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UN MODELO DE DURACIÓNMULTIFACTORIAL. UNA APLICACIÓN
EMPÍRICA
Sonia Benito Muela(mayo 2003)
Departamento de Fundamentos de Análisis II de la UCMCampus de Somosaguas (s.n.)
Email: soniabm@ccee.ucm.es;Tl: 91-394-23-53
Departamento de Análisis Económico II de la UNEDSenda del Rey, nº 11
Email: soniabm@cee.uned.esTl: 91-398-84-57
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UN MODELO DE DURACIÓNMULTIFACTORIAL. UNA APLICACIÓN
EMPÍRICA
resumenEn este trabajo se propone un vector de duraciones para la gestión del riesgo de precio de activos de
renta fija. El vector propuesto se deriva de un modelo de componentes principales. A partir de un modelo de este
tipo, y mediante una simple transformación de los factores explicativos de los cambios en la ETTI, que en estos
modelos son los tres primeros componentes principales de los datos, se obtiene un vector de duraciones
tridimensional, cuyos componentes miden la sensibilidad de los precios a cambios en unos tipos de interés a unos
plazos clave, o diferenciales de tipos de interés.
Palabra clave: Estructura Temporal de Tipos de Interés (ETTI), componentes principales, riesgo de precio.
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UN MODELO DE DURACIÓNMULTIFACTORIAL. UNA APLICACIÓN
EMPÍRICA
1. Introducción
En los últimos años se han desarrollado nuevos instrumentos para la gestión del
riesgo de precio de activos de renta fija. El desarrollo de tales instrumentos se ha producido
de forma paralela a los avances que a nivel teórico y empírico se están produciendo en el
estudio de la Estructura Temporal de Tipos de Interés (ETTI), y sobre todo con aquellos
relacionados con el estudio de factores comunes en la ETTI y los métodos de estimación.
Tradicionalmente la medida utilizada para la gestión del riesgo de precio de activos
de renta fija es la duración de Fisher y Weil. Esta medida recoge cuan sensible es el precio
de una referencia ante cambios uniformes en los tipos de interés, es decir, ante
desplazamientos paralelos de la ETTI. Su propia definición hace que esta medida presente
una limitación importante, ya que como se ha puesto de manifiesto en muchos trabajos
empíricos, muchos de los cambios que se suceden en la ETTI distan de ser de carácter
paralelo.
Ello ha hecho necesario el desarrollo de nuevas medidas de duración que permitan
cuantificar de forma más precisa cuan sensible es el precio de una referencia a los distintos
cambios que puedan producirse en la estructura temporal.
Las distintas medidas de duración desarrolladas para la gestión del riesgo de precio
de un activo de renta fija parten todas ellas de una filosofía común, que es la siguiente. La
alta correlación observada entre los tipos de interés a distintos plazos, hace plausible asumir
que el comportamiento dinámico de todo el conjunto de tipos en la estructura temporal puede
ser representado a partir de un número reducido de variables o factores. Bajo este supuesto
las nuevas medidas de duración desarrolladas tratan de medir cuan sensible es el precio de un
4
referencia a cambios en cada una de las variables o factores que guían el comportamiento de
la ETTI.
Algunas de éstas medidas las podemos encontrar en los trabajos de Barber y Cooper
(1996), Navarro y Nave (1997), Moreno (1997), y Gómez (1998). En estos trabajos las
medidas de duración propuestas son todas diferentes ya que parten de distintos modelos
explicativos de la ETTI.
En el trabajo de Navarro y Nave (1997) se plantea un modelo de factores de la ETTI
basado en el análisis de regresión. En este modelo las variables explicativas de los datos son
unos tipos de interés a unos plazos clave identificados mediante modelos de regresión.
Concretamente los plazos utilizados son dos: el tipo de interés a 3 años y el diferencial de
tipos de interés a 3 años y 2 meses. A partir del modelo propuesto se obtiene un vector de
duraciones bidimensional cuyos componentes miden la sensibilidad de los precios a cambios
en el tipo de interés a 3 años y en el diferencial de tipos 3 años/2 meses. Barber y Cooper
(1996) plantean un modelo de factores donde las variables explicativas de los cambios en la
ETTI son los tres primeros componentes principales de los datos, aquellos que
conjuntamente explican al menos el 95% de la variabilidad de los cambios en los tipos de
interés. A partir del modelo propuesto se obtiene un vector de duraciones tridimensional
cuyos componentes miden la sensibilidad de los precios a cambios en los tres primeros
componentes principales de los datos. En Moreno (1997) se parte de un modelo de
valoración de activos donde se asume que los precios de los bonos cupón cero son una
función de un número reducido de variables de estado que siguen un proceso de difusión.
Concretamente, Moreno supone que hay dos variables de estado, el tipo de interés
instantáneo y el diferencial entre el tipo instantáneo y el tipo a largo plazo. Asumido un
determinado proceso de difusión para las variables de estado, e imponiendo condiciones de
no arbitraje, obtiene expresiones analíticas para los precios de los bonos cupón cero a
distintos plazos de vencimiento. A partir de las expresiones obtenidas deriva un vector de
duraciones bidimensional cuyos componentes miden la sensibilidad de los precios a cambios
en el tipo de interés instantáneo el primero de ellos y el tipo a largo plazo el segundo. Por
último en el trabajo de Gómez (1998) se plantea un modelo paramétrico de duración
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multifactorial donde se asume que la variables explicativas de la ETTI son los parámetros
incorporados en la expresión utilizada para la estimación de la ETTI. Concretamente, la
expresión utilizada en este trabajo es la obtenida en el método de estimación propuesto por
Nelson y Siegel (1986). A partir del modelo propuesto se obtiene un vector de duraciones
tetradimensional cuyos componentes miden la sensibilidad de los precios a cambios en cada
uno de los cuatro parámetros que según el método propuesto por Nelson y Siegel (1986)
explican la formación de los tipos de interés.
En línea con el trabajo realizado por Barber y Cooper (1996), en este artículo
presentamos un modelo de factores de la ETTI basado en el análisis de componentes
principales. A partir del modelo propuesto, y mediante una simple transformación de los
factores explicativos de la ETTI, que son los tres primeros componentes principales de los
datos, obtenemos un vector de duraciones tridimensional cuyos componentes mide la
sensibilidad de los precios a cambios en unos tipos de interés a unos plazos clave, o
diferenciales de tipos de interés.
A diferencia del vector de duraciones presentado por Barber y Cooper(1996), cuyos
componentes miden la sensibilidad del precio ante cambios en los tres primeros
componentes principales de los datos, variables que nos son directamente interpretables, el
vector de duraciones que proponemos en este trabajo mide la sensibilidad del precio de un
bono ante cambios en tres variables que son conocidas por los inversores. La primera de
ellas es el tipo de interés a 3 años. La segunda es el diferencial de tipos de interés a 10 años/4
meses, y la tercera es una suma de diferenciales. El diferencial 10 años/3 años y 9 meses/3
años.
