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ANLISE DE LAJES NERVURADAS
BIDIRECIONAIS ATRAVS DE MODELOS
SIMPLIFICADOS
JOS CARLOS A. C. CUNHA
DISSERTAO DE MESTRADO
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL
Jos Carlos Aparecido de Carvalho e Cunha
ANLISE DE LAJES NERVURADAS BIDIRECIONAIS
ATRAVS DE MODELOS SIMPLIFICADOS
Dissertao apresentada ao Programa de Ps Graduao em
Engenharia Civil da Universidade Federal de Uberlndia,
como parte dos requisitos para a obteno do ttulo de
Mestre em Engenharia Civil.
Orientador: Profa. Dra. Maria Cristina Vidigal de Lima
Co-orientao: Profa. Dra. Vanessa Cristina de Castilho
Uberlndia, 16 de maro de 2012.
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AGRADECIMENTOS
s professoras orientadoras: Maria Cristina Vidigal de Lima e Vanessa Cristina de
Castilho.
Ao professor Turbio Jos da Silva e engenheiro Marcelo Buiate.
Ao professor Rodrigo Gustavo Delalibera e Jos Madson Caldeira de Faria.
Ao colega ris Silva Aquino.
Universidade Federal de Gois, Campus Catalo, pelo espao cedido para a realizao
dos ensaios experimentais.
Ao Programa de Ps-graduao da Faculdade de Engenharia Civil da Universidade Federal
de Uberlndia, pelo financiamento dos recursos para o desenvolvimento dos ensaios deste
trabalho.
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Cunha, J. C. Anlise de Lajes Nervuradas Bidirecionais atravs de Modelos Simplificados.
97 p. Dissertao de Mestrado, Faculdade de Engenharia Civil, Universidade Federal de
Uberlndia, 2012.
RESUMO
O presente trabalho apresenta os resultados de estudo de lajes nervuradas bidirecionais em
concreto armado fazendo uso de simplificaes na anlise do seu comportamento. As
simplificaes adotadas dizem respeito a anlise das lajes nervuradas por laje macia de
rigidez a flexo equivalente, s consideraes sobre a flexibilidade das vigas de apoio e, ao
tratamento dado a continuidade entre painis de lajes adjacentes. A pesquisa busca
respaldo nas anlises experimentais, nos resultados de trabalhos publicados e nas normas
tcnicas de projeto de estruturas em concreto armado para embasar as simplificaes
adotadas. Uma laje nervurada em tamanho real e sua laje macia equivalente foram
ensaiadas. Os resultados do ensaio da laje nervurada so comparados com o processamento
da laje atravs de programas de computador para projetos estruturais. Tambm so
comparados os custos das lajes de dois edifcios quando se adota a anlise por mtodo
simplificado ou por analogia de grelha.
Palavras-chave: Laje nervurada bidirecional, laje macia equivalente, simplificaes de
clculo, ensaio de laje nervurada.
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Cunha, J. C. Analysis of Waffle Slabs using Simplified Models. 97 p. MSc Dissertation,
College of Civil Engineering, Federal University of Uberlndia, 2012.
ABSTRACT
The present work aims to study the waffle slabs taking into account the simplifications in
the analysis of their behavior. The simplifications used concern the analysis of waffle slab
by the equivalent solid slab, the considerations on the flexibility of the support beams, and
the treatment of continuity between adjacent panels of slabs. The research supports in the
experimental analysis, in the results of studies published, in the standard codes for design
of reinforced concrete to base the simplifications adopted. One waffle slab in actual size
and its equivalent solid slab are tested. The test results for the waffle slab are compared
with the processing of the slab through computer programs for structural design. The costs
of slabs in two buildings are compared when it adopts the simplified analysis method or
grillage model.
Keywords: Waffle slab, equivalent solid slab, design simplifications, test.
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SMBOLOS, ABREVIATURAS E SIGLAS
SMBOLOS b - largura genrica da seo
bf - largura da mesa da seo T
bi - largura da aba da mesa da seo T
bw - largura da nervura da seo T
d - altura til da laje
d - distncia do centro de gravidade de As at a borda comprimida do concreto
fck - resistncia caracterstica compresso do concreto
fcm - resistncia mdia compresso do concreto
fct - resistncia trao axial do concreto
fct,m - resistncia mdia trao axial do concreto
fct,inf - limite inferior da resistncia trao do concreto
fct,sup - limite superior da resistncia trao do concreto
fyd - tenso de escoamento da armadura passiva
fyk - tenso caracterstica do ao
h - altura total da laje ou viga
he - altura do elemento de enchimento
hecal - espessura da laje macia equivalente
heq - altura equivalente
hf - altura da capa de concreto
- vo de clculo
A - rea da seo cheia
Ac - rea de concreto
As - rea da seo transversal de armadura
As - rea de armadura comprimida
Ec - mdulo de elasticidade do concreto
Ecs - mdulo de elasticidade secante do concreto
Es - mdulo de elasticidade do ao
- rigidez no estdio no fissurado
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- rigidez no estdio fissurado
- rigidez equivalente
G - mdulo de elasticidade transversal
I - momento de inrcia genrico
Ii - momento de inrcia flexo da seo no fissurada
Ieq - momento de inrcia flexo da seo equivalente
It - momento de inrcia toro da seo
III - momento de inrcia flexo da seo para o Estdio II
Lb - comprimento bsico de ancoragem
M - momento fletor genrico
Ma - momento fletor mximo atuante na seo
Mat - momento atuante na seo mais solicitada
Mr - momento de fissurao da seo
t - tempo (em meses)
S - distncia entre eixos
W - mdulo de resistncia no estdio I
xII - posio da linha neutra no estdio II
yt distncia do centro de gravidade fibra mais tracionada
- dimetro da barra
e - relao entre os mdulos de deformao longitudinal do ao e do concreto
- a taxa geomtrica de armadura de compresso
f - coeficiente para flecha diferida
- coeficiente funo do tempo
- coeficiente de fluncia
- coeficiente de Poisson
wd - tenso de cisalhamento de clculo, por fora cortante
SIGLAS MEF - Mtodo dos Elementos Finitos
EPS - Espuma de poliestireno
NINC - Nmero de incrementos de carga
ABECE - Associao Brasileira de Engenharia e Consultoria Estrutural
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SUMRIO CAPTULO 1 ........................................................................................................................ 8 INTRODUO 1.1 Consideraes iniciais ..................................................................................................... 8 1.2 Objetivos.......................................................................................................................... 8 1.3 Sumrio estruturado......................................................................................................... 8 CAPTULO 2 ...................................................................................................................... 10 LAJES NERVURADAS 2.1 Lajes nervuradas e suas aplicaes................................................................................ 10 2.2 Tipos mais comuns de lajes nervuradas ........................................................................ 12 2.3 Aspectos construtivos e procedimentos de montagem das lajes ................................... 13 2.4 Prescries normativas sobre lajes nervuradas.............................................................. 16 CAPTULO 3 ...................................................................................................................... 19 MODELOS SIMPLIFICADOS DE ANLISE 3.1 Simplificaes na engenharia estrutural ........................................................................ 19 3.2 Laje maica equivalente ................................................................................................ 20 3.3 A rigidez equivalente em lajes nervuradas .................................................................... 21 3.4 Continuidade entre painis de lajes ............................................................................... 23 3.5 Flexibilidade das vigas de apoio.................................................................................... 25 3.6 Distribuio dos esforos internos................................................................................. 28 CAPTULO 4 ...................................................................................................................... 31 ESTADO DA ARTE DE ANLISES EXPERIMENTAIS................................................ 31 4.1 Descrio das anlises ................................................................................................... 31 CAPTULO 5 ...................................................................................................................... 45 PROGRAMA EXPERIMENTAL E ANLISE NUMRICA 5.1 Descrio das lajes......................................................................................................... 45 5.2 Carregamento nas lajes.................................................................................................. 46 5.3 Leitura dos deslocamentos verticais .............................................................................. 47 5.4 Materiais ........................................................................................................................ 48
5.4.1 Concreto ................................................................................................................. 48 5.4.2 Ao ......................................................................................................................... 49
5.5 Resultados experimentais .............................................................................................. 49 5.5.1 Resultado do ensaio da laje nervurada ................................................................... 49 5.5.2 Resultado do ensaio da laje macia equivalente..................................................... 51 5.5.3 Comparao dos resultados .................................................................................... 52
5.6 Anlise numrica no programa GESTRUT................................................................... 53 5.6.1 Caractersticas geomtricas de sees no estdio II ............................................... 54 5.6.2 Efeito da fissurao Modelo simplificado de Branson para flecha imediata ...... 56
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CAPTULO 6 ...................................................................................................................... 62 COMPARAO ENTRE RESULTADOS DE ENSAIO E DE PROGRAMAS COMERCIAIS 6.1 Introduo...................................................................................................................... 62 6.2 Processamento no programa 1....................................................................................... 63 6.3 Processamento no programa 2....................................................................................... 67 6.4 Resultados obtidos e comparaes ................................................................................ 71 CAPTULO 7 ...................................................................................................................... 78 COMPARAO DE CUSTOS NA ADOO DE ANLISE SIMPLIFICADA 7.1 Introduo...................................................................................................................... 78 7.2 Resultados de Arajo (2003) e Loureiro (2010)............................................................ 78 7.3 Os edifcios analisados .................................................................................................. 79
7.3.1 Anlise das lajes dos edifcios R1 e C1 por analogia de grelha ............................. 82 7.3.2 Anlise das lajes dos edifcios R1 e C1 como laje macia de rigidez flexo equivalente....................................................................................................................... 83 7.3.3 Comparao dos resultados obtidos ....................................................................... 85
CAPTULO 8 ...................................................................................................................... 87 CONCLUSO 8.1 Consideraes finais e concluses................................................................................. 87 8.2 Sugestes para trabalhos futuros ................................................................................... 89 REFERNCIAS .................................................................................................................. 90 ANEXO A ........................................................................................................................... 94 ANEXO B ........................................................................................................................... 96 ANEXO C ........................................................................................................................... 97
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CAPTULO 1
INTRODUO
1.1 CONSIDERAES INICIAIS
Este trabalho trata do estudo das lajes nervuradas, do projeto, dos mtodos analticos de
clculo disponveis na literatura tcnica, levando-se em conta as caractersticas inerentes ao
seu comportamento estrutural. Para isto so estudados vrios trabalhos importantes
relativos ao tema, incluindo resultados de avaliaes experimentais e simulaes
numricas em programas computacionais. Neste contexto, baseado no conhecimento
cientfico atual, busca-se entender as simplificaes de clculo que melhor retratam a
resposta estrutural das lajes nervuradas.
