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Università degli Studi di Ferrara
SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L’INSEGNAMENTO SECONDARIO SEDE DI FERRARA
CORSO SPECIALE ABILITANTE – CLASSE A049 MATEMATICA E FISICA
ANNO ACCADEMICO 2005/2006
DIRETTORE della Scuola: Prof. Roberto Greci
COORDINATORE della Sede di Ferrara: Prof.ssa Luciana Bellatalla
DISSERTAZIONE FINALE
TITOLO : GRAVITAZIONE E CAMPO GRAVITAZIONALE
Specializzanda Prof.ssa Tutor Prof. SIMONA GENTILI FABIANO MINNI __________________________________ _______________________________
Relatore Prof.ssa PAOLA DE CHIARA
__________________________________
1. Prima parte – Premesse 1.1 Inquadramento dell’argomento nel contesto dei programmi ministeriali della scuola
secondaria superiore
In questa prima parte cercherò di inquadrare l’argomento scelto nel contesto dei programmi proposti dal PNI, dalla Commissione Brocca. Con la Circolare Ministeriale n.24 del 6 febbraio 1991 il Ministero della Pubblica Istruzione propone l’Innovazione dei programmi di Matematica e Fisica nei bienni e nei trienni del Piano Nazionale per l'introduzione dell'Informatica nelle scuole secondarie superiori già avviato negli anni precedenti. Gli argomenti oggetto del programma sono stati suddivisi per grandi temi, secondo i moderni orientamenti della ricerca pedagogica, anche se vengono fornite indicazioni per una loro possibile scansione annuale. La scansione tiene conto del carattere di propedeuticità che alcuni argomenti hanno rispetto ad altri più complessi dal punto di vista formale e concettuale. Secondo tali direttive l’argomento scelto nella presente dissertazione viene sviluppato in tutte le tipologie di Istituti secondari superiori all’interno del primo dei sei temi indicati ed inserito, come scansione curricolare, nel corso del terzo anno di scuola superiore (si veda schema n1). I programmi proposti riguardano allievi provenienti dalle classi del biennio nelle quali è stato svolto l'insegnamento della Fisica secondo indicazioni del P.N.I. Nelle indicazioni metodologiche sono indicati alcuni concetti già affrontati in prima approssimazione nel biennio e che devono essere ripresi e formalizzati nella classe terza in relazione non solo allo sviluppo intellettivo raggiunto dagli allievi, ma anche alle conoscenze matematiche acquisite. Il programma è costituito dai seguenti temi: 1. forze e campi (gravitazione); 2. sistemi di riferimento e relatività; 3. principi di conservazione - processi reversibili e irreversibili; 4. onde meccaniche ed elettromagnetiche; 5. struttura della materia; 6. l'Universo fisico. Il tema 1 si propone di formalizzare e completare le conoscenze acquisite nel corso del biennio e non sufficientemente approfondite o per mancanza di supporti matematici o per mancanza di sufficienti capacità di astrazione degli allievi. Lo svolgimento in parallelo degli argomenti campo gravitazionale e campo elettrostatico segue l’intento di trattare subito analogie e differenze tra di essi. Il successivo studio del campo magnetico - qualora il livello della classe lo consenta - permetterà un discorso più ampio sui concetti di campo e di interazione. Nelle indicazioni metodologiche viene suggerita particolare attenzione nello spostare gradualmente l'attenzione dagli aspetti prevalentemente empirici e di osservazione analitica verso gli aspetti concettuali, la formalizzazione teorica e i problemi di sintesi e valutazione.
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Viene pertanto considerato come fondamentale, per una corretta conoscenza dei contenuti della fisica da parte degli studenti, che il docente presenti fin dall'inizio la differenza fra le definizioni operative ed i concetti astratti, che i modelli siano presentati come mezzi di rappresentazione dei quali dovranno sempre essere discussi i limiti di validità. Le teorie dovranno essere trattate mettendone in evidenza l'evoluzione e il progressivo affinamento. In questo modo si dovrebbero introdurre implicitamente anche nozioni di storia della fisica, come parte importante della formazione culturale dello studente e si dovrebbe proseguire, come nel biennio, con la lettura di pagine di carattere storico. La scansione degli argomenti dovrebbe essere coordinata, per quanto possibile, con quella delle altre discipline, in particolare della matematica, della filosofia e delle scienze. Lo studio di questo tema come degli altri temi proposti, oltre a fornire allo studente un bagaglio di conoscenze scientifiche adeguato, deve mirare allo sviluppo di specifiche capacità di vagliare e correlare le conoscenze e le informazioni scientifiche, raccolte anche al di fuori della scuola, recependole criticamente e inquadrandole in un unico contesto. L’affronto dei concetti di peso, gravità, verticale, interazione permetterà inoltre, partendo dalle abilità e conoscenze conseguite dagli allievi nel corso del biennio, di procedere alla revisione di alcuni concetti che non potevano essere compiutamente acquisiti a causa della giovane età. In tale riassetto sistematico si approfondirà lo studio dei moti (moto accelerato, moto circolare, moto armonico e moti su traiettoria curvilinea qualsiasi), con particolare attenzione ai sistemi di riferimento. L'attività di laboratorio dovrebbe prevedere sia esperimenti eseguiti dagli alunni sia altri, più raffinati, presentati dall'insegnante. Viene inoltre suggerito l'uso dell'elaboratore come strumento di aiuto per comprendere le conseguenze di determinate ipotesi e le implicazioni di un modello. Inoltre, attraverso la simulazione, si potranno effettuare confronti tra modelli e dati sperimentali. Sempre nei programmi del PNI si sottolinea in particolare la necessità didattica di utilizzare programmi di simulazione per lo studio degli aspetti che non si prestano ad esercitazioni di laboratorio (per esempio i moti di pianeti). Nei piani di studio e nei programmi proposti dalla Commissione Brocca si ritrova un inquadramento simile a quello del PNI anche se per le diverse tipologie di istituto secondario superiore sono previsti temi differenziati in quantità e peculiarità . (si vedano schemi n.2, 3 e 4). Il tema della gravitazione e del campo gravitazionale si trova inserito in uno dei principali temi (tema n.1 “interazioni gravitazionali” per la maggior parte degli indirizzi e tema n.2 “forze e campi” per l’indirizzo scientifico e scientifico-tecnologico) e, anche se non viene dettagliata una specifica scansione curricolare, si desume che il suo sviluppo sia auspicabile durante il terzo anno del quinquennio di scuola superiore o del secondo biennio per i percorsi quadriennali. Sia per l’ambiente umanistico che per quello scientifico viene suggerita una sistemazione disciplinare che curi particolarmente gli aspetti di concettualizzazione e di formalizzazione delle elaborazioni teoriche, sottolineando, in tal senso, il ruolo della matematica come strumento di pensiero che
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accompagna il passaggio dai fatti alle teorie, dal concreto all’astratto, dalle ipotesi più grossolane alle sistemazioni più raffinate. Principi e teorie devono essere presentate facendo emergere la loro potenza unificante e l’importanza di modelli e schemi rappresentativi. Si raccomanda di mettere in luce il cammino non sempre lineare della conoscenza. La trattazione in chiave storica di alcuni argomenti, unitamente, alla lettura critica di pagine di classici della scienza e di brani di memorie originali, contribuiranno a far comprendere le ragioni dello sviluppo scientifico e, quindi, a migliorare la formazione culturale dello studente. E’ anche opportuno mettere in evidenza le problematiche di ordine filosofico ed epistemologico connesse ai principi fisici. In questo senso si auspica il coordinamento con altre discipline. Talvolta sarà necessario evidenziare i legami tra scienza e tecnologia e, nel contempo, le profonde differenze esistenti tra esse, sia in termini di motivazione che di quadro epistemologico. Viene suggerito di affrontare gli argomenti con attività di laboratorio, agganciandoli a problemi della vita quotidiana, facendo previsioni e verificandole, enfatizzando la dinamica culturale della disciplina. Il quadro orario disponibile non permette una trattazione sistematica degli argomenti tradizionali dei programmi di fisica, pertanto è importante introdurre tematiche che permettano di interpretare i fenomeni naturali in una sintesi adeguata alle abilità e alle conoscenze proprie degli studenti e, nel contempo, favoriscano la trattazione approfondita ove possibile, di singoli argomenti. Rispetto al tema in questione la Commissione Brocca suggerisce che, nel rispetto delle peculiarità psicologiche degli alunni del 4° anno, si rende necessario mettere gli alunni di fronte a situazioni sperimentali che impongono la necessità di una corretta impostazione del processo di misura, della ricerca delle variabili significative e delle relazioni tra esse, della modellizzazione e della schematizzazione di un fenomeno. Perciò si auspica l’inizio dello studio di un fenomeno quotidiano con un approccio problematico (caduta di un oggetto) che diviene guida alla costruzione progressiva del sapere scientifico e fisico in particolare e alla formalizzazione delle conoscenze. Infatti si ritiene fondamentale l’introdurre certi concetti in funzione della loro necessità, e per far ciò si dovrà ragionare per problemi e possibilmente per problemi che in qualche modo coinvolgono gli allievi. Nel processo di comprensione della realtà fisica il tema della gravitazione si colloca come esempio significativo di unificazione, ponendo una successione di argomenti strettamente connessi sul piano logico, formale e concettuale. Infatti le interazioni gravitazionali ed elettrostatiche sono trattate in parallelo per consentire una riflessione sulle loro analogie. Si discute quindi della fondamentale unificazione dei fenomeni elettrici e magnetici sotto l’unico concetto di campo elettromagnetico. Lo studio di questi argomenti suggerisce inoltre l’esame di alcune implicazioni storico-filosofiche e di problematiche culturali rilevanti sul piano concettuale, come il passaggio da una fisica basata sul concetto di azione a distanza ad una basata sul concetto di azione per contatto.
Tema 1 Forz ampi
PNI - triennio
Tema n. 6 L'Universo fisico
-forze menti; -massa inerziale e momento d’inerzia; -concetto di campo e linee di campo; -campo gravitazionale e campo elettrostatico; potenziale ed energia potenziale; campi conservativi; -moto di masse in un campo gravitazionale; -moto di cariche in un campo magnetico; -campo magnetico generato da corrente elettrica; -conduzione elettrica; -circuiti elettrici.
e elettromagnetica; lternata;
lettromagnetico.
Tema 2 Sistemi di riferimento e relatività
-sistema isolato; -conservazione della quantità di moto e del momento angolare; -conservazione dell’energia; -indipendenza dei principi di conservazione dal sistema di riferimento; -teoria cinetica della materia; -principi della termodinamica; trasformazioni reversibili e irreversibili; concetto di entropia;
-sistemi di riferimento inerziali e non inerziali; -le trasformazioni galileiane; forze apparenti; -i postulati della relatività ristretta; -simultaneità, dilatazione dei tempi, contrazione delle lunghezze, trasformazioni di Lorentz; -massa relativistica ed equivalenza tra massa ed energia; -ipotesi della relatività generale.
-oscillazioni ed onde; -onde longitudinali ed onde trasversali; -riflessione, rifrazione e dispersione; -interferenza, diffrazione e risonanza; -polarizzazione; -effetto Doppler; -onde elettromagnetiche.
-spettroscopia (emissione, assorbimento, stati metastabili); -effetto termoelettronico; -corpo nero ed ipotesi di Plance; -effetto fotoelettrico e ipotesi di Einstein; -ipotesi di de Broglie: dualità onda-corpuscolo; -modelli atomici -principio di indeterminazione; -lo stato solido -nucleo atomico e radioattività naturale; -reazioni nucleari (in particolare fissione e
le i”.
-la curvatura dello spazio tempo; -spostamento verso il rosso delle righe spettrali; -radiazioni elettromagnetiche; -radiazione cosmica; -sistema solare; -le stelle: origine ed evoluzione; -oggetti celesti; -ipotesi cosmologiche e modelli dell’universo.
Tema 4 Onde meccaniche ed elettromagnetiche
Tema 3 Principi di conservazione – Processi reversibili e irreversibili
Tema n. 5 Struttura della materia
-induzioncorrente a-campo e
e e c
e mo
Schema1 - Temi prop elativa scansione curricolare.
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fusione); -le particel“elementarTerzo anno Quarto anno Quinto anno
osti dal Piano Nazionale per l’introduzione dell’informatica nelle scuole medie superiori e r
Tema 1 Interazioni gravitazionali
-Analisi della caduta dei gravi in situazioni diverse. Misurazione diretta ed indiretta di grandezze. Introduzione ad una scienza sperimentale: definizione operativa delle grandezze fisiche; elementi della teoria della misura. Pendolo Moto periodico. -Sistemi di riferimento. Principi della dinamica. Forze elastiche. Moto circolare uniforme. Pendolo conico.
azione gravitazionale ga scala. di Keplero. ge gravitazionale
rsale. o gravitazionale. gia:
ro di una forza. i conservativi.
ipi di conservazione. azione gravitazionale niverso. Schema 2 – Temi proposti dalla Commissione Brocca per il triennio dell’indirizzo classico
Tema 2 Interazioni elettromagnetiche
Tema 3 Quanti, materia radiazione
-Fenomeni elettrostatici. Forza di Coulomb. Campo elettrico. -Moto di una carica in un campo elettrico. Corrente elettrica. Circuiti elettrici. Modello di conduzione. -Energia elettrica. Trasformazioni di energia. Potenza. Condensatori. -Campo magnetico. Interazione tra correnti. Fenomeni di induzione elettromagnetica. Campi elettrici e variabili nel tempo. Onde elettromagnetiche. Banda ottica – fenomenologia Analogia con fenomeni ondulatori di altra natura.
-Struttura atomica della materia. La scoperta dell’elettrone. Evoluzione dei modelli dell’atomo. -La spettroscopia come metodo di indagine. La quantizzazione dell’energia nella materia. La quantizzazione dell’energia nella radiazione. Dualismo onda-corpuscolo. Il principio di indeterminazione di Heisemberg. -Il nucleo atomico. Interazioni nucleari. Energia di legame nucleare. Interazione forte. Interazione debole. Fissione e fusione. Le particelle elementari.
Tema 4 Relatività
-Concetto di tempo e spazio assoluti in meccanica classica. Trasformazioni galileiane. Velocità critica. -Costanza della velocità della luce nel vuoto. I postulati della relatività ristretta. Composizione delle velocità. Massa relativistica. Equivalenza massa energia.
Programmi Brocca triennio Classico
-Oggetti celesti. -Il Sole: caratteristiche fisiche e parametri osservativi, irraggiamento e spettro elettromagnetico, temperatura superficiale, attività, struttura interna, “sorgenti” di energia: la fusione termonucleare. -Origine degli elementi. -Stelle: parametri osservativi, classificazione spettrale, aspetti evolutivi, distribuzione nella Galassia. -Fondamenti osservativi della cosmologia e modelli di universo.
Tema 5 Astrofisica e cosmologia
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-Intersu larLeggiLa leguniveCamp-EnerLavoCampPrincInternell’u
-Analisi della caduta dei gravi in situazioni diverse. Misurazione diretta ed indiretta di grandezze. Introduzione ad una scienza sperimentale: definizione
tiva delle grandezze e; elementi della teoria misura. lo
periodico. mi di riferimento. pi della dinamica. elastiche. circolare uniforme. lo conico. azione gravitazionale ga scala. di Keplero. ge gravitazionale
rsale. o gravitazionale. gia:
ro di una forza. i conservativi.
ipi di conservazione. azione gravitazionale niverso.
Schema 3 – Temi proposti dalla Commissione Brocca per il triennio dell’indirizzo linguistico e socio-psico- pedagogico
-Fenomeni elettrostatici. Forza di Coulomb. Campo elettrico. -Moto di una carica in un campo elettrico. Corrente elettrica. Circuiti elettrici. Modello di conduzione. -Energia elettrica. Trasformazioni di energia. Potenza. Condensatori. -Campo magnetico. Interazione tra correnti. Fenomeni di induzione elettromagnetica. Campi elettrici e variabili nel tempo. Onde elettromagnetiche. Banda ottica – fenomenologia Analogia con fenomeni ondulatori di altra natura.
-Costituzione della materia. Spettroscopia. Evoluzione dei modelli atomici. Fondamenti di fisica moderna: effetto fotoelettrico, esperienza di Franck e Hertz. Ipotesi di de Broglie, principio di Heisemberg. -Interazione forte. Caratteristiche dei nuclei. Fisione e fusione. -Decadimenti: particelle, metodi di indagine attuali.
Tema 4 Dal microcosmo al macrocosmo - relatività
-Gli oggetti celesti. Il Sole: caratteristiche fisiche e parametri osservativi, irraggiamento, spettro elettromagnetico, attività, energia termonucleare. Stelle: parametri osservativi, classificazione spettrale, aspetti evolutivi, origine degli elementi. Galassie. -Fondamenti evolutivi della cosmologia. -Concetto di spazio e tempo assoluti. I postulati della Relatività ristretta. Simultaneità degli eventi. Equivalenza massa-energia. Ipotesi di relatività generale. -Modelli di universo.
Programmi Brocca triennio linguistico, socio-psico-pedagogico
Tema 1 Interazioni gravitazionali
Tema 2 Interazioni elettromagnetiche
Tema 3 Interazione forte e debole dall’atomo al nucleo
operafisichdella PendoMoto-SistePrinciForzeMotoPendo-Intersu larLeggiLa leguniveCamp-EnerLavoCampPrincInternell’u
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-Moti e sistemi di riferimento. Moto rettilineo, moto su traiettoria curvilinea qualsiasi. Moto circolare uniforme, moto armonico. -Forze e moti. Le tre leggi della dinamica. -Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali. Forze apparenti. Principio di relatività galileiane e trasformazioni di Galilei. Principio di equivalenza. -Lavoro di una forza. Energia cinetica. -Quantità di moto e sua conservazione. -Sistemi di corpi. Centro di massa. Momento di inerzia. Corpo rigido. Momento angolare e sua conservazione. -(Condizioni generali di equilibrio). -(Mezzi continui deformabili. Fluidi. Equazione di Bernoulli. Viscosità)
Programmi Brocca triennio scientifico, scientifico-tecnologico
Tema 5 Quanti, materia e radiazione
Tema 3 Oscillazione e onde
Tema 2 Forze e campi
Tema 1 Fondamenti della meccanica
Schema 4 – Temi proposti dalla Commissione Brocca per il triennio dell’indirizzo scientifico, scientifico- tecnologico
Tema 7 Universo fisico
Parte I (terzo anno) -Interazioni gravitazionali. Leggi di Keplero. La legge di gravitazione universale. -Interazioni elettrostatiche. La legge di Coulomb. -Campo gravitazionale e campo elettrostatico. Vettori g ed E. Principio di sovrapposzione dei campi. -Campi conservativi. Potenziale ed energia potenziale. Circuitazione e flusso. Teorema di Gauss. Capacità elettrica. Energia e densità di energia del campo elettrico. -Conservazione dell’energia -Moto di masse in campo gravitazionale e moto di cariche in campo elettrico. -Interazioni magnetiche tra magneti, circuiti, cariche in moto. -Campo magnetico. Vettore B. -Campi non conservativi. Flusso e circuitazione di B, teorema di Ampere. -Moto di cariche in un campo magnetico. Forza di Lorentz.
Tema 4 Termodinamica e modelli statistici
Tema 6 Relatività
Parte II (quarto anno) -Campi elettrici e magnetici variabili. Induzione elettromagnetica. Energia e densità del campo magnetico. -Equazioni di Maxwell. -Conduzione elettrica. Conduttori, semiconduttori, isolanti. Circuiti in cc e ca. Circuiti con elementi attivi e passivi.
1.2 Ruolo della tematica proposta in ambito disciplinare, considerazioni storiche ed
epistemologiche
Nel corso del biennio e della prima parte del triennio gli alunni si sono occupati prevalentemente di moti che si svolgono sulla Terra (caduta libera, moto dei proiettili, pendolo, ecc.). Molti di essi sono causati dalla forza di gravità, che attira verso il centro della Terra tutto ciò che su di essa si trova. Poi chiediamo loro di abbandonare momentaneamente la Terra e di rivolgere l’attenzione ai corpi celesti, perché vogliamo capire come si muovono nello spazio e quali sono le forze che determinano i loro movimenti. Oggi ci sembra del tutto naturale estendere ai corpi celesti le leggi della dinamica, che sono state scoperte con osservazioni ed esperienze terrestri. Dopo aver inviato delle spedizioni umane sulla Luna e dei veicoli spaziali nel Sistema Solare, non ci stupiamo di trovare fuori della Terra gli stessi elementi chimici che abbiamo qui. Ma non è sempre stato così. L’affrontare il tema della Gravitazione permette di evidenziare come l’uso del “metodo scientifico” abbia creato le condizioni per una spiegazione più ampia e specifica sia del moto dei pianeti sia dei moti terrestri. Solo quattro secoli ci separano dall’epoca in cui un insieme di eventi culturali, tecnici ed economico-politici, congiunti al desiderio di spiegare in termini razionali la realtà naturale, diede origine alla “filosofia della natura” (oggi diremmo: alla scienza). Questa nuova via di indagine si è rivelata di una fecondità sorprendente e ha permesso di acquisire con grande rapidità una conoscenza sempre più ampia e profonda del mondo che ci circonda. A tal punto andò aumentando la fiducia in questa forma di sapere e nelle sue applicazioni che, a partire dalla seconda metà del Settecento e fino alla fine dell’Ottocento, si consolidò la convinzione che la scienza fosse una forma di sapere assoluto e che, pertanto, ogni espressione della razionalità umana dovesse essere ridotta a razionalità scientifica. Lo studio delle vicende che hanno portato alla formulazione della legge di gravitazione universale permette un’approfondita riflessione sui contenuti e sui metodi della scienza, riflessione che si innesta nella più ampia attenzione sui contenuti e sui metodi della scienza avviata a partire dall’inizio del XX secolo, attraverso la quale, rimettendo in discussione le potenzialità conoscitive di questa disciplina è stato possibile sgombrare il campo dalla pretesa di racchiudere in formule e teorie la misteriosa complessità del mondo. Cosa ancor più importante, a mio parere, è che attraverso questo tema è possibile in qualche modo rivivere parte dell’esperienza di colui che ha aperto all’umanità la strada per riuscire a capire com’è fatto il mondo, strada fondata sull’umiltà intellettuale, sul rigore e sulla riproducibilità. “La grandezza di Galileo, infatti, non sta nelle sue, pur straordinarie, scoperte astronomiche. Ne bastava una per diventar famosi. E furono tante. La grandezza veramente unica di Galilei consiste nell’essere stato lui, il primo uomo al mondo a scoprire le prime impronte fondamentali del creatore incise nella materia “volgare”: pietre, spaghi e legna. Se bastasse la curiosità per scoprire la Scienza, sarebbero stati i nostri antenati all’età della pietra a scoprirla: erano curiosissimi. Se bastasse il rigore della Logica, l’avrebbero scoperta i Greci. Questo privilegio straordinario doveva toccare invece a un uomo di Fede. A un uomo convinto che, per capire le Stelle, era necessario studiare la materia “volgare” In questa materia Galilei cercò le impronte del creatore e scoprì che non siamo figli del caos, ma di una Logica rigorosa. Umiltà, rigore e riproducibilità sono le basi dell’insegnamento galileiano.” (Galilei divin uomo – A.Zichichi, 2001)
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1.3 Classe destinataria dell’intervento didattico
Si intende proporre un percorso didattico per studenti di un liceo scientifico PNI nel quale sia stata svolta l’attività di laboratorio di fisica nel biennio.
