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AN 1 Inégalités, fonctions, calcul différentiel et intégral

Après un passage en revue du vocabulaire sur les fonctions, on expose les grandsthéorèmes du calcul différentiel et intégral. Ils seront tous démontrés dans la suitedu cours d’Analyse ; l’accent est mis dans ce chapitre sur leur utilisation, la pra-tique du calcul (des dérivées et des intégrales en particulier) et la bonne utilisationdes inégalités.

1 Inégalités, fonctions, calcul différentiel et intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Inégalités sur la droite réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Inégalités usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Généralités sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1 Vocabulaire et notations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Injectivité, surjectivité et bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Propriétés liées à la relation d’ordre surR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Propriétés géométriques d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1 Continuité ponctuelle et globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.1 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Dérivée et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Dérivée et bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.5 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.1 Intégrale d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Techniques de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.1 Logarithme néperien et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.2 Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

PCSI2 \ 2019-2020 Laurent Kaczmarek

6.3 Fonctions circulaires directes et réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.4 Fonctions hyperboliques directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7 Équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.2 Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants . . . . . . . 37

8 Annexe : solutions aux tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

LLG \ PCSI2 AN 1 \ 2


1. Inégalités sur la droite réelle

L ES nombres et leurs propriétés furent très tôt un objet fascinant de recherche. Pendant denombreuses années, les savants crurent que tous les nombres étaient commensurables, c’est-à-dire dans un rapport rationnel. La découverte par les Pythagoriciens de nombres irration-

nels fut une véritable crise et incita de nombreux géomètres à repenser la notion de nombre. Celui quialla le plus loin dans cette voie fut Eudoxe, dont l’œuvre fut reprise par Euclide dans ses Eléments.

Dedekind

Les développements de l’Analyse Réelle du milieu du XVI e siècleà la fin du XVIII e siècle, aboutirent à une veritable crise qui éclatadans la première moitié du XIX e siècle.

Quelques mathématiciens, dont Augustin-Louis Cauchy, prirentconscience du flou qui régnait autour des notions de limite et decontinuité. Ces débats aboutirent naturellement à une refondationde l’Analyse Réelle et en particulier à une définition rigoureuse desnombres réels.

Parmi les nombreuses constructions deR à partir deQ, citons cellede Richard Dedekind. Le mathématicien allemand proposa en1872 dans son traité Stetigkeit und Irrationale Zahlen une construc-tion de R basée sur la notion de coupure, inspirée des tentativesd’Eudoxe.

Les mathématiciens Georg Cantor et Hugues Charles Robert Méray proposèrent indépendament desconstructions similaires deR à partir des nombres rationnels et fondées sur les suites de Cauchy.

1.1. Inégalités usuelles

Propriétés de l’ordre usuel surR

. Réflexivité : pour tout x ∈R, x É x.

. Antisymétrie : pour tout (x, y) ∈R2,(

x É y et y É x) =⇒ x = y .

. Transitivité : pour tout (x, y, z) ∈R3,(

x É y et y É z) =⇒ x É z.

. L’ordre est total : pour tout (x, y) ∈R2, x É y ou y É x.

. Définition de l’inégalité stricte : soient x et y deux nombres réels ; on dit que x est strictementinférieur à y (notation x < y) si x É y et x 6= y . Pour tout (x, y) ∈R2, x < y =⇒ x É y .

Notation 1.1. Maximum et minimum d’un nombre fini de réels

Soit (x, y) ∈R2. On note max(x, y) et min(x, y) respectivement le plus grand et le plus petit des deuxnombres x et y. On généralise (récurrence) à un nombre fini de réels : max(x1, . . . , xn) et min(x1, . . . , xn).

Définition 1.2. Intervalles deR

Pour tout (x, y) ∈R2, on pose [x, y] := {t ∈R ; x É t É y

}, [x,+∞[ := { t ∈R ; x É t }, etc.

. On appelle intervalle deR tout sous-ensemble deR d’un des types précédents.

. On appelle vrai intervalle tout intervalle ayant une infinité d’éléments.



. On appelle segment tout intervalle de la forme [x, y] avec x É y.

. Soit (x, y) ∈R2 tel que x É y. On appelle longueur de intervalle [x, y[ (ou ]x, y], etc.) le réel y −x.

Tests

1.1. Soit (a,b) ∈R2 tel que a É b. Quel est le milieu de [a,b] ? Quel est le point de [a,b] situé auquart de [a,b] en partant de a ?

1.2. Soit (a,b) ∈R2 tel que a < b. Montrer que [a,b] = { (1− t )a + tb ; t ∈ [0,1]}. Donnerl’interprétation géométrique de t dans x = (1− t )a + tb.

Compatibilité 1de la relation d’ordre avec les opérations

. Opposés : pour tous réels a,b et c, on a a É b É c si et seulement si − c É−b É−a.

. Multiplication : pour tous réels a,b,λ et µ avec λ> 0 et µ< 0,

{a É b ⇐⇒ λa É λb

a É b ⇐⇒ µb Éµa

. Superposition par somme : pour tous réels a,b, a′ et b′,

{a É b

a′ É b′ =⇒ a +a′ É b +b′.

. On généralise par récurrence à n couples : ( ∀i ∈ �1,n�, ai É bi ) =⇒n∑

i=1ai É

n∑i=1

bi .

.(

(∀i ∈ �1,n�, ai É bi ) et(∃ j ∈ �1,n�, a j < b j

) ) =⇒n∑

i=1ai <

n∑i=1

bi .

. Superposition par produit : pour tous réels a,b, a′ et b′,

{0 É a É b

0 É a′ É b′ =⇒ aa′ É bb′.

. On généralise par récurrence à n couples : ( ∀i ∈ �1,n�, 0 É ai É bi ) =⇒n∏

i=1ai É

n∏i=1

bi .

. Recentrer des inégalités : ∀(a, x,u,b) ∈R4, x −a É u É x −b ⇐⇒ u +b É x É u +a.

. Inverses : deux nombres de même signe sont rangés dans l’ordre inverse de leurs inverses.

. Une somme de réels positifs est nulle si et seulement si tous ces réels sont nuls.

. Si x et y sont positifs, ∀n ∈N∗ , x É y ⇐⇒ xn É yn .

Exemple 1.3. Quelques « gammes »

Résoudrex −1

x +2< 0, 2−p

1−x É 0 etp

2−x +p3+x Ê 1. Montrer que, ∀n ∈N∗,

2n∑k=1

1

kÊ n

2·

Soit (α,β) ∈R2 tel que α2 +αβ+β2 = 0. Montrer que α= β= 0.

Majorer, minorer et estimer sont au fondement de l’Analyse 2. Il faut avoir les bons réflexes pour en-cadrer une expression. Pour une somme de réels ou d’un produit de réels positifs, on encadre chacun

1. Seule l’addition est compatible au sens de l’Algèbre avec la relation d’ordre.2. Voir le livre Calcul infinitésimal de Jean Dieudonné et son excellente préface que nous citons ici approximativement.



des termes et on a applique les propriétés de superposition (cf. l’encadré de la page 4). Le cas d’unquotient relève des produits mais il est suffisamment important pour le mettre en exergue :

Savoir faire 1.4. Comment encadrer un quotient ?{0 < m′ É a′ É M′

0 < m É a É M=⇒ m′

MÉ a′

aÉ M′

m; pour majorer

a′

a, il suffit de

{majorer a′

minorer a.

Exemple 1.5.

Soient a > 0 et b > a. Trouver des réels m et M tels que ∀x ∈ [a,b], m É x

x3 +1É M.

1.2. Valeur absolue

La valeur absolue est l’outil au fondement des notions de convergence et de limite.

Définition 1.6. La valeur absolue

Pour tout réel x, on note |x| ={

x si x Ê 0

−x si x < 0

La valeur absolue permet de définir la distance|x − y | entre deux nombres réels x et y .Cette distance permet des interprétations géo-métriques sur une droite graduée : cf. ci-contreles représentations des réels à une distance dea inférieure à r et des réels à une distance de astrictement supérieure à r .

Soient a ∈R et r > 0.

. Réels x vérifiant |x −a| É r :

aa − r a + r

rr

. Réels x vérifiant |x −a| > r :

aa − r a + r

rr

Proposition 1.7. (Propriétés de la valeur absolue).

a) Pour tout (x, a) ∈R2 et r ∈R+, |x −a| É r ⇐⇒ a − r É x É a + r .

b) Pour tout (x, a) ∈R2 et r ∈R+, |x −a| > r ⇐⇒ x < a − r ou x > a + r .

c) Pour tous réels x et y , |x y | = |x|× |y |.d) Inégalité triangulaire : pour tous réels x et y , on a |x+y | É |x|+|y | et, |x+y | = |x|+|y | ⇐⇒ x y Ê 0.

e) Inégalité triangulaire généralisée : pour n ∈N∗ et des réels x1, . . . , xn ,

∣∣∣∣∣ n∑k=1

xk

∣∣∣∣∣É n∑k=1

|xk |.Il y a égalité si seulement si les xk sont tous de même signe.

f) Inég. de Cauchy-Schwarz : ∀n ∈N∗, ∀(a1, . . . , an ,b1, . . . ,bn) ∈R2n ,

∣∣∣∣∣ n∑k=1

ak bk

∣∣∣∣∣É√

n∑k=1

a2k

√n∑

k=1b2

k .

Exemple 1.8. Trois démonstrations sous forme d’exercice.On revient à la proposition précédente.

a) Prouver l’inégalité triangulaire et sa généralisation.

b) Preuve de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. On pose, pour tout t ∈R, P(t ) =n∑

k=1(bk +ak t )2.



i) Écrire P(t ) sous la forme At 2 +Bt +C pour tout t ∈R.

ii) On suppose dans cette question que A 6= 0. En considérant le signe de P surR, déterminer le signede son discriminant. Conclure.

Exemple 1.9. Variations sur la valeur absolueQuelques résultats classiques.

a) Déterminer l’ensemble des réels x tels que

∣∣∣∣x +1

x −3

∣∣∣∣É 1.

b) Résoudre dansR les inéquations suivantes : |x +3| > 5 puis |2x −4| É |x +2|.c) Soit (x,m,M) ∈R3 tel que m É x É M. Trouver, en fonction de m et M, un réel k tel que |x| É k.

d) Soit (a,b) ∈R2. Montrer que max(a,b) = a +b +|a −b|2

· Formule analogue pour min(a,b) ?

e) Soit (x, y) ∈R2. Montrer que∣∣|x|− |y |∣∣É |x − y |.

f ) Soient n ∈N∗ et (x1, . . . , xn) ∈Rn+. En utilisant 1.7.f), montrer que

(n∑

k=1xk

)(n∑

k=1

1

xk

)Ê n2.

Tests

1.3. Soient a et b deux réels positifs.

a) Montrer quep

a +b Épa +p

b ; b) En déduire que∣∣pa −p

b∣∣É√

|a −b|.

1.4. Résoudre dansR l’inéquation∣∣x2 −3

∣∣> 2.

1.3. Partie entière

Définition 1.10. La partie entière

Pour tout réel x, on appelle partie entière de x eton note bxc l’unique k ∈Z tel que k É x < k +1.

Par exemple, b5,78c = 5. Pour x ∈ R, bxc est leplus grand des entiers relatifs inférieurs à x et,si x est positif, x −bxc est la partie décimale dex, par exemple 5,78−b5,78c = 0,78.

Le graphe de x 7→ bxc est représenté ci-contre.

Exemple 1.11. Partie entière et division euclidienne.Soit (a,b) ∈N×N∗. Quel est le quotient dans la division euclidienne de a par b ?

Proposition 1.12. (Propriétés de la partie entière).

∀x, x −1 < bxc É x et bxc É x < bxc+1 et ∀(x,n) ∈R×Z, bx +nc = bxc+n.



Exemple 1.13.

Montrer que ∀x ∈R,

⌊b2xc2

⌋= bxc. Résoudre b2x −1c = bx +1c, bx +3c = bx −1c puis b2xc = 1−bxc.

Tests

1.5. On définit la partie fractionnaire de x ∈R par {x} = x −bxc.

a) Calculer {54,465} et {−36,456}.

b) Soit x ∈R. Comparer {x} et {−x}.

c) Prouver que la fonction définie surR par x 7→ {x} est périodique et tracer son graphe.

1.6. Soient a et b deux réels, montrer que :

a) a É b =⇒ bac É bbc. b) bac+bbc É ba +bc É bac+bbc+1.

2. Généralités sur les fonctions

L’ idée de fonction a été forgée progressivement par les mathématiciens; outil indispensableen géométrie depuis Descartes, les fonctions réelles y = f (x) de la variable réelle x devinrentindispensables pour l’étude des courbes et les calculs mécaniques et astronomiques.

Leonard Euler

Le mot functio fut employé par Leibniz et l’écriture y = f (x) parEuler. L’analyse réelle – qui est l’étude des fonctions de la variableréelle à valeurs réelles – est née de considérations essentiellementgéométriques. Cependant, les mathématiciens se sont progressi-vement aperçus que tout fondement géométrique de la notion delimite (qui est au cœur de l’analyse réelle) resterait incomplet tantque la notion de nombre réel ne serait pas correctement définie.On doit au mathématicien norvégien Niels-Henrik Abel la défini-tion moderne de la notion de fonction.

Dans tout ce qui suit, on pourra considérer que E et F sont des sous-ensembles deRmais ces définitions sont bien plus générales.

2.1. Vocabulaire et notations usuelles

Les notions de fonctions et d’applications sont synonymes 3. La définition générale des applicationsrelève de la théorie des ensembles. Nous nous contenterons ici d’une approche naïve.

Définition 1.14. Application

On appelle application la donnée de trois objets :

. un ensemble de départ A et un ensemble d’arrivée B ;

. pour tout élément x de A, la donnée d’un unique élément de B appelé image de x.

