solucionario ensayo mt-054 2015
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8/19/2019 Solucionario Ensayo MT-054 2015
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SOLUCIONARIO
ENSAYO MT- 054
S E N C E S M T 0 5 4 - A 1
5 V 1
-
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1. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Números racionales
Habilidad Comprensión
Si k , m y n son números naturales, entonces:
A) Verdadera, ya que 12m + 18n = 6(2m + 3n) = 6k (múltiplo de 6)
B) Verdadera, ya que 15m · 15n = 225mn = 9(25mn) = 9k (múltiplo de 9)
C) NO siempre verdadera, ya que 7m + 7n = 7(m + n) = 7k (no siempre múltiplo de 14)
D) Verdadera, ya que (8m)² = 64m² = 4(16m²) = 4k (múltiplo de 4)
E) Verdadera, ya que 5m · 16n = 80mn = 10(8mn) = 10k (múltiplo de 10)
Por lo tanto, la afirmación C no siempre es verdadera.
2. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Potenciación
Habilidad Comprensión
Multiplicando cruzado y aplicando propiedades de raíces, se tiene
1x
x
x
x
x 2
22
22
22
2
1
2
1
Por lo tanto, la expresión
2
1
2
1x es siempre equivalente a 1x
x
2
22
.
3. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Números racionales
Habilidad Aplicación
La cuarta parte de 200 es equivalente a calcular 4
1200 = 50.
Luego, el quíntuplo de 50 es 5 50 = 250. Por tanto52 de 250 es
52 250 = 100.
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4. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Potenciación
Habilidad Aplicación
2
2log2 (Logaritmo de una división)
2log2log 22 (Logaritmo de una raíz)
2log2log2
122 (Logaritmo de la base)
12
1 (Calculando)
2
1
5. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Números racionales
Habilidad Aplicación
Para calcular los metros recorridos, se calcula el perímetro rectangular de la pista:
2 ∙ (80 + 60) = 2 ∙ 140 = 280 metros.
Luego, como al atleta le faltaron 20 metros para recorrer las 4 vueltas, la distancia total
es: (4 ∙ 280) – 20 = 1.120 – 20 = 1.100 metros.
6. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Números racionales
Habilidad Aplicación
Según el análisis de operaciones, entre números enteros siempre ocurre que:
positivo + positivo = positivo y negativo + negativo = negativo
positivo – negativo = positivo y negativo – positivo = negativo
positivo · positivo = positivo ; negativo · negativo = positivo y
positivo · negativo = negativo
par ± par = par ; impar ± impar = par ; par ± impar = impar e impar ± par = impar
par · par = par ; impar · impar = impar y par · impar = par
Luego:
A) (q – m) par negativo ; (m + p) impar positivo (q – m)(m + p) par negativo
B) (m – n) impar positivo ; (p – n) par positivo (m – n)(p – n) par positivo
C) (n + q) impar negativo ; (q – p) impar negativo (n + q)(q – p) impar positivo
D) (p – q) impar positivo ; (n – m) impar negativo (p – q)(n – m) impar negativoE) (n – p) par negativo ; (m – q) par positivo (n – p)(m – q) par negativo
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Por lo tanto, la expresión que corresponde siempre a un número impar negativo es
(p – q)(n – m).
7. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Potenciación
Habilidad Aplicación
645 + 645 = 2 · 645 (Factorizando por 2)
= 2 · (26)5 (Transformando el 64 a potencia)
= 2 · 230 (Resolviendo potencia de una potencia)
= 231 (Multiplicando potencias de igual base)
8. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Números racionales
Habilidad ASE
I) Verdadera, ya que la suma de dos números pares consecutivos puede escribirse
como 2n + (2n + 2) = 4n + 2 = 2 ∙ (2n + 1), lo que indica que esta suma siempre
es divisible por 2.
II) Falsa, ya que la diferencia positiva de 2 números impares consecutivos puede
escribirse como 2n + 1 – (2n – 1) = 2n + 1 – 2n + 1 = 2, por lo tanto esta
expresión no es divisible por 3, ya que el 2 no es múltiplo de él.
III) Verdadera, ya que si un número es divisible por 4, implica que este siempre sea
par, por lo tanto también será divisible por 2.
Por lo tanto, solo la afirmación II es falsa.
9. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Potenciación
Habilidad Aplicación
100)m100log( = 100 log(100m)
= 100(log 100 + log m)
= 100(2 + log m)
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10. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Números irracionales
Habilidad Aplicación
Construyendo la expresión buscada:
3
87
7
18 (Restando 2)
23
8272
7
18
3
227
7
4 (Invirtiendo)
2
3
27
1
4
7
(Multiplicando por 4)
627
47
Por lo tanto, el valor de27
4
se encuentra entre 6 y 7.
11. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Números irracionales
Habilidad Aplicación
Desarrollando la expresión:
2
21 22
1)22(
2
2
221
4
)221( 2
4
8241
4
249
24
9
Como el resultado corresponde a la diferencia entre un racional y un irracional, entonces
este siempre es un número irracional. Por otra parte, 24
9
, por lo que la expresión
representa un número irracional positivo.