Frente a otros modelos desarrollados en la literatura, el modelo propuesto en este
trabajo tiene conjuntamente una serie de ventajas. En primer lugar, respecto a los modelos de
factores dinámicos o los modelos de valoración de activos (Moreno(1997)), los modelos de
componentes principales comparten con los modelos de regresión, la ventaja de que son muy
fácilmente implementables, lo que facilita su uso por parte de un inversor. Además, respecto
a los modelos teóricos de valoración de activos, los modelos de componentes principales
tienen también la ventaja de que en ellos las variables explicativas de la ETTI no se imponen
6
ad-hoc, ya que los componentes principales incluidos como variables explicativas de la ETTI
son las variables que resumen óptimamente la información contenida en la estructura
temporal.
Por último, frente a los modelos paramétricos (Gómez(1998)), los modelos de
componentes principales tienen la ventaja de que en ellos las variables explicativas de la
ETTI, aunque no son directamente interpretables, pueden ser conocidas mediante una simple
transformación.
De cara a la gestión del riesgo de precio de activos de renta fija, tan importante es
disponer de una medida de sensibilidad de los cambios en el precio ante cambios la ETTI,
como conocer la naturaleza de las variables o factores que determinan dichos cambios, lo
que es fundamental de cara a la formulación de expectativas o escenarios de posibles
cambios en la ETTI. A este respecto, el hecho de que en los modelos de componentes
principales las variables explicativas de la ETTI puedan ser conocidas mediante una simple
transformación, otorga a estos modelos un gran potencial, y es precisamente este hecho lo
que queremos resaltar en este trabajo.
El resto del trabajo se organiza como sigue. En la sección 2, derivamos
analíticamente como obtener un vector de duraciones a partir de un modelo de factores de la
estructura temporal. En la sección 3, describimos algunas características del análisis de
componentes principales y presentamos los resultados empíricos obtenidos para el mercado
español En la sección 4, identificamos los tres primeros componentes principales de los
datos con unos tipos de interés a unos plazos determinados y/o algunos diferenciales de tipos
de interés. En la sección 5, presentamos el vector de duraciones propuesto para la gestión de
carteras. Por último, en la sección 6, evaluamos mediante un ejercicio teórico, cuan bueno es
el vector de duraciones propuesto para aproximar los cambios en el precio teórico de un
amplio conjunto de referencias del mercado de deuda español.
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2. Aproximación lineal al riesgo de precio de un activo de renta fija. Un
vector de duraciones multifactorial
En economía financiera se asume que el precio que el mercado está dispuesto a pagar
por un activo de renta fija es igual a la suma descontada de los flujos de renta pendientes de
pago que ofrece ese activo. Así, utilizando factores de descuento continuos, el precio de un
bono j puede expresarse como sigue:
)),0(exp(1
ii
k
i
tj tRtFP
i−= ∑
=
(1)
donde (0, )iR t representa el tipo de interés cupón cero a plazo it , y 1 2 3, , ,...,
kt t t tF F F F
representan los pagos pendientes del bono j. El importe de estos pagos es igual al cupón por
el nominal, durante los k-1 primeros períodos, y lo mismo más el nominal en el instante k,
que es cuando vence el título.
En la expresión (1) se observa que en t, el precio que el mercado está dispuesto a
pagar por un activo de estas características, depende de los tipos de interés que exigen los
inversores a distintos plazos. De ello se deduce que cambios en los tipos de interés, hará que
cambien los precios cotizados en los mercados de deuda, donde se negocian estos activos.
Aunque la relación mantenida entre los precios y los tipos de interés no es lineal, podemos
aproximar sus cambios mediante la siguiente expresión:
∑=
=k
i
ii
jj tdR
todR
dPdP
1
),0(),(
(2)
∑ ∑= =
=k
i
k
i
ft
i
jj dfa
todR
dPdP i
i
1 1
}{),(
y en el caso particular en que k es igual a 3,
8
Supuesto que la estructura temporal puede ser explicada por un número reducido de
k variables o factores1, los cambios en el precio de un bono pueden aproximarse por:
}{),( 321
1
321 dfadfadfatodR
dPdP f
tf
t
k
i
ft
i
jj
iii++= ∑
=
Así las variaciones porcentuales en el precio de un bono (u obligación) pueden
aproximarse linealmente por la suma de tres componentes, cada uno de los cuales recoge el
efecto que sobre el precio de estos activos tienen cambios en los tres factores explicativos de
la ETTI:
321 321dfDdfDdfD
PdP
fff
j
++= (3)
donde, 1f
D , 2f
D , 3f
D se definen como:
1
11
1( , )f i
jkfj
ti i
dPD a
p dR o t=
= ∑
2
21
1( , ) i
jkfj
f ti i
dPD a
p dR o t=
= ∑
3
31
1( , ) i
jkfj
f ti i
dPD a
p dR o t=
= ∑
1 Suponemos que la ETTI puede ser explicada por k factores, de tal forma que el tipo de interés a un
plazo it se puede expresar como:
∑=
=k
i
if
ti fatR i
i
1
),0(
donde if
ita : recoge el efecto que el factor i-ésimo tiene sobre el tipo de interés a plazo it
9
De (3) se deduce que hay tantos vectores de duración susceptibles de ser utilizados
para la gestión del riesgo de precio como modelos explicativos de la ETTI haya.
En línea con el trabajo de Barber y Cooper(1996), en este artículo el modelo
utilizado para, en primer lugar, explicar el comportamiento de los tipos de interés y, en
segundo lugar, extraer las correspondientes medidas de duración, está basado en el análisis
de componentes principales. En la siguiente sección resumimos brevemente en que consiste
este de técnicas y presentamos los resultados empíricos obtenidos en el estudio realizado
para el mercado español.
3. Un modelo de componentes principales. Resultados empíricos.
Componentes principales
El análisis de componentes principales tiene como objetivo, dadas n observaciones
de k variables, analizar si es posible representar adecuadamente esta información con un
número mínimo de variables que sean combinación lineales de las originales.
Sea X una matriz de datos de orden n × k, donde en columnas se representan las
variables y en filas las n observaciones de cada una de las k variables. Para resumir la
información contenida en X definimos el siguiente modelo.
ijipkjijijji fafafaX ,,,2
2,1
1, ... ε++++= (4)
kj ,...,1= y ni ,...,1= ,
donde jiX , es la observación i-esima de la variable jX ; imf , es la observación i-esima del
componente m y mja representa el efecto que el componente m tiene sobre la variable jX .
En términos matriciales el modelo (4) puede expresarse como:
jpkjjjj fafafaX ε++++= ...2
21
1 (7)
kj ,...,1= .
