trabalho de cálculo ii
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USC UNIVERSIDADESAGRADO CORAÇÃO
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo – Integração com uma variável
Octávio Henrique Sclaffani da Silva – ID: 369037
Vinícius Peral – ID: 363909
Alexandre Sversotti – ID: 365433
Welton Bueno – ID:
Lucas Dias – ID:
Bauru
25.11.2013
Trabalho: Cálculo Diferencial e Integral
Trabalho apresentado como
requisito parcial da disciplina de
Cálculo – Integração com uma
variável do curso de Engenharia
Civil na data de 25/novembro,
apresentado a Universidade do
Sagrado Coração, para a Profª.
Rosane
Universidade do Sagrado Coração
1. Resumo
Neste trabalho trataremos do Cálculo Diferencial e Integral, começando a
abordagem pelo cálculo diferencial e em seguida integração indefinida, que consiste no
processo inverso da derivação. Veremos também a integral definida – que é a integral
propriamente dita – juntamente com diversos exemplos de aplicações, depois o Teorema
Fundamental do Cálculo, que é peça chave de todo Cálculo Diferencial e Integral, pois
constitui na ligação entre as operações de integração e derivação. Finalmente,
estenderemos o conceito de integral para funções contínuas por partes, por
substituições, por substituições trigonométricas, por frações parciais e suas aplicações,
demonstrando as mais variadas técnicas utilizando as propriedades da integração na
resolução de problemas do cotidiano na área da Engenharia Civil.
Palavras Chave: Cálculo Diferencial. Cálculo Integral. Aprendizagem de Cálculo.
Intervalo. Conjunto. Aplicação.
2. Introdução
Com o mundo cada vez mais tecnológico e apressado, as universidades e
instituídos que oferecem cursos superiores na área das ciências exatas, tem como base o
estudo do Cálculo Diferencial e Integral. De suma importância principalmente para o
segmento das engenharias, o Cálculo Diferencial e Integral é a melhor forma de
resolução dos mais variados problemas da área e cotidiano dos engenheiros, seja ele de
qual for o campo de atuação.
No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar
a área sob uma curva no plano cartesiano (DOSS; 2002) e também surge naturalmente
em dezenas de problemas de Física, como por exemplo, na determinação da posição em
todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos
os instantes. O processo de se calcular a integral de uma função é chamado
de integração.
Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para
a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados
a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas
definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma
definição, mas não podem segundo outra. (DOSS; 2002)
A integral indefinida também é conhecida como antiderivação.
A integral definida ∫a
b
f ( x )dxé um número; não depende da variável x. A
integral indefinida, ao contrário, é uma função ou família de funções. A conexão entre
elas é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Se f for contínua em [a , b], então
(STEWART; 2002, pp. 379 e 401) .
∫a
b
f ( x )dx=∫ f ( x )dx
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Ou seja, a integral indefinida, calculada no intervalo [a , b], resulta no valor da
integral definida.
É possível efetuar-se a resolução da integral acima, entre os limites a e b, o
resultado final pode ser escrito como:
S=∫a
b
f ( x )dx=F (b )−F(a)
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Onde a função F (x) é a função resultante da integração da função f (x) . O
problema da integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume
portanto a encontrar a função F (x).O resultado acima é extremamente importante pois
ele oferece uma indicação de como obter a integral. Para ver isto, supõe-se que o limite
superior da integral, isto é, b, seja muito próximo de a, tal que se possa escrever:
b=a+∆
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Como os pontos limites da integral estão muito próximos, pode-se escrever:
∫a
a+∆ x
f ( x )dx=F (a+∆ x )−F(a)
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Olhando na definição da integração como um limite, dada acima, pode-se dizer
que a integral, neste caso, se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto pode-
se afirmar, sem causar um erro muito grande, que:
∫a
a+∆ x
f ( x )dx=f (a )∆ x=F (a+∆ x )−F (a )
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Comparando com a definição de derivada de uma função
f ( x )= F ( x+∆ x )−F ( x )∆ x
→ f ( x )= ddx
F (x )
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Vê-se que a função procurada F(x) é uma função tal que, quando tomada a sua
derivada, obtém-se a função f(x). Em outras palavras, ao se calcular a derivada de uma
função pode-se também calcular a integral da função resultante. Esta propriedade
mostra que a integração na verdade é a operação inversa da derivação, pois se uma
função for derivada e em seguida o resultado integrado, obtém-se a função original. Esta
propriedade é chamada de Teorema Fundamental do Cálculo. (STEWART; 2002, p.
401)
Durante as aulas de todo o semestre nos foi apresentado as mais diferentes
formas de resolução do Cálculo Diferencial e Integral, e neste trabalho iremos abordar
tópicos a fim demonstrar conceitos, propriedades das quais servirão de base, estudo e
exemplificação nas mais variadas formas de resolução e aplicação do conteúdo.
Os tópicos que serão abordados são os seguintes:
O cálculo Diferencial:
• Diferencial
• Conceito, cálculo e aplicação.
• Aplicação na resolução de problemas
• Cálculo de diferenciais e aplicação na resolução de problemas
Integral Indefinida:
• Conceito, propriedades, constante de integração.
• Aplicação das propriedades da integral indefinida
• Integrais imediatas
• Cálculo de integrais imediatas
• Cálculo de integrais mediante substituição de variáveis
• Resolução de exercício de cálculo de integrais
Integral Definida:
• Conceito
• Cálculo de integrais definidas
• Aplicação da integração definida no cálculo de áreas
• Resolução de exercício de cálculo de integrais definidas
Métodos de Integração:
• Integração por Partes
• Cálculo de integrais aplicando a técnica da integração por partes
• Integração por Substituição Trigonométrica
• Cálculo de integrais por meio de Substituição Trigonométrica
• Integração e Cálculo de Integrais de Funções Racionais por Frações Parciais
Aplicações da Integral Definida:
• Cálculo de volume de sólido de revolução
• Aplicação da integral definida no cálculo de volumes de sólidos de revolução
• Cálculo de comprimento de arco
• Aplicação da integral definida no cálculo de comprimentos de arcos
3. Resultados e discussões
Com o advento do Teorema Fundamental do Cálculo estabeleceu-se uma
conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O
cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu
de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de
Isaac Newton em Cambridge, Isaac Barrow, descobriu que esses dois problemas estão
de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são
processos inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram
para transformar o cálculo em um método matemático sistemático.
Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a
calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las
como limites de soma (método descrito pelo matemático Riemann, pupilo de Gauss)
3.1. Acréscimos Seja y=f (x ) uma função, podemos sempre considerar uma
variação da variável independente de x. Se x varia x1a x2 , definimos o acréscimo de x,
denotado por ∆ x, como: ( FLEMMING;2009, p. 173)
∆ x=x2−¿ x1¿.
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
A variação de x origina uma correspondente variação de y, denotado por ∆ y ,
dada por:
∆ x=f ( x2 )−f ( x1 )ou ∆ y=f ( x1+∆ x )−f (x1)
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
3.1.1. Diferencial
Sejam y=f (x ) uma função derivável e ∆ x um acréscimo de x. Definimos:
(a) a diferencial da variável independente x, denotada por dx, como dx=∆ x;
(b) a diferencial da variável dependente y, denotada por dy , como dy=f ' ( x ) ∙∆ x .
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
De acordo com a definição anterior, podemos escrever dy=f ' ( x ) ∙ dxou
dydx
=f ' (x).
Assim, a notação dydx
já usada para f ' (x), pode agora ser considerada um
quociente entre duas diferenciais.
3.1.2. Exemplos
Exercícios que demonstram a aplicação do Cálculo Diferencial:
(i) Se y=2 x ²−6 x+5, calcule o acréscimo ∆ y para x=3 e ∆ x=0,01.
Usando a definição de ∆ y , escrevemos:
∆ y=f ( x1+∆ x )−f (x1)
¿ f (3+0,01 )−f (3)
¿ f (3,01 )−f (3)
¿ [2 ∙ (3,01 )2−6 ∙3,01+5 ]−[2 ∙32−6 ∙3+5]
¿5,0602−5
¿0,0602.
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
(ii) Se y=6 x ²−4 calcule ∆ ye dy para x=2 e ∆ x=0,001.
Usando a definição de ∆ y , temos:
∆ y=f ( x1+∆ x )−f ¿
¿ f (2+0,001 )−f (2)
¿ [6 ∙ (2,001 )2−4 ]−[6 ∙2²−4]
¿20,024006−20
¿0,024006.
Usando a definição de dy , temos:
dy=f ' ( x ) ∙∆ x
¿12 x ∙ ∆ x
¿12 ∙2 ∙ 0,001
¿0,024
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Observamos que a diferença ∆ y−dy=0,000006 seria menor caso usássemos
um valor menor que 0,001 para ∆ x.
(iii) Calcule um valor aproximado para 3√65,5usando diferenciais.
Seja y=f ( x ) a função definida por f ( x )= 3√x.
Escrevemos:
y+∆ y=3√ x+∆ x e 1
3 x23
dx
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Fazemos x=64 e ∆ x=1,5 , isto porque 64 é o cubo perfeito mais próximo de
65,5.
Portanto,
x+∆ x=65,5 , dx=∆ x=1,5 e
dy= 1
3 (64 ) 23
∙1,5= 1,53∙16
=0,03125
Então,
3√65,5= 3√64+1,5= 3√x+∆ x= y+∆ y .
Fazendo ∆ y ≅ dy, obtemos finalmente que:
3√65,5≅ y+∆ y=4+0,03125
¿4,03125
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
(iv) Considerando as funções e os pontos conhecidos, calcule a diferencial:
y=f ( x )=3 x ² e os pontos 1 e 1,01
y=f (1 )=3 (1 )2→ 3
y=f (1,01 )=3 ∙ (1,01 )2=3 ∙ (1,0201 )=3,0603
Em seguida,
∆ f =f (1,01 )−f (1 )=3,0603−3=0,0603
∆ x=1,01−1=0,01
Portanto,
y '=f ' ( x )=6 x
df =f ' (x) ∙ ∆ x
d f =f ' (1 ) ∙ 0,01=6 (1 ) ∙ 0,01=6 ∙ 0,01=0,06
df =f ' (1,01 ) ∙ 0,01=6 (1,01 ) ∙ 0,01=0,606
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Como resultado final, encontramos que a diferencial é:
∆ f =f ' (1 )−f ' (1,01 )=0,606−0,06=0,546
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
(v) Considerando a função é os pontos conhecidos, calcule a diferencial:
y=f ( x )=4 x ³ e os pontos 2 e 2,02
y=f (2 )=4. (2 ) ³=32
y=f (2,02 )=4 (2,02 )3=32,9696
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Em seguida,
∆ f =f (2,02 )−f (2 )=32,9696−32=0,9696
∆ x=2,02−2=0,02
Portanto,
y '=f ' ( x )=12 x ²
df =f ' (x) ∙ ∆ x
df =f ' (2 ) ∙ (0,02 )=12. (2 )2 ∙ (0,02 )=0,96
df =f ' (2,02 ) ∙ (0,02 )=12 (2,02 )2 ∙ (0,02 )=0,9793
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Como resultado final, encontramos que a diferencial é:
∆ f =f ' (2,02 )−f (2 )=0,9793−0,96=0,0193
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
3.1.3. Exercício aplicado à área da Engenharia Civil
Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de
altura de 12m, raio interior 7 m e espessura 0,05. Qual o erro decorrente se resolvermos
usando diferenciais?
O volume V do cilindro interior é dado por:
V=πr ² ∙ h
¿ π ∙ 7² ∙ 12
¿588 π m ³
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Dando um acréscimo ∆ r o volume da coroa será igual à variação ∆ V em V .
Usando diferenciais, temos:
∆ V ≅ dV=2 πrh ∆ r
¿2 π ∙ 7 ∙12 ∙0,05
¿8,4 π m ³.
O volume exato será
∆ V =π (r+∆ r )2 ∙h−πr ² h
¿ π (7,05 )2 ∙ 12−π ∙7² ∙12
¿596,43 π−588 π
¿8,43 π m ³.
Portanto, o erro cometido na aproximação usada foi
∆ V −dV =0,03 π m3 .
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
3.2. Integral Indefinida
3.2.1. Definição Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f (x) em um
intervalo 1 (ou simplesmente uma primitiva de f (x)), se para todo x e 1, temos
F ' (x)=f (x ).
Exemplo:
F (x)=¿ x^3/3e uma primitiva da função
f (x)=x2 , pois F ' (x)=1 /3 3 x2=x2=f (x ) .
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Se f é uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por
∫ f ( x )dx=F ( x )+c, onde F é uma primitiva de f, C é uma constante, chamada constante
de integração o símbolo ∫ é chamado sinal de integração, f(x) é o integrando e dx é a
diferencial de x, neste contexto, um símbolo indicando que a primitiva deve ser
calculada em relação à variável x.
Observamos que, de acordo com nossa definição, as primitivas de uma função
f (x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o
intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f , entendemos que essas
funções são primitivas de f no mesmo intervalo I . (FLEMMING;2009,p.240)
De acordo com o recurso de aula número dois, apresentado em sala no dia ___,
as propriedades para cálculo de integrais indefinidas são:
1ª. ∫ [ f ( x )± g (x ) ]dx=∫ f (x ) dx ±∫ g ( x ) dx, ou seja, a integral da soma ou diferença é a
soma ou diferença das integrais.
2ª. ∫ kf (x ) dx=k∫ f ( x )dx , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do
integrando.
3ª. ddx
¿, ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
O processo de integração exige muita atenção em sua resolução, através destes
princípios podemos com a ajuda de uma tábua de integrais, resolver as integrais
primitivas, chamadas também de integrais imediatas. (FLEMMING; 2009)
Em alguns casos porém, é possível determinar a integral de uma função através
do uso de regras da matemática, utilizando-se de uma mudança de variável antes da sua
resolução propriamente dita.
Sejam f (x) e F (x) duas funções tais que F ' ( x )=f ( x ). Suponhamos que g seja
outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F. Podemos
considerar a função composta F0g. (FLEMMING; 2009,p.247)
Pela regra da cadeia, temos:
[ F ( g ( x ) ) ]'=F ' ( g ( x ) ) ∙ g' ( x )=f (g (x ))∙ g '(x ), isto é, F (g (x )) é uam primitiva de
f (g ( x )) ∙ g '(x ).
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word
Temos, então:
∫ f ( g (x ) ) ∙ g ' ( x ) dx=F ( g ( x ) )+c . (1)
Fazendo u=g (x), du=g' ( x ) dxe substituindo em (1), vem:
∫ f ( g (x ) ) ∙ g ' ( x ) dx=∫ f (u )du=F (u )+c
Isto nos leva a encontrar uma integral primitiva para a resolução, o que torna a
integral obtida mais fácil e simples de ser resolvida.
3.2.2. Exemplos
Exercícios que demonstram a aplicação da Integral Indefinida:
(i) Calcule as integrais indefinidas.
Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais, temos:
∫(3 x2+5+√x¿)dx=3∫ x ² dx+5∫dx+∫ x21dx ¿
¿3 x3
3+5x+
x32
3/2+c
¿ x ³+5 x+ 23
x3 /2+c .
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
(ii) ∫ ( 3 secx ∙tgx+cose c2 x ) dx .
Temos:
∫ ( 3 sex ∙tgx+cose c2 x )=3∫secx tg xdx+∫ cosec2 x dx
¿3 secx−cotgx+c .
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
(iii) ∫ se c2 xcosec x
dx .
Nesse caso, temos:
∫ sec2 xcosecx
dx=∫ 1cosx
∙senxcosx
dx=∫ tg x ∙ sec xdx=sec x+c .
(iv) ∫ ( 3√x2+1/3 x )dx
Temos:
∫ 3√x ²+1/3 x¿dx=∫ 3√x ² ¿dx+∫ 1/3 dx
¿∫ x2/3 dx+ 13∫
dxx
¿ ∫ x53
5 /3+
13
ln|x|+c
¿ 35
x53+ 1
3ln|x|+c .
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
(v) ∫ x ³ dx
Temos:
∫ x3+1
3+1+c= x4
4+c
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Através do cálculo da diferencial e da derivada, podemos provar a veracidade da
resolução da integral indefinida acima. Demonstrando através da derivada temos que:
y= x4
4+c
y '=4 x3
4+c=x ³
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
E por fim, calculando a diferencial desta função temos que:
dy= y ' ∙ dx
dy=x ³ dx .
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
(vi) ∫ 2 x1+x ²
dx .
Fazendo u=1+ x ². Então, du=2 xdx ( pois esta é a derivada da função).Temos:
∫ 2 x1+x ²
dx=∫ duu
¿ ln|u|+c
¿ ln (1+x2 )+c
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word
3.2.3. Exercício aplicado à área da Engenharia Civil
Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade esteja
aumentando à taxa de 4+5 t23 habitantes por mês. Se a população atual é 10.000
habitantes, qual será a população daqui a 8 meses?
Solução:
Seja p(t) a população da cidade no tempo t (medido em meses). A taxa de
variação de uma função é dada pela sua derivada. Assim, temos p ´ (t )4+5 t23
e, portanto, p (t )=∫ (4+523 )dt=4 t +5 t
53 +c . Como p(0) = 10.000, substituindo
na equação, ) 4( 5 ) 4 3 encontramos C = 10.000.
Logo...
A função que representa a população num instante t qualquer é
p (t )=∫ (4+523 )dt=4 t +5 t
53 +1000 e, consequentemente, daqui a 8 meses a
população será de p(8) = 4 × 8 + 3 × 32 +10.000 = 10.128 habitantes.
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
3.3. Integral Definida
3.3.1. Definição Dada uma função positiva no intervalo [a , b], onde a < b, isto é,
f ( x ) ≥ 0 nesse intervalo, querendo achar uma determinada área da região limitada por
um gráfico f , pelas retas x=a e x=b, e pelo eixo Ox . (BOULOS;2010) Pode-se,
entretanto, formular a definição sem apelar, necessariamente, para a geometria.
Gráfico 1.1. Exemplificando a área de curva calculada pela integral
Fonte: Disponível em http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/11/integral-definida-conceitos-e.html Acessado em 22/11/2013
Subdividiram-se o intervalo [a , b] em n subintervalos, por meio dos pontos x .k ,
k=1,2 ,... n−1 , escolhidos arbitrariamente. Em cada um dos novos intervalos
[a1 x1 ] , [ x1 x2 ] , …,[xn−1 , b], escolhemos também arbitrariamente, os pontos ε 1, ε2 ,…εn e
formaremos a soma:
f ( ε1 ) ( x1−a )+ f (ε2 ) ( x2−x1 )+ f ( ε3 ) ( x3−x2 )+¿....
+ f (εn ) (b−xn−1 ) (1)
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Fazendo, x0=a , xn=b e ∆ xk= xk−xk−1 podemos escrever:
∑k =1
n
f (εk¿)( xk−xk−1 )=∑k=1
n
f (εk¿)∆ xk ¿¿ (2)
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Geometricamente, esta soma representa a área total de todos os retângulos na
figura acima. Aumentando o número n de subdivisões, isto é, fazendo n → ∞ segue que
∆ xk → 0. Se, como resultado disso, a soma (1) ou (2) tender para um limite que não
dependa do modo da subdivisão do intervalo , chamaremos este limite de integral
definida de f (x) de x=ae x=b e será representada por:
∫a
b
f ( x )dx=¿ lim∆xk →0
∑k=1
n
f (ε k)∆ xk ¿ (3)
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Na integral definida acima, f (x) é o integrando, [a , b] o intervalo de integração, a o limite inferior de integração e b o limite superior de integração.
Como primeira definição podemos dizer que, a função f (x) é Riemann integrável em [a , b] ou simplesmente integrável no intervalo finito e fechado [a , b], se o limite (3) existir e não depender da escolha da partição ou dos pontos ε k no subintervalo. Supõe-se que a < b e portanto, o limite superior de integração é maior que o limite inferior de integração.
3.3.2. Proposição 1: Se f é contínua no intervalo [a , b], então ela é integrável em [a , b].
Geometricamente, se f (x)≥ 0 para a ≤ x≥ b, o valor desta integral definida
representa a área delimitada pela curva f (x), o eixo x, e as ordenadasx=a e x=b.
Se f (x) se torna ora positiva, ora negativa, a integral definida representa a soma
algébrica das áreas acima e abaixo do eixo x, consideradas como positivas as áreas
acima do referido eixo e como negativas as áreas abaixo dele.
Gráfico 1.2. Exemplificando a área de curva calculada pela integral definida
Fonte: Disponível em http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/11/integral-definida-conceitos-e.html Acessado em 22/11/2013
Se f é uma função integrável em [a , b], então o limite das somas à esquerda e à direita dadas por convergem para a integral definida de f em [a , b]. Portanto, podemos escrever:
∫a
b
f ( x )dx= limn→ ∞
b−an
∑k=0
n−1
f [a+¿(b−a ) k
n]¿
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
¿ limn → ∞
b−an
∑k=1
n
f [a+(b−a ) k
n]
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Podemos observar que a integral definida depende somente da função f e dos
limites de integração, não dependendo da variável de integração. Portanto,
podemos escrever:
∫a
b
f ( x )dx=∫a
b
f ( t )dt=…=∫a
b
f (u)du
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Seja f integrável no intervalo [a , b].
(i) Se a estiver no domínio de f , definimos que:
∫a
a
f ( x )dx=0
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
(ii) Se b for integrável em [a , b], então definimos que:
∫b
a
f ( x )dx=−∫a
b
f ( x ) dx
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Se , então
∫a
b
cdx=c (b−a)
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
De fato, seja f ( x )=c. Sendo esta função integrável, então:
∫a
b
cdx=limn →∞
b−an
∑k=0
n−1
c=b−an
xcn= (b−a ) c
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
3.3.3. Exemplos
Exercícios que demonstram a aplicação da Integral Definida:
Sejam f e g funções integráveis em [a , b]. Se c é uma constante, então cf e f +g
são funções integráveis em [a , b].
Então,
(i) ∫a
b
cf (x ) dx=c∫a
b
f ( x ) dx
(ii) ∫a
b
[ f ( x )+g ( x ) ] dx=∫a
b
f ( x ) dx+∫a
b
g (x ) dx
Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Subdividimos o intervalo [a , b] em n subintervalos, por meio dos pontos x.k,
k=1,2 , …,n−1 escolhidos arbitrariamente. Em cada um dos novos
intervalos [a1 x1 ] , [ x1 x2 ] , …, [ xn−1 ,b ] escolhemos, também arbitrariamente, os
pontos ε 1, ε2 ,…, εn .
(i) Sendo f integrável em [a , b], então:
¿c∆ x limk →0
∑k=1
n
f (εk¿)∆ xk=c∫a
b
f ( x ) dx¿
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
(ii) Sendo f e g integráveis em [a , b], então:
∫a
b
[ f ( x )+g ( x ) ] dx= lim∆ x k→0
∑k=1
n
[ f ( εk )+g(εk¿)]∆ xk= lim∆ xk→0
∑k=1
n
f (εk )∆ xk+ lim∆x k →0
∑k=1
n
g ( εk ) ∆ xk=∫a
b
f ( x ) dx+¿∫a
b
g (x ) dx ¿¿
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
(iii) ∫0
3
x ² dx=[ x3
3 ]30=13
(33−03 )=273
=9
(iv) ∫1
2
x ² dx=[ x3
3 ]21=13
(23−13 )=13
(8−1 )=73
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
(v) ∫1
5
(5 x+7 ) dx=∫1
5
5 xdx+∫1
5
7dx
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Não há necessidade de se integrar a parte inteira que consta dentro da integral,
consequentemente a retiramos da integral, de modo com que ela fique:
5∫1
5
xdx+7∫1
5
xdx
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Depois de retirada a parte inteira da integral damos continuidade na sua
resolução, a fim de encontrar o resultado para os dois pontos estabelecidos:
5[ x2
2 ] 51+7
[ x ] 51
→52
[ x2 ] 51+7
[ x ] 51
→52
[52−12 ]+7 [5−1 ] → 52 [ 25−1 ] +7 [ 4 ] → 5 [12 ]+28=60+28=88.
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
3.4. Métodos de Integração
Os métodos de Integração tem como objetivo o auxiliamento nas mas variadas
técnicas para resolução dos problemas envolvendo integrais. (FLEMMMING;2009)De
fato, ´são de extrema importância quando não se tem uma integral imediata(primitiva)
para a resolução do problema em questão. As principais técnicas são a de substituição,
por partes e frações parciais,(BOULOS;2010) das quais iremos abordar uma a uma:
3.4.1. Integração por partes
3.4.1.1. Definição
O método de integração por partes se aplica particularmente bem aos produtos
de diferentes tipos de funções, tais como x cos(x ), que é um produto entre um
polinômio por uma função trigonométrica. Ao utilizar este método, a diferencial dada
deve ser pensada como um produto u ⋅dv. A parte chamada dv deve ser algo que
possamos integrar e a parte chamada u deve ser usualmente algo que é simplificado por
derivação.
Consideremos a função:
f =u ⋅ v (1)
Sua derivada será:
f '=u ' v+v ' u(2)
Também podemos escrevê-la da seguinte forma:
d (uv )=vdu+udv (3)
Da igualdade (3) temos que:
udv=d (uv)−vdu(4)
Integrando os dois membros da igualdade (4), temos:
∫ udv= ∫ d (uv )− ∫ vdu(5)
E obtemos o seguinte resultado:
∫ udv=uv−∫ vdu(6)
Quando formos realizar uma integração por partes, fazemos:
1ª parte da integral: u
2ª parte da integral (incluindo o dx): dv
3.4.1.2. Exemplos
3.4.1.2. Cálculo de Integrais aplicando a técnica da integração por partes.
Exercícios envolvendo cálculo de integrais por técnica de integração por partes.
a) ∫ x
√ x+1dx
Resolução:
Façamos u=x edv= x
√ x+1dx·, logo du=dx e v=√ x+1, e assim,
∫ x
√ x+1dx=∫u dv=uv−∫ v du=2x √x+1−∫ 2√x+1dx=2 x √ x+1−4
3( x+1 )√ x+1+C=2
3√x+1 ( x−2 )+C
b) ∫ arcsen x dx
Resolução:
Façamos u=arcsen x e dv=dx, logo du= 1
√1−x2dx e v=x , e assim,
∫ arcsen xdx=∫ udv=uv−∫ v du=x arcsen x−∫ x
√1−x2dx
Fazendo agora t=1−x ², temos que dt=−2 x , e assim,
∫ x
√1−x2dx=∫−¿ 1
21
√udu=u
12=−(1−x2)
12 ¿
Portanto,
∫ arcsen x dx=x arcsen x+√1−x ²+C
c) ∫ (2 x+1 ) sen x dx
Resolução:
Façamos u=2 x+1 e dv=sen xdx , logo du=2dxe v=−cosx, e assim,
∫ (2 x+1 ) senx dx=−(2 x+1 ) cosx+∫ 2 cosx dx=(senx−x cosx )−cosx+C
d) ∫ x ³ senx dx
Resolução:
Segue imediatamente do item c que ∫ x senx dx=senx−xcosx+C .
Façamos então u=x ³ e dv=senx dx , logo du=3 x ² dx e v=−cos x . Portanto,
∫ x ³ senx dx=−x3 cosx+3∫ x2 cos x dx .(1)
Analisando a integral ∫ x ² cosx dx , observamos que podemos calculá-la também por
partes, fazendo agora u=x ² e dv=cosx dx, logo du=2 xdxe v=sen x, e assim,
∫ x ² cosx dx=x ² se n x−2∫ x senx dx e pela observação acima, concluímos que
∫ x ² cos x dx=x ² sen x−2¿¿¿
Substituindo (2) em (1), obtemos.
∫ x ³ senx dx=−x3cos x+3 x ² senx+6x cos x−6 senx+C .
e) ∫ cossec ² xcotg xdx
Resolução:
Façamos u=cossecxe dv=cossecx cotg xdx, logo du=−cossecx cotg xdx e
v=−cossecx , e assim,
∫ cossec ² xcotg xdx=−cosse c2 x−∫ (−cossec x )−(−cossec x cotg x ) dx .
Logo,
2∫ cossec ² xcotg x dx=−cosse c2 x . Portanto, ∫ cosse c2 xcotg x dx=−cosse c2 x2
+C .
3.4.2. Integração por substituição trigonométrica
3.4.2.1. Definição
Em muitos casos, substituições trigonométricas convenientes acabam nos
levando a solução das integrais em questão. Se o integrando têm funções relacionadas as
expressões (FLEMMING;2009) :
√a ²−u ² ,√a ²=u ²ou √u ²−a ², onde a>0.
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
Com essas técnicas é possível fazermos uma substituição trigonométrica
adequada. No exemplo abaixo, iremos demonstrar uma das inúmeras maneiras de
resolução da integral estuda em questão, utilizando-se uma das expressões abordadas.
(i) A função integrando envolve √a ²−u ² .
Neste caso, usamos u=a senθ. Então, du=acosθ . Supondo que −π
2≤θ ≤
π2
,
temos:
√a ²−u ²=√a ²−a2 sen ² θ
= √a ²(1−sen2 θ)
¿√a ² cos ²
¿a cosθ.
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.
3.4.2.2. Exemplos
Exercícios demonstrando a aplicação da Integração por Substituição
Trigonométrica.
(i) Considere a integral,
∫√16−x ² dx
Usando a substituição x=4 senθx , obtem-se dx=4cosθ dθ
∫√16(1−sen2 θ)4cosθ
16∫cos ²θ dθ
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word
A integral de Cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por
partes
u=cosθ , dv=cosθ
∫cos ² θ dθ=cosθ senθ+∫ sen ² θ dθ
∫cos ² θ dθ=cosθ senθ=∫ 1 dθ−∫cos ² dθ
∫cos ² dθ= cosθsenθ2
+ θ2
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word
Voltando a equação original, temos:
16∫cos ²θ dθ=16 (cosθsenθ
2+ θ
2)
Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito traspondo o
ângulo θ para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4
e cateto oposto a θigual a x, consequentemente o cateto adjacente ao ângulo θ
valerá √16−x ².
Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da
função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:
cosθ=√ (16−x2 )4
senθ= x4
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word
O ângulo θ pode ser expresso como ArcSen34
. Obtendo assim a resposta final.
(ii)∫ (dx )
x3 √ x2−16
Neste caso, usamos x¿4 sec θ. Então, dx=4 sexθ tgθ dθ. Assim:
√ x ²−16=4 tgθ , para 0 ≤ π /2 ou ≤ θ ≤3 π2
.
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word
Logo,
∫ (dx )
x3 √ x2−16=∫ 4 secθ tgθ dθ
64 ∙ se c3 θ ∙4 ∙ tgθ
¿1
64∫dθ
sec2θ
¿1
64∫ cos² θdθ
¿1
64∫1+cos2 θ
2dθ
¿1
128∫ (1+cos2 θ ) dθ
¿1
128 (θ+12
sen2 θ)+C .
(iii) ∫cos5 xdx
Inicialmente, preparamos o integrando para a aplicação do método de
substituição, temos:
cos5=(cos2 x )2 ∙ cosx
¿ (1−se n2 x )2 cosx
¿ (1−2 se x❑2 +sen4 x ) cosx
¿cosx−2 se n2 x cosx+sen4 x cos x .
Portanto,
∫cos5 xdx=∫ (cosx−2 se n2 x cosx+sen4 cosx ) dx
¿∫cos xdx−2∫ sen ² x cosx dx+∫ sen4 x cosx dx
¿ sen x−23
se n3 x+ 15
sen5 x+C .
(iv) ∫ sen ³ 2 θ dθ .
Usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, temos:
sen ³2 θ=sen ²2θ ∙2 θ
¿(1−co s2 2θ) ∙ sen2 θ
¿ sen2θ−cos2θ sen2θ .
Portanto,
∫ sen ³ 2 θ dθ=∫¿¿¿
¿∫ sen2θ dθ−∫cos ² 2θ sen2 θ dθ
¿−1/2cos2θ+ 16
cos ³ 2θ+C .
(v) ∫ sen5 x ∙ co s2 x dx .
Inicialmente preparando o integrando, temos:
sen5 xcos ² x=(sen2 x2) ² ∙ senx ∙ cos ² x
¿(1−co s2 x) ² ∙ senx ∙ cos² x
¿ (1−2co s2 x+cos4 x ) sen xcos ² x
¿cos ² x senx−2cos4 x sen x+cos6 x senx.
3.4.3. Integração por frações parciais
3.4.3.1. Definição
Algumas integrais, cujo integrando consiste numa fração racional, ou seja, uma
função do tipo:
f ( x )= p ( x )q ( x )
Onde p(x ) e q (x) são polinômios reais com q ≠ 0, são facilmente integráveis por
substituição ou por partes, ou mesmo diretamente. Mas isso nem sempre ocorre e o
integrando pode não ser facilmente calculada ou mesmo impossível por estes métodos.
Neste caso, podemos decompor a fração que define o integrando em frações
parciais.
O método consiste em reescrever a fração do integrando numa soma de outras
frações mais simples, de modo que a integração seja necessariamente mais simples. A
decomposição é feita a partir de fatoração do polinômio q(x) que aparece no
denominador, associando a cada fator linear ou quadrático irredutível uma ou mais
frações parciais.
Um polinômio em x é uma função da forma:
a0 xn+a1 xn−1+…+an−1 x+an
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word
Onde os coeficientes são constantes, a 0≠ 0 e n é um inteiro positivo que também
pode ser nulo. Sendo assim, se dois polinômios do mesmo grau são iguais, qualquer que
seja o valor atribuído à variável nos dois polinômios são iguais.
Todo polinômio de coeficientes reais pode ser expresso, pelo menos
teoricamente, como um produto de fatores lineares reais, da forma ax+b e fatores de
segundo grau irredutíveis, da forma ax 2+bx+c .
Uma função:
F ( x )= f ( x )g ( x )
Onde f (x) e g(x ) são polinômios, é chamada de fração racional.
Se o grau de f (x) for menor que o grau de g(x ), F (x) é uma fração racional
própria; caso contrário, F (x) é denominada imprópria.
Uma fração racional imprópria pode ser expressa como a soma de um polinômio
e de uma fração racional própria. Assim:
x3
x2+1=x− x
x2+1
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word
Toda fração racional própria pode ser expressa, pelo menos teoricamente, como
uma soma de frações mais simples: frações parciais, cujos denominadores são da forma:
(ax−b)ne (a x2+bx+c )n
Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word
Onde n é um inteiro positivo.
3.4.3.2. Exemplos
Exercícios com aplicação da Integração por fração parcial.
(i) Calcular I= ∫ x−2
x3−3 x2−x+3 dx
Temos que,
x−2x ³−3 x2−x+3
= x−2(x−1)(x+1)(x−3)
=A1
x−1+
A2
x+1+
A3
x−3
Reduzindo novamente ao mesmo denominador, vem:
x−2(x−1)(x+1)(x−3)
= (x+1 ) ( x−3 ) A1+¿¿
Eliminando os denominadores, obtemos:
x−2=( A1+ A2+ A3 ) x ²+ (−2 A1−4 A2 ) x+(−3 A1+3 A2−A3)
Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, através da resolução de
um sistema, chegamos à:
{ A1+A2+ A3=0−2 A1−4 A2=1
−3 A1+3 A2−A3=−2
Resolvendo o sistema de equações,obtemos:
A1=14
; A2=−38
; A3=18
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por:
x−2(x−1)(x+1)(x−3)
= 1/4x−1
+−3 /8x+1
+ 1/8x−3
¿ 14
∙1
x−1−3
8∙
1x+1
+18
∙1
x−3,
E, então,
I=14∫
dxx−1
−38∫
dxx+1
+1 /8∫ dxx−3
=14
ln|x−1|−38
ln|x+1|+ 18
ln|x−3|+C
3.5 Aplicações da Integral Definida – Cálculo de volume de sólidos e
comprimento de arco.
3.5.1. Definição
Aplicações da Integral Definida
Área: u.a
A=∫ f (x)dx
A=¿ ∫ f (x)dx∨¿
A=∫ f (x)dx ± ∫ g (x)dx
Comprimento do Arco: u.c
S= ∫ ₐraiz √ 1+[ f ’ (x )] ² dx
S= ∫ ₐ √ 1+[ g’( y)] ² dy
S=√ [x ’( t)] ²+[ y ’ (t)] ² dt
Volume: u.v
V=π ∫ ₐ[ f (x)] ² dx
V=π ∫ ₐ[ f (x)] ²−[ g(x )] ² dx
V=π ∫ ᵈ c [ g( y )] ² dy
V=π ∫ [ f (x )– L] ² dx
Área de Superfície: u.a
A=2 π ∫ ₐf (x)√ 1+[ f ’ (x)] ² dx
Cálculos de Volume de Sólido de Revolução
V=π ∫ ₐ[ f (x)] ² dx
V=π ∫ ₐ[ f (x)] ²−[ g(x )] ² dx
V=π ∫ ᵈc [ g( y )] ² dy
V=π ∫ [ f (x )– L] ² dx
3.5.2. Exemplos
Aplicação da Integral Definida no cálculo de volumes de sólido de revolução.
(i) A região R ,limitada pela curva y=¼x ² ,o eixo dos x e as retas x=1 e x=4,
gira em torno do eixo dos x. Encontrar volume do sólido de revolução gerado.
Aplicando a fórmula:
V=π ∫ ⁴₁(1/4 x ²)dx=¿
π /16. x ⁵ /5∨⁴₁=¿
π /80[ 4 ⁵−1 ⁵]=1.023 /80 π u . v
(ii) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x ,da
região entre o gráfico da função y=senxe o eixo dos x ,de – π /a até 3 π /2.
Aplicando a fórmula :
V=π ∫ i ntervalode 3π /2 ;−π /2(senx) ² dx=¿
π ∫ (1 /2 – ½cos2x )dx=¿
π (1/2 x−1/4 sem 2x )∨¿
π (1/2 .3 π /2 – ¼ sem(2. 3π /2)+½ . π /2+1/4 sen(2. – π /2))=¿
π (3 π /4−0+π /4+0)=π ² u . v
(iii) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x ,da
região limitada pela parábola y=¼(13−x ²) e pela reta y=½(x+5).
Aplicando a fórmula:
V=π ∫ intervalo de1 e−3 {[1/4 (13−x ²)] ²−[1/2(x+5)] ² }dx=¿
π ∫ [1/16(169−26 x ²+x ⁴)−¼(x ²+10x+25)]dx=¿
π /16 ∫ (69−40 x−30 x ²+x ⁴)dx=¿
π /16[69 x – 20 x ²−10 x ³+x ⁵/5]∨¿
π /16[69−20−10+1 /5+207−180+270+243/5]=¿
1.924 π /80=24,05 u . v
(iv) A região limitada pela parábola cúbica y=x ³, pelo eixo dos y e pela reta y=8,
gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução
obtido.
Para calcular o volume de T ,vamos aplicar a fórmula :
V=π ∫ ᵈc [ g( y )] ² dy=¿
π ∫ intervalo de8 a0 ; [(raiz cúbica)√ y ] ² dy=¿
π .3 /5 y (e levado a 5/3)∨¿
3 π /5 8(elevado a5 /3)=¿
96 π /5 u . v
(v) Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y=4, da
região limitada por y=1 /x , y=4 e x=4
Aplicando a fórmula :
V=π ∫ [ f (x )– L] ² dx=¿
π ∫ (¿ tervalo de 4 a¼)[1 /x−4 ] ² dx=¿
π ∫ [1/ x ²−8 /x+16 ]=¿
π [−1/ x−8 lnx+16 x ]∨¿
π (−1/ 4 –8 ln 4+64+4+8 ln¼−4)=¿
π (225 /4−8 ln 16)u . v
Cálculo de Comprimento de Arco
S= ∫ₐ √1+ [f’(x)]² dx
S= ∫ₐ √1+ [g’(y)]² dy
S= ∫(intervalo de t1 a t0) √[x’(t)]² + [y’(t)]² dt
3.5.3. Aplicação do cálculo, envolvendo as integrais na área da Engenharia
Civil.
Aplicação da Integral Definida no cálculo de Comprimento de Arco.
1. Calcular o comprimento do arco da curva dada por y=x (elevado á 3/2)– 4, de
A(1 ,−3) até B(4 , 4) .
S= ∫⁴₁ √ 1+ (3/2 x( elevado á ½)) ² dx=
∫⁴₁ √1 + 9/4x dx=
4/9. (1+ ⁹/₄x) (elevado a 3/2) / 3/2 |⁴₁ =
8/27 10(elevado a 3/2) – 8/27 (13/4) (elevado a 3/2)=
80√10 - 13√13 /27 u.c
2. Calcular o comprimento do arco dado por x= 1/2y³ + 1/6y – 1, 1<_ y <_ 3.
g(y) = ½ y³ + 1/6y – 1 e g’(y) = 3/2 y² - 1/6y²
Portanto:
S= ∫ ³ ₁√ 1+(³ /₂ y ²−1/6 y ²)² dy=¿
∫ ³ ₁√(9 y ⁴+1)/36 y ⁴ dy=¿
∫ ³ ₁9 y ⁴+1/6 y ² dy=¿
∫ ³ ₁(³ /₂ y ²+1/6 y (elevado a−2))dy
( ³/₂ . y ³ /3+1/6 . y (elevado a−1)/−1)∨³₁=¿
118 /9 u .c
3. Calcular o comprimento da hipociclóide,
{x=2 sen ³ t y=2cos³ t
S= ∫ (intervalo de t 1 a t 0)√ [x ’ (t )] ²+{y ’ (t)¿ ² dt=¿
∫ (intervalo de π /2 a0)√(6 sen ² t cost) ²+(−6 cos ² t sent ) ² dt=¿
∫ (intervalo de π /2 a0)√ 36 sen ⁴ t cos² t +36cos ⁴ t sen ² t dt=¿
∫ (intervalo de π /2 a0)√ 36 sem ² t cos² t dt=¿
∫ (intervalo de π /2 a0)6 sent cost dt=¿
6 . sen ² t /2∨(intervalo de π /2a 0)=¿
3 u . c
Logo, o comprimento total da hipociclóide dada é:
4 .3=12 u .c
4. Conclusão
O estudo do Cálculo Diferencial e Integral vem se aprimorando durante décadas
e mais décadas. Durante todo o semestre nos foi passado inúmeras técnicas para
resolução dos mais diversos tipos de problemas envolvendo integrais, diferenciais,
derivadas de funções, etc. Acreditamos que a base de todo o conhecimento de bases
estruturais, desde equações de física até simples nomenclaturas químicas, tudo envolva
o calculo, se não diretamente, até indiretamente. Toda a base do conhecimento das
ciências exatas tem como alicerce o Cálculo Diferencial e Integral.
Concluímos que o cálculo Diferencial e Integral é de suma importância na vida
dos estudantes e profissionais que trabalham com as ciências exatas. Estudantes de
engenharia, matemática, física, química, todos os estudantes e profissionais do
segmentos das ciências exatas tem como base de seus estudos e trabalhos o Cálculo
Diferencia e Integral.
5. Referências Bibliográficas
Piskounov, Nikolai Semenovich; Cálculo Diferencial e Integral; Edições Lopes da
Silva; 12ª edição, 2002.
FLEMMING Marília D. ;GONÇALVES Buss M.; Cálculo A ,6ª edição 2006. Editora
Pearson.
Aplicações da Integral : Comprimento de Arco – pág.335 a 339
Volume de Sólido de Revolução – pág. 346
BOULOS, Paulo; Cálculo Diferencial e Integral; vol.1; 2010. Editora Pearson.
Disponível em: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2012/06/integracao-por-fracoes-
parciais-parte-1.html Acessado em 25/11/2013.
Disponível em: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/07/metodo-de-
integracao-por-partes.html Acessado em 25/11/2013.
SILVA, M. A. et all. Dificuldades de Aprendizagem na Disciplina De Cálculo
diferencial E Integral: Estudo de Caso com Alunos do curso de Licenciatura em
Química. In V Congresso de Pesquisa e Inovação da rede norte nordeste de Educação
Tecnológica- CONNEPI, Maceió-AL, 2010.
NASCIMENTO, J.L. Matemática: conceitos e pré-conceitos. In: Educação em
Engenharia: metodologia (Pinto, D.P. e Nascimento, J.L, eds) pp 247-295, São Paulo:
Mackenzie, 2002.
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