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Uma Introdução Sucinta
à Teoria dos Grafos
Paulo Feofiloff
Yoshiharu Kohayakawa
Yoshiko Wakabayashi
IME–USP
www.ime.usp.br/˜pf/teoriadosgrafos/
25/10/2004 11:00
1
Prefácio
2
Grafos são bons modelos para muitos problemas em
• matemática e combinatória
• informática e computação
• física
• biologia
• engenharia
• pesquisa operacional
• muitos ramos da indústria
Trataremos de quatro temas
• conjuntos estáveis
• coloração de vértices
• emparelhamentos
• coloração de arestas
Outros temas: planaridade, isomorfismo, conexidade, fluxo, circuitoshamiltonianos, florestas e árvores, grafos aleatórios.Alguns aparecem em outros cursos da Bienal
3
AULA 1A
Conceitos básicos
4
Grafos
• conjunto de vértices
• conjunto de arestas
• aresta = par de vértices
• vértices adjacentes
• G = (V, A)
Vértices: u, v, w, x, y, z, t
Arestas: vw, uv , xw, xu, yz , xy
t t ttt
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PPPPPP
PPPPP�����v
u
w yx
z
t
G
• n = número de arestas
• m = número de arestas ≤(n2
)
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25
15
14
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13
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23
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completo Petersen cubo
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estados adjacentes grafo da damabispo
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pontos no plano bipartido bipartido completouv ∈ A
ssed(u, v) < 2
0 1 0 11 0 1 00 1 0 11 0 1 0
matriz {0,1} simétrica cavalo (bipartido)
• grau de um vértice: g(v)
• grau máximo do grafo: ∆(G)
• grau mínimo do grafo: δ(G)
7
AULA 1B
Conjuntos estáveis
cliques
coberturas
8
Cliques
Clique : conj de vértices dois-a-dois adjacentes
X é clique sse G[X] é completo
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tt t tt@
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��
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• clique maximal
• clique máxima
• ω(G) := maxX |X|
Dama 4× 4
clique maximal clique máxima
9
Conjuntos estáveis
X ⊆ V (G)
X é estável se seus elementos são
dois-a-dois não-adjacentes
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cc
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• conj estável maximal
• conj estável máximo
• α(G) := maxX |X|
Fato: α(G) = ω(G)
10
Exemplo 1: postos de gasolina
Exemplos 2 e 3:
dama α = 5 cavalo α = 13
11
Conj estável máximo no grafo dos estados do Brasil?no grafo da rainha 100× 100?
Complexidade computacional
• Calcular α(G): tempo 2n(G)
• Isso não é aceitável na prática
• Mas não vamos tratar de algoritmos
• Nosso enfoque: delimitações de α(G)
• α(G) ≤ ?? α(G) ≥ ??
• Relação entre α(G) e outros parâmetros de G
Intuição: α tanto maior quanto menor for ∆
12
Delimitação inferior: α(G) ≥n(G)
∆(G) + 1
PROVA: Exibir cj estável grande
• Tome cj estável maximal X
• |∇(X)| =∑
x g(x) ≤ |X| ·∆• |V r X| ≤ |∇(X)|• n = |X|+ |V r X| ≤ |X|+ |∇(X)| ≤ |X| · (1 + ∆)
• |X| ≥ n∆+1
Comentários sobre ∇ e espaço dos cociclos
Generalização: α(G) ≥∑v
1
g(v) + 1
13
Delimitação superior: α(G) ≤m(G)
δ(G)
PROVA: Para qualquer conj estável X
m ≥ |∇(X)| =∑
x g(x) ≥ |X| · δ
Importância de delimitações superiores:
se X é estável e |X| =⌊mδ
⌋então X é máximo
Ciclo C2p+1 : |X| = p = bmδc
Bipartido Kp,q (p ≤ q): |X| = q = pqp
= mδ
14
Delimitação superior: α(G) ≤ n(G)− p(G)/2
p(G) := posto da matriz de adjacências
Exemplo:
t tttt�������PPPPPPP�������P
PPPPPP
PPPPP2
1
3 54
M(G) =
0 1 0 1 01 0 1 0 00 1 0 1 01 0 1 0 10 0 0 1 0
Delimitação superior: α(G) ≤ maxX
e′Xe
uv ∈ A(G) ⇒ Xuv = 0∑v Xvv = 1
X � 0
15
Maioria dos grafos têm α pequeno:
α(G) < 2.2 log2 n
para quase todo G
limn→∞|P||G| = 1
Exemplo: 99.9% dos grafos com 1024 vérticestêm α < 22 = 2.2 log2 1024
Grafos aleatórios
16
Por menor que seja ε > 0, α(G) < (2 + ε) log2 n
para quase todo G
PROVA:
• k :=⌈(2 + ε) log2 n
⌉• Mostrar que lim
n→∞|G r P||G|
= 0
• X ⊆ V (G), |X| = k, N =(n2
), K =
(k2
)• X é estável em 2N−K dos grafos
• |G r P| ≤ nk 2N−K
•|G r P||G|
≤nk
2K
17
Cliques vs cjs estáveis: números de Ramsey
Intuição: se α é pequeno estão ω é grande
Teorema de Ramsey: Para todo s e t todo G tem
α(G) ≥ s ou ω(G) ≥ t
desde que n(G) ≥ R(s, t)