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12. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Potenciación
Habilidad ASE
Según la igualdad bax bxa
I) Verdadera, ya que si x = 0, entonces la igualdad queda ba ba .
II) Falsa, ya que si x = a + b, entonces la igualdad queda
ba b2a b ba) ba( b) ba(a .
III) Verdadera, ya que si x = a – b, entonces la igualdad queda
baa b ba) ba( b) ba(a .
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
13. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Potenciación
Habilidad ASE
La distancia entre dos puntos en la recta numérica corresponde a la diferencia entre el
número mayor y el número menor. Luego,GH
FG =
222
22
GH
FG
Racionalizando, resulta2
2
4
22
48
224424
222
222
222
22
.
Por lo tanto, la razónGH
FG es igual a
2
2.
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14. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Números irracionales
Habilidad ASE
Aplicando propiedades de logaritmos:
80log16 (Descomponiendo)
)516(log16 (Logaritmo de un producto)
5log16log 1616 (Logaritmo de la base / Reemplazando)
5
31 (Calculando)
5
35
58
15. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Números irracionales
Habilidad ASE
Si un cuadrado de lado m tiene una diagonal de medida p, entonces se cumple que
p = m 2 . Entonces:
A) Podría representar un número racional, ya que (m + p) = (m + 2 m) = m · (1 + 2 ).
Luego, si m = ( 2 – 1), entonces m · (1 + 2 ) = ( 2 – 1) · (1 + 2 ) = 1
B) Podría representar un número racional, ya que (m² + p) = (m² + 2 m). Luego, si
m = 2 , entonces (m² + 2 m) = (2 + 22 ) = (2 + 2) = 4.
C) NO podría representar un número racional, ya que2
1
m2
m
p
m , que es siempre
un número irracional.
D) Podría representar un número racional, ya que m · p = m · 2 m = 2 m². Luego, si
m = 4 2 , entonces 2 m² = 2 · 2
4 2 = 2 · 2 = 2.
E) Podría representar un número racional, ya que (m + p²) = (m + 2m)2( ) = (m + 2m²).
Luego, para cualquier valor racional de m, el valor de (m + 2m²) es racional.
Por lo tanto, solo la expresión p
m representa siempre a un número irracional.
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16. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Números complejos
Habilidad Comprensión
Sea z = a + bi, entonces el conjugado de z es (a – bi) y el inverso aditivo de z es ( – a – bi).
Entonces, al multiplicar el conjugado de z por el inverso aditivo de z es:
(a – bi)·( – a – bi) = – a² – abi + abi + b²·i² = – a² – b² = – (a² + b²)
Como el módulo de z es22 ba , entonces el cuadrado del módulo de z es (a² + b²).
Entonces, al multiplicar el conjugado de z por el inverso aditivo de z, resulta – (a² + b²),
que es el inverso aditivo del cuadrado del módulo de z.
17. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Números complejos
Habilidad Aplicación
Si p = 4 – 3i, entonces:
2p·(1 – p) = 2·(4 – 3i)·(1 – (4 – 3i))
= 2·(4 – 3i)·(1 – 4 + 3i)
= 2·(4 – 3i)·( – 3 + 3i)= 2·(4 – 3i)·3·( – 1 + i)
= 6·(4 – 3i)·( – 1 + i)
= 6·( – 4 + 4i + 3i – 3·i²)
= 6·( – 4 + 4i + 3i + 3)
= 6·( – 1 + 7i)
= – 6 + 42i
18. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Transformaciones algebraicas
Habilidad Comprensión
2(a + b)(a – b) = (Resolviendo la suma por su diferencia).
2(a2 – b2) = (Aplicando propiedad distributiva).
2a2 – 2b2
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19. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Transformaciones algebraicas
Habilidad Comprensión
(a + 2b) · (2b – a) = (Conmutando)(2b + a) · (2b – a) = (Suma por su diferencia)
4b2 – a2
20. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer grado
Habilidad Aplicación
El antecesor de (n + a) es igual a (n + a – 1), mientras que el sucesor de (n + a) es (n + a 1).
Por lo tanto, el enunciado se traduce como:
4 · (n + a – 1) = 3 · (n + a + 1) (Desarrollando)
4n + 4a – 4 = 3n + 3a + 3 (Despejando n)
4n – 3n = 3a + 3 – 4a + 4
n = – a + 7
21. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer gradoHabilidad Aplicación
2p – q = m
p – 3q = 5m /·( – 2) (Amplificando la segunda ecuación)
2p – q = m
– 2p + 6q = – 10m (Resolviendo el sistema por método de reducción)
5q = – 9m (Despejando q)
5
m9q
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22. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Transformaciones algebraicas
Habilidad ASE
I) Falsa, ya que al multiplicar P por – 1, resulta:
22 x
25
x
25P
II) Verdadera, ya que al multiplicar P por – x, resulta:
x
2x5
x
x2x5
x
25xPx
22
III) Verdadera, ya al despejar x2, resulta:
5P
2
x25)(Px2x5Px2x5Pxx
2
5P 222222
2
Por lo tanto, solo II y III son verdaderas.
23. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Habilidad Comprensión
Si m · n = – 5 y m + n = 2, siendo m y n las raíces de una ecuación de segundo grado.Dentro de las propiedades de las raíces se tiene que:
La suma de las raíces esa
b y la multiplicación de las raíces es
a
c. Según las
alternativas el valor de a = 1, por lo tanto, b = – 2 y c = – 5. Luego, la ecuación
cuadrática que tiene como raíces a m y n es x2 – 2x – 5 = 0.
24. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Habilidad Aplicación
En una ecuación cuadrática cuya forma es ax2 + bx + c = 0, el producto entre las raíces
siempre es igual al cociente entre los coeficientes c y a.
En la ecuación del enunciado, a = 1, b = – (k + 10) y c = 10k – 2. Por lo tanto:
6601058210581
210
k k k
k
Por lo tanto, k debe ser igual a 6.
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25. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad Comprensión
Los números que están a lo más a 5 unidades de distancia de 4, son aquellos que en larecta numérica se encuentran como máximo a cinco unidades, tanto a la derecha como a
la izquierda de esta.
Si contamos 5 unidades a la izquierda de 4, llegamos al – 1, por lo que todo número entre
– 1 y 4 se encuentran como máximo a esta distancia, contando a ambos valores. Por otra
parte, si contamos 5 unidades a la derecha de 4, llegamos al 9, por lo que todo número
entre 4 y 9 se encuentran a lo más a esta distancia, incluyendo estos valores. Por lo tanto,
los valores que están a lo más 5 unidades de 4 están en el intervalo [ – 1, 9], cuya
representación gráfica corresponde a la alternativa B).
26. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad Aplicación
Sea M = 4 – 2b, si 1 b7
El mayor valor que puede alcanzar b es 1, por lo cual el menor valor que puede alcanzar
M es: 4 – 2 · (1) = 2
El menor valor que puede alcanzar b es – 7, por lo cual el mayor valor que puede alcanzar
M es: 4 – 2 · ( – 7) = 18
Por lo tanto, los valores que puede tomar M son solo los valores entre 2 y el 18, ambos
incluidos.
27. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad Aplicación
2
)2x(54x = (Multiplicado por 2)
10x5)4x(2 = (Resolviendo los paréntesis)
10x58x2 = (Despejando x)x318 = (Dividiendo por 3)
x3
18
= (Despejando x)
x6
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28. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Función afín y función lineal
Habilidad Comprensión
La cantidad total de días está compuesta por una cantidad fija y una cantidad variable. Lacantidad fija no depende de la cantidad de material que se extraiga, y corresponde a 3
días.
La cantidad variable depende de la cantidad de material que se extraiga. Luego, si para
extraer una tonelada de material se tarda 2 días, entonces para extraer x toneladas de
material se tardará 2x días.
Es decir, cantidad total = cantidad fija + cantidad variable = 3 + 2x
Por lo tanto, la función que representa la cantidad total de días que utilizará la empresa en
una faena donde debe extraer x toneladas de material es p(x) = 2x + 3.
29. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
f(a) =a1
1a
⟹ f(f(a)) = f
a1
1a
Evaluando:
f
a1
1a =
a1
1a1
1a1
1a
(Desarrollando)
=
a1
1)(aa)(1a1
a)(11a
=
a1
a2a1
2
=a2
a1
a1
2
=a
1
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30. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Función afín y función lineal
Habilidad Aplicación
Los dos puntos representados en el gráfico son (0, a) y (a, 0). Luego, la ecuación de larecta que pasa por dos puntos se determina como:
y =12
12
xx
yy
(x – x1) + y1 =
0a
a0
(x – 0) + a = – 1x + a = – x + a
Por lo tanto, la función que corresponde a la recta de la figura es m(x) = – x + a
31. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
Habilidad Aplicación
Para hallar los valores de x donde 2x100 es real se hace lo siguiente:
0x100 2 2x100
2x100
x10
10x10
32. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
Habilidad ASE
Del gráfico de f(x) = log
x4
1, se tiene que:
I) Verdadera, ya que en la medida en que x sea un valor mayor, el valor de la
función se hace menor.
II) Verdadera, ya que la intersección con el eje de las abscisas ocurre cuando y = 0, lo
que sucede cuando x =4
1.
III) Verdadera, ya que al remplazar en la función x =2
5, resulta y = – 1.
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
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33. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
Habilidad ASE
Del enunciado se puede determinar: la población inicial, la tasa de crecimiento y el periodo en que lo hace. Luego,
I) Verdadera, ya que luego de 3 minutos se realiza una duplicación y de 5.000
bacterias se pasa a 10.000.
II) Falsa, ya que en 6 minutos habrán dos duplicaciones, o sea, deben haber 20.000
bacterias.
