an improved gravitation search algorithm for vehicle routing problem
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Nianfu Liu, Yanling Qiu, Baoyu ZhangTRANSCRIPT
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Modern Transportation September 2014, Volume 3, Issue 2, PP.39-48
An Improved Gravitation Search Algorithm for
Vehicle Routing Problem Nianfu Liu1, Yanling Qiu2, Baoyu Zhang2
1. Student management center, Zhejiang construction of vocational and technical college, Hangzhou, Zhejiang, 311231, China
2. School of mathematics and statistics, Xidian University, Xi’an, Shaanxi, 710071, China
#Email: [email protected]
Abstract
Vehicle Routing Problem (VRP) is mainly to study how to design a rational vehicle transport routes to reduce the transportation
costs. The gravitation search algorithm (GSA) is an intelligent approach which simulates the law of universal gravitational in
physics and it has a strong global searching ability. It do has certain effectiveness in solving the vehicle routing problem. Firstly,,
in order to avoid the cross pashes, a bi-level mathematical programming model is established for VRP with Multi-Time
Windows(VRPMTW). Secondly, in order to improve the search speed and the solution quality of GSA, an improved GSA (IGSA)
which merges the cross operator of genetic algorithm and niche technology is presented. Finally, the 50 and 100 group instances of
VRPMTW are solved by GSA and IGSA separately. It shows that the IGSA is much better than that of GSA in the aspects of the
optimal path length, average delay time, etc., which illustrate the feasibility and effectiveness of the model and the optimization
algorithm.
Keywords: Vehicle Routing Problem; Gravitation Search Algorithm; Bi-Level Mathematical Programming Model; Niche
Technology; Genetic Algorithm
车辆路径问题的改进万有引力算法
刘年福 1，邱言玲 2，张宝玉 2
1. 浙江建设职业技术学院学生办事中心，杭州 萧山 311231
2. 西安电子科技大学数学与统计学院，陕西 西安 710071
摘 要：车辆调度问题(VRP)主要研究如何设计合理的车辆运输路线以降低运输成本.万有引力算法(GSA)是一种模拟物理
学中万有引力定律，具有较强全局搜索能力的智能算法,对解决车辆路径问题有一定的有效性.为此,首先对带多时间窗约
束的车辆路径问题(VRPMTW)建立双层数学规划模型,避免了路径间的交叉；其次,为提高 GSA 的求解速度和最优解质量，
提出了一种与小生境技术和遗传算法交叉算子融合的改进万有引力算法(IGSA)；最后，分别采用 GSA 与 IGSA 对 50 个客
户节点及 100 个客户节点的 VRPMTW 进行求解和比较.结果表明在最优路径长度以及延迟时间均值等比较参数中，IGSA
的结果与 GSA 相比均有不同幅度的优化，说明了模型及优化算法的可行性和有效性.
关键词：车辆调度问题；万有引力算法；双层数学规划模型；小生境技术；遗传算法
引言
在构建低能耗的经济发展体系中，物流高效合理配送日益被企业所重视，其可归纳为车辆路径问题
(Vehicle Routing Problem ,VRP)。车辆调度问题(VRP)自从 1959 年提出以后，在交通运输、物流配送等领域
获得了广泛应用，而带时间窗约束的车辆调度问题(VRPTW)一直是其研究热点之一。目前该问题还广泛存
在于选址、最短路、网络布局等问题和电路设计及工业管理等领域中，根据服务对象多少，可分为单车与
多车配送的 VRP[1,2]；根据服务存在时间限制与否，可分为有时限与无时限的 VRP[3,4]；根据时间限制严重与
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否，又可分为硬时间窗和软时间窗的 VRP[5] ；根据问题中约束信息是确定的还是模糊不确定的，可分为确
定性和随机性的 VRP[6,7]；根据车辆服务过程中，是否满载访问唯一性约束，可分为满载和非满载的 VRP[8,9]；
根据车辆是从一个配送中心出发还是从多个配送中心出发进行服务，可分为单配送中心和多配送中心的
VRP[10,11]；根据车辆服务完客户后是否需要返回出发配送中心，可分为开放式和封闭式的 VRP[12,13]；根据
车辆服务完毕之后是否安装原路返回配送中心，可分为单程车和带返程型的 VRP。可见，国内外存在大量
的关于 VRPTW 的研究文献，可是这些文献大多集中于对单时间窗 VRPTW 的研究.单时间窗 VRPTW 中每
个用户的时间窗是唯一的，而现实生活中用户的空闲时间常常是分段可选的，即多时间窗车辆调度问题
(VRPMTW).
