an integral representation theorem of g-expectations

24
HAL Id: inria-00072303 https://hal.inria.fr/inria-00072303 Submitted on 23 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. An Integral Representation Theorem of g-expectations Chen Zengjing, Agnès Sulem To cite this version: Chen Zengjing, Agnès Sulem. An Integral Representation Theorem of g-expectations. [Research Report] RR-4284, INRIA. 2001. inria-00072303

Upload: others

Post on 21-Apr-2022

3 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: An Integral Representation Theorem of g-expectations

HAL Id: inria-00072303https://hal.inria.fr/inria-00072303

Submitted on 23 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

An Integral Representation Theorem of g-expectationsChen Zengjing, Agnès Sulem

To cite this version:Chen Zengjing, Agnès Sulem. An Integral Representation Theorem of g-expectations. [ResearchReport] RR-4284, INRIA. 2001. �inria-00072303�

Page 2: An Integral Representation Theorem of g-expectations

ISS

N 0

249-

6399

ISR

N IN

RIA

/RR

--42

84--

FR

+E

NG

ap por t de r ech er ch e

THÈME 4

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

An integral representation theoremof � -expectations

Zengjing Chen and Agnès Sulem

N° 4284

October, 18 2001

Page 3: An Integral Representation Theorem of g-expectations
Page 4: An Integral Representation Theorem of g-expectations

Unité de recherche INRIA RocquencourtDomaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France)

Téléphone : +33 1 39 63 55 11 — Télécopie : +33 1 39 63 53 30

��� ���������� �������������������� �������� ����������� �"!$#&%'�)(*�+��,-�� ������"���

.0/21�3547681�3:9�;�/51�<>=?1�@BA�3C1�D2E�F�G�H8/2I�J

KL'M7NPO�Q�R S5TUNWVYX[Z]\^TU_a`bO�\&_acY\^TUNPTUdeZf\eTU_g`h O�dji2dk\eM�NbO�dml�_aNbcYXUO�n5O�d

oqpk_frkO�\msutvK�wyx�z

{yZ]c'c|_gpk\ h O�pkO7l}L'O�p^l}L'O~`?��Q��]�gQ�R ��l�\^_a�'O�p������P�g�a�Y�mR �g��c�Z]�aO7d

�>�������f�'�g��� KL'O�`'_g\^TU_a`"_g������O�nYc�O7l�\}Z]\^TU_a`Yd��)Zgd� �pkdk\vT¡`�\^p^_ h V'l�O h ��i�S�¢£o�O7`'��¤2T[ZmZml7XUZgd^d¥_]�?`'_a`5�XUTU`YO�Zgp���Zgl}¦��)Zgp h dj\e_2l}L�Zgdk\^TUl h T¡§|O7pkO7`�\eTUZgX�O7¨�V�Z]\^TU_a`'d�©«ªS5¬�­vd}®�¢qw&O)dkL'_��)O h \^L�Z]\����¯O�n5c�O7l�\eZ]\eT¡_a`'dc'p^O�d^O7pj¤aObN*Zg`�i+_]�-\^L'O���Zgd^T¡l�c'p^_ac�O7pj\eT¡O7d�_g�-\eL'O�l7_g`�¤gO7`'T¡O7`�\"N*Z]\^L'O7NbZ]\^TUl�Z]X�O�n5c�O7l�\}Z]\^TU_a`'d�Zg` hl7_a` h T¡\eT¡_a`�ZgX�O�nYc�O7l�\}Z]\^TU_a`Yd�O�n5l7O�cY\�XUT¡`'O�Z]p^T¡\�ig¢mw&O�ZgX¡d^_>p^ZgTUdkO h \^L'OW¨�V'O7dj\eT¡_a`�Zg��_aVY\m\^L'OWT¡`�\^O7�ap^ZgXp^O7cYp^O7dkO7`�\}Zf\eTU_g`>_g������O�nYc�O7l�\}Z]\^TU_a`Yd7¢¥z�`*\^L'TUd-c�Zgc�O7p��5�-Om\epjiP\^_WTU`�¤gO7dk\^TU��Zf\eO�o�O7`'�Y°±d¨�V'O�dk\eT¡_a`�Zg` h�aT¡¤gO�Z>`'O7l�O7dkdeZgpji�Zg` h dkVY²Pl7TUO�`�\"l�_a` h T³\eT¡_a`´V'` h O7p���L'T¡l}L+���¯O�n5c�O7l�\eZ]\eT¡_a`'dyl�Zg`+��O�p^O�c'p^O�d^O7`�\^O h��i�Zbµ)LY_5¨�V'O�\mT¡`�\^O7�ap^ZgX¶¢·u¸�¹Cºk»W¼ �f½��g� ªSY¬�­�����¯O�n5c�O7l�\eZ]\eT¡_a`���l�_a`�¤aO�n¾l�Z]c�Zgl7T³\�ia��µ)L'_2¨2VYO�\"TU`�\eO��apeZgX«��TU`�\eO��apeZ]Xvp^O7cYp^O��d^O7`�\eZ]\eT¡_a`�\eL'O�_ap^O�Nu¢

¿ÁÀ�ÂjÃfÄ�Å8ƶÇ�ÂjÈ7ÆÊÉ�ËÍÌ�Ä}ƶÎÏÂjÇÄ}ƶУÑkÒjÓÕÔ�ÎfÄ�È]Ö�É�ÈÏ×ÙØ�ÈÏУÚ�ÂkŶҫÐÛÆÝÜ�Ó~Þ�УÈfÄ�È�ÓÊß�à�áÏâ^á�áÏÓäã'å æqåèç|ÎÏУÈfÄfÓéÂjÇÄ�бêUëì ѯÎÏÂjÈaí�Ç�Ä�Æ«Î�å ÎÏî�ïÏð�å ÂkÖÏð�å Îfîgåñ�òÝó æ òÝô�õ æ�É�Ñkö7ðÏÂjÈfÑjÉ�ðÏÅ«ÆkÓ�ÂkÇÄ�Уê¡ë�Ä�×�ÈÏÂkÒkå Ò8ðÏê£ÂjÇ&í�УÈÏŶУÄfå Ë÷Å

Page 5: An Integral Representation Theorem of g-expectations

� ��������� ����� ����������������� ������"� ���������� ���� �+�����Á�����#y%Y��������¥ ���,)���

�� �� �� � ��� Z*`'_]\eTU_g` h O����¯O7dkc���peZg`'l�O�Z���\��WT¡`�\ep^_ h V'T³\eO�c�Zgp�S|¢±o�O7`Y��ZgV NP_ÏigO7` h °ÛV'`'O�l7X[Z]d^d^Oh °���¨�V�Z]\eT¡_a`'d h T³§���p^O7`�\^TUO7X¡XUO�d�dk\e_2l}L�Zgdj\eT¡¨2VYO7d*p���\^p^_a�ap^Z h O�d7¢ � Z+����O�d^c��7peZ]`'l7O l7_a`Yd^O7pj¤aOul7O7pj\}ZgT¡`'O7dc'p^_acYp^T���\���d h OPX«°���d^c��7p^Zg`'l7O�O�\ h OPX«°���d^c��7p^Zg`'l7OPl7_g` h T¡\^TU_a`Y`'O7X¡XUO�NbZgT¡d�c�Zgd�X[Z�X¡TU`��7Zgp^T³\��g¢�¬�Zg`'d�l7Oc�Zgc'T¡O7p�_a` ZgcYc|_apj\eO h O�d��7X���NbO�`�\ed h O�p���c|_g`'d^O ��X[ZW¨�V'O�dk\eT¡_a` h O�o�O�`'�bl�_a`'l�O7p^`'Zg`�\yXUZWp^O�c'p���d^O7`2�\}Z]\^TU_a` T¡`�\��7�gpeZgX¡O h O�XUZu����O�d^c��7peZ]`'l7O�O�\�_a` h _a`Y`'O�V'`'O�l�_a` h T³\eTU_g` d^VY²Pd^Zg`�\eO�d^_aVYd�X[Zg¨�V'O�XUXUOPX[Z���¯O7dkc���peZg`'l�O�c|O�VY\"!�\epkO�p^O7cYp��7dkO7`�\���O�c�Z]pV'`'O�TU`�\����apeZ]XUO h O"µ)L'_2¨�V'O�\7¢# ¼ �Ï� º �%$ � �¾� ­q¬�SY{������¯O7dkc���peZg`'l�Og��l�Zgc�Z]l7T¡\��g��TU`�\����apeZgX¡O h O�µ)L'_2¨�V'O�\7�¥p^O�c'p���d^O�`�\eZ]\eT¡_a` T¡`�\�����apeZgX¡Og�2\eL���_ap^M�NbO h O�p^O�c'p���d^O�`�\eZ]\eT¡_a`�¢

Page 6: An Integral Representation Theorem of g-expectations

����������� ��� ��������������������� ��������������������� �! ��" ��#$����%���� �������&� '( ��������� ��,-�������KL'O� �pkdk\�c'VY�'XUT¡d^L'O h c�Zgc�O7p�_g` `'_a`'X¡TU`'O7ZgpyªSY¬�­vd���i+o�Zgp h _gV5n+Z]` h o�O�`'�*)±oqo�,+¥Zgc'c�O�ZgpkO h TU`��-.-a�Y¢�S5TU`'l�O�\eL'O�`���N*Zg`�i+pkO7dkO�Zgpkl}L'O7pkd�L�Z�¤aO���O7O�` �-_ap^¦�TU`Y� _g` \^L'TUd�dkV'�2rkO7l�\�� h V'O�\e_�\eLYOPl�_a`5�`'O7l�\eTU_g` _g�v\eLYTUdmdkV'�2rkO�l�\���T¡\^L NbZ]\eL'O�N*Zf\eTUl7ZgX� �`�Z]`'l7O]��dk\e_2l}L�Zgdj\eT¡l�l7_g`�\^p^_aX«�Cc�Z]pk\eTUZgX h T¡§|O7pkO7`�\eTUZgXO7¨�V�Z]\^TU_a`'d��adk\^_5l}L'Zgdk\^TUl���Z]NbO�d7�adj\e_2l}L�Zgdk\^TUl��gO7_aNPO�\^pki"Zg` h NbZ]\eLYO7NbZ]\eT¡l�ZgX�O�l7_a`'_gNbT¡l7d©Ýd^O�O��Ý_ap�O�n2�ZgNbcYXUO/)10�o32W��0�2W��o�a�go0�5�]o ' �fw"�fs´o54W�Ïw � ��¬��fµ�­6+2Zg` h pkO��ÝO7pkO7`'l�O7d�\eL'O�p^O7T¡`?®�¢�su_apkOvp^O�l7O7`�\^X¡ia�o�O7`Y�7)Ûo�a��o0�8+�TU`�\epk_ h VYl7O h \^L'OW`'_]\eTU_g`'d�_g�v����O�n5c|O�l�\}Zf\eTU_g`'d7�|l7_a` h T¡\eT¡_a`�ZgX�����O�n5c|O�l�\}Zf\eTU_g`'d�Zg` h\eL'O&l7_apkp^O�d^c�_a` h T¡`'������NbZgpk\^TU`'�aZgXUO�d�¤2T[Z"ªSY¬�­vdZg` h d^O�\�V'c>Z"l7_g`'`'O7l�\eT¡_a`*��O�\��-O7O�`�ªSY¬�­vdZg` hN*Z]\^L'O7NbZ]\^TUl�Z]X�O�n5c�O7l�\}Z]\^TU_a`'d"Zg` h NbZgpk\^TU`'��Z]XUO7d�¢�z�`9)Ûo�a�£o0��+«��L'ObdkL'_��)O h \eL'Z]\����¯O�n5c�O7l�\eZ]\eT¡_a`'dc'p^O�d^O7pj¤aOWNbZg`�i�_g��\eL'O���ZgdkTUl�c'p^_ac�O7pj\eT¡O7d�_g�¥\^L'O"NbZ]\^L'O7NbZ]\eT¡l�ZgXCO�n5c|O�l�\eZ]\eT¡_a`'dyZg` h NbZgpj\eTU`Y��ZgXUO�dO�n5l7O�cY\mX¡TU`'O7Zgp^T³\�i+©Ýd^O�O8)Ûo�a�±o-�2� µ�o6+��Ý_ap h O�\}ZgT¡XUd}®�¢

z¯\�T¡d��)O�XUX³�¯¦�`'_���`�\^L�Z]\��Ý_ap�Z��aT¡¤gO7`�c'p^_a�'Zg�'TUX¡T¡\�i&NPO�ZgdkV'p^O;:/<�\eL'OqO�nYc�O7l�\}Z]\^TU_a`>=@?�_]��ZpeZg` h _aN¤gZ]p^T[Z]�'XUOA?B<�l�Z]` ��O�l7_aNPc'VY\^O h Zgd

