solitäre wellen & solitonen

Solitäre Wellen Solitäre Wellen &&

SolitonenSolitonen

Solitäre Wellen & SolitonenSolitäre Wellen & Solitonen Einführung (Entdeckung der Solitonen)Einführung (Entdeckung der Solitonen) Korteweg – de – Vries – GleichungKorteweg – de – Vries – Gleichung Fermi – Pasta – Ulam – ProblemFermi – Pasta – Ulam – Problem Arbeiten von Zabusky & KruskalArbeiten von Zabusky & Kruskal Die Sine – Gordon – GleichungDie Sine – Gordon – Gleichung Grundprinzipien für lineare Wellen (Ausbreitung)Grundprinzipien für lineare Wellen (Ausbreitung) Elementare Ideen zur Ausbreitung nichtlinearer Elementare Ideen zur Ausbreitung nichtlinearer

WellenWellen

Die Entdeckung der SolitonenDie Entdeckung der SolitonenIch beobachtete die Bewegung eines Bootes, das von einem Pferdegespann ziemlich rasch einen engen Kanal entlang gezogen wurde, als das Boot plötzlich anhielt nicht jedoch die Wassermasse im Kanal , die das Boot in Bewegung gesetzt hatte; sie sammelte sich rund um den Schiffsbug in einem Zustand wilder Erregung, ließ das Schiff dann plötzlich hinter sich , rollte mit hoher Geschwindigkeit vorwärts, nahm dabei die Form einer großen einzelnen Erhöhung an, ein abgerundeter , glatter, wohldefinierter Haufen Wasser, der entlang dem Kanal anscheinend ohne Formveränderung oder Geschwindigkeitsabnahme seinen Lauf nahm. Ich begleitete diese Welle auf meinem Pferd und überholte sie , während sie sich immer noch mit einer Geschwindigkeit von etwa acht oder neun Meilen pro Stunde bewegte, wobei sie ihre ursprüngliche Gestalt von etwa 30 Fuß Länge und ein bis eineinhalb Fuß Höhe beibehielt. Die Höhe nahm allmählich ab, und nachdem ich das ganze für etwa ein oder zwei Meilen beobachtet hatte, verlor ich es in den Windungen des Kanals aus dem Auge.

Die Entdeckung der Solitonen Die Entdeckung der Solitonen Was passiert einer gewöhnlichen Welle in einem sehr tiefen Kanal ???

Funktionenreihe nach Fourier:

2

0

2

0

2

0

0

1

sin1

cos2

1

2

1

sincos

dxnxxfb

dxnxxfa

dxxfamit

anxbnxaxf

n

n

nnnnn

Verschiedene Frequenzen

Verschiedene Geschwindigkeiten

Die Entdeckung der SolitonenDie Entdeckung der Solitonen

Dispersion = Auseinanderlaufen von Wellen verschiedener Frequenzen

Russell‘s Welle Keine Dispersion

Warum ?

Nichtlineare Kopplung

Die Entdeckung der SolitonenDie Entdeckung der SolitonenRussell‘s Experimente

Translationswellen

Geschwindigkeit Amplitude

Die Entdeckung der SolitonenDie Entdeckung der Solitonen

Die Entdeckung der SolitonenDie Entdeckung der Solitonen

Alles beim Alten außer Kleine Phasenverschiebung

Scheinbar einzelne Welle teilt sich auf

schnelllangsam

? Gedächtnis ?

Die Entdeckung der SolitonenDie Entdeckung der Solitonen

Soliton Gebrochene Welle

Korteweg-de-Vries-GleichungKorteweg-de-Vries-Gleichung

10 Jahre nach Russell‘s Tod – 2 Holländer folgende Formel hergeleitet:

Umskalierung

Suchen Translationsinvariante Lösung

D.J.Korteweg

Korteweg-de-Vries-GleichungKorteweg-de-Vries-Gleichung

Translationsinvariante Lösung der Form:

mit:

Forderung:

Lösung:

Fermi-Pasta-Ulam-ProblemFermi-Pasta-Ulam-ProblemVerknüpfung von: Nichtlinearem Problem mit KDV-Gleichung !!!

Betrachte:N N+1N-1

Nur Ww. unter

Nachbarn

Bewegungsgleichung:

Fermi-Pasta-Ulam-ProblemFermi-Pasta-Ulam-Problem

Bsp‘s:

…sind so gewählt, dass die max. Auslenkung von Q herrvorgerufen durch die Nichtlinearitäten sehr klein sein soll !!