多时间窗的车辆路径问题[14-15](Vehicle Routing Problem with Multi-Time Windows, VRPMTW)是对一般带
时间窗车辆路径问题的扩展，即其中的每个用户的时间窗数大于等于 1，进而配送路线的选择方式不仅与客
户节点选择有关，还与选择在哪个时间段（时间窗）内服务以满足客户满意度有关，因此问题将变得更加
灵活和困难。车辆从配送中心出发服务客户（配送商品），需要在用户提供若干个时间窗（时间段）内，
选择在唯一的一个时间窗内抵达服务（配送），要求每个客户只能被一辆车服务且仅服务一次；路径选择
目标是使得在满足用户时间要求及车辆载荷有限等条件下成本最小（利润最大）。由于 VRP 是典型的 NP
问题，会随着节点数的增加出现组合爆炸现象，故常采用启发式算法进行求解。目前国内外对于多时间窗
车辆路径问题的研究还较少，主要是通过改进模型和求解算法来对这类问题进行研究。而这类问题又广泛
地存在当今物流越来越普遍的现实生活中，因此对这类问题的研究具有重要的理论价值和很强的实际价值。
万有引力算法(Gravitation Search Algorithm, GSA)[16]是由 E.Rashedi 和 H.Nezambadi-pour 等在 2009 年提
出的一种对物理学中的万有引力定律进行模拟的进化算法，其通过种群中各个体之间存在的万有引力相互
作用[16-20]，引导搜索，具有全局搜索、操作简单、隐并行性等特点.基于诸多优点，GSA 正逐渐被越来越多
的学者运用到工程研究和应用中。本文在 GSA 的基础上，结合小生境技术与遗传算法操作算子，得到了一
种改进的万有引力算法(Improved Gravitation Search Algorithm, IGSA)。接下来对带多时间窗约束的车辆路径
问题(Vehicle Routing Problem with Multi-Time Windows, VRPMTW)建立双层数学规划模型，分别采用 GSA
和 IGSA 对 50 个客户节点和 100 个客户节点的 VRPMTW 进行求解和比较，分析结果表明所建模型的合理
性和该算法的有效性。
1 问题描述和模型建立
在实际问题中，服务车辆路径间出现交叉是可行性较低的决策方案，因此为避免出现这种现象，进而
对求解问题进行预处理---聚类[21]。由于客户服务存在时间限制，故不能用简单聚类算法直接确定聚类中心。
需根据客户的分布和车场位置，将服务范围按一定的方法划分为车辆数个片区，一个片区一辆车服务。然
后不断进行调整求优，重复以上过程直至遍历全局，最终求得全局近似最优路径.有关符号说明如下：
⑴C 为需要服务的客户总数，V 是车辆总数，Q为每辆车的载重能力；
⑵ ,k kX Y 是需要确定的第 k 个片区的中心位置坐标， 1,2, ,Vk ；
⑶第 i 辆车服务客户的数目为 Ni ，服务的客户集合是 iS ，每辆车至少服务的客户数目为 n ，
1,2, ,Vi ；
⑷第 i 个客户的位置为 ,i ix y ，货物的需求量为 iq ，所需服务时间为 it ，有 i 个时间窗，服务时间窗为
,j ji ia b
， 0,ix 1,2, ,Ci ；
⑸客户 i 与 j 之间的距离为 ,d i j ， , 1,2, ,Ci j ；
⑹ pqr 表示第 p 个客户集合中第 q 个客户在整个客户集中的编号，取 0pr 表示车场的编号，
1,2, ,V, 0,1, , Npp q ；
⑺第 m 辆车从车场到其服务的第一个客户间的距离为 10, md r ，从其服务路线最后一个客户回到车场
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的距离为 mN ,0md r ，迟到总时间为 mT ， 1,2, ,Vm ；
⑻迟到惩罚系数为 P t ；
建立 VRPMTW 的双层数学规划模型如下：
2 2
1
min ( ) (( )V
k
N
i k i kk i S
x X y Y
⑴
i. . S S , , 1,2, ,Vjs t i j 且 i j ⑵
1,2, ,V
S 1,2, ,Ckk
⑶
通过以下规划的解确定：ki kjr rl 其中 S , 1,2, ,Vki kr k ，
1
N NV
