análise não linear de estruturas
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7/26/2019 Anlise No Linear de Estruturas
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Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
Anlise no linear geomtrica
de
estruturas reticuladas espaciais
Joo Jos Guerra Martins
(Licenciado em Cincias Militares na especialidade de Engenharia pela Academia Militar)
Dissertao submetida para satisfao parcial dos requisitos do grau de mestre emEstruturas de Engenharia Civil
Realizada sob superviso de:
Professor Catedrtico Joaquim Azevedo Figueiras, do Departamento de Estruturas da
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
Professor Associado Convidado Jos A. F. Mota Freitas, do Departamento de Estruturas da
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
Porto, Setembro de 1997
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II
Agradecimentos
Tem as prximas linhas o simples mas sincero intuito de agradecer a quantos tornaram
possvel efectuar este trabalho e dos quais esquecer-me seria uma profunda injustia:
Instituio Militar e dentro desta, com relevo, ao Ex.moSenhor General Frutuoso
Pires Mateus, ao Ex.moSenhor Coronel de Engenharia Augusto Branquinho Ruivo e
ao Ex.moSenhor Coronel de Engenharia Srgio Lima Bacelar, cuja iniciativa e apoio
se mostrou absolutamente determinante.
Aos coordenadores deste trabalho, o Ex.mo
Senhor Professor Catedrtico JoaquimAzevedo Figueiras e o Ex.mo Senhor Professor Associado Convidado Jos Mota
Freitas, pela sua inexcedvel disponibilidade e o seu muito saber.
Aos camaradas, colegas, amigos e todas as pessoas que de forma directa ou indirecta
tiveram um contributo efectivo ou uma palavra de incentivo e que pelo seu elevado
nmero no refiro com receio de omitir algum.
minha famlia em geral e, sobretudo, Dalila e ao Joo dos quais privei,
demasiadamente, da minha presena.
A todos o meu muito obrigado.
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III
Resumo
Pretende este trabalho apresentar um estudo sobre a no linearidade geomtrica de estruturas
reticuladas espaciais, com base em alguns dos vrios mtodos que foram sendo desenvolvidos
nos ltimos trinta anos, designadamente, quanto sua formulao matricial e procedimentos
incrementais e iterativos.
Visa-se, desta forma, estabelecer as tcnicas de clculo mais representativas, nomeadamente,
no que concerne obteno de deslocamentos e esforos de dimensionamento.
Uma breve comparao ser efectuada entre as teorias abordadas.
Em complemento, a instabilidade elstica de estruturas tambm trazida discusso, atravs
da enunciao e apreciao de alguns processos de previso de cargas crticas, sua utilidade e
alcance.
Procurar-se ainda estabelecer:
Comparao directa da nitidez e grandeza da diferena que podem atingir os
resultados entre a anlise linear e no linear geomtrica;
Influncia da diviso das barras em mais de um elemento, tanto para a anlise no
linear geomtrica de deslocamentos e esforos como para o estudo da instabilidade de
uma estrutura;
Confrontao dos resultados obtidos com ou sem actualizao de geometria;
Aparecimento dos efeitos consequentes sensibilidade da estrutura e do seu
carregamento aos momentos induzidos;
Realidade dos movimentos de corpo rgido nos deslocamentos no lineares e
consequente eventual necessidade da sua eliminao na obteno de esforos;
Importncia da anlise espacial da instabilidade em detrimento da plana;
Utilidade no conhecimento dos coeficientes complementares de encurvadura.
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IV
Abstract
The purpose of this work its to present a study about the no linear geometrical effects in
structures of space frame type, in base on some of the methods that as been development in
the last thirty years, in respect of its matrices formulations and incremental and iterative
proceedings.
We will try, by this way, to establish the computation techniques of the most representative
methods, in particular, in what concern to the calculations of displacements and the internal
forces.
A short comparison will be made among the presented theories.
In addition, the elastic instability of space frames also will be brought to discussion, through
the enunciation and appreciation of some processes of prediction of critical loads, its utility
and domain.
We will also try to establish:
A direct comparison of the clarity and the dimension of the difference of the results
that it can be afforded between the linear and no linear geometric analysis;
Influence of the division of the bars in more than one element, so applied to the no
linear geometric as to the buckling analysis of structures;
Confrontation of the obtained results with or without geometric actualisation;
Appearance of the effects and its consequences caused by the sensibility of the
structure and its charges to the induced moments;
Reality of the rigid body movements in no linear displacements and the sequential
eventual necessity of its elimination to obtain good internal forces results;
The importance of instability space analysis in place of a planar one;
Utility on the knowledge of the buckling complement coefficients.
Rsum
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V
Lobjectif de cette thse il est prsenter un tude sur la non lineairit gomtrique des
ossatures rticules spatiales, sappuyant plusieurs travaux que a t dvelopps dans lesderniers trente ans, spcialement, quant sa formulation matriciels et procs incrmentiel et
itratifs.
Dans cette faon, nous dsirons tablir les techniques de calcul plus reprsentatives,
nommment, en ce qui se rapporte obtention des dplacements et efforts de
dimensionnement.
Une brve comparation sera effectue parmi les thories abordes.
Complmentairement, linstabilit lastique entre aussi dans la discussion, en travers le
listage et prsentation de quelques mthodes de prvision de charges critiques, sa utilit et
atteint.
Nous chercherons ainsi tablir:
La comparation directe de la nettet et grandeur des diffrences qui peuvent atteindre
les rsultats entre lanalyse au premier et second ordre.
Linfluence de la division des barres en plus quun lment, tant pour lanalyse au
second ordre des dplacements et efforts que pour ltude de linstabilit dune
ossature.
La confrontation des rsultats obtenus avec ou sans actualisation de gomtrie. Lapparition des effets consquents sensibilit de la ossature et son chargement aux
moments induits.
La ralit des mouvements de corps rigide dans les dplacements du second ordre et la
consquent ventuel ncessit de sa limination dans lobtention defforts.
Limportance de lanalyse spatiale de linstabilit au dtriment de la plane.
Lutilit dans la connaissance des coefficients complmentaires de flambement.
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Simbologia
[ ] Referncia bibliogrfica.
( ) Referncia a frmula ou expresso matemtica.
[ ] Matriz.
[ ]T Matriz transposta.
[I] Matriz identidade.
[0] Matriz nula.
{ } Vector.
{ }T Vector transposto.
{0} Vector nulo.
{1} Vector com todas as componentes unitrias.
FX Fora (axial) segundo X em eixos gerais.
FY Fora (transversal) segundo Y em eixos gerais.
FZ Fora (transversal) segundo Z em eixos gerais.
Fx Fora (axial) segundo x em eixos locais.
Fy Fora (transversal) segundo y em eixos locais.
Fz Fora (transversal) segundo z em eixos locais.
Mx Momento torsor x em eixos locais.
My Momento flector y em eixos locais.
Mz Momento flector z em eixos locais.
Ix- Inrcia de toro.
Iy Momento de inrcia segundo eixos locais y da seco.
Iz Momento de inrcia segundo eixos locais z da seco.
A rea total da seco.
A rea de corte da seco.
Wij- ndice iejrelativos ao nmero do incremento ou iterao, sendo:
i ndice relativo ao nmero do incremento, com posio inferior linha.j ndice relativo ao nmero da iterao, com posio superior linha.
[K] Matriz de rigidez.
[KT] Matriz de rigidez tangente ou, simplesmente, matriz de rigidez.
[KL] Matriz de rigidez linear ou, simplesmente, matriz linear.
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[KG] Matriz de rigidez geomtrica ou, simplesmente, matriz geomtrica.
[KC] Matriz de rigidez de carga (Petr Kryl).
[KI] Matriz dos momentos induzidos (Yang & Kuo).
[KJ] Matriz dos momentos nodais (Yang & Kuo).
[KM] Matriz dos momentos exteriores aplicados nos ns (Yang & Kuo).
[T] Matriz de rotao ou transformao.
{P} Vector das cargas totais, conjunto das cargas directas nos ns e das
aplicadas nas barras.
{R} Vector das foras desequilibradas ou resduos.
{F} Vector das foras nodais equivalentes ou foras instaladas nos ns da estrutura ou
esforos nas barras projectados nos ns.
{E} Vector das foras instaladas nas barras da estrutura ou esforos nas barras em eixos
locais.
{U} Vector dos deslocamentos nodais (totais), devidos a {P}.
{V} Vector dos deslocamentos nodais, devidos a {F}.
{X} Vector dos deslocamentos nodais, devidos a {R}.
L, M, N Co-senos directores de um eixo definido no espao.
C, S Co-senos e seno de um ngulo.
{} Vector de modo de encurvadura (deslocamentos na configurao de instabilidade).
Acrscimo, variao ou tolerncia.
Acrscimo ou variao.
Acrscimo ou variao. ngulo.
{} Vector genrico auxiliar, como de deslocamentos ou outro.
{u} Vector genrico auxiliar, como de deslocamentos ou outro.
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1. INTRODUO
1.1. Tema
Concebida a geometria da estrutura e das suas seces, bem como determinadas as
provveis solicitaes actuantes em servio e rotura, objecto da anlise de estruturas a
determinao das correspondentes deformaes e tenses ou deslocamentos e esforos. Com
base nestes resultados, podemos ajuizar se os pressupostos iniciais que foram fixados
satisfazem os propsitos em mente, ou seja: se a soluo actual preenche os requisitos de
resistncia e utilizao tidos por exigveis, segundo uma perspectiva que estabelea um
sensato compromisso entre a segurana e a economia.
Permanece ainda nos nossos dias a anlise elstica e linear como suporte doutrinrio de
clculo no exerccio da actividade profissional do engenheiro de estruturas, muito embora os
novos regulamentos publicados [23] abram outros horizontes.