10
Los vectores 1f , 2f , ..., pf , de orden n×1 se denominan componentes principales y
se definen como:
kkmmmm XaXaXaf +++= ...2
21
1
pm ,...,1=
donde jma representa el peso que la variable jX tiene en el componente m.
El análisis de componentes principales consiste en determinar la forma en que los
componentes principales resumen óptimamente la información contenida en X , es decir en
determinar el conjunto de coeficientes jma , para kj ,...,1= y pm ,...,1= tales que el error
cometido al aproximar X por el modelo (4) es mínimo.
El conjunto de coeficientes ( kaaa 121
11 ,..., ) son los coeficientes que definen el
autovector asociado al autovalor de mayor tamaño de la matriz de varianzas y covarianzas de
X . De la misma forma, los coeficientes ( kaaa 222
12 ,..., ) son los coeficientes que definen el
autovector asociado al segundo autovalor de mayor tamaño de la matriz de varianzas y
covarianzas de X , y así sucesivamente.
Este tipo de técnicas, permiten además determinar que proporción de la varianza
total de la matriz cuya información se quiere resumir, puede ser explicada por cada
componente principal.
La varianza del primer componente principal es el máximo autovalor asociado a la
matriz de varianzas y covarianzas muestral de los datos. La varianza del segundo
componente principal es el segundo autovalor de mayor tamaño de la matriz de varianzas y
covarianzas muestral de los datos, y así sucesivamente. De ello se deriva que la proporción
de varianza total explicada por el componente principal i-ésimo viene dada por:
11
∑=
=k
j
j
iip
1
λ
λ
donde iλ es el autovalor i-ésimo de la matriz de varianzas y covarianzas de los
datos, y ∑=
k
jj
1λ es la varianza total de la matriz de datos.
Por tanto, para estimar el modelo (4) lo único que se requiere es calcular los
autovectores asociados a los p mayores autovalores de la matriz de varianzas y covarianzas
de X , donde conviene recordar que X es la matriz cuya información se quiere resumir y p
es el número de componentes principales incluidos en el modelo.
Resultados empíricos
En esta sección presentamos los resultados empíricos obtenidos al aplicar técnicas de
componentes principales sobre las variaciones semanales de un amplio conjunto de tipos de
interés cupón cero del mercado español de deuda.
Dado que el objetivo último del trabajo realizado es poder obtener un vector de
duraciones para la gestión del riesgo de precio de los bonos y obligaciones negociados en el
mercado español de deuda pública, el estudio de componentes principales se ha realizado
sobre un conjunto muy amplio de tipos de interés.
Concretamente el estudio se ha realizado sobre tipos de interés cupón cero a 66
plazos distintos2. Estos plazos no han sido seleccionados al alzar, sino que se corresponden
con cada una de las fechas pendientes de pago de 27 referencias negociadas en el mercado
español el 2 de enero de 20013.
El período muestral analizado se extiende desde el 4 de enero de 1999 hasta el 2 de
enero de 2001. En dicho período se han calculado para los 66 plazos considerados las
variaciones semanales de los tipos de interés. Sobre las series obtenidas se ha llevado a cabo
el estudio de componentes principales cuyos resultados se exponen a continuación.
2 Para la estimación de los tipos de interés cupón cero se ha utilizado el método propuesto por Nelsony Siegel (1987).
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En la tabla 1 se presentan los diez primeros autovalores de la matriz de varianzas y
covarianzas de las variaciones semanales de los 66 tipos de interés considerados.
Tabla 1 Análisis de autovaloresVarianza
Varianza Explicada
Autovalores* Explicada Acumulada0.56 72.87 72.870.18 22.92 95.790.03 4.03 99.810.00 0.18 99.990.00 0.01 100.000.00 0.00 100.000.00 0.00 100.000.00 0.00 100.000.00 0.00 100.000.00 0.00 100.00
(*) Primeros 10 autovalores
El primer componente principal explica el 72,87% de la variabilidad total de las
variaciones semanales de los tipos de interés, el 22,92% el segundo componente y el 4,03%
el tercer componente principal. De esta forma conjuntamente los tres primeros componentes
explican casi el 100% de la variabilidad total de los cambios en la ETTI.
Sobre la base de estos resultados proponemos el siguiente modelo de factores de la
ETTI:
31 21 2 3(0, )
i i i i
ff fi t t t tR t a f a f a f ε∇ = ∇ + ∇ + ∇ + (5)
donde (0, )iR t representa la variación semanal del tipo de interés a plazo it y (0, )iR t∇ sus
variaciones semanales. 1f , 2f y 3f son los tres factores explicativos de la ETTI y 1f∇ ,
2f∇ y 3f∇ representan sus variaciones semanales. Aunque la naturaleza de estas variables
1f , 2f y 3f es desconocida, aproximamos sus variaciones semanales por los tres primeros
3 En la tabla 1, al final del artículo se presentan algunas características de los bonos utilizados.
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componentes principales de los datos. Así, en el modelo (5) 1f∇ , es el primer componente
principal; 2f∇ es el segundo componente principal y 3f∇ es el tercer componente principal.
En este modelo los coeficientes 1fti
a , 2fti
a y 3fti
a , son los coeficientes que recogen
respectivamente el efecto que sobre las variaciones semanales del tipo de interés a plazo it
tienen los tres primeros componentes principales. Estos coeficientes han sido estimados en el
análisis de componentes principales.
Para evaluar la bondad de ajuste del modelo propuesto se ha calculado el error
absoluto medio y mediano cometido al aproximar las variaciones semanales de los 66 tipos
de interés por las variaciones estimadas por el modelo (5), (ver gráfico 1). En la tabla 2,
presentamos el error absoluto medio y mediano para algunos plazos determinados.
Gráfico 1. Error absoluto medio y mediano
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0.0 0.4 1.0 1.4 2.1 2.6 3.2 4.2 5.2 6.2 7.6 9.2 11.1 13.6
punt
os b
ásic
os
Error Absoluto medio Error absoluto mediano
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Tabla 2. Validación del modelo de factores(*)
Años0.03 0.56 1.03 2.07 3.07 4.07 5.07 6.07 7.07 8.08 10.08 12.08 13.57
Error absoluto medio 0.5 0.0 0.2 0.3 0.1 0.2 0.3 0.4 0.4 0.3 0.1 0.6 1.0Error máximo 7.7 0.4 1.2 1.5 0.6 3.0 4.0 3.7 3.0 2.1 0.5 3.3 5.6Error mínimo -2.7 -1.1 -3.9 -2.8 -0.4 -0.9 -1.8 -2.2 -2.1 -1.5 -2.0 -4.8 -7.9Error absoluto mediano 0.4 0.0 0.2 0.2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.3 0.2 0.1 0.4 0.7(*) Los estadísticos ofrecidos estan expresados en puntos básicos
Como puede observarse el ajuste del modo propuesto es muy bueno ya que en todos
los plazos, el error medio cometido al aproximar las variaciones semanales de los tipos de
interés es inferior a 1 punto básico.