11 1 1
min 0, ,k k
k ki kj kjk r r r ki kj rk i j
d r t l d r r t
kN k,0 Tkd r P ⑷
kN
1
. . Q, 1,2, ,Vkir
i
s t q k
⑸
kNV
k1 0
1, 1,2, , Nki kjr r
k i
l j
⑹
kNV
k1 0
1, 1,2, , Nki kjr r
k j
l i
⑺
kN C, 1,2, ,Vn k ⑻
11,i j
ij w
⑼
1, j0,else
ji
iw 第辆车选中第个时间窗口 ⑽
1, k
0,ki kj
ki kjr r
r rl
else
第 辆车从客户 到客户
1,2, ,Vk ⑾
其中，⑴式是上层目标函数，聚类客户实现分组；⑵式保证每辆车服务客户不重合；⑶式保证客户服
务之和为所有需要服务的客户；⑷式为下层目标函数；⑸式保证每辆车的运货总量不超过车辆载重能力；
⑹式保证每个客户只由一辆车服务；⑺式保证每条路径上每个客户只有一个后继客户或车场；⑻式保证每
辆车至少服务一定数量客户，且不超过客户总数；⑼式表示客户 i 的所有时间窗中有且仅有 1 个被选中进行
配送服务；⑽式表示客户 i 的第 j 个时间窗是否被选中；⑾式表示第 k 辆车是否服务客户 kir 及之后是否继续
服务客户 kjr 。
2 万有引力算法(GSA)
GSA 是一种基于牛顿万有引力定律的智能算法，其通过粒子之间的万有引力相互作用指导搜索，粒子
不 断 更 新 自 己 位 置 最 终 找 到 全 局 近 似 最 优 解 [16,22] 。 在 GSA 中 ， 每 个 粒 子 可 表 示
1 2, , , , 1,2, ,Li i iNp p p i iP ，其中L为种群规模， i
dp 表示第 i 个个体在第 d 维空间中的位置， N 为问题
空间的维数。在 t 时刻定义个体 i 和个体 j 之间的万有引力为：
pi ojd d d
ij j iij
M t M tF t G t p t p t
R t
⑿
其中， piM t 表示 t 时刻受力粒子 i 的质量； ojM t 表示 t 时刻施力粒子 j 的质量； 是个很小的常数；
ijR t 表示 t 时刻个体 i 与个体 j 之间的欧几里德距离； T0G
t
G t e
是 t 时刻的万有引力常系数.则个体 i 在
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d 维空间的合力可表示为：
1,
R ,N
d di ij
j j i
F F t
个体 i 在 d 维空间产生的加速度为：
,
did
ii
F ta t
M t ⒀
其中 iM t 为 t 时刻个体 i 的质量，经万有引力 dijF t 作用使得其施力于种群中的其他个体，然后更新
一次个体速度式：
1 Rd d di i iv t v t a t ⒁
个体位置式：
1 1d d di i ip t p t v t ⒂
得到 1t 时刻种群初始速度和位置.其中 div t 为个体 i 在第 d 维空间中的速度； d
ia t 为个体 i 在第 d 维
空间中的加速度； dip t 为个体 i 在第 d 维空间中的位置； R 是 [0,1]内的随机数，其在一定程度上可增加种
群多样性，有利于避免陷入局部最优。
GSA 是一种原理相对简单的高效智能算法，它具有全局搜索能力、操作简单、隐并行性等特点。基于
此，GSA 被应用到模糊控制系统、金融问题、坡面稳定性分析等问题中[23-25]。
3 改进万有引力算法(IGSA)
生物学上，小生境(Niche)是指特定环境中的一种组织功能。在自然界中常看到这样现象，特征、性能
相似的物种（或种群）往往相聚在一起，并在同类中交配繁衍后代。“物以类聚，人以群分”是对生物学
中这种小生境现象的一种概括。
小生境技术就是将每一代个体划分成若干类，在每一类中选出若干适应度值较好的个体作为一个种群
的优秀代表组成一个临时种群，再在临时种群中进行个体交互产生下一代个体，同时选择父代种群中优秀
个体保留下来.这样，在进化过程中通过聚类方法不断产生新种群，同时用优秀个体更新种群，使得种群不
断被优化。
对于组合优化问题，遗传算法中的选择、交叉、变异操作算子能高效地对种群中个体信息进行调整，