1.2 OBJETIVOS
Podem ser destacados trs objetivos principais do trabalho:
Demonstrar a aplicabilidade da anlise simplificada para lajes nervuradas
bidirecionais;
Pesquisar o estado da arte das anlises experimentais realizadas com lajes
nervuradas bidirecionais;
Comparar os custos envolvidos na adoo da anlise de lajes nervuradas por
mtodos simplificados ou por analogia de grelha.
1.3 SUMRIO ESTRUTURADO
O sumrio estruturado deste trabalho est organizado em sete captulos.
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No captulo 2 so apresentadas as lajes nervuradas, seu potencial, campo de aplicao,
materiais empregados, vantagens, desvantagens, alm de cuidados na montagem e aspectos
construtivos.
No captulo 3 so discutidas as aplicaes de processos simplificados na anlise estrutural,
como a simplificao est presente nas normas de projeto e a confuso acerca da anlise de
lajes nervuradas. O mtodo da laje macia de espessura equivalente apresentado. So
tratados aspectos sobre a continuidade em lajes, sobre a deslocabilidade dos apoios, as
regies de esforos numa laje e como melhorar o projeto de lajes visando simplificao nos
modelos.
No captulo 4 so apresentados e discutidos os resultados de oito experimentos realizados
por pesquisadores nacionais e internacionais com lajes nervuradas.
No captulo 5 so apresentados os dois ensaios experimentais realizados neste trabalho,
com laje nervurada e laje macia equivalente. So descritos os procedimentos adotados, a
instrumentao, as caractersticas dos materiais empregados, os resultados obtidos, a
comparao entre os dois ensaios, bem como consideraes sobre a modelagem numrica
desenvolvida por analogia de grelha.
No captulo 6 so comparados os resultados obtidos no ensaio das lajes com os resultados
de dois programas comerciais para projeto estrutural e com a anlise da laje como grelha
de vigas independentes.
No captulo 7 a anlise de laje nervurada como laje macia equivalente aplicada s lajes
de dois edifcios e o custo dessas lajes comparado com o custo obtido da anlise por
programa comercial para projeto estrutural.
As concluses deste trabalho e sugestes para trabalhos futuros so apresentadas no
captulo 8.
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CAPTULO 2
LAJES NERVURADAS
2.1 LAJES NERVURADAS E SUAS APLICAES
De acordo com a ABNT NBR 6118:2007 Lajes nervuradas so as lajes moldadas no local
ou com nervuras pr-moldadas, cuja zona de trao para momentos positivos est
localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte, conforme ilustra
a Figura 2.1.
Figura 2.1 Seo transversal de laje nervurada
De acordo com Silva (2005), as lajes nervuradas possibilitam a reduo do peso prprio da
estrutura pela eliminao, em sua seo transversal, do concreto que no trabalha
estruturalmente, deixando apenas algumas faixas concretadas, onde se agrupam as
armaduras tracionadas. Essa regio tracionada recebe o nome de nervura, da o termo laje
nervurada.
Por apresentar a distncia entre a resultante das tenses de trao na armadura e a
resultante das tenses de compresso no concreto maior do que nas lajes macias, as lajes
nervuradas tm maior rigidez flexo.
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Por serem compostas por uma grelha de barras interceptadas ortogonalmente e por estarem
ainda ligadas pela capa de concreto unindo o topo dessas barras, a laje nervurada um
elemento que pode apresentar grande rigidez toro.
Para pavimentos, cujo menor vo a ser vencido de at 5 m e as aes a serem suportadas
no so muito elevadas, empregam-se normalmente lajes macias ou formadas por vigotas
pr-moldadas.
As lajes nervuradas so adequadas para vos maiores. Para exemplificar, o catlogo da
Atex do Brasil (2011), fabricante de formas plsticas para lajes nervuradas, apresenta lajes
dimensionadas para vos de 6 m a 13 m.
Dentre as vantagens que as lajes nervuradas de concreto armado moldadas no local
apresentam, algumas merecem ser destacadas:
a) Permitem vencer grandes vos com peso prprio menor que as lajes macias;
b) Podem ser construdas com a mesma tecnologia empregada nas lajes macias;
c) A versatilidade nas aplicaes, podendo ser utilizadas em pavimentos de edificaes
comerciais, residenciais, educacionais, hospitalares, garagens, clubes e centros de compras;
d) Permitem o uso de procedimentos racionalizados, tais como o uso de telas para a
armadura de distribuio e a utilizao de formas plsticas recuperveis;
e) So adequadas aos sistemas de lajes sem vigas, devendo manter-se regies macias
apenas nas regies dos pilares, onde h grande concentrao de esforos;
Em contrapartida, as lajes nervuradas moldadas no local apresentam uma srie de
desvantagens, dentre as quais merecem destaques as seguintes:
a) Normalmente aumentam a altura total da edificao;
b) Exigem maiores cuidados durante a concretagem para se evitar vazios nas nervuras
(que costumam ser de pequena largura);
c) Dificuldades na fixao dos elementos de enchimento, com a possibilidade de
movimentao dos mesmos durante a concretagem;
d) Possuem seo transversal diferenciada em relao a momentos fletores positivos e
negativos.
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2.2 TIPOS MAIS COMUNS DE LAJES NERVURADAS
As lajes nervuradas bidirecionais podem ser moldadas no local ou formadas por elementos
pr-moldados.
Dentre as lajes formadas por elementos pr-moldados destacam-se as que usam vigotas
treliadas numa direo e plaquetas pr-moldadas na direo ortogonal, conforme mostra a
Figura 2.2.
Figura 2.2 Laje nervurada formada por elementos pr-moldados. Fonte: FRANCA (2000)
As lajes moldadas no local podem ser diferenciadas de acordo com o material inerte
utilizado no preenchimento. Dentre os materiais mais usados esto a espuma de
poliestireno expandido, conhecida pela sigla EPS e os blocos slico-calcreos, (Figuras 2.3
e 2.4), alm de blocos cermicos.
Figura 2.3 Laje nervurada com bloco slico-
calcreo. Fonte: Catlogo SICAL Figura 2.4 Laje nervurada com bloco de EPS.
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Os espaos entre nervuras podem ainda ser moldados com formas plsticas reutilizveis e
mesmo formas de madeira compensada. A Figura 2.5 apresenta uma laje nervurada com
formas plsticas sendo desenformada e o resultado final aps a retirada das formas.
Figura 2.5 Laje nervurada com forma plstica reutilizvel. Fonte: Revista Tchne n. 132
2.3 ASPECTOS CONSTRUTIVOS E PROCEDIMENTOS DE
MONTAGEM DAS LAJES
So apresentados seis procedimentos, obtidos de escritrios de projetos, que podem
melhorar a eficincia, montagem e anlise das lajes.
Na montagem, ou posicionamento dos elementos de enchimento, forma ou cubas plsticas,
a primeira idia de distribuio dessas peas seria aproveitando todo o espao da laje para
criar o maior nmero de nervuras possvel (Figura 2.6). Esse arranjo pode ser melhorado
montando os elementos de modo a gerar simetria entre as nervuras (Figura 2.7) e pequenos
maciamentos junto s vigas de borda. Tambm no se utilizam meias formas ou
elementos de enchimento cortados.
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Figura 2.6 Aspectos construtivos:
preenchimento total da seo
Figura 2.7 Aspectos construtivos: preenchimento
com formas inteiras na seo
A Figura 2.8 apresenta o maciamento da laje nas regies de maior momento de toro.
Na Figura 2.9 a alternativa de maciamentos na regio de salincia dos pilares aumenta a
seo resistente da laje na regio de concentrao de tenses.
Figura 2.8 Aspectos construtivos: maciamento da
regio de momento de toro
Figura 2.9 Aspectos construtivos: maciamento na
regio de pilares salientes
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Para geometrias irregulares pode se usar as alternativas de maciamento da regio irregular
ou uso de viga chata, conforme mostram as Figuras 2.10 e 2.11, tendo em mente que
regies de geometria irregular so pontos de concentrao de tenses e execuo mais
trabalhosa. A viga chata deve ter rigidez flexo igual ou maior do que as vigas
retangulares de bordo. Por exemplo, uma viga chata de seo 70 cm x 36 cm tem momento
de inrcia a flexo igual ao de uma viga de seo 15 cm x 60 cm.
Figura 2.10 Aspectos construtivos: maciamento
na regio de forma irregular.
Figura 2.11 Aspectos construtivos: maciamento e
uso de viga chata.
Em lajes, onde se pretende garantir a continuidade entre painis adjacentes, pode-se
recorrer ao maciamento entre os painis, na regio do momento fletor negativo (Figura
2.12).
Figura 2.12 Aspectos construtivos: maciamento na regio de continuidade entre lajes
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Quando h necessidade de rebaixamentos, caso tpico de banheiros, varandas e sacadas,
para no haver excesso de argamassa de regularizao em todo o pavimento, pode se
proceder ao maciamento com diminuio da espessura da laje, como indicado na Figura
2.13.
Figura 2.13 Aspectos construtivos: soluo em regies de rebaixamento
2.4 PRESCRIES NORMATIVAS SOBRE LAJES NERVURADAS
A norma tcnica ABNT NBR 6118:2007, no item 14.7.7, permite o clculo das lajes
nervuradas bidirecionais, para efeito dos esforos solicitantes, como laje macia. No item
13.2.4.2, para que a laje nervurada seja calculada como laje macia, devem ser respeitadas
certas prescries ilustradas pela Figura 2.14.
Figura 2.14 Corte esquemtico da laje nervurada. Fonte: Buiate (2004)
a) A distncia entre os eixos das nervuras no deve ultrapassar 110 cm, isto : b2 + bw
110 cm;
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b) A largura das nervuras no deve ser inferior a 5 cm. A espessura da mesa, quando no
houver tubulaes horizontais embutidas, no deve ser menor que 3 cm, nem menor do que
1/15 da distncia entre nervuras. O valor mnimo de 3 cm para a espessura da mesa passa
para 4 cm, quando existirem tubulaes embutidas de dimetro mximo 12,5 mm;
c) No permitido o uso de armadura de compresso em nervuras de largura inferior a 8 cm; d) A resistncia da mesa flexo dever ser verificada sempre que a distncia ente eixos de
nervuras for maior que 65 cm. Nestes casos, a armadura da mesa deve ser calculada como
para uma laje macia de espessura hf simplesmente apoiada nas nervuras. Se a distncia
entre eixos de nervuras for menor ou igual a 65 cm, pode-se adotar uma armadura mnima
para a mesa, sem a necessidade do dimensionamento;
e) Se a distncia entre dois eixos de nervuras for maior que 65 cm, elas devero ser
verificadas ao cisalhamento como vigas. Nesses casos, as nervuras devero ter estribos,
obrigatoriamente. Se essa distncia for menor ou igual a 65 cm, as nervuras podem ser
verificadas ao cisalhamento com os critrios de lajes. Neste ltimo caso, os estribos
podero ser dispensados desde que wd wul. A verificao como laje tambm
permitida se 65 cm < b2 + bw 90 cm, desde que a espessura mdia das nervuras seja
maior que 12 cm;
f) Os estribos das nervuras, quando necessrios, devem ter um espaamento mximo de 20
cm.