1.4 Problematiche didattico – metodologiche relative ad un efficace sviluppo dell’argomento.
La comprensione degli effetti gravitazionali è una occasione per evidenziare alcuni equivoci ricorrenti nella logica comune, per riprendere il significato specifico di alcuni termini spesso impropriamente utilizzati nel linguaggio quotidiano e per mettere in campo nel quadro più ampio della dinamica le conoscenze cinematiche e statiche acquisite nel corso degli anni precedenti. • Significato della parola gravità I greci attribuivano ai corpi proprietà teleologiche di “gravità” e “levità” come tendenza verso il centro della Terra o salita al dominio celeste. La Scienza del XVII secolo elimina sia la teologia, sia il termine “levità” e applica il termine “gravità” all’interazione tra oggetti e Terra. Con la sintesi Newtoniana il significato viene esteso, con la grande intuizione che lo stesso effetto di caduta della mela lega anche la Luna alla Terra e la Terra e i pianeti al Sole. Come viene usato oggi il termine “gravità”? I ragazzi utilizzano difficilmente tale termine al di fuori del contesto scolastico, risulta perciò interessante la lettura di alcune pagine della letteratura scientifica tra le quali certamente non può mancare quella relativa all’esperimento concettuale delle due pietre in caduta libera descritto da Galileo Galilei nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.(vedi allegato documento 1) • Significato di “verticale” e “ortogonale” Qual è la direzione verticale nel punto dove ci troviamo? La domanda conduce alla chiara connessione tra la direzione della forza di gravità e il significato di “orizzontale” e “verticale” (o con il filo a piombo, o la livella del carpentiere). Che cosa è la verticale? Il quesito va posto in classe e più volte ripreso nel corso degli anni aggiungendo ogni volta qualche elemento problematico (dinamica rotazionale, forma non sferica della Terra e sua disomogeneità) • Aria, gravità e vuoto Nel senso comune vi è talvolta una errata associazione tra aria (atmosfera), che preme verso il basso, sulle cose e la gravità. Esiste quindi il rischio di vedere la gravità come una spinta verso il basso piuttosto che un’azione di tirare verso il basso. Vale la pena approfondire con domande ed esempi la questione: la gravità “scompare” quando l’aria è rimossa?! E cosa significa vuoto? Ancora oggi nel senso comune dei bambini vi è l’idea che il vuoto e l’aria siano la stessa cosa, ed è per loro difficile immaginare che l’aria pesa. Questo fatto è stato studiato da tempo , e deriva dalla indeterminazione semantica della parola “vuoto”, fatto che ha deviato la riflessione dell’uomo per lungo tempo: “mi ha vuotato il frigorifero”, “in questo momento ho un vuoto di memoria”. E’ quindi interessante chiarire al più presto questo equivoco per esempio proponendo un esperimento in cui si intende pesare una bottiglia di plastica prima e dopo avervi pompato dell’aria dentro (cfr. La fisica nella scuola – Pesare l’aria – G.Pegna, P.Grosso – 2003) • Uso del tubo con piuma e moneta Questo sistema, non solo ripercorre l’esperienza di Galileo, sulla caduta dei gravi, ma offre l’opportunità di discutere sulla parola “vuoto” e, per coloro che si aspettano che la gravità scompaia in assenza di aria, mette in evidenza che ciò non accade. Purtroppo non è sempre possibile realizzarlo ma può essere sostituito con un esperimento che limiti fortemente gli effetti dell’attrito dell’aria, come per esempio la caduta di due sfere cave identiche dopo avere inserito in una delle due sfere un corpo notevolmente massivo.
• Significato di “g” Molti studenti alla domanda: cosa significa “g” in cinematica e in dinamica? Rispondono “gravità”; non citano la parola “accelerazione”. L’attenzione al linguaggio non è secondaria alla completezza dei contenuti ed alla correttezza delle metodologie didattiche. • “Sentire” il peso di un oggetto Frase “sentiamo il peso di un oggetto quando la portiamo” implicando che la stessa forza agisce sulla tavola che sostiene l’oggetto. Il termine “peso di un oggetto” deve essere riservato esclusivamente alla forza gravitazionale esercitata dalla Terra sull’oggetto. Dato questo significato, la forza che noi sentiamo quando teniamo un oggetto non è il peso dell’oggetto, ma la forza di contatto che l’oggetto esercita su di noi. Infatti le due forze non sono uguali numericamente se qualcosa sta premendo verso il basso, o tirando verso l’alto l’oggetto; se stiamo accelerando l’oggetto in alto o in basso. La distinzione fra le due forze non è banale, e, se non è mantenuta, si perde comprensione del vocabolario scientifico; inoltre rimane indeterminata l’individuazione della coppie di forze (III Legge) all’interfaccia. Vale la pena di eseguire e riflettere su alcuni semplici esperienze come pesarsi sull’ascensore che scende o pesarsi su un piano inclinato. Anche parole del tipo “senza peso” in connessione a satelliti e veicoli spaziali possono risultare fuorvianti. La parola “peso” deve essere definita originariamente come la forza gravitazionale esercitata dalla Terra sull’oggetto. La descrizione del “peso” come la lettura su una scala di una bilancia su cui si trova l’oggetto deve essere attribuita in realtà alla forza normale esercitata dal piatto sull’oggetto. Questo valore non solo non è la forza gravitazionale esercitata dalla Terra sull’oggetto, ma, in molte circostanze, non è nemmeno numericamente uguale alla forza gravitazionale. Pertanto lo studente deve essere aiutato a chiarire che, partendo dalla definizione del peso, noi non sentiamo la forza gravitazionale, ma ne postuliamo la sua esistenza sulla base dell’osservazione dell’accelerazione in caduta libera (senza attrito dell’aria). Quando saltiamo da un posizione elevata (trampolino), non “sentiamo’, in caduta, una forza che ci tira. Ciò che sentiamo è la forza normale esercitata su di noi dall’oggetto quando siamo su di esso. Questa forza è numericamente uguale al nostro peso solo se nessuno è seduto sulle nostre spalle o cerca di tirarci su e solo se non siamo accelerati in alto o in basso. Che cosa segna l’ago della bilancia quando siamo accelerati in alto o in basso? Vedi ascensore. La nostra sensazione è quella di una forza verso l’alto più grande, di quella normalmente sentita, quando l’accelerazione è verso l’alto e di una forza verso l’alto più piccola,quando l’accelerazione è verso il basso. E cosa accade alla forza esercitata verso l’alto su di noi dal piatto della bilancia quando l’accelerazione verso il basso si avvicina sempre di più a quella di caduta libera? La forza verso l’alto su di noi e la lettura sulla scala vanno a zero Perciò quando siamo in caduta libera la forza gravitazionale esercitata su di noi dalla Terra non diventa zero; ciò che diventa zero è la forza normale esercitata sui nostri piedi, la forza di cui abbiamo sensazione diretta. Noi sentiamo una sensazione strana, cioè sensazione di “mancanza di peso”, di qui la terminologia scorretta. La terminologia “senza peso” è usata per descrivere la situazione in un ascensore in caduta libera o in un satellite; si deve comprendere l’uso che può confondere e non interpretare la frase letteralmente, nel senso che la forza gravitazionale sia diventata nulla.
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2 .Seconda parte – Presentazione dei contenuti ed intervento didattico
2.1 Destinatari
Terza liceo scientifico PNI composta da allievi provenienti dalle classi del biennio nelle quali è stato
svolto l'insegnamento della Fisica
2.2 Prerequisiti – accertamento dei prerequisiti (prova di verifica in ingresso, vedi allegato 1)
• Conoscere le leggi della cinematica • Conoscere le leggi della dinamica • Energia e lavoro • Conservazione dell’energia meccanica • Conoscere in particolare le leggi del moto circolare uniforme • Conoscere in particolare le leggi del moto armonico • Conoscere l’equazione delle coniche nel piano cartesiano, in particolare circonferenza ed
ellisse • Conoscere in maniera descrittiva le geometrie non euclidee
2.3 Tempi dell’intervento didattico
Si propone di affrontare l’argomento attorno ai mesi di aprile, maggio, quando lo sviluppo del
programma di geometria analitica ha già permesso l’acquisizione delle coniche.
durata (ore) argomento
1 introduzione storica attraverso i suoi protagonisti – laboratorio informatica
1 le leggi di Keplero
1,5 la legge di gravitazione universale
1,5 il valore della costante G
0,5 massa inerziale e massa gravitazionale
1,5 l’accelerazione di gravità
1 verifica formativa
1 il moto dei satelliti
0,5 la deduzione delle leggi di Keplero
1 il campo gravitazionale – uscita didattica Pisa (esperimento Virgo)
1 l’energia potenziale gravitazionale
2 la conservazione dell’energia meccanica
1,5 verifica sommativa
2.4 Obiettivi
• Utilizzare correttamente termini scientifici • Saper analizzare fenomeni fisici attraverso gli occhi di coloro che li hanno analizzati nel corso
dei secoli • Saper riconoscere la sintesi presente in diverse leggi fisiche • Saper utilizzare il linguaggio matematico per descrivere fenomeni fisici sia dal punto di vista
cinematico sia dal punto di vista dinamico • Acquisire sinteticamente i passi fondamentali che condussero dalla visione di un Universo geocentrico ad un Universo eliocentrico • Esaminare in particolare il sistema tolemaico e il sistema copernicano • Saper descrivere i contributi di Tycho Brahe, Keplero e Galileo nell’affermazione del sistema copernicano • Comprendere il significato della legge di gravitazione universale di Newton • Acquisire il concetto di campo gravitazionale e di energia potenziale gravitazionale Conoscenze Abilità • Le tre leggi di Keplero • La legge di Newton delle gravitazione
universale • La misura della costante G e
l’esperimento di Cavendish • Massa inerziale e massa gravitazionale • Il moto dei satelliti • Le caratteristiche del campo
gravitazionale • L’energia potenziale nel campo
gravitazionale
• Utilizzare le leggi di Keplero nello studio del moto dei corpi
• Applicare la legge di gravitazione di Newton
• Comprendere la distinzione tra massa inerziale e massa gravitazionale
• Analizzare il moto dei satelliti • Dedurre le leggi di Keplero dai principi
della dinamica • Comprendere le caratteristiche del
campo gravitazionale • Utilizzare il principio di conservazione
dell’energia nell’analisi di moti in campi gravitazionali.
2.5 Metodologie didattiche, materiali e strumenti impiegati Il nucleo centrale del progetto sarà introdotto con riferimenti storici piuttosto ampi in quanto, a mio parere, un approccio puramente “tecnico” al problema in oggetto risulterebbe inadeguato almeno per i seguenti motivi: • la sostituzione dell’immobilità della Terra con quella del Sole non ha semplicemente significato la sostituzione di un modello planetario con un altro, ma ha implicato anche un radicale mutamento della visione cosmologica; • il substrato teorico dei due diversi modelli (geocentrico ed eliocentrico) era addirittura un diverso concetto filosofico di moto: assoluto per chi riteneva ferma la Terra, relativo per chi riteneva che questa ruotasse intorno al Sole. Tenendo presente anche gli aspetti culturali, religiosi e filosofici, pur tenendoli ben distinti dall’analisi scientifica, sarà possibile comprendere meglio l’origine delle teorie stesse. Si prevede inoltre l’utilizzo dei seguenti strumenti didattici: lezioni frontali, discussioni in aula, simulazioni con Cabri II Plus, esercizi in classe, interrogazioni, test, verifiche formative e sommative, visione di filmati, esperienze di laboratorio, problemi di livello superiore.
12
2.6 Contenuti e loro sviluppo
2.6.1 Introduzione storica attraverso i suoi protagonisti
Almeno dai tempi degli antichi Greci, due problemi furono
argomenti di indagine approfondita:
1. la tendenza dei corpi, per esempio le pietre, a cadere sulla
Terra se abbandonati a una certa altezza dal suolo; Figura 1 - Ritratto dell'astronomo, geografo e matematico greco Tolomeo, situato nel frontespizio di un'edizione della sua opera Geografia stampata a Ulm nel 1 82. 4
2. i moti dei pianeti, includendo tra essi il Sole e la Luna, che
nei tempi antichi erano classificati tra i pianeti.
E’ comprensibile il fatto che tali problemi venissero affrontati
separatamente.
I primi seri tentativi di spiegare la cinematica del sistema solare furono fatti da Tolomeo (Claudius
Ptolomeaeus, II secolo d.C.) il quale sviluppò un modello geocentrico (detto anche tolemaico).
La teoria tolemaica di fatto adattò le costruzioni astronomiche dei suoi predecessori, in particolare di
Ipparco (II sec a.C.), al modello dell’universo aristotelico.
Anche se nel III sec a.C. Arsitarco di Samo
aveva già formulato una teorica eliocentrica, nel
1400 l’universo era ancora concepito secondo lo
schema di Aristotele: al centro la Terra col
mondo sublunare, dove la materia è soggetta a
continue trasformazioni e a movimenti che
avvengono spontaneamente (rettilinei, in
direzione della verticale e dipendenti dalla
“naturale tendenza degli elementi”) o
violentemente per effetto di forze estranee; intorno alla
Terra le sfere della Luna, del Sole, dei pianeti e, al di
sopra di tutte, la sfera che portava incastonate le stelle.
Terra
Sole
Venere Luna
Mercurio
Giove Marte
Sole
Terra
Figura 2 – Deferenti ed epicicli dei pianeti “interni” nel sistema tolemaico
Queste sfere celesti erano costituite da un elemento
incorruttibile e inalterabile, in moto circolare uniforme,
uguale a se stesso da sempre, emanazione della divinità.
Fin dai tempi dei pitagorici, infatti, la sfera era vista
come simbolo di perfezione. Figura 3 – Deferenti ed epicicli dei pianeti “esterni” al Sole nel sistema Tolemaico
Questa cosmologia non era messa in dubbio da nessuno perché prima di Galileo non era concepibile
pensare che un corpo potesse mantenere il proprio moto senza che una forza continuamente lo
sospingesse, perciò i corpi celesti dovevano essere enti immateriali e inalterabili mossi dalla volontà
divina e la Terra, materiale corruttibile, non poteva che trovarsi ferma al centro di questo universo ad
essa completamente estraneo.
La teoria tolemaica costituiva una cinematica celeste soddisfacente nell’ambito degli errori di misura
delle osservazioni che venivano fatte. Eclissi, posizioni delle stelle potevano essere previste con
sufficiente precisione.
E’ importante far osservare ai ragazzi che dal punto di vista cinematico, è accettabile sia la
scelta del sistema di riferimento Terra, sia la scelta del riferimento Sole.
Il sistema geocentrico di Tolomeo ricalcava l’universo a sfere di Aristotele ma era più efficiente dal
punto di vista matematico essendo basato su una complessa costruzione geometrica; ogni pianeta
ruotava su una circonferenza detta epiciclo; il centro di questa a sua volta ruotava su una circonferenza
detta deferente, nel cui centro era la Terra.
L’ipotesi di Tolomeo non ha nulla di sorprendente. La Terra appare all’uomo come il corpo più
importante. Anche oggi, nell’astronomia della navigazione usiamo un sistema di riferimento
geocentrico e nella conversazione ordinaria usiamo ancora termini come “il sorgere del Sole”, che
implicano la scelta di un tale sistema di riferimento.
La composizione del moto delle sfere riproduce il fenomeno del moto retrogrado e rende conto,
almeno qualitativamente, del fatto che i pianeti sono più luminosi (e quindi più vicini alla Terra),
durante tale fenomeno. Proprio da questa anomalia rispetto al moto circolare uniforme ha origine il
nome di pianeta che deriva dalla parola greca planhthz, che significa “errante”.
2.6.1.1 Simulazione moto retrogrado di Marte con Cabri 2D
La foto rappresenta in sequenza le posizioni di Marte nel periodo
aprile – ottobre come ci appaiono rispetto alle stelle fisse. In
particolare da maggio a luglio la traiettoria disegna una sorta di
anello e riprende in settembre la primitiva direzione.
Ritengo sia utile
approfondire tale
questione riproducendo
assieme ai ragazzi, nel
laboratorio di informatica,
uno schema del modello
tolemaico che possa efficacemente spiegare il moto
retrogrado. (vedi scheda laboratorio di informatica n1 - allegato 2). Più avanti sarà utile riproporre ai
14
ragazzi lo stesso tipo di esercizio verificando tramite una simulazione con Cabri che il moto
retrogrado è spiegabile anche nel sistema copernicano. (vedi scheda laboratorio di informatica n.2 –
allegato 3).
“Simulare significa costruire un modello che teorizzi “perfettamente” un fenomeno che nella realtà
non potrà essere mai regolato dalle stesse leggi esatte.
Lo studente da una simulazione non può trarre dati e risultati quantitativi “veri”, ma può verificare
che esistono leggi matematiche che regolano fenomeni reali. Il modello però diventa perfetto, elimina
i fattori di disturbo e permette quindi di arrivare alla legge matematica.
La simulazione con Cabri si propone due obiettivi fondamentali: da un lato tende a rappresentare
nell’ambito di una realtà virtuale un fenomeno fisico, dall’altro vuole sviluppare le capacità creative
degli studenti i quali devono applicare la loro conoscenza della geometria e di relazioni matematiche
come la proporzionalità diretta, inversa e quadratica, per costruire la simulazione cinematica del
fenomeno che stanno studiando.” (Alfio Petrone Quaderni di CABRIRRSAE n.17 )
Nel III secolo a.C., in un periodo intermedio tra quelli in cui furono formulati il primo modello
eliocentrico ( Eudosso IV sec. a.C.) e quello tolemaico di cui abbiamo appena parlato, l’astronomo
greco Aristarco di Samo aveva proposto un modello di Universo totalmente diverso. Secondo
Aristarco il Sole è fermo al centro dell’Universo e la Terra e i pianeti gli girano intorno con moti
circolari.
Con questa ipotesi i movimenti dei corpi celesti diventano più semplici, supponendo però che la Terra,
oltre a ruotare attorno al Sole, ruoti anche su se stessa. Da questo modello ne consegue che:
• il moto diurno di rotazione delle stelle fisse e di tutti gli altri corpi celesti è apparente e dovuto
alla rotazione diurna della Terra sul suo asse;
• la variazione stagionale dell’altezza del Sole è dovuta a un’inclinazione dell’asse terrestre, che
non è perfettamente perpendicolare al piano dell’orbita compiuta intorno al Sole;
• il moto retrogrado è una conseguenza della differente velocità di rotazione dei vari pianeti
rispetto a quella della Terra.
L’ipotesi di Aristarco rimase isolata nel mondo antico, perché contro di essa potevano essere mosse
molte obiezioni.
In primo luogo, i sistemi filosofici dominanti avevano un punto di forza nalla separazione Terra-cielo
e nella immobilità della Terra: era difficile quindi accettare l’idea che la Terra non fosse il centro
dell’Universo, ma un pianeta vagante nello spazio. In secondo luogo, esistevano forti obiezioni sul
piano stesso dell’accettabilità del modello. Di queste, le due seguenti sembravano particolarmente
forti:
• se la Terra ruota su se stessa, perché non veniamo proiettati verso l’esterno? E perché, ad
esempio, gli uccelli non rimangono indietro, nel loro moto aereo rispetto alla superficie terrestre, ma
possono spostarsi come se la Terra fosse ferma?
• se la Terra si muove rispetto alle stelle, che rimangono fisse, dovremmo osservare durante
l’anno uno spostamento della posizione delle stelle, dal momento che varia la prospettiva dalla quale
le guardiamo. Perché questo spostamento non viene osservato?
La mancanza di un “principio di composizione dei movimenti” impediva allora di controbattere
efficacemente alla prima obiezione, ma anche la seconda poneva un grosso problema. Sarebbe stato
necessario ammettere che lo spostamento della Terra, corrisponende ad
un diametro dell’orbita intorno al Sole, fosse così piccolo rispetto alle
distanze stellari da essere trascurabile ai fini di una variazione di
prospettiva. Ne conseguiva un ampliamento enorme delle dimensioni
dell’Universo: le stelle dovevano essere almeno migliaia di volte più
lontane del Sole rispetto alla Terra e questa ipotesi appariva assurda.
Niccolò Copernico (1473 – 1543)
Niccolò Copernico (1473 – 1543), canonico polacco, astronomo per
passione, volle affrontare il problema in modo radicalmente diverso dalla
maggioranza dei suoi predecessori. Egli capovolse la cosmologia vigente
considerando la Terra non più centro dell’Universo ma un semplice
pianeta che ruotava insieme agli altri su traiettoria circolare intorno al
Sole.
Per quei tempi questa innovazione non rappresentava solo il cambiamento del sistema di riferimento:
si trattava di una assurdità contro il senso comune; era un’assurdità fisica per l’impossibilità del
moto senza forza e infine una assurdità filosofico-teologica perché, assimilando la Terra agli altri
pianeti, presupponeva che i corpi celesti fossero della stessa natura della Terra.
Non a caso Copernico fece pubblicare il suo lavoro De revolutionibus orbium coelestium solo dopo la
sua morte nel 1543 dal suo allievo G.J.Rheticus. In essa egli sviluppò la sua teoria in un continuo
parallelismo, capitolo per capitolo, con l’Almagesto di Tolomeo.
La soluzione proposta da Copernico rappresentava una semplificazione rispetto alle complicate
costruzioni tolemaiche ma le previsioni sperimentali basate sulle orbite circolari dei pianeti
risultavano peggiori di quelle allora ottenibili con il modello geocentrico.
Così anche Copernico si vide costretto a ricorrere a moti accessori, al concetto di epiciclo, ecc., cosa
che, alla fine, rese il suo modello complicato quanto quello tolemaico.
Quasi un secolo più tardi, Galileo e Keplero portarono due contributi decisivi per l’affermazione della
teoria eliocentrica: Galileo, con l’impostazione della meccanica moderna, rese accettabile dal
16
punto di vista fisico il moto perenne della Terra e dei pianeti senza intervento di forze; Keplero
riuscì a trovare la vera forma della traiettoria dei pianeti attorno al Sole.
Egli ebbe la fortuna di poter disporre di una enorme mole di osservazioni estremamente precise e
sistematiche fatte dall’astronomo Tycho Brahe (nato nel 1546 a
Knudstrup in Scania, oggi in Svezia, allora in Danimarca) nel corso di
oltre vent’anni.
