unidad1 discreta

ESTRUCTURA DISCRETA

Calculo Proposicional.

Víctor Arrieche 17.784.798SAIA A

Proposición:

Es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser calificado como "verdadero“ (v) o "falso“ (f), pero no ambas cosas a la vez.

Toda proposición tiene una y solamente una alternativa:

1: Verdadero (v)0: Falso (f)

Ejemplos: Los siguientes enunciados son proposiciones .

1) Coro es un municipio de Miranda (falso).2)El hidrógeno es un gas (verdadero).3)Todo estudiante es universitario (falso).

Los siguientes enunciados no son proposiciones:

¿Qué hora es?. ¡Estudie!.

Ojalá que llueva café.

Notación: Las proposiciones se notarán con letras minúsculas p, q, r, s, t,.. entre otras.

Llamaremos valor lógico de una proposición, el cual denotaremos por VL, al valor 1 si la proposición es verdadera; y 0 si es falsa.

Ejemplos:

P: La matemática es una ciencia. vl(p)=1r: mañana es 27 de junio. vl(r)=0

Operaciones Veritativas:

Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o conectivos que nos permiten construir otras proposiciones; o simplemente unir dos o más proposiciones, a partir de proposiciones dadas. Se le llama conectivos lógicos a los conectivos: y; o; o…o; si,.. Entonces; sí y sólo si; no ;

Ejemplo: p: Marte es un planeta ; q: el sol es una estrella.1)Marte es un planeta y el sol es una estrella.2)O Marte es un planeta o el sol es una estrella.3)Marte es una estrella sí y sólo si el sol es una estrella.

NOTA IMPORTANTE: Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos diremos que es una proposición atómica o simple; y en el caso contrario, diremos que es una proposición molecular o compuesta.

Proposición atómica o simple:1) Marte es un planeta2) El sol es una estrellaproposición molecular o compuesta:1)Marte es un planeta y el sol es una estrella.2)O Marte es un planeta o el sol es una estrella.3)Marte es una estrella sí y sólo si el sol es una estrella.

TABLA SIMBOLICA

La negaciónSea p una proposición, la negación de p es otra

proposición identificada por: ~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla de verdad.

Ejemplo: p: Barcelona es un estado Oriental.

~ p: Es falso que Barcelona es un estado Oriental. ~ p: No es cierto que Barcelona sea un estado Oriental.~ p: Barcelona no es un estado Oriental.

La conjunciónSean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la

proposición p ^ q, que se lee "p y q", y cuyo valor lógico está dado con la tabla o igualdad siguiente:

Ejemplo:p: el negro primero peleo en Carabobo.q: Bolívar murió en Colombia.p ^ q: El Negro Primero peleó en Carabobo y Bolívar murió en Colombia. Además, VL(p ^ q) = 1, ya que VL(p)= 1 y VL(q)= 1.

La disyunción inclusivaSean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es

la proposición p v q, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla siguiente:

Ejemplo: p: La estatua de la Divina Pastora está en Barquisimetoq: La estatua de Miranda está en Caracas. p v q: La estatua de la Divina Pastora está en Barquisimeto o La estatua de Miranda está en Caracas. VL(pvq)=1, ya que VL(p)=1 y VL(q) = 0.

La disyunción exclusivaSean p y q dos proposiciones. La

disyunción exclusiva de p y q es la proposición pvq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla.

Ejemplo: p: 17 es un número primo; q: 17 es un número par

p v q: ó 17 es un número primo ó 17 es un número par. VL(p v q) = 1, ya que VL(p) = 1 y VL(q) = 0.

El condicionalSean p y q dos proposiciones. El condicional con

antecedente p y consecuente q es la proposición p →q, que se lee "si p, entonces q", y cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla:

Ejemplo: Observe las proposiciones condicionales siguientes:

1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera). 2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).

Condicionales Asociados Dado un condicional p→q podemos asociarles los

siguientes condicionales:

1. Directo: p →q 2. Recíproco: q →p 3. Contrarrecíproco: ~ q → ~ p 4. Contrario: ~ p → ~ q

Ejemplo Escribir el recíproco, contrarrecíproco y contrario del

siguiente condicional: Si 5 es primo entonces 7 es impar.

Solución

* Recíproco: Si 7 es impar entonces 5 es primo. * Contrario: Si 5 no es primo entonces 7 no es impar. * Contrarrecíproco: Si 7 no es impar entonces 5 no es primo.

El BicondicionalSean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional

de p y q a la proposición p↔q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente para q", y cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.