III) Verdadera, ya que luego de media hora habrán sucedido 10 duplicaciones, las
cuales se ven reflejada en el exponente de 2.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
34. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Habilidad Aplicación
Si se tiene una función f (x) = ax² + bx + c, en los reales, el máximo valor que alcanza
f(x) corresponde a f
2a
b .
Luego, g(x) = (m – x)·x = mx – x² a = – 1, b = m y c = 0. Entonces, el máximo valor
que alcanza g(x) corresponde a g
1)(2
m = g
2
m =
2
2
m
2
mm
=
4
m
4
m
2
m 222
Por lo tanto, el máximo valor que alcanza la función real g(x) es4
m 2.
35. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad ASE
Para verificar la desigualdad, primero se deben determinar las intersecciones entre las
funciones:
p(x) = h(x) (Reemplazando)
– x² = x³ (Dos de las soluciones son x = 0. Si x ≠ 0, se simplifica por x²)
– 1 = x
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O sea, las funciones se intersectan en x = – 1 y x = 0. Significa que los intervalos de
interés son – , – 1, – 1, 0 y 0, +. Luego:
* – , – 1 – 1 > x – x² > x³ p(x) > h(x)
* – 1, 0 – 1 < x < 0 – x² < x³ < 0 p(x) < h(x)
* 0, + 0 < x – x² < 0 < x³ p(x) < h(x)
Por lo tanto, el intervalo de todos los valores de x donde se cumple que p(x) > h(x) es
– , – 1.
36. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Comprensión
Según los contenidos de congruencia la alternativa que explica mejor la relación de
congruencia entre dos triángulos es: “tienen sus tres lados respectivamente congruentes”.
37. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad Comprensión
Se tiene el punto A(3, – 2) y se le aplica una simetría axial con respecto al eje de las
abscisas (X). Con esta simetría solo varía el signo de la ordenada, por lo tanto el punto
simétrico A´ es (3, 2).
38. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad Aplicación
Teniendo un punto inicial (2, – 1) y un punto final (5, 2) la forma de hallar el vector detraslación es restando vectorialmente al vector final, el inicial.
Siendo T(x, y) el vector de traslación, x = 5 – 2 = 3 e y = 2 – ( – 1) = 3, por lo tanto el
vector T es (3, 3).
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39. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad ASE
Según los datos del enunciado más los de la figura, el cuadrilátero ABCD bien podría serun rombo o un deltoide de base AC.
La alternativa D) PDC BAP solo ocurre si se tratara de un rombo. Como no es elúnico caso, esta congruencia es falsa.
40. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad ASE
Para trasladar al punto ( – 2, – 3) hasta las coordenadas (1, – 4), fue necesario desplazarlo
tres unidades a la derecha y una hacia abajo, es decir, se le aplicó un vector traslación
T(3, – 1).
Luego, al aplicar la misma traslación al punto ( – 4, 1), se obtiene:
( – 4 + 3, 1 + ( – 1)) = ( – 1, 0)
41. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Transformaciones isométricasHabilidad ASE
Los segmentos AC y BD son diagonales del cuadrado, por lo tanto estos segmentos se
dimidian y son perpendiculares en el punto E. Entonces:
I) Verdadera, ya que ambos puntos se encuentran a igual distancia del segmento AC.
II) Verdadera, ya que el punto D es simétrico al punto B respecto a E, al igual que el
punto C con el punto A.
III) Verdadera, ya que la diagonal de un cuadrado es igual a la medida del lado
multiplicado por raíz de dos.
Por lo tanto, I, II y III son verdaderas.
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42. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad ASE
A continuación se debe deducir información acerca del punto (1, – 7), respondiendo soloaquellas que son verdaderas.
I) Falsa, ya que como si al punto (1, – 7) se le aplica una traslación según el vector
T( – 4, 3), se tiene (1, – 7) + ( – 4, 3) = ( – 3, – 4).
II) Verdadera, ya que según la tabla de rotaciones, cuando se rota un punto en 270º
con respecto al origen, se obtiene el punto (y, – x), por lo tanto para el punto
(1, – 7) se obtiene ( – 7, – 1).
III) Verdadera, ya que en una simetría con respecto al eje de las ordenadas, solo hay
cambio de signo en la abscisa, obteniéndose el punto ( – 1, – 7).
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
43. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Circunferencia
Habilidad Comprensión
En una circunferencia, un ángulo del centro mide lo mismo que el arco que subtiende.
Como el arco DA mide 120°, entonces DOA = 120°. Dado que DOA y AOB sonadyacentes, entonces AOB = (180° – 120°) = 60°.
Por lo tanto, la medida del ángulo x es 60°.
44. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Aplicación
Como DE y AB son paralelas, se puede utilizar el teorema de Thales. Luego,ABCA
DECD .
Reemplazando los valores correspondientes, se obtiene:
5
56
5
14·4AB14·4AB·5
AB
14
4
5
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45. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Aplicación
Como el triángulo ABC es rectángulo en C y CD es altura, se puede utilizar el teorema dePitágoras y el de Euclides.
