an essay on analysis

Upload: kdskelton

Post on 03-Apr-2018

218 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    1/35

    ("+$//)%+*"+)").%/#/

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    2/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) ("+$ ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    !$&'*&$&,/+)").%/#/+#"+)+=$8+(2$+;/#0*.*2%?9$/#/+

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

    :$&'*&)"0$/< + #>+ ;/>+ $$> + >9$+ *"+ >9$#& + >$&/7+ + I;&>9$&*&$< + /09*.)&/+ 8*&5#"2+ 8#>9#"+:$&'*&)"0$+/>;6#$/+/9*;.6+&$)//$//+>9$#&+#6$)/+)"6+$>9*6*.*2#$/+>*+$M&)0$+>9$+&$.$3)">+0*:*"$">/+)"6+#">$&0*""$0>#*"/+:&$/$">$6+#"+>9$+)>$/+M$.*87

    E;)&%O"+;/#0).+>$&/+)").%/#/+ #/+"*&)..%+ ;/$6+#"+&$'$&$"0$+>* +>9$+#">$..$0>;).+/>;6%+*'+)+8*&5,/+#">$&").+ 0*9$&$"0$7 + + J$"$&)..%+ 0*"/#6$&$6 + ) +/;M6#/0#:.#"$+ *'+ ;/#0*.*2%&)#"#"2 + ).*"2/#6$ + >9$ + *>9$&+>9$*&$>#0).+ 0*;&/$/ + >9$%+ )&$ + &$B;#&$6+ >*+ '*..*87 + + (").%/#/+ )>+ >9$ + $)&.#$/>+ />)2$/+ )::.#$/ + )"+

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

    O>+)%+M$+>&;$+>9)>+:$&'*&$&/+.$)3$+)").%/#/+M$9#"6+>9$+)/+)"+#">$..$0>;).+*&+/09*.)&.%+

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

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    3/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) ""+ ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    2&$)>+)0)6$#0+#">$&$/>+)"6+)>+>9$+/)$+>#$+M$+&$.$3)">+)"6+M$"$'#0#).+>*+>9$+:$&'*"2+;/#0#)"7+

    ?9&*;29*;>+>9#/+09):>$&+O+/9)..+*00)/#*")..%+/>)>$+1:*/#>#*"/,+>9)>+O+'$$.+)&$+&$.$3)">+>*+>9#/+

    09):>$&+)"6+';>;&$+8*&5+>9)>+)%+/>$+'&*+#>7++O+'$$.+>9)>+>9$/$+/>)>$$">/+)&$+/>&*"2$&+>9)"+$&$+)//;:>#*"/>#"2+>9$+/>)2$O+M$.#$3$+#>+8)/+6;"2+%+2&)6;)>$+/>;6#$/+#"+>9$+L"#>$6+E>)>$/+>9)>+O+'#&/>+$"0*;">$&$6+)+0*"'.#0>+M$>8$$"+)").%/#/+)"6+:$&'*&)"0$7++];"2+%+;"6$&2&)6;)>$+6$2&$$+#"+;/#0*.*2%+O+9)::#.%+/:$">+*/>+*'+%+>#$+#"+>9$+M*8$./+*'+>9$+;/#0+.#M&)&%< X+)"6+*'>$"+$"2)2$6+#"+

    3)*;/ + /*&>/ + *' + ;/#0 + )").%/#/ + )/ + >9$ + :&*'$//*& + *& + % + /:$0#'#0 + $//)% + &$B;#&$67 + + R%+:$&'*&)"0$+)0>#3#>#$/*8)&6/+>9$+$"6+*'+%+6$2&$$**5+:.)0$+).*/>+89*..%+*;>/#6$+*'+>9$+;"#3$&/#>%+0*">$K>9+/$3$&).+:&*'$//#*").+$"/$M.$/+)"6+0*"6;0>#"2+%+*8"+09*#&7+ +?9*;29+O+8)/+:&$>>%+2**6+)>+>9$+)0)6$#0+>9#"2>%+2**6+)> + >9$+ 0*"6;0>#"2+>9#"2+ >**+ M)6+ )>+ >9$+ /#"2#"2+ >9#"2*+:;&/;$+)+R)/>$&/+6$2&$$+#"+3*#0$+)"6+09*&).+0*"6;0>#"27

    O"+*"$+*'+ %+&$B;#&$6+0.)//$/+#"+>9$+0*"6;0>#"2+0*;&/$+#>+/**"+M$0)$+0.$)&+>9)>+>9$+')0;.>%+9)6+3$&%+/>&*"2+#6$)/+)M*;>+9*8+*"$+/9*;.6+:&$:)&$+'*&+&$9$)&/)./7++["$+*'+>9$+&$B;#/#>$+>)/5/+8)/+>9$+0&$)>#*"+*'+)+1M;MM.$+09)&>,&)#29>'*&8)&6+2&):9#0+&$:&$/$">)>#*"+*'+)+8*&5,/+M)/#0+:9&)/$+/>&;0>;&$+)"6+>*").+:.)"7++?9#/+8*;.6+.**5+/*$89)>+)/+'*..*8/9$+0;&3$6+.#"$/+&$:&$/$">+>9$+:9&)/$+.$"2>9/9$+/>&)#29>+.#"$+8#>9+/>$/+&$:&$/$">/+>9$+";M$&+*'+M)&/&;0>;&$P

    O,+)'&)#6+>9#/+$K):.$+)%+"*>+M$+$K)0>.%+9*8+#>+8*&5$6,/+)./*+"*>+>9)>+O+6#6",>+9)3$+>9$+>#$+*&+8)/+#"9$&$">.%+.)4%7_++O+H;/>+"$3$&+&$0$#3$6+)+/)>#/'%#"2+$K:.)")>#*"+)/+>*+89%+O+0*;.6",>+H;/>+6*+>9$/$+>)/5/+#"+

    X ?9$+.#M&)&%+0*"3$"#$">.%+#"0.;6$6+)+0.)//&**+#"+>9$+M)/$$">+8#>9+"*+8#"6*8/+*'+>9$+&$B;#&$6+0*;&/$/+>**5+:.)0$7

    _ E>#..9+0*">&):;">).+;/#0+>9$/$+09)&>/+M$0)$+&)>9$&+>#$F0*"/;#"2+)'')#&/7

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    4/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) (""" ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    %+*8"+8)%9$+/0*&$+#>/$.'7++O'+%+$*&%+/$&3$/;6%#"2+Y7+E7+@)09,/+@+#"*&+R)//#*"+*'+.#"$/+)"6+9).'+0#&0.$/+*"+)+:#$0$+*'+:):$&+8*;.6+M$>>$&+/$&3$+%+)::&$0#)>#*"+*'+@)09,/+/0*&$7

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

    !*/#>#*"+XP++(+:$&'*&$&+#/+)"%+:$&/*"+89*+)0>#3$.%+:)&>#0#:)>$/+#"+>9$+0&$)>#*"+*'+*&2)"#4$6+/*;"6+#"+)+:$&'*&)"0$7^.$)&.% + >9#/ + #/ + ) + 3$&% + M&*)6 + 6$'#"#>#*"< + )"6 + $"0*:)//$/ + :$&9):/ + #..#*"/ + *' + :$*:.$+

    >9&*;29*;>+ >9$ + 8*&.67 + + E* + :$&9):/ + 8$+ "$$6 + >*+ 6$'#"$+ *;& + 0)>$2*&% + *&$+ >*+ '*0;/ + *"+:&*'$//#*").+:$&'*&$&/7

    !*/#>#*"+_P++(+:&*'$//#*").+:$&'*&$&+#/+)"%+:$&/*"+89*+)0>#3$.%+:)&>#0#:)>$/+#"+>9$+0&$)>#*"+*'+*&2)"#4$6+/*;"6+#"+)+:$&'*&)"0$#*"+'*&+6*#"2+/*7!$&9):/+8$+9)3$+&$6;0$6+>9$+";M$&+*'+:$*:.$+/*$89)>+/>#..+>9#/+#/+>**+.)&2$+)"6+M&*)6+)+:*:;.)>#*"+*"+89#09+>*+'*0;/+)"%+6$>)#.$6+/>;6%7++E*+O+)5$+)+M#2+H;:+>*+)+;09+/)..$&+2&*;:9$+';..F>#$+:&*'$//#*").+:$&'*&$&+#"+>9$+8$/>$&"+)&>F;/#0+>&)6#>#*"7

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    5/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) ""/ ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    !*/#>#*"+SP++I;..F>#$+:&*'$//#*").+:$&'*&$&/+#"+>9$+8$/>$&"+)&>F;/#0+>&)6#>#*"+)&$+>9*/$+:$&/*"/+89*+6$3*>$+*&$+>9)"+QVW+*'+>9$#&+>#$+>*9)"+QVW+*'+>9$#&+)"";).+#"0*$+'*&+>9$#&+)0>#3$+&*.$+#"+>9$+0&$)>#*"+*'+*&2)"#4$6+/*;"6+#"+)+:$&'*&)"0$7

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

    0.$)&.%+#"6#0)>#3$+*'+>9$#&+/$.'F0*"0$:>9$#&+6$6#0)>#*"+>*+;/#0+)/+)+:$&'*"2+)&>9$&+>9)"+$K0.;/#3$.%+'#")"0#).+*"$/C+"*>+>*+:$&'*&+';..F>#$7++(2)#"9$+ 3).#6#>%+ *'+ 89)>+ >9$%+ /)%+)M*;> +;/#0 +:$&'*&)"0$CG + O +/#:.%+ )5$+ >9$+ 6#/>#"0>#*"+M$>8$$"+>8*+:&*'$//#*").+>%:$/+*'+:$&'*&$&/#*"+#/+&$.$3)">+/9*;.6+)"%*"$+6$/#&$+>*+0*"/#6$&+;/#0+:$&'*&$&/+)"6+:$&'*&)"0$+'&*+)+/*0#*.*2#0).+*&+:/%09*.*2#0).+:$&/:$0>#3$7

    Z)3#"2+)"/8$&$6+>9$+'#&/>+B;$/>#*"$2*&%+>9#/+2&*;:+0*">#";$/+>*+6*7 + + ?*+ 9$.: + 8#>9+ >9#/+ O + 8#..+ .**5 + /:$0#'#0)..% + )>+ ) + '$8 + )&$)/ + #" + 6$>)#.+ >9)>+ )&$ + 0**"+$K:$$"0$/+*&+)0>#3#>#$/+*'+>9$+';..F>#$+:&*'$//#*").+;/#0+:$&'*&$&7Q

    R;/#0+$6;0)>#*"+)"6+>&)#"#"2?9$+)H*>%+*'+:&*'$//#*").+;/#0#)"/+9)6+)"+$)&.%+$K:*/;&$+>*+)"6+>&)#"#"2+#"+8$/>$&"+)&>+;/#07++?9#/+$)&.%+$6;0)>#*"+2$"$&)..%+#"0.;6$6+;/#0+0.)//$/+)/+:)&>+*'+>9$+2$"$&).+0;&.;+)>+/09**.7m+ +Z*8$3$&;).+ :&*'$//#*").+ :$&'*&$&+ .#5$.%+ 9)6+ $K>&)F0;&.)&+ ;/#0+

    S I&*+:$&/*").+$K:$$"0$+O +5"*8+)"%+:)&>F>#$+:&*'$//#*")./$;&/*+ 9)3$+*&$+ /5#.. + )"6 + >).$">+ >9)"+ /*$+ ';..F>#$+ :$&'*&$&/7 + + ?9)>+ M$#"2 + /)#6< + #'+ %*; + 0)" + )5$+ ) + .#3#"2+ '&*+:$&'*"2>%+2**6+)>+#>7

    \ ['>$"+ :$&'*&$&/ +1'#"6 +>9$/$.3$/,+#" +>9$+ #6/>+ *'+ )+ ';..F>#$+:&*'$//#*").+ 0)&$$&9#/+ #/+ "*>+).8)%/ +)+0*"/0#*;/+09*#0$G+#"+>9$/$+0#&0;/>)"0$/).$">+#/+;/;)..%+B;#>$+&$)&5)M.$7

    Q ['+0*;&/$/+)&$+)./*+)+ .)&2$+:)&>+*'+>9$+ $K:$$"0$+)"6+ 8*&5+*'+ :)&>F>#$+:&*'$//#*").+;/#0#)"/7

    m D9)>+#/T8)/+>);29>+#"+>9$+/09**.+0.)//&**/+)M*;>+;/#0+N#'+)"%>9#"2C+3)$/+8#6$.%*+/$$+>9$+#:*&>)"0$+*&+$3$"+&$.$3)"0$+*'+;/#0+#"+)"%+2$"$&).+$6;0)>#*"7 +O+:&*:*/$6+)+"$8+)"6+:*//#M.%+*&$+&$.$3)">+6#&$0>#*"+#"+0.)//&**+;/#0+$6;0)>#*"+>*+$M&)0$+&$0$">+0*"0$:>/+#"+>9$+/*0#*.*2%+*'+;/#07++E$$P+h7+E5$.>*";6%+;/#0+)"6;&$U,

