analisa perpindahan pada struktur dengan · pdf filemekanika teknik 5 ... 5.3.3 latihan v - 10...
TRANSCRIPT
MEKANIKA TEKNIK 5
ANALISA PERPINDAHAN PADA STRUKTUR DENGAN EXCEL DAN
CALCULATOR
Pratikto, ST, MSi
Jurusan Teknik Sipil Politeknik Negeri Jakarta
NOPEMBER 2010
BUKU AJAR
ANALISA PERPINDAHAN PADA STRUKTUR DENGAN EXCEL DAN CALCULATOR
(Untuk Program Studi Teknik Konstruksi Gedung)
PRATIKTO NIP. 19610725 198903 1 002
JURUSAN TEKNIK SIPIL Didanai dengan DIPA PNJ Tahun 2010
POLITEKNIK NEGERI JAKARTA
NOPEMBER, 2010
LEMBAR PENGESAHAN
1. Judul : Metode Perpindahan dengan Excel dan Calculator
2. Penulis
a. Nama : PRATIKTO .ST, MsI.
b. NIP : 19610725 198903 1 002
c. Jenis kelamin : Laki-Laki
d. Golongan/pangkat : IV a
e. Jabatan Fungsional : Lektor
f. Mata Kuliah yang diampu
Semester gasal : Mekanika Teknik 5 : Kerja Proyek Perencanaan
Semester genap : Kontruksi Beton 1 ; Lab Uji Bahan
g. Jurusan/Program Studi : Teknik Sipil/Teknik Konstruksi Gedung
h. Alamat rumah : Jl. Kakap3 , P15 ; RT3/8 ; Mampang Indah I DEPOK 16433
Alamat email : [email protected] [email protected]
3. Jumlah Anggota : -
4. Lama kegiatan penulisan : 5 (Iima) bulan
5. Biaya yang diperlukan : Rp.3.500.000,- (Tiga Juta Lima Ratus Ribu Rupiah)
6. Sumber dana : DIPA PNJ 2010
Depok, 14 Juni, 2010
Menyetujui, Pelaksana
Ketua Program Studi,
A.Rudi Hermawan, ST,MT PRATIKTO., ST, MSi.
NIP.19660118 199011 1 001 NIP.19610725 198903 1 002
Mengetahui
Ketua Jurusan,
Sidiq Wacono, ST, MT.
NIP. 19640107 198803 1 001
PRAKATA
ALHAMDULILLAH, Segala puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang
Maha Esa, karena anugerah-Nya kami dapat menyelesaikan penulisan diktat ini
yang berjudul
“ ANALISA PERPINDAHAN PADA STRUKTUR DENGAN EXCEL DAN
CALCULATOR “ .
Tulisan ini membahas mengenai analisa struktur dengan menggunakan dengan
alat bantu hitung seperti komputer dengan lembar kerja microsoft office excel
ataupun kalkulator. Dasar teori metode perpindahan akan dibahas pada bab 2
yang akan dilanjutkan aplikasinya pada : Struktur rangka batang bab 3 dan Balok
baik statis tertentu ataupun statis tak tentu pada bab 4. Pada bab5 pembaca akan
diajak untuk mengaplikasikan pada portal bentuk sederhana yang terdiri dari
elemen struktur seperti balok dan kolom. Pada tahap ini diberikan tugas untuk
menyelesaikan struktur Portal bertingkat dengan bantuaan lembar kerja excel yang
terdapat pada komputer. Untuk bentuk yang tidak beraturan sepeti portal dengan
kaki miring dibahas pada bab 6. Masalah ini biasanya digunakan untuk
menganalisa struktur tangga 2 dimensi
Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sedalam-
dalamnya kepada semua pihak yang telah membantu penulisan ini terutama
kepada mahasiswa Jurusan Teknik Sipil Jurusan Teknik Sipil PNJ, yang telah
membantu kami dalam penyelesaian penelitian ini.
Kami menyadari bahwa penulisan laporan ini masih jauh dari sempurna,
maka kami mengharapkan kritik dan saran untuk perbaikan dimasa yang akan
datang.
Akhir kata penulis berharap semoga tulisan kami ini bermanfaat bagi
masyarakat..
penulis
DAFTAR ISI Halaman Sampul
Prakata
Daftar Isi
PENDAHULUAN
1.1 Gambaran Umum Mata Kuliah I-1
1.2 Hubungan Mata Kuliah dengan yang lain I-1
1.3 Tujuan Pembelajaran Umum I-2
1.4 Petunjuk Buku Ajar I-2
MODUL 1
DASAR METODE PERPINDAHAN
2.1 Pendahuluan II-1
2.2. Tujuan Pembelajaran Khusus II-3
2.3 Kegiatan Belajar II-3
2.3.1 Dasar Teori Perpindahan II-3
2.3.1.1 Pembagian elemen II-5
2.3.1.2 Beban Ekwivalen II-5
2.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan II-6
2.3.1.4 Solusi Persamaan Linear II-7
2.4 Rangkuman II-7
2.5 Daftar Pustaka II-8
MODUL 2
RANGKA BATANG
3.1 Pendahuluan III-1
3.2 Tujuan Pembelajaran Khusus III-1
3.3 Kegiatan Belajar III-2
3.3.1 Perpindahan Batang III-2
3.3.1.1 Matrik Deformasi dan Statis III-3
3.3.1.2 Beban Ekwivalen III-4
3.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan III-4
3.3.1.4 Solusi Persamaan Linear III-5
3.3.2 Latihan III-5
3.3.3 Tugas III-6
3.3.4 Evaluasi III-7
3.4 Rangkuman III-10
3.5 Daftar Pustaka III-11
MODUL 3
BALOK
4.1 Pendahuluan IV-1
4.2. Tujuan Pembelajaran Khusus IV-1
4.3 Kegiatan Belajar IV-1
4.3.1 Deformasi Balok IV-1
4.3.1.1 Pembagian elemen IV-3
4.3.1.2 Beban Ekwivalen IV-3
4.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan IV-5
4.3.1.4Momen Akhir IV-5
4.3.2 Latihan IV-6
4.3.3 Tugas IV-8
4.3.4 Evaluasi IV-8
4.4 Rangkuman IV-10
4.5 Daftar Pustaka IV-11
MODUL 4
PORTAL
5.1 Pendahuluan V - 1
5.2. Tujuan Pembelajaran Khusus V - 1
5.3 Kegiatan Belajar V - 2
5.3.1 Portal Tak Bergoyang V - 3
5.3.1.1 Pembagian elemen V - 3
5.3.1.2 Beban Ekwivalen V - 4
5.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan V - 4
5.3.1.4 Persamaan Linear V - 5
5.3.2 Portal Bergoyang V - 6
5.3.2.1 Pembagian elemen V - 7
5.3.2.2 Beban Ekwivalen V - 7
5.3.2.3 Pembentukan Matrik Kekakuan V - 8
5.3.2.4 Persamaan Linear V - 8
5.3.3 Latihan V - 10
5.3.4 Tugas V – 13
5.3.5 Evaluasi V - 15
5.4 Rangkuman V - 18
5.5 Daftar Pustaka V - 18
MODUL 5
PORTAL MIRING
6.1 Pendahuluan VI - 1
6.2. Tujuan Pembelajaran Khusus VI - 1
6.3 Kegiatan Belajar VI - 2
6.3.1 Deformasi Lentur Portal Miring VI - 3
6.3.1.1 Pembagian elemen VI - 3
6.3.1.2 Beban Ekwivalen VI - 4
6.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan VI - 4
6.3.1.4 Solusi Persamaan Linear VI - 4
6.3.2 Latihan VI - 5
6.3.3 Tugas VI - 13
6.3.4 Evaluasi VI - 13
6.4 Rangkuman VI - 18
6.5 Daftar Pustaka VI - 18
LAMPIRAN 1. Istilah
LAMPIRAN 2.Kalkulator CFX 9850 GB
LAMPIRAN 3.GBPP Mekanika Teknik 5
LAMPIRAN 4. Daftar Tabel dan Daftar Gambar
V - 1
MODUL 4
BAB V. PORTAL
5.1 Pendahuluan
Portal adalah bagian struktur dengan elemen yang berupa balok dan kolom
baik miring ataupun tegak. Portal yang akan dibahas pada bab ini adalah portal
dengan bentuk beraturan. Semakin banyak jumlah lantai – tingkat pada portal , hal
ini akan mengakibatkan semakin besar ukuran matrik pada lembar kerja excel.
Sebagai pengontrol dari ukuran matrik yang besar disarankan melakukan dengan
hati hati perhatikan untuk tidak terdapat sel kosong, ukuran matrik dan sifat
matrik. Bila salah satu sel terdapat angka yang aneh atau salah akan berkibat pada
hasil matrik berikutnya. Berbeda denga rangka batang yaitu yang hanya
mempunyai deformasi aksial , pada portal ini umumnya deformasi aksial
diabaikan dengan catatan bahwa nilainya sangat kecil sekali. Sehingga yang
terjadi pada konstruksi portal adalah deformasi anguler-sudut dan pergoyangan
horizontal. Kolom portal merupakan bagian yang utama didalam menganalisa
gaya horizontal. Untuk analisa portal dengan kolom yang miring akan dibahas
pada bab berikutnya. Perilaku untuk balok portal ini sama dengan balok yang
yang sudah dibahas pada bab sebelumnya. Bila posisi sumbu balok searah dengan
gravitasi maka dinamakan kolom sehingga perilakunya sama dengan balok
disertai pergoyangan pada arah tegak lurus sumbu balok.
