zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady - strona główna...
Post on 16-Aug-2020
9 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Dr Anna ADRIAN
Paw B5, pok 407
adan@agh.edu.pl
Plan wykładu
• Zmienna losowa ciągła
• Dystrybuanta i funkcja gęstości rozkładu zmiennej losowej ciągłej
• Rozkłady ciągłe: jednostajny, wykładniczyi normalny.
Rozkład zmiennej losowej ciągłej
Uwagi o zmiennej losowej ciągłej:
– Liczba wszystkich możliwych i wzajemnie wykluczających sięzdarzeń elementarnych jest nieskończona
– Dystrybuanta dla dowolnej zmiennej losowej F(x) = P (X<x),
– Zmienna losowa o dystrybuancie F jest typu ciągłego, jeśli istnieje funkcja f≥0, spełniająca równość
Funkcję f nazywa się gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej
∫∞−
=x
dxxfxF )()( (1)
Związek dystrybuanty i gęstościzmiennej losowej ciągłej
Dla dowolnej funkcji f, będącej gęstościąprawdopodobieństwa zachodzi zależność
Dla zmiennej losowej ciągłej zachodzi równość
P (a ≤≤≤≤ X ≤≤≤≤ b) = F(b) – F (a)
Stąd wynika, że:
ponieważ P (X = a) = P (a ≤ X ≤ a) = F (a) - F (a) = 0
P (X= a)= 0
1)()( ==∞ ∫∞
∞−
dxxfF
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa odgrywa najważniejsząrolę w definiowaniu rozkładów prawdopodobieństwa zmiennych
losowych typu ciągłego.
Definicja
Funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego nazywamy funkcję f (x), określoną na zbiorze liczb rzeczywistych, taką że:
f(x)≥0 ( przyjmuje wartości nieujemne) oraz
dla dowolnych a < b zachodzi
∫ <<=b
a
bXaPdxxf )()(
Interpretacja graficzna związku funkcji gęstości z prawdopodobieństwem
a b
∫ <<=b
a
bXaPdxxf )()(
f(x)
Własności funkcji gęstości prawdopodobieństwa
• Funkcja gęstości jest nieujemna; f ≥ 0.
• W punktach, w których f jest ciągła zachodzi równość: f(x) = F’(x); funkcja gęstości jest pochodną dystrybuanty.
• Każda funkcja f, będąca gęstością prawdopodobieństwa, wyznacza jednoznacznie pewną dystrybuantę, a tym samym rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej.
• Z faktu, że prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe zeru, nie
wynika , że zdarzenie to jest niemożliwe, bo
∫ ∫∆+
→∆→∆===∆+<≤==
xx
x
x
xxx
dxxfdxxfxxXxPxXP0
0
0
0
0)()(lim)(lim)(00
Przykład – czy dana funkcja może byćfunkcją gęstości
Sprawdzić czy dana funkcja f ,
1. jest gęstością prawdopodobieństwa
2. znaleźć dystrybuantę F(x)
3. obliczyć P (X< 0,5)
P (1<X<2)4. przedstawić graficzną interpretację wyników obliczeń
≥<
= − 0
00)(
xdlae
xdlaxf x
Rozwiązanie
Czy f jest gęstością prawdopodobieństwa:
1. Funkcja f jest nieujemna
2.