Si pensi che i suoi rilevamenti, eseguiti tutti ad occhio nudo,
presentavano errori inferiori ai quattro primi di grado (è l’angolo
sotto cui è osservato un corpo lungo 1 mm dalla distanza di 1
metro!). Tycho Brahe (1546-1601)
Sulla base delle sue osservazioni Brahe ritenne di poter costruire un
modello planetario (sistema ticonico) nel quale la Terra è ferma al centro dell’Universo, mentre tutti
gli altri pianeti ruotano intorno al Sole che, a sua volta, ruota intorno alla Terra. Egli, infatti,
condivideva le perplessità di Copernico circa i sistemi tradizionali ma non poteva concepire che la
Terra si muovesse così velocemente attraverso lo
spazio.
In particolare vi furono due osservazioni che
assunsero un ruolo particolarmente importante.
La prima riguarda una cometa che nel 1577 passò
nel cielo d’Europa, visibile a occhio nudo. Tycho
ne calcolò la traiettoria e trovò che si muoveva su
un’orbita intorno al Sole: era una conferma sperimentale diretta della visione copernicana.
Rproduzione del cielo notturno durante l’apparizione della nova nel 1572
La seconda riguarda una stella anomala. In un punto del cielo in cui non si erano mai osservate stelle,
ne comparve una sempre più luminosa, finché dopo alcuni anni si attenuò e scomparve. Tycho non
poteva interpretare questo fenomeno (oggi sappiamo che aveva avuto la rara fortuna di osservare una
supernova della nostra galassia), ma il fatto stesso di aver osservato una stella di questo tipo aveva una
conseguenza sconvolgente: le stelle non potevano più essere considerate quegli oggetti eterni e
immutabili che Aristotele e con lui tutti gli astronomi successivi avevano immaginato.
Occorreva però un altro contributo, di natura interpretativa, per dare senso compiuto ai dati
sperimentali di Tycho Brahe: questo contributo fu fornito da Giovanni Keplero. Egli rappresenta il
prototipo del fisico teorico: uno scienziato che si preoccupa non tanto di fare nuove misure, ma di
interpretare quelle a disposizione.
Il vecchio fisico sperimentale ed il giovane teorico si incontrarono nel 1599 a Praga, quando
l’imperatore Rodolfo II, mecenate delle scienze astronomiche, li assunse entrambi (Keplero come
assistente di Brahe) concedendo a Tycho anche la possibilità di scegliersi il luogo più adatto per
l’installazione di un osservatorio.
Keplero (1572-1630) fu un grande ammiratore della matematica in senso
pitagorico: egli vedeva nell’armonia dei numeri e nella simmetria l’anima
dell’Universo. Per questo si convinse nella bontà del sistema eliocentrico e non
volle aderire alle idee di Tycho Brahe che pure stimava.
Per tutta la vita Keplero cercò leggi semplici nella quali si potessero inquadrare
tutti i dati del suo maestro. Dopo lunghi anni credette di aver trovato un modello
geometrico soddisfacente, basato sulla teoria eliocentrica e realizzato con orbite
circolari, che verificò in particolare sull’orbita di Marte. I suoi calcoli
concordavano con i dati sperimentali in modo, per quei tempi, “perfetto”: la
massima differenza riscontrata era di appena otto primi di grado. Ma egli aveva nelle osservazioni del
suo maestro la stessa fiducia che aveva nella propria matematica e non poteva accettare che egli
avesse fatto anche un errore così piccolo.
J. Keplero (1572-1630)
La soluzione fu trovata quando Keplero ebbe il coraggio di abbandonare l’ipotesi che le traiettorie
delle orbite fossero circonferenze. Così, paradossalmente, proprio l’abbandono di questo presunto
simbolo di perfezione e di ordine eterno permise di scoprire in forme nuove una grande simmetria e
unità nel movimento dei corpi celesti. (Documento 3)
Queste regolarità sono riassunte nelle tre leggi sperimentali di Keplero.
2.6.2 Le leggi di Keplero
Prima legge di keplero
Le orbite descritte dai pianeti intorno al Sole sono ellissi di cui il Sole
occupa uno dei fuochi.
Seconda legge di Keplero
La velocità dei pianeti non è costante, ma segue una
legge secondo la quale il raggio vettore che unisce il
sole a un pianeta spazza aree uguali in intervalli di
tempo uguali.
I pianeti quindi si muovono più velocemente lungo la
loro orbita quando si trovano più vicini al Sole.
Terza legge di Keplero
Il rapporto tra il cubo del semiasse
maggiore dell’ellisse e il quadrato del
18
periodo di rivoluzione è costante per tutti i pianeti.
Ciò significa che quanto più lontano un pianeta è dal Sole, tanto più lungo sarà il suo anno, cioè il
tempo che il pianeta impiega per compiere un giro completo della sua orbita.
Esercizio
La distanza media Terra – Sole è rT=1,50×1011 m e il periodo orbitale della Terra è TT=365,26 d.
Invece la lunghezza di un «anno» di Saturno è di TS=10760 d. Calcola la distanza media Saturno –
Sole.
Strategia e risoluzione:
• per la terza legge di Keplero possiamo scrivere: 2
3
2
3
T
T
S
S
Tr
Tr
=
• isolando da questa equazione il valore di rS si ottiene: mrTTr T
T
SS
1232
2
1043,1 ×==
Discussione:
Possiamo chiedere di verificare tale valore calcolato con i valori riportati nelle tabelle solitamente
stampate sui testi scolastici.
Perché si utilizza il raggio medio e non il semiasse maggiore?
Per molti anni dopo Keplero vi furono ancora eminenti astronomi che tentarono di superare la
precisione dei suoi risultati con ulteriori aggiunte di epicicli al sistema tolemaico o a quello
copernicano. Keplero propose anche una teoria delle maree, che secondo lui erano provocate dalla
attrazione della Luna sugli oceani terrestri per mezzo di una non meglio definita forza. Galileo era
molto contrario a questa teoria perché implicava un’azione a distanza che lui considerava una
concessione alla magia.
Nel 1597, Keplero fece avere a Galileo una copia del suo Mistero
Cosmico e questi ne accusò ricevuta 'giro di posta'. Dopo avere
confessato di non aver fatto ancora a tempo a leggere
compiutamente e con la dovuta attenzione il testo, Galileo
promette di farlo ben presto, "con tanto maggior piacere in quanto
io ho adottato da molti anni la dottrina di Copernico, il cui punto
di vista mi permette di spiegare numerosi fenomeni naturali, che rimangono inesplicabili se
interpretati secondo le teorie correnti". Keplero rispose con grande rapidità, ricambiando le
espressioni di stima, commiste, tuttavia, a un certo stupore per la prudenza galileiana: "Avrei preferito
che, con la vostra alta intelligenza, voi aveste assunto un'altra posizione. Con il vostro abile riserbo,
voi avete sottolineato, con l'esempio, l'atteggiamento di ritirarsi davanti all'ignoranza del mondo, e di
non provocare alla leggera, il furore dei dottori ignoranti. Ma considerato che ai nostri tempi,
Copernico e, dopo di lui, una folla di dotti matematici, hanno dato inizio a questa impresa immensa,
Galileo Galilei (1564-1642)
in guisa che il moto della Terra non è più una novità, sarebbe meglio spingere, mediante sforzi
comuni, verso la sua meta, questo grande carro che si è già messo in moto".
Seguiva una precisa richiesta di collaborazione: se mai Galileo avesse avuto a disposizione un
quadrante capace di misurare angoli di un quarto di minuto, avrebbe potuto mettere in evidenza
piccoli spostamenti stagionali delle stelle fisse, una prova evidente del moto della Terra.
Galileo non rispose mai a questa lettera, e la corrispondenza fra i due studiosi si interruppe per dodici
anni.
I rapporti epistolari fra Keplero e Galileo ripresero, per breve tempo, dopo la pubblicazione del
Sidereus Nuncius. Mentre buona parte del mondo accademico italiano manifestava il proprio
scetticismo nei riguardi delle scoperte astronomiche di Galileo, Keplero scrisse rapidamente una
Dissertatio cum Nuncio Sidereo, in cui si dichiarava convinto della bontà delle osservazioni di
Galileo, anzi si proclamava suo scudiero. Ma qualcuno rimproverò a Keplero di aver preso posizione
senza cognizione di causa, per cui egli scrisse a Galileo, chiedendogli un esemplare di telescopio, o
almeno qualche testimonianza diretta sulla veridicità delle osservazioni. La risposta arrivò dopo alcuni
mesi, piena di ringraziamenti e di attestati di stima, ma priva di testimonianze o della promessa di
invio di un telescopio. Keplero riuscì infine a trovare un telescopio e poté convincersi di persona della
bontà delle osservazioni galileiane, a supporto teorico delle quali pubblicò le Dioptricae, nel 1611,
primo trattato scientifico sulle lenti.
Keplero ebbe ulteriori notizie sull'attività galileiana, per il tramite di Giuliano de Medici, ambasciatore
a Praga del Granduca di Toscana, nuovo protettore dello scienziato pisano. Gli furono comunicati, in
particolare, gli anagrammi con cui Galileo annunciava le sue nuove scoperte, una sorta di copertura
che gli avrebbe consentito in seguito di rivendicarne la priorità:
"smaismrmilmepoetaleumibunenugtaurias", cioé, "altissimum planetam tergeminum observavi" (il
telescopio di Galileo non era sufficientemente potente da permettere di scorgere le lune di Saturno, per
cui questo pianeta appariva in triplice forma), e "haec immatura a me jam frustra legunturoy ", cioé,
"Cynthiae figuras aemulatur mater amorum" (si tratta delle fasi di Venere, simili a quelle lunari, che
testimoniano del moto di questo pianeta attorno al Sole).
C'è, infine, da osservare che, nel prosieguo della sua opera, Galileo non tenne mai conto delle scoperte
kepleriane, in particolare della forma ellittica delle orbite planetarie, ma che, probabilmente per motivi
connessi alla situazione della fisica agli inizi dell'Era Moderna, rimase fino alla fine fedele ai circoli
copernicani.
Galileo, in definitiva, contribuì al trionfo del copernicanesimo sia dal punto di vista teorico che
sperimentale.
Possiamo riassumere il suo contributo principale in quattro punti:
20
a) col principio di inerzia e con l’introduzione in modo definitivo della composizione e la
relatività dei movimenti
b) con l’invenzione del cannocchiale;
c) con l’osservazione sperimentale dei Pianeti Medicei e delle fasi di Venere;
d) con la sua strenua opera di propaganda e divulgazione.
Il principio di inerzia come lo conosciamo noi è stato formulato da Cartesio. Galileo credeva che il
principio si applicasse anche al moto circolare. Come conseguenza il moto dei pianeti non
abbisognava più di giustificazioni.
In più, con il principio di composizione dei movimenti, mostrò che il moto della Terra (conseguenza
inevitabile di ogni sistema eliocentrico) era conciliabile con le evidenze sperimentali del moto dei
corpi sulla sua superficie, eliminando così una grave obiezione al modello copernicano.
Galileo era figlio di un musicista e lui stesso suonava strumenti a corda, aveva familiarità con
strumenti, corde elastiche e lavoro manuale, per cui aveva poche inibizioni per il lavoro con le mani.
Infatti iniziò a sperimentare per controllare le proprie idee. I tempi erano in qualche modo maturati e
c’erano minori pregiudizi sociali per il lavoro manuale; questo permise di dare una certa credibilità al
lavoro di Galileo.
In Olanda, qualche tempo prima di Galileo, venivano costruiti rudimentali cannocchiali con piccoli
ingrandimenti. Egli ne ebbe notizia, ne costruì un esemplare migliorandone di molto l’ingrandimento,
lo puntò verso il cielo iniziando una serie di scoperte eccezionali. La Luna non era affatto quel globo
perfetto ed etereo che pensava Aristotele ma, come la Terra, mostrava valli e montagne, di cui Galileo
calcolò l’altezza. Il Sole stesso cadde dal suo piedistallo di perfezione e di immutabilità: sulla sua
superficie apparivano macchie nebulose che si muovevano. La via Lattea, che era ritenuta un
fenomeno sublunare, col cannocchiale apparve risolta in miriadi di stelle.
La scoperta di quattro satelliti (nome dato da Keplero che significa “guardiani”) di Giove che Galileo
chiamò satelliti medicei fece perdere alla Terra il suo carattere di unicità e ne fece un pianeta per
nulla diverso da tutti gli altri. Questa osservazione, infatti, costituì la prima prova diretta che non
tutto gira intorno alla Terra, e che può esistere un “sistema planetario”, il sistema gioviano
appunto, indipendente dalla Terra.
Il secondo dato sperimentale inequivocabile è costituito dalle fasi di Venere. In particolare Galileo
osservò che Venere appare come un piccolo disco pieno per poi crescere di diametro e, giunto alla
massima distanza angolare dal Sole, al disco inizia a mancare qualcosa e il suo diametro continua a
crescere. Poi passa ad una forma di falce sottile (di un corrispondente cerchio di diametro massimo).
Quindi anche Venere ha le fasi come la Luna e come questa, quando si trova tra noi (Terra) e il Sole,
brilla pochissimo, mentre quando si trova al di là del Sole brilla tantissimo. Ma allora non è vero –
come vorrebbe l’Astrofisica tolemaica – che Venere gira attorno a noi in un’orbita più vicina rispetto a
quella del Sole. In questo caso, infatti, Venere non potrebbe mai trovarsi al di là del Sole ma sempre
tra noi e il Sole. Il punto cruciale è che, per essere dotato di “fasi”, un corpo celeste illuminato dal
Sole deve potersi trovare sia tra la Terra e il Sole (come vuole Tolomeo) sia oltre il Sole (in piena
contraddizione con Tolomeo). Se Venere ha le fasi, questo vuol dire che il pianeta deve girare attorno
al Sole. Dunque Sistema Tolemaico e Sistema Eliocentrico cessano di essere equivalenti da un punto
di vista sperimentale, la simmetria è rotta perché il primo viene falsificato! In figura A si può vedere come l'esistenza delle fasi di Venere
si accordi con il sistema di Copernico e come il cambiamento
di diametro apparente di Venere confermi la concezione di
un'orbita solare per il pianeta. In B si può vedere perché
questo fenomeno sarebbe impossibile nel sistema di Tolomeo.
Il centro dell'epiciclo dell'orbita di Venere si trova sempre
sulla linea retta che congiunge il centro della Terra a quello
del Sole e ruota attorno alla Terra in un anno, esattamente
come il Sole. In tali circostanze la serie completa delle fasi di
Venere non potrebbe mai essere osservata. Con la dinamica newtoniane il discorso si precisa
ulteriormente: considerando per semplicità il sistema
Sole-Terra come un sistema a due corpi dei quali uno ha massa molto maggiore del secondo tanto che
il centro di massa del sistema si trova dentro al Sole stesso, è fisicamente fondato pensare alla Terra
che gira attorno al Sole mentre questo sta viaggiando nell’Universo.
Ognuna di queste osservazioni fu una carta a favore del sistema copernicano; ma il maggior contributo
fornito dal cannocchiale fu la divulgazione e la volgarizzazione della questione astronomica,
operazione che fu completata dalle pubblicazioni di Galileo. Purtroppo questa divulgazione impedì
alla Chiesa di mantenere un atteggiamento neutrale e lo scontro fu inevitabile. Galileo stesso,
d’altronde, lo cercò sia per il suo carattere battagliero, sia perché riteneva necessario superare senza
compromessi lo scoglio delle difficoltà teologiche, sia infine perché contava sull’appoggio dei molti
amici che aveva tra l’alto clero. Sui suoi contestatori, che non erano certo profondi cultori della
matematica, le argomentazioni di Galileo non potevano avere la violenza di persuasione necessaria a
far superare reali e gravi preoccupazioni morali. Prove sperimentali dei moti della Terra non ne
esistevano; l’unica portata da Galileo, una teoria sulle maree, era in effetti sbagliata (la prima prova
sperimentale verrà data da Bradley un secolo più tardi).
Si arrivò così alla condanna delle teorie eliocentriche (1616) e di Galileo (1632), che rimase confinato
ad Arretri dopo aver promesso di non occuparsi più della questione copernicana.
22
Tuttavia proprio in quegli anni, e forse proprio per il forzato isolamento, diede alla teoria eliocentrica
il suo apporto più significativo sviluppando a fondo le questioni della dinamica descritte nei “Discorsi
intorno a due nuove scienze”.
Un contributo notevole fu dato anche da Cartesio (1596 – 1650) che, celebre come filosofo e
matematico, sostenne con la propria autorità l’eliocentrismo. Egli fu l’ideatore di una cosmologia che,
partendo da considerazioni filosofiche, giustificava il moto dei pianeti e della Terra intorno al Sole
con una complicata costruzione: il suo universo era immerso in un ipotetico fluido che, formando
enormi vortici, trascinava gli astri nel suo moto. Un vortice al cui centro era il Sole faceva ruotare i
pianeti intorno ad esso, un vortice più piccolo trascinava la Luna intorno alla Terra. La cosmologia di
Cartesio, che permetteva suggestive rappresentazioni grafiche, era sorretta dall’autorità scientifica del
suo autore e, pur essendo priva di qualsiasi conferma sperimentale, fu sostenuta a lungo, specialmente
in Francia e in Germania, anche da fisici e matematici illustri come Leibnitz.
2.6.3 La gravitazione universale
dello eliocentrico (anche se sarebbe Con Keplero e Galileo ormai il mo
meglio dire “elioeccentrico”) poteva dirsi affermato. Da un punto di vista
fisico rimanevano però irrisolte alcune fondamentali questioni che si
possono esprimere nelle domande seguenti:
qual è la forza che tiene legati i pianeti al Sole?
la presenza di alcun come fa questa forza ad agire a distanza senza
“agente mediatore”
se la Terra non è il centro dell’Universo, quale forza tiene i corpi
ande rispose Newton (nato nel 1642, anno della morte di Galileo) nella sua opera
nica, da lui enunciate per la prima volta in forma sistematica, Newton
ersale.
a
solare è animato da un’accelerazione centripeta ap che, nell’ipotesi semplificatrice di orbite circolari di
raggio RSP , è esprimibile con la relazione:
Isaac Newton (1642-1727)uniti a essa?
A queste dom
principale (Philosophiae naturalis principia matematica), pubblicata nel 1687. Il lavoro di Newton,
benché pubblicato molto più tardi, risale fondamentalmente al 1665-66 (a quell’epoca Newton aveva
22 anni), quando fu costretto ad abbandonare l’Università di Cambridge e a ritirarsi in campagna a
causa di una epidemia di peste.
Partendo dalle leggi della mecca
fu in grado di spiegare il moto dei pianeti e la gravità dei corpi sulla Terra per mezzo di un’unica
forza, la forza gravitazionale, applicabile a qualsiasi coppia di masse (terrestri o celesti).
Vediamo i passaggi logici che condussero Newton a formulare la legge di gravitazione univ
L’osservazione del moto dei pianeti aveva messo in evidenza che un generico pianeta P del sistem
SPSPp RT
Ra 2
22 4πω == (1)
Ovvero, tenendo conto della terza legge di Keplero: 2
24
SPP R
ka π= (2)
Poiché k ipende dal centro attrattore, il Sole s nel modo seguente: d nel no tro caso, la (2) andrà riscritta
2
24
SPRS
Pk
aπ
= , o anche: 2SPRS
PC
a = con (3)
Tenendo conto della seconda legge della dinamica, si potrà quindi affermare che sul pianeta P agisce
SS kC 24π=
una forza orientata verso il Sole espressa dalla relazione:
2PS mC
= (4) SP
PPSP RamF =
orza agente fra i corpi, mentre l’espressione
precedente comprende una costante che la, nella sua
deduzione egli fa intervenire il principio di azione e reazione. In base ad esso il pianeta deve
le esercita sul pianeta stesso.
con CS che dipende da una qualche proprietà del Sole.
Newton mirava però ad una espressione universale della f
è caratteristica del sistema solare. Per ottener
esercitare sul Sole una forza identica a quella che il So
Trattandosi dello stesso tipo di forza, essa dovrà avere la stessa struttura formale e lo stesso valore, sia
che la pensiamo esercitata dal Sole, sia che la pensiamo esercitata dal pianeta. Quindi, per ricavare
l’espressione della forza FPS che il pianeta esercita sul Sole, basterà considerare l’espressione della
forza FSP che il Sole esercita sul pianeta e scambiare i ruoli del Sole e del pianeta.
Inoltre dovremo introdurre la costante CP al posto della costante CS e la massa del Sole mS al posto
della massa mP del pianeta. Si ha quindi: 2PS
SPPS R
mCF = (5)
Le due forze espresse dalla (4) e dalla (5) devono essere uguali e perciò, ponendo:
PSSP FF =
e semplificando il termine comune 2PSR si tti SPPS mCmC = o ene: (6)
che si può anche esprimere come P
PS
mC
mC
= S
(7)
Lo stesso procedimento si può ripetere per tutti i pianeti del sistema solare e dunque si può concludere
lare, rapp rto fra la costa
massa mP ha sempre lo stesso valore, che coincide con il rapporto fra la costante solare e la massa
o risultato, si può allora supporre che:
affermando che:
per qualunque pianeta del sistema so il o nte CP relativa al pianeta P e la
del Sole.
A partire da quest
24
il rapporto tra la costante Cm di un generico centro attrattore e la sua massa m risulta uguale per
qualunque corpo considerato come centro dell’attrazione e rappresenta proprio la costante
universale cercata da Newton.
Si porrà allora: mmm PS
dove G indica una costante di gravitazione universale, valida cioè per qualunque coppia di masse
interagenti gravitazionalmente.
CCC mPS == (8)
Tornando alle forze FSP e FPS, possiamo ora sostituire la costante
S=Gm e CP=GmP, e ottenendo:
G =
universale G, ricordando che C S
22SPSP
SP RRPSPS mmGmCF == (9)
22PS
SP
PS
SPPS R
mmGR
mCF == (10)
Le due forze hanno ora un’espressione perfettam
ad arbitrari “centri attrattori”. Considerata da questo punto di vista, essa si prestava ad una
generalizzazione di portata straordinaria. Il su atti quello di
supporre che una forza del tipo espresso dalle (9) e (10) non valesse solo per i pianeti del sistema
ente identica, svincolata da particolari costanti riferite
ccessivo passo teorico di Newton fu inf
solare o per i satelliti del sistema gioviano, ma per qualsiasi coppia di corpi dell’Universo.
Egli giunse quindi ad enunciare la legge di gravitazione universale:
dati due corpi qualunque di massa m1 e m2, i cui centri di massa si trovano a distanza R, fra questi
due corpi viene esercitata una forza attrattiva data dalla formula:
221
RmmGF = (11)
La Forza Gravitazionale così come quella elettrostatica dipendono entrambe dall’inverso del quadrato
della distanza e sono dette forze central tta lungo la
ssa m1 si trova nell’origine e l’altro di massa
E’ importante notare che le forze gravitazionali tra due corpi costituiscono una coppia di
azione-reazione.
i. La parola centrale significa che la forza è dire
retta che congiunge i due corpi.