No documento apresentado pela Associao Brasileira de Engenharia e Consultoria
Estrutural, ABECE, para reviso da norma citada, no h nenhuma modificao sugerida
para o item 14.7.7. No item 13.2.4.2 h sugestes para a espessura mnima da mesa de
concreto.
Segundo Schwetz (2011) a norma americana ACI 318-08 no traz nenhuma recomendao
especfica para o sistema nervurado. O cdigo americano prev que os princpios
fundamentais de projeto, contidos no seu Captulo 13 - Sistemas de Lajes Bidirecionais,
so aplicveis a todos os sistemas estruturais planos submetidos a cargas transversais, o
que inclui as lajes nervuradas. Assim, fica entendido que a norma americana permite o
clculo de lajes nervuradas baseado em uma analogia s lajes macias de inrcia
equivalente.
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Na discusso pblica para reviso do cdigo americano ACI 318-11 a nica modificao
no Captulo 13 diz respeito a detalhes de reforo em lajes sem vigas.
Schwetz (2011) menciona ainda, que a norma europia, EUROCODE 2 EN 1992-1-1, ano
2004, recomenda: desde que o conjunto de elementos, capa e nervura, das lajes nervuradas
possuam rigidez toro, estas podem ser dimensionadas com uma analogia a lajes
macias de inrcia equivalente. A rigidez toro pode ser assumida desde que sejam
satisfeitas as exigncias:
a) O espaamento entre as nervuras, b2 na Figura 2.14, no deve exceder a 150 cm;
b) A altura da nervura abaixo da capa no deve exceder a 4 vezes a largura bw;
c) A espessura da capa hf deve ser igual a pelo menos 1/10 da distncia entre as nervuras e
ou 5 cm, o que for maior. Este valor pode ser reduzido para 4 cm quando os blocos de
enchimento no forem retirados da estrutura.
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CAPTULO 3
MODELOS SIMPLIFICADOS DE ANLISE
3.1 SIMPLIFICAES NA ENGENHARIA ESTRUTURAL
Vasconcelos (2001), em artigo intitulado Simplificar no complica: ajuda, afirma serem
todos os nossos clculos baseados em mentiras. Mentiras to insignificantes que
podem ser aceitas como pecados veniais. O referido autor comenta que ningum pode
afirmar que o processo exato realmente o mais preciso. Assim, considera que a
exatido relativa. Dadas as simplificaes admitidas nos clculos, acrescenta ele, que se
tem trabalhado num mundo de pequenas mentiras acreditando que se tem feito clculos
exatos.
O engenheiro Mario Franco em palestra proferida no Instituto de Engenharia de So Paulo,
sobre um de seus projetos estruturais, ao responder a perguntas sobre coeficiente de
instabilidade, rigidez axial de pilares e interao solo-estrutura, afirma: O excesso de
refinamento pode nos levar longe da realidade (FRANCO, 2009).
Kassoy (2007) comentando os critrios adotados no projeto estrutural de um edifcio
residencial de 3 subsolos e 42 andares, ilustrado na Figura 3.1, destaca que o modelo de
prtico espacial, para dimensionamento de vigas e pilares, foi comparado com o modelo
simplificado gerado andar por andar. Segundo Kassoy (2007), esse procedimento
proporcionou a validao dos resultados permitindo ao engenheiro no se afastar da
realidade fsica do problema, facilmente perdida quando se utilizam modelos muito
complexos.
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Figura 3.1 Perspectiva estrutural e fachada do edifcio projetado. Fonte: KASSOY (2007)
Loureiro (2010) destaca que o objetivo do projeto estrutural conceber estruturas que
atendam aos requisitos de segurana e de bom comportamento em servio. Para atingir
esse objetivo no necessrio e nem possvel o clculo exato da estrutura.
Comenta ainda o fato dos mtodos simplificados desempenharem um papel fundamental
em todas as etapas do projeto estrutural de edifcios de concreto armado: no clculo de
esforos, no dimensionamento de elementos estruturais, na estimativa de deformaes, no
clculo de efeitos locais de 2a ordem e na verificao da estabilidade global das estruturas.
O Anexo A deste trabalho lista como as simplificaes, aproximaes e equivalncias
aparecem freqentemente ao longo do texto na norma tcnica ABNT NBR 6118:2007.
3.2 LAJE MAICA EQUIVALENTE
A norma ABNT NBR 6118:2007, no item 14.7.7, permite o clculo das lajes nervuradas
bidirecionais, para efeito dos esforos solicitantes, como laje macia. A verso anterior
dessa norma, a ABNT NBR 6118:1980, tambm permitia essa aproximao no seu item
3.3.2.1.
Segundo Rocha (1979), as lajes nervuradas funcionam de modo muito idntico s lajes
macias, sendo calculadas como tal, desde que se obedea a determinados limites de
espaamento entre nervuras e espessuras de nervura e mesa.
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Arajo (2003), apresentando um modelo no-linear para anlise de lajes nervuradas,
conclui que alm de poderem ser calculadas como lajes macias equivalentes, as lajes
nervuradas podem ser calculadas com rigidez toro igual rigidez flexo.
Arajo (2005) comenta que h muito tempo o clculo de lajes nervuradas vem sendo feito
como se essas lajes fossem lajes macias de espessura equivalente. Diz que este
procedimento de clculo consagrado e conta com respaldo das principais normas
internacionais. Acrescenta ainda que, na verdade, h uma grande confuso sobre o assunto.
Confunde-se a perda de rigidez flexo da laje, decorrente da fissurao do concreto, e o
conseqente aumento da flecha, com uma possvel falta de rigidez toro. Em sua
concluso, Arajo (2005) enfatiza que o clculo mais adequado aquele que consiste em
substituir a laje nervurada por uma laje macia equivalente.
3.3 A RIGIDEZ EQUIVALENTE EM LAJES NERVURADAS
Arajo (2006) demonstra que a espessura equivalente de uma laje nervurada pode ser
calculada a partir de resultados experimentais ou atravs de trs mtodos tericos, sendo
eles:
Mtodo da equivalncia de energia;
Mtodo da rigidez mdia;
Mtodo de clculo usual.
Trataremos dos dois ltimos mtodos devido a sua simplicidade de aplicao.
No mtodo da rigidez mdia, a espessura equivalente dada pela Equao 1:
( )[ ] 313f3eq hh1h += (Equao 1) sendo:
( )( )
yx
yyxx
SSbSbS
=
(Equao 2)
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22
onde:
bx, by = largura das lajes nervuradas nas duas direes;
Sx, Sy = distncia entre os eixos das nervuras das duas direes;
hf = espessura da capa;
h = altura total, conforme indicado na Figura 3.2;
D1 = rigidez da nervura;
D2 = rigidez da capa.
Figura 3.2 Seo transversal da laje nervurada. Fonte: ARAJO (2006)
No clculo usual, ou da inrcia equivalente, a espessura da laje macia equivalente dada
por:
3
1
,12
=
SIh cale (Equao 3)
onde:
I o momento de inrcia em relao ao centride da seo T, Figura 3.3.
S distncia entre eixos, Figura 3.2
Figura 3.3 Seo T empregada no clculo usual. Fonte: ARAJO (2006)
Arajo (2006) conclui que o mtodo da rigidez mdia o que mais se aproxima da rigidez
equivalente de uma laje nervurada.
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23
Na Tabela 3.1 esto comparados os resultados obtidos empregando-se os mtodos da
rigidez mdia e o mtodo de clculo usual para sees usuais de lajes nervuradas. Dentre
essas sees est a seo transversal da laje ensaiada para este trabalho e sees comerciais
de formas plsticas reutilizveis para lajes nervuradas. Observa-se que a maior diferena
encontrada nas alturas equivalentes de 3%, diferena esta que pode ser considerada muito
pequena em termos de projeto.
Tabela 3.1 - Comparao entre o mtodo da equivalncia do momento de inrcia e o mtodo da rigidez mdia
Largura Distncia
entre Espessura Altura Altura
equivalente Altura equivalente Relao
nervura eixos das nervuras da capa total
Momento Inrcia Rigidez Mdia Fabricante
bx=by (cm) Sx=Sy (cm) hf (cm)
h (cm) heq1 (cm) heq2 (cm)
heq2/heq1
Ensaio 7 40 3 9 6,33 6,31 1,00
9 65 4 25 16,51 15,97 0,97
9 65 5 26 17,25 16,66 0,97
Form
plas
t
9,5 65 5 31 20,74 20,13 0,97
13 60 4 22 16,13 16,07 1,00 13 60 5 23 16,94 16,84 0,99 13 65 4 25 17,92 17,83 0,99 R
O
13 65 5 26 18,76 18,57 0,99 10,7 61 4 22 15,40 15,11 0,98 10,7 61 5 23 16,16 15,85 0,98 10,4 65 4 25 17,06 16,69 0,98 A
stra
10,4 65 5 26 17,84 17,39 0,97 10,3 60 4 22 15,32 15,02 0,98 10,3 60 5 23 16,08 15,75 0,98 15,3 60 4 26,5 19,94 20,26 1,02 15,3 60 5 27,5 20,87 21,05 1,01
Ate
x
16,6 60 5 37,5 28,51 29,32 1,03
3.4 CONTINUIDADE ENTRE PAINIS DE LAJES
As lajes nervuradas possuem sees com diferentes desempenhos para resistir aos
momentos fletores mximos atuantes no meio do vo ou na regio de continuidade sobre o
apoio. Um dos trabalhos que tratam desse tema foi desenvolvido por Magalhes (2001).
As nervuras das lajes estudadas por Magalhes (2001) possuem seo transversal em
formato de viga T, apresentando melhor desempenho para momentos fletores positivos,
-
24
solicitando a mesa da viga que larga, do que para momentos negativos, que comprimem a
regio inferior da nervura, conforme mostra a Figura 3.4.
Figura 3.4 Comportamento da seo em relao ao momento fletor. Fonte MAGALHES (2001).
A continuidade entre as lajes fica afetada e os momentos resistidos no meio do vo so
maiores dos que os resistidos na regio do apoio intermedirio.
Magalhes (2001), baseado em anlises experimentais, concluiu que h uma redistribuio
de momentos negativos da ordem de 15% a 40%. Em seu estudo tambm destacado que
as lajes ensaiadas, com diferentes taxas de armadura de continuidade, apresentaram
deslocamentos muito prximos para as cargas de servio.