Ora, uma das deficincias desta anlise a sua inaptido para reflectir o real
comportamento de estruturas menos comuns ou sob condies de carregamento no
ordinrias ou, ainda, perto do colapso. No se trata de uma situao to extraordinria como
poder parecer, uma vez que quase todas as estruturas se comportam de forma no linear
quando se aproximam dos seus limites de resistncia, muito embora se tenha a conscincia de
no se pretender levar to longe o seu nvel de aproveitamento em situaes prticas da
construo. Da que os prprios regulamentos da dcada anterior, e que j se baseavam no
conceito de estados limites, incorporavam de maneira implcita, processos de contabilizao
de comportamento no linear. Hoje, so esses prprios cdigos que incitam adopo de
anlises mais exactas em prejuzo de procedimentos mais simplificados com a grande
vantagem de um maior rigor e eficincia.
Temas especficos existem em que imperioso o uso de tcnicas no lineares, como o
caso do desenvolvimento de materiais de elevada resistncia, em que se torna obrigatrio o
escrupuloso aproveitamento das suas capacidades. Caem nesta rea de estudo a engenharia
aerospacial, a engenharia mecnica, a construo de edifcios de grande altura e pontes de
elevado vo, sendo nestes ltimos casos o peso prprio da estrutura determinante nas
condicionantes do seu projecto. Mas no seja esta descrio ilusria, pois, estruturas de muito
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pequeno porte podem, pela sua particular configurao e solicitao, ter um desempenho
altamente no linear.
Existem dois tipos principais de no linearidade: a material e a geomtrica.A primeira diz respeito s mudanas na resposta fsica dos materiais, nomeadamente,
distribuio das tenses ao longo da extenso de uma barra, bem como ao longo dos eixos e
das faces das suas prprias seces. A variao das leis constitutivas que governam o
comportamento no linear material tem como inconveniente o facto das equaes de
equilbrio terem que ser determinadas para estruturas cujas propriedades fsicas dependem da
tenso, existindo o problema de no poderem ser estas conhecidas, antecipadamente. Neste
trabalho ser admitido apenas um comportamento linear material.A segunda, tambm conhecida, em estruturas correntes, por efeitos de segunda ordem,
produzida por deformaes finitas acompanhadas de alteraes da rigidez da estrutura em
sequncia das cargas aplicadas.
Este trabalho refere-se, pois, exclusivamente, anlise deste ltimo caso.
Neste contexto, visa este trabalho no s a comparao e discusso de diversas
formulaes que nos ltimos trinta anos foram sendo desenvolvidas ou melhoradas, como, e
sobretudo, a enunciao de procedimentos de clculo coerentes e transparentes no que aoestudo da no linearidade geomtrica de estruturas reticuladas espaciais diz respeito,
designadamente, nas suas vertentes de obteno de deslocamentos e esforos de
dimensionamento, bem como a previso de cargas crticas elsticas.
Outra discusso que se pretende aflorar, sem se efectuar o seu estudo exaustivo,
corresponde situao em que o valor dos deslocamentos se torna de tal modo aprecivel que
se afigura negligente uma anlise mais simplista. Esclarea-se que simplista aqui no se
refere, propriamente ou somente, formulao matricial (como, por exemplo, a no utilizaode elementos diferenciais de ordem superior na matriz geomtrica), mas a outros importantes
pormenores que vo desde a escolha dos processos de clculo (como, por exemplo, o mtodo
de iterao directa, o mtodo de Newton-Raphson, etc.) simples deciso de efectuar ou no
a actualizao de geometria e dentro desta com que profundidade.
Como se vai poder constatar, o domnio da anlise no linear permanece um tema em
aberto em que o volume, a vivacidade e a riqueza da discusso est longe de atingir consenso
e as certezas ainda so poucas.
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1.2. Breve referncia histrica
A ttulo no s de curiosidade, mas tambm de enquadramento desta temtica, segue-se
uma pequena resenha histrica sobre a anlise no linear de estruturas e, mais
particularmente, da anlise da encurvadura em pilares [26].
A investigao nesta rea da Engenharia de Estruturas soma j 253 anos, se fixarmos
como ponto de partida os estudos de Euler (cuja frmula permanece vlida e de comum
utilizao nos casos em que se mostra aplicvel).
Decorria o ano de 1678 quando Robert Hooke lanava os conceitos preliminares para odesenvolvimento da teoria da estabilidade elstica, estabelecendo que a deformao de
qualquer mola era proporcional fora que a causava.
Um segundo passo foi dado por Jacob Bernoulli, em 1705, que estudou a flexo e a
curvatura de uma viga em consola. Baseando-se na Lei de Hooke, afirmou que a curvatura de
qualquer ponto era proporcional ao momento a instalado.
Leonard Euler (1707-1863), discpulo de um irmo de Jacob, John Bernoulli (1667-
1748), alicerando-se em mtodos variacionais deduziu a frmula para colunas que conservao seu nome1: carga crtica de Euler.
Mariotte (1620-1684) efectuou vrias experincias em vigas em consola em 1680, tendo
sido o primeiro a reconhecer que para uma carga vertical descendente as fibras do topo
sofriam uma extenso e as inferiores uma contraco.
Leibniz, em 1713, confirmou a correco das concluses de Mariotte e recomendou a
aplicao da Lei de Hooke ao problema.
Em 1773, 39 anos aps o aparecimento desta lei, Coulomb (1736-1806) aplicou-acorrectamente, bem como o fez com a equao de equilbrio esttico para o desenvolvimento
dessa frmula, relacionando o momento flector com a tenso axial devida flexo numa viga
em consola. A deformao por esforo transverso era negligenciada por Coulomb, tendo uma
teoria mais completa sido, posteriormente, trabalhada por Navier e St.Venant.
A frmula de Euler permaneceria em discusso at ao incio deste sculo (1905 -
Johnson, Byran & Turneasure) s se comeando a assimilar os casos em que resultava a sua
1 Ser Euler o mais profcuo matemtico de todos os tempos, contendo a sua biografia cientfica um
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validade nos meados do sculo passado. Refiram-se as 32 colunas ensaiadas por Considre
em 1889, a partir da observao das quais este revelou por que razo a frmula de Euler
nunca tinha sido muito til aos engenheiros projectistas. Concluiu este investigador que ainstabilidade ocorria abaixo do limite de proporcionalidade do mdulo de elasticidade,
devendo este, por conseguinte, ser substitudo na frmula de Euler por um mdulo de
elasticidade efectivo: Eef2.
Era o despertar para a realidade da instabilidade inelstica, no existindo ainda um
conhecimento capaz das relaes entre as deformaes, as tenses, as curvaturas e os
momentos no domnio do no elstico.
Engesser (1889) sugeriu que bastaria no estudo da resistncia da coluna no domnio dono elstico se substitusse o mdulo de elasticidade convencional pelo tangente.
Em 1910, Theodor von Krmn deduziu expresses explcitas para o mdulo
reduzido em seces rectangulares e perfis em I e H, mas foi s em 1947 que Shanley de
novo redefiniu este conceito como mdulo tangente, com a seguinte redaco: A carga
correlativa ao mdulo tangente a que corresponde ao menor valor que esta pode tomar para
se dar a bifurcao de equilbrio, quer esta transio para a posio deformada ocorra ou no
por acrscimo de carga axial. Shanley corrobora, pois, o preceito que Engesser 57 anos antestinha enunciado. Osgood diria, em 1951, que esta teoria designada por Engesser-Shanley
mereceria uma referncia histrica comparvel da contribuio de Euler.
Duberg e Wilder que, em 1950, analisaram a evoluo da variao inelstica ao longo
da extenso total de uma coluna, poriam esta concepo de Shanley do seguinte modo: Se o
comportamento de uma coluna perfeitamente recta visto como o comportamento de uma
coluna terica equivalente sem quaisquer imperfeies iniciais, ento, a carga correspondente
ao mdulo tangente a carga crtica da coluna, isto , a carga iniciadora da flexo.Teriam sido estes alguns dos ltimos grandes axiomas precursores da anlise no linear
de colunas dos nossos tempos que, como se v, tem menos de 50 anos.
No se pretende, com esta breve descrio, indexar ou limitar a anlise no linear ao
estudo de elementos verticais solicitados axialmente, muito embora sejam estas as peas mais
sensveis a tais questes. Outros tipos de instabilidade podem ser determinantes na anlise de
impressionante nmero superior a 866 entradas.2Este mdulo efectivo Eefdeveria ter um valor entre o mdulo de elasticidade clssico E e o tangente E t.
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estruturas e em distintos tipos de componentes estruturais, como o caso do bambeamento
em vigas e o enfunamento em chapas.
Sobre toda esta mltipla envolvente, em 1969, Graham Powell publicava um artigo [39]em que referia que apesar dos recentes estudos realizados, no existe ainda uma consistente
formulao terica do problema. Nos nossos dias, no estando esta questo categoricamente
sanada, parecem identificadas e solidificadas vrias teorias de anlise no linear de estruturas,
idealizadas e interpretadas como sistemas, teoricamente, exactos em termos geomtricos e
materiais. Contudo, idnticas preocupaes s de h mais de um sculo surgem ao procurar
simular-se a realidade ligada sua execuo prtica e dos seus materiais constituintes, ou
seja: a passagem dos modelos tericos perfeitos para a realidade dos ensaios e, sobretudo,para o dia-a-dia da construo.
Assumindo por ultrapassado o problema da garantia de qualidade dos materiais e o rigor
das seces das peas pr-fabricadas (como os perfis metlicos, obrigados a processos de
homologao e ainda sujeitos a coeficientes de segurana que reduzem os seus valores
resistentes), h que ter em considerao deficincias bvias da montagem em obra, onde no
se consegue assegurar a perfeio absoluta no fabrico dos elementos estruturais. Assim,
podemos dizer que se procura hoje contabilizar, ainda que de forma necessariamenteaproximada, mas com o rigor de base cientfica e estatstica, alguns dos efeitos no previstos
nas teorias clssicas.
Sendo essas condicionantes de vria natureza, enumeram-se algumas, ficando-se aqum
de uma listagem completa:
Imperfeies geomtricas iniciais;
Deformaes decorridas no tempo de vida da estrutura (devidas a fenmenos
reolgicos, a excesso de carga em servio e outras das quais resultem tenses e
deformaes residuais permanentes);
Fadiga dos materiais, por efeito de ciclos de carga e descarga, com eventual conexo
a fenmenos de histerese;
Alterao das condies de ligao dos elementos estruturais ou do comportamento
das fundaes.