.
5.2 Tujuan Pembelajaran Khusus
Tujuan pada bab ini adalah menganalisa portal sampai mendapatkan besarnya
gaya dalam baik momen , lintang ataupun normal. Menganalisa pergoyangan
portal dengan mencari deformasi putaran sudut pada kolom akibat pergoyangan.
Mengatur dan mengoperasikan analisa perhitungan matrik dengan ukuran ataupun
sejumlah data yang besar. Mengontrol hasil perhitungan portal berdasarkan
Kesetimbangan dan Kekakuan. Untuk masalah Kekuatan dipersilahkan meninjau
pada bab kekuatan bahan elemen.
V - 2
d1 d3
d2 d4
Putaran sudut : d1= d2 = Δ/L d3= d4 = Δ/L
5.3 Kegiatan Belajar
Perilaku untuk portal bertingkat sangat berbeda dengan struktur Rangka
Batang. Pada portal terdiri dari balok dan kolom sehingga deformasi untuk portal
ini terdiri dari balok dan kolom. Untuk balok sudah dibahas pada bab II yang
akan direview pada bab ini disertai dengan pembahasan deformasi untuk kolom.
Untuk balok :
d1 H1 H3 d3 d2-H2 d4 -H4
d1 = 1 unit H1=4EI/L ; H2=2EI/L
d1 d2 2EI/L
4EI/L
d2 = 1 unit H1=2EI/L ; H2= 4EI/L
d1 d2 4EI/L
2EI/L
Gambar 5.1 kekakuan elemen balok
Untuk Kolom merupakan kombinasi balok dan perpindahan horizontal atau
pergoyangan. Akibat pergeseran Δ= 1 unit akan mengakibatkan deformasi putaran
sudut d1 sebesar Δ/L ( kenapa?) d2 =d1. Untuk balok tidak ada perubahan akibat
axial deformasi
L
Gambar 5.2 Pergoyangan Portal
Δ Δ
V - 3
5.3.1 Portal Tak Bergoyang
Apakah yang dimaksud dengan struktur yang simetris? Struktur dikatakan
simetris bila seolah olah terdapat satu sumbu putar baik dari geometris struktur
ataupun beban yang bekerja. Pada portal yang simetris tidak akan terjadi
pergoyangan gambar 5.3 portal simetris.
Q=300 kg/m
B C given structure.
600kg 2EI 2m Draw the internal forces.
EI EI 600kg
3m
A D
5m
Gambar 5.3 portal simetris.
5.3.1.1 Pembagian elemen
Q1- D1 Q2-D2
2 kinematis 3 elemen
a) Diagram Q-D b) 3 elemen
H3-d3 H4- d4
H2 H5 d5 d2 d1-H1 H6-d6
c) Diagram Hd
Gambar 5.4 pembagian elemen.
V - 4
5.3.1.2 Beban Ekwivalen
1/12 q l2 = 1/12 300 52 = 625
P ab2 / L2 = 600 3 22 / 52 = 288
Q1 Q2
625 625 -193 +193
432 432
288 288
Gambar 5.5 Beban ekwivalen
{Q} = ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
193193
5.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan
Matrik Deformasi A dan Matrik Kekokohan S
D1 d3 d4 D2 d2 d5
Gambar 5.6 Matrik Deformasi
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
001010010100
A [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
5/45/200005/25/40000
005/85/400005/45/80000005/45/200005/25/4
S
V - 5
5.3.1.4 Persamaan Linear
[K] = [A]t [S][A] = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
6226
52EI
[K]-1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 62
26)436(2
5EI
{D} = [K]-1 {Q} = [K]-1⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
193193
= =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
21
DD
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
EIEI
8/9658/965
{H} = [S][A]{D} =
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
25.485.965.965.965.9625.48
654321
HHHHHH
{M}={H} –{FEM} =
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
75.2395.5285.528
5.5285.528
75.239
288432
625625
432.288
654321
HHHHHH
Perhatikan tanda pada matrik {M} bukan tanda untuk bidang momen
528.5 528.5
239.75 239.75
Free Body(exercise)
Gambar 5.7 Hasil gaya dalam moment
V - 6
528.5 720 239.75 Bidang Momen Bidang Lintang (exercise) Gambar 5.8 Bidang MDN
5.3.2 Portal Bergoyang
Pada umumnya struktur yang simetris banyak dijumpai pada peninjauan
akibat beban gravitasi dan tidak demikian untuk beban arah mendatar. Dengan ber
asumsi bahwa tidak terjadi perubahan panjang pada balok maka yang
mengandung perpindahan sudut atau putaran sudut hanya pada elemen kolom.
Mengenai besarnya sudut yang kecil ini secara matematis dapat dianggap sama
dengan besarnya tangen sudut tersebut.
P=1000 kg
B C given structure.
600kg 2EI 400kg Draw the internal forces.
EI EI 4m
A D 4m Gambar 5.9 illustrasi portal bergoyang
V - 7
5.3.2.1 Pembagian elemen
Q2-D2 Q3-D3 Q1- D1
3 kinematis 3 elemen
a) Diagram Q-D b) 3 elemen
H3-d3 H4- d4
H2 H5 d5 d2 d1-H1 H6-d6
c) Diagram Hd
Gambar 5.10 pembagian elemen.
5.3.2.2 Beban Ekwivalen
D1 Q2=-500 Q3=+500 D2 D3 500 500 Q1=1000
Restrained Fixed End Equivalent Structured Forces Forces D2 d3 d4 D3 D1=1 D1=1
d2 d5 d2 d5 d1 d1 d6
Gambar 5.11 Beban Ekwivalen
V - 8
5.3.2.3 Pembentukan Matrik Kekakuan
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
004/1104/1100010014/1004/1
A
[ ] EIS
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
4/44/24/24/4
4/84/44/44/8
4/44/24/24/4
H3-d3 H4- d4
H2 H5 d5 d2 d1-H1 H6-d6
Gambar 5.12 H-d Diagram
[K] = [A]t [S][A] = 2/624/3264/34/34/34/3
EI⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
5.3.2.4 Solusi Persamaan Linear
{D} = [K]-1 {Q} =
EIEI
/169.5769.55705.3282
500500
1000
1561
6315481563484848512
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
V - 9
{H} = [S][A]{D} =
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
92.120107.117307.67307.1173
07.67392.951
654321
HHHHHH
{M}={H} – {FEM} =
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+−
−
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
92.120107.117307.117307.673
07.67392.951
005005000.0
654321
HHHHHH
673.07 1173.07 1000
406.25 593.75 500 500 593.75
406.25 593.75 593.75 406.25 593.75 461.54
951.92 1201.92 93.75 1093.75
38.46 406.25 593.75961.54
Free Body
1173.07
673.07
1/4PL= 1000 951.92 1201.92 Bidang Momen Bidang Lintang n Normal (exercise)
Gambar 5.13 Diagram Gaya Dalam
V - 10
5.3.3 Latihan
GAMBAR kan DIAGRAM GAYA DALAM
40 kN
B 3EI C
7,5 m
1.2EI
2EI
D
2,5 m
A
10 m
H3-d3` H4- d4
H5 d5
H2 d2
H6-d6
H1 d1
Diagram H-d Diagram Q-D Gambar 5.14 Portal Beban Horizontal
Q1- D1
Q2- D2 Q3- D3
Q5- D5
Q4- D4
V - 11
1. Hitung jumlah dari Elemen = KINEMATIS = Ukuran {Q}, =
[A] , = [S] =
Solusi Pers. Linear [D] dan Gaya Dalam [H] Gambar Gaya Dalam
2. Perhitungan Q = A= 6*5 S = 6 x 6 K = At SA =
V - 12
3. Solusi
D =
4. Gaya Dalam Portal
{H} = SA D - M Primer H =
5. Gambar Gaya Dalam
-163,72 -177,2140
163,72177,21
0,00
0,00
-177,21
163,72
Gaya Dalam Momen
V - 13
5.3.4 Tugas
GAMBAR kan DIAGRAM GAYA DALAM
Fc' = 25 Mpa Fy = 400 Mpa kolom 400 400tinggi 4000 mm 4 m balok 400 600bentang 6000 7000 6000
_portal.xls/sheet1
Persiapkan Data perhitungan , Beban , dimensi , mutu bahan dsbnya.
