İstatİstİk 2 - beykentkampus.beykent.edu.tr/paylasim/dosyalar/ders3_tahmin...toplam 200 matematik...

Tahmin Teorisi

07/03/2012

AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2

İstatistik

yöntemler

Hipotez

testleri

Çıkarımsal

istatistik

Betimsel

istatistik

İstatistik yöntemler

Tahmin

Aralık

tahmini

Nokta

tahmini

2

Tahmin edici

Bir anakütle parametresinin tahmin edicisi

örneklemden elde edilen bilgilere dayanan

rassal bir değişkendir.

Aldığı değerler anakütlenin bilinmeyen

parametresi hakkında yaklaşık bir değer sağlar.

Bu rassal değişkenin aldığı belirli bir değere

tahmin denir.

3

4

Nokta tahmini

Alt güven

limiti

Üst güven

limiti

Güven aralığı

Nokta tahmini, bir parametre hakkında tek bir sayı verir.

Aralık tahmini, anakütle parametresinin arasında kaldığı düşünülen iki sayı verir.

Nokta ve Aralık tahminleri

Sapmasızlık

Eğer bir istatistiğin örnekleme dağılımının

ortalaması, anakütlenin karşılık gelen

parametresine eşitse, bu istatistik parametrenin

sapmasız tahmin edicisi olarak adlandırılır.

Örnek 1 Ortalamaların örnekleme dağılımının

ortalaması ( ) anakütle ortalamasına ( ) eşittir.

Dolayısıyla örnek ortalaması , anakütle ortalamasının

sapmasız bir tahminidir.

x X

5

Sapmasızlık

Örnek 2 Örneklem varyansının örnekleme

dağılımının ortalaması

Örneklem varyansı ( s2 ), anakütle varyansının (σ²)

sapmalı bir tahminidir.

6

2

21s

n

n

2 Anakütle varyansı

Etkin tahminler

Eğer iki istatistiğin (mesela ortalama ve medyan)

örnekleme dağılımları aynı aritmetik ortalamaya sahipse,

varyansı daha küçük olan istatistik ortalamanın etkin

tahmin edicisi olarak adlandırılır.

Örnekleme dağılımları aynı ortalamaya sahip bütün

mümkün istatistikleri göz önüne aldığımızda, bunlardan

varyansı en küçük olana ortalamanın en etkin veya en

iyi tahmin edicisi adı verilir.

7

Sapmasız ve etkin tahminler – Örnek

Bir kürenin çapından bir bilimadamı tarafından alınan beş

ölçümlük bir örneklem : 6,33; 6,37; 6,36; 6,32; ve 6,37 cm.

olarak kaydedilmiştir. Gerçek ortalamanın sapmasız ve etkin

tahmini nedir?

Çözüm:

Gerçek ortalamanın sapmasız ve etkin tahminini (anakütle

ortalamasını) örneklem ortalaması hesaplayarak

bulabiliriz. (çünkü örneklem ortalaması, anakütle

ortalamasının sapmasız tahminidir.)

8

6 33 6 37 6 36 6 32 6 376 35

5

, , , , ,X , cm

Nokta tahmini

9

1. Bir örneklemden elde edilen bilgiye dayanarak

tek bir değer verir.

2. Yapılan tahminin bilinmeyen anakütle

tahminine ne kadar yakın olduğu hakkında bilgi

vermez.

3. Örnek: Örneklem ortalaması x = 3 ise

örneklemin çekildiği anakütlenin ortalaması için

yapılan nokta tahmini de 3 olacaktır.

Nokta tahmini – Örnek

Bir bankanın müşterilerinden oluşan bir örneklemden

elde edilen bilgilere göre, müşteriler sırada ortalama

13 dakika beklemektedirler. Anakütlenin ortalaması

hakkında bir nokta tahmininde bulununuz.

Çözüm:

Eğer örneklem ortalaması ise,

Anakütlenin ortalaması hakkında nokta tahmini de 13dk.

10

dkx 13

Aralık tahmini

1. Bir örneklemden elde edilen bilgilere dayanarak bir değer

aralığı verir.

2. Yapılan tahminin, bilinmeyen anakütle parametresine

yakınlığı hakkında bilgi verir.

• Bu bilgi bir olasılık ile ifade edilir. Yakınlığı tamamen

doğru olarak söyleyebilmek için anakütlenin gerçek

parametresinin değerini bilmek gerekir.

3. Örnek: Bilinmeyen anakütle ortalaması %95 güvenirlik

derecesiyle 50 ve 70 arasındadır.

11

Ortalama, ,

bilinmiyor.

Anakütle

Örneklem

Rasgele örneklem

%95 eminim ki

40 ve 60

arasındadır.

Ortalama

x = 50

Aralık tahmini

12

Güven aralığı tahminleri

Bir aralık, iki değer arasında kalan bir sıra değeri içerir. :

Örneklemden örnekleme istatistiklerde farklılıklar

olacağını göz önüne alır.

Tek bir örneklemden elde edilen bilgilere dayanır.

Bir nokta tahmininin duyarlık veya doğruluk derecesini

gösterir.

Güvenilirlik seviyesi olarak ifade edilir.

Tahminlerden asla %100 emin olamayız.

13

Güven aralığı ve Güven düzeyi

Varsayalımki bir örneklemin ortalamasını hesapladık :

o Örnek: Gözlemlenen banka müşterileri ortalama 13 dakika sırada

bekliyor.

o Gözlemlenen örneklemin çekildiği anakütleye ait ortalama

( μ ) bekleme süresi hakkında ne diyebiliriz?

Sadece bir aralık belirleyip, anakütle ortalamasının bu aralık

içinde bulunması ihtimalini söyleyebiliriz.

Bu aralığa güven aralığı denir

Olasılık seviyesi ise güven düzeyini verir.

x

14

Bir önceki örneği ele alırsak:

Anakütle ortalamasının 10 ve 16 dakika arasında

olmasının olasılığı %95 olsun. P(10< μ <16) = 0,95

Güven düzeyi %95’dir.

[10 , 16] ise %95’lik güven aralığıdır.

Bir banka müşterisinin 10 ila 16 dakika arasında beklemiş

olması konusunda %95 emin olduğumuzu söyleyebiliriz.

15

Güven aralığı ve güven düzeyi

Güven düzeyi, (1 - )

Güven düzeyi bir anakütle parametresinin belirli bir

güven aralığında olmasının ihtimalini verir.

Güven düzeyini (1 – α) olarak gösterebiliriz.

En yaygın kullanılan güven düzeyleri:

90%, 95%, ya da 99%.

( = 10%), ( = 5%), ( = 1%)

16

Güven aralığı

Güven aralığını nasıl belirleriz?

Bütün güven aralıkları için genel formül şudur :

Nokta tahmini (Kritik değer)(Standart hata)

İstenen güven aralığına

bağlıdır.

17

Anakütle ortalaması μ için güven aralığı

(σ2 biliniyor)

Varsayımlar

Anakütle varyansı σ2 biliniyor.

Anakütle normal dağılım izliyor.

x zn

/2 /21

x

– z z Z 0

x zn

x z

n

X

Alt güven limiti Üst güven limit

Nokta tahmini (Kritik değer)(Standart hata)

19

Anakütle varyansı (σ²) bilindiği durumlarda,

belirlenmiş bir güven düzeyi için (1 – α), güven

aralığı limitlerine ait z değerlerini (± z α/2)

belirleyebiliriz.

z/2 değeri standart normal dağılımda iki

kuyruktaki /2’lik olasılığını veren değerdir.

Anakütle varyansı bilinmediği zaman, örneklem varyansı (s) ile ikame

edebiliriz. O zaman da normal dağılım yerine t-dağılımı kullanırız.

Anakütle ortalaması μ için güven aralığı

(σ2 biliniyor)

Yaygın kullanılan güven aralıkları

Yaygın olarak kullanılan güven aralıkları şunlardır :

90%, 95%, ve 99%

Güven

düzeyi Z/2 değeri

1.645

1.96

2.58

0.90

0.95

0.99

90%

95%

99%

1

20

Güvenilirlik faktörü, z/2

%95’lik güven aralığı için :

z = -1,96 z = 1,96

01 ,95

0α

.0252

0α

.0252

Nokta tahmini Alt güven Limiti

Üst güven Limiti

Z değeri:

X değeri:

0

Standart normal dağılım tablosunda z0,025 = 1.96

21

Hata payı

Güven aralığı,

Ayrıca şu şekilde de gösterilebilir :

HP : hata payı

Aralık genişliği, hata payının iki katına eşittir.

n

σzxμ

n

σzx α/2α/2

x HP

α/2

σHP z

n

22

Hata payı

Hata payını düşürmek için

Anakütle standart sapmasını düşürebiliriz (σ↓)

Örneklem büyütülebilir (n↑)

Güven düzeyi düşürülebilir (1 – ) ↓

n

σzME α/2

23

Aralık tahmini– Örnek 1

50 lise öğrencisinden oluşan bir örneklemin haftalık tv

seyretme sürelerinin incelenmesi sonucunda, ortalama

20,5 saat ve standart sapması 5,5 saat olarak

hesaplanmıştır.

Bütün lise öğrencilerinin ortalama TV seyretme süreleri

hakkında %95’lik güven aralığını belirleyin.

24

Örneklem büyüklüğü (n) = 50

Örneklem ortalaması ( ) = 20,5

Standart sapma (σ) = 5,5

Güven düzeyi: 0,95 = 1 – α α = 0,05

25

Aralık tahmini– Örnek 1

x

Çözüm

%95 emin olabiliriz ki bütün lise öğrencileri için geçerli olan ortalama TV seyretme

süresi 18,975 ve 22,025 saat arasındadır

nzx

2/

18,975 < μ < 22,025

Z/2 = Z0,025=1,96

525,15,20

50

5,596,15,20

Tepki süresini ölçen bir psikolog, standart sapmanın

0,05saniye olduğunu tahmin etmektedir. Tahminindeki

hatanın 0,01 saniyeyi geçmeyeceğine (a) %95, (b) %99

güven duyması için ne kadar hacimli bir ölçüm örneklemi

olmalıdır?

(a) %95 güven düzeyi için

26

1 96x ,n

1 96 0 01ME , ,n

1 96 0 05

0 01, * ,

,n

21 96 0 05

0 01

, * ,n

,

96,04 < n min n = 97

Aralık tahmini – Örnek2

27

2 58x ,n

2 58 0 01ME , ,n

2 58 0 05

0 01, * ,

,n

22 58 0 05

0 01

, * ,n

,

166,04 < n min n = 167

Aralık tahmini – Örnek2

Tepki süresini ölçen bir psikolog, standart sapmanın

0,05saniye olduğunu tahmin etmektedir. Tahminindeki

hatanın 0,01 saniyeyi geçmeyeceğine (a) %95, (b) %99

güven duyması için ne kadar hacimli bir ölçüm örneklemi

olmalıdır?

(b) %99 güven düzeyi için

Toplam 200 matematik notundan rasgele seçilen 50 notluk

örnekleme göre, aritmetik ortalama 75, standart sapma da 10’dur.

(a) 200 notun ortalamasının tahmini için %95lik güven sınırları

nedir?

28

(a) Anakütle büyüklüğü örneklem büyüklüğüne oranla çok geniş

olmadığından, buna göre düzeltme yapmalıyız. Standart hata formülünde

bu durumu dikkate almamız gerekir. O zaman %95lik güven sınırları :

1

p

x

p

N n

Nn

2/ xx z

21

p

/

p

N nx z

Nn

10 200 5075 1 96

200 150,

75 2 4,

72,6

77,4

Güven aralığı – Örnek 3

Toplam 200 matematik notundan rasgele seçilen 50 notluk

örnekleme göre, aritmetik ortalama 75, standart sapma da 10’dur.

(b) 200 notun ortalamasının 75±1 olduğunu hangi güven derecesi

ile söyleyebiliriz

29

(b) Güven limitleri :

2 21

p

/ x /

p

N nx z x z

Nn

2

10 200 5075 75 1

200 150/z

2

10 200 501

200 150/z

2 1 23 1/z * ,

2 1 1 23 0 81/z / , ,

Standart normal dağılım tablosundan

For z = 0,81 P(z<0,81) = 0,7910

α/2 = P(z > 0,81)=1 – 0,7910 = 0,209

Güven düzeyi (1 – α) = 0,582

Güven aralığı – Örnek 3