Naturalmente, nem todos estes fenmenos so passveis de ser contabilizados ou
previstos, no entanto, e concentrando-nos na actualidade, o primeiro dos citados j alvo de
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imposio regulamentar [23]na prtica do projecto.
Concluindo este sucinto relato, podemos dizer que a anlise no linear geomtrica de
estruturas reticuladas espaciais, cuja problemtica se pretende abordar, um tema deactualidade que contnua a necessitar de discusso e desenvolvimento.
1.3. Definio do problema
Ficou, pois, segura e claramente, j estabelecido ser a temtica deste trabalho a anlise
no linear geomtrica de estruturas reticuladas tridimensionais, cabendo agora definir o
conjunto de conceitos bsicos do problema para se poder vir a fixar os objectivos a atingir.De uma forma preliminar, estamos em condies de afirmar que com a anlise no
linear geomtrica se pretende aferir e determinar o agravamento nas deformaes e,
consequentemente, nos esforos que uma estrutura sofre ao longo do seu processo de
carregamento. Quer sejam esses acrscimos nos esforos resultado directo das novas e
sucessivas excentricidades criadas pelos movimentos prprios da estrutura em deformao ou
pela alterao da rigidez gerada pelo significativo valor que as foras internas venham a
assumir, estamos, em qualquer dos casos, perante fenmenos que podemos considerar de
efeitos de segunda ordem ou de no linearidade geomtrica.
Vrios factores concorrem para o desenvolvimento destes comportamentos no lineares
e pela sua maior participao no fenmeno destacam-se:
Geometria global da estrutura;
Geometria dos elementos da estrutura e das suas seces;
Condies de apoio (ligaes ao exterior);
Condies de continuidade dos elementos (ligaes interiores); Propriedades dos materiais.
Ilustram-se, seguidamente, alguns dos processos de deformao no linear que uma
estrutura pode sofrer, devendo ainda em certos casos falar-se de instabilidade, desde que em
qualquer momento tenha existido uma perda de equilbrio [15,16,45].
Dos comportamentos a apresentar todos tero cabimento no mbito deste trabalho,
enquanto situados dentro do campo das estruturas reticuladas planas ou espaciais3,
3Falar de estruturas espaciais ou tridimensionais referirmos, intrinsecamente e por incluso, estruturas planas.
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procurando-se encontrar a soluo para o seu despiste e anlise.
a) Caso normal aquele que ocorre na generalidade das estruturas construdas, em que a solicitao a
que esto sujeitas leva a alguma perda na sua rigidez e ao aumento moderado da sua
deformao que, podendo ser mais ou menos acentuada, nunca deve atingir valores que
comprometam a sua utilizao. Queremos com isto dizer que, muito embora no se mantenha
linear a relao entre cargas e deslocamentos, existir sempre entre estes uma relao de
univocidade (fig.1.1).
P
d
Figura 1.1: Curva carga-deslocamento num caso normal.
Nestes casos nunca se chega a atingir uma situao de instabilidade estrutural semcedncia significativa dos materiais constituintes.
Figura 1.2: Exemplo de um caso normal.
b) Inflexo da trajectria de equilbrio
Embora nestes casos no exista, propriamente, uma perda de equilbrio, falamos de
instabilidade pelo facto da rigidez da estrutura apresentar um valor mnimo numa fase
intermdia do processo (fig.1.3).
Conforme se poder avaliar por comparao, uma situao particular de um caso de
inverso de equilbrio com descontinuidade (snap-through), existindo, em ambos os casos,
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uma fase de amaciamento e outra de endurecimento da rigidez da estrutura4.
Esta mudana entre as fases de amaciamento e endurecimento caracterizada por um
ponto de inflexo, da a designao do prprio fenmeno.
P Endurecimento da rigidez
Amaciamento da rigidez
d
Figura 1.3: Curva carga-deslocamento num caso de inflexo da trajectria de equilbrio.
O exemplo que se ilustra, como representao de um comportamento deste tipo,
consiste numa estrutura formada por dois elementos que formam um vrtice ao qual
aplicada uma carga vertical descendente (fig.1.4). Uma vez que um dos apoios elstico, a
passagem da situao inicial de compresso e amaciamento para a final de endurecimento e
traco realizada suavemente e sem descontinuidade (snap-through), ou seja, limita-se estecaso a uma inflexo na trajectria da relao carga-deslocamento.
Figura 1.4: Exemplo de um caso de inflexo da trajectria de equilbrio.
c) Bifurcao de equilbrio
Numa fase inicial, que pode atingir um avanado nvel de carregamento, a estrutura tem
um comportamento essencialmente linear, at atingir um ponto a partir do qual entra em
4 No se trata aqui de situaes, propriamente ditas, de no linearidade material em que na literatura anglo-
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ampla no linearidade.
O nome bifurcao surge aqui ligado possibilidade de existirem duas trajectrias que
passem pelo mesmo estado de equilbrio, a partir do qual estas se tornam instveis (fig.1.5). uma situao em que deixa de haver univocidade entre carga e deslocamento no seu ponto de
aplicao.
P
d
Figura 1.5: Curva carga-deslocamento num caso de bifurcao de equilbrio.
Como exemplo, admita-se uma coluna geometricamente perfeita em consola vertical
solicitada por uma fora descendente de valor crescente (fig.1.6). A partir de um certo nvel
de carregamento, e de forma brusca, esta estrutura perde o seu equilbrio no se conseguindoestabelecer qual a forma que a sua configurao deformada assumir. Ilustra-se este
fenmeno para o caso plano (fig.1.6) onde apenas duas situaes so possveis (se do espao
se tratasse, esse nmero tornar-se-ia infinito).
(2) ? (1) (2) ?
Figura 1.6: Exemplo de um caso de bifurcao de equilbrio.
saxnica o amaciamento aparece ligado ao softenning e o endurecimento com o stiffenning.
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d) Inverso de equilbrio com descontinuidade (snap-through e snap-back)
uma situao semelhante da inflexo da trajectria de equilbrio, s que aqui esse
ponto notvel no de mnimo mas de mximo relativo na escala de carregamento. Ou seja,os efeitos de no linearidade, acompanhados de uma diminuio da rigidez, vo-se
acentuando com o aumento de carga, prosseguindo isto at que a trajectria alcana um ponto
de mximo, onde a rigidez se anula e a estrutura se torna instvel. ento procurada uma
nova configurao de estabilidade e a estrutura v o seu equilbrio restitudo, aps o aumento
brusco de deformao (fig.1.7).
A energia potencial assim libertada est associada a um fenmeno fortemente dinmico
que acompanha a variao profunda sofrida pela geometria da estrutura.
P
d
Figura 1.7: Carga-deslocamento com inverso de equilbrio com descontinuidade tipo snap-through.
semelhana do modelo apresentado no caso de inflexo da trajectria de equilbrio, a
estrutura que serve de exemplo tambm composta por dois elementos que formam um
vrtice e no qual aplicada uma carga vertical descendente (fig.1.8). Contudo, neste caso,
retirou-se o apoio elstico, sendo a estrutura conduzida a uma situao de concentrao de
energia que determina o comportamento acima descrito (snap-through).
Figura 1.8: Exemplo de inverso de equilbrio com descontinuidade do tipo snap-through.
Diga-se que no h qualquer obrigatoriedade na presena ou ausncia desse apoio
elstico para que um ou o outro fenmeno tenham lugar. Na verdade, tanto uma barra
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ordinria como um dispositivo de mola tem uma rigidez prpria que, essa sim, vai estabelecer
a atitude do sistema. Da que o importante esteja, sem dvida, na rigidez das prprias barras,
tendo servido a incluso da mola apenas como ajuda na compreenso da diversidade destasmanifestaes.
Um caso anlogo, mas em que se verifica adicionalmente uma diminuio transitria
em termos de deslocamento designado por snap-back (fig.1.9).
P
d
Figura 1.9: Curva carga-deslocamento com inverso de equilbrio com descontinuidade tipo snap-back.
Na figura 1.10 espelha-se um caso para o qual este fenmeno pode ter lugar.
Trata-se de uma estrutura flexvel que sujeita a uma carga crescente v a sua geometria
passar por vrias fases ao longo do seu processo de deformao. Concentrando-nos no que sepassa no ponto i, constatamos que este sofre, em virtude desse carregamento, um percurso em
que a direco do seu deslocamento passa por uma inverso do mesmo durante uma fase
transitria da sua deformao ((1) (2)), aps o que regressa ao sentido inicial ((2) (3)).
(0) (1) (2)
(3)
i0 i1 i2 i3
Figura 1.10: Exemplo de inverso de equilbrio com descontinuidade do tipo snap-back (no ponto i).
Registe-se que, como noo terica muito importante e tanto relativa a este caso como a
outros, nunca ser o valor absoluto desta carga-tipo que far variar o aspecto desta curva
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carga-deslocamento. Ou seja: entenda-se que o valor dessa aco s determinar quo longo
vai ser a extenso total desta linha representativa da relao carga-deslocamento, jamais a sua
forma. A aparncia desta trajectria est intimamente ligada com as propriedades geomtricase fsicas das seces dos elementos5, podendo, por exemplo, uma variao da inrcia destas
seces, isso sim, determinar a maior ou menor concavidade e convexidade do seu percurso
(em que, no extremo, entraremos numa situao de instabilidade por inverso de equilbrio).
Fiquemos, assim e desde, j com a basilar noo que o grau de comportamento no
linear de uma estrutura, para uma mesma geometria global, varia decisivamente com a rigidez
dos seus membros. Na verdade, s secundariamente o valor da carga-tipo assume importncia
fundamental, sendo esta mais relevante quando a sua dimenso coloca a estrutura j perto docolapso geomtrico, ou seja, na iminncia da bifurcao de equilbrio.