=C?>DFEHGIKJML :8NO?QP9R�S5TVU,WYX.R�ZHEJG:8NO?QP9R�S[X.R]\

KL'O�µ)LY_5¨�V'O�\)T¡`�\^O7�ap^ZgX'�)Zgd0 'p^dk\0T¡`�\^p^_ h V'l�O h T¡`�\eL'O&N*Zf\eL'O�N*Z]\^TUl7ZgXYX¡T¡\eO�peZ]\^V'p^O)��ibµ)LY_5¨�V'O�\^)±µ)L��-`_._�+«¢ wyObO�n2\eO�` h O h \^L'O>Zg��_�¤aO�{�TUO�N*Z]`'`¾T¡`�\^O7�ap^ZgXv\e_ \eL'Obl�ZgdkO*��L'O7pkOa: TUd�Zu`'_a`2� Z h'h T¡\eT³¤aOd^O�\��ÝVY`'l�\^TU_a`�©Ýl�Zgc'Zgl7T³\�i'®�¢"tyX¡\^L'_aV'�aLu\eL'OPµ)L'_2¨�V'O�\�T¡`�\eO7�gpeZgX���Zgd�_gp^TU�gTU`�ZgX¡X¡i*Nb_g\^T¡¤]Z]\^O h ��i c�_]�\eO7`�\^T[ZgX�\eLYO7_apji´T¡`´c'L�i2d^T¡l7d7�CT¡\yL�Zgdy�Ý_gV'` h NbZg`�i Zgc'c'X¡TUl7Z]\eT¡_a`'d�TU` ¤gZ]p^TU_gV'd& 'O7X h d7¢mz�`´c�Zgpk\^TUl�V'X[Zgp��_Ï��T¡`'�b\^_�S5l}L'NPO7T h XUO�p7°Ûdy�-_ap^¦7)±S|�a�£S'��+«�|\eLYO�µ)L'_2¨2VYO�\�T¡`�\^O7�ap^ZgX�L�Zgd���O7l�_aNPOWZg` T¡Nbc�_apj\}Zg`�\�\e_2_aXTU` h O7dkl7p^T¡�'TU`Y�uT¡` h T¡¤2T h V�ZgX¡d7°���O7L�Z�¤2TU_gp�VY` h O7p�V'`'l�O7pj\}ZgT¡`�\�i T¡` O�l7_a`'_gNbT¡l7d7¢*té`'Z]\eV'p^ZgXq¨�V'O7dj\eTU_g`TUd,b�µ�Zg`:���¯O�n5c|O�l�\eZ]\eT¡_a` �|O�pkO7c'pkO7d^O�`�\eO h ��i Z µ)LY_5¨�V'O�\bT¡`�\eO7�gpeZgXdc su_apkO�c'p^O�l7T¡d^O7X³ia�0XUO�\fe&g L ? W�|O�\eLYOP����O�n5c|O�l�\}Zf\eTU_g` _]�Z�peZg` h _aN ¤]Zgp^TUZg�'X¡Oh?uZg` h :igjN�klS���O�\eL'O�����c'pk_a��Zg�YTUXUT³\�i h O� �`YO h ��i:igjN�klSnmoDpeKg L UYqrW��Ý_apyZ*�aT¡¤gO7`uO�¤aO�`�\Ck�¢Asy` h O7pm��L'T¡l}L l7_g` h T¡\^TU_a`Yd h _5O�dy\eLYO"�Ý_aX¡XU_���TU`'��T¡`�\^O7�ap^ZgXp^O7cYp^O7dkO7`�\}Zf\eTU_g`uL'_gX h c

e&g L ?jWtD E GIKJHL :ugjNO?QvHR�S6T9U$WwX.R�Z EJG:ugjNO?QvMR�S�X.R]\ N�x S

z�`b\eLYTUd0c�Zgc�O7p7���-O h T¡d^l7VYd^d-\^L'TUd0TUdkd^V'OyZg` h c'p^_�¤2T h O�Z�`'O7l�O7d^d^Zgpki>Zg` h d^VY²Pl7T¡O7`�\�l�_a` h T³\eT¡_a`�V'` h O�p��L'TUl}L�\eL'O�T¡`�\^O7�ap^ZgX'pkO7c'pkO7d^O�`�\}Z]\^TU_a` ©�y]®�L'_gX h d¢¥KLYOyc�Z]c|O�pvTUdq_ap^�aZg`'T{z�O h Zgdv�Ý_aX¡XU_���d,b�z�`*S5O7l�\eTU_g`�a���)O�pkO7l�Z]XUX¥�'pkTUO�|'i dk_aNbO��'Zgd^T¡l�XUO7NPNbZgdm_g�-ªS5¬�­vd�Zg` h \^L'O�`'_g\^TU_a`'dm_g�-���¯O�n5c|O�l�\eZ]\eT¡_a`'d�Zg` hp^O7XUZ]\eO h ��ZgdkTUl+c'pk_ac|O�pk\^TUO7d�¢äz�` S5O7l�\eT¡_a` ' �y�-O+�aT³¤aO�Z `'O7l�O7dkdeZgpji l7_a` h T¡\eT¡_a` V'` h O7p���L'T¡l}L ���O�n5c|O�l�\eZ]\eT¡_a` l�Z]` �|O*p^O7cYp^O7dkO7`�\eO h Z]dWZ+µ)L'_2¨�V'O�\WTU`�\eO��apeZgX«¢´x�T[Zg`�Z]XUX¡i´TU`�S2O7l�\^TU_a`¾Q'���-O>c'p^_�¤gO\eL�Z]\�dkV'l}L Z�`'O�l7O�d^deZ]pki l7_a` h T¡\^TU_a`�T¡d�ZgXUdk_PdkVY²Pl7T¡O7`�\�¢

æ�æ È }&~�ß]�]~

Page 7: An Integral Representation Theorem of g-expectations

Q � ��� ��]��� �� ������� �; ������� �{��� ������� �Ê �� � #&%'�)(*�+��,-�� ������"�

o�Zgp h _aV5n Z]` h o�O7`Y� © ��-.-a��®Pd^L'_��-O h Z]` O�n5TUdk\^O7`'l�O¾Z]` h V'`'TU¨�V'O�`'O7dkd \^L'O7_gp^O7N �Ý_ap�`'_a`'X¡TU`'O7ZgpªSY¬�­vd7¢¥x?VYpk\eLYO7p^NP_apkOg�gS|¢£o�O7`'��©j��-.-��a® )±o�,+2TU`�\^p^_ h V'l7O h \^L'O-`Y_g\eT¡_a`'d�_g�Y����O�n5c|O�l�\}Zf\eTU_g`'d�¤5TUZ&\^L'TUdl7X[Z]d^d�_g�?ªSY¬m­qd�¢¥z�`"\^L'TUd�d^O�l�\^TU_a`��f�)O)d^L�ZgX¡X�p^O�l�ZgX¡X�\^L'O)�'Zgd^T¡l-X¡O7NPN*Zgd�_]�?ªSY¬�­vd��g\eL'O-`'_g\^TU_a`�_g�'���O�n5c|O�l�\eZ]\eT¡_a`�Z]` h pkO7X[Zf\eO h ��ZgdkTUlqc'pk_ac|O�pk\^TUO7d�¢�K�_m��O0Nb_apkOvd^c�O7l�T¡ �l]�] Yn��� L � <��VS��ÏXUO�\ N�� � S G"! � !$#�|O�Z U�� h TUNPO7`'dkTU_a`'ZgX�dk\eZg` h Zgp h ª)pk_Ï��`YT[Zg`uNb_g\^TU_a` h O� �`'O h _g`+Zbl�_aNbcYXUO�\^O h c'p^_a�'Zg�'TUX¡T¡\�i�dkc�Zgl�ON�%l<"& <�:>S)Zg` h(' &)�+* G"! � !$# ��O�\eL'O�`�Z]\^V'peZ]X� �X¡\^peZ]\^TU_a`>�gO7`'O�peZ]\^O h ��i7N�� �OS G"! � !$# ��T«¢±O]¢&,��D.- ' �0/�13254VR�* \6¾O�V'dkO�\^L'O��Ý_aXUX¡_���TU`'�W`Y_g\}Z]\^TU_a` b798�N � <"��S m D;:MN<&,��S���Z h Zgc5\eO h c'pk_5l�O7d^dkO7d>=ä��T¡\eL@?A=B?DCFE/m D L =@G #GIH = N�2�S H 8�XJ2,WDKEML �ONP1798�N�%l<�&)��<�:hS moD ' N<&,��S��¯NbO7Zgd^V'p^Zg�'X¡O�peZg` h _aNÕ¤]ZgpkT[Zg�'X¡O7d ?���T³\eL = H ? H 8 L �.* < RQ� L � <"� W+1� O�\�� �|O�Z*�ÝVY`'l�\^TU_a`´�Ýpk_aNSR 8PT L � <"� W�TU`�\e_UR&¢V6¾O�d^L�ZgX¡X�d^Z�i´\eL'Z]\�� deZ]\^TUdj �O7d�L�i2c�_g\eL'O�d^T¡d©«w"��®�Zg` h ©«w��g®)T¡�b©«w��Ï® x�_ap�Zg`�i N<Wt<YX`S3�ZR[8��Y� N\W�<�X&< R�S)T¡dl7_a`�\eT¡`�V'_aV'd�TU`aR�Zg` hG #G H �J8wN\W�<�X&<�2�S H XJ2 L �]1©«wm�a® �*deZ]\^TUdk 'O7d\eL'O � TUcYd^l}L'T³\�z�l7_a` h T¡\^TU_a` b�\eL'O�p^O�O�n5TUdj\ed&Z�l7_a`Ydk\}Z]`�\)^*v � d^V'l}L \eL�Zf\

H � N<WJ_�<�X`_�< R�S5T¾� N\W 8 <�X 8 <�R�S H 4I^ L H Wa_5TbW 8 H Z H X`_5T@X 8 H W <dc6N\Wfe�<�Xge�Sh�ZR[8`<[i D U <DjK\o�Zgp h _aV5n Z]` h o�O7`'�´©j�Y-.-a��®)_a�5\}ZgT¡`'O h \eLYO��Ý_gXUXU_���T¡`'��X¡O7NPN*Z&bk0¸ � �¾�ml ����`�������/���&� � � �,� � �{�<n ���po�qrtsC� �vu�o�q>wgsFxzyi��� � �|{ ?V�(798wN�%l<�& # <�:>S�< ���������l��#.�{������}� ���\~g���n�&� ���f�!f�$u �������"u>������%������ N<Wt<YX`S,�b7 8 N � <"��S T 7 8 N � <"��S]<�� � ��%���u �������vu��f��� NO?B<k�t<��lS]<�,� � �{�O!D{���� 8����� !Y�����{� � ��� ��z����h�Wf� D ?nZ E #� � N\WF/�<�X�/�<�2�S[XJ2AT E #� X�/ XJ�(/�< � 49Rh4�� \ ©j�Ï®

KL'O��Ý_aXUX¡_Ï��T¡`'�WX¡O7NPN*Z�l7Zg` �|O��Ý_aV'` h T¡` )�0�o;2W�±o��g�£o0��+ bk0¸ � �¾��� ����`�������n�O�&� � �a_ � �vu � 8 �,� ���{�O!D{}o�qprtsQ� �vu�o�q>wgsFx�y ����� �|{ ?f_]<;? 8 ��7�8�N�%l<"& # <�:>S�<�{��� N<W e <�X e S N\inD U.<Dj SU� � �����f�������K�������&� �!P�z�����o�rts %����]�����������vu ��� �� ? D ?f_ � �vu �*Dé�a_]<?>D ? 8 � �vu �QD � 8 < ����������%�� ��� ����{Fx�� ���������������f��#.�{���O�>� %����&����� ����� v � �t��%�� ���&� �=S���"���� ! / !$# H W