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    6/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) ("") ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    .$//*"/ + )"6 + $K:$$"0$/ + >9)>+ '#&/> + #">&*6;0$6+ )"6 + 0;.>#3)>$6 + >9$ + /5#../+ "$0$//)&% + '*& + *&$+'*0;/$6 + />;6%< + :)&>#0;.)&.% + #" + ) + 0*"/$&3)>*&% + *& + ;"#3$&/#>% + :&*2&)$< + 89$&$ + */>+:&*'$//#*").+:$&'*&$&/+/:$">+)>+.$)/>+/*$+>#$7b

    O>+#/+#"+>9$+:*/>F/$0*"6)&%+:&*2&)$+*'+/>;6%+>9)>+8$+'#&/>+/$$+)+0**"+)::&*)09+>*+;/#0+$6;0)>#*"7++?9*;29+0$&>)#"+#"/>#>;>#*"/+)..*8+'*0;/$6+/>;6%+$)&.%+*"+)..+/>;6$">/+)&$+&$B;#&$6+ >*+ >)5$+ >9$+ /)$+M)/#0+ 0*;&/$/+ #"+ 9#/>*&%+ )"6 +>9$*&%#*"/+*'+/*;"6+)"6+7+7+7+)"+;"6$&/>)"6#"2+*'+8)%/+#"+89#09+0*:*/$&/+7+7+7+9)3$+*&2)"#4$6+/*;"6+#">*+$)"#"2';.+/>)>$$">/71k+ +?9#/+/9)&$6+'*;"6)>#*"9$" + $3*.3$/ + #"+ 3$&% + 6#''$&$">+ 6#&$0>#*"/7+ + ^*:)"2+ >9$+ '*0;/$/+*"+:$&'*&)"0$+)"6+;/#0*.*2%9+2&)6;)>$+/>;6$">/+)"6+:&*'$//#*")./+89*+/$$#"2.%+9)3$+"*>9#"2+#"+0**"7`

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o$2)&6.$//+*'+>9$+&$)/*"/ +#/+)+')0>+ >9)>+>9$+*3$&89$.#"2+>$"6$"0%+*'+>$)09$&/+#"+$)&.%+:*/>F/$0*"6)&%+$6;0)>#*"+#/+>*+'*0;/+*"+>$09"#B;$+>*+>9$+6$>$">+*'+#//;$/+*'+$K:&$//#*"+)"6+;/#0).+;"6$&/>)"6#"27XX

    ^*"/#6$&9+ /#"2#"2+ *&+:.)%#"2+>$09"#B;$+)/#6$+)"6+'*0;/+*"+;/#0).+0*"/>&;0>#*"+)"6+0*">$K>7++['+0*;&/$9#/+)./*+#"3*.3$/+)+:&*0$//+)"6+)"+$3*.;>#*"+>9$+)M)"6*"$">+*'+0*"0$&"/+8#>9+;/#0).+$K$0;>#*"+)"6+0&$)>#*"+0.$)&.%+')0#.#>)>$/+>9$+#">$..$0>;).+:;&/;#>+*'+;/#0).+;"6$&/>)"6#"27

    ?9$+'#").+8*&6/+#"+M*>9+*'+>9$+:&$3#*;/+:)&)2&):9/+8$&$+1;/#0).+;"6$&/>)"6#"2,9$+8)%/,+#>+$3$"+#/+)+/9)&$6+0*"0$:>+*'+0*;&/$+)>+>9#/+$)&.%+6$3$.*:$">).+/>)2$+>9#/+0*"0$:>+

    i6;0)>#*"+o$/$)&099#/+')0>+O+5"*8+*'+3$&%+'$8+:&*'$//#*").+:$&'*&$&/+89*+6#6+"*>+

    />;6%+;/#0+#"+/*$+/>&;0>;&$6+:*/>F/$0*"6)&%+#"/>#>;>#*"7++D9$&$+$K0$:>#*"/+$K#/>9$/$+>$"6+>*+M$+/#"2$&/9$+3*#0$+#/+)"+#"/>&;$">+>9)>+6$3$.*:/+8#>9+)2$9#/+#"/>&;$">+.)>$&+#"+.#'$7

    k ^7+];&&)">+e+J7+D$.09#*";6%+).&$)6%+/$:)&)>$/+

    >9$+>8*P+:$&'*&)"0$#*");29>+)>+>9$+0*"/$&3)>*&%G+;/#0+9#/>*&%+)"6+>9$*&%+)>+>9$+;"#3$&/#>%7

    XV ?9#/+#/+:&*M)M.%+6;$+>*+)+M#)/+#"+)$/>9$>#0/+#"+=*&>9+($)"+0.)//#0).+/#"2#"2+>*8)&6+.)&2$+3*#0$/+/#"2#"2+#"+.)&2$+9)../7

    XX j7+D)&6#*"

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    7/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) ""% ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    9)/+*".%+:)&>#)..%+$3*.3$67++@%+>9$+>#$+/>;6$">/+0*:.$>$+>9$#&+:*/>F/$0*"6)&%+:&*2&)$/.%+'*&+:$&'*&$&/+)"6+)0)6$#0/+).#5$7+ +?9#/+/$:)&)>#*"+0*">#";$/+)/+;/#0*.*2#/>/+)"6+:$&'*&$&/+2*+*"+>*+>9$#&+:*/>F2&)6;)>$+/>;6#$/+*&+:&*'$//#*").+:$&'*"2+0)&$$&/7++I&*+>9#/+:*#">+>9$+6#/>#"0>#*"+*".%+#"0&$)/$/9$+

    6#/0*""$0>+M$>8$$"+:$&'*&$&/+)"6+)0)6$#0/7

    ["F2*#"2+:&*'$//#*").+)0>#3#>#$/I*&+>9$+ ;/#0*.*2#/>/+89*+1/>#05+ 8#>9+ #>,+>9$+ :)>9+ #/+2$"$&)..%+:&$>>%+ 0.$)&P+)/>$&,/+6$2&$$*&).+H*M$";&$#&$$">7++D9#.$+>9$&$+)%+M$+/*$+M;:/+).*"2+>9$+&*)69$+:&*'$//#*").+>&)H$0>*&%+#/+'*&+)..+#">$">/+)"6+:;&:*/$/+.#"$)&7X_

    ?9$+:$&'*&$&,/+0)&$$&+:)>9$&"+)&>+;/#0#0;.)&.%+>9$+)0B;#/#>#*"+*'+

    /5#../+#"+/$.'F6#/0#:.#"$#*"*+.$)&"+9*8+>*+';"0>#*"+8#>9#"+)+2&*;:+/$>>#"2+#"+&$9$)&/).+)"6+:$&'*&)"0$7++("6+>9&*;29*;>+)..+*'+>9$/$+:;&$.%+:&*'$//#*").+0*"0$&"/+#/+>9$+"$0$//#>% + >* + 0*">#";)..% + 15$$: + #" + /9):$, + 3*0)..% + )"6 + >$09"#0)..%< + )"6 + 6$3$.*: + >#$F)")2$$">+/5#../+>*+/>)%+*"+>*:+*'+.$)&"#"2+&$:$&>*#&$7++^$&>)#".%+>9$+6%")#0/+#"+:.)%+#"+:&*'$//#*").+:$&'*&$&/,+0)&$$&/+)&$+9#29.%+/;MH$0>#3$+>9$+$3*.;>#*"+#/+0.$)&.%+0%0.#0).7

    (&>#/>&%+#"3*.3$/+>9$+)M#.#>%+>*+)5$+:$&'*&)"0$+*&$+>9)"+>9$+/;+*'+#>/+:)&>/9$+#"'.;$"0$/+*'+9#/>*&%+ *"0$+*'+>&;>97XS

    ^$&>)#".%+>9$+0%0.#0).+")>;&$+*'+>9$+:$&'*&$&,/+0)&$$&+#/+)./*+9#29.%+0*:.$K9$+3)*;/+&$.)>#*"/9#:/+)>+:.)%+)&$+"*>+*".%+";$&*;/+*'>$"+M.;&"2+>9$+.#"$+M$>8$$"+:$&/*").+)"6+:&*'$//#*").7++I*&+$K):.$$)09$&+)%+M$+%+'$"6$&+)%+M$+%+0*"6;0>*&7

    ?9$+09)&>+M$.*8+#/+M%+"*+$)"/+$K9);/>#3$+NO+:;&:*/$.%+.$'>+*;>+1$"$%,+'&*+>9$+0*..$0>#*"+*'+:$&/*").+&$.)>#*"/9#:/C+#>+0.$)&.%+#"6#0)>$/+"*>+*".%+>9$+;.>#>;6$+*'+&$.)>#*"/9#:/+)./*+>9$+;.>#>;6$+*'+:*>$">#)..%+6$.#0)>$+#'+"*>+*;>>+6#''#0;.>+10&*//F*3$&,+&$.)>#*"/9#:/+>9)>+*"$+*'>$"+9)/+>*+"$2*>#)>$7X\+ +^*M#"$+ >9#/+ 8#>9+ >9$+ 6)#.%+09)..$"2$+*' + .$)&"#"2+ &$:$&>*#&$+ )"6+

    )#">)#"#"2+>$09"#B;$9$+'#")"0#).+#"/$0;>%+*'+)+'&$$F.)"0$+0)&$$&9$%+6*+8#>9+

    :&*'$//#*").+:$&'*&$&/7

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    8/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) (""* ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    O"+)"+)").%/#/+*'+>9$+:$&'*&$&F:&)0>#0$+6%")#0$&+Z#..+8>$/P+17+7+7+>9$+0$">&).+6#.$)+*'+>9$+:$&'*"2+;/#0#)"+n#/+9*8c+0)"+8$+8*&5+7+ 7+ 7+8#>9*;>+.*/#"2+ $">9;/#)/+*&+>9$+*:$"F

    #"6$6"$//+>9)>+$")M.$/+*;&+#6$)/+>*+6$3$.*:U,XQ

    ++@;>+#/+>9#/+&$)..%+)+6#.$)U++!$&9):/+"*"$+*'+;/+ 5"$8+89)>+8$+8$&$+2$>>#"2+*;&/$.3$/+ #">*+89$"+8$+'#&/>+6$0#6$6+>*+M$0*$+';..F>#$+:$&'*&$&/+8$+0$&>)#".%+'#2;&$6+#>+*;>+$)&.%+#"+>9$+2)$7++(>+>9$+$"6+*'+>9$+6)%#*"+*&$+*"+)0)6$#0+&$/$)&099)>+9#/+)0)6$#0+)::*#">$">+$)"/+9$+#/+"*>+8*&5#"2+';..F>#$+)/+)+:&*'$//#*").+:$&'*&$&C7

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    9/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) "". ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    I*&+%/$.'#";).+$MM+)"6+'.*8+*'+>9$+:&*'$//#*").+.#'$+N>9#/+M**5+M$#"2+)"+$K):.$+*'+H;/>+>9$+$)"/+M%+89#09+O+.$)&"+%+/0*&$/C7++?9#/+#/+9*8+O+6$3$.*:$6+>$09"#B;$+)>+)"+$)&.%+/>)2$#";$+>*+.$)&"+9*8+>*+)5$+;/#07++R%+:&*0$//+)/+)+/>;6$">+)"6+)/+)+:&*'$//#*").+2*$/+

    /*$>9#"2+.#5$+>9#/P

    X7 .$)&"+)+/5#..+*&+:"0#:.$+N'&*+)+>$)09$&9#/+)''$0>/+%+;/#0).+$K:&$//#*"\7 /$$+9*8+>9$/$+09)"2$/+)&$+&$0$#3$6+M%+*>9$&/+N0*..$)2;$/)#".%+>9#/+#/+)+3$&%+:$&/*").+/%/>$+>9$+09*#0$/+O+;.>#)>$.%+)5$+M*>9+>$09"#0)..%+)"6+;/#0)..% + )&$ + 0*"/>)">.% + ')0#"2 + ) + /%/>$ + *' + 109$05/ + )"6 + M).)"0$/, + >9)> + 9)/ + 3$&% + &$).+:&*'$//#*"). + )"6 + $0*"*#0+ 0*"/$B;$"0$/7 + + I#&/>.%< + O + )+ 0*">#";)..% + M$#"2 + H;62$6 + '*& + >9$+