A continuación y con el objetivo de establecer algún tipo de paralelismo entre los
resultados obtenidos en este trabajo y los obtenidos en la literatura, se analiza la forma en
que los tres primeros componentes principales de los datos afectan a la ETTI. Conocer la
forma en que los tres primeros componentes principales de los datos, afecta a la estructura
temporal es interesante de cara a la formulación de escenarios por parte de un gestor
financiero.
En el gráfico 2 presentamos los coeficientes que recogen el efecto que los tres
primeros componentes principales tienen sobre la estructura temporal española, en los 66
plazos considerados. En la tabla 3 presentamos esos coeficientes para algunos plazos
determinados.
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Gráfico 2.
-0.40
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
0.10
0.20
0.30
0.0 0.4 1.0 1.4 2.1 2.6 3.2 4.2 5.2 6.2 7.6 9.2 11.1 13.6
Primer componente principal
Tercer componente principal
Segundo componente principal
Tabla 3. Factores de CargaAños
0.03 0.56 1.0 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 10.1 12.1 13.6Primer Componente 0.07 0.09 0.11 0.13 0.14 0.14 0.14 0.14 0.13 0.13 0.12 0.11 0.11Segundo Componente -0.31 -0.22 -0.15 -0.05 0.01 0.05 0.07 0.08 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09Tercer Componente 0.21 0.05 -0.04 -0.13 -0.13 -0.10 -0.05 0.01 0.06 0.10 0.17 0.21 0.24
Como puede observarse los coeficientes que determinan el efecto que cambios en el
primer componente principal tienen sobre los tipos de interés a plazos superiores a 1 año, son
todos positivos y de tamaño muy similar, lo que sugiere que este primer componente es
responsable de cambios paralelos en el tramo medio y largo de la curva de tipos. Por otra
parte, los coeficientes que determinan el efecto que el primer componente principal tiene
sobre los tipos de interés inferiores a un año son positivos, pero mas reducidos, lo que pone
de manifiesto que cambios en el primer componente alteran la pendiente de a ETTI en su
tramo corto.
En segundo lugar, se puede observar que los coeficientes que determinan el efecto
que cambios en el segundo componente principal tienen sobre la ETTI, son de signo positivo
en los tipos a largo plazo y negativos en los tipos a corto plazo. Ello sugiere que este
segundo componente es responsable de cambios en la pendiente largo/corto plazo de la
estructura temporal.
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Por último, los coeficientes que determinan el efecto que el tercer componente
principal tiene sobre la estructura temporal, en los plazos considerados en este trabajo, son
de signo positivo en los tipos a corto y largo plazo y negativos en los tipos a medio plazo, de
lo que se deduce que este componente es responsable de cambios en la curvatura de la
ETTI.
Los resultados obtenidos, tanto en lo que se refiere al número de componentes
necesario para explicar un porcentaje suficientemente elevado de la variabilidad de la ETTI,
como la forma en que los tres primeros componentes principales afectan a la estructura
temporal, son similares a los obtenidos por Alexander(2000), Barber y Cooper(1996),
Litterman y Scheinkman (1991) y Navarro y Nave (1995) para el mercado español.
4. Representación de los componentes principales como función de los tipos
de interés.
De cara a la formulación de escenarios y por tanto a la propia gestión de carteras, tan
importante es tener una buena medida de la sensibilidad del precio de un activo ante cambios
en un conjunto de factores, como conocer la naturaleza de las variables que explican el
comportamiento de la estructura temporal, o en su defecto conocer la forma en que estas
variables afectan a la ETTI. En ausencia de esta información no será posible formular
expectativas sobre las mismas ni formular escenarios de posibles cambios en la curva de
tipos, en cuyo caso las medidas de duración derivadas de un modelo de factores de este tipo,
no tendrán utilidad de cara a la gestión activa del riesgo de precio.
En este sentido, y dado que las variables explicativas de la ETTI en el modelo (5) no
son directamente interpretables, ya que los componentes principales son combinaciones
lineales de un amplio conjunto de tipos de interés, sería interesante evaluar si estos
componentes pueden ser identificados con unos tipos de interés a unos plazos determinados,
o con algunos diferenciales de tipos de interés.
Para evaluar si los componentes principales de los datos pueden ser identificados con
unos tipos de interés a unos plazos determinados, o con algunos diferenciales de tipos de
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interés, hemos calculado algunas correlaciones cuyas estimaciones presentamos en las tablas,
4, 5 y 6.
En la tabla 4 presentamos las correlaciones estimadas entre el primer componente
principal y las variaciones semanales de los tipos de interés a unos plazos determinados:
Tabla 4. Correlaciones contemporáneas. Primer componente y variaciones de tipos de interés
Años0.03 0.56 1.03 2.07 3.07 4.07 5.07 6.07 7.07 8.08 10.08 12.08 13.57
Primer Componente 0.34 0.60 0.78 0.95 0.97 0.97 0.96 0.95 0.93 0.92 0.89 0.85 0.82
Como puede observarse en la tabla 4, el primer componente principal está altamente
correlacionado con las variaciones semanales de los tipos de interés a medio plazo,
especialmente con los tipos de interés a tres y cuatro años. De ello se deduce que el primer
componente principal podría identificarse con el tipo de interés a 3 ó 4 años.
Estos resultados son consistentes con los obtenidos por Elton, Gruber y Macaulay
(1990) y Navarro y Nave (1997). En estos trabajos sus autores utilizan técnicas de regresión
para determinar que tipo de interés explica mejor las variaciones semanales de la ETTI. El
primero de los trabajos mencionados se ha realizado con datos del mercado de deuda
americano y el segundo de ellos con datos del mercado español. El hecho de que los
resultados obtenidos sean similares pone de manifiesto la robustez de los mismos, más aun,
si se tiene en cuenta que en estos trabajos se ha utilizado una metodología diferente, y
además el período muestra analizado y los plazos considerados son algo distintos.
El segundo componente principal puede ser identificado con un diferencial de tipos
de interés a largo y corto. Para determinar entre todos los posibles cual es aquel que
mantiene una correlación mayor con el segundo componente hemos calculado algunas
correlaciones, cuyas estimaciones presentamos en la tabla 5.