Fc’ (Mpa) =
Fy (Mpa) =
Beban Q (DL) ; Q(LL) ; Q(EQ)
Dari dimensi untuk Inersia ( EI )
1. Hitung jumlah dari Elemen = ; KINEMATIS = Ukuran {Q}, =
[A] , = [S] =
Solusi Pers. Linear [D] dan Gaya Dalam [H] Gambar Gaya Dalam
Qdl 16 Qdl 13,2 Qdl 16Qll 10 Qll 10 Qll 10
40/604 40/40
Qdl 16 Qdl 13,2 Qdl 16Qll 10 Qll 8 Qll 10
40/60
4 40/40
6 7 6
V - 14
2. Perhitungan
Q = 14x1 A= 28x14 S = 28 x 28 K = At SA = 14x14
3. Solusi D = 14x1 Gaya Dalam Portal {H} = SA D - M Primer Gambar Gaya Dalam
V - 15
5.3.5 Evaluasi
DL LL HL DL LL HL DL LL HL DL LL HL DL LL HL1 30 0 8,138 18,731 30 -11,2692 10,83 0 0,301 9,875524 -30 39,8763 -10,83 0 -0,301 0,291871 40,83 -40,5384 -30 0 -8,138 -0,29187 -40,83 40,5385 30 0 6,263 -9,87552 30 -39,8766 10,83 0 0,723 -18,731 -30 11,2697 -10,83 0 -0,723 14,97134 30 -15,0298 -30 0 -6,263 8,711859 -30 38,712 0,0009 0 0 -3,131 0,701714 40,83 -40,128
10 0 0 -0,362 -0,70171 -40,83 40,12811 0 0 0,362 -8,71186 30 -38,71212 0 0 3,131 -14,9713 -30 15,02913 0 75 0,000 11,269 0 11,26914 0 50 0,000 10,33158 0 10,33215 0,662606 0 0,66316 0,873865 0 0,87417 -0,66261 0 -0,66318 -0,87387 0 -0,87419 -11,269 0 -11,26920 -10,3316 0 -10,33221 4,697083 0 4,69722 2E-15 0 0,00023 0,542562 0 0,54324 1,33E-15 0 0,00025 -0,54256 0 -0,54326 -1E-15 0 0,00027 -4,69708 0 -4,69728 2,22E-16 0 0,000
Q beban kerja DEFORMASI ( D ) H = SA * D F E M ( M Primer ) M AKHIR
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 141 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 05 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 06 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 07 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 09 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 011 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 012 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 013 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,25 0,2514 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -0,25 0,2515 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,25 0,2516 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -0,25 0,2517 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,25 0,2518 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -0,25 0,2519 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,25 0,2520 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -0,25 0,2521 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,2522 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -0,2523 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -0,2524 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -0,2525 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -0,2526 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -0,2527 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -0,2528 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -0,25
A
Q1-D1 Q2-D2 Q3-D3 Q4-D4 Q13-D13 H1 H2 H3 H4 H5 H6
13 15 17 19Q5-D5 Q6-D6 Q7-D7 Q8-D8 14 16 18 20
Q14-D14 H7 H8 H9 H10 H11 H12
Q9-D9 Q10-D10 Q11-D11 Q12-D12 21 23 25 2722 24 26 28
DIAGRAM Q - D DIAGRAM H - d
V - 16
Matrik S
Matrik K
Gaya Dalam Portal {H} = SA D - M Primer
Lihat tabel diatas
Gambar Gaya Dalam MDN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 141 3,26 1,13 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0 0 -0,375 0,3752 1,13 5,2 0,97 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0 -0,375 0,3753 0 0,97 5,2 1,13 0 0 0,5 0 0 0 0 0 -0,375 0,3754 0 0 1,13 3,26 0 0 0 0,5 0 0 0 0 -0,375 0,3755 0,5 0 0 0 4,26 1,13 0 0 0,5 0 0 0 -0,375 06 0 0,5 0 0 1,13 6,2 0,97 0 0 0,5 0 0 -0,375 07 0 0 0,5 0 0 0,97 6,2 1,13 0 0 0,5 0 -0,375 08 0 0 0 0,5 0 0 1,13 4,26 0 0 0 0,5 -0,375 09 0 0 0 0 0,5 0 0 0 1 0 0 0 0 -0,375
10 0 0 0 0 0 0,5 0 0 0 1 0 0 0 -0,37511 0 0 0 0 0 0 0,5 0 0 0 1 0 0 -0,37512 0 0 0 0 0 0 0 0,5 0 0 0 1 0 -0,37513 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 0 0 0 0 0,75 -0,7514 0,375 0,375 0,375 0,375 0 0 0 0 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 -0,75 1,5
K =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 281 2,26 1,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 1,13 2,26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 0 0 1,94 0,97 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0,97 1,94 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 05 0 0 0 0 2,26 1,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 06 0 0 0 0 1,13 2,26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 07 0 0 0 0 0 0 2,26 1,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 1,13 2,26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 09 0 0 0 0 0 0 0 0 1,94 0,97 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0,97 1,94 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 011 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2,26 1,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 012 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,13 2,26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 013 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 014 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 015 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 016 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 017 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 018 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 019 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 020 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0 0 0 0 021 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0 0 022 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0 0 023 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 024 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 025 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 026 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 027 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,528 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1
S
V - 17
Bidang Momen
Bidang Lintang
Bidang Normal
V - 18
5.4 Rangkuman
Secara garis besarnya , langkah2 metode ini adalah :
1. Memilih elemen-elemen dan menentukan kinematis struktur D
Untuk pergoyangan portal mempunyai kinematis tersendiri.
2. Buat Diagram Q-D dan H-d dan tentukan arah positip
Gunakan penomoran yang mudah untuk di kontrol
3. Tentukan matrik A , S dan Q
4. Perhitungan matrik [K] , [K]-1 dan {D}
5. Matrik gaya dalam [H} = [SA] {D}.
6. Gaya Dalam = {H} - M Primer
7. Gambar gaya dalam M, D, N. Ingat tanda positip yang dipakai
5.5 Daftar Pustaka
1. Supartono F.X, dan Boen T ; Analisa Struktur dengan Metode
Matrix, Fakultas Teknik universitas Indonesia, UI Press, 1984
2. Wang , C.K : “ Matrix methods of Structural Analysisa” Scrantons
International Text Book Co., 1986
VI - 1
MODUL 5
BAB VI. PORTAL MIRING
6.1 Pendahuluan
Portal adalah bagian struktur dengan elemen yang berupa balok dan kolom
baik miring ataupun tegak. Semakin banyak jumlah kinematis pada portal , hal ini
akan mengakibatkan semakin besar ukuran matrik pada lembar kerja excel.
Sebagai pengontrol dari ukuran matrik yang besar disarankan melakukan dengan
hati hati perhatikan untuk tidak terdapat sel kosong, ukuran matrik dan sifat
matrik. Bila salah satu sel terdapat angka yang aneh atau salah akan berkibat pada
hasil matrik berikutnya. Pada rangka batang yaitu yang hanya mempunyai
deformasi aksial dan portal biasa dengan deformasi lentur dimana deformasi
aksial diabaikan dengan catatan bahwa nilainya sangat kecil sekali. Pada Portal
miring akibat pergoyangan , geometris elemen mengakibatkan komponen
horizontal harus diperhatikan sehubungan dengan panjang elemen yang tidak
berubah. Sehingga yang terjadi pada konstruksi portal adalah deformasi anguler-
sudut dan pergoyangan horizontal dan untuk portal miring pergoyangan translasi
yang terjadi diurai menjadi komponen yang horizontal dan vertikal.
Beberapa contoh aplikasi portal miring pada bangunan teknik sipil adalah :
rangka atap , tangga dansebagainya. Untuk rangka atap bangunan yang
menggunakan bentang panjang dengan profil baja umumnya disebut sebagai
Gable-frame . Pengaruh dari elemen struktur yang miring , baik kolom atao balok
akan mengakibatkan translasi yang mempunyai dua komponen yaitu : vertikal
dan mendatar.
.
6.2 Tujuan Pembelajaran Khusus
Tujuan pada bab ini adalah menganalisa portal miring sampai mendapatkan
besarnya gaya dalam baik momen , lintang ataupun normal dari portal miring.
Menganalisa pergoyangan portal miring dengan mencari deformasi putaran sudut
pada kolom akibat pergoyangan yang mempunyai dua komponen vertikal dan
VI - 2
horizontal . Mengatur dan mengoperasikan analisa perhitungan matrik dengan
ukuran ataupun sejumlah data yang besar. Mengontrol hasil perhitungan portal
miring berdasarkan Kesetimbangan dan Kekakuan.
6.3 Kegiatan Belajar
Perilaku untuk portal bertingkat sangat berbeda dengan struktur Rangka
Batang. Pada portal terdiri dari balok dan kolom sehingga deformasi untuk portal
ini terdiri dari balok dan kolom. Perbedaan dari portal miring dengan portal biasa
adalah komponen yang mendatar dan vertikal dari pergoyangan atau translasi
portal. Untuk balok sudah dibahas pada bab II yang akan direview pada bab ini
disertai dengan pembahasan deformasi untuk kolom.
Untuk balok :
d1 H1 H3 d3 d2-H2 d4 -H4
d1 = 1 unit H1=4EI/L ; H2=2EI/L
d1 d2 2EI/L
4EI/L
d2 = 1 unit H1=2EI/L ; H2= 4EI/L
d1 d2 4EI/L
2EI/L
gambar 6.1 kekakuan elemen balok
Untuk Kolom merupakan kombinasi balok dan perpindahan horizontal atau
pergoyangan. Akibat pergeseran Δ= 1 unit akan mengakibatkan deformasi putaran
sudut d1 sebesar Δ/L ( kenapa?) d2 =d1. Untuk balok tidak ada perubahan akibat
axial deformasi tetapi translasi arah vertikal. Bedakan antara deformasi axial (
VI - 3
d1 d3
d2 d4
Putaran sudut : d1= d2 = Δ/L d3= d4 = Δ/L
perubahan) dengan translasi ( pergeseran) . Besarnya sudut adalah Δ/L dengan
catatan bahwa Δ adalah komponen yang tegak lurus dengan sumbu elemen ,balok.
