analise_aula03

Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas

Introduo aos Sinais e Sistemas

Edmar Jos do Nascimento(Anlise de Sinais e Sistemas)

http://www.univasf.edu.br/edmar.nascimento

Universidade Federal do Vale do So FranciscoColegiado de Engenharia Eltrica


Roteiro

1 Introduo aos SinaisOperaes com SinaisClassificao de SinaisModelos de Sinais

2 Introduo aos SistemasClassificao dos Sistemas


Definies

Um sinal um conjunto de dados ou informaoSinal de telefone ou de televisoRegistros do ndice Bovespa ao longo de uma seo

Matematicamente, um sinal representado por umafuno de uma ou mais variveis

Um sinal de voz representado por uma amplitude detenso em funo do tempoUm trecho de vdeo representado pela variao deparmetros de cor em funo do tempo e da posio natela


Energia e Potncia de um sinal

Quando se lida com sinais necessrio ter uma medidade sua "fora"Dependendo do tipo de sinal, pode-se utilizar a energia oua potncia para indicar se ele mais forte ou mais fracoDa eletricidade, sabe-se que:

p = vi ; E =

pdt

Para uma carga resistiva, tem-se que:

p = v2

R = Ri2; E =

v2

R dt =

Ri2dt



Em sinais e sistemas considera-se uma carga normalizada(R = 1) e desse modo a energia de um sinal x(t) podeser definida como

Ex =

x2(t)dt

Dessa forma, a energia assim definida no representa aenergia real de um determinado sinal prticoSe x(t) for uma funo complexa, a sua energia pode serdefinida como

Ex =

|x(t)|2dt



De modo anlogo ao obtido para a energia, a potncia deum sinal pode ser definida como a energia mdia em umdado intervalo de tempo, sendo assim, a potncia de umsinal x(t) pode ser definida como

Px = limT

1T

T/2T/2

x2(t)dt

Se x(t) for uma funo complexa, a sua potncia pode serdefinida como

Px = limT

1T

T/2T/2

|x(t)|2dt



Pode-se mostrar que se x(t) um sinal peridico comperodo T0, o clculo da sua potncia bastantesimplificado, ou seja

Px =1T0

T0

x2(t)dt

A integral acima pode ser calculada em qualquer intervalode tempo de comprimento igual a T0

ExemploMostrar que a potncia de x(t) = C cos (0t + ) como 0 = 2piT0 dada por Px = C

2

2


Operaes com Sinais

Roteiro




Operaes com Sinais

Operaes com Sinais

Algumas operaes com sinais merecem destaque, soelas:

Multiplicao por um escalarDeslocamento temporalEscalamento temporalReverso temporalOperaes combinadas

Multiplicao por um escalarDado um sinal x(t), modifica-se a sua amplitude,obtendo-se um novo sinal (t) = cx(t)Se c > 1, o sinal amplificadoSe 0 < c < 1, o sinal atenuado


Operaes com Sinais

Deslocamento Temporal

O deslocamento temporal pode ser de dois tipos: atrasoou avanoConsiderando-se um sinal x(t), a verso atrasada de Tsegundos (t) obtida da seguinte forma

O que acontece com x(t), acontece tambm com (t) apsT segundos, ou seja, (t + T ) = x(t)Assim, o sinal atrasado representado por (t) = x(t T ),com T > 0

O atraso (t) = x(t T ) corresponde a um deslocamentode T segundos para a direita do sinal x(t)


Operaes com Sinais

Deslocamento Temporal

O avano pode ser pensado como um atraso negativo, ouseja, o sinal avanado pode ser representado por

(t) = x(t + T ), T > 0O avano (t) = x(t + T ) corresponde a um deslocamentode T segundos para a esquerda do sinal x(t)


Operaes com Sinais

Escalamento Temporal

A compresso ou a expanso de um sinal no tempo chamada de escalamento temporalUm sinal comprimido por um fator a, (a > 1), representado por

(t) = x(at)

Analogamente, um sinal expandido por um fator a, (a > 1), representado por

(t) = x( t

a

)


Operaes com Sinais

Escalamento Temporal

Exemplo de uma compresso e de uma expanso por umfator de 2


Operaes com Sinais

Reverso Temporal

A reverso temporal consiste em uma rotao de 180graus em torno do eixo das ordenadasA operao de reverso temporal representada por

(t) = x(t)


Operaes com Sinais

Operaes Combinadas

Operaes mais complexas podem combinar mais de umadas operaes estudadasPode-se representar uma operao combinada na forma(t) = x(at b)

Dependendo dos valores de a e b essa operao poderepresentar uma combinao de avano, atraso,compresso, expanso ou reverso

