universidad nacional “santiago antÚnez de mayolo” facultad de ingenierÍa civil curso: ...

UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO: FISICA IIMPULSO, CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y

CHOQUESAUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García

HUARAZ - PERÚ

2010

Optaciano Vasquez

I. OBJETIVOSAl finalizar esta unidad el alumno será capaz de:

a) Calcular el momento lineal de una partícula y el impulso de una fuerza.

b) Aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento.

c) Aplicar el principio de conservación del momento lineal.

d) Diferenciar los tipos de colisiones.e) Aplicar los principios de conservación de

la energía y momento al estudio de las colisiones

Optaciano Vasquez

I. INTRODUCCIÓNSi dos móviles colisionan ¿Qué es lo que determina hacia donde se mueven?

Optaciano Vasquez

I. INTRODUCCIÓNEn un juego de billar ¿cómo decide Ud. la dirección que debe darle a la bola blanca para meter la bola número cuatro en la canastilla?

Optaciano Vásquez

I. INTRODUCCIÓN Algo en común que tienen estas preguntas

es que no pueden constatarse aplicando directamente la segunda ley de Newton, debido a que actúan fuerzas sobre las que se sabe muy poco.

En este capítulo veremos que a veces no es necesario saber de estas fuerzas.

Para ello usaremos los conceptos de impulso, momento y la conservación de momento.

La ley de conservación del momento lineal vale en situaciones en que la ley de Newton es inadecuada como por ejemplo el estudio de las colisiones.

III. IMPULSO DE UNA FUERZA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Considere una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza externa resultante

La segunda ley de Newton se expresa en la forma

Según esta ecuación “un cambio rápido de la cantidad de movimiento requiere un fuerza resultante grande.

Si las fuerzas son contantes o sólo depende dl tiempo la ecuación anterior puede integrarse

RF F

dpFdt

2 2 2

1 1 1

( )t p mv

Rt p mvF dt dp d mv

2

11 2

t

Rtmv F dt mv

3.1. Cantidad de movimiento El momento es una medida de cuan difícil es

detener o poner en movimiento un objeto. Es una cantidad vectorial dada por el producto

de se masa y su velocidad. El momento tiene la misma dirección y sentido

que la velocidad.p mv

3.1. Impulso de una fuerza (I)

Es una cantidad vectorial que mide el efecto de una fuerza durante el intervalo de tiempo que dura su aplicación.

Matemáticamente se expresa mediante la integral de la fuerza por el tiempo. Es decir

2

1

t

RtI F dt

3.1. Impulso de una fuerza (I)

En general, la fuerza resultante es un vector cuyo módulo y dirección varían con el tiempo.

Si la dirección no varía puede sacarse de la integral. En este caso el impulso el módulo del impulso es igual al área bajo la curva fuerza-tiempo durante el intervalo de tiempo

2

12 1

t

R Rt

R

I F dt F t t

I F t

3.1. Impulso de una fuerza (I)

La ecuación también se puede utilizar para determinar la fuerza media durante un intervalo de tiempo. La fuerza media es la fuerza constante equivalente que daría el mismo impulso que la fuerza original variable con el tiempo

I F t

3.1. Impulso de una fuerza (I)

Cuando la fuerza resultante es variable se descompone en componentes por ejemplo ortogonales2

1

( )t

Rx Ry RztI F i F F dt

Rx Ry RzI F dt i F dt j F dt k

x Rx

y Ry

z Rz

I F dt

I F dt

I F dt

IV. PRINCIPIO IMPULSO CANTIDAD DE MOVIMEINTO

• Al integrar la segunda ley de Newton se obtuvo

• La momento lineal final se obtiene sumando vectorialmente al momento lineal inicial, el impulso de la fuerza resultante

2

1

2 1( )

t

t

dp d mvF Fdt d mv Fdt mv mvdt dt

1 1 2 2mv I mv

IV. PRINCIPIO IMPULSO CANTIDAD DE MOVIMEINTO

• El principio I-p es una ecuación vectorial para aplicarlo se descompone en componentes. Esto es

2

1

2

1

2

1

1 2

1 2

1 2

t

x x xt

t

y y yt

t

z z zt

mv F dt mv

mv F dt mv

mv F dt mv

1 1 2 2Impmv mv

IV. PRINCIPIO IMPULSO CANTIDAD DE MOVIMEINTO

• Si en un problema intervienen dos o más partículas, cada una de ellas se estudia por separado y se aplica el principio I-p a cada una.