Se un corpo di ma
m2 si trova nel punto individuato dal vettore posizione rr di
modulo r e direzione pari a quella del versore r̂ , la forza che si
esercita su quest’ultima è data da:
rrmmGr
rmmGF rr
321
221 ˆ == (12)
Nell’applicare la (11) alla caduta dei gravi, Newton riscontrava es
come distanza corpo-Terra non la
atta la sua ipotesi solo se assumeva
distanza del corpo dalla superficie della Terra ma quella dal centro
x
y
z
rrm
m1
2
della Terra. Per dimostrare l’esattezza di questa scelta, Newton fu spinto a mettere a punto un nuovo
metodo di calcolo (il calcolo infinitesimale) per mezzo del quale trovò che la massa distribuita nel
che da essa, col calcolo matematico, si posson
La legge di gravitazione universale è stata c rvazioni
astronomiche. Due qualsiasi molecole sulla Terra, come anche due stelle qualsiasi in una lontana
isce
E’ per questo che sentiamo molto l’attrazione dei corpi a noi vicini, come la Terra, mentre non
avvertiamo affatto quella di oggetti magari molto più grandi ma anche molto più distanti come le
stelle.
volume di una sfera attira i corpi come se fosse tutta concentrata nel suo centro.
Originariamente Newton formulò la (11) come relazione di proporzionalità (F α m1m2/r2) perché non
era in grado di ricavare la costante di proporzionalità che solo Cavendish 71 anni dopo la morte di
Newton riuscì a determinare.
(a) Consideriamo un corpo situato all’esterno di una sfera omogenea. La risultante delle forze di attrazione che esercitano su di esso due particelle simmetriche all’interno della sfera è diretta verso il centro della sfera.
(b) A causa della simmetria della sfera e della distribuzione uniforme della sua massa, l’attrazione complessiva esercitata sul corpo da tutta la sfera è equivalente a quella di un’unica particella situata al centro della sfera e nella quale fosse concentrata tutta la massa della sfera.
A riprova della validità della sua legge di forza riferita al sistema solare, Newton riuscì a dimostrare
o ricavare le tre leggi di Keplero (paragrafo 2.6.8).
onfermata da innumerevoli esperimenti e osse
galassia, si attrarranno con la forza descritta da questa legge.
La forza di attrazione è tanto più grande quanto maggiori sono le masse dei corpi, mentre diminu
rapidamente se i corpi si allontanano.
Esercizio
La distanza media tra la Terra e la Luna è di 3,84 × 108 m. Supponi che i due corpi siano punti
materiali con tutta la loro massa concentrata nel loro centro. Calcola la forza gravitazionale che si
esercita tra Terra e Luna.
26
Strategia e risoluzione
• per trovare la forza di gravità dobbiamo procurarci i valori delle masse della Terra e della
Luna. Spesso tali valori sono riportati alla fine dei testi scolastici in tabelle riassuntive:
massa della Terra MT=5,98 × 1024 kg;
massa della Luna ML=7,35 × 1022 kg.
• Disponendo di queste informazioni possiamo calcolare: NR
MMGF LT 202 1099,1 ×== .
Discussione
Per il terzo principio della dinamica, il valore di F che abbiamo determinato è il modulo sia della forza
che la Terra esercita sulla Luna, sia della forza che la Luna esercita sulla Terra.
Compito assegnato
Calcolare la forza gravitazionale che si esercita tra la Terra e il Sole.
Esercizio
Calcoliamo la forza risultante agente sulla Luna dovuta alla forza di attrazione gravitazionale della
Terra, TFr
, e a quella del Sole SFr
. Assumiamo che le due forze agiscano ad angolo retto, come è
indicato nella figura (non in scala). Calcoliamo prima i moduli FT e FS delle due forze utilizzando
i valori delle masse presenti nelle tabelle allegate ai libri di testo.
Come distanza Terra – Luna utilizziamo il raggio medio dell’orbita
Lunare L rT = 3,84⋅10 m e come distanza Sole – Luna assumiamo lo 8
stesso valore della distanza media Sole – Terra rSL=1,50⋅10 m. 11
Abbiamo:
( )( )( )( )
N201098,1 ⋅=
mrF
TLT 282 1084,3
=⋅
==
kgkgkgNmMGM LT22242211 1034,71098,51067,6 ⋅⋅⋅ −−
( )( )( )( )
Nm
kgkgkgNmr
FSL
LS
20
211
22302211
2
1031,41050,1
1034,71098,11067,6
⋅=
=⋅
⋅⋅⋅=
−−
Luna
Te
MGM S=
Per trovare la forza totale agente sulla Luna dobbiamo poi sommare vettorialmente le due forze.
Poiché queste sono perpendicolari tra loro, possiamo ottenere il modulo della forza risultante
semplicemente applicando il teorema di Pitagora:
( ) ( ) NNNFFF STtot2022022022
1074,41031,41098,1 ⋅=⋅+⋅=+=rrr
Compito assegnato: calcolare l’angolo θ formato dalla forza risultante totFr
con la direzione SFr
.
Risposta: 24,7°
rra
Sole
TFr
θ
SFr
2.6.3.1 Qual è la natura della forza gravitazionale?
La legge di Newton consente sì di descrivere e prevedere il moto dei pianeti, ma lascia insoluto un
ab do anda:
e la forza gravitazionale? Si tratta di un’azione che si stabilisce “a distanza” tra i due
qualche “mediatore fisico”?
problema, tutt’altro che secondario a quell’epoca come oggi, sintetizz ile nella seguente m
perché si produc
corpi per il fatto stesso che questi esistono o richiede un
Qualcuno potrebbe obiettare che la Fisica deve occuparsi del “come” e non del “perché”, ma
l’intelligenza umana (compresa quella dei nostri alunni) non si accontenta di questi limiti e, d’altra
parte, più di una volta, la ricerca di questi “perché” ha fatto compiere passi avanti anche alla
comprensione dei “come”.
Newton si pose il problema in questione, anche se non fu in grado di venirne a capo. L’idea di una
forza “a distanza” sembrava troppo legata all’antico modo di spiegare i fenomeni ricorrendo a “forme
sostanziali” (come l’attrattività) o addirittura a “qualità occulte”. (Documento 2)
Oggi il quadro delle teorie scientifiche è molto più completo che all’epoca di Newton e siamo giunti
ad accettare l’idea che, ogni tipo di forza, e quindi anche quella gravitazionale, si sviluppa in virtù di
un “mediatore fisico” (chiamato campo) che si propaga con la velocità della luce e che è suscettibile
di misura.
2.6.4 La costante G
Come mai non si avverte la forza gravitazionale tra corpi posti sulla superficie terrestre?
Ciò dipende dal valore di G, il quale è così piccolo da rendere “poco visibile” la forza gravitazionale
a gli “oggetti terrestri” in quanto mascherati dall’attrito o dalla resistenza dell’aria.
atissima esperienza Hanry Cavendish riuscì, nel 1798, a mettere in evidenza, in
alcolando il
ancia di torsione,
appese al filo, l’attrazione provoca una torsione del filo e da
tr
Tuttavia con una delic
laboratorio, l’attrazione tra due sfere di piombo, confermando la teoria di Newton e c
valore di G.
Cavendish utilizzò per il suo esperimento la bil
uno strumento molto sensibile a forze di piccolissime intensità.
Quando due grandi masse vengono avvicinate alle sferette
questa torsione si può determinare il valore della forza.
2kg
le il valore di G è molto piccolo, ciò significa che l’attrazione
tra vita quotidiana è piccolissima.
2111067,6 mNG −×=
Nelle unità del Sistema Internaziona
gravitazionale tra gli oggetti della nos
Invece, l’attrazione tra questi oggetti e la Terra non è trascurabile perché la massa della Terra è molto
grande.
28
Nei circa duecento anni successivi, la misura di G è stata ripetuta
più volte con la medesima tecnica: il valore di G oggi accettato è
kgmN ⋅× − ovvero circa .
come costante di riferimento, la
con una precisione di circa o G mol iccolo e di
a
2211 /1067259,6 kgmNG ⋅×= − con una incertezza di
0008,0± 2211 /105 %013,0±
Rispetto ai risultati di altre costanti fisiche, questa precisione non è
eccezionale; per esempio, prima che il suo valore fosse preso
velocità della luce è stata misurata
10-8%. Essend to p
conseguenza molto piccola la forza esercitata fra i due oggetti
negli esperimenti di laboratorio, è difficile migliorare in modo
lore. sostanziale la precisione del suo v
Per renderci conto della difficoltà di un esperimento apparentemente semplice quale quello di
Cavendish, è interessante calcolare il valore della forza gravitazionale tra due sfere di 5 kg ciascuna i
cui centri distino di 10 cm: NRmmGF 71121 107,15510673,6 −− ⋅=22 10−
⋅⋅⋅==
Si tratta di una forza dell’ordine del decimilionesimo di N!
La grande intensità della forza gravitazionale esercitata dalla Terra su tutti i corpi vicini alla superficie
della gravitazione universale,
è dovuta alla sua grande massa. Questa può essere determinata, e lo proporremo più avanti, dalla legge
con il valore di G dato dall’esperimento di Cavendish.
Esempio 1
Al tempo di Newton il valore noto della massa della Terra era molto impreciso. In base ad esso venne
calcolata la costante universale di gravitazione G che pertanto risultava affetta da un errore piuttosto
rilevante. Dopo che l’esperienza di Cavendish ebbe fornito il valore di G attraverso l’attrazione di
masse facilmente misurabili, si poté calcolare con maggiore precisione la massa della Terra
Noto il valore di G, possiamo determinare indirettamente la massa della Terra. Lo stesso Cavendish,
quando misurò la costante di attrazione gravitazionale, battezzò il suo esperimento pesata della Terra.
Infatti, la forza con cui la Terra attrae un corpo di massa m posto sulla sua superficie è data dalla (11).
Di conseguenza l’accelerazione determinata dalla forza di attrazione gravitazionale sulla superficie
terrestre, cioè l’accelerazione di gravità g, ha la seguente espressione, in funzione della costante
universale di gravitazione e dei parametri (massa e raggio) della Terra:
2T
T
RMG
mFg == g
GgRM T
T
2
=
Sostituendo il valore dell’accelerazione di gravità (determinabile attraverso il periodo di oscillazione
di un pendolo semplice) e il raggio terrestre RT = 6,38 10 m, già misurato fin dal III secolo a.C. da ⋅ 6
Eratostene, si ottiene: ( )( ) kgkgNm
mmsMT24
2211
262
100,61067,6
1038,681,9⋅=
⋅⋅
= −−
−
Dividendo la massa M per il volume della Terra, si ricava la densità media della Terra: T
d=5,5⋅103kg/m3
Poiché la densità media della materia sulla crosta terrestre è minore del valore trovato, si deduce che
la Terra è costituita nell’interno da materia sità superiore a 5,5⋅103kg/m3. le avente una den
Esempio 2
Proponiamo ora ai ragazzi di calcolare la massa del Sole.
Nel biennio i ragazzi hanno studiato il moto circolare uniforme concludendo che in esso è presente
un’accelerazione sempre diretta verso il centro (accelerazione centripeta). Poi hanno considerato lo
stesso moto dal punto di vista dinamico: all’accelerazione centripeta deve corrispondere una forza
centripeta.
La forza centripeta che mantiene la Terra nella sua orbita si può quindi esprimere sia mediante la
relazione: TerraMrT
F rr 24π−= 2
ma anche mediante la: 2rMMGF TerraSoler
r=
dove T è il periodo di rivoluzione della Terra ed r il raggio medio dell’orbita terrestre. Si ricava:
( )KgM 30
333
1096,11049,1,39
⋅=⋅
== r 32 44 ⋅π
GTSole
11272 1067,61016,3 ⋅⋅⋅ −
Esercizio
Calcolare le forze gravitazionali tra due palle da bowling, ciascuna di massa 7,3 kg, i cui centri distano
0,65 m.
Usando l’equazione (11) si ha: ( )( )( )( )
NkgkgkgNmmmGF 92211
21 104,83,73,71067,6 −−−
⋅=⋅
== mr 22 65,0
2.6.4.1 Proiezione filmato del PSSC:
L’esperimento di Cavendish
L’uso di questo filmato che mostra la realizzazione
dell’esperimento di Cavendish, viene proposta
dall’ultima edizione del testo di Ugo Amaldi “La
fisica per i liceo scientifici”. I filmati del gruppo
Physical Science Study Committee (PSSC) sono
30
comunque utilizzabili anche senza l’adozione di questo testo.
Si propone un questionario di verifica dopo la visione del filmato per evitare un uso passivo di tale
ilmato: circa 6 minuti
ilmato – allegato 4
.6.5 Massa inerziale e massa gravitazionale
strumento.
Durata del f
Questionario di verifica visione f
2
la legge di gravitazione, si può vedere che in essa la
C SP
Riflettendo sul modo con il quale viene dedotta
massa di un pianeta assume il duplice ruolo di massa inerziale e di massa gravitazionale. Ci riferiamo
infatti al concetto di massa inerziale quando affermiamo che un pianeta di massa mPI, sotto l’azione di
una forza F assume una certa accelerazione centripeta a =wR , calcolabile con la relazione PIm
F ;
espressa dalla forza gravitazionale
parliamo invece di massa gravitazionale quando affermiamo che la forza che agisce su un pianeta è
2SP
PGSmMGF = . R
La possibilità di stabilire un’uguaglianza tra le due espressioni di F e di semplificare mPI con mPG
resistenza che
Che cos’ha in comune questa proprietà con il fatto di attrarre altri oggetti?
in nulla.
fatti potremmo benissimo immaginare un corpo facile da accelerare
equivale ad affermare l’identità delle due masse, o anche la costanza del loro rapporto.
La massa inerziale di un oggetto viene solitamente definita come una misura della
l’oggetto oppone quando si cerca di accelerarlo.
In linea di pr cipio
In ma che attrae intensamente gli
ltri corpi.
ppure un corpo difficile da accelerare
a
O , ma che attrae debolmente gli altri corpi.
ella legge della gravitazione di Newton dovrebbe quindi comparire una massa gravitazionale non
ecessariamente uguale a quella inerziale che misura la capacità di un corpo di attrarre gli altri corpi.
N
n
Ora se la massa inerziale e quella gravitazionale differiscono soltanto per un fattore di proporzionalità
forma della legge di Newton non cambia, cambia solo il valore numerico della costante G.
a validità della legge di Newton in questo senso può anche essere interpretata come la scoperta del
tto che la massa gravitazionale di un corpo e la sua massa inerziale sono sempre direttamente
Eötvös (1848-1919) dedicò diversi anni della sua carriera al controllo della
ietà con una precisione di una parte su 20.000.000. Ancora oggi si tratta di uno degli
natura per cui i due tipi di massa risultano
i crea spesso una certa confusione.
te
e c i
pri
ll come si potrebbe arguire dal fatto che tutti gli oggetti in
caduta libera hanno la stess
natura fisica).
Due esperimenti concettuali
Esperimento 1: applichiam
diversi A e B e determiniamo
Supponiamo di avere scelto e loro masse inerziali stiano nel rapporto 2:1, mB/mA =
2.00.
Esperimento 2: prendiamo i
ad oscillare; dall’accelerazione impartita al corpo C, determiniamo la forza esercitata su
C dai corpi A e B (separatamente) ad una distanza fissata dai centri.
la
L
fa
proporzionali tra loro. Questo è un fatto sperimentale.
Il fisico ungherese Loránd
proporzionalità tra massa inerziale e massa gravitazionale. Grazie ai suoi esperimenti, egli confermò
questa propr
esperimenti più accurati della storia della fisica.
Dal momento che la massa inerziale e quella gravitazionale sono sempre proporzionali tra loro, si può
scegliere per entrambe la stessa unità di misura, il kilogrammo. Ne consegue che il blocco platino –
iridio che si trova a Sèvres è, allo stesso tempo, l’unità di massa inerziale e l’unità di massa
gravitazionale.
E’ per questo che di solito si parla semplicemente della massa di un corpo,
senza specificare se si tratta di massa inerziale oppure gravitazionale.
Ma la stranezza del fatto di
sempre identici non è sfuggita ad Albert Einstein, che all’inizio del
ventesimo secolo, ne ha fatto la base per lo sviluppo della sua teoria della
relatività generale.
Tuttavia negli alunni s
Occorre insistere sul fatto che si tratta di due concetti distinti operativamen
urare con particolare attenzione le definizioni sperimentali di forza e massa che vengono introdotte ne
mi due anni.
e due “masse” –L’uguaglianza numerica de
a accelerazione – non implica la stessa uguaglianza operativa (la stessa
diversi potrebbero aiutare a comprendere la distinzione operativa:
o il “dinamometro” (già sviluppato operativamente) a due corpi sferici
la loro massa “inerziale” attraverso la misura delle accelerazioni impartite.
A e B in modo che l
corpi A e B e li portiamo (uno alla volta) vicini ad una delle sfere, corpo C,
all’estremo di una bilancia di Cavendish. Il corpo C viene accelerato dall’attrazione gravitazionale e la
bilancia inizia
32
Sperimentalmente si trova quindi che la forza esercitata da B su C è 2.00 volte quella esercitata da A su
C.
Mentre l’esperimento 1 si esegue misurando le accelerazioni impartite ai due corpi A e B dalla stessa
to 2, che
lare ordine in natura sia confermato sperimentalmente in tutte le circostanze, con tutti i corpi, ad
e un rapporto di forze esercitate su
calamita più pesante attiri anche con più forza degli oggetti di ferro.
forza, cioè confronta la proprietà a cui è stato dato il nome di “massa inerziale”, nell’esperimen
a priori non ha connessione con l’esperimento 1, si confrontano proprietà ed effetti completamente
diversi: cioè si considerano le forze a distanza (non di contatto) esercitate da A e B su un terzo corpo C.
È sorprendente che il rapporto numerico sia esattamente lo stesso in entrambe le esperienze che questo
partico
un grado altissimo di precisione, qualunque sia la loro composizione chimica, lo stato di aggregazione in
cui sono e il luogo in cui si trovano.
Per evidenziare questo comportamento si può puntualizzare che un’interazione completamente diversa
tra le sfere (per esempio interazione elettrostatica o magnetica) esibisc
C che non ha alcuna relazione con il rapporto delle masse inerziali di A e B. Per esempio non è detto che
una
E’ solo nell’interazione gravitazionale che i rapporti sono identici. Domanda
Hai a disposizione una pentola, un dinamometro e una copia del kilogrammo campione, che è anche
l’unità di misura della massa gravitazionale. Con il dinamometro misuri la forza con cui la Terra attira la
pentola e quella con cui la Terra attira il kilogrammo. Come puoi determinare, con questi dati, la massa
gravitazionale della pentola?
Verifica formativa – test di allenamento – vedi allegato 5
2.6.6. L’accelerazione di gravità g e la forza peso
Secondo Voltaire, fu osservando la caduta di una mela nel suo
giardino che Newton ebbe una intuizione rivoluzionaria rispetto
alla cultura dei suoi tempi: che cioè la forza peso altro non è se
cui la Terra attrae i corpi ad essa
circostanti, ed è dunque anche la stessa forza in virtù della quale –
gmP
non la forza gravitazionale con
ad esempio – la Luna orbita intorno alla Terra.
La forza peso con cui un oggetto di massa m viene attratto alla
Terra può essere espressa come: rr
=
dove gr è detta accelerazione di gravità o, vedremo più avanti, il
vettore campo gravitazionale generato dalla Terra.
Il moto dei gravi in prossimità della s nella sezione
di cinematica. Ora è interessante far
distanza dalla superficie terrestre del m
Poiché la Terra può essere consider
l’accelerazione di gravità
uperficie terrestre viene affrontato precedentemente
calcolare agli studenti i limiti di applicabilità in funzione della
odello “accelerazione di gravità”costante”.
ata, in buona approssimazione, come dotata di simmetria sferica,
gr cui è so
dalla:
ttoposto un corpo in prossimità della sua superficie viene espresso
rr
MGg Terra ˆ2=
r (12)
dove r è la distanza del punto consid
In partic gio terrestre, otteniamo il valore
dell’accelerazione g0 di gravità sulla superficie della Terra pari a 9,81
m/s2.
Di solito è più com
erato dal centro della Terra.
olare, se consideriamo r =RT, rag
odo riferire la posizione del punto considerato alla
superficie terrestre ponendo:
hRr T +=
Pertanto la (12) diventa:
altezza
(km)
g
(m/s2)
( ) ( )2
2
022
2 ˆ
1
ˆhR
RgrhR
GMrhR
GMgT
TTerra
T
Terra
+=
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛+
=+
=r
Poiché il raggio terrestre è di 6,38 una
0 9,83
RTT
⎠⎝
⋅106 m, ad
n
l’accelerazione di gravità p
per alcune decine di metri, e in generale per tutte le
esperienze di laboratorio,
approssimazione costante.
km dal suolo g si riduce a 7 roporzionalmente, si riduce anche il peso.
Attraverso la (12) possiamo fornire alcuni valori di g a diverse altezze sopra la su ficie te
noti che, contrariamente alla sensazione di “assenza di gravità”, per un satellite in orbita all za di
400 km si trova g=8,7 m/s2, tipica di una navicella spaziale orbitante.
Vi sono inoltre ulteriori fattori correttivi da apportare al valore di g dovuti principalmente al fatto che:
5 9,81
10 9,80
50 9,68
100 9,53
400 (*) 8,70 altezza da Terra di 100 Km, g diminuisce soltanto di
circa 0,2 m/s2. Si compre de perciò il motivo per cui
er piccoli dislivelli ed anche
può ritenersi con ottima
Invece ad una quota di 1000
,3 m/s2 e p
35 700 (**) 0,225
380 000 (***) 0,0027 (*) altezza tipica di una navicella spaziale orbitante (**) altezza dei satelliti per telecomunicazioni (***) distanza della Luna
per rrestre. Si
’altez
La crosta terrestre non è uniforme
La Terra non è una sfera
La Terra ruota su sé stessa
Tali effetti incidono per una percentuale massima dello 0,6% sul valore d uindi bili
ai fini dello studio del moto dei corpi in prossimità della s
i g e sono q trascura
uperficie terrestre, ma molto importanti per
34
studiare effetti quali lo schiacciam nto dei poli, la presenz
oluz , di diversi problemi a
carattere ingegneristico (definizione di piani orizzontali per la distribuzione di idrocarburi,
rogettazione di reti idriche e di sedi per acceleratori di articelle, ecc…)
Quesiti alla classe:
e a di giacimenti nei sottosuoli, la definizione
e correzione delle posizioni dei satelliti geostazionari, ris
p p
ione, a scala locale
• Se la Terra avesse un raggio doppio di quello che ha in realtà, pur continuando ad avere la
stessa massa, quanto sarebbe il tuo peso?
• Quanto varierebbe il tuo peso se ti trovassi su una torre alta due volte il raggio della Terra?