• Prove que R(s, t) ≤(s+t−2
s−1
)• Dica R(s, t) ≤ R(s− 1, t) + R(s, t− 1)
Exemplo: R(3,3) = 6
18
Coberturas
X ⊆ V (G) é uma cobertura se
toda aresta tem pelo menos uma ponta em X
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ttt
��� S
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SS
• cobertura minimal
• cobertura mínima
• β(G) := minX |X|
Fato: β = n− α
PROVA: X é cobertura ⇔ V r X é estável
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19
Exercícios para amanhã
• Conj estável máximo do grafo da dama 8× 8
• Conj estável máximo do grafo do bispo t× t
20
AULA 2
Emparelhamentos
21
Emparelhamentos
E ⊆ A(G)
E é emparelhamento se |E ∩∇(v)| ≤ 1 para todo v
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cc
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Grafo das arestas de G:emparelhamento >>> conj estável
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PPPPPP
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G
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yzvw wx
uxxy
G′
• emp maximal
• emp máximo
• α′(G) := maxE |E|22
maximal máximo
Delimitação: α′(G) ≤ β(G)
PROVA: |E| ≤ |C| para qquer emp E e qquer cob C
t t ttttt
t tt tt t t
Se |E| = |C| então E é máximo
23
Infelizmente, α′ < β para muitos grafos
Mas. . .
Teorema de König:
Se G é bipartido então α′(G) = β(G)
Antes de provar o teorema:desvio para estudar emps que saturam um lado da bipartição
24
Caso bipartido
• Grafo (U, W )-bipartido
• Queremos emp que satura U
• Condições de existência?
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Exemplos:
• moças e rapazes• representantes distintos
Condição de Hall: |Γ(X)| ≥ |X| para todo X ⊆ U
Fato: Se existe emp E que satura U
então vale cond de Hall
PROVA:• H := (V (G), E)
• |ΓG(X)| ≥ |ΓH(X)| = |X| para todo X
25
Teorema de Hall:Se vale cond de Hall então existe emp que satura U
PROVA, por indução em |U |:Se |U | = 1 então temos emp q satura U
Suponha agora que |U | > 1
ALTERNATIVA 1: |ΓG(X)| > |X| para todo ∅ ⊂ X ⊂ U
• Escolha uw ∈ A(G)
• G′ := (G− u)− w satisfaz condição de Hall
• Hip de indução: G′ tem emp E′ que satura U ′
• E′ ∪ {uw} é emp em G que satura U
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X ′ U ′
W ′
G′
26
ALTERNATIVA 2: |ΓG(Y )| = |Y | para algum ∅ ⊂ Y ⊂ U
• H := G[Y ∪ ΓG(Y )] satisfaz condição de Hall
• Hip de indução: H tem emp F que satura Y
• G′ := G− V (H) satisfaz condição de Hall
• Hip de indução: G′ tem emp E′ que satura U ′
• F ∪ E′ é emp em G que satura U . �
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Γ(Y )
H G′
De volta ao emp máximo. . .
27
Emparelhamento máximo
em grafos bipartidos
Teorema de König:Se G é bipartido então α′(G) = β(G)
PROVA: Basta encontrar E e C tq |E| = |C|
• Cobertura mínima C
• H := G[(U ∩ C) ∪ (W r C)]
• H satisfaz condições de Hall (se |ΓH(X)| < |X|então (C r X) ∪ ΓH(X) seria cobertura de G menor que C )
• H tem um emp F que satura U ∩ C
• H ′ := G[(W ∩ C) ∪ (U r C)]
• H ′ tem emp F ′ que satura W ∩ C
• F ∪ F ′ é um emp em G e |F ∪ F ′| = |C|
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C
C
HH ′
28
Teorema de König é um “teorema min-max”
De volta aos grafos arbitrários . . .
29
Emparelhamento perfeito
Um emp é perfeito se satura todos os vértices
Condições de existência?
Exemplos:
• estados do Brasil• grade• slither
t t ttttt
t t
t
t t
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Condição de Tutte:i(G− S) ≤ |S| para todo S ⊆ V (G)
Exercício: condição de Tutte implica n par
Fato: Se G tem emp perfeitoentão condição de Tutte satisfeita
Teorema de Tutte: Se condição satisfeitaentão G tem emp perfeito
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Emparelhamento máximo
Teorema de Tutte-Berge: Para qquer G
α′(G) =n(G)
2− max
S⊆V
i(G− S)− |S|2
PROVA: Basta encontrar E e S tais queno máximo i(G− S)− |S| vértices ficam insaturados
Esse é um “teorema minimax”
32
Exercício para amanhã:
• Todo grafo bipartido k-regular tem um emp perfeito
• Em qquer grafo G, se X é emp maximal então|X| ≥ 1
2 α′
33
AULA 3A
Coloração de vértices
34
Coloração de vértices
35
AULA 3B
Coloração de arestas
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Coloração de arestas
37
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