As mensagens dos ltimos pargrafos no pretendem trazer novidades que no tm,
simplesmente, relembrar e clarificar uma das reflexes elementares para o entendimento do
comportamento no linear e seus efeitos.
1.4. Objectivo
Pretende, ento, este trabalho efectuar o estudo da no linearidade geomtrica de
estruturas reticuladas espaciais, especificamente, nas seguintes vertentes:
1) Comparao e discusso de diversas formulaes que nos ltimos anos foram
sendo desenvolvidas ou melhoradas, designadamente, das vantagens e
inconvenientes da sua maior simplicidade ou complexidade e rigor na anlise.
2) Apresentao dos procedimentos de clculo mais representativos, nomeadamente,
no que concerne obteno de deslocamentos e esforos de dimensionamento,
tendo como orientao a coerncia e a transparncia dos processos.
3) Instabilidade elstica de estruturas, discriminadamente, enunciao e apreciao
de alguns mtodos de previso de cargas crticas, sua utilidade e alcance.
5Alm, evidentemente, da prpria geometria global da estrutura.
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1.5. Organizao
Este trabalho foi dividido em seis captulos, tendo esta organizao o objectivo de
separar as matrias de forma conveniente, sem com isso se perder o seu natural
encadeamento. Complementarmente, incluem-se no final trs anexos cujo contedo no se
introduziu no corpo principal, a fim de no se correr o risco de tornar dispersa a sua
exposio.
Captulo 1: Introduo
O presente captulo visa uma introduo temtica e histrica da anlise da no
linearidade geomtrica de estruturas reticuladas, bem como a prpria definio genrica desse
problema, o objectivo que se pretende atingircom este estudo e a organizao do textoque o
apresenta.
Captulo 2: Anlise no linear geomtrica de estruturas reticuladas espaciais - rgos
Trata esta parte a anlise no linear geomtrica de estruturas reticuladas no que aos seus
rgos diz respeito. Com esta designao de rgos pretende-se sublinhar o facto das
entidades aqui tratadas no dependerem dos procedimentos de clculo adoptados, ou seja, os
seus elementos so imutveis independentemente do processo. Assim, integram este captulo
assuntos como a definio das matrizes de transformao, das matrizes de rigidez linear e das
matrizes de rigidez geomtrica.
Captulo 3: Anlise no linear geomtrica de estruturas reticuladas espaciais - processos
Esta seco versa a anlise no linear geomtrica de estruturas reticuladas no que
incumbe aos seus processos. Com esta denominao de processos quer-se salientar que as
matrias aqui tratadas dependem dos procedimentos de clculo que se pretendem tomar, ou
seja e sobretudo, do modo como os rgos vo ser utilizados durante a sequncia de
carregamento e deformao, especificamente: onde, quando e como. Razo pela qual, temas
como a descrio dos mtodos incrementais e iterativos sero aqui includos.
Captulo 4: Previso de cargas crticas
A instabilidade elstica, na sua pendente de cargas crticas e modos de encurvadura
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associados, introduzida neste sector, sendo uma importante componente da rbita da no
linearidade, embora no se deva classificar, nica e propriamente, como tal, j que possvel
efectuar este tipo de estudo em linearidade geomtrica e elasticidade material.Entendeu-se por conveniente no omitir esta rea correndo, muito embora, o perigo de
ser excessivo. Tal eventual ousadia estar justificada, se pensarmos na extenso e riqueza da
informao que um estudo desta espcie nos pode proporcionar. Pensamos conseguir, adiante
e em local prprio, transmitir a importncia suplementar que este tema encerra. Alis e como
se ver, esta anlise ser equivalente ao conduzir proporcionalmente o carregamento-tipo
aplicado ao ponto em que o sistema de equaes deixa der ser definido positivo (ou seja: no
h uma soluo nica para o problema, pois gerou-se uma situao de instabilidade criadapela anulao da matriz tangente em virtude do valor atingido pela matriz geomtrica).
Captulo 5: Exemplos numricos
So aqui includos alguns dos exemplos que concretizam as afirmaes produzidas ao
longo dos captulos anteriores e que nestes no foram apresentados. Na impossibilidade de
serem abrangidos todos os casos testados e, sobretudo, de serem expostas todas as figuras
expressivas dos resultados alcanados, seleccionado um conjunto de ilustraes tidas por
mais significativas para o que se pretende demonstrar em cada tipo de anlise.
Efectuam-se ainda neste captulo breves comentrios sobre o programa de clculo
automtico que se elaborou.
Na verdade, no mbito do plano de trabalhos desta dissertao, foi desenvolvido,
integralmente, um programa de clculo que inclui todas as formulaes adiante apresentadas.
A concepo e execuo do cdigo, mais de 15.000 linhas de programao, cuja organizao
se apresenta, sumariamente, absorveu cerca de 80% do tempo total consumido na realizao
da mesma.
Diga-se que se o esforo despendido na sua produo talvez tenha sido exagerado em
comparao com o que restou para a anlise e comparao de todas as suas possibilidades e
realizao da parte escrita, a verdade que esta ferramenta de clculo permanece e mais
profundos e cuidados estudos podem vir a ser efectuados, bem como modificaes e novos
acrscimos serem integrados, resultando num instrumento que, na opinio do autor, longe
estar de se esgotar. Algumas sugestes sobre as possibilidades agora referidas sero
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includas no captulo referente s concluses.
este captulo destinado a esclarecer, de forma extremamente sucinta, como o
programa e seus algoritmos se adequam s teorias apresentadas.
Captulo 6: Concluses
Faz-se aqui um sumrio das concluses que puderam ser retiradas ao longo deste
trabalho e apontam-se caminhos para eventuais futuros desenvolvimentos.
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2. ANLISE NO LINEAR GEOMTRICA DE ESTRUTURASRETICULADAS ESPACIAIS - RGOS
2.1. Introduo
Tem por objecto esta parte da discusso e da prpria anlise no linear geomtrica de
estruturas reticuladas, o estudo das entidades que, no dependendo dos procedimentos de
clculo adoptados, materializam as bases vitais da sua modelao, ou seja, aquilo que j se
classificou como os seus rgos: matrizes de transformao, matrizes de rigidez linear e no
linear, enfim, a formulao matricial no sujeita conjuntura e, portanto, invarivel no
problema6.
Todavia, no se pode falar numa anlise no linear sem que primeiro algo se diga,
mesmo que de maneira breve, sobre a teoria de suporte que se encontra mais a montante.
Referimo-nos, naturalmente, anlise linear. Este tema, embora seja passvel de se pensar
esgotado em termos de investigao, tal no dever tomar-se por definitivo, sendo, de
qualquer modo, uma obrigatoriedade a sua abordagem como estabelecimento dos conceitos e
dos limites em que se trabalha e dos quais se parte para anlises mais elaboradas.
Sobre este assunto diversas formulaes existem, dependendo dos princpios que so
fixados (como a contribuio ou no do esforo transverso para a deformao dos elementos,
a reduo do mdulo de elasticidade longitudinal e transversal para ter em conta os efeitos da
fendilhao, etc.) e que vo pesar na seleco da matriz de rigidez a utilizar. Outras questes
se podem pr ainda, sendo uma das mais importantes (como ainda se ver neste captulo) a
escolha da matriz de transformao que, especialmente no caso tridimensional, tem uma
interveno preponderante no entendimento de tudo o que se passa ao nvel do elemento.
6Queremos com isto dizer que cada formulao matricial enquanto entendida doutrinariamente pode variar em
funo da teoria que lhe est subjacente, na certeza, porm, que no seu emprego vrias formas so possveis deadoptar sem que a sua natureza ou o seu significado e composio dos seus ndices se alterem.
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2.1.1. Formulao para a anlise no linear
Quando se trata de anlise no linear, pressupe-se mudanas ao longo do percurso de
um processo. Tratando-se do estudo de um parmetro como o movimento (caso em que caem
os deslocamentos de uma estrutura), em termos gerais existem duas formas de o descrever:
Formulao Euleriana (descrio espacial)
O referencial espacial imutvel, cada ponto do espao no v variar as suas
coordenadas; o interesse est em saber o que sucede nesse ponto fixo do espao em cada
intervalo de tempo.
Formulao Lagrangeana(descrio material):
O referencial espacial mvel, cada ponto do espao pode ver variar as suas
coordenadas; o interesse reside no percurso de cada ponto material do sistema.
Fcil ser entender que a formulao Euleriana se adequa, por exemplo, ao estudo de
problemas de escoamento de fluidos, enquanto que a formulao Lagrangeana prpria para
teorias de anlise de estruturas, pois, se adapta ao estudo da deformao da mesma.
Parecendo, embora, transparente e inequvoca a adopo de uma formulao
Lagrangeana, convm separar duas vias distintas [24,35]:
Formulao Lagrangeana Total
O sistema de eixos de referncia est ligado configurao inicial da estrutura
deformada: A(i) = A(0) + U(i).
Y
A1 = A0+U1 A2 = A0+U2 A3 = A0+U3
U1 U2 U3
Z
X
Figura 2.1: Formulao Lagrangeana Total.
Formulao Lagrangeana Modificada/Actualizada
Em qualquer configurao de equilbrio torna-se como referncia a configurao de
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equilbrio anterior: A(i) = A(i-1) + U(i).
YU2
U3
A1 = A0+U1 A2 = A1+U2 A3 = A2+U3
U1
Z
XFigura 2.2: Formulao Lagrangeana Actualizada.
De um modo simplista podemos dizer, numa adaptao ao clculo no linear
geomtrico de estruturas reticuladas que se pretende comentar, que a Formulao
Lagrangeana Total corresponde a um processo em que pode no ocorrer actualizao de
coordenadas de forma explicita, enquanto que para uma Formulao Lagrangeana
Actualizada tal sempre obrigatrio. Frise-se que, muito embora em manifesta minoria,mtodos existem que adoptam uma Formulao Euleriana na deduo dos seus mecanismos
de clculo.
2.2. Matriz de Rigidez Linear
na matriz de rigidez que se concentram todos as premissas de clculo, todas as
propriedades do elemento, todas as regras que fundamentam o seu previsvel comportamento.
