceo scientifico: limiti e opportunità

di Christian Bonfanti

In questo intervento porto con semplicità un tentativo diinsegnamento di NSA in un liceo scientifico. Darò le linee essenzialidel programma finora svolto, cercando di analizzare i limiti e leopportunità di questa scelta “Non Standard”

Premessa 1: il mio inizio Non Standard

Io insegno in una scuola privata, nel Liceo scientifico R. Steiner diMilano e sono un laureato in fisica. Queste due cose messe assiemefanno sì che per l'insegnamento della matematica sono spinto asperimentare tutte le possibili tecniche che aiutino gli studenti adentrare il più possibile nel mondo della matematica, mondo che,durante il mio percorso universitario, a me è rimasto abbastanzacelato. Non ricordo bene come sia avvenuto il mio primo incontro conla NSA, leggendo il libro di Paolo Bonavoglia o cercando in internet.Sta di fatto che ad un certo punto mi trovo circondato dai numeriiper-reali: improvvisamente il mondo degli o-piccoli e degliinfinitesimi, che durante gli esami di analisi universitari era risultatoparticolarmente ostico ed oscuro, diventa chiaro e semplice! Daquesto fatto prendo allora la motivazione e l'interesse perapprofondire la tematica leggendo il libro di Keisler, i libri del Prof.Apotema, e decido di applicare subito questa conoscenza alladidattica, dedicando l'ultima parte del secondo quadrimestre dellamia classe quarta (AS2010-2011) all'introduzione dei primi rudimentidi NSA.



Premessa 2: i “Prerequisiti”

In questa seconda premessa volevo sottolineare che nellaprogrammazione che ho svolto con loro nei 5 anni,inconsapevolmente era già stato preparato il terreno all'introduzionedi infinitesimi e infiniti, grazie alla geometria proiettiva e allo studiodella cinematica, fatti l'anno prima.

In particolare nellageometria proiettivagli studenti hannofatto un percorso cheparte dallaconstatazione chedata una retta a e unpunto P al di fuori diessa, qualunque rettache passi per P ha unpunto in comune cona TRANNE la retta h

(la retta rossa in figura) Si introduce allora una nuova categoria dipunti (i punti all'infinito) che sono DEFINITI come i punti diintersezione tra rette parallele. Come conseguenza di questadefinizione ad esempio si arriva a ridefinire l'usuale concetto ditriangolo come illustrato nella figura qui sotto:Le due figure

indicate sono untriangolo con un puntoall'infinito (in alto) eun triangolo con duepunti all'infinito (inbasso). Il percorsodidattico poi proseguefino alla definizionedelle coniche. Quelloche qui è importantesottolineare è che imiei studenti sonoquindi già stati



predisposti a pensare i numeri infiniti e al telescopio infinito comestrumento per visualizzarli.

Per quanto riguarda gli infinitesimi invece ha molto giovato,durante le ore di fisica, la sperimentazione con gli accelerometri (In

figura uno montato sopraun treno della Lego) Essimisurano l'accelerazionescomposta nelle tredirezioni spaziali x y z.Tramite un software èpoi possibile registrare ivalori con un certarisoluzione temporale. Inparticolare i nostri,

gentilmente forniti dalla ST Microelectronics, potevano campionarecon una frequenza di 50 Hz (50 misure al secondo).

Dalla accelerazione sipassa poi alla velocità eallo spazio percorsotramite due integrazionieffettuate in modonumerico eseguito con unqualsiasi foglio di calcolo.(vedi figura qui a fianco)

Penso che siaabbastanza evidente ilparallelo tra numeri

infinitesimi (i numeri più piccoli di un qualsiasi numero reale) e larisoluzione dello strumento (il più piccolo intervallo temporalecampionabile)



Il percorso

Il programma svolto alla fine dell'anno scorso è grossomodo ilseguente:

1. Rapida analisi delle tappe che portano dall'introduzione

dei numeri naturali fino ai numeri reali, passando per i

numeri relativi e razionali. Questo è servito per mostrareagli studenti che il concetto di “completamento” o di“allargamento” di un insieme numerico è già statoapplicato nel corso del loro percorso scolastico.