Uma operao combinada na forma (t) = x(at b) podeser realizada de trs maneiras

x(t) deslocado de b resultando em x(t b) seguido doescalamento de x(t b) por a resultando em x(at b)Escalamento de x(t) por a resultando em x(at) seguido dodeslocamento temporal por b/a resultando em x(at b)Obteno dos pontos de interesse de (t) a partir dogrfico de x(t)


Classificao de Sinais

Roteiro






Os sinais existentes podem ser classificados de diversasmaneiras

Contnuos e discretos no tempoAnalgicos e digitaisPeridicos e no peridicos (aperidicos)Energia e potnciaDeterminsticos e aleatriosCausais, no causais e anti-causais



Sinais Contnuos e Discretos no Tempo

Um sinal contnuo no tempo aquele que especificadopara valores de tempo contnuoUm sinal discreto no tempo aquele que especificadopara valores de tempo discretos



Sinais Analgicos e Digitais

Um sinal analgico aquele cuja amplitude pode assumirqualquer valor em uma faixa contnuaUm sinal digital aquele cuja amplitude pode assumirapenas um valor pertencente a um conjunto finito devalores



Sinais Peridicos e Aperidicos

Um sinal x(t) peridico se para alguma constantepositiva T0

x(t) = x(t + T0), t

Se o sinal x(t) no for peridico, ele aperidico



Sinais de Energia e de Potncia

Um sinal de energia aquele que possui energia finita eno nulaUm sinal de potncia aquele que possui potncia finita eno nulaUm sinal no pode ser de energia e potncia ao mesmotempoUm sinal pode no ser de energia nem de potnciaSinais peridicos so em geral sinais de potncia



Sinais Determinsticos e Aleatrios

Um sinal determinstico aquele cuja descrio fsica completamente conhecida, seja atravs de um grfico ouatravs de uma expresso matemticaPor outro lado, um sinal aleatrio admite apenas umadescrio probabilstica (momentos, fdp, fda, etc.)



Sinais Causais, no Causais e Anti-causais

Um sinal causal se ele comear a partir do instante t = 0Caso o sinal comece antes de t = 0 e se estenda parat > 0 o sinal chamado de no causalSe o sinal existir apenas para t < 0, o sinal chamado deanti-causal.Como a varivel de um sinal no est restrita ao tempo, ossinais no causais podem existir no mundo fsico


Modelos de Sinais

Roteiro




Modelos de Sinais

Modelos teis de Sinais

Em sinais e sistema, faz-se freqentemente o uso demodelos de sinais seja para simplificar as notaes ouobter modelos mais simples de se lidarAlguns modelos so bastante utilizados

Degrau unitrioImpulso unitrioExponencial complexa


Modelos de Sinais

Degrau Unitrio

O degrau unitrio definido como

u(t) ={

1, t 00, t < 0

}

O degrau unitrio permite se ter uma representaocompacta para sinais causais


Modelos de Sinais

Impulso Unitrio

A "funo"impulso unitrio denotada por (t) foi definidapor Dirac como

(t) = 0, t 6= 0

(t)dt = 1

Geometricamente, o impulso unitrio pode ser definido apartir das seguintes figura fazendo-se 0


Modelos de Sinais

Propriedades do Impulso Unitrio

O impulso unitrio possui as seguintes propriedades

(t)(t) = (0)(t)(t)(t T ) = (T )(t T )

(t)(t)dt = (0)

(t)dt = (0)

(t)(t T )dt = (T )


Modelos de Sinais


Uma definio matemtica para o impulso pode ser dadaem termos de funes generalizadas

Funes definidas por seu efeito em outras funesUsando essa definio, o impulso definido atravs dapropriedade da amostragem

O impulso unitrio definido como uma funo na qual area do seu produto com uma funo (t) igual ao valorde (t) no instante em que o impulso est localizado

Com a abordagem de funes generalizadas pode-serelacionar o impulso unitrio com o degrau unitrio

A derivada do degrau um impulsoA integral de um impulso um degrau


Modelos de Sinais


A derivada do degrau unitrio u(t) um impulso

dudt (t)dt = u(t)(t)

u(t)(t)dt

= () 0

0(t)dt

= () (t)0= (0)

Como a derivada de u(t) satisfaz a propriedade deamostragem de (t), pode-se concluir no sentidogeneralizado que

dudt = (t)


Modelos de Sinais


Conseqentemente, tem-se que t

()d = u(t)

As derivadas de um impulso podem tambm ser definidasatravs de funes generalizadas (ver problema 1.4-9 dolivro texto)