_/ T@W 8/ H 8 Z E #� H X _/ T@X 8/ H 8 XJ2 H &,����4 � =¡  H ?f_ T ? 8 H 8 Z£¢tE #� H � / H XJ2�¤8H &)�¦¥ <� ������� � / m DB�J_$N<W _/ <�X _/ <D2wS5T¾� 8 N\W _/ <�X _/ <D2wS H \

òÝó æ òÝô

Page 8: An Integral Representation Theorem of g-expectations

����������� ��� ��������������������� ��������������������� �! ��" ��#$����%���� �������&� _>¸ �¾�'��� l�� ���f� �Uwa�{�f��� � �!C�O���>���������]��� ���;�{���f� ���h�!C�O� �{�/�&�������Ax����;������� �����C���&� �<�;� ! ? 8%����|� ���� ������� ?`_ ��� 7 8 N\%l<"& # <�:hS � �vu �J_�N\W _ <�X _ <�� S %����|� ��� ������� � 8 N\W _ <YX _ <�� S ��� 7 8 N � <"��S � �������N\WJ8,<�XF8�S %����|� ��� ���^��� N<W _ <�X _ S ��� 798�N � <"��S T 798�N � <"��S�\

���7�� ������ ¼ � ����� O�\���NOR]<��tS�m L � <"� W T R�� Rn<"- NOR]<��tS m L � <"� W T�� � � ��OWl7_a`�\^TU`�V'_aV'dTU`7NOR]<��tS�Z]` h VY`'T¡�Ý_apkNbX³i � T¡c'd^l}LYT¡\�z�l�_a`�\eTU`�V'_gV'd�TU`��u\

ª0iu\^L'O�O�nYT¡dk\^O7`'l�OW\eL'O�_ap^O�N _g�-S5¬�­�|\eLYO7p^O�O�n5TUdj\ed�Z*VY`'TU¨�V'OWdj\epk_a`'�>dk_aXUVY\^TU_a` '�� ��� �/ *�d^Z]\eT¡dj�� i5T¡`'��\eL'O"SY¬m­ b � X � / D���N�2`< � /�S�XJ23Zm- N�2`< � /[S[X �(/]<� � D��u<Q2M� L R]<"� W�\ ©¶�a®

� O�\! ^N"�tS���O*Z l7_a`�\^TU`�V'_aV'd��ÝV'`'l�\eTU_g` h O� �`'O h _a`�Réd^VYl}L¾\eL�Zf\! ^N � ��� �# S�� 7 8 N\%l<"& # <�:hS�Zg` hN\W ��� � <�X ��� � S��O�\eLYO�dk_aXUV5\eTU_g`�_g��\^L'O�ªSY¬�­/bWF/ D# ^N � ��� �# S�Z E #/ � N\W%$�<�X�$Y<'& S�X(&nT E #/ X�$�XJ�)$,< 25� L � <"� W�\ © ' ®

o�Zgp h _aV5n Z]` h o�O7`'�´©j�Y-.-��a®)c'pk_�¤aO h \eL'O��Ý_aX¡XU_���TU`Y��XUO�NbNbZ&bk0¸ � �¾�* ����`������� ���&� �/����� !D� � %�� �����&� ��<Y- <+ �<k� � ����,�- � ����� � �f� �vu �"uBu ��������� ����� �����/� �vu �{���N\W ��� �/ <�X ��� �/ S � �@�����l�������K������� �!>�z��>�Oo/.As��;�O�����o�� s10 NOR]<��tS m D W ��� �� � , _/� 8�N L � <"� W T RA<"RlS �{� �����B�K���\~g���a������� � ����� �!a�����C!Y�����{� � ��� �&� �]����� �u � 2l��������� ��� �u�"~g�B� ������� o43���� sF���5 � 0 NOR]<��tS�Z76 0 NOR]<��tS�Z � NOR]< 0 NOR]<8�tS�<Y-:9,NOR]<��tS 5 � 0 N�R]<��tS S D � <0 N<� <8�tS;D� ^N;�tS]< ©8Q�®

� ������� 6 0 NOR]<��tS moD _8 - 8�NOR]<��tS 5 8� 0 NOR]<8�tS�Z<��NOR]<��tS 5 � 0 N�R]<��tS�<o���� s X ��� �/ D - N+2.< � ��� �/ S 5 0 � N+2.< � ��� �/ S�< �$x��gx 2 � L R]<"� W <9� ������� 5 � 09�{�f�����l�&� �]� ��� � u ���]����� � ��� �8�!0 \syd^T¡`'�PªSY¬�­ ©j�Ï®��?o�O7`Y� © ��-.-$�a®)T¡`�\ep^_ h V'l�O h \eLYO�`Y_g\eT¡_a`�_g�����¯O�n5c|O�l�\eZ]\eT¡_a` b=�¸(>?� � ��� ¼ � l ����`������� ���&� � � �,� � �{�<n ��� o�qrts*� �vu o�q>wgsFx�yi���a� �|{ ?m� 7�8�N\%l<"& # <�:hS]< �{���N\WA@ � gB� #� <�XC@ � g+� #� S � �C�����^�������K������� �!>�z��>�Oo�rtsFxD lFEHG � % � ��� e #g L ? W � �vu e #g L ? H &,�dW u �<n � �"u � {e #g L ? W�moD.W @ � gB� #G 1 e #g L ? H &)�dW m D.W @ � gB� #� < � 49R34�� <

����������%�� ��� ����{Q����� ��" ��#$����%���� � ������� �vu �O���f%����vu ����������� � ��" ��#$����%���� � �����7�!C�����>��� �vu ���£��� �]� "� � �{� ? ��� ��� � ���"u � { � ��� �O���@����� �C���������D��� � L � <��AW xæ�æ È }&~�ß]�]~

Page 9: An Integral Representation Theorem of g-expectations

� � ��� ��]��� �� ������� �; ������� �{���D � EHG � % � ��� =��[N�?B<^�&S u �<n � �"u � { =��[NO?&<^�&S3moD]XC@ � gB� #� < � 4 RQ4I� <

�O���5� ��� � ����� ���\{a�!C�����@��� �vu ���£��� �]��� � �{� ?&\D * E yi���@� �|{ k ��& # < � � % � ��� :igjNOk^S u �<n � �"u � {:igjNOk^S moD e #g L UYqrW�O���� " ����� � � � ��� ���\{ �!^�O���f�t� ����� k xK�_ d^T¡Nbc'X¡T¡� iu`'_g\eZ]\eT¡_a`����-ObpkO���p^T³\eOfe #g L ?jW¶�ue #g L ? H &,�dW0Zg` h :igjN � S�Zgd^e #� L ?jW�ie #� L ? H &)�dW0Z]` h : � N � Sp^O7dkc|O�l�\^T¡¤aO�X¡i�T³���bTUd�_g��\eLYO��Ý_gp^N b�� N\W�<�X&< R�S3moD���NOR�S H X H ¢>¸ �¾�'��� � D lFE�� � �����f�`����{�� � ! � D � < ������� e #g L ? H &,�{W6D = L ? H &)�dW � e #g L ?jW5D =@? � �vu :ugjN�k^SAD: NOk^S]\D � E � ���C��� ������� � �J{ =��[NO?&<^�&S �{�f% � ���{�"u�� ��� � � ��� ���\{8�{� � ��% �F� �����h����Oo�rtsa% � � � �C��� � �]��� ����� ���

e #g L ? H &,�{WtD e #g L ? WBTME�G� N<W�/�<�X�/]<D2wS�XJ2;Z E �

G=v/$NO?&<^�&S�XJ�(/�<

� � ��%��Q�{�n�O����� � �]� ��� `� �{��� ����������������� � ����� � ����������� � ! � � \ � � �{�A� ����� � ����� � ����� � �,� ���D{%����|� ����������� ��^�����f� �C�����@�������������h�^��� � ��#.� ����%��������vxD * E � ��� :ugjN � S�" ����� � � � ��� ����{Q�{�>� � ����� ��� � � �;����� � � � ��� ���\{ � � ���t�K���gx

ª0i´¬yO� �`'T³\eT¡_a` �g����e #g L ? H &,�dW <D=��[NO?&<^�&S� "l�_a`'dkTUdk\^dm_g�¥Zbc�Z]TUp�d^_aX¡VY\eT¡_a`�_g�qªS5¬�­Í©j�Ï®�¢x�_apyl�_a`5�¤aO7`YTUO7`Yl7Og��T¡`´\eLYTUdmc'Zgc|O�p7�C�-O�d^L'ZgXUX�V'd^O N<Wt<YX`SyZg` h � e #g L ? H &)� W�<D=���NO?&<^�&S� WZ]X¡\eO�p^`�Zf\eO7X³i�\e_>O�nYcYp^O7dkd\eL'O�d^_gXUVY\^TU_a`�_g��ªSY¬m­ ©j�Ï®�¢

>¸ �¾�'���<* D lFE � ��� ��" ��#$����%���� � ����� e #g L �1W �i%����&���\u �����"u���� ��� ����� ��� � � �3��������� �����/��� 7 8 N\%l<"& # <�:hS �� �t�&� ����{ u �������vu�� � ���C������{ ��� ��� �K�C� �o��� ��� � \ � �&� �n�{���l� ! ? �{� & $Y" � � ���t� ��� � �{���������{�%����]��� ������{ &,�" � � ���t�K��� � �{�6!Y���>� ��� R v &w< � � �;�O���f�"~g�&� � ����{e #g L ?jW�D e �g L ?jW�< � 4 & 49Rh4�� <

� �F{/!$� ��� xy ��� ��# � �����{���A�{��� ��D U �A�O����� e #g L ? W D =@?^Z�� < � �vu e $g L ? W D =C?CZ &�< ���J� � � ! ���D &w<�O����� e #g L ? W��D e $g L ?jW�\ � �&� � �{��� e #g L �1W u �������vu��>��� �O���@����� �C���������t��� � L � <"� W \

òÝó æ òÝô

Page 10: An Integral Representation Theorem of g-expectations

����������� ��� ��������������������� ��������������������� �! ��" ��#$����%���� �������&� �D � E � ���C� � ������� � ����% � � ��#$����%���� ������� = L �1W �[����� � �"u ���h� � ��� � � � ��������� �����h��� 7 _ N\%l<"& # <�:hS]< �&����O��� �������������\{^���&� � = L � H &)�dWtD � !Y��� � ����%����&����� ��� �U�ZRA\ � ��� �����������]�\{5�`�t�&� ����{^�{�/� ���u� �D���!Y��� eKg L �1W x � ����!Y�����{� � ��� ��{���f� � �����f���\u ��� %����vu ���������&�U�K�vu ��� � � ��%�� ����� ��" ��#$����%���� � ����������������t� ���n�t�r%�� �@�����������]�\{ �k0¸ � �¾� � � ��� !Y�����{� � ��� %����vu ��� �����&�@� ���h�"~g�K����� �{�����+�D lFE � N\W�< � <�R�S5D � < !Y���>� ��� N<Wt< R�S3��R T L � <"� W+1D � E e #g L � H &)�{WtD�� !Y���@� ��� �U�ZR,1D * E�� moD e #g L ? H &,�dW �{�C�����5�K���\~g��� &)��T � � ���t� ��� � �{�C��� �vu ���£��� �]��� � �{�l�t�r%�� ���&� �e #g L UYq�? WtDVe #g L UYq � W < ctk �Z&,��< R3� L � <"� W�\

� � ¼�¼�� � © �Ï®�� © ' ®-�Ý_gXUXU_���d)�Ýpk_aN )Ûo�,+�© ' ®�� ©«�a®)TUd_a��¤2TU_gV'd7¢�&_�� XUO�\�V'd�c'p^_�¤gO>©«�a®�� ©j�Ï®]bx�_apmZg`�i ��� � <CX¡O�\�Wf� moD e #g L � H &)�{W¶�C\^L'O7`+��i \eL'O h O� �`YT¡\eT¡_a`´_]�;e #g L � W«� N<W`��SyT¡dy\^L'OWd^_gXUVY\^TU_a`_g��\^L'O�ªSY¬�­/b W`� D��lZHE #� � N<W�/�<�X�/]<D2wS�XJ2/TME #� X�/[XJ�0/]< � 49Rh4�� \

z¯\�Ý_aXUX¡_Ï��d��i}Wf��D �b\eL'Z]\��)O�L�Z�¤aOE #� � N ��<�X�/�<D2wS�XJ2AT E #� X�/[XJ�0/ D � < c�Rz� L � <"� W \