• Donde FRi, es la resultante delas fuerzas exteriores y F12 es la fuerzas interior

• Al sumar estas ecuaciones, los impulsos de las fuerzas internas se cancelan de acuerdo a la tercera ley de Newton

• Entonces se tiene

1 211 1

2 122 2

i R f

i R f

p F F dt p

p F F dt p

1 1 2i fextp I p

V. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

• Si la fuerza resultante que actúa sobre un sistema es nula, las únicas fuerzas presentes serán las fuerzas internas.

• De acuerdo con la tercera ley de Newton estas fuerzas internas son de igual magnitud pero de signo opuesto.

• Al sumar los impulsos de estas fuerzas se cancelan mutuamente entonces se tiene

• La ecuación establece que “si la resultante de las fuerzas externas es nula el momento lineal del sistema se conserva”

1 1 2 2Impmv mv

k k k kinicial finalm v m v

V. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

• Para el caso de dos partículas se tiene

1 2 0 ' 'A A B Bmv mv m v m v

VI. MOVIMIENTO IMPULSIVO• Si una fuerza muy grande

actúa durante un intervalo de tiempo muy corto y la fuerza produce un cambio definido en el momento. A esta fuerza se le llama IMPULSIVA y el movimiento es impulsivo.

• Un ejemplo lo constituye la interacción entre de béisbol al entrar en contacto con la pelota, éste dura un t muy pequeño pero la fuerza es intensa siendo el impulso lo suficiente para cambiar la trayectoria de la pelota

VI. MOVIMIENTO IMPULSIVO• En la figura se muestra un diagrama Impulso-

momento para la interacción bate- pelota

• El principio I-p, se escribe

• En este caso se desprecian aquellas fuerzas que no sean impulsivas como por ejemplo el peso en este ejemplo ya que su impulso es muy pequeño

1 2mv F t mv

Ejemplo 01 • Un auto desciende por una pendiente de 5°

a una velocidad de 100 km/h cuando se aplican los frenos generando una fuerza de frenado constante (aplicada por la calzada a las cubiertas) de 6,5 kN. Determine el tiempo que demora el vehículo en detenerse

Solución • Aplicando el principio

impulso cantidad de movimiento se tiene

1 1 2 2mv mv Imp

Tomando las componetes paralelas al plano inclinado

1 sin 5 0

(1800) (27.78 m/s) (1800 9.81)(sen 5 ) 6500 0

mv W t Ft

xt t

10.08st

Ejemplo• El coeficiente de fricción entre el bloque A

de 50 kg representado en la figura y la superficie horizontal es 0,20. La fuerza se expresa en newton cuando t está en segundos. Calcule el impulso lineal resultante sobre el bloque desde t = 0 hasta t = 5 s, considere que el cuerpo se mueve hacia la derecha durante todo el intervalo de tiempo.

2ˆ15F t i

Ejemplo• El coeficiente de fricción entre el bloque A

de 12 kg mostrado en la figura y el plano es 0,20. La fuerza se expresa en newton cuando t está en segundos. El bloque se encuentra en reposo en el instante t = 0. Calcular la velocidad del bloque cuando t = 2 s.

250 150F t i

Ejemplo • Una pelota de béisbol de 120 g es lanzada con

una velocidad de 24 m/s. Después de ser golpeada por el bate tiene una velocidad de 36 m/s en la dirección mostrada. Si la pelota y el bate están en contacto durante un intervalo de tiempo de t = 0,015 s. Determine la fuerza impulsiva media ejercida sobre la pelota durante el choque

Solución 02• Aplicando el principio Impulso

cantidad de movimiento en forma de componentes, resulta

1 1 2 2mv mv Imp

x

y

Componente x:

1 2 cos 40(0.12 kg) (24 m/s) (0.015 s)(0.12 kg) (36 m/s)cos 40

412.6 N

x

x

x

mv F t mvF

F

componente y

20 sin 40

0.015 s (0.12 kg) (36 m/s)sin 40

185.1 N

y

y

y

F t mv

F

F

452.2 N 24.2F

Ejemplo • Un paquete de 10 kg cae por una rampa sobre

un carro a una velocidad de 3 m/s. Si el carro inicialmente estaba en reposo y éste puede rodar libremente. Determine: (a) la velocidad final del carro, (b) el impulso que el carro ejerce sobre el paquete y (c) la fracción de energía cinética que se pierde durante el choque

Solución • Se aplica el principio I- P al sistema paquete

más carro para determinar la velocidad del carro más el paquete.