L
gambar 6.2 Pergoyangan Portal
6.3.1. Deformasi Lentur Portal Miring
perhatikan
1. Translasi 2. Tidak ada axial deformasi
gambar 6.3 Pergoyangan Portal Miring
6.3.1.1 Pembagian elemen
Q1- D1 Q2-D2
3 kinematis 3 elemen
a) Diagram Q-D b) 3 elemen
H3-d3 H4- d4
H2 H5 d5 d2 d1-H1 H6-d6
c) Diagram Hd
Gambar 6.4 pembagian elemen.
Δ Δ
VI - 4
6.3.1.2 Beban Ekwivalen
P ab2 / L2 = 1/8 PL = 500
Q1 Q2 600 600
Gambar 6.5 Beban ekwivalen
6.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan
Matrik Deformasi A dan Matrik Kekokohan S
D1 d3 d4 D2 D3 d2 d5
Gambar 6.6 Matrik Deformasi
Perhatikan untuk balok ataupun kolom miring tidak mengalami perubahan panjang hanya pergeseran. Garis tegak lurus tidak merubah panjang elemen.
6.3.1.4 Persamaan Linear
[K] = [A]t [S][A] = {D} = [K]-1 {Q} =
{H} = [S][A]{D} =
{M}={H} – {FEM} =
VI - 5
6.3.2 LATIHAN
(1) Portal dengan Kaki Miring
P=1000 kg
C 400kg D given structure.
600kg 2EI 400kg 3m Draw the internal forces.
EI EI α
B 1m
A
1m 4m 4m
Gambar 6.7 soal latih
Q3- D3 Q2-D2 Q1- D1
3 kinematis 3 elemen
b) Diagram Q-D b) 3 elemen
Gambar 6.8 Elemen dan Diagram Kinematis
H3-d3 H4- d4
H5 d5 H2 d2 H1-d1 H6-d6
Gambar 6.9 Diagram H-d
Asumsi arah positip
VI - 6
-100 500 333.33
400 500 500
500 500
666.66
500 833.33
600+400-666.66=333.33
Gambar 6.10 matrik gaya Q
[ ] { }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=500100
333.34Q EI;
4/52/52/54/5
8/44/44/48/4
4/42/42/44/4
s
D1
D2 d3 d4 D3 D1=1
d2 d5 d2 d5
d6
d1 d1 α
3 α 5 5/3 4/3
4 D1
Gambar 6.11 pembentukan matrik A
VI - 7
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
00?10?10?01?014/1004/1
A [K] = [A]t [S][A] = 2/EIxxxxxx
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
[K] = EI⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
8,2136,625,077,1
{ } [ ] { }EI
QKD 1
152.28421.3883.427
1
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−== − ;
{H}=[S][A]{D}=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
284.79398.45101.56
221.5121.5
140.97
H6H5H4H3H2H1
{M}={H} –{FEM} =
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+−
−
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
79.28444.39844.398
48.2785.121
973.140
005005000.0
654321
HHHHHH
Perhatikan tanda positif dan negatif
4/3 4 4/3 4 5/3 5 5/3 5
VI - 8
400 278.5 398.44
121.53
284.79
140.97
400 kg 1000 kg 600 600 400 470 534.38 534.38 530 400
934.38
470 530
65.62
934.38
530
65.62
870
Gambar 6.12 FREE BODY Portal Miring
VI - 9
(2) Gable frame
10m
80B C D
15m
A
2 x 15m E
Q2-D2Q5-D5
Q1-D1Q4-D4
Q3-D3
DIAGRAM Q-D KINEMATIS
H4-d4 H5-d5
H6-d6
H3-d3H7-d7
H2-d2
H8-d8H1-d1
DIAGRAM H-d
VI - 10
Menentukan matrik Q
Menentukan matrik A
BCD ΣMD = 080 VB = 80*( 15+7.5)/30 = 60
VC = 80-60 = 2020
30 BC ΣMC = 0HB = ( 80*7.5 - 60*15 ) / 10
60 30 20 HB = 3080
-30-30
6030
Perhitungan gaya Q
2α
1
α1
2α
1
2αα
1
VI - 11
A = D1 D2 D3 D4 D5d1 0 0 0 -0,0667 0
d2 1 0 0 -0,0667 0d3 1 0 0 0,0500 -0,0500d4 0 1 0 0,0500 -0,0500d5 0 1 0 -0,0500 0,0500d6 0 0 1 -0,0500 0,0500d7 0 0 1 0,00 -0,0667d8 0 0 0 0,00 -0,0667
S = 0,2667 0,1333 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000,1333 0,2667 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,4444 0,2222 0,00 0,00 0,00 0,000,00 0,00 0,2222 0,4444 0,00 0,00 0,00 0,000,00 0,00 0,00 0,00 0,4444 0,2222 0,00 0,000,00 0,00 0,00 0,00 0,2222 0,4444 0,00 0,000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,2667 0,13330,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,1333 0,2667
Q = 150-150
0-3030
Kinv 2,06 -0,63 0,44 7,45 11,30-0,63 1,44 -0,63 -4,69 -4,690,44 -0,63 2,06 11,30 7,457,45 -4,69 11,30 245,09 176,78
11,30 -4,69 7,45 176,78 245,09
K = 0,7111 0,2222 0,0000 0,0067 -0,03330,2222 0,8889 0,2222 0,0000 0,00000,0000 0,2222 0,7111 -0,0333 0,00670,0067 0,0000 -0,0333 0,0102 -0,0067
-0,0333 0,0000 0,0067 -0,0067 0,0102
SA*D FEM M akhirD1 5,182E+02 H1 75,18 0 75,18D2 -3,094E+02 H2 144,27 0 144,27D3 4,430E+01 H3 5,73 -150 -144,27D4 -2,281E+02 H4 -178,18 150 -28,18D5 4,447E+03 H5 28,18 0 28,18
H6 106,77 0 106,77H7 -106,77 0 -106,77H8 -112,68 0 -112,68
VI - 12
80 80,0040,009,00
61,25 -28,18 9,7518,75
-144,27 11,50 -106,77144,27 40,00
9,7575,18 61,25 -112,68
14,63 -14,63
FREE BODY
-28,18Gambar Gaya Dalam :Momen :
-144,27
180-106,77
-144,27-106,77
-75,18 -112,68
Lintang :
VI - 13
6.3.3 Tugas
6.3.4 Evaluasi
Beban (1) Beban (2)
0C
100 2 2
DB
1015 1 1
E
A15 15
{ Q }10
187,50
-187,50
-112,5112,5
10
10
187,5 -187,5 187,5 -187,5 112,5 -112,5 15 15 112,5 -112,5150 150
187,5 -187,5
-112,5 112,5
{ Q }20,00
-197,92-83,33
00
15025,00
VI - 14
10Hc+15Vc-q*(10/2)=010Hc-15Vc = 0Hc = q*(10/2)/20
-83,33 -25 25100
83,33 -75 -150 -25,00-75 150 25,00
-281,25150
0 -7575
10010
-25 MENCARI MATRIK GAYA LUAR-16,67 15 15 16,67 { Q } 7x1
A 1 0 0 0 0 -0,0667 00 1 0 0 0 -0,0667 00 1 0 0 0 0,0500 -0,05000 0 1 0 0 0,0500 -0,05000 0 1 0 0 -0,0500 0,05000 0 0 1 0 -0,0500 0,05000 0 0 1 0 0,00 -0,10000 0 0 0 1 0,00 -0,1000
S 0,2667 0,1333 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000,1333 0,2667 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,4444 0,2222 0,00 0,00 0,00 0,000,00 0,00 0,2222 0,4444 0,00 0,00 0,00 0,000,00 0,00 0,00 0,00 0,4444 0,2222 0,00 0,000,00 0,00 0,00 0,00 0,2222 0,4444 0,00 0,000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,4000 0,20000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,2000 0,4000
K 0,267 0,133 0,000 0,000 0,000 0,027 0,0000,133 0,711 0,222 0,000 0,000 0,007 0,0330,000 0,222 0,889 0,222 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,222 0,844 0,200 0,033 0,0270,000 0,000 0,000 0,200 0,400 0,000 0,0600,027 0,007 0,000 0,033 0,000 0,010 0,0070,000 0,033 0,000 0,027 0,060 0,007 0,019
K in 10,242 0,396 0,605 2,815 4,753 62,942 41,0710,396 2,197 0,664 0,458 1,610 7,020 12,2580,605 0,664 1,498 0,829 0,855 9,364 8,4602,815 0,458 0,829 2,857 1,809 30,437 21,5834,753 1,610 0,855 1,809 10,412 55,582 58,778
62,942 7,020 9,364 30,437 55,582 664,523 472,00241,071 12,258 8,460 21,583 58,778 472,002 463,795
VI - 15
D(Q1) H=SAxD Mprimer M akh-3062,65 0,00 0 0,00
915,45 530,41 0 530,41132,60 -342,91 187,50 -530,41
-1445,87 -516,88 -187,50 -329,38322,18 516,88 187,50 329,38
-26049,19 166,11 -187,50 353,61-2671,71 -353,61 0 -353,61
0,00 0 0,00
Q3 - D3 Q4 - D4Q7-D7
Q6-D6 Q2 - D2
Q1 - D1 Q5 - D5
KINEMATIS ( 7 )
2α
1
α1
2α
1
2αα
1
VI - 16
Beban (2)
-329,38329,38
-530,41 353,61530,41
-353,61
-35,3608847515 15
35,360885
57,32 45,5323,57 23,5775,00 75,00
155,89 144,11
35,36088475300
-35,36088475
35,36
D(Q2)10596,97 0,00 0 0,00
979,95 -1282,27 -281,25 -1001,02-1609,63 1084,35 83,33 1001,025083,56 508,89 -83,33 592,229559,33 -592,22 0 -592,22
110869,47 895,15 0 895,1580674,11 -895,15 0 -895,15
VI - 17
592,22 -592,22
10010
1001,02 895,15-1001,02 10,48 -895,15
250 66,73-75 10
15 18,75150 15 15 -89,52
-160,48 -250,00OK ?