µ)_a`'d^O�¨�V'O7`�\eX³ia�vXg�uD � <0ZY¢±O]¢.Rh� L � <"� W�Z]` h � N ��< � < R�S D � < ��\ �.\ Rh� L � <��AW \�

� x�p^_gNÕ`'_�� _g`��'�)O�Zgdkd^V'NPO�\eL�Zf\&�bdeZf\eTUdj �O7d

N����.S � N\W�< � <�R�S5D � <�c6N\W�< R�SQ�ZR T L � <"� W \k0¸ � �¾��� yi���C� �|{ &�� L � <"� W�< � ! ?V� 798�N�%l<�& $$<�:>S � �vu � �,� ���{�<n ����o�q .As�� �O�����e #g L ?jWtD e��g L ? W < �B� L &�<��AW \� � ¼�¼�� � X¡O�\>N�e �g L ? H &,�dW <�X �/ S)��O�\eL'O�d^_gXUVY\^TU_a`�_g��\eLYO"ª�SY¬�­/bW��� D ?AZ E �� � N\W��/ <YX��`<D2wS�XJ2/T E �� X��/ XJ�(/�\

æ�æ È }&~�ß]�]~

Page 11: An Integral Representation Theorem of g-expectations

� � ��� ��]��� �� ������� �; ������� �{���z¯\�TUdO�Z]dki�\e_�l}L'O�l}¦�\eL�Z]\�T³���*deZ]\^TUdj �O7d"©«w ' ®��5\eL'O�` N<W`��<�Xg� S h O� �`'O h ��i

W`�imoD � ?B< R P � 1e �g L ? H &,�{W <pR L �&\ Xg�5moD � � < R P � 1X �� <FR L �B\TUd�\eLYO�dk_aXUV5\eTU_g`�_g�¥ª�SY¬�­/b

W`� D ?nZ E@#� � N\WF/�<�X&<D2wS�XJ2/TME � X�/[XJ�0/�\ª-i>\eLYO�VY`'TU¨�V'O�`'O7dkdy_g��\eLYO�dk_aXUV5\eTU_g`�_g��\^L'O�ªSY¬�­�

e #g L ? H &)� WtD e �g L ? H &)� W�< Rh4 &P4 �B4I� \z�` c�Zgpj\eT¡l7V'XUZgp7�5T¡�uR D � �Y�)O�l7_gNbc'X¡O�\^Om\eL'O�c'pk_5_]� ¢s&` h O�pyZ]d^d^VYNbcY\^TU_a` ©8w ' ®���Zgc'cYX¡i2TU`'� � O�NbNbZf_5�Y��T³\eL'_gVY\�XU_adkd�_g���aO7`YO7peZ]XUT¡\�ig�5�-O�d^L�ZgX¡XC��p^T³\eOe #g L � W�dkTUNPc'XUO�Zgd e&g L � W \S�¢qo�O7`Y�9)Ûo��$+d^L'_��-O h \^L�Z]\�\^L'O ���¯O�n5c|O�l�\eZ]\eT¡_a`�Zg` h \eL'O�l�_a` h T³\eTU_g`�ZgX-���¯O�n5c|O�l�\eZ]\eT¡_a` _g��Z

peZg` h _aN ¤]Zgp^TUZg�'XUO/?"c'p^O�d^O�pk¤aO�NbZg`�iP_g��\^L'Om��Z]d^TUl&c'pk_ac|O�pk\^TUO7d-_g��\^L'OmNbZ]\eLYO7NbZ]\eT¡l�ZgX'O�n5c|O�l�\}Zf\eTU_g`Zg` h l7_a` h T¡\^TU_a`�Z]XCO�n5c�O7l�\}Z]\^TU_a`¾©8O�nYl�O7cY\yXUT¡`'O�Z]p^T¡\�iY®�¢¥x�_apO�nYZgNPc'X¡Og�� � ¼ ¸ �Ï� ¹ l D lFE e&g L ? W�D e&g L e&g L ? H &)�dW W < e&g L �.WtD ��<dc �U� � \D � E eKg L eKg L ? H &,�dW H & $�WtDVe&g L ? H & $ � �{W�1D * E eKg L ?nZ � H &)�{W�D ?nZ eKg L � H &)�dW < � ! ? �{� &,��" � � ���t� � � � �{�gxKL'Oy�Ý_aX¡XU_���TU`Y��O�nYZgNbcYXUO7d-d^L'_�� Z�p^O7XUZ]\eT¡_a`P�|O�\��)O�O7`�����O�n5c�O7l�\}Z]\^TU_a`'d0Zg` h N*Zf\eL'O�N*Z]\^TUl7ZgX'O�n5c�O7l��\}Z]\^TU_a`'d$b��� � � �$ ¸ l ��! ?��O798�N�%l<"& # <�:>S � �vu � N<Wt<YX&< R�S D ��NOR�S H X H �>������� � moD ' ��NOR�S�* �{� � �g~g�&� ���������� ��� � �{� ������%������ � �f� �vu �"u � { 0 � �O�����D �/E ��" ��#$����%���� � ����� e � L ?jW � e � L ?jWtD

���� =@?&< �fD � 1� ������� = � L ? W < � L � 1�"��� ����� = � L ?jW�< � v � \D �4� E �3���vu ����������� � ��" ��#$����%���� �������v�e � L ? H &)� WtD

�� � = L ? H &)� W�< � D � 1����� ��������� = � L ? H &)� W�< � L ������ �"��� ����� = � L ? H &)� W�< �8v � \òÝó æ òÝô

Page 12: An Integral Representation Theorem of g-expectations

����������� ��� ��������������������� ��������������������� �! ��" ��#$����%���� �������&� -D �4� � E ��" ����� � � � ��� ���\{�� ctk ��& # <

: � NOk^S D���� :8N�klS�< �fD � 1 ������ � � N�klS�< � L � 1����� ��� � � N�klS�< � v � <

� ��������� m D ' ��� m�� ����moD � I KE ������ ��� �

E � /�� ���� ��� ��� � < H � � H 4 H �$� H < ��\ �.\.Rh� L � <"� W\* \3 �����!Ax 6 O*pkO7l�Z]XUXq�'p^T¡O$|'i�\^L'O>c'pk_5_g�)��L'TUl}L l7Zg` ��Ob�Ý_aVY` h TU` ) 0�2W�¥µ�o6+«¢�6 O�rkV'dj\�c'p^_�¤gO*\eL'Ol7X[Z]TUNPd�©8T[®��U©8T¡T ®q�Ý_gp �U4 � <Y\^L'O�p^O7dj\&l�Zg` �|O�c'pk_�¤aO h TU`�\eLYO�d^ZgNPO���Z�ia¢

z¯� �Z4 � <|�Ý_apmZg`�i ?B�@798�N�%l<�& # <�:>S�<?dkO�\8N\W�<�X`S�moD N�e � L ? H &,�dW <D=|�NO?B< �KS�S�¢�ª0iu\^L'O h O� �`'T¡\^TU_a`_g� eKg L �1W¶��N\W`��<�Xg� S)TUd�\^L'O�V'`'TU¨�V'O�dk_aXUVY\^TU_a`�_]��\^L'O�ªSY¬�­/bW`� D ?AZHE #� ��N�2�S H X�/ H XJ2 T E #� X�/[XJ�0/�< � 49Rh4�� \ ©�_a®S5O�\ �a/ moD���N+2wSjdk�a`ZX�/��'\eLYO7`uªSY¬�­ © _a®�l�Zg`���O�p^O���pkT¡\k\eO7`uZgd��Ý_aX¡XU_���d,b

W`� D ?CTME #� X�/[X � /]< © � ®

��L'O7pkO �]��D]� � T�G �G �a/�XJ2.\2ª-i���T¡p^d^Zg`'_�¤�°±d-KL'O7_apkO7N � ' �.� *�TUd-Z � � ª)pk_Ï��`YT[Zg`bNb_g\^TU_a`C�a��L'O7pkO= L ���� H & # W5m D O I KE � �� � E� � /�� � �� � � ��� � \?K�Zg¦�TU`'�*l7_a` h T¡\eT¡_a`�ZgX�O�n5c|O�l�\}Zf\eTU_g`�= � L � H &)�dW�_a`u�|_g\^L d^T h O7d_g��\^L'O�ªSY¬�­ © � ®��'�)O��aO�\ Wf��D = � L ? H &)�dWuPBO�d^d � ���� � = � L ? H &,��W <

\eL�Z]\�T¡d�� e � L ? H &)�dW PBO7d^d ������� = � L ? H &,�dW \��`W\^L'O�_g\^L'O7p¥L'Zg` h �aX¡O�\ '�� � *��|OZ]`�i"c'pk_5l�O7d^dv��_aV'` h O h ��i ' H ��� H *��aT«¢±O]¢ H � � H 4 H ��� H ¢�tmc'cYX¡i2TU`'�� O�NbNbZ>�a�Y\^L'O��Ý_aXUX¡_���TU`'��ª�SY¬�­ L�Zgd�Z�V'`'T¡¨�V'O�d^_aX¡VY\eT¡_a` N\W �,<�X��]S�<W �� D ?nZHE #� � /�X�/�X 2/TME #� X�/�XJ�(/�< � 49Rh4�� \ ©+�a®

� O�\A= L �� �! H & # WumoD O I KE"���� � E� � /�� �#�� � � ��� � ¢-S5_gX¡¤2TU`'��ª�SY¬�­ ©��a®��'�-O�L�Z�¤aOW �� D = � L ? H &)�dW \

æ�æ È }&~�ß]�]~

Page 13: An Integral Representation Theorem of g-expectations

��� � ��� ��]��� �� ������� �; ������� �{���S2TU`'l�O ��N�R�S 4 � <�\eL�V'd � �\X P ��NOR�S H X H <��Ý_ap�ZgXUX N�X&< R�SP�mR T L � <"� W <�l7_gNbc�Z]p^TU`Y� ©�_a®y��T³\eL$©+�a®

Zg` h Zgc'c'X³i2TU`'��\eLYO�l�_aNPc�Zgp^T¡d^_a`>\^L'O7_gp^O7N ©�)Ûo��$+¶��KL'O�_ap^O�N ' _5¢ ' ®��Y�-O"_g�Y\}ZgT¡`= � L ? H &,��W�D.W �� PIWf��\µ)_a`'d^O�¨�V'O7`�\eX³i

O7dkd �������� = � L ? H &,�dWuP9e � L ? H &,�{W \wyO7`Yl7O e � L ? H &)� WtD O�d^d ������ � = � L ? H &,�dW�\KL'TUd��T¡\^L´{�O7NbZgpk¦��u© �Ï®�l7_aNPc'X¡O�\eO�d�\eL'O�c'pk_5_g��_g�©8TUT[®0�Ý_ap � 4 � \�z�`uc'Zgpk\^TUl7VYX[Zgp��'XUO�\/R;D � <'�-O_a�Y\}Z]TU` ©8T[®-�Ý_ap �U4 � \ �=�¸(>?� � ��� ¼ � � o�rts(� ���^� � �vu ������� ����� � �{� ? � �vu � � ��� % � ���{�"u %���� ��� ����������%�� � !

