transformacje fouriera - jagiellonian universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf ·...

Transformacje Fouriera*

podstawowe własności

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015*podejście mało formalne

Transformacja Fouriera - wstęp

Funkcja w domenie czasowej Ta sama funkcja w domenie częstości

W podobny sposób funkcje zdefiniowanie w domenie położenia możemy przedstawiać w domenie częstości przestrzennych (wektora falowego)

Transformacja Fouriera polega na rozkładzie sygnału na funkcje sin i cos czylina wyznaczeniu wkładu danej składowej częstotliwościowej do sygnału

Obie domeny są równoważne, ale ….

Funkcja w domenie czasowej Ta sama funkcja w domenie częstości

Dodajemy „biały” szum

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

W tym przypadku domena częstotliwości jest dużo „wygodniejsza”

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

k0

k

r(r)

A(q)

Przykłady bezpośredniej realizacji transformacji Fouriera

Rozpraszanie Elementy optyczne

Obraz rozproszenie jest transformatą Fouriera obiektu

Obraz w tylnej płaszczyźnie ogniskowej jest TF obrazu w przedniejpłaszczyźnie ogniskowej

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Iloczyn skalarny (rzut)

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Pewne całki z funkcjami sinus i kosinus

Zatem, składowe fourierowskie są niezależne [funkcje sin/cos są ortogonalne]Te własności czynią transformacje Fouriera użytecznymi/możliwymi

Transformacja Fouriera polega na rozkładzie sygnału na funkcje sin i cos czylina wyznaczeniu wkładu danej składowej częstotliwościowej do sygnału

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Prosta zagadka 1

Całka z iloczynu dwóch funkcji

I1 I2

która z poniższych całek jest większa?

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2009

Prosta zagadka 1

Całka z iloczynu dwóch funkcji

I1<I2

I1 I2

która z poniższych całek jest większa?

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2009

Prosta zagadka 2

Całka z iloczynu dwóch funkcji

I1 I2g(x)=cos(x) g(x)=cos(5x)

f(x) - gauss

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Prosta zagadka 2

Całka z iloczynu dwóch funkcji

I1 I2

I1>I2

g(x)=cos(x) g(x)=cos(5x)

f(x) - gauss

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Prosta zagadka 3

Całka z iloczynu dwóch funkcji

I1 I2

g(x)=cos(5x) g(x)=sin(5x)

f(x) - gauss

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2009

Prosta zagadka 3

Całka z iloczynu dwóch funkcji

I1 I2

I1>I2 I2=0

g(x)=cos(5x) g(x)=sin(5x)

f(x) - gauss

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Definicja transformacji Fouriera

Rozkład funkcji na funkcje harmoniczne: sinus i cosinus

2p/k

x

F(k) – jest także funkcją[w przestrzeni odwrotnej]W ogólności jest funkcją zespoloną!

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Terminologia

Transformacja Fouriera – operacja na funkcji

Transformata Fouriera – funkcja uzyskana po zastosowaniu transformacji

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Konwencja

Generalnie:

nasza

Mathematica

Wolfram MathWorld

Inne

Uwaga 1: Mathematica umożliwia liczenie w dowlolnej konwencjihttp://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html

Uwaga 2: Pewne transformaty i tożsamości zależą od konwencji.Tutaj warto użyć Wiki [generalnie zawsze z rozwagą!]: http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Odwrotna transformacja Fouriera

Transformacja Fouriera:

Mając do dyspozycji F(k) dla wszystkich wartości k możemy odzyskać (czyli zrekonstruować )oryginalną funkcję f(x) !

Odwrotna transformacja:

Jest to jedna z najważniejszych cech transformacji Fouriera!!!!

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Prezentacja

Transformata Fouriera jest funkcją zespoloną!

część rzeczywista część urojona amplituda faza

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

f(x) rzeczywiste to F(k)=F*(-k)

f(x) urojone to F(k)=-F*(-k)

f(x) rzeczywiste i f(x) = f(-x) to F(k) rzeczywiste i F(k)=F(-k)

f(x) rzeczywiste i f(x) =- f(-x) to F(k) urojona i F(k)=-F(-k)

Symetria i „rzeczywistość”

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Delta Diraca

„Robocza” definicja

Symboliczny „wykres”Wysokość jest miarą stałej mnożącej deltę.

Własności

Delta Diraca – definicja przez granicę

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Transformacje pewnych prostych funkcjiAby zilustrować pewne podstawowe własności transformaty Fouriera poznajmy najpierw transformaty „podstawowych” funkcji

kolory -Re, Im

k=k0

k=01

-1

1

0

Stała wartość (np. tło) występuje dla k=0

k=0

k=0

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Transformacje pewnych prostych funkcji

k=k0k=-k0

k=k0

k=-k0

kolory -Re, Im

k=0

k=0

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Transformacje pewnych prostych funkcji

Gauss

DxDk

Transformata Fouriera gaussa jest gaussem. Mała lokalizacja w przestrzeni rzeczywistej oznacza dużą lokalizację w przestrzeni odwrotej.