3. Conformément aux programmes de CPGE.



Dans la pratique, une application est notée par une lettre, par exemple f . Ainsi, on écrit f : A → B etl’on note, pour tout x dans A, f (x) l’image de x par l’application f . Quand l’expression de l’image d’unélément arbitraire x de A par f est connue, on note également :

f : A −→ B

a 7−→ expression de f (a)

�Ensemble de définitionIl ne faut pas confondre la notion de fonction et la donnée d’une expression dépendant d’unevariable x. Ainsi, l’expression (x −1)/x permet de définir une infinité de fonctions, par exemple :

f1 : ]1,+∞[ −→ R

x 7−→ x −1

x

, f2 : ]−∞,0[ −→ R

x 7−→ x −1

x

, f3 : R∗ −→ R

x 7−→ x −1

x

On appelle ensemble de définition d’une expression 4 dépendant de x ∈K, la plus grande partie deKsur laquelle elle est définie. L’ensemble de définition de l’expression ci-dessus estR∗.

Remarque 1.15. À propos de la définition.Différence entre f et f (x). Ensemble d’arrivée Vs. image.

Tests

1.7. Déterminer l’ensemble de définition de l’expression ln(2−e−1/x

).

Définition 1.16. Graphe et courbe représentative

Soient f : A → B une fonction avec A ⊂R et B ⊂R, et R un repère du plan. On appelle courbe repré-sentative de f dans R l’ensemble des points de coordonnées

(x, f (x)

)pour x ∈ A.

C’est une représentation géométrique du graphe de f et on emploiera parfois le mot graphe au lieude courbe représentative 5.

Ceci est un graphe Ceci n’est pas un graphe

∀a ∈ A, la droite verticale Dd’équation x = a coupe legraphe de f en un uniquepoint M de coordonnées(a, f (a)

).

Toutes les courbes planes nesont pas des graphes.

Définition 1.17. Image et antécédent

Soient f : A → B une application et (x, y) ∈ A×B. Si f (x) = y, alors ondit que y est l’image de x par f et que x est un antécédent de y par f .

Dans la figure ci-contre, y0 = f (x0) = f (x1) donc y0 est l’image par f dex0 et x1, x0 et x1 sont des antécédents de y0 par f .

y0

x0 x1

4. L’expression ensemble de définition ne s’applique pas à une fonction, synonyme d’application, mais à une expression.5. Ceci revient simplement à identifier un point à ses coordonnées



Notation 1.18. Ensembles d’applications

Soient A et B deux ensembles. L’ensemble des applications de A dans B est noté BA ou encore F (A,B).

Définition 1.19. Restriction

Soient f : A → B une application, A′ ⊂ A. On appelle restriction de f à A′ et l’on note f |A′ l’uniqueapplication g : A′ → B définie par ∀x ∈ A′, g (x) = f (x).

Définition 1.20. Image directe

Soient f : E → F et A ⊂ E. On note f (A) = { f (x) ; x ∈ A} (image directe de lapartie A par f ).

Pour la fonction f de [−1,1] dans [−1,1] tracée ci-contre,

f

([−1

2,

1

2

[)=

[1

2,1

]

1

2

1

−1

2

−1

2

1

2

L’ensemble des valeurs prises par f : A → B sur A′ ⊂ A est égal à f (A′).

Définition 1.21. Partie stable par une application

Soit f : A → B une application et S une partie de A. On dit que S est stable par f si f (S) ⊂ S.

Exemple 1.22.Soit f la fonction définie deR dansR par x 7→ x3 −x. Calculer f (R+).

2.2. Opérations sur les fonctions

On noteK=R ouC.

Définition 1.23. Somme et produit

Soient f : A →K, g : A →K deux applicationset λ ∈K. On définit f +λg et f g par :

f +λg : A −→K

x 7−→ f (x)+λg (x)

, f g : A −→K

x 7−→ f (x)g (x)

Définition 1.24. Composée

Soient f : A → B et g : C → D deux applicationstelles que f (A) ⊂ C. L’application définie de Adans D par x 7→ g ( f (x)) est notée g ◦ f et appe-lée composée de g et f .

En général, f ◦ g 6= g ◦ f .

Proposition 1.25. (Associativité de la composition).

Pour f : A → B, g : C → D et h : E → F telles que h(E) ⊂ C et g (C) ⊂ A, ( f ◦ g )◦h = f ◦ (g ◦h).

Remarque 1.26. Sens de l’expression f ◦ f ◦ fC’est l’associativité de la composition qui donne un sens à des expressions du type f ◦· · ·◦ f (n fois).

Notation 1.27. Itérées d’une fonction

Pour f : A → B où A est stable par f , on définit par récurrence les itérées f n par f 0 = i dA et, pour toutn ∈N∗ f n = f n−1 ◦ f .



2.3. Injectivité, surjectivité et bijectivité

Définition 1.28. Injectivité, surjectivité et bijectivité

Une application f : A → B est dite 6 :

. injective si ∀(x, y) ∈ A2, f (x) = f (y) =⇒ x = y (tout élément de B admet au plus un antécédent) ;

. surjective si ∀y ∈ B, ∃x ∈ A, y = f (x) (tout élément de B admet au moins un antécédent) ;

. bijective si elle est injective et surjective (tout élément de B admet un unique antécédent).

Les figures suivantes illustrent les notions d’injectivité, de surjectivité et de bijectivité.

y

x1 x2

Une fonction de [−1,1] dans[0,1] non injective (il existedeux éléments distincts x1 etx2 de [−1,1] ayant la mêmeimage y) et surjective (toutélément de [0,1] admet aumoins un antécédent).

y

Une fonction de [−1,1] dans[0,1] non surjective (il existeun élément y de [0,1] n’ayantpas d’antécédent) et injective(tout élément de [0,1] admetau plus un antécédent).

y

x

Une fonction de [−1,1] dans[0,1] bijective (tout élément yde [0,1] admet un unique an-técédent x).

Proposition 1.29. (Bijections).

Soit f : A → B une bijection.

a) On appelle bijection réciproque de f et on note f −1 : B → A l’application telle que, pour touty ∈ B, f −1(y) est l’unique antécédent de y par f .

b) Pour tous (x, y) ∈ A×B,(

f ◦ f −1)

(y) = y et(

f −1 ◦ f)

(x) = x.

Soient f : A → B une bijection. Pour tout u ∈ A, notons v = f (u), desorte que u = f −1(v). Les points M et M′, de coordonnées (u, v) et(v,u), appartiennent aux courbes représentatives de f et de f −1.Lasymétrie d’axe ∆ : y = x, première bissectrice du repère, échan-geant les points M et M′, les graphes des fonctions f et f −1 sontsymétriques par rapport à ∆, ce qui permet de construire le graphede f −1 connaissant celui de f . u

vu

v

f

f −1

Exemple 1.30.

La fonction f : x 7→ x

1+xréalise une bijection de [0,+∞[ sur [0,1[.

6. On comprend maintenant pourquoi il est essentiel de préciser les ensembles de départ et d’arrivée d’une fonction : le caractère surjectif ou injectifd’une fonction ne dépend pas seulement de l’expression f (x).



Tests

1.8. Une fonction f :R→R paire peut-elle être injective ? surjective ?

1.9. La fonction deR dansR définie par f : x 7→ x2 −x +1 est-elle bijective ?

2.4. Propriétés liées à la relation d’ordre surR

Définition 1.31. Fonctions majorées, etc.

Soient f : A →R et A′ ⊂ A ; f est dite :

a) majorée sur A′ si ∃M ∈R, ∀x ∈ A′, f (x) É M.

b) minorée sur A′ si ∃m ∈R, ∀x ∈ A′, m É f (x).

c) bornée sur A′ si | f | est majorée 7sur A′.

Une fonction est : majorée (resp. minorée) siet seulement si son graphe est contenu dansun demi-plan horizontal inférieur (reps. supé-rieur), bornée si et seulement si son graphe estcontenu dans une bande horizontale.

Tests

1.10. Les fonctions définies surR∗ par x 7→ x sin(1/x) et x 7→ sin(x)/x sont-elles bornées sur ]0,π] ?

1.11. Le somme de deux fonctions de F (A,K) bornées est-elle bornée sur A ? Idem avec le produit.

Définition 1.32. Fonctions monotones

Soit f : I →R avec I intervalle deR ; f est dite :

a) croissante sur I si, pour tout (u, v) ∈ I2, u < v =⇒ f (u) É f (v) ;

b) strictement croissante sur I si, pour tout (u, v) ∈ I2, u < v =⇒ f (u) < f (v) ;

c) décroissante sur I si, pour tout (u, v) ∈ I2, u < v =⇒ f (u) Ê f (v) ;

d) strictement décroissante sur I si, pour tout (u, v) ∈ I2, u < v =⇒ f (u) > f (v) ;

e) monotone (resp. strictement monotone) sur I lorsque f est croissante sur I ou décroissante sur I(resp. strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I) ;

f ) constante sur I si, pour tout (u, v) ∈ I2, f (u) = f (v) ;

Si f : I → R (avec I vrai intervalle) est monotone mais pas strictement, alors f admet au moins unpalier, ie. ∃J ⊂ I vrai intervalle tel que f soit constante sur J.

7. On étend cette définition aux fonctions à valeurs complexes.



Exemple 1.33. Quizz monotoneLe produit de deux fonctions décroissantes est-il décroissant ? Étudier la monotonie de la composéede deux fonctions croissantes, de deux fonctions décroissantes, d’une fonction croissante et d’unefonction décroissante.

Tests

1.12. La fonction f : x 7→ 1/x définie deR∗ dansR est-elle décroissante surR∗ ?R∗+ ?R∗− ?

1.13. Une fonction strictement monotone est-elle nécessairement injective ? Étudier la réciproque.

2.5. Propriétés géométriques d’un graphe

On rappelle qu’une partie D deR est dite symétrique par rapport à 0 si, ∀x ∈D , −x ∈D .

Définition 1.34. Parité d’une fonction

Soit f : D →R une fonction définie sur D ⊂R symétrique par rapport à 0. La fonction f est dite :

a) paire si ∀x ∈D , f (−x) = f (x) ; b) impaire si ∀x ∈D , f (−x) =− f (x).

−x x −x

x

La fonction f est paire (resp.impaire) si et seulement si songraphe est symétrique parrapport à l’axe des ordonnées(resp. O). Dans ce cas, il suffitde construire sur D ∩ [0,+∞[et de compléter la figure par labonne symétrie pour obtenirla courbe sur D .

Exemple 1.35. Parité et compositionÉtudier la parité de la composée de deux fonctions paires, de deux fonctions impaires, de la compo-sée d’une fonction impaire et d’une fonction paire.

Soit T ∈R. Une partie D deR est dite stable par T-translation si ∀x ∈D , x ∈D ⇐⇒ x +T ∈D .

Définition 1.36. Fonctions périodiques

Une fonction f : D → R est dite périodique si ∃T > 0 tq. D soit stable par T-translation et ∀x ∈ D ,f (x +T) = f (x). On dit que f est T-périodique et que T est une 8période de f .

TT TT

Si f est T-périodique alors songraphe s’obtient en traçant legraphe sur n’importe quel inter-valle de longueur T puis en effec-tuant des translations de vecteursTi, 2Ti, 3T · i, etc., −Ti, −2Ti, etc.

8. Une fonction T-périodique admet une infinité d’autres périodes, les nombres nT pour n ∈Z∗.



3. Fonctions continues

L A notion de continuité a donné du fil à retordre à de nombreux et fameux mathématiciensdu XIXe siècle. Le graphe d’une fonction continue est un objet plus complexe qu’il n’y paraît.On se méfiera des représentations naïves des fonctions continues masquant la réalité géomé-

trique de cette notion 9. Les mathématiciens de la seconde moitié du XXe siècle nous ont appris àdistinguer la notion de continuité de celle de dérivabilité, cette dernière traduisant le caractère lissedu graphe, ce qui n’est pas le cas de la continuité. On doit à Cauchy, Bolzano et Weierstrass la notionmoderne de continuité. La liste des idées reçues en matière de continuité est hélas fort longue. Parexemple, on ne confondra pas la continuité et l’idée d’un tracé « sans lever la main » :

Bernhard Bolzano

La fonction définie surR par

x 6= 0 7→ f (x) = x sin(1/x), f (0) = 0

est continue mais présente une infinitéd’« arches » d’aires alternativement positiveset négatives, ce qui rend mensonger tout tracé« sans lever la main » du graphe de f au voisinagede l’origine.

3.1. Continuité ponctuelle et globale

D’un pont de vue heuristique, une fonction continue sur un intervalle est une fonction dont le graphen’est pas « déchiré » en plusieurs morceaux.

Définition 1.37. Continuité ponctuelle, continuité globale

Soit I un vrai intervalle deR.

. Soient f : I →R et a ∈ I. On dit que f est continue au point a si f (x) −−−→x→a

f (a).

. Soit z0 ∈ I. Une fonction f : I →C est dite continue en z0 si Re( f ) et Im( f ) sont continues en z0.

. IciK=R ouC.Une fonction f : I →K est dite continue sur I si elle est continue en tout point de I.

La valeur absolue est continue sur R. La fonction de Heavi-

side est continue partout sauf en 0 : H(x) ={

0 si x < 0

1 si x Ê 0

Proposition 1.38. (Opérations).

Soient I un vrai intervalle, λ ∈K, u : I →K et v : I →K continues ; u +λv et uv sont continues, et, siv ne s’annule pas sur I, alors 1/v et u/v sont continues.

Comme les graphes d’une bijection u et de sa réciproque u−1 sont symétriques par rapport à la pre-mière bissectrice, la continuité de u impliquera celle de u−1.

9. On retiendra qu’une fonction continue peut avoir un comportement extrêmement irrégulier. Nous étudierons dans le cours de deuxième annéedes exemples donnés par le mathématicien allemand Weierstrass de fonctions continues surRmais dérivables en aucun point deR.



Proposition 1.39. (Composées et bijections).

Soient I et J deux intervalles deR.

a) Pour toutes fonctions u : I →R et v : J →R continues telles que u(I) ⊂ J, v ◦u est continue.

b) Si u : I → J est une bijection continue, u−1 : J → I est continue.