L ?�N�� S T ?�N���� SW L � N�� S5T � N���� S�WuP � <dc��A<����|��%l\o wgs>� ��� � �.!D� � %���������� u �<n � �"u ��� 798�N�%l<"& # <�:>S �{�f% � ���{�"ua%���� ��� ���������%C�$u$u ��� ��� ��� � !� NO?nZ � S D � N�? S Z � N � S]< � ����� �t� ��� ? � �vu � � ��� %���� ��� ����������%gxo/.As>� ��� � � ��� �����"uQ�����r!D�K� %�������� = mv& # � L � <YU,W �{�f% � ���{�"u � % ���&� %����\{Q� !o�� s =8N S D � < = N�% S D Uo���� s =8N�k^Sh4 = N��fS !Y���@� �|{ k� �� \o��Fs}� ���g~g����� �������� � � � � � ��� =¡� �@� % ���&� %�����{��B!Y���^� �|{ ?V�(7�8�N�%l<"& # <�:>S�< ����� !D� � %�� ������� ��� N�? Su �<n � �"u � {� N�? S3moD E GIKJ N�= NO?QP9R�S6T9UwS&X.R�Z E JG = N�?QP9R�S�X.R

�{� % � ���{�"u8������� ���g~g�r���;�������� � � �i�! ?�� ����� ����������%��3��� = \� � ���� � �����������

� O�\ ���|Om\^L'OmdkO�\_]��ZgXUX|& # ��NPO�ZgdkV'peZ]�'XUO&peZg` h _aN ¤]Zgp^TUZg�'XUO�d � # � 798�N�%l<"& # <�:>Sv��LYTUl}L>d^Z]\eT¡dk� i\eL�Z]\m\eL'O�p^O�O�n5T¡dk\p-t<:�"d^Z]\eT¡dk� i2TU`'�*tmd^dkV'NPcY\eT¡_a`+t���dkV'l}L�\eL�Z]\ � # T¡dm\eL'OW¤]ZgX¡V'O�_]�0\^L'O�d^_gXUVY\^TU_a`'�� �+*W_g��\eL'O��Ý_aX¡XU_���TU`Y�"�Ý_apj��Zgp h dj\e_2l}L�Zgdj\eTUl h T³§CO�p^O�`�\^T[ZgX|O7¨�V�Z]\^TU_a`¾©¶S5¬�­0®�Zf\\eTUNPO>� <� X � / D#��N+2.< � /�S�XJ2 Z - N+2.< � /[S�XJ�(/]< � 4 2M4�� <� G D ���ZRA\6¾O h O�`'_g\eO���i UYq \^L'O�TU` h TUl�Zf\e_ap0�ÝV'`'l�\^TU_a`�_g��\eL'O�O�¤aO�`�\�k Zg` h h O7`Y_g\eOM= NOk^S m DVe&g L UYqrW¶¢

òÝó æ òÝô

Page 14: An Integral Representation Theorem of g-expectations

����������� ��� ��������������������� ��������������������� �! ��" ��#$����%���� �������&� �a�

��� ¸2¼ � ¸ � l ��w�`�������C���&� � � �,� � �{�O!D{�o�qrts o�q>wgs8� �vu�o�q .AsFxeKg L ?jW % � � � �C�������������������"u ���h�Z� ���g~g�����;������� ��� � !Y���>� �|{ ?�� � < �O�&� �;�{���eKg L ? WtD E GIKJQL = N�?QP9R�S5TVU,WdX.R Z E JG = N�?QP9R�S�X.R

� !@� �vu ������{Q� !C�O�������f��#.�{��� � � �a%����������|���f� � !D� � %�� �����&� � � �t��%�� �O�&� � � �{�f�!^����� !Y���]�� N\W�<�X&<�R�S3m D �tN�R�S H X H Z<��NOR�SdX&\6¾O�d^L'ZgXUX�cYp^_�¤aO�\eL'T¡d�\eL'O�_ap^O�N TU`�\^L'O�`'O�n2\&d^O�l�\eT¡_a`'d�¢

� � ��,)������ ���� ,)�"� ����������� !f��� �7�������� ��:����������������� �������� �

x?_gp�Z>�aT³¤aO7`�l7Zgc�Zgl�T¡\�i�= <�µ)LY_5¨�V'O�\b©j��-`_ _a® h O� �`'O h Zg`+T¡`�\eO7�gpeZgX���L'TUl}L�TUdyl�ZgX¡XUO h \eL'O�µ)LY_5¨�V'O�\TU`�\eO��apeZgX«¢¥¬mO�XUXUZgl}L'O7pkTUOW©j��-$�]��®-Zg` h S5l}L'NPO7T h XUO7p�©j��-g�.-�®¥�Ý_ap)\eLYO��aO7`YO7peZ]XCl�Z]d^O�d^LY_Ï�-O h \^L�Z]\ � N � S��\eL'O�_ac�O7p^Z]\e_ap_]�qµ)L'_2¨�V'O�\&TU`�\^O7�ap^ZgX h O� '`'O h TU` ¬mO� '`'T¡\^_a` ��©ÝQ�®���T¡d_g�¥l�_aNb_g`'_g\e_g`'TUl�Z h'h T¡\^T¡¤2T¡\�ig�\eL�Z]\�T¡d

� N�?AZ � S D � NO? S Z � N � S�<^��L'O�`'O�¤gO7p ?B< � ZgpkO�l�_aNP_a`'_g\^_a`'TUl]¢6¾O�V'dkO�L'O�p^O"¬mO7X¡X[Zgl}L'O�p^T¡O�Zg` h S2l}L'NbO�T h X¡O7p�°±d�p^O�d^V'X³\ed\e_PTU`�¤gO7dk\^TU��Zf\eO�ZP`YO7l7O�d^d^Zgpkiul7_a` h T¡\^TU_a`��Ý_ape&g L � W�\e_b�|O"p^O7cYp^O7dkO7`�\eO h ��i Z*µ)L'_5¨�V'O�\�TU`�\^O7�ap^ZgX¶¢36 O�`YO7O h \eL'O��Ý_aXUX¡_Ï��T¡`'��XUO�NbNbZgd7¢ � O�NbNbZ �O�n2\eO�` h d�\eL'O�l7_gp^p^O�d^c�_a` h T¡`'�Pp^O7dkV'X¡\�T¡` )±ªµ�wms´o��|µ�­6+«¢k0¸ � �¾��� ����`�������C���&� � '�� � * �{� �!C����� !Y���]�� � D�� Z E �

G�a/�XJ2 Z E �

G�t/[XJ�0/]< � 4VRh4�� < ©«��®

� ������� ' �$� * � �vu ' �Y� * � ���@� � � %����������|�r�f�`� � �f� �vu �"uC������%����������gxV� �����D �/E eKg L � � H &)�{W � � ��< =��[N �

�<^�&S � �Y�< ��� � � R]\

D �4� E ���� ��������� @�� � ����� I���� � � � ������ I � D � N � ��<B�Y�< R�S�<� �������^�O���@� ���f�����>� ���@���������^�����&��� �! 798wN�%l<"&,�<�:>S�\

� � ¼�¼�� � ª)O�l�ZgV'dkO ��Zg` h �qZgpkO)��_aV'` h O h �g�Ý_gp�Zg`�i �B� L � <"� W¶� � �� 798wN\%l<"& # <�:hS]\ � O�\ N<W`��<�Xg� S moDNOe&g L � � H &)�dW <D=��[N � � <^�&S S}¢vKL�Zg`'¦�d�\e_PZgd^dkV'NPcY\eT¡_a` ©«w ' ®��uN<W`�<�Xg��S�T¡d�\eL'O�d^_gXUVY\^TU_a`�_g��\eLYO"ª�SY¬�­/bW`� D �

�Z E #� � N\W�/�<�X�/]<D2wS�XJ2/TME #� X�/�XJ�(/�<

æ�æ È }&~�ß]�]~

Page 15: An Integral Representation Theorem of g-expectations

�Ï� � ��� ��]��� �� ������� �; ������� �{�����T¡\eL Xg� � <-Z5¢±O]¢.Rh� N �B<"� W \wyO7`Yl7O�\eL'O�Zg��_�¤aO�ªSY¬�­ l�Zg` �|O���pkT¡\^\^O7` Zgd

Wf��D ��ZHE �� � N\W�/�<�X�/]<D2wS�XJ2/TME �� X�/[X �(/]\ © -�®

tmc'c'X³i2TU`'� � O7NPNbZ��5�'\eL'O�p^O�O�n5T¡dk\ed&Z�l7_a`Ydk\}Z]`�\ � v � dkV'l}Lu\^L�Z]\= L E

�� H X�/ H 8 XJ2 H &,�{W 4 � = L H � � H 8 H &,�dW \K�Zg¦�T¡`'��\eL'O�l7_g` h T¡\^TU_a`'ZgXCO�nYc�O7l�\}Z]\^TU_a` = L � H &,�dW�_a`��|_]\eL�d^T h O7d�_g��ªSY¬�­&©�-�®����-O�_g�Y\}ZgT¡`H eKg L � � H &)�{W�T = L � � H &,�dW H 8 D H W`��T = L � � H &,�{W H 8D H = L G �� � N<W�/�<�X�/]<D2wS�XJ2 H &,�{W H 84 0 8wN �QT R�S�= L G �� H X�/ H 8�XJ2 H &,�dW4 �+0 8wN �QT R�S[= L �"��� #�� / � G H � / H 8 H &,�dW� � Zgd � � R�TU`�7 _ N\%l<"&,�<�:hS]<��L'TUl}L TUNPc'XUT¡O7d;e&g L � � H &,�dW � = L � � H &,�dW�Zgd � � R-TU`B798�N�%l<�& # <�:>S�\��`�\eL'O�_g\^L'O7pL'Zg` h �'�Ýpk_aN ©8��®��

��D � �&Z E �� �a/�XJ2;Z E �� �D/[X �(/]<

\eL�V'd = L � � H &,�dW�T � ��D = L E �� �a/[X 2 H &)� W � � Z]d � � R)T¡`�7 8 N\%l<"&)�<�:hS]\wyO7`Yl7O e&g L � � H &)�{W � � � Zgd � � R]\S5_ L eKg L � � H &)�{W�<D��� v � L � �<D� � vC<0Zgd � � R]\ª)VY\ L eKg L � � H &)�{W�<D��� v�D E

�G=v/$N �

�<k�BS[XJ2`< L � �<D� � vnD E �

G�D/ XJ2.\

wyO7`Yl7O =|�N ��<^�&S � �Y�<BZY¢ÛOg¢³�?Zgd � � R]<qT¡`�7 8 N\%l<"&)��<�:hS]\

wyO7pkO L � <�� v~TUd�\^L'O>l�_Ϥ]ZgpkT[Zg`Yl7O>c'pk_5l�O7dkd�Zgd^dk_5l�T[Z]\^O h \^_ \eL'O>dkO7NPT³�¯N*Zgpj\eT¡`'��ZgX¡O7d � Zg` h �;\KL'O�c'p^_2_g��_g�©ÝT ®-T¡d�\eL�V'd&l7_aNPc'X¡O�\eO]¢

òÝó æ òÝô

Page 16: An Integral Representation Theorem of g-expectations

����������� ��� ��������������������� ��������������������� �! ��" ��#$����%���� �������&� � 'tyc'c'X³i5T¡`'�u©8T[®)Zg` h \eL'O�l�_a`�\eTU`�V'T³\�i>_g�����Y�-O"�aO�\

��� � � � � ����� I���� � � � ������ I � D _

� I � =�� G �� � NOeKg L � � H &�/�W <D=�/$N � � <^�&S�<�2�S[XJ2 H &)���� � N � ��<'����< R�S�< Zgd � � RTU`B798wN�%l<"&,�<�:>S�¢¥KLYO"c'pk_5_]��_]�©ÝTUT ®0TUd�\eL�V'd&l7_gNbc'X¡O�\^Og¢k0¸ � �¾��� ��! e&g L � W �{�f%���� ��� ����������%@�$u$u ������� �C��� � < �O�&� �;�{�eKg L ?nZ � W�D e&g L ? W`Z eKg L � W�<g� ����� �t� ��� ? � �vu � � � � ��� %���� ��� ����������%�� © ����®�O����� ��������� ��#.�{���n� � � %����������|���f� �A!D� � %�� �����&� � moD ' ��NOR�SD* � � moD ' �jN�R�SD* �t��%�� �O�&� � � �{� �!Q�����!Y�������

� N\W�<�X&< R�S D ��NOR�S�X � T ��NOR�SdX I <� ������� X � moD ���� ' X&< � * � �vu X I moD � � ' X&< � * \� � ¼�¼�� � x�_apO7Zgl}L�i D U <DjK<'X¡O�\�V'd�l}L'_2_ad^O8N<W`e�<YXge�< R�Sh�ZR[8 T L � <��AW�d^V'l}L \eL�Z]\,X`_�X 8 P � \x�_apyZg`�i �(� L R]<"� W¶��XUO�\n?QD WJ_�Z�X`_$N�� �

T � � S&Zg` h�� D W 8 Z X 8 N�� �T � � S]\C����¤2TU_aVYd^X¡i ?