[por. Heisenberg]

kolory -Re, Im

k=0

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Transformacje pewnych prostych funkcji

x=1/2x=-1/2

0

1

Bardzo ważna funkcja. Granice w całce Fouriera są nieskończone. Funkcja prostokątna często służy do opisu sygnałów zlokalizowanych w przestrzeni lub

w czasie [jako czynnik mnożący]

Funkcja prostokątna

kolory -Re, Im

k=0

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Transformacje pewnych prostych funkcji

kolory -Re, Im

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Transformacje pewnych prostych funkcji

kolory -Re, Im

x=0 k=0

-1/2

1/2

0

Grzebień Diraca

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Funkcje periodyczne i szeregi Fouriera

Funkcja periodyczna z okresem :

Zdefiniujmy:

Taką funkcję można zapisać jako szereg:

Obliczmy jej transformatę:

Otrzymujemy:

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Licznenie – np. Mathematica

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Ogólne własności - liniowość

k=0

Ogólne własności – skalowanie

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

×

Ogólne własności - przesunięcie

x=x0

kolory –Re, Im, |…|

x=x0

Cała informacja o przesunięciu zawarta jest w fazie. Nie wpływa ono na amplitudę!Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Ogólne własności – twierdzenie o mocy

Uwaga: spełnione nie dla wszystkich konwencji!

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Splot

Ważna operacja: sygnał + poszerzenie aparaturowe, rozmycie obrazów

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Ważny splot

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Twierdzenie o splocie

Transformata Fouriera splotu funkcji jest proporcjonalna do iloczynu transformat Fouriera tych funkcji !!!

Pozwala to na łatwe obliczanie splotu

Analogicznie

Transformata Fouriera iloczynu funkcji jest splotem transformacji Fouriera tych funkcji !!!

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Przykład 1

0

1

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Przykład 2

Typowy przykład: impuls o podstawowej częstość w (energii E) i skończonej długości Dt ma rozmycie energetyvze DwDE 1/Dt

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Twierdzenie o korelacji i autokorelacji(szczegółowa dyskusja póżniej)

Definicja korelacji

Autokorelacja

Twierdzenie

Łatwy sposób na liczenie

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Dyskretna transformacja Fouriera – dane eksperymentalne

W eksperymencie dyskretnie próbkujemy ciągły sygnał:

x

L

f(x)

Całka Fouriera jest wtedy aproksymowana sumą

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Próbkowanie

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Próbkowanie

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Próbkowanie

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Próbkowanie

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Próbkowanie

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Próbkowanie

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Twierdzenie Shannona o próbkowaniu

Jeżeli próbkowana funkcja jest ograniczona pasmowo tzn. jejtransformata Fouriera jest zero powyżej pewnej częstości kc

to funkcje i jej transformatę można bezstratnie odzyskać stosując próbkowanie Nyquista D=p/kc

kc

D=p/kc

-kc

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Szybka transformacja Fouriera

Dyskretna postać transformacji [uwaga inna konwencja!]

N2 operacji

N punktów

N1 x N2 punktów

N12 x N2

2 operacji

1D

2D

FFT (N całkowita liczba danych)

1D N2 Nlog2(N)2D N4 2 N2 log2(N)

Przykład N=1000 [macierz 1024x1024]

N4=1012

2 N2 log2(N)=2x107

Pozwala na niesamowite przyspieszenie obliczeń

W FFT macierz wyjściowama taki sam wymiar jak macierz wejściowa:konsekwencja twierdzenia Shannona

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Transformacja Fouriera w n-wymiarach

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Transformacja Fouriera w 2D

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Prosty przykład w 2D

(0,0)

(-k0,0) (k0,0)

(0,0)

(-k0, -k0)

(k0, k0)

kx

ky

kx

ky

x

x

y

y

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Przykład – filtracja przestrzenna

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Wizualizacja zespolonych funkcji 2D

Dowolna zespolona funkcja dwóch zmiennych rzeczywistych [np. zespolony obraz]

Zwykle do wizualizacji używamy dwóch obrazów

Sposób 1: Część rzeczywista i urojona Sposób 2: Moduł i faza

Sposób 2

0

1

0

2p

Problemy ze skokami fazy : funkcja arctan lub arctan2 zwraca kąt [–p/2,p/2] lub [-p/p]Nie widać amplitudy

Sposób 1

-1

1

-1

1

kx

ky

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Kolor nienasycony[prawie biały]szerokie widmo

HSV (hue, saturation,value) – barwa, nasycenie, jasnośćOdzwierciedla fizyczną percepcję kolorów

Alternatywny sposób opisu kolorów

Nasycenie

Długość fali [nm]

Kolor nasycony [czysty czerwony]wąskie widmo

Barwa

Długość fali [nm]

Widmo światła widzialnego

Model HSV

RGB [red,blue,green] – mieszanie kolorów podstawowych

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Prezentacja HS(V=1)

Re f

Im f

f

| f |

| f | odpowiada saturacji [zero to biały]f odpowiada barwie

0 - rzeczywiste, dodatnie

180 - rzeczywiste, ujemne [dopełnienie RGB czerwonego]

90 - urojone, dodatnie

270 - urojone, ujemne

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Przykłady

rzeczywisty gauss rzeczywisty kosinus urojony sinus

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

W tym obszarze brak koloru białegoFunkcja nie ma zer!

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

|F |

Im F

Re F

kx

ky

Superpozycja prostopadłych fal Prążki: tylko odległość.

f

F Zera (biały):sinus lub cosinus.Symetria względem tej prostej !

Brak zer w tym kierunku!Czysto zespolone wartości!Mała symetria.

Trochę bardziej skomplikowana funkcja

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

Kevin Cowtan's Picture Book of Fourier Transformshttp://www.ysbl.york.ac.uk/~cowtan/fourier/fourier.html