Sveuciliste Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ana Kristek

Zabavna matematika

Diplomski rad

Osijek, 2012.

Sveuciliste Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ana Kristek

Zabavna matematika

Diplomski rad

Mentor: prof. dr. sc. Zdenka Kolar Begovic

Osijek, 2012.

Sadrzaj

Uvod 1

1 Nacela nastave matematike 2

1.1. Nacelo interesa, svjesnosti i aktivnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Brojevni sustav starih civilizacija 7

2.1. Znakovi brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Egipatski slikovni brojevni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Rimski brojevni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4. Matematika u Maya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Trikovi za lakse racunanje 17

3.1. Metoda mnozenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1. Mnozenje brojeva koristenjem baze 10, 100, 1000, 10 000 . . . . . . . . 21

3.1.2. Mnozenje vertikalno i dijagonalno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2. Metoda kvadriranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3. Metoda korjenovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Neki posebni nacini racunanja 28

5 Matematicka krizaljka 41

6 Matematicke slagalice 45

6.1. Van Hiele-ova teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2. Tangram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Zanimljivi zadaci s odredivanjem minimalne udaljenosti 48

Bibliografija 54

Sazetak 55

Summary 56

Zivotopis 57

Uvod

Rijec matematika pojavila se u rjecniku svakog od nas vrlo rano.

Koristili smo je tijekom cijelog skolovanja, od prvog razreda os-

novne skole. Kroz to vrijeme, skolovanjem i svakidasnjim zivotom,

izgradili smo ili usvojili (mozda su nam nametnuli!) odredenu pre-

dodzbu o matematici i stvorili svoj emotivni odnos prema njoj.

Velika vecina ce se odmah sloziti da je matematika osobita zna-

nost, jedinstvena u metodama i objektima koje proucava, vazna i

korisna, potpuno odredena, nepromjenjiva, nepogresiva, obiljezena strogim zakljucivanjem i

dokazivanjem.

Mnogi stavovi o matematici nisu pozitivni jer se matematika smatra teskim nastavnim pred-

metom. Predmet u kojem je potrebno uloziti mnogo truda, vremena i napora pa kod mnogih

ucenika izaziva strah.

Nazalost, mnogi ucenici smatraju da ne mogu savladati matematiku odnosno da matema-

tika ”nije za njih”. Sto nije tocno! Svaki ucenik ima sposobnosti za svladavanje i usvajanje

matematickih sadzaja propisanim nasatvnim programom. Pozeljan je samo drugaciji pristup

matematici i nastavi matematike. Svjesni smo cinjenice, da sat matematike treba uciniti za-

nimljivijim s ciljem da se olaksa predmet te matematiku priblizi i onima koji joj nisu skloni.

Jer u zabavnoj matematici nisu cilj mukotrpna izracunavanja, vec ideja i zadovoljstvo otkriva-

nja neceg zanimljivog i neobicnog. Takva znacajnost lezi u otkrivanju drugog lica matematike:

njezine neobicne i zanimljive strane.

No, zabavna matematika je sklop dviju rijeci za koje ce se pomisliti da nikako ne mogu biti

zajedno, jer su matematika i zabava potpuno suprotni pojmovi. ”Zabavna” mozda i nije naj-

bolji izabran naziv ali se zna sto se pod tim nazivom podrazumijeva. Ponekad se koristi i

naziv zanimljiva matematika, a na Zapadu je to cesto rekreativna matematika. No kako bilo,

sadrzaj je uvijek isti: radi se o stvarnim problemima oblikovanim u zagonetke cime oni postaju

”zabavniji” - privlacniji za rjesavanje. U rjesavanju se pritom ne mogu zaobici postupci koji

su zapravo svojstveni matematickom nacinu misljenja i uglavnom ne zahtijevaju neko vece

teorijsko znanje.

Za uspjesnost nastave matematike moraju se postivati odredena, osnovna nacela ili principi

matematike.

1

Poglavlje 1

Nacela nastave matematike

U ovom poglavlju razmotrit cemo nacela nastave matematike. Nacelo interesa bit ce de-

taljnije obradeno.

Nacela nastave matematike temeljne su ideje na kojima se i uz pomoc kojih se ureduju uvjeti

ucenja u nastavi matematike. To su polazne osnove pri uspostavljanju, stvaranju, procjenji-

vanju i vrednovanju cjelokupnog odgojno - obrazovnog procesa u nastavi. Njima se izrazava

koncepcija nastave, pojavni oblici i konacni ucinci.

Nacela su rezultat proucavanja nastavnih procesa ucenja, razine i kvalitete psihicke razvije-

nosti ucenika te prirode nastavnih matematickih sadrzaja. U osnovi to su smjernice kojih bi se

trebao pridrzavati svatko tko organizira i provodi nastavu matematike. Konacna im je svrha

matematicko obrazovanje uciniti maksimalo efikasnim.

Metodika nastave matematike uspostavlja razna nacela od kojih cemo navesti:

• nacelo primjerenosti,

• nacelo znanstvenosti,

• nacelo interesa, svjesnosti i aktivnosti,

• nacelo sistematicnosti i postupnosti,

• nacelo zornosti i apstraktnosti,

• nacelo problemnosti,

• nacelo trajnosti znanja, vjestina i navika,

• nacelo individualizacije,

• nacelo ekonomicnosti i racionalizacije,

• nacelo historicnosti i suvremenosti.

Naravno, nacela nisu medusobno odvojena vec se uzajamno uvjetuju i istovremeno ostva-

ruju.

2

Nacelo primjerenosti

Nacelo primjerenosti zasniva se na spoznaji da se dijete postupno razvija te da nastavni

rad treba uskladiti sa psihofizickim snagama ucenika. Nastava po sadrzaju i nacinu ne smije

biti ni prelagana (jer nedovoljno potice intelektualne sposobnosti), ni preteska (jer otezava

misaone procese), ne treba zapoceti ni prerano ni prekasno. Psiho-fizicke osobine ucenika ne

bi se smjele ni precjenjivati niti potcjenjivati.

Ucenje ne smije biti previse lako jer lakoca ucenja ne stvara kod ucenika navike rada i svlada-

vanja teskoca pa ucenik gubi interes za predmet.

Nacelo znanstvenosti

Nacelo znanstvenosti nastave matematike temelji se na nastavnim sadrzajima i nastavnim

metodama.

Nastava mora biti takva da stvara temelje za produbljivanje i prosirivanje gradiva na visoj

razini. Profesor mora imati na umu da ce ucenici nastaviti skolovanje na visim nivoima.

1.1. Nacelo interesa, svjesnosti i aktivnosti

Jedno od glavnih nacela nastave matematike je nacelo interesa.

Nastava mora biti takva da budi interes prema predmetu. Ako nastavni rad nije popracen

pozitivnim emocijama ucenika, stecena znanja ce oslabiti i biti zaboravljena.

Takve situacije u nastavi stvara nastavnik kao organizator nastavnog procesa, premda takva

situacija ovisi i o uvjetima u kojima se radi. Ako nastavnik sadrzaje obraduje suhoparno,

monotono, nizanjem cinjenica bez pozitivnog tona, kod ucenika stvara neugodna emocionalna

raspolozenja. Najcesci problemi koji utjecu na slabljenje interesa i gubljenje volje ucenika

je opsezan nastavni program, nedostatak radnih navika, pritisak i strah pri provjeri znanja i

ocjenjivanju te dozivljavanje nastave matematike kao prisilnog rada.

Ta se situacija moze promijeniti ako nastavnik obogacuje svoj nacin rada, unosi promjene

u nastavni proces, tj. pasivnost pretvara u aktivnost, mrtvilo u zivahnost. Na takav nacin

ucenici pokazuju interes prema predmetu i nastava matematike odvija se uspjesnije te se

matematicki sadzaji lakse usvajaju.

Mnogi ucenici cesto ne znaju sto ih sve ocekuje i sto se od njih ocekuje. To stvara psihicku

napetost i moze negativno utjecati na njihov interes prema predmetu. Kako bi se to izbjeglo

u nastavi matematike preporucuje se:

• upoznavanje ucenika s nastavnim programom i nastavnim metodama koje ce im olaksati

svladavanje matematickih sadrzaja

3

• upoznavanje s nacinom provjere znanja, ocjenjivanja i mogucnostima sudjelovanja na

matematickim natjecanjima

• upoznavanje interesa ucenika u matematici

• pitanja ucenika i razrjesenja nejasnoca buduceg zajednickog rada

Aktivnost u nastavi je vazan faktor u razvoju i formiranju licnosti ucenika. Koristeci princip

aktivnosti treba ucenicima dati da rade, jer znanje se ne moze dobiti, dati, prenijeti, ono se

stjece vlastitom aktivnoscu. Vlastitiom aktivnoscu ucenik utjece na okolinu, ali i na sebe.

Kvaliteta znanja ovisi upravo o intenzitetu aktivnosti, pa je uspjeh u nastavi proporcionalan

udjelu vlastite aktivnosti.

Postoje razlicite vrste aktivnosti u nastavi matematike:

1. Intelektualne - misljenje, paznja, pamcenje, zakljucivanje, analiza,

2. Verbalne - sredstvo transformiranja materijalnih radnji u misaone,

3. Manualne - manipuliranje konkretnim predmetima,

4. Graficke - vizualizacija matematickih sadrzaja, crtanje, slikovno prikazivanje.

Nacelo sistematicnosti i postupnosti

Sistematicnost znaci obradivanje nastavnih sadrzaja u odredenom logickom pregledu.