O correto posicionamento da armadura negativa e sua integridade durante a concretagem,
naturalmente, so grandes condicionantes no comportamento da laje em servio.
O dimensionamento das lajes pode ser feito considerando-se o momento fletor mximo
positivo e, para garantir a ductilidade e pequena abertura de fissuras na regio do apoio,
pode-se admitir um momento fletor negativo, com o seguinte recurso: desloca-se o
diagrama de momentos fletores positivos da estrutura, como na Figura 3.5, at que o
diagrama parablico intercepte o eixo da laje em 10 % do vo (0,10 L). O diagrama
representar, para o momento negativo, 36 % do valor do momento fletor positivo (0,36
M). O valor de Lb corresponde ao comprimento bsico de ancoragem.
-
25
Figura 3.5 Diagrama de momentos fletores.
Esse recurso, usual em escritrios de projeto estrutural, muito prtico para determinar
uma armadura mnima na regio de continuidade, consistindo em:
a) determinar a rea de ao necessria para resistir a 36 %, ou mais objetivamente a 40 %,
do momento fletor positivo;
b) calcular o comprimento das barras de ao como um dcimo do vo, acrescido do
comprimento bsico de ancoragem Lb, conforme a bitola escolhida para a armadura e
condies de aderncia.
3.5 FLEXIBILIDADE DAS VIGAS DE APOIO
Stramandinoli (2003) estudando numericamente lajes nervuradas quadradas de vo 5,20 m
x 5,20 m, compara os momentos fletores e flechas obtidas considerando apoios fixos ou
apoio em vigas de seo 20 cm x 50 cm. Em seu trabalho considerou 4 exemplos de lajes,
conforme se observa na Figura 3.6.
Na laje descrita como Exemplo 1, a distncia entre nervuras de 30 cm. Na laje Exemplo 2
a distncia de 50 cm, no Exemplo 3 de 80 cm e no Exemplo 4 de 100 cm. A
sobrecarga de utilizao foi de 2,00 kN/m e o revestimento adotado foi de 1,00 kN/m. O
valor do momento de inrcia toro foi admitido sem reduo em todas as lajes. Os
resultados obtidos so representados nos grficos das Figuras 3.7 e 3.8.
-
26
Exemplo 1 Exemplo 2
Exemplo 3 Exemplo 4
Figura 3.6 Sees das lajes estudadas (unidades em cm). Fonte: STRAMANDINOLI (2003)
Figura 3.7 Diferena entre as anlises para momentos fletores mximos. Fonte: STRAMANDINOLI
(2003)
Figura 3.8 Diferena entre as anlises para flechas mximas. Fonte: STRAMANDINOLI (2003)
Desse estudo obtm-se uma relao mxima de 0,96 nos momentos fletores e de 1,13 nas
flechas mximas ao se comparar os valores encontrados para apoio em vigas com os
-
27
valores de apoios fixos. Essa anlise mostra a ordem de grandeza que afeta esforo e
deslocamento quando se considera o apoio em vigas como indeslocvel.
Devese ter em mente que no se projetam vigas muito deslocveis, para assegurar as
hipteses de dimensionamento, e a fim de se evitar danos a alvenarias e a outros sistemas.
Arajo (2008) prope um mtodo simplificado para clculo de lajes macias apoiadas em
vigas flexveis. Tal mtodo consiste em calcular todas as lajes como simplesmente
apoiadas, para determinao dos momentos fletores positivos, flechas e reaes de apoio.
O valor do momento negativo entre lajes contnuas considerado igual ao valor do maior
momento positivo das lajes vizinhas, na direo estudada.
Esse mtodo foi compatvel com as anlises via mtodo dos elementos finitos empregadas
no trabalho de Arajo (2008), ficando as concluses restritas aos pavimentos de edifcios
residenciais e de escritrios, com dimenses e carregamentos usuais.
Interessantes afirmaes so feitas na introduo do artigo, referido acima, ao mencionar
que qualquer mtodo simplificado pode ser utilizado para projetar pavimentos de edifcios
de concreto armado, desde que atenda a dois requisitos:
1) A soluo no deve se afastar muito da soluo elstica, para garantir um bom
funcionamento da estrutura em servio;
2) O equilbrio do pavimento como um todo deve ser garantido.
Arajo (2008) complementa que os modelos simplificados tm sido utilizados desde os
primrdios do projeto estrutural e tm sido comprovados, na prtica, por estruturas que se
mantiveram seguras e em bom funcionamento durante toda a sua vida til.
Arajo (2009) procurando validar um estudo anterior por meio da anlise no linear,
conclui que o mtodo simplificado para clculo da flecha final das lajes macias
adequado. Esse mtodo consiste em determinar a flecha final da laje, multiplicando a
flecha elstica inicial, obtida por tabelas e para a combinao quase permanente de
carregamento, pelo fator (1+), onde o coeficiente de fluncia.
-
28
Afirma ser o erro cometido, por no se considerar eventuais fissuras da laje na avaliao da
flecha inicial, compensado pela considerao da fluncia no estdio I. No estudo, a flecha
inicial mxima obtida com o Mtodo dos Elementos Finitos 11,4 mm, enquanto no
mtodo simplificado o valor obtido 7,1 mm. Para as flechas finais os valores so de 24
mm via Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) e 24,9 mm no mtodo simplificado.
Para a simulao do comportamento no linear dos materiais foram utilizadas equaes
constitutivas e diagramas tenso-deformao como os apresentados na Figura 3.9.
a) Concreto comprimido b) Concreto tracionado
Figura 3.9 Diagramas tenso deformao para o concreto. Fonte: ARAJO (2009).
3.6 DISTRIBUIO DOS ESFOROS INTERNOS
Na anlise de uma laje nervurada importante compreender em quais regies os esforos
mximos ocorrem e se h superposio desses esforos gerando esforos combinados. Para
esta anlise, foram calculados os esforos de flexo, toro e cisalhamento para uma laje
simplesmente apoiada nas vigas de borda, utilizando um programa comercial para projeto
estrutural. As dimenses da laje consideradas na anlise foram 8,00 m x 8,00 m e o
carregamento de 3,00 kN/m2, com vigas de seo transversal de 20 cm x 80 cm apoiadas
em quatro pilares nas extremidades. O vo entre eixos de pilares de 7,80 m.
A regio de maiores momentos fletores, numa laje simplesmente apoiada nas vigas de
borda, naturalmente ocorre no centro da laje (Figura 3.10).
-
29
Figura 3.10 Momentos fletores mximos em uma laje apoiada nas vigas de bordo
Pode-se observar, conforme resultados apresentados na Figura 3.11, que os momentos
torsores se concentram nas quinas do painel de laje e assumem o valor mximo na
interseo com a nervura mais prxima da borda da laje.
Figura 3.11 Momentos torsores mximos em uma laje apoiada nas vigas de bordo
Arajo (2003) ilustra essa situao, onde os efeitos de toro podem ser visualizados como
na Figura 3.12. Nesse desenho a faixa na direo y no passa pelo centro da laje. Conforme
se observa, as deflexes da faixa na direo x (wx) provocam um giro de toro () na faixa
em y. A rigidez toro desta faixa faz com que as deflexes sejam reduzidas e,
conseqentemente, haver uma reduo nos momentos fletores.
-
30
Figura 3.12 Toro em uma faixa lateral. Fonte: ARAJO (2003)
O esforo cortante maior, naturalmente, na regio dos apoios, mas h uma variao neste
esforo, sendo maior na regio central da viga de apoio, diminuindo seu valor do centro da
viga para a extremidade apoiada em pilar (Figura 3.13).
Figura 3.13 Esforo cortante mximos em uma laje apoiada nas vigas de bordo
Na anlise dos momentos fletores, momento de toro e fora cortante, observa-se que no
existe superposio de regies de esforo mximo para a laje retangular simplesmente
apoiada, ou seja, a regio crtica flexo no coincide com a de toro, nem com a de
cisalhamento na laje.
-
31
CAPTULO 4
ESTADO DA ARTE DE ANLISES EXPERIMENTAIS
4.1 DESCRIO DAS ANLISES
Os resultados dos trabalhos experimentais desenvolvidos por Ji et al. (1985), Droppa Jr.
(1999), Abdul-wahab (2000), Selistre (2000), Schwetz (2005), Duarte Filho (2007), Duarte
Filho (2008), Schwetz (2008) e Schwetz (2011) so discutidos a seguir.
Ji et al. (1985) apud Schwetz (2011) realizaram o estudo dos deslocamentos de um painel
de lajes nervuradas de concreto armado, em modelo reduzido, submetido a cargas verticais.
Os resultados experimentais foram comparados com os valores obtidos numericamente,
pelo processo de analogia da laje macia com rigidez flexo equivalente. Concluindo
que o mtodo da laje macia equivalente superestima a rigidez toro e sugeriram que, no
clculo da laje, a espessura equivalente fosse reduzida em 20% na fase elstica e 40% na
fase elstica fissurada.
Droppa Jr. (1999) analisou os dados obtidos do ensaio de uma laje nervurada bidirecional
formada por elementos pr-moldados de armao treliada. Na Figura 4.1 so reproduzidas
as dimenses em planta da laje. Na Figura 4.2 observam-se as dimenses das sees
transversais das nervuras.
-
32
Figura 4.1 Localizao das nervuras. Unidades em cm. Fonte: DROPPA JR. (1999)
Figura 4.2 Sees transversais das nervuras. Unidades em cm. Fonte: DROPPA JR. (1999)
A laje foi apoiada sobre alvenaria e o carregamento feito com gua at o valor de 6,0
kN/m, conforme ilustrao da Figura 4.3.
Figura 4.3 Laje com carregamento mximo. Fonte: DROPPA JR. (1999).
-
33
Os resultados tericos e experimentais do deslocamento devido sobrecarga esto
apresentados na Figura 4.4. A rigidez toro no estdio I calculada como tC IE3,0 e
no estdio II como tC IE05,0 , onde Ec o mdulo de elasticidade secante do concreto e
It o valor do momento de inrcia toro das barras.
Figura 4.4 Diagrama sobrecarga x deslocamento. Fonte DROPPA JR. (1999)
O deslocamento obtido para a sobrecarga de 3,0 kN/m est apresentado na Tabela 4.1.
Tabela 4.1 Deslocamentos obtidos por Droppa Jr (1999) para sobrecarga de 3,0 kN/m.
Droppa Jr (1999) conclui que existe grande influncia da rigidez toro sobre os valores
dos deslocamentos, chegando a 170 % de diferena.
-
34
O deslocamento foi calculado utilizando-se das tabelas de Bares. Devido diferena de
inrcia entre nervuras nos dois sentidos da laje, calcula-se a espessura equivalente para
cada direo, determinando-se a mdia das espessuras, no caso 7,6 cm. O valor encontrado
para o deslocamento usando a tabela de Bares foi de 0,8 mm, 43 % menor do que o
deslocamento medido experimentalmente. Entretanto, ainda foi melhor do que o valor da
grelha no linear, com rigidez toro dos elementos no estdio II, que 157 % maior.
