transformasi laplace
Post on 28-Jun-2015
2.244 Views
Preview:
TRANSCRIPT
LAPLACE TRANSFORMSLaplace transforms provide a method for representing and analyzing linear systems
using algebraic methods
2
Outline Overview Definisi Transformasi Laplace Transformasi Laplace Balik Menyelesaikan TF menggunakan MATLAB
3
Overview Persamaan Differensial yang diperoleh dari pemodelan
matematik suatu sistem mewakili proses dinamik dari sistem tersebut dimana responsenya akan bergantung pada masukannya
Solusi dari persamaan differensial terdiri dari solusi steady state (didapat jika semua kondisi awal nol) dan solusi transien (mewakili pengaruh dari kondisi awal).
Transformasi Laplace merupakan salah satu tools yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial.
Introduction
It was discovered by Pierre-Simon Laplace, French Mathematician (1749-1827)
Laplace Transform provides: Representation of Input, output, and
system as separate entities Simple Algebraic interrelationship
between Input, Output, and System Limitation of Laplace Transfrom:
Works in Frequency Domain Valid when the system is LINEAR
Definition
00
)()()()( dtetftfdtesFtf ststL
Fungsi f(t) haruslah real dan kontinyu sepanjang interval waktu yang akan dievaluasi, jika tidak transformasi Laplace tidak dapat digunakan.
Transformasi Laplace F(s) dari fungsi f(t)
)( )( 1 sFtf -L Inverse Transformasi Laplace
6
Transformasi Laplace mengkonversikan persamaan differensial (dalam domain t) kedalam persamaan aljabar dalam domain s.
Memungkinkan memanipulasi persamaan aljabar dengan aturan sederhana untuk menghasilkan solusi dalam domain s.
Solusi dalam domain t dapat diperoleh dengan melakukan operasi inverse transformasi Laplace
Teorema Transformasi Laplace
sFsFtftfL
saFtafL
2121
dt
dffsFs
dt
tfdL
fssFdt
tdfL
00
0
22
2
dt
s
f
s
sFdttfL
0
ssFtfst
limlim0
ssFtfst 0limlim
sFetfL s
• Differensiasi
• Integrasi
• Nilai awal
• Nilai akhir
• Pergeseran waktu
• Linearitas
Laplace Transforms x(t) X(s) ROC
Impulse: δ(t) 1 Semua s
Step: u(t) Re(s)>0
Ramp: t u(t) Re(s)>0
Exponential: e-at u(t) Re(s)+Re(a)>0
Cos ω0t u(t) Re(s)>0
Sin ω0t u(t) Re(s)>0
s1
2
1
s
as 1
20
2 s
s
20
20
s
Properties of Laplace Transforms
Sifat-sifat Transformasi Laplace
Linearitas
Perubahan Skala
Translasi Fungsi
Geseran frekuensi e-at f(t)= F(s+a)
Konvolusi waktu x(t) * y(t) =X(s) Y(s)
)()()()( 2121 sFsFtftf L
)(asaFa
tf
L
)()(1)( sFeatatf asL
Properties of Laplace Transforms
Konvolusi frekuensi (modulasi)
x(t) y(t)
Diferensiasi frekuensi (-t)n f(t)
Diferensiasi waktu
Untuk TL dua sisi
)(*)(2
1sYsX
j
)(sFds
dn
n
)(tfdt
dn
n
1
0
)()0(
1)(n
k
kknn fssFs
)(sFsn
Properties of Laplace Transforms
Integrasi waktu
Teorema nilai awal
Teorema nilai akhir
0
)( dttfs
sF )(
dttf )(
0
)(1)(
dttfss
sF
)(lim0
tft
)(lim ssFs
)(lim0
ssFs
)(lim tft
TRANSFORMASI LAPLACE BALIK
Transformasi Laplace Balik (Invers)
13
1. Pengantar Menyelesaikan persoalan dalam domain-s relatif lebih
mudah daripada dalam domain waktu Untuk mendapatkan penyelesaian/ solusi dalam domain
waktu diperlukan transformasi Laplace balik (Invers) Pada pokok bahasan ini akan diuraikan metode
mendapatkan Invers dengan menggunakan metode Pecahan Parsial
Transformasi Laplace Balik (Invers)
14
2. T-Laplace Balik Hubungan T-Laplace dan T-Fourier :
Dari relasi invers dapat diperoleh
dteetxjX tjt ])([)(
dejXetx tjt )(21
)(
TLB-1
TLB-2
dejXtx tj )( )(21
)(
atau
Transformasi Laplace Balik (Invers)
15
2.1. Integral KonturDengan s=σ+jω diperoleh formulasi transformasi Laplace Balik (Invers):
Mencari Invers dengan metode melibatkan Integral Kontur dalam bidang kompleks yang relatif sulit, karena itu akan digunakan metode yang lain.
j
j
ts- dsesXtxsX 1 )(21
)()( L TLB-3
Transformasi Laplace Balik (Invers)
16
2.2. Metode Pecahan Parsial
dimana Ti berbentuk
kTTTsDsN ....)()(
21
mnbass
CBsatau
ps
A
2
Suatu fungsi rasional dalam s dapat ditulis
Transformasi Laplace Balik (Invers)
17
►Beberapa Bentuk Pecahan Parsial• Polinomial (s2+as+b) dalam persamaan di atas adalah
polinomial yang tidak dapat direduksi.