3.2. Théorème des valeurs intermédiaires

Theoreme 1.40. (Théorème des valeurs intermédiares).Soient I un intervalle et f : I →R continue. Si f prend deux valeurs y1 É y2 sur I, alors elle prend surI toutes les valeurs de l’intervalle [y1, y2].

Corollaire 1.41. (Corollaire du TVI).Soit a et b tels que a < b, et f : [a,b] →R continue. Si f est strictement croissante sur [a,b], alors fréalise une bijection de [a,b] sur l’intervalle [ f (a), f (b)].

Dans la définition de la bijectivité

∀y ∈ [ f (a), f (b)] , ∃! x ∈ [a,b] , y = f (x)

l’existence de x est assurée par le TVI, uni-cité vient de la stricte monotonie. On adapteaux autres types d’intervalle. Par exemple, si f :[a,b[→R est continue et strictement croissantesur [a,b[, alors f réalise une bijection de [a,b[sur [ f (a),`[ où ` := lim

x→bx<b

f (x). a b

f (b)

f (a)

x

y

4. Fonctions dérivables

L E calcul différentiel est né des travaux indépendants de Leibniz et Newton au XVIIe siècle. Larevendication de la paternité de cette nouvelle théorie fut l’objet de vives polémiques entre lesdeux hommes et cette controverse affecta beaucoup Leibniz sur la fin de sa vie.

Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz

La problématique de départ estissue de la Mécanique 10. Consi-dérons par exemple un automo-biliste qui se rend de Marseille àParis en huit heures. Sachant quela distance est d’environ 800 kilo-mètres, il peut dire que sa vitesseaura été de 100 km/h. Cette vi-tesse correspond au rapport dis-tance/durée. Mais évidemment,cette vitesse n’a peut-être pas étéconstante tout le long du trajet.

10. Dans tous les cas, voir une dérivée comme une vitesse peut être un très bon guide.



Ces 100 km/h ne représentent en fait qu’une moyenne, c’est sa vitesse moyenne entre Marseille etParis. S’il a parcouru 1,5 km entre 9h et 9h01, il en déduira que sa vitesse moyenne sur cet intervalle detemps était de 90 km/h. Est-ce que cela lui donne sa vitesse à 9h exactement? Non, bien entendu caren une minute il a pu grandement faire varier sa vitesse. La question est de définir sa vitesse à l’instantprécis où sa montre indiquait 9h. Pour désigner ce nombre idéal, on parle de vitesse instantanée.Comme on l’aura compris, cette vitesse instantanée se définit comme une limite de vitesse moyennesur un intervalle de temps de plus en plus court. Précisément, si d(t ) est la distance parcourue àl’instant t depuis le départ, cette vitesse à 9h va se définir comme la limite quand h tend 0 de (d(9+h)−d(9))/h.

4.1. Dérivabilité

Définition 1.42. Dérivabilité en un point

Soient f : I →R une fonction définie sur un vrai intervalle I deR et x0 ∈ I.

. Dérivabilité ponctuelle : On dit que f est dérivable en x0 si le taux d’accroissement de f en x0

τx0 f : I \ {x0} −→ R

x 7−→ f (x)− f (x0)

x −x0

admet une limite quand x tend vers x0

Dans ce cas, cette limite est appelée nombre dérivé de f en x0 et on le note f ′(x0).

. Dérivabilité globale : si f est dérivable en tout x0 ∈ I, on note f ′ : I →R, x0 7→ f ′(x0). Cette fonctionest appelée dérivée de f .

. Une fonction f : I →C est dite dérivable sur l’intervalle I si Re( f ) et Im( f ) sont dérivables sur I. Onpose alors f ′ := (

Re( f ))′+ i

(Im( f )

)′.Tangente

f (x0)M0

x0

f (x)M

x

y = f (x)

Corde

Soit x0 ∈ I en lequel f est dérivable ; la tangenteau point M0

(x0, f (x0)

)au graphe de f est par

définition la droite d’équation

y = f (x0)+ f ′(x0)(x −x0)

D’un point de vue heuristique, la tangente cor-respond à la position limite des cordes [M0M]du graphe de f quand M tend vers M0 : τx0 f (x)est la pente de corde joignant les points dugraphe de f d’abscisses x0 et x.

Remarque 1.43. Continuité et dérivabilité.Lien entre les deux propriétés et un peu d’histoire.

Proposition 1.44. (Opérations).

Soient u : I →K et v : I →K dérivables.

a) Les fonctions u + v et uv sont dérivables avec (u + v)′ = u′+ v ′ et (uv)′ = uv ′+u′v ;

b) Si v ne s’annule pas sur I, les fonctions 1/v et u/v sont dérivables avec

{(1/v)′ = −v ′/v2

(u/v)′ = (vu′− v ′u)/v2 .



Il est souvent plus efficace de dériver un quotient u/v en l’écrivant comme produit uv−1.

Proposition 1.45. Composéesa) Pour u : I →R et v : J →R dérivables telles que u(I) ⊂ J, v ◦u est dérivable et (v ◦u)′ = u′(v ′ ◦u).

b) Cas particulier important : pour u > 0 et n ∈N, un est dérivable et (un)′ = nu′uα−1.

c) Si ϕ : I →C est dérivable, alors exp◦ϕ est dérivable et (exp◦ϕ)′ =ϕ′(exp◦ϕ).

Exemple 1.46.Dans ce théorème, les conditions de dérivabilité sont suffisantes mais pas nécessaires.

Exemple 1.47.Traiter les exercices suivants :

a) Prouver la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction définie sur ]0,π[ par f (t ) = 1

sin5(t )·

b) Soient f : x 7→ ln(x)x−2 définie surR∗+. et C son graphe. Montrer que le point (1,0) est le seul pointde C où la tangente est parallèle à la droite d’équation y = x.

Tests

1.14. Calculer les dérivées de x 7→ ln(ln(x)), x 7→ ln

(√1−2sin2(x)

)et x 7→ cos(x)+x sin(x)

sin(x)−x cos(x)·

4.2. Dérivée et variations

Proposition 1.48. (Dérivée et sens de variation).

Soient I un vrai intervalle et f : I →R dérivable.

a) Si f ′ Ê 0 (resp. É 0), alors f est croissante (resp. décr.) sur I. De plus, si f ′ ne s’annule sur aucunintervalle ouvert non vide inclu dans I, alors f est strictement croissante (resp. décr.) sur I.

b) Si f ′ = 0, alors f est constante sur I.

Exemple 1.49.L’implication « f ′ = 0 =⇒ f est constante » est fausse.

Savoir faire 1.50. Plan d’étude d’une fonction numérique

Soient D une réunion d’intervalles deR et f : D →R une fonction dérivable.

. Rechercher les symétries de f afin de limiter l’étude à D ′ ⊂D .

. Étudier les variations sur chacun des intervalles composant D ′.

. Tracer la courbe de f sur D ′ puis D tout entier grâce aux symétries.

Exemple 1.51.

Étude de f (x) = ln

(ex +e−x

2

)et g : x 7→ sin4(x)+cos4(x).



4.3. Dérivée et bijectivité

Voici un résultat qu’il faut savoir adapter à d’autres situations (type d’intervalle différent, etc).

Savoir faire 1.52. Bijections lues sur un tableau de variation

Cas d’une fonction f : ]a,b[→R dérivable avec a et b éventuellement égaux à ±∞.

. Si f ′ É 0 et si l’ensemble des zéros de f ′ne contient aucun intervalle ouvert non vide,alors f est strictement décroissante sur ]a,b[.

. Afin de connaître l’intervalle image de f , oncalcule les limites

L = limt→a+ f (t ) et `= lim

t→b−f (t )

puis on dresse le tableau de variation de f ,

t a b

f ′(t ) −

f (t )L

`

On conclut alors que f réalise une bijectionstrictement décroissante de ]a,b[ sur ]`,L[.

Il est clair que le caractère injectif est assuré par la stricte monotonie de f et que le théorème desvaleurs intermédiaires permet de justifier l’égalité f (]a,b[) =]`,L[.

Exemple 1.53. Illustrations.Cas de la fonction f : t 7→ t − sin(t ) puis étude de l’équation x ln(x) = 1.

Proposition 1.54. (Dérivabilité d’une fonction réciproque 11).

Soit f : I → J une bijection entre deux intervalles deR dérivable sur I. Soient y ∈ J et x = f −1(y).

a) f −1 est dérivable en y si et seulement si f ′( f −1(y)) 6= 0 et dans ce cas(

f −1)′ (y) = 1

f ′ ( f −1(y)) .

b) Lorsque f ′ ( f −1(y))= 0, le graphe de la fonction f −1 admet en y une tangente verticale.

∆y = f (x)

x = f −1(y)

f ′(x)

1

f ′(x)

x

y

y

x

∆

x

y

y

x

Horizontale

Verticale

y = f (x)

x = f −1(y)

Exemple 1.55. De la racine carrée.Retrouver les propriétés de dérivabilité de la racine carrée.

Tests

1.15. Montrer que f : t 7→ t + sin(t ) réalise une bijection deR surR.

1.16. Montrer que h : x 7→ 2xex réalise une bijection de [0,1] sur un ensemble à déterminer.

11. On notera que si la continuité de la fonction réciproque f −1 est acquise, sa dérivabilité n’est pas automatique et nécessite une petite discussion.



4.4. Dérivées d’ordre supérieur

Définition 1.56. Dérivées successives

Soient I un vrai intervalle, f : I →K et n ∈N∗. On note f (0) := f .On note, sous réserve d’existence, f (n) := (

f (n−1))′

. Cette fonction est appelée dérivée n-ième de f .

Exemple 1.57.Déterminer les dérivées successives de cos et sin.

Définition 1.58. Fonctions de classe C k

Soient I un intervalle deR et f : I →K.

. f est dite de classe C 0 si elle est continue sur I.

. Soit n ∈N∗. La fonction f est dite de classe C n si elle est dérivable n fois et si f (n) est continue.

. La fonction f est dite de classe C∞ si elle est indéfiniment dérivable sur I.

Pour n ∈N∪ {∞}, on note C n(I,K) l’ensemble des fonctions de classe C n sur I à valeurs dansK.

4.5. Primitives

Définition 1.59. Primitives d’une fonction

Soient I un vrai intervalle deR et f : I →K (K=R ouC dans toute cette section).

. On appelle primitive de f sur I toute fonction F : I 7→R dérivable telle que F′ = f .

. On écrira∫

f (x)dx = F(x) pour signifier que F est une primitive de f .

La continuité de f est une condition suffisante de l’existence de primitives 12 de f sur I.

Proposition 1.60. (Primitives).

Soient un vrai intervalle I deR et F une primitive de f : I →K.

a) Les primitives de f sur I sont exactement les fonctions F+k, où k est une constante réelle.

b) Pour tout (y0, t0) ∈K× I, il existe une unique primitive F de f vérifiant F(t0) = y0.

Lorsque cela a un sens :

Primitives usuelles

a)∫

cos(x)dx = sin(x)

b)∫

sin(x)dx =−cos(x)

c)∫

u′(x)un(x)dx = un+1(x)

α+1pour n 6= −1

d)∫

u′(x)

u(x)dx = ln(|u(x)|)

e)∫

u′(x) f ′(u(x))dx = f (u(x))

f)∫

xndx = xn+1

n +1, n ∈R\ {−1}

g)∫

dx

x= ln |x| et

∫eαxdx = eαx

α, α ∈C∗

h)∫

ln(x)dx = x ln(x)−x

12. Cf. la suite du cours d’analyse.



Exemple 1.61. Primitives d’une fraction rationnelle « typique ».Soit Q = x2 + bx + c. Déterminer des primitives de 1/Q dans le cas où le discriminant ∆ de Q estpositif. On distinguera les cas ∆= 0 et ∆> 0.

5. Calcul intégral

L A construction de l’intégrale des fonctions continues sera étudiée ultérieurement dans le coursd’Analyse, la définition reposant sur l’approximation uniforme des fonctions continues par lesfonctions en escalier.

Isaac Newton

Elle a été élaborée au XIXe siècle et permit de définir rigoureusement la no-tion d’aire.

Avant cette nécessaire mise au point au XIXe siècle, les savants manipulaientles intégrales sans souci de rigueur se contentant de forger des outils de cal-cul. C’est Isaac Newton qui le premier fit le lien entre les notions de primitiveet d’intégrale (cf. le théorème fondamental du calcul intégral).

Nous exposerons dans cette section différentes techniques de calcul des in-tégrales. Dans la suite,K=R ouC.

5.1. Intégrale d’une fonction continue

Soient a É b et f : [a,b] →R une fonction conti-nue. D’un point de vue heuristique, l’intégrale

∫ b

af (t )dt =

aire algébrique de la surface

délimitée par le graphe de f

et l’axe des abscisses sur [a,b]

Si a > b, on pose∫ b

af (t )dt :=−

∫ a

bf (t )dt .

On étend la notion d’intégrale à des fonctionscontinues à valeurs complexes par∫ b

af (t )dt :=

∫ b

aRe

(f (t )

)dt + i

∫ b

aIm

(f (t )

)dt

a

b

− −+

Proposition 1.62. (Propriétés algébriques).

Pour λ ∈K, f : I →K et g : I →K continues, et (a,b) ∈ I2 :

a) Linéarité de l’intégrale :∫ b

a

(f (t )+λg (t )

)dt =

∫ b

af (t )dt +λ

∫ b

ag (t )dt .

b) Relation de Chasles : pour tout c ∈ I,∫ b

af (t )dt =

∫ c

af (t )dt +

∫ b

cf (t )dt .



Proposition 1.63. (Positivité et croissance).

Pour a < b, f : [a,b] →K et g : [a,b] →K continues,

a) Positivité de l’intégrale : si ∀t ∈ [a,b], f (t ) Ê 0, alors∫ b

af (t )dt Ê 0.

b) Croissance de l’intégrale : si ∀t ∈ [a,b], f (t ) Ê g (t ), alors∫ b

af (t )dt Ê

∫ b

ag (t )dt .

c) Inégalité triangulaire : pour f à valeurs dansC,

∣∣∣∣∫ b

af (t )dt

∣∣∣∣É ∫ b

a

∣∣ f (t )∣∣dt .

