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IntroduccionHerramientas de Analisis Convexo

Un teorema de existenciaExtensionesReferences

An introduction to Sweeping Process

Emilio Vilches1,2

1Departamento de Ingenierıa MatematicaUniversidad de Chile

2Institut de Mathematiques de BourgogneUniversite de Bourgogne

December 28, 2015Santiago, Chile.

Emilio Vilches An introduction to Sweeping Process

1 Introduccion

2 Herramientas de Analisis Convexo

3 Un teorema de existencia

4 Extensiones

5 References

Introduccion

Considere un aro que contiene una partıcula. El aro comienza amoverse en t = T0. Dependiendo del movimiento del anillo, lapartıcula permanecera quieta (en caso que no golpee el anillo) o seraarrastrada o barrida hacia su interior. En este ultimo caso la velocidadde la partıcula tiene que apuntar hacia el interior del aro debido a queno puede escapar.

Introduccion

Matematicamente,−x′(t) ∈ N (C(t); (x(t)) c.t.p. in [T0,T]

x(T0) = x0 ∈ C(T0),(1.1)

donde x(t) es la posicion de la partıcula en el tiempo t, mientras queC(t) es el conjunto (comprendiendo) el aro en el tiempo t.La expresion N (C(t); (x(t)) denota el cono normal exterior alconjunto C(t) en la posicion x(t).En general, al conjunto C(t) se le permite cambiar de forma mientrasse mueve.

Introduccion

x(T0) = x0 ∈ C(T0),(1.1)

Introduccion

x(T0) = x0 ∈ C(T0),(1.1)

Introduccion

x(T0) = x0 ∈ C(T0),(1.1)

1 Introduccion

4 Extensiones

5 References

Herramientas de analisis convexo

Sea H un espacio de Hilbert separable y C ⊂ X un conjunto convexo.1 Para x ∈ C se define el cono normal

N (C; x) = z ∈ H : 〈z, y− x〉 ≤ 0 para todo y ∈ C .

2 Se define la funcion distancia al conjunto C comodC(x) = infy∈C ‖x− y‖ = ‖x− proyC(x)‖, donde proyC(x) es laproyeccion de x sobre C.

Para cada x ∈ H se tiene

x− proyC(x) ∈ NC (proyC(x)) x ∈ H.

(I + NC(·))−1 (x) = proyC(x) x ∈ H.

Para cada x ∈ H se tiene

x− proyC(x) ∈ NC (proyC(x)) x ∈ H.

(I + NC(·))−1 (x) = proyC(x) x ∈ H.

Distancia de Hausdorff

Para C,D ⊂ H cerrados, se define la distancia de Hausdorff entre C yD como:

H(C,D) = maxsupx∈C

dD(x), supx∈D

dC(x).

Ademas, se puede mostrar que

H(C,D) = supx∈H|dC(x)− dD(x)|

= inf η ≥ 0 : C ⊂ D + ηB, D ⊂ C + ηB .

Multiaplicacion Lipschitz

Sea C : [T0,T] ⇒ H una multiaplicacion. Diremos que C esκ-Lipschitz si

H(C(t),C(s)) ≤ κ|t − s| para todo t, s ∈ [T0,T].

Ademas, C es κ-Lipschitz si

C(t) ⊆ C(s) + κ|t − s|B para todo t, s ∈ [T0,T].

Multiaplicacion Lipschitz

Sea C : [T0,T] ⇒ H una multiaplicacion. Diremos que C esκ-Lipschitz si

H(C(t),C(s)) ≤ κ|t − s| para todo t, s ∈ [T0,T].

Ademas, C es κ-Lipschitz si

C(t) ⊆ C(s) + κ|t − s|B para todo t, s ∈ [T0,T].

1 Introduccion

4 Extensiones

5 References

Un teorema de existencia

Theorem (Moreau 1971)

Supongamos que C : [T0,T] ⇒ H es una multiaplicacion κ-Lipschitzcon valores convexos y cerrados. Entonces existe una y solo unasolucion de

−x(t) ∈ N (C(t); x(t)) c.t.p. t ∈ [T0,T].

x(T0) = x0 ∈ C(T0).(SP)

Demostracion: Unicidad

Demostracion: Existencia

Sea πn = tn0, . . . , t

nn una particion de [T0,T] y para 0 ≤ i ≤ n− 1

definamos Ini :=]tn

i , tni+1].

Idea: sobre cada Ini usar la discretizacion implıcita:

xni+1 − xn

tni+1 − tn

i≈ x(t) ∈ −N (C(t); x(t)) ≈ −N

i+1); xni+1).

Esto es equivalente a

xni ∈

(I + NC(tni+1)

(·)) (

xni+1)

Por lo tanto,

xni+1 = proyC(tni+1)

(xni ) “Catching-up algorithm”,

xn0 = x0 ∈ C(T0).

Sea πn = tn0, . . . , t

nn una particion de [T0,T] y para 0 ≤ i ≤ n− 1

definamos Ini :=]tn

i , tni+1].

Idea: sobre cada Ini usar la discretizacion implıcita:

xni+1 − xn

tni+1 − tn

i≈ x(t) ∈ −N (C(t); x(t)) ≈ −N

i+1); xni+1).