18
Tabla 5. Correlaciones contemporáneas. Segundo componente y diferenciales de tipos
0.32 0.56 0.65 1.03 2.075.07 0.93 0.95 0.95 0.96 0.936.07 0.95 0.96 0.96 0.96 0.897.07 0.96 0.97 0.97 0.96 0.858.08 0.97 0.97 0.97 0.95 0.819.08 0.97 0.97 0.97 0.94 0.76
10.08 0.98 0.97 0.97 0.93 0.7311.08 0.98 0.97 0.96 0.92 0.7012.08 0.98 0.96 0.96 0.91 0.6713.57 0.97 0.96 0.95 0.89 0.64
(*) Correlación:segundo componente y el diferencial de tipos a 5,07 años y 0,32 años
Como puede observarse las mayores correlaciones entre el segundo componente
principal y los diferenciales largo /corto plazo de la ETTI las mantiene con los diferenciales
entre tipos a 10 años y 4 meses, 11 años y 4 meses y 12 años y 4 meses, que es en los tres
casos de 0,98.
Elton, Gruber y Michaelly (1990) y Navarro y Nave (1997) analizan también que par
de variables explican conjuntamente mejor los cambios en la ETTI. En Navarro y Nave
(1997) se encuentra que es el diferencial de tipos a 3 años y 2 meses, la variables que junto
con el tipo a 3 años explica mejor los cambios en la ETTI.
Estos resultados son un tanto diferentes a los obtenidos en este trabajo. No obstante
ello podría explicarse por el hecho de que en los trabajos mencionados se han considerados
distintos plazos de tipos de interés, y en ninguno de los dos mencionados se han analizado
tipos de interés superiores a diez años.
Por último, el tercer componente principal puede identificarse con un diferencial de
pendientes entre el tramo largo y corto de la estructura temporal. No obstante, en este caso la
relación mantenida no es tan estrecha como la observada entre el primer componente
principal y algunos tipos de interés o como la observada entre el segundo componente y
algunos diferenciales de tipos de interés.
En la tabla 6 presentamos algunas correlaciones entre el tercer componente principal
y algunos diferenciales entre pendientes. Entre las presentadas la correlación más alta se ha
19
detectado entre el tercer componente y los diferenciales entre tipos a 10 años y 3 meses y 3
años y 9 meses.
Tabla 6. Correlaciones contemporáneasTercer componente y diferenciales de tipos
0,03/3,07 0,23/3,07 0,44/3,07 0,82/3,0713,57/3,07 0.69 0.71 0.73 0.7713,57/3,56 0.66 0.67 0.69 0.7312,07/3,07 0.69 0.70 0.72 0.7712,07/3,56 0.66 0.67 0.69 0.7311,07/3,07 0.68 0.70 0.72 0.7711,07/3,56 0.65 0.66 0.68 0.7210,07/3,07 0.68 0.69 0.71 0.7710,07/3,56 0.64 0.65 0.67 0.729,07/3,07 0.66 0.68 0.70 0.759,07/3,56 0.63 0.64 0.65 0.708,07/3,07 0.64 0.66 0.67 0.738,07/3,56 0.61 0.62 0.63 0.67
(*) correlación: tercer componente y suma de diferenciales 13.57/3.07 y 0.82/3.07
Los resultados obtenidos en esta sección son interesantes por cuanto que ponen de
manifiesto que los tres primeros componentes principales de las variaciones semanales de los
tipos de interés pueden ser identificados con unos tipos de interés a unos plazos clave, o
algunos diferenciales de tipos de interés. Para resumir podríamos decir que el primer
componente principal podría ser identificado con el tipo de interés a 3 ó 4 años. El segundo
componente principal con el diferencial 10 años/4 meses, 11 años/4 meses y/o 12 años/4
meses. Y por último, el tercer componente principal puede ser identificado con el diferencial
de pendientes entre los plazos de 10 años/3 años y 3 años/9 meses.
5. Un vector de duraciones multifactorial.
En la sección 3 de este artículo proponemos un modelo de factores para explicar los
cambios semanales en los tipos de interés de la deuda española. En este modelo las variables
explicativas de los datos, son los tres primeros componentes principales, aquellos que
20
conjuntamente explican casi el 100% de la variabilidad de los cambios semanales en la
ETTI.
Utilizando el modelo propuesto en (5), podemos aproximar linealmente los cambios
en el precio de un bono como la suma de tres componentes, tal y como se recoge en (6):
3121 321fDfDfD
PP j
fjf
jf
j
∇+∇+∇=∇
(6)
donde, 1f∇ , 2f∇ y 3f∇ representan los tres primeros componentes principales de los datos
y 1
jfD ,
2
jfD , y
3
jfD son los tres componentes del vector de duraciones. Cada uno de estos
componentes recoge respectivamente cuan sensible es el precio del bono j a cambios en el
primer, segundo y tercer componente principal, que son las variables que en el modelo (5)
explican los cambios semanales de los tipos de interés. Dichos componentes se calculan
como:
∑=
=k
i
ft
i
j
f ia
todR
dPD
1
1
1 ),(, ∑
=
=k
i
ft
i
j
f ia
todRdP
D1
2
2 ),( y ∑
=
=k
i
ft
i
j
f ia
todR
dPD
1
3
3 ),(
donde j
i
fta para 3,2,1=j , recoge el efecto que sobre el tipo de interés a plazo it tiene un
cambio en el j-ésimo componente principal. Estos coeficientes han sido calculados en el
análisis de componentes principales.
De cara a la gestión del riesgo de precio, la utilidad del vector de duraciones
propuesto en (6) queda limitada por el hecho de que, como puede observarse en (6), estos
componentes miden la sensibilidad del precio de un activo ante cambios en los tres primeros
componentes principales de los datos, variables que no son directamente interpretables. En
este sentido creemos que podría ser interesante transformar el vector de duraciones de tal
forma que sea posible expresar los cambios en el precio de un bono como una función lineal
de variables conocidas e interpretables.
21
Con tal objetivo, y sobre la base de los resultados presentados en la sección 4,
proponemos la siguiente transformación de los factores:
[ ]1 1
1 2 3 2 2
3 3
0 0
0 0
0 0
a X
f f f a X
a X
∇ ∇ ∇ ∇ = ∇ ∇
(7)
donde la variable 1X representa el tipo de interés a 3 años. 2X representa el diferencial de
tipos de interés a tipo de interés a 10 años y 4 meses, y 3X representa una suma de
diferenciales, 10años/3 años y 9 meses/3 años. Los coeficientes, 1a , 2a , y 3a han sido
obtenidos al estimar por MCO las siguientes regresiones:
1 1 1 1f a X ε∇ = ∇ + (1)
2 2 2 2f a X ε∇ = ∇ + (2)
3 3 3 3f a X ε∇ = ∇ + (3)
Los coeficientes estimados, presentados en el apéndice I al final del artículo, son
todos positivos y estadísticamente significativos. El coeficiente de determinación de las
regresiones estimadas es del 95% en la primera; del 95% en la segunda y del 56% en la
tercera.
Utilizando la transformación propuesta en (7) podemos expresar los cambios en el
precio de una referencia como sigue.