    B;).#>%+*'+%+8*&5+M%+%+0*..$)2;$/+)./*+M%+);6#$"0$/9$+$6#)9$+&$9$)&/).F:$&'*&)"0$+:&*0$//+/9)&$6+#6$*.*2#$/+)"6+:"0#:.$/+*'+)5#"2+;/#0+N#'+"*>+)./*+>$09"#B;$C+')0#.#>)>$+)"6+)$.#*&)>$+>9$+&$9$)&/).+)"6+:$&'*&)"0$+:&*0$//+N$/:$0#)..%+/#"0$+.##>$6+>#$+#/+"*&)..%+)+0*"0$&"C$09"#0).+6$0#/#*"/+$#>9$&+)//#/>+*&+9#"6$&+>9#/+:&*0$//7++(>+>9$+$"6+*'+>9$+6)%9)>+O+9)3$+)6$+>9$+)::&*:)>$+09*#0$/+#'+O+0*">#";$+>*+M$+9#&$67

    ^*;"#>%(M*3$9$+;.>#>;6$+*'+:$&/*").+)"6T*&+:&*'$//#*").+&$.)>#*"/9#:/+>9)>+)+:$&'*&$&+

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a

    ?9$+0*"0$:>+*'+0*;"#>%+8#..+&$>;&"+.)>$&+M$'*&$+*3#"2+*"+>*+*>9$&+)>>$&/*+/;)$+>9$+:&$0$6#"2+6#/0;//#*"7+

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    10/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) (""# ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

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

    D9)>+#/+1;/#0,+>*+>9$+:$&'*&$&U('>$&+0*:.$>#"2+%+)/>$&/+#"+:$&'*&)"0$*+>&%+%+9)"6+)2)#"+)>+/09*.)&/9#:&*6;0$6+>*+>9$+:9#.*/*:9#0).+0*"0$:>+*'+)+1;/#0).+8*&5,7++O+0*;.6+"$3$&+&$)..%+8&):+%+9$)6+)&*;"6+>9#/+6#/0;//#*"*+M$+9*"$/>9*;29+0$&>)#"+.#"$/+*'+>9#"5#"2+6#6+/$$+>*+&$/*")>$+8#>9+$+)/+>9$%+0*""$0>$6+>9$+8*&5+0*"0$:>+/:$0#'#0)..%+8#>9+>9$+/0*&$7

    ^$">&).+>*+D$/>$&"+0*"0$:>#*"/+*'+>9$+;/#0).+8*&5+#/+>9$+$K#/>$"0$+*'+)+:;M.#/9$6+/0*&$7++?9$+

    :;&:*/$+*'+)+/0*&$+#/+:).%+>*+:&$/$&3$+;/#0+#>+)./*+')0#.#>)>$/+#>/+&$:&*6;0>#*"&).+>*+>9$+0*">#";$6+$K#/>$"0$+*'+)+8*&59)>+#>+9)/+)"+)'>$&.#'$7Xk

    ?9$+"*>)>$6+>$K>+#/+"*+.*"2$&+>9$+6$'#"$&+*'+)+;/#0).+0*:*/#>#*"+)/+8$+;"6$&/>)"6+#>+7+7+7+#>+#/+"*+*&$+>9)"+)+6$'#"$&+*'+)+/:$0#'#0+*$">+#"+>9$+$3*.3#"2+9#/>*&%+*'+>9$+0*:*/#>#*"P+#>+:&$/$">/+*".%+>9*/$+$.$$">/+>9)>+)+0*:%#/>7X`

    ?9$+ &$/*")"0$+ 8#>9+$< +9*8$3$&9$&+ ;":.$)/)">7 + +E;&$9#"5+ #>+ #/+2&$)>+ >9)>+ /*$+;/#0*.*2#/>/+ >9#"5+>9$+/0*&$+#/+ #:*&>)">+N$3$"+#' +>9$%+)&$+*&$+#">$&$/>$6+ #"+:&$/$&3)>#*"+>9)"+:$&'*&)"0$C+>*+#"0*&:*&)>$+>9$+#">$&:&$>$&,/+&*.$+#"+>9$+$K#/>$"0$+*'+)+:#$0$+*'+;/#09$+;/#0).+8*&5+#"+#>/+8#6$&$K>9$+/#>$+*'+#">$&/$0>#"2+0;.>;&).+>$K>/,7 _V++@;>+;.>#)>$.%9$/$+$K:.)")>#*"/+/$$+#"0&$6#M.%+6#/>)">+'&*+)"%+0*"0$:>+)+:$&'*&$&+9)/+*'+>9$+>9#"2+>9$%+/>;6%+)"6+:$&'*&7

    Xb O+ 0)""*>+6$"%+ >9)>+ O+ 8)/ +/*$89)> +%$)&"#"2+ >*+6* +>9$+ 5#"6+*' +#">$..$0>;). +8*&5+ O+ 8)/ +;/$6+ >*+#"+ %+;"6$&2&)6;)>$+ 0*;&/$7 + + Z*8$3$&< + #> + 8)/ + )./* + ) + :&*'$//#*").+ *3$< + )/ + O + 9)6 + 8*&5 + *::*&>;"#>#$/+ 8#>9+:&*'$//#*").+09*#&/+#"+[K'*&6+)"6+A*"6*"$6+>*+8*&5+)/+)+/#"2$&+#"+0*">#"$">).+i;&*:$7

    Xk ]7+@$)&6+)"6+h7+J.*)2/%+!&$//

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    11/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) ""! ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    O"+/9*&>*+9)3$+'*&2*>>$"+>9)>+;/#0+#/+)+:$&'*&)"0$+)&>+)>+)..9)>*+9)3$+0*"0$:>;).#4$6+#>+#"+/;09+)+8)%+>9)>+8$+0*;.6+9)&6.%+>9#"5+*'+#>+>9)>+8)%+$3$"+#'+8$+8)">$6+>*7_X

    E*+>*+1M"2+;/#0+M)05+>*+.#'$,+.$)/>+>*+&$/;/0#>)>$+#>+ #"+/*$+8)%+#"+>9$+;/#0*.*2#0).+

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

    ?9$/$+/$$+')&+*&$+&$.$3)">+>*+>9$+0*"0$:>+*'+;/#0+)/+)+:$&'*"2+)&>+#'+O+)+>*+M$+&$)..%+9*"$/>9#"2+#/+/>#..+.)05#"27++("6+O+>9#"5+>9#/+#/+M$0);/$F;/#0+

    >&)6#>#*"+/:$0#'#0)..%*+>9$+0*:*/$&+#"+>9$+0*..)M*&)>#3$+:)&>"$&/9#:>)09+#>/$.'+>*+>9$+;/#0+6;"2+>9$+0&$)>#*"+*'+)+:$&'*&)"0$7

    !*/#>#*"+QP?9$+;/#0).+8*&5+0.)//#0).+:$&'*&$&/+/>$+>*+:$&'*&+#/+)+9%:*>9$>#0).+#6$).+*'+89)>+)+0*:*/$&+#">$"6$67+ +?9$+3$&%+")>;&$+*'+;/#0+)/+) +:$&'*"2+)&>+ #"6#0)>$/+>9)>+>9#/+9%:*>9$>#0). + #6$). + #"0.;6$/ + >9$ + /;MH$0>#3#>% + *' + :$&'*&$&/< + 89#09 + #/ + 89% + 3)*;/+:$&'*&)"0$/+*'+>9$+/)$+8*&5+0)"+>9$*&$>#0)..%+M$+$B;)..%+#6$).+$3$"+#'+$K0$:>#*")..%+6#''$&$">7++

    R)0&*+*&+R#0&*UO'+8$+0)"+"*8+)2&$$9$+9;2$+6#''#0;.>%+*'+6#/0;//#"2+89)>+8$+6*+8#>9+#>7++I*&+>9#/+#//;$+8$+"$$6+>*+H;:+'&*+>9$+;/#0).+:9#.*/*:9$&/+>*+>9$+;/#0+>9$*/>/+>9$+M$2#""#"2+*'+>9#/+")&&)>#3$+)/+)"+*M/>#")>$+2&)6;)>$+/>;6$">+&$';/#"2+>*+)5$+M;MM.$+09)&>/7++D9)>+2#3$/U

    _X =7+^**58$$"+!&*0$//+)"6+!&*6;0>P+R;/#0+)"6T)/+!$&'*&)"0$,+N$6/C9#"5#"2+R;/#0

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    12/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) (""$ ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    !$&9):/+>9*/$+0**"+'#&/>F%$)&+;"6$&2&)6;)>$+0*;&/$/+#"+>9$*&%+)"6+9#/>*&%+.$'>+)+*&$+.)/>#"2 + #:&$//#*" + *"+ /*$ + :$&'*&$&/+ >9)"+ O + )>+ '#&/> + $K:$0>$67 + + i3$"+ >*6)%+ O + )+ />#..+/*$89)>+/;&:/$6+>9)>+/*$+:$&'*&$&/+N)"6+$3$"+/*$+&$)..%+')*;/+*"$/C+'$$.+>9)>+9#/>*).+0*">$K>/+)"6+>&)6#>#*").+>9$*&$>#0).+*6$./+)&$+6#&$0>.%+&$.$3)">+>*+>9$#&+:&*'$//#*").+

    :$&'*&)"0$+8*&57+ +O+8*;.6",>+2*+)/+')&+)/+>*+/)%+>9)>+>9$/$+>9#"2/+)&$+#&&$.$3)">+#"+ %+0*:.$>$.%+M#)/$6+*:#"#*"9$%+)&$+*".%+&$.$3)">+#"6#&$0>.%+)/+)+0.)'#0)>#*"+*'+*&+'*;"6)>#*"+#"+;/#0).+2&))&+N>9$*&%C+)"6+;/#0).+/>%.$+N9#/>*&%C7_Q++O'+)+:$&'*&$&+9)/+.$)&"$6+>9$/$)">.%9$/$ + N)/ + >9$/$ + $K:.*&)>#*"/ + )&$ + #"6$$6+ .#'$F.*"2+:;&/;#>/+*'+)+:&*'$//#*").+:$&'*&$&C>$&+>*+2$>+*"+8#>9+)5#"2+;/#07

    D#>9+ >9)>+6#2&$//#*"+0*:.$>$+%/$.'+>*+ >9$+)0)6$#0/+)"6+/)%P+>9$&$+#/+)+8)%+>*+);2$">+%*;&+>9$*&$>#0).+;"6$&/>)"6#"2+*'+;/#0+#>+#"3*.3$/+)+';"6)$">).+/9#'>+#"+'*0;/+'&*+>9$+ )0&*F+>*+ #0&*/>&;0>;&$/+#"+ )+ 0*:*/#>#*"7+ +?&)6#>#*")..%$&").+0*9$&$"0$+8#>9#"+)+;/#0).+8*&5,+)"6+'*0;/$/+*"+1)"+$K)#")>#*"+*'+)+8*&5,/+#">$&").+/>&;0>;&$,7 _m++@)/#0+>9$*&%+)"6+)").%/#/$/%,+89#09+/>#..+:$&3)6$/+;/#0+)").%/#/7

    ["$+*'+:$&'*&)"0$+/>;6#$/,+/>&*"2$/>+)63*0)>$/+#/+Y*9"+o#"5+89*+9)/+8>>$"+$K>$"/#3$.%+*"+>9$+/;MH$0>9$+*#")>*&+*'+>9$+>$&+1:$&'*&$&,/+)").%/#/,7++o#"5+)>>$:>$6+>*+#">$2&)>$+"$8+#6$)/+#">*+)"+)").%>#0).+*6$.+'*0;/#"2+*"+0*"0$:>/+*'+>$:*&).#>%+#"+89#09+

    :$&'*&)"0$/+ )&$+ &$'$&&$6+ >*+ )/+ 1;/#0).+ ")&&)>#3$/,7+ +Z#/+ 3*0)M;.)&%+#"0.;6$/+ :9&)/$/+.#5$+12&)"6$+.#2"$,#$,9)> + ) + 8*&5,/ + >*>).#>% + #/ + )> + >9$ + 9$)&> + *' + )+:$&'*&)"0$7_k++Z*8$3$&+>9$+$"6+*'+>9$+6)%9)>+9#/+0*"0$:>/+*'+89)>+;/#0+ #/+ )"6+*' +89)>+ :&*'$//#*").+:$&'*&$&/ +6*+)&$+"*>+';..%+#"+)00*&67++Z$+$3$"+$K:.#0#>.%+/>)>$/+>9)>+9#/+1/9):$,+#/+)").*2*;/+>*+1/>&;0>;&$,9$+'$$.#"2+>9)>+9#/+6#/0*;&/$+#/+)+>&)6#>#*").+1/$)&09+'*&+;/#0).+;"#>%,+3$#.$6+#"+:$&'*&)"0$F'$"6.%+.)"2;)2$7++D9)>$3$&+>9$+>$"*.*2%9#/+>%:$+*'+)").%/#/+#/+0.$)&.%+*&$+0*"0$&"$6+8#>9+>9$+)0&*+>9)"+8#>9+>9$+#0&*7

