vjezbe br.4- 30 03 12- dinamika konstrukcija
Post on 23-Feb-2018
265 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/24/2019 Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija
1/14
Vjebe br.4 30.03.12.
Dinamika konstrukcija i potresno
inenjerstvo
-
7/24/2019 Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija
2/14
Zadatak br.1
Odrediti krune frekvencije i osnovne oblike (tonove, modove) proste gredeprikazane na slici:
Ako se razmatraju samo vertikalni pomaci masa, onda je ovo sustav sa dvastupnja slobode gibanja. Radi se o slobodnim nepriguenim oscilacijama ijase diferencijalna jednadba moe napisati u obliku:
+ = 0 (1)Gdje su:
= 00 = 1 00 1
=
-
7/24/2019 Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija
3/14
Inverzna matrica matricekrutosti zove se matri ca fleksibilnosti, a njena strukturase moe zapisati u obliku:
=
=
U naem sluaju je najlakeodrediti matricu fleksibilnosti D:
= 3 12 3 29 23 29 = 4243 = 2
12
3
29
23
19 +
19
3
16 +
12
3
19
19 +
13 =
7486
=
-
7/24/2019 Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija
4/14
=
2434,0 3,53,5 4,0
Budui da smo definirali matricu masa M i matricu fleksibilnosti D, u jednadbi
(1) ostaje nepoznat vektor pomaka q.Rjeenje sustava (1) se trai u obliku:
= sin + (2) a-amplituda pomaka = sin + = (3)
Ako se matrina jednadba (1) pomnoi sa lijeve strane sa matricom fleksibilnosti,
te uzme u obzir jednadba (3), dobiva se: + = 0 4 = 0 5
Gdje je =1/2. Umnoak matrica D i M oznaili smo sa DMi zove se dinamikamatrica. Njena struktura se za sustave s diskretnim masama moe prikazati uobliku:
= ili u naem zadatku:
=
2434,0 3,53,5 4,0 =
4,0 3,53,5 4,0
-
7/24/2019 Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija
5/14
Jednadbom (5) smo dobili sustav algebarskih jednadbi po vektoru a. Tajsustav je homogen, pa je uvjet za egzistenciju netrivijalnog rjeenja da jedeterminanta sustava jednaka nuli:
= 0 (6) ili4,0 / 3,53,5 4,0 / = 0 (7)
Razvojem gornje determinante dobije se tzv.karakteristini polinom ponepoznanici :
4 32+15 = 0 (8)ijasu rjeenja: =7,5 i =0,5Sada su krune frekvencije:
=1 =
17,5 =
2437,5 =
32,4
= 1 = 10,5 = 2430,5 = 486
Ako se vratimo na jednadbu (5) kako bi odredili vlastite oblike osciliranja,odnosno vektor a. Razvojem matrine jednadbe (5) dobiva se:
-
7/24/2019 Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija
6/14
4 +3,5 = 0
3,5 + 4
= 0 (9)
Iz prve od gornjih jednadbi dobivamo:
=
(), pa je za =1(=1)
()
() =1,0 te za =2(=2)
()() =1,0
Na donjoj skici su shematski prikazani vlastiti oblici (tonovi, modovi).
-
7/24/2019 Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija
7/14
Zadatak br.2
Za konstrukciju prikazanu na slici odrediti:
a) Prirodne frekvencije i odgovarajue vlastite oblike
b) Jednadbe gibanja s poetnim uvjetima: u01, u02, te i
m1=m2/2=50kNs2/m
E=30 000 Mpa
I=0,67510-3m4
-
7/24/2019 Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija
8/14
Konstrukcija se razmatra kao apsolutno kruta
Zgrada posmikaShear building
Savojna krutost jednaka zbroju krutosti
vorovi nemaju rotacije zadrava se pravi kut
Mase koncentrirane u katovima
Zanemaruje se uzduna rotacija tapova
Koeficijent krutosti izmeu bilo koje dvije susjedne mase je sila nastala
uslijed jedininog relativnog pomaka dvije susjedne meukatnekonstrukcije. U sluajustupova ijasu oba kraja upeta (sprijeenarotacijakrajeva stupa) ukupna krutost kata jje:
= 12
Dok je za stup ijije jedan kraj upet a drugi slobodno oslonjen ta krutost:
= 3
-
7/24/2019 Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija
9/14
-
7/24/2019 Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija
10/14
a) Na temelju navedenog stupovi imaju istu krutost:
= = 212
=243000010 0,67510
3 = 18000,0/
Diferencijalna jednadba gibanja se dobija primjenom npr.Dalambertovogprincipa: + = 0
+ = 0 (1)Ili
+ = 0 + + = 0 (2)Rjeenje gornjih jednadbi se moe zapisati napozanti nain, za slobodnenepriguene oscilacije:
= sin() (3)
= sin()
, dok
su ubrzanja:
= sin() = sin() (4)
-
7/24/2019 Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija
11/14
Vraanjem jednadbi (3) i (4) u (2) dobije se: = 0
+ + = 0 (5)Ili matrino:
+
=
00 (6)
Sustav statiki spregnut !Za postojanje netrivijalnog rjeenja determinanta koeficijenata mora bitijednaka nuli
+ = 0 (7)
Razvojem ove diferencijalne jednadbe dobije se kvadratna jednadba(frekventna) po 2:
+ + + = 0 (8)
-
7/24/2019 Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija
12/14
Ili nakon ukljuivanja numerikih vrijednosti:
900 + 64800= 0 (9)Rjeenja gornje jednadbe su:
, = , < ! = 7 8 , 9 2 =8,88 = 821, 10 =28,65 krune frekvencije
=
=1,414, =
=4,56 prirodne frekvencije
= = =0,707; =
=
=0,219 periodi
Iz sustava (6) po nepoznatim amplitudama a1i a2izjdnaavanjemdeterminantesa nulom u jednadbi (7) postoji samo jedna zavisna jednadba a dvijenepoznanice.
Zbog toga nismo u mogunostiodrediti apsolutne vrijednosti amplituda, negosamo njihove relativne odnose (za sada dovoljno).
-
7/24/2019 Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija
13/14
Ako se uzme prva od jednadbi (6) te u nju ukljuimo prvu frekvenciju 1,dobije se:
() () = 0 odnosno() 1,28() = 0 (10)
Odnos amplituda je: ()() =1,28
Ova relativna vrijednost se zove modalni oblik ili normalni oblik, kojiodgovara prvoj frekvenciji. Uobiajeno je da se u vlastitim oblicima (tonovi,modovi) jednoj od amplituda pridrui jedinina vrijednost, pa je:
() =1,28; () =1,0Na isti nain se postupa i sa drugom krunom frekvencijom ( u drugu od
jednadbi (6) se ukljui druga frekvencija 2, pa je :
-
7/24/2019 Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija
14/14
Pa je odnos amplituda:
Vlastiti oblici su prikazani na donjoj slici (2 tona):
top related