2. Introduzione dei numeri infinitesimi POSITIVI indicati

con le lettere , ... i numeri infinitesimi NEGATIVI

indicati con − , ... ; i numeri infiniti POSITIVI indicati

con le lettere maiuscole H, K; i numeri infiniti negativi

indicati con -H, -K... La “separazione del segno” è unamia scelta personale effettuata ricordando le difficoltàche possono insorgere nell'assegnare il giusto segno alrisultato dei limiti

3. L'”algebra” dei numeri iperreali: le operazioni di somma,

prodotto divisione e sottrazione tra numeri iperreali

4. Gli strumenti per visualizzare i numeri iperreali sul

piano cartesiano: il telescopio infinito e il microscopio

infinitesimo

5. L'operazione di parte standard e il concetto di

infinitamente vicino per trasformare i numeri iperreali

in numeri reali

6. La derivata di una funzione f(x) in un suo punto

introdotta come il coefficiente angolare della retta che

passa per due punti di f(x) infinitamente vicini tra loro

Siccome la classe è un liceo scientifico, in vista dell'esame diStato, non me la sono sentita di essere completamente “NonStandard”, per cui ho preferito parlare anche di limite come una



diversa scrittura della operazione parte standard. Come esempio diquesto prendiamo la funzione:

y=x

2−2x5

x−3

Calcoliamo alcuni limiti:

La “separazione del segno”, ovvero aver distinti tra numeriinfinitesimi e infiniti positivi e negativi, mi sembra faciliti il calcolofinale. I risultati sono invece conseguenza dell'”algebra dei numeriiperreali” che in questo caso trova applicazione concreta.

I “limiti”

Penso che una vera analisi dei limiti di un percorso NSA per unliceo scientifico sia possibile solo dopo l'esame di maturità.

Però alcune cose possono essere dette già anche adesso: Di sicurol'esame è lo spauracchio più grande per gli studenti, a cui non è statonascosta l'originalità del percorso. L'incognita è sicuramenterappresentata proprio dal giudizio di un commissario esterno rispettoa queste scelte programmatiche che poterebbero essere consideratenegativamente (sbagliate?) e quindi rappresentare uno svantaggio pergli stessi studenti. Devo dire che queste considerazioni erano moltoforti all'inizio dell'anno scolastico attuale, ora si sono smorzate,

limx→+∞

y=st (H2−2H+ 5

H−3 )=st(H2

H )=+∞

limx→−∞

y=st ((−H )2−2 (−H )+ 5

(−H )−3 )=st( H2

−H )=+ ∞

limx→ 3

+

y=st ((3+ ε)2−2 (3+ ε)+ 5

(3+ ε)−3 )=st (9−6+ 5ε )=st (H)=+ ∞

limx→ 3

−

y=st((3−ε)2−2(3−ε)+ 5

(3−ε)−3 )=st (9−6+ 5−ε )=st (−H)=−∞



perché essi stessi, nel confronto tra pari, hanno potuto toccare conmano l'approccio molto più semplice all'analisi, a detta loro inparticolare quando bisogna calcolare il segno degli infiniti a partireda denominatori infinitesimi.

LA seconda difficoltà è stata certamente superare le domande “Acosa è uguale H?” “a cosa è uguale ε?” Queste domande sono statesuperate in primis con l'esercizio. Ritengo sia importante quindicominciare prima della quinta ad introdurre infinitesimi ed infiniti,anche solo per poter contare sui compiti estivi come momento disedimentazione. In secondo luogo ha giovato molto l'applicazionedell'analisi alla realizzazione del grafico di una funzione.

I vantaggi

Penso di poter dire che i vantaggi di questo approccio sianomolteplici. Per quanto riguarda l'operazione di limite, essofinalmente si formalizza attraverso un vero e proprio calcolosimbolico di cui sono chiare le regole, i presupposti e per i qualidiventa anche facile fornire dei meccanismi interpretativi. In altreparole, diventa abbastanza meccanico calcolarli e diventaabbastanza facile darne una interpretazione grafica. Non spendoaltre parole per il concetto di funzione continua (ne hanno giàparlato i miei colleghi), mentre invece volevo aggiungere unaconsiderazione per quanto riguarda la derivata. Penso che ilvantaggio maggiore sia nel fatto che la retta tangente ridiventa atutti gli effetti una retta che passa per due punti ( seppurinfinitamente vicini). Questa cosa ha un'importanza simbolica nonindifferente, perché in questo modo si spiega abbastanza beneperché quando la secante diventa tangente, pur essendo la tangenteuna retta che passa per un punto ha proprio la giusta inclinazione enon una qualunque!



Bibliografia

1. PAOLO BONAVOGLIA, Il calcolo infinitesimale, Matematicamente.it2011

2. JEROME KEISLER, Elementary calculus: An Infinitesimal approach,2000

3. GIORGIO GOLDONI, Il prof. Apotema insegna... i numeri iperreali,ilmiolibro.it 2011

4. GIORGIO GOLDONI, Il prof. Apotema insegna... il calcolo delle

differenze e il calcolo differenziale, ilmiolibro.it 2011

5. R.COURANT – H.ROBBINS, Che cos'è la Matematica, Boringhieri (peruna introduzione alla geometria proiettiva);



Il pieghevole del convegno


analisi non standard

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