    _Q O"+)+;/#0+$6;0)>#*"+0*">$K>+O+9)3$+:&$3#*;/.%+&$'$&&$6+>*+>9#/+6#3#/#*"+)/+>9$+6#''$&$"0$+M$>8$$"+/>;6%#"2+1#"9$&$">+$)"#"2,+*&+>9$+/>;6%+*'+;/#0+'*&+;/#0,/+/)5$+)"6+16$.#"$)>$6+$)"#"2,+*&+>9$+/>;6%+*'+;/#0+)/+

    0;.>;&$7+E$$P+E5$.>*"7_m @$)&6+)"6+J.*)2%+*'+^).#'*&"#)+!&$//9F0$">;&%+:$&'*&$&+)/+")&&)>*&,%+ !&$//9$+R;/#0+!$&'*&$&9$+/0*&$

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    13/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) "/+ ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    E*$>9#"2+B;#>$+6#''$&$">+0)"+M$+&$)6+#"+>9$+'*..*8#"2+:)//)2$+M%+=#09*.)/+^**59$+1*>9$&,+:&*.#'#0+/09*.)&+8*&5#"2+#"+:$&'*&)"0$+/>;6#$/P

    D9)>+9)::$"/+#"+>9$+:$&'*&)"0$+*'+;/#0+.#5$+n)+R*4)&>+B;)&>$>cU+?9$+:.)%$&/+)%+8$..+:.)%+>9$+"*>$/+$K)0>.%+)/+R*4)&>+8&*>$+>9$7+("6+%$>+>9$%+6*",>+:.)%+>9$+$K)0>.%+)/+R*4)&>+8&*>$+

    >9$9$+/0*&$+#/+/;MH$0>+>*+>9$+0*">$K>;).+"$2*>#)>#*"+*'+#">*")>#*"%9$+/0*&$9#"2 + )> + ).. + N>#M&$< + '*& + $K):.$< + M$%*"6 + >9$+/:$0#'#0)>#*"+*'+>9$+#"/>&;$">C9$+/0*&$+/;::.#$/+)+0)>$2*).+3).;$+>9)>+#/",>+#">$"6$6+'*&+.#>$&).+$K$0;>#*"+M;>+ #"/>$)6+"$$6/+>*+M$+"$2*>#)>$6+)"6+&$'#"$6+#"+:$&'*&)"0$7+7+7+n?c9$+/0*&$+09*&$*2&):9/+)+/$$/+*'+*"2*#"2+/*0#).+$"2)2$$">/+M$>8$$"+:.)%$&/>#"2+;:+)+/9)&$6+'&)$8*&5+*&+2*).+N)+/9)&$6+#//#*"*+M$+#:&*3#/$69)>+#/+

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

    D9)>+#'+1>9$+89*.$,+#/",>+)0>;)..%+&$.$3)">+>*+$#>9$&+89)>+>9$+:$&'*&$&+6*$/9$+);6#$"0$+.#/>$"/U++O>+)%+"*>+M$+>9$+0)/$+O+>9#"5+)"%+;/#0*.*2#/>/+8*;.6+M$+/;&:/$6+>*+

    6#/0*3$&+>9)>+#>+#/+"*>+/*+')&+'&*+>9$+>&;>97

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

    SX =7+^**5#"2+!$&'*&)"0$P+?$K>9*;29+;/;)..%++H;/>+M$0);/$+:$*:.$+0)",>+0*F*&6#")>$+)+:.)0$+>*+/>)&>7

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    14/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) ("/" ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    !*/#>#*"+m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d2$+ 0*;&/$< + M;> + 6#6 + >9$% + /#"2+ 8#>9+ 2**6+#">*")>#*"9F/;::*&>#*"+2$"$&)..%+*".% + $"0*:)//$/ + $09)"#0). + .$3$./ + N:#>09< + &9%>9< + 6%")#0/< + >$:*< + $>07C7 + + Z$ + )%+

    ;"6$&/>)"6+*"+)+2$"$&).+.$3$.+>9)>+*>9$&+>9#"2/+)&$+)>+:.)%+89)>+>9$/$+1>9#"2/,+)&$+)"6+0$&>)#".% + 89)>+ >9$%+ $">)#.+ /$$+ ) + %/>$&%7+ + =*+ 8*"6$&+ >9$&$ + #/+ /;09+ )"+ *M/$//#*" + 8#>9+)0&*$3$">/+g+ >9$%+ )&$+ >9$+ *".%+ >9#"2/+ >9)>+ 0)"+ )5$+ >9$+ ;/#0+ #">$&$/>#"2+*"+ >9$+ :;&$.%+$09)"#0).+.$3$.7++

    D9$"+>9$+:&*'$//#*").+:$&'*&$&+/$$/+)+/0*&$+#$6#)>$.%+M).)"0$+>9$+$09)"#0/+*'+>9$+/0*&$+8#>9+>9$+$09)"#0/+*'+)5#"2+/*;"6*2$>9$&+)5$+1;/#0,7++O>+#/+>9#/+M).)"0$+>9)>+#/+>9$+'*0;/+*'+>9#/+$">#&$+M**57++(/+:&*'$//#*").+:$&'*&$&/+8$+8*&5+*;&+$">#&$+0)&$$&/+#"+)>>)#"#"2+)"6+)#">)#"#"2+>9#/+M).)"0$+>*+M$+#"3*.3$6+#"+:$&'*&)"0$+/>;6#$/+N)"6+9*:$';..%+#"0.;6$+/*$+0*"/#6$&)>#*"+*'+:$&'*&$&/C+%*;+0)"+9)&6.%+6*+/*+8#>9*;>+/$$5#"2+>*+;"6$&/>)"6+)"6+$K:.*&$+#>7

    ^**5+9)/+0*"0.;6$6+>9)>$K>FM)/$6+*$">)>#*"+*'+>&)6#>#*").+;/#0*.*2%+)"6+>9$*&%+9):$&/+>9#"5#"2+)M*;>+;/#0+)/+) + :$&'*&)"0$ + )&>7+ + R;/#0 + 0)" + M$+ ;"6$&/>**6+ )/+ M*>9+ :&*0$// + )"6 + :&*6;0> + #>+ #/+ >9$+&$.)>#*"/9#:+M$>8$$"+>9$+>8*+>9)>+6$'#"$/+l:$&'*&)"0$p+#"+>9$+D$/>$&"+l)&>p+>&)6#>#*"7SQ

    O+ >9#"5+^**5,/+$K:.)")>#*"+N/$0*"6+/$">$"0$C+9#>/+ >9$+")#.+*"+>9$+ 9$)67+ +@;>+9#/+#"#>#).+0.)#+N'#&/> + /$">$"0$C + #/ + )M/*.;>$.% + ')./$7 + + O'+ >9$ + /0*&$< + >9$ + 1>$K>,+ #/+ >9$+ M)/#/+ '*&+ *;& + 8*&5 + )/+:$&'*&$&/U +?9$+/0*&$+)/+)+6$3#0$+*'+ >&)"/#//#*"+#/+;"#B;$+>*+;/#07+ +i3$"+#'+ >9$+ ;/#0+#/+ 3*0).+)"6+ #"0.;6$/+)+

    8>>$"+>$K>&)"/0$"6/+>9$+0*"'#"$/+*'+)+/:*5$"+*&+8>>$"+.)"2;)2$

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    15/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) "// ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    ]$0*"/>&;0>#*"+N)"6+&$0*"/>&;0>#*"C+#"+:$&'*&)"0$O+8)/+:.$)/)">.%+/;&:/$6+>*+6#/0*3$&+6;"2+%+&$/$)&09+'*&+>9#/+09):>$&+>9)>+>9$+>$&+16$0*"/>&;0>#*",+#/+).&$)6%+#"0.;6$6+#"+;/#0*.*2#0).+6#/0*;&/$7++O>+#/+$3$"+)+15$%+0*"0$:>,+N#'+#>/+

    #"0.;/#*"+#" +])3#6+@$)&6+ )"6+h$""$>9+ J.*)2,/+ M**5 +R;/#0*.*2%P+?9$+h$%+ ^*"0$:>/ +#/+)"%+#"6#0)>#*"C7Sm++?9$+')0>+>9)>+#>+/$$/+>*+M$)&+/*$+&$.)>#*"/9#:+>*+9*8+O+9)3$+;/$6+>9$+>$&+#"+>9#/ + M**5,/ + $>9*6 + #/ + ).. + >9$ + *&$ + )/>*;"6#"27 + + ]$0*"/>&;0>#*" + #/ + )::)&$">.% + "*> + )+$>9*6*.*2%+*&+)+/%/>$+&)>9$&+

    #"3*.3$/+)+:&*0$//+1).8)%/+).&$)6%,+:&$/$">+#"+>9$+>$K>&;0>#3$+&$)6#"2+#/+*"$+>9)>+#"3*.3$/+ >9$ + #6$">#'#0)>#*"+ )"6 + $K:.#0)>#*" + *'+ >9#/+ :&$/$"0$+ )/+ ) + 0*;">$&F.*2#0 + >*+ 89)>+ )%+#"#>#)..%+)::$)&+>*+M$+>9$+*/>+.*2#0).+)"6+")>;&).+#">$&:&$>)>#*"7Sb

    R*&$*3$&%:#0).+/>&)>$2%+*'+6$0*"/>&;0>#*"+)%+#"3*.3$+0*"/#6$&)>#*"+*'+/*$>9#"2+>9)>+)%+)::$)&+#"0#6$">).+*&+)&2#").+#"+)+>$K>9#"2+>9)>+#/+B;#05.%+:)//$6+*3$&+#"+:;&/;#>+*'+)+)#"+")&&)>#3$+*&+)&2;$">7Sk

    ?9$ + 3*0)M;.)&% + #" + >9$ + )M*3$ + B;*>)>#*"/ + ;/$/ + 1>$K>, + )"6 + 1&$)6#"2, + M$0);/$ + >9$ + #6$) + *'+6$0*"/>&;0>#*"+/>$/+'&*+>9$+8*&5+*'+I&$"09+:9#.*/*:9$&+)"6+.#>$&)&%+>9$*/>+Y)0B;$/+]$&)*+8>>$"+>$K>/7++i3$"+#'+>9$+0*"0$:>+*'+6$0*"/>&;0>#*"+/$$/+*/>+)::.#0)M.$+#"+;/#0*.*2%+>*+89)>+8$+8>$+)"6+/)%+)M*;>+#>*+'*..*87

    O"+&$/:*"/$+>*+>9$+>&)6#>#*").+:&$*00;:)>#*"+#"+;/#0+)").%/#/+8#>9+)+/$)&09+'*&+1;"#>%,#3$,9$+'*..*8#"2+B;$/>#*"+)M*3$P

    D9)>+#'+1>9$+89*.$,+#/",>+)0>;)..%+&$.$3)">+>*+$#>9$&+89)>+>9$+:$&'*&$&+6*$/9$+);6#$"0$+.#/>$"/U

    O"+>&;>99#/+/>)>$$">+>*+M$+')./$7+++O+>9#"5+1>9$+89*.$,+#/+&$.$3)">+>*+)+:$&'*&)"0$+>9$+9$)&>+*'+#>G+M;>+)>+>9$+/)$+>#$9$+:$&'*&)>#3$+)0>7++I*&+$9$+0&$)>#*"+*'+1;"#>%,+*&+)+1;/#0).+")&&)>#3$,+#/+>9$+H*M+*'+>9$+0*:*/$&7++O'+>9$+:$&'*&$&+#/+>&;$+>*+>9$+/0*&$+N/;00$//';.+#"+0&$)>#"2+>9$+19%:*>9$>#0).+#6$).,C+>9$"+>9#/+/$"/$+*'+>*>).#>%+#/+/$.'F$3#6$">+#"+)+:$&'*&)"0$7\V