Exemple 1.64.Applications classiques.

a) Établir que∫ 1

0t n sin(t )dt −−−−−→

n→+∞ 0.

b) Soit n ∈N∗. Montrer que1

n +1É

∫ n+1

n

dt

tÉ 1

npuis en déduire ln(n +1) É

n∑k=1

1

kÉ 1+ ln(n).

5.2. Techniques de calcul

Le lien entre le calcul intégral et le calcul des primitives découle du résultat suivant :

Proposition 1.65. (Théorème fondamental du calcul intégral).

Soient I un vrai intervalle deR, a ∈ I et f : I →K continue. La fonction définie sur I par

F : x 7→∫ x

af (t )dt est l’unique primitive de f s’annulant en a

On peut avoir l’intuition de ce résultat :

F(x0 +h)−F(x0) =∫ x0+h

x0

f (t )dt

Cette expression vaut approximativement l’aireF(x0 + h) − F(x0) ' h f (x0) d’un rectangle. Onconjecture que

F(x0 +h)−F(x0)

h−−−→h→0

f (x0)

x0 x0 +h

h h

f (x0)

'

y = f (x)

Proposition 1.66. (Primitives et calcul intégral).

Soit I un vrai intervalle deR.

a) Toute fonction f : I →K continue admet des primitives sur I.

b) Soit F une primitive de f : I →K continue. Alors, ∀(a,b) ∈ I2,∫ b

af (t )dt = [F(t )]b

a = F(b)−F(a).

En particulier, pour toute fonction f : [a,b] →K de classe C 1,∫ b

af ′(t )dt = f (b)− f (a).



Tests

1.17. Calculer∫ 1

0

ax2 +bx

x +1dx,

∫ π

0ex cos(x)dx et

∫ 2

1

cos(ln(x))

xdx.

La formule suivante est la version intégrale de la formule de dérivation d’un produit de fonctions.

Proposition 1.67. (Intégration par parties).

Pour u, v : [a,b] →K de classe C 1, on a∫ b

au′(t )v(t )dt = [u(t )v(t )]b

a −∫ b

au(t )v ′(t )dt .

Exemple 1.68. Pratique de l’IPP.On retiendra en particulier le calcul des intégrales de Wallis.

a) Calculer I =∫ e

1x2 ln(x)dx, J =

∫ π

0ex cos(x)dx et une une primitive de x 7→ ln(x) surR∗+.

b) Calcul des intégrales de Wallis, In =∫ π/2

0sinn(t )dt pour tout n ∈N.

Tests

1.18. Calculer :

a) I =∫ π

0x2 sin(x)dx ; b) J =

∫ 2

1

ln(1+ t )

t 2dt ; c) K =

∫ e

1x ln(x)dx.

La formule suivante est la version intégrale de la formule de dérivation d’une composée de fonctions.

Proposition 1.69. (La formule du changement de variable).

Pour ϕ de classe C 1 sur I, f continue sur ϕ(I), et (a,b) ∈ I2, on a∫ ϕ(b)

ϕ(a)f (x)dx =

∫ b

af(ϕ(t )

)ϕ′(t )dt .

On pourra appliquer cette formule « dans les deux sens » et on retiendra la rédaction suivante :

Exemple 1.70.

Calculer I =∫ 1

0

√1−u2du par u = sin(t ) et J =

∫ π

0

e2t

e t +1dt par u = e t .

Exemple 1.71. Des classiquesUn peu de pratique :

a) Calculer I =∫ 1

0

√t 2 +1dt . Calculer J =

∫ 1

1/2

1+ t 2

1+ t 4dt en posant u = t − 1

t.

b) Si f :R→R est paire et continue alors, pour tout réel a,∫ a

−af (t )dt = 2

∫ a

0f (t )dt ;

c) Si f :R→R est impaire et continue alors, pour tout réel a,∫ a

−af (t )dt = 0 ;

d) Si f :R→R est continue et T-périodique alors, pour tout réel a,∫ T

0f (t )dt =

∫ a+T

af (t )dt .



Tests

1.19. Calculer :

a) H =∫ π/4

0

dx

cos(x)

en posant u = sin(x) ;

b) I =∫ 3π/2

0

sin(2x)dx

2+cos2(x)

en posant u = cos(2x) ;

c) J =∫ 1

0

dxpx +1

en posant u =px ;

1.20. Calculer I =∫ 1

−1

u

u4 +1du.

6. Fonctions usuelles

N OUS allons étudier dans ce chapitre trois familles de fonctions qui jouent un rôle importanten Analyse : les logarithmes et les exponentielles, les fonctions circulaires et les fonctionshyperboliques.

Petite histoire des logarithmes

Comme chacun le sait, il est plus facile d’additionner deux « grands » nombres que de les multiplier 13.Suite au développement du commerce et de l’activité scientifique en Méditerranée dans l’Antiquité,il s’est avéré crucial de créer des méthodes de calcul de plus en plus efficace.

Dès l’ère babylonienne, de très nombreux savants ont remarqué que multiplier les puissances d’unnombre donné revient à additionner leurs exposants. En 1544, Stifel publie à Nüremberg le traitéArithmetica Integra dans lequel il propose la table suivante,

. . . −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .

. . . 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 . . .

mettant en correspondance la progression arithmétique des entiers relatifs et la progression géomé-trique des puissances de deux. Ainsi, pour calculer 16×32, on effectue la somme des termes en vis-à-vis de 16 et 32 dans le tableau, c’est-à-dire 4+5 = 9 puis on lit le résultat de 16×32 en vis-à-vis de9 : on trouve 16×32 = 512. La généralisation à une liste de valeurs numériques plus détaillée a dèslors germé dans l’esprit des mathématiciens. Le développement du calcul au XVIIe siècle, sous l’im-pulsion principale des astronomes tels que Tycho Brahé et son élève Képler, a rendu de telles tablesindispensables.

A l’image des tables trigonométriques du Moyen-Age, sont alors apparuesles premières tables de logarithmes. La racine logos signifie « relation, rap-port » et arithmos renvoie à l’idée de « nombre ». Les premières tables ont étécalculées par l’écossais John Napier, également appelé Néper, et publiéesen 1614 dans son ouvrage Mirifici Logarithmorum canonis descriptio.Ellesfurent améliorées par Briggs, peu de temps après leur publication, qui in-venta les logarithmes décimaux, plus maniables que ceux de Néper.

13. L’algorithme de multiplication étudié dans les petites classes (celui où l’on pose l’opération) décompose d’ailleurs la difficulté en plusieurs addi-tions.



Il y a peu de temps encore, avant l’ère des calculatrices, les lycéenset les étudiants disposaient de tables logarithmiques pour résoudreleurs exercices. Par exemple, pour calculer p = 566×239, on com-mence par lire la table :

log10(566) ≈ 2,75282 , log10(239) ≈ 2,37840

d’où l’on tire log10(p) ≈ 2,75282+2,37840. Ainsi log10(p) ≈ 5,13122,et l’on en déduit, après lecture de la table, que p ≈ 135275. Une table (1960)

Il fallut attendre le XVIIe siècle pour que les logarithmes passent du statut d’intermé-diaire de calcul àcelui de fonction. Euler élargit la notion de logarithme aux nombres complexes, ouvrant ainsi la voieaux travaux de Gauss et de Riemann.

Des fonctions circulaires

La naissance des fonctions cosinus, sinus et tangente est liée au développement scientifique et enparticulier à l’astronomie, discipline qui nécessite la manipulation des mesures d’angle.

n1

n2

ii

r

Ces trois fonctions trigonométriques ne suffisent pas aux besoinscourants comme l’illustre la résolution des équations trigonomé-triques. La loi de Descartes de la réfraction d’un rayon lumineuxau contact de deux milieux d’indices différents, n1 et n2 s’écritn1 sin(i ) = n2 sin(r ), où i et r sont les angles d’incidence et de ré-fraction du rayon. Connaissant les indices n1 et n2 ainsi que i , ladétermination du rayon réfléchi passe donc par la résolution del’équation

sin(x) = n1

n2sin(i )

Au-delà des équations sin(x) = 0, ±1, ±1/2, etc, dont les solutionsse décrivent au moyen des nombres 0, ±π/2, etc, nous devons for-ger un outil 14permettant une résolution générale.

Un autre exemple illustrant la nécessité d’une fonction réciproque est celui du calcul d’un argumentd’un nombre complexe z non nul. En notant, θ un argument de z ∈C∗ et z = x + i y avec (x, y) ∈R2.On a {

z = x + i y

= |z| (cos(θ)+ i sin(θ))d’où

{x = |z|cos(θ)

y = |z|sin(θ)puis tan(θ) = y

xsi c 6= 0

Des fonctions hyperboliques

En cherchant à calculer des aires liées à l’hyperbole H d’équation

x2 − y2 = 1

le jésuite Vincenzo Riccati, secondé de Saladini, inventa les fonctionshyperboliques vers 1760. Il employa une méthode géométrique deparamétrage de l’hyperbole H semblable à la description du cercled’équation x2 + y2 = 1 au moyen des fonctions cosinus et sinus.

14. Une fonction réciproque liée au sinus.



H : x2 − y2 = 1

Par analogie, il baptisa ces nouvelles fonctions cosinuset sinus hyperboliques. Bien qu’au fait des travaux deson contemporain Euler sur l’exponentielle, il n’utilisapas cette fonction pour les définir mais se cantonnaà des considérations géométriques. Johann HeinrichLambert fit une étude complète des fonctions hyperbo-liques en 1770.

6.1. Logarithme néperien et exponentielle

Définition 1.72. Logarithme néperien

Le logarithme néperien, noté ln, est l’unique primitive surR∗+ qui s’annule en 1 de x 7→ x−1.

x0

y = 1

xln(x0) =

∫ x0

1

dt

t

1

La fonction x 7→ ln |x| est une primitive de lafonction x 7→ x−1 surR∗. C’est clair surR∗+. SurR∗−, |x| = −x et la dérivée de x 7→ ln(−x) estla fonction x 7→ 1/x, par la règle de dérivationd’une composée.

Proposition 1.73. (Propriétés du logarithme neperien).

Pour tous (x, y) ∈ (R∗+

)2 et n ∈Z, on a

a) ln(x y) = ln(x)+ ln(y)

b) ln(p

x)= ln(x)/2

c) ln(x−1

)=− ln(x)

d) ln(xn) = n ln(x)e) ln

(x

y

)= ln(x)− ln(y)

Proposition 1.74. La fonction ln réalise une bijection strictement croissante deR∗+ surR.

On retiendra les limites calculées dans la dé-monstration ci-dessus et, plus généralement, lerésumé des propriétés du logarithme néperienque constitue son tableau de variations (voir ci-contre). Comme ln′(1) = 1, la tangente au point(1,0) est d’équation y = x −1.

t 0 1 +∞ln′(t ) + 1 +

ln(t ) −∞0

+∞

Proposition 1.75. (Comparaison). a) ∀x > 0, ln(x) É x −1 ; b)ln(x)

x−−−−−→x→+∞ 0.



L’inégalité du a) nous apprend que le graphedu logarithme néperien est situé en-dessous desa tangente au point de coordonnées (1,0), leb) nous dit que lorsqu’un point se déplace surcette courbe dans le sens des abscisses crois-santes, son abscisse croît plus vite vers +∞que son ordonnée. On en déduit l’allure de cegraphe à l’infini 15. Il faut connaître l’approxi-mation 0,69 < ln(2) < 0,70.

y = x −1

y = ln(x)

1

Tests

1.21. Résoudre l’inéquation ln |x +1|− ln |2x +1| Ê ln(2).

Définition 1.76. L’exponentielle

On appelle exponentielle la bijection réciproque du logarithmenéperien. Cette fonction est notée exp.

On déduit ses variations de celles du logarithme 16.

t −∞ 0 +∞

exp(t ) 01

+∞

Proposition 1.77. (Exponentielle et logarithme).a) L’exponentielle réalise une bijection strictement croissante deR surR∗+ ;

b) Pour tous réels x > 0 et y , exp(ln(x)) = x et ln(exp(y)

)= y ;

c) limx→−∞exp(x) = 0 et lim

x→+∞exp(x) =+∞.

Le graphe de l’exponentielle se déduit de celui du logarithmepar la symétrie d’axe la première bissectrice du repère.

Définition 1.78. Nombre d’Euler e

Le nombre e est défini par e = exp(1) ou de manière équiva-lente par ln(e) = 1. On dit encore que e est la base des loga-rithmes neperiens.

À retenir 2,71 < e < 2,72 et ∀x ∈R, exp(x) Ê 1+x.

1

y = exp(x)

Proposition 1.79. (Propriétés de l’exponentielle).

a) exp(0) = 1 ;

b) exp est dérivable surR et exp′ = exp;

c) ∀(x, y) ∈R2, exp(x + y) = exp(x)exp(y) ;

d) ∀y ∈R, exp(−y) = 1

exp(y);

e) ∀(x, y) ∈R2, exp(x − y) = exp(x)/exp(y).

Tests

1.22. Établir queexp(x)

x−−−−−→x→+∞ +∞.

6.2. Puissances

La fonction exponentielle permet de prolonger la notion de puissance entière.15. On dit que le graphe présente une branche parabolique d’axe (Ox).



Le lecteur connaît bien ces définitions :

x0 := 1 pour x ∈R

xn := x ×·· ·×x︸︷︷︸n fois

pour x ∈R et n ∈N∗

xn :=(

1

x

)−n

pour x ∈R∗, n ∈Z et n < 0

Pour tout n ∈Z et tout réel x strictement positif,ln(xn) = n ln(x) d’où xn = exp(n ln(x)). C’est àpartir de cette relation que l’on généralise la no-tion de puissance à des exposants quelconques.

Définition 1.80. Puissances

Pour (x,α) ∈R∗+×R, on pose xα := exp(α ln(x)).

∀x ∈R, exp(x) = exp(ln(e)x) = ex .

Proposition 1.81. Pour x ∈R∗+ et α ∈R, ln(xα) = α ln(x).