Por teorema de Pitágoras AB mide 10, ya que 6, 8 y 10 forman el trío pitagórico 3k, 4k y
5k, con k = 2.
Por teorema de Euclides5
24
10
8·6CD
Por lo tanto, el valor de CD es5
24.
46. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Circunferencia
Habilidad Aplicación
El arco completo de una circunferencia mide 360°. Entonces, al sumar los tres arcos de la
figura:
(2p + 30°) + (p + 10°) + p = 360° (Despejando)
4p + 40° = 360°
4p = 320° p = 80°
En una circunferencia, un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende. Como x
subtiende al arco (p + 10°), entonces x =
2
90
2
1080
2
10 p = 45°.
Por lo tanto, el ángulo x mide 45°.
47. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Aplicación
Según el teorema de las cuerdas en la circunferencia, cuando éstas se intersectan, el
producto de los dos segmentos en que queda dividida una es igual al producto de los dos
segmentos en que queda dividida la otra. Entonces, en la figura, se puede plantear
EDCEEBAE , que al reemplazar resulta AEEB = (127) = 84.
Además, AB = AE + EB = 20, por lo cual podemos llamar x a uno de los segmentos y
(20 – x) al otro. Entonces, se cumple que:
-
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x(20 – x) = 84 (Desarrollando)
20x – x² = 84
x² – 20x + 84 = 0 (Factorizando)
(x – 14)(x – 6) = 0
Luego, uno de los segmentos mide 14 cm y el otro mide 6 cm. Como EBAE , entoncesAE = 14 cm y EB = 6 cm.
Por lo tanto, AE mide 14 cm.
48. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Aplicación
Como el segmento PQ es tangente a la circunferencia en el punto Q, y el segmento PA es
una secante de la circunferencia, entonces podemos aplicar el teorema de la secante y la
tangente:
PBPAPQ2
Si decimos que el valor del segmento AB es x, entonces PA = 8 + x. Luego:
PBPAPQ2
(Sustituyendo)
8)x8(61 2 (Desarrollando)
x864256 (Restando 64)x8192 (Dividiendo por 8)
24 = x
Por lo tanto, el valor del segmento AB es 24.
49. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad ASE
I) Verdadera, ya que el teorema de Euclides establece esta afirmación.
II) Verdadera, ya que corresponde a un criterio de semejanza.
III) Verdadera, ya que la razón entre sus áreas corresponde al cuadrado de la razón de
semejanza entre dos triángulos semejantes.
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
-
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50. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
Si el punto (2, – 1) pertenece a la recta, se debe reemplazar en la ecuación y mantenersela igualdad. Luego,
nx – 3y = 7 (Reemplazando x = 2 e y = – 1 )
n · 2 – 3 · ( – 1) = 7
2n + 3 = 7
2n = 4
n = 2
51. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría analíticaHabilidad ASE
I) Falsa, ya que si p = 0, entonces L1 queda 1 = x, que corresponde a una recta vertical, o
sea paralela al eje Y.
II) Verdadera, ya que si p = 1, entonces L1 queda y + 1 = x + 1, que al despejar resulta
y = x. Al despejar L2 resulta y = – x + 1. Luego, como el producto de sus pendientes es
igual a – 1, entonces L1 L2.
III) Verdadera, ya que si p = – 1, entonces L1 queda – y + 1 = x – 1, que al despejarresulta y = – x + 2. Al despejar L2 resulta y = – x + 1. Luego, como tienen igual pendiente
y distinto coeficiente de posición, entonces L1 // L2.
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
52. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Cuerpos geométricos
Habilidad Aplicación
Para calcular la diferencia entre los volúmenes de dos cubos, se deben hallar los
volúmenes por separado.
El volumen del cubo con arista (x + 2) cm, es (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8.
El volumen del cubo con arista x cm, es x3.
Luego, la diferencia entre los volúmenes es 6x2 + 12x + 8.
-
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53. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Cuerpos geométricos
Habilidad Aplicación
Al girar el cuadrado de la forma descrita, se forman dos conos unidos por sus bases, deradio 2 y generatriz 2. El área lateral de un cono se calcula como · radio · generatriz,
por lo cual el área lateral de cada cono es · 2 · 2 = 22
El área total del cuerpo que se forma corresponde a dos áreas laterales, es decir,
2·( 22 ) = 24
Por lo tanto, se forma un cuerpo geométrico cuya área total es 24 .
54. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
Dadas las coordenadas de los puntos, es posible obtener las medidas de los segmentos:
AD = 1, DC = 1, AB = 2 y CB = 2 . Luego:
A) Verdadera, ya que ADDC , ABCB y DB es un lado común. Luego, por elcriterio LLL, se cumple que DBC DBA.
B) Verdadera, ya que AB se encuentra en el plano XY y AD es perpendicular con dicho plano.
C) Verdadera, ya que ambos ángulos miden 90º.
D) Verdadera, ya que el triángulo ABC es equilátero, por lo cual todos sus ángulos
interiores miden 60º.
