s9. transformada inversa-de_laplace

ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES

DIFERENCIALES

FORMACIÓN POR COMPETENCIAS

Transformada inversa

de Laplace

Objetivos

Calcular la transformada inversa de Laplace.

Calcular la Transformada inversa de Laplace

mediante reducción de fracciones parciales.

Identificar la función escalón unitario o de

Heaviside.

Expresar una función 𝒇 en términos de la

función escalón.

Calcular la transformada de Laplace de la

función escalón unitario.

Aplicar los métodos estudiados a diferentes

problemas aplicativos del contexto real.

Definición

Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔 , entonces decimos que 𝒇(𝒕) es la

transformada inversa de Laplace de 𝑭 𝒔 y se denota

así:

ℒ−𝟏 𝑭 𝒔 𝒕 = 𝒇(𝒕)

Linealidad de la transformada inversa

Suponga que ℒ−𝟏 𝑭 𝒔 (𝒕) y ℒ−𝟏 𝑮 𝒔 (𝒕) existen y

son continuas en 𝟎;∞ además 𝒂 y 𝒃 constantes,

entonces:

𝓛−𝟏 𝒂𝑭 𝒔 + 𝒃𝑮 𝒔 (𝒕) = 𝒂𝓛−𝟏 𝑭 𝒔 (𝒕) + 𝒃𝓛−𝟏 𝑮 𝒔 (𝒕)

Breve tabla de la Transformada inversa de Laplace

𝑭 𝒔 ℒ−𝟏 𝑭(𝒔) (𝒕) 𝟏

𝒔 ℒ−𝟏

𝟏

𝒔 𝒕 = 𝟏

𝟏

𝒔 − 𝒂 ℒ−𝟏

𝟏

𝒔 − 𝒂 𝒕 = 𝒆𝒂𝒕

𝒏!

𝒔𝒏+𝟏 ℒ−𝟏

𝒏!

𝒔𝒏+𝟏𝒕 = 𝒕𝒏, 𝒏 = 𝟏; 𝟐;…

𝒂

𝒔𝟐 + 𝒂𝟐 ℒ−𝟏

𝒂

𝒔𝟐 + 𝒂𝟐𝒕 = 𝒔𝒆𝒏 𝒂𝒕

𝒔

𝒔𝟐 + 𝒂𝟐 ℒ−𝟏

𝒔

𝒔𝟐 + 𝒂𝟐𝒕 = 𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒕)

𝒂

𝒔𝟐 − 𝒂𝟐 ℒ−𝟏

𝒂

𝒔𝟐 − 𝒂𝟐𝒕 = 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒂𝒕)

𝒔

𝒔𝟐 − 𝒂𝟐 ℒ−𝟏

𝒔

𝒔𝟐 − 𝒂𝟐𝒕 = 𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒂𝒕)

Ejemplo 1

1) Encuentre 𝒇 𝒕

a) 𝓛−𝟏 𝟒𝐬+𝟏𝟐

𝐬𝟐+𝟖𝐬+𝟏𝟔

Solución:

𝒂) 𝓛−𝟏 𝟒𝒔+𝟏𝟐

𝒔𝟐+𝟖𝒔+𝟏𝟔= 𝓛−𝟏 𝟒𝒔+𝟏𝟐

𝒔+𝟒 𝟐

= 𝓛−𝟏 𝟒 𝒔−𝟒 −𝟒

𝒔+𝟒 𝟐

= 𝟒𝓛−𝟏𝟏

𝒔 + 𝟒− 𝟒𝓛−𝟏

𝟏

𝒔 + 𝟒 𝟐

= 𝟒𝒆−𝟒𝒕 − 𝟒𝒕𝒆𝟒𝒕

= 𝟒𝒆−𝟒𝒕(𝟏 − 𝒕)

Ejercicios

1) En los siguientes ejercicios encuentre 𝑓 𝑡

a) ℒ−𝟏 𝟏

𝒔+𝟐 𝟑

b) ℒ−𝟏 𝟏

𝒔𝟐−𝟔𝒔+𝟏𝟎

c) ℒ−𝟏 𝟐𝒔+𝟓

𝒔𝟐+𝟔𝒔+𝟑𝟒

Solución:

Ejercicios

2) Use la transformada de Laplace para resolver el

problema con valores iniciales:

a) 𝒚′ + 𝟒𝒚 = 𝒆−𝟒𝒕, 𝒚 𝟎 = 𝟐

b) 𝒚′′ − 𝟔𝒚′ + 𝟗𝒚 = 𝒕, 𝒚 𝟎 = 𝟎, 𝒚′ 𝟎 = 𝟏

Solución

Ejercicios

3) Determine:

a) 𝓛−𝟏 𝒍𝒏(𝒔𝟐 + 𝟏)

b) 𝓛−𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒔)

Solución

Fracciones Parciales

El uso de fracciones parciales es muy importante en

la búsqueda de transformadas inversas de Laplace.