Proposition 1.82. (Propriétés des fonctions puissances).Pour tous α,β dansR et tous x, y dansR∗+,

a)p

x = x12 b) xαxβ = xα+β c) xαyα = (x y)α d) (xα)β = xαβ

Exemple 1.83.Dérivabilité surR de g : x 7→ x22x . Étudier g , tracer le graphe de g surR.

Définition 1.84. Fonctions puissances

Pour tout réel α, on définit surR∗+ la fonction puissance d’exposant α par φα : x 7→ xα.

Proposition 1.85. (Propriétés des fonctions puissances).

a) Pour tout α réel, φα est dérivable surR∗+ et, ∀x > 0, φ′α(x) = αφα−1(x) = αxα−1.

b) Pour α> 0 (resp. α< 0) , φα est strictement croissante (resp. décroissante).

c) Pour α> 0 (resp. α< 0) , limx→+∞xα =+∞ (resp. 0) et lim

x→0+xα = 0 (resp. +∞).

α< 0

0 < α< 1 α= 1

α> 1

Compte tenu de ces propriétés, on obtient les courbes représentatives suivantes. Dans le cas où α> 0,on a xα → 0 quand x → 0. L’origine apparaît donc comme un point « limite » du graphe de φα. Enposantφα(0) = 0, on obtient donc une nouvelle fonction, continue surR+, appelée prolongement parcontinuité deφα àR+. On prouve facilement 17 que le graphe deφα admet pour tangente en l’origine :la droite (Ox) si α> 1, la droite (Oy) si 0 < α< 1 et la première bissectrice si α= 1.

Tests

1.23. Soit α> 0. On prolonge la fonction φα par continuité en 0 (voir le commentaire de la figure dela page 26) en posant φα(0) = 0. Étudier la dérivabilité de φα en 0 et en déduire la tangente augraphe de φα à l’origine.

17. Voir le test 1.23. à la page 26.



On a déjà prouvé (voir la proposition 1.75. à la page 24) queln(x)

x−−−−−→x→+∞ 0.

Proposition 1.86. (Croissances comparées en +∞).

Pour tous réels α et β strictement positifs,lnα(x)

xβ−−−−−→x→+∞ 0 et

xβ

eαx−−−−−→x→+∞ 0.

On retiendra que les limites en +∞ des expressions xαeβx et xα lnβ(x) ne dépendent respectivementque du signe de β et α.

Proposition 1.87. (Croissances comparées en 0+). ∀α> 0, xα ln(x) −−−−→x→0+

0.

On retiendra de cette démonstration que toute propriété du logarithme néperien au voisinage de 0+peut se ramener au voisinage de +∞ par le changement de variable y := 1/x.

Tests

1.24. Déterminer les deux limites suivantes : limx→0+

xx et limx→∞ x1/x .

Si u et v sont deux fonctions définies sur un intervalle I de R telles que v n’est pas une constanteentière, on peut considérer la fonction définie par x 7→ u(x)v(x). Par convention 18, son ensemble dedéfinition est égal à l’ensemble des réels x tels que u(x) > 0.

Savoir faire 1.88. Étude de uv

On étudie ce type de fonction en l’écrivant sous la forme uv = exp(v ln(u)). Le calcul de la dérivéeet des limites fera dans ce cas appel à des théorèmes sur les composées.

Exemple 1.89.Étudier et tracer le graphe de f : x 7→ xx .

6.3. Fonctions circulaires directes et réciproques

Soient C le cercle d’équation x2+y2 = 1, M ∈C et t = (OA,OM). Pardéfinition du cosinus et du sinus, M(cos(t ),sin(t )). Comme l’airedu disque de frontière C vaut π et le périmètre de C vaut 2π, ondéduit d’une règle de trois que l’aire du secteur æOAM vaut t/2.

M(cos(t ),sin(t ))

t/2

AO

π

2

−π2 π

−π

y = sin(x)

π

2−π

2

π−π

y = cos(x)

Cosinus et sinus sont suppo-sés connus : ils sont définis surR, 2π-périodiques, respecti-vement pair et impair, déri-vables surR avec

sin′ = cos, cos′ =−sin

Et ∀x Ê 0, sin(x) É x.

18. C’est une convention car l’expression u(x)v(x) est par exemple définie surR si v(x) ∈N.



Tests

1.25. Étudier et représenter la fonction f définie surR par f (x) = cos(x) (1+cos(x)).

La fonction tangente, notée tan, est définie par tan(x) := sin(x)

cos(x)sur D :=R\

{π2+kπ;k ∈Z

}.

Proposition 1.90. (Propriétés de la fonction tangente).

a) La fonction tangente est π-périodique et impaire.

b) La fonction tangente est dérivable sur D et, ∀x ∈D , tan′(x) = 1+ tan2(x) = 1

cos2(x).

Comme sin(x) −−−→x→π

2

1 et cos(x) −−−→x→π

2x<π2

0+,

tan(x) = sin(x)

cos(x)−−−→

x→π2

x<π2

+∞

On en déduit le tableau de variation dela tangente sur [0,π/2[ :

x 0 π2

tan′(x) +

tan(x) 0+∞

La fonction tangente admet une infinitéd’asymptotes, les droites Dk d’équationscartésiennes

x = π

2+kπ, où k ∈Z

Pour tout x ∈ [0,π/2[, tan(x) Ê x.

π

2−π

2

π−π

y = tan(x)

Fonctions circulaires (suite)∫tan(x)dx =− ln(|cos(x)|),

∫cotan(x)dx = ln(|sin(x)|,

∫dx

cos2(x)= tan(x),

∫dx

sin2(x)=−cotan(x)

Tests

1.26. Déterminer l’unique primitive sur ]−π/2,π/2[ qui s’annule en π/3 de la tangente.

1.27. On appelle cotangente la fonction définie par cotan(x) := cos(x)/sin(x).

a) Donner l’ensemble de définition D de la cotangente. Quelles sont ses symétries ?

b) Montrer que la cotangente est dérivable sur D et calculer sa dérivée.

c) Étudier les variations de cotan sur ]0,π[, prouver qu’elle réalise une bijection de ]0,π[ sur unintervalle à déterminer et tracer sa courbe représentative sur D .



Définition 1.91. (Fonction arcsinus).

L’arcsinus est la bijection réciproque de la fonction définie par

[−π/2,π/2] −→ [−1,1]

x 7−→ sin(x)π

2

−π2

Arcsin(x)

x

On a par exemple arcsin(0) = 0, arcsin(±1) =±π2 , arcsin(±1/

p2) =±π

4 ,

arcsin(±p3/2) =±π3

, arcsin(±1/2) =±π6

Ces résultats se retrouvent facilement à partir du cercle trigonomé-trique. L’arcsinus de x ∈ [−1,1] est l’unique réel appartenant à l’inter-valle [−π/2,π/2] dont le sinus vaut x.

Exemple 1.92.

Calculer arcsin(sin(α)) pour α= 2π,13π

5puis 2π/3.

Proposition 1.93. (Propriétés de l’arcsinus).

a) ∀x ∈ [−1,1], sin(arcsin(x)) = x et cos(arcsin(x)) =p

1−x2.

b) ∀x ∈R, arcsin(sin(x)) = x si et seulement si −π2É x É π

2·

On déduit du tableau de variation de la fonc-tion sinus celui de l’arcsinus. Le graphe del’arcsinus sur [−1,1] est le symétrique dugraphe du sinus sur [−π/2,π/2] par rapport àla première bissectrice.

x −1 1

arcsin(x) −π/2π/2

π

2

−π2

π

2

−π2

y = arcsin(x)

y = sin(x)

π

2

−π2

y = arcsin(x)

Proposition 1.94. (Propriétés de l’arcsinus).

a) La fonction arcsin est impaire et continue sur [−1,1].

b) L’arcsinus est dérivable sur ]−1,1[ avec, ∀x ∈]−1,1[, arcsin′(x) = 1p1−x2

·

c) L’arcsinus n’est pas dérivable en±1, sa courbe graphe admet en ces points une tangente verticale.

Exemple 1.95.Étude et tracé du graphe de f : x 7→ arcsin(sin(x)).

Tests

1.28. Calculer arcsin(sin(α)) pour α= 3π/7,−2π/3 et 19π/7.

1.29. Soit x ∈ [−1,1]. Résoudre l’équation sin(θ) = x d’inconnue réelle θ.



Définition 1.96. (Fonction arccosinus).

L’arccosinus est la bijection réciproque de la fonction définie par

[0,π] −→ [−1,1]

x 7−→ cos(x)

π

π

2

Arccos(x)

x

On a arccos(1) = 0 etarccos(−1) =π, arccos

(12

)= π3 , arccos

(1p2

)= π

4

arccos(0) = π2 , arccos

(p3

2

)= π

6 ,arccos(−1

2

)= 2π3

arccos(− 1p

2

)= 3π

4 ,arccos(−

p3

2

)= 5π

6

On retrouve les valeurs particulières de l’arccosinus sur le cercle trigonométrique. L’arccosinus dex ∈ [−1,1] est l’unique réel appartenant à l’intervalle [0,π] dont le cosinus vaut x.

Proposition 1.97. (Propriétés de l’arccosinus).

a) ∀x ∈ [−1,1], cos(arccos(x)) = x et sin(arccos(x)) =p

1−x2.

b) ∀x ∈R, arccos(cos(x)) = x si et seulement si 0 É x Éπ.

Les graphes de l’arccosinus sur [−1,1]et du cosinus sur [0,π] sont symétriquespar rapport à la première bissectrice. Ondéduit des variations du cosinus cellesde l’arccosinus.

x −1 1arccos(x) π

0

π

π

π

2

π

2

y = cos(x)

y = arccos(x)

π

π

2

y = arccos(x)

Proposition 1.98. (Propriétés de l’arccosinus).

a) La fonction arccos est continue sur [−1,1].

b) L’arccosinus est dérivable sur ]−1,1[ avec ∀x ∈]−1,1[, arccos′(x) =− 1p1−x2

·

c) L’arccosinus n’est pas dérivable en ±1, son graphe admet en ces points une tangente verticale.

d) Pour tout réel x ∈ [−1,1], arccos(x)+arcsin(x) = π

2·

Exemple 1.99.Étude et tracé du graphe de f : x 7→ arccos(cos(x)).

Tests

1.30. Calculer arcsin(cos(α)) lorsque α= 3π/7,−2π/3 puis 19π/7.

1.31. Simplifier, pour tout x ∈ [−1,1], sin(2arccos(x)) et sin(4arccos(x)).



Définition 1.100. (Fonction arctangente).

L’Arctangente, notée arctan, est la bijection réciproque de la fonction

]−π/2,π/2[ −→ R

x 7−→ tan(x)

x −π2

π2

tan′(x) +

tan(x) −∞+∞

La fonction tangente a déjà étéétudiée en détail. Elle réalise unebijection de ]−π/2,π/2[ surR.

π

2

−π2

y = tan(x)

x

Arctan(x)

Les valeurs remarquables de l’arctangente se lisent sur le cercle trigonomé-trique : l’arctangente d’un réel x est l’unique réel appartenant à ]−π/2,π/2[dont la tangente vaut x. On a

arctan(±1) =±π4

, arctan(0) = 0, arctan

(± 1p

3

)=±π

6, arctan

(±p3

)=±π

3

Proposition 1.101. (Propriétés de l’arctangente).

a) ∀x ∈R, tan(arctan(x)) = x.

b) Pour tout réel x 6≡ π

2[π], arctan(tan(x)) = x si et seulement si −π

2< x < π

2·

On déduit la courbe représentative de l’arctangente sur R de celle de la tangente sur l’intervalle ]−π/2,π/2[ par la réflexion d’axe ∆, première bissectrice du repère :

π

2

−π2

π

2

−π2

y = tan(x)

y = arctan(x)

x −∞ +∞

arctan(x) −π/2π/2

En particulier, arctan(x) −−−−−→x→±∞ ±π

2.

π

2

−π2

y = arctan(x)

Proposition 1.102. (Argument). Pour (x, y) ∈R2 tel que x > 0, arg(x + i y) = arctan( y

x

)[2π].

Exemple 1.103.

Démontrer la formule de Machin : 4arctan

(1

5

)−arctan

(1

239

)= π

4·



Exemple 1.104.Montrer que ∀(a,b) ∈R2+, ∃!c (à calculer) tel que arctan(a)−arctan(b) = arctan(c).

Proposition 1.105. (Propriétés de l’arctangente).

a) La fonction arctan est impaire et dérivable surR avec, ∀x ∈R, arctan′(x) = 1

1+x2·

b) Pour tout réel x non nul, arctan(x)+arctan

(1

x

)= signe(x) · π

2où signe(x) =

{1 si x > 0

−1 si x < 0

Tests

1.32. Calculer arctan(tan(α)) lorsque α= 33π/7,−8π/3 puis 19π/7.

1.33. Établir que ∀x Ê 0,arctan(x) É x.

1.34. Prouver la formule arctan

(1

2

)+arctan

(1

5

)= arctan

(7

9

)·

Savoir faire 1.106. Intégrale d’une fraction rationnelle

L’arctangente permet de calculer des primitives de la forme∫dt

x2 +bx + c, avec ∆= b2 −4c < 0 (pour les autres cas cf. l’exemple 1.61. à la page 19)

On écrit x2+bx+c sous forme canonique ((x+b/2)2+d 2) et on se ramène à u2+1 par changementde variable.

Exemple 1.107.

Calculer I =∫ 1

0

dx

x2 +x +1puis J =

∫ 1

0

dx

x2 −x +1.

Le cas où ∆Ê 0 a déjà été traité.

6.4. Fonctions hyperboliques directes

Considérons l’ensemble d’équation cartésienneH : x2 − y2 = 1 dans un repère orthonormé di-rect r . Il s’agit d’une hyperbole et on prouve fa-cilement que, dans le repère R obtenu par rota-tion de r d’un angle −π/4 autour du point O, Hest le graphe de la fonction

f : R∗ −→ R

X 7−→ 1

2X

On en déduit la construction ci-contre.