E) Falsa, ya que tienen distinta inclinación con respecto al plano XZ.
Por lo tanto, la afirmación falsa es AB//DC .
2
2
-
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55. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Datos
Habilidad Comprensión
Al ordenar una muestra estadística de menor a mayor, y dividirla en quintiles, se formancinco grupos donde cada uno contiene al 20% de los datos. Entonces, el segundo quintil
es el valor bajo el cual se encuentra el 40% de los datos. Luego:
I) Falsa, ya que el percentil 60 es el valor bajo el cual se encuentra el 60% de los datos.
II) Falsa, ya que el tercer cuartil es el valor bajo el cual se encuentra el 75% de los datos.
III) Falsa, ya que la mediana es el valor bajo el cual se encuentra el 50% de los datos.
Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.
56. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Datos
Habilidad Aplicación
I) Verdadera, ya que las marcas de clases de los intervalos son 18 años, 21 años y 24
años. Luego, el promedio obtenido a partir de la marca de clase es
20
30
600
30
144168288
6816
6248211618
x
II) Falsa, ya que el intervalo modal es [17, 19], pero no se sabe si en ese intervalo está el
dato que más se repite, porque no se conoce el valor de cada dato.
III) Falsa, ya que en total la muestra tiene 30 datos, por lo cual la mediana corresponde al
promedio entre los datos en las posiciones 15 y 16. Como ambos datos están en el
intervalo [17, 19], entonces en dicho intervalo se encuentra la mediana.
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.
57. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Datos
Habilidad Aplicación
En una tabla de distribución de frecuencias, la frecuencia acumulada de un dato x i
corresponde a la suma de frecuencias desde el dato x1 hasta el dato xi. Luego:
* La frecuencia acumulada del dato A es igual a la frecuencia del dato A. Entonces, la
frecuencia del dato A es 14.
-
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* La frecuencia acumulada del dato C es igual a la suma de las frecuencias del dato A, del
dato B y del dato C. Entonces, (14 + n + 2 + n) = 36, que al despejar resulta 2n = 20. Es
decir, n = 10.
* La frecuencia acumulada del dato B es igual a la suma de las frecuencias del dato A y
del dato B, es decir, (14 + n + 2) = (14 + 10 + 2) = 26.
Por lo tanto, la frecuencia acumulada del dato B es 26.
58. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Datos
Habilidad ASE
Se pide responder solo aquellas proposiciones que son verdaderas.
I) Verdadera, ya que 2 niños por familia es lo más frecuente en la muestra, lo cual lo
transforma en la moda.
II) Verdadera, ya que realizando el cálculo del promedio se obtiene:
219
38
19
12121220
19
3·44·36·22·14·0x
.
III) Falsa, ya que solo 4 familias no tienen niños y estas corresponden a19
4.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
59. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Datos
Habilidad ASE
Para obtener las medidas de posición pedidas, siempre es conveniente agregar la columna
de frecuencias acumuladas:
Como en este caso son 100 datos, entonces la posición porcentual de los datos ordenados
coincide con su posición real. Luego:
I) Falsa, ya que percentil 30 significa el dato en la posición 30. Como el dato 2 ocupa la
posición 21 a la 35, entonces el percentil 30 es 2.
Dato Frecuencia Frecuenciaacumulada
1 20 20
2 15 35
3 35 70
4 30 100
-
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II) Falsa, ya que cuartil 3 significa el dato en la posición 75. Como el dato 4 ocupa la
posición 71 a la 100, entonces el cuartil 3 es 4.
III) Falsa, ya que decil 8 significa el dato en la posición 80. Como el dato 4 ocupa la
posición 71 a la 100, entonces el decil 8 es 4.
Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.
60. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Datos
Habilidad Comprensión
I) No se puede calcular, ya que se necesita la frecuencia de cada dato, lo que se
desconoce.
II) No se puede calcular, ya que se necesita la frecuencia de cada dato, lo que se
desconoce.
III) Se puede calcular, ya que corresponde a la diferencia entre los valores extremos, que
son 1 y 2. Luego, el rango del conjunto es 1.
Por lo tanto, solo III se puede calcular solo con los datos entregados.
61. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Datos
Habilidad Aplicación
La varianza de un dato en un conjunto es igual al promedio de los cuadrados de las
diferencias entre cada dato y la media del conjunto. O sea, si el conjunto tiene tres
elementos la varianza es3
)x(x)x(x)x(xσ
2
3
2
2
2
12 .
El conjunto es {6, 6, 9}, luego el promedio entre los datos del conjunto es
73
21
3
966x .
Por lo tanto, la varianza es
23
6
3
411
3
2)1()1(
3
)7(9)7(6)7(6σ
2222222
-
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62. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Datos
Habilidad Aplicación
El promedio del conjunto M es p2
2p
2
1 p1 px . Luego, calculando la varianza
del conjunto M se tiene:
12
2
2
11
2
1) p(p1) p(p
2
1))(px(1))(px(σ
2222222
La desviación estándar de M es 112 . Es decir, la varianza y la desviaciónestándar son iguales a 1, y no dependen del valor de p.