321 321XDXDXD
PP j
Xj
Xj
X
j
∇+∇+∇=∇
(9)
donde, jXD
1, j
XD2, y j
XD3
son los tres componentes del vector de duración propuesto y se
calculan como:
22
111aDD j
fj
X = ; 222aDD j
fjX = y 333
aDD jf
jX =
cada uno de estos componentes mide respectivamente como cambiará el precio de un bono
cuando cambie, el tipo de interés a 3 años, diferencial de tipos de interés a 10 años /4 meses
y la suma de diferenciales a 10 años/3 años y 9 meses/3 años.
6. Aproximación lineal al riesgo de precio. Resultados Empíricos.
En esta sección presentamos los resultados empíricos obtenidos al utilizar el vector
de duraciones propuesto en (9) para estimar, bajo distintos escenarios de cambios en la
ETTI, los cambios en el precio de 27 de las referencias cotizadas en el mercado secundario
español el 2 de enero de 2001.
Para evaluar la bondad de los resultados obtenidos, comparamos dichas estimaciones
con los cambios producidos en el precio teórico de cada referencia bajo cada unos de los
escenarios propuestos.
Para la realización de este ejercicio se ha calculado previamente el vector de
duraciones sin transformar de las 27 referencias consideradas,
},,{~321
jX
jX
jX
j DDDD =
donde:
111aDD j
fj
X = ; 222aDD j
fjX = y 333
aDD jf
jX =
y recordamos que:
i
hhi
fthht
k
h
hj
jf atRtFt
PD )),0(exp(
1
1
−−= ∑=
para 3,2,1=i y 27,...,2,1=j .
El conjunto de coeficientes 1f
hta , 2f
hta y 3f
hta para los 66 plazos de tipos de interés
considerados se obtuvo del análisis de componentes principales.
23
Recordamos que los coeficientes 1f
hta , 2f
hta y 3f
hta recogen respectivamente cuan
sensible es el tipo de interés a plazos ht ante cambios en el primero, segundo y tercer
componentes principal. Para los 66 tipos de interés considerados en este trabajo estos
coeficientes fueron estimados en el análisis de componentes principales presentado en la
sección 3.
En la segundo columna de la tabla 7 presentamos la duración de Fisher y Weil, y en
las columnas 3 a 5 los tres componentes del vector de duraciones propuesto.
Tabla 7. Vector de duraciones D.Fisher Dx1 Dx2 Dx3
B4.25 1.52 1.26 -0.38 -0.20O-11.30 0.93 0.68 -0.39 -0.05B-7.90 1.08 0.81 -0.40 -0.08
O-10.30 1.35 1.08 -0.39 -0.15B-3.00 1.99 1.75 -0.26 -0.33B-5.25 1.93 1.70 -0.26 -0.32
O-10.90 2.39 2.20 -0.11 -0.41B-4.60 2.44 2.25 -0.11 -0.43
O-10.50 2.57 2.39 -0.05 -0.44O-8.00 3.01 2.87 0.16 -0.48O-4.50 3.33 3.20 0.27 -0.51B-3.25 3.77 3.66 0.48 -0.48
O-10.00 3.42 3.30 0.38 -0.42B-4.95 4.13 4.01 0.62 -0.40
O-10.15 4.00 3.86 0.64 -0.29O-8.80 4.34 4.18 0.74 -0.24O-7.35 5.05 4.80 1.01 0.00O-6.00 5.71 5.33 1.24 0.29O-8.20 6.09 5.54 1.33 0.57O-5.15 6.97 6.26 1.58 0.87O-4.00 7.39 6.52 1.71 1.12O-5.40 8.48 7.23 1.95 1.63O-8.70 7.56 6.41 1.67 1.42O-6.15 8.50 7.00 1.91 1.88O-4.75 9.91 7.84 2.23 2.53
24
Como puede observarse en la segunda columna de la tabla 7, el primer componente
del vector de duraciones, denotado por 1XD , es muy similar a la duración de Fisher y Weil
para todas las referencias. Este resultado no es extraño, ya que la duración de Fisher y Weil
mide la sensibilidad del precio de un activo ante cambios paralelos en la ETTI, y en nuestro
caso, el primer componente genera cambios casi de carácter paralelo en la ETTI.
Respecto al signo y el tamaño de los componentes de duración calculados cabe
mencionar lo siguiente:
1) En primer lugar, cabe observar que el primer componente de los vectores de
duración calculados es positivo en todos los casos. Ello significa que cambios en el
tipo de interés a tres años lleva asociado variaciones inversas en los precios de todas
las referencias. Si el tipo a 3 años aumenta, caerá el precio de todas las referencias,
mientras que si disminuye, aumentará el precio de todas las referencias. Por otro
lado, cabe señalar que la sensibilidad de los precios ante en esta variable es mayor en
los bonos y obligaciones con mayor duración tradicional y/o con mayor del tipo
1XD .
2) En segundo lugar, el segundo componente de los vectores de duración calculados es
negativo en las referencias con cupones del 4,25%, 11,30%, 7,90%, 10,30%, 3,00%,
5,25%, 10,90%, 4,60% y 10,50% y positivo en el resto. Ello significa que un
aumento en el diferencial de tipos de interés 10 años/4 meses, generará aumentos en
el precio de las referencias con cupones del 4,25%, 11,30%, 7,90%, 10,30%, 3,00%,
5,25%, 10,90%, 4,60% y 10,50% y caídas de precio en el resto (y viceversa).
A la vista de estos resultados, podríamos decir que a fecha del “2 de enero de 2001”
un desplazamiento ascendente y casi paralelo de la ETTI acompañado de un aumento
en su pendiente, entendida como el diferencial de tipos a 10 años y 3 meses, va a
generar menores caídas en precio en los bonos con cupones de referencia del 4,25%,
11,30%, 7,90%, 10,30%, 3,00%, 5,25%, 10,90%, 4,60%, 10,50% que en el resto (y
viceversa).
25
3) En tercer lugar, el tercer componente del vector de duración propuesto es negativo en
los bonos con un plazo residual de amortización inferior a 5,33 años y positivo para
aquellos que tienen un plazo residual de amortización superior a 7 años. Observar
además, que el tercer componente del vector de duraciones propuesto, es nulo para el
bono cupón 7,35%. Ello significa que esta referencia no es sensible a cambios en la
curvatura de la ETTI.
A continuación, presentamos los resultados obtenidos al utilizar los vectores de
duración presentados en la tabla 7, para estimar los cambios en el precio de cada referencia
ante distintos escenarios de cambios en la ETTI, y comparamos dichas estimaciones con las
producidas en el precio teórico de cada referencia bajo cada uno de los escenarios propuestos
(ver gráfico 3).