    Sm @$)&6+)"6+J.*)29+ 0$">;&%*+ 0*:*/$+ 8#>9+ *&$+

    /:$0#'#0+ >$:*+ )"6+ 6%")#0+ #"6#0)>#*"/7+ +i3$"+ #"+ @)&*B;$+ )"6+$)&.#$&+ &$:$&>*#&$/+ O+ 8*;.6+ )&2;$+ >9)>+ >9$+0*:*/$&+9)/+6*"$+*/>+*'+>9#/+1;/#0).+")&&)>#*",+8*&5+#"+>9$+0*:*/#>#*").+:&*0$//G+>9$+*".%+6#''$&$"0$/+)&$+>9$+:)&)$>$&/+M%+89#09+>9$/$+")&&)>#3$/+8$&$T)&$+;"6$&/>**67 +O+8*;.6+)&2;$+>9)>+#"+;/#0+'&*+>9$+#6F/$3$">$$">9+0$">;&%+)"6+$)&.#$&9*;29>+*'+/>&;0>;&$+*&$+&$.)>#3$.%9)>+#/9$+0*">$K>+*'+>9$+89*.$+M;>+*'+89)>+0*$/+M$'*&$+)"6+)'>$&7++?9#/+0$&>)#".%+9)/+#:.#0)>#*"/+N$3$"+;:+>*+>9$+#6F$#29>$$">9+

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    16/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) ("/) ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    D9)>+:&$*00;:#$/+>9$+:$&'*&$.)&.%+#"+>9$+:$&'*&)"0$+#>/$.'9$+$K$0;>#*"+*'+)+/:$0#'#0+"*>$+#"+>9$ + 9$&$ + )"6 + "*87 + + D9)> + O + /:$)5 + *' + )&$< + B;#>$ + /#:.%< + >9$ +6$>)#./+ *' + >9$ + /0*&$< + *& + #"+

    6$0*"/>&;0>#3$+:)&.)"0$+>9*/$+/$0>#*"/+*'+)+>$K>+>9)>+)&$+1#"0#6$">).,+*&+1)&2#").,7

    I*&+)+>&;.%+)>>$">#3$+)"6+$"2)2$6+);6#$"0$+g+M%+89#09+O+$)"+)"+);6#$"0$+>9)>+2*$/+>*+)+:$&'*&)"0$+>&;/>#"2+>9)>+>9$+0*:*/$&+)"6+:$&'*&$&/+8#..+6*+>9$#&+&$/:$0>#3$+H*M/+8$..+g+O+8*;.6+ )./*+ )&2;$+ >9)>+ >9$#&+ )""$&+*' +.#/>$"#"2+ ')3*;&/+ >9$+16$>)#./,+ *3$&+ >9$+89*.$ +#"+>9$+:$&'*&)"0$+#>/$.'7++?9*;29>/+*'+>*>).#>%+)"6+0*:.$>$"$//+2$"$&)..%+*".%+0*$+>*+)"+);6#$"0$+N)"6+'*&+>9)>+)>>$&$&+>9$+')0>#*"+*&+$*&%+*'+>9$+:$&'*&)"0$+$3$">7\X+ +?*+M&$)5+#> +6*8"+0*""$0>#*"+8#>9+>9$+";M$&+*'+)"6+)""$&+#"+89#09+6$>)#./+*'+>9$+/0*&$+)&$+$K$0;>$6+)"6+0*;"#0)>$6+ M% + >9$ + :$&'*&$&/ + >*+ >9$ + );6#$"0$7 + + ?9$ + &$.)>#3$+ /;00$// + *&+ ')#.;&$ + *'+ )+:$&'*&)"0$< + *' + 0*;&/$< + 6$:$"6/ + *" + >9$ + /;MH$0>#3$ + $3).;)>#*" + *' + /)#6 + $K$0;>#*" + )"6+

    0*;"#0)>#*"7

    i)&.#$&+O+8)/+&)>9$&+0>#0).+*'+^**5,/+R*4)&>+B;)&>$>+)").%/#/+>9$+/0*&$F:$&'*&$&+&$.)>#*"/9#:+)>+>9$+/)$+>#$+/)%/+"*>9#"2+)M*;>+89%+>9$/$+&$.)>#*"/9#:/+)&$+#">$&$/>#"2+*&+#:*&>)">7++O'+O+#29>+#29>+)"/8$&+>9$+189%,P+>9$%+)&$+#">$&$/>#"2+M$0);/$+>9$%+)&$+&$:&$/$">)>#3$+*'+)+6$0*"/>&;0>#3$+)").%/#/+*'+>9$+/0*&$+#K$6+8#>9+)+0;.#")>#*"+*'+%$)&/+*'+>&)#"#"2+)"6+/0*&$+/>;6%+M$0);/$+>9$%+)&$+;"$B;#3*0)..%+"$0$//)&%+'*&+>9$+0&$)>#*"+*'+)+;/#0).+:$&'*&)"0$7

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

    0$">;&%C+#"+&$'$&$"0$+>*+6%")#0/#*" + >9)> + ) + /*.*#/> + 8)/+/#"2#"2T:.)%#"2+*&+"*>7

    %" ^)&.+])9.9);/+8&*>$P+1O"/*')&+)/+;/#0+#/+'*&+)>>)#"/+#>/+&$).+$K#/>$"0$9$+3$&%+*$">+89$"+#>+#/+:)/>7++E>#..+9$.6+'#&+#"+$*&%+$$&2$/+#">*+)+0*"6#>#*"+>9)>+#>+"$3$&+$">$&$6+6;"2+#>/+#$6#)>$+:&$/$"0$G+ )"6+ )>+ )+ 6#/>)"0$+ #>+ 0*"/>#>;>$/+#>/$.'+)/+ )+ /;&3$%)M.$+:.)/>#0+'*&7+ +E:)>#).#4)>#*"+ )"6+'*#>%9$+ /;::*&> +*& +:&$0*"6#>#*" +*' + >9$+*>9$&7,+ ^7+])9.9);/9$>#0/+*'+R;/#0

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    17/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) "/% ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    [MH$0>#3$+3/7+/;MH$0>#3$+g+#:.%#"2+*&+6$/0M#"2U^)"+)"%*"$+$K:.)#"+>*+$+>9$+*M/$//#*"+8#>9+$)"#"2U++D9$"+'#&/>+#">&*6;0$6+>*+>9$+0*"0$:>+#"+;/#0+)$/>9$>#0/+O+'*;"6+>9$+6#/0;//#*"+')/0#")>#"27++O+$3$"+'*;"6+)+:&)0>#0).+)::.#0)>#*"+'*&+

    :9#.*/*:9#0).+6#/>#"0>#*"/+*'+$)"#"2+89$"+0*"/#6$"2+)+:*//#M.$+';>;&$+#"+$.$$">)&%+)"6+/$0*"6)&%+;/#0+$6;0)>#*"7\_++@;>+#"+0*""$0>#*"+8#>9+;/#0+:$&'*&)"0$U++

    Z)"/.#05+)&2;$6+>9)>+$*>#*"/+.#5$+.*"2#"29)>+ &$)#"/ +#/ +)" +;"/:$0#'#0+/>#&"29$+)8)&$"$// +*'+ )+2$"$&).+/$"/$+*'+8$..FM$#"2+*&+6#/>&$//7p+7+7+7+Z)"/.#05+#/+)&2;#"2+>9)>+;/#0+#/+9#29.%+#"$''$0>#3$+)/+)+$)"/+*'+0*"3$%#"2+$*>#*"+89)>+#>+6*$/+0*"3$%+#/+";)"0$7\S

    ?9;/ + ;/#0 + 0*"3$%/ + 1$*>#*".$// + ";)"0$,7\\+ + O + .#5$ + >9#/ + >$"*.*2% + #" + >9$ + 0*">$K> + *'+:$&'*&)"0$+/>;6#$/)#./#&$+#6$)+*'+2**6+:$&'*&)"0$+.#$/+#"+>9$+)>>$">#*"+>*+>9$+6$>)#./+g+;/#0).+";)"0$7++D$+;"6$&/>)"6+ 89)>+8*&6/+.#5$+1$)"#"2,#*",9$+'#&/>+:.)0$U

    ^**5+8*;.6+9)3$+;/+M$.#$3$+>9)>+

    >9$ + $K:$$"0$ + *' + ;/#0 + )/ + $*>#*".$// + ";)"0$ + #/ + *"$ + >9)> + 0)""*> + M$ + >&)"/.)>$6< + $3$"+)::&*K#)>$.%)#"$6+8#>9#"+#>7+ +["$+ 0)"+ ;/$+ 8*&6/+>* +$K$:.#'%+ :*//#M.$+ )0>;).#4$6+ $)"#"2/+ $$&2#"2+ *;>+ *'+ /;09+ )"+$K:&$//#*"+>9$"+*"$+#/+"*+.*"2$&+6$/0M#"2+>9$+*#").+$K:$$"0$7\Q

    !$&9):/ +*MH$0>#3$.%+ >9#/ + #/ + >&;$< + M;> + >9#/ + *MH$0>#3$ + 1$*>#*".$//"$//, + )% + $.#0#> + ) + 9#29.%+$*>#*").+/;MH$0>#3$+&$/:*"/$+#"+>9$+.#/>$"$&>%+#:*&>)">+#"+>9$+2&)"6+

    /09$$+*'+:&*'$//#*").+;/#0F)5#"27

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

    \_ E$$P+E5$.>*"+N_VV\C7\S =7+^**5&)"/7+J7+!)%4)">C>+!;M.#/9#"2

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    18/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) ("/* ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    19/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) "/. ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    ?9$+6#)2&)+)M*3$+>$/+>*+:&$/$">+"*>9#"2+*&$+>9)"+>9$+;.>#>;6$+*'+:*//#M.$+&$.)>#*"/9#:/+*"$ +0)"+ 0*"/#6$&+ #"+ )+ :$&'*&)"0$ + )").%/#/+ *&+ :$&'*&$&,/ + )").%/#/+ *"+ ) + 3)2;$ + *MH$0>#3$F/;MH$0>#3$+0*">#";;7++?9$+*3)./+)&$+>9$+/;MH$0>//9#"2//7++?9$+89#>$+&$0>)"2.$/+0*">)#"+>9$+

    3)$>%+*'+)//*0#)>#*"/+:$&'*&$&/+)"6+.#/>$"$&/+6$3$.*:+#"+0*""$0>#*"+8#>9+>9$+:$&'*&)"0$9$+/0*&$#*"+#/+>9$+/0*&$7++?9$+/0*&$+"$3$&+)0>#3$.%+$"2)2$/+#"+6#).*2;$7++?9$+/0*&$+*".%+#"'*&/7\m

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

    /;M/$B;$"> + )//*0#)>#*"7 +O"6$$6 + >9$ + M$/> + :$&'*&$&/ + ')0#.#>)>$ + >9#/ + /;MH$0>#3#>% + #" + >9$#&+);6#$"0$/+M%+:;&:*/$.%+"*>+6#0>)>#"2+*&+0*"'#"#"2+$)"#"2+M$%*"6+>9$+&$/>>#*"/+*'+>9$+/0*&$+#>/$.'7\b

    E*+89)>+0*"0.;/#*"/+)%+8$+6&)8+)M*;>+)").%/#/+#"+:$&'*&)"0$+/>;6#$/U++!$&9):/+>9$+/)$+)/+^**5+)6$+#"+>9$+)&>#0.$+O+B;*>$6+)M*3$P

    !$&9):/+7+7+7+8$+/9*;.6+"*>+M$+>9$*#"2+;/#0).+$)"#"2+)'>$&+)..+&)>9$&+.**5#"2+'*&+8)%/+*'+;"6$&/>)"6#"2+;/#0+>9)>+)&$+';..%+)>>;"$6+>*+ #>/+$$&2$">+:&*:$&>#$/8$$"+/0*&$+)"6+:$&'*&$&+$K#/>/9$+:$&'*&$&+8#..+'&$B;$">.%+);2$">+>9$+/0*&$+>9&*;29+9#/+*8"+)&5#"2/$"/#*"+*'+*&+)//#/>)"0$+8#>9+>9$+:$&'*&$&,/+$">).+:&*0$//$/+#"+/0*&$+&$)6#"2+>9)"+)/+)"+).>$&)>#*"+*'+>9$+19%:*>9$>#0).+#6$).,+*'+>9$+0*:*/$&7++R*&$*3$&9$+:$&'*&$&C7

    \b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o$.)>$6+>*+>9#/+6#/0;//#*"+#/+>9$+#"0.;/#*"+*'+>$K>/+)"6+>&)"/.)>#*"/+#"+:&*2&)$/+*&+)/+/;&>#>.$/7++O+8*;.6+)&2;$+>9$/$+)&$+"*>+"$0$//)&%*+;"6$&/>)"6+)+>$K>;).+.)%$&+#'+>9$%+/*+09**/$9)>+09*#0$7