H : x2 − y2 = 1

Y = 1

2X

i

j

I

J

x

y

X

Y



Définition 1.108. (cosh et sinh).

On appelle cosinus et sinus hyperboliques lesfonctions, respectivement notées cosh et sinh,définies par

cosh : R −→ R

x 7−→ ex +e−x

2

, sinh : R −→ R

x 7−→ ex −e−x

2

Cette terminologie est justifiée par une analogiecercle-hyperbole. Pour paramétrer l’hyperboleH d’équation x2 − y2 = 1, on reprend l’idée duparamétrage par une aire utilisée dans le cas ducercle d’équation x2+y2 = 1. Par symétrie, il suf-fit de savoir paramétrer l’une des deux branchesde l’hyperbole H . On choisit la branche H +contenue dans le demi-plan d’inéquation x > 0.

M(cos(t ),sin(t ))

t/2

AO

t/2

M(cosh(t ),sinh(t ))

AO

Dans le cas du cercle, sit/2 est l’aire de æOAM, lepoint M est de coordonnées(cos(t ),sin(t )). Dans le casde l’hyperbole, en notant t/2l’aire de æOAM, on prouve 19

que M(cosh(t ),sinh(t )).

Proposition 1.109.

Les fonctions cosh et sinh sont resp. paire et impaire, dérivables surR, cosh′ = sinh et sinh′ = cosh.

y = cosh(x)

y = sinh(x)

y = ex/2

Comme sinh(0) = 0, on a le tableau suivant :

x −∞ 0 +∞sinh′(x) +

sinh(x) −∞0

+∞

Puis, grâce au signe donné ci-dessus du sinus hyperbolique,on en déduit le tableau de variations de cosh :

x −∞ 0 +∞cosh′(x) − 0 +cosh(x) +∞

1+∞

De plus, on a ∀x ∈R, sinh(x) < ex

2< cosh(x).

La relation fondamentale circulaire cos2+sin2 = 1 a pour analogue 20 hyperbolique :

Proposition 1.110. (Relation fondamentale hyperbolique). ∀x ∈R, cosh2(x)− sinh2(x) = 1.

Comme dans le cas circulaire, on peut développer une trigonométrie hyperbolique 21 comportant desformules d’addition, de duplication, de factorisation, etc.

19. Nous ne donnerons pas de démonstration car cette propriété est anecdotique, elle n’est intéressante que pour justifier la terminologie.20. Cf. l’analogie des paramètrages du cercle d’équation x2 + y2 = 1 et de l’hyperbole d’équation x2 − y2 = 1.21. La trigonométrie hyperbolique n’est pas au programme.



Exemple 1.111. La fonction argsinh, « argument sinus hyperbolique ».Le sinus hyperbolique réalise une bijection deR surR et sinh−1 au moyen du logarithme néperien.

Tests

1.35. Résoudre cosh(x)+2sinh(x) = 2 dansR.

Définition 1.112. (Tangente hyperbolique).

On appelle tangente hyperbolique et l’on note tanh, la fonctionsinh

cosh·

Proposition 1.113. (Propriétés de la tangente hyperbolique).

La tangente hyperbolique est impaire et dérivable surR avec tanh′ = 1− tanh2 = 1

cosh2 ·

On a, pour tout réel x,

tanh(x) = sinh(x)

cosh(x)= ex −e−x

ex +e−x

= ex(1−e−2x

)ex

(1+e−2x

) = 1−e−2x

1+e−2x

Ainsi tanh(x) −−−−−→x→+∞ 1. Comme

tanh′ = 1

cosh2 > 0

la tangente hyperbolique est strictement crois-sante surR. On a tanh(0) = 0 et l’équation de latangente à l’origine au graphe de tanh est y = x.

On complète l’étude précédente en utilisantl’imparité de tanh.

x −∞ 0 +∞tanh′(x) +

tanh(x) −10

1

y = tanh(x)

Fonctions hyperboliques∫cosh(x)dx = sinh(x) ,

∫sinh(x)dx = cosh(x) ,

∫tanh(x)dx = ln(cosh(x))∫

dx

cosh2(x)= tanh(x) ,

∫dx

sinh2(x)=−cotanh(x) =−cosh(x)

sinh(x)

Tests

1.36. Tableau de variation et courbe de la fonction définie par f : x 7→ x cosh(x)− sinh(x)

cosh(x)·

1.37. Établir que ∀x ∈R, arctan(ex)= arctan

(tanh

(x

2

))+ π

4·



7. Équations différentielles linéaires

L ’INVENTION du calcul différentiel à la fin du XVIIe siècle par Newton, puis indépendammentpar Leibniz dont les travaux sur les infiniment petits éclaircis par les frères Bernoulli 22, a per-mis la résolution de nombreux problèmes réputés à l’époque insolubles par le calcul analy-

tique. En dehors des déterminations de minima ou de maxima, le « nouveau calcul » a très vite fait sespreuves dans l’étude des courbes mécaniques – l’expression est employée par le Marquis Michel deL’Hospital dans son Analyse des infiniment petits – telle que la tractrice : quelle est l’équation de lacourbe décrite par un objet remorqué le long d’une droite par un câble tendu de longueur constante ?

Étudions l’exemple de la charge d’un condensa-teur. Avec les conventions ci-contre,

e = u + v, i = Cu′, v = Ri = RCu′

On a donc, en posant τ= 1

RC, u′+ 1

τu = e.

En cas de décharge du condensateur dans la ré-sistance, on a la même équation avec e = 0.

i

u

v

R

Ce

Seules équations d’ordre un et deux sont au programme. Dans ce qui suit,K=R ouC.

7.1. Équations différentielles linéaires du premier ordre

. On cherche à résoudre sur un vrai intervalle Iles équations de la forme 23

E : y ′+a(t )y = b(t )

où a et b sont des fonctions continues définiessur I et à valeurs dansK.

. L’équation y ′+a(t )y = 0 est appelée équationhomogène associée à E et notée EH.

. Les solutions de E sont par définition lesfonctions f : I →K dérivables telles que

∀t ∈ I, f ′(t )+a(t ) f (t ) = b(t )

. Par convention, si a et b sont à valeurs dansR, alors on recherchera les solutions à valeursréelles.

Proposition 1.114. (Résolution d’une équation homogène).

Soit a : I →K continue. Les solutions de EH : y ′+a(t )y = 0 sont exactement les fonctions de la forme

f : I −→K

t 7−→ λe−A(t )

où A(t ) =∫

a(t )dt et λ ∈K

Exemple 1.115.Résoudre surR les équations y ′+2y = 0 et y ′+x y = 0.

22. Les idées de Newton dateraient de 1671 et celles de Leibniz de 1684. Jacob et Johann Bernoulli ont étudié le sujet vers les années 1691-1692 ; ilsinitièrent Le Marquis de L’Hospital à ce « nouveau calcul ».

23. Attention, notez que la variable t n’apparaît que dans les expressions a(t ) et b(t ). Cette variable est muette, l’équation E s’écrit tout aussi bienE : y ′+a(x)y = b(x).



Tests

1.38. Quelles sont les solutions de y ′′ = y ′ ?

1.39. Montrer que toute solution de y ′+a(t )y = 0 est soit est nulle, soit ne s’annule jamais.

Savoir faire 1.116. Résolution de E : y ′+a(t )y = b(t ) par la variation de la constante

. On résout l’équation homogène EH : y ′+a(t )y = 0 : on choisit y0 = e−A où A(t ) =∫

a(t )dt .

. Les solutions de E sont exactement les fonctions y = λy0 où λ=∫

b(t )eA(t )dt .

Dans la pratique, on écrit y = λy0 où λ est une fonction dérivable et l’on retrouve cette primitive en« injectant » cette expression dans l’équation (ce qui donne λ′y0 = b).

Exemple 1.117.Résoudre surR les équations y ′+ y = e t et y ′+ tanh(t )y = sinh(t ).

Tests

1.40. Résoudre y ′+ 1

xy = 1 surR∗+ et y ′+ex y = ex surR.

Savoir faire 1.118. Résolution de E : y ′+a(t )y = b(t ) connaissant une solution particulière

Si on connaît une solution particulière y1 de E, alors les solutions de E sont exactement les fonc-tions de la forme y1 + yH, avec yH solution de EH.

Exemple 1.119.

Équation de charge d’un condensateur u′+ 1

τu = e.

Exemple 1.120.Résoudre (x2 +1)y ′−3x y = 1 sachant qu’elle admet une solution polynomiale.

Savoir faire 1.121. Rechercher des solutions particulières

Les équations de la forme E : y ′+αy = P(t )eωt avec (α,ω) ∈K2 et P polynomiale admettent dessolutions particulières de la forme t 7→ Q(t )eωt avec Q polynomiale.

Exemple 1.122.Résoudre surR y ′+2y = te−t et y ′+2y = e−2t .

Tests

1.41. Trouver des solutions polynomiales aux équations y ′− y = t 2 et y ′+ t y = t 2 + t +1.

Le résultat suivant permet de scinder une équation en deux équations plus « simples ». On l’appliqueralors de la recherche de solutions particulières.



Proposition 1.123. (théorème de superposition).

Soient les équations E1 : y ′+a(t )y = b1(t ) et E2 : y ′+a(t )y = b2(t ). Pour tout λ ∈K, toutes solutionsy1 de E1 et y2 de E2, la fonction y1 +λy2 est une solution de E : y ′+a(t )y = b1(t )+λb2(t ).

Exemple 1.124.Résoudre surR l’équation y ′− y = e t +e2t .

Proposition 1.125. (passage surC).

Soit E : y ′+ a(t )y = b(t ) avec a à valeurs réelles. Si y0 est une solution de E, alors Re(y0) et Im(y0)sont respectivement solutions des équations y ′+a(t ) = Re(b(t )) et y ′+a(t )y = Im(b(t )).

Exemple 1.126.Résoudre surR l’équation y ′+ y = t cos(t ).

Tests

1.42. Soit E : y ′+ y = sin(x). Trouver une solution particulière y0 de E. Résoudre E.

La donnée d’une équation E et d’une condition initiale est appellée problème de Cauchy pour E.

Proposition 1.127. (Problème de Cauchy).

Soient a et b : I →K continues, t0 ∈ I et y0 ∈K. Il existe une unique solution f de E : y ′+a(t )y = b(t )vérifiant f (t0) = y0.

Tests

1.43. Résoudre le problème de Cauchy y ′+ y = t , y(0) = 0.

7.2. Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

. On cherche à résoudre sur un vrai intervalle Iles équations de la forme

E : y ′′+by ′+ c y = d(t )

où (b,c) ∈K2 et d est une fonction continue 24

définies sur I et à valeurs dansK.

. L’équation y ′′+by ′+c y = 0 est appelée équa-tion homogène associée à E et notée EH.

. Les solutions de E sont par définition lesfonctions f : I →K dérivables telles que

∀t ∈ I, f ′′(t )+b f ′(t )+ c f (t ) = d(t )

. Par convention, si (b,c) ∈R2 et d est à valeursdansR, alors on recherchera les solutions à va-leurs réelles.

Soit y : t 7→ er t où r ∈C. On vérifie que ay ′′+by ′+c y = (ar 2 +br +c)y = P(r )y . Puisque y ne s’annulepas sur R, y est solution de EH : y ′′+by ′+ c y = 0 si et seulement si P(r ) = 0. Si α et β désignent lesracines complexes de P, les fonctions t 7→ eαt et t 7→ eβt sont donc solutions de (E). La propositionsuivante nous montre que ces deux fonctions suffisent à décrire toutes les solutions de l’équation.

24. Conformément au programme, nous n’aborderons pas le cas général mais quelques cas particuliers importants par leurs applications.



Proposition 1.128. (Equation homogène à coefficients constants).

Soit (b,c) ∈K2. On appelle équation caractéristique de E : y ′′+by ′+ c y = 0, l’équation d’inconnuez ∈K suivante : z2 +bz + c = 0.

. Si l’équation caractéristique admet deux racines α 6= β dans K, les solutions de E à valeurs dansK sont les fonctions de la forme

t 7→ λeαt +µeβt avec (λ,µ) ∈K2

. Si l’équation caractéristique est à coefficients réels et de discriminant strictement négatif, en no-tant r ± i s (où r, s ∈R) ses deux racines complexes conjuguées, les solutions de E à valeurs réellessont les fonctions de la forme

t 7→ (λcos(st )+µsin(st )

)er t avec (λ,µ) ∈R2

ou, de manière équivalente, de la forme t 7→ Acos(st −ϕ)er t avec (A,ϕ) ∈R2.

. Si l’équation caractéristique admet une racine double α dansK, les solutions de E à valeurs dansK sont les fonctions de la forme

t 7→ (λt +µ)eαt avec (λ,µ) ∈K2

Exemple 1.129.Déterminer les solutions à valeurs dansC de y ′′+ y ′+ y = 0 et y ′′−2i y ′− y = 0.

Exemple 1.130.Résoudre surR les équations y ′′+ y ′+ y = 0 et y ′′+3y ′+2y = 0.

Proposition 1.131. (Cas particulier des équations du type y ′′+k y = 0 avec k ∈R).

Soit E : y ′′+k y = 0 avec k ∈R.

. CAS OÙ k =ω2 > 0. Les solutions sont les fonctions de la forme t 7→ λcos(ωt )+µsin(ωt ) avec λ,µdansR, ou, de manière équivalente, les fonctions de la forme t 7→ Acos(ωt −ϕ) avec A et ϕ réel.

. CAS OÙ k =−ω2 < 0. Les solutions sont les fonctions de la forme t 7→ λcosh(ωt )+µsinh(ωt ) avecλ,µ dansR, ou, de manière équivalente, celles de la forme t 7→ λeωt +µe−ωt avec λ,µ dansR.

. CAS OÙ k = 0. Les solutions sont les fonctions de la forme t 7→ λt +µ avec λ,µ dansR.