1 1 2 2p p cm v m m v Imp

x

y

Componente x

1 2

2

cos30 0

10 kg 3 m/s cos30 10 kg 25 kgp p cm v m m v

v

2 0.742 m/sv

Solución• Se aplica el principio I-p al paquete sólo para

determinar el impulso ejercido sobre él debido al cambio en su movimiento

x

y

1 1 2 2p pm v m v Imp

Componente x

1 2

2

cos30

10 kg 3 m/s cos30 10 kgp x p

x

m v F t m v

F t v

18.56 N sxF t

Componente y

1 sin 30 0

10 kg 3 m/s sin 30 0p y

y

m v F t

F t

15 N syF t

1 2 18.56 N s 15 N s 23.9 N sF t i j F t Imp

Solución

Fracción de energía perdida

221 11 12 2

221 11 22 2

10 kg 3m s 45 J

10 kg 25 kg 0.742m s 9.63 J

p

p c

T m v

T m m v

1 2

1

45 J 9.63 J 0.78645 J

T TT

Ejemplo • Los bloques A y B mostrados

en la figura tienen una masa de 3 kg y 5 kg, respectivamente. Si B se está moviéndose primero hacia abajo con una velocidad de 3 m/s. Determine de las cuerdas y poleas

Ejemplo • El tronco de 500 kg reposa sobre la superficie

rugosa cuyos coeficientes de fricción estático y cinético son ms = 0.5 y mk = 0.4. Si el torno ejerce una fuerza variable como se muestra en la figura. Encuentre la velocidad del tronco después de 5 s de aplicado la fuerza por el torno

Ejemplo • Sobre un bloque de 50 kg inicialmente en

reposo actúa una fuerza F cuyo módulo varía como se muestra en al figura. Si el coeficiente de fricción entre el bloque y la superficie horizontal es 0,20. Calcular la velocidad del bloque: (a) en t = 5 s y (b) en t = 8 s

Ejemplo • A una caja de 10 kg que

descansa sobre una superficie horizontal, según se indica en la figura, se le aplica una fuerza P horizontal. El módulo de P varía con el tiempo según se indica en la fig (b). Si los coeficientes de rozamiento estático y cinético valen 0,40 y 0,30, determine. (a) el instante t1 en que la caja comienza a deslizarse, (b) la máxima velocidad vmax de la caja y el instante tmax en que lo alcanza y (c) el instante tf en el cual cesa el deslizamiento.

Ejemplo • El sistema representado

se suelta desde el reposo. Hallar el tiempo que tarda A en alcanzar la velocidad de 0,6 m/s. Se desprecia el rozamiento y la masa de las poleas.

Ejemplo • Dos automóviles chocan

en el cruce, según se indica en la figura. El auto A tiene una masa de 1000 kg y una celeridad inicial vA = 25 km/h, mientras que el auto B tiene una masa de 1500 kg. Si los autos quedan enganchados y se mueven conjuntamente en la dirección dada por el ángulo θ = 30º después del choque, determine la celeridad vB que llevaba el auto B antes de chocar.

Ejemplo • Un bloque de madera de 0,30 kg está unido a un

resorte de k = 7500 N/m como se muestra en la figura. El bloque está en reposo sobre una superficie horizontal rugosa (μk = 0,40) y recibe el impacto de una bala de 0,030 kg que lleva una velocidad inicial vi = 150 m/s. En el choque, la bala queda incrustada en la madera. Determine: (a) la celeridad del conjunto bloque-bala inmediatamente después del choque, (b) la distancia que recorrerá el bloque antes de detenerse.