A deduo, exaustiva e cuidadosamente comentada, destas matrizes encontra-se
vastamente coberta em diversa bibliografia [1,2,18,35,46], pelo que apenas se faz uma breve
aluso de enquadramento deduo da matriz de rigidez na sua forma mais comum, a que se
segue a simples apresentao de vrias verses em funo das hipteses fixadas. Por
simplicidade, essa descrio feita para o plano, sendo a sua traduo para o espao imediata,
j que no admitida qualquer hiptese de interinfluncia entre os eixos locaisyez.
Como sabido, o coeficiente de rigidez kij representa a fora na coordenada nodal i
devida a um deslocamento unitrio na coordenada nodal j, permanecendo todos os restantes
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graus de liberdade fixos e nulos. Na figura (2.3) representa-se para o caso do grau de
liberdade de rotao no extremo i, as reaces que surgem nos restantes graus de liberdade
quando a este se aplica uma rotao unitria [1] (no se considerando, por agora, variaes nadimenso do comprimento da barra).
K33
(3) 3(x) K63
(1) i (6) j (4)
K13 K43
K23 (2) (5) K53
Figura 2.3: Matriz de rigidez linear: grau de liberdade de rotao no n ie reaces correspondentes.
Associadas a cada deslocamento unitrio da coordenada nodal, mantendo impedidos os
restantes movimento dos ns, a barra assume determinadas formas elsticas representadas
pelas equaes 1(x), 2(x), 3(x), 4(x), 5(x) e 6(x). Adoptando como interpretao
aproximada da forma real elstica a funo cbica: (x) = A + Bx + Cx2+ Dx3, que uma
expresso que cumpre a equao diferencial de viga: EI(d2
y/dx2
) = M(x). Vamos deduzir paraeste caso os parmetros A, B, C e D, introduzindo, para isso, as condies de fronteira e
admitindo como linear a lei dos momentos (M(x)=EI3(x)) por no existirem cargas
intermdias.
No se incluir o desenvolvimento dos coeficientes 1(x) e 4(x) j que correspondem
aos graus liberdade de deslocamentos lineares dos extremos de barra segundo o seu eixo e,
como tal, no geram reaces interactivas com os restantes graus de liberdade, assim, temos:
2(x) = 1 - 3(x/L)2 + 2(x/L)3
3(x) = x - (1-x/L)2
5(x) = 3(x/L)2 - 2(x/L)3
6(x) = (x2/L)(x/L-1)
Dado que 3(x) a deformao correspondente ao deslocamento unitrio 3=1, a
deformao da viga para um deslocamento arbitrrio 3 ser: 33(x). O mesmo raciocnio
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aplicvel aos restantes deslocamentos nodais 2, 5 e 6, de modo que se podem sobrepor
todos os movimentos, encontrando-se:
y(x) = 22(x) + 33(x) + 55(x) + 66(x)
Supondo a viga em equilbrio para qualquer das deformadas possveis e
correspondentes a cada grau de liberdade, debrucemo-nos, ento, sobre o caso da deformada
3(x). Provocando um deslocamento virtual anlogo ao da figura anterior, o trabalho
realizado pelas foras externas ter de ser igual ao cumprido pelas foras internas.
Se atendermos reaco que surge no grau de liberdade 2 pela rotao unitria em 3 e
aplicando-se o princpio dos trabalhos virtuais para 2=1, viga deformada por essa rotao3=1, deduz-se o trabalho das foras externas:
em que M(x) a lei dos momentos flectores e d a deformao angular originada pelo
deslocamento virtual.
Admitindo que M(x) = EI 3(x) e d= 2(x) dx , para 2=1, surge:
do que, em geral, qualquer coeficiente de rigidez associado com uma viga pode ser definido
pela equao:
De acordo com esta formulao e para os graus de liberdade e sistema de eixos reduzido
da figura que se segue (fig.2.4):
1 3
2 4
Figura 2.4: Sistema de eixos plano local condensado.
== :com,M(x)dWekW int223ext == M(x)dkouWW 223intext
=== xd(x)''(x)''EIM(x)dkk 2323223
= ''(x) dx''(x)EIk ijij
I J
-
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A equao matricial da barra pode ser definida por:
i j
12EI/L3 6EI/L2 -12EI/L3 6EI/L2 iKL
= 6EI/L2 4EI/L -6EI/L2 2EI/L
-12EI/L3 -6EI/L2 12EI/L3 -6EI/L2
6EI/L2 2EI/L -6EI/L2 4EI/L j
Este sistema de eixos local que na sua forma completa poderia tambm ser:
1 3
5 6
2 4
Transferindo esta situao condensada para o espao e em funo do sistema de eixos
escolhido, fixa-se a posio dos graus de liberdade dentro da matriz de rigidez, bem como arelao entre sinais dessas posies.
Neste caso optou-se pelo seguinte sistema de eixos espacial local:
Figura 2.6: Sistema de eixos espacial local.
1
7
3
25
4
12
9
JI
11 8
10
I J
6
-
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Todas as matrizes lineares e no lineares adiante apresentadas respeitam o sistema de
eixos agora definido, a que correspondem os seguintes vectores de foras e deslocamentos:
{F}T= {FXi, FYi, FZi, MXi, MYi, MZj, FXj, FYj, FZj, MXj, MYj, MZj}{U}T= {Xi, Yi, Zi, Xi, Yi, Zj, Xj, Yj, Zj, Xj, Yj, Zj}
Podemos dividir a matriz de rigidez linear como um conjunto de submatrizes que a
interprete ao nvel de cada um dos seus dois extremos iej, ordenando a sua interdependncia:
i j
KLii KL
ij i
KL =
KLji KL
jj
j
Constituda, ento, pelas submatrizes KLii, KL
jj, KLije KL
ji , cuja apresentao se faz no
anexo I em diversas variaes, para as quais se julga existir significativa utilidade tanto em
termos tericos como em termos prticos.
Em virtude da simetria caracterstica da matriz de rigidez linear, a submatriz KLji ,
invariavelmente, a transposta da submatriz KLij.
Como acima se disse, encontram-se no anexo I as matrizes de rigidez linear mais
comuns e de maior utilidade, incluindo um modelo que pode no dispor de continuidade para
momentos flectores e torsores.
Esta matriz de rigidez sem continuidade para momentos pode tambm ser adoptada para
a simulao do comportamento linear de cabos, desde que se implemente um dispositivo de
clculo que impea o seu funcionamento compresso, sendo ainda recomendvel a divisodo mesmo em nmero de elementos suficiente para uma maior aproximao (no prximo
captulo apresentaremos uma matriz de rigidez para cabos com comportamento no linear
[41]).
O sistema de eixos ser o mesmo, obviamente, existindo a possibilidade de rotaes
livres nos extremos das barras.
Ilustre-se esse sistema de eixos local em que as esferas simbolizam as possveis rtulas
que as ligaes podem ter (fig.2.7):
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Figura 2.7: Sistema de eixos espacial local, eventualmente, sem continuidade para momentos.
Outro tipo de matriz de rigidez linear apresentada por Petr Krysl [29], que este autor
reputa de melhorada em termos de resposta elstica (dado lhe ter includo um factor de
correco ao esforo transverso - shear correction factor - e uma constante de toro -
torsional constant), conseguindo-se com esta matriz evitar o locking
7
do elemento devidoao esforo transverso.
2.3. Matriz de Transformao ou Rotao
Resolveu incluir-se um espao dedicado a este assunto, porque se julga ser um ponto de
primordial importncia no entendimento e bom funcionamento de qualquer programa de
estruturas de tipologia espacial.
De facto e como se vai verificar, numa anlise no linear geomtrica a matriz de
transformao um aspecto particular e vital na sua formulao.
Ao contrrio do que se passa no plano, em que a matriz de rotao simples e imediata
(fig. 2.8), no caso tridimensional muitas formulaes existem para proporcionar a passagem
de eixos locais para gerais e vice-versa8.
7Sobrevalorizao da contribuio da deformao por esforo transverso em vigas muito esbeltas.8A passagem de eixos gerais para locais faz-se atravs da matriz transposta da matriz de transformao de eixoslocais para gerais.
1
7
3
25 4
12
9
JI
118 10
6
-
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Longe de se poder dizer que cada autor deduz uma matriz de transformao prpria para
a sua formulao de anlise no linear geomtrica, muitos h que o fazem.
Y y
x
X
Figura 2.8: Transformao de eixos locais para gerais no plano.
y
y Y x
z
z
x
Z X
Figura 2.9: Eixos locais (x,y,z) e gerais (X,Y,Z) no espao.
Entre essas formulaes vo-se explicitar trs, tecendo-se alguns comentrios sobre as
mesmas.
Como vamos ver, muito embora todas se adaptem mais ou menos bem (desde que se
sigam algumas intervenes recomendveis) para uma anlise linear, j tal no verdade
quando entramos no mbito de uma anlise no linear geomtrica com actualizao de
coordenadas.
De facto, neste ltimo caso, a manuteno da coerncia dos eixos locais dos elementos
de barra ao longo do processo de actualizao da geometria absolutamente fundamental para
a correco e preciso dos resultados em termos de deslocamentos e esforos.
-
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De qualquer modo, independentemente da formulao adoptada em termos de
tratamento da passagem de eixos locais para gerais e vice-versa, esta matriz tem na sua forma
mais condensada a dimenso de 3 linhas por 3 colunas (3x3).So as linhas dessa matriz os co-senos directores de cada eixo local (x, y e z), referidos
ao extremo em causa (i ou j), para cada um dos dois grupos de deslocamentos existentes no
espao, sendo estes os deslocamentos lineares dos ns (x, y e z) e os deslocamentos
devidos sua rotao (x, y e z):
Cxx Cxy Cxz
[T0] = Cyx Cyy Cyz
Czx Czy Czz
Daqui se depreende que a matriz de rotao final do elemento seja feita para cada um
dos seus extremos ou os incorpore a ambos, j que esta vai proporcionar a passagem de
coordenadas da barra como um todo de eixos locais para gerais e vice-versa.