59,6820,20
-281,25 79,8779,87
-106,2233,33-6,99
-18,75 -79,87dari M Primer
-159,32 89,52 -89,52100 -30,29
-10,48 30,29 -59,22-10,48 159,32 89,52
-75 10,48 148,84
150-89,52
-75-160,48
30,72 -30,7257,83 -3,61-27,11 -27,11
-40,67 -40,67
352,46 -352,46 10515,02 406,65-515,02 -406,65
1015015 -150,00 -40,67
-109,3315 15
30,72 -30,72
VI - 18
6.4 Rangkuman
Secara garis besarnya , langkah2 metode ini adalah :
1. Memilih elemen-elemen dan menentukan kinematis struktur D
2. Buat Diagram Q-D dan H-d dan tentukan arah positip
3. Tentukan matrik A , S dan Q
Ingat bahwa deformasi arah aksial tidak ada.
Gaya Q adalah Gaya Aksi bukan Reaksi
4. Perhitungan matrik [K] , [K]-1 dan {D}
5. Matrik gaya dalam [H} = [SA] {D}.
6. Gaya Dalam = {H} - M Primer
7. Gambar gaya dalam M, D, N. Ingat perjanjian tanda yang dipakai
6.5 Daftar Pustaka
1. Supartono F.X, dan Boen T ; Analisa Struktur dengan Metode
Matrix, Fakultas Teknik universitas Indonesia, UI Press, 1984
2. Wang , C.K : “ Matrix methods of Structural Analysisa” Scrantons
International Text Book Co., 1986
L I - 1
LAMPIRAN I.
BEBERAPA ISTILAH I. 1. Deformasi
Bila suatu struktur diberi beban, maka struktur tersebut (batang) akan mengalami
deformasi yaitu perubahan bentuk yang kecil, sehingga setiap titik2 pada struktur
akan berpindah ke posisi yang baru perpindahan akan terjadi pada umunya untuk
struktur kecuali pada tumpuan yang tidak dapat bergerak. Perpindahan merupakan
hal penting dalam analisa struktur.
Gambar L.1
Sebagai contoh diambil suatu
potongan elemen dari batang
stryktur rangka berbentuk lingkaran
panjangnya dx
Gaya2 yang bekerja adalah
NX = gaya axsial
Vy & Vz = gaya geser
My & Mz = momen lentur
T adalah forsi
Deformasi yang terjadi pada
penampung dx adalah deformasi
axial, geser lentur dan torsi seperti
diperlihatkan pada gambar (2).
Adapun material bahan yang
digunakan mengikuti Hukum Hooke
yang elastis linier.
Perpindahan (displacement) suatu struktur ditimbulkan oleh gabungan
pengaruh deformasi seluruh elemen. Dalam menentukan perpindahan suatu struktur
L I - 2
tidak semua jenis deformasi berpengaruh besar dan mungkin bias diabaikan.Pada
balok deformasi lentur biasanya merupakan satu-satunyayang terpentuing dai pada
deformasi axial yang biasanya diabaikan.
Untuk jenis struktur rangka batang, maka titik kumpul rangka dianggap
sebagai sendi dan semua beban bekerja pada titik kumpul, sehingga analisanya hanya
melibatkan deformasi axial batang. Jika terdapat beban di antara titik kumpul, maka
beban ini dipindahkan pada titik kumpul seperti analisa balok ber tumpuan
sederhana.
Pada portal bidang deformasi yangb berpengaruh adalah akibat lenturan dan
gaya axial. Pada balok silang deformasi lentur selalu penting dan deformasi punter
kadang kala turut diperhitungkan. Tergantung pada penampung yang digunakan, jika
penampung tersebut adalah berdendeng tipis seperti balok I, maka batang akan
sangat fleksibel terhadap punter dan tidak mengalami gaya punter yang besar.
Portal ruang merupakan jenis struktur rangka yang paling umum dlm
geometrid an pembebanannya. Oleh karena itu deformasi axial, lentur dan punter
mungkin seluruhnya perlu diperhitungkan tergantung jenis struktur dan bebannya.
Untuk deformasi geser pada struktur rangka biasanya sangat kecil, sehingga jarang
ditinjau dalam analisa.
I. 2. Aksi dan Perpindahan
Untuk menerangkan konsep dasar pada analisa struktur ada istilah yang akan
digunakan seperti AKSI dan PERPINDAHAN. AKSI atau gaya dapat berupa gaya
atau momen kopel ataupun gabungan keduanya. Selain Aksi luar pada struktur Aksi
dalam juga perlu ditinjau sebagai contoh adalah resultan distribusi tegangan akibat
momen lentur, gaya geser, gaya axial ataupun momen puntir.
Konsep dasar yang lain adalah perpindahan yang umunya berupa translasi atau rotasi
di titik struktur. Transaksi menun jukkan adanya pergerakan, sedangkan rotasi
menyatakan sudut perputaran antara garis singgung kurva elastis dengan posisi
semula.
L I - 3
Dalam analisa struktur kita sering dijumpai aksi dan perpindahan yang paling sesuai
dengan momen kopel ialah rotasi putaran sudut.
L/2 L/2
A1
A B D31
D11 D21
A2
A B D32
D12 D22
A B D33
D13 D23
gambar L.2
Contoh:
Notasi A dipakai untuk aksi gaya dan D
untuk perpindahan.
Pada gambar L2 terdapat aksi A1, A2 dan
A3
Perpindahan yang terjadi :
A1→ D1 (translasi) D11 D21 D31
A2→ D2 (translasi) D12 D22 D32
A3→ D3 (rotasi) D13 D23 D33
Perhatikan subscript yang dipakai
Perpindahan balok atas seluruh beban
D1 = D11 + D12 + D13
D2 = D 21 + D22 + D23
D3 = D 31 + D32 + D33
Penjumlahan ini adalah prinsip superposisi
yang dibahas lebih lanjut.
I. 3. Keseimbanan dan Kesesuaian
Tujuan analisa struktur di antaranya adalah menentukan berbagai aksi pada struktur
seperti reaksi tumpuan dari resultan tegangan, momen lentur, geser dan sebagainya.
Penyelesaian ini harus memenuhi syarat keseimbangan statis begitu juga pada bagian
struktur yang dianalisa sebagai benda bebas free body.
L I - 4
Enam buah persamaan yang terdapat pada keseimbangan statis dalamnya dimensi
adalah:
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣFz = 0 vektor gaya
ΣMx = 0 ΣMy = 0 ΣMz = 0 momen terhadap sumbu x, y, z
Persamaan ini dapat dideduksi, apabila digunakan pada permasalahan struktur dalam
1 bidang. Dengan menganggap gaya terletak pada bidang x – y maka persamaan
menjadi ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣMz = 0
Selain keseimbangan statis maka seluruh syarat kesesuaian harus terpenuhi dalam
analisa struktur. Syarat ini juga disebut syarat geometris karena harus menyatakan
kontinuitas perpindahan di seluruh bagian struktur.
Sebagai contoh adalah titik tumpuan jepit, harus dipenuhi kesesuaian perpindahan
dengan kondisi tumpuan yaitu tidak terjadi tranlasi dan rotasi terhadap sumbu
batang. Pada sambungan yang kaku antara dua batang maka perpindahan yang
terjadi (tranlasi dan rotasi) harus sama bila ditinjau per batang secara terpisah.
I. 4. Ketidaktentuan Statis dan Kinematis
Ketidaktentuan suatu struktur tergantung pada yang ditinjau aksi atau perpindahan.
Ketidaktentuan menunjukkan kelebihan aksi yang tidak diketahui terhadap jumlah
persamaan keseimbangan statis.
Jika persamaan keseimbangan cukup untuk menentukan aksi maka struktur bersifat
statis tertentu. Sebaliknya bila tidak dapat diselesaikan dengan persamaan
keseimbangan maka struktur mempunyai sifat statis tak tentu.
Gambar L3
Ketidaktentuan statis berderajad 3 ada
6 reaksi yang harus dicari
L I - 5
Ketidaktentuan statis bisa dibedakan atas ketidaktentuan luar dan dalam. Bila
berhubungan dengan reaksi struktur maka termasuk pada ketidaktentuan statis luar.
Sebagai contoh adalah struktur ruang mempunyai 6 buah persamaan dan untuk
struktur bidang mempunyai 3 buah persamaan. Apabila lebih di jumlah persamaan
keseimbangan statis, maka disebut bersifat statis tak tentu luar.
Ketidaktentuan statis dalam berhubungan dengan perhitungan resultan tegangan
dalam struktur dengan anggapan semua reaksi telah ditentukan sebelumnya.
Gambar L4
Ketidaktentuan statis luar adalah
bersifat statis tertentu untuk
ketidaktentuan statis dalam berdenyut-
denyut karena 2j – m = 3 yaitu 2 x 6 –
11 = 1. Ada dua batang yang
dipenggal artinya dengan melepas 2
gaya pada rangka batang, maka
struktur menjadi statis tertentu.