Dystrybuanta
10
0)(0
0
=∞
−=+= −∞
∞− ∞−
∞−
∫ ∫ ∫xx edxedxdxxf
>−≤
= − 01
00)(
xdlae
xdlaxF x
P(X<0,5) = F(0,5) = 1- e -0,5
P(1<X<2) = F(2) – F(1) = (1- e -2 ) – ( 1- e -1 )= e -1 + e -2
Zadanie do domu
• Wyznaczyć stałą A taką , aby funkcja f była gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
• Obliczyć P(X>1)
• Zinterpretować otrzymane wyniki na wykresie gęstości i dystrybuanty
≥<
= − 0
00)( 3 xdlaAe
xdlaxf x
Funkcje zmienne losowej
• Niech zmienna losowa Y będzie funkcją pewnej zmiennej X, tznY( ω)= g(X(ω))
• Znając rozkład zmiennej X możemy wyznaczyć rozkład zmiennej Y
• Zadanie :
Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y (dystrybuantę i gęstość), gdy :
Y= aX+b,
gdzie: a≠0
X jest zmienną losową typu ciągłego z gęstością fX i dystrybuantą FX
Rozważmy dwa przypadki : a>0 i a<0
Funkcje zmienne losowej - rozwiązanie
dla a>0FY (y)= P (Y<y) = P (aX+b <y) = P (X<(y-b)/a)= FX ((y-b)/a)zauważmy, że funkcja FX jest różniczkowalna w punktach ciągłości fXwięc
dla a< 0FY(y)= P(Y<y) = P(aX+b <y) = P(X >(y-b)/a) = 1- FX((y-b)/a)zauważmy, że funkcja FX jest różniczkowalna w punktach ciągłości fXwięc
gęstość f Y (y) możemy zapisać
)(1
)()()()(/)(
a
byf
adxxf
dy
d
a
byF
dy
dyF
dy
dyf X
aby
XXYY
−==−== ∫−
∞−
)(1
)()](1[)()(/)( a
byf
adxxf
dy
d
a
byF
dy
dyF
dy
dyf Xaby XXYY
−−
==−−== ∫∞
−
)(1
)(a
byf
ayf XY
−=
Wartość przeciętna i wariancja zmiennej losowej ciągłej
• Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję
zmiennej losowej ciągłej, o gęstości prawdopodobieństwa
wartość oczekiwana/nadzieja matematyczna
[ ] [ ] 1)()(1
00_ 0=−−=+−=== −−∞−−∞
∞
∞ −∫∫ ∫
xxxxx exedxexedxxedxxxfXE
≥<
= − 0
00)(
xdlae
xdlaxf x
[ ] 22)()()(00
2
0
2
_ 0
222∫∫∫ ∫
∞ −∞−∞ −∞
∞
∞ − =+−=−=== dxexexedxdxexdxxfxXE xxxx
wariancja/dyspersja: D2(X) = E[X-E(X)]2 = E(X2)-(E(X))2
D2(X)= 2- 12=1
Mediana,
Medianę zmiennej losowej X oznaczaną x1/2 lub me
definiują następujące wzory
P( {ω: X(ω)≤ me })≥1/2 i P( {ω: X(ω) ≥ me }) ≥1/2
Dla zmiennej losowej ciągłej medianę wyznacza się ze wzoru
Przykład czyli 1- exp(- me)=1/2
stąd me = ln2
2
10
=∫−em xdxe
2
1)(
_=∫ ∞
emdxxf
Kwantyle
• Mediana jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego parametru, zwanego Kwantylem.
• Definicja
Kwantylem rzędu p (0<p<1) zmiennej losowej X, o dystrybuancie F, nazywamy liczbę xp, taką że
F(xp) ≤ p ≤ F(xp+)
• Dla zmiennej losowej ciągłej kwantyl xp jest wyznaczany z wzoru F(xp) = p
• Mediana jest kwantylem rzędu 1/2
Rozkład jednostajny
• Rozkład jednostajny (zwany też równomiernymlub prostokątnym albo płaskim) to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, dla którego gęstośćprawdopodobieństwa w przedziale od a do b jest stała i różna od zera, a poza nim równa zeru.
• Ponieważ rozkład jest ciągły, nie ma większego znaczenia czy punkty a i b włączy się do przedziału czy nie. Rozkład jest określony parąparametrów a i b, takich że b>a.
Rozkład jednostajny
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Wartość oczekiwana Wariancja
bxa
bx
ab
ax
xf ≤≤
>−
<
= ;
;0
1
;0
)(
2)(
baXE
+=( )
12)(
22 ab
XD−=
Zastosowanie rozkładu jednostajnego
• Rozkład jednostajny: ma zastosowanie przy analizie niepewności systematycznych. Gęstość prawdopodobieństwa f(x) jest stała wewnątrz przedziału (a, b) i równa zero poza nim.
• Dla pomiarów obarczonych niepewnościąsystematyczną ∆x, mamy b – a = 2∆x, zatem
312
)()(
22 xab
XDS x
∆=−==
Zadanie
Punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu koła o promieniu r. Niech O będzie ustalonym punktem okręgu, natomiast X długością łuku łączącego punkty OM.