Sto je broj cinjenica i generalizacija veci to se intenzivnije namece potreba za logickim sredivanjem

tih sadrzaja. Usvajanje znanstvenih sustava kao rezultata znanstvenih cinjenica krajnji je cilj

do kojega treba ucenike postupno dovesti. Ucenici su u razvojnoj fazi pa ne mogu jos svojim

mentalnim snagama usvajati znanstvene sustave u punom intenzitetu.

Ta postupnost u radu nastavnika izrazena je pravilima koja glase:

od lakseg k tezem,

od jednostavnog k slozenom,

od blizega k daljem,

od poznatog k nepoznatom,

od konkretnog k apstraktnom.

Nacelo postupnosti uvjetovano je je psiholoskom cinjenicom da se odedeno gradivo ne moze

nauciti ako se prethodno nisu shvatili odnosno usvojili relevantni sadrzaji.

Nastavnikova je zadaca da pronade takvu postupnost u obradivanju gradiva bez prevelikih

skokova i preteskih prijelaza.

Nacelo ekonomicnosti i racionalizacije

Cilj takvog nacela je da se postigne najveci moguci ucinak sa sto manjim sredstvima i

utrosenim vremenom. Tako je sistem predavanja ekonomicniji od sistema samostalnog rada,

4

pa se ne bi smjelo cijelo vrijeme upotrebljavati jedna metoda rada, jer se pokazuje njena ne-

gativna strana vise nego kada je kombinirana s ostalim metodama.

Nacelo historicnosti i suvremenosti

Vecina ucenika nema predodzbu o razvoju matematike.

No, ako se prisjetimo povijesti matematike ucenici ce shvatiti da su se razmatranja nekih poj-

mova mijenjala.

Na taj nacin ucenici ce cijeniti suvremene matematicke metode i pojmove i shvatiti da njihovo

danasnje stanje nije konacno. Razvoj treba shvatiti ne samo kao nagomilavanje novih cinjenica

nego i kao evoluciju metoda.

Nastavnik koji uvodi elemente historicizma u nastavi moze ocekivati porast interesa za pred-

met, ali treba paziti da u sferi interesa ostane sama matematika, Ne treba prelaziti u krajnosti

i pricati samo o cudnim ponasanjima matematicara, njihovim anegdotama, nego spomenuti i

vrijeme i podrucje djelovanja te osobe, njena najveca dostignuca i sl.

Princip suvremenosti odnosi se na ucestalo aktualiziranje i osuvremenjivanje nastavnih sadrzaja

i unosenje novih znanstvenih spoznaja (s tim da se ne nagomilava novo znanje), ali i osuvre-

menjivanje nastavnih pomagala (od logaritamskih tablica do racunala).

Nacelo problemnosti

Vecina ucenika se ne upusta dublje u razumijevanju gradiva za vrijeme ucenja, vec ostaju

na povrsini. Ne zamjecuju nikakve probleme i poteskoce, potpuno su zadovoljani i misle da

im je sve jasno. Zadatak nastavnika je da taj stav razbije i stavi pred njega problem (prema

nacelu primjerenosti ne pretezak ne prelagan) i trazi ucenikovo rjesenje.

Nacelo zornosti i apstraktnosti

Zornost znaci cjelovito osjetilno dozivljavanje objekta radi usvajanja cinjenica i formiranje

pravilnih predodzbi. Drzati se principa zornosti znaci omoguciti ucenicima da u toku nastave

osjetilnim organima neposredno zahvacaju stvarnost koja se u nastavi proucava.

Radi ostvarivanja principa zornosti nastavnici primjenjuju zorne izvore znanja, pocevsi od ne-

posrednog promatranja u izvornoj objektivnoj stvarnosti, preko promatranja nastavnih sred-

stava pa sve do zornog , odnosno slikovitog pripovijedanja.

U primjeni zornosti ne treba pretjerivati, jer niti je moguce odjedanput usvojiti brojne cinjenice,

niti je potrebno da odjednom ucenici usvoje sve cinjenice. U tome grijese nastavnici koji u raz-

red donesu mnogo zornih sredstava i izmjenjuju ih velikom brzinom, od cega u svijesti ucenika

ostane samo nekoliko povrsnih dojmova, a ne i stvarno upoznavanje i usvajanje cinjenica.

5

Stjecanja znanja ne iscrpljuje se samo usvajanjem cinjenica posredstvom zornosti nego i na te-

melju usvojenih cinjenica treba ucenika misaonom aktivnoscu dovesti do formiranja pojmova,

zakona, principa, pravila, aksioma, formula i sl.

Zato zornost u nastavi treba biti spoznajno i psiholoski orijentirana. Ponekad nam se cini da,

za razliku od drugih prirodnih predmeta, u matematici nemamo tolike raznovrsne mogucnosti

za zorno prikazivanje i opisivanje matematickih pojmova. Ipak, dobar nastavnik ce koristeci

kredu i plocu, grafoskop i folije, racunalo i odgovarajuce programe, modele od papira i zice,

postere i plakate i naravno svoju mastu biti u stanju svoje predavanje uciniti zornim, a samim

time i zanimljivijim. Pogotovo nam geometrija pruza velike mogucnosti za to. Ne zaboravimo

da cim u geometrijskom zadatku skiciramo sliku, u stvari, primjenjujemo nacelo zornosti. Isto

tako neki algebarski identiteti i tvrdnje mogu se prikazati, pokazati i ”dokazati” koristeci od-

govarajuce geometrijske prikaze.

Nacelo individualizacije

Individualizacija je postupak kojim se ucenje u nastavi prilagodava mogucnostima svakog

pojedinog ucenika.

Razredna zajednica je skup razlicitih individualiteta. Te su razlike: fizicke, psihicke i mo-

ralne.

Zbog tih individualnih razlika treba nastavu individualizirati, tj. psihofizicke sposobnosti

svakog pojedinca razviti do maksimuma. Individualizacija se provodi razlicitim nacinima dife-

rencirane nastave, boljim ucenicima postavljaju se slozeniji zahtjevi, a slabijim jednostavniji.

Individualizacija se najcesce svodi na diferencijaciju tri razine-nadprosjecni, prosjecni i ispod-

prosjecni.

6

Poglavlje 2

Brojevni sustav starih civilizacija

U ovom poglavlju razmatraju se poceci brojanja.

Neki od navedenih povijesnih elemenata interesantni su ucenicima da saznaju o pocecima

brojanja.

Jesmo li se ikada zapitali kako, kada i kojim redom su nastali brojevi? Kako su ljudi u proslosti

brojali? Ovo su pitanja na koja se ne moze lako i jednostavno odgovoriti. Jedno je sigurno:

ljudi nisu oduvijek brojali na nacin kako mi to danas cinimo.

Razvoj matematike je usko povezan uz opci razvoj ljudskog drustva. U predcivilizacijsko doba

ljudi su se bavili lovom, skupljanjem plodova,uzgajanjem stoke odnosno obradivanjem zemlje.

Covjek iz predcivilizacijskog doba bio je sposoban, iako nije znao brojiti, da prepozna elemente

nekog skupa. To mu je, na primjer, omogucavalo da procijeni velicinu svog stada kao i da uoci

da li mu nedostaje jedna ili vise ovaca.

Ako je broj krava odgovarao broju prsta na jednoj ruci,

onda ih je pastir mogao brojati tako da svakoj kravi

pridruzi tocno po jedan prst.

Sam cin brojanja nastao je istovremeno sa upotrebom brojeva. U pocetku svodilo se na

usporedivanje elemenata nekog skupa sa elementima poznatog skupa. Vremenom je covjek pri

brojanju sve manje koristio prste, kamencice, skoljke ili neke druge predmete.

7

Ako je imao vise ovaca, pastir je prilikom odlaska na pasu svaku od njih

predstavio jednim kamencicem koji bi stavljao na hrpu.

Predvecer je za svaku ovcu prilikom njenog povratka uzimao sa gomile po

jedan kamencic i odlagao ga malo dalje.

Ako je dolaskom posljednje ovce upotrijebio i posljednji kamencic onda je bio

siguran da su se sve ovce vratile s pase.

Visak kamencica znacio je da se neke ovce nisu vratile.

2.1. Znakovi brojeva

Prvi znakovi brojeva bili su crtezi predmeta ili zivotinja. Stari Egipcani broj sto tisuca

predstavljali su crtezom krokodila, dok je kod Kineza taj isti broj oznacavan crtezom skorpije.

Put do danasnjeg nacina zapisivanja brojeva je bio dug, spor i nimalo jednostavan. Na manjim

ili vecim prostorima isti brojevi su se oznacavali na razlicite nacine. Za brojeve su koriseni

razliciti simboli: cvorovi konopca kod Inka i Japanaca (slika 2.1),

Slika 2.1

horizontalne ili vertikalne crte urezane u glini, na drvetu (slika 2.2)

Slika 2.2

Oblik i izgled znakova za brojeve zavisili su od pribora za pisanje kao i od materijala na

kojem se pisalo.

8

Slika 2.3: Zapisi brojeva na jelenskom rogu iz paleolita (15000 g. pr.n.e)

U Mezopotamiji se pisalo zasiljenim drvenim stapicem po glinenim plocicama (slika 2.4.(a));

u Egiptu ostrim predmetom po kamenu (slika 2.4.(b)), a zatim na papirusu i kozi perom i

mastilom. Kinezi su u 2. stoljecu poceli proizvoditi i upotrebljavati papir. Prije toga su pisali

ostrim predmetom po kamenu, a potom mastilom po bambusovim trakama i svili. Stari Grci

su koristili vostane, odnosno drvene i kozne tablice koje su prethodno prevlacili tankim slojem

sitnog pijeska; upotrebljavali su i papirus.