Tests

1.44. Résoudre surR y ′′−4y = 0, y ′′+4y = 0, y ′′−3y ′+2y = 0 et y ′′−2y ′+5y = 0 surR.

Proposition 1.132. Résolution de E : y ′′+by ′+ c y = δ(t ) connaissant une solution particulière

Si on connaîtune solution particulière y1 de E, les solutions de E sont les fonctions de la formey1 + yH, avec yH solution de EH.

Savoir faire 1.133. Solution part. en cas de second membre polynôme-exponentielle

Soient (b,c,ω) ∈K3 et Q une fonction polynomiale. L’équation E : ay ′′+by ′+ c y = Q(t )eωt admetsurR une solution particulière de la forme t 7→ P(t )eωt où P est polynomiale.



Exemple 1.134.Résoudre surR y ′′−3y ′+2y = f (x) pour f (x) = x, f (x) = e2x et f (x) = xex .

Proposition 1.135. (théorème de superposition).

Soient les équations E1 : y ′′+by ′+ c y = d1(t ) et E2 : y ′′+by ′+ c y = d2(t ). Pour tout λ ∈K, toutessolutions y1 de E1 et y2 de E2, la fonction y1+λy2 est une solution de E : y ′′+by ′+c y = d1(t )+λd2(t ).

Exemple 1.136.Résoudre surR l’équation y ′′−3y ′+2y = cosh(x).

Proposition 1.137. (passage surC).

Soit E : y ′′+by ′+ c y = d(t ) avec b et c réels. Si y0 est une solution de E, alors Re(y0) et Im(y0) sontrespectivement solutions des équations y ′′+by ′+ c y = Re(d(t )) et y ′′+by ′+ c y = Im(d(t )).

Exemple 1.138.Résoudre surR l’équation y ′′+4y ′+5y = e−2x sin(x).

Tests

1.45. Résoudre surR les équations y ′′− y ′ = te t et y ′′+ y ′ = te t .

Proposition 1.139. (Théorème de Cauchy-Lipschitz)

Soient b et c dansK=R ou C et δ : I 7→K une fonction continue définie sur l’intervalle I. Pour toust0 ∈ I et y0, y ′

0 ∈K, il existe une unique solution f : I 7→K de l’équation E : y ′′+by ′+c y = δ(t ) vérifiantf (t0) = y0 et f ′(t0) = y ′

0.

Exemple 1.140.Résoudre surR les équations y ′′−4y ′+4y = 0, y(0) = y ′(0) = 0, y ′′−6y ′+9y = 0, y(0) = 0, y ′(0) = 1,y ′′−3y ′+2y = x, y(0) = y ′(0) = 1 et y ′′+ y ′+ y = 0, y(0) = 0, y ′(0) = 1.



8. Annexe : solutions aux tests

1.1. Pour le savoir, on part de a et on ajoute lademi-longueur de l’intervalle :

a + b −a

2= a +b

2

a ba +b

2

b −a

2

Idem : a + 1

4(b −a) = 3a +b

4·

1.2. Notons I = { (1− t )a + tb ; t ∈ [0,1]}. Onprocède par double inclusion :

. Prouvons que I ⊂ [a,b].

Soit t ∈ [0,1]. On a (1− t )a + tb = a + t (b −a).Comme b −a Ê 0 et 0 É t É 1, on a

a É a + t (b −a) É a +b −a = b

. Prouvons que [a,b] ⊂ I.

Soit x ∈ [a,b]. Posons t = x −a

b −a· Comme

b −a > 0 et a É x É b,

a −a

b −aÉ t = x −a

b −aÉ b −a

b −a

ainsi t ∈ [0,1]. De plus, x −a = t (b −a), doncx = (1− t )a + tb.

COMMENTAIRE. L’expression de t en fonctionde x vient bien-sûr d’une petite analyse : six = (1− t )a + tb, alors nécessairement t vaut(x −a)/(b −a).

L’interprétation géométrique de t dansx = (1− t )a + tb est claire ; commex = a + t (b −a), t est la fraction de la longueurtotale b −a à laquelle se trouve x par rapport àa :

t (b −a)

a bx

1.3.

a) Il suffit de remarquer que :

(p

a +p

b)2 −(p

a +b)2 = 2

pab Ê 0

b) Puisque les deux membres de l’inégalitésont invariants par permutation des réels a etb, on peut toujours supposer que a É b.D’après le a) appliqué à a et b −a :

pb =

pa +b −a Ép

a +p

b −a

Ainsi∣∣pa −p

b∣∣É√

|b −a|.1.4. L’équation équivaut à{

|x| Êp3

x2 −3 > 2ou

{|x| <p

3

−x2 +3 > 2

L’ensemble des solutions est donc

]−1,1[ ∪]−∞,−p5

[∪

]p5,+∞

[1.5.

a) {54,465} = 0,465 et {−36,456} = 0,544.

b) Si x ∈Z, {−x} = 0 = {x}. Si x 6∈Z, on ab−xc =−bxc−1 donc {−x} = 1− {x}.

c) on a ∀x ∈R,

{x +1} = x +1−bx +1c = x +1−bxc−1 = {x}

D’où l’allure du graphe de la partiefractionnaire . . .

1.6.

a) Soient a et b deux réels tels que a É b.Comme bac É a, on a bac É b. Et comme bbc estle plus grand des entiers relatifs k vérifiantk É b, on en déduit que bac É bbc.

b) Soient a et b deux réels. Comme bac É a etbbc É b, on a bac+bbc É a +b d’oùbac+bbc É ba +bc. De plus, a < bac+1 etb < bbc+1. Ainsi a+b < bac+bbc+2 et, puisquece majorant est entier, ba +bc É bac+bbc+1.



1.7. Pour tout x ∈R∗,

2−e−1/x > 0 ⇐⇒ e−1/x < 2

⇐⇒ −1/x < ln(2)

⇐⇒ 1/x >− ln(2)

⇐⇒

x > 0

ou

x <− 1

ln(2)

L’ensemble de définition de l’expression del’énoncé est donc]

−∞,− 1

ln(2)

[∪R∗

+

�Attention au passage aux inversesLa fonction x 7→ 1/x est décroissantesurR∗+ et surR∗− mais pas surR∗.

L’équivalence

a É b ⇐⇒ 1

aÉ 1

b

n’est vraie que si a et b sont de même signe.

1.8.

. Comme f (−1) = f (1), f n’est pas injective.

. Il est possible que f soit surjective. D’abordune petite figure pour l’intuition :

L’idée est de trouver une surjection deR∗+ surR et de « symétriser ».

f : x 7→

x − 1

xsi x > 0

0 si x = 0

−x + 1

xsi x < 0

COMMENTAIRE. C’est en étudiant les varia-tions de x 7→ x + 1/x sur R∗+ et en utilisant lethéorème des valeurs intermédiaires que l’onpeut justifier la surjectivité de f . Le lecteur estrenvoyé au paragraphe sur les fonctions conti-nues pour les rappels.

1.9. Non, par exemple, f (0) = 1 = f (1).

1.10. Notons respectivement f et g lesfonctions de l’énoncé.

. Pour tout x ∈ ]0,π],∣∣ f (x)∣∣É |x| Éπ

donc f est bornée sur ]0,π].

. On prouve par une petite étude de fonctionque 0 É sin(x) < x pour tout x ∈]0,π].

Ainsi, pour tout x ∈ ]0,π],∣∣g (x)∣∣É 1

donc f est bornée sur ]0,π].

1.11. Deux fois oui. Soient ( f , g ) ∈F (A,K)2 et(k,k ′) ∈R2 tel que | f | É k et |g | É k ′. On a parl’inégalité triangulaire

| f + g | É | f |+ |g | É k +k ′

et | f g | = | f ||g | É kk ′.

1.12. Comme deux nombres non nuls de même signe sont rangés en sens inverse de leursinverses, la fonction f est décroissante surR∗+et surR∗−. En revanche, elle n’est pasdécroissante surR∗− car f (−1) =−1 < 1 = f (1).

1.13.



. La stricte monotonie d’une fonctionf : A → B implique son injectivité. Supposonspar exemple f strictement croissante. Soit(x, y) ∈ A2 avec x 6= y , quitte à permuter, onpeut supposer que x < y . Ainsi, f (x) < f (y)donc f (x) 6= f (y).

. La réciproque est fausse :

1.14. Convenons de dire qu’une fonction estdérivable (sans plus de précision) pour signifierqu’elle est dérivable sur son ensemble dedéfinition.

. La fonction ln (la deuxième) est dérivablesurR∗+ et (la première) strictement positivesur ]1,+∞[, donc ln◦ ln est dérivablesur ]1,+∞[ et

∀ x > 1, (ln◦ ln)′(x) = 1

x ln(x)

. La fonction sin2 est périodique, depériode π. La fonction p est dérivable etstrictement positive surR∗+, donc la fonction fest (définie et) dérivable au point x si, etseulement si, 1−2sin2 x > 0, c’est-à-dire si x eststrictement compris entre −π/4 et π/4(modulo π). Pour de tels x,

f ′(x) = −2sin(x)cos(x)

1−2sin2(x)=− tan(2x)

On peut faciliter le calcul de la dérivée enremarquant que

ln√

1−2sin2(x) = 1

2ln|cos(2x)|

pour tout x 6=π/4 (mod π/2).

. La fonction f est définie et dérivable en toutpoint x tel que sin(x) 6= x cos(x). Cette équationpossède une infinité de solutions, une danschaque intervalle de la forme]−π/2+kπ,π/2+kπ[ (avec k ∈Z). En toutpoint de son ensemble de définition,

f ′(x) = −x

(sin(x)−x cos(x))2

1.15. La fonction f est dérivable surR et

∀t ∈R, f ′(t ) = 1+cos(t ) Ê 0

donc f est croissante surR. Commel’ensemble des points où f ′ s’annule est égal à{ x ∈R ; x =π [2π] } ne contient aucun intervalleouvert non vide, f réalise une bijectionstrictement croissante deR sur f (R). Comme

∀t ∈R, t −1 É f (t ) É t +1

on a f (t ) −−−−→t→±∞ ±∞. On déduit du théorème

des valeurs intermédaires que f (R) =R.

1.16. La fonction h est dérivable sur [0,1] et

∀t ∈ [0,1], h′(t ) = 2e t (1+ t ) > 0

donc h réalise une bijection strictementcroissante de [0,1] sur

h([0,1]) = [h(0),h(1)] = [0,2e]



1.17.

. Pour tout réel x 6= −1, on a :

ax2 +bx + c

x +1= ax(x +1)+ (b −a)(x +1)

x +1

+ a −b + c

x +1

= ax + (b −a)+ a −b + c

x +1

et donc∫ 1

0

ax2 +bx + c

x2 +1dx = 2b −a

2+ (a −b + c) ln(2)

. Comme ∀x ∈R, ex cos(x) = Re(e(1+i )x

), on a∫ π

0ex cos(x)dx = Re

(∫ π

0e(1+i )xdx

)= Re

(e(1+i )π−1

1+ i

)= Re

(− (eπ+1)(1− i )

2

)=−eπ+1

2

COMMENTAIRE. On peut aussi effectuer deuxintégrations par parties.

. On reconnaît dans la fonction intégrée ladérivée de sin◦ ln. Ainsi,∫ 2

1

cos(ln(x))

xdx = [sin(ln(x))]2

1 = sin(ln(2))

1.18.

a) Posons

u : [1,π] −→ R

x 7−→ x2

et v : [0,π] −→ R

x 7−→ cos(x)

Ces fonctions sont de classe C 2 et, parintégrations par parties successives :

I =∫ π

0u(x)v (3)(x)dx

= [u(x)v ′′(x)−u′(x)v ′(x)+u′′(x)v(x)

]π0

= [−x2 cos(x)+2x sin(x)+2cos(x)]π

0 =π2 −4

b) Effectuons une intégration par parties(toutes les fonctions en jeu étant de classe C 1) :

J =∫ 2

1

ln(1+ t )

t 2dt =

[− ln(1+ t )

t

]2

1+

∫ 2

1

dt

t (t +1)

= ln(2/p

3)+∫ 2

1

dt

t−

∫ 2

1

dt

t +1

= ln(2/p

3)+ ln(2)− ln(3/2)

= ln(8/3p

3)

c) Posons

u : [1,e] −→ R

x 7−→ x2/2

et v : [1,e] −→ R

x 7−→ ln(x)

Ces fonctions sont de classe C 2 et l’on déduitde la formule d’intégration par parties que

K =[

x2 ln(x)

2

]e

1−

∫ e

1

x

2dx = e2 +1

4

1.19.

a) Effectuons le changement de variableu = sin(x). On a :

du = cos(x)dx

dx

cos(x)= cos(x)dx

cos2(x)= du

1−u2

d’où

H =∫ π/4

0

dx

cos(x)=

∫ 1/p

2

0

du

1−u2= 1

2ln

(1+1/

p2

1−1/p

2

)

= 1

2ln

(p2+1p2−1

)= ln(

p2+1)

b) Effectuons le changement de variableu = cos(2x). On a :

du =−2sin(2x)dx

sin(2x)dx

2+cos2(x)=− du

5+u

d’où I =∫ 1

−1

du

5+u= ln(3/2).

c) Effectuons le changement de variableu =p

x. On obtient :

J =∫ 1

0

dxpx +1

=∫ 1

0

2udu

u +1= 2

(∫ 1

0du −

∫ 1

0

du

u +1

)= 2(1− ln(2))



1.20. C’est immédiat : la fonction intégrée estcontinue et impaire sur [−1,1] d’où I = 0.

1.21. L’inéquation est définie surR\ {−1,−1/2} et est équivalente à

(x +1)2

(2x +1)2Ê 4

ie (x +1)2 −22(2x +1)2 Ê 0, soit encore

(x +1−4x −2︸︷︷︸=−3x −1

)(x +1+4x +2︸︷︷︸= 5x +3

) Ê 0

On trouve

[−3

5,−1

2

[∪

]−1

2,−1

3

].