2.6.6.1. Percorso didattico di laboratorio di fisica – indicazioni metodologiche
Il laboratorio è prezioso ed indispensabile per l’affronto di qualsiasi argomento di fisica. Un gruppo di
erso da quello di teoria e di esercizi. Tale strumento avrà lo
opo zioni delle esperienze di laboratorio, con osservazioni e riflessioni
avat
ede introduttive che le schede guida di laboratorio (allegati 6, 7 e 8)
esperienze di laboratorio che mirino ad analizzare diversi metodi per la determinazione del valore
costante dell’accelerazione di gravità g del luogo sono, a mio avviso, centrati ed efficaci a questo
punto dello sviluppo dei contenuti.
Secondo le indicazioni ricevute nel corso “Laboratorio di didattica della fisica” ritengo sia prezioso
l’utilizzo di un quaderno di laboratorio div
sc di raccogliere tutte le rela
ric e dall’esperienza diretta.
Le schede di laboratorio allegate riporteranno le indicazioni sia per l’esecuzione dell’esperienza che le
indicazioni per l’analisi dei dati e la stesura della relazioni. Gli studenti verranno guidati nel lavoro a
casa attraverso domande dirette e parti di affermazioni da completare.
Le esperienze di laboratorio verranno precedute dallo studio assegnato a casa di alcune parti teoriche
che si ritengono acquisite e seguite dallo svolgimento della relazione e di alcuni esercizi da svolgere
per gruppi.
Alleghiamo sia le sch
Obiettivi:
• Analizzare diversi metodi per la de inazione dell’accelerazione di gravità g term
matiche
Pre requisiti: • Calcolo ed attribuzione degli errori
un
endolo
• Costruzione di un grafico e di istogramma • Leggi del moto del p• Saper individuare la misura più
accurata di g tra quelle ottenute con vari metodi • Conoscere le caratteristiche del moto di caduta libera • Saper sfruttare il grafico tachimetrico e orario per dedurre informazioni cine
• Leggi del moto su un piano inclinato • Relazioni goniometriche nei triangoli rettangoli • Principi della dinamica
• Saper effettuare un’analisi statistica di misure ripetute
Esperienze di laboratorio:
a) analisi di un moto in caduta libera
b) analisi di un moto su un piano inclinato
c) analisi del moto di un pendolo
Vedi allegati 6-7-8: schede di laboratorio di fisica
2.6.7. Il moto dei satelliti
Proponiamo alla classe un esperimento ideale. Immaginiamo di avere,
e spara in
orizzontale. Supponiamo di poter aumentare la sua potenza di fuoco, in
modo che il proiettile esca con una velocità iniziale sempre più grande.
e no ci sia
iett incurvata.
la ve
uale a uello
errare d ent
supera i 7,9×103m/s (28500
di immettere in orbita attorno alla Terra un oggetto lanciato
Esaminia plicità, al solo caso di un’orbita circolare. Il satellite
viene portato da un razzo vettore nel punto P (figura a fianco) all’altezza h prefissata per l’orbita. La
traiettoria seguita dal razzo, dall ente curvata in modo che in P la
colare alla direzione della forza gravitazionale terrestre. In quel
momento il satellite viene abbando ’orbita di raggio
Abbiamo già analizzato il fatto che
circolare è data dalla forza grav
sulla cima di una montagna molto alta, un cannone ch
Supponiamo anche ch n l’aria.
oria è molto Nel primo tiro la tra
Poi, man mano che
l’incurv
locità iniziale aumenta,
amento diminuisce fino a che diventa ug
terrestre.
q della superficie
A questo punto il proiettile non riesce più ad att e ra in orbita. Ciò
accade, in assenza d’aria, quando la velocità
km/h).
Anche Newton prevedeva la possibilità
con velocità sufficientemente elevata.
mo il problema riducendolo, per sem
a terra al punto P, sarà opportunam
velocità vettoriale sia perpendi
nato con velocità v e prosegue per inerzia in un
R+h (essendo R il raggio terrestre).
la forza centripeta necessaria per mantenere il satellite sull’orbita
itazionale che agisce sul satellite in P. Pertanto si ha:
( )22
hRMmG
hRmv
+=
+
dove m e M sono le masse del satel
d ta velocità circolare o
prim ica. Supponendo un valore di h= 200 Km
lite e della Terra. Da questa equazione si può ricavare il valore
mere al satellite in P. Tale velocità vella velocità che occorre impri
a velocità astronom0 è chiama
P v
si ha:
h
Il disegno è tratto da “Il sistema del mondo” di Newton
36
( ) smhR
v /108,7102,037,6 60 ⋅=⋅+
=+
=
In questa formula non compare la massa del satellite, q
GM 1098,51067,6 32411 ⋅⋅⋅ −
uindi la velocità necessaria per restare in orbita
(R+h) dell’orbita: quanto più è grande la distanza dal centro
il punto P si trova nel vertice più vicino al fuoco occupato dal
centro della Terra.
la velocità supera
Nell’esempio in questione in cui h=200 km
lto p co da
realtà vi è una sola pos ed infi
pera uga.
’ interessante far notare ai ragazzi la corrispondenza tra questi casi e i valori delle eccentricità di tali
oniche.
uindi esistono infinite orbite ellittiche (delle quali un caso particolare è la circonferenza) e infinite
aiettorie iperboliche. Queste sono separate da una traiettoria particolare, quella parabolica
ccentricità pari a uno). Si tratta di un caso speciale in cui il proiettile arriverebbe a distanza infinita
dalla terra, ma vi giungerebbe con velocità nulla.
è la stessa sia che il satellite abbia massa grande sia che il satellite abbia massa piccola.
La velocità invece dipende dal raggio
della Terra, tanto più lento sarà il moto del satellite.
Se la velocità v impressa al satellite è minore o maggiore di v0 l’orbita seguita non è circolare ma
ellittica e il centro della Terra ne occupa uno dei fuochi.
v<v0 v=v0 v>v0
Nel primo caso il punto P si trova nel vertice dell’ellisse più
lontano dal fuoco occupato dal centro della Terra, nel terzo caso
P v
In entrambi i casi abbiamo una velocità limite. Nel primo caso, se la
velocità è minore di un valore minimo vmin, l’ellisse si restringe tanto
che il satellite incontra gli strati più densi dell’atmosfera e finisce per
disintegrarsi (linea tratteggiata). Nell’ultimo caso se
un valore massimo detto velocità di fuga vf, l’ellisse degenera in una
parabola e il satellite sfugge alla gravitazione terrestre.
vmin differisce mo o v0 e la velocità di fuga risulta vf= 40.000 km/h circa.
In sibile traiettoria parabolica nite traiettorie iperboliche una volta
su ta la velocità di f
E
c
Q
tr
(e
hv
v
h
0<e<1
e>1
e=1
Per calcolare la velocità di fuga, ovvero la minima velocità che un corpo deve possedere allontanarsi
per sempre da un pianeta occorre aspettare di aver definito sia il campo gravitazionale sia l’energia
potenziale gravitazionale.
2.6.7.1. Satelliti geostazionari
Immaginiamo di immettere un sate
piano dell’equatore facendolo ruota
Terra gira su se stessa, cioè da oves
Se stando all’equatore riuscissimo ad osservare con un
cannocchiale il satellite mentre percorre u
llite su un orbita circolare sul
re nello stesso senso in cui la
t verso est.
n’orbita bassa, lo
dremmo muoversi più lentamente.
Continuando ad aumentare il raggio
significa che per fare un giro intorno alla
terra impiega lo stesso tempo che occorre
Un satellite su questa orbita che si tro
f
terrestre si chiama geostazionario, c
fermo rispetto alla Terra.
L’orbita geostazionaria è la più amb
da chi lancia satelliti per le telecom municare
on un’ampia parte della superficie terrestre 24 ore su 24.
vedremmo sfrecciare sulla nostra testa a gran velocità.
Se invece il satellite fosse in un’orbita più
alta, lo ve
dell’orbita arriveremmo a un punto in cui il
satellite ci appare fermo nel cielo. Questo
alla Terra per ruotare su se stessa, cioè circa 24 ore.
va
icie
ioè
a circa 36.000 km dalla super
ita
unicazioni. Da quest’orbita, infatti, un satellite può co
c
38
2.6.8. La deduzione delle leggi di Keplero
Le tre leggi di Keplero sono state ricavate come leggi sp
come una conseguenza dei principi della dinamica e della
Prima legge di Keplero: si può dimostrare matematicamen
ancora posseduti dagli studenti oggetto di questo lavo
ui agisce la forza gravitazionale universale esercitata da un
molto più massivo (come
isse, una parabola o un’iperbole e che i pianeti che ritornano
enze come caso particolare).
uenza della conservazione del momento angolare, che vale
servazione dell’energia e afferma che durante il moto ellittico il prodotto
erimentali, ma possono essere ora comprese
legge di gravitazione universale.
te, con l’utilizzo di derivate ed integrali non
ro, che partendo dalla seconda legge della
dinamica e considerando un pianeta su c
corpo celeste il Sole) la traiettoria descritta dal pianeta può essere soltanto
una curva di secondo grado ovvero un’ell
verso il Sole percorrono ellissi (o circonfer
Seconda legge di Keplero: è una conseg
assieme alla legge di con
vettoriale vmR rr× non varia. Quindi quando il raggio vettore è grande la velocità sarà piccola e
viceversa.
La conservazione del momento angolare e dell’energia meccanica sono anche alla base della
spiegazione dell’effetto fionda utilizzato per accelerare e guidare alcuni satelliti come la sonda della
missione Cassini che, lanciata nel 2004, ha prima accelerato passando vicino a Venere poi ha
volteggiato attorno ad altri pianeti del sistema solare per poi dirigersi verso Saturno.
Terza legge di Keplero: è una conseguenza del fatto che nel moto del pianeta la forza gravitazionale
funge da forza centripeta. Nel moto circolare uniforme la velocità di percorrenza è data da: T
Rv π2= ,
dove T è il periodo ed R il raggio dell’orbita. Poiché abbiamo già ricavato la velocità di percorrenza di
un satellite possiamo porre:
RGM
TR=
π2 da cui si ottiene: 22
3
4πGM
TR
=
2.6.9. Il campo gravitazionale
Ma in che modo accade che un corpo esercita una forza a distanza su un altro corpo? Se consideriamo
i lunghi tratti presenti tra il Sole ed i pianeti del nostro Sistema Solare assieme al fatto che tra di essi
non vi è alcun mezzo materiale capace di trasmettere una qualche interazione, tale spiegazione risulta
ancora più misteriosa.
Superando tale difficoltà Einstein riuscì ad intuire che gli effetti di una accelerazione non si possono
distinguere da quelli della gravità: questa illuminazione diventerà il principio di equivalenza.
Ciò di fatto corrisponde a considerare uguali la massa inerziale del secondo principio della dinamica e
quella gravitazionale della relativa legge newtoniana.
In questo modo si ottiene 2R
MGa =
dove M è la massa accelerante, ad esempio quella di un pianeta rispetto ad un satellite.
Ne consegue che l’accelerazione di gravità non dipende dalla massa del corpo accelerato.
Einstein riuscì, in definitiva, a dimostrare che non è possibile riscontrare differenze nelle leggi fisiche
di un corpo fermo ed immerso in un corpo gravitazionale di uno che subisce una accelerazione di
uguale intensità (e verso opposto) fuori da un campo gravitazionale.
A titolo di esemplificazione, possiamo pensare che la condizione di un astronauta dentro ad una
astronave ferma sulla superficie terrestre è indistinguibile da quella di un secondo astronauta che nello
spazio viaggi con accelerazione costante di uguale intensità rispetto all’accelerazione gravitazionale
della terra (9,81m/s2).
Deve essere tuttavia precisato che la gravità può essere sostituita con una accelerazione solo su scala
locale.
Se consideriamo infatti degli astronauti dentro
una navicella in caduta libera, possiamo pensare
che gli effetti gravitazionali della Terra possano
essere completamente eliminati in tale sistema di
riferimento inerziale. In realtà gli astronauti
attraverso gli effetti di marea che esso produce.
Se essi sistemano una goccia di liquido al centro
della loro navicella, si rendeTerra
possono accorgersi del campo gravitazionale
ranno conto del fatto
che questa goccia non è perfettamente sferica, ma presenta due protuberanze. Una protuberanza è
diretta verso la Terra e l’altra nella direzione opposta: tale deviazione dalla forza sferica indica la
resenza di un campo gravitazionale. Tali protuberanze sono determinate dal fatto che il campo
: la parte della goccia più vicina alla Terra risente dell’attrazione
ri, non è altro che la deformazione di una “sfera cava d’acqua” (i mari e gli
vità con
goccia d’acqua
p
gravitazionale non è omogeneo
gravitazionale in misura maggiore rispetto all’altra parte. La forza che provoca le protuberanze viene
chiamata forza di marea.
L’effetto che quotidianamente noi osserviamo sulla Terra in caduta libera, che produce un’ampiezza
di marea fino a 2 met
oceani) del diametro di circa 12.760 km osservata con uno “sguardo da formica”.
Esiste tuttavia la possibilità di sostituire in un punto preciso di un campo gravitazionale la gra
un’accelerazione ma ciò può avvenire solo localmente a causa della natura vettoriale delle due
grandezze fisiche.
40
Questo dettaglio per nulla u e s perfluo avrebb potuto arrestare l’indagine di Einstein; egli, invece,
proprio a partire da questa proprietà gravitazionale dedusse il concetto più rivoluzionario della sua
ferto dalla
teoria, la curvatura dello spazio (tale curvatura riguarda in realtà anche il tempo).
Einstein dovette rendersi conto che il modello of
geometria non euclidea (nello specifico quella di Riemann),
nei confronti della quale era inizialmente scettico,
corrispondeva a ciò che stava alla base degli effetti
e proporzionale alla grandezza delle masse che accoglie.
spaziotemporale causata dalla massa di questa
uesto stato di cose viene descritto dicendo che la
resenza di un corpo crea nello spazio un campo
dell’attrazione gravitazionale.
Questa grandiosa intuizione portò a comprendere che i corpi massivi non sono realmente attirati gli
uni verso gli altri ma in tal senso si muovono poiché seguono la geometria dello spazio la cui
curvatura è direttament
La Terra, infatti, è legata gravitazionalmente al Sole poiché è costretta a seguire la curvatura
M3
. m P
gr
M1
M2
st
Q
p
ella.
gravitazionale.
ampo gravitazionale è un diverso modello, che è
ddisfacente perché permette di spiegare
l’interazione tra corpi lontani senza dovere
mmettere l’esistenza di una azione a distanza.
vo vettore, il vettore campo gravitazionale
Il c
so
a
Questa idea è resa quantitativa introducendo un nuo gr .
Per definirlo, supponiamo di avere una distribuzione qualunque di masse nello spazio (vedi figura) e
di volere descrivere l’azione gravitazionale di tale sistema fisico in un certo punto P, in cui non vi
sono masse. Per avere un dato quantitativo, dobbiamo mettere in P una piccola massa m, detta massa
di prova. La massa di prova deve essere così piccola da non modificare, con la sua attrazione
gravitazionale, il sistema che vogliamo studiare. In questo modo possiamo misurare la forza r
gravitazionale F che agisce su m posta in P. Ma la forza non è la grandezza adatta a
descrivere il campo gravitazionale, perché essa non dipende soltanto dal sistema
gravitazionale che r
Fr
campo gravitazionale g , in m
desideravamo studiare, ma anche da m. Allora definiamo il vettore
odo da eliminare l’effetto di m.
mFg
defr
r≡ 2r
MGg =
Dove M è la somma delle masse che generano il campo e r è la distanza del punto P dal centro di
massa del sistema. Quindi il modulo di g non dipende più da m e costituisce perciò la grandezza fisica
più corretta per descrivere il campo gravitazionale.
Tali considerazioni non devono semb
considerate nelle loro implicazioni e n
l’esistenza di un’azione a distanza signif
all’istante anche la forza esercitata sul
Invece il campo in un punto P varia a istantaneamente: rispetto allo
to esperimento non è
gravitazionale coincide con la velocità della luce nel
l
rare agli studenti semplici speculazioni e vanno perciò
on esposte in maniera forzatamente succinta. Affermare
ica che se la sorgente di tale azione (la massa) scomparisse
le masse circostanti dovrebbe istantaneamente scomparire.
l passare del tempo, ma non
spostamento della massa sorgente in un punto O c’è sempre un ritardo proporzionale alla distanza tra
O e P. Se ne deduce che c’è qualcosa che impiega del tempo per propagarsi tra O e P; questa «cosa» è
la variazione del campo gravitazionale. Nel caso del campo gravitazionale ques
ancora stato compiuto, ma vi sono argomentazioni indirette che portano a ritenere che il risultato è
proprio questo.
La velocità di propagazione della perturbazione
vuoto: c=300 000 Km/s, di modo che il ritardo ne la variazione di campo è
cr
= t∆
Diversi gruppi di ricercatori stann ercando di ri
campo gravit nale generate plosioni di s
gravitazionale (cioè l’informazione del fatto che il
esplosa) non giunge sulla Terra nell’istante dell’e erra
levare le onde gravitazionali, cioè le variazioni del
upernove. Secondo la relatività di Einstein, l’onda
campo gravitazionale è cambiato, perché la stella è
splosione, ma con un ritardo pari alla distanza T
o c
azio da es
– supernova divisa per la velocità della luce nel vuoto.
2.6.9.1. Uscita didattica - Progetto Virgo Nel comune di Cascina, a pochi chilometri da Pisa, è stata costruita in un arco di circa dieci anni la più
grande antenna gravitazionale d’Europa. Si tratta di un rivelatore interferometrico progettato e
costruito dall’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare e dal centro Nazionale per la Ricerca Scientifica
Francese e gestito come infrastrutture, sostegno tecnico e personale dal Consorzio EGO (European
Gravitational O rv tory). nna Virgo è costituita di due bracci lunghi 3 chilometri e posti
perpendicolarmente. Con una logica simile a quella utilizzata dall’esperimento di Michelson Morley il
progetto ha lo scopo principale di raccogliere informazioni più dettagliate sulle origini dell’universo.
bse a L’ante
42
2.6.10. L’energia potenziale della forza peso e l’energia potenziale gravitazionale
Un corpo situato ad un’altezza h dal suolo è in grado di compiere lavoro. Infatti quando il corpo cade
la forza peso P=mg si sposta nella propria direzione di un tratto h, fornendo un lavoro L=Ph. Diciamo
allora che un corpo situato ad altezza h dal suolo possiede, rispetto al suolo, energia potenziale U,
definita dalla relazione:
mghPhU ==
Un corpo che possiede tale energia, spostandosi da A a B (vedi figura), compie sempre il lavoro
L=mgh, qualunque sia il percorso seguito.
yy
x
b
C B
A
h
Supponiamo per esempio che il corpo segua il percorso incl
ma essendo AB cosb=h, risulta L=mgh. Se invece il corpo,
nel tratto CB non compie alcun lavoro perché forza-peso e s
è compiuto solo nel tratto AC e, come nel caso precedente, è
o ora un caso più generale.
ngo un percors
lavoro fatto dalla forza peso è sempre
L=mgh
In definitiva il lavoro fatto dalla forza peso non dipende dal
dei punti di partenza e di arrivo. Conseguenza di ciò è che i
percorso chiuso è sempre nullo. Tutte le forze per cui si può
Analizziam
Supponiamo che il corpo scenda da A a B lu
al percorso curvilineo una spezzata fatta di tratti orizzontali
forza peso non compie lavoro; il lavoro fatto lungo la spezza
lngo i Dy. Essendo SDy=h, il lavoro sarà: L=Ph. Possiam
sempre più piccole fino a che la spezzata non sia più distin
questo caso il lavoro fatto lungo la spezzata L=Ph si identific
Possiamo quindi affermare che, qualunque sia il percorso ch
A
h
B
inato AB
per por
postame
L=mgh
o qualsia
percors
l lavoro
fare qu
e vertica
ta si rid
o pensa
guibile
a con il
e il corp
x
; il lavoro sarà: βcosmgABL = ,
tarsi in B, segue il percorso ACB,
nto sono perpendicolari; il lavoro
.
si. Possiamo pensare di sostituire
l
o seguito ma solo dalla posizione
fatto da un forza simile lungo un
esta affermazione si dicono forze
li; in tutti i tratti Dx orizzontali la
uce dunque alla somma dei lavori
re di fare suddivisioni Dx e Dy
sperimentalmente dalla curva. In
lavoro fatto lungo la linea curva.
o compie per passare da A a B, i
conservative. Tali sono, ad esempio, oltre alla forza gravitazionale, le forze elastiche e le forze
do riferirsi al tavolo del laboratorio, al pavimento del laboratorio ecc.
Cambiando il piano di riferimento, il valore dell’energia potenziale varia, ma questo non comporta
a qual è l’energia potenziale di due masse puntiformi m e M, poste a distanza r tra loro, che quindi
attra la forza di Newt energia potenziale
ravitazionale?
ino ad ora abbia lo il caso di una massa posta in ità della Terra, supponendo
he le distanze fossero talmente piccole, nei conf
ostante la forza di gravità.
na tale approssimazione, utile n bito delle piccole dimensioni, si rivelerebbe intollerabile già
ei riguardi delle traiettorie dei satelliti artificiali terrestri, e risulterebbe addirittura assurda in campo
stronomico, ad esempio nell’ambito del Sistema Solare.
elettrostatiche. Il campo che si genera si chiama anch’esso conservativo.
Per introdurre l’energia potenziale della forza peso abbiamo preso come livello base il suolo e riferito
ad esso l’altezza h. Pur essendo il riferimento più spontaneo, il suolo non è l’unico possibile, anzi
spesso torna più como
alcun inconveniente perché ciò che interessa è la variazione di energia e questa non cambia se si
sceglie un riferimento o un altro.
M
si ggono con on, ovvero cosa possiamo dire sull’
g
F mo considerato so prossim
c ronti del raggio terrestre, da poter considerare
c
U ell’am
n
a
Pertanto, nello studio dei fenomeni astronomici occorre tener presente che la forza di gravità non si
mantiene costante, ma varia con la distanza secondo la legge: 2rMmGF =
E’ necessario quindi che i ragazzi riprendano la definizione generale di energia potenziale già studiata
negli anni precedenti.
Se un oggetto passa da un punto A ad un punto B sotto l’azione di una forza F , definiamo la
differenza di energia potenziale BAAB UUU
r
−=∆ uguale al lavoro fatto dalla forza Fr
nel passaggio
da A a B:
AB
def
AB WU ≡∆
Una volta scelta una condizione di zero ( in modo che in un punto R si abbia 0=RU , si chiama
energia potenziale in A il valore della differenza di energia potenziale tra A e la situazione di
UUUU
riferimento:
ARU∆ AARA =−=−= 0
Nel caso della forza di Newton, il lavoro fatto d za quando la massa m viene spostata da A a B a tale for
mentre l’altra massa M rimane fissa vale:
ABABAB r
mMGr
mMGrFW −=∆⋅=rr
44
dove rA e rB sono le distanze da M dei punti A e B.
Occorre precisare che il lavoro non è semplicemente dato dal prodotto della forza per lo spostamento:
si deve tener presente, infatti, che la forza di gravità aumenta man mano che diminuisce la distanza.
Pertanto il valore della forza da prendere in considerazione è quello medio relativo allo spostamento.