(a) Glinena plocica iz Me-zopotamije

(b) Zapisi na kamenu iz Egipta

Slika 2.4

Papirus je vrsta trske sa obala Nila. Stari Egipcani su sjekli stabljike papirusa na uske trake

koje su lijepili jednu do druge. Na tako dobivenim dugackim listovima su pisali i ispisane

listove savijali u svitke.

Slika 2.5: Pripremanje listova papirusa za pisanje

9

Prvi znakovi brojeva bili su jednostavni i predstavljali su skup od onoliko crta ili tocaka

koliko je iznosio taj broj. O tocnom vremenu nastanka ovih znakovi ne moze se sa sigurnoscu

govoriti, ali se zato moze odrediti period iz kojeg poticu konkretni povijesni izvori.

2.2. Egipatski slikovni brojevni sustav

Egipatski nacin zapisivanja brojeva hijeroglifima bio je jednostavan. Smatra se da su

Egipcani koristili sustav brojeva sa bazom 10. Razlicitim znakovima su oznacavane potencije

broja 10. Na primjer:

Slika 2.6: Egipatski nacin zapisivanja brojeva

Ravni uspravni potez znacio je ”jedan”, potkova (koja je imala deset rupa za cavle) znacila

je broj ”deset”; savijeno uze (dugacko sto lakata) znacilo je broj ”sto” list lopoca (koje je u

tisucama prekrivalo jezero) znacio je broj ”tisucu”; savijen prst znacio je broj ”deset tisuca”;

gusterica (koja se poslije poplave Nila, u ”stotinama tisuca” mogla vidjeti na njehovim oba-

lama) ozacavala je broj ”sto tisuca”.

Postojao je i poseban znak za ”beskonacno velik broj”; racundzije koji od cudenja nad bes-

krajnom golemoscu broja o kojem je rijec dize ruke prema nebu. Takva staroegipatska be-

skonacnost je podrazumijevala neki tako velik broj da se ne moze izraziti - kao recimo, broj

zrnaca pijeska u pustinji ili broj kapi vode u oceanu.

Egipcani su zapisivali brojeve kombiniranjem ovih znakova, (slika 6.).

10

Vrijednost tako napisanog broja jednaka je zbroju njegovih pojedinacnih vrijednosti bez

obzira na redoslijed znakova. Ovakav nacin zapisivanja brojeva zasnovan je na zbrajanju i

naziva se aditivnim.

Broj 213 se mogao, kao i drugi brojevi pisati na vise nacina:

Zbrajanje i oduzimanje brojeva je jednostavno:

2123 + 345 = 2468

234− 122 = 112

U ovom aditivnom sustavu zapisivanja brojeva, mnozenje se svodi na mnozenje sa 2 i

zbrajanje nekih od dobivenih produkata. Mnozenje i dijeljenje sa 2 su ubrajani u osnovne

racunske operacije koje su imale i svoje nazive: udvajanje (duplikacija), odnosno polovljenje.

13 · 12

1 12∗

2 244 48∗

8 96∗

156

Mnozenje sa 13 izvodilo se tako sto se broj 12 udvostrucio kako jeprikazano na slici. Npr. broj 48 se dobije udvostrucavanjem broja 24,koji je rezultat udvostrucavanja broja 12. Kako je 13 = 1 + 4 + 8,zbroj brojevi iz desnog stupca koji su oznaceni zvjezdicom, kojiodgovaraju brojevima 1, 4 i 8 iz lijevog stupca.

11

2.3. Rimski brojevni sustav

Aditivan nacin zapisivanja brojeva bio je u upotrebi i u starom Rimu. Za rimske znakove

su uzeta latinicna slova, ima ih ukupno sedam:

Rimski brojevi: I V X L C D MOdgovarajuce vrijednosti: 1 5 10 50 100 500 1000

Brojevi su zapisivani kombiniranjem ovih znakova. Kako je Rimljanima najlakse bilo

povuci okomitu crtu na takav nacin su i nastali rimski brojevi.

Tako je: I = 1II = 2

III = 3

Za zapisivanje brojeva uobicajeno je koristiti uzastopno najvise tri ista znaka.

Doprinos koji pojedini znakovi u zapisu nekog broja daje ukupnoj vrijednosti zavisi od njenog

polozaja prema drugim oznakama.

U srednjem vijeku milijun je oznacavan na razlicite nacine:

MM; |X|; |X|

Oznaka za sto milijuna je bila: |M |

Tek mnogo kasnije formirana su pravila za pisanje rimskih brojeva:

1. Ako nekoliko jednakih znamenaka stoje jedan uz drugog, onda se vrijednosti tih zname-

naka zbrajaju (a najvise ih stoji tri)

XX = 20

2. Ako su znamenke napisane jedna do druge tako da desna nije veca od lijeve onda, se

vrijednosti znamenki zbrajaju

LX = 60

Isto pravilo mozemo primjeniti i na velikim brojevima:

Primjer:

MDCCCLXXXVIII = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 +

1 + 1 = 1888

12

3. Ako su znamenke napisane tako da je vrijednost lijeve znamenke manja od desne, onda

se vrijednost lijeve znamenke oduzima od vrijednosti desne znamenke

LIX = 59

Primjer:

M CX XC IC = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + (10 - 1) = 1999

4. Broj nadvucen jednom crtom znaci da je on uvecan tisucu puta, a broj nadvucen dvjema

crtama je uvecan milijun puta

LIX = 59000

LIX = 59000000

Rimljani nisu brojeve nadvlacili crtama da bi naznacili da se radi o broju koji je uvecan

tisucu odnosno milion puta. Takve oznake su koristili kad je trebalo istaknuti razliku izmedu

broja i imenice.

Ako je, na primjer, u tekstu trebalo napisati ”2 covjeka” ili ”tri covjeka” (triumvirat), onda

je to napravljeno na sljedeci nacin:

II VIR, odnosno III VIR; vir (lat.) - covjek

Ovo nije bilo opce pravilo nego se javljalo kod pojedinih autora kako u starom tako i u

kasnom srednjem vijeku.

Rimski brojevi se danas koriste za oznacavanje godina, glava u knjizi, stranica nekog pred-

govora i sl. (I glava, XIX vijek, VIII godina Republike).

Slika 2.7: Knjiga OBREDNIK (Rituale Romanum) iz 1640. godine pisan ”ILLYRICA LINGVA” tj. i lirskimjezikom tiskan u Rimu.

13

2.4. Matematika u Maya

U Sredisnjoj Americi Maye (10.-12. stoljece) su koristili pozicioni brojevni sustav s bazom

20. Za to su im bila potrebna tri znaka:

Posljednji znak podsjeca na skoljku - neki ga nazivaju i oval. Pomocu tocaka i crtica mogu

se napisati brojevi od 1 do 19. Dopisivanjem ovala ispod bilo kojeg od tako napisanih brojeva

dobije se dvadeset puta veci broj.

No, dodavanjem nula nekom broju sa desne strane taj se broj uvecava deset puta.

Slika 2.8: Oznake brojeva kod Maya

Maye su sustav zapisivanja brojeva prilagodili mjerenju vremena. Dodajuci drugi oval dani

broj bi uvecavali 18, a ne 20 puta.

14

Prema tome zapis

predstavlja broj 360(1 · 20 · 18)

Godina kod Maja je imala 360 dana; 18 mjeseci sa po 20 dana.

Slika 2.9: Kalendarsko racunanje Maya

Zbrajanje i oduzimanje brojeva manjih od 20 bilo je jednostavno. Zbrajanje se svodi

kombinacijom numerickih simbola:

Ako se pri kombinaciji javi pet ili vise tocaka, onda bi se tih pet tocaka zamijenilo crtom.

U slucaju ako se javi cetiri ili vise crta, crte se zamjene tockom sto oznacava visi stupanj.

Isto tako se provodi i s oduzimanjem; uklanjaju se elementi broja kojeg oduzimamo od ele-

menta broja kojem se oduzima:

Ako u prvom broju nema dovoljno tocaka, jedna crta se zamjenjuje sa pet tocaka. Ako

nema dovoljno crta, uklanja se tocka od sljedeceg najviseg simbola u stupacu a broju od koga

se oduzima dodaju se cetiri crte.

Imajte na umu da to vrijedi za tradicionalno zbrajanje i oduzimanje s bazom 10.

15

Sama povijet matematike nam pokazuje kako su se na manjim ili vecim podrucjima u

predcivilizacijsko doba i u srednjem vijeku isti brojevi oznacavali na razlicite nacine koristeci

razlicite simbole.

Danas se jos uvijek susrecemo s rimskim brojevima i koristimo u svakodnevnom zivotu os-

novne racunske operacije (zbrajanje i oduzimanje) kao i u povijesti.

Velika razlika je u tome sto se danas pri racunanju koristimo razlicitim pomagalima: kalkula-

torima, racunalima ili nekim tehnikama odnosno trikovima racunanja.

Takva pomagala koriste se u nastavi matematike kako bi ucenicima pojednostavili i ucinili

matematiku sto zabavnijom.

Trikovi za lakse racunanje takoder omogucavaju snalazenje pri matematickim operacijama i

bolje poznavanje nekih podrucja matematike. Namjenjena je onima koji zele poboljsati svoje

racunalne sposobnosti.

16

Poglavlje 3

Trikovi za lakse racunanje

Mnogi trikovi za lakse racunanje baziraju se na Vedskoj matematici-tehnikama racunanja.

Za ovu metodu potrebno je poznavanje osnovnih racunskih operacija s brojevima (zbrajanje,

oduzimanje) te tablice mnozenja.