Ejemplo • Un péndulo balístico consiste en una caja de peso

25 N que contiene arena y está suspendida de un hilo ligero de 1, 5 m de longitud como s ve en a figura. Una bala de 14 g incide sobre la caja y queda incrustada en la arena. Si la celeridad que llevaba inicialmente la bala era de 105 m/s, determine: (a) La celeridad del conjunto caja-bala inmediatamente después del impacto, (b) el ángulo máximo que describirá el péndulo después del impacto.

Ejemplo • Un muchacho que tiene una masa de 40 kg está

parado en la parte trasera de un tobogán de 15 kg que originalmente está en reposo, como se muestra en la figura. Si el muchacho camina hacia el frente B y se para, determine la distancia que se mueve el tobogán. Suponga que el tobogán está apoyado sobre el hielo, de modo que puede despreciarse la fricción sobre la parte inferior del tobogán.

Ejemplo • Un pilote rígido indicado en la

figura tiene una masa de 800 kg, y se inca en el suelo usando un martinete H que tiene una masa de 300 kg. El martinete cae desde el reposo desde una altura yo = 0,5 m y choca contra la parte superior del pilote. Determine el impulso incial que imparte el martinete sobre el pilote si: (a) la parte inferior del pilote está apoyada sobre un lecho rocoso rígido en B y (b) el pilote está rodeado de arena suelta, de tal manera que después del choque el martinete no rebota fuera del pilote.

VII. IMPACTO O COLISIÓN O CHOQUE

• La colisión o choque entre dos cuerpos es un proceso dinámico en donde intervienen fuerzas muy grandes que actúan durante tiempos muy cortos los que dan lugar a fuertes cambios de velocidad de uno o ambos cuerpos.

• Las intensas fuerzas de reacción durante el choque producen deformaciones considérables de los cuerpos ocurriendo una conversión de energía en forma de calor y sonido

7.1 CLASE DE CHOQUES • Las colisiones o choques se clasifican en:1. Según la posición relativa de los centros de masa,

la velocidad relativa de los centros de masa y la línea de impacto (normal común a las superficies de contacto).a) Choque central. Es en el cual los centros de masa de los cuerpos se encuentran sobre la línea de choque. b) Choque excéntrico. Es aquel en el cual los centros de masa de uno de ellos no está sobre la línea de choque. En general ocurre en el chuque de cuerpos rígidos.

7.1 CLASE DE CHOQUES • Las colisiones o choques se clasifican en:2. Según su orientación de las velocidades respecto a

la línea de choque.a) choque central directo: Aquel en el cual las velocidades de aproximación de los cuerpos se encuentran sobre la línea de choque.a) choque central oblicuo: Aquel en el cual las velocidades de aproximación de los cuerpos no se encuentran sobre la línea de choque

7.2.IMPACTO CENTRAL DIERCTO

• Consideremos dos partículas moviéndose como se ve en la figura

• Si vA es mayor que vB ocurrirá un choque.

• A consecuencia del impacto las dos partículas se deforman y al final del período d deformación, las dos tienen la misma velocidad u.

• Posteriormente viene el período de restitución, al final del cual, en función de las intensidades de las fuerzas y de las características de los materiales los cuerpos recobraran su forma original o quedarán deformados permanentemente.

7.2.IMPACTO CENTRAL DIRECTO• Considerando al sistema

como aislado vemos que no existen fuerzas externas impulsivas. Entonces, se conserva el momento lineal del sistema. Es decir:

• Las velocidades se consideran positivas si están hacia la derecha y negativas si están dirigidas a la izquierda

• Una segunda relación se obtiene al analizar los períodos de deformación y restitución

' 'A A B B A A B Bm v m v m v m v

7.2.IMPACTO CENTRAL DIRECTO• Aplicar el principio I-p a la partícula A durante los

períodos de deformación y restitución.

• Período de deformación

• Período de restitución

A A Am v Pdt m u

A A Am u Rdt m v

En el impulso de restitución es menor que el impulso de deformaciónEl coeficiente de restitución se define como la razón entre los impulsos de restitución y de deformación

0 1A

A

Rdt u ve ev uPdt

7.2.IMPACTO CENTRAL DIRECTO• Aplicar el principio I-p a la partícula A durante los

períodos de deformación y restitución.