已在旅行商问题和车辆路径问题中得到了广泛应用，并取得了较好的成果.本文在万有引力算法基础上，引
入小生境技术和遗传算法的两种（交叉和变异）操作算子，得到了一种改进的万有引力算法(Improved
Gravitational Search Algorithm, IGSA)，然后用于求解多时间窗车辆路径问题，验证 IGSA 的可靠性和成效性。
3.1 解的表示
如何找到一个合适的表示方法，使得个体与解对应是算法实现的关键问题之一.借鉴文献[26-27]中的思路，
构造一个 2n 维向量对应有 n 个客户的车辆路径问题，前 n 维表示服务各客户的车辆编号，后 n 维表示各客
户在所对应车辆中被服务先后序号，分别记为 vp 和 rp .例如，在一个 3 辆车对 8 个客户进行服务的问题中，
某个个体的位置向量 p 可能如下表 1。
表 1 个体 ,v rp p 表示
客户编号 1 2 3 4 5 6 7 8
vp 1 1 2 3 2 2 3 1
rp 2 1 1 2 3 2 1 3
则该个体对应解路径为：
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1 : 0 2 1 8 0V
2 : 0 3 6 5 0V
3 : 0 7 4 0V
个体速度向量V 相对应的 vV 和 rV .设有 vn 辆车， n个客户，则 vV 取 1 ~ 1v vn n 之间的整数， rV 取
1 ~ 1n n 之间的实数，如果在某次迭代后得到表 2 结果：
表 2 个体 ' ',v rp p 表示
客户编号 1 2 3 4 5 6 7 8
'vp 1 2 2 1 3 2 3 1
'
rp 2.3 1.8 3.1 4.2 0.3 5.2 7.1 3.3
其中第 1、4、8 号客户是由车辆 1 服务，这些客户对应的 'rp 为 2.3,4.2,3.3 ，将其重新规范，客户 1 对
应值 2.3 最小，重置为 1；客户 8 对应 '
rp 值 3.3 次小，重置为 2；最大的是客户 4 对应的 4.2，重置为 3，按
照此种方法，重置完车辆 2 和车辆 3 服务的客户后，得到规范后的 '
rp 为 1,1,2,3,1,3,2,2 。
3.2 算法步骤
由于 GSA 易陷入局部最优，缺少有效加速机制，本文在 GSA 的基础上，引入小生境技术和遗传算法的
交叉算子，得到了性能比 GSA 更强的 IGSA。
IGSA 的算法步骤如下：
步骤 1 置 1, I I 为聚类调整次数,对客户进行聚类处理，确定聚类中 ( , ) i iX Y , i 1,2, ,V ；
步骤 2 聚类分组
以车场为中心，根据聚类中心用式⑴至⑶将客户分布区域分为车辆数个片区，确定每辆车服务的客户
集合，置 1k ；
步骤 3 初始化种群
置 0t ，用以下方法初始化第 k 辆车服务对象的种群：
k
R , , , 1,2, ,L,1,2, , N
j ji ip b a a p a b i
j
其中， ijp 是第 i 个个体在第 j 维空间的位置坐标；L为种群规模；R 是[0,1]内的随机数；
步骤 4 GSA 寻优
通过小生境技术，利用个体间信息寻优.在 t 时刻，选取种群中适应度值最的 bestk 个个体，经万有引力
式 ⑿作用使得其施力于种群中的其他个体，然后用⒁、⒂式更新一次个体速度式和个体位置式，再执行边
界约束检查，得到 1t 时刻种群初始速度和位置，置 1t t ；
步骤 5 局部搜索
首先，对种群中各个体进行一次交叉算子的作用，得到一临时种群，在对其各个体执行边界约束检查，
若该群中存在目标值优于初始个体目标值的个体，则用其替换初始个体，否则不变；
其次，若 t 下层迭代次数，返回步骤 4；否则，记录车辆 k 的最优路径、路径长及迟到时间等信息；
步骤 6 下层终止判断
置 1k k ，若 k 车辆数，返回步骤 3；否则，计算当前分组下寻得整体最优信息，并与当前已知最
优相比较，若求得最优目标函数值更小，则更新已知最优；否则，已知最优不变；
步骤 7 上层终止判断
置 1I I ，若 I 上层调整次数，调整聚类中心 ,i iX Y ， 1,2, ,Vi ，并返回 Step 2；否则，停止并
返回记录的已知最优，即寻得问题的全局近似最优解.
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4 数值算例
由于 VRPMTW 目前还没有标准的测试数据集，本文的 VRPMTW 测试数据集是在单时间窗的车辆路径
问题(Vehicle Routing Problem with Single Time Windows, VRPSTW) Solomon Benchmark 测试数据集上，每个
客户节点单独随机增加 1 模个时间窗，生成规如下：
⑴从 VRPSTW Solomon Benchmark 的随机型数据集 R1 和聚焦型数据集 C1 中各取 4 组数据，为每组数
据的每个客户节点增加 1 个与原来时间窗不重合的时间窗，同时保持其原有数据不变。
⑵若原有时间窗长度超过 100，则新产生时间窗长度为 0 到 100 之间的随机数；否则，新产生时间窗与
原时间窗长度相等。
实验数据采用 VRPSTW BENCHMARK PROBLEMS(http://web.cba.neu.edu/~msolomon/Problem.htm)。
4.1 实验条件及参数
Windows XP(Pentium4 3.06GHz,1G)通过 Matlab 软件实现，通过比较 GSA 与 IGSA 计算结果来验证
IGSA 算法性能，实验参数数值如下：
种群规模： 25sp
客户数目（维度）： 50 100cn 或
聚类次数： cN 5
聚类调整次数： 5upI
进化迭代次数： 200subI
服务车辆数：5 15vN
车辆载荷：Q 200
惩罚系数： P 1000
种群施力个体数： bestk 从种群规模逐渐减小到1
万有引力系数： 0G 100, 30
惩罚系数 P P 与达到客户节点时间 arrit 之间的关系如图1所示：
图 1 惩罚系数与到达时间之间的关系
其中 ,i ia bt t
是第i个客户的时间窗， e 是早到缓冲时间， l 是迟到缓冲时间.其分段函数具体为：
3
3
1 10 , 100
6.67 , 100
0,
10 , 80
1 10 , 80
iarri a
i i ia arri a arri a
i iarri a arri b
i i iarri b b arri b
iarri b
t t
t t t t t
P t t t t
t t t t t
t t
即取 maxP 1000, 100, 80e l .