A questo proposito è utile un approfondimento matematico che dimostri la relazione sopra scritta
(vedi allegato 9: il lavoro della forza di Newton)
Quindi la differenza di energia potenziale sarà:
ABBA rr
Questa relazione è soddisfatta se definiamo l’energia potenziale per due masse m e M, poste alla
distanza r con la f
mMGmMGUU −=−
ormula: ( ) kr
mMGrU +−=
buiamo il livello zero di energia potenziale alla configurazione nella quale
a un punto L, posto così lontano da essa da poter porre U =0. In questo caso l’energia potenziale nel
vicella da B a L:
La costante arbitraria k è conseguenza del fatto che possiamo scegliere liberamente la posizione di
zero. Se scegliamo k=0 attri
le due masse m e M si trovano a distanza infinita.
Ai ragazzi risulta sicuramente difficile operare con una energia negativa. Cerchiamo quindi di
familiarizzare con un esempio.
Immaginiamo di voler spostare una navicella spaziale che si trova in un punto B vicino alla Terra fino
L
punto B è esattamente pari al lavoro necessario per portare la na
BLB WU =
Nel tragitto da B a L la forza di Newton è un vettore rivolto verso la Terra, mentre lo spostamento è
sistema Terra+n
cui agisce la forza peso, aumentiamo l’energia potenziale del sistema Terra+oggetto,
passando da un valore negativo a un altro valore “meno negativo”.
Facciamo notare ai ragazzi che, nell’esempio appena descritto, è il lavoro fatto dalla forza di gravità
che il Sistema Solare sia composto solamente dalla Terra e dal Sole rispondere ai
seguenti quesiti:
per sganciare la Terra dal Sistema Solare?
rivolto in verso opposto. Ecco perché il lavoro risulta negativo e, di conseguenza, risulta negativa
anche l’energia potenziale del avicella. D’altronde anche quando solleviamo un
oggetto su
ad essere negativo. Il nostro lavoro, fatto per allontanare la navicella, è ovviamente positivo.
Compito per casa:
Immaginando
• qual è l’energia potenziale gravitazionale del Sistema Terra – Sole?
• quale lavoro è necessario compiere
2.6.11. La forza di gravità e la conservazione dell’energia meccanica
Consideriamo un corpo che cade liberamente; se v1 e v2 sono le sue
velocità nei punti 1 e 2 rispettivamente, in tali punti il corpo possiede
energie cinetiche 21 mvK = e 11 221 mvK = , ed essendo v >v , sarà 22 2
2 1
K2>K1. Nel tratto h1-h2, compreso tra i punti 1 e 2, la forza peso
eorema dell’energia
cinetica (L=DK) si ha pertanto:
compie lavoro L=P(h1-h2). Applicando il t
21221 22
2 11 mvmvPhPh −=−
Ma Ph e Ph sono rispettivamente U1 e U2, cioè le energie potenziali del corpo nei punti 1 e 2. Si ha 1 2
allora:
1221 KKUU −=− , ovvero 2211 KUKU +=+
Che rappresenta l’espressione del teorema di conservazione dell’energia meccanica: in campo
conservativo la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale è costante.
i in cui le forze non conservative sono assenti oppure trascurabili.
costante. Siccome l’energia
orbita)
etica ad aumentare.
l’energia totale del sistema è dato dalla somma dell’energia cinetica (positiva)
Gli studenti riscontreranno nel loro corso di studi la fondamentale importanza di questo principio per
la soluzione di tutti quei problem
Le leggi di conservazione della quantità di moto e dell’energia meccanica spiegano perché un satellite
su un’orbita circolare si
muove a velocità scalare
potenziale non varia,
restando costante l’altezza
dal suolo, non varia
nemmeno l’energia
cinetica.
Invece, su un’orbita ellittica il satellite si muove tanto più velocemente quanto più si trova vicino alla
Terra. La diminuzione dell’energia potenziale (causata dalla diminuzione dell’altezza dell’
obbliga l’energia cin
Quando si considera un solo satellite di una stella tanto grande da poter considerare il suo centro fisso,
2
21 mvK = del satellite
e dell’energia potenziale (negativa) r
GmMU −= . Il satellite percorre un’orbita ellittica soltanto se la
somma K+U, che è l’energia totale, è negativa. In questo caso vale la prima legge di Keplero, perché
1
2h1
h2
U+K=costante U costante K costante
U min K max
U max K min
46
il satellite ripercorre sempre la stessa orbita ellittica ed è legato gravitazionalmente al corpo attorno a
nelle vicinanze di un pianeta
potenziale del sistema proietti
e l’energia totale del sistema
otenziale negativa) è uguale a
necessaria ad allontanarsi indefinitamente dal pianeta. In questo caso
esso descrive una traiettoria parabolica. Se la velocità del proiettile è maggiore (cioè se la sua energia
totale è positiva) la traiettoria seguita sarà iperbolica.
cui orbita.
Consideriamo ora nuovamente
sono a distanza infinita. S
(energia cinetica positiva e p
zero, esso ha la minima velocità
un proiettile che si trova
e poniamo lo zero dell’energia
le – pianeta quando questi
K<|U|
K>|U|
K=|U|
2.6.11.1. La velocità di fuga e il raggio di Schwarzschild
Cerchiamo ora di individuare la velocità di fuga di un proiettile, ovvero la minima velocità che, se
posseduta da un corpo, gli permette di sot r zione gravitazionale di un altro corpo come un
ere per giungere a
tra si all’attra
pianeta e di riuscire ad allontanarsi per sempre da esso senza mai più ricadervi.
Ciò che stiamo cercando è quindi la minima velocità che il proiettile deve possed
distanza infinita dal pianeta con velocità nulla. Utilizzando la legge di conservazione dell’energia
meccanica e considerando la situazione energetica nell’istante di lancio e nell’istante finale si ha:
2211 UKUK +=+
RGMv 2
= 021 2 − =
RmM Gmv
Quindi la velocità di fuga dip
massa del proiettile.
Considerando le trasformazio
possiamo riflettere sul fatto ch
stesse concentrando tutta la loro mass
da un tale
ende solo dalla massa del pianeta e dal suo raggio e non dipende dalla
n subiscono le stelle nell’ultimo periodo della loro evoluzione
tende ad esaurirsi, esse collassato su se
a in un raggio ridottissimo. In tale situazione la velocità di fuga
corpo celeste aumenta vertiginosamente e poiché secondo la teoria della relatività nessuna
nale da cui nulla, neppure la luce, può sfuggire.
i che
e, quando il loro carburante
velocità può superare quella della luce nel vuoto (c=300.000 km/s), vi sarà un valore critico delle
dimensioni della stella, detto raggio di Schwarzschild, oltre il quale il corpo celeste si trasformerà in
un buco nero, ovvero un pozzo gravitazio
Esercizio 1:
Una palla di massa m= 0,50 kg viene lanciata verticalmente verso l’alto con una velocità di 10 m/s
(trascuriamo l’attrito dell’aria). Scegliamo come sistema quello formato da palla + campo
gravitazionale; l’energia complessiva iniziale è:
JKU 2510050,021000 =⋅⋅+=+
hl
A
B
C
a
Durante la salita l’energia cinetica diminuisce a favore dell’energia potenziale fino a quando, al
massimo della traiettoria, l’energia cinetica si riduce a zero; per un attimo la palla è ferma prima di
invertire il moto e in quell’istante tutta l’energia, 25 J, è sotto forma di energia potenziale. Possiamo
così calcolare l’altezza massima raggiunta:
00 KUKU hh +=+
Jmgh 250 =+
mh 1,58,950,0
25=
⋅=
E’ importante far riconoscere ai ragazzi che quanto detto per l’energia potenziale gravitazionale può
essere riferito anche all’energia potenziale elastica, essendo anche la forza elastica una forza
conservativa.
Esercizio 2:
Il dispositivo illustrato in figura contiene una molla avente costante elastica k=100 N/m. Si fa scattare
la molla dopo averla compressa di 3,0 cm. Calcolare con quale velocità la pallina di massa m= 10g
raggiunge la sommità del piano inclinato (l= 70 cm; a= 20°). Trascurare gli attriti.
L’energia potenziale della molla è: Jkx 242 11 −− ⋅=⋅⋅⋅= 105,410910022
Tale energia viene trasmessa alla pallina sotto forma di energia cinetica e rappresenta l’energia totale
della pallina in A.
Quando la pallina giunge nel punto B, la sua energia è in parte cinetica, in parte potenziale. Poiché
quando agiscono solo forze conservative l’energia meccanica si conserva, si ha:
BBAA KUKU +=+
mghmvB +=⋅+ − 22
21105,40
Calcoliamo l’altezza h del triangolo BCA:
mlsenh 239,0342,070,0 =⋅== α
Sostituendo: 239,08,9101021105,4 2222 ⋅⋅+⋅⋅=⋅ −−− v B
( ) smvB /1,223,25,4 =⋅−=
48
Esercizio 3:
Un pendolo di lunghezza h=1,50 m viene lasciato libero nella posizione A e scende percorrendo un
arco di circonferenza. Calcolare la velocità della sfera quando passa per B e il rapporto tra peso della
sfera e tensione del filo nel medesimo istante.
Applichiamo la conservazione dell’energia meccanica:
2
2100 Bmvmgl +=+
Osserviamo che non è necessario conoscere la massa della sfera
perché, apparendo in ambedue i membri della relazione, viene
eliminata.
Scegliamo come livello di riferimento per il calcolo dell’energia
A
h
B
potenziale il livello del punto B così che quando la sfera si trova in A la sua altezza h rispetto a B è
pari alla lunghezza l del filo:
smglvB /42,550,18,922 =⋅⋅==
Occorre far notare ai ragazzi che la velocità glv 2= è la velocità finale di un corpo che parte da
fermo percorrendo lo spazio s=l con accelerazione costante g. La velocità vB è quindi la velocità che il
corpo avrebbe al livello B cadendo verticalmente dal livello A. Poiché nella formula scritta sopra non
appare alcun riferimento al percorso, possiamo affermare che tale velocità è quella che il corpo
raggiunge in B, qualunque sia la traiettoria seguita da A. Gli studenti saranno così portati a riflettere
sul concetto di campo conservativo appena studiato e noteranno che questo fatto ne è una diretta
conseguenza
La tensione T del filo deve essere uguale alla somma di due forze: la forza centripeta necessaria a far
compiere la traiettoria circolare (e questo anche in assenza di campo gravitazionale) e la forza che
equilibra il peso della sfera. Si ha pertanto:
mgmglglmmg
rvmT 322
=+=+=
E quindi si ha: 31
3==
mgmg
TP
Verifica sommativa – allegato 10
2.7. Conclusioni e riflessioni finali
he.
o ciplinari
coinvolte. Tuttavia risulta di notevole interesse in quanto, nel suo approccio soprattutto iniziale, si
presenta come esempio efficace di problema solubile. In esso, infatti, è possibile mostrare come una
teorizzazione di carattere generale (
applicata può risolvere un problema p
legge di gravitazione universale di Newton e quindi il moto dei pianeti. E’ possibile far ripercorrere
agli studenti, quasi come un esercizio,
in risposta a una situazione sperimentale, con dati noti: il classico
“problema”. In questo caso i dati sono la forma delle orbite secondo le leggi di Keplero.
me alla t
quella della Terra (circa 10 volte), e che quindi l’ipotesi che il baricentro
ette inoltre di affrontare questioni notevolmente complesse
(principio di equivalenza e sue implicazioni, curvatura di campo, ecc…) nonché contenuti già
affrontati in passato (energia potenziale, lavoro, conservazione dell’energia meccanica).
L’impostazione del progetto, fortemente improntata sulla ricostruzione storica delle vicende e dei
han o pe esso la scoperta del metodo scientifico, facilita negli alunni
d epistemologici tra logica matematica e logica filosofica.
questo modo il quadro formativo dell’alunno si completa e si stabilizza in un orizzonte più ampio e
assodato.
Il progetto qui proposto, anche se circoscritto in un arco temporale delimitato e destinato ad una
specifica classe liceale, deve necessariamente essere condiviso se non sviluppato attraverso un lavoro
di gruppo dei docenti delle discipline scientific
radicato in punti diversificati delle progettazioni disIl tema è molto ampio e soprattutt
le tre leggi della dinamica in questo caso) opportunamente
articolare, anche se estremamente importante: la deduzione della
il procedimento risolutivo.
Una volta date le leggi della di manica la deduzione della forza gravitazionale risulta dalla messa in
opera di un apparato teorico
L’applicazione della legge F=ma mostra, insie erza legge di Keplero, l’esistenza di una forza
inversamente proporzionale al quadrato della distanza. L’applicazione del principio di azione e
reazione alla forza che si esercita fra il Sole e un pianeta, porta alla formulazione definitiva della legge
di gravitazione universale, con l’introduzione di una costante universale G e quindi a una soluzione
completa del problema.
Infine un riesame del significato delle costanti kepleriane mostra come la massa del Sole sia
enormemente più grande di 5
del sistema solare sia praticamente coincidente con il Sole è corretta: risolvendo il problema del
sistema solare si ha così la vera giustificazione delle teorie copernicane.
Il successivo sviluppo degli contenuti perm
personaggi che n rm
l’individuazione di rapporti storici e
In
50
Allegato 1
Verifica di accertamento dei prerequisiti
1 Il principio di inerzia afferma che: A tutti i corpi tendono a rimanere fermi. B tutti i corpi tendono a opporsi al moto. C tutti i corpi si muovono di moto rettilineo uniforme se la forza totale agente su essi è nulla. D tutti i corpi si muovono di moto uniformemente accelerato se la forza totale agente su essi è nulla.
2 Un sistema di riferimento è detto inerziale quando in esso: A vale il principio di inerzia. B i corpi hanno inerzia. C non agiscono forze. D i corpi non subiscono accelerazioni.
3 Un aereo si sta muovendo con velocità costante; puoi affermare che:
si sposta con moto rettilineo uniforme, quando una forza costante inizia ad agire su
ocità istantanea.
o di questo tipo viene impiegato fuori dell’atmosfera terrestre: rimane fermo perché non c’è l’aria su cui esercitare una forza.
B rimane fermo perché nel vuoto non vale il principio di azione e reazione. C si muove in direzione opposta a quella dei gas emessi. D si muove nella stessa direzione dei gas emessi.
A sull’aereo non agisce alcuna forza. B le forze che agiscono sull’aereo hanno somma nulla. C sull’aereo agisce una forza totale non nulla. D sull’aereo non agiscono forze di attrito.
4 Su un carrello di massa 5 kg agisce una forza costante di 3 N. Sul carrello viene deposta una massa di 5 kg. Se la forza rimane costante, si può affermare che:
A la velocità del carrello si dimezza. B l’accelerazione del carrello si dimezza. C la velocità rimane costante ma cambia l’accelerazione. D la velocità cambia ma rimane costante l’accelerazione.
5 Un punto materialedi esso in direzione perpendicolare alla sua traiettoria. La direzione dell’accelerazione istantanea del punto è: A la stessa direzione della traiettoria. B la stessa direzione della velocità istantanea. C la stessa direzione della forza. D una direzione intermedia fra quella della forza e quella della vel
6 Due corpi A e B sono in interazione fra loro: A può accadere che A eserciti una forza su B ma che B non eserciti alcuna forza su A. B se A esercita una forza su B allora B esercita una forza su A avente la stessa intensità ma verso opposto. C se A esercita una forza su B allora B esercita una forza su A avente la stessa intensità e lo stesso verso. D se A esercita una forza su B allora B esercita una forza uguale su A solo se hanno la stessa massa inerziale.
7 I razzi vettori utilizzati per lanciare i satelliti per le telecomunicazioni sfruttano il principio di azione e reazione. I loro motori generano violente emissioni di gas in direzione opposta a quella del movimento. Se un razz A
8 lasciato cadere. Trascurando l’attrito dell’aria la sua velocità:
mpo. C aumenta in modo proporzionale al quadrato del tempo.
nale alla radice quadrata del tempo.
9 locità di 15 m/s. L’accelerazione che agisce su di ess opo i A in salita è nulla e in discesa è g. C in salita è g e in discesa è nulla.
o ha spinto.
0 ale d oni è vera? ssa grandezza fisica.
C Noti massa e peso di un corpo si può calcolare l’accelerazione di gravità. erso.
1
Un oggetto è A rimane costante. B aumenta in modo proporzionale al te
D aumenta in modo proporzio
Un oggetto di 4 kg è lanciato verso l’alto con una veo d l lancio:
è sempre g. B
D non si può calcolare perché non è nota la forza che l
1 Qu elle seguenti affermazi A Massa e peso sono la ste B Il peso è sempre maggiore della massa.
D Il rapporto fra peso e massa di un oggetto è costante in tutto l’Univ
1 Il periodo T di un pendolo di lunghezza l e massa m è: A T = 2�
B T = 2�
C T = 2� D T = 2�
1 Un pendolo è formato da una massa m appesa2 a una corda lunga l. Per costruire un pendolo con il er o do
B una massa qualsiasi e una corda lunga 4l.
3 ergia cinetica:
C raddoppia.
14 energia cinetica iniziale è uguale all’energia cinetica finale. la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale rimane costante.
15 Un corpo non è sottoposto a forze dissipative; se la sua energia cinetica diminuisce puoi concludere
p iod ppio bisogna usare: A una massa qualsiasi e una corda lunga 2l.
C una corda lunga l e una massa 2m. D una corda lunga 2l e una massa 2m.
1 Quando la velocità di un corpo si dimezza la sua l’en A si dimezza. B diviene un quarto.
D quadruplica.
Nel corso di un processo che coinvolge solo forze conservative: A l’B l’energia cinetica iniziale è uguale all’energia potenziale finale. C D la differenza fra l’energia cinetica e l’energia potenziale rimane costante.
che: A il lavoro aumenta della stessa quantità. B il lavoro diminuisce della stessa quantità. C la sua energia potenziale aumenta della stessa quantità. D la sua energia potenziale diminuisce della stessa quantità.
52
16 Quale delle seguenti affermazioni è vera? nde dalla sua energia potenziale iniziale.
n dipende dal riferimento scelto per
per calcolarla.
affermazioni è vera? zza vettoriale. è il prodotto della sua massa per il modulo della sua velocità.
termini della massa. cinetica.
tema si conserva separatamente.
orze esterne.
energia. o principio della dinamica. ndo e rzo principio della dinamica. nserva e dell’impulso.
Tem
Gri ia valu +0,5 punti
-0,3 punti
ta = 0 punti
A L’energia potenziale finale di un corpo dipeB La variazione di energia potenziale di un corpo nocalcolarla. C L’energia potenziale di un corpo non dipende dal riferimento sceltoD L’energia cinetica di un corpo è sempre maggiore della sua energia potenziale.
d17 Quale elle seguenti A La quantità di moto è una grandeB La quantità di moto di un oggettoC La quantità di moto è sempre diversa da zero perché è definita inD La quantità di moto di un corpo è sempre minore della sua energia
1 Quale delle seguenti affermazioni è vera? un sis
8 A La quantità di moto di ciascuna parte di B La quantità di moto totale di un sistema si conserva sempre.
f C La quantità di moto totale di un sistema si conserva quando sono assenti D La quantità di moto totale di un sistema si conserva quando sono assenti forze interne.
19 La leg e di cons az A della conservazione dell’
g erv ione della quantità di moto è una conseguenza:
B del prim C del seco del te
zion D della co
po di somministrazione: 50 minuti
gl di tazione : risposta corretta =
risposta errata =
risposta non indica
Sch
Sim
All to 2ega
eda 1- laboratorio di informatica:
ulazione con Cabri del moto retrogrado di Marte secondo lo schema tolemaico
Istruzioni
•
• n il pari al segmento
lora
sistema utilizzato prima per la Terra il pianeta Marte
u M)
Costruisci una semiretta che passa per i punti T ed M.
ento di lunghezza arbitraria ma più lungo di TM
cia
al punto M sull’epiciclo ed un
o mento al cen o dell pale o deferente.
• Riproduci la situazione notturna colorando lo sfondo di blu.
Osservazioni e domande:
• Perché è necessario costruire il segmento appartenente alla semiretta TM per riprodurre il moto
retrogrado di Marte?
• Quale relazione deve sussistere tra le velocità impresse nell’animazione multipla perché il
fenomeno si riproduca?
• Quali altri fattori geometrici incidono sul verificarsi di tale fenomeno?
• Traccia una circonferenza (deferente) di raggio arbitrario
Fissa all’estremo dello schermo un segmento di circa 1 cm
Co compasso traccia una circonferenza concentrica alla prima e di raggio
fissato
• Co tale circonferenza e nominala T (Terra)
• Fissa un punto sulla circonferenza principale o deferente
• Costruisci una seconda circonferenza centrata su tale punto e di raggio circa un quarto del
deferente e chiamala epiciclo
• Su tale epiciclo costruisci con lo stesso
(p nto
•
• Su tale semiretta traccia un segm
• Abilita l’estremo di tale segmento a rilas re una traccia.
• Con il comando animazione multipla imprimi un movimento
m vi tr ’epiciclo sulla circonferenza princi
54
Allegato 3
boratorio di informatica:
o di Marte secondo lo schema copernicano
Scheda 2 la
Simulazione con Cabri del moto retrograd
una circonferenza di raggio arbitrario
prima e di raggio pari al segmento
ra tale circonferenza e nominala S (Sole)
mpasso un’ulteriore circonferenza e nominala
ompasso il pianeta Marte
emiretta traccia un segmento di lunghezza arbitraria ma più lungo di TM
ia.
.
.
miretta TM per riprodurre il moto
trogrado di Marte?
sussistere tra le velocità impresse nell’animazione multipla perché il
eometrici incidono sul verificarsi di tale fenomeno?
Istruzioni
• Traccia
• Fissa all’estremo dello schermo un segmento di circa 1 cm
• Con il compasso traccia una circonferenza concentrica alla
fissato
• Colo
• Sulla circonferenza iniziale costruisci con il co
Terra.
• Traccia una seconda circonferenza concentrica alla prima, ma di raggio maggiore.
• Su di essa costruisci con il c
• Costruisci una semiretta che passa per i centri di Terra e Marte.
• Su tale s
• Abilita l’estremo di tale segmento a rilasciare una tracc
• Con il comando animazione multipla imprimi un movimento a Marte ed alla Terra
• Riproduci la situazione notturna colorando lo sfondo di blu
Osservazioni e domande:
• Perché è necessario costruire il segmento appartenente alla se
re
• Quale relazione deve
fenomeno si riproduca?
• Quali altri fattori g
• Quali sono le differenze qualitative che puoi osservare dalle due simulazioni?
Allegato 4
Questionario di verifica visione filmato PSSC: l’esperimento di Cavendish
mento del film?
citare la forza di rotazione
nco a fianco.
L’e ……………..…. tra
due
Si d e
mas estremamente
……………………………………….