Esto es equivalente a

xni ∈

(I + NC(tni+1)

(·)) (

xni+1)

Por lo tanto,

xni+1 = proyC(tni+1)

(xni ) “Catching-up algorithm”,

xn0 = x0 ∈ C(T0).

Ası, para cada n ∈ N se define la funcion xn como:para t = T0 xn(T0) = x0, para t ∈ In

i (0 ≤ i ≤ n− 1)

xn(t) = xni +

i+1 − xni

)tni+1 − tn

i(t − tn

Se tiene que

dC(tni+1)(xn

i ) ≤ κ|tni+1 − tn

i | para 0 ≤ i ≤ n− 1.

xn(·) es κ-Lipschitz continua sobre [T0,T].

‖xn(t)‖ ≤ κ c.t.p t ∈ [T0,T].

Se tiene que

dC(tni+1)(xn

i ) ≤ κ|tni+1 − tn

i | para 0 ≤ i ≤ n− 1.

‖xn(t)‖ ≤ κ c.t.p t ∈ [T0,T].

Se tiene que

dC(tni+1)(xn

i ) ≤ κ|tni+1 − tn

i | para 0 ≤ i ≤ n− 1.

‖xn(t)‖ ≤ κ c.t.p t ∈ [T0,T].

Sea θn : [T0,T]→ [T0,T] la funcion definida por

θn(t) =

T0 si t = T0,

tni+1 si t ∈ In

i para 0 ≤ i ≤ n− 1.

Luego,xn(t) ∈ −N (C(θn(t)); xn(θn(t))) c.t.p t ∈ [T0,T],

xn(T0) = x0.

Sea θn : [T0,T]→ [T0,T] la funcion definida por

θn(t) =

T0 si t = T0,

tni+1 si t ∈ In

i para 0 ≤ i ≤ n− 1.

Luego,xn(t) ∈ −N (C(θn(t)); xn(θn(t))) c.t.p t ∈ [T0,T],

xn(T0) = x0.

(xn)n es de Cauchy en C ([T0,T]; H) y, por lo tanto, converge acierto x ∈ C ([T0,T]; H).

Falta demostrar que:

x(t) ∈ C(t) para todo t ∈ [T0,T].

x es solucion de (SP).

Falta demostrar que:

x(t) ∈ C(t) para todo t ∈ [T0,T].

x es solucion de (SP).

Theorem (Dunford-Pettis)

Si (Ω,Σ, µ) es un espacio de medida finita, H es Hilbert yK ⊂ K1 (Ω; X) es acotado. Entonces K es relativamente debilmentecompacto en L1 (Ω; X) si y solo si K es relativamente integrable.

K := xn(·) : n ∈ N es relativamente debilmente compacto enL1 ([T0,T]; H).

Theorem

Sea (Ω,Σ, µ) es un espacio de medida finita y H es un espacio deHilbert. Si (un)n∈N es acotada en L∞ (Ω; H) y u ∈ L1 (Ω; H), un

converge debilmente a u en L1 (Ω; H) y µ-c.t.p. para todo w ∈ Ω, lasucesion (un(w))n∈N es relativamente debilmente compacto. Entonces

u(w) ∈ conv w- lim sup un(w) para µ− c.t.p.w ∈ Ω.

Usando, el Teorema (3) se puede concluir que x(·) es solucion de(SP).

Theorem

Sea (Ω,Σ, µ) es un espacio de medida finita y H es un espacio deHilbert. Si (un)n∈N es acotada en L∞ (Ω; H) y u ∈ L1 (Ω; H), un

converge debilmente a u en L1 (Ω; H) y µ-c.t.p. para todo w ∈ Ω, lasucesion (un(w))n∈N es relativamente debilmente compacto. Entonces

u(w) ∈ conv w- lim sup un(w) para µ− c.t.p.w ∈ Ω.

Usando, el Teorema (3) se puede concluir que x(·) es solucion de(SP).

1 Introduccion

4 Extensiones

5 References

Algunas extensiones

Sweeping process con variacion acotada.

Sweeping process perturbados.

Sweeping process de segundo orden.

El caso no convexo.

Algunas extensiones

El caso no convexo.

Algunas extensiones

El caso no convexo.

Algunas extensiones

El caso no convexo.

An introduction to Sweeping Process

Emilio Vilches1,2

1Departamento de Ingenierıa MatematicaUniversidad de Chile

2Institut de Mathematiques de BourgogneUniversite de Bourgogne

December 28, 2015Santiago, Chile.

¡Gracias!

1 Introduccion

4 Extensiones

5 References

[1] H. Benabdellah, Existence of solutions to nonconvex sweepingprocess, J. Differential Equations 164 (2000), 286-295.

[2] H. Brezis, Operateurs maximaux monotones et semi-groupes decontractions dans les espaces de Hilbert, North-Holland,Amsterdam, 1973.

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[5] Clarke, F. H.; Ledyaev, Yu. S.; Stern, R. J.; Wolenski, P. R.Nonsmooth analysis and control theory. Graduate Texts inMathematics, 178. Springer-Verlag, New York, 1998.

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[15] J.J. Moreau, Multi-applications a retraction finie, Ann. ScuolaNorm. Sup. Pisa 1 (1974), 169-203.

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[19] M. Valadier, Quelques problemes d’entrainement unilateral endimension finie, Sem. Anal. Convexe Montpellier Expose No. 8,(1988).

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