Neke operacije s brojevima mozemo lakse i brze izvesti bez uporabe kalkulatora, ali mnogi

trikovi zahtjevaju uporabu papira i olovke gdje se rezultat najcesce moze napisati u jedan

ili dva reda. Osim vedske matematike koristi cemo i neke druge metode kao sto su metode

mnozenja, kvadriranja i korjenovanja. Za svaku metodu vazno je naglasiti da brojeve pisemo

jedan ispod drugoga bez obzira o kojoj se racunskoj operaciji radi.

3.1. Metoda mnozenja

Mnozenje mozemo kombinirati na razlicite nacine i varijante. Potrebno je poznavati ta-

blicu mnozenja.

Ono sto je jos bitno napomenuti je da kad se brojevi mnoze pisu se jedan ispod drugoga. U

rezultatu se racuna znamenka po znamenka pa se onda jednostavno spajaju u odgovor.

Pocnimo od jednostavnijeg. Upotrijebiti cemo pravilo Svi do 9, zadnji do 10 koje mozemo

upotrijebiti u zbrajanju i oduzimanju.

Ono sto je bitno znati izracunati su komplementi brojeva. Komplement od 10, 100, 1000, od

10 000 itd. A to se racuna vrlo jednostavno pomocu pravila Svi do 9, zadnji do 10.

Npr.

Komplement broja 7 je broj 3 → 10− 7 ili 3 do 10;

Komplement broja 83 je broj 17 → 100− 83 ili 1 do 9, 7 do 10;

Komplement broja 783 je broj 217 → 1000− 783 ili 2 do 9, 1 do 9, 7 do 10.

17

Za pocetak prikazat cemo mnozenje dva jednoznamenkasta broja s bazom 10.

Koliko je 7 · 8?

Baza nam je 10.

Razmisljamo ovako: imam 7, a do 10 mi treba 3; imam 8 do 10 mi treba 2.

Zatim brojeve pisemo jedan ispod drugoga.

Znak minus oznacava da su brojevi manji od baze.

U rezultatu razlikujemo 2 dijela.

• Lijevi dio izracunavamo tako sto racunamo (dijagonalno) 7− 2 = 5 ili 8− 3 = 5,

• A desni dio tako sto pomnozimo 3 · 2 = 6,

• I dobiveni rezultat je 56.

18

Mnozenje dva jednoznamenksta broja mozemo prikazati i pomocu prstiju.

Npr.

Znaci kada mnozimo 6 · 7 pokazujemo:

Prste dignute u zrak zbrajamo kaodesetice

Prste koji nisu dignuti, mnozimo

Sada dobivene rezultate zbrojimo: 30 + 12 = 42

Ako mnozimo dvoznamenasti broj s jednoznamenkastim brojem, postupak je isti.

19

Npr. 10 · 7:

Prste dignute u zrak zbrajamo kaodesetice

Prste koji nisu dignuti, mnozimo

Dobivene rezultate zbrojimo: 70 + 0 = 70

Kod mnozenja jednoznamenkastih brojeva moze se dogoditi da desni dio rjesenja prijede bazu

10. Tada se provodi prijenos brojeva. To znaci da kod umnoska broja desnog stupca prvu

znamenku tog broja zbrajamo sa znamenkom lijevog stupca.

Evo primjera: 6 · 7

• u desnom dijelu nalazi se umnozak broja koji prelazi bazu10, (−4) · (−3) = 12,

• tada broj 2 pisemo u desni dio stupca, a broj 1 prenosimo,odnosno pisemo malo lijevo ispod broja 2 i zbrajamo s brojem3.

20

3.1.1. Mnozenje brojeva koristenjem baze 10, 100, 1000, 10 000

U ovom poglavlju razmatrat cemo neke posebne produkte brojeva.

Primjer:

Vidimo da sve to mozemo lako izracunati u glavi. Jer se sve svodi na jednostavno oduzimanje

i lako mnozenje.

Primjer: 89 · 84

Baza nam je 100. Imamo dvije nule te nam drugi dio rezultatamoze imati samo dvije znamenke. Racunamo:

• prvi dio odgovora 89− 16 = 73 ili 84− 11 = 73,

• drugi dio odgovora (−11) · (−16) = 176,

• jedan koji nam je viska pribrojimo prvom dijelu odgovora3 + 1 = 4 te je rezultat 7476.

21

Primjer: 933 · 997

U ovom slucaju baza nam je 1000. Racunamo:

• prvi dio odgovora 993− 3 = 930 ili 997− 67 = 930,

• drugi dio odgovora (−67) · (−3) = 201,

• Rjesenje je 930201.

Ako su nam brojevi veci od baze, istim postupkom mnozimo brojeve. Jedina razlika je u tome

sto se u desnom stupcu koristimo znak + odnosno zbrajamo za onoliko koliko je neki broj veci

od baze.

Primjer: 12 · 14

Baza nam je 10. Racunamo:

• Prvi dio odgovora cemo dobiti tako sto cemo zbrajati dijago-nalno 12 + 4 = 16 ili 14 + 2 = 16 ,

• drugi dio odgovora dobijemo isto tako sto pomnozimo uda-ljenost brojeva od baze; 2 · 4 = 8,

• rjesenje je 168.

Primjer: 15 · 16

Baza je 10. I zbog toga drugi dio odgovora moze imati samo jednuznamenku. Racunamo:

• prvi dio odgovora; 15 + 6 = 21 ili 16 + 5 = 21,

• drugi dio odgovora; 5 · 6 = 30; kako drugi dio odgovora imaprevise znamenaka pribrajamo broj 3 prvom dijelu odgovora,

• rjesenje je 240.

Mozemo se pitati sto se dogodi ako su neki brojevi ”malo” veci od baze a neki brojevi ”malo”

manji od baze? I za to postoji rjesenje.

U takvim slucajevima gledamo komplement broja, odnosno za koliko su brojevi manji ili veci

od baze.

22

Primjer: 13 · 8

Baza nam je u ovom slucaju 10. Racunamo:

• prvi dio odgovora; 13− 2 = 11 ili 8 + 3 = 11,

• drugi dio odgovora; 3x(-2)=-6. (Negativne brojeve mozemoto napisati i kao 6 = −6).

• rjesenje je 116, to je broj koji sadrzi i negativni i pozitivni dioi zovemo ga Viculum broj. A pretvara se u obicni tako stonegativnom dijelu broja nademo komplement, a onaj isprednjega smanjimo za 1.

• rjesenje je: komplement od 6 je 4,(10-6); 11-1=10; 104.

Ovakvo mnozenje primjenjuje se u nekim slucajevima.

Postoje jos neki trikovi!

O tome koju cemo bazu upotrijebiti moramo odluciti sami odnosno trebamo procijeniti kako

cemo lakse doci do rjesenja. Pogledajmo:

Primjer: 55 · 53

U ovom slucaju uzimamo bazu 50. Jer 50 je 100/2 = 50 pa cemoto iskoristiti. Racunamo:

• prvi dio odgovora; 55+3=58 ili 53+5=58,

• drugi dio odgovora; 5 · 3 = 15, medutim kako je baza 50,a 100/2 = 50 onda cemo i prvi dio rjesenja podijeliti s 2;58/2 = 29

• rjesenje je 2915.

Promatramo bazu 50, kao 10 · 5. Racunamo:

• prvi dio; 55 + 3 = 58 ili 53 + 5 = 58,

• 58 · 5 = 290 (zato sto je baza 10 · 5),

• drugi dio; 5 · 3 = 15, medutim kako racunamo 10 · 5 zabazu, broj treba biti jednoznamenkast pa zbrajamo 1 s prvimdijelom odgovora.

23

3.1.2. Mnozenje vertikalno i dijagonalno

Vertikalno i dijagonalno mnozenje vrijedi za sve brojeve. Brojeve koje mnozimo pisemo je-

dan ispod drugoga. Da bi mnozili vertikalno i dijagonalno moramo se pridrzavati sljedeceg

postupka:

1. Pomnozimo prve zamenke faktora, vertikalno

2. Mnozimo dijagonalno tako da zbrajamo umnoske

3. Vertikalno mnozimo zadnje znamenke i dobijemo konacno rjesenje

U slucaju ako nam se u srednjem dijelu imamo dvoznamenkasti broj tada primjenjujemo pri-

jenos broja.

Racunamo:

• 3 · 4 = 12,

• 2 · 4 + 3 · 1 = 8 + 3 = 11,

• 2 · 1 = 2,

• Rjesenje je: 322.

Primjer: 114 · 127

Kada imamo mnozenje troznamenkastog broja postupakmnozenja je malo drugaciji. Racunamo:

• prvo mnozimo prve znamenke faktora, vertikalno; 1·1 =1

• zatim dijagonalno mnozimo 1. i 2. stupac te zbrajamonjihove umnoske; 1 · 2 + 1 · 1 = 2 + 1 = 3

• nakon toga promatramo sva tri stupca: mnozimo dija-gonalo 1. i 3. stupac, 2. stupac mnozimo vertikalno, a3. i 1. stupac mnozimo dijagonalno; 1 ·7 + 1 ·2 + 4 ·1 =7 + 2 + 4 = 13 (pisemo 3, prenosimo 1)

• dijagonalno mnozimo 2. i 3. stupac te zbrajamo nihoveumnoske; 1 ·7+4 ·2 = 7+8 = 15 (pisemo 5, prenosimo1)

• na kraju mnozimo zadnje znamenke faktora, vertikalno;4 · 7 = 28 (pisemo 5, prenosimo 1)

• rjesenje: 14478

24

3.2. Metoda kvadriranja

U ovom poglavlju razmatrat cemo metodu kvadriranja.