Por lo tanto, la afirmación verdadera es “la desviación estándar de M es igual a lavarianza de M”.
63. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Datos
Habilidad Aplicación
Por definición, en la distribución normal tipificada:
P( – a ≤ X ≤ a) = P(X ≤ a) – P(X ≤ – a)
Por simetría, se tiene que P(X ≤ – a) = P(X ≥ a), y por propiedad, resulta P(X ≥ a) = 1 –
P(X ≤ a). Luego, P(X ≤ – a) = 1 – P(X ≤ a).
Reemplazando en la expresión inicial:
P( – a ≤ X ≤ a) = P(X ≤ a) – P(X ≤ – a) = P(X ≤ a) – (1 – P(X ≤ a)) = 2·P(X ≤ a) – 1
Como P(X ≤ a) =8
5, entonces P( – a ≤ X ≤ a) = 2·P(X ≤ a) – 1 = 2·
8
5 – 1 =
4
5 – 1 =
4
1
Por lo tanto, el valor de P( – a ≤ X ≤ a) es41 .
64. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Azar
Habilidad Comprensión
La probabilidad del suceso contrario se obtiene al restar a 1 la probabilidad del suceso.
P(no ocurra el suceso) = 1 – a.
-
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65. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Azar
Habilidad Comprensión
Se busca la probabilidad de elegir a una persona al azar y que sea hombre. Si el 20% del público son hombres, entonces la probabilidad es la siguiente:
5
1
100
20)P(hombre
66. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Azar
Habilidad Aplicación
Para la primera cifra se pueden utilizar los dígitos 6, 7, 8 ó 9, ya que debe ser mayor que
5. Es decir, hay 4 posibilidades.
Para la segunda cifra se puede utilizar los dígitos 0, 1 ó 2, ya que debe ser menor que 3.
Es decir, hay 3 posibilidades.
Para la tercera cifra se puede utilizar cualquier dígito (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ó 0), ya que
no hay restricciones. Es decir, hay 10 posibilidades.
Luego, según el principio multiplicativo, la cantidad de combinaciones distintas es
(4 3 10) = 120.
Por lo tanto, pueden escribirse 120 números de tres cifras con las condiciones dadas.
67. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Azar
Habilidad Aplicación
La probabilidad de extraer al azar una bolita roja de una caja es 5
2
. Esto indica que por
cada 5 bolitas que hay en la caja, dos son rojas.
En la alternativa D), si la caja tiene 30 bolitas blancas y 20 rojas, el total de bolitas serán
50. Por lo tanto, la probabilidad de obtener una roja será5
2
50
20 .
-
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68. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Azar
Habilidad Aplicación
Se debe encontrar la probabilidad de que ocurran ambos eventos a la vez, entonces:
5
4)( anotar P
5
1)anotar no(P
25
4
5
1 ·
5
4)anotar no(P·)anotar (P
69. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Azar
Habilidad Aplicación
Como el experimento de extracción es sin reposición, el segundo evento dependerá del
primer evento. Si definimos el evento A como “se extrae primero un 9”, y el evento B
como “se extraer segundo un 5”, entonces la probabilidad que ocurra A y B es:
P(A y B) = P(A) · P(B/A)
=
47
4
48
4
70. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Azar
Habilidad ASE
Al lanzar tres veces un dado común, la cantidad de posibles resultados es 6 3 = 216, de los
cuales son 15 aquellos donde la suma de las caras es 15:
{(5, 5, 5), (6, 6, 3), (6, 3, 6), (3, 6, 6), (6, 5, 4), (6, 4, 5), (5, 6, 4), (5, 4, 6), (4, 6, 5), (4, 5, 6)}
Luego, la probabilidad de que sus caras sumen 15 es108
5
216
10
-
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71. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Azar
Habilidad Comprensión
Es posible determinar que en la caja hay 15 bolitas. Además, la suma entre cada númeroy su frecuencia es 6. Luego, la frecuencia de un número n es igual a (6 – n).
Según la regla de Laplace, la probabilidad de cada número es
P =15
n
5
2
15
n
15
6
15
n6
total
frecuencia
posiblescasos
favorablescasos
Por lo tanto, la expresión que representa a la función de probabilidad P(X = n) es15
n
5
2
72. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Azar
Habilidad Aplicación
Si la mitad de las mujeres está casada y 8 de los hombres no está casado, entonces 12
mujeres están casadas y 8 hombres están casados. En total, hay 20 personas casadas, entre
las cuales hay 8 hombres.
Entonces, según la regla de Laplace, la probabilidad de escoger al azar un hombre entre
las personas casadas es P = 5
2
20
8
posiblescasos
favorablescasos
.
Por lo tanto, si entre las personas casadas se escoge una al azar, la probabilidad de que
sea hombre es5
2.
73. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Azar
Habilidad ASE
Al realizar el experimento descrito, los posibles resultados y sus correspondientes sumas
son:
(1, 1) = 2 (2, 1) = 3 (3, 1) = 4 (4, 1) = 5
(1, 2) = 3 (2, 2) = 4 (3, 2) = 5 (4, 2) = 6
(1, 3) = 4 (2, 3) = 5 (3, 3) = 6 (4, 3) = 7
(1, 4) = 5 (2, 4) = 6 (3, 4) = 7 (4, 4) = 8
P(3 ≤ X ≤ 5) significa la probabilidad de que la suma de los dados sea 3, 4 o 5.
-
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Hay 16 posibles combinaciones, de las cuales en 9 el resultado de la suma es 3, 4 o 5.
Según la regla de Laplace, dicha probabilidad es P =16
9
posiblescasos
favorablescasos .
Por lo tanto, el valor de P(3 ≤ X ≤ 5) es 16
9
.
74. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Números racionales
Habilidad ASE
Se quiere determinar la paridad de la siguiente expresión algebraica
3
ba
1) a es el quíntuple de b. Con esta información es posible determinar la paridad de la
expresión, ya que el numerador queda como 6b y al dividir se obtiene 2b, lo cualindependiente del valor del entero b, corresponde siempre a un número par.
(2) (a + b) es múltiplo de 3. Con esta información, no es posible determinar la paridad
de la expresión, ya que de ser un múltiplo de 3 en el numerador al dividir por 3
no siempre será un número par.
Por lo tanto, la respuesta correcta es: (1) por sí sola.
75. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer grado
Habilidad ASE
Si x + y = 12, se desea obtener el valor numérico de y.
1) 3x + 3y = 36. Con esta información, no es posible obtener el valor numérico de y,
ya que esta información al simplificarla por 3 corresponde a la misma recta del
enunciado, por lo cual existirán infinitos valores para y.
(2) 2x – 3y = – 21. Con esta información, es posible obtener el valor numérico de y,
ya que con estas dos ecuaciones distintas, se puede dar respuesta a las dosincógnitas.
Por lo tanto la respuesta correcta es (2) por sí sola.
-
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76. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad ASE
(1) El triángulo PQR es equilátero. Con esta información, se puede afirmar que eltriángulo ABC es semejante con el triángulo PQR, ya que dos triángulos equiláteros
siempre son semejantes entre sí.
(2) El segmento AR es paralelo con el segmento QP. Con esta información, no se puede
afirmar que el triángulo ABC es semejante con el triángulo PQR, ya que no quedan
determinados los ángulos del triángulo PQR.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
77. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Azar
Habilidad ASE
(1) N = 20. Con esta información, no es posible determinar los valores que puede tomar
la variable X, ya que no se conoce los valores escritos en las tarjetas.
(2) Dos tarjetas tienen escrito el número 1 y el resto, es decir, al menos dos tarjetas, el
número 2. Con esta información, es posible determinar los valores que puede tomar la
variable X, ya que pueden salir dos 1, dos 2, o un 1 y un 2. Luego, los posiblesvalores de X son 1, 2 o 4.
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
78. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Habilidad ASE
Dada la función cuadrática con coeficientes 1, m y n, se espera determinar la intersecciónde la parábola con los ejes.
1) m = 4. Con esta información, no es posible determinar la intersección con los ejes,
ya que para la intersección con el eje X e Y se necesitan los valores de m y n.
(2) n = – 5. Con esta información, no es posible determinar la intersección con los
ejes, ya que con esta información solo se conoce la intersección con el eje Y.
Con ambas afirmaciones, es posible determinar los puntos de intersección de la parábola
con ejes ya que se conocen los valores de m y n.
Por lo tanto la respuesta es ambas juntas, (1) y (2).
-
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79. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
(1) P y Q pertenecen a una recta que es paralela al eje Y. Con esta información, no se puede calcular las coordenadas del punto Q, ya que solo se puede saber que ambos
puntos tienen la misma abscisa.
(2) P y Q están a dos unidades de distancia. Con esta información, no se puede calcular
las coordenadas del punto Q, ya que podría corresponder a cualquier punto de la
circunferencia de centro P y radio 2.
Con ambas informaciones, no se puede calcular las coordenadas del punto Q, ya que hay
dos puntos, (3, 5) y (3, 9), que cumplen con ambas condiciones.
Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.
80. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Datos
Habilidad ASE
(1) = 0. Con esta información, no se puede calcular la probabilidad de que X tome un
valor mayor que 2, ya que se desconoce la desviación estándar de la distribución.
(2) = 1. Con esta información, no se puede calcular la probabilidad de que X tome un
valor mayor que 2, ya que se desconoce la media de la distribución.
Con ambas informaciones, se puede calcular la probabilidad de que X tome un valor
mayor que 2, ya que si la media es 0 y la desviación estándar es 1 se puede utilizar la
tabla de valores (incluida al principio del ensayo), según la cual la probabilidad de que X
tome un valor menor o igual que 2 es 0,977. Luego, la probabilidad de que X tome un
valor mayor que 2 es (1 – 0,977) = 0,023.
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.
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