Adoptando uma matriz de transformao que inclua os dois eixos locais de extremo de
barra e para os dois tipos de deslocamentos desses ns, temos:
i j
[Tii] [Tij] i
[T] =
[Tji] [Tjj]
j
Sendo as submatrizes [Tij] e [Tji]nulas, j que no h qualquer interinfluncia entre os
extremos das barras no que transformao de coordenadas diz respeito.
Como os dois tipos de deslocamentos, lineares e de rotao, tm a mesma direco e
sentido em eixos locais escolhidos, e se para ambos os extremos da barra mantivermos a sua
posio, podemos generalizar:
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[T0] [0]
[Tii]= = [Tjj]
[0] [T0]
Assim, para uma forma de visualizao total de uma matriz de transformao de eixos
locais para gerais com seis graus de liberdade por extremo de barra, temos:
Cxx Cxy Cxz
Cyx Cyy Cyz
Czx Czy Czz
Cxx Cxy Cxz
Cyx Cyy Cyz
[T]= Czx Czy Czz
Cxx Cxy Cxz
Cyx Cyy Cyz
Czx Czy Czz
Cxx Cxy Cxz
Cyx Cyy Cyz
Czx Czy Czz
Uma matriz complementar desta a matriz de rotao de eixos locais da seco para
eixos principais da seco, bastante semelhante para todos os autores que a ela recorrem j
que se trata, no fundo, de uma rotao em termos bidimensionais.
Na verdade, poderia esta ser adoptada de modo quase directo para matriz de
transformao num estudo plano (ver fig.2.10).
A sua constituio, para uma rotao , ao nvel da submatriz elementar e para um
qualquer grupo de deslocamentos (sejam estes lineares como de rotao), pode ser expressa
como (significando a letra C o co-seno do ngulo e a letra S o co-seno do ngulo
(fig.2.10)):
-
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1 0 0
[TPo] = 0 C S
0 -S C
semelhana da matriz de rotao de eixos locais para gerais formada por:
[TP0] [0]
[TPii]= = [TP
jj]
[0] [TP0]
Sendo as submatrizes [TPij] e [TP
ji]tambm nulas pelas mesmas razes.
Assim, para a totalidade dos graus de liberdade de extremidade da barra corresponde a
seguinte matriz de transformao completa:
1 0 00 C S
0 -S C
1 0 0
0 C S
[TPo] = 0 -S C
1 0 0
0 C S0 -S C
1 0 0
0 C S
0 -S C
Na maioria dos casos no haver necessidade de usar esta matriz de rotao, pelo que
estes eixos se mantero, perfeitamente, sobrepostos. Contudo, pode ter esta matriz vrias
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utilidades, destacando-se entre outras:
Possibilidade de fugir definio automtica do posicionamento dos eixos locais ye
z, uma vez que a posio das seces em eixos locais pr-estabelecida peloprograma, com base na formulao adoptada;
Correco de geometria em termos de deslocamentos angulares dos eixos locais, ou
seja: permite, com alguma facilidade, introduzir a possibilidade da actualizao de
geometria no se limitar simples actualizao de coordenadas como, tambm, da
prpria posio angular dos eixos locaisyez;
Utilizao da mesma seco-tipo com orientao dos seus eixos principais de inrcia
rodados de um certo ngulo. Isto pode ser compreendido, por exemplo, atravs doaproveitamento de uma seco-tipo que numa barra de 30x40 para que noutra barra
seja de 40x30, bastando rodar, para o efeito, a seco de 90.
z z
Eixos Principais
Eixos Locais
y
y
Figura 2.10: Transformao deeixos locaisda seco (x e y) para eixos principaisda seco (x e y).
2.3.1. Matriz de Rotao por Ramon Alvarez
Como foi referido, independentemente da formulao adoptada em termos de
tratamento da passagem de eixos locais para gerais e vice-versa, a matriz de transformao
(ou rotao) tem na sua forma mais condensada a dimenso de 3 linhas por 3 colunas (3x3),
sendo estas linhas os co-senos directores de cada eixo local (x,yez), referidos a cada grupo9
de deslocamentos do extremo em causa (iouj).
Este autor [1,2] selecciona uma matriz de rotao em que impe a caracterstica de o
eixo local yser sempre perpendicular ao eixo geral Z, tendo esta a deduo completa que a
9 Esta diviso da numerao da matriz de rotao no obrigatria, mas torna-se vantajosa por ser bastantetransparente e estar, forosamente, ligada numerao imposta pela eleio dos eixos locais da barra.
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seguir se apresenta [1].
Sabemos que os co-senos directores do eixo local x so os mesmos do prprio eixo
longitudinal da barra:x= {L,M,N}.Fixando, conforme se tinha dito, os co-senos directores do eixo local y como
perpendiculares aos eixosxeZ, surge:
i j k -M/D
y = Z ^ x = 1/D 0 0 1 = L/D
L M N 0
em que: D = (L2+ M2)1/2.
Mantendo as necessrias condies de ortogonalidade, resultam os seguintes co-senos
directores do eixo localz:
i j k -LN/D
z = x ^ y = 1/D L M N = -MN/D
-M L 0 D
Ficando a submatriz de transformao de um vector do sistema de eixos local para o
geral com o seguinte aspecto final:
Cxx Cxy Cxz L M N
[T0] = Cyx Cyy Cyz = LM/D -D MN/D
Czx Czy Czz N/D 0 -L/D
No caso do eixo localxser paralelo ao eixo geral Zo eixo local y indeterminado, j
que L e M so nulos, pelo que se sugere convencionar este como paralelo ao eixo geral Y,
podendo tomar a matriz de transformao uma das duas seguintes expresses (outra qualquer
admissvel):
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0 0 1 0 0 -1
[T0] = 0 1 0 (ou) = 0 -1 0
-1 0 0 -1 0 0
Julgo no ser muito feliz a escolha do eixo geral Zpara servir de referencial de partida
identificao dos eixos locais de barra. Isto porque desta forma ela pode tomar posies que,
embora sempre determinveis atravs da leitura e interpretao da matriz de transformao,
no so muito fceis de visualizar quando a barra no toma uma posio paralela a um dos
eixos gerais. Na realidade, nestes casos, excepto o eixo local xque sempre colinear com o
prprio eixo da barra, os restantes eixos locais que so perpendiculares mesma (y e z)
assumem posies muito pouco convenientes para a anlise das seces (os eixos locaisyez
podem tomar qualquer posio dentro dos 360 do crculo trignomtrico).
Assim, prope-se uma alterao que consiste em ser o eixo localzsempre perpendicular
ao eixo geral Y. Tal modificao torna imediata a identificao dos eixos locais dos elementos
(com a excepo nica do caso da barra ser perfeitamente vertical, condio na qual se fixa o
eixo localzparalelo ao eixo geralX- ressalva semelhante que tnhamos na situao anterior
quando a barra era paralela ao eixo geralZ).
As alteraes em relao deduo apresentada anteriormente, reside no facto de aqui
ser o eixo local zsempre perpendicular ao eixo geral Y. Mantendo o eixo local xos seus co-
senos directores bem definidos (tambm x= {L,M,N}), temos a nova ligao vectorial assim
definida:
i j k -N/D
z = x ^ Y = 1/D L M N = 0
0 1 0 L/D
em que: D = (L2+ N2)1/2.
Mantendo, igualmente, as necessrias condies de ortogonalidade, redundam os
seguintes co-senos directores do eixo local y:
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i j k -ML/D
y = z ^ x = 1/D -N 0 L = D
L M N -MN/D
Ficando a matriz de transformao de um vector do sistema de eixos local para o geral
com o seguinte aspecto final:
L M N L M N
[T0] = -ML/D D -MN/D (ou) = ML/D -D MN/D-N/D 0 L/D N/D 0 -L/D
A segunda matriz corresponde primeira rodada de 180, o que pode no ser prefervel
j que o eixo localytoma sempre a posio descendente em vez de ascendente (no entanto,
qualquer das solues torna este eixo muito clara e universalmente definido no espao).
No caso do eixo localxser paralelo ao eixo geral Yo eixo localz indeterminado, j
que L e N so nulos, pelo que se sugere adoptar uma das duas seguintes matrizes (que tem em
considerao a orientao dos ns da barra ascendente ou descendente):
0 0 M 0 0 -M
[T0] = 0 -M 0 (ou) = 0 M 0
-1 0 0 -1 0 0
Esta formulao da matriz de transformao de eixos gerais para locais eficiente
quando no h necessidade de actualizao de coordenadas, pois, em caso contrrio, as
inerentes mudanas de posio (e sobretudo as de quadrante, repare-se na fig. 2.11 em que a
mudana do II para o IV quadrante, ou vice-versa, implica a inverso dos eixos locais x e z)
podem significar o comprometer da fiabilidade dos resultados.
Assim, apenas se mostraria consistente o uso desta matriz em certo nmero de casos,
ficando comprometida a generalidade pretendida no sendo de adoptar.
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y
x
y Y zx
z
III Quadrante Z
X
II Quadrante
IV Quadrante X
Z I Quadrante
Figura 2.11: Variao da posio dos eixos locais em funo da posio da barra (Alvarez modificada).
2.3.2. Matriz de Rotao por Yang & Kuo
Yang & Kuo no seu livro Theory & Analysis of Nonlinear Framed Sructures10
[46]apresenta uma, aparentemente, muito completa deduo do modo de tratar a problemtica dos
eixos locais e a transferncia das suas variveis para eixos gerais.
Esta abordagem bastante pertinente, j que tenta simular todas as alteraes que se
do ao nvel do elemento em todo o processo incremental e iterativo e deformao associada,
particularmente, quanto a prpria actualizao do ngulo dos eixos nos extremos de barra em
funo dos deslocamentos de rotao dos ns da estrutura que os materializam.
So, pelo autores, definidos trs tipo de eixos:Eixos do elemento (element axes): eixos actualizados11que se referem ao centro
da seco e so funo dos eixos nodais da seco (sua mdia, eventualmente,
corrigida).