Abdul-Wahab (2000) ensaiou 6 modelos de lajes nervuradas em escala de 1:4,
representando vos reais de 6 m, variando o espaamento e a altura das nervuras. Tambm
foram ensaiadas 2 lajes macias, sendo a laje S7 de espessura equivalente laje nervurada
S2. As lajes eram simplesmente apoiadas ao longo dos lados, como pode ser visto na
Figura 4.5.
Figura 4.5 - Geometria da laje nervurada (unidades em mm). Fonte: ABDUL-WAHAB (2000)
A Figura 4.6 mostra o deslocamento central obtido para as lajes S2 e S7.
-
35
Figura 4.6 Deslocamento central. Fonte: ABDUL-WAHAB (2000)
O autor conclui que a abordagem por espessura equivalente leva a superestimativa da
rigidez toro na faixa elstica fissurada e no-fissurada. Uma melhor estimativa da
rigidez no trecho fissurado obtido quando se assume uma reduo de 25 % na rigidez do
trecho no-fissurado. Comparando o comportamento das lajes S2 e S7 o autor comenta que
na faixa elstica no-fissurada a diferena de rigidez entre as lajes parece ser relativamente
moderada.
Selistre (2000) realizou uma anlise terico-experimental de um pavimento, em modelo
reduzido na escala 1:7,5, com laje nervurada bidirecional. O modelo da laje tinha
dimenses em planta de 81,25 cm x 161,18 cm, altura de 2,67 cm, nervuras de largura 1,33
cm com 5,33 cm de face a face (Figura 4.7).
Figura 4.7 Modelo ensaiado, montagem e vista inferior. Fonte: SELISTRE (2000).
-
36
As lajes se apoiavam em 6 pilares metlicos sem continuidade com estes. O sistema de
aplicao de cargas feito com gua aplicou uma carga final de 7,5 kN/m.
Dois modelos de anlise foram empregados: elementos finitos de placa com laje macia
equivalente, processado no programa SAP90 e, grelha de vigas com seo T, utilizando
programa comercial para projeto estrutural.
Na concluso foi destacado que o mtodo de clculo que melhor simulou o comportamento
da estrutura, enquanto este era aproximadamente elstico linear, foi o de elementos finitos
de placa, que foi o mais rgido, discretizado no SAP90. A Figura 4.8 apresenta a curva
carga x deflexo do deflectmetro D11, posicionado no centro da placa.
Figura 4.8 Carga x deslocamento deflectmetro D11. Fonte: SELISTRE (2000)
Nos ltimos estgios de carga, a fissurao do micro concreto foi to intensa e abrangente,
a ponto de nenhum dos dois programas, no caso o SAP90 e o TQS, reproduzirem o
comportamento da laje.
SCHWETZ (2005) analisou um pavimento com laje nervurada em modelo reduzido, na
escala de 1:7,5 com dimenses em planta de 1,48 m x 1,68 m, espessura das lajes de 3,73
cm, conforme mostra a Figura 4.9.
-
37
Figura 4.9 Laje nervurada em modelo reduzido. Fonte: SCHWETZ (2005)
Esse pavimento foi processado em programa comercial tendo as dimenses apresentadas
na Figura 4.10.
Figura 4.10 Laje nervurada processada pelo programa (unidades em cm). Fonte: SCHWETZ (2005)
-
38
Para o carregamento foi utilizada areia para simular o carregamento distribudo e p de
chumbo para representar o carregamento linear devido ao peso das paredes.
A autora constata que o modelo de grelhas do programa computacional tende a apresentar
valores maiores de deslocamentos, no regime elstico, do que os valores medidos no
ensaio.
Dentre os fatores que podem contribuir para essa discrepncia a diferena de escala do
modelo, embora a literatura indique que o comportamento no se altere significativamente
para a escala utilizada, conforme afirma a autora. Outro fator seria a desconsiderao da
contribuio da capa da laje no modelo terico.
A hiptese de que ao se considerar a rigidez toro das nervuras ocorre uma diminuio
nos valores de momentos fletores e flechas da laje nervurada, foi testada processando a
grelha com valores menores para o divisor de inrcia das barras da grelha utilizado como
padro pelo programa. Os valores dos momentos fletores, resultantes dessa nova anlise,
sofreram uma reduo significativa e se aproximaram mais dos valores experimentais
(Figura 4.11).
Figura 4.11 Reduo dos momentos fletores. Fonte: SCHWETZ (2005)
Duarte Filho (2007) ensaiou uma laje nervurada de 2,0 m x 2,0 m, altura de 5 cm, nervuras
de 3,5 cm de largura e enchimento em EPS de 25 cm x 25 cm x 3,5 cm. O carregamento
-
39
realizado com gua atingiu o valor de 7,75 kN/m, conforme mostra a Figura 4.12. O
deslocamento no centro da laje foi medido com deflectmetro (Figura 4.13).
Figura 4.12 Dimenses da laje nervurada (seo e planta), sem escala. Fonte: DUARTE FILHO (2007)
Figura 4.13 Posicionamento do deflectmetro no centro da laje. Fonte: DUARTE FILHO (2007)
O autor conclui que a rigidez toro da laje nervurada no foi desprezvel. E tambm que
os processos empregados para lajes macias parecem ser vlidos para a determinao dos
esforos em laje nervurada bidirecional, por melhor representar o comportamento da laje
do que os modelos de grelha com a inrcia toro reduzida.
-
40
Conforme comentado pelo autor, os resultados da analogia de grelha mais prximos aos
experimentais foram obtidos considerando a inrcia toro igual a 2 ou 4 vezes a inrcia
flexo, como geralmente feito no caso de lajes macias, comenta o autor. As Figuras
4.14 e 4.15 apresentam os resultados obtidos nas anlises desenvolvidas por Duarte Filho
(2007).
Figura 4.14 Grfico carregamento x deslocamento para modelos diferentes. Fonte: DUARTE FILHO
(2007)
Figura 4.15 Resultados para a anlise por analogia de grelha atualizando-se a inrcia toro. Fonte:
DUARTE FILHO (2007)
Duarte Filho (2008) ensaiou uma laje nervurada, em escala 1:2, com dimenso em planta
de 2,0 m x 2,0 m, altura de 5 cm, largura das nervuras de 3,5 cm e enchimento em EPS de
-
41
15 cm x 15 cm x 3,5 cm, para verificar a validade de se considerar a laje nervurada
bidirecional como laje macia equivalente. A Figura 4.16 apresenta as dimenses da laje.
Figura 4.16 Dimenses (cm) da laje analisada (sem escala). Fonte: DUARTE FILHO (2008)
Como concluso o autor destaca que a considerao da laje nervurada bidirecional como
laje macia equivalente forneceu resultados bastante prximos ao comportamento da laje
ensaiada (Figura 4.17).
Figura 4.17 Comparao do resultado experimental com o modelo simplificado. Fonte: DUARTE
FILHO (2008)
A laje nervurada ensaiada no apresentou elevada perda de rigidez toro com a
fissurao (devido flexo), como pode ser observado na Figura 4.18.
-
42
Figura 4.18 Resultados para a anlise por analogia de grelha, com coeficientes de rigidez toro
constantes. Fonte: DUARTE FILHO (2008)
O autor ressalta ainda a necessidade de se obter mais ensaios experimentais.
Schwetz (2008) ensaiou uma laje nervurada de uma estrutura real e fez a anlise numrica
atravs de programa comercial. A laje tinha seo transversal de altura total 32,5 cm, capa
7 cm, largura das nervuras de 12 cm e entre - eixo de nervuras de 80 cm. A Figura 4.19
apresenta o esquema estrutural da laje e locao da rea carregada experimentalmente.
Figura 4.19 Planta e rea de carregamento. Fonte: SCHWETZ (2008).
O carregamento de projeto previa, alm do peso prprio da estrutura, uma carga
permanente de 1,0 kN/m e uma carga acidental de 3,0 kN/m. No ensaio a regio
carregada foi solicitada at 6,6 kN/m com o emprego de sacos de argamassa (Figura 4.20).
-
43
Figura 4.20 Carregamento colocado em uma seo da laje. Fonte: SCHWTEZ (2008)
A instrumentao usada foi composta por extensmetros e deflectmetros. A Figura 4.21
apresenta o resultado do deflectmetro R2 posicionado sob o centro da regio de aplicao
do carregamento.
Figura 4.21 Grfico carga x deslocamento vertical do deflectmetro R2. Fonte: SCHWTEZ (2008)
A concluso do estudo demonstra uma tendncia ao comportamento linear da laje em todas
as etapas de carregamento, com deslocamentos medidos prximos aos previstos
numericamente. Nesse artigo no houve nenhuma considerao sobre a rigidez toro
adotada no programa para as barras da laje.
Schwetz (2011) ensaio trs lajes nervuradas em escala natural. A primeira laje,
denominada Caso de Estudo 1 a mesma descrita em Schwetz (2008). A segunda laje,
denominada Caso de Estudo 2, destinada garagem foi carregada em etapas de disposio
-
44
dos automveis (Figura 4.22). A terceira laje, de cobertura destinada a duas quadras de
tnis, foi carregada com o preenchimento das camadas sucessivas de argila e saibro.
Figura 4.22 Carregamento da laje Caso 2. Fonte: SCHWETZ (2011)
A autora destaca que, conforme anlise paramtrica efetuada no trabalho, o modelo
computacional descreveria melhor o comportamento de lajes nervuradas se considerasse a
totalidade da inrcia toro das barras da grelha que formam a laje.
Como sugesto de trabalhos futuros Schwetz (2011) cita o estudo da capacidade de
resistncia toro das lajes nervuradas quando armadas somente flexo, a fim de
determinar se a armadura especfica de toro deve ou no ser utilizada neste sistema
estrutural.
Os trabalhos experimentais, at aqui relatados, demonstram a necessidade de melhor
quantificar a rigidez a toro das barras da laje nervurada, indicando tambm no ser esta
propriedade desprezvel. Mostram tambm a boa previso do comportamento das lajes
nervuradas quando estas so modeladas como laje macia equivalente, notadamente na
fase elstica dos materiais.
-
45
CAPTULO 5
PROGRAMA EXPERIMENTAL E ANLISE NUMRICA
5.1 DESCRIO DAS LAJES
O programa experimental realizado neste trabalho foi constitudo de uma laje macia e
uma laje nervurada bidirecional, executadas em estrutura de reao, possibilitando o ensaio
das lajes com comprimento livre de 3,00 m x 3,00 m. Os ensaios foram realizados na
Universidade Federal de Gois, Campus Catalo.
As lajes macia e nervurada bidirecional foram moldadas in loco, considerando-se a pea
apoiada nos quatro bordos, sobre estrutura metlica construda para este fim, conforme
ilustra a Figura 5.1.
A laje nervurada bidirecional foi executada com espessura de 9 cm e elemento inerte em
EPS com dimenso de 33 x 33 x 6 cm e nervuras de 7 cm (Figuras 5.2 e 5.3). A laje
macia de espessura equivalente foi executada com 6,3 cm conforme ilustra a Figura 5.4.
O esquema em planta das caractersticas geomtricas das lajes macia e nervurada
apresentado na Figura 5.5.
Figura 5.1 - Estrutura metlica para suporte Figura 5.2 - Laje nervurada bidirecional ensaiada
-
46
Figura 5.3 Concretagem Figura 5.4 - Laje macia de espessura
equivalente
Figura 5.5 Vista em planta das lajes nervuradas e macia (unidades em cm)
5.2 CARREGAMENTO NAS LAJES
Cada passo de carregamento correspondeu a adio de um bloco sextavado, de peso mdio
de 0,08 kN, numa rea de influncia de 0,16 m, o que significa uma carga de 0,5 kN/m
para cada passo. O peso prprio da laje nervurada correspondeu a 1,25 kN/m e da laje
macia 1,58 kN/m.
Os deslocamentos verticais foram medidos imediatamente aps a aplicao das cargas. O
ensaio da laje nervurada durou 5 horas e foi subdividido em 17 incrementos de carga. J o
ensaio da laje macia durou 3 horas e foi subdividido em 11 incrementos de carga.
-
47
Deve-se ressaltar que tanto o lanamento quanto adensamento do concreto foram feitos
manualmente nos dois ensaios.
A fim de controlar a espessura do concreto das lajes foram utilizados tubos de PVC,
(Figura 5.6) posicionados na regio central da laje e marcaes na madeira de borda.
Figura 5.6 Tubo para controle de espessura das lajes
Foram pesados, em balana eletrnica aferida, 100 blocos sextavados recolhidos
aleatoriamente sendo realizada a mdia de peso para 1 bloco (Figura 5.7).
Figura 5.7 - Pesagem dos blocos
5.3 LEITURA DOS DESLOCAMENTOS VERTICAIS
A instrumentao, para medida dos deslocamentos verticais, foi realizada usando quatro
relgios comparadores, de preciso 0,01 mm, posicionados no centro da laje e nas vigas de
reao (Figuras 5.8, 5.9 e 5.10).
-
48
Figura 5.8 - Esquema de aplicao de carga e posicionamento dos medidores de deslocamentos
Figura 5.9 Instrumentao para verificao da flecha
da estrutura de reao
Figura 5.10 Instrumentao para determinao do
valor do deslocamento
5.4 MATERIAIS
5.4.1 CONCRETO
Nas duas lajes ensaiadas foi utilizado concreto de trao 1:2,5:2,5 em volume, relao
gua/cimento igual a 0,6 e cimento CP II E 32.
Os valores da resistncia compresso e da resistncia trao do concreto foram obtidos
da ruptura de corpos-de-prova cilndricos com 15 cm de dimetro e 30 cm de altura.
Na Tabela 5.1 esto apresentadas as caractersticas do concreto obtidas no ensaio. O
mesmo foi realizado aos 29 dias e as propriedades dos materiais determinadas 28 dias aps
a concretagem.
-
49
Tabela 5.1 Caractersticas do concreto
Caractersticas do Concreto Valores
Obtidos
Resistncia compresso do concreto (fck) 17,2 MPa
Resistncia a trao por compresso diametral (fct,sp) 2,37 MPa
Resistncia trao direta do concreto (fct) 2,13 MPa
Mdulo de elasticidade secante do concreto (Ecs) 19,7 GPa
Abatimento mdio (Slump Test) 83 mm
O mdulo de elasticidade do concreto foi obtido pela equao fornecida pela ABNT NBR
6118:2007.
5.4.2 AO
A armadura utilizada na laje nervurada foi composta de duas barras de 6,3 mm (CA-50)
em cada nervura, com cobrimento de 1 cm. Para a laje macia de espessura equivalente foi
usada armadura com 6,3 a cada 20 cm.
5.5 RESULTADOS EXPERIMENTAIS O deslocamento mximo nas vigas de apoio foi de 0,27 mm no ensaio da laje nervurada e
de 0,09 mm no ensaio da laje macia. O deslocamento, no meio do vo, devido ao peso
prprio da estrutura foi obtido por projeo do comportamento linear dos grficos de
carregamento x deslocamento.
5.5.1 RESULTADO DO ENSAIO DA LAJE NERVURADA
O grfico dos resultados do ensaio apresentado na Figura 5.11, e relaciona carregamento
e deslocamento. Nota-se o comportamento no linear do concreto e o incio de fissurao
para a carga de 4,25 kN/m. A Figura 5.12 mostra o processo de fissurao da laje. Todos
os deslocamentos medidos no ensaio esto apresentados no Anexo B.
As fissuras so perceptveis a partir do carregamento de 6,25 kN/m. Aps este valor
aparecem fissuras novas a cada incremento de carga (Figura 5.13).
-
50
Ensaio laje nervuradaDeslocamento no centro da laje
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Deslocamentos (mm)
Car
rega
men
to (k
N/m
)
Figura 5.11 Resultado do ensaio da laje nervurada bidirecional
Figura 5.12 Fissurao da laje nervurada. Fissuras destacadas
Figura 5.13 Croqui da fissurao da laje nervurada
-
51
O carregamento mximo foi de 9,75 kN/m, correspondendo a uma flecha de 18,63 mm ou
1/161 do vo da laje. A Figura 5.14 apresenta o carregamento final na laje nervurada.
Figura 5.14 Carregamento final da laje nervurada
5.5.2 RESULTADO DO ENSAIO DA LAJE MACIA EQUIVALENTE
O resultado do carregamento x deslocamento para a laje macia equivalente est
apresentada na Figura 5.15.
O comportamento do concreto praticamente bilinear, com incio de fissurao para carga
de 5,08 kN/m. As fissuras so visveis a olho nu a partir do carregamento de 6,08 kN/m,
seguido de abertura brusca de fissuras e paralisao do ensaio (Figura 5.16). Para
carregamento de 6,58 kN/m, a flecha foi de 15,97 mm ou 1/188 do vo.
Ensaio laje macia equivalenteDeslocamento no cento da laje
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Deslocamento (mm)
Car
rega
men
to (k
N/m
)
Figura 5.15 Resultado do ensaio da laje macia equivalente
-
52
Figura 5.16 Croqui da fissurao da laje macia
5.5.3 COMPARAO DOS RESULTADOS
Os resultados dos ensaios encontram-se representados na Figura 5.17. Nota-se o
desempenho similar entre as duas lajes na fase elstica, sem fissurao. Neste ponto, a laje
macia mais rgida e a laje nervurada apresenta um comportamento mais dctil. Os
resultados dos deslocamentos e da flecha das lajes ensaiadas so apresentados na Tabela
5.2.
Comparao ensaiosDeslocamento no centro da laje
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Deslocamento (mm)
Car
rega
men
to (k
N/m
)
ensaio laje nervuradaensaio laje macia
Figura 5.17 Comparao dos ensaios realizados.
-
53
Tabela 5.2 - Resultados dos deslocamentos dos apoios e da flecha para os ensaios
Tipo de laje Deslocamento mximo no
apoio (mm)
Flecha
(mm)
Laje nervurada bidirecional 0,27 18,63
Laje macia 0,09 15,97
5.6 ANLISE NUMRICA NO PROGRAMA GESTRUT
A laje nervurada foi processada no programa GESTRUT, desenvolvido por Gesualdo
(2009). A grelha obtida pelo GESTRUT apresentada na Figura 5.18.
Na anlise numrica dessas lajes usando o programa GESTRUT foram consideradas as
seguintes condies de contorno:
na extremidade das barras, no contorno da laje, foram restringidas as translaes no
eixo y;
nas extremidades das barras dos cantos foram restringidas as translaes nos eixos
x, y e z;
as rotaes foram liberadas. O plano dos eixos x e z o plano da laje. O eixo y
perpendicular ao plano da laje. As rotaes so referidas em torno dos eixos x, y ou
z.
Alm disso, cada barra de extremidade da grelha foi rotulada no apoio, recebendo vnculo
do tipo 0. O vnculo de tipo 1 estabelece continuidade com a barra ligada. As cargas foram
aplicadas nos ns da grelha.
A laje nervurada foi modelada como grelha equivalente composta por vigas de seo T,
considerando-se a inrcia a toro integral desses elementos. A inrcia a toro sem
redues dada pela Equao 4.
3)(
3
33wfff
t
bhhhbI
+
=
(Equao 4)
onde:
-
54
bf largura da mesa da seo T; bw largura da nervura;
hf altura da mesa da seo; h altura total da seo.
Figura 5.18 Discretizao da grelha de laje processada no programa GESTRUT
5.6.1 CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DE SEES NO ESTDIO II
No estado de fissurao denominado Estdio II puro, ilustrado na Figura 5.19, admite-se
que:
os esforos de trao so resistidos apenas pela armadura localizada abaixo da linha
neutra;
existe uma relao linear entre tenso e deformao especfica no concreto para
todos os pontos da seo transversal;
toda a resistncia do concreto na regio fissurada desprezada;
a distribuio das tenses de compresso no concreto triangular;
no ocorre escoamento do ao nem plastificao do concreto.
-
55
Figura 5.19 Seo Transversal no Estdio II puro. Fonte: CARVALHO (1994)
De acordo com Carvalho (2005), o momento de inrcia da seo no estdio II (Ix,II0) em
relao linha neutra de posio XII, pode ser determinado pela Equao 5 quando a
profundidade da linha neutra inferior espessura da mesa hf. Ou pela Equao 6 quando
a profundidade da linha neutra superior espessura da mesa.
(Equao 5)
(Equao 6)
onde:
bf: largura da mesa da seo T; : relao entre os mdulos de deformao longitudinal
do ao e do concreto; As: rea de armadura tracionada; d: altura til da seo; As: rea de
armadura comprimida; d: distncia do centro de gravidade de As at a borda comprimida
do concreto; bw: largura da nervura.
A posio da linha neutra uma das razes da Equao 7:
, (Equao 7)
onde os coeficientes so obtidos pelas equaes 8, 9 e 10.
-
56
(Equao 8)
(Equao 9)
(Equao 10)
Para vigas de seo transversal retangular ou sem armadura as expresses so vlidas,
com
5.6.2 EFEITO DA FISSURAO MODELO SIMPLIFICADO DE BRANSON PARA
FLECHA IMEDIATA
O modelo de Branson, como apresentado em Carvalho (2005), um mtodo semi
probabilstico, simplificado, utilizando expresses empricas que fornecem valores mdios
da inrcia.
Pode ser aplicado para obter o valor da inrcia entre o estdio I, no fissurado, e estdio II
puro.
A forma geral da expresso de Branson :
(Equao 11)
onde:
Im - momento de inrcia efetivo para uma seo ou para toda a pea, no caso de vigas
simplesmente apoiadas; momento de inrcia mdio entre a seo do apoio e a seo do
meio do vo, para o caso de vigas contnuas;
II momento de inrcia da pea no estdio I (da seo bruta ou homogeneizada);
III momento de inrcia da pea no estdio II puro;
Mr momento de fissurao do concreto;
Mat momento atuante na seo mais solicitada;
-
57
n ndice de valor igual a 4, para situaes em que a anlise feita em apenas uma seo
da pea, ou igual a 3, quando se faz a anlise da pea ao longo de todo o seu comprimento,
que a situao em questo.
Na ABNT NBR 6118: 2007, item 17.3.2.1, a flecha imediata em vigas pode ser avaliada,
de maneira aproximada, atravs da rigidez equivalente , dada por:
(Equao 12)
em que:
Ic momento de inrcia da seo bruta de concreto;
III momento de inrcia da seo fissurada de concreto no estdio II, calculado com o
coeficiente ;
Ma momento fletor na seo crtica do vo considerado; momento mximo no vo para
vigas biapoiadas ou contnuas e momento no apoio para balanos, para a combinao de
aes considerada nessa avaliao;
Mr momento de fissurao do elemento estrutural, dado pela equao 13, e que deve ser
reduzido metade para barras lisas;
Ecs mdulo de elasticidade secante do concreto, dado por (em MPa);
O momento de fissurao Mr, pode ser determinado pela expresso aproximada presente
no item 17.3.1 da norma ABNT NBR 6118: 2007.
(Equao 13)
sendo:
= 1,2 para sees em forma de T ou duplo T e 1,5 para sees retangulares;
Ic momento de inrcia da seo bruta de concreto;
yt distncia do centro de gravidade fibra mais tracionada.
-
58
fct a resistncia trao direta do concreto. Para determinao do momento de
fissurao deve ser usado no estado limite de formao de fissura e o no
estado limite de deformao excessiva.
No item 8.2.5 da referida norma tem-se:
(Equao 14)
(Equao 15)
em que:
- valor inferior da resistncia trao do concreto;
resistncia mdia trao do concreto;
resistncia caracterstica compresso do concreto.
Para cada incremento de carga o momento fletor mximo foi comparado com o momento
de fissurao, dado na Equao 13. Quando este foi atingido, a rigidez equivalente de todas
as barras foi corrigida usando a expresso de Branson (Equao 12). O momento mximo
Ma, e a posio da linha neutra no Estdio II so calculados com os dados obtidos do
processamento para o carregamento anterior.
5.6.3 RESULTADOS OBTIDOS NO PROGRAMA GESTRUT
Na Tabela 5.3, para cada etapa de carregamento, apresentado o momento de inrcia
equivalente, o momento de inrcia no Estdio II puro, a relao (Mr/Ma), a flecha,
momento fletor e momento de toro mximos obtidos.
-
59
Tabela 5.3 Resultados da anlise numrica no programa GESTRUT.
Carga Distrib.
(kN/m)
Carga N
(kN)
Ieq
(cm4)
III
(cm4) (Mr/Ma)
Desloc.
(cm)
M
(kN.cm)
Mt
(kN.cm)
1,25 0,20 846 --- --- 0,14 24,39 7,00
1,75 0,28 846 --- --- 0,20 34,14 16,44
2,25 0,36 846 --- --- 0,25 43,9 21,13
2,75 0,44 558 299 0,47 1,41 47,38 34,48
3,25 0,52 505 299 0,38 0,52 54,13 43,94
3,75 0,6 437 299 0,25 0,65 59,27 54,78
4,25 0,68 404 299 0,19 0,77 65,17 65,02
4,75 0,76 378 299 0,14 0,89 70,94 75,50
5,25 0,84 360 299 0,11 1,01 76,87 85,77
5,75 0,92 347 299 0,09 1,12 82,91 95,86
6,25 1,00 337 299 0,07 1,24 89,02 105,87
6,75 1,08 330 299 0,06 1,35 95,29 115,63
7,25 1,16 324 299 0,05 1,46 101,54 125,42
7,75 1,24 320 299 0,04 1,58 107,97 134,96
8,25 1,32 316 299 0,03 1,68 114,78 143,90
8,75 1,40 313 299 0,03 1,80 120,73 154,16
9,25 1,48 311 299 0,02 1,91 127,28 163,52
9,75 1,56 309 299 0,02 2,02 133,78 172,94
A Figura 5.20 compara o resultado numrico da grelha do programa GESTRUT com o
resultado experimental obtido na laje nervurada.
Figura 5.20 Comparao dos resultados do ensaio de laje nervurada e clculo como grelha (GESTRUT)
-
60
As Figuras 5.21 e 5.22 comparam os resultados dos ensaios, de laje macia equivalente e
nervurada, com a previso do deslocamento mximo no centro da laje utilizando as tabelas
de Bares.
A laje macia foi analisada com o emprego das tabelas de Bares, presentes em Carvalho
(2005). O momento de fissurao e a estimativa da perda de rigidez devido fissurao na
flexo foram avaliados conforme descrio no item 5.6.2 acima.
Comparao ensaio macia e placa
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
Deslocamento (mm)
Car
rega
men
to (k
N/m
)
placa tabela Baresensaio macia
Figura 5.21 Comparao entre ensaio de laje macia e tabela de Bares
Comparao ensaio nervurada e placa
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
Deslocamento (mm)
Car
rega
men
to (k
N/m
)
ensaio
tabela Bares
Figura 5.22 Comparao entre ensaio da laje nervurada e tabela de Bares
A fim de melhor representar a fissurao real da laje nervurada, o modelo de grelha foi
processado com o momento de fissurao correspondente ao carregamento que origina o
incio de fissurao no ensaio, obtendo-se o grfico da Figura 5.23.
-
61
Comparao ensaio e programas
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
Deslocamento (mm)
Car
rega
men
to (k
N/m
)
ensaiogestrut fissuracao real
Figura 5.23 Comparao ensaio da laje nervurada e grelha (GESTRUT) com momento de fissurao real
Observa-se a boa aproximao, do modelo terico para o experimental, quando se modela
a laje por grelha com barras sem reduo da rigidez toro e com estimativa mais realista
do incio da fissurao da laje.
-
62
CAPTULO 6
COMPARAO ENTRE RESULTADOS DE ENSAIO E DE PROGRAMAS COMERCIAIS
6.1 INTRODUO
A fim de avaliar os resultados nas lajes ensaiadas e os obtidos nos programas comerciais,
so comparados os resultados das flechas mximas obtidas no ensaio e por dois programas
comerciais para projeto de estruturas de concreto armado, denominados Programa 1 e
Programa 2.
Este trabalho no procura comparar diretamente os resultados dos programas comerciais
entre si.
No houve minorao ou majorao das cargas permanentes e adicionais para a
determinao dos deslocamentos. O mdulo de elasticidade e a resistncia caracterstica do
concreto utilizados nas anlises foram os valores obtidos experimentalmente. O Anexo C
traz todos os dados para processamento da laje por qualquer programa comercial.
Uma terceira comparao realizada com a laje modelada como uma grelha de vigas
independentes de seo T. Nesse caso hipottico, no existe qualquer interao entre as
barras da grelha e os carregamentos so aplicados nos ns com a devida separao dos
quinhes de carga de cada barra. Dessa forma, cada n solicitado por uma fora vertical
correspondente carga distribuda multiplicada pela rea de influncia do n, no valor de
0,16 m (Figura 6.1).
-
63
Figura 6.1 - Laje nervurada como vigas T independentes
6.2 PROCESSAMENTO NO PROGRAMA 1
O programa 1 utiliza a analogia de grelha com as barras de seo T, inrcia toro
determinada pela Equao 16 e Figura 6.2.
(Equao 16)
Figura 6.2 Seo T
So fornecidas as flechas: elstica, imediata, diferida e total, sendo esta a soma da imediata
e diferida.
A rigidez toro das barras da grelha no modificada no caso de haver fissurao por
toro, ficando a cargo do usurio uma reduo desta rigidez, aplicvel a todas as barras,
configurada no item Anlise Painis de laje Reduo na toro (Figura 6.3).
-
64
Figura 6.3- Tela de configurao do Programa 1
Para a flecha imediata, o Programa 1 utiliza a formulao de Branson, presente na norma
ABNT NBR 6118:2007, para avaliao de forma simplificada dos deslocamentos nas lajes.
Nestes termos, o processo iterativo com os passos assim descritos:
1- Com os esforos elsticos, calculam-se as combinaes no Estado Limite ltimo e
dimensiona-se a laje;
2- Com os esforos elsticos e com as armaduras calculadas a partir destes, obtm-se a
rigidez equivalente (EIeq) atravs da expresso de Branson;
3- montado um modelo de grelha exatamente igual ao modelo elstico, mas onde a
rigidez de cada barra alterada para sua rigidez equivalente calculada;
flecha diferida, ou surgida ao longo do tempo, sob ao de cargas de longa durao,
decorrentes dos efeitos de retrao e fluncia, soma-se a flecha imediata.
O clculo dessas flechas depende de muitas variveis, como temperatura, teor de umidade,
condies de cura, idade do concreto, histrico de carregamentos.
A flecha adicional diferida em lajes, conforme item 19.3.1 da ABNT NBR 6118:2007
utilizando os critrios do item 17.3.2.1.2, calculada em funo do tempo e da taxa de
armadura de compresso, pode ser determinado de maneira aproximada, multiplicando a
flecha imediata pelo fator (1+ ), onde dado pela Equao 17.
(Equao 17)
-
65
onde a taxa geomtrica de armadura de compresso dada pela Equao 18
(Equao 18)
onde a rea da seo da armadura longitudinal de compresso; b a largura da base e d
a rea til da seo transversal.
Para a laje ensaiada tem-se = 0. O coeficiente funo do tempo e pode ser calculado
pelas Equaes 19 e 20.
(Equao 19)
(Equao 20)
Para o tempo t maior ou igual a 70 meses o valor de igual a 2. Assim, para o tempo
de incio de aplicao de carga de 28 dias, ou 0,93 meses, tem-se:
;
(
A planta de forma criada pelo programa est ilustrada na Figura 6.4. As vigas de borda
foram modeladas com seo transversal de 10 cm x 30 cm, pilares intermedirios de seo
15 cm x 15 cm e vos entre-eixos de 150 cm.