• Período de deformación

• Período de restitución B B Bm v Pdt m u

B B Bm u Rdt m v

El coeficiente de restitución se define como la razón entre los impulsos de restitución y de deformación

'

0 1B

B

Rdt v ue eu vPdt

7.2.IMPACTO CENTRAL DIRECTO• Debido a que las dos ecuaciones anteriores son

iguales, entonces será igual la fracción obtenida sumando sus numeradores y denominadores. Por tanto se tiene

• La velocidad relativa después del choque se obtiene multiplicando las velocidades relativas antes del choque por el coeficiente de restitución

' ' ' '

' '

( ) ( )

( )

A B B A

A B A B

B A A B

u v v u v vev u u v v v

v v e v v

7.2.1Choque perfectamente plástico

• En este tipo de choque el coeficiente de restitución es nulo.

• Las velocidades después del choque de ambos cuerpos es la misma.

• En esta colisión la pérdida de energía es máxima.

• Un ejemplo lo constituye el péndulo balístico

' '

'

0 '

( )B A

A A B B A B

e v v v

m v m v m m v

7.2.2 Choque perfectamente elástico

• Aquí el coeficiente de restitución es igual a la unidad

• En esta colisión se conserva el momento lineal, es decir

• También se conserva la energía cinética del sistema

• Este tipo de colisión es difícil de encontrarlo

• Sin embargo, uno de los ejemplos que podría aproximarse a este tipo de choque es el mostrado en la figura

' '' '1 B AB A A B

A B

v ve v v v vv v

' 'A A B B A A B Bm v m v m v m v

2 2 2 21 1 1 1( ' ) ( ' )2 2 2 2A A B B A A B Bm v m v m v m v

7.2.2 Choque inelástico• Este choque es el mas

común.• En este choque no se

conserva la energía total de las partículas.

• El coeficiente de restitución tiene valores entre 0 < e <1.

• Aquí si se conserva el momento lineal

' 'B A

A B

v vev v

' 'A A B B A A B Bm v m v m v m v

7.3.CHOQUE CENTRAL OBLICUO

• Aquel choque en el cual los centros de masas de los cuerpos están sobre la línea de choque pero sus velocidades de aproximación se encuentran formando ángulos con la línea de choque

En este caso las magnitudes y las direcciones de las velocidades después del choque son desconocidas

7.3.CHOQUE CENTRAL OBLICUO_2

• Para determinar estas cuatro incógnitas consideremos la colisión mostrada en la figura

• Se conserva la componente t del momento lineal de cada partícula por separado.

• Se conserva la componente n del momento lineal del sistema

' ; 'A A B Bt t t tv v v v

nBBnAAnBBnAA vmvmvmvm ''

7.3.CHOQUE CENTRAL OBLICUO_2

• La componente n de las velocidades relativas después del choque se obtiene multiplicando la velocidad relativa antes del choque por el coeficiente de restitución.

•

• De esta forma se obtiene cuatro ecuaciones independientes de las que se despeja las velocidades de A y B después del choque

' 'B A A Bn n n nv v e v v

7.3.CHOQUE CENTRAL OBLICUO_3• Si uno de los cuerpos

está restringido a moverse de algún modo como se ve en la figura

• En este caso A está restringido a moverse horizontalmente.

• Los impulsos de las fuerzas F y –F se encuentran en la dirección n

• El impulso de la fuera externa Fex ejercida por la superficie horizontal sobre A es vertical

• Las velocidades de A y B después del choque se representan por tres incógnitas: el módulo de la velocidad de A, v’A del cual se sabe que es horizontal y la magnitud y dirección de la velocidad de B, v’B.