10Esta obra cientfica talvez a mais completa em termos de actualidade no que anlise no linear geomtricade estruturas reticuladas se refere, pecando (como grande parte de toda a bibliografia) por no dar a devidaateno a pormenores e passos que so muitas vezes, indevidamente, desprezados na exposio das matrias,deixando os seus leitores em dvidas evitveis.11 Actualizados significa que acompanham a deformao do elemento, com actualizao de coordenadas emfuno dos deslocamentos lineares dos ns (x, y e z) e actualizao dos eixos locais em funo dos
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Figura 2.12: Eixos do elemento (element axes).
Eixos nodais da seco (nodal section axes): eixos actualizados nos extremos do
elemento referidos a coordenadas locais.
j
i
Figura 2.13: Eixos nodais da seco (nodal section axes).
Eixos de referncia dos ns (reference axes of nodes): eixos actualizados dos ns
referidos a coordenadas gerais.
Eixos de referncia do n
Eixos nodais da seco
N (genrico) k
Figura 2.14: Eixos de referncia dos ns (reference axes of nodes).
Uma deduo pormenorizada dos eixos do elemento, eixos nodais da seco e eixos de
deslocamentos angulares dos ns (x, y e z).
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referncia dos ns encontra-se entre as pginas 498 e 506 da referncia bibliogrfica [46],
fazendo-se apenas aqui a sntese das grandes linhas desta formulao:
Os eixos de referncia so a posio actualizada dos ns em termos de coordenadasgerais, com simultnea correco de eixos arbitrados e inicialmente paralelos aos
eixos gerais X, Y e Z, que, nesta posio espacial, vo vendo a sua posio
acompanhar as rotaes e translaes desses ns ao longo do clculo em funo dos
deslocamentos.
Os eixos nodais da seco (ou simplesmente eixos da seco), so os eixos
actualizados dos extremos i e j da seco em coordenadas locais (x, y e z). Estes
eixos que eram paralelos entre si no incio do clculo (fig.2.13, extremos i e j dabarra), perdem tal propriedade ao longo do processo, j que o seu deslocamento
independente. No entanto, e se as condies de fronteira forem de continuidade, a
relao entre estes eixos de seco e os eixos de referncia permanece inaltervel
porque actualizao de uns corresponde a actualizao dos outros (sendo essa
relao a matriz de transformao inicial no deformada).
Os eixos do elemento so aqueles com que se pretende representar o comportamento
global da seco, referindo-se ao seu centro e obtidos custa da mdia corrigida12
dos eixos locais dos ns extremos da seco (eixos nodais da seco ou,
simplesmente, eixos da seco).
Em termos prticos, s existe de facto a cada momento uma matriz de rotao do
elemento (construda, como se viu, atravs dos eixos dos ns extremos em coordenadas locais
desse mesmo elemento), reduzindo-se o impacto e a profundidade em termos da actualizao
total de geometria que almejava obter-se, j que estamos em presena de uma geometria
deformada mdia.Contudo, tal procedimento compreensvel, dado que so previsveis graves
dificuldades numricas no tratamento de um sistema estrutural com barras que dispe de
matrizes de transformao com eixos extremos desfasados entre si (nomeadamente, ao nvel
de obteno dos esforos de extremos de barra que esto relacionados, directamente, com
deslocamentos em eixos locais de ambos os extremos da barra pela sua matriz de rigidez ou
12Corrigida porque o estabelecimento simples da mdia entre eixos do mesmo tipo pode retirar a ortogonalidadeentre eixos locais, o que preciso garantir rectificando se necessrio.
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tangente).
Este trabalho no prossegue por essa via, sendo, contudo, uma porta aberta para
eventuais futuros desenvolvimentos.
2.3.3. Matriz de Rotao por Argyris & Petyt
Outra formulao muito interessante e extremamente funcional (com umas pequenas
modificaes) apresentada por Ross [43], embora a sua autoria seja atribuda a Argyris e
Petyt.
Consiste esta na criao de um sistema de eixos baseado num plano triangular formadopelos ns extremos do elemento e um outro n definido para o efeito. Desta forma, poder-se-
ia estabelecer a posio de um dos dois eixos locais normais seco e a partir deste e do eixo
colinear com o prprio eixo da seco seria imediata a obteno do restante13.
A dificuldade do que nos proposto reside na necessidade da existncia desse terceiro
n (que, embora este no contribua para a cativao de memria na montagem da matriz de
rigidez, ter de existir com as suas coordenadas em memria aleatria ou suporte magntico,
consumindo sempre espao e tempo de clculo).
Ilustra-se uma imagem desta formulao, encontrando-se o assunto tratado com detalhe
na referncia bibliogrfica citada.
N k yj
Y yi xj
N j
Z N i zj
X zi
Figura 2.15: Eixos locais de barra por Argyris e Petyt.
Para ultrapassar esta pesada desvantagem que obriga a nomear mais um n por barra14,
13 Tanto nesta como em todas as formulaes, trata-se de um produto vectorial entre eixos ortogonais,respeitando a regra do dedo polegar.14Como indicado por Ross, no absolutamente indispensvel fornecer um novo n para tal desgnio e muito
menos um por cada barra, servindo um n j existente num extremo de outra barra. A questo que tal soluo,alm de implicar sempre o trabalho de designar este terceiro n para uma anlise linear, seria impraticvel na
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de forma directa ou automtica, aqui proposto o seguinte artifcio:
a) Para barras que representem vigas ou cabos simulado um n virtual com base
nos dois existentes nos seus extremos, tendo este como coordenadas em X,Ze Yas mdias das coordenadas correspondentes destes ltimos, havendo que em Ya
esta mdia somar uma unidade. Desta forma, fica o eixo local y sempre com
sentido ascendente e inserido num plano vertical normal ao realizado pelos eixos
geraisXeZ.
y
Y
zZ
X x
Figura 2.16: Eixos locais de barra por Argyris e Petyt (adaptados para viga).
Para barras que representem pilares tambm simulado um n virtual com base
nos dois existentes nos seus extremos, tendo este como coordenadas em X,Ze Yas mdias das coordenadas correspondentes destes ltimos, havendo que em Za
esta mdia subtrair uma unidade. Desta forma fica o eixo local z sempre com
sentido contrrio ao eixo geral Ze inserido num plano normal ao plano realizado
pelo eixos geraisXe Y.
x
z y
Y
Z
X
Figura 2.17: Eixos locais de barra por Argyris e Petyt (adaptados para pilar).
no linearidade geomtrica, j que com a actualizao de coordenadas tal escolha perderia qualquer sentido.
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Assim, consegue-se uma definio clara e simples dos eixos locais, sem qualquer
necessidade de existncia formal de um terceiro n, j que o clculo das coordenadas do
mesmo feito atravs dos dois que materializam os extremos da barra.
2.3.4. Comparao entre Matrizes de Rotao
Apresenta-se, seguidamente, aquilo que se pretende como uma smula das formulaes
seleccionadas em quadro comparativo.
Pelo que se vai expor e atendendo sua generalidade e facilidade de uso, julgamos ser
de adoptar a matriz de transformao preconizada por Argyris e Petyt, recorrendo,
simultaneamente, habilidade que se apresentou.
QUADRO 2.1
Sem actualizao
De Coordenadas
Com Actualizao
de Coordenadas
Facilidade de
aplicao
Alvarez [1] No recomendvel No recomendvel Muito fcilAlvarez (modificada) Recomendvel No recomendvel Muito fcil
Yang & Kuo [46] Recomendvel Recomendvel Difcil
Argyris & Petyt [49] Recomendvel Recomendvel Muito difcil
Argyris (modificada) Recomendvel Recomendvel Fcil
Outras dedues existem para matrizes de transformao, no entanto, pensa-se que as
aqui discutidas so representativas desse universo15.
2.4. Matriz Tangente
A diferena entre matriz de rigidez linear e matriz de rigidez tangente (ou matriz
tangente16) reside, basicamente, no facto desta ltima incluir o estado de tenso do elemento
15Outras formulaes: [14,28,36].16Matriz tangente em substituio de matriz de rigidez tangente apenas uma simplificao de linguagem, uma
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relativo ao momento em que foi calculada, com a correspondente diminuio ou aumento de
rigidez do mesmo (habitualmente, conforme este esteja sob compresso ou sob traco). O
nome de tangente advm do facto desta formulao, para uma representao unidimensional,poder ser em cada momento descrita, em termos de relao instantnea carga-deslocamento,
pela tangente aos pontos desta curva no processo de anlise no linear em curso.
Existem duas formas principais de representar esta matriz: uma baseada em funes
matemticas que multiplicam os elementos da matriz de rigidez linear, outra atravs da soma
de novas matrizes de rigidez linear.
D-se o nome de funes de estabilidadea esses termos que afectam os elementos da
matriz de rigidez linear e de matriz geomtrica quando se trata de uma soma de outrasmatrizes a essa17.
As matrizes tangentes que vo ser apresentadas surgem associadas com uma data e um
responsvel em termos bibliogrficos, o que no implica que quem o divulga seja o seu autor.
Por outro lado, a sua deduo pode ter sido efectuada para o plano, constituindo a sua
generalizao para o espao uma liberdade aqui tomada e de discutvel legitimidade. Todavia,
e sem prejuzo da ressalva traduzida no perodo anterior, julga-se que as reservas quanto ao
abuso desta extenso, s sero mais significativas no que ao grau de liberdade relativo toro se refere. Ora, para alm de tal grau de liberdade ser, vulgarmente, nulo para a maioria
das formulaes espaciais, da sua omisso nunca resulta perigo para o equilbrio da soluo,
ou seja: na situao mais desfavorvel estamos na presena de uma formulao menos
completa, mas nunca errada. Pelas mesma razes, julga-se ser tal raciocnio correcto para
outros termos, normalmente, nulos na correspondente posio da matriz de rigidez linear.