Zg` h � Zgp^O�l�_aNP_a`'_g\^_a`'TUl]¢ �y_]\eO�\eL�Zf\

e&g L ? H &,�dW�D e&g L ? W < e&g L � H &)�dWtDVe&g L � W < e&g L ?AZ � H &,�dWtDVe&g L ?nZ � W�\ © �a�Ï®

x?pk_aN © ����®��Y�)O�L�Z�¤gOe&g L ?AZ � H &,�dW�T = L ? Z � H &,�dW� T R D eKg L ? H &,�{WrT = L ? H &,�dW�QT R Z eKg L � H &,�{WrT = L � H &)�dW�QT R \ © �Ï�a®

tmc'c'X³i2TU`'� � O7NPNbZ � ©ÝTUT ®0Zg` h \eL'O��8Zgl�\\eL�Zf\=|�NO?nZ � <^�&S � WJ_�ZmW 8 <D=��[NO?&<^�&S � Wa_]<Zg` h =��[N � <^�&S � W 8 <&Zgd � � R�)O�_a�Y\eZgTU`

� N\Wa_�Z W 8 <YX`_�ZmX 8 < R�S D � N\Wa_�<�X`_�<�R�S�Z�� N\W 8 <�X 8 < R�S]<dc�X`_dX 8 P � < © � ' ®\eL'T¡d&��T³\eL N ���`S�TUNPc'X³i>\eL�Zf\y\^L'O7pkO�O�n5T¡dk\m\��-_>l�_a`�\eTU`�V'_gV'dy�ÝV'`Yl�\eT¡_a`'d ��Zg` h ����_aV'` h O h ��i ' 0 *d^V'l}L \eL�Z]\

� N\W�<�X&<�R]<]S6D ��N�R�S�X � T7��NOR�S�X I \ © ��Q�®syd^T¡`'��\eL'O�Zg��_�¤aO�NPO�\eLY_ h �5�)O�l�Zg` O�Z]d^TUX³i*�gO�\�� ¼ � ¼ $ $Ý�'� ¹ l � ���f��������� �����h�! �t" ��#$����%���� ������� e&g L �1W �{�@� ��� � � �^� 2 � �{�@� ��� � � �Axæ�æ È }&~�ß]�]~

Page 17: An Integral Representation Theorem of g-expectations

��Q � ��� ��]��� �� ������� �; ������� �{���z�`7)Ûo��$+¶�?o�O7`'�Pd^L'_��-O h \^L�Z]\�T³���*TUdl�_a`�¤aO�n \^L'O7` e&g L � W�T¡dl7_a`�¤gO�n|¢�w&O7`'l�Og� ¼ � ¼ $ $Ý�'� ¹ � eKg L �1W �{� %����|� ��#`� � !>� �vu ������{Q� ! � �{�f%����|� ��#axs&d^T¡`'��\eL'O�Zg��_�¤aO�XUO�NbNbZgd��|�-OPl7Zg` �aT¡¤gO�Z�`'O7l�O7d^d^Zgpki�l�_a` h T³\eT¡_a` �Ý_apm\^L'O����¯O�n5c�O7l�\eZ]\eT¡_a` \e_

�|O�p^O�c'p^O�d^O�`�\^O h ��i ZPµ)L'_2¨�V'O�\yTU`�\^O7�ap^ZgX¶¢��� ¸2¼ � ¸ � � �O! e&g L � W % � � � ���������������������"u � {Q�}� ���g~g�r��� ������� ��� � � �O����� ���������>��#.�{��� � � �Q%���������� "�r�f�`� !D�K� %��������&��� � �vu�� �t�r%�� ���&� � � �{�f�!^�O��� !Y���]�

� N<Wt<YX&< R�S D � NOR�S H X H Z � N�R�S�X&\ © �w_a®� � ¼�¼�� � z¯� eKg L �1Wvl�Zg` �|O�pkO7c'pkO7d^O�`�\eO h ��i Zuµ)L'_2¨�V'O�\"TU`�\eO��apeZ]X¶����i ¬mO7X¡X[Zgl}LYO7p^T¡Og°Ûd�KL'O7_apkO7NTU`9)Û¬mO]����-$�g��+�©��Ý_ap"\^L'O*�gO7`'O�peZgX0l�ZgdkOg�vdkO7O�S2l}L'NbO�T h X¡O7p )£S +[®���\eLYO7` eKg L �1W-d^Z]\eT¡dk �O�dWl7_gNb_a`Y_g\e_a`YTUlZ h'h T³\eT¡¤2T³\�ia�Y\^L�Z]\&TUd e&g L ?�Z � W�D eKg L ?jW ZMeKg L � W���L'O7`YO�¤aO�p�?bZg` h � Z]p^O�l7_aNP_a`'_]\e_a`'T¡lg¢0tmc'cYX¡i2TU`'�

� O�NbNbZ �2�C� TUdm_]�v\eL'OW�Ý_apkN b�� N<Wt<�XK< R�S/D ��NOR�SdX � T ��N�R�S�X I \�S5O�\ � NOR�SlmoD ��� ��� I� � ���8 Zg` h � N�R�S^moD��� ��� � � � �����8 <'�)O�l7_aNPc'X¡O�\eOy\eL'O�c'pk_5_g� ¢>¸ �¾�'��� � �O! � �{� �!C����� !Y���]� o�r�ts�� ������� W`� m DVe&g L ? H &)� W �{�@�����^�������K�������7�!C�����p�z����h�W`� D ?nZ E #� L � N+2wS H X�/ H Z � N+2wS�X�/�WdXJ2 T E #� X�/[XJ�0/�<� � ��%���% � � � �C��� � �]��� ����� ��� W`� D ?nZHE #� � N+2wS H X�/ H XJ2ATME #� X�/[X � /]<� ������� � � moD � ��T G �G � N�2wS�XJ2.< �{�@� � " � ��� � ����� � � ��� ����� � �vu ��� � u �<n � �"u � {X �X : D � � � ' T Uj E #G � 8 N�2wS�XJ2 Z E #

G� N�2�S[XJ�0/Y* \� �J� ��� � ���O���f� � �{�����C�!/ ��� ����� � ���\{ �5��� �O����������� �!���� �{�3�&�������Y� � �l�����t�K� ��� � \ � �O����� � �{��� � �% � �7%����&���\u ���h�f�K� ����� � �{��� ���������/����� � � � ��� ����{ ���&� %�� N\%l<"& < � S]\

� � ��� ,)�������Õ,)��� ���������"� !]���Á���������¥ �������������������� ������"�

z�`>\eL'T¡d�d^O�l�\eT¡_a`��Y�-O���TUX¡X|cYp^_�¤aO�\^L�Z]\�\^L'O�`'O7l�O7dkdeZgpji�l7_a` h T¡\eT¡_a`*T¡`�KL'O7_gp^O7N ��TUdZ]XUd^_�d^VY²Pl7T¡O7`�\�¢K�_ h _Pd^_'�'�-O�`'O7O h \^L'O��Ý_aXUX¡_Ï��T¡`'�WX¡O7NPN*Zgd$b

x�_apmZg`�i � # � � <CX¡O�\ � # ��O�\^L'O�¤]ZgXUVYO�_g� '�� � *��|\^L'OWdk_aXUVY\^TU_a`´_g�v\eL'O"�Ý_aXUX¡_Ï��T¡`'�*SY¬�­��Z]\\eTUNPO>� b � X � / D#��N+2.< � /�S�XJ2;Zm- N�2`< � /�S�XJ�(/�< � 4 2M4�� <� G D��u< �Z� � < © � � ®��L'O7pkO ��<Y-�deZf\eTUdj� i�tmdkd^V'NPcY\^TU_a`�t�¢

òÝó æ òÝô

Page 18: An Integral Representation Theorem of g-expectations

����������� ��� ��������������������� ��������������������� �! ��" ��#$����%���� �������&� �w_k0¸ � �¾��� ����`�����������&� � � �vu�� � ��� � � � � ��� ����������%h!D� � %��������&� �t��%��V���&� � ^N � # S � �vu� D � N � # S3� 7 8 N�%l<�& <�:>S�< � �vu8�{��� N\W�� <�X��tS � �vu N\W�� <YX���S � �@�����l������� � �����&�f�!l�O���p�z��>�z�W`� D ?nZ E #� � N<W�/�<�X�/�<D2wS�XJ2AT E #� X�/[XJ�0/�< © � �a®� ���O�7�������f����� �9��� ������� ?�D ^N � # S � �vu ?�D � N � # S�< ����������%������ ����{�x �O! � � - < �� � �vu � � ��������t�K� �"u8��� � � , - < ������� X �� X �� P � < �$x��gx RQ� L � <"� W�\� � ¼�¼�� � � O�\ '�� ��� �/ *W��O�\eLYO�dk_aXUV5\eTU_g`�_g��\^L'O"SY¬�­/b

� X � ��� �/ D#��N+2.< � ��� �/ S�X.R Zm- N�2`< � ��� �/ S[X �(/]<� � D��u< 2� L R]<"� W�\Zg` h X¡O�\ N<W ��� ��� �/ <�X ��� ��� �/ S�Z]` h N\W ��� ��� �/ <YX ��� ��� �/ S���O-\^L'O�d^_gXUVY\^TU_a`'d�_g��\eLYO)�Ý_aXUX¡_���TU`'�&ªSY¬m­ l7_gp^p^O�d^c�_a` h �TU`'�W\^_ ?>D� ^N � �� �# S]<^�QDB�J_�Zg` h ?>D � N � ��� �# S�<k�QD � 8 ��pkO7d^c�O7l�\eT³¤aO7X³i�bW`� D ?nZHE #� � N<W�/�<�X�/�<D2wS�XJ2AT Em#� X�/[XJ�0/�<\eL'O�`���_a��¤2TU_aV'dkX¡ig� � # D � G � �# Zg` h X �/ D.X G � ��� �/ <�X �/ D]X G � ��� �/ \

ª-VY\&��i � O�NbNbZ ' ©ÝTUT ®��� X ��� ��� �/ D - N+2.< � ��� �/ S 5 � 0 N+2.< � ��� �/ S�<eZY¢±O]¢D25� L � <��AW�1X ��� ��� �/ D - N�2`< � ��� �/ S 5 � � N�2`< � ��� �/ S]<}ZY¢ÛOg¢D2� L � <"� W�< © ����®

��L'O7pkO 0 NOR]<8�tS m D.W ��� ��� �� Zg` h � NOR]<��tS moD.W ��� ��� �� \�KL�V'd���T³�uR D � <YT¡\�Ý_aX¡XU_���dX �/ X �/ D.X G � ��� �/ X G � ��� �/D - N�2`< � /�S 5 � 0 N�2`< � /[S�- N+2.< � /[S 5 � � N+2.< � /[SD - 8�N�2`< � /[S 5 � 0 N�2.< � /�S 5 � � N�2.< � /�S]<0ZY¢±O]¢J25� L � <"� W \© ��-�®

z¯� �< � Zgp^OmNb_a`Y_g\e_a`YTUlg�YZgc'c'X³i2TU`'��\^L'O�µ)_aNPc�ZgpkTUd^_g`�KL'O7_apkO7NÕ�Ý_gp�SY¬�­ Z]` h ªSY¬�­��T¡\�TUd�O7Zgdki\e_�l}L'O7l}¦�\^L�Z]\ 0 NOR]<��tS�Z]` h � N�R]<��tS�Zgp^O�NP_a`'_g\^_a`'T¡lg�5�Ýpk_aN © ��-�®�¢vKL'O�c'p^_2_g��TUdl7_gNbc'X¡O�\^Og¢>¸ �¾�'��� � ��{ � ���f� �VwF�6�O���C�����t�K����������� ���&� � ��<Y- <^��<+ � �vu�� � ��� , - ��� � ���f� �� �{�^� ���� ��%������,� �t{Fx����vu ���"uf�3� !>�O������� ��#.�{��� ����<Y-��[<^����<B � � �vu�� � �t��%������&� � ����<Y-��[<^���[<+ � < � � �,� ���{�O!D{ ����������t�K�����������&�a�! � ���f� �� 7� �vu7%����|� ���� � ��� �w<"- <^��<+ �< � ����� � � < ������� � { � ���f� �ZwF�^����������t� � �/�! � ���f� �� �{�^��� ����� � �D���gx