7.3.CHOQUE CENTRAL OBLICUO_4

Entonces debemos escribir tres ecuaciones.1. La componente t del momento lineal de B se conserva

2. La componente según el eje horizontal x del momento lineal total de a y B se conserva.

3. La componente n de las velocidades relativas antes y después del choque están relacionadas por

'B Bt tv v

' 'A A B B A A B Bx xm v m v m v m v

( ) ( ) [( ) ( ) ]B n A n A n B nv v e v v

cos

cos '

cos '

cos

A A A

A A A

n A n

A nn

m v Pdt m u

m u Rdt m v

Rdt u ve

v uPdt

' 'B A A Bn n n nv v e v v

3

La ecuación que da e puede ser obtenida aplicando el principio I-p a la partícula A como se muestra en la figura

OBSERVACIÓN

EJEMPLO 01• El costal A, de 6 lb se suelta

desde el reposo cuando θ = 0°, como se muestra en la figura. En su trayecto choca contra una caja B de 18 lb cuando θ = 90°. Sabiendo que el coeficiente de restitución entre la caja y el costal es e = 0,30. Determine: (a) la velocidad de la caja y del saco inmediatamente después del impacto y (b) la pérdida de energía cinética debido al choque

EJEMPLO 02• Las magnitudes y direcciones de las

velocidades de las esferas lisas idénticas antes de que choquen se indican en la figura. Suponiendo que el coeficiente de restitución para el choque es e = 0,90. Determine:(a) la magnitud y dirección de las velocidades de ambas después del choque y(b) la pérdida de energía cinética debido al choque

Solución• Descomponiendo las velocidades de las

esferas en componentes normal y tangencial al plano de contacto cos30 7.8m sA Anv v sin 30 4.5m sA At

v v

cos 60 6.0m sB Bnv v sin 60 10.4 m sB Bt

v v

• Las componentes tangenciales de las esferas es conservado 4.5m sA At tv v 10.4m sB Bt t

v v

• Se conserva el momento lineal del sistema en dirección normal

7.8 6.0

1.8

A A B B A A B Bn n n n

A Bn n

A Bn n

m v m v m v m v

m m m v m v

v v

Solución

1

1

5.3 4.5

4.56.95m s tan 40.35.3

7.1 10.4

10.412.6m s tan 55.67.1

A t n

A

B t n

B

v

v

v

v

• Coeficiente de restitución

0.90 7.8 6.0 12.4

A B A Bn n n nv v e v v

• Resolviendo simultaneamente las ecuaciones

se determina las componentes normal de cada velcoidad

5.3m sA nv 7.1m sB n

v

EJEMPLO 03• Un pelota se lanza contra una

pared vertical lisa. Inmediatamente antes que la pelota choque contra la pared su velocidad tiene un módulo v y forma un ángulo de 30° con la horizontal. Si el coeficiente de restitución es e = 0,90. determine el módulo y dirección de la velocidad de la pelota cuando rebote

Solución

• La componente tangencial del momento de la esfera se conserva

0.500t tv v v • Aplicando la definición del coeficiente de

restitución

0 0

0.9 0.866 0.779n n

n

v e v

v v v

Descomponer la velocidad de la bola en componentes paralela y perpendicular a la pared

cos30 0.866 sin 30 0.500n tv v v v v v

n

t

1

0.779 0.500

0.7790.926 tan 32.70.500

n tv v v

v v

EJEMPLO 04• Una pelota choca con el suelo con una velocidad v0

de 5 m/s formando un ángulo de 60º con la horizontal. Sabiendo que el coeficiente de restitución para el choque es e = 0,60 y que la pelota tras el rebote, alcanza el punto B con una velocidad horizontal, halle:(a) las distancia h y d;(b) la velocidad de la pelota cuando llega a B.

EJEMPLO 05• La esfera B cuelga de un cable inextensible BC. Una

esfera idéntica se suelta desde el reposo cuando se encuentra justo en contacto con el hilo y adquiere una velocidad vo antes de chocar con la esfera B. Asumiendo que la colisión es perfectamente elástica (e =1) y en ausencia de fricción. Determine la velocidad de cada esfera inmediatamente después del impacto

Solución• Se determina la orientación de

la línea de impactosin 0.5

230

rr

• Se conserva la componete tangencial al plano de contacto para la esfera A

0

0

sin 30 0

0.5

A A

A t

A t

mv F t mvmv m v

v v

• Se conserva el momentum lineal del sistema en la dirección x

0

0

0 cos30 sin 30

0 0.5 cos30 sin 30

0.5 0.433

A A B

A A Bt n

A Bn

A Bn

mv T t mv mvm v m v mv

v v v

v v v

Solución• Coeficiente de restitución en

dirección n

0

0

sin 30 cos30 0

0.5 0.866

B A A Bn n n n

B A n

B A n

v v e v v

v v v

v v v

• Resolviendo las dos últimas expresiones para la

velocidad de la esfera A a lo largo de la línea de acción y la velocidad de la esfera A la cual es horizontal