A maior parte das formulaes que vo ser estudadas tero as suas matrizes tangentes
apresentadas no anexo I, quer estas sejam formadas atravs de funes de estabilidade ou porcombinao da matriz de rigidez linear com matrizes geomtricas e outras matrizes suas
complementares.
forma abreviada de designao.17Como veremos, formulaes existem que somam ainda outro tipo de matrizes ao conjunto da matriz de rigidezlinear e matriz geomtrica.
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2.4.1. Matriz Tangente com base em Funes de Estabilidade
Ser esta a forma mais econmica de estabelecer a matriz tangente de uma barra,
dado necessitarmos apenas de uma s matriz para o efeito. Refira-se, contudo, que essa
vantagem pode ser aparente, pois, formulaes deste tipo h cujas funes multiplicadoras
dos termos lineares so complicadas, suficientemente, para se tornarem pouco ou nada
competitivas em termos de tempo de processamento computacional face soluo homloga
da matriz geomtrica.
No sentido de se tentar traduzir a ideia original dos autores em relao aos seus
prprios trabalhos, mas fugindo de uma reposio fiel e prolongada, a sua forma de
apresentao tentar orientar-se pela seguinte postura:
1. Ser sumria e descritiva, mas conservando as designaes data adoptadas, os
seus fundamentos tericos, o alegado desempenho dessa formulao e sua
valorizao;
2. Observaes pontuais sero permitidas, mas sendo sempre perceptvel
pertencerem a terceiros;
3. A anlise e comparao destas formulaes ser efectuada na parte final deste
captulo.
Estas observaes aplicam-se ao subcaptulo 2.4.2.(matriz tangente com base em
matriz geomtrica).
2.4.1.1. Chu & Rampetsreiter, 1972
Este trabalho [14] visa um estudo das estruturas que sob um crescimento de carga
sofrem mudana significativa de geometria e em que a estrutura, embora mantenha um
comportamento material elstico, exibe uma relao no linear entre carga e deslocamento.
Os seus autores afirmavam que, em geral, h dois tipos bsicos de aproximaes, sendo
a mais comum aquela que se baseia num mtodo incremental de aplicao da carga no qual o
carregamento aplicado por pequenas parcelas e a correspondente posio deformada
obtida atravs da matriz tangente ou do mtodo de Newton-Rapshon. Na segunda
aproximao, a que do a designao traduzida de mtodo da carga constante, pretende-se
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manter o nvel do carregamento estvel e, em estado deformado da estrutura, balancear as
foras internas com as externas, sendo ento novo carregamento adicionado e repetindo-se o
processo descrito. Exposto desta maneira, parece que o primeiro mtodo consiste numprocesso exclusivamente incremental ou iterativo e o segundo numa sequncia incremental e
iterativa simultnea.
Em relao a uma formulao trivial de anlise no linear geomtrica, em que apenas os
esforos axiais contribuem para os efeitos de 2 ordem, estes autores acrescentam a aco da
flexo por toro (flexural torsional coupling18), sendo o efeito do encurtamento das barras
por momento flector negligenciado19.
A encurvadura global de estruturas simtricas carregadas simetricamente tambm aflorada, sendo expresso que uma estrutura nestas condies pode ter uma configurao de
colapso assimtrica20. exposto um critrio de previso no sentido de prognosticar qual
destas formas de colapso ter lugar.
Assume-se que os ns das barras so suficientemente rgidos para que fenmenos como
os de empenamento no possam ter lugar.
Na matriz de rigidez tangente utilizada neste trabalho, e que se trouxe a esta discusso,
a maioria dos coeficientes das funes de forma devem-se, segundo estes autores, aJ.D.Renton em Stability of Space Frames by Computer Analysis, Journal of the Structural
Division, ASCE, Agosto 1962, pginas 81 a 103.
A sua apresentao faz-se em anexo, observando-se que para pequenos21 valores de
18Julga-se que significar o momento flector que poder ser induzido, por exemplo, numa barra de seco abertasujeita a toro.19 atribuda prova desta ilao a Connor & Chan em Non-linear Analysis of Elastic Framed Structures,
Journal of the Structural Division, ASCE, Junho 1968, pgs 1525-154720Este facto particular, que vai ser abordado de forma superficial em captulo prprio, no invalida que umaestrutura nestas condies tenha tantos modos de encurvadura idnticos (e cargas crticas correspondentestambm semelhantes), em direces diferentes, quanto os planos de simetria. Sendo isto intuitivo, j que nofaria sentido que uma estrutura simtrica carregada simetricamente tivesse uma direco privilegiada demovimento face s restantes suas equivalentes, quando a energia necessria para realizar esse trabalho s podeser a mesma para todas as direces de simetria.
Convm esclarecer que ao falar de colapso no se quer aqui invalidar a hiptese de a estrutura conseguirainda vir a encontrar uma posio eventual de equilbrio. Simplesmente, ocorrncia de uma brusca variao degeometria corresponde, presumivelmente, a impossibilidade da sua manuteno em servio.21No original encontra-se esta designao de small values, sem qualquer quantificao ou sequer qualificaodo seu intervalo. Aps a aplicao em pequenos exemplos, estabeleceu-se um valor de 0,9 para essa fronteira,sendo apenas um nmero de carcter emprico e restrito aos casos examinados, sem qualquer fundamento
cientfico. De qualquer forma, o uso dessas funes de Livesley parece ser de carcter geral, pelo que a suaaplicao permanente para qualquer valor poder ser uma opo final para ultrapassar esta impreciso.
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Uy*Lou de Uq*L,h necessidade de substituir as expresses originais por aproximaes em
desenvolvimentos de sries matemticas (de Livesley).
Por outro lado, a aplicao do factor redutor 1+P*x0*x0/(G*It-P*r0*r0)22 apenas seaplica ao eixo localz, o que faz supor que esta formulao s valida para seces com pelo
menos um eixo de simetria. Ou seja: o bambeamento, enquanto fenmeno provocado por
cargas directas nas barras, negligenciado, mas procura-se contabilizar a flexo induzida por
toro de seces assimtricas.
2.4.1.2. Jos Espada, 1975
Jos Espada classifica os casos mais usuais que podem exigir uma anlise em regime
no linear do seguinte modo:
O comportamento no linear provm da alterao da geometria da estrutura por
uma das seguintes causas:
a estrutura pouco deformvel, mas as foras axiais so muito elevadas;
a estrutura muito deformvel;
O comportamento no linear da estrutura devido natureza do material.O estudo que foi apresentado aplica-se apenas no caso das estruturas pouco
deformveis, mas com importantes foras axiais. A deduo das funes de estabilidade que
se seguem encontra-se comentada em [21], incluindo-se apenas os aspectos essncias no
anexo I.
Pelos breves comentrios que o autor dedica (Captulo 12 do seu livro) ao estudo de
estruturas que sofram grandes deformaes, fica a ideia que este o considera como passvel de
ser efectuado com esta formulao, desde que se limitem os incrementos de deslocamentos ese realize uma actualizao de geometria23.
2.4.1.3. El-Metwally & Chen, 1987
Este trabalho [20] que foi desenvolvido para estruturas de beto armado pretende ser
22O significado das variveis que compe esta expresso, e no caso de outras em que tambm paream existir
omisses, encontra-se explcito nos anexos citados.23Como se ver, a actualizao de geometria o principal requisito e atributo para se poder classificar uma
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uma proposta bastante completa para prticos planos, j que considera trs tipos de anlise
distintas: no linear geomtrica, no linear material e extremos de barra flexveis (adequado
simulao de ligaes semi-rgidas e flexveis).Dado o mbito desta tese vamo-nos limitar ao primeiro caso.
El-Metwally & Chen dividem a abordagem da temtica da anlise no linear
geomtrica, entrando no domnio dos grandes deslocamentos, em trs campos:
1. Efeito P-ao nvel dos elementos;
2. Efeito P-ao nvel da estabilidade global da estrutura;
3. A deformao axial dos membros devido s deformaes geomtricas induzidas.
Passamos a uma breve descrio destes tens, no que mais importa para a caracterizaodeste trabalho.
O efeito P-ao nvel dos elementos
Este efeito contabilizado com o recurso a funes de estabilidade24.
A formulao apresentada derivada para o plano, o que numa transposio para o caso
espacial gera a matriz que em apenso se atribui a estes autores.
Como se poder a observar as funes de estabilidade variam com o sinal do esforo
axial, o que familiar a qualquer formulao baseada nas mesmas.O efeito P-ao nvel da estabilidade global da estrutura
Este efeito considerado com a actualizao de coordenadas dos ns em cada iterao,
reflectindo a interaco entre as cargas e os deslocamentos da estrutura. Uma vez que o
equilbrio dos elementos, e por isso a matriz tangente, funo dos deslocamentos correntes
dos ns, esta deve ser desenvolvida com respeito sua posio deslocada.
A deformao axial dos membros devido s deformaes geomtricas induzidas
Qualquer mudana na geometria lateral de uma barra causa uma mudana nas suasdimenses, ou seja, provoca deformaes geomtricas. Estas so significativas quando
existem foras laterais ou elevados esforos axiais. Estes autores contabilizam o encurtamento
de uma barra devido aos deslocamentos laterais da mesma atravs da expresso:
formulao como apta a lidar com grandes deslocamentos.24Funes de rigidez numa traduo literal do original (stiffness functions).
[ ]=L
0
2 dx(x)W'1/2
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Em que W(x) e W(x) so a flecha e a rotao de uma seco distncia xdo extremo
da barra. No caso de no existir qualquer mudana de geometria, excepto na direco do eixo
da barra, surge =0, vindo a deformao da barra na sua forma habitual:dx = PL/(EA).
Se 0, a deformao axial total dx-, podendo este efeito ser equivalentemente
simulado pela subtraco da expresso P = [ EA/L] s foras de extremidade de barra
quando se pretende calcular as tenses em qualquer seco.
Este efeito no foi incorporado no presente estudo.
2.4.1.4. Ekhande & Selvappalam, 1989
O objecto deste artigo [19] o estudo da interaco entre o esforo axial e os momentos
flectores em vigas-coluna, desenvolvendo, explicitamente, uma formulao espacial d