æ�æ È }&~�ß]�]~

Page 19: An Integral Representation Theorem of g-expectations

� � � ��� ��]��� �� ������� �; ������� �{���� O�\yVYd&`Y_Ï� l7_a`Yd^T h O7p\eL'O�l7Zgd^O���L'O�p^O Zg` h � Z]p^O�TU` h TUl�Zf\e_ap0�Ý_a`'l�\^TU_a`Yd,bS2V'c'c�_ad^OP\eL�Z]\ '�� � *�TUd�\eLYO*d^_gXUVY\^TU_a` _g�&SY¬m­Ê© � � ®�¢ux�_ap�Zg`�i� L � <�d^O�\ � D '�� # P � *

Zg` h , D '�� # P � *WZg` h XUO�\hN<W��5<YX��iS�Z]` h N<W�� <�X���S���O�\^L'O�d^_aX¡VY\eT¡_a`'d_g��\eL'O��Ý_aX¡XU_���TU`'�WªSY¬�­l7_apkp^O7dkc|_g` h TU`Y��\^_ U � Zg` h U � pkO7d^c�O7l�\eT³¤aO7X³i�bW`� D ?nZ E #� � N<W�/�<�X�/�<D2wS�XJ2AT E #� X�/[XJ�0/�\����¤2TU_gV'd^X³ia� , �� <?Z]` h �)O�_a�Y\eZgTU`��k0¸ � �¾����� ����� n����� � � �f� � � ����� ���������r�t�w�`�������;���&� � �w<"- <^� �,� ���{�O!D{n����� �����t� ����� �����&� �! � ���f� � `��O����� X �� X �� P � < �$x��gx Rh� L � <"� W \ ©«�g��®

� � ¼�¼�� � x�TUp^dj\��'X¡O�\VYdyl�_a`'dk\^p^V'l�\ , - �ÝV'`'l�\eTU_g`'d��L'TUl}L l7_a`�¤gO7p^�gO�\^_PT¡` h T¡l�Z]\^_ap)�ÝV'`'l�\eT¡_a`'d7¢z�` h O7O h ���Ý_ap�Zg`�i� D U.<Dj <������ <'�-O h O7`'_]\eO���i1 ��N"�u<B��S�Z]` h ��N;�u< � S m

�rN;�u<'�$S moD � I � ����� � � � < �BN;�u< � S moD � I ������� � � � <��L'O7pkO X � � � N;�tS D � N � T �tS - < � L ��<� < ��P���1 1�X ��� � N;�tS D � N � T �tS - < � L � <� < ��P � \z¯\�TUdO�Z]dki�\e_�l}L'O�l}¦�\eL�Z]\�Ý_gpO�Zgl}L�� PpU < �rN"�u<B��S�<+ �BN;�u< � Sh� ,�- Zg` h

�BN;�u< �KS � U � � ! � � < �BN;�u<'�$S � U � � � � � < �rN"�u< � S � U � � � � � Zgd�� � � \� O�\�V'd&`'_�� c'pk_ϤgO>©«�g��®]b� O�\CN\W C� � <�X %� � S-Zg` h N\W C� � <�X C� � S0��Oy\eLYOmd^_gXUVY\^TU_a`'d0_g��\^L'Oy�Ý_gXUXU_���T¡`'��ªSY¬�­�l7_apkp^O�d^c�_a` h T¡`'��\e_?>D# �rN � # <B��S�Zg` h ?>D ��N � # < � S)pkO7dkc|O�l�\eT³¤aO�X¡ia�Wf��DV?nZ E #� � N\W�/�<�X�/�<�X.S�XJ2nT E #� X�/�XJ�(/�\

S5TU`'l�O �rN"�u<B��S�Z]` h �rN;�u< � S�ZgpkO�Nb_a`Y_g\e_a`YTUlg�YZgc'c'X³i2TU`'� � O7NPNbZ����'�-O�L�Z�¤aOX %� �/ X C� �/ P � < ZY¢±O]¢J25� L � <"� W \�y_g\^O"\eL'Z]\� �BN � # <B��S � U � Zg` h �BN � # < � S � U � Zgd��� � T¡`�798�N�%l<�& <�:>S��?��i � O�NbNbZ>�X C� � � X�� Zg` h X C� � � X�� Zgd�� � � T¡`�798�N � <"��S�\5KL'O"cYp^_2_g��T¡dl7_aNPc'X¡O�\eO]¢>¸ �¾�'��� � ��� � ���f� ���f�@� ! � �a������� � %�� � # � { ^N � # S�<z� ������� �{�a� ��� ����������%��C�������H�����%����������������vu ��� Q�����t� � �/�! � ���f� ���8�{�^��� ����� � �D���gx

òÝó æ òÝô

Page 20: An Integral Representation Theorem of g-expectations

����������� ��� ��������������������� ��������������������� �! ��" ��#$����%���� �������&� � �6¾O�`'_�� Z]d^d^VYNbO�\eL'Z]\�>T¡d_g��\^L'O��Ý_ap^N b

� N\W�<�X&<�R�S6D���NOR�S H X H < ©«�5�Ï®��L'O7pkO �PTUd�Z�l7_a`�\eT¡`�V'_aV'd�ÝV'`'l�\eT¡_a`��|_aVY` h O h ��i}^6\k0¸ � �¾�ml�� ����`�����������&� � ?V� � � �vu � _34 � 8 4 ����� � �{�^� ���"~g����� %��n��� � x � ��� k,eim D ' �9m?rN�� S;P � e�* < i D U.<�jK<������ < � x�� �����h!Y���@� �|{^��������� ��� �����"~g�r��� %�� ' �Ye * e�� _ �

e � L

� e�� _ ��e�UYq�� H &)�{WtD

� e�� _ �Yede � L UYq�� H &)�dW < Rh� L � <"� W \���8�&� �]����%t�K� � �Y�e � L

� e�� _ �Ye�U,q��dWtD

� e�� _ �Yede � L UYq��dW�\ ©«�a�a®

� � ¼�¼�� � x�_apmZ]`�i � v � ��\eL'O��ÝV'`'l�\eTU_g`´� � h O� �`'O h ��i � � N\W�<�X&< R�S�moD ��N�R�S H X H 8 Z � <�TUd h T¡§|O7pkO7`5�\eT[Z]�'XUOm��T³\eL�p^O�d^c�O7l�\y\^_�XPZg` h T¡\^d h O7pkT¡¤]Z]\^T¡¤aO�T¡dV'`'T³�Ý_ap^NPX¡iP��_aV'` h O h ¢� O�\ N<W e � �� <YX e � �� S)��O�\eL'O�dk_aXUVY\^TU_a`�_]��\^L'O�ªSY¬�­

W`� D UYq���Z E #� ��N�2�S N H X�/ H 8 Z � S�XJ2 T E #� X�/[XJ�0/�<[i D U.\ jK<������ < �5\tmc'c'X³i2TU`'� � O7NPNbZ�� Zg�aZgTU`��AN<W e � �� <�X e � �� S � N\W e <�X e SWZgd � � � T¡` 7 8 N � <"��S T 7 8 N � <"��S�<���L'O7pkON\W e <�X e S�Zgp^O�\^L'O�d^_aX¡VY\eT¡_a`'d�_g��\eLYO"ª�SY¬�­/b

W e� D U,q��&Z Em#� ��N+2wS H X e/ H X 2 T Em#� X e/ XJ�(/]<[iiD U.\ jK<������ <��5\ ©«� ' ®� O�NbNbZf-�TUNPc'XUT¡O7d0\eL�Z]\��Ý_ap�Z]`�i i <��hD U.<DjK<������ <�� <X e � �� X� � �� P � \wyO7`Yl7Og� X e� X � P � <BZ5¢±O]¢.Rh� L � <"� W < i <��fD U.<DjK<������t<��5<��L'TUl}L TUNPc'XUT¡O7d

H

� e�� _ X e� H D

� e�� _ H X e� H Z5¢±O]¢1R3� L � <"� W�\ ©«�]Q�®

suV'X¡\^TUc'X³i2TU`'�b��i)��e0��_g\eL�dkT h O�d�_g��ª�SY¬�­ ©«� ' ®���Z h'h T¡`'���Ýp^_aN¡i D U�\e_ ����Zg` h Z]c'c'X¡i2T¡`'� ©¶�]Q�®���)O�_a�Y\eZgTU`

� e�� _ ��e W e� D

� e�� _ �Ye�UYq��BZ E #� ��N+2wS H

� e�� _ �Ye�X e/ H XJ2 T E #�

� e�� _ �Ye<X e/ XJ�0/]<æ�æ È }&~�ß]�]~

Page 21: An Integral Representation Theorem of g-expectations

��� � ��� ��]��� �� ������� �; ������� �{�����L'TUl}L NbO7Zg`'d�\^L�Z]\hN�� e�� _ �Ye W e� <�� e�� _ �Ye<X e� S�TUd�\^L'O�d^_aX¡VY\eT¡_a`�_g��\eL'O�ªS5¬�­/b

W`� D � e�� _ �Ye�UYq��BZ E #� ��N�2�S H X�/ H XJ2/T E #� X�/[XJ�0/]\

ª-i>\eLYO�VY`'TU¨�V'O�`'O7dkdy_g��\eLYO�dk_aXUV5\eTU_g`�_g��\^L'O�ªSY¬�­�

e � L

� e�� _ �Ye�UYq�� H &)�{WtD

� e�� _ �Ye�W e� D

� e�� _ ��e e � L UYq�� H &,�dW < Rh� L � <"� W \z�`uc�Z]pk\eT¡l7V'XUZgp7��\}Z]¦2T¡`'�fR D � <Y�)O�_a�Y\eZgTU` ©«�a�a® �s&d^T¡`'��\eL'O�XUO�NbNbZgdZ]�|_�¤aO]�'�)O�l�Z]`udkL'_�� _aV'p�NbZgTU`>\^L'O7_gp^O7NÕTU`�\eL'T¡dd^O�l�\eT¡_a`�¢

��� ¸2¼ � ¸ � * �l���t� � � � �{�h�!l����� !Y���]��o wJrts�� ����������!Y���C� �|{ ?V� � <�e � L ?jW % � � � �^�������������������"u���>��� ���g~g�r��� �������� ��� � �;�\x��gx e � L ? W % � � � �C������������������"u8��� ����� !Y���]� o���sFx� � ¼�¼�� � KL'O�c'pk_5_g��T¡d h T¡¤2T h O h TU`�\e_W\��-_*dj\eO7cYd,b�|� ¸ l�� tmdkd^V'NPO�\eL�Z]\/?�T¡d�|_gV'` h O h ��i�� <YT¶¢ÛOg¢ H ? H 4�� \x�TUp^dj\���Z]d^d^VYNbO^?QP � \S2O�\

? � �I moD 8� e�� _ i��j U � � �E ! @�� � � � K � �E � 1 ? � �� moD 8� e�� _ N<i Z UwS��j U����E ! @�� � � � K � �E � <

\eL'O�` ? � �I 49?V49? � �� < ? � �I � ?B< ? � �� � ?PZgd � � � TU`B798wN�%l<�& # <�:>S�Zg` h �� J e � L ? �

�I WtD � J e � L ? � �� WtD e � L ? W \

�y_g\^O�\eL�Z]\&T³\TUdO7Zgdki�\^_PpkO���pkT¡\eO^? � �I Zg` h ? � �� Zgd

? � �I D 8� e�� _ �j U � @ � ���E � < ? � �� D 8� e�� _ �j U � @ � � ��� K � �E � \tmc'c'X³i2TU`'� ©«�a�a®��Yp^O7NPO7N��|O�p^TU`Y�W\eL'O h O� �`'T¡\^TU_a`�_g�5: � NOk^S D e � L UYqrW�<'�-O�L�Z�¤aOe � L ? �

�I WtD 8 � e�� _ �j : � NO?QP i��j S�< e � L ? � �� WtD 8 � e�� _ �j : � NO?QP N<iuT9UwS��j S�\

ª)VY\ 8 � e�� _ �j : � NO? P i��j Sh4 E��G: � NO?QP9R�S[X.Rh4 8 � e�� _ �j : � NO?QP N<i�TVUwS��j S�\

