análise de algoritmos - as classes p e np

Análise de Algoritmos

As classes P eNP

Analise de Algoritmos – p. 1/21

Problemas de decisão e otimização

Problema de decisao: Existe uma solução quesatisfaz uma certa propriedade?Resposta: “sim” ou “não”.



Problema de decisao: Existe uma solução quesatisfaz uma certa propriedade?Resposta: “sim” ou “não”.

Problema de otimizacao: Dentre as soluções quesatisfazem uma certa propriedade, qual é a melhorem relação à uma dada função.



Exemplo: Problema do caixeiro viajante.

Otimização: determine um circuito hamiltonianode custo mínimo?





Decisão: dado um valor L, existe um circuitohamiltoniano de custo ! L?





Decisão: dado um valor L, existe um circuitohamiltoniano de custo ! L?

Outros exemplos: mochila, clique, etc.


As classes P e NP

O estudo da teoria da complexidade de algoritmosconcentra-se nos problemas de decisão.


As classes P e NP

O estudo da teoria da complexidade de algoritmosconcentra-se nos problemas de decisão.

Definicao: A classe P representa o conjunto dosproblemas de decisão que podem ser resolvidospor um algoritmo polinomial.


As classes P e NP

Definicao: A classe NP representa o conjunto dosproblemas de decisão em que dado qualquerinstância do problema para a qual a resposta é“sim”, existe um certificado validando este fato eque pode ser verificado em tempo polinomial.


As classes P e NP

Definicao: A classe NP representa o conjunto dosproblemas de decisão em que dado qualquerinstância do problema para a qual a resposta é“sim”, existe um certificado validando este fato eque pode ser verificado em tempo polinomial.

A partir destas definições, temos que

P " NP


As classes P e NP

Por exemplo:

Um dado grafo G

é bipartido?


As classes P e NP

Por exemplo:

Um dado grafo G

é bipartido?tem aresta de corte?


As classes P e NP

Por exemplo:

Um dado grafo G

é bipartido?tem aresta de corte?é hamiltoniano?


As classes P e NP

Por exemplo:

Um dado grafo G

é bipartido?tem aresta de corte?é hamiltoniano?é conexo?


As classes P e NP

Por exemplo:

Um dado grafo G

é bipartido?tem aresta de corte?é hamiltoniano?é conexo?tem uma clique de tamanho # k?


As classes P e NP

Por exemplo:

Um dado grafo G

é bipartido?tem aresta de corte?é hamiltoniano?é conexo?tem uma clique de tamanho # k?existe caminho de custo ! k entre osvértices u e v?


As classes P e NP

Por exemplo:

Dois grafos G e H são isomorfos?


As classes P e NP

Por exemplo:


Uma fórmula boleana é satisfatível?


As classes P e NP

Por exemplo:



Questão fundamental da teoria da computação:

P = NP?


As classes P e NP

Por exemplo:



Questão fundamental da teoria da computação:

P = NP?

Em geral, acredita-se que a questão é falsa.


As classes P e NP

Como mostrar que a questão é falsa?


As classes P e NP

Como mostrar que a questão é falsa?Encontrar um problema em NP e mostrar quenenhum algoritmo polinomial pode resolvê-lo.


As classes P e NP


Como mostrar que a questão é verdadeira?


As classes P e NP


Como mostrar que a questão é verdadeira?Mostra que para todo problema em NP existealgoritmo polinomial que o resolve.


ExercíciosIndique quais dos problemas abaixo estão em NP.1. (MST) Dado um grafo G com custos inteiros nas

arestas, e um inteiro k, existe uma árvore geradora deG com custo máximo k?

2. (3-EXACT COVER) Dada uma famíliaF = {S1, S2, . . . , Sn} de n subconjuntos deS = {u1, u2, . . . , u3m}, com |Si| = 3, para todo 1 ! i ! n,existe uma subfamília de m subconjuntos que cobre S?

3. (MOCHILA 0$ 1) Dado inteiros cj , 1 ! j ! n, e k, existeum subconjunto S de {1, 2, . . . , n} tal que

!j!S cj = k?

4. (PARTIÇÃO) Dado inteiros c1, c2, . . . , cn, existe umsubconjunto S " {1, 2, . . . , n} tal que!

j!S cj =!

j /!S cj?


Redução entre problemas

Uma forma comum de resolver um dado problemaA é transformá-lo em um outro problema B cujasolução é conhecida e converter a solução de B

para uma solução de A. Este procedimento échamado de redução.