    \k ^**5+N_VVbC

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    20/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) ("/# ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    !*/#>#*"+bP("+)").%/#/+/9*;.6+0.$)&.%+6$'#"$+89$>9$&+#>+)#/+>*+M$+*MH$0>#3$+)"6+#:.#0#>+*&+/;MH$0>#3$+)"6+6$/0:>#3$.%).+")>;&$+*'+>9$+:$&'*&)"0$+#>/$.'+M%+:&$/$">#"2+)"6+$K:&$//#"2+1$)"#"2,+8#>9*;>+6#0>)>#"2+89)>+>9)>+#29>+M$7

    (+=$8+(2$+89)>UO+8*;.6+.#5$+>*+)5$+)+/)..+6#2&$//#*"+9$&$7++?9#/+/$0>#*"+)#/+>*+*''$&+/*$+$K:.)")>#*"+*'+>9$+0;*;/+>#>.$+O+9)3$+2#3$"+>9#/+09):>$&*+:*#">#"2+*;>+>8*+3$&%+#:*&>)">+

    $.$$">/ + *' + >9$ + :$&'*&$&,/ + 8*&5 + )"6 + 0&)'>7 + + ?9$/$ + $.$$">/ + O + 0)" + M$/> + 6$/0M$ + )/+:/%09*.*2#0).+)"6+/:#>;).7

    i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

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    21/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) "/! ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    @;>+1=$8+(2$+R;/#0*.*2%,+9)/+)"+$3$"+*&$+6#&$0>+#:.#0)>#*"+'*&+$+#"+>9)>+O+'$$.+>9)>+>9$+;/#0+:&*'$//#*"+N:$&'*&$&/+)"6+)0)6$#0/+).#5$C+/9*;.6+M$2#"+>*+)05"*8.$62$*+M$.#$3$9)>+8$+6*+9)3$+/*$>9#"2+3$&%+#:*&>)">+#"+0**"7 +O+/;/:$0>9#/+M**5+)"6T*&+09):>$&9)>+%*;+)6$+>9$+:&)0>#0$+)"6T*&+/>;6%+*'+;/#0+%*;&+

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

    (..+*'+;/+8$&$+8$.0*$6+#">*+>9$+8*"6$&';.+8*&.6+*'+;/#0+>9&*;29+>9$+:9%/#0).+)0>#3#>#$/+*'+.#/>$"#"2+)"6+/#"2#"2+)"6T*&+:.)%#"27++@;>+:$&9):/+>9$+0*""$0>#*"+8#>9+;/#0+#/+$3$"+6$$:$&+>9)"+)+/##.)&+#"#>#)>#*"+:&*0$//7++!$&9):/+>9#/+#"#>#)>#*"+8)/+)0>;)..%+)+2.#:/$+#">*+)+/9)&$6+$K:$$"0$+>9)>+8$+0)""*>+:&*3$+$K#/>/+>9)>+8$+)..+5"*8+#/+>9$&$7++!$&9):/$+>&;>9,+89#09+#/+"*>+)"%+/:$0#'#0+:#$0$+*'+;/#0+/*$>9#"2+>9)>+)..+;/#0+0*""$0>/+;/+8#>9+#"+/*$+8)%7++?9$+')*;/+H)44+;/#0#)"+@#..+i3)"/+*"0$+/)#6P+1O+M$.#$3$+>9)>+)..+:$*:.$+)&$+#"+:*//$//#*"+*'+89)>+#29>+M$+0)..$6+)+;"#3$&/).+#"67+("%+>&;$+;/#0+/:$)5/+8#>9+>9#/+;"#3$&/).+#"6+>*+>9$+;"#3$&/).+#"6+#"+)..+:$*:.$7,QV

    h$""%+D$&"$&+6*$/+"*>+/9%+)8)%+'&*+/;09+#6$)/+#"+9#/+M**5+ i''*&>.$//+R)/>$&%9$+:$&'*"2+;/#0#)"+)/+)+"$0$//)&%+$.$$">+#"+)09#$3#"2+)/>$&%+#"+*"$,/+09*/$"+:&*'$//#*"7

    R;/#0&)#">/9$+;/#0#)"+)"6+);6#$"0$7++R;/#0+#/+>9$&$+'*&+*;&+$"H*%$">+)"6+$"$">7++R;/#0+#/+.#>$&)..%+>9$+/*;"6+*'+H*%+)"6+6$3*>#*"7++O>+#/+)+2#'>+'&*+J*6+>*+)..*8+;/+>*+$K:&$//+>9$+#"0&$6#M.$+$0/>)/%+*'+*;&+#""$&+")>;&$7+ +I)..#"2+ /9*&>+ *'+>9)>/$.'+)>+ *;&+'$$>+'*&+ $K:&$//#"2+ )"%+*'+ >9$+0*;">.$//+'$$.#"2/+)//*0#)>$6+8#>9+>9$+9;)"+0*"6#>#*"7QX

    Z*8+#/+>9)>+'*&+)+18*&5+0*"0$:>,U

    ("6+)"+)66$"6;+>*+>9$+/$0>#*"+1D9*+)&$+:$&'*&$&/U+D9)>+6*+>9$%+6*U,+)M*3$P

    \` Y;/>+)/+O+6*",>+>9#"5+:*:;.)&+)"6+'*.5+;/#0+8*;.6+M$"$'#>+'&*+#">$"/$+;/#0*.*2#0).+/0&;>#"%9#"5+>9$+/)$+)::.#$/+>*+>9$+)H*>%+*'+>9$+;/#0+>9)>+#/+>9$+*M/$//#*"+*'+%*;"2+09#.6&$"7++?9)>+M$#"2+/)#6)"0$9$+D#22.$/7

    QV @#..+i3)"/9$+R)/>$&+R;/#0#)"+D#>9#"

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    22/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) ("/$ ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    (/+;/#0#)"/T9$).$&/+#/+*;&+6$/>#"%+>*+0*"6;0>+)"+#"8)&6+/$)&09+#>+8#>9+*;&+;/#0+/*+>9)>+*>9$&/+)%+M$"$'#>7++(/+>9$%+.#/>$"+>*+>9$+;/#0+0*#"2+>9&*;29+;/9$%+>**+)&$+#"/:#&$6+>*+.**5+8#>9#"7Q_

    A#5$+)"%+/:#>;).+>$)09$&/>#"2+2*+*'+>9$+$2*+)/+)+$)"/+>*+:$&'*&+)"6+$K:$$"0$+;/#0+*&$+0*:.$>$.%7++Z$+6$/0M$/+>9$+$2*+)/+1>9$+.$"/+>9&*;29+89#09+8$+:$&0$#3$+*;&+/$:)&)>$"$//+'&*+$)09+*>9$&,QS+ )"6 + >9#/+ /$:)&)>#*"+ #/+ 89)>+ :&$3$">/ + ;/ + )/+;/#0#)"/+'&*+ 0*""$0>#"2+ '#&/>.%+8#>9+ *;&+ #"/>&;$">/+)"6+;.>#)>$.%+8#>9+ *;&+);6#$"0$/7+D$&"$&+0*"0.;6$/P+1?9$+9#29$/>+/>)>$+)+;/#0#)"+0)"+M$+#"+#/+)+/$.'.$//+/>)>$7,Q\++D9)>+9$+#/+&$)..%+6$/0M#"2+)"6+;.>#)>$.%+>$)09#"2+#/+9*8+>*+:$>+*"$,/+>$09"#B;$+)"6+>).$">+>*+0*""$0>+8#>9+)+ .)&2$&+)"6+9#29$&+'*&0$+>9)>+ #/+;"#3$&/)..%+;"6$&/>**6+)"6+)00$:>$6+)>+ >9$+/)$+>#$+#">)"2#M.$+)"6+#"$K:.#0)M.$7++

    i''*&>.$//+R)/>$&%+8)/+&$0*$"6$6+>*+$+M%+>9$+*/>+#:*&>)">+;/#0).+#"'.;$"0$+#"+%+$)&.% + >&)#"#"2< + #'+ "*> + %+ $">#&$+ 0)&$$&+ g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

    8#>9+]*;2.)/+8)/$+/#:.%+*'+]*;2.)/+8)/+/#"2#"2+>9&*;29+$7

    ?9$+1:*8$&+*'+;/#0,+#/+&)&$.%+&$'$&&$6+>*+#"+;/#0*.*2#0).+&$/$)&09$/+'*&+/09**.+;/#0+$6;0)>#*"#*"+;/#0+ #"+ >9$+ )#"/>&$)+ $6#)7+ +O +>9#"5+#>+ #/+ $3$"+ >9$+ :)&%+&$)/*"+ 89%+;/#0*.*2#/>/+M$0*$+;/#0*.*2#/>/>$"6+:$&'*&)"0$/7Qm+ +!$&9):/+18$+ )&$+)..+ 0*""$0>$6,+ )/+)+ /09*.)&.%+:&$#/$+8*;.6+M$+ 6#''#0;.>+>*+>)5$ + /$*;/.%< + M;> + *"$ + 8#.. + #"$3#>)M.% + $"0*;">$& + &$'$&$"0$/ + >* + 1>9$ + /:)0$, + #" + />;6%#"2+:$&'*&$&/+)"6+:$&'*&)"0$7Qb+

    Q_ D$&"$&+>9&*;29+>9$+6*>,G+1?)5$+%*;&+>#$,G+1]*",>+>7+;">#.+>9$+:$";.>#)>$+"*>$,G+

    1R)5$+$3$&%+"*>$+M$);>#';.,7Qm O,+"*>+/;&$+#'+#>+#/+>&;$+D$&"$&+6*$/+*''$&+)+>9$*&%+*'+9*8+>9#/+19#29$&+'*&0$,+)%+';"0>#*"P+1(0>;)..%#*"7++=*8+8$+2$>+>*+>9$+9$)&>+*'+>9$+)>>$*"/7++O>+#/+)+/0#$">#'#0+')0>+>9)>9*;29+8$+/$$+/*.#6/+89$"+8$+.**5+)>+)"+*MH$0>+8$+)&$+&$)..%+/$$#"2+#/+'.;#6+3#M&)>#*"/+*&2)"#4$6+#"+/;''#0#$">.%+2&*//+'&$B;$"0#$/+>*+'*&+/*.#6+)>>$&7+7+7+D$+)&$+)6$+;:+*'+3#M&)>#*"/7++("6+>9;/9#"2/+0)"+M$+/)#6+>*+9)3$+;/#0+#"+>9$7,++D$&"$&

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    23/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) ")+ ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    i3$&%*"$+ 0)"+&$$M$&+)> +.$)/>+ *"$+2&$)>+0*"0$&>+>9$%,3$+ M$$"+ >*7+ +?9$+ :$&'*&)"0$+8)/ +/*+#"/:#&$6+>9)>+#>+/>)%$6+8#>9+>9$+);6#$"0$+8$..+)'>$&+>9$%+8$">+9*$7++!$&9):/+>9$+'&)2&)"0$+*'+#>+8)/+/>#..+>9$&$+>9$+"$K>+6)%7++?9$+'$$.#"2+#>+0&$)>$6+0);/$6+>9*/$+:&$/$">+>*+M$9)3$+6#''$&$">.%+'*&+)+89#.$9+*&$+2&)0$9+*&$+#"6';."$//+*'+>9$+/*;.7Qk

    O,+"*>+)63*0)>#"2+>9)>+1=$8+(2$+R;/#0*.*2%,+/9*;.6+0*">$:.)>$+>9$+/:#>;).+/#6$+*'+;/#09*;29+*'+0*;&/$+ >9#/+ #/+:*//#M.$7+ +@;>+ )05"*8.$62#"2+1>9$+/:)0$,+#" +:$&'*&)"0$+/>;6#$/+ #/+0.$)&.%+&$.$3)">+#"+0*"/#6$"2+M*>9+:$&'*&$&+:/%09*.*2%+)"6+);6#$"0$+&$0$:>#*"7

    nAc#/>$"$&/ + 6*+ "*> + 0*;"> + ;/#0). + 6;&)>#*"/+ #"+ /$0*"6/+ *&+ 0&*>09$>/ + *&+ M)&F";M$&/7 + + ?9$#&+$K:$$"0$+*'+;/#0).+>#$9$+>#$9)>7Q`

    ?9#/+)//$//$">+M%+=#09*.)/+^**5+*"+9*8+)"+);6#$"0$+$K:$$"0$/+;/#0+&$#"6/+$+*'+i059)&>+?*..$,/+6#''$&$">#)>#*"+M$>8$$"+10.*05+>#$,+N>#$+;/$6+'*&+:&)0>#0).+:;&:*/$/C+)"6+

