statistica economica (6 cfu) corso di laurea in economia e commercio a.a. 2012-2013 docente: lucia...
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Statistica economica (6 CFU)
Corso di Laurea in Economia e Commercioa.a. 2012-2013
Docente: Lucia BuzzigoliLezione 8
Per poter applicare i modelli MA, AR e ARMA alle serie storiche reali è utile analizzarne le caratteristiche.In particolare dobbiamo verificare quando tali strutture sono coerenti con le ipotesi di stazionarietà e invertibilità e con quali strutture di dipendenza lineare sono compatibili.
MODELLO MA(1)(B) = 1 - 1B
Zt = ( 1 - 1B )at at WN(0, 2a)
Zt = at - 1at-1
Con la costante il modello diviene più generale:Zt = c+ at - 1at-1
QUALI CARATTERISTICHE HA UN MODELLO MA(1) ?
• è stazionario?• è invertibile?
MOMENTI DI UN MA(1)
MEDIA = E(Zt)= E(c+ at - 1at-1)
= E(c) + E(at) – E(1at-1)
= c + 0 – 1 0 = c
La costante coincide con il valore atteso.La media non dipende da t.
VARIANZAVar (Zt ) = E(Zt - )2= E(Zt - c )2
= E(at - 1at-1 ) 2
= E(a2t + 2
1a 2t-1 – 21at at-1 )
= E(a2t )+ 2
1 E(a 2t-1) – 21E(at at-1 )
= 2a + 2
1 2a – 210
= 2a (1+ 2
1 )
La varianza non dipende da t .
N.B. : 1) Zt = c+ at - 1at-1 Zt – c = at - 1at-1
2) E(a2t ) = E(a 2
t-1) = 2a
3) E(at at-1 )=0 perché at è incorrelato
AUTOCOVARIANZA AL LAG 1 1 = acov(Zt , Zt-1 ) = E(Zt - )(Zt-1 - )=
E(Zt - c ) )(Zt-1 - c)
= E(at - 1at-1 ) (at-1 - 1at-2 )
= E(at at-1 - 1a 2t-1 – 1at at-2 + 2
1at-1at-2 )
= E(at at-1 )- 1 E(a 2t-1) – 1E(at at-2 )+2
1E(at-1 at-2 )
= 0 - 1 2a – 10 + 2
10
= - 1 2a
L’autocovarianza non dipende da t, ma solo dal parametro 1 e dalla varianza di at
N.B. : Zt – c = at - 1at-1 Zt-1 – c = at-1 - 1at-2
AUTOCORRELAZIONE AL LAG 1r 1 = 1 / 0
= [- 1 2a ] / [2
a (1+ 21 ) ]
= - 1 / (1+ 21 )
L’ autocorrelazione non dipende da t, ma solo dal parametro 1 .
AUTOCOVARIANZA AL LAG 2
2 = acov(Zt , Zt-2 ) = E(Zt - )(Zt-2 - )=
= E(Zt - c ) )(Zt-2 - c)
= E(at - 1at-1 ) (at-2 - 1at-3 )
= E(at at-2 – 1a t-1 at-2– 1at at-3 + 2
1 at-1at-3 )
= E(at at-1 )- 1 E(a t-1 at-2) – 1E(at at-3 ) + 2
1 E(at-1 at-3 )
= 0 – 10 – 10 + 210
= 0In generale, l’autocovarianza (autocorrelazione) sarà nulla per k > 1 .Anche questa autocovarianza non dipende da t
Nell’MA(1) il valore dell’autocovarianza dipende dal lag k e non da t.
CORRELOGRAMMA DI UN MA(1)-Il correlogramma di un MA(1) ha due soli andamenti possibili
1>0 1 <0
AUTOCORRELAZIONE PARZIALE
-Il correlogramma di un MA(1) ha due soli andamenti possibili: in entrambi i casi decade a 0 in termini esponenziali
1>0 1 <0
In conclusione:Il modello MA(1) è coerente con l’ipotesi di stazionarietà:- Media, varianza, autocovarianza e autocorrelazione
non dipendono dal tempo- Le funzioni di autocovarianza e di autocorrelazione
dipendono da k e, in particolare, si troncano per k > 1
INVERTIBILITÀ DI UN MA(1)Zt = c+ at - 1at-1 at WN(0, 2
a)
Invertibilità richiede di poter riscrivere Zt in funzione del suo passato e di at
Zt = at - 1at-1 at = Zt + 1at-1
at-1 = Zt-1 + 1at-2
at-2 = Zt-2 + 1at-3
ecc.
Ne segue: Zt = at - 1(Zt-1 + 1at-2)
= at - 1Zt-1 - 21 at-2
= at - 1Zt-1 - 21 (Zt-2 + 1at-3)
= at - 1Zt-1 - 21 Zt-2 - 3
1at-3
= … = - 1Zt-1 - 2
1 Zt-2 - … - h1at-h
Per ||<1 il termine h1at-h tende a 0 per h e Zt risulta invertibile.
N.B.: un modello MA(1) invertibile può essere scritto come un modello AR()
INVERTIBILITÀ DI UN MA(1)Consideriamo i due modelliZt = c+ at - 1at-1 e Zt = c+ at – (1/1) at-1
Essi hanno la stessa funzione di autocorrelazione.
Quindi, nei modelli MA(1) non c’è corrispondenza biunivoca tra modello e funzione di autocorrelazione.
Tuttavia: tra i due modelli, uno solo è invertibile. Infatti, se |1|<1 si avrà |1/1|>1, e viceversa.
Per i modelli MA(1) invertibili c’è corrispondenza biunivoca tra modello e funzione di autocorrelazione.
CONDIZIONE DI INVERTIBILITÀ
La condizione di invertibilità di un MA(1) può essere espressa su 1 oppure sulla radice del polinomio caratteristico (B) = 1 - 1B
1 - 1B = 0 B = 1/1
Ne segue:|1|< 1 |B| > 1
Nei modelli di ordine superiore a 1 la condizione di invertibilità viene SEMPRE espressa sulle radici del polinomio caratteristico.
MODELLO MA(q)Zt = ( 1 - 1B - … - qBq )at at WN(0, 2
a)
- Sempre stazionario- Invertibile se le radici del polinomio caratteristico
(B)= 1 - 1B - … - qBq sono in modulo maggiori di 1
- La f.a.c. si tronca per k>q- La f.a.c.p. non si annulla mai ma tende
velocemente a 0- Se le condizioni di invertibilità sono soddisfatte
MA(q) AR()
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