òÝó æ òÝô

Page 22: An Integral Representation Theorem of g-expectations

����������� ��� ��������������������� ��������������������� �! ��" ��#$����%���� �������&� ��-wyO7`Yl7Og�

e � L ? � �I W 4 E �

G: � N�?QPVR�S�X.R349e � L ? � �� W \

� O�\�� � � <e � L ?jW�DFE��

G: � NO?QP9R�S�X.R]\ ©«�._a®

KL2VYdAe � L ? W�l�Zg` �|O�pkO7c'pkO7d^O�`�\eO h ��i*\eL'O"µ)L'_2¨�V'O�\yTU`�\eO��apeZ]X¶¢S2O7l7_g` h �?T¡�u?�TUd`Y_g\�c|_gd^T¡\^T¡¤gOg�'X¡O�\ ?>D ?AZ � <'\^L'O7` � 4 ?V4 j � <�tmcYc'X¡i2TU`Y� ©¶�._a®��Y�-O"L�Z�¤gOe � L ?jWtDFE

8 �G: � N ?QP9R�S[X`R D E �I �

: � N�?QP9R�S�X.R]\ª-i�ovp^_ac�O7pj\�i+��© ' ®��Y�-O�L�Z�¤aO

e � L ?jWtD e � L ?nZ � WtD e � L ? W Z � \µ)_a`'d^O�¨�V'O7`�\eX³ia�

e � L ? WtD e � L ?jW�T � D E GI � L: � NO?QP9R�S5TVU$WdX.R Z E �

G: � N�?QP9R�S�X.R]\ ©«� � ®

�|� ¸ ��� � O�\� ^N;�tS7D � � NT � S�� � <�\eLYO7` �TUd�NP_a`'_g\^_a`'TUl]��Zg` h �Ý_ap Zg`�i9?O� �¾�? � moD ^N�? S�TUd���_aV'` h O h ��i � ¢>ª-i S2\^O7c:�a�ue � L ? � WqT¡d�_g�-\^L'O��Ý_ap^N ©«� � ®�¢ � O�\ � � � Zg` h`'_g\eO�\^L�Z]\ ��

� J e � L ? � WtD e � L ? W <Y�-O"_a�5\}ZgT¡`e � L ? W�D E GIKJ N�: � NO?QP9R�S5TVUwSKX`R Z EJG: � N�?QP9R�S�X.R]\

��P��� ��¼2» $ ¸ ½���� ¸ � �Ï�g� KL'O��-_ap^¦ �)Zgd h _a`'O���L'T¡XUO µ)L'O�` �)ZgdP¤2T¡d^T¡\^TU`'��z �y{&z�tÁTU` ��- -.-Y�

��L'_ad^O�L'_gd^c'T³\}ZgX¡T¡\�ibL'O h O7O�c'X¡i�Z]c'c'p^O�l7TUZ]\eO h ¢KL'OZgVY\^L'_apkd�L�Z�¤aO)�|O�`'O� '\^O h �Ýpk_aN V'd^O��ÝV'X h T¡d^l�V'd^dkTU_a`'d���T¡\^L�S5L'T¡�aO)o�O7`'�Y� � Z]p^pki"­vc'dj\eO7T¡`�� �&TUl7_gXUO­qXu0�Zgpk_aV'T�Z]` h�� ¢£o�¢ � O�c|O�X¡\^TUO7p�¢

{&O��ÝO7p^O�`'l7O�d)Ûª3+-{�¢�ª-V'l}¦ h L�Zg`�� �n� %� � � ��ua������%��&����� ��%Uu � 2l������������� � �"~g�B� �������&�Uu �]��� ��� � { � � � �]����� `� �{���

oqpkO7c'pkTU`�\����Y-.- ' ¢)Ûªµ�wms´o6+o�¢�ª)pkT[Zg` h x)¢�µ)_5¨�V'O�\�� 4W¢�w&V$� � ¢�suO�NbT¡`��vS�¢£o�O7`'�'� � %����|� �������a%������&� ���{������O����������� !Y�����z���� �C� �vu ����� � ���"uC�����������]� �����gx)±µm�,+��¢£µ)L'O7`C� � %���� ��� ���������%l�O����������� �!>�z��>�;�@� �vu8���O�h���`��� ��% � �������&�gx oqpkO7c'pkTU`�\����]�a�Y�a¢æ�æ È }&~�ß]�]~

Page 23: An Integral Representation Theorem of g-expectations

�g� � ��� ��]��� �� ������� �; ������� �{���)±µ��+��¢£µ)L'O7`C� �p�����������]��{a�!>�z���� ��� µm¢±{�¢�tl7Z h ¢-S5l7T«¢qo�ZgpkTUd�� ' � � ��o�¢�Q�� ' �¯Q��a�Y¢)±µ�o6+ �¢�µ)L'O�`��'S�¢£o�O7`'�'� � u � � � %������������ @��� �"~g�&� � ����{h� �vuh���O�����`��� ��% � ��������� S2\}Zf\�¢vZg` h ovpk_a��ZY¢

� O�\^\^O7p^d�����-.-.-5¢)±µ�­6+ �¢ µ)LYO7`�� � ¢ �u���������������� � � F� ����{��t���{���� �vu����������t�����\�K�]�f��� %����������|�r�f�`� ����� ��� ovp^O7cYp^TU`�\7���-.-.->¢)±µ)L&+ ��¢�µ)LY_5¨�V'O�\�� � �������D{f�!A% ���&� %���� ������� tm`Y`�¢¥z�`'dj\�¢vx�_aV'pkTUO�p©���p^O�`'_a�'X¡O�®�_5�Y� ' ���j� -._5�Y��-._._5¢)Û¬n+|{�¢5¬mZgp^X¡TU`'�'� �3���&��� �D��%�� ��� C`� �f� �h� � �]� ��� `� �{��� � �����C��������%���� � �"uh� ���f��������� ����� M�z��>�;���tm`'`�¢0ovp^_g��¢¡��� ' ���Ï� ' Q]�}�Ï� � �a����-.-`_5¢)Û¬mO�+�µm¢'¬mO�XUXUZgl}L'O7pkTUO]� � ����� ~g�r���>%����f� ������� ������� �t� �l�{��� �������{��� ��� �������pu �>% ���&� %���������� S �7NPT³�`�ZgTUpkO�ovp^_a��¢��W�|S2\^peZgdk�|_aVYp^�'� � O7l�\eV'pkO �&_g\eO�T¡` s´Zf\eL�¢³��¤a_aX«¢y��-5�a��S5c'pkTU`'�aO�pj���qO7p^XUZg�'�Yª)O7pkXUTU` Zg` h�y_�� 40_apk¦?����-$�g�Y¢)10�o;2l+)­vX¶¢ 0�Zgp^_aVYT¶��S|¢£o�O7`'��Z]` h s ¢52�V'O7`'O$zg� �z���� � ����n ��� � %���� � � �O��x�n ��� � %���� ��- -$�5��y_'¢�a�C���d�5�g¢)10l2�+'­qX«¢60�Zgpk_aV'T5Zg` h s ¢.2�VYO7`'O$zg� �{���� �f��% ����� ��� �f�f��� >� �vu/������%���� h%���������� �����5%�� � ���h���� %��������{����l� � ��`������� S5z�t�s � ¢�µ)_a`�\epk_aX���cY\eT¡Nu¢ ' ' ����-.-._5¢) � s + � ¢±o�¢ � O7c�O7X³\eT¡O7p7� � ¢£S|¢&s´Zgpj\eTU`C� �z��>�;� � ����� %����������|�r�f�`� %������V%������������ S2\}Z]\^TUdj\eTUl�doqpk_a��ZY¢ � O�\^\eO�p^d�� ' �5����-.-��5¢)ÛwA+i4��CwyV�� 33��� � � � ��� �{������% ������������������� �������8!Y���f� �t{w�������h� �!V~g�&����� ����� �o������% 3���� � ���O���>�t� "� � ��� � �f�K�vu`� �D{ %����vu ���������&��� S�\e_2l}L�¢0oqpk_a��¢0Zg` h tmcYc'XUT«¢��'Q��Y�C���$�Ï�e�Ï�5�a�|��-.- ' ¢)Ûw � +¥S|¢±wmZgNbZ h O�`'OWZg` h � ¢£o�¢ � O�c|O�X¡\eT¡O7p�� � ����� " �t� � �����%��&��������%Pu � 2l������������� �t`� � ��� � �vuU�h "��� �gx S2\^_5l}LC¢-Z]` h S�\e_2l}L�¢0{&O�c|_apj\��r_fQ'�?�a�5���j� ' �g�C��-.-._5¢)Ûoqo�,+�­¢�o�Zgp h _aV5n�Zg` h S|¢�o�O7`'�'� �,u`������"u �����K������� �!A�5�n� %� � � ��ur����%��&��������%h�C� 2l��������� ��� ��z~g�&� ������� �?S2i2dk\^O7NPdmZg` h µ)_g`�\^p^_aX � O�\^\eO�p^d����7Q'�r_._Ï� � �a�|��-.-a�Y¢)Ûoqo0��+�­¢2o�Z]p h _aV2nbZg` h S�¢5o�O7`'�Y� �n� %� � � ��u5� �f� � ��{Mr����%��&����� ��%��C� 2l������������� ���h~g�B� ������� � �vu� �B����� " � ��� � � � 3���� ��� � O7l�\^V'p^O �y_]\eO7d�T¡`´µ)zjS�� �q_aX¶¢���� � �?S5cYp^TU`Y�a�aO7p �¯¤gO7p^XUZg�'�'�g�a�f� �5� �5�|��-.-��5¢)Ûo�,+|S|¢±o�O�`'�'� �z���� � �vuh����� � ��"u ��� ��#$����%���� ��������� ovT¡\^N*Z]`�{&O�d^O�Z]p^l}L �&_g\eO�dqTU`bs´Z]\^L'O7NbZ]\eT¡l7dS5O7pkTUO7d����y_'¢ ' � Q'��oqo ��QY���}�w_j-Y�C��- -$�5¢)Ûo0��+�S|¢ao�O7`Y�b� � ��� ���������% � ���f��� ������������� �!3�z��>�H� �vu>� ����� ��� � � ��u ��%�������������������� ��������������!>� ��� �," � �t{ ���^�\{]���gx oqpk_a��Zg�C¢0KLYO7_apji� {�O7X¶¢¥x�TUO�X h d����a� ' �YQa� ' �¯Q`-.-Y����-.-.-5¢)Ûo ' +0S|¢±o�O�`'�'� 33��� � � � ��� �{������%f������������������� �������8!Y���h�t{�������h� �!V~g�&������� ��� � � � 3 � � � � ��� ��%n����� � ��� ��%3[�>� � �vua���`��� ��% � � ������� S2\^_5l}L�¢qZ]` h S�\e_2l}L�¢0{&O�c|_apj\ed�� ' �5� � ���d�]Q'�|��-.-Y�g¢)±s´o54l+ � ¢£s´ZY� � ¢±oqpk_g\^\^O7p�� � ¢ 40_a`'�Y� ��������� zy ��� � � ��u "d� � %� � � ��u ������%��&����� ��%[u � 2l������������� �K�"~g�&� � �����&����A!Y�f�K�l������� ��%������ ��� oqpk_a��ZY¢qKL'O�_apki�Zg` h {&O�X[Z]\^O h  �O7X h d7�r-g�Y� '.' -Ï� ' _ -5�C��-.-]Q'¢)±S|�,+�¬�¢?S5l}L'NPO7T h XUO�p7� �������� � � �t������������������� ������� � �������f�K�3�$u$u ������������{�� oqpk_5l�O7O h'h TU`Y�ad_g��tmNPO7pkT³�l�Zg`´s´Z]\^L�¢0S5_2l7TUO�\�ia� �q_aX«¢ -$�5� �y_'¢-�5�'cC¢)� _._Ï�j� � �a����-a� � ¢)±S'��+�¬�¢ÏS5l}L'NPO7T h XUO�p7� �� � �Y��� ��� ������� � � � ��� ���\{n� �vuC��#$����%���"u,�K����� ����{ � ���O���f� ���$u$u �����������\{�x ­vl7_a`Y_]�NbO�\ep^T¡l�ZY�B_��5�r_F�5���[_]�$�5�C�Y-a�.-Y¢

òÝó æ òÝô

Page 24: An Integral Representation Theorem of g-expectations

Unité de recherche INRIA RocquencourtDomaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Lorraine : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique615, rue du Jardin Botanique - BP 101 - 54602 Villers-lès-Nancy Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38330 Montbonnot-St-Martin (France)

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis : 2004, route des Lucioles - BP 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)��������� ���� ���������� ��� ���

ISSN 0249-6399