1.22. Pour tout x > 0, on a

exp(x)

x= exp(x − ln(x)) = exp

(x

(1− ln(x)

x

))

Commeln(x)

x−−−−−→x→+∞ 0 et exp(u) −−−−−→

u→+∞ +∞,on a

exp(x)

x−−−−−→x→+∞ +∞

1.23. Comme le taux d’accroissement de φαen 0 évalué en x > 0 vaut

xα−0

x −0= xα−1

on a la discussion suivante :

. Si α> 1, τ0φα(x) −−−−→x→0+ 0 et φα est dérivable

en 0 avec φ′α(0) = 0. Le graphe de φα est

tangent à l’axe des abscisses à l’origine.

α> 1

. Si 1 > α> 0, τ0φα(x) −−−−→x→0+ +∞ et φα n’est

pas dérivable en 0. Le graphe de φα esttangent à l’axe des ordonnées à l’origine.

0 < α< 1

. Le graphe de φ1 est la première bissectricedu repère.

α= 1

1.24. Pour tout x > 0,

xx = ex ln(x), x1/x = e ln(x)/x

Comme x ln(x) −−−−→x→0+ 0 et ln(x)/x −−−−−→

x→+∞ 0,

xx −−−−→x→0+ 1, x1/x −−−−−→

x→+∞ 1

1.25. La fonction f est paire et 2π-périodique,on l’étudie sur [0,π]. La fonction f est dérivablesurR et, pour tout x ∈R,

f ′(x) =−sin(x)−2sin(x)cos(x)

=−2sin(x)

(1

2+cos(x)

)On en déduit que le signe de f ′(x) pourx ∈ [0,π] est l’opposé de celui de 1/2+cos(x),ainsi {

f ′(x) É 0 pour x ∈ [0,2π/3]

f ′(x) Ê 0 pour x ∈ [2π/3,π]

D’où les variations puis le graphe de f :

x 0 2π/3 π

f (x) 2−1/4

0

0 π

2π

3

1.26. Comme tan =−cos′ /cos,∫tan(x)dx =− ln|cos(x)|

On fixe la constante en imposant à la primitivede s’annuler en π/3 :

x 7→ − ln|cos(x)|− ln(2)



1.27.

a) Comme l’ensemble des points où le sinuss’annule est πZ, la cotangente est définie surD =R\πZ. On prouve sans peine que lacotangente est π-périodique et impaire.

b) Sur D , la cotangente est un quotient defonctions dérivables et

cotan′(x) = −sin(x)2 −cos2(x)

sin2(x)

=− 1

sin2(x)=−1−cotan2(x)

c) On a ∀x ∈ ]0,π[, cotan′(x) < 0. Par lecorollaire du théorème des valeursintermédiaires, la cotangente réalise unebijection de ]0,π[ sur cotan(]0,π[). Commecotan = cos/sin, on a

cotan(x) −−−→x→0x>0

+∞

cotan(x) −−−→x→πx<π

−∞

Ainsi cotan(]0,π[) =R : la cotangente réaliseune bijection strictement décroissante de ]0,π[surR.

0

π

2

−π2

3π

2

π−π 2π

1.28.

. Puisque 3π/7 ∈ [−π/2,π/2], on a

arcsin(sin(3π/7)) = 3π/7

. Puisque sin(−2π/3) = sin(−π/3) et que−π/3 ∈ [−π/2,π/2], on a aussi

arcsin(sin(−2π/3)) =−π/3

. Puisque sin(19π/7) = sin(5π/7) et5π/7 ∈ [−π/2,π/2], on a

arcsin(sin(19π/7)) = 5π/7

1.29. On a sin(θ) = x si et seulement si

sin(θ) = sin(arcsin(x))

ainsi :

sin(θ) = x ⇐⇒

∃ k ∈Z,

θ=

arcsin(x) + 2kπ

ou

−arcsin(x) + (2k +1)π

1.30.

. Puisque 3π/7 ∈ [0,π], on a

arccos(cos(3π/7)) = 3π/7

. Puisque cos(−2π/3) = cos(2π/3) et2π/3 ∈ [0,π], on peut en conclure que

arccos(cos(−2π/3)) = 2π/3

. Puisque cos(19π/7) = cos(5π/7) et5π/7 ∈ [0,π], on a

arccos(cos(19π/7)) = 5π/7

1.31. Soit x ∈ [−1,1]. Posons θ= arccos(x). Ona

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) = 2x√

1−x2

De plus,

cos(2θ) = 2cos2(θ)−1 = 2x2 −1

donc

sin(4θ) = 2sin(2θ)cos(2θ)

= 4x√

1−x2(2x2 −1

)COMMENTAIRE. Puisque cos(arccos(x)) = x etsin(arccos(x)) =

p1−x2, l’idée directrice de ce

genre d’exemple est de tout exprimer en fonc-tion de cos et sin.

1.32.

. Puisque 33π/7 = 5π−2π/7 et−2π/7 ∈]−π/2,π/2[, on a

arctan(tan(33π/7)) =−2π/7



. Puisque −8π/3 =−3π+π/3 etπ/3 ∈]−π/2,π/2[, on a

arctan(tan(−8π/3)) =π/3

. Puisque 19π/7 = 3π−2π/7 et−2π/7 ∈]−π/2,π/2[, on a

arctan(tan(19π/7)) =−2π/7

1.33. L’inégalité s’écrit∫ x

0

dt

t 2 +1É

∫ x

0dt

On conclut par la croissance de l’intégrale enremarquant que

∀t ∈R,1

t 2 +1É 1

1.34. Posons α= arctan(1/2)+arctan(1/5). Lafonction arctangente est strictement croissantesurR. Comme 1/2 < 1,1/5 < 1 et0 = arctan(0),π/4 = arctan(1) on en déduit que0 < α< 2π/4 =π/2. D’après la formuled’addition de la tangente,

tan(α) = 1/2+1/5

1−1/10= 7

9

ainsi α= arctan(7/9).

1.35. En posant t = ex , l’équation estéquivalente à

3t − 1

t= 4

c’est-à-dire 3t 2 −4t −1 = 0, donc t = 2±p7

3·

Puisque t = ex > 0, on trouve l’unique solution

x = ln

(2+p

7

3

)

1.36. On remarque que f est impaire etqu’elle est définie et dérivable surR puisquecosh ne s’annule pas. De plus, ∀x ∈R,f (x) = x − tanh(x), ainsi f ′ = tanh2 Ê 0. Lafonction f est donc croissante surR. On a

f (x) −−−−−→x→+∞ +∞ et f (x) −−−−−→

x→+∞ −∞

Comme

f (x)−x =− tanh(x) −−−−−→x→±∞ ∓1

les droites d’équations y = x +1 et y = x −1sont asymptotes au graphe de frespectivement en −∞ et +∞.

1.37. Posons

f : R −→ R

x 7−→ arctan(ex)−arctan(tanh(x/2))

Cette fonction est dérivable surR en tant quesomme de fonctions dérivables surR et ∀x ∈R,

f ′(x) = ex 1

1+ (ex)2− 1

2

1− tanh2(x/2)

1+ tanh2(x/2)

= ex

1+e2x− 1

2

1− tanh2(x/2)

1+ tanh2(x/2)

= ex

1+e2x− 1

2

cosh2(x/2)− sinh2(x/2)

cosh2(x/2)+ sinh2(x/2)

= ex

1+e2x− 1

2

1

(ex +e−x)/2

= ex

1+e2x− ex

1+e2x= 0

La fonction f est donc constante surR.Comme f (0) = arctan(1) =π/4, on a

∀x ∈R, arctan(ex)= arctan(tanh(x/2))+ π

4

1.38. y est solution de y ′′ = y ′ si et seulementsi y ′ est solution de z ′ = z, si et seulement si ilexiste k1 ∈R telle que y ′ : t 7→ k1e t , si etseulement si il existe (k1,k2) ∈R2 tel quey : t 7→ k1e t +k2.

1.39. Les solutions sont de la forme y = ke−A

où A est une primitive de a. Si y n’est pas lafonction nulle, k 6= 0 et y ne s’annule pas.



1.40.

a) SurR∗+,∫

dx

x= ln(x). Les solutions de

y ′+ y/x = 0 sont donc les fonctions de la forme

x 7→ k

x, k ∈R

Appliquons la méthode de la variation de laconstante. On sait que les solutions dey ′+ y/x = 1 surR∗+ sont les fonctions de laforme y : x 7→ k(x)/x avec k :R∗+ →R dérivablevérifiant, ∀x > 0,

k ′(x)

x= 1

ie k ′(x) = x. On en déduit que les solutions sontles fonctions de la forme

y : R∗+ −→ R

x 7−→ x2/2+k

x

, k ∈R

b) SurR,∫

exdx = ex . Les solutions de

y ′+ex y = 0 sont donc les fonctions de la forme

x 7→ ke−ex, k ∈R

Appliquons la méthode de la variation de laconstante. On sait que les solutions dey ′+ex y = ex surR sont les fonctions de laforme y : x 7→ k(x)e−ex

avec k :R→R dérivablevérifiant, ∀x ∈R,

k ′(x)e−ex = ex

ie k ′(x) = exeex. On en déduit que les solutions

sont les fonctions de la forme

y : R∗+ −→ R

x 7−→ 1+ke−ex, k ∈R

COMMENTAIRE. On pouvait aussi remarquerque 1 est une solution évidente.

1.41.

a) Si y ′− y = t 2 admet une solutionpolynomiale P, celle-ci est nécessairement dedegré deux :

P′(t )−P(t )︸︷︷︸de degré deg(P)

= t 2︸︷︷︸de degré deux

Soient (a,b,c) ∈R3 et y0 : t 7→ at 2 +bt + c ; y0

est solution de l’équation si et seulement si

∀t ∈R, −at 2 + (2a −b)t +b − c = t 2

Deux fonctions polynomiales sont égales si etseulement si leurs coefficients sont égaux, ainsiy0 est solution si et seulement si −a = 1,2a −b = 0 et b − c = 0, ie a =−1, b = c =−2.

b) Si y ′+ t y = t 2 + t +1 admet une solutionpolynomiale, celle-ci est nécessairement dedegré un :

P′(t )+ tP(t )︸︷︷︸de degré deg(P)+1

= t 2 + t +1︸︷︷︸de degré deux

Soient (a,b) ∈R3 et y0 : t 7→ at +b ; y0 estsolution de l’équation si et seulement si

∀t ∈R, at 2 +bt +a = t 2 + t +1

Deux fonctions polynomiales sont égales si etseulement si leurs coefficients sont égaux, ainsiy0 est solution si et seulement si a = 1 et b = 1.

1.42. Le second membre est du typepolynôme-sinus, on passe surC et onrecherche une solution particulière del’équation y ′+ y = e i x de la forme x ∈R 7→ ae i x .On aboutit à a = (1− i )/2. Puisque, pour toutx ∈R,

Im

(1− i

2e i x

)= 1

2sin(x)− 1

2cos(x)

les solutions de (E) sont les fonctions de laforme

x ∈R 7→ 1

2sin(x)− 1

2cos(x)+λe−x , λ ∈R

1.43. Le second membre étant de la formeexponentielle-polynôme, on recherche unesolution particulière de l’équation sous laforme P(t ) = αt +β. La fonction P est solution siet seulement si ∀t ∈R,αt +β+α= t , soit, aprèsidentification des coefficients, α= 1 et α+β= 0.Ainsi t 7→ P(t ) = t −1 est solution. La solutiongénérale de l’équation est donc t 7→ t −1+λe−t .La condition initiale y(0) = 0 est doncéquivalente à λ= 1. La solution recherchée estdonc t 7→ t −1+e−t .



1.44.

a) On répond sans passer par l’équationcaractéristique, les solutions de y ′′−4y = 0 sontles fonctions de la forme

t 7→ a cosh(2t )+b sinh(2t ), (a,b) ∈R2

ou encore de la forme

t 7→ αe2t +βe−2t , (α,β) ∈R2

b) On répond sans passer par l’équationcaractérisitique, les solutions de y ′′+4y = 0sont les fonctions de la forme

t 7→ a cos(2t )+b sin(2t ), (a,b) ∈R2

c) L’équation caractéristique r 2 −3r +2 = 0admet 1 et 2 pour racines, les solutions dey ′′−3y ′+2y = 0 sont donc les fonctions de laforme

t 7→ αe t +βe2t , (α,β) ∈R2

d) L’équation caractéristique r 2 −2r +5 = 0admet 1±2i pour racines, les solutions dey ′′−2y ′+5y = 0 sont donc les fonctions de laforme

t 7→ (αcos(2t )+βsin(2t )

)e t , (α,β) ∈R2

1.45.

a) L’équation y ′′− y ′ = te t admet une solutionparticulière de la forme y0 : t 7→ P(t )e t avec Ppolynomiale ; y0 est solution si et seulement si ,pour tout t ∈R,

(P′′(t )+2P′(t )+P(t )− (P′(t )+P(t ))

)e t = te t

ie ∀t ∈R, P′′(t )+P′(t ) = t ; ceci impose que Psoit de degré deux : il existe (a,b,c) ∈R3 tel que∀t ∈R, P(t ) = at 2 +bt + c. La fonction y0 estsolution si et seulement si

∀t ∈R, 2at + (2a +b) = t

ie 2a = 1 et 2a +b = 0, ie a = 1/2 et b =−1. Lessolutions de l’équation sont donc les fonctionsde la forme

t 7→(

t 2

2− t

)e t +ae t +b, (a,b) ∈R2

b) L’équation y ′′+ y ′ = te t admet une solutionparticulière de la forme y0 : t 7→ P(t )e t avec Ppolynomiale ; y0 est solution si et seulement si ,pour tout t ∈R,(

P′′(t )+2P′(t )+P(t )+ (P′(t )+P(t )))

e t = te t

ie ∀t ∈R, P′′(t )+3P′(t )+2P(t ) = t ; ceci imposeque P soit de degré un : il existe (a,b) ∈R3 telque ∀t ∈R, P(t ) = at +b. La fonction y0 estsolution si et seulement si

∀t ∈R, 2at + (3a +2b) = t

ie 2a = 1 et 3a +2b = 0, ie a = 1/2 et b =−3/4.Les solutions de l’équation sont donc lesfonctions de la forme

t 7→(

t

2− 3

4

)e t +ae−t +b, (a,b) ∈R2


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