• Bergantung kepada bentuknya , maka terdapat beberapa kasus yang berbeda :
Kasus 1 :- Faktor orde-1 tidak berulang.
Kasus 2 :- Faktor orde-1 berulang.
Kasus 3 :- Faktor orde-2
Transformasi Laplace Balik (Invers)
2.3. Faktor Orde-1 Tidak Berulang
nnn pssD
sNpsA
)()(
)(
)()(
)(sDsN
sX
n
n
n
psA
psA
psA
psA
pspspspssN
sX
.....
))....()(()(
)(
3
3
2
2
1
1
321
Transformasi Laplace Balik (Invers)
19
► Laplace Balik Orde-1 Tidak Berulang
tp
ntptp neAeAeA
sXtx
.....
)()(21 21
1
L
n
nps
Aps
Aps
AsX
.....)(
2
2
1
1
Transformasi Laplace Balik (Invers)
20
►Contoh 1 : Orde-1 Tidak Berulang (1)
?158
1)( 2
1
ss
ssXL
)5()3()5)(3(1
)( 21
sA
sA
sss
sX
13)5)(3(
1)3(1
ssss
sA
25)5)(3(
1)5(2
ssss
sA
Transformasi Laplace Balik (Invers)
21
►Contoh 1 : Orde-1 Tidak Berulang (2)
)5(2
)3(1
)(
sssX
)(2)()( 531 tueesXtx tt
L
Transformasi Laplace Balik (Invers)
22
►Contoh 2 : Orde-1 Tidak Berulang (1)
)4()1(
)4)(1(2
45
2)(
321
23
sA
sA
sA
ssss
sss
ssX
21
0)4)(1(2
1
ssss
ssA
?45
2)( 23
1
sss
ssXL
Transformasi Laplace Balik (Invers)
23
►Contoh 2 : Orde-1 Tidak Berulang (2)
21
4)4)(1(2
)4(3
ssss
ssA
)4(5.0
)1(15.0
)(
sss
sX
)()( 1 sXtx L )(21
21 4 tuee tt
11)4)(1(
2)1(2
sssss
sA
Transformasi Laplace Balik (Invers)
24
2.4. Faktor orde-1 berulang
nn
n
ps
A
ps
A
ps
Aps
A
ps
sNsDsN
sX
.....
)()()(
)(
33
221
pssDsN
psA nn
)()(
)(
1,...,2,1
)()(
)()!(
1
nk
pssDsN
psds
dkn
A nkn
kn
k
Transformasi Laplace Balik (Invers)
25
►Contoh 3 : Orde-1 Berulang (1)
22 )1(
2
12
2)(
s
s
ss
ssX
221
2 )1()1()1(
2)(
s
AsA
s
ssX
11)1(
2)1(
22
2
ss
ssA
?12
2)(
21
ss
ssXL
►
Transformasi Laplace Balik (Invers)
26
►Contoh 3 : Orde-1 Berulang (2)
2)1(
1)1(
1)(
sssX
)()()( 1 tuteesXtx tt L
11)1(
2)1(
!11
22
1
ss
ss
dsd
A
Transformasi Laplace Balik (Invers)
27
►Contoh 4 : Orde-1 Berulang (1)
?593
48)( 23
1
sss
ssXL
221
2 )1()1()5()1)(5(
48)(
s
AsA
sB
ss
ssX
15)1)(5(
48)5(
2
sss
ssB
21)1)(5(
48)1(
22
2
sss
ssA
Transformasi Laplace Balik (Invers)
28
►Contoh 4 : Orde-1 Berulang (2)
11)5(
)48()5(8)5(48
1)1)(5(
48)1(
!11
2
22
1
ss
ssss
dsd
sss
ss
dsd
A
2)1(
2)1(
1)5(
1)(
ssssX
)()( 1 sXtx L )(25 tuteee ttt
Transformasi Laplace Balik (Invers)
29
2.5. Faktor Orde-2
)()(
)(sDsN
sX
Jika D(s) memiliki faktor )( 2 qpss
)(...
)(
)).....((
)()(
211
211
211
2
nn
nn
nn
qsps
BsA
qsps
BsA
qspsqsps
sNsX
Transformasi Laplace Balik (Invers)
30
►Contoh 5 : Orde-2 (1)?