i
a et i
ati
bti
b lt
惩罚
系数
P
达到时间tarri
maxP
max2 3P
max4 5P
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4.2 随机型问题测试结果及分析
VRPSTW Solomon Benchmark 中 R1 数据集的客户位置坐标为随机产生，即均分布在 2
0,80 的二维空间
中。R1 中不同组别但编号相同的客户节点的地理位置完全相同，其他数据项存在不同。本文求解随机型问
题的客户分布见图 2，GSA 与 IGSA 算法对应的数据运行 20 次所得的结果见表 3。
图 2 随机型问题客户分布
表 3 R1 数据集测试结果
客户 车辆数 比较项 GSA IGSA 客户 车辆数 比较项 GSA IGSA
R101.50 12 最优路径长度 1 022.2 955.38 R102.50 6 最优路径长度 731.90 630.56
最差路径长度 1 094.7 1 010.5 最差路径长度 820.86 661.55
路径长均值 1 047.3 955.39 路径长均值 765.72 642.31
路径长标准差 26.84 28.54 路径长标准差 22.51 7.17
迟到时间均值 380 280 迟到时间均值 0 0
R101.100 15 最优路径长度 1 557.4 1 452.3 R102.100 10 最优路径长度 1 379.3 1 067.2
最差路径长度 1 714.2 1 550.6 最差路径长度 1 488.9 1 172.0
路径长均值 1 649.0 1 476.3 路径长均值 1 418.1 1 100.9
路径长标准差 66.10 29.64 路径长标准差 42.60 33.44
迟到时间均值 510 470 迟到时间均值 46.32 11.03
R103.50 5 最优路径长度 732.26 582.03 R104.50 6 最优路径长度 796.08 649.35
最差路径长度 893.20 662.99 最差路径长度 919.85 663.67
路径长均值 845.41 626.90 路径长均值 833.07 661.39
路径长标准差 49.84 20.41 路径长标准差 49.72 5.01
迟到时间均值 31.34 0 迟到时间均值 26.39 0
R103.100 12 最优路径长度 1 531.1 1 129.2 R104.100 11 最优路径长度 1 321.2 1 105.4
最差路径长度 1 644.9 1 151.1 最差路径长度 1 436.3 1 144.0
路径长均值 1 570.3 1 147.6 路径长均值 1 383.8 1 121.3
路径长标准差 35.57 8.10 路径长标准差 42.02 13.91
迟到时间均值 33.61 0 迟到时间均值 22.21 8.85
从表 3 可见，对客户规模为 50 的数据集 R102、R103 和 R104 及客户规模为 100 的数据集 R102、R103
和 R104 的求解结果表明，IGSA 求得的结果无迟到或迟到时间在 10 左右，即求得结果客户满意度较高，同
时从其他 4 项比较参数上来看，最优路径长度、最差路径长度、路径长度均值及反应算法求得路径长度稳定
性的路径长度标准差，IGSA 求得的结果都一致小于标准 GSA 的结果。对客户规模为 50 的数据集 R101 及
客户规模为 100 的数据集 R101 的求解结果表明，由于时间窗较窄，求得结果的迟到时间有明显的增加，均
在 100 左右，即求得结果客户满意度下降.但是，对于求解结果，IGSA 求得结果的比较参数均一致小于 GSA
0 10 20 30 40 50 60 700
20
40
60
80
X
Y
随机型问题客户分布
客户位置
配送中心
Depot
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的求解结果。因此，IGSA 比 GSA 更适合求解随机分布的带多时间窗的车辆路径问题。且规模越大，IGSA
算法的优越性越明显。
4.3 聚集型问题测试结果及分析
VRPSTW Solomon Benchmark 中 C1 数据集的客户位置坐标具有一定的聚集特性，故此类型数据集将从
有规律分布的角度验证算法求解能力。C1 中不同组别但编号相同的客户节点的地理位置完全相同，其他数
据项存在不同。本文求解聚集型问题的客户分布见图 4，GSA 与 HGSA 算法对应的运行 20 次所得的数据如
表 4 所示。
图 3 聚集型问题客户分布
表 4 C1 数据集测试结果
客户 车辆数 比较项 GSA IGSA 客户 车辆数 比较项 GSA IGSA
C101.50 5 最优路径长度 486.10 407.80 C102.50 5 最优路径长度 434.5 368.2
最差路径长度 503.85 431.73 最差路径长度 442.6 373.9