ExemploMostrar que

(t 2) cos (pit4 )dt = 0


Modelos de Sinais

Exponencial Complexa

A exponencial complexa definida por

est , sendo s = + jA varivel s chamada de freqncia complexaUsando a frmula de Euler, pode-se mostrar que

et cost =12(e

st + est)

Ou seja, uma exponencial amortecida pode serrepresentada por uma combinao de exponenciaiscomplexas


Modelos de Sinais

Exponencial Complexa


Modelos de Sinais

Funes Pares e mpares

Em algumas operaes em sinais e sistemas possvelsimplificar bastante os clculos quando h simetria nossinaisPara um sinal par xe(t), tem-se que a

axe(t)dt = 2

a0

xe(t)dt

Para um sinal mpar xo(t), tem-se que aa

xe(t)dt = 0


Modelos de Sinais



Modelos de Sinais


Mesmo quando o sinal no par nem mpar ele pode serdecomposto em uma componente par e uma componentemparPode-se verificar que um sinal qualquer x(t) pode serescrito como

x(t) =12 [x(t) + x(t)]

par

+12 [x(t) x(t)]

mpar


Modelos de Sinais



Definies

Um sistema pode ser definido como sendo uma entidadeque manipula um ou mais sinais para realizar umadeterminada funo, produzindo, assim, novos sinaisUm sistema fsico pode ser caracterizado pela sua relaoentrada/sada

Dessa forma, um sistema pode ser visto como uma caixapreta com um conjunto de entradas x1(t), x2(t), , xj(t) esadas y1(t), y2(t), , yk (t)


Definies

Um exemplo de relao entrada/sada dado para ocircuito RC mostrado abaixo, no qual tem-se que

y(t) = vc(t0) + Rx(t) +1C

tt0

x()d, t t0


Classificao dos Sistemas

Roteiro






Os sistemas podem ser classificados emLineares e no linearesVariantes e invariantes no tempoCom memria (dinmicos) e sem memria (instantneos)Causais e no causaisContnuos e discretos no tempoAnalgicos e digitaisInversveis e no inversveisEstveis e instveis



Sistemas Lineares e no Lineares

Um sistema linear se ele verifica o princpio dasuperposio, ou seja, ele simultaneamente aditivo ehomogneoPara um sistema linear, tem-se que

se x1 y1 e x2 y2ento k1x1 + k2x2 k1y1 + k2y2

Caso o sistema no verifique a princpio da superposioele dito ser no linearUm sistema linear permite que cada entrada sejaconsiderada separadamenteA maioria dos sistemas no linear quando soconsideradas todas as possibilidades de entradas



Sistemas Variantes e Invariantes no Tempo

Um sistema invariante no tempo se um deslocamento naentrada provoca o mesmo deslocamento na sada, ou seja

se x(t) y(t)ento x(t T ) y(t T )



Sistemas Variantes e Invariantes no Tempo

Caso o sistema no verifique a propriedade de invarinciano tempo ele dito ser variante no tempoSistemas variantes no tempo possuem parmetros quevariam com o tempoO formalismo estudado nesse curso permite tratar apenassistemas lineares e invariantes no tempo (LIT)



Sistemas com e sem Memria

Um sistema sem memria (instantneo) aquele cujasada no instante t dependa apenas na entrada noinstante t

Circuito resistivoCaso a sada no instante t dependa de valores passadosou futuros da entrada, o sistema dito ser com memria(dinmico)

Circuitos RC, RL e RLC



Sistemas Causais e no Causais

Um sistema causal quando a sada em um instante t0depende apenas de valores da entrada para t t0

A sada de um sistema causal no depende de valoresfuturos da entrada e por essa razo, ele chamado de noantecipativo

Os sistemas fsicos reais so exemplos de sistemascausais quando a varivel o tempoCaso o sistema no seja causal ele no causal



Sistemas em Tempo Contnuo e Discreto

Sistemas contnuos so aqueles cujas entradas e sadasso sinais contnuos no tempoSistemas discretos so aqueles cujas entradas e sadasso sinais discretos no tempoSinais contnuos podem ser processados por sistemasdiscretos




Um sistema pode ainda ser classificado como analgicoou digital dependendo da natureza dos sinais de entrada esadaUm sistema em que a entrada x(t) pode ser obtido a partirda sada y(t) dito ser inversvel

A operao inversa "desfaz" a operao efetuada pelosistemaUm integrador o inverso de um diferenciador



Sistemas Instveis e Instveis

Os sistemas podem ser classificados em estveis einstveis segundo o critrio de estabilidade externaUm sistema estvel (BIBO estvel) se uma entradalimitada resulta em uma sada limitadaCaso uma entrada limitada resulte em uma sada ilimitada,o sistema instvel

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