Jenis ketidaktentuan yang lain adalah ketidaktentuan kenematis yaitu yang
bertentangan dengan perpindahan titik kempul yang tidak diketahui. Pada struktur
rangka titik kempul dapat berupa perteman dua batang atau lebih, titik tumpuan dan
ujung bebas. Titik kumpul dapat mengalami transaksi atau rotasi.
A B
Gambar L5
Titik A terjepit tidak mengalami
perpindahan, sedangkan titik B
memiliki 2 perpindahan ber rotasi dan
bergeser.
L I - 6
Ketidaktentuan kenematis balok AB berderajat dua dan 2 perpindahan titik kempul
ini harus dihitung dalam analisa balok. Apabila deformasi axial balok diabaikan,
maka titik B hanya berrotasi, sehingga balok ini sebagai struktur dengan 1 derajat
ketidaktentuan kenematis.
D A
E B
F C
Gambar L6
Rangka batang statis tak tentu
berderajat 2 titik A, B, D dan E
mempunyai dua derajat kebebasan
masing-masing (translasi dalam 2 arah
tegak lurus). Titik c dan f masing-
masing adalah nol dan satu derajat
kebebasan. Jadi rangka batang
mempunyai 9 derajat kebebasan untuk
translasi titik kempul dan
ketidaktentuan kenematisnya
berderajat 9.
Untuk menentukan ketidaktentuan statis dan kenematis, maka ada aturan yang dapat
dipakai seperti.
I. Tentukan jumlah kelebihan gaya. Hitung jumlah pelepasan yang
diperlukan agar struktur menjadi statis tertentu.
II. Tentukan jumlah derajat kebebasan titik kempul. Hitung jumlah
pengembangan titik kempul yang diberikan agar struktur menjadi
kenematis tertentu tidak ada perpindahan titik kempul.
L I - 7
I. 5 Stabilitas
Pada pembahasan derajat kebebasan terlihat bahwa, apabila jumlah reaksi melebihi
jumlah persamaan, maka struktur bersifat statis taktentu luar. Dan jika jumlah ini
sama, maka struktur statis tertentu luar. Hal ini berlaku, bahwa struktur tidak akan
bergerak, apabila beban diberikan pada struktur tersebut.
Gambar L7
Pada contoh balok di atas 3 tumpuan
roller terdapat 3 reaksi yang sama
jumlahnya dengan persamaan
keseimbangan statis untuk gaya
perbidang.
Akan tetapi jelas bahwa balok akan bergerak ke kiri apabila beban dan yang mirin g
diberikan. Jenis struktur ini dikatakan bersifat tidak stabil.
Gambar L8 Struktur pada gambar L8 dikatakan
tidak stabil karena garis kerja gaya dan
tidak melalui 3 gaya reaksi yang
konkuren.
Jadi selain jumlah tumpuan struktur struktur yang cukup, maka tata letaknya harus
menjamin agar struktur tidak tidak dapat bergerak.
I. 6. Superposisi
Pada suatu struktur akan terdapat besaran aksi gaya dan perpindahan yang tertentu.
Aksi dan perpindahan ini menimbulkan aksi perpindahan lainnya pada struktur. Aksi
perpindahan semula merupakan penyebab, sedangkan yang terakhir adalah pengaruh.
Secara umum, nahwa pengaruh yang ditimbulkan oleh sejumlah penyebab dapat
diperoleh dengan menggabungkan pengaruh setiap penyebabnya.
L I - 8
A2 Mb
A1
Ra Rb
A1 M’b
R’a D’ R’b
M”b
R”a D” R”b
Gambar L9
Dari prinsip superposisi bahwa akibat
aksi dan perpibndahan A1 dan A2
dapat ditinjau secara terpisah.
RA = RA’ + RA”
RB = RB + MB”
MD = MB’ + MB”
D = D’ + D”
Prinsip superposisi ini hanya berlaku, apabila hubungan antara aksi dan perpindahan
pada struktur b ersifat linear. Hal ini terjadi apabila syarat-syarat b erikut terpenuhi:
(struktur elstis linear).
1. Bahan struktur mengikuti hokum Hooke
2. Perpindahan struktur kecil (small deflection)
3. Tidak ada interaksi antara pengaruh axial dan lentur.
I. 7. Matrik Kekakuan
Hubungan antara aksi dan perpindahan berperan penting dalam analisa struktur dan
digunakan dalam metode kekakuan. Untuk menyatakan hubungan aksi dan
perpindahan ialah dengan persamaan aksi dan perpindahan.
L I - 9
Sebagai contoh:
A
D’
Gambar L10
Aksi A yang b ekerja pada balok me
nimbulkan perpindahan D. Hubungan A
dan D ini dapat dengan beban sebagai:
A = S D
Di mana S adalah kekakuan yang didefinisikan sebagai aksi yang dikukuhkan untuk
menimbulkan perpindahan satu unit. Satuannya adalah gaya persatuan panjang.
Untuk keadaan yang lebih umum :
A1 A2 A3
a)
b) D1 D2 D3 1
c) S31
S11 S21
d) 1
S12 S22 S32
e) S13 S23 S33 1
Gambar L11
a Dalam gambar diperlihatkan
perpindahan balok yang selaras
A1,A2 dan A3. Dari superposisi
didapatkan :
D1 = D11 + D12 + D13
D11 : perpindahan yang selaras A1 diakibatkan oleh A1
D12 : perpindahan yang selaras A1 diakibatkan oleh A2
D13 : perpindahan yang selaras A1 diakibatkan oleh A3
Analog untuk D2 dan D3
D11 : perpindahan yang selaras A2
diakibatkan oleh A2 dst.
Persamaan aksi:
A1 : S11 D1 + S12 D2 + S13 D3
A2 : S2 D1 + S22 D2 + S23 D3
A3 : S31 D1 + S32 D2 + S23 D3
L I - 10
Di mana:
S adalah koefisien kekakuan yang menyatakan aksi akibat perpindahan satu
satuan.
S11 : aksi yang selaras dengan A1 bila satu satuan perpindfahan D1 diberikan
sementara perpindahan yang lain = 0 dan seterusnya.
Arah setiap koefisien kekakuan yang diperlihatkan dianggap positif, apabila searah
dengan aksi yang selaras. Persamaan aksi untuk struktur dengan n buah aksi adalah:
A1 : S11 D1 + S12 D2 + S13 D3
A2 : S21 D1 + S22 D2 + S23 D3
- - -
An : Sn D1 + S31 D2 + S33 D3
Dalam balok matrik
[ ] [ ][ ]DSAatau
Dn
DD
SnnSnSn
nSSSnSSS
An
AA
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
..21
..21........2..22211..1211
..21
Dimana A = Matrik aksi berukuran n x 1
D = Matrik perpindahan berukuran n x 1
S = Matrik kekakuan berukuran n x n
Koefisien kekakuan Sij didefibnisikan sebagai aksi ke – i akibat satu satuan
perpindahan ke- j sementara petrpindahan lainnya adalah nol.
I. 8. Beban Ekivalent
Analisa struktur mengharuskan struktur hanya memikul beban yang bekerja pada
titik kempul. Sebenarnya beban yang bekerja pada struktur tidak memenuhi syarat
tersebut. Agar supaya syarat terpenuhi beban pada batang harus diganti dengan
beban ekivalen pada titik kem pul. Beban ekivalen ini sedemikian rupa, sehingga
L I - 11
perpindahan struktur yang ditimbulkan sama dengan perpindahan akibat beban
sebenarnya. Beban ekivalen dapat dihitung berdasarkan gaya jepit ujung.
W M1 P1 P2
L L/2 L/2
1/12 WL2
wL/2 P1
PL/8 PL/8
.5P1 .5P1
WL/2
WL/2+.5P1 .5P1+P2
1/12 WL2
M1+1/12WL2-PL/8
Gambar L12
Titik kempul dikekang terhadap semua
perpindahan, sehingga menghasilkan 2
balok terjepit (gambar L12).
Di sini gaya ujung ditunjukkan sebagai
reaksi pengekangan pada struktur
terhekang. Jika reaksi pengekang ini
dibalik arahnya akan menjadi beban
yang ekivalen dengan beban yang
bekerja pada batang.
Beban titik kempul ini digabungkan,
sehingga dapat digunakan dalam analisa
struktur.
I. 9. Teori Energi
Pembahasan konsep energi ini terbatas pada struktur yang regan gan dan
perpindahannya kecil serta energinya tidak hilang selama proses pembebanan statis.
Dengan kata kain, kerja luar (external) dari beban yang diberikan secara perlahan-
lahan sama dengan energi yang disimpan dalam struktur.
Dari teori elastis, apabila ditinjau pada elemen yang sangat kecil akan terdapat
beberapa tegangan seperti pada gambar 17.
L I - 12
σy
τyx
τyz τxy dx
τzy σx
τzx
σz
Gambar L13
Terdapat 3 tegangan normal (σx, σy, σz)
dan 6 tegangan geser (τxy,τxz dst nya).
τxy = τyx (a.)
τyz = τzy
τzx = τxz
Jadi hanya 6 komponen tegangan yang
perlu ditin jau untuk pegangan berlaku.
u,v,w adalah translasi dalam arah x,y,z.
Єx = du/ dx
Єy = dv/ dy (b.)
Єz = dw/ dz
Untuk regangan geser γxy = γyx = Əu/Əy + Əv/Əx
γyz = γzy = Əv/Əz + Əw/Əy (c.)