Le scatole di sabbia sono spostate
del pendolo; la posizione di equilibrio del pendolo dopo lo spostamento risulta
…………………….
tatica
spostata
intensa
le
sensibile
gravitazionale
forza
rotazione
invariata
1. Quali tra le seguenti funzioni sono svolte da l nastro magnetico lungo e sottile
nell’esperi
far sì che il pendolo oscilli rapidamente
esercitare la forza di richiamo
sostenere il pendolo
eser
impedire lo smorzamento del moto
2. Completa il testo seguente scegliendo le parole corrette da inserire negli spazi vuoti
dall’ele
idros
sperimento del filmato mostra l’effetto d’attrazione ………
bottiglie d’acqua e due scatole di sabbia.
ev usare un pendolo di torsione molto …………………………..….. perché le debo
se in gioco sono piccole e la forza da misurare è
resistente
così da provocare la massima ………………..
a
sì, a patto che nelle due scatole ci siano masse di
sabbia diverse;
no, perché l’attrazione gravitazionale tra sabbia e
bottiglie è troppo piccola;
no, perché le forze di attrazione
gravitazionali sono uguali ed opposte.
1. Con le bottiglie d’acqua e le scatole
disposte come in questa sequenza, il pendolo
può ruotare?
no, perché non c’è un momento di torsione dovuto
56
lla forza gravitazionale;
2. La foto mostra un’astronauta che si muove in assenza di peso a bordo della
uazione potrebbe
dove manca la gravità;
tà costante;
tolta la pressione dell’aria;
caduta libera.
3. pazi vuoti le parole mancanti
L’a
Stazione spaziale internazionale in orbita attorno alla Terra. La stessa sit
verificarsi sulla superficie terrestre?
no, può accadere soltanto
sì, in un ascensore che si muove a veloci
sì, in un ambiente in cui è stata
sì, in un ascensore in
Completa il testo scrivendo negli s
ccelerazione di …………………….. sulla stazione spaziale è quali eguale a quella sulla superficie
terrestre, ma gli astronauti, così come la stazione stessa, sono in ……………………. caduta libera
verso la Terra: ecco perché hanno l’impressione dell’assenza di …………………..
Invece la …………………… corporea degli astronauti non cambia, che siano in orbita oppure a terra.
La staziona spaziale non cade al suolo grazie alla ………………. del suo moto orbitale.
Allegato 5
Verifica formativa – test di allenamento
La costante di gravitazione universale1. G si misura in:
etri al quadrato ;
rammi al quadrato;
mmi al quadrato;
kiligrammi al quadrato diso per newton.
. Con quale forza viene attratta la Terra da un sasso che ha massa pari a1 kilogrammo?
La bilancia di torsione
La bilancia a bracci eguali
La bilancia di Newton
La bilancia inerziale
4. Nella regione dello spazio prossima alla stella 70 Virginis, dove è stato individuato un
“sistema planetario non solare”, la costante di gravitazione G:
Ha valore molto minore che nel Sistema solare, data l’enorme distanza dalla
Terra;
Ha lo stesso valore che ha nel Sistema solare;
Ha valore molto minore che nel Sistema solare, data l’enorme distanza dal Sole;
Ha valore minore che nel Sistema solare, perché la stella lontana ha massa
minore di quella del Sole.
5. La legge di Newton delle gravitazione universale afferma che la forza di gravità tra due
corpi:
È uguale al rapporto tra il prodotto delle masse e la distanza elevata al quadrato;
È proporzionale al rapporto tra il prodotto delle masse e la distanza elevata al
quadrato;
È uguale al prodotto delle masse per la distanza elevata al quadrato;
È proporzionale al prodotto delle masse per la distanza elevata al quadrato.
Newton per kilogrammi al quadrato diviso m
Newton per metri al quadrato per kilog
Newton per metri al quadrato diviso kiliìogra
Metri al quadrato per
2
9,0 N
0,98 N
Con nessuna forza, è il sasso che viene attratto dalla Terra e non viceversa;
98 N
3. Quale strumento fu usato da Henry Cavendish per misurare la costante di gravitazione
universale G?
58
6. Se la Terra si spostasse all’improvviso su un’orbita dieci volte più lontana dal Sole
be aumentare la massa della Terra per lasciare invariata la
nterebbe
l’attrazione gravitazionale che la Luna esercita sulla Terra?
rebbe quattro volte più intensa
)
terebbe due volte più intensa
tellite artificiale lanciato dalla Terra si trova ad una distanza di 20 milioni di km
dal So n doppia di quella del primo, lanciato qualche mese più
tardi, s va di km dal Sole. L’attrazione gravitazionale del Sole
sul pri
di quella sul secondo satellite
llite
9. olla può essere usata in due modi per misurare la massa di un corpo:
a) amento;
b)
Quale tipo di mas
con entrambi i metodi
La massa gravitazionale con il primo e quella inerziale con il secondo
rispetto all’attuale, di quanto dovreb
forza gravitazionale tra Terra e Sole?
0,1 volte
0,01 volte
100 volte
10 volte
7. Se la massa della Luna all’improvviso raddoppiasse, di quanto aume
Divente
Resterebbe uguale a zero (infatti è la Terra ad attrarre la Luna, non viceversa
Diven
Diventerebbe due volte meno intensa
8. Un sa
le. U altro satellite, di massa
i tro a una distanza di 40 milioni
mo satellite è:
Due volte più debole
Quattro volte più debole di quella sul secondo satellite
Quattro volte più forte di quella sul secondo sate
Due volte più forte di quella sul secondo satellite
Una m
appendendo il corpo alla molla e misurandone l’allung
facendo oscillare il corpo attaccato alla molla e misurando il periodo di oscillazione
sa si misura con ciascuno dei due metodi?
La massa inerziale
La massa inerziale con il primo e quella gravitazionale con il secondo
La massa gravitazionale con entrambi i metodi
petto alla Terra alla stessa velocità con cui la Terra si
ve satellite
fermo mentre la Terra gli gira sotto
ruota con la stessa velocità con cui la Terra gira attorno al Sole
e e la Terra ruotano attorno all’asse terrestre con la stessa velocità
11. descritte dai pianeti sono:
el Sole
varia il rapporto tra:
del periodo di rivoluzione
della velocità di rivoluzione
14. ivoluzione si trovano a distanze
diverse dal Sole. Questo fatto consegue:
Dalla terza legge di Keplero
Dalla seconda legge di Keplero
Dalla prima legge di Keplero
Dal fatto che le orbite dei pianeti attorno al Sole sono circolari
10. L’orbita di un satellite attorno alla Terra appare geostazionaria quando:
Il satellite si muove ris
muo rispetto al
Il satellite è
Il satellite
Il satellit
angolare
La prima legge di Keplero afferma che le orbite
Ellissi con il Sole al centro
Ellissi con il Sole nei fuochi
Ellissi con il centro in uno dei fuochi d
Ellissi con il Sole in uno dei due fuochi
12. La seconda legge di Keplero afferma che il raggio vettore che collega il Sole ad un
pianeta:
Descrive archi di ellisse uguali in tempi uguali
Descrive archi di circonferenza uguali in tempi uguali
Spazza aree uguali in tempi uguali
Descrive angoli uguali in tempi uguali
13. La terza legge di Keplero afferma che da un pianeta all’altro non
Il quadrato del raggio dell’orbita e il cubo del periodo di rivoluzione
Il cubo del raggio dell’orbita e il quadrato
Il cubo del raggio dell’orbita e il quadrato
Il quadrato del raggio dell’orbita e il cubo della velocità di rivoluzione
Per un dato pianeta il perielio e l’afelio dell’orbita di r
60
15. La seconda legge di Keplero afferma che, mentre un pianeta compie la sua orbita
i tempo uguali.
Ne con ue c
con cui il pianeta percorre la sua orbita ellittica è costante
nte durante la sua orbita;
e più
ame
velocità dei pianeti è minore quando sono più vicini al Sole, e maggiore
quando sono più lontani dal Sole.
i uno stesso
corpo:
andezza fisica
uguali tra loro
orzionali tra loro
Sono grandezze fisiche che assumono sempre lo stesso valore
maggiore, come cambierà la sua velocità?
ellittica intorno al Sole, il suo raggio vettore spazza aree uguali in intervalli d
seg he:
La velocità scalare
La velocità di un pianeta aumenta progressivame
I pianeti si muovono più velocemente quando sono più vicini al Sole,
lent nte quando sono più lontani dal Sole;
La
16. L’esperienza mostra che la massa inerziale e la massa gravitazionale d
Sono in realtà la medesima gr
Sono grandezze fisiche sempre numericamente
Sono grandezze fisiche direttamente prop
17. Se un satellite in orbita circolare intorno alla Terra viene spostato in un’orbita di raggio
due volte
2 Diminuirà di un fattore
Aumenterà di un fattore 4
Diminuirà di un fattore 2
Aumenterà di un fattore 2
18. Come sono chiamati i corpi che sono difficilissimi da accelerare, ma esercitano una
19. Immaginiamo di avere due sassi identici, A e B, e supponiamo per assurdo che la massa
sa accadrà allora se lasciamo cadere simultaneamente
i due sassi?
identico
a caduta sarà un quarto di quella di B
L’accelerazione di A durante la caduta sarà il doppio rispetto a quella di B
attrazione gravitazionale piccolissima sugli atri corpi?
Non esistono corpi di questo tipo
Gravitanti
Inerti
Resistenti
gravitazionale del sasso A raddoppi mentre la sua massa inerziale resta invariata. Le proprietà
del sasso B invece non cambiano. Che co
Il moto dei due sassi ci apparirà
L’accelerazione di A durante l
L’accelerazione di A durante la caduta sarà la metà di quella di B
20 . Di quanto deve aumentare la velocità di un satellite, se il raggio della sua orbita si
riduce a un centesimo del suo valore iniziale, affinché il satellite possa rimanere in orbita
circola tor
della Terra svolge il ruolo di:
Tempo di som istr
Griglia di valu one = +0,5 punti
= -0,3 punti
a = 0 punti
re in no alla Terra?
Di 10 volte
Di 0,1 volte
Di 0,01 volte
Di 100 volte
21. Nei confronti di un satellite artificiale in orbita circolare intorno alla Terra, la forza di
gravità
Forza centripeta
Forza centrifuga
Forza vincolare
Forza di richiamo elastica
min azione: 60 minuti
tazi : risposta corretta
risposta errata
risposta non indicat
62
Allegato 6
SCHED
Parte i diare preventivamente a casa
A DI LABORATORIO 1 - ANALISI DI UN MOTO IN CADUTA LIBERA
ntroduttiva assegnata da stu
Il moto di un o ch moto naturale assai importante che capita spesso di vedere. Tuttavia
esso è rapido ial so di corpi compatti, che non è facile analizzarlo ad occhio senza
adeguati strum ne, per secoli è stato male interpretato e solo alla fine
del 1500 Gal Gal e la giusta descrizione di questo moto, basando la sua teoria su
precise giu i logiche e sperimentali. Egli arrivò innanzitutto a dimostrare che tutti i corpi, in
condizi de
contem Ciò che rende diverso il moto della neve che cade da
quello di un sasso è l a dell’attrito dell’aria. Galileo dimostrò inoltre che il moto di
caduta dei co un o e ne trovò le leggi. Cinquant’anni dopo la sua
morte Newton té p nte la teoria che Galileo aveva enunciato basandosi su prove
indirette.
L’accelerazione di caduta dei corpi, detta accelerazione di gravità, si indica con la lettera g. Il suo
alore varia da punto a punto della superficie terrestre, con la latitudine e con l’altezza sul livello del
a livello del mare è stato adottato come valore standard. Esso
alori g a diverse altezze a verse latitudini e al livello del mare
I
d
corp e cade è un
, spec mente nel ca
enti. Soprattutto per questa ragio
ileo ilei seppe dar
stificazion
oni i ali, qualunque sia il loro peso, abbandonati insieme alla stessa altezza, arrivano a terra
poraneamente con la stessa velocità.
a diversa influenz
rpi è moto uniformemente accelerat
po rovare direttame
v
mare. Il valore di g a 45° di latitudine e
è g=9,80665 m/s2.
V di latitudine 45° Valori di g a di
A livello del mare g=9,860 m/s2
A 1.000 metri g=9,803 m/s2
A 30.000 metri g=9,702 m/s2
A 5.000.000 metri g=2,92 m/s2
A 380.000.000 metri g=0,0027 m/s2
l moto di caduta di qualunque corpo, nel caso id
ell’aria sia trascurabile, si può esprimere median
gtv = ; 21s =
All’equatore g=9,780 m/s2
Alla latitudine 30° g=9,793 m/s2
Alla latitudine 45° g=9,807 m/s2
Alla latitudine 60° g=9,819 m/s2
Al polo g=9,832 m/s2
eale di caduta nel vuoto oppure quando la resistenza
te le formule del moto naturalmente accelerato:
2gt ; ghv 2=
Indicazioni per lo svolgimento dell’esperimento e per l’analisi dei dati.
chema dell’apparato:
S
Elenco del materiale
• Sferetta di acciaio
• Dispositivo di bloccaggio, dotato di sistema
di sgancio comandato tramite cavetto flessibile (Ds)
• Traguardo a sorgente di infrarossi (Si) e fotocellula (Fo)
• Cronometro al millesimo di secondo, con cavetti di collegamento per lo start e lo stop
(Cr)
• Alimentatore elettrico 220 volt per il cronometro
• Cordella metrica millimetrata
• Filo a piombo
Legenda
• Ds=s spostamento della sferetta, dal punto A al traguardo
• Dt=t tempo impiegato per lo spostamento prescelto
• g accelerazione di gravità, relativa al luogo del Laboratorio di Fisica ITI “Copernico”
Descrizione dell’esperienza
dapprima si e gue il montaggise o del di eve t ta, p i del
i condutt
spositivo che d rattenere la sferet o
traguardo e infine si collegano i cavett ori al cronometro;
si posiziona la eretta fra ………… sf ……… ………..; …………………………………………
si usa il filo a piombo che va posizionato a l pun A partire da to , si dispone il traguardo in modo
tale che …………………………………………………………………………………………………..;
si controlla che la sferetta, cadendo, ………………….………………………………………….;
si fissa una distanza da A fino al tracciato del raggio infrarosso (non visibile) e si registra in
tabella il percorso;
si sgancia la sferetta agendo sul cavetto flessibile, il che fa partire il cronometro che si arresta
quando la sferetta intercetta il raggio infrarosso a fine percorso; si registra in tabella il tempo
segnalato dal cronometro;
si ripete con altri valori del percorso.
pletare la tabella A con i dati ottenuti riportando gli errori assoluti e gli errori relativi.
Com
64
Tabella A
r( s/ t2)=Er( s)+2Er( t)
s ± Ea
r%)
t ± Ea
(Er%)
E
(E
s/ t2 ± Ea
(Er%)
m s m/s2
valore medio
Osservazioni e conclusioni
e cosa significa caduta libera? Perché lo è quella della sferetta?
…… ……………………………………..
…… …..
……………………………………………………………………………………………………..
a sferetta? Come si è dimostrato?
……
………………………………………………………………………………………………………..
……
……
3)
……
……
4) di gravità dipende dall’entità della massa che cade? Come lo si potrebbe
dim
……
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………..
1) Ch
………………………………………………………………………………………………………..
… …………………………………………………………
… ……………………………………………………………………………………………
…
2) Che traiettoria segue l
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
Di che moto vario si tratta? Che cosa lo conferma?
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
L’accelerazione
ostrare?
…………………………………………………………………………………………………..
…
5) Quali sono i valori dell’altitudine e della latitudine del luogo (Laboratorio di Fisica aula 11) in
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
6) Poiché la ve iziale è nulla si può calcolare ione caratteristica del
moto di caduta libera, detta accelerazione di gravità del luogo? (
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
7) Scrivere la legge oraria di questo moto e utilizzarla per calcolare il tempo di caduta libera da
una quota di 44,1 m:
cui si è realizzata l’esperienza?
locità in , come l’acceleraz
valutare anche l’Ea e l’Er)
21 2
tgs ∆=∆ gs∆t =∆ 2 ............................1,44 =∆ =∆st sec
ma orario con le misure di s (posizione) e t (istante di tempo) raccolte
in tabe
lo
g=∆ sm /..............................
8) Costruire il diagram
lla A; di che tipo di curva si tratta?
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
9) Scrivi la legge tachimetrica del moto e utilizzala per calcolare la velocità raggiunta al suo
da un corpo in caduta libera da 44,1 m e da 81 cm.
tv ∆⋅ smv /....................=∆ vs 1,44=∆ s 81,0∆ ==∆
o?
io,
U izz del corpo in caduta raggiunte alla fine dei
… …
………………………………………………………………………………………..
Poiché all’istante t=0 la velocità della sferetta vale zero, puoi costruire il diagramma tachimetric
Perché? (Lo si può costruire usando gli assi cartesiani predisposti per il diagramma orar
aggiungendo una seconda scala sullo stesso asse verticale).
til a il diagramma tachimetrico per “leggere” la velocità
percorsi indicati in tabella A.
………………………………………………………………………………………………………..
… ………………………………………………………………………………………………..
………………
66
Allegato 7
SCHEDA DI LABORATORIO 2 - ANALISI DI UN MOTO SU UN PIANO INCLINATO
te iPar ntroduttiva assegnata da studiare preventivamente a casa
ma
l mg
La forza che fa scendere il carrello sulla rotaia inclinata, per il secondo principio della dinamica, è
F=ma mentre la forza peso è P=mg.
Dalla similitudine de t
,
riangoli si ha che l:H=mg:ma, da cui possiamo ricavare g=(l/H)a.
uesta esperienza di laboratorio deve essere svolta successivamente ad una simile sul piano inclinato
nella quale saranno stati raggiunti gli obiettivi seguenti:
Il moto su no inclinato è u m uniformemente accelerato;
dalla lunghezza del piano ma solamente dalla quota H.
per l’analisi dei dati.
Q
un pia n oto
La velocità finale di un corpo che scende su un piano inclinato (con attrito trascurabile),
non dipende dalla sua massa né
Indicazioni per lo svolgimento dell’esperimento e
Schema dell’apparato:
H
Elenco del materiale
• Rotaia a cuscino d’aria, dotata di asta metrica con sensibilità 1mm/div e portata 2 m
• Dispositivo di sgancio ad elettromagnete, collegato elettricamente con il cronometro
• Cronometro elettronico digitale, sensibilità 1ms
• Un traguardo a fotocellula, collegato elettricamente con il cronometro e fissato alla struttura
della rotaia a cuscino d’aria
• Slitta con bandierina
• Blocchetti di legno di vari spessori (3,3cm; 2,0 cm; 3,7 cm)
• Cordella metrica sensibilità 1mm
Legenda
• Dh dislivello dal punto A di partenza al punto B di arrivo
Ds
Descrizione dell’esperienza
• Dt=t tempo impiegato per lo spostamento prescelto
• g accelerazione di gravità, relativa al luogo del Laboratorio di Fisica ITI “Copernico”
• lunghezza del percorso dal punto A al punto B
Con il metro estensibile si misura la distanza tra i due piedini di sostegno (dal punto C al punto
lla rotaia a cuscino d’aria a partire dal punto A di sgancio
ttrocalamita.
D e si riporta tale misura su
dell’ele
Sulla rotaia viene così individuato il punto B alla distanza di (1,438±0,001) metri da A ed in
fotocellula.tale posizione viene posizionata la
Dopo aver controlla e
ata sull’asta millimetrata si posiziona un blocchetto di dislivello sotto il piedino di sinistra.
to che il traguardo con fotocellula sia ben allineato con la posizion
individu
L’apparato predisposto garantisce che il dislivello Dh dal punto A di partenza al punto B di
essore del blocchetto posto sotto il piedino. arrivo sia uguale allo sp
Utilizzando diversi blocchetti vengono individuati i tempi al traguardo B.
isure relative agli istanti di tempo (dieci misure per ogni Dh), i valori
ssimi e minimi e la semidispersione di tali valori assunta come errore assoluto associato al valore
edio.
Riportare in Tabella A le m
ma
m
68
Tabella A
altezza 2 altezza 3 altezza 4 altezza 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t medio
t max
t min
Ea
Riportare in tabella B i valori medi dei tempi per ciascun Dh ed i rispettivi valori dell’accelerazione
di gravità dedotta.
T
del moto e dell’accelerazione
abella B Ds=(1,438±0,001)m Er%=0,06%
Er(a)=Er( s)+2Er( t)
Er(g)=Er( s)+Er( h)
misure dirette misure indirette
22 sa
Dh ± Ea
(Er%)
Dt ± Ea
(Er%)
t∆∆
= ± Ea h∆
(Er%) (Er%)
sag ∆= ± Ea
Osservazioni e conclusioni
ola l’accelerazione con la quale la slitta scende lungo il piano inclinato e quindi la relativa
acceleraz n ità dislivello del piano Dh? In che modo?
L’accelerazione di gravità g dipende dal dislivello del piano Dh?
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
2) oggetti ad errori. In che modo gli errori sono collegati alle
variazioni di quota?
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
3) nfront i valori di calcolati e relativi errori. Scegli in base alle considerazioni che ritieni
più opportune il valore da assegnare per g del luogo.
……………………………………………………
…… … …… …… …… …… …… ……
…………………………………………………………………………………………………………
Possiamo quindi assumere che:
1) Calc
io e di grav . L’accelerazione a dipende dal
I valori di g calcolati sono s
Co a g i
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………
…………… … … … … … … ……………………………………
gluog =(…………….±…………) m/s2 Er=………… Er%=…………..% o
70
Allegato 8
RIO 3 - ANALISI DEL MOTO DI UN PENDOLO SCHEDA DI LABORATO
Parte introduttiva assegnata da studiare preventivamente a casa
1.moto del pendolo
Il moto del pendolo per piccole oscillazioni è, con buona
approssimazione, un moto armonico.
La massa del pendolo è sottoposta alla forza peso P=mg.
Consideriamo una massa nella posizione B della figura e
scomponiamo il peso nelle sue componenti Fr (radiale) e
Ft(t enziale). La Fr è equilibrata dalla reazione vincolare del
filo, la Ft è la forza
ang
che provoca il moto. Per ricavare Ft in
funzione dell’elongazione x del moto, cioè in funzione dell’arco
CB, consideriamo i due triangoli OAB e GDB: possiamo scrivere:
lmgFt =
AB
Se cillazione è di piccola ampiezza, possiamo sostituire alla semicorda AB l’arco CB (cioè
l’elongazione x), senza fare un errore superiore ai norm
l’os
ali errori sperimentali; tenendo inoltre presente
che l’elongazione x e la forza Ft hanno verso opposto, si ha:
xl
mgFt −=
Tale relazione è del tipo F=-kx dove k=(mg)/l
Il pendolo, quindi, per piccole oscillazioni, è mosso da una forza di richiamo dello stesso tipo della
forza elastica, quindi si muove di moto armonico.
Per tro re ica di
una forza generatrice di un moto armonico:
va l’espressione del periodo del pendolo eguagliamo quindi la Ft trovata alla forma tip
xl
mgxm =2ω
Poiché Tπω 2
= si ricava glT π2= . Questa è detta legge di Galileo e tale relazione ci assicura che,
per piccole oscillazioni, il periodo non dipende né dall’ampiezza delle oscillazioni né dalla massa
oscillante.