• Określić rozkład zmiennej losowej X
• Narysować wykres funkcji gęstości i dystrybuanty zmiennej X
• Obliczyć P (X<πr) oraz P(X> 3πr/2)
• Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję
O
M
X
Rozwiązanie zadania – postać funkcji gęstości
;
2;0
20;2
10;0
)(
>
≤≤
<
=
rx
rxr
x
xf
ππ
π
Rozwiązanie należy dokończyć samodzielnie
Zadanie – praca samodzielna
Pociągi przyjeżdżają na stację dokładnie co 10 minut. Pasażer przychodzi na stację w pewnej przypadkowej chwili. Niech X oznacza czas oczekiwania na przybycie pociągu.
Należy:
• Określić funkcję gęstości prawdopodobieństwa f, wykonać wykres
• Określić dystrybuantę F, wykonać wykres
• Obliczyć P(X<8) i przedstawić interpretację graficzną
• Obliczyć oczekiwany/średni czas czekania na przyjazd pociągu
Rozkład wykładniczy
Znajduje zastosowanie do obliczania prawdopodobieństwa przejścia obiektu ze stanu X w stan Y w czasie δt, przy stałym, w jednostce czasu, prawdopodobieństwie zmiany stanu obiektu z X na Y.
Funkcja gęstości f(x) = λ e- λ x
Dystrybuanta: F(x) = 1- e - λ x
Wartość oczekiwana E(x) = λ-1
Wariancja D (X) = λ-2
Rozkład wykładniczy - zastosowania
• w zagadnieniach ruchu na liniach telefonicznych
• w problemach czasu eksploatacji elementów maszyn
• w problemach czasu obsługi i czasu oczekiwania na obsługę przy maszynach, w sklepach itp
Niezawodność urządzenia to prawdopodobieństwo tego, że urządzenie wykona zamierzone zadanie w określonym przedziale czasu i w określonych warunkach = prawdopodobieństwo niewystąpienia uszkodzeń w ciągu czasu t.
Sprawdzono, że dobrą aproksymacją niezawodności jest funkcjaN(t)= e -λt dla t>0
(wykładnicze prawo niezawodności)
z tego wynika, że N(t)=1-F(t)gdzie F(t) jest dystrybuantą w punkcie t, zmiennej losowej T (czas poprawnej pracy) o rozkładzie wykładniczym
Rozkład normalny
Rozkład zwany rozkładem Gaussa-Laplace'a jest najczęściej
spotykanym rozkładem zmiennej losowej ciągłej.
Mówimy, że zmienna losowa ciągła X ma rozkład
normalny o wartości oczekiwanej µ i odchyleniu
standardowym σ , co symbolicznie zapisuje się:
( )σµ,~ NX
( )
−−
=2
2
2
2
1)( σ
µ
πσ
x
exf
Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym N(µ,σ),
ma postać:
i jest określona dla wszystkich rzeczywistych wartości
zmiennej losowej X.
Rozkład normalny – funkcja gęstości
Parametry rozkładu N(µ,σ),
µ - Wartość oczekiwanaσ2 - Wariancja
µ
σ
f(x)
Rozkład normalny – wykres funkcji gęstości i interpretacja
x
Graficzna interpretacja funkcji gęstości i prawdopodobieństwa (dystrybuanty)
Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym:
• jest symetryczna względem prostej x = µ
• w punkcie x = µ osiąga wartośćmaksymalną
• ramiona funkcji mają punkty przegięcia dla x = µ - σoraz x = µ + σ
Kształt funkcji gęstości zależy od wartości parametrów:µ, σ :
- parametr µ decyduje o przesunięciu krzywej,
- parametr σ decyduje o „smukłości” krzywej.
Cechy charakterystyczne funkcji gęstości rozkładu normalnego
0
0,5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
N(0,1)
N(3,1)
N(0,2)
N(3,2)
Przykłady funkcji gęstości rozkładów N (µ, σ)
dla różnych wartości µ i σ
Wykresy funkcji gęstości rozkładów N (µµµµ, σ)
Wykresy dystrybuanty rozkładu normalnego N(µ,σ), dla różnych wartości µ i σ
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
N (0,1)
N (3,1)
N (0,2)
N (3,2)
Wykresy dystrybuanty rozkładów N (µµµµ, σ)
Jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny N(µ,σ) to:
- 68,3 % populacji mieści się w przedziale (µµµµ - σ; µµµµ + σ)
- 95,5 % populacji mieści się w przedziale (µµµµ - 2σ; µµµµ + 2σ)
- 99,7 % populacji mieści się w przedziale (µµµµ - 3σ; µµµµ + 3σ)
Rozkład normalnyReguła 3 sigma
top related