Da bi kvadrirali neki broj prvo moramo utvrditi o kojoj je bazi rijec. Pojavljuje nam se pra-

vilo Po nedostatku - koliki je nedostatak umanji ga za jos toliko i dopisi kvadrat tog nedostatka.

Primjer: 952

Promatramo bazu 100. Racunamo:

• nedostatak je 5; 100-5=95,

• prvi dio: broj koji kvadriramo umanjimo ga za nedostatak;95-5=90,

• desni dio: nedostatak kvadriramo; 5x5=25,

• rjesenje: 9025.

Dogodi li se da nam broj koji kvadriramo bude veci od baze, u tom slucaju imamo visak.

Koliki je visak uvecavamo ga za jos toliko i dopisujemo kvadrat tog viska.

Primjer: 1042

Baza je 100. Racunamo:

• visak nam je 4; 104-4=100,

• prvi dio: broj koji kvadriramo uvecavamo ga za visak;104+4=108,

• desni dio: visak kvadriramo; 4x4=16,

• rjesenje: 10816.

25

3.3. Metoda korjenovanja

Metoda korjenovanja ne zahtjeva odredivanje baze broja. Korjenovanje se provodi vrlo

jednostavo i to sljedecim postupkom:

1. Pokusavamo pogoditi taj broj

2. Broj koji je pod korjenom dijelimo s pogodenim brojem

3. Zatim trazimo aritmeticku sredinu ta dva broja

4. Takav postupak ponavljamo sve dok ne dobijemo rjesenje.

Promatramo broj ispod korijena, 12. Racunamo:

• pogadamo broj tj., trazimo kvadrat broja koji jeblizu broja 12; 32 = 9

• broj pod korijenom dijelimo s pogodenim brojem;123

= 4

• trazimo aritmeticku sredinu ta dva broja; 3+42

= 3.5

• zatim dobiveni broj kvadriramo kako bi smo utvrdilije li kvadrat aritmeticke sredine sto blize broju 12;3.52 = 12.25

Kako je 12.25 veci od 12 ponavljamo postupak.

• broj pod korijenom dijelimo s brojem dobivene aritmeticke sredine; 123.5

= 3.428

• ponovno trazimo aritmeticku sredinu ta dva broja i provjeravamo je li kvadrat aritmeticke

sredine ”blizu” broja 12; 3.428+3.52

= 3.464; 3.4642 = 11.99

• trazeno rjesenje je broj koji smo kvadrirali; 3.464

Primjer:√

118

Promatramo broj ispod korijena. Racunamo:

• pogadamo broj; 10

• broj pod korijenom dijelimo s pogodenim brojem;11810

= 11.8

• trazimo aritmeticku sredinu ta dva broja; 10+11.82

=10.9

• dobiveni broj kvadriramo; 10.92 = 118.81

26

Kako je 118.81 veci od 118 postupak ponavljamo sve dok ne dobijemo najblizi broj zadanom

broju.

• broj pod korijenom ponovno dijelimo s dobivenom aritmetickom sredinom; 11810.9

= 10.825;

• nova aritmeticka sredina: 10.9+10.8282

= 10.862;

• kvadrirano dobivenu aritmeticku sredinu radi provjere; 10.8622 = 117.983

• rjesenje: 10.862

Primjer:√

213

Postupak se provodi na isti nacin kao i u prethodnim primjerima.

27

Poglavlje 4

Neki posebni nacini racunanja

U proslom poglavlju razmotrili smo neke posebne trikove za racunanje odredenh brojevnih

izraza.

Prvo cemo razmatrati mnozenje.

U prethodnim primjerima brojeve smo mnozili pomocu pravila Svi do 9, zadnji do 10 te

mnozili vertikalno i dijagonalno.

U sljedecim primjerima vidjet cemo da se mnozenje moze provoditi na drugaciji nacin. Kod

takvog mnozenja promatramo broj koji mnozimo (mnozenik) i broj s kojim mnozimo (mnozitelj)

tako da brojeve prikazemo na slikovit nacin.

Kako bi uocili postupak svaki broj prikazat cemo drugacijom bojom. Za mnozenje treba

napomenuti da vrijednost svake znamenke prikazujmo pomocu odredenog broja pravaca.

Postupak se svodi na sljedeci nacin:

1. Broj koji mnozimo prikazujemo u obliku odredenog broja paralelnih pravaca.

2. Broj s kojim mnozimo prikazemo u obliku pravaca tako da taj svaki pravac sijece pravce

koji predstavljaju broj koji mnozimo.

3. Zbrojimo na koliko nam se mjesta pravci sijeku i dobijemo konacno rjesenje.

28

Npr. 2·3

• broj koji mnozimo je 2

• vrijednost znamenke prikazemo s 2 paralelna pravca:

• broj s kojim mnozimo je 3

• vrijednost broja 3 prikazemo s 3 paralelna pravca tako da ti pravci sijeku pravce znamenke

2

• promatramo sjecista pravaca te prebrojimo koliko presjeka ima (presjeci su oznaceni

tockama)

29

• broj presjeka je 6 pa nam je to ujedno i rjesenje.

Primjer: 21 · 13

Kada imamo mnozenje dvoznamenkastih brojeva bitno je naglasiti da svaku znamenku

broja koji mnozimo i broj s kojim mnozimo prikazemo pravcima zasebno. Lijevu stranu

mnozenja prikazujemo odozgo prema dolje, a desnu stranu odozdo prema gore. Pravce crtamo

koso tako da sjecista pravaca dobijemo kao zamisljene stupce. Racunanje se provodi s desna

na lijevo. Zbrajaju se sva sjecista pravaca po stupcu.

• u nasem slucaju prvo gledamo broj 21-broj koji mnozimo

• vrijednost svake znamenke prikazemo zasebno pomocu odredenog broja pravaca; prvo

prikazemo vrijednost znamenke 2 zatim vrijednost znamenke 1

• na isti nacin prikazemo i vrijednost znamenaka broja 13-broj s kojim mnozimo; prvo

znamenku 1 zatim znamenku 3

• zbrajamo sjecista pravaca s desna na lijevo po stupcima

30

• prvi stupac: 3

• drugi stupac: 6 + 1 = 7

• treci stupac: 2

• rjesenje: 273

Primjer: 323 · 241

Postupak mnozenja troznamenkastih brojeva provodi se kao i za mnozenje dvoznamenkas-

tih brojeva.

Jedina razlika je u tome sto imamo vise zbrajanja sjecista pravaca po stupcima.

Kod troznamenkastih brojeva moze doci do prijenos broja. S prijenosom broja susreli smo se

kod metode mnozenja.

To znaci da kod zbrajanja sjecista pravaca prvu znamenku desnog stupca zbrajamo sa zna-

menkom lijevog stupca, odnosno dodajemo sljedecem nizu lijevo.

Pa krenimo!

• prikazimo vrijednost znamenaka broja 323, odozgo prema dolje

• zatim vrijednost znamenaka broja 241, odozdo prema gore

• oznacimo sjecista pravaca i zbrojimo s desna na lijevo

31

• prvi stupac: 3

• drugi stupac: 2 + 12 = 14

• kako je 14 dvoznamenkasti broj primjenjujemo prijenos broja odnosno prvu znamenku

tog broja dodajemo sljedecem nizu lijevo

• treci stupac: 3 + 8 + 6+1= 18; 1 preneseni broj; 18 dvoznamenkasti broj pa primjenjujem

prijenos broja

• cetvrti stupac: 12 + 4+1= 17; ponovno primjenimo prijenos broja

• peti stupac: 6+1= 7

• rjesenje: 77843.

32

Pojedostavimo i kvadriranje koristeci zorniji prikaz.

Kvadriranje je slicno metodi kvadriranja koje smo prikazali u prethodnom poglavlju.

Kod pojednostavljenog kvadriranja takoder prvo moramo utvrditi o kojoj je bazi rijec. Jedina

razlika je u tome sto za prikaz kvadriranja koristimo znak u obliku rasclanjivanja.

Na koji nacin cemo kvadrirati ovisi o nama.

Primjer: 132

• promatramo broj koji kvadriramo; 13

• s desne strane broja stavljamo linije u obliku rasclanjivanja

132

77

''

• sljedeci korak je odrediti bazu broja 13

Bazu zadanog broja odredujemo tako da trazimo broj koji je najblizi zadanom broju

• u nasem slucaju baza 10

Bazu pisemo pokraj donje linije rasclanjivanja.

132

77

''10

• gledamo broj 13 i bazu 10

Pitamo se za koliko je baza manja od zadanog broja?

• odgovor je 3

Taj broj upisujemo na donju liniju znaka.

• no,ispred broja stavimo znak - (minus) jer je 13− 3 = 10, odnosno jer je baza manja od

broja kojeg kvadriramo.

33

132

77

−3''10

• taj isti broj prepisujemo na gornju liniju znaka ali suprotnog predznaka; +3, te ga zbra-

jamo sa zadanim brojem 13 i rezultat ispisujemo pored gornje linije znaka rasclanjivanja

16

132

+3

77

−3''10

• 13+3 = 16

Zbroj i bazu mnozimo; 16 · 10

16

&&132

+3

77

−3''

x

10

88

Rezultat dobijemo tako da produkt zbrojimo s kvadratom broja koji se nalazi na linji rasclanjivanja;

(−3)2 ili 32 jer je i (−3)2 = 9 i 32 = 9.

16

++132

+3

88

−3&&

x (16 · 10) + 32 = 160 + 9 = 169

10

44

• rjesenje: 169

34

U ovom primjeru uzeli smo da je baza 10. Isto tako za broj 13 mogli smo uzeti i bazu 20.