Bajo un primer escenario suponemos que el tipo de interés a 3 años aumenta 50
puntos básicos, lo que es equivalente a asumir que la ETTI se va a desplazar de forma
ascendente y casi paralela. Bajo un segundo escenario suponemos que la pendiente de la
ETTI, medida por el diferencial a 10 años/4 meses aumenta 50 pb., situándose en 100 puntos
básicos. Por último bajo un tercer escenario, suponemos que la suma de diferenciales 9
meses/3 años y 10 años/3 años aumenta también 50 puntos básicos.
En la tabla 8 presentamos los cambios estimados en las 27 referencias consideradas
bajo cada uno de los tres escenarios propuestos.
Bajo el primer escenario, donde hemos supuesto que el tipo de interés a 3 años
aumenta 50 pb., se producen caídas en el precio de todas las referencias cotizadas, y como
cabría esperar, dichas caídas son mayores en aquellas referencias que tienen una duración
tradicional mayor, y/o equivalentemente en aquellas con una duración del tipo 1XD mayor.
Bajo el segundo de los escenarios propuesto, los bonos que duraciones del tipo 2XD
negativas, experimentan aumentos de precio, mientras que aquellos que tienen duraciones
del tipo 2XD positivos experimentan caídas de precio. Por último, bajo el tercero de los
escenarios propuestos, los bonos y obligaciones con duración tradicional inferior a 5,33 años
26
experimentan aumentos en precio, mientras que el precio de las referencias con un plazo
residual de amortización superior a 7 años caerá. El precio del bono cupón 7,35% se no se
verá afectado.
En la tabla 8 presentamos también los cambios producidos en el precio teórico de
cada referencia bajo cada uno de los escenarios propuestos. Como puede observarse, los
cambios estimados por el modelo (6), son para casi todos los bonos y en los tres escenarios
propuestos, muy similares a los producidos en los precios teóricos de cada referencia. Ello
sugiere que el vector de duraciones propuestos es adecuado para la gestión del riesgo de
precio de la deuda pública española.
Estructura Temporal de Tipos de Interés (deuda pública española)
4.00
4.20
4.40
4.60
4.80
5.00
5.20
5.40
5.60
5.80
0.0 0.3 0.6 1.1 1.4 2.1 2.4 3.1 3.4 4.2 5.2 6.1 7.1 8.2 9.6 11.1 12.6
(%)
ETTI( 2ene01) Primer escenario Segudo escenario Tercer escenario
27
Tabla 8. Cambios porcentuales en los precios
Primer escenario Segudo escenario Tercer escenario Primer escenario Segudo escenario Tercer escenario
B4.25 -0.63 0.19 0.10 -0.63 0.19 0.10O-11.30 -0.34 0.19 0.02 -0.34 0.19 0.02B-7.90 -0.41 0.20 0.04 -0.41 0.20 0.04
O-10.30 -0.54 0.20 0.08 -0.54 0.20 0.08B-3.00 -0.87 0.13 0.17 -0.88 0.13 0.17B-5.25 -0.85 0.13 0.16 -0.85 0.13 0.16
O-10.90 -1.09 0.05 0.21 -1.10 0.05 0.21B-4.60 -1.11 0.05 0.22 -1.12 0.05 0.22
O-10.50 -1.18 0.02 0.22 -1.19 0.02 0.22O-8.00 -1.42 -0.08 0.24 -1.44 -0.08 0.24O-4.50 -1.58 -0.13 0.25 -1.60 -0.13 0.25B-3.25 -1.81 -0.24 0.24 -1.83 -0.24 0.24
O-10.00 -1.63 -0.19 0.21 -1.65 -0.19 0.21B-4.95 -1.98 -0.31 0.20 -2.01 -0.31 0.20
O-10.15 -1.91 -0.32 0.15 -1.93 -0.32 0.15O-8.80 -2.06 -0.37 0.12 -2.09 -0.37 0.12O-7.35 -2.36 -0.50 0.00 -2.40 -0.50 0.00O-6.00 -2.62 -0.61 -0.14 -2.67 -0.62 -0.14O-8.20 -2.73 -0.66 -0.28 -2.77 -0.66 -0.29O-5.15 -3.08 -0.79 -0.43 -3.13 -0.79 -0.43O-4.00 -3.21 -0.85 -0.56 -3.26 -0.86 -0.56O-5.40 -3.57 -0.98 -0.81 -3.61 -0.98 -0.81O-8.70 -3.14 -0.83 -0.71 -3.20 -0.84 -0.71O-6.15 -3.43 -0.95 -0.93 -3.50 -0.96 -0.94O-4.75 -3.84 -1.11 -1.25 -3.92 -1.12 -1.26
Cambios en los precios teóricos Cambios en precios estimados por el modelo
7. Conclusiones
En este artículo se propone un vector de duraciones para la gestión del riesgo de
precio de activos de renta fija. El vector propuesto parte de los modelos basados en el
análisis de componentes principales. A partir de un modelo de este tipo, y mediante una
simple transformación de los factores explicativos de los cambios en la ETTI, que en estos
modelos son los tres primeros componentes principales de los datos, se obtiene un vector de
duraciones tridimensional cuyos componentes miden la sensibilidad de los precios a cambios
en unos tipos de interés a unos plazos clave, o diferenciales de tipos de interés. El primer
componente mide la sensibilidad de los precios a cambios en el tipos de interés a 3 años. El
segundo componentes mide la sensibilidad de los precios a cambios en el diferencial de tipos
28
de interés a 10 años y 4 meses. Por último, el tercer componente, mide la sensibilidad de los
precios a cambios en la curvatura de la ETTI, la cual pude ser medida por la siguiente suma
de diferenciales: el diferencial de tipos 10 años/3 años y 9 meses/3 años.
Para la obtención del vector de duraciones propuesto en este trabajo se han aplicado
técnicas de componentes principales sobre un amplio conjunto de tipos de interés,
concretamente sobre tipos de interés a 66 plazos distintos. En línea con los resultados
obtenidos en la literatura encontramos que los tres primeros componentes principales de los
datos explican conjuntamente casi el 100% de la variabilidad total de los cambios en la
ETTI. Dichos resultados sugieren que se necesita un mínimo de tres variables para explicar
las variaciones semanales de los tipos de interés de la deuda pública española.
En este trabajo además de determinar cuántas variables son necesarias para explicar
los cambios en la curva de tipos, se ha analizado la relación mantenida entre los tres
primeros componentes principales de los datos y los tipos de interés a unos plazos
determinados, así como algunos diferenciales de tipos de interés. Fruto de tal análisis se ha
encontrado que el primer componente principal podría ser identificado con la variación
semanal del tipo de interés a 3 años. Con esta variable mantiene una correlación del 0,97. El
segundo componente principal podría ser identificado con las variaciones semanales del
diferencial de tipos de interés a 10 años y 4 meses, con respecto al cual mantiene una
correlación de 0,98. Por último, el tercer componente principal podría ser identificado con
una suma de diferenciales: el diferencial 10 años/3 años y el diferencial 9 meses /3 años. Con
respecto a esta variable la correlación estimada es del 0,77%.