Data quindi per acquisita la legge di Galileo possiamo utilizzarla per ricavare la misura indiretta
dell’accelerazione di gravità del luogo.
O
BA
Ft Fr
C D
G
2
24T
lg π= ;
TlgTElEgE aaa )(2)()(
+=
.Analisi statistica2
edio è solitamente la semidispersione.
a dell’errore assoluto
. Il tangolo colo rap senta
ia statistic della misura si dimostra che, quando il numero delle misure diventa grandissimo
(per cui anche il numero dei gruppi in cui vengono suddivisi i dati sperimentali diventa molto grande),
effettuate cade, in media, nell’intervallo
compreso tra (valore medio)-s e (valore medio)+s. Si assume allora tale valore come una misura
dell’errore da cui sono state affette le misure. Si dimostra che s è dato dalla formula:
Quando si effettuano delle misure ripetute l’errore assoluto
associato al valore m
Quando però il numero di misure aumenta notevolmente è
possibile migliorare anche la stim
associabile al valore medio. Se osserviamo una serie di
misure possiamo osservare che esse non sono distribuite in
maniera uniforme, dal valore più piccolo a quello più
grande. Dividiamo questi dati in gruppi associando ad ogni
gruppo un numero che corrisponde alla quantità di dati appartenenti
dati ottenuti in un grafico ad istogramma del tipo riportato in figura
la probabilità di trovare una misura che rientra nel gruppo relativo.
Nella teor a
al gruppo. Visualizziamo quindi i
ret rato pre
tutte le distribuzioni sperimentali tendono ad assumere la stessa forma, data dalla curva a campana o
curva di Gauss. Per questa curva si dimostra che esiste una quantità, detta scarto quadratico medio s,
che ha una proprietà molto importante: il 68,3% delle misure
gruppi
n° di valori
n
xxii
2
1)( −
=Σ
n
=σ
Indicazioni per lo svolgimento dell’esperimento e per
l’analisi dei dati.
Schema dell’apparato:
Elenco materiale
orsa d
Astina con morsetto
sa collegabile al filo
M a tavolo
Filo inestensibile di lunghezza 62 cm
Mas
Cronometro analogico, sensibilità 0,2 s/div
Cordella metrica sensibilità 1mm
72
Legenda
l lunghezza del pendolo
oscillazioni (di numero n) t durata di più
T periodo del pendolo o durata di una oscillazione (T= t/n)
Descrizione dell’esperienza
Dopo aver montato il materiale come nello schema, si misura la durata di 10 oscillazioni.
Vengono eseguite 23 misure da diversi allievi, scambia
cercano di ridurre gli errori dovuti alla relazione tra re
maneggevolezza dello strumento.
Riportare in Tabella A i valori di tutte le misure effettuate.
Tabella A
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ndosi i cronometri. In questo modo si
azione fisica di ciascun allievo e la
t
n 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
t
Osservazioni e conclusioni
1) Effettuare una elaborazione statistica dei dati raccolti, compilando la tabella B e l’istogramma
relativo.
Tabella B
t frequenza valore medio di semidispersione deviazione
standard t
2) Perché vengono misurati la durata di 10 oscillazioni visto che per calcolare g ci occorre avere
ndata e ritorno)?
… ………………………………………………………
…… …………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
3)
alcu
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………
……………………………………………………………………………………………
… … … … … …… …… …… …… ……… …… ……………………
uale alo iamo per T e quale errore gli associamo?
………………………………………………………………………………………………………
… … … … ………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
ola ora il valore di g attraverso il periodo calcolato ed attribuiscigli il relativo errore. Quali
tra le misure coinvolte incide maggiormente sull’incertezza di g? Come potrebbe essere ridotto
l’errore?
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
il periodo di una oscillazione (a
…… …………………………………………
… ………………………………………………………………
………………………………
Analizza i valori ottenuti per le 10 oscillazioni e valuta, in base a considerazioni opportune, se
ni di questi dati possono essere rigettati.
………………………………………………………………
……………
… …… … … … … … … … … …… …
4) Q v re assum
…
… ……………………… ……… … …………………
…………………………………………………………………………………………………………
…
T= t/n = (…….. ± ………. ) sec Er=………… Er%=…………..%
5) Calc
24T 2
lg π= = (………. ± ……….) m/s ; Er(g)=Er(l)+2Er(T)=……………m/s
6) Tra le misure di g effettuate in queste tre esperienze di laboratorio quale accurata e
rché?
…………………………………………………………………………………………………………
2 2
risulta più
pe
74
…… …………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………
…
……………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
caduta libera g= (………..±………..) m/s2
piano inclinato g= (………..±………..) m/s2
pen o g=(………..±………..) m/sdol 2
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
Allegato 9
Il Lavoro della forza di Newton
Tale approfondimento matematico viene rivolto ad un gruppo selezionato di studenti.
aginiamo di tenere fissa M nel punto A
iamo un punto C che si trova sulla retta che
Nel passare da B a C la distanza tra m ed M cambia e, quindi, anche la forza di attrazione che M
esercita su m varia con la posizione. Per calcolare il lavoro in questi casi si divide il segmento BC in n
intervalli così piccoli da fare i modo che, in ognuno di essi, la forza si possa considerare costante; si
calcola il lavoro DW compiuto dalla forza in ognuno di questi intervalli e, infine, si sommano tutti i
contributi
Consideriamo due masse M ed m poste a distanza rB imm
mentre spost m dalla posizione iniziale (punto B) a
contiene A e B, a distanza rC da A.
iii rFW ∆−=∆ ottenuti, dove iF è il valore medio del modulo della forza di Newton nel
corso dello spostamento irr
∆ .
Supponiamo che sia molto minore di ri, ovvero che ir∆i
ii r
r∆=ε sia un infinitesimo.
Il valore medio della forza di Newton nel tratto considerato è dato da:
( )
( )
( )
1
22
2
222
222222
2221
2
1
121
111
211
211
2111
22111
2211
2
1122
1
+
+
=
=∆+
=∆
+≅
−+
−=
−−
++
=++
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+≅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+++=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆+∆++=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆++=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
ii
iii
i
iiii
i
ii
i
i
i
ii
i
i
iiiiiiiiii
iiiiii
rrmMG
rrrmMG
rrr
GmMr
GmMr
GmMr
GmM
rGmM
rGmM
rrrrrGmM
rrrGmM
rmMG
rmMGF
εεε
εε
εε
εε
εεε
Questo non è altro che il valore che la forza di Newton assume a distanza 1+ii rr da A. Tale distanza
è la media geometrica tra ri e ri+1.
M
Am
B C
Pi
iFr
ir
ri+1
ri
r∆
PP n0
rC
rB
76
Sos za di Newton nell’espressione del lavoro i-esimo si ha: tituendo il valore medio della for
( )⎟⎠
⎜⎝
−=⎟⎠
⎜⎝
−−=−=∆−=∆+++ iiiiii
ii rrGmM
rrGmM
rrrFW
111
Pos
⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛−+ ii rrGmM 11111
i
siamo quindi calcolare il lavoro totale come somma di n addendi:
⎟⎟⎠
⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎜⎝
⎛−+−+−=BC rrrrr
GmM 111111111111
31201⎜⎜⎝
−=⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
−=⎟⎟⎠
−++∆− BCnnn rr
GmMrr
GmMrrr
W ......012
Allegato 10 - Verifica sommativa
1. Perché gli antichi ritenevano che gli astri non potessero essere sottoposti alle stesse
leggi fisiche valide sulla Terra?
che ci permette di assimilarle a
circonferenze?
3. Qual è l’unità di misura della costante gravitazionale G? Tale costante vale per tutto il
sistema solare e solo per esso? Vale anche per altri sistemi planetari? E per qualsiasi coppia di
corpi ovunque essi si trovino?
4. Due corpi cadono dall’altezza di 10 m sulla superficie della Terra e su quella della
Luna, rispettivamente. Quale dei due corpi arriva al suolo con velocità maggiore? Quale dei
due rimbalza ad altezza maggiore? (trascurare l’attrito dell’aria e considerare perfettamente
elastico l’urto con il suolo)
5. Due sfere di massa m uguale i cui centri si trovano a 20 cm di distanza, si attirano con
la forza gravitazionale . Calcolare la massa m.
6. Calcolare la forza gravitazionale fra Terra e Sole.
7. A quale distanza dal centro della Terra l’accelerazione di gravità ha valore g=7,3 m/s2?
8. Quanto «pesa» la Luna nel campo gravitazionale terrestre e quanto la Terra nel campo
gravitazionale della Luna?
9. Quale deve essere la velocità di un satellite artificiale posto in un’orbita circolare a 230
km dalla superficie terrestre?
10. Calcolare l’accelerazione di gravità nei punti di un’orbita circolare a 280 km dalla
superficie della Terra. Un satellite artificiale sta percorrendo tale orbita. Come hanno più volte
mostrato i documentari televisivi, le persone e le cose all’interno di un tale satellite si
comportano come se fossero in assenza di gravità. Spiegare la ragione.
Tempo di somministrazione: 1 h 30 min
Criteri di misurazione: ad ogni esercizio viene attribuito un punteggio massimo di due punti
Criteri di valutazione:
criteri di attribuzione del punteggio percentuale sul punteggio massimo
L’alunno svolga cinque quesiti a scelta tra i seguenti:
2. Le orbite dei pianeti sono ellittiche. Qual è la ragione
NF 7107,1 −⋅=
possesso dei contenuti 50%
competenza logico – linguistica 20%
abilità di elaborazione algebrico – geometrica 20%
completezza - autonomia 10%
78
Documento 1
L’esperimento concettuale
“SALV I:
due pie i volte, lasciate nel medesimo istante cader da un’altezza v.g.,
di cent acc
l’altra si trovasse non avere né anco sceso dieci braccia […] Ma senz’altre esperienze, con breve e
conclud e d
muova
di quel rò ditemi, Sig. Simplicio, se voi ammettete che di ciascheduno
corpo grave c
non si p
SIMPL
natura uale non se gli possa accrescere se non con nuovo impeto
conferi i, o
SALVI oi avessimo du cità de i quali fussero ineguali,
è mani o ch ce, questo dal più tardo sarebbe in
parte r dato
quest’o ione
SIMPL indubitabilmente seguire.
SALVIATI: M
gradi di velocità, ed una minore con quattro, adunque, congiungendole ambedue insieme, il composto
di loro uo
una pie
maggio
dunque e del men grave, io vi
mente.”
(1638)
IAT […] io grandemente dubito che Aristotele non sperimentasse mai quanto sia vero che
tre, una più grave dell’altra diec
o br ia, fusser talmente differenti nelle loro velocità, che all’arrivo della maggiore in terra,
ent imostrazione possiamo chiaramente provare non esser vero che un mobile più grave si
più velocemente d’un altro men grave, intendendo di mobile dell’istesso materia, ed in somma
li de i quali parla Aristotele. Pe
adente sia una da natura determinata velocità, si che accrescergliela o diminuirgliela
ossa se non con usargli violenza o opporgli qualche impedimento.
ICO: Non si può dubitare che l’istesso mobile nell’istesso mezzo abbia una statuita e da
determinata velocità, la q
togl diminuirgliela salvo che con qualche impedimento che lo ritardi.
ATI: Quando dunque n e mobili, le naturali velo
fest e se noi congiungessimo il più tardo col più velo
itar , ed il più tardo in parte velocitato dall’altro più veloce. Non concorrete voi meco in
pin ?
ICIO: Parmi che così debba
a se questo è, ed è insieme vero che una pietra grande si muova, per esempio con otto
si m verà con velocità minore di otto gradi: ma le due pietre congiuntamente insieme, fanno
tra maggiore che quella prima, che si muoveva con otto gradi di velocità: adunque questo
re si muove men velocemente che la minore; che è contro alla vostra supposizione. Vedete
come dal supporre che ‘l mobile più grave si muova più velocement
concludo, il più grave muoversi men veloce
Galileo Galilei – Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze
Documento 2
I compromessi con la filosofia e la teologia
rbe non fosse il doppio, il
che e la loro natura
i la ragione di queste proprietà della
ia matematica (prima versione in latino nel 1687)
“Mi sono proposto di dimostrare con questa operetta, o lettore, che Dio Ottimo Massimo, nella
costruzione del Mondo e nella disposizione dei cieli, guardò ai cinque corpi solidi che tanto sono stati
celebrati fino al tempo di Pitagora e di Platone e che dispose numero, proporzioni e movimenti delle
cose celesti secondo le proprietà di quei corpi. […] Di tre questioni ero principalmente impegnato a
ricercare la ragione per la quale esse sono così e non in altro modo: il numero, l’estensione e il
periodo degli orbi. La mirabile armonia delle cose immobili – il Sole, le stelle fisse e lo spazio – che
corrispondono alla Trinità di Dio Padre, Dio Figlioe Spirito Santo, mi incoraggiò in questo tentativo.
Non nutrivo dubbi che le cose mobili mi avrebbero svelato la stessa armonia di quelle immobili.
Affrontando il problema da un punto di vista numerico considerai se un o
triplo e il quadruplo di un altro. […] Riuscii infine ad arrivare alla soluzione some per caso e ritenni
che mi fosse accaduto per volere divino di scoprire casualmente ciò che non ero riuscito a
determinare con tanta fatica.”
J.Keplero – Prodromus dissertationum (1619)
Documento 3
Le proprietà fisi
“ In verità non sono ancora riuscito a dedurre dai fenomen
gravità, e non ‘fingo’ ipotesi. […] Qualunque cosa infatti non deducibile dai fenomeni va chiamata
ipotesi; e nella filosofia sperimentale non trovano posto le ipotesi sia metafisiche, sia fisiche, sia delle
facoltà occulte, sia meccaniche. In questa filosofia le proposizioni vengono dedotte dai fenomeni e
rese generali per induzione. In tal modo divennero note l’impenetrabilità, la mobilità e l’impulso dei
corpi, la legge del moto e la gravità. Ed è sufficiente che la gravità esista di fatto, agisca secondo le
leggi da noi esposte, e spieghi tutti i movimenti dei corpi celesti e del nostro mare.”
J.Newton – Philosophiae naturalis princip
80
Documento 4
I concetti fisici sono creazioni libere dello spirito umano
all’esperienza, senza afferrare il fondo della questione? A questo
rispondo con sicurezza che, a mio avviso, la via giusta e
econdo la nostra esperienza fin a oggi, abbiamo il diritto di essere convinti che la natura è la
i tutto ciò che si può immaginare di più matematicamente semplice. Sono persuaso che
ci permette di scoprire questi concetti che ci danno la chiave
il mondo (1913)
“ Abbiamo dunque assegnato alla ragione e all’esperienza il loro posto nella fisica teorica. La
ragione dà la struttura del sistema: il contenuto delle esperienze e le loro relazioni reciproche
devono, grazie alle proposizioni conseguenti dalla teoria, trovare la loro rappresentazione. Nella
possibilità di una tale rappresentazione sta unicamente il valore e la giustificazione di tutto il sistema
e, in particolare, i concetti e i principi che ne costituiscono la base.
D’altronde questi concetti e principi sono creazioni libere dello spirito umano, che non si possono
giustificare a priori né con la natura dello spirito umano né in altro modo qualsiasi. […]
Ma se è vero che il fondamento assiomatico della fisica teorica non discende dall’esperienza e deve al
contrario essere creato liberamente, sussiste la speranza di trovare la strada giusta? O, a più forte
ragione, questa giusta strada esiste soltanto nella nostra immaginazione? E soprattutto possiamo
sperare di trovare nella esperienza una guida sicura, se vi sono teorie ( come la meccanica classica)
che danno largamente ragione
siste e che possiamo trovarla.
S
realizzazione d
la costruzione puramente matematica
per comprendere i fenomeni naturali e i principi che li legano fra loro.
I concetti matematici utilizzabili possono essere suggeriti dall’esperienza, ma mai esserne dedotti in
nessun caso. L’esperienza resta naturalmente l’unico criterio per utilizzare una costruzione
matematica per la fisica; ma è nella matematica che si trova il principio veramente creatore. Da un
certo punto di vista, riconosco che il pensiero puro è capace di afferrare la realtà, come gli antichi
pensavano.”
A.Einstein – Come io vedo
Bibliografia Testi di carattere generale
Titolo – autore - editore commento
L’evoluzione della fisica
A.Einstein, L.Infeld
UNIVERSALE BOLLATI BORINGHIERI
testo avvincente anche per gli alunni poiché riesce
a far percepire l’emozione dell’avventura
scientifica
La Cultura scientifica nella scuola offre interessanti spun
M.Gargantini (Bergamaschini, Bersanelli,
Mazzoni, Prosperi)
didattica e sulla cultura scientifica
MARIETTI 1820
ti di riflessione sulla
Le origini medievali della scienza moderna
E.Grant
EINAUDI
testo approfondito ed esteso ma di notevole
interesse per uno sguardo più profondo sulle radici
del metodo scientifico
Gravitazione e Spazio – Tempo
H.C.Ohanian, R.Ruffini
trattato classico e approfondito, indispensabile per
la formazione del docente
ZANICHELLI 1997
Libri di testo per la scuola secondaria
Titolo-autore-editore commento
La fisica di Amaldi - Meccanica
Idee ed esperimenti
Ugo Amaldi
ZANICHELLI
efficace negli strumenti, completo nella
trattazione, un po’ troppo semplificato
rispetto alle precedenti edizioni
La fisica per i licei scientifici
Quarta edizione
Ugo Amaldi
ZANICHELLI
trattazioni, ben modulato su diversi
livelli di apprendimento
completo ed approfondito nelle
Fisica
Mario Davoli
CEDAM
classico testo non più in stampa, preciso
nel linguaggio e nell’ordine
metodologico
Le leggi della fisica
A.Caforio, A.Ferilli
LE MONNIER
molto ricco nella trattazione di esempi
ed esercizi, talvolta impreciso o carente
82
Elementi di fisica 1
PRINCIPA
vasto e organico nella trattazione degli
argomenti e nella proposta di esercizi,
un po’ disordinato nella loro
J.D.Wilson, A.J.Buffa
TO
sistemazione
L’indagine del mondo fisico
o
azzoni
va ma
approfondita ed originale gli argomenti La meccanica – I principi di conservazione. V lume B
tratta in maniera seletti
M.E.Bergamaschini, P.Marazzini, L.M
CARLO SIGNORELLI
FISICA
D.Halliday, R.Resnick, K.S. Krane
Completo ed approfondito soprattutto
nelle trattazioni matematiche. Talvolta
si più AMBROSIANA MILANO di difficile utilizzo nelle clas
deboli
Riviste
La fisica nella scuola
Rivista dell’Associazione per l’Insegnamento della Fisica
Rivista dell’assoc SIS
Emmeciquadro
iazione culturale EURE
Indice Prima parte - Premesse 1.1 Inquadramento dell’argomento nel contesto dei programmi ministeriali della scuola
secondaria superiore ………………………………………………………………………
pag 1
iderazioni storiche ed 1.2 Ruolo della tematica proposta in ambito disciplinare, cons
epistemologiche……………………………………………………………………………
pag. 8
ll’intervento didattico1.3 Classe destinataria de ………………………………………………. pag. 9
atiche didattico – metodologiche relative ad un efficace sviluppo dell’argom1.4 Problem ento pag. 9
Seconda parte – Presentazione dei contenuti ed intervento didattico 2.1 Destinatari…………………………………………………………………………………. pag 11
Prerequisiti………………………………………………………………………………… pag 11
pi dell’intervento didattico
2.2
2.3 Tem …………………………………………………………… pag 11
2.4 Obiettivi…………………………………………………………………………………… pag 12
2.5 Metodologie didattiche, materiali e strumenti impiegati………………………………….. pag 12
Contenuti e loro sviluppo…………………………………………………………………. pag 13
erso i suoi protagonisti
2.6
2.6.1 Introduzione storica attrav ………………………………. pag 13
rado di Marte con Cabri 2D 2.6.1.1 Simulazione moto retrog …………………… pag 14
2.6.2 Le leggi di Keplero………………………………………………………………. pag 18
2.6.3 La gravitazione universale………………………………………………………. pag 23
2.6.3.1 Qual è la natura della forza gravitazionale?............................................... pag 28
2.6.4 La costante G…………………………………………………………………….. pag 28
2.6.4.1 Proiezione filmato del PSSC: “L’esperimento di Cavendish”…………... pag 30
2.6.5 Massa inerziale e massa gravitazionale………………………………………….. pag 31
2.6.6 L’accelerazione di gravità e la forza peso……………………………………….. pag 33
2.6.6.1 Percorso didattico di laboratorio di fisica – indicazioni metodologiche… pag 35
2.6.7 Il moto dei satelliti………………………………………………………………. pag 36
2.6.7.1 Satelliti geostazionari……………………………………………………. pag 38
2.6.8 La deduzione delle leggi di Keplero…………………………………………….. pag 39
2.6.9 Il campo gravitazionale………………………………………………………….. pag 39
2.6.9.1 Uscita didattica: progetto Virgo…………………………………………. pag 42
2.6.10 L’energia potenziale della forza peso e l’energia potenziale gravitazionale…….. pag 43
2.6.11 La forza di gravità e la conservazione dell’energia meccanica………………….. pag 46
2.6.11.1 La velocità di fuga e il raggio di Schwarzschild……………………….. pag 47
84
2.7 Conclusioni e riflessioni finali…………………………………………………………….. pag 50
Allaccertamento dei prerequisiti
egati Allegato 1 Verifica di ……………………………………. pag 51
gAlle ato 2 Scheda 1 – laboratorio di informatica:
Moto retrogrado di Marte secondo lo schema tolemaico…………………….
pag 54
Allegato 3 Scheda 2 – laboratorio di informatica
Moto retrogrado di Marte secondo lo schema copernicano………………….
pag 55
Allegato 4 Questionario di verifica visione filmato PSSC: “L’esperimento di
Cavendish”…………………………………………………………………
pag 56
Allegato 5 Verifica formativa – test di allenamento…………………………………….. pag 58
Allegato 6 Scheda di laboratorio 1 – analisi di un moto in caduta libera……………….. pag 63
Allegato 7 Scheda di laboratorio 2 – analisi di un moto su un piano inclinato…………. pag 67
Allegato 8 Scheda di laboratorio 3 – analisi del moto di un pendolo…………………… pag 71
Allegato 9 Il lavoro della forza di Newton……………………………………………… pag
Verifica sommativa
76
Allegato 10 ………………………………………………………….. pag 78
Documento 1 L’esperimento concettuale (G. Galilei)……………………………………… pag 79
Documento 2 I compromessi con la filosofia e la teologia (J.Keplero)……………………..
Le proprietà fisiche e la loro natura (J.Newton)
pag 80
Documento 3 …………………………….. pag 80
Documento 4 I concetti fisici sono creazioni libere dello spirito umano (A.Einstein)……... pag 81
Bibliografia…………………………………………………………………………………... pag 82
Indice………
…………………………………………………………………………………... pag 84
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