Na istom primjeru pokazat cemo sto se dogoditi ako je baza veca od broja kojeg kvadriramo.

Jedina razlika je u predznacima na donjoj liniji znaka rasclanjivanja. Kada je baza manja

od zadanog broja na donjoj liniji rasclanjivanja stavljamo predznak - (minus), a kada je baza

veca od zadanog broja na donjoj liniji stavljamo predznak + (plus). Gornja linija znaka

rasclanjivanja uvijek poprima suprotan predznak od donje linije znaka rasclanjivanja. Postu-

pak racunanja je isti.

Npr.

6

++132

+7

88

−7&&

x (6 · 20) + 72 = 120 + 49 = 169

20

44

• baza je 20

• baza je veca od zadanog broja za 7 jedinica

• ispred broja stavljamo znak + (plus) jer je 13+7 = 20, jer je baza veca od broja kojeg

kvadriramo.

• taj broj upisujemo na donju liniju znaka rasclanjivanja

• na gornju liniju prepisujemo taj isti broj ali suprotnog predznaka te ga oduzimamo sa

zadanim brojem; 13−7 = 6 i rezultat ispisujemo na gornji liniju

• razliku i bazu mnozimo; 6·20

• produkt zbrojimo s kvadratom broja koji se nalazi na liniji rasclanjivanja; 6·20+72

• kada sve zbrojimo dobijemo isto rjesenje: 169

35

Primjer: 472

• prvo promotrimo broj koji kvadiramo i odredimo bazu

• odaberemo bazu po izboru; bazu 40 ili bazu 50

• u ovom slucaju odabrali smo bazu 50 jer je broj 47 blizi broju 50

44

++472

+3

88

−3&&

x (44 · 50) + 32 = 2200 + 9 = 2209

50

33

• buduci daj je baza veca od zadanog broja za 3 jedinice koristimo predznak + (plus) jer je

47+3 = 50 i na donjoj liniji upisujemo taj broj

• isti taj broj prepisujemo na gornjoj liniji ali suprotnog predznaka

• zadani broj i broj na gornjoj liniji oduzimamo; 47−3 = 44

• tu razliku pisemo pored gornje liniji znaka rasclanjivanja

• da bi dobili rjesenje razliku i bazu mnozimo,te produkt zbrojimo s kvadratom broja koji

se nalazi na liniji; 44·50 + 32 = 220 + 9 = 2209

Primjer: 1352

140

++1352

+5

77

−5''

x (140 · 130) + 52 = 18200 + 25 = 18225

130

33

• uzeli smo da nam je baza 130

• baza je manja od zadanog broja za 5 jedinica pa uzimamo predznak - (minus); 135−5 =

130

• racunamo na isti nacin:

135+5 = 140;

140·130;

140·130 + 52 = 18200 + 25 = 18225

36

I na kraju pokazat cemo kako zorno prikazati postupak nalazenja drugog korijena zadanog

broja.

Korjenovanje ne zahtjeva odredivanje baze, vec se promatra broj pod korijenom (radikant).

Broj pod korijenom rastavimo na faktore kao produkt prostih brojeva. Takav rastav prikazu-

jemo u obliku granjanja. Granjanje se provodi sve dok ne dobijemo prost broj jer prost broj

ne mozemo rastaviti na faktore.

Npr.

√9

33

Promatramo broj pod korijenom; 9

• broj 9 je savrsen kvadrat

• rastavimo ga na faktore tj.odaberimo bilo koja dva broja kojasu jednaka broju 9; 3 · 3 = 9

• 3 je prost broj pa ga ne mozemo rastavitit na faktore, tadaje granjanje zavrseno

Kada nam se pojavi isti par faktora, faktor izdvajamo

• rjesenje: 3

Primjer:√

40

√40

20

10

52

2

2

Promatramo broj koji korjenujemo

• broj 40 nije savrsen kvadrat

• rastavimo ga na faktore odnosno prikazemo kao produktdva broja; 2 · 20

• promatramo ta dva broja i gledamo koji broj mozemorastavit

• u lijevom dijelu imamo broj 2 koji je prost broj pa ga nemozemo rastaviti na faktore

• no, u desnom dijelu granjanja broj 20 mozemo rastavitikao 2 · 10

• pojavljuje nam se opet faktor 2 koji ne mozemo prikazatikao produkt dva broja

• nastavimo s granjanjem

• faktor 10 prikazemo kao produkt dva broja; 2 · 5• na kraju smo dobili dva prosta broja koja ne mozemo rastaviti pa je granjanje zavrseno

• da bi ispisali rjesenje promatramo cijelo granjanje; ’trazimo sve parove prostih bro-

jeva koji se ponavljaju i proste brojeve koji nemaju svoj par, koji se ne ponavljaju te

ih mnozimo

37

• uocavamo da imamo jedan par dvojki i podvucimo; 2,

• taj prosti broj nam je dio rjesenja i izdvajamo ga

• no, to nije konacno rjesenje

• ostali su nam prosti brojevi koji se ne ponavljaju, a to je broj 2 i broj 5, prikazano

crvenom bojom

• takve proste brojeve mnozimo i pisemo unutar korijena

• na taj nacin dobili smo konacno rjesenje i jos nam sam preostaje da prvi dio rjesenja

pomnozimo s drugim dijelom rjesenja;

2√

2 · 5 = 2√

10

Primjer:√

180

√180

10

25

18

36

32

Promatramo broj koji korjenujemo

• znamo da broj 180 nije savrsen kvadrat

• rastavimo ga na faktore odnosno prikazemo kaoprodukt dva broja

• pa krenimo: 180 prikazemo kao produkt 18·10; broj18 kao 6 · 3; 10 kao 5 · 2• na desnoj strani granjanja vec smo dobilli proste

brojeve koje ne mozemo rastaviti na faktore pa namje granjanje zavrseno

• vratimo se na lijevu stranu granjanja:

• 6 mozemo prikazati kao produkt dva broja; 2 ·3, aliprosti broj 3 ne mozemo rastaviti na faktore

• rastavljanjem broja 6 dobili smo takoder proste brojeve koje ne mozemo rastaviti na

faktore sto se i trazilo od nas

• na taj nacin smo zavrsili s cijelokupnim granjanjem

• sad promatramo cijelo granjanje i podvucimo crticom sve parove prostih brojeva koji se

ponavljaju

• to su brojevi: 2 i 3

• ostali su nam brojevi odnosno prosti brojevi koji se ne ponavljaju,u ovom slucaju samo

broj 5

• taj broj pisemo unutar korijena

• kako bi dobili rjesenje izlucimo proste brojeve koji imaju svoj par i mnozimo s brojevima

koji nemaju svoj par;

2 · 3√

5 = 6√

5

38

Primjer:√

2000

√2000

1000

500

250

125

25

55

5

2

2

2

2

Promatramo broj koji korjenujemo

• broj 2000 nije savrsen kvadrat

• rastavimo ga na faktore odnosnoprikazemo kao produkt dva broja svedok na kraju ne dobijemo proste bro-jeve koji se ne mogu rastaviti

Pa krenimo: 2000 = 2 · 10001000 = 2 · 500500 = 2 · 250250 = 2 · 125125 = 5 · 2525 = 5 · 5

• granjanje je zavrseno

• trazimo parove brojeva koji nam seponavljaju

• imamo dva para dvojki; 2, 2

• imamo jedan par petica; 5

• izvadimo te parove van i medusobnoih mnozimo; 2 · 2 · 5• zatim pronademo brojeve koji se ne

ponavljaju odnosno koji nemaju svojpar

• u nasem slucaju to je samo broj 5

• znamo da taj broj upisujemo unutar korijena i mnozimo sa nadenim parovima;

2 · 2 · 5√

5 = 20√

5

Zapazamo kako je ovo stablo preveliko i zahtjeva vise rastavljanja broja na proste faktore.

Rastavljanje na proste faktore mozemo si i pojednostaviti ali to ovisi primjenjenom odabiru.

Pojednostavimo stablo.

39

√2000

500

100

10

52

10

52

5

4

22

40

Poglavlje 5

Matematicka krizaljka

Krizaljke se danas mogu naci u gotovo svim novinama i casopisima. One omogucuju da se

covjek u slobodno vrijeme opusti, odmori i pripremi za nastavak nekog novog napornog rada.

Ovaj oblik razonode pogodan je za primjenu i u nastavi matematike. Matematicke krizaljke

mogu se uporabiti kao svojevrsni testovi i ispiti znanja.

Rjesavajuci matematicke krizaljke ucenici kroz zabavu ponavljaju i utvrduju obradeno gradivo.

Matematicka krizaljka ima i neke posebne znacajke:

1. zadaci su jednostavni i nastoji se da se u njihovim formulacijama istaknu neobicni i

zanimljivi odnosi medu brojevima,

2. rjesenja svih zadataka su prirodni brojevi,

3. rjesenja se slazu u mrezu krizaljke i svako rjesenje ima zajednicku znamenku s jos barem

jednim rjesenjem,

4. broj kvadratica u koja se upisuje neko rjesenje ukazuje na broj znamenki samog rjesenja

Npr.

41

Vodoravno: 1. Duljna stanice kvadrata kojemu je opseg jednak 2008.3. Povrsina pravokutnika kojemu su duljine stranica dva od brojeva

3,33,103,133.6. (88− 44) : 11 + (543− 345) : 9.8. Duljina trece stranice trokuta kojemu su duljine dviju stranica

39 i 69 i opseg jednak 150.9. Osamdeset sedam tisuca trideset i jedan.