44
6)( 23
1
sss
ssXL
11)4)(1(
6)1(
2
sss
ssC
)1()4()4)(1(
6)(
22
sC
s
BAs
ss
ssX►
Transformasi Laplace Balik (Invers)
31
►Contoh 5 : Orde-2 (2)
)1)(4(
4
)1)(4(
)(
)1(4
)4(
1)1(
1
)4()(
2
2
2
2
2
22
ss
s
ss
BsBAAs
ss
s
sBAsss
BAssX
)1)(4(
6)1)(4(
4)(1)(
2
2
2
ss
sss
BsBAsAsX
A+1=0→A=-1A+B=1→B=2
Transformasi Laplace Balik (Invers)
32
►Contoh 5 : Orde-2 (3)
)1(1
)2(
2
)2()(
2222
sss
ssX
)(2sin2cos)()( 1 tuettsXtx t L
)1(1
)4(
2)(
2
ss
ssX
20
20
020
20 )( sin;)( cos
s
tuts
stut LL
Transformasi Laplace Balik (Invers)
33
►Contoh 6 : Orde-2 (1)?
)54(
562)( 2
21
sss
sssXL
10)54(
5622
2
ssssss
sC
►sC
ss
BAs
sss
sssX
)54()54(
562)( 22
2
sss
BAssX
1
)54()( 2
Transformasi Laplace Balik (Invers)
34
►Contoh 6 : Orde-2 (2)
sss
s
sss
ssX
1
1)2(
12
1)2(
)2(
1
)54(
10)(
22
2
1 21 AA1064 BB
)( 1sin12cos)()( 221 tutetesXtx tt
L
)54(
5)4()1()( 2
2
sss
sBsAsX ;
35
Ekspansi Pecahan Parsial:dengan software MatLab
Fungsi transfer, F(s)=N(s)/D(s):
0,
...
...
)(
)(
011
1
011
1
mn
nn
nn
mm
mm
ba
asasasa
bsbsbsb
den
num
sD
sN
• Ekspansi pecahan parsialnya adalah
]...[
]...[
01
01
aaaden
bbbnum
nn
mm
)()(
)(...
)2(
)2(
)1(
)1(
)(
)(sk
nps
nr
ps
r
ps
r
sD
sN
• Dalam MatLab numerator (pembilang), num dan denumerator (penyebut), den dituliskan dalam bentuk vektor baris yang dinyatakan dengan koefisiennya
k(s) adalah direct term
• Perintah
>>[r,p,k]=residue(num,den)
Perintah ini akan mencari residu, poles dan direct term dari ekspansi
pecahan parsial N(s)/D(s)
Contoh
32 )1(
2
)1(
0
)1(
1
)(
)(
ssssD
sN
• Dengan menggunakan MatLab, tentukan ekspansi pecahan parsial dari fungsi transfer berikut:
Solusi dengan MatLab:
>>num=[1 2 3];
>>den=[1 3 3 1];
>>[r,p,k]=residue(num,den)
r = 1.0000 0.0000 2.0000
p = -1.0000 -1.0000 -1.0000
k = []
133
32
)(
)(23
2
sss
ss
sD
sN
Ekspansi pecahan parsialnya:
Transformasi Laplace Balik (Invers)
37
3. Ringkasan•Transformasi Laplace-Balik :
•Metode Pecahan Parsial :
j
j
ts- dsesXtxsX L )(21
)()(1
kTTTsDsN
sX ....)()(
)( 21
mni
ibass
CBsatau
ps
AT
2:
Prosedur Solusi pers. Differensial dengan:Transformasi Laplace
1. Transformasi persamaan differensial ke dalam domain s dengan transformasi Laplace menggunakan tabel transformasi Laplace.
2. Manipulasi persamaan aljabar yang telah ditransformasikan untuk mendapatkan variabel outputnya.
3. Lakukan ekspansi pecahan parsial terhadap persamaan aljabar pada langkah 2.
4. Lakukan invers transformasi Laplace dengan tabel transformasi Laplace untuk mendapatkan solusi dalam domain t.
Contoh:Solusi Persamaan Differensial
s
sYyssYysysYs1
5)(2)0(33)0´(02
tftydt
tdy
dt
tyd523
2
2
Diberikan persamaan differensial sbb:
Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y´(0)=2. Transformasi Laplace menghasilkan:
)23(
5)(
5)()23(
5)(2332
2
2
22
2
sss
sssY
sssYsss
ssYssYssYs
Fungsi unit step dari tabel transformasi
Laplace
Menggunakan properti diferensiasi
transformasi Laplace
Solusi dalam domain t diperoleh dengan invers
transformasi Laplace
40
)2)(1(
5
)23(
5)(
2
2
2
sss
ss
sss
sssY
2
3
)1(
5)]()2[(
5)2(
5)]()1[(
2
5
)2)(1(
5)]([
2
2
2
1
2
0
ss
sssYsC
ss
sssYsB
ss
ssssYA
s
s
s
Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator) dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:
)2)(1(
5
)2()1()(
2
sss
ss
s
C
s
B
s
AsY
Ekpansi dalam pecahan parsial,
Dimana A, B dan C adalah koefisien
)2(2
3
)1(
5
2
5)(
ssssY
Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi
Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi
tt eety 2
2
35
2
5)(
Dengan t≥0
Examples Selesaikan
x’’+3x’+6x=0 x(0)=0 dan x’(0)=3
21)0(
1)0(
0,)(
3107
y
y
tetx
dengan
xxyyy
t
top related