Se analizará los casos donde el denominador de una

transformada de Laplace F(s) son de la forma

i) 𝐅 𝐬 =𝟏

(𝒔−𝟏)(𝒔+𝟐)(𝒔+𝟒)

ii) 𝑭 𝒔 =𝒔+𝟐

𝒔𝟐(𝒔+𝟑)𝟑

iii) 𝑭 𝒔 =𝟑𝒔+𝟏

𝒔𝟑(𝒔𝟐+𝟏)

Ejemplo 1

1) Determine ℒ−1 𝐹(𝑠) , donde

a) 𝐹(𝑠) =7𝑠−1

(𝑠+1)(𝑠+2)(𝑠−3)

b) F s =𝑠2+9𝑠+2

𝑠−1 2(𝑠+3)

Solución 𝒂) 𝓛−𝟏 𝑭 𝒔 = 𝓛−𝟏

𝟕𝒔 − 𝟏

𝒔 + 𝟏 𝒔 + 𝟐 𝒔 − 𝟑

= 𝓛−𝟏𝟐

𝒔 + 𝟏−

𝟑

𝒔 + 𝟐+

𝟏

𝒔 − 𝟑

= 𝓛−𝟏𝟐

𝒔 + 𝟏− 𝓛−𝟏

𝟑

𝒔 + 𝟐+ 𝓛−𝟏

𝟏

𝒔 − 𝟑

= 𝟐𝓛−𝟏

𝟏

𝒔 + 𝟏− 𝟑𝓛−𝟏

𝟏

𝒔 + 𝟐+ 𝓛−𝟏

𝟏

𝒔 − 𝟑

= 𝟐𝒆−𝒕 − 𝟑𝒆−𝟐𝒕 + 𝒆𝟑𝒕

Definición

Se llama función escalón unitario o de Heaviside, a la

función 𝑯(𝒕) ó 𝒖(𝒕) definida por:

y su gráfica es:

𝒖 𝒕 = 𝑯 𝒕 = 𝟎; 𝒔𝒊 𝒕 < 𝟎𝟏; 𝒔𝒊 𝒕 ≥ 𝟎

𝑡

𝑢(𝑡)

Función escalón unitario

La función puede mover su escalón a otra posición,

así 𝑯(𝒕 − 𝒂) denotada por 𝑯𝒂(𝒕), traslada su escalón

a la posición 𝒕 = 𝒂,

Observación:

1. También podemos usar la notación:

𝑯 𝒕 − 𝒂 = 𝒖 𝒕 − 𝒂 . 1. Una función continua por partes puede ser

expresada en términos de la función escalón

unitario.

𝐻𝑎(𝑡) = 𝑯 𝒕 − 𝒂 = 𝟎; 𝒔𝒊 𝒕 < 𝒂𝟏; 𝒔𝒊 𝒕 ≥ 𝒂

Ejemplo 1

La siguiente función:

𝒇 𝒕 = 𝟑 𝒔𝒊 𝒕 < 𝟐

−𝟐 𝒔𝒊 𝟐 ≤ 𝒕 < 𝟓𝟏 𝒔𝒊 𝒕 ≥ 𝟓

Puede expresarse en términos de la función escalón

en la forma siguiente:

𝒇 𝒕 = 𝟑 − 𝟓𝒖 𝒕 − 𝟐 + 𝟑𝒖(𝒕 − 𝟓)

Ejercicio 1

Exprese la siguiente función:

𝒇 𝒕 =

𝟑 𝒔𝒊 𝒕 < 𝟐𝟏 𝒔𝒊 𝟐 ≤ 𝒕 < 𝟓 𝒕 𝒔𝒊 𝟓 < 𝒕 < 𝟖𝒕𝟐

𝟏𝟎 𝒔𝒊 𝟖 < 𝒕

en términos de la función escalón y grafique la función.

Traslación en 𝒕. (Segundo teorema de

traslación)

Si 𝒂 > 𝟎 y 𝓛 𝒇 𝒕 𝒔 = 𝑭 𝒔 , entonces para 𝒕 ≥ 𝟎:

Observación:

𝓛 𝒖 𝒕 − 𝒂 𝒇 𝒕 − 𝒂 𝒔 = 𝒆−𝒂𝒔𝑭(𝑠)

𝓛 𝒖 𝒕 − 𝒂 𝒔 =𝒆−𝒂𝒔

𝑺

𝓛−𝟏𝒆−𝒂𝒔

𝑺(𝒕) = 𝒖(𝒕 − 𝒂)

Ejercicios

1) Halle: 𝓛 𝒖 𝒕 −𝝅

𝟐𝒔𝒆𝒏𝒕

2) Halle: 𝓛−𝟏 𝒆−𝒔

𝒔(𝒔+𝟏)

Solución:

Bibliografía

2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau

Xie

3. Fundamentals of Differential Equations – Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur

1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de

modelado- Dennis G. Zill

4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime

Escobar A.