Teniendo en cuenta estos resultados hemos transformado los tres primeros
componentes principales de los datos, que quedan explicados por unos tipos de interés a unos
plazos clave. Utilizando dicha transformación s posible explicar los cambios en el precios de
cada referencia por la suma de tres componentes, cada uno de los cuales recoge el efecto que
sobre los precios tendrán cambios en el tipo de interés a 3 años, el primero de ellos; en el
diferencial de tipos de interés a 10 años y 4 meses el segundo; y en la suma de diferenciales:
a 10 años/3 años y 9 meses/3 años, el tercero.
29
APÉNDICE I: ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Modelo estimado para transformar los factores explicativos de cambios en la ETTI:
[ ]
+
∇∇∇
=∇∇∇
3
2
1
3
2
1
3
2
1
321
00
00
00
εεε
X
X
X
a
a
a
fff
donde:
Variables dependientes:
1f∇ : Representa el primer componente principal
2f∇ : Representa el segundo componente principal
3f∇ : Representa el tercer componente principal
Variables independientes:
1X∇ : representa las variaciones semanales de tipo de interés a 3 años
2X∇ : representa las variaciones semanales del diferencial de tipos 10 años/4 meses
3X∇ : representa las variaciones semanales de la suma de diferenciales: 10 años/3años y 9 meses/3
años
RESULTADOS DE LAS ESTIMACIONES ECONOMÉTRICAS
Variablesdependientes
Variablesindependientes
Coeficientes(std)
Estadísticot- student
p-valor 2R
1f∇ 1X∇ 1a 6.93(0.005)
95.42 0.00 0.95
2f∇ 2X∇ 2a 2.75(0.001)
98.16 0.00 0.95
3f∇ 3X∇ 3a 1.31(0.002)
26.85 0.00 0.59
30
Tabla 1. BONOS Y OBLIGACIONES DEL ESTADOFecha de Plazo residual de Duración
Amortización amortización Fisher-WeilB4.25 30-jul-02 1.57 1.52
O-11.30 15-ene-02 1.04 0.93B-7.90 28-feb-02 1.16 1.08
O-10.30 15-jun-02 1.45 1.35B-3.00 31-ene-03 2.08 1.99B-5.25 31-ene-03 2.08 1.93
O-10.90 30-ago-03 2.66 2.39B-4.60 30-jul-03 2.57 2.44
O-10.50 30-oct-03 2.82 2.57O-8.00 30-may-04 3.41 3.01O-4.50 30-jul-04 3.58 3.33B-3.25 31-ene-05 4.08 3.77
O-10.00 28-feb-05 4.16 3.42B-4.95 30-jul-05 4.58 4.13
O-10.15 31-ene-06 5.08 4.00O-8.80 30-abr-06 5.33 4.34O-7.35 31-mar-07 6.24 5.05O-6.00 31-ene-08 7.08 5.71O-8.20 28-feb-09 8.16 6.09O-5.15 30-jul-09 8.58 6.97O-4.00 31-ene-10 9.08 7.39O-5.40 30-jul-11 10.58 8.48O-8.70 28-feb-12 11.16 7.56O-6.15 31-ene-13 12.09 8.50O-4.75 30-jul-14 13.58 9.91
(*) Datos correspondientes al 2 de enero de 2001
31
BIBLIOGRAFÍA
Alexander C.(2000). “A Primer on the Orthogonal GARCH Model”. ISMA Centre, The
Business School for Financial Markets, University of Reading.
Barber J. R. y M.L. Cooper(1996). “Immunization Using Principal Component Analysis”,
The Journal of Porfolio Management, pp. 99-105
Barret, W.B., T.F. Gosnell y A. J. Heuson(1995). “Yield Curve Shifts and the seletion
Framework”, Journal of Fixed Income, septiembre, pp. 52-64.
Bierwag G. O.(1987) “Análisis de la duración. La gestión del riesgo del tipo de interés”.
Alianza Economía y Finanzas.
Contreras D., R. Ferrer, E. Navarro y J. M. Nave (1996). “Análisis Factorial de la Estructura
Temporal de los Tipos de Interés en España”. Revista española de Financiación y
Contabilidad. nº 86, 139-160
Domínguez y Novales(2000). “Testing the Expectationes Hypotesis in Eurodeposits”.
Journal of International Money and Finance, octubre 2000.
Domínguez y Novales (2002). “A factor model of term structure slopes in Eurocurrency
markets”. Applied Economics Letters, 9, pp: 585-593.
Elton E.J., M Gruber y R. Michaelly (1990). “The Structure of Spot Rates and
Immunization”. The Journal of Finance, Vol 45, N. 2, pp. 629-642.
Fisher, L. Y R.L. Weil (1971). “Coping with Risk of Interest Rates Fluctuaion: Returns to
Bond Holders from Naive and Optimal Strategies”. Journal of Business, 44(4):(111-118.)
Gómez I.(1998). “Estructura Temporal de Tipos de Interés en el mercado español de deuda
pública: Caracterización, dinámica e implicaciones para la gestión de carteras de renta
fija”. Tesis doctoral. U. de Huelva.
Gómez y Novales(1997). “Estrategias de Inmunización ante posibles desplazamientos en la
Estructura Temporal”. Publicado en Análisis, Analistas Financieros Internacionales, enero-
1997, pp15-39.
32
Litterman R. y Scheinkman J. (1991). “Common Factors Affecting Bond Returns”. Journal of
Fixed Income, Junio, pp. 54-61.
Macaulay, F.R.(1938). “Some Theorical Problems Suggested by the Movement of Interest
Rates, Bond Yields and Stock Prices in the United States Since 1856”. New York: National
Bureau of Economic Research.
Moreno M.(1996). “A Two_Mean Reverting Factor Model of the Term Structure of Interest
Rates”. Documento de trabajo de la U. Pompeu fabra.
Moreno(1997). “Risk Management under a Two-Factor Model of the Term Structure of
Interest Rates”. Papel presentado en el VII Foro de Finanzas (Valencia 1999).
Navarro E. y J. M. Nave (1995). “Análisis de los factores de riesgo en el mercado español
de deuda pública”. Cuadernos Aragoneses de Economía, 2º época, 5, nº 2, 331-341.
Navarro E. y J.M. Nave (1997). “A Two-Factor Duration Model for Interest
Rates Risk Management”. Investigaciones Económicas, Vol XXI (1), enero pp. 55-74.
Nuñez Ramos, Soledad(1995), “Estimación de la Estructura Temporal de Tipos de Interés
en España: Elección entre métodos alternativos”, Documento de trabajo del Banco de
españa, N. 95-22.
33
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