Figura 6.4 - Forma da laje (unidades em cm)
-
66
Os momentos fletores e momentos torsores mximos obtidos para cada carregamento esto
na Tabela 6.1.
Tabela 6.1 - Momento fletores e torsores mximos no Programa 1.
Carga Distribuda
(kN/m)
Momento Fletor Mximo
(kN.m/m)
Momento Torsor Mximo
(kN.m/m)
1,25 0,78 0,19
1,75 1,07 0,27
2,25 1,31 0,34
2,75 1,55 0,42
3,25 1,89 0,5
3,75 2,24 0,57
4,25 2,59 0,65
4,75 3,05 0,73
5,25 3,41 0,8
5,75 3,79 0,88
6,25 4,08 0,96
6,75 4,43 1,03
7,25 4,78 1,11
7,75 5,4 1,19
8,25 5,35 1,26
8,75 5,69 1,34
9,25 6,01 1,42
9,75 6,34 1,49
A Figura 6.5 mostra a distribuio dos momentos torsores na grelha para um determinado
carregamento. Vale notar que as barras nas extremidades da grelha no apresentam
momento torsor, evidenciando a liberdade de giro sobre o prprio eixo para a barra da
grelha na regio de apoio.
-
67
Figura 6.5- Grelha com valores do momento torsor processada no Programa 1
6.3 PROCESSAMENTO NO PROGRAMA 2
O Programa 2 tambm faz a anlise da estrutura atravs do mtodo da analogia de grelha.
Na flexo as barras so consideradas como seo T. Para a inrcia toro considerada
somente a seo retangular composta pela nervura e parte da mesa (Figura 6.6).
Figura 5.6 - Seo considerada na toro
O Programa 2 fornece os valores das flechas imediata e diferida, conforme ilustrado nas
Figuras 6.7 e 6.8.
Figura 6.7- Grelha com flecha imediata Figura 6.8 - Grelha com flecha diferida
-
68
O programa tambm apresenta as barras da grelha que se encontram fissuradas para um
dado carregamento.
O carregamento aplicado subdividido em incrementos de carga a fim de que a rigidez em
cada barra da laje possa ser corrigida gradativamente medida que a fissurao se propaga.
O programa se baseia no trabalho de Carvalho (1994) para implementar o processo de
clculo incremental. Quanto maior o nmero de incrementos de carga, melhor o resultado
obtido, porm mais demorado o processamento (Figura 6.9).
Figura 6.9 Influncia do nmero de incrementos de carga
Na presente anlise foi empregado um nmero de incrementos, NINC, igual a 12.Todas as
barras da grelha foram consideradas com 2 subdivises em cada barra, assim, os esforos
so fornecidos para sees no meio e nas extremidades da barra.
Na anlise flexo adotou-se a formulao presente na ABNT NBR 6118: 2007, ou seja, a
expresso de Branson com expoente igual a 4 (Figura 6.10). Carvalho (2005) esclarece que
o expoente 4 usado em situaes onde anlise feita em apenas uma seo da pea.
Quando se faz a anlise da pea ao longo de todo o seu cumprimento o expoente 3.
Figura 6.10 Diagrama momento fletor x curvatura segundo ABNT NBR 6118:2007
-
69
O diagrama da rigidez toro x momento torsor adotado est representado pela Figura
6.11, onde a rigidez da seo no fissurada dada pela Equao 21 e, aps iniciada a
fissurao, pela Equao 22.
(Equao 21)
(Equao 22)
onde:
: rigidez toro no estdio no fissurado; : rigidez toro no estdio fissurado;
E: mdulo de elasticidade secante do concreto; : momento de inrcia toro da sesso.
Figura 6.11 Diagrama rigidez toro x momento torsor
A rigidez toro integral da seo corresponde a , conforme item 8.2.9 da norma
ABNT NBR 6118:2007. O Programa 2 utiliza 75% da rigidez toro total at o incio da
fissurao do concreto e, aps a fissurao, 12,5%. Vale ressaltar que o Programa 2
considera nula a rigidez toro das barras para determinao da rea de ao necessria no
Estado Limite ltimo.
A planta de forma gerada pelo Programa 2 est ilustrada na Figura 6.12.
300
300
-
70
Figura 6.12- Forma gerada pelo Programa 2 (unidades em cm)
Nota-se que o programa no centraliza as nervuras da laje e os pilares intermedirios P2,
P4, P5 e P7 foram retirados, pois o Programa 2 considera a barra da grelha ligada
diretamente a esses, influindo no resultado da flecha e na considerao de apoio da laje
sobre viga.
Para compensar a retirada dos pilares a altura das vigas de bordo foi aumentada de 30 cm
para 60 cm, garantindo a condio de apoio praticamente indeslocvel. A rigidez toro
das vigas de bordo foi dividida por 10 para no influir na flexo da laje.
Os momentos fletores mximos, para cada incremento de carga, esto apresentados da
Tabela 6.3.
Tabela 6.3 Momentos fletores mximos obtidos no Programa 2
Carga Distribuda
(kN/m)
Momento Fletor Mximo
(kN.m/m)
1,25 0,75
1,75 1,25
2,25 1,5
2,75 1,75
3,25 2,25
-
71
3,75 2,5
4,25 3
4,75 3,25
5,25 3,5
5,75 4
6,25 4,25
6,75 6,75
7,25 5
7,75 5,25
8,25 5,5
8,75 6
9,25 6,25
9,75 6,75
6.4 RESULTADOS OBTIDOS E COMPARAES
Ainda para efeito de comparao so apresentadas a Tabela 6.4 e a Tabela 6.5. Na Tabela
6.4 esto os resultados da anlise da laje como grelha composta por vigas T independentes,
onde cada viga carregada no n com a carga concentrada correspondente sua rea de
influncia dividida igualmente entre as vigas que se cruzam nesse n.
O momento de fissurao para essas vigas
nervuracm.kN10,35M r = , ultrapassado na segunda
etapa de carregamento.
Tabela 6.4 - Laje como grelha composta por vigas T independentes
Ieq (cm4)
Carga Distribuda
(kN/m)
Carga N Grelha
(kN)
Carga N Viga
(kN)
Deslocamento
Mximo (cm)
Momento Mximo
(kN.cm)
846 1,25 0,20 0,10 0,16 28,5
622 1,75 0,28 0,14 0,22 39,9
416 2,25 0,36 0,18 0,41 51,3
354 2,75 0,44 0,22 0,68 62,7
329 3,25 0,52 0,26 0,94 74,1
-
72
317 3,75 0,60 0,30 1,17 85,5
311 4,25 0,68 0,34 1,39 96,9
307 4,75 0,76 0,38 1,60 108,3
305 5,25 0,84 0,42 1,80 119,7
303 5,75 0,92 0,46 2,00 131,1
302 6,25 1,00 0,50 2,18 142,5
301 6,75 1,08 0,54 2,37 153,9
301 7,25 1,16 0,58 2,56 165,3
300 7,75 1,24 0,62 2,74 176,7
300 8,25 1,32 0,66 2,93 188,1
300 8,75 1,40 0,70 3,11 199,5
300 9,25 1,48 0,74 3,30 210,9
300 9,75 1,56 0,78 3,47 222,3
A Figura 6.13 apresenta o resultado da flecha no meio do vo para esse caso, usando o
software FTOOL desenvolvido por Martha (2002).
Figura 6.13 - Processamento das barras da grelha como vigas T independentes.
Na Tabela 6.5 esto os momentos fletores mximos, obtidos da laje macia de espessura
equivalente laje ensaiada, atravs das Tabelas de Bares, presentes em Carvalho (2005).
Tabela 6.5 - Momentos fletores para laje macia equivalente.
Carga Distribuda p
(kN/m) x=y lx=ly (m)
Momento Mximo mx=my
(kN.m/m)
1,25 4,41 3,00 0,5
1,75 4,41 3,00 0,69
2,25 4,41 3,00 0,89
2,75 4,41 3,00 1,09
3,25 4,41 3,00 1,29
-
73
3,75 4,41 3,00 1,49
4,25 4,41 3,00 1,69
4,75 4,41 3,00 1,89
5,25 4,41 3,00 2,08
5,75 4,41 3,00 2,28
6,25 4,41 3,00 2,48
6,75 4,41 3,00 2,68
7,25 4,41 3,00 2,88
7,75 4,41 3,00 3,08
8,25 4,41 3,00 3,27
8,75 4,41 3,00 3,47
9,25 4,41 3,00 3,67
9,75 4,41 3,00 3,87 As flechas imediatas obtidas atravs dos programas comerciais esto na Tabela 6.6, onde
tambm esto as flechas obtidas no ensaio da laje nervurada, no processamento da grelha
pelo programa GESTRUT, e os resultados do processamento como vigas independentes.
Tabela 6.6 Comparao ensaio, programas e vigas T independentes.
Deslocamento Centro da Laje (mm) Carga Distribuda
(kN/m) Ensaio Programa 1 GESTRUT Vigas T Independentes Programa 2
0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00
1,25 1,14 1,80 1,40 1,60 1,50
1,75 1,64 3,20 2,00 2,20 2,30
2,25 2,10 5,30 2,50 4,10 3,00
2,75 2,49 7,60 4,10 6,80 4,00
-
74
3,25 2,91 10,20 5,20 9,40 6,70
3,75 3,42 13,20 6,50 11,70 6,60
4,25 4,01 15,90 7,70 13,90 8,70
4,75 4,65 15,50 8,90 16,00 11,00
5,25 5,44 15,20 10,10 18,00 13,20
5,75 6,43 15,80 11,20 20,00 15,20
6,25 7,42 17,30 12,40 21,80 17,20
6,75 8,62 18,80 13,50 23,70 18,80
7,25 9,91 20,30 14,60 25,60 20,60
7,75 11,24 21,80 15,80 27,40 22,20
8,25 12,98 20,40 16,80 29,30 21,40
8,75 14,94 21,60 18,00 31,10 22,90
9,25 16,79 22,90 19,10 33,00 23,80
9,75 18,63 21,20 20,20 34,70 25,00 A Figura 6.14 apresenta o grfico com as curvas carregamento x deslocamento obtido no
ensaio da laje nervurada e no processo pelo Programa 1, pelo programa GESTRUT, e
grelhas de vigas T independentes.
As curvas do carregamento x deslocamento para o Programa 2 analisando tambm o ensaio
da laje nervurada, programa GESTRUT, e grelhas de vigas T independentes esto
apresentadas na Figura 6.15.
Figura 6.14- Comparao ensaio, Programa 1 e grelha de vigas T
-
75
Figura 6.15- Comparao ensaio, Programa 2 e grelha de vigas T
Nas Figura 6.16 e 6.17 esto os valores dos d