γzx = γxz = Əw/Əx + Əu/Əz
σ =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
654321
σσσσσσ
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
zxyxxyzyx
σσσσσσ
ε =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
654321
εεεεεε
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
zxyzxyzyx
εεεεεε
(d.)
Tegangan dan regangan pada sembarang titik untuk benda 3 dimensi
Dari diagram tegangan – regangan untuk bahan linear. Energi regangan
didefinisikan sebagai integrasi kerja dalam dari tegangan selama pertambahan
regangan untuk pegangan total dan seluruh volume.
U = 21 ∑
=
5
1..
n
idViiσε = dVt
V
..2/1 εσ∫
L I - 13
Dimana : σt transpose matirk kolom
ns jumlah komponen regangan ε
U Energi regangan
σi
dσ
dЄ Єi gambar L14
Energi regangan komplementer didefinisikan sebagai integrasi kerja dalam dari
regangan pertambahan tegangan untuk tegangan total dan seluruh volume.
U* = 21 ∑
=
5
1..
n
i
dViiσε = dVt
V
..2/1 σε∫
Dimana : ε t transpose matirk kolom ε
Untuk kerja beban dapat dirumuskan sama seperti energi regangan.
Pj
dP
dΔ Δj
Gambar L15
W = 21 =Δ∑
=
5
1..
n
j
dVjPj 1/2 At D
W* = 21 =Δ∑
=
5
1
..n
j
dVjPj 1/2 Dt A
Dari prinsip kekuatan energi, bahwa kerja beban W = energi pegangan U yang
disimpan dalam struktur, sehingga:
U = W = ½ DT S.D
L I - 14
Teori costigliano I menyatakan bahwa jika energi regangan benda elastis
diunyatakan sebagai fungsi (himpunan) perpindahan, maka turunan parsial pertama
fungsi ini terhadap perpindahan sama dengan gaya aksi yang selaras.
DjU
∂∂
= ∑−
n
kSjk
1
Dk = Aj ( j = 1, 2, …..n )
Persamaan ini menyatakan n (himpunan) syarat keseimbangan. Apab ila persamaan
ini diturunkan terhadap Dk , maka akan diperoleh suku kekakuan umum Sjk
sebagai: DjU
σσ
DkDjU∂∗∂
∂ =
DkAj
∂∂ = Sjk j = 1, 2, ………… n
k = 1, 2, …………. N
Hubungan timbal balik (teorema Maxwell), jika untuk differensial dibalik, maka
hasilnya harus sama, sehingga: Sjk = Skj
Oleh karena itu semua pasangan kekakuan silang sama besar, sehingga matrik S
adalah simetris atau identik transposenya. S = ST
1.10. Rangkuman
• Bandungkan jenis2 struktur rangka seperti Rangka Batang , Balok
ataupun Portal. Perbedaan terletak pada gaya dalam dan deformasi
• Dasar2 analisa struktur seperti deformasi, Aksi dan Perpindahan ,
derajat kebebasan , derajat ketidak tentuan statis atau kinematis ,
stabilitas, Superposisi , Kekakuan , beban ekivalent dan teori energi.
L II - 1
LAMPIRAN II
PERINTAH UNTUK CALCULATOR CFX 9850GB
Matrix calculations
26 matrix memories (Mat A Through Mat Z) plus a matrix answer memory
(MatAns), make it possible to perform the following matrix operations.
Addition, subtraction, multiplication
Scalar multiplication calculations
Determinant calculations
Matrix transposition
Matrix inversion
Matrix squaring
Raising a matrix to a specific power
Absolute value, integer part extraction, fractional part extraction, maximum
integer calculations
Matrix modification using matrix commands
LII-1 before performing matrix calculations
LII-2 matrix cell operations
LII-3 modifying matrices using matrix commands
LII-4 matrix calculations
L II - 2
LII-1 Before Performing Matrix Calaulations In the Main Menu, select the MAT icon to enter the Matrix Mode and display its
initial screen.
{DEL}/{DEL.A} … deletes {a specific matrix}/{all matrices}
The maximum number of rows that can be specifies for a matrix is 255, and the
maximum number of columns is 255.
About Matrix Answer Memory (MatAns)
The calculator automatically stores matrix Answer Memory. Note the
following points about Matrix Answer Memory. Whenever you perform
a matrix calculation, the current Matrix Answer Memory contents are
replaced by the new result. The previous contents are deleted and cannot
be recovered. Inputting values into a matrix does not affect Matrix
Answer Memory contents.
Creating a Matrix
To create a matrix, you must first define its dimensions (size) in the
MATRIX list. Then you can input values into the matrix to specify the
dimensions of a matrix
L II - 3
Example : To create a 2-row x 3-column matrix in the area named Mat B
Highlight Mat B.
All of the cells of a new matrix contain the value 0.
All “Mem ERROR” remains next to the matrix area name after you input the
dimensions, it means there is not enough free memory to create the matrix you
want.
L II - 4
Displayed cell values show positive integers up to six digits, and negative
integers up to tive digits (one digit used for the negative sign). Exponential
values are shown with up to two digits for the exponent. Fractional values are
not displayed.
You can see the entire value assigned to a cell by using the cursor keys to move
the highlighting to the cell whose value you want to view.
The amount of memory required for a matrix is ten bytes per cell. This means
that 3 x 3 matrix requires 90 bytes of memory ( 3 x 3 x 10 = 90 ).
Deleting Matrices
You can delete either a specific matrix or all matrices in memory.
To delete a specific matrix
While the matrix list on the display, use and to highlight the matrix
you want to delete.
Press {DEL}
Press {YES} to delete the matrix or {NO} to abort the operation
without deleting anything.
The indicator “None” replaces the dimensions of the matrix you delete.
To delete all matrices
While the matrix list is on the display, press {DEL A}.
Press {YES} to delete all matrices in memory or {NO} to abort the
operation without deleting anything.
The indicator “None” is shown for all the matrices.
L II - 5
LII – 2 Matrix Cell Operations
Use the following procedure to prepare a matrix for a cell operations.
While the MATRIX list on the display, use to highlight the name
of the matrix you want to use.
And the function menu with the following items appears. {R.OP} …{row calculation menu}
{ROW}/{COL} … {row}/{column} operation menu
Row Calculations The following menu appears whenever you {R . OP} while a
recalled matrix is on the display.
{Swap} … {Row Swap}
{xRw} … {Product of specific row and scalar}
{xRw+} … {Addition of one and the product of a specific row with a
scalar}
{Rw+} … {Addition of specific row to another row}
To swap two rows Example : To swap rows 2 and 3 of the following matrix :
L II - 6
To calculate the product of a row :
Example : to calculate the product of row 2 of the following matrix
and the scalar 4 :
To calculate the product of a row and add the result to another row
Example : to calculate the product of row 2 of the following matrix and the
scalar 4, then add the result to row 3 :
L II - 7
To add two rows together
Example : to add row 2 to row 3 of the following matrix :
Row Operations
The following menu appears whenever you {ROW} while a
recalled matrix is on the display.
{DEL} … {delete row}
{INS} … {insert row}
{ADD} … {add row}
To delete a row
Example : to delete row 2 of the following matrix :
L II - 8
To insert a row Example : To Insert a new row between rows 1 and 2 of the following matrix
:
To add a row
Example : to add a new below row 3 of the following matrix :
Column Operations The following menu appears whenever you (COL) while a recalled matrix is on the display.
{DEL} … {delete column}
{INS} … {insert column}
{ADD} … {add column}
To delete a column Example : to delete column 2 of the following matrix :
L II - 9
To Insert A Column
Example : to insert a new column between column 1 and 2 of the following
matrix :
To Add A Column
Example : to add a new column to the right of column 2 of the following
matrix :
L II - 10
LIII – 3 Modifying Matrices Using Matrix Commands
To Display The Matrix Commands
1. From the main menu, select the RUN icon and
The following describes only the matrix command menu items that are used for
creating matrices and inputing matrix data.
{Mat} … {Mat command (matrix specification)}
{M L} … {Mat List command (assign contents of selected column
to list file)}
{Aug} … {Augment command (link two matrices)}
{Iden} … {identify command (identify matrix input)}
{Dim} … {Dim command (dimension check)}
{Fill} … {Fill command (identical cell value)}
L II - 11
Matrix Data Input Format
The following showns the format you should use when inputing data to create a
matrix using the matrix operation menu’s Mat command.
an error occurs if memory becomes full as you are inputing data.
You can also use the above format inside a program that inputs matrix data.
To Input An Identify Matrix
Use the matrix operation menu’s identify to create an identify
matrix.
L II - 12
To Check The Dimensions Of A Matrix
Use the matrix operation menu’s Dim to check the
dimensions of an existing matrix.
The display showns that matrix A consists of two rows and three columns.
You can also use {Dim} to specify the dimensions of the matrix.
Modifying Matrices Using Matrix Commands
You can also use matrix commands to assign values to and recall values from an
existing matrix, to fill in all cells of an existing matrix with the same value, to
combine two matrices into a single matrix, and to assign the contents of a matrix
column to a list file.
L II - 13
To Assign Values To And Recall Values From An Existing Matrix
Use the following format with the matrix operation menu’s Mat
to specify a cell for value assignment anf recall.