La tabla nos dice que p↔q es verdadero cuando VL(p) = VL(q), y esa falsa cuando VL(p) ≠VL(q)Ejemplo: p: 2 + 1 = 3 ; q: 2< 3 p↔q : 2 + 1 = 3 si y sólo si 2< 3

Formas Proposicionales

A las nuevas expresiones que se obtienen al aplicar los conectivos lógicos a las variables proposicionales p, q, r, s, t, entre otros., se les llaman formas proposicionales, por ejemplo: t→ (q ^ ~ r) ~ [(p↔ s)^ (r↔ q)] son formas proposicionales y podemos decir, para ser más preciso que las variables proposicionales también son formas proposicionales.

Tablas de Verdad de las Formas Proposicionales

Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una proposición compuesta y depende de las proposiciones simples y de los operadores que contengan.

Las posibilidades de combinar valores de verdad dependen del número de proposiciones dadas.

Para una proposición (n = 1), tenemos 21 = 2 combinaciones Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 22 = 4 combinaciones Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinaciones Para n proposiciones tenemos 2n combinaciones

Tautologías y Contradicciones

Proposición Tautológica o Tautología Es aquella proposición molecular que es verdadera (es

decir, todos los valores en su conectivo principal de su tabla de verdad son (1) independientemente de los valores de sus variables.

Ejemplo:Probar que P v ~ P es una tautología

P v ~P 1 1 0 0 1 1

Contradicción

Es aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decir cuando los valores de su conectivo principal son todos 0) independientemente de los valores de sus variables proposicionales que la forman.

Por ejemplo, la proposición molecular del ejemplo siguiente es una contradicción, p ^ ~ p, para chequearlo recurrimos al método de las tablas de verdad.

Ejemplo: Probar que p ^ ~ p es una contradicción

p Ù ~ p1 0 00 0 1

Leyes del Algebra de Proposiciones

Leyes Idempotentes1.1. p ^ p =p 1.2. p v p = p

2.Leyes Asociativas 2.1. (P v q) v r =p v (q v r) 2.2. (P ^ q) ^r = p ^(q ^ r)3. Leyes Conmutativas 3.1. P ^q = q ^p 3.2. P v q = q v p 4. Leyes Distributivas 4.1. P v ( q ^ r ) = ( p v q ) ^ (p v r) 4.2. P ^ ( q v r ) = ( p ^q ) v (p ^ r)5. Leyes de Identidad 5.1. P v F =P 5.2. P ^ F = F5.3. P v V = V 5.4. P ^ V =P

6. Leyes de Complementación 6.1. P v ~ P = V (tercio excluido) 6.2. P ^ ~ P = F (contradicción)6.3. ~ ~ P = P (doble negación) 6.4. ~ V = F, ~ F = V

Otras Equivalencias Notables

a. p→ q = ~ p v q (Ley del condicional)b. p↔ q = (p→ q) ^ (q→ p) (Ley del bicondicional)c. p v q = ( p ^ ~ q ) v ( q ^ ~ p ) (Ley de disyunción exclusiva)d. p→ q = ~ q→ ~ p (Ley del contrarrecíproco)e. p ^ q = ~ ( ~ p v ~ q )f. (p v q ) → r ) = ( p → r ) ^ (q → r ) (Ley de demostración por casos)g. g. (p→ q) = (p ^ ~ q →F) (Ley de reducción al absurdo)

IMPORTANTE

Una de las grandes utilidades de las leyes dadas anteriormente es que nos permiten simplificar proposiciones. El procedimiento de probar que una proposición es equivalente a otra usando las leyes del álgebra proposicional, es llamada prueba deductiva.

Ejemplo

Probar deductivamente la ley de exportación ( p ^ q ) → r ) = ( p → (q → r ) Solución

( p ^ q ) → r = ~ ( p ^ q ) v r ( Ley condicional )= (~ p v ~ q) v r ( Ley de De Morgan)= ~ p v (~ q v r ) ( Ley asociativa )= ~ p v (q → r) ( Ley condicional)= p → (q → r) ( Ley condicional)

Circuitos Lógicos

Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una forma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma proposicional correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemos simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la misma función que el original.

Veamos los siguientes interruptores en conexión:

La conexión en serie: p^q

La conexión en paralelo: p v q

Ejemplo

Construir el circuito correspondiente a la siguiente expresión:

(p ^ q) v [( p ^ r) v ~ s)]Solución:

Ejemplo: Simplificar el siguiente circuito:

(p v q)^ (~ p v q)^ (~ p v ~ q) = [(p v q)^ (~ p v q)] ^ (~ p v ~ q) = [(p ^ ~ p) v q] ^ (~ p v ~ q) = [F v q] ^ (~ p v ~ q) = q ^ (~ p v ~ q) = ( q ^ ~ p) v (q ^ ~ q) = ( q ^ ~ p) v F = ( q ^ ~ p) ; esto es equivalente a: