tarea 1 (1)

Activos Derivados Magıster Finanzas

Tarea 1Otono 2014

Profesor: - Arturo Rodriguez -Alumnos: - Rodrigo Garay, Mario Quintana y Fabio Salinas -

a. Muestre que c < py.

Se busca determinar la siguiente relacion:

c < py (1)

Definimos los siguientes terminos:

p = ~x0 − ~x

c = (~x0 − ~x)~x0

Reemplazando en 1:

(~x0 − ~x)~x0 < (~x0 − ~x)y

Por otro lado, sabemos que:

y′ = (1− α)~x0 + α~y

Con y′ ∈ [~x0, ~y]. De forma equivalente, podemos expresar y′ como:

y′ = ~x0 + α(~y − ~x0)

Volviendo al termino 1, nos queda:

(~x0 − ~x)′~x0 < (~x0 − ~x)[~x0 + α(y − ~x0)]

Lo cual se cumple, dado que el menor valor de y′ sera ~x0.

1. Muestre que el conjunto factible es convexo.

Dado el siguiente valor,

A = ~Ψi tal que ~P = Y ~Ψi, ~Ψ ≤ 0

Bajo el supuesto de que existen (al menos) dos soluciones factibles distintas ~Ψa y ~Ψb ∈A, se tiene que,

Y ~Ψa = ~P ~Ψa ≥ 0 ∀i

Y ~Ψb = ~P ~Ψb ≥ 0 ∀i

Sea un nuevo valor, que es la combinacion lineal convexa de los dos anteriores,

~Ψ = θ~Ψa + (1− θ)~Ψb

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donde 0 ≤ θ ≤ 1. Si este nuevo valor representa una solucion factible, el conjunto factiblesera convexo. Probamos si esto se cumple:

Y ~Ψi = Y [θ~Ψa + (1− θ)~Ψb]

Y ~Ψi = θY ~Ψa + (1− θ)Y ~Ψb

Y ~Ψi = θ ~P + (1− θ)~P

Y ~Ψi = ~P

Por lo que se prueba que es un conjunto convexo.

c. Derive el CAPM generalizado a partir de lo visto en clases.

A partir del problema de maximizacion intertemporal del consumidor representativo, quemaximizara la suma descontada de su consumo a traves del tiempo dada la informacionque dispone (expectativas racionales) y sujeto a su restriccion presupuestaria, tendremos:

maxx

U(ct) + β · E[U(c, s)]

sujeto a

p0 · x+ c0 = e0

p1 · x+ e1 = c1

Donde c0 es el consumo en el periodo 0, β es el factor de descuento intertemporal, x esel numero de unidades del activo en el que invertira el individuo, y s son los escenariosposibles. La CPO del problema sera:

−U(c0) · p0 + β · E[U ′(c1) · p1]

Luego:

p0 = E

[U ′(c1)

U ′(c0)· βp1

]=∑s

U ′(c1)

U ′(c0)· βπ(s) · p1 (2)

Donde π(s) es la probabilidad de ocurrencia del escenario s. Ademas, el termino U ′(c1)U ′(c0)

· βcorresponde al factor de descuento estocastica. Ademas, debemos notar que:

U ′(c1)

U ′(c0)β · π(s) = p(s) y p1 = y(s)

Por otra parte, a partir del enfoque de Precios-Estado, podemos valorar los activos de lasiguiente forma:

vi =∑s

p(s) · yi(s)

Que es justamente lo que encontramos en 2. luego de utilizar las definiciones de p(s) ey(s). Desarrollando esta expresion:

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vi =∑s

p(s) · yi(s) =1

1 + rf

∑s

p(s) · (1 + rf ) · yi(s)

Donde:

Q(s) = p(s)(1 + rf )

Por otro lado, el valor esperado sera:

∑s

xi(s)q(s)π(s) = E(x(s)q(s)|π(s))

Por definicion sabemos que:

E(ri|π(s)) =E(xi|π(s))− Vi

Vi(3)

Donde E(ri|π(s)) corresponde al retorno esperado del activo i. Por lo tanto:

∑s

yi(s)q(s)π(s) = E ((1 + ri)q(s)|π(s))Vi (4)

Reemplazando esta ecuacion en la funcion valor:

Vi =1

1 + rfE ((1 + ri)q(s)|π(s))Vi

Desarrollando un poco::

1 =1

1 + rfE ((1 + ri)q(s)|π(s)) (5)

El valor esperado sera una multiplicacion de cada probabilidad del estado por la tasa porq(s). Por lo tanto, llegaremos a:

∑s

p(s)(1 + rf ) = E(q(s)|π(s)) = 1

Luego, si unimos las ecuaciones anteriores y desarrollamos1:

1Los valores esperados son condicionales, por simplicidad se omitira esto

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(1 + rf ) = E(1 + r : i) + cov((1 + ri), q(s))

(1 + rf ) = E(1 + ri) + cov(ri, q(s))

rf = E(ri) + cov(ri, q(s))

E(ri)− rf = −cov(ri, q(s))

Se cumplira tambien para i=m:

E(rm)− rf = −cov(rm, q(s))

Dividimos estas dos ecuaciones y ordenamos:

E(ri)− rf =cov(ri, q(s))

cov(rm, q(s))(E(rm)− rf )

Por definicion de MCO:

E(ri − rf = β(E(rm)− rf )

Ya tenemos una aproximacion al CAPM generalizado. Ahora, basta reemplazar Los re-tornos esperados, por sus formulas segun valor (es decir, ecuacion (3)). La relacion entrela tasa, del capm generalizado, y los retornos viene dada del hecho que debemos descontarlos flujos F a una tasa k. Por lo tanto:

E(ri) =Vi(1 + ki)− Vi

Vi⇒ E(ri) = k

Por lo tanto:

ki = rf + β(km − rf )