    1:/%09*.*2#0).+>#$,+N>#$+;/$6+M%+>9$+$2*+>*+*M/$//+)M*;>+>9$+:)/>+)"6+>9$+';>;&$+)"6+)3*#6+>9$+:&$/$">+*$">+*&+>9$+1"*8,C7++D9$"+O+0*M#"$+^**5+)"6+?*..$+*"+>9#/+#//;$9*+%*;+*".%+>9&*;29+>9$+:*&>).+*'+>9$+:&$/$">+*$">7mV

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mX

    i#/$"/>$#",/+ 6#/0*;&/$ + #/+ >** + $.)M*&)>$ + >*+ /;)$+ #"+ >9$ + :&$/$"> + 09):>$&G + 9*8$3$&+0*""$0>#*"+>*+#//;$/+*'+)").%/#/>.$+*&$+>9)"+)+19;)"F0&$)>$6+):+*&+&$:&$/$">)>#*"+*'+&$).#>%,7m_+ +R*&$*3$&9$+A#/>$"$&,+^>#0#/$#"%

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    24/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) (")" ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    >9$+8*&.6&)0>#"2+#>+)"6+&$6;0#"2+#>#*"+*'+#>7, mS+ +E;09 +)+/>)>$$">+&$/*")>$/+/>&*"2.%+8#>9+$+)/+O+&$'.$0>+*"+%+/;/:#0#*"+*'+>9$+M;MM.$+09)&>+)"6+/##.)&+/*&>/+*'+)").%/#/+>9)>+/$$+*".%+>*+&$6;0$+;/#0+>*+)+/9)6*8+*'+89)>+0)"+M$+2.$)"$6+'&*+&$)6#"2+>9$+0*:.$>$+/0*&$$"#"2+>*+)+:$&'*&)"0$7

    ?9#/+M$#"2+/)#69#0).+1[#").+A)"2;)2$,+>9)>+16#6+"*>+/%M*.#4$+)"6+)M/>&)0>+'&*+&$).#>%+>9)>+8)/+#>/$.'+:)&>+*'+&$).#>%7,mQ+ +?9#/+1[#").+A)"2;)2$,%+)>>$:>+>*+/;::&$//+#>#..+)>+>9$+0*&$+*'+9*8+8$+)/+9;)"/+0*;"#0)>$+8#>9+*"$+)"*>9$&+.$)/>+89$"+>9#"2/+&$)..%+)>>$&7

    ("%+#">$"/$.%+$*>#*").+$K:$$"0$+)%+7+7+7+$.#0#>+;>>$&)"0$/+*'+>9$+[#").+A)"2;)2$+g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

    A#5$+.*2#0$2*$+>9$+89*.$+8*&.6*+6*$/>#0)>$+>9$+8#.6+8$+6$.;6$+*;&/$.3$/+>*+>9#"5+>9)>+>9$+8#.6+&$/:$0>/+*;&+M*;"6)$/+)"%+*&$+>9)"+)+/B;#&&$.+&$/:$0>/+)+l"*+>&$/:)//#"2p+/#2"7++?*+>9#/+6)%+#/+>9$+3*#0$+>9)>+0*;"#0)>$/+*&$+>9)"+>9$+/:$$097mb

    1[#").+A)"2;)2$,#$,9$+/:)0$,&;>9,$3$&+%*;+8)">+>*+0)..+#>9$&$+#/+/*$>9#"2+)M*;>+;/#0+>9)>+0)"+1/:$)5,+>*+)"%+:$*:.$+*"+)"%+.$3$./7++(/+>9$+);>9*&/+*'+!*8$&+!$&'*&)"0$+'*&+E#"2$&/+/*+/;00#"0>.%+8>$P+1(..+:$&'*&)"0$+*00;&/+#"+>9$+:&$/$">7++O>+#/+:$&9):/+*"$+*'+>9$+'$8+*$">/+89$"+)+9;)"+M$#"2+.#3$/+>*>)..%+#"+>9$+*$">7++O>+#/+"*87,mk

    mS i#/$"/>$#"+#3#>%+#/+ *"$+*'+ >9$+>9#"2/+ i#/$"/>$#"+ M$.#$3$/+#/ +*/>+#:*&>)">+ #"+9;)"+/*0#$>%P+1O+ )+ /;22$/>#"2+ )+

    6#''$&$">+0*"0$:>#*"+*'+J*6+*;>/#6$+>9$+;"#3$&/$+M;>+)"+#"/$:)&)M.$+:&*:$&>%+*'+>9$+;"#3$&/$7,+i#/$"/>$#"

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    25/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) ")/ ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    (").%/#/+)"6+:$&'*&)"0$+)"6+:$&'*&$&=*8+>9)>+8$+9)3$+/0&):$6+N'*&+)+&)>9$&+.*"2+>#$C+>9$+/;&')0$+*'+89)>+)+:$&'*&$&+6*$/+#"+&$.)>#*"+>*+)+/0*&$+)"6+#"+M"2#"2+>9)>+/0*&$+>*+.#'$+#"+:$&'*&)"0$,/+*3$+0.*/$&+>*+>9$+

    ;.>#)>$ + 2*). + *' + &$0*"0#.#"2 + >9$ + 6#''$&$"0$/ + M$>8$$" + :$&'*&$&/ + )"6 + ;/#0*.*2#/>/ + #"+0*""$0>#*"+8#>9+>9$+:&*0$//+*'+1)").%/#/,7

    A$>,/ + '#&/> + )5$ + ) + 6#/>#"0>#*" + M$>8$$" + 1:$&'*&)"0$F)").%/#/, + )"6 + 1:$&'*&$&,/ + )").%/#/,7+?9*;29+>9$%+.**5+)"6+/*;"6+3$&%+/##.)&9$%+)&$+';"6)$">)..%+6#''$&$">9$%+.**5+)>+#>7

    1!$&'*&)"0$F)").%/#/,+#/+>9$+)").%/#/+*'+:$&'*&)"0$/9*;299$+'*0;/+#"+:$&'*&)"0$+/>;6#$/+#/+)"%+#"6#0)>#*"7

    n?c9$+*/>+*M3#*;/+8)%+*'+/>;6%#"2+;/#0+)/+:$&'*&)"0$+#/$+/#:.%*+/>;6%+>9*/$+>&)0$/+*&+&$:&$/$">)>#*"/+*'+ :)/>+:$&'*&)"0$/+>9)>+ )5$+;:+>9$+ &$0*&6$6+9$>)2$9$&$M%+;".*05#"2+)"+)&09#3$+*'+)0*;/>#0).+>$K>/+0*:)&)M.$+#"+$K>$">+)"6+ /#2"#'#0)"0$+>*+>9$+ "*>)>$6+>$K>/+)&*;"6+89#09+;/#0*.*2%+*#")..%+0)$+#">*+M$#"27m`

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

    89#09+>9$+:$&'*&)"0$+>**5+:.)0$7bV++O"+:)&>/+.#5$+)0*;/>#0/#"29$+:$&'*&)"0$+$3$">/+6#/0;//$6+#"+1(+=$8+(2$+89)>U,+)M*3$C7bX

    m`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o#"5+0*"0.;6$/P+1!$&'*&$6+;/#0+#/$"6+>*+/$"/$+)+'#0>#>#*;/.%+0*"/>)">+>$:*7+7+7++?9$+#"0*">&*3$&>#M.$+1')0>/,+*'+>9$+:$&'*&)"0$+)/+$K:&$//$6+M%+>9$+6)>)+&$3$).+*".%+)+:)&>#).+)"6+:$&9):/ + #/.$)6#"2+ >&;>9 + g + 89#09 + #/+ ) + /).;>)&%+ .$//*"+ M*>9+ '*&+ :/%09*.*2#/>/+ )"6 + '*& + >9*/$ + />;6%#"2+&$0*&6#"2/7,+o#"5+N_VV\C

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    26/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) (")) ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    1!$&'*&$&,/+)").%/#/,&)/>#0).+*6$+89#09+)..*8/+:$&'*&$&/+>*+M$+:$&'*&$&/+&)>9$&+>9)"+$&$+)2$">/+*'+>9$+>9$*/>7, b_++?9#/+#/+)+>$&+>9)>+Y*9"+o#"5+6$3$.*:$6+)'>$&+&$)09#"2+>9$+/)$+0*"0.;/#*"/+)M*;>+>9$+&*.$+*'+)").%/#/+#"+>9$+:$&'*&$&1/+8*&5+>9)>+O+6$/0M$6+)M*3$7bS++?9$+&$0*2"#>#*"+*'+1:$&'*&$&,/+)").%/#/,+9)/+M$$"+$09*#"2+#"+>9$+)"")./+*'+

    )0)6$#)+)>+.$)/>+)/+')&+M)05+)/+X`bSP

    ?9$+:$&'*&)"0$+*'+)+:#$0$+*'+;/#0+#/+7+7+7+>9$+)0>;).#4)>#*"+*'+)"+)").%>#0+)0>+g+$3$"+>9*;29+/;09+)").%/#/+)%+9)3$+M$$"+#">;#>#3$+)"6+;"/%/>$)>#0+7+7+7+)").%/#/+#/+#:.#0#>+#"+89)>+>9$+:$&'*&$&+6*$/7b\

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

    @;>+5"*8#"2+%*;&+:.)0$+6*$/+"*>+$)"+>9)>+%*;+"$$6+>*+/>)%+>9$&$+'*&$3$&a++O"6$$6+O+8*;.6+$"0*;&)2$+ >9$ + )0)6$#0+ >*+ >&%+ )"6 + 2$> + )/+ 0.*/$ + )/+ :*//#M.$< + )/+ *'>$" + )/+ :*//#M.$ + >*+ >9$+0$">&$:#$0$+*'+:$&'*&)"0$+/>;6#$/P+ >9$+:$&'*&)"0$7+ +O' +%*;+ )&$+*"$+ *'+>9*/$+;/#0*.*2#/>/+89* + 6*+ "*> + )>>$"6+ .#3$+ :$&'*&)"0$/ + *"+ ) + &$2;.)& + M)/#/+ #/+ >#$+ %*; + />)&>$67+!$&9):/ + #"+ >9$ + :&*0$// + %*; + 0)" + $3$"+ />$+ ;:+ /*$+ $)"#"2';.+ 0*"3$&/)>#*"/ + 8#>9+ >9$+

    b_ o#"5+N_VV\C + >9$+ ;/#0). + 3#)M#.#>%+ *'+ l*"$F>*F*"$ + )::#"2/p + M$>8$$" + *&*;/+

    )").%>#0).+$>9*6*.*2#$/+)"6+:$&'*&)"0$9*;29+O+6*+M$.#$3$+>9)>+:$&'*&$&/+0*">#";)..%+$"2)2$+#"+)+5#"6+*'+ )").%/#/+ )/+ )"+ #">$2&).+ :)&>+ *'+ M;#.6#"2+ )"+ #">$&:&$>)>#*"7 + + O"+ *>9$& + 8*&6/7,+o#"5+N_VV\C%+*'+^9#0)2*+!&$//

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    27/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) ")% ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    :&*'$//#*").+:$&'*&$&/)2$7++R)%M$+).*"2+>9$+8)%+%*;+0)"+$3$"+&$0*$"0$+>)5#"2+/*$+:)>$+.$//*"/+%*;&/$.'*+2$>+&$)0B;)#">$6+8#>9+>9$+/>&;22.$/+)//*0#)>$6+8#>9+6$3$.*:#"2+>$09"#B;$+)"6+:&)0>#/#"2+/0*&$/7

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    28/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) (")* ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    E$0*"6.%+8#..+M$+"$0$//)&%+>*+&$0*"0#.$+>9$+.#"$)&+>$"6$"0%+*'+/09*.)&/9#:+8#>9+>9$+0%0.#0).+")>;&$+*'+:$&'*&)"0$7++O"+>9$+/$0>#*"+1D9*+)&$+:$&'*&$&/U+D9)>+6*+>9$%+6*U,+O+;/$6+>9$/$+>$&/+>*+6$/0M$+>9$+0)&$$&+:)>9/+*'+>9$+)0)6$#0+)"6+:$&'*&$&+&$/:$0>#3$.%+N/:$0#'#0)..%+#"+>9$+/;M/$0>#*"+1["F2*#"2+:&*'$//#*").+)0>#3#>#$/,C7+ +O+'$$.+>9)>+>9$+>$&/+)&$+$B;)..%+&$.$3)">+#"+

    6$/0M#"2+ >9$+$>9*6+ *'+8*&5#"2+ #"+>9$/$+>8*+:&*'$//#*"/7+ +?9$+ "$K>+ 6#)2&)+ )>>$:>/+>*+:&$/$">+>9$+1R)>K+*'+R;/#0+!$&'*&)"0$,+#"+>9$+8$/>$&"+)&>F;/#0+>&)6#>#*"+/:$0#'#0)..%9$+3)*;/+/;MH$0>/+N#"+*3)./C+)"6+>9$#&+&$/:$0>#3$+0*">M;>#*"/+)"6+0&$)>#*"/+N#"+&$0>)"2.$/C7+ +D9#.$+>9$+;/#0*.*2#/>+*'>$"+:.)%/+) +3$&%+#:*&>)">+&*.$+#"+>9$+&$).#4)>#*"+*'+ )+:$&'*&)"0$+N>9$+0&$)>#*"+*'+>9$+/0*&$C#*"+>*+)"6+#"'.;$"0$+*"+>9$+:$&'*&)"0$+$3$">+#/+.##>$67bQ

    ?9#&6.%/+;/>+6$3$.*:+"$8+$>9*6/+*'+)").%/#/7++O+6*",>+8#/9+>*+/)%+>9)>+>&)6#>#*").+)").%>#0+$>9*6/+)&$+3).;$.$//9$&+>9)>+ >9$%+ )&$+&)&$.%+&$.$3)">+>*+>9$+)&>+*'+ ;/#0+:$&'*&)"0$+)"6+>*+:$&'*&)"0$+&$0$:>#*"7+ + O"+ *>9$&+ 8*&6/&)6#>#*").+ )").%/#/+ )%+*'>$"+ 1#//+ >9$+:*#">,+*'+ 89)> +#/+ */>+

    #">$&$/>#"2+)"6+#:*&>)">+>*+:$&'*&$&/+)"6+);6#$"0$/+N)"6+)%M$+#"+>#$+>*+;/#0*.*2#/>/+)./*aC7

    ("+)").%/#/+#/+3$'#$6+"*>+89$"+#>+)00*;">/+'*&+)+0$&>)#"+:$&0$">)2$+*'+>9$+"*>$/+#"+>9$+/0*&$+89$"+#>/+&$)6$&+09**/$/+>*+)00$:>+#>+)/+)+/)>#/'%#"2+#">$&:&$>)>#*"+*'+>9$+0*:*/#>#*"+#"+B;$/>#*"7bm

    O'+89)>+O+:&*:*/$+#/+*".%+#">$&$/>#"2+>*+:$&'*&$&/+N#'9)>+#/)5$+>9$+>#$+>*+&$)6+%*;&+)").%/$/+)"%8)%+ g+ )>+ .$)/> +"*>+ #"+>9$+ "$)&+ ';>;&$7+ +?9)>+ M$#"2+ /)#6;)..% + '#"6 + "$8 + )"6 + #">$&$/>#"2 + )").%>#0). + $>9*6/ + 0*""$0>$6 + 8#>9+

    :$&'*&)"0$+>9$%+8>$+8#..+:&*M)M.%+2)#"+#">$&$/>+)*"2/>+/*$+#">$..$0>;)..%F#"0.#"$6+:$&'*&$&/7++@;>+'*&+>9$+>#$+M$#"2+'#"$+*"+>9$#&+*8"abb

    bQ ?9#/+6#)2&)+)./*+&$F$:9)/#4$/+>9$+:&*M.$+8#>9+/>;6%#"2+&$0*&6#"2/P+0.$)&.%+>9$&$+#/+)"+#$"/$+:&*0$//+#"3*.3$6+M$>8$$"+>9$+:&*6;0>#*"+*'+)+/0*&$+)"6+>9$+:&*6;0>#*"+*'+)+&$0*&6#"2#"2P+1!$&'*&$&/+

    0*;.6+$">$&+)").%>#0).+6#).*2;$+)/+:$&'*&$&/+g+)/+)&>#/>#0T#">$..$0>;).+$B;)./$..$0>;).+#"'$*&/+89*+"$$6$6+>*+.$)&"+'&*+>9$+>9$*/>/7,+Y*$.+A$/>$&

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    29/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) "). ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    30/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) (")# ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

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

    E;09+)+:&*H$0>+#"+0*""$0>#*"+8#>9+)+:)>$+>$)09$&+0*;.6+)./*+9$.:+#..;#")>$+>9$+>$)09$&F/>;6$">+&$.)>#*"/9#:7++?9$+)::.#$6+>$)09#"2+:&*0$//+)"6+>9$+&$.)>#*"/9#:+M$>8$$"+/>;6$">+)"6+>$)09$& + *'>$" + 6$3$.*: + *3$& + /$3$&). + %$)&/< + )"6 + 6$)"6 + 0*">#";). + &$:$>#>#*" + *' + >$09"#0).+:"0#:.$/7+ +(.*"2/#6$+>9$/$+0*$+>9$+ ;/#0).+ N1#">$&:&$>#3$,< + 1$K:&$//#3$,#0).,C+

    :&$'$&$"0$/+*'+>9$+>$)09$&1/+*8"+)$/>9$>#0+ )"6 + >$09"#0).+ :&$'$&$"0$/7+ O'+ >9$ + )M*3$ + :&*H$0> +8$&$+ >*+ M$+ $K>$"6$6+ >*+ #"3*.3$ + )+/:$0#'#0+/>;6$">9$+/09*.)&+0*;.6+2)#"+#"/#29>+#">*+M*>9+/#6$/+*'+>9$+&$.)>#*"/9#:+>9$+)0B;#/#>#*")>#*"+*'+5"*8.$62$7+ +R;/#0).+)"6+>$09"#0).+/5#../+)&$+*'>$"+.$)&"$6+#">;#>#3$.%#)>$.%+>9$+/>;6$">+6$0#6$/+89)>+9#/+*&+9$&+:$&/*").+>$09"#0).+)"6+;/#0).+:&$'$&$"0$/+)&$7

    O" + 1(").%/#/ + )"6 + N*&UC + :$&'*&)"0$, + Y*9" + o#"5 + 6$/0M$/ + >8* + :"0#:). + 0)>$2*$/ + *'+:$&'*&)"0$F&$.)>$6+)").%/#/+>9)>+0;&&$">.%+*00;:%+>9$*/>/P

    NXC+)").%/#/+:*&+>*9$+M)/#/+*'#3$+ &$/:$0>#3$.%7bk+ +Z*8$3$&+ #/+0.$)&.%+#//#"2+'&*+ >9$/$+ >8*+0)>$2*$/+ #/+ >9$+ 1)").%/#/+ *'+ :$&'*&$&,+ 89#09 +8*;.6 +)66+ )+ 9;2$+/;22$/>#3$+$.$$">+>*+>9$+#K7+

    ?9$+:*>$">#).+M$0*$/+$3$"+2&$)>$&+#'+8$+0*"/#6$&+>9)>+>9$+:$&'*&$&+9#/$.'+$"2)2$/+#"+>9&$$+6#/>#"0>+N#'+"*>+*&$C+>%:$/+*'+)").%/#/+#"+0*""$0>#*"+8#>9+>9$+:$&'*&)>#3$+)0>P

    NXC+:&$:)&)>*&%+)").%/#/N_C+)6):>#3$+)").%/#/NSC+$3).;)>#3$+)").%/#/b`

    bk Y7+o#"5< +1(").%/#/+ )"6+N*&UC+ :$&'*&)"0$,+#"+ Y7+o#"5+N$67C +R;/#0).+!$&'*&)"0$P+(+J;#6$+>*+L"6$&/>)"6#"2:$&'*&)"0$C+)&$+0.$)&.%+#&&*&$6+#"+%+:&$:)&)>*&%#3$#0).+*6$.7++E$$P+i*"/+)"6+?9*)/

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    31/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) ")! ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    1!&$:)&)>*&% + )").%/#/, + #/ + M)/#0)..% + 2$>>#"2 + >*+ 2:/ + 8#>9+ >9$ + /0*&$< + )"6 + :$>/ + >#$+ '*&+0*">$:.)>#*"+)/+8$..+)/+$K:$$">)>#*"7++?9#/+M**5+$//$">#)..%+'*0;/$/+*"+>9#/+:&*0$//+'*&+>9$+0.)//#0).+/#"2$&7

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

    1i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

    ?9$+09)&>+M$.*8+0*""$0>/+>9$/$+>9&$$+>%:$/+*'+)").%/#/+>*+>9$+';..+:$&'*&)"0$+:&*0$//+.**5#"2+)>+)+/0*&$+>*+:$&'*"2+#>7

    (").%/#/+>%:$ i3$">+*&+:&*0$//)6):>#3$ '#&/>+&$)6F>9&*;29+N/*.*C

    :&$:)&)>*&% :&)0>#0$

    )6):>#3$ '#&/>+&$)6F>9&*;29+N>;>>#C

    :&$:)&)>*&%T)6):>#3$ &$9$)&/).

    )6):>#3$ &;"F>9&*;29

    )6):>#3$ 2$"$&).+&$9$)&/).

    $3).;)>#3$ :*/>F:$&'*&)"0$+'$$6M)05+N>;>>#T);6#$"0$C

    $3).;)>#3$ :*/>F:$&'*&)"0$+&$'.$0>#*"+N/*.*C

    i3$"+#'+>9$+:&*6;0>+#/+;.>#)>$.%+*'+2&$)>$&+#:*&>)"0$+>9)"+>9$+:&*0$//+'&*+>9$+:;&$.%+:&*'$//#*").+:*#">+*'+3#$8+N#"+>9)>+89*$3$&+#/+6*#"2+>9$+9#"2+*'+:&*'$//#*").+;/#0#)"/+0)&$/+*/>+)M*;>+>9$+B;).#>%+*'+>9$+$"6+&$/;.>C)#".%+>9$+:&*0$//+:.)%/+)"+#">$2&).+&*.$+#"+0&$)>#"2+/)#6+:$&'*&)"0$7+ +R*&$*3$&9$+:&*0$//+/9*;.6+M$+*'+:)&%+#:*&>)"0$+>*+)").%/>/

  • 7/28/2019 An Essay on Analysis

    32/35

    ("+$/)%*.#+!+$)**%)+*&)+$'.) (")$ ,)=.8)2;+0#0%?;9;+9#+0+5):+>3)+81;9'.%.3?

    nOc'+)").%/#/+)"6+:$&'*&)"0$+)&$+>*+M$+/$$"+)/+#">$&.*05#"2+*6$/+*'+;/#0).+5"*8.$62$9$"+>9$%+/9*;.6+M$+:;&/;$6+/#;.>)"$*;/.%+)"6+#">$&)0>#3$.%9$&+8)%#0;.)>$+B;$/>#*"/+7+7+7+)/+)+/*;&0$+*'+)"/8$&/+7+7+7++nDc9)>+)>>$&/+)M*;>+)").%/#/+#/+"*>+/*+;09+89)>+#>+&$:&$/$">/+M;>+89)>+#>+6*$/+#>+.$)6/+%*;+>*+6*7kV

    I*&+:$&'*&$&/+2*$/+8#>9*;>+/)%#"2+>9)>+9*8+8$+)").%/$+9)/+#:.#0)>#*"/+'*&+89)>+8$+6*7+O>+#/#0).+:&*0$//$/+)&$+#">;#>#3$+*&+*00;&+*"+)+/;M0*"/0#*;/+.$3$.+>9$%+0)"+"*"$>9$.$//+M$+#6$">#'#$6+)"6+;"6$&/>**6#>;>$+)+3)/>+)&$)+'*&+)0)6$#0+&$/$)&097+ +O' +)0)6$#0+ )").%/#/+ #/+ >*+M$+ ;/$';.+/9*;.6+'#&/>+/$>+*;>+ >*+/$&3$+*;&+"$$6/+)"6+:;&:*/$/+)/+:$&'*&$&/7++i3$"+#'+#>+#/+"*>+>9$+)").%/>1/+6$/#&$+>*+)//#/>+>9$+:$&'*&$&9#"5+>9)>+)"+)").%>#0).+>9$*&%+M)/$6+*"+)+'.;#6+$K09)"2$+M$>8$$"+:$&'*&$&9)"+>&)6#>#*").T9#/>*).+*6$./+*'+>9$+:)/>7kX

    ?*+/>)>$+/*$+'#").+0*"0.;/#*"/9)>+>9$+M$/>+6#&$0>#*"+#"+89#09+>*+>)5$+:$&'*&$&,/+)").%/#/+ #/+ >*+ *;>.#"$+ #"+ "*+;"0$&>)#"+>$&/+ >9$+'*;"6)>#*"/+;:*"+ 89#09+ )+/:$0#'#0+)").%/#/+