Fermi-Pasta-Ulam-ProblemFermi-Pasta-Ulam-Problem

Numerisch Integrieren Anfangsdaten eines Sinus

Qn in eine kontinuierliche Form bringen mit:

Mac-Laurin-Erweiterung

Bewegungsgleichung:

Ziel: In die KDV-Gleichung umschreiben

Fermi-Pasta-Ulam-ProblemFermi-Pasta-Ulam-Problem Betrachte: f….als Mac-Laurin-Reihe:

Die Wahl von f wie in (1) führt nun zu:

Boussinesq-Gleichung!!!

mit:

Fermi-Pasta-Ulam-ProblemFermi-Pasta-Ulam-ProblemLösung der Boussinesq-Gln.ist (für endlose Kette):

Ziel: Wollen die Boussinesq-Gln. auf die KDV-Gln. reduzieren!!!

Skalierung: für…x,t,u, + neuen Parameter einführen

Entwickeln: u in …

Konsistenz nur wenn:

Fermi-Pasta-Ulam-ProblemFermi-Pasta-Ulam-Problem Die KDV-Gleichung erhält man wenn man die Gln. für u(1) integriert:

Für kubisch-nichtlineare Ketten mit f(Q) wie in (2) erhält man:

Müssen r = 0 wählen:

Konsistenz nur wenn:

Integration führt dann auf:

Modifizierte KDV-Gleichung

Zabusky & KruskalZabusky & Kruskal

Welle die sich ohne Änderung der Form fortpflanzt und ein lokales Profil besitzt

Def: ……..“Solitäre Welle“

Soliton:

KDV-Gleichung: ….Multiplizierten den 3-ten Ableitungsterm mit Faktor: 0,022

& Periodische Randbedingungen:

Ergebnis: ….Welle mit stabiler Amplitude & fast identisches Profil wie“ Solitäre . Welle!“

Viel wichtiger als die Form ist die Teilcheneigenschaft !!!

….Taucht erstmals auf in den Arbeiten von Z & K

Zabusky & KruskalZabusky & KruskalKDV-Soliton….

MKDV-Soliton….

(sech)2 - Form

sech - Form

Ziel: …. Wollen Modell studieren für den Stoß zweier Solitonen

… müssen die KDV – Gln. erstmal in eine homogene Gln. transformieren.

…Ausgangspunkt ist die KDV – Gleichung in der Form:

Folgt eine in f homogene Gleichung:

Cole – Hopf - Transformation

Zabusky & KruskalZabusky & Kruskal Ziel: … Wollen diese Gleichung lösen

Suchen eine Lösung der Form:

Zabusky & KruskalZabusky & Kruskal

Weil lineare Gln.: …soviele Exponentialfkt. einfügen wie man will

Wählen nur zwei Stück :

Exakte Lösung von f(1) einsetzen in rechte Seite obiger Gln.

Zabusky & KruskalZabusky & KruskalIntegration gibt:

??? Endlos ???:

Setzen Lsg. von f(1) und f(2) in die rechte Seite ein:

Für alle folgenden Iterationen gilt:

Absolut notwendig damit wir eine exakte Lsg. erhalten !!!

Wir erhalten somit als exakte Lsg. :

Die Sine – Gordon – GleichungDie Sine – Gordon – GleichungKlein – Gordon – Gleichung:

Herleitung aus der Lagrangedichte:

Skyrme (1958): „Nichtlineare Feldtheorie“

Suchen nach stabilen Wellenlösungen: ( Mit Lorentzinvarianz )

Die Sine – Gordon - GleichungDie Sine – Gordon - GleichungKink

Kollision zweier Kinks

1875 zeigte Bäcklund den Aufbau einer Lösungshierarchie

Bäcklund - Transformation

Die Sine – Gordon - GleichungDie Sine – Gordon - Gleichung

Die Sine – Gordon - GleichungDie Sine – Gordon - Gleichung Ziel: Suchen die Bäcklundtransformierte für die Sine – Gordon - Gleichung

Betrachte: Allgemeine nichtlineare Klein – Gordon – Gleichung:

In den Koordinaten:

Annahme: Beide Lösungen sind unabhängig:

Betrachte: Gleichungspaar:

Mit den Variablen:

Die Sine – Gordon - GleichungDie Sine – Gordon - GleichungBisher:

Linearkombination:

Ableiten:

Form von „F,g und f“ nicht spezifiziert

Obige Form soll dazu dienen die Ableiungsterme für und tin zwei Gleichungen zu entkoppeln. Ableiten obiger Gleichung führt zu:

Wenn und ‘unabhängige Lösungen sind, finden wir:

Die Sine – Gordon - GleichungDie Sine – Gordon - Gleichung Muß eine Konstante sein !!!

Betrag von ist nicht so wichtig wie sein Vorzeichen:

Mit:

folgt:

Sine – Gordon = NLKG + Bäcklundtransformation

Die Sine – Gordon - GleichungDie Sine – Gordon - Gleichung

Sei eine Lsg. gegeben: 2-parametrige Familie von verwandten Lsg.