Mat X [m, n]
X ………………… matrix name (A through Z, or Ans)
m ………………... row number
n …………………. Column number
To Fill A Matrix With Identical Values And To Combine Two Matrices Into A
Single Matrix
Use the matrix operation menu’s fill to fill all the cells of an
existing matrix with an identical value, or the Augment to
combine two existing matrices into a single matrix.
L II - 14
The two matrices you combine must have the same number of rows. An error
occurs if you try to combine two matrices that have different numbers of
rows.
To Assign The Contents Of A Matrix Column To A List File
Use the following format with the matrix operation menu’s Mat List
command (F2) to specify a column and a list file.
Mat List (Mat X, m) List n
X = matrix name (A through Z , or Ans)
m = column number
n = list number
You can use matrix answer memory to assign the results of the above
matrix input and edit operations to a matrix variable. To do so, use the
following syntax.
L II - 15
Fill (n, Mat α) Mat β
Augment (Mat α, Mat β) Mat γ
In the above, α, β, and γ are any variable names A through Z, and n is
any value.
The above does not affect the contents of Matrix Answer Memory.
LIV - Matrix calculations Use the matrix command menu to perform matrix calculation operations.
To Display The Matrix Commands 1. Fro the main menu, select the RUN icon and press ( EXE )
2. Press ( OPTN ) to display the option menu
3. Press ( F2 ) ( MAT ) to display the matrix command menu.
The following describe only the matrix commands that are used for matrix
arithmetic operations.
{Mat} … {Mat command (matrix specification)}
{Det} … {Det command (determinant command)}
{Trn} … {Trn comman (identity matrix input)}
{Iden} …{Identity command (identity matrix input)}
All of the following examples assume that matrix data is already stored in memory.
L II - 16
L II - 17
The two matrices must have the same dimensions in order to be added or
subtracted. An error occurs if you try to add or subtract matrices of different
dimensions.
For multiplication, the number of columns in matrix 1 must match the
number of rows in matrix 2. Otherwise, an error occurs.
You can use an identity matrix in place of matrix 1 or matrix 2 in the matrix
arithmetic format. Use the matrix command menu’s identity command ( F1 )
to input the identity matrix.
L II - 18
L II - 19
LII – 4 Matrix Calculations
L II - 20
L II - 21
L II - 22
Determinants and inverse matrices are calculated using the elimination
method, so errors (such as dropped digits) may be generated
Matrix operations are performed individually on each cell, so calculations
may require considerable time to complete.
The calculation precision of displayed results for matrix calculations is +/- 1
at the last siginificant digit.
If a matrix calculations result is too large to fit into matrix answer memory,
an error occurs.
You can use the following operatin to transfer matrix answer memory
contents to another matrix (or when matrix answer memory contains a
determinant to a variable)
MatAns Mat α
In the above, α is any variable name A through Z. the above does not affect the contents of matrix answer memory.
L III - 2
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN (GBPP)
Nama Mata Kuliah : Mekanika Teknik 5 Pengembang : Pratikto ,ST.MSi
Kode Mata Kuliah : TKG 5147 Tahun Dikembangkan : 2010
Sistem Kredit Semester : 5 Pendekatan Materi : Teori dan praktek
No Kompetensi Khusus
Pengalaman Belajar
Pokok Bahasan
Sub Pokok Bahasan Metode Estimasi Waktu
Kepustakaan
1 REVIEW Mahasiswa mempersiapkan alat bantu hitung dan untuk mengingat kembali pelajaran mekanika teknik semester lalu
Pendahuluan 1. Analisa struktur bangunan 2. Kontrak Perkuliahan
Calculator dan Komputer 3. Review Rangka batang 4. Review bid M,D,N 5. Hubungan mata kuliah
dengan MK yang lain
Presentasi 90 menit
2. Mahasiswa mampu menggunakan calculator untuk operasi matrik Seperti: Casio FX9850GB
Mahasiswa diajarkan bagaimana menggunakan peralatan calculator untuk operasi matrik.
Operasi pada perhitungan matrik dengan Calculator
1. Definisi matriks ; Sifat matrik 2. Penjumlahan ; Perkalian 3. Invers matrik 4. Input data calculator 5. Transpose 6. Perkalian 7. Invers 8. Solusi Persamaan Linear
Presentasi , praktek
90 menit 1
3. Mahasiswa mampu menggunakan komputer untuk operasi matrik Seperti: EXCEL
Mahasiswa diajarkan bagaimana menggunakan Komputer untuk operasi matrik .
Operasi pada perhitungan matrik dengan Lembar Kerja EXCEL
1. Input data Lembar kerja 2. Transpose 3. Perkalian 4. Invers 5. Solusi Persamaan Linear
Presentasi , praktek
90 menit 1
L III - 3
No Kompetensi Khusus
Pengalaman Belajar
Pokok Bahasan
Sub Pokok Bahasan Metode Estimasi Waktu
Kepustakaan
5. Mahasiswa mampu menjelaskan Dasar teori metode perpindahan dalam bentuk matrik
Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal.
Membentuk matrik kekakuan struktur dan menyelesaikan persamaan linear
1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear
Presentasi, Conto soal, Latihan mandiri
2 X 180 menit
6 Mahasiswa mampu menghitung Rangka Batang dengan bentuk matrik
Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal dan pemakaian alat hitung
Membentuk matrik kekakuan struktur Rangka Batang dan menyelesaikan persamaan l
1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear 6. Gaya Dalam Rangka Batang
Presentasi, Conto soal, Latihan mandiri
180 menit
6 Mahasiswa mampu menghitung Balok statis tertentu dan tak tentu dengan bentuk matrik
Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal dan pemakaian alat hitung
Membentuk matrik kekakuan struktur Balok dan menyelesai kan ersamaan linear beserta Gambar MDN
1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear 6. Gaya Dalam Balok MDN
Presentasi, Conto soal, Latihan mandiri
180 menit
EVALUASI – UTS- 90 MENIT
L III - 4
No Kompetensi Khusus
Pengalaman Belajar
Pokok Bahasan
Sub Pokok Bahasan Metode Estimasi Waktu
Kepustakaan
7. Mahasiswa mampu menghitung PORTALdengan bentuk matrik
Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal dan pemakaian alat hitung
Membentuk matrik kekakuan struktur PORTAL dan menyelesai kan persamaan linear beserta Gambar MDN
1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan
Linear 6. Gaya Dalam Balok
MDN
Presentasi, Conto soal, Latihan mandiri
2 X 180 menit
8. Mahasiswa mampu menghitung PORTAL dengan kaki Miring dalam bentuk matrik
Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal dan pemakaian alat hitung
Membentuk matrik kekakuan struktur PORTAL MIRING dan menyelesai kan persamaan linear beserta Gambar MDN
1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan
Linear 6. Gaya Dalam Balok
MDN
Presentasi, Conto soal, Latihan mandiri
2 X 180 menit
EVALUASI – UAS- 90 MENIT
L IV - 1
LAMPIRAN 4
DAFTAR TABEL dan DAFTAR GAMBAR Tabel 2.1 Derajat Kinematis Gambar 2.1 Diagram metode matrik Gambar 2.2.a. Beban ekwivalent Rangka Batang Gambar 2.2.b Beban ekwivalent Balok Gambar 3.1 Rangka Batang Gambar 3.2 Model Matematik Rangka Gambar 3.3 Hukum Hooke Gambar 3.4 contoh sederhana Gambar 3.6 Matrik Statis B Gambar 3.7 latihan Rangka Batang (1) Gambar 3.9 Tugas Rangka Batang Gambar 3.8 latihan Rangka Batang (2) Gambar 4.1 kekakuan lentur elemen balok
Gambar 4.2 kekakuan lentur balok
Gambar 4.3 illustrasi balok
Gambar 4.4 3 elemen, Diagram Q-D dan H-d
Gambar 4.5 matrik A
Gambar 4.6 matrik Kekokohan [S]
Gambar 4.7 matrik B
Gambar 4.8 Contoh Balok Menerus
Gambar 4.9 Kinematis dan elemen
Gambar 4.10 matrik Q dan A
Gambar 4.11 Matrik S dan B
Gambar 4.12 Penyelesaia
Gambar 4.13 Latihan 1
Gambar 4.14 Latihan 2
Gambar 4.15 Conto untuk evaluasi
Gambar 5.1 kekakuan elemen balok
Gambar 5.2 Pergoyangan Portal
L IV - 2
Gambar 5.3 portal simetris.
Gambar 5.4 pembagian elemen
Gambar 5.5 Beban ekwivalen
Gambar 5.6 Matrik Deformasi
Gambar 5.7 Hasil gaya dalam moment
Gambar 5.8 Bidang MDN
Gambar 5.9 illustrasi portal bergoyang
Gambar 5.10 pembagian elemen
Gambar 5.11 Beban Ekwivalen
Gambar 5.12 H-d Diagram
Gambar 5.13 Diagram Gaya Dalam
Gambar 5.14 Portal Beban Horizontal
Gambar 6.1 kekakuan elemen balok
Gambar 6.2 Pergoyangan Portal
Gambar 6.3 Pergoyangan Portal Miring
Gambar 6.4 pembagian elemen
Gambar 6.5 Beban ekwivalen
Gambar 6.6 Matrik Deformasi
Gambar 6.7 soal latihan
Gambar 6.8 Elemen dan Diagram Kinematis
Gambar 6.9 Diagram H-d
Gambar 6.10 matrik gaya Q
Gambar 6.11 pembentukan matrik A
Gambar 6.12 FREE BODY Portal Miring