Definicao de reducao: Dados dois problemas A e B.Uma redução polinomial de A para B (notaçãoA % B) é um algoritmo polinomial que resolve A

utilizando B, onde cada chamada de B é contadocomo um passo de computação.



Definicao de reducao: Dados dois problemas A e B.Uma redução polinomial de A para B (notaçãoA % B) é um algoritmo polinomial que resolve A

utilizando B, onde cada chamada de B é contadocomo um passo de computação.

Exemplo: A seleção do k-ésimo mínimo pode serreduzido ao problema da ordenação.


Exemplo de redução

Problema 1: Sejam A = a1a2 . . . an e B = b1b2 . . . bnduas cadeias de caracteres. Determinar de B é umdeslocamento cíclico de A.




OBS: B é deslocamento cíclico de A & B ésubcadeia de AA.




OBS: B é deslocamento cíclico de A & B ésubcadeia de AA. Portanto, este problema podeser reduzido ao KMP .




OBS: B é deslocamento cíclico de A & B ésubcadeia de AA. Portanto, este problema podeser reduzido ao KMP .

Problema 1 % KMP


Redução

Observações: Suponha que A % B.

Se B ' P então A ' P.


Redução



Se B % C então A % C.


Redução



Se B % C então A % C.

A % B significa que B é pelo menos tão difícilquanto A.


Problemas NP -completos

Definicao: Um problema de decisão A éNP-completo se

A ' NP e

B % A, para todo B ' NP .


Problemas NP -completos

Definicao: Um problema de decisão A éNP-completo se

A ' NP e

B % A, para todo B ' NP .

Propriedade: Seja A um problema NP-completo eB ' NP . Se A % B então B é NP-completo.


Problema da satisfatibilidade (SAT)

Dada uma expressão lógica (boleana) na formanormal conjuntiva, existe uma atribuição de valores(V ou F ) para suas variáveis tal que o resultado daexpressão seja verdadeiro?

S = (x+ y + z).(x+ y + z).(x + y + z)


Problema da satisfatibilidade (SAT)

S. A. Cook (1971) e L. A. Levin (1973) provaram,independentemente, que SAT é um problemaNP-completo.

Teorema [Cook – Levin]: SAT é NP-completo.


Problema 3-SAT

Dada uma expressão lógica na forma normalconjuntiva onde cada cláusula contém 3 variáveis,existe uma atribuição de valores (V ou F ) para asvariáveis tal que o resultado da expressão sejaverdadeiro?

S = (x+ y + z).(x+ y + z).(x + y + z)


Problema 3-SAT

Teorema: 3-SAT é NP-completo.


Problema 3-SAT


Prova:

3-SAT ' NP (( )


Problema 3-SAT


Prova:

3-SAT ' NP (( )

SAT % 3-SAT


Problema 3-SAT


Prova:

3-SAT ' NP (( )

SAT % 3-SAT

Considere uma instância S do SAT. Vamosconstruir uma instância para 3-SAT da seguinteforma:


Problema 3-SAT

Seja C = (x1 + x2 + · · ·+ xk) uma cláusula do SAT.


Problema 3-SAT


se k = 1 (C = (x1)), fazemos

C ) = (x1+y+z).(x1+y+z).(x1+y+z).(x1+y+z)


Problema 3-SAT


se k = 1 (C = (x1)), fazemos

C ) = (x1+y+z).(x1+y+z).(x1+y+z).(x1+y+z)

se k = 2 (C = (x1 + x2)), fazemos

C ) = (x1 + x2 + z).(x1 + x2 + z)


Problema 3-SAT


se k # 4, construímos

C ) = (x1 + x2 + y1).(x3 + y1 + y2).(x4 + y2 + y3)...

(xk$2 + yk$4 + yk$3).(yk$3 + xk$1 + xk)


Problema 3-SAT


se k # 4, construímos

C ) = (x1 + x2 + y1).(x3 + y1 + y2).(x4 + y2 + y3)...

(xk$2 + yk$4 + yk$3).(yk$3 + xk$1 + xk)

Em cada caso, C é satisfatível& C ) é satisfatível.


Exercícios

1. Problema MAX-SAT: Dada uma expressãológica na forma normal conjuntiva, e um inteiroK, existe uma atribuição de valores para asvariáveis que satisfaz pelo menos K cláusulas?Mostre que MAX-SAT é NP-completo.

2. O que voce acha do problema 2-SAT? (Ele éNP-completo?)


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