Einfachste Lösung:

Einsetzen + Integration:

Entspricht der Single – Kink – Lösung !

Weitere Lösungen durch geometrische Konstruktion:

Kommutativ !!!0

21

3

a1a2

a1a2

Die Sine – Gordon - GleichungDie Sine – Gordon - Gleichung

Insgesamt erhält man also:

Mit den Single-Kink-Lösungen:

Und der Lösung:

Grundprinzipien für lineare WellenGrundprinzipien für lineare WellenElementarste lineare Welle:

Klein – Gordon – Gleichung:

Hat die Dispersionsrelation:

Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:

Dispersionsrelation:

Bsp:

Grundprinzipien für lineare WellenGrundprinzipien für lineare Wellen

Wenn (k) komplex:

Harmonische Lösungen wachsen dann exponentiell und:

Instabil für:

Zerfallen exponentiell für:

Schwierig wenn:

…Hierbei ist L ein linearer Operator

Grundprinzipien für lineare WellenGrundprinzipien für lineare WellenBsp.

Wenn Folgt:

Reine Dispersionsgleichung mit:

Obige Gleichung ist ein brauchbares Beispiel für das Anfangswertproblem

Wenn reell und positiv, dann ist die Gleichung dissipativ mit:

Grundprinzipien für lineare WellenGrundprinzipien für lineare WellenSeien die Anfangswerte gegeben durch:

Ziel ist die Bestimmung von:

Anfangswerte gegeben durch Fourier

Für ein allgemeines lineares Gln-Sys. ist = (k) ,wie oben, erhält man ein Lsg. Für alle t >0 durch:

Grundprinzipien für lineare WellenGrundprinzipien für lineare WellenWählen nun (x,t) wie folgt:

Vertauschen die Integrationen:

Mit:

Müssen die beiden Integrale abschätzen

I2 ist ungerade deshalb:

I1 kann man wie folgt abschätzen:

Grundprinzipien für lineare WellenGrundprinzipien für lineare WellenAlso:

Ableiten nach a und integrieren gibt:

Mit:

Folgt:

Als Ergebnis erhalten wir also:

Grundprinzipien für lineare WellenGrundprinzipien für lineare Wellen

0

Unterschied Dissipation und Dispersion

Gaussfkt. für Anfangswerte:

Ergebnis ist:

Wenn reell und positiv ist dann… für

Wenn: dann oszilliert

Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenLineare Version der KDV in der Form:

Ist eine rein dispersive Gleichung !

Der uxxx-Term bringt dispersive Effekte in die dispersionslose Gleichung

Mit:

Betrachte nun:

Problem: …Entwicklung der Anfangswerte

Für die dispersionslose Gleichung:

Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenAnalogie:

Hat als Lösung:

Welche sich mit der Geschwindigkeit u0 ausbreitet.

Mit gegebenen Anfangswerten:

Lautet die komplette Lösung:

Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenUmschreiben in:

Nachprüfen: und

gibt

Welches für Lösungen von …gilt:

Für die meisten Funktionen auch nicht einfacher!

Aber:…

Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenDie funktionale Gleichung ist dann:

Dies wird gelöst von:

t = 0,0 t = 0,5

t = 1,0 t = 1,5

u

u

Minimale Brechzeit:

Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen

Mehrwertigkeit interpretieren als Diskontinuität für t >Brechzeit:

Galilei-Transformation führt auf:

Ersetzen die Mehrwertigkeit durch Diskontinuität !!!

u

X

Problem: Wo fügt man die Diskontinuität ein ???

Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen

Fläche unter den Anfangsdaten:

Flächen unter dem Dreieck:

Ähnliche Dreiecke:

Man erhält:

Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen

Ergebnis:

Ohne Dispersiven-Term tritt Mehrdeutigkeit nach endlicher Zeit auf !!!

Durch Einführung von uxxx-Term wird Mehrdeutigkeit verhindert

Durch den Zabusky-Term wird Mehrdeutigkeit auf alle Zeiten verhindert

Dispersion wirkt der Tendenz der NL Diskontinuitäten zu bilden entgegen !!!

Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenEinführung von Dissipation durch:

Dies ergibt die Burger-Gleichung:

Kann linearisiert werden durch Cole-Hopf-Transformation

Man erhält:

Mit:

Folgt:

Schließlich:

Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen

KDV ist die einfachste dispersive Erweiterung von

Burger ist die einfachste dissipative Erweiterung von

Einfachste Lösung der Burger-Gleichung ist von Taylor

u

x

Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen

Nichtlinearität

Dispersion

Soliton

Wechselwirkung

Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen

Nichtlinearität

Dispersion

Soliton

Wechselwirkung

Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen

Nichtlinearität

Dispersion

Soliton

Wechselwirkung

Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen

Nichtlinearität

Dispersion

Soliton

Wechselwirkung