0 00.520 0.693A Bnv v v v

0 0

10

0

0.5 0.520

0.520.721 tan 46.10.5

46.1 30 16.10.693

A t n

A

B

v v v

v v

v v

EJEMPLO 06• Un bloque de 30 kg se deja caer desde una altura

de 2 m sobre el plato de 10kg de una balanza de resorte. Suponiendo que el choque es perfectamente plástico. Determine el máximo desplazamiento del plato. La constante del resorte es k = 20 kN/m

Solución• Se aplica el principio de

conservación de la energía para determinar la velocidad de A un instante antes del choque

1 1

2 21 12 22 22 2

1 1 2 2

212 2 2

0 30 9.81 2 588 J

30 0

0 588 J 30 0 6.26m s

A

A A A

A A

T V W y

T m v v V

T V T V

v v

• El momento lineal del sistema se conserva

32 2

3 330 6.26 0 30 10 4.70m sA A B B A Bm v m v m m v

v v

Solución

Deformación inicial del resorte debido al peso del plato

3 3

33

10 9.8120 10

4.91 10 m

BWxk

x

• Se aplica el principio de conservación de la energía para determinar la deformación

máxima del resorte

2 21 13 32 2

3

22 3 31 13 32 2

4

214 42

3 214 4 3 42

3 3 214 4 42

30 10 4.7 442 J

0 20 10 4.91 10 0.241 J

0

392 20 10

392 4.91 10 20 10

A B

g e

g e A B

T m m vV V V

V kx

T

V V V W W h kx

V x x x

V x x

3 3 4 4

3 3 214 42

4

442 0.241 0 392 4.91 10 20 10

0.230 m

T V T V

x x

x

34 3 0.230 m 4.91 10 mh x x 0.225 mh

EJEMPLO 07• Una esfera A de 1,2 kg, que se mueve a una

velocidad v0 paralela al suelo de módulo v0 = 2 m/s, choca con la cara inclinada de una cuña B de 4,8 kg, que puede rodar libre mente sobre el suelo y que está inicialmente en reposo. Sabiendo que θ = 60º y que el coeficiente de restitución entre la esfera y la cuña es e = 1, hallar la velocidad de la cuña inmediatamente tras el impacto.

EJEMPLO 08• Sobre una superficie dura cae una pelota que

rebota según se indica en la figura. Si el coeficiente de restitución para el choque es e = 0,80, la pelota parte desde el reposo cuando h = 1 m y la pelota salva apenas la pared en el punto más alto del rebote. Determine las distancias b, c y d de la figura.

EJEMPLO 09• Un bloque B de 1 kg se mueve con una velocidad v0

= 2 m/s cuando choca contra la esfera A de 0,5 kg, la cual esta en reposo y cuelga de una cuerda sujeta en O. sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es μK = 0,60 y que el coeficiente de restitución para el choque es e = 0,80. Determine tras el impacto: (a) la altura máxima alcanzada por la esfera y (b) la distancia x que recorre el bloque.

EJEMPLO 10• El bloque A de 3 kg se abandona en reposo en la

posición de 60º indicada y choca luego con el carrito B de 1 kg si en el choque el coeficiente de restitución es e = 0,70, hallar hasta que distancia s el carrito rebasa el punto C. Desprecie el rozamiento. ¿Cuál es la fuerza que la pista ejerce sobre el carrito inmediatamente antes de pasar por C?.

EJEMPLO 02• Una niña lanza una pelota contra un muro inclinado

desde una altura de 1,2 m, golpeando al muro en A con una velocidad horizontal v0 de módulo 15 m/s. Sabiendo que el coeficiente de restitución entre la pelota y el muro es 0,9 y despreciando el rozamiento, halle la distancia d desde el pie del muro al punto B donde la pelota choca con el suelo tras el rebotar en el muro