路径长均值 488.83 414.19 路径长均值 440.1 370.6
路径长标准差 8.38 8.33 路径长标准差 3.42 1.97
迟到时间均值 170 160 迟到时间均值 0 0
C101.100 10 最优路径长度 1 046.2 947.1 C102.100 10 最优路径长度 999.5 866.9
最差路径长度 1 123.3 974.8 最差路径长度 1 054.7 892.2
路径长均值 1 099.8 958.5 路径长均值 1 048.8 875.0
路径长标准差 28.90 9.04 路径长标准差 22.76 8.36
迟到时间均值 340 330 迟到时间均值 250 240
C103.50 5 最优路径长度 416.4 361.6 C104.50 5 最优路径长度 409.7 361.7
最差路径长度 445.7 366.4 最差路径长度 437.1 370.6
路径长均值 431.9 363.8 路径长均值 435.8 363.2
路径长标准差 10.38 1.65 路径长标准差 12.75 3.02
迟到时间均值 0 0 迟到时间均值 0 0
C103.100 10 最优路径长度 997.7 837.3 C104.100 10 最优路径长度 1 004.4 843.2
最差路径长度 1 064.9 867.4 最差路径长度 1 038.7 856.1
路径长均值 1 033.2 855.7 路径长均值 1 022.2 853.6
路径长标准差 20.47 9.10 路径长标准差 13.22 4.81
迟到时间均值 0.66 0 迟到时间均值 0 0
从表 4 可知，对客户规模为 50 的数据集 C102、C103 和 C104 及客户规模为 100 的数据集 C103 和 C104
的求解结果表明，IGSA 求得结果均无迟到，GSA 求得结果几乎无迟到，即求得结果客户满意度较高。但从
最优路径长度、最差路径长度即反应算法一般情况下求得路径长度值及稳定性的均值和标准差方面比较，
IGSA 求得结果都优于标准 GSA 的结果。对客户规模为 50 的数据集 C101 及客户规模为 100 的数据集 C101
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
X
Y聚集型问题客户分布
客户位置
配送中心
Depot
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和 C102 的求解结果表明，IGSA 和 GSA 求得结果均出现了 10+2数量级迟到，即客户满意度下降，即对时间
窗窄的数据集，要求的客户满意度更高的路径还需要调整加大扫描搜索的细度和迭代次数。但对于求得的
路径长度的最优、最差、均值及标准差方面，IGSA 求得结果仍明显优于直接用 GSA 的结果.因此，IGSA 比
GSA 更适合求解聚集性多时间窗车辆路径问题。
数据分析表明，改进万有引力算法(IGSA)比万有引力算法(GSA)性能更优，更适合求解随机型和聚集型
多时间窗车辆路径问题。
5 结论
本文建立了 VRPMTW 的双层数学规划模型，避免了因为路径交叉而导致的计算效率低下问题，针对
VRPMTW 问题特点，将小生境技术和遗传算法的交叉算子融入万有引力算法(GSA)，提出了一种改进的万
有引力算法(IGSA)，提高了 GSA 算法的求解速度，并优化了所得最优解的.然后，采用 GSA 和 IGSA 分别求
解了 50 个客户节点和 100 个客户节点的 VRPMTW 问题.通过对不同规模和不同类型（随机分布型和聚集分
布型）的 VRPMTW 问题求解结果分析可知，求解组合优化问题，IGSA 比 GSA 表现出更强的搜索能力。
当然，目前对 GSA 的研究正处于起步阶段，算法的理论研究极为缺乏，很多研究 GSA 的文章在理论方
面的证明也只停留在针对具体问题提出的改进 GSA 收敛性上；且很多算法改进应用的验证并未进行理论推
导证明，这部分将会有很好的研究价值。另外，虽然将当前 GSA 与其他智能算法融合已有部分成果，但在
当前智能算法呈现百家争鸣的情况下，针对具体问题将万有引力算法与其他相关算法进行有效融合，实现
优势互补是将来研究的重要方向之一。
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【作者简介】
刘年福（1962- ），男，浙江杭州人，浙江建设职业技术学
院学生办事处主任，主要研究方向：方向为车辆路径优化问
题，最优化理论及其应用。Email: [email protected]
邱言玲（1989- ），女，山东临沂人，硕士研究生，现在就
读于西安电子科技大学，数学与统计学院，主要研究方向为
车辆路径优化问题，智能算法。
E-mail: [email protected]
张宝玉（1990- ），男，山东临沂人，硕士研究生，现在就
读于西安电子科技大学，数学与统计学院，主要研究方向为
车辆路径优化问题。E-mail: [email protected]