11. 4554 : 6612. (1000 + 999)− (2000− 85)14. 77 · 77− 76 · 7715. Obujam kocke kojoj je duljina brida 9.

Okomito: 1. Duljina druge stranice pravokutnika kojemu je duljina jednestranice 45 i povrsina jednaka 2430.

2. 16 · 16− 15 · 15 + 14 · 144. 29 · 29 + 2900 : 29.5. Obujam kvadra kojemu su duljine bridova 2,2 i 23.7. 9 · (15 + 12) · (15− 12)− 11 · 119. DCCXCV

10. 34 · 34− 28 · 28− 5 · 511. Duljina druge stranice pravokutnika kojemu je duljina jedne

stranice 39 i opseg jednak 200.13. Povrsina kvadrata kojemu je opseg 28.

Rjesenje:

42

Primjer:

Vodoravno: 1.√

4 ·√

144 ·√

484.

4.(203

)2 · (65

)2.

6. Prve dvije decimale iracionalnog broja√

10.8. 13 + 132 + 133 + 134 + 135.

10. Opseg pravokutnog trokuta kojemu su duljine kateta 4 i 39.

11. (10− 5√

2)2 · (10 + 5√

2)2

12. 1012 − 2202 + 2212 + 4202 − 4212

14. Povrsina jednakokracnog trapeza kojemu su duljine osnovicaa = 161 i c = 121,a duljina kraka b = 29.

16. Cijeli dio iracionalnog broja√

300

17.√

20 · 27 :√

527

+ 20.

18. Prvih 6 decimala iracionalnog broja√π.

22.√(

218

)2:(

332

)2.

23. Duljina visine jednakostranicnog trokuta kojemu je duljina

stranice 86√3

3

24. 3 · 3 ·√

7 ·√

7 ·√

13 ·√

13.

Okomito: 1. 6 · (52 − 42).3. Vrijednost izraza x2 − xy − y2 + 83 za x = 88, y = −88.4. Duljina druge katete pravokutnog trokuta kojemu je duljina jedne

katete 16, a duljina hipotenuze 65.5. 6 · 6 · (6 · 6)2 − 2 · 7 · (2 · 7)2.6. Opseg romba kojemu su duljine dijagonala 54 i 72.7. 9− 92 + 93 − 42.9. 812 + 822 + 832.

13. Povrsina pravokutnika kojemu je duljina jedne stranice 81, a duljinadijagonale 135.

14. 6 · 7 + (7 · 2)2 + 7 · 2 + 20.

15. 2√

22 · 32 · 792.19. Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta kojemu su duljine kateta 48 i 55.

15.√

1492 − 1402.

15. Cijeli dio broja√

1555.

43

Rjesenje:

44

Poglavlje 6

Matematicke slagalice

Mnoge matematicke slagalice doprinose boljem razumijevanju odredenih geometrijskih poj-

mova.

U nastavi geometrije ucitelj mora voditi racuna o tome na koji nacin njegovi ucenici percipi-

raju ravninu i prostor te geometrijske oblike u njima. Svakako je ovdje potrebno spomenuti

tzv. van Hieleovu teoriju geometrijskog misljenja.

6.1. Van Hiele-ova teorija

Van Hiele-ova teorija je objavljena 1973. u doktorskim disertacijama Dine van Hiele-Geldof

i njezinog supruga Pierra van Hielea na Sveucilistu u Utrechtu u Nizozemskoj. Najvazniji

rezultat ove teorije je identificiranje pet razvojnih razina geometrijskog misljenja. One opisuju

kako i o kojem tipu geometrijskih ideja mislimo, bez obzira na kolicinu znanja koje imamo,

a kljucnu razliku medu razinama predstavljaju objekti o kojima smo u stanju geometrijski

misliti.

Ukratko cemo spomenuti i navesti neka svojstva nivoa.

1. Nivo 0 - nivo vizualizacije

Nivo vizualizacije omogucava nam da svoje misli baziramo i na osnovu njih donosimo

odluke koje se temelje na percepciji. Tada smo u stanju prepoznati geometrijske lik.

2. Nivo 1 - nivo analiziranja

Na takvom nivou vidimo oblike kao skup svojstava i ucimo znacajke odnosno karakte-

ristike koje ih opisuju, ali ne mozemo razlikovati koje su bitne a koje dovoljne za opis

geometrijskog lika.

3. Nivo 2 - nivo apstrakcije

Na nivou apstrakcije spoznajemo odnose medu svojstvima geometrijskih oblika i odnose

medu samim geometrijskim oblicima. Pocinjemo razmisljati o tome sto je bitno a sto

dovoljno da se neki geometriski lik opise.

45

4. Nivo 3 - nivo strogosti

Nivo strogosti omogucava nam na zrelijoj razini da razumijemo konzistentnost, neaza-

visnost i kompletnost aksiomatskog sustava i usporede matematicke sustave.

Od objavljivanja, ova je teorija znanstveno potvrdena raznim metodama i danas vise nema

sumnji u njezinu valjanost. Svatko od ucenika nalazi se na odredenoj van Hieleovoj razini ge-

ometrijskog misljenja, a ucenici iste dobi cesto su na razlicitim razinama.

Pravilno prepoznavanje o kojim se razinama radi i uskladivanje poucavanja s tim razinama

pridonijet ce kvaliteti nastave geometrije i ucenickom uspjehu u savladavanju geometrijskih

koncepata. Ucenicke aktivnosti bi trebale biti primjerene njihovoj van Hieleovoj razini i us-

mjerene njihovom podizanju u sljedecu visu razinu.

Spomenit cemo jednu od najstarijih i najpoznatijih matematickh slagalica. Jedna od takvih

slagalica je tangram.

6.2. Tangram

Slika 6.1

Rijec tangram u kineskom jeziku znaci ”sedam plocica mu-

drosti”.

Sama povijest tangrama nije poznata. Postoji jedna legenda koja

kaze da je sluga nekog kineskog cara zasluzan za nastanak ta-

grama. Noseci vrijednu keramicku plocicu, sluga se spotaknuo

i pao. Pokusavao je komadice keramike posloziti u kvadratni

oblik, ali nije uspio vec je stvorio razne figure zivotinja, ljudi i

stvari.

Tangram je stara kineska igra koja se sastoji od sedam dijelova od kojih se slazu slike

razlicitih figura koristeci svih sedam dijelova.

Tangram se sastoji od sedam sljedecih dijelova:

Slika 6.2

• 2 mala jednakokracna pravokutna trokuta s hipotenuzom duljine√

2, katetom duljine 1

46

• 1 kvadrat sa stranicom duljine 1

• 1 jednakokracan pravokutni trokut s hipotenuzom duljine 2, katetom duljine√

2

• 2 velika jednakokracna pravokutna trokuta s hipotenuzom duljine 2√

2, katetom duljine

2

• 1 paralelogram (romboid) sa stranicama duljina 1 i√

2

S tih sedam dijelova moze se pokriti kvadrat.

Igra se sastoji u tome da se od dijelova tangrama sastavljaju, unaprijed zadani, razliciti

likovi i figure, prema vlastitoj zamisli ili prema prijedlogu voditelja (ako u natjecanju sudjeluje

vise igraca).

Osnovna pravila, koja se moraju postivati, su:

1. Uvijek se mora upotrijebiti svih sedam dijelova,

2. Dijelovi se postavljaju jedan do drugog, ne smiju preklapati,

3. Dijelovi se po potrebi mogu preokrenuti na drugu stranu.

Slika 6.3

47

Poglavlje 7

Zanimljivi zadaci s odredivanjemminimalne udaljenosti

U ovom poglavlju razmatramo nekoliko zanimljivih zadataka u kojima je potrebno odrediti

polozaj tocke za koju je zbroj udaljenosti od zadanih tocaka minimalan, uz odredene postav-

ljene uvjete. Za odredivanje trazenih elemenata cesto je potrebno provesti neka dodatna

razmatranja.

Zadatak 1. S iste strane pravca p dane su tocke A i B. Odredite na pravcu p tocku C u kojoj

se reflektira zraka svjetlosti pri putu od tocke A do tocke B.

Slika 7.1

Rjesenje. Pri refleksiji zrake svjetlosti upadni kut jednak je kutu refleksije. Konstruirajmo

tocki B osno simetricnu tocku B′ s obzirom na pravac p.

Rjesenje postavljenog problema bit ce tocka C koja je sjeciste pravaca AB′ i p jer zbog svojstva

osne simetrije vrijedi

∠(AC, p) = ∠(BC, p).

48

Slika 7.2

Polozaj tocke C smo odredili iz Fermatovog principa po kojem zraka svjetlosti zapravo

odabire onaj put kojim ce najbrze stici iz tocke A u tocku B. To ce biti najkraci put. Dakle,

tocka C je ona tocka pravca p za koju je zbroj duljina |AC| i |CB| minimalan.

Pokazimo da je tocka C rjesenje Zadatka 1.

Neka je C1 bilo koja druga tocka pravca p (Slika 7.2). Zbog nejednakosti trokuta dobivamo

|AC|+ |CB| = |AC|+ |CB′| = |AB′| < |AC1|+ [C1B′| = |AC1|+ |C1B|.

Pokusajmo sada rijesiti sljedeci problem.

Zadatak 2. Tri prijateljice Iva, Mia i Karolina zive u razlicitim cetvrtima Osijeka. Zeljele bi

pronaci mjesto u gradu tako za koje zbroj udaljenosti od njihovih stanova do tog mjesta bude

minimalan. Odredite polozaj tog mjesta.

Da bismo rijesili ovaj zadatak provest cemo odredena razmatranja. Promotrimo najprije

povijesne elemente nastanka i razmatranja vezanog uz dani problem.

Veliki francuski matematicar Pierre Fermat postavio je zanimljiv problem: Za dane tri

tocke u ravnini treba naci tocku u ravnini za koju vrijedi da je suma udaljenosti od tri zadane

tocke minimalna.

Talijanski matematicar Evangelista Toricelli rijesio je problem 1640. godine. Dokazao je da

se kruznice opisane jednakostranicnim trokutima koji su konstruirani nad stranicama danog

trokuta sijeku u u trazenoj tocki ako je kut manji od 120◦. Imamo tvrdnju.

Teorem 7.1. Nad svakom stranicom danog trokuta ABC konstruirajmo izvana jednakos-

tranicne trokute ABC1, BCA1, ACB1. Pravci AA1, BB1, CC1 prolaze jednom tockom V1

i vrijedi |AA1| = |BB1| = |CC1|. Konstruiramo li jednakostranicne trokute ABC2, BCA2,

ACB2 na unutrasnju stranu trokuta ABC, tada pravci AA2, BB2, CC2 prolaze jednom tockom

V2 i vrijedi |AA2| = |BB2| = |CC2| (Slika 7.3).

49

Slika 7.3

Dokaz. Kako je

|AB| = |AC1|

i

|AC| = |AB1|

i zbog

∠BAB1 = ∠CAC1 = α + 60◦

to su trokuti BAB1 i CAC1 sukladni. Imamo dakle |BB1| = |CC1|. Analogno zakljucujemo

da vrijedi |CC1| = |AA1|. Oznacimo sjeciste pravaca BB1 i CC1 sa V1. Spojimo zatim V1 s A

i A1.

Kako su trokuti BAB1 i CAC1 sukladni to imamo

∠V1BA = ∠V1C1A,

pa slijedi da su A, V1, B, C1 konciklicne tocke. Stoga slijedi ∠AV1B = 120◦.

Na isti nacin se dobiva da tocka V1 lezi na kruznici opisanoj trokutu ACB1 i trokutu BCA1.

Slijedi dakle

∠AV1C = ∠BV1C = 120◦.

50

Zbog konciklicnosti tocaka B, V1, C, A1 dobivamo

∠A1V1C = 60◦

na temelju cega slijedi da su tocke A, V1, A1 kolinearne.

Analogno se dokazuje za tocku V2. �

Dokazimo sljedecu tvrdnju:

Teorem 7.2. Zbroj udaljenosti neke tocke P do stranica jednakostranicnog trokuta ABC je

konstantan i jednak duljine visine tog trokuta (Slika 7.4).

Slika 7.4

Neka su Cn, An i Bn nozista visina iz tocke P na stranice AB, BC i CA jednakostranicnog

trokuta ABC.

Vrijedi

P4ABC = P4APB + P4BPC + P4CPA

=1

2|AB||PCn|+

1

2|BC||PAn|+

1

2|AC||PBn|.

Kako je |AB| = |BC| = |CA|, to vrijedi

P4ABC =1

2|BC|(|PAn|+ |PBn|+ |PCn|).

Kako povrsinu trokuta ABC mozemo izracunati koristeci formulu

P4ABC =1

2|BC| · |AAh|

to slijedi jednakost

|PAn|+ |PBn|+ |PCn| = |AAh|

sto je konstanta za dani jednakostranican trokut. �

51

Definicija 7.1. Neka su nad svakom stranicom danog trokuta ABC konstruirani izvana jedna-

kostranicne trokute ABC1, BCA1, ACB1. Nadalje, neka su nad svakom stranicom danog tro-

kuta ABC na unutrasnju stranu konstruirani jednakostranicni trokuti ABC2, BCA2, ACB2.

Tocku V1 u kojoj se sijeku pravci AA1, BB1, CC1 i tocku V2 u kojoj se sijeku pravci AA2,

BB2, CC2 zovemo izogonicni centri trokuta ABC.

Kruznice opisane trokutima ABC1, BCA1, ACB1 zovemo Toricellijeve kruznice, a njihovo

sjeciste V1 zovemo jos i Toricellijevom tockom trokuta.

Teorem 7.3. Zbroj udaljenosti tocke P od vrhova danog trokuta ABC, ciji nijedan unutarnji

kut nije jednak ili veci od 120 ◦, je minimalan ako se ta tocka poklopi s Toricellijevom tockom

tog trokuta (Slika 7.5).

Slika 7.5

Dokaz. Konstruirajmo trokut QRS takav da njegove stranice prolaze vrhovima A,B,C i

okomite su redom na AV1, BV1 odnosno CV1.

Tocke Q,R, S redom leze na opisanim kruznicama trokuta AB1C, BC1A i CA1B pa vrijedi

∠AQC = ∠BRA = ∠CSB = 60◦

52

odakle slijedi da je trokut PQR jednakostranican.

Po Teoremu 7.2 zbroj udaljenosti bilo koje tocke unutar jednakostranicnog trokuta je konstanta

i jednak visini tog trokuta h. Dakle za proizvoljnu tocku P unutar trokuta QRS vrijedi

|PP1|+ |PP2|+ |PP3| = |V1A|+ |V1B|+ |V1C| = h,

gdje su P1, P2 i P3 nozista okomica spustenih iz tocke P na stranice trokuta QRS. S druge

strane ocito je

|PP1|+ |PP2|+ |PP3| ≤ |AP |+ |BP |+ |CP, |

odakle slijedi tvrdnja teorema. �

Tocka minimalne udaljenosti od vrhova danog trokuta poznata je u literaturi pod imenom

Fermatova tocka.

Ako su unutarnji kutovi manji od 120◦, onda se Fermatova tocka podudara s Toricellijevom

tockom. Ako je unutarnji kut trokuta jednak 120◦ ili veci od 120◦, onda se moze pokazati da

je tocka minimalne udaljenosti od vrhova trokuta, to jest Fermatova tocka tog trokuta, vrh

tupog kuta tog trokuta.

Iz dokaza navedenih tvrdnji slijedi i vrlo zanimljiva tvrdnja.

Teorem 7.4. Tocka minimalne udaljenosti trokuta, kojemu nijedan unutranji kut nije jednak

120 ◦ ili veci od 120 ◦ je tzv. ekviangularna tocka, tj. tocka iz koje se stranice trokuta vide

pod jednakim kutom.

53

Bibliografija

[1] William F. Burger; J. Michael Shaughnessy, Characterizing the van Hiele Levels of Deve-

lopment in Geometry, Journal for Research in Mathematics Education, 17 (1986), 31-48.

[2] B. Cekrlija, Vremeplovom kroz matematiku, Grafomark, Banja luka, 2000.

[3] V. Devide, Zabavna matematika, Skolska knjiga, Zagreb, 1988.

[4] D. Palman, Trokut i kruznica, Element, Zagreb 1994.

[5] Casopis za mlade matematicare, Matka, broj 65 i 66

[6] http://www.artrea.com.hr/zabavnamatematika.html 12.11.2011.

[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Maya numerals 12.11.2011.

[8] http://www.michielb.nl/maya/math.html 12.11.2011.

[9] http://www.storyofmathematics.com/mayan.html 12.11.2011.

[10] http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/prva.htm 12.11.2011.

[11] http://nauka.adsoglasi.com/fizikamatematika/vedskamatematika.php 12.11.2011.

[12] http://www.youtube.com/watch?v=iFPsqk8MYj0&feature=relmfu 12.11.2011.

[13] http://www.youtube.com/watch?v=DBV Hl Xlq0&feature=related 12.11.2011.

[14] http://www.youtube.com/watch?v=rHyaXYtjqvY 12.11.2011.

[15] http://public.carnet.hr/˜ahorvate/materijali.html 12.11.2011.

54

Sazetak

Da bi matematiku ucinili zanimljivijom i pristupacnom svim ucenicima potreban je samo

drugaciji pristup matematici u nastavi matematike. Za takvu uspjesnost nastave matematike

moraju se postivati osnovna nacela ili principi matematike. Takva nacela nam omogucavaju

uspostavljanje,stvaranje i vrednovanje cijelokupnog odgojno-obrazovnog procesa u nastavi.

U radu se razmatra na koji nacin elementima zabavne matematike mozemo doprinijeti povecanju

interesa ucenika za ucenje matematike. Zanimljivi povijesni elementi, zadaci za cije je rjesavanje

potrebno pravilno logicko rasudivanje, razne tehnike i trikovi racunanja, matematicke krizaljke,

razne matematicke slagalice pruzaju mogucnost uciniti matematicke sadrzaje zornijim i za-

nimljivijim. U radu se detaljno opisuju spomenuti elementi zabavne matematike.

55

Summary

In math we encounter throughout life, from elementary school up until today.

Many believe that mathematics is a difficult subject in which you need to invest much effort

and time. We are convinced that this is not true. To make math fun is only required a different

approach to mathematics teaching mathematic.

For such a successful teaching of mathematics must be respected basic principles or principles

of mathematics. These principles allow us to establish, create and evaluate the entire educa-

tional process in the classroom.

Passing through a number system, ancient civilizations, we noticed that the same numbers

marked in different ways using different symbols.

56

Zivotopis

Ana Kristek rodena je 01.09.1984.u Osijeku, Hrvatska. Osnovnu skolu ”Grigor Vitez” u

Osijeku zavrsava 1999.godine. Iste godine upisuje Opcu gimnaziju u Osijeku.Srednju skolu

zavrsava 2003. godine, te upisuje se na Sveuciliste J.J. Strossmayera, Odjel za